Teoria Da Estrutura II

TEORIA DAS

ESTRUTURAS I

Parte 2

Notas de Aula – CIV208

Ricardo Azoubel da Mota Silveira

Colaboração: A ndréa R egina D ias da Silva

Departamento de Engenharia Civil

Escola de Minas

Universidade Federal de Ouro Preto

2008

SUMÁRIO

1. Treliças Isostáticas

1.1. Aplicações ..................................................................................................... 1

1.2. Tipos .............................................................................................................. 2

1.3. Definição ........................................................................................................ 3

1.4. Considerações de Projeto ............................................................................... 3

1.5. Classificação .................................................................................................. 4

1.6. Grau de Indeterminação ................................................................................ 5

1.7. Estabilidade ................................................................................................... 6

1.8. Observações Importantes .............................................................................. 7

1.9. Análise e Métodos de Resolução ................................................................... 8

1.10. Treliças Compostas ..................................................................................... 16

1.11. Treliças Complexas ...................................................................................... 20

1.12. Treliças de Altura Constante ........................................................................ 25

2. Grelhas Isostáticas

2.1. Introdução .................................................................................................... 35

2.2. Aplicações ................................................................................................... 36

2.3. Definição ...................................................................................................... 38

2.4. Observações ................................................................................................ 38

2.5. Grelha Engastada-Livre ............................................................................... 40

2.6. Grelha Isostática Triapoiada ........................................................................ 41

2.7. Viga Balcão .................................................................................................. 42

Referências Bibliográficas ................................................................................. 43

1. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS1. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Teoria das Estruturas I 1

1.1. APLICAÇÕES

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS


1.2. TIPOS

1. As barras são conectadas através de juntas idealizadas como rotuladas.

2. O carregamento externo é aplicado apenas nas juntas (pontos nodais).

Tensões principais ► Esforço Normal

Tensões secundárias ► Momento Fletor


1.3. DEFINIÇÃO

1.4. CONSIDERAÇÕES DE PROJETO

São estruturas reticuladas indeformadas, constituídas de barras retas com

extremidades rotuladas formando malhas triangulares.

2

500 NB

1

2

3

Barras (elementos, membros): 1

2

3

Pontos nodais: A, B e C

A C

A

gusset plate


1. Treliças Simples

2. Treliças Compostas


1.5. CLASSIFICAÇÃO

Tipo 1Tipo 2

simple

trusses

simple

trusses

Tipo 3

secondary simple

trussessecondary

simple trusses secondary

simple trusses

main simple trusses


3. Treliças Complexas

Número de incógnitas: número de barras (b) + número de reações (r)

Número de equações (para cada nó j):

xF 0=∑

yF 0=∑

b r 2 j+ =

b r 2 j+ >

: Estaticamente Determinada (Treliça isostática)

: Estaticamente Indeterminada (Treliça hiperestática)

Portanto,


1.6. GRAU DE INDETERMINAÇÃO

1.7. ESTABILIDADE

Se b r 2 j+ < : Treliça Instável (Treliça hipostática)


1. Estabilidade Externa

Situações de Instabilidade (externamente instável)Situações de Instabilidade (externamente instável)

2. Estabilidade Interna

Situação de Estabilidade (estabilidade interna)

Situação de Instabilidade (instabilidade interna)



Treliça composta

Situação de Estabilidade (estabilidade interna)

Treliça complexa

Situação de Instabilidade (instabilidade interna)

Portanto,


1.8. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES


Se : Treliça instável.

Se b r 2 j+ ≥ : Treliça instável se as reações de apoio são concorrentes

ou paralelas, ou se os componentes da treliça formam um

mecanismo de colapso.

b r 2 j+ <

a. Todo sistema reticulado deformável é instável (hipostático). Todo sistema

indeformável é estável (isostático ou hiperestático).

b. Treliças isostáticas com cargas fora dos nós não são treliças ideais.

c. Qualquer sistema reticulado constituído por um polígono fechado rotulado em

seus vértices é deformável (e, portanto, hipostático), exceto o caso do triângulo.

d. Lei de Formação das Treliças Isostáticas:

e. Outro tipo de treliça isostática é a treliça triarticulada (ver figura abaixo).e. Outro tipo de treliça isostática é a treliça triarticulada (ver figura abaixo).

f. As treliças são geralmente de madeira ou de aço. Esses materiais suportam bem os

esforços de tração e compressão.

g. Na prática, a grande maioria das treliças é ISOSTÁTICA.


