� E-mail: daniel.dias@uni9.pro.br

� Blog: https://profdanieldias.wordpress.com/

Informações

� A teoria de energia de deformação é bastante utilizada na resolução de problemas de engenharia; com sua utilização podemos de um pode geral, obter deslocamentos lineares ou angulares em pontos quaisquer de uma estrutura.

� Essa teoria serve também como um estudo introdutório para os 2 métodos mais gerais de resolução de estruturas: o método das forças e o método dos deslocamentos.

Introdução

� Os deslocamentos podem ser de duas espécies:

� Deslocamento linear

� Deslocamento angular

� Esforço axial – deslocamento linear

� Esforço cortante – deslocamento linear

� Momento Fletor – deslocamento angular

Introdução

� Vamos imaginar uma barra submetida a um momento M. esta barra sofrera uma rotação f.

� O momento exercerá um trabalho para deformar a peça. Admitindo a validade da lei de Hooke, podemos traçar o gráfico abaixo:

Trabalho de deformação na Flexão – M constante

Trabalho de deformação na Flexão – M constante

� Vamos imaginar uma barra submetida a um momento P. Neste caso, o momento fletor não será mais constante em toda viga.

Trabalho de deformação na Flexão – M variável

� Para obtermos as expressões de energia de deformação para esforços axiais, devemos seguir a mesma sistemática do item anterior:

Trabalho de deformação - Axial

< = Teorema de Clapeyron

Trabalho de deformação – Cisalhamento

(não estamos considerando momento torçor).

Expressão geral da energia de deformação

� Calcule o trabalho gerado pela flexão no ponto de aplicação da carga.

Exercício 1:

� 1 passo: Traçado de diagrama de momento fletor:

Exercício 1:

� � ������

�� � ����

� � � ������� ��

����� �� ����������

� �� ��������� �

�� � ����

� Reações de Apoio:

�� �7,5 KN

�� �2,5 KN

Equações Momentos:

Trecho AC: x = 0 a 1 metros

Trecho BC: Z = 0 a 3 metros

� Trabalho devido M:

Exercício 1 :

� � ���� �� �7,5������

� �� �2,5����� �

� � ���� �� 56,25�����

� �� 6,25���� �

� � ���� �18,75�

(10 � 2,083� (30

� � 12+, �18,75 - 0 � 56,24 - 0�

� � ���� �75]

� � /,0���

Exercício 1:

� � ���� �� �7,5������

� �� �7,5� - 10� � 10����1�

� � ���� �� 56,25�����

� �� �-2,5� � 10����1�

� � ���� �18,75�

(10 �� �6,25�� - 50� � 100���1�

� � 12+, �18,75 - 0 � �2,083� - 25�� � 100��(41

� � ���� �18,75 - 0 � �133,31 - 400 � 400 - 2,083 � 25 - 100]

� � ���� �75] =

/,0��

� Um dos mais famosos teoremas na análise estrutural foi descoberto por Carlos Alberto Pio Castigliano (1847-1884), engenheiro italiano.

� O Teorema de Castigliano diz: “ A derivada da energia de deformação em relação a um dado esforço é igual ao deslocamento na direção e sentido do esforço.

Teorema de Castigliano

Teorema da carga virtual

Exemplo: � Determinar o deslocamento vertical e a rotação no ponto B. Considerar EI

constante , w = 10KN/m e L = 4 m.

� � -2����2

� Carga real:

� Carga Virtual:

� � -1xX

D � � 5�,067� 57�� 8� dx

D � �,06

�� � � 8� dx

D � 2�1

8+,

� Calcule o deslocamento vertical e a rotação no ponto A:

E = 25 GPA

Seção: 1 x 1 m

Exercício 1:

� Calcule o deslocamento horizontal, vertical e a rotação no de aplicação da força:

E = 25 GPA

Exercício 2:

� Calcule o deslocamento vertical e a rotação no ponto eixo da viga:

E = 25 GPA

Exercício 3: