Teoria das Estruturas - Aula 17 - jjscremin.comjjscremin.com/aulas/teoria/TE_017.pdf · Prof. Juliano J. Scremin Teoria das Estruturas - Aula 17 Análise Matricial de Treliças via

Prof. Juliano J. Scremin

Teoria das Estruturas - Aula 17

Análise Matricial de Treliças via Método da Rigidez • Fundamentos da Análise Matricial; • Matriz de Rigidez Elementar de Barra de Treliça; • Matrizes de Transformação de Deslocamentos e Forças; • Matriz de Rigidez Elementar em Coordenadas Globais; • Montagem das Matrizes e Vetores Globais e

Determinação dos Deslocamentos e Esforços;

1

Aula 17 - Seção 1: Fundamentos da Análise Matricial

2

Análise Matricial - Introdução

3

• A análise matricial pode ser feita empregando os dois métodos já vistos para cálculo de estruturas hiperestáticas, a saber:

Método das Forças

- A definição do sistema principal depende da escolha dos hiperestáticos o que pode incorrer em sistemas lineares inadequados;

- Exige abordagens diferentes para estruturas isostáticas e hiperestáticas;

- Deslocamentos não são obtidos diretamente;

Método dos Deslocamentos

- Sistema principal único definido em função das propriedades geométricas e do material da estrutura;

- Permite analisar estruturas isostáticas e hiperestáticas indistintamente;

- Deslocamentos são obtidos diretamente assim como as forças;

Análise Matricial + Método dos Deslocamentos

4

• A aplicação da análise matricial associada ao método dos deslocamentos (método da rigidez) requer :

1. Subdivisão da estrutura em elementos discretos (barras, vigas, pilares) ;

2. Identificação dos pontos extremos destes elementos com “nós”;

3. Definição de sistemas locais de coordenadas para cada elemento estrutural discretizado;

4. Definição de um sistema de coordenadas global para toda a estrutural e respectivas correlações com os sistemas locais de cada elemento.

Identificação de Elementos e Nós

5

• O primeiro passo para aplicação matricial do método da rigidez é identificar os elementos estruturais e seus respectivos nós.

o Elementos Estruturais numeração dentro de quadros o Nós numeração dentro de círculos

Sistema Local e Sistema Global de Coordenadas

• Dado que cargas e deslocamentos são quantidades vetoriais é necessário estabelecer sistemas de coordenadas para representação destes.

o Coordenadas Locais x’ e y’ o Coordenadas Globais x e y

Indeterminação Cinemática (1)

• Os graus de liberdade não restringidos são as variáveis primárias do método dos deslocamentos (rigidez).

• Em uma treliça cada nó possui 2 graus de liberdade (translações na vertical e horizontal) sendo estes numerados conforme indicação na figura.

• Na treliça esboçada os seguintes graus de liberdade podem ser identificados:

Graus de liberdade não restringidos: 1 ao 5

Graus de liberdade restringidos:

6 ao 8

Indeterminação Cinemática (2)

• Por padrão os graus de liberdade não restringidos são identificados com os primeiros números (números menores) e os graus de liberdade restringidos com os últimos números (maiores números).

• A razão para isso será elucidada mais adiante porém tem relação com a possibilidade de particionar a matriz de rigidez da estrutura identificando de forma mais direta onde se encontram os graus de liberdade restringidos, os quais se destinam ao cálculo das reações de apoio.

Graus de liberdade não restringidos: 1 ao 5

Graus de liberdade restringidos:

6 ao 8

Aula 17 - Seção 2: Matriz de Rigidez Elementar de uma Barra de Treliça

9

Matriz de Rigidez Elementar(1)

• Um elemento de treliça pode sofrer deslocamentos relativos somente ao longo de seu eixo longitudinal ( eixo x’).

• Por tanto somente são possíveis dois deslocamentos independentes, a saber, os deslocamentos nos extremos do elemento.

10

Matriz de Rigidez Elementar (2)

• Quando um deslocamento positivo 𝑑𝑑𝑁𝑁 é imposto na extremidade 𝑁𝑁 do elemento de treliça, são desenvolvidas forças em cada extremidade.

