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Teoria da Argumentação e Análise Inferencial emLógica Matemática

Carlos Magno Corrêa Dias •

Ao longo da evolução e revolução do progresso inte-lectual do homem observa-se, dissociando pertinênciasde ordem circunstancial e/ou quaisquer ajustamentos decaráter sensivo, a inscrição e maturação, imprescindíveldo ponto de vista relacional, de uma das funções princi-pais da Lógica, qual seja: a busca inconteste da coerên-cia através da análise de validade de argumentos einferências.

Não se trata, obviamente, da edificação de prescri-ções ou interdições casuísticas no conjunto geral deconhecimentos, nem tão pouco da formulação absolutade dogmas universais, mas a coerência, de que trata aLógica, é afeta a um elaborar de convenções que estãorigorosamente de acordo com as condições do sistemade referência onde é solicitada. Sendo relativa a este ouàquele conjunto de princípios a correção lógica, no sen-tido de proclamar coerência, presta-se à análise formalda validade ou não-validade de argumentos e inferências,servindo-se do rigor conceitual para examinar as rela-ções existentes entre a conclusão e a evidência que lheservem de apoio.

Observe-se, todavia, que o domínio de validade de umdeterminado argumento situa-se em um nível de contex-to formal, sendo legitimada ou não conforme a funçãorelacional, promulgada pelas normas lógicas e pela dis-seminação destas últimas no universoconceitual que lheconfere rigor e consistência através da axiomatização,da formalização e da simbolização; as quais congregama tríplice fundamentação da Lógica Matemática (1). (Etc'est parce que Ia Logíque ne s'íntéresse qu'à cette formequ'on I'appelle elle-même formelle - R. Blanché).

Partindo-se, assim, do pressuposto de que a Lógica,tanto quanto a Lógica Matemática (Lógica axiomatizadae bivalente, individualizada por processos analíticos

conexos através de métodos matemáticos), não têm, emabsoluto, por objeto de investigação a análise dos meiospelos quais a mente humana concebe suas conclusõespor intermédio do processo de reciocínio (aqui com-preendido como o ato de inferir, pelo qual o ser, com o queconhece, adquire ulteriores conhecimentos) e, sim, têmpor objetivo primeiro, embora principal, a correção ouantes, a formulação de métodos de correção do processoinferencial uma vez consubstanciado; cabendo, assim,tanto à Lógica quanto à Lógica Matemática avaliar se aconclusão obtida deriva das premissas pressupostas ouassumidas.

A Lógica Matemática, em específico, se desenvolven-do na instância das relações abstratas dos símbolos e sedetendo à combinação destes mesmos símbolos entre siem procedimentos dedutivos, onde domina o empregode regras formais, rigidamente estabelecidas, passa aestudar as inferências (via argumentação) no sentido deavaliar a validade da estrutura sentencial (em sua formalógica), subtraindo o significado material de sua determi-nação para atingir a coerência de raciocínio.

Por este enfoque, a Lógica Matemática ao abstrair asemântica (relativa) dos elementos constituintes de umadeterminada inferência, após a devida enunciação, pas-sa a estabelecer critérios formais, necessários e suficien-tes, que possibilitem a construção coerente do pensa-mento em termos de juízos analíticos, servindo-se, paratanto, das estruturas lógicas em sua gênese delimitadora.

Para processar-se, consequentemente, a análiseinferencial, através da teoria da argumentação, a LógicaMatemática utiliza os princípios estabelecidos, original-mente, no Cálculo Proposicional, o qual dispõe de meios

* Professor do Departamento de Matemática e Física da PUC-PR

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estruturados para formular os critérios de avaliação dalegitimidade de argumentos a partir da conexão estrutu-ral das premissas com a devida conclusão.

Desta forma, no presente artigo, apresentar-se-à aLógica Matemática como a ciência capaz de analisar avalidade do processo inferencial a partir da formalizaçãoe do relacionamento intrínseco entre os enunciados deum determinado universo relacional, consignando o raci-ocínio em termos de uma Álgebra Proposicional porintermédio de axiomas, operações e relações lógicas; ouseja, caracterízar-se-á a Lógica Matemática como aciência que trata da análise inferencial no sentido deconsolidar métodos analíticos necessários e suficientespara identificar (analisar formalmente) os argumentoslogicamente válidos, distinguindo-os dos sofismas oufalácias (aqui assumidos e/ou denotados como argu-mentos ilegítimos); o que passa a ser efetivado segundoos princípios norteadores estabelecidos no CálculoSentencial e no Cálculo dos Predicados.

Há de se observar, antes de quaisquer outras consi-derações, que um argumento consiste em mais do queuma simples proposição ou enunciado (sentença decla-rativa, afirmativa, de sentido completo, pela qual é possí-vel predicar um dos valores-lógicos Verdade Vou Falsi-dade F, exclusivamente); porquanto, um argumento com-põe-se de uma conclusão e na evidência corroborada.Saliente-se, a este tempo, também, que não é possívelexaminar logicamente um determinado argumento amenos que exista evidência; porquanto, um argumentofundamenta-se não apenas em um enunciado resultante(denominado conclusão), como também em um ou maisenunciados de evidência comprovadora (denominadospremissas).