1.9. ANÁLISE E MÉTODOS DE RESOLUÇÃO


Uma treliça biapoiada constituída por 3 barras formando um triângulo é

isostática. Se, a partir dessa configuração básica, acrescentarmos novos nós

através de duas novas barras, essa nova treliça será ainda isostática. Isto

porque surgem duas novas incógnitas no problema, simultaneamente ao

acréscimo de duas novas equações de equilíbrio ao sistema.

Análise de uma treliça

Métodos de Resolução:

Análise de uma treliça

Avaliação dos esforços normais nas barras e reações de apoio.

1. Método do equilíbrio dos nós

2. Método das seções (Método de Ritter)

3. Método de Cremona


a) Idéia Básica dos Métodos de Resolução




A

B C D

EFG2 m2 m 2 m

2 m

a

a

2 m2 m 2 m

1000 N

2 m 2 m

C

2 m2 m

G2 m

C

FGC

FGF

FGF

FGC

FBC FBC

Dy

Dx

Ex

45O

45O

1000 N

500 N

45

B

500 N

B

FBA

FBC

500 N

45O

(tração)

(compressão)

FBC(compressão)

FBA(tração)

45O

BA

C45O

2 m

2 m

G

3. Método de Cremona

1

23

4

56

7 8 9

3P

3P

HA = 3P

VA = 2P VD = P

a

A

B C

D

E F

VA = 2Pa a a

(Nó A)

VA = 2P

HA = 3P

N7

N2

(Nó E)

N3

N2

N1

(Nó B)

N4

N3

N7 N8

N5

N4

N1

N6

3P

(Nó F)

N6

N9

VD = P

(Nó D)



i. As seções de Ritter não precisam ser retas, elas podem ter formas quaisquer.

Porém, devem ser contínuas e atravessar toda a treliça.

ii. Deve-se escolher seções de Ritter que interceptem três barras não paralelas e

não concorrentes no mesmo ponto. Podem ocorrer, entretanto, seções de Ritter

que interceptem mais de três barras e a partir das quais seja possível determinar

os esforços normais em alguma(s) das barras.

iii. O Método de Ritter se presta admiravelmente ao cálculo das treliças de altura

constante, fazendo-o recair até no cálculo de uma viga de substituição, quando o

carregamento é vertical.

3P

2P

N2

N7

A

(Nó A)

N2

N1 E

B

N8 N7

N4 N3

(Nó B)

FN1 3P

N6

N9

P

D

(Nó D)

N2

N3

(Nó E)

N4 N6

N5

(Nó F)

Problema 1: Pede-se avaliar as forças em cada membro da treliça abaixo.

Defina também se essas forças são de tração ou compressão.

b) Aplicações




2 KN

3 m

A

3 m 3 m

B C

D

E

F

G

30O 60O 60O 60O 60O 30O

3 KN3 KN

Problema 2 : Pede-se avaliar as forças em cada membro da treliça abaixo.

Defina também se essas forças são de tração ou compressão.

As reações são dadas.

Problema 1: Pede-se indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuem

esforço normal nulo.

Característica: Elementos com Esforço Normal Nulo



175 lb

200 lb

B

C

D

10 ft 10 ft

A E

F

30O 30O

45O45O

60O 60O

Ax = 141.4 lb

Ay = 125.4 lb Ey = 191.0 lb

B C

A

B C

DE

P

Solução:

1. Ponto nodal C 2. Ponto nodal A1. Ponto nodal C 2. Ponto nodal A

x CB

y CD

F 0; F 0

F 0; F 0

+← = =

+ ↓ = =

∑

∑

y AB AB

x AE AE

F 0; F sen 0 F 0 (sen 0)

F 0; -F 0 0 F 0+

+ ↑ = θ = ∴ = θ ≠

→ = + = ∴ =

∑

∑



Solução:

1. Ponto nodal D 2. Ponto nodal F

y DFF 0; F 0+

= =∑↙ y CF CFF 0; F sen 0 0 F 0 (sen 0)+ ↑ = θ + = ∴ = θ ≠∑



B

C

D

P

AE

G F



Problema 1: Pede-se avaliar o esforço normal nas barras BC, GC e GF da

treliça abaixo. Defina se esses esforços são de tração ou

compressão.