• Note-se que 𝒒𝒒𝒒𝑭𝑭 é negativo por agir como reação e em sentido contrário ao sentido positivo do eixo local x’.

11

𝑞𝑞𝒒𝑁𝑁 =𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑁𝑁

𝑞𝑞𝒒𝐹𝐹 = −𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑁𝑁


• De igual maneira, quando um deslocamento positivo 𝑑𝑑𝐹𝐹 é imposto na extremidade 𝐹𝐹 do elemento de treliça, também são desenvolvidas forças nas extremidades.

• Note-se porém, que estas possuem sinais contrários as anteriores.

12

𝑞𝑞𝑞𝑁𝑁 = −𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿 𝑑𝑑𝐹𝐹

𝑞𝑞𝑞𝐹𝐹 =𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿 𝑑𝑑𝐹𝐹


• Por superposição de efeitos tem-se:

13

𝑞𝑞𝐹𝐹 = 𝑞𝑞𝒒𝐹𝐹 + 𝑞𝑞𝑞𝐹𝐹 = −𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿𝑑𝑑𝑁𝑁 +

𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿𝑑𝑑𝐹𝐹

𝑞𝑞𝑁𝑁 = 𝑞𝑞𝒒𝑁𝑁 + 𝑞𝑞𝑞𝑁𝑁 =𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿𝑑𝑑𝑁𝑁 −



• Dispondo matricialmente:

14

𝑞𝑞𝐹𝐹 = −𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿𝑑𝑑𝑁𝑁 +


𝑞𝑞𝑁𝑁 =𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿𝑑𝑑𝑁𝑁 −

𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿𝑑𝑑𝐹𝐹 𝑞𝑞𝑁𝑁

𝑞𝑞𝐹𝐹 =

𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿

−𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿

−𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿


𝑑𝑑𝑁𝑁𝑑𝑑𝐹𝐹

𝑞𝑞𝑁𝑁𝑞𝑞𝐹𝐹 =


1 −1−1 1


𝒒𝒒 = 𝒌𝒌 𝒒 𝒅𝒅

Aula 17 - Seção 3: Matrizes de Transformação de Deslocamentos e Forças

15

Matriz de Transformação (1)

• Uma treliça é composta de muitos elementos (barras de treliça).

• Assim sendo, agora será definido um método para transformar o vetor de forças {𝒒𝒒} e o vetor de deslocamentos {𝒅𝒅}, definidos conforme o sistema local de coordenadas (𝑥𝑥′, 𝑦𝑦𝒒), em suas respectivas coordenadas no sistema global (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)

16

Matriz de Transformação (2)

• Os menores ângulos entre o sentidos positivos do sistema de eixos (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) e o eixo positivo 𝑥𝑥𝒒 do sistema local (𝑥𝑥′,𝑦𝑦𝒒) serão denominados 𝜃𝜃𝑥𝑥 e 𝜃𝜃𝑦𝑦 .

• Os cossenos destes ângulos serão:

𝝀𝝀𝒙𝒙 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽𝒙𝒙

𝝀𝝀𝒚𝒚 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽𝒚𝒚

17

𝜆𝜆𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝑥𝑥 =𝑥𝑥𝐹𝐹 − 𝑥𝑥𝑁𝑁

𝐿𝐿=

𝑥𝑥𝐹𝐹 − 𝑥𝑥𝑁𝑁𝑥𝑥𝐹𝐹 − 𝑥𝑥𝑁𝑁 2 + 𝑦𝑦𝐹𝐹 − 𝑦𝑦𝑁𝑁 2

𝜆𝜆𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝑦𝑦 =𝑦𝑦𝐹𝐹 − 𝑦𝑦𝑁𝑁

𝐿𝐿=

𝑦𝑦𝐹𝐹 − 𝑦𝑦𝑁𝑁𝑥𝑥𝐹𝐹 − 𝑥𝑥𝑁𝑁 2 + 𝑦𝑦𝐹𝐹 − 𝑦𝑦𝑁𝑁 2

Matriz de Transformação de Deslocamentos (1)