Muito embora, como já explicitado anteriormente, oprocesso mental de inferência não diga respeito à LógicaMatemática, para toda e qualquer inferência existe sem-pre um correspondente argumento, em que uma propo-sição final (ou simples ou composta, ou ambas) denomi-nada conclusão do argumento se apresenta como con-seqüência de uma série finita de n-proposições(n > 1V n = 1) em que cada uma das n-componentes édenominada premissa. Assim, diz-se que um argumentoé constituído de uma conclusão derivada de pelo menosuma premissa; cabendo ressaltar, entretanto, que ne-nhuma proposição simples (ou fórmula proposicional),tomada em si mesma sem levar em conta que isolada-mente, pode caracterizar uma premissa ou uma conclu-são; as quais, por sua vez, constituem termos relativosna análise inferencial, porquanto, assumem, conforme ocontexto, uma ou outra função.

De forma estrutural, pode-se classificar os argumen-tos em argumentos dedutivos e argumentos indutivos,sendo que a primeira classe de argumentos diz respeitoàqueles cuja validade dos mesmos é estabelecida quan-do suas premissas, se possuem valor lógico correspon-dente à verdade V, apresentam razões convincentespara sua conclusão, isto é, um argumento dedutivo éválido se, e somente se, o valor-lógico da conclusão é averdade V todas as vezes que o valor-lógico de cada umadas premissas corresponde à verdade V. Por sua vez, osargumentos indutivos dizem respeito à classe de argu-mentos em que se o valor-lógico das premissas é averdade V, então o valor-lógico da conclusão será, "pro-vavelmente", a verdade V, isto é, pode-se dizer que sãoaqueles argumentos que levam a conclusões cujo con-teúdo excede o das premissas. Saliente-se, todavia, que

no presente estudo, em razão de não desenvolver-seuma lógica indutiva, somente serão consideradas ponde-rações sobre os argumentos logicamente dedutivos.

Considere-se, portanto, as n-proposições compostasou n-fórmulas proposicionais (ou, eventualmente, propo-sições simples) do Cálculo Proposicional, designadasformalmente, respectivamente, por:

P, (p, q, r, s, u, v, W, P" P2' , p m)'P2 (p, q, r, s, u, v, W, P" P2' , Pm)'Pn (p, q, r, s, u, v, W, P" P2' , Pm)eO (p, q, r, s, u, v, W, P" P2' , Pm)' constituídas das

n-proposições simples componentes p, q, r, s, u, v, W, P"P2' ... , Pm(1) •

Segundo o anteriormente estabelecido, considere-se,por conseqüência, a seguinte definição formal de argu-mento dedutivo em Lógica Matemática (no Cálculo dosEnunciados); ou seja:

"Denomina-se Argumento Dedutivo qualquer que sejaa seqüência finita (antecedente) de proposições (ouenunciados)

P, (p, q, r, s, u, v, W, P" P2' , Pm)'P2 (p, q, r, s, u, v, W, P" P2' , Pm)'Pn (p, q, r, s, u, v, W, P" P2' , Pm)' com n > 1 ou

inclusivo n = 1, que tem por conseqüência (ou queacarreta, ou que "implica") uma proposição final (simplesou composta) O (p, q, r, s, u, v, W, P" P2' ... , Pm);sendoque cada uma das n-proposições que constituem oconjunto finito inicial são denominadas premissas e aproposição final denominada conclusão do argumento."

Saliente-se, outrossim, que um argumento dedutivo-constituído das n-premissas (n >1 V n = 1)

P, (p, q, r, s, u, v, W, P" P2' , Pm)'P2 (p, q, r, s, u, v, W, P" P2' , Pm)'Pn (p, q, r, s, u, v, W, P" P2' , Pm)e da conclusãoO (p, q, r, s, u, v, W, P" P2' ... , Pm) é denotado

simbolicamente por:

P,(p, q, r, , P" ., ., Pm), P2(p, q,r, ... , P" ... , Pm), ... ,Pn (p, q, r, , P,. ... , Pm) I- Q (p, q, r, ... , p" ... , Pm)

Respeite-se que o argumento dedutivo simbolizadoem I pode ser enunciado de uma das seguintes formas;quais sejam:

"P"

P2' P3' Pó' ... , Pn acarretam O";"O se deduz de P

"P2, P3' Pó' , Pn";

"O se infere de P"

P2,P3' Pó, , pn"; sendo que, tantoasn-premissas (n > 1 V n= 1) P

"P2' P3' p., ... , Pn,quanto

a conclusão O, são constituídas das n-proposições sim-ples componentes p, q, r, s, u, v, W, P" P2' ... , Pn'

A título de exemplificação, considere-se, em lingua-gem usual, padrão da língua corrente, o seguinte "racio-cínio" dedutivo; a saber:

"A descrição de um procedimento de refutação abs-trato induz uma semântica operacional sem levar emconta que não é verdade que a semântica declarativa éderivada da semântica de linguagens de primeira ordem.

A semântica declarativa é derivada da semântica delinguagens de primeira ordem apenas se não é fato queum sistema formal induz uma semântica procedimental.

Se a descrição de um procedimento de refutaçãoabstrato induz uma semântica operacional embora a

Teoria da Argumentação e Análise Inferencial em Lógica Matemática

semântica declarativa é derivada da semântica de lin-guagens de primeira ordem, um sistema formal induz umprocedimento de refutação abstrato.