A B

C

DE

P

G F

H

B C Da

AEFG

2 m2 m 2 m

2 m

a

1000 N

Solução:

Estratégia 1

Estratégia 2

Problema 2: Pede-se avaliar o esforço normal nas barras CF e GC. Defina se

esses esforços são de tração ou compressão. As reações de

apoio são dadas.



1000 N

2 m

C

2 m

G2 m

FGC

FGF

FBC

45O

1000 N

2 m

2 mC

FGF

FGC

FBC

Dy

Dx

Ey

45O

G

Problema 3: Pede-se avaliar o esforço normal nas barras GF e GD. Defina se

esses esforços são de tração ou compressão. As reações de

apoio são dadas.

Solução: FGF

FGD

FCD

Formação: conexão de duas ou mais treliças simples através de barras e

pontos nodais.

Análise: aplicação de ambos os métodos (equilíbrio dos nós e seções-Ritter).

Tipo 1

• Avaliar as reações (treliça completa).• Avaliar as reações (treliça completa).

• Usar o método das seções (cortar a treliça através da

barra que faz a conexão das duas treliças simples).

• Avaliar a força nessa barra (ligação entre as trel iças).


1.10. TRELIÇAS COMPOSTAS

• Analisar as treliças simples usando o método do

equilíbrio dos nós.


4 m

3 m

Ax = 0

a

a

A

B C D

E

F

G

H

6 kN 8 kN 2 kN Ey = 7 kNAy = 9 kN

3 m 3 m 3 m 3 m

Ax = 0aB C D

simple

trusses

Tipo 2

Tipo 3



simple

trusses

secondary simple

trussessecondary

simple trusses secondary

simple trusses

main simple trusses

• Avaliar as reações (treliça completa).

• Usar o método das seções e cortar cada uma das três barras que faz a conexão

das duas treliças simples.

• Avaliar a força normal nessas barras (diagrama de corpo livre).

• Analisar as treliças simples usando o método do equilíbrio dos nós.

• Remover as treliças secundárias usando membros fictícios (linhas tracejadas)

para construir a treliça principal.

• O efeito (força) exercido pelas treliças secundárias na treliça principal é

introduzido nas juntas onde as treliças secundárias são conectadas à treliça

principal.

• Avaliar as forças nos membros fictícios (linhas tracejadas) usando o método do

equilíbrio dos nós ou seções.equilíbrio dos nós ou seções.

• Essas forças são aplicadas nas juntas das treliças secundárias e assim, usando

o método do equilíbrio dos nós, as forças nas barras das treliças secundárias

podem ser avaliadas.

Problema 1: Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio

são dadas.

Solução:

Passo 1: Passo 2:

Problema 2: Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio são

dadas.

Solução:

Passo 1: Passo 2:



2m

2m

4m

Ax = 0A

B C D

E

F

G

KJI

Ha

a

2m 2m 2m 2m

4 kN 2 kN 4 kNAy = 5 kN Ey = 5 kN

6 ft 6 ft 6 ft 6 ft

12 ft

6 ft

A B

C

D

E

F

G

Ha

a45o

45o 45o

Ax = 0

6 ft 6 ft 6 ft 6 ft 6 ft

Ay = 3 k 3 k 3 k Fy = 3 k

Problema 3: Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio são

dadas.

