Teoria das Projeções - Engenharia Civil · Teoria das Projeções Prof. Cristiano Arbex 2012. ... após o rebatimento dos planos, dificultando a interpretação. Método Mongeano

Teoria das ProjeçõesTeoria das Projeções

Prof. Cristiano ArbexProf. Cristiano Arbex

2012

IntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntrodução• O objetivo desta aula é apresentar os conceitosO objetivo desta aula é apresentar os conceitos básicos da geometria descritiva, destacando os tipos principais de projeção.principais de projeção.

• Inicia‐se pelo estudo do ponto e depois estende‐se os conceitos para as retas e planosos conceitos para as retas e planos.

• Todo objeto pode ser identificado através dos i t l tseguintes elementos:

– Vértices;

– Arestas;

– Faces.

Geometria DescritivaGeometria Descritiva• É uma ciência cujo objetivo é representar no plano os• É uma ciência cujo objetivo é representar no plano os

objetos do espaço (tridimensionais), de forma que neste plano seja possível resolver todos os problemas relativos p j p pa estes objetos.

• Mostra como deve ser executada a representação plana de um objeto, de forma que seja possível visualizar e deduzir sua forma, assim como as dimensões e distribuição dos elementos que constituem o objetodistribuição dos elementos que constituem o objeto.

• Assim, a representação gráfica é a reprodução de um objeto tridimensional no plano através de suasobjeto tridimensional no plano, através de suas projeções, mantendo seu aspecto e evidenciando suas dimensões.

Conceito de ProjeçãoConceito de Projeção

• É a intersecção da reta projetante (que contem o• É a intersecção da reta projetante (que contem o centro de projeção e o objeto a ser projetado) com um anteparo (plano de projeção).um anteparo (plano de projeção).

• Tipos:– Cônica (ou central): as retas projetantes partem de umCônica (ou central): as retas projetantes partem de um centro próprio (O), que está a uma distância finita do objeto e as projetantes são convergentes.

– Cilíndrica (ou paralela): as retas projetantes são todas paralelas entre si (como em um cilindro). O centro de projeção é do tipo impróprio (O∞) e está localizado noprojeção é do tipo impróprio (O∞), e está localizado no infinito (muito distante do objeto e do plano de projeção). Pode ser ortogonal (perpendicular ao plano) ou oblíqua(i li d l ã l d j ã )(inclinada em relação ao plano de projeção).

Tipos de ProjeçãoTipos de Projeção• Cônica: Cilí d i• Cônica: • Cilíndrica:

• Destaque para a Projeção• Destaque para a Projeção Cilíndrica:

• Formação do centro impróprio:ç p p

Características da projeção:p j ç• Dado um ponto, é fácil obter sua projeção. Basta ligar o centro

de projeção ao ponto e prolongar a reta projetante atéde projeção ao ponto e prolongar a reta projetante até interceptar perpendicularmente o plano de projeção (projeção ortogonal).

• Mas dada a projeção de um ponto é possível obter o ponto?

• Infelizmente, com uma única projeção, é impossível encontrar p j ç po ponto, pois não se tem sua localização exata. Qualquer ponto em uma mesma projetante conduzirá à mesma projeção.

• Então, qual a solução?

• Pode‐se utilizar um dos seguintes métodos de projeção: – PROJEÇÃO COTADA.

– PROJEÇÃO MONGEANA.

Método da Projeção Cotada:j ç– É uma projeção cilíndrico‐ortogonal, feita num plano horizontal onde a cota (altura em relação ao plano dehorizontal, onde a cota (altura em relação ao plano de projeção) do ponto aparece entre parênteses, ao lado da projeção.

– O método foi idealizado pelo francês Felipe Büache, em 1737, para o levantamento da carta hidrográfica do Canal da Mancha. Em 1830 o método foi sistematizado pelos militares franceses. É um sistema gráfico‐analítico que utiliza somente uma projeção do objeto estudadouma projeção do objeto estudado.

– É aplicada em Desenho Topográfico para a representação de terrenos para traçado de curvas de nível perfis eterrenos, para traçado de curvas de nível, perfis e plataformas.

– É empregada, também, nos projetos de coberturas e telhados.É empregada, também, nos projetos de coberturas e telhados.