Um sistema formal induz um procedimento de refuta-ção abstrato e/ou um sistema formal induz uma semân-tica procedimental apesar de que também a descrição deum procedimento de refutação abstrato induz uma se-mântica operacional.

Portanto, é natural concluir-se que um sistema formalnão induz uma semântica procedimental e/ou não se temque a semântica declarativa é derivada da semântica delinguagens de primeira ordem."

A estrutura acima apresentada, em linguagem ordiná-ria, exemplifica um argumento dedutivo (quando enunci-ada em linguagem do Cálculo dos Enunciados); sendoconstituída de quatro premissas e de uma conclusão,conforme se pode, naturalmente, constatar. Contudo,analisá-Ia na forma originalmente concebida torna-se umtrabalho, relativamente, difícil. Por outro lado, a mesma épassível de ser estruturada (enunciada) em termos for-mais, segundo a linguagem técnica particular do CálculoProposicional, uma vez que é constituída, tão-somente,de proposições simples (unidades mínimas de análise)assim como de proposições compostas (também deno-minadas fórmulas proposicionais).

Por conseguinte, designando por p, q, r e s as propo-sições simples que constituem o raciocínio dedutivo emquestão, tem-se que:

p: A descrição de um procedimento de refutaçãoabstrato induz uma semântica operacional.

q: A semântica declarativa é derivada da semânticade linquaqens de primeira ordem.

r: Um sistema formal induz uma semânticaprocedimental.

s: Um sistema formal induz um procedimento derefutação abstrato.

Como cada uma das quatro premissas e a conclusãodo argumento em questão são exemplos de proposiçõescompostas, segundo a linguagem própria da LógicaMatemática (1), tem-se as seguintes fórmulasproposicionais, as quais formalizam (enunciam) os res-pectivos elementos do argumento em análise; quaissejam:

Primeira premissaSegunda premissaTerceira premissaQuarta premissaConclusão

P, (p, q):P2(q, r):PJ(p, q, s) :P, (p, r, s):Q (q, r):

P A - qq -) - r(p A q) -) S

S V r A p- q V - r

Assim, tomando-se a estrutura formal definida por I(forma enunciadora de um argumento dedutivo), tem-seque o argumento dedutivo em análise será dado por:

I P, (p, q), P2 (q, r), PJ(p, q, s), P, (p, r, s) f- 6 (q, r) I ,ou

I P A - q, q -) - r, (p A q) -) s, s V r A p ~ - q V - ri ,ou

ainda, por:

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PA - q

q~ - r

(p A q) ~s

sV r A p

- q V - r AI

P, (p, q):

P2 (q, r):

P3 (p, q, s):

p. (p, r, s):

Q (q, r):

Tomando-se por base o argumento em questão, emlinguagem formal do Cálculo Proposicional, conforme asestruturas formalizadas acima, à Lógica Matemáticacabeavaliar ou determinar a validade ou a não-validade domesmo. Contudo, antes, porém, de estabelecer-se osmétodos analíticos que permitem decidir sobre a legitimi-dade ou não-legitimidade de um determinado argumentodedutivo, em Lógica Matemática, se faz necessário tecerconsiderações específicas sobre os estados relacionaisde "verdade" ou "falsidade", bem como, sobre os estadosrelacionais de "validade" ou "invalidade".

É notório em Lógica Matemática o sistema bivalente(dicotômico) que lhe caracteriza; isto é, dada uma propo-sição simples p ou uma fórmula proposicional P (p, q, r,s, u, v, W, P" P2' ... Pm)' do Cálculo Sentencial, estasapresentam, quando muito, dois valores-lógicos (ou va-lores-verdade): a verdade Vou a falsidade F, cada umdos quais excluindo a ocorrência do outro; isto é, verifica-se os Princípios da Identidade, da Não-Contradição e doTerceiro Excluído (2).

Assim, verdade V e falsidade F são estadospredicativos de proposições e nunca de argumentos;sendo que o valor-lógico correspondente à verdade Vassocia-se à "confirmação do fato", enquanto que, ovalor-lógico falsidade F corresponde à "negação ou con-tradição do fato", "fato" este estabelecido conceitualmenteem um dado universo (sistema) relacional de análise.

Por outro lado, propriedades tais como validade einvalidade são predicativas de argumentos dedutivos ejamais de proposições, quer sejam simples ou compos-tas. Um argumento é válido (confirma o estado de valida-de) se, e somente se, sua conclusão está suficientemen-te apoiada nas premissas; isto é, um argumento da formaestabelecida em I é válido se, e somente se, a conclusãoQ (p, q, r, ... , p" ... , Pm) apresenta como valor-lógico averdade V todas as vezes que (sempre que) os valores-verdade de cada uma das ri-premissas consideradasP, (p, q, r, ... , P" , Pm)' P2 (p, q, r, ... , P" ... , Pm)'... , Pn (p, q, r, , P" .. , Pm) têm valor-lógico

correspondente à verdade V.Diz-se, entretanto, que um dado argumento dedutivo

é inválido (não-legítimo ou não verifica o estado devalidade) se, e somente se, a conclusão não procede daspremissas; isto é, as premissas não consituem evidêncianecessária e suficiente para a conclusão.