Solução:



Passo 1:

Passo 2: Passo 3:Passo 3:

D

E

F

3 kN 3 kN5o

5o

5o

A

B

C

G H

Ax = 0

Ay = 4.62 kN Cy = 4.62 kN

45o

6 m 6 m

5

5o

5o

A

E

F

G

3 kN

1.5 kN

1.5 kN

FAE

FAE

C

E

F

G

3 kN1.5 kN

1.5 kN FEC

FEC

Formação: Sua lei de formação não se enquadra nos casos das treliças simples ou

compostas.

Análise: Método do Equilíbrio dos Nós.

Procedimentos

a. Computacional:

� Escrever as equações de equilíbrio para cada ponto nodal (junta).

b. Manual:

� Treliças complexas pequenas (GI baixo).

Procedimento de Análise: MANUAL

� Determinar as reações de apoio.

� Começar a imaginar como a treliça poderia ser analisada pelo método do

equilíbrio dos nós.

� Se numa determinada junta existem 3 incógnitas, remova um dos membros

e o substitua por um membro imaginário introduzido em outro lugar na

treliça.

Etapa 1

treliça.

Treliça ModificadaTreliça Original


� Resolver o sistema de equações resultante: A N = B.

� Idéia da superposição do efeitos.

1.11. TRELIÇAS COMPLEXAS


� Introduzir o carregamento externo na treliça modificada.

� Avaliar, através do método do equilíbrio dos nós, os esforços normais Si’ em

cada membro i.

� Na treliça exemplo:

Etapa 2

Treliça Modificada

' 'AB AF

' 'FE FC

' 'DE DC

' 'EB EC

'BC

Junta A : S e S

Junta F : S e S

Junta D : S e S (ambos são nulos)

Junta E : S e S

Junta B : S

� Retirar o carregamento externo na treliça modificada.

� Introduzir cargas unitárias colineares na treliça modificada nas duas juntas

que definiam o membro que foi retirado.

� Resolver a treliça modificada para esse carregamento (avaliar, através do

método do equilíbrio dos nós, os esforços normais si em cada membro i).

� Na treliça exemplo:

Etapa 3

AB AF

FE FC

DE DC

EB EC

BC

Junta A : s e s

Junta F : s e s

Junta D : s e s

Junta E : s e s

Junta B : s

Treliça Modificada



� Combinar os efeitos dos dois carregamentos (superposição dos efeitos):

'i i iS S x s= +

'' iS

S S x s 0 x= + = ∴ = −

Etapa 4

� Determinação de x (para o membro i de substituição empregado):

' ii i i

i

SS S x s 0 x

s= + = ∴ = −

'' EC

EC EC ECEC

SS S x s 0 x

s= + = ∴ = −

� Na treliça exemplo (membro EC):

Problema: Determine o esforço normal de cada membro da treliça complexa

mostrada na figura abaixo. Assuma que as juntas B, F e D estão na

mesma linha horizontal. Defina também se os esforços são de tração

ou compressão.



C

5 k

A

B D

E

F

8 ft

3 ft

4 ft

45o 45o

Solução:

Etapa 1

� Introduzir o carregamento externo na treliça modificada.

� Avaliar os esforços normais Si’ em cada membro i.

' 'CB CD

' 'FA FE

' 'EB ED

' 'DA DB

'BA

Junta C : S e S

Junta F : S e S (ambos são nulos)

Junta E : S e S

Junta D : S e S

Junta B : S

Etapa 2:

Membro 'Membro

CBCDFAFEEBEDDADBBA

3.54-3.54

000

-4.385.34-2.502.50

'iS



� Determinar as reações de apoio.

� Remover um dos membros e empregar um membro imaginário

introduzido em outro lugar na treliça.

C

5 k

C

5 k

A

B D

E

F

8 ft

3 ft

4 ft

45o 45o

A

B D

E

45o 45o

5 k

4.38 k 4.38 k

CB CD

FA FE

EB ED

Junta C : s e s

Junta F : s e s

Junta E : s e s

Etapa 3:

EB ED

DA DB

BA

Junta E : s e s

Junta D : s e s

Junta B : s

Membro si

CBCDFAFEEBEDDADBBA

-0.707-0.7070.8330.833-0.712-0.250-0.712-1.167-0.250

'i i iS S x s= +

'DB DB DBS S x s 0= + = ∴

Etapa 4:

