-
Teoria dos nmeros
Quando arranjamos os nmeros naturais em uma espiral e
des-tacamos os nmeros primos, observamos um intrigante e no
to-talmente explicado padro, chamado espiral de Ulam.
A teoria dos nmeros o ramo da matemtica pura queestuda
propriedades dos nmeros em geral, e em parti-cular dos nmeros
inteiros, bem como a larga classe deproblemas que surge no seu
estudo.
1 Histria1.0.1 Alvorecer da aritmtica
A primeira descoberta histrica de natureza aritmtica um
fragmento de uma tabela: a tbua de argila quebradaPlimpton 322
(Larsa, Mesopotmia, cerca de 1800 a.C.)contm uma lista de "ternos
pitagricos", ou seja, inteiros(a;b;c) tais que a2+b2=c2 . Os ternos
so muitos e bastanteelevados para terem sido obtidos pela fora
bruta. A posi-o sobre a primeira coluna diz: O takiltum da
diagonalque foi subtrado de tal forma que a largura ... [2]
O layout da tabela sugere [3] que foi construda por meiodo que
equivale, na linguagem moderna, identidade
12
x 1x
2+ 1 =
12
x+ 1x
2;
que est implcita nos exerccios rotineiros dos
antigosbabilnios.[4] Se algum outro mtodo foi utilizado,[5]
osternos foram inicialmente construdos e depois reordena-
A teoria de nmeros deriva-se da antiga aritmtica grega
deDiofanto.[1]
dos por c/a , presumivelmente para uso real como umatabela, ou
seja, com vista s suas aplicaes.Ns no sabemos o que essas aplicaes
podem ter sido,ou se poderia ter havido qualquer uma; a
astronomiababilnica, por exemplo, realmente oresceu s maistarde.
Tem sido sugerido, ao invs disso, que a tabelafosse uma fonte de
exemplos numricos para problemasescolares.[6][nota 1]
1.1 CaractersticasO termo aritmtica tambm utilizado para se
refe-rir teoria dos nmeros. Esse um termo antigo, queno mais to
popular como j foi. A teoria dos n-meros foi tambm chamada de
aritmtica superior, masesse termo tambm caiu em desuso. Entretanto,
esse
1
-
2 1 HISTRIA
Primeira edio de Disquisitiones Arithmeticae, de Carl Frie-drich
Gauss.
A tbua Plimpton 322
termo ainda aparece nos nomes de objetos matemticosrelacionados
(funes aritmticas, aritmtica de curvaselpticas, teorema fundamental
da aritmtica). Esse sen-tido do termo aritmtica no deve ser
confundido ou comaritmtica elementar, ou com o ramo da lgica que
es-tuda aritmtica de Peano como um sistema formal. Osmatemticos que
trabalham na rea de teoria dos nme-ros so chamados teoristas dos
nmeros.Tradicionalmente, a teoria dos nmeros o ramo da
Pierre de Fermat, um dos mais famosos teoristas dos nmeros.
matemtica pura que se preocupa com as proprieda-des dos nmeros
inteiros e que envolve muitos proble-mas que so facilmente
compreendidos mesmo por no-matemticos. A disciplina veio a
ocupar-se com umaclasse mais vasta de problemas que surgiram
natural-mente do estudo dos nmeros inteiros.
1.2 Subdivises
A teoria dos nmeros pode ser subdividida em vrioscampos, de
acordo com os mtodos que so usados e dasquestes que so
investigadas, a saber:
Teoria elementar dos nmeros: utiliza somente osmtodos
elementares da aritmtica para a verica-o e comprovao das
propriedades essenciais doconjunto dos nmeros inteiros e em
particular aspropriedades dos nmeros primos;
Teoria analtica dos nmeros: utiliza a anlise reale anlise
complexa, especialmente para estudar aspropriedades dos nmeros
primos;
-
3.2 Conjectura de Goldbach 3
Teoria algbrica dos nmeros: utiliza lgebra abs-trata e estuda os
nmeros algbricos;
Teoria geomtrica dos nmeros: utiliza mtodos ge-omtricos,
algbricos e analticos.
2 Sobre a teoria elementar dos n-meros
Normalmente, o primeiro contacto com a teoria dos n-meros por
meio da teoria elementar dos nmeros.Atravs desta disciplina podem
ser introduzidas proprie-dades bastante interessantes e notveis dos
nmeros intei-ros, mas, que ao serem propostas como questes a
seremresolvidas, ou teoremas a serem provados, so geralmentede
difcil soluo ou comprovao. Estas questes estoligadas basicamente a
trs tipos de pesquisas, a saber:
1. Estudos especcos sobre as propriedades dosnmeros primos;
2. Estudos envolvendo a pesquisa de algoritmos eci-entes para a
aritmtica bsica;
3. Estudos sobre a resoluo de equaes diofantinas.
Estas questes directamente ligadas ao estudo do con-junto dos
nmeros inteiros e o seu subconjunto: o con-junto dos nmeros
naturais.A ttulo de ilustrao, alguns dos muitos problemas quepodem
ser focalizados nestas trs reas da teoria elemen-tar dos nmeros so,
a seguir, rapidamente comentados.
3 Propriedades dos nmeros pri-mos
3.1 Teorema de Euclides"Existe uma quantidade innita de nmeros
pri-mos."
Euclides demonstrou este teorema da seguinte forma:Sabe-se que
os nmeros inteiros so primos ou mltiplosde primos.Isso facilmente
vericado quando factorizamos um n-mero inteiro em nmeros
primos.Exs: 8 = 2*2*2; 10 = 5*2; 42 = 3*2*7. (lembrando que2, 3, 5
e 7 so inteiros primos).Para um nmero inteiro qualquer M temos a
sua de-composio em factores primos (fatorao ou factoriza-o) da
seguinte forma: (P' * P * P"' * ...), onde P um nmero primo
qualquer que faz parte de sua factori-zao. E sabe-se que nenhum dos
nmeros primos que
compem a factorizao de M, integram a factorizaode M+1. Isso
signica que dois nmeros inteiros conse-cutivos possuem factorizaes
totalmente diferentes.A jogada de mestre de Euclides foi
que:Suponhamos que os nmeros primos sejam nitos. En-to existe um
nmero hipottico X cuja decomposioem factores primos a multiplicao
de todos os primosexistentes (P' * P * P"' * ...). Sendo assim o
nmeroseguinte X+1 no possui na sua factorizao nenhum dosprimos
citados na decomposio em factores do seu ante-cessor X. Logo X+1
outro primo ou multiplo de umprimo que no est na lista de
primos.Assim, Euclides provou por 'Absurdo' que o conjunto
dosnmeros primos innito.
3.2 Conjectura de Goldbach
"Pode-se exprimir os nmeros pares, maioresque 2, como a soma de
dois nmeros pri-mos?"[7]
Esta a denominada Conjectura de Goldbach, formuladaem 1746 e at
hoje no provada, apesar de ter sido veri-cada para nmeros da ordem
de 4*10^14.Quantos nmeros primos terminam com o dgito 7? Se-riam
innitos? So 664579 os nmeros primos menoresque 10 milhes, sendo que
os nmeros primos que termi-nam em 1, 3, 7 e 9 respectivamente so
166104, 166230,166211 e 166032, isto corresponde a 24.99%,
25.01%,25.01% e 24.98% deste total de nmeros. O que isto su-gere?H
innitos pares de nmeros denominados primos g-meos: nmeros primos
que diferem um do outro deapenas duas unidades, como (3 ; 5