Apresentadas as considerações acima, considere,também, os seguintes teoremas do Cálculo dos Enunci-ados, necessários para implementar os critérios de ava-liação da validade de argumentos dedutivos em LógicaMatemática.

Desta forma, do Cálculo Sentencial, sabe-se que aconjunção ( A ) entre duas dadas proposições (quersejam simples ou compostas) corresponde à verdade Vse, e somente se, os valores-lógicos de ambas as propo-sições são, em correlação, a verdade V; isto é:

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v {P (P. q, . p, .... Pm) A R (P. q ..... p., Pm) J = vIp A - q, q ~ - r, (p A q) ~ s, s V r A p ~ - q V - r I AI

se. e somente se,

v IP (p, q, ... , p" ... , Pm)] =v e V IR (p, q, ... , p" ... , Pm) J = V

sendo as fórmulas proposicionais P e R constituídas dasn-proposições simples componentes p, q, r, s, u, v, w, P"P2' ... , Pm'

Também, segundo o Cálculo dos Enunciados, tem-seestabelecido que existe uma relação de Implicação Lógi-ca ( ~ ) entre as fórmulas proposicionais P (p, q, ... , p "... , Pm) e R (p, q, ... , P" ... , Pm)' nesta ordem, se, esomente se, a condicional (~) entre tais fórmulasproposicionais é logicamente equivalente ( <=> ) a umatautologia T; isto e:

P (p, q, ... , P"

... , Pm) ~ R (p, q, ... , P"

... , Pm)

se, e somente se,

P (p, q, ... , P"

... , Pm) ~ R (p, q, ... , P"

... , Pm) ~ T T2

Saliente-se, ainda, que T2 somente será possível(legítimo) se, e somente se, o valor-lógico de R (p, q, ... ,P""" Pm) é a verdade Vtodas as vezes que (sempre que)o valor-lógico da antecedente P (p, q, ... , P" ... , Pm) é averdade V; uma vez que o teorema em questão é corro-borado pela impossibilidade da ocorrência simultânea dovalor-lógico da antecedente corresponder à verdade Veo valor-verdade da conseqüente corresponder à falsida-de F, para quaisquer que sejam os 2n arranjos de valores-lógicos das n-proposições simples componentes.

Resulta, imediatamente, não somente dos teoremasT, e T2, mais, ainda, da definição de argumento dedutivoválido, o seguinte critério formal para se avaliar a legitimi-dade de quaisquer que sejam os argumentos dedutivosem Lógica Matemática; qual seja:

"Diz-se que um argumento dedutivo das n-premissasP, (p, q, ... , P" , Pm)' P2 (p, q, ... , P" ... , Pm)'... , Pn(p, q, ... , P" , Pm) e de conclusão Q (p, q, ... ,P" ... , Pm) é legítimo ou válido se, e somente se, acondicional (~) entre a conjunção (A) das premissas ea conclusão gerar, por equivalência lógica (<=», umatautologia T (forma de enunciado constituído tâo-somen-te de exemplos de substituição "verdadeiros"); ou seja:

P, (p, q, ... , P"

... , p",), P, (p, q, ... , P"

... , P",),P,,(p, q, .. , p.), .. " p",) f- Q (p, q, .. , P" .. , Poo)

é válido se, e somente se,

(P, (p, q, , P, ... , Pm) A P2 (p, q, ... , p". ., Pm) A

A A P2 (p, q, ... , P"

.. " Pm)) ~~ Q (p, q, ... , P

"... , Pm) ~ T T3

Retornado-se o argumento dedutivo AI, anteriormen-te estruturado, pode-se demonstrar, através de T3. que omesmo exemplifica um argumento dedutivo legítimo ouválido.

Seja, portanto, o argumento AI enunciado em lingua-gemformal (simbólica) do Cálculo Proposicional; ou seja:

Deve-se demonstrar, conseqüentemente, mediante a

T aplicação do teorema T3, que:,

( (p A - q) A (q ~ - r) A ( (p A q) ~ s) L (s V r A p) ) ~~ ( - q V - r) ~ T II

Note-se que, assim sistematizado, o problema daavaliação da legitimidade de um dado argumento dedu-tivo reduz-se à verificação de uma equivalência lógica,visto que se deve demonstrar, em última análise, que afórmula proposicional

( (p A - q) A (q ~ - r) A ( (p A q) ~ s) A (s V r A p)) ~~(-qV-r) F,

é logicamente equivalente a uma tautologia T; ou seja,que a fórmula proposicional F" em questão, apresentacomo valores-lógicos, tão somente, a verdade V, inde-pendentemente dos 2" = 16 arranjos quaternários devalores-verdade (verdade V ou falsidade F) das quatroproposições simples p, q, r "e" s que compõem a respec-tiva fórmula.

Servindo-se, desta forma, das técnicas desenvolvi-das no Cálculo Proposicional para se demonstrar equiva-lências lógicas, pode-se comprovar a validade do argu-mento AI, através de 11, mediante o processo de decisãodas Tabelas-Função-de-Verdade (método segundo oqual são apresentados, para cada operador lógico (se-gundo o respectivo escopo ou nível de abrangência) osvalores-verdade da fórmula proposicional para todas ashipóteses possíveis de assinalação de valores-lógicosde suas unidades mínimas de análise - 2npossibilidades,sendo n o número total de proposições simples quecompõem a fórmula proposicional em análise).