� Combinar os efeitos dos dois carregamentos (superposição dos efeitos):

em que x é uma incógnita

DB DB DB

'DB

DB

S S x s 0

S ( 2.5)x

s 1.167

x 2.142

= + = ∴

−= − = − ∴

=

Membro si x si Si

CBCDFAFEEBEDDADBBA

3.54-3.54

000

-4.385.34-2.502.50

-0.707-0.7070.8330.833-0.712-0.250-0.7121.167-0.250

-1.51-1.511.781.78-1.53-0.536-1.522.50

-0535

2.02 (T)5.05 (C)1.78 (T)1.78 (T)1.53 (C)4.91 (C)3.81 (T)

01.96 (T)

'iS


.


� Na treliça modificada, introduzir cargas unitárias colineares nas duas

juntas que definiam o membro que foi retirado.

� Resolver a treliça modificada para esse carregamento.

D

C

BF

1 k

1 k

A E

DB

� Determinar x (para o membro DB de substituição empregado):

Tipos:

Análise: Viga de Substituição

Treliça com uma Treliça com uma

diagonal por painel

Treliça com duas diagonais por painel

(Vigas Hässler)

1. Treliça com uma diagonal por painel

Idéia básica: Viga de Substituição

a. Barras Horizontais (inferiores e superiores)

b. Barras Diagonais

c. Barras Verticais

Análise

P1 P2 P3P4 P5 P6 P7 P8

S1S2

O1 O2 O3D E F G H I J K

V0 V1 V2V3 V4 V5

V6 V7D2D1 D3

VA VB

S1S2

h

AB C

A

A’

C D E F GB

B’ C’O1 O2 O3

U1 U2 U3

2t 2t 2t 2t 2t

V3

V0i

V0s V1

sV2

s

V1i

V2i

D1s

D1i

D2s

D2i

D3s

D3i

P1 P2 P3P4 P5 P6 P7 P8

S1S2

O1 O2 O3D E F G H I J K

V0 V1 V2V3 V4 V5

V6 V7D2D1 D3

VA VB

S1S2

h

AB C

P1 P2 P3P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i j k


1.12. TRELIÇAS DE ALTURA CONSTANTE


a. Barras Horizontais (inferiores)

Avaliação de U3: G A 1 2 3 3

A 1 2 33

M 0 V 3d P 3d P 2d P d U h 0

V 3d P 3d P 2d P dU

h

= ⇒ − − − − = ∴

− − −=

∑

Momento fletor na seção g (Viga de Substituição): g A 1 2 3M V 3d P 3d P 2d P d= − − −

Portanto: g3

MU

h= + Sinal: positivo (TRAÇÃO)

Barras Horizontais (superiores)

Avaliação de O3: F' A 1 2 3

A 1 23

M 0 V 2d P 2d P d O h 0

V 2d P 2d P dO

h

= ⇒ − − + = ∴

− −= −

∑

Momento fletor na seção f (Viga de Substituição): dPd2Pd2VM 21Af −−=

Portanto: f3

MO

h= − Sinal: negativo (COMPRESSÃO)

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i j k

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i j k

dP1 P2 P3

VA

S1

S1

U3

h

A

D E

F’

G

d d

D3

O3

ϕ

F



b. Barras Diagonais

Avaliação de D : F 0 V P P P D sen 0= ⇒ − − − + ϕ = ∴∑Avaliação de D3: Y A 1 2 3 3A 1 2 3

3F 0 V P P P D sen 0 V P P PD

sen= ⇒ − − − + ϕ = ∴

− − −= −

ϕ∑

Esforço cortante no trecho f-g

(Viga de Substituição):

321Agf PPPVQ −−−=−

Portanto: f g3

QD

sen−= −ϕ Caso Geral:

Sinal: estudar cada caso

c. Barras Verticais

Avaliação de V3: Y' A 1 3 4 32 3 A 1 2 3 4F 0 V P P P P V 0 V V P P P P= ⇒ − − − − − = ∴ = − − − −∑ 3 A 1 2 3 4V V P P P P= − − − −