Método da Projeção Cotada:Método da Projeção Cotada:• Exemplos:

Método Mongeano de ProjeçãoMétodo Mongeano de Projeção

• Foi idealizado pelo matemático francês Gaspard Monge, no final do século XVIII.

C t i l d l j ã t l f it d i• Caracteriza‐se pela dupla projeção ortogonal, feita em dois planos perpendiculares entre si (plano horizontal e plano vertical) Estes planos são ilimitados em todos os sentidosvertical). Estes planos são ilimitados em todos os sentidos.

• A intersecção dos planos de projeção determina a chamada Linha de Terra (LT). Os ângulos formados por duas faces ( ) g pplanas são chamados de ângulos diedros. Assim, os dois planos de projeção definem quatro ângulos diedros retos, numerados no sentido anti‐horário: I, II, III e IV.


Método Mongeano de ProjeçãoMétodo Mongeano de Projeção• Definições:

• COTA é a distância de um ponto P ao Plano Horizontal (PH). Em épura é representada pela distância de sua projeção vertical até a linha de terra (LT)terra (LT).

• AFASTAMENTO é a distância de um ponto P ao plano Vertical (PV). Em épura é representada pela distância de sua projeção horizontal p p p p j çaté a linha de terra.

• ÉPURA é a representação de uma figura do espaço através de suas éprojeções no plano. Para obter a épura, gira‐se o Plano Horizontal de

Projeção (PH) em torno da Linha de Terra, no sentido horário, de tal forma que este coincida com o Plano Vertical de Projeção (PV). Estaforma que este coincida com o Plano Vertical de Projeção (PV). Esta nova representação recebe o nome de épura.

• NOTA: Na épura, as projeções do ponto pertencem à mesma reta perpendicular à LT. Esta reta é denominada linha de chamada.


• Espaço • Épura

Método Mongeano de ProjeçãoMétodo Mongeano de Projeção• Obtenção da Épura (ilustração):


• A projeção de um ponto no plano horizontal recebe o índice 1 e a projeção no plano vertical recebe o índice 2


• Ordem dos elementos de projeção: 1º Diedro

1° DIEDRO ‐PH ‐ observador, objeto, plano de projeção.PV ‐ observador, objeto, plano de projeção.



2° DIEDRO ‐PH ‐ observador, objeto, plano de projeçãoPV ‐ observador, plano de projeção, objeto



3° DIEDRO ‐PH ‐ observador, plano de projeção, objetoPV ‐ observador, plano de projeção, objeto



4° DIEDRO ‐PH ‐ observador, plano de projeção, objetoPV ‐ observador, objeto, plano de projeção

Método Mongeano de ProjeçãoMétodo Mongeano de Projeção• No Brasil, a ABNT, admite a representação tanto no 1° diedro,

como no 3° diedro, sendo a mais utilizada a do 1°diedro.

• A representação no 3° diedro é comum em indústrias estrangeiras, principalmente americanas.

Método Mongeano de ProjeçãoMétodo Mongeano de Projeção• No Desenho Técnico, os diedros pares (2° e 4°) não são

utilizados pois, em épura, ocorre sobreposição das projeções após o rebatimento dos planos, dificultando a interpretação.

Método Mongeano de ProjeçãoMétodo Mongeano de Projeção• Observações:

• 1) A solução de Gaspard Monge para o problema da determinação da forma e da posição de um objeto tridimensional no espaço, resulta numa representação bidimensional, através da dupla projeção cilíndrico‐ortogonal (horizontal e vertical)(horizontal e vertical).

• 2) O Sistema Mongeano de projeção, embora tenha permitido uma série de aplicações na resolução de problemas aindauma série de aplicações na resolução de problemas, ainda poderia ser aprimorado.

• 3) Após Monge sistematizar a Geometria Descritiva, um ) p g ,terceiro plano de projeção foi acrescentado por Gino Loria com a finalidade de melhor localizar os objetos no espaço.

Método Mongeano de ProjeçãoMétodo Mongeano de Projeção• Este terceiro plano de projeção, denominado Plano Lateral,

forma com o diedro conhecido um triedro, sendo perpendicular aos planos de projeção Horizontal e Vertical. O plano lateral fornecerá ma terceira projeção do objetoplano lateral fornecerá uma terceira projeção do objeto.

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