Destaque-se, entretanto, que como a fórmulaproposicional F, é constituída de quatro proposiçõessimples (p, q, r, s), a respectiva Matriz-de-Verdade apre-sentará 24 = 16 possibilidades de assinalação de valores-lógicos.

Construindo, em resultado, a citada Tabela-Função-de-Verdade da fórmula proposicional F" tem-se caracte-rizado que a coluna-resultado da mesma é constituída,tão somente, de valores-lógicos correspondentes à ver-dade V; senão, note que:

P q r s P, A P2 A P3 A p. ~ Q

V V V V F F F F V F V 7' FV V V F F F F F F F V V FV V F V F F V F V F V V VV V F F F F V F F F F V VV F V V V V V V V F V V VV F V F V V V V V V V V VV F F V V V V V V V V V VV F F F V V V V V V F V VF V V V F F F F V F V V FF V V F F F F F V F F V FF V F V F F V F V F V V VF V F F F F V F V F F V VF F V V F F V F V F V V VF F V F F F V F V F F V VF F F V F F V F V F V V VF F F F F F V F V F F V V"-

1 2 1 3 1 4 1 5 1

Teoria da Argumentação e Análise Inferencial em Lógica Matemática 13

onde: P" P2, P3, p. e Q denotam, respectivamente, asfórmulas proposicionais (premissas e conclusão) forma-lizadas na enunciação do argumento AI, ou sejam:P, ( p, q ) : p A - q; P2 ( q, r) : q ~ - r; P3 ( p, q, r) :: p A q ~ s; p. ( p, r, s ): s V r A p e Q ( q, r ) ::-qV-r.

Deste modo, fica evidenciado que o argumento AI ébem-construído (é um argumento dedutivo válido), por-quanto T3 é confirmado; isto é, F, é logicamente equiva-lente a uma tautologia T.

Muito embora, o critério da Matriz-de-Verdade per-mita avaliar, segundo T3 a legitimidade de qualquerargumento dedutivo (no Cálculo Proposicional), há de sesalientar que tal método é, em demasia, dispendioso noque diz respeito ao fator tempo (quando implementadomanualmente, principalmente); tornando-se, a bem daverdade, impraticável à medida em que aumenta o núme-ro de proposições simples componentes das fórmulasproposicionais que venham formalizar as premissas e aconclusão dos argumentos em estudo.

Por outro lado, a aparente dificuldade acima é dissi-pada, por completo, servindo-se do Método das Equiva-lências Sucessivas, o qual, a partir da ÁlgebraProposicional e das Equivalências Lógicas Notáveis (queem conjunção constituem a Teoria da Demonstração(Dedução) em Lógica Matemática), permite, de formaeficiente e otimizada, reduzir qualquer fórmulaproposicional, por mais complexa que seja, a sua formaequivalente mais simplificada possível; isto é, à formaequivalente constituída do menor número possível deoperadores lógicos e de proposições simples capaz dequalificar, em substituição, o "juízo lógico" em tratamen-to.

Ora, segundo o teorema T3, o argumento AI, emestudo, é válido, conforme já admitido, se, e somente se,a fórmula proposicional F, é logicamente equivalente auma tautologia T. Portanto, deve-se demonstrar que F,pode ser reduzida a uma fórmula tautológica mediante asubstituição consecutiva de determinadas estruturasequivalentes; o que é facilmente verificado através doMétodo das Equivalências Sucessivas; senão, conside-re:

(p A - q) A (q ~ - r) A (p A q ~ s) A (s V r A p) ~~ (- q V - r) ~ T, pois:

(p A - q) A (q ~ - r) A (p A q ~ s) A (s V r A p) ~~ (- q V - r) ~ - ((p A - q) A (q ~ - r) A (p A q ~ s)AA (s V r A p) ) V (- q V - r) ~ - (p A - q) V - (q ~ - r) V- (p A q ~ s) V - (s V r A p) V (- q V - r) ~~ - (p A - q) V - (p A q ~ s) V - (s V r A p) V- (q ~ - r) V (- q V - r) ~ - (p A - q) V - (p A q ~ s)VV - (s V r A p) V - ( - q V - r) V (- q V - r) ~~--------~y /

T~ - (p A - q) V - (p A q ~ s) V - (s V r A p) V T ~ T,

uma vez que tautologia T tem a função de "elementoabsorvente" na operação de Disjunção Inclusiva (V) (1);o que, a seu tempo, vem igualmente, legitimar a validadedo argumento AI.

Não obstante as considerações levantadas até esteponto, há de se salientar que a estrutura original, apre-sentada em linguagem usual, que, formalizada em lin-guagem estrutural simbólica da Lógica Matemática, cons-tituiu o argumento AI (aqui analisado sob o ponto de vista

da validade), pode ser considerada como um exemplo deinferência, haja vista que a respectiva conclusão é dadaa partir de certas evidências. Há de se observar, também,que existe um estreito paralelismo entre argumentos einferências, porquanto tanto as inferências quanto osargumentos congregam evidências e conclusão que serelacionam segundo um determinado processo de cone-xão lógica; contudo, enquanto um argumento é umaestrutura "lingüística", uma inferência não o é (inferir é,pois, uma atividade psicológica).