Esforço cortante no trecho g-h (Viga de Substituição): 4321Ahg PPPPVQ −−−−=−

Portanto: 3 g hV Q −=

Caso Geral:


dP1 P2 P3

VA

S1

S1

U3

h

A

D E

F’

G

d d

D3

O3

ϕ

F

P1 P2 P3

VA

S2

V3

A

D E

F’

GF

P4

HS2

P1 P2 P3P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i j k


P1 P2 P3P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i j k


Observação: casos de barras verticais que não é possível utilizar a Seção de Ritter

(caso de interceptar mais, ou menos, de três barras).(caso de interceptar mais, ou menos, de três barras).

V0 = VA (compressão)

V2 = P3 (compressão)

V5 = VB (compressão)

V7 = P8 (compressão)

Solução: Método do equilíbrio dos nós.

No caso:

Aplicação

Problema 1: Determine o esforço normal de cada membro da treliça (altura

constante e uma diagonal por painel) mostrada na figura abaixo. A

treliça é carregada superiormente.

2 t 2 t 2 t 2 t 2 t

3 m 3 m 3 m 3 m

h = 3 m

VA

A

F

B

K

V0 = VA

V2 = P3

P3 V5 = VB

VB V7 = PB

PB



Solução 1: Viga de substituição:

h

MU g

3 +=

Fórmulas:

h3

hM

O f3 −=

erceptadointtrechoQV =

erceptadointtrechoQsen

1D

ϕ=

Problema 2: Obter os esforços normais para as barras da treliça-marquise da figura

a seguir.



2 t2 t 2 t 2 t 2 t

5 t 5 t

DMF

9 mt 9 mt12 mt

3 t 3 t

1 t1 t

1 t 1 t

3 t 3 t

+

-

DMF

DEC

h = 3 m

A

A

B C D E

V1

U U U U

O4O3O2O1

V2V3 V4 D4

D3

D2D1

S1S2

4 m 4 m 4 m 4 m

AU1 U2 U3 U4

S1

S2

3t 3t 3t 3t

ϕ

2. Treliça com Duas Diagonais por Painel (Treliça de Hässler)

Idéia básica: Viga de SubstituiçãoIdéia básica: Viga de Substituição

a. Barras Horizontais (inferiores e superiores)

b. Barras Diagonais

c. Barras Verticais

Análise

2 t 2 t 2 t 2 t 2 t

C D E F G H I J

h

2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m

A B

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

V3

S1

S1S2

S2

h/2

AB

C D E F G H I J

h/2

D3s

D3i

ϕ

ϕ

U3

O3

V2i

V2s

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i jc


Problema 3: A figura abaixo representa uma treliça de altura constante. Porém,

estão faltando as diagonais (uma em cada painel).

Pede-se:

a. Dispor as diagonais para que, com o carregamento indicado,

trabalhem todas a tração.

b. Calcular a menor altura h, de modo que o maior esforço normal

atuante nas barras horizontais não ultrapasse, em módulo, o

valor de 8 tf.valor de 8 tf.

c. Para esse valor de h, achar os esforços normais nas barras.


a. Barras Horizontais (inferiores)

Avaliação de U3: E A 1 32M 0 V 2d P 2d P d U h 0= ⇒ − − − = ∴∑Avaliação de U3: E A 1 32

A 1 23

M 0 V 2d P 2d P d U h 0

V 2d P 2d P dU

h

= ⇒ − − − = ∴

− −=

∑

dPd2Pd2VM 21Ae −−=

Portanto: e3

MU

h= + Sinal: positivo (TRAÇÃO)

b. Barras Horizontais (superiores)

Avaliação de O3: ´ A 1 2 3EM 0 V 2d P 2d P d O h 0

V 2d P 2d P d

= ⇒ − − + = ∴

− −

Portanto: e3

MO

h= − Sinal: negativo (COMPRESSÃO)

A 1 23

V 2d P 2d P dO

h− −

= −

dPd2Pd2VM 21Ae −−=

d d

VA

U3

O3

P1 P2 P3

S1

S1

V2s

V2I

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i jc

d d

VA

U3

O3

P1 P2 P3

S1

S1

V2s

V2I

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i jc


Momento fletor na seção e (viga de substituição):