• Em coordenadas globais cada elemento estrutural possui 2 graus e liberdade ou seja: nó N 𝑫𝑫𝑵𝑵𝒙𝒙 e 𝑫𝑫𝑵𝑵𝒚𝒚 nó F 𝑫𝑫𝑭𝑭𝒙𝒙 e 𝑫𝑫𝑭𝑭𝒚𝒚

• Considerando cada um destes deslocamentos globais separadamente tem-se que:

18

𝑑𝑑𝑁𝑁 = 𝐷𝐷𝑁𝑁𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑁𝑁𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝑦𝑦

𝑑𝑑𝐹𝐹 = 𝐷𝐷𝐹𝐹𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝐹𝐹𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝑦𝑦


• Ressaltando: Coordenadas Globais: nó N 𝑫𝑫𝑵𝑵𝒙𝒙 e 𝑫𝑫𝑵𝑵𝒚𝒚 nó F 𝑫𝑫𝑭𝑭𝒙𝒙 e 𝑫𝑫𝑭𝑭𝒚𝒚 Coordenadas Locais: nó N 𝒅𝒅𝑵𝑵 nó F 𝒅𝒅𝑭𝑭 Lembrando que: 𝝀𝝀𝒙𝒙 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽𝒙𝒙 ; 𝝀𝝀𝒚𝒚 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽𝒚𝒚

19

𝑑𝑑𝑁𝑁 = 𝐷𝐷𝑁𝑁𝑥𝑥𝜆𝜆𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑁𝑁𝑦𝑦𝜆𝜆𝑦𝑦

𝑑𝑑𝐹𝐹 = 𝐷𝐷𝐹𝐹𝑥𝑥𝜆𝜆𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝐹𝐹𝑦𝑦𝜆𝜆𝑦𝑦


• Escrevendo em forma matricial:

20

𝑑𝑑𝑁𝑁 = 𝐷𝐷𝑁𝑁𝑥𝑥𝜆𝜆𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑁𝑁𝑦𝑦𝜆𝜆𝑦𝑦

𝑑𝑑𝐹𝐹 = 𝐷𝐷𝐹𝐹𝑥𝑥𝜆𝜆𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝐹𝐹𝑦𝑦𝜆𝜆𝑦𝑦


= 𝜆𝜆𝑥𝑥 𝜆𝜆𝑦𝑦0 0

0 0𝜆𝜆𝑥𝑥 𝜆𝜆𝑦𝑦

𝐷𝐷𝑁𝑁𝑥𝑥𝐷𝐷𝑁𝑁𝑦𝑦𝐷𝐷𝐹𝐹𝑥𝑥𝐷𝐷𝐹𝐹𝑦𝑦

𝒅𝒅 = 𝑻𝑻 𝑫𝑫

𝒅𝒅 : vetor de deslocamentos em coordenadas locais 𝑫𝑫 : vetor de deslocamentos

em coordenadas globais 𝑻𝑻 : matriz de transformação

de coordenadas globais em coordenadas locais

Matriz de Transformação de Forças (1)

• Considerando a aplicação de uma força 𝑞𝑞𝑁𝑁 no nó N do elemento de barra tem-se:

• Aplicando uma força 𝑞𝑞𝐹𝐹 no nó F do elemento de barra tem-se:

21

𝑄𝑄𝑁𝑁𝑥𝑥 = 𝑞𝑞𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝑥𝑥 = 𝑞𝑞𝑁𝑁𝜆𝜆𝑥𝑥

𝑄𝑄𝑁𝑁𝑦𝑦 = 𝑞𝑞𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝑦𝑦 = 𝑞𝑞𝑁𝑁𝜆𝜆𝑦𝑦

𝑄𝑄𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝑞𝑞𝐹𝐹𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝑥𝑥 = 𝑞𝑞𝐹𝐹𝜆𝜆𝑥𝑥

𝑄𝑄𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝑞𝑞𝐹𝐹𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝑦𝑦 = 𝑞𝑞𝐹𝐹𝜆𝜆𝑦𝑦


• Escrevendo a decomposição das forças no sistema de eixos global partindo do sistema de eixos local:

22

𝑄𝑄𝑁𝑁𝑥𝑥 = 𝑞𝑞𝑁𝑁𝜆𝜆𝑥𝑥 𝑄𝑄𝑁𝑁𝑦𝑦 = 𝑞𝑞𝑁𝑁𝜆𝜆𝑦𝑦 𝑄𝑄𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝑞𝑞𝐹𝐹𝜆𝜆𝑥𝑥 𝑄𝑄𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝑞𝑞𝐹𝐹𝜆𝜆𝑦𝑦

𝑄𝑄𝑁𝑁𝑥𝑥𝑄𝑄𝑁𝑁𝑦𝑦𝑄𝑄𝐹𝐹𝑥𝑥𝑄𝑄𝐹𝐹𝑦𝑦

=

𝜆𝜆𝑥𝑥 0𝜆𝜆𝑦𝑦 00 𝜆𝜆𝑥𝑥0 𝜆𝜆𝑦𝑦

𝑞𝑞𝑁𝑁𝑞𝑞𝐹𝐹

𝑸𝑸 = 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝒒𝒒

𝒒𝒒 : vetor de cargas em coordenadas locais 𝑸𝑸 : vetor de cargas em coordenadas globais

𝑻𝑻 : matriz de transformação de coordenadas locais

em coordenadas globais


• Vale salientar que a matriz de transformação de forças é o transposto da matrizes de transformação de deslocamentos.

23

𝑇𝑇 𝑇𝑇 =


𝑇𝑇 = 𝜆𝜆𝑥𝑥 𝜆𝜆𝑦𝑦

0 0


Matriz de Transformação de Deslocamentos

Matriz de Transformação de Forças

Aula 17 - Seção 4: Matriz de Rigidez Elementar em Coordenadas Globais

24

Matriz de Rigidez Elementar em Coordenadas Globais (1)

• Vamos agora combinar os resultados das seções anteriores e determinar a matriz de rigidez para um elemento correlacionando os esforços globais 𝑄𝑄 e os deslocamentos globais 𝐷𝐷 partindo dos esforços locais 𝑞𝑞 e dos deslocamentos locais 𝑑𝑑 ;

25


𝑸𝑸 = 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝒒𝒒 𝒅𝒅 = 𝑻𝑻 𝑫𝑫 𝒒𝒒 = 𝑻𝑻 𝑸𝑸

𝑻𝑻 𝑸𝑸 = 𝒌𝒌 𝒒 𝑻𝑻 𝑫𝑫

𝑸𝑸 = 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝒌𝒌 𝒒 𝑻𝑻 𝑫𝑫


𝒅𝒅 = 𝑻𝑻 𝑫𝑫


• Seguindo com a manipulação define-se:

• Ou seja:

26

𝑸𝑸 = 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝒌𝒌 𝒒 𝑻𝑻 𝑫𝑫

𝒌𝒌 = 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝒌𝒌 𝒒 𝑻𝑻

𝒌𝒌 𝒒 : matriz de rigidez em coordenadas locais 𝒌𝒌 : matriz de rigidez em

coordenadas globais

𝑸𝑸 = 𝒌𝒌 𝑫𝑫

𝒌𝒌 = 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝒌𝒌 𝒒 𝑻𝑻 [𝑘𝑘] =



1 −1−1 1

𝜆𝜆𝑥𝑥 𝜆𝜆𝑦𝑦0 0



• Por fim, em termos dos cossenos diretores tem-se que:

27

[𝑘𝑘] =𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿

𝜆𝜆𝑥𝑥2 𝜆𝜆𝑥𝑥𝜆𝜆𝑦𝑦 −𝜆𝜆𝑥𝑥

2 −𝜆𝜆𝑥𝑥𝜆𝜆𝑦𝑦𝜆𝜆𝑥𝑥𝜆𝜆𝑦𝑦 𝜆𝜆𝑦𝑦

2 −𝜆𝜆𝑥𝑥𝜆𝜆𝑦𝑦 −𝜆𝜆𝑦𝑦2

−𝜆𝜆𝑥𝑥2

−𝜆𝜆𝑥𝑥𝜆𝜆𝑦𝑦

−𝜆𝜆𝑥𝑥𝜆𝜆𝑦𝑦−𝜆𝜆𝑦𝑦

2𝜆𝜆𝑥𝑥

2

𝜆𝜆𝑥𝑥𝜆𝜆𝑦𝑦

𝜆𝜆𝑥𝑥𝜆𝜆𝑦𝑦𝜆𝜆𝑦𝑦

2

𝑁𝑁𝑥𝑥 𝑁𝑁𝑦𝑦 𝐹𝐹𝑥𝑥 𝐹𝐹𝑦𝑦


Aula 17 - Seção 5: Montagem das Matrizes e Vetores Globais e Determinação dos Deslocamentos e Esforços