Pode-se dizer, a bem da verdade, que a enunciação(formalização) da inferência (transformação das evidên-cias e da conclusão em fórmulas proposicionais) corres-ponde ao argumento, o qual passa a ser analisadologicamente tal qual o apresentado nos parágrafos ante-cedentes. Todavia, à Lógica Matemática importa, tãosomente, a validade da estrutura formal com a qualtrabalha, não lhe interessando saber de que modo oindivíduo que completou a inferência atingiu a respectivaconclusão. Assim, diz-se que, tomando por base o pres-suposto acima, é possível, em Lógica Matemática, tratardas inferências após transformá-Ias, por enunciação, emargumentos. Há de se salientar, uma vez mais, porém,que o presente texto não diz respeito às inferênciasextralógicas (inferências não-demonstrativas), dado queuma conclusão lógica deve ser necessária e não apenas"provável"; ou seja, somente se admite, neste estudo, umenunciado resultante de outro e/ou de outros quandoeste está implicado nos seus antecedentes. Saliente-se,outrossim, que no presente contexto, também, não estãosendo considerados os argumentos oriundos do Cálculodos Predicados.

Sendo o universo da Lógica Matemática o mundoformal, seu ideal é a coerência relacional (e analítica)entre os enunciados e/ou proposições do sistema. Avalidade, portanto, de um argumento diz respeito à formaestrutural de conexão dos enunciados que conferem aosistema rigor e consistência. Por este princípio, a valida-de do argumento AI é estabelecida não em decorrênciados elementos materiais que constituem a estruturaoriginal (em linguagem usual) que após enunciada lhedeu origem, mas, sim, do conjunto de fórmulasproposicionais (enunciativas) que se relacionam segun-do o teorema T3, conferindo-lhe validade.

Desta forma, considere o raciocínio dedutivo apre-sentado em linguagem usual a seguir estabelecido; ouseja:

"Não é verdade que a Lógica não é atributo daMatemática e/ou a Robótica é a evolução da Mecânica.

Ou a Matemeatica não é a base da Ciência ou aRobótica não é a evolução da Mecânica, ou ambas.

Se a Ciência não é patrimônio da humanidade, aLógica não é atributo da Matemática e/ou não se tem quea Robótica é a evolução da Mecânica.

Se não é verdade que a Lógica é atributo da Mate-mática embora a Matemática é a base da Ciência, é fatoque a Ciência é patrimônio da humanidade.

Portanto, é natural concluir-se que se a Matemáticaé a base da Ciência, não é verdade que a Robótica é aevolução da Mecânica. "

Logo, designando as proposições simples, que figu-ram na estrutura acima, por p, q, r "e" s, tem-se que:

{

p: A Lógica é atributo da Matemática.q: A Robótica é a evolução da Mecânica.r: A Matemeatica é a base da Ciência.s: A Ciência é patrimônio da humanidade.

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Resultam, portanto, do Cálculo dos Enunciados, asseguintes fórmulas proposicionais (enunciativas das pre-missas e da conclusão correspondentes); quais sejam:

Primeira premissa .Segunda premissa .Terceira premissaQuarta premissaConclusão

P,(p,q):P2 (q, r):P3 (p, q, r):p. (p, r, s):Q (q, r):

- (-p V q)- r V - q-s~-pV -q- (p A r) ~ sr ~ - q

E, consequentemente, o argumento dedutivo corres-pondente tem a forma enunciativa dada por:

- ( - p V q), - r V - q, - s ~ - p V - q,-(pAr)~sr-r~-q Ali

Segue-se, porém, que as fórmulas proposicionais quecompõem o argumento Ali, são, respectivamente,logicamente equivalentes às fórmulas dadas por:

P,(p,q): -(-p V q)~--p A-q~lpA-qIE,

P2(q, r): -rV-q~-qV-r~ Iq~-rIE2

P3 (p, q, r): - s ~ - p V - q~ - - s V - P V - Q~ - P V

- q V s ~ - (p A q) V s ~ I (p A q) ~ s I E3

P4 (p, r, s): - (p A r) ~ s ~ - - (p A r) V s ~ P A r V s ~

Q (q, r): r~-q~-e V-q~ I-qv-rl

Por c onse quenc ra. substituindo as fórmulasproposicionais resultantes E" E2' E3' E. e E5 em A 11, oargumento em análise assume a forma dada por:

I p A - q, q ~ - r, (p A q) ~ s, s V r A p f- - q V - r IExamine-se, pois, que a forma estrutural última é

"idêntica" àquela estabelecida para o argumento AI,demonstrado anteriormente como exemplo de argumen-to dedutivo válido. Desta maneira, diz-se que o argumen-to A II é, também, um exemplo de argumento legítimo emdecorrência de sua forma estrutural.