Momento fletor na seção e (viga de substituição):

∑


b. Barras Diagonais

Esforço cortante no trecho e-f (Viga de Substituição): 321Afe PPPVQ −−−=−

Portanto: i s e f3 3

QD D

2sen−= =

ϕ Caso Geral:

Sinal: estudar cada casoc. Barras Verticais

Avaliação de V2i: ϕ=⇒=−ϕ⇒=∑ senDV0VsenD0F i

2i2

i2

i2Y

Esforço cortante no trecho d-e (Viga de Substituição): PPVQ −−=Esforço cortante no trecho d-e (Viga de Substituição):

Portanto:

Caso Geral:


21Aed PPVQ −−=−

d ei2

QV

2−=

i d e2

QD

2sen−=

ϕMas a diagonal

i s i sX' 3 3 3 3F 0 D cos D cos 0 D D= ⇒ ϕ − ϕ = ⇒ =∑

i sY ' A 1 2 3 3 3

i s A 1 2 33 3

F 0 V P P P D sen D sen 0

V P P PD D

2 sen

= ⇒ − − − − ϕ − ϕ = ∴

− − −= =

ϕ

∑

VA

½ Qef

P1 P2 P3

D2

D3

D3

½ Qef

ϕ

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i jc

D2

V2

E´

½ Qde

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i jc


i

i

i

i

s


Avaliação de D3

se D3

i:

Avaliação de V2s:

i sY ' A 1 2 3 2 2F 0 V P P P V V 0= ⇒ − − − − − = ∴∑

s i2 A 1 2 3 2V V P P P V= − − − −

Avaliação de V3:

ϕ−ϕ=⇒=−ϕ−ϕ⇒=∑ senDsenDV0VsenDsenD0F i4

i333

i4

i3Y `

i e f3

QD

2sen−=

ϕ

( )3 e f f g1

V Q Q2 − −= −

43

PV

2= (COMPRESSÃO)

f gi4

QD

2sen−=

ϕMas e

Assim

No caso,

Caso Geral:


VA

U3

O3

P1 P2 P3

S1

S1

V2s

V2

D3i D4

V3 = P4/2

3

A ii 1

1V P

2 =

−

∑

4

A ii 1

1V P

2 =

−

∑


i

i


Observação: no caso de carregamento inferior, obteríamos inicialmente pelo

equilíbrio do nó E’ e, em seguida, o valor de através da condição

∑FY = 0.

s2V

i2V

: Determine o esforço normal de cada membro da treliça de Hässler

(altura constante e duas diagonais por painel) mostrada a seguir. A

treliça é carregada inferiormente.

Problema 4



A’ B’ C’O1 O2 O3

V3

V0i

V0s V1

s V2s

D1s

D1i

D2s

D2i

D3s

D3i

2t

2t

AC D E F G

BU1 U2 U3

2t 2t 2t 2t 2t

V0

V1i

V2i

D2 D3

2t

2t

2 t 2 t 2 t 2 t 2 t

2. GRELHAS ISOSTÁTICAS2. GRELHAS ISOSTÁTICAS

Equações da Estática:

Forças:

Momentos:


x y zF 0; F 0; e M 0= = =∑ ∑ ∑

zF 0=∑

x

y

M 0

M 0

=

=

∑

∑

(meras identidades)


2.1. INTRODUÇÃO

a. Pórtico Espaciala. Pórtico Espacial

x

y

z

F 0

F 0

F 0

=

=

=

∑

∑

∑

x

y

z

M 0

M 0

M 0

=

=

=

∑

∑

∑

Forças: Momentos:


Caso Particular: Forças numa só direção (no caso, z) e perpendiculares a um plano

(no caso, x-y).

b. Grelhas


GRELHAS ISOSTÁTICAS

2.2. APLICAÇÕES

Viga-Balcão



Estrutura plana submetida a carregamento perpendicular ao seu plano.