28

Matriz de Rigidez Global (da Estrutura) (1)

• Dado que todas as matrizes elementares das barras componentes da treliça tenham sido formadas, o passo seguinte é a montagem (ou espalhamento) destas de modo a conformar a matriz de rigidez global de toda a estrutura [𝐾𝐾].

• Este processo depende de uma cuidadosa identificação dos elementos em cada matriz elementar por meio dos quatro números que nomeiam os graus de liberdade envolvidos, ou seja, 𝑁𝑁𝑥𝑥 , 𝑁𝑁𝑦𝑦 , 𝐹𝐹𝑥𝑥 e 𝐹𝐹𝑦𝑦

29

[𝑘𝑘] =𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿

𝜆𝜆𝑥𝑥2 𝜆𝜆𝑥𝑥𝜆𝜆𝑦𝑦 −𝜆𝜆𝑥𝑥

2 −𝜆𝜆𝑥𝑥𝜆𝜆𝑦𝑦𝜆𝜆𝑥𝑥𝜆𝜆𝑦𝑦 𝜆𝜆𝑦𝑦

2 −𝜆𝜆𝑥𝑥𝜆𝜆𝑦𝑦 −𝜆𝜆𝑦𝑦2

−𝜆𝜆𝑥𝑥2

−𝜆𝜆𝑥𝑥𝜆𝜆𝑦𝑦

−𝜆𝜆𝑥𝑥𝜆𝜆𝑦𝑦−𝜆𝜆𝑦𝑦

2𝜆𝜆𝑥𝑥

2

𝜆𝜆𝑥𝑥𝜆𝜆𝑦𝑦

𝜆𝜆𝑥𝑥𝜆𝜆𝑦𝑦𝜆𝜆𝑦𝑦

2




• Para compreender o processo de montagem tome-se como exemplo a estrutura abaixo onde todas as barras possuem AE constante:

30

4 m

3 m 2 kN


• Para a barra [1] os cossenos são:

31

4 m

3 m

𝜆𝜆𝑥𝑥 =3 − 0

3= 1

𝜆𝜆𝑦𝑦 =0 − 0

3= 0

• Substituindo os cossenos na expressão do slide 42:

[𝑘𝑘] = 𝐴𝐴𝐴𝐴

1/3 0 −1/3 00 0 0 0

−1/3 0 1/3 00 0 0 0

1 2 3 4

1 2 3 4


• Para a barra [2] os cossenos são:

32

4 m

3 m

𝜆𝜆𝑥𝑥 =3 − 0

5=

35

𝜆𝜆𝑦𝑦 =4 − 0

5=

45

• Substituindo os cossenos na expressão do slide 42:


9/125 12/125 −9/125 −12/12512/125 16/125 −12/125 −16/125−9/125 −12/125 9/125 12/125−12/125 −16/125 12/125 16/125

1 2 5 6

1 2 5 6


• No processo de montagem da matriz global da estrutura vale salientar que como o nó 2 é comum às duas barras, os graus de liberdade (1) e (2) aparecem em ambas as matrizes elementares.