Por conseguinte, cabe distinguir que os argumentosA I e A II são argumentos materialmente distintos; por-quanto têm conteúdo semântico diverso. Porém, apre-sentam a mesma forma estrutural (analítica) quandoanalisados ao nível puramente sintático; sendo,consequentemente, o argumento A II um argumentoválido em decorrência da validade do argumento A I. Fatoeste que permite afirmar que a validade ou não-validadede um determinado argumento dedutivo depende, tãosomente, da sua forma estrutural (forma enunciativa doCálculo Proposicional) e não de seu conteúdo "material"específico ou dos valores-lógicos (verdade V ou falsida-de F) das proposições (premissas e conclusão) que ointeqrarn.

~ lícito afirmar, em síntese, que a validade ou não-validade de um argumento é ditada pela forma lógica doargumento e não pelo conteúdo material das sentenças

da inferência que lhe deu origem. Por esta máxima, diz-se, também, que, do ponto de vista da Lógica Matemáti-ca, o assunto de que trata a inferência é irrevelante,sendo, sim, a forma lógica do argumento o que importaem termos de validade ou de não-validade.

Ressalte-se, ainda, que um argumento não-válido, ouseja, cuja forma estrutural não é legítima, é denominadoum sofisma, podendo ser, também qualificado como umargumento falaz; o qual não verifica o teorema T3forma-lizado anteriormente.

Há de se proferir, a despeito das considerações levan-tadas no transcorrer desta sinopse, que dado um conjun-to de evidências enunciativas pode-se "inferir" o enunci-ado-conclusão, a partir das primeiras, mediante a aplica-ção das denominadas "Regras Inferenciais"; tendo emvista que, em Lógica Matemática, o ponto de relevânciaquanto à validade de um argumento diz respeito, como jácaracterizado, à forma lógica do mesmo; ou seja, existemformas válidas e outras não.

O procedimento lógico de decisão acima consideradoé qualificado, formalmente, como sendo a Dedução Na-tural, a qual engloba uma série finita de enunciados emque cada proposição ou corresponde à premissa doargumento ou a uma conclusão a partir de enunciadosprecedentes através do emprego de argumentos básicoslegítimos, que apresenta, por conseqüência, o últimoenunciado da série tomada como aquele que reflete aconclusão do argumento avaliado.

Admite-se, desta forma, que um conjunto de argu-mentos básicos legítimos podem ser utilizados para fazer"inferências"; isto é, executar as passagens de umadedução. Por sua vez, entretanto, neste esforço teórico,são consideradas como Regras de Inferência primeiras,qualificadoras de argumentos básicos válidos, as seguin-tes formas estruturais; quais sejam:

1. MODUS PONENDO-PONENS (MP):

P (p, q, r, , P" , Pm) ~ Q (p, q, r, ... , P" ... , p)P (p, q, r, ,p" , Pm)

Q (p, q, r, ... , P" ... , Pm)

2. MODUS TOLLENDO-TOLLENS (MT):

P (p, q, r, , P" , Pm) ~ Q (p, q, r, ... , P" ... , Pm)- Q (p, q, r, , P" , Pm)

- P (p, q, r, ... , P" ... , Pm)

3. LEIS DO SILOGISMO DISJUNTIVO (SD):

P (p, q, r, , P" , Pm) V Q (p, q, r, ... , P" ... , Pm)- P (p, q, r, , P" , Pm)

Q (p, q, r, ... , P" ... , Pm)

P (p, q, r, , P" , Pm) V Q (p, q, r, ... , P" ... , Pm)- Q (p, q, r, , P" , Pm)

P (p, q, r, ... , P" ... , Pm)

4. LEI DO SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH):

Teoria da Argumentação e Análise Inferencial em Lógica Matemática 15

P (p, q, r, , P" , Pm) ~ Q (p, q, r, , P" ,Pm)Q (p, q, r, , P" , Pm) ~ R (p, q, r, , P" , Pm)

P (p, q, r, , P" , Pm) ~ R (p, q, r, , P" , Pm)

5. REGRAS DA SIMPLIFICAÇÃO (SIMP):

P (p, q, r, , P" , Pm) A Q (p, q, r, ... , P" ... , Pm)

P (p, q, r, , P" , Pm)

P (p, q, r, , P" , Pm) A Q (p, q, r, ... , P" ... , Pm)

Q (p, q, r, , P" , Pm)

6. REGRA DA ADiÇÃO (AO):

P (p, q, r, ... , P" ... , Pm)

P (p, q, r, ... , P" ... , Pm) V Q (p, q, r, ... , P" ... , Pm)

7. REGRA DA CONJUNÇÃO (CONJ):

P (p, q, r, , P" , Pm)Q (p, q, r, , P" , Pm)

P (p, q, r, ... , P" ... , Pm) A Q (p, q, r, ... , P" ... , Pm)

8.DILEMA CONSTRUTIVO (DC):

P (p, q, r, , P" , Pm) ~ Q (p, q, r, , P" , Pm)R (p, q, r, , P" , Pm) ~ S (p, q, r, , P" , Pm)P (p, q, r, , P" , Pm) V R (p, q, r, , P" , Pm)

Q (p, q, r, , P" , Pm) V S (p, q, r, , P" , Pm)

9. DILEMA OESTRUTIVO (DO):

P (p, q, r, , P" , P ) ~ Q (p, q, r, , P, , P )R (p, q, r, , P" , P:) ~ S (p, q, r, , p,: , P:)

- Q (p, q, r, , P" , Pm) V - S(p, q, r, , P" , Pm}

- P (p, q, r, ... , P" ... , Pm}V - R(p, q, r, ... , P" ... , Pm)

Esclareça-se, contudo, que a comprovação da validade dosargumentos (Regras de Inferência) acima consideradas, pro-cessa-se mediante a aplicação do teorema T3; sendo que asmesmas, isoladamente e/ou em conjunto, possibilitam a de-monstração de uma infinidade de outros argumentos dedutivosmais complexos.