Grelhas Isostáticas: Análise através das três equações

Tipos:

2. Grelha triapoiada1. Grelha engastada-livre

zF 0,=∑ x yM 0 e M 0= =∑ ∑

2. Grelha triapoiada

3. Viga-balcão

1. Grelha engastada-livre

1. Grelha engastada-livre: as reações de apoio são calculadas pelas equações:

0Fz =∑

x

y

M 0

M 0

=

=

∑

∑

2. Grelha triapoiada: as reações de apoio podem calculadas por equações

independentes uma da outra. No exemplo abaixo:

reta BC D

reta CD B

z C

M 0 V

M 0 V

F 0 V

= ⇒

= ⇒

= ⇒

∑

∑

∑


2.3. DEFINIÇÃO

2.4. OBSERVAÇÕES


3. Conhecendo-se as reações de apoio, consegue-se obter os esforços solicitantes

atuantes numa seção genérica S da grelha.

4. Esforços solicitantes atuantes numa seção genérica S da grelha:

Q : perpendicular ao plano P da grelha

: situado no plano P da grelhaM�

6. Numa seção genérica de uma grelha podem atuar três esforços simples:

Q : esforço cortante (perpendicular ao plano da grelha)

M : momento fletor (perpendicular ao eixo da barra em questão)

T : momento torçor (direção do eixo da barra)

7. Grelha triapoiada:

• Os apoios não devem estar situados sobre uma mesma reta (caso isso

ocorra, ela será hipostática).

• A grelha deve ter, além dos três apoios perpendiculares a seu plano, pelo

menos, mais três apoios no próprio plano, que garantam estabilidade para


5. O momento pode ser decomposto em duas componentes:

M : momento fletor (perpendicular ao eixo da barra em questão)

T : momento torçor (direção do eixo da barra)

M�


carregamentos nele atuante. Veja exemplo abaixo:

Problema 1: Determine os diagramas solicitantes da grelha mostrada na figura

abaixo, cujas barras formam, em todos os nós, ângulos de 90º.

Problema 2: Determine os diagramas solicitantes da grelha engastada-livre abaixo,

em que a carga de 2 tf é perpendicular ao plano ABC.


2.5. GRELHA ENGASTADA-LIVRE


8. No caso de grelha com carregamento oblíquo ao seu plano, deve-se decompô-lo

em duas componentes: uma componente perpendicular ao seu plano (grelha) e

uma componente pertencente ao seu plano (estrutura plana).

2 t/m

3 m

1 t

B

A

C

D

3 m

3 m

2 t

C

4 m

BA

4 2 m

Grelha Estrutura plana

Problema 1: Determine os diagramas solicitantes da grelha triapoiada abaixo,

cujas barras formam, em todos os nós, ângulos de 90º.


Problema 2: Determine os diagramas solicitantes da grelha triapoiada abaixo, cujas

barras formam, em todos os nós, ângulos de 90º. As barras BCD e ADF

estão submetidas a um carregamento vertical de 1 tf/m de cima para

baixo e as demais estão descarregadas.

2.6. GRELHA TRIAPOIADA


3 t1 t

D

E

F

2 m 2 m

2 m

2 m4 t

B

A

C

VB VC

VE

5 m

B

A

C

5 m 5 m 5 m

5 m

5 m

B C

D

E

F

H

G

Problema 1: Determine os diagramas solicitantes para a viga-balcão semicircular da

figura a seguir.

Problema 2: Resolver a viga-balcão semicircular submetida a um carregamento

uniformemente distribuído q.


2.7. VIGA BALCÃO


B

90o

P

A

R

q

B90o

A

R

90

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS


Gonçalves, P.B., Conceitos Básicos de Análise Estrutural, Notas de aula, Departamento

de Engenharia Civil, PUC-Rio, Rio de Janeiro, 2003.

Hibbeler, R.C., Structural Analysis, 7ª edição, Prentice Hall, 2008.

Soriano, H.L., Estática das Estruturas, 1ª Edição, Editora Ciência Moderna, 2007.

Süssekind, J.C., Curso de Análise Estrutural, Vol. 1, 12ª edição, Editora Globo, Porto

Alegre, 1994.

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Teoria Da Estrutura II