33


9/125 12/125 −9/125 −12/12512/125 16/125 −12/125 −16/125−9/125 −12/125 9/125 12/125−12/125 −16/125 12/125 16/125

1 2 5 6 1 2 5 6


1/3 0 −1/3 00 0 0 0

−1/3 0 1/3 00 0 0 0

1 2 3 4 1 2 3 4

Matriz Elementar da Barra [1]

Matriz Elementar da Barra [2]

Espalhamento das Matrizes Elementares (1)

34

𝐴𝐴𝐴𝐴

9/125 12/125 −9/125 −12/12512/125 16/125 −12/125 −16/125−9/125 −12/125 9/125 12/125−12/125 −16/125 12/125 16/125

1 2 5 6 1 2 5 6

𝐴𝐴𝐴𝐴

1/3 0 −1/3 00 0 0 0

−1/3 0 1/3 00 0 0 0

1 2 3 4 1 2 3 4

Matriz Elementar da Barra [1] Matriz Elementar da Barra [2]

𝐴𝐴𝐴𝐴

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Matriz Global da Estrutura


35

𝐴𝐴𝐴𝐴

9/125 12/125 −9/125 −12/12512/125 16/125 −12/125 −16/125−9/125 −12/125 9/125 12/125−12/125 −16/125 12/125 16/125

1 2 5 6 1 2 5 6

𝐴𝐴𝐴𝐴

1/3 0 −1/3 00 0 0 0

−1/3 0 1/3 00 0 0 0

1 2 3 4 1 2 3 4


𝐴𝐴𝐴𝐴

1/3 0 −1/3 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−1/3 0 1/3 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Matriz Global da Estrutura


36

𝐴𝐴𝐴𝐴

9/125 12/125 −9/125 −12/12512/125 16/125 −12/125 −16/125−9/125 −12/125 9/125 12/125−12/125 −16/125 12/125 16/125

1 2 5 6 1 2 5 6

𝐴𝐴𝐴𝐴

1/3 0 −1/3 00 0 0 0

−1/3 0 1/3 00 0 0 0

1 2 3 4 1 2 3 4


𝐴𝐴𝐴𝐴

1/3 + 9/125 0 + 12/125 −1/3 0 −9/125 −12/1250 + 12/125 0 + 16/125 0 0 −12/125 −16/125

−1/3 0 1/3 0 0 00 0 0 0 0 0

−9/125 −12/125 0 0 9/125 12/125−12/125 −16/125 0 0 12/125 16/125

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Matriz Global da Estrutura Sombreamento

Matriz de Rigidez Global Final

37

𝐴𝐴𝐴𝐴

152/375 12/125 −1/3 0 −9/125 −12/12512/125 16/125 0 0 −12/125 −16/125−1/3 0 1/3 0 0 0

0 0 0 0 0 0−9/125 −12/125 0 0 9/125 12/125−12/125 −16/125 0 0 12/125 16/125

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

Graus de Liberdades Restringidos

4 m

3 m

Vetor de Carga Global

• Dado que a matriz de rigidez global está composta resta agora a composição do vetor de cargas global {𝑄𝑄}.

• No caso de uma treliça, os carregamentos são sempre cargas concentradas aplicadas nos nós o que facilita a criação do vetor de cargas global que resume-se a identificadas de a qual grau de liberdade corresponde cada carga.

38

4 m

3 m 2 kN

𝑄𝑄 =

0−2𝑄𝑄3𝑄𝑄4𝑄𝑄5𝑄𝑄6

1 2 3 4 5 6



= 𝐴𝐴𝐴𝐴

152/375 12/125 −1/3 0 −9/125 −12/12512/125 16/125 0 0 −12/125 −16/125−1/3 0 1/3 0 0 0

0 0 0 0 0 0−9/125 −12/125 0 0 9/125 12/125−12/125 −16/125 0 0 12/125 16/125

𝐷𝐷1𝐷𝐷20000

Sistema de Equações da Análise Matricial (1)

• Montando um sistema de equações com o vetor de carga global {𝑄𝑄} e a matriz de rigidez global [𝐾𝐾] resta como variável o vetor de deslocamentos nodais globais {𝐷𝐷}.

39

𝑸𝑸 = 𝑲𝑲 𝑫𝑫


• Entretanto a solução do sistema é impossível da maneira como ele se apresenta pois no vetor de carga apresentam-se como incógnitas as reações de apoio 𝑄𝑄3 , 𝑄𝑄4 , 𝑄𝑄5 e 𝑄𝑄6 correlatas aos graus de liberdade restringidos (cujos deslocamentos são conhecidos e valem 0 “zero” )

• Portanto, o sistema deve ser resumido aos graus de liberdade não restringidos.