Tomando-se, como exemplificação, o argumento dedutivo aseguir apresentado; qual seja:

(p A q) ~ (r V s), (r V p) ~ (q A s), r V p, (p A q) VV(q A - s}, ( q A - s) ~ ( - r A p}- - (r V s) ~ (q AS)

demonstra-se, a seguir, a legitimidade do mesmo através daDedução Natural.

Para tanto, inicia-se a demonstração, enumerando-se aspremissas e dispondo-se uma sobre as outras. E, em seguida,em sentido vertical de cima para baixo, procede-se a deduçãodas demais linhas, numeradas seqOencialmente, mediante aaplicação das regras anteriormente aventadas e/ou da substitui-ção de equivalências sucessivas (considerando-se, também, oprincfpio da Extencionalidade), indicando-se, a cada fase, aslinhas-suporte pelas quais é aplicada a respectiva regra com adevida justificativa disposta à direita; isto é, por tal processodeve-se deduzir a conclusão - (r V s) --) (q li s) a partir daspremissas (p li q) --) (r V s), (r V p) --) (q li s), r V p, (p li q) VV (q li - s) e (q li - s) --) (- r li p) mediante a aplicação de Regrasde Inferência e/ou de equivalências sucessivas (agregadas aoprincfpio fundamental da Substituição Lógica) (2) •

Portanto, tem-se que:

( 1) (p li q) --) (r V s) Premissa( 2) (rV p) --) (q li s) Premissa( 3) rV p Premissa( 4) (p li q) V (q li - s) Premissa( 5) (qll-s)--)(-rllp) Premissa

( 6) qlls (2), (3) MP( 7) (rVs)V(-rllp) (1), (5), (4) DC( 8) (q li s) V - (- r li p) (6) AD( 9) - (- r li p ) V (q li s) (8) COMUTATIVA(10) (- r li p) --) (q li s) (9) CONDICIONAL(11 ) - (r V s) --) (- r li p) (7) CONDICIONAL

(12) 1- (rV s) --) (q li s) I (11), (10) SH

o que, a seu tempo, vem comprovar a legitimidade do argumentoA 111, uma vez que partindo-se das premissas chega-se àconclusão por dedução.

Ressalte-se, ainda, por exemplo, que a fórmula proposicionalestabelecida na linha (6) da demonstração acima é obtida ao seconsiderar, nesta ordem, as fórmulas proposicionais contidasnas linhas (2) e (3), as quais compõem a regra de inferênciaModus Ponendo-Ponens (MP): isto é: (r V p) --) (q li s),(rV p) I-(q11 s).

Já o resultadoa apresentado na linha (7), é a conclusão doDilema Construtivo (DC), ao se considerar as fórmulasproposicionais contidas nas linhas (1), (5) e (4), nesta ordem.

Assim, o procedimento de decisão repete-se, sucessiva-mente, linha-a-linha, até obter-se o resultado estabelecido nalinha (12), o qual reproduz a conclusão do dado argumento,comprovando sua legitimidade.

E importante notar, em contrapartida, que as Regras deInferência, tomadas anteriormente, não constituem as únicasformas básicas de argumentos válidos, apenas consagram umrol preliminar, porquanto, cada argumento válido poderá, depen-dendo da complexidade das estruturas a serem analisadas,constituir uma nova Regra Inferencial para se demonstrar outrasestruturas que lhe sejam superiores.

O assunto reunido nos parágrafos antecedentes diz respeito,pela natureza particular de sua concepção e segundo a formaapresentada (como não poderiadeixarde ser), a uma introduçãoà questão dos critérios de validade de raciocfnios formaisinseridos em Lógica Matemática; pois que, emprestando àsemântica um maior rigor, seria um sofisma pretender esgotartoda a abrangência do tema neste epítome.

Para além de lugares comuns, a investigação no presenteensaio objetivou apontar alguns questionamentos inicias, departicular importância, na perspectiva de orientar a análiselógica de raciocínios abstratos que dizem respeito não somenteà Lógica Matemática como, também, à própria Matemática.Saliente-se, uma vez mais, que o assunto aqui abordado encon-tra-se em pleno desenvolvimento e apresentar, neste referencial,uma conclusão, mesmo que provisória, seria um ato imperdoá-vel, dada a complexidade e as múltiplas dimensões que tal teoriapode atingir.

Referências Bibliográficas01. DIAS. Canos Magno Corrêa. Lógica Matemática - Uma introdução ao

Cálculo Proposicional. Revista Acadêmica, Cur~l>a, março. 1991.vol. 1, 55p.

AIII02. DIAS, Carlos Magno Corrêa. As leis lógicas do pensar coerente.

Revista Acadêmica, Curítíba, setembro, 1991. Vol. 1. 59p.