40


= 𝐴𝐴𝐴𝐴

152/375 12/125 −1/3 0 −9/125 −12/12512/125 16/125 0 0 −12/125 −16/125−1/3 0 1/3 0 0 0

0 0 0 0 0 0−9/125 −12/125 0 0 9/125 12/125−12/125 −16/125 0 0 12/125 16/125



Graus de Liberdades Não Restringidos


• Dada a numeração adequada nomeando os graus de liberdade não restringidos com os números menores e os graus restringidos com os números maiores é possível fazer um recorte no sistema de equações conforme abaixo:

41


= 𝐴𝐴𝐴𝐴

152/375 12/125 −1/3 0 −9/125 −12/12512/125 16/125 0 0 −12/125 −16/125−1/3 0 1/3 0 0 0

0 0 0 0 0 0−9/125 −12/125 0 0 9/125 12/125−12/125 −16/125 0 0 12/125 16/125


𝑄𝑄𝑘𝑘𝑄𝑄𝑢𝑢

= 𝐾𝐾11 𝐾𝐾12𝐾𝐾21 𝐾𝐾22

𝐷𝐷𝑢𝑢𝐷𝐷𝑘𝑘


{𝑄𝑄𝑘𝑘} : cargas externas conhecidas {𝐷𝐷𝑘𝑘} : deslocamentos conhecidos (no caso em particular nulos) {𝑄𝑄𝑢𝑢} : cargas externas (reações de aposio) desconhecidas {𝐷𝐷𝑢𝑢} : deslocamentos desconhecidos

42


= 𝐴𝐴𝐴𝐴

152/375 12/125 −1/3 0 −9/125 −12/12512/125 16/125 0 0 −12/125 −16/125−1/3 0 1/3 0 0 0

0 0 0 0 0 0−9/125 −12/125 0 0 9/125 12/125−12/125 −16/125 0 0 12/125 16/125





Cálculo dos Deslocamentos (1)

{𝑄𝑄𝑘𝑘} : cargas externas conhecidas {𝐷𝐷𝑘𝑘} : deslocamentos conhecidos (no caso em particular nulos) {𝑄𝑄𝑢𝑢} : cargas externas (reações de apoio) desconhecidas {𝐷𝐷𝑢𝑢} : deslocamentos desconhecidos

43




{𝑄𝑄𝑘𝑘} = [𝐾𝐾11]{𝐷𝐷𝑢𝑢} + [𝐾𝐾12]{𝐷𝐷𝑘𝑘} Como 𝐷𝐷𝑘𝑘 = {0}

{𝑄𝑄𝑘𝑘} = [𝐾𝐾11]{𝐷𝐷𝑢𝑢}

Cálculo dos Deslocamentos (2)

• Resolvendo o sistema linear tem-se que:

44

{𝑄𝑄𝑘𝑘} = [𝐾𝐾11]{𝐷𝐷𝑢𝑢}

0−2 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 152 375⁄ 12 125⁄

12 125⁄ 16 125⁄𝐷𝐷1𝐷𝐷2

𝐷𝐷1 =4,5𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐷𝐷2 = −19𝐴𝐴𝐴𝐴

Cálculo das Reações de Apoios (1)

{𝑄𝑄𝑘𝑘} : cargas externas conhecidas {𝐷𝐷𝑘𝑘} : deslocamentos conhecidos (no caso em particular nulos) {𝑄𝑄𝑢𝑢} : cargas externas (reações de apoio) desconhecidas {𝐷𝐷𝑢𝑢} : deslocamentos desconhecidos

45




{𝑄𝑄𝑢𝑢} = [𝐾𝐾21]{𝐷𝐷𝑢𝑢} + [𝐾𝐾22]{𝐷𝐷𝑘𝑘} Como 𝐷𝐷𝑘𝑘 = {0}

{𝑄𝑄𝑢𝑢} = [𝐾𝐾21]{𝐷𝐷𝑢𝑢}

Cálculo das Reações de Apoios (2)

• Multiplicando as matrizes acima tem-se:

46

{𝑄𝑄𝑢𝑢} = [𝐾𝐾21]{𝐷𝐷𝑢𝑢}

𝑄𝑄3𝑄𝑄4𝑄𝑄5𝑄𝑄6

= 𝐴𝐴𝐴𝐴

− 1 3⁄ 00 0

− 9 125⁄ − 12 125⁄− 12 125⁄ − 16 125⁄

𝐷𝐷1𝐷𝐷2

𝐷𝐷1 =4,5𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐷𝐷2 = −19𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑄𝑄3𝑄𝑄4𝑄𝑄5𝑄𝑄6

=

−1,50

1,52

𝑘𝑘𝑁𝑁

Cálculo dos Esforços Internos nas Barras (1)

• Uma vez conhecidas as reações de apoio resta agora o problema de calcular os esforços internos. Para tanto é necessário relembrar as equações abaixo:

47

𝒒𝒒 = 𝒌𝒌 𝒒 𝒅𝒅 𝒅𝒅 = 𝑻𝑻 𝑫𝑫

𝒒𝒒 = 𝒌𝒌 𝒒 𝑻𝑻 𝑫𝑫

{𝑞𝑞} : vetor de cargas nodais elementares ( locais de cada barra ) {𝐷𝐷} : vetor de deslocamentos globais [𝑇𝑇] : matriz de transformação de coord. globais para coord. locais [𝑘𝑘]𝒒 : matriz de rigidez elementar


• Expandindo a equação abaixo:

• Como 𝑞𝑞𝑁𝑁 = −𝑞𝑞𝐹𝐹 dada a condição de equilíbrio, somente uma das forças precisa ser calculada, que no caso será 𝑞𝑞𝐹𝐹:

48

𝒒𝒒 = 𝒌𝒌 𝒒 𝑻𝑻 𝑫𝑫

𝑞𝑞𝑁𝑁𝑞𝑞𝐹𝐹

=𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿

1 −1−1 1

𝜆𝜆𝑥𝑥 𝜆𝜆𝑦𝑦0 0



𝑞𝑞𝐹𝐹 =𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿

−𝜆𝜆𝑥𝑥 −𝜆𝜆𝑦𝑦 𝜆𝜆𝑥𝑥 𝜆𝜆𝑦𝑦



• Aplicando a expressão anterior para as duas barras da estrutura:

49

𝑞𝑞𝐹𝐹 =𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿

−𝜆𝜆𝑥𝑥 −𝜆𝜆𝑦𝑦 𝜆𝜆𝑥𝑥 𝜆𝜆𝑦𝑦


Esforço Interno da Barra [1] 𝑞𝑞[1] =

𝐴𝐴𝐴𝐴3 −1 0 1 0

1𝐴𝐴𝐴𝐴

4,5−19

00

= −1,5 𝑘𝑘𝑁𝑁 1 2 3 4 1

2 3 4

Esforço Interno da Barra [2] 𝑞𝑞[2] =

𝐴𝐴𝐴𝐴3 −

35 −

45

35

45

1𝐴𝐴𝐴𝐴

4,5−19

00

= 2,5 𝑘𝑘𝑁𝑁

1 2 5 6 1 2 5 6

FIM

50

Exercício 17.1

51

• Determinar o esforço axial em cada uma das barras indicadas na montagem abaixo.

• Para todas as barras: E = 200 GPa A = 1000 mm²

0,9 m

0,9 m

1,2 m 1,8 m

20 kN

Exercício 17.2

52

• Determinar o esforço axial na barra [2] da estrutura abaixo quando o nó (1) sofre um deslocamento vertical descendo 25 mm.

• Todas as barras possuem o mesmo EA = 8x103 kN.

Exercício 17.3

53

• Determinar o esforço axial na barra [2] se a sua temperatura for aumentada em 55°C.

• Para todas as barras: E = 200 Gpa; A = 1000 mm²; α = 11,7x10-6 /ºC;

3 m 4 m

4 m

2 kN

Exercício 17.4

54

• Calcular os deslocamentos D1 até D5, as reações de apoio e o esforço interno na barra [2] da treliça indicada abaixo empregando a análise matricial via método dos deslocamentos.

• Todas as barras possuem o mesmo EA.

4 kN

2 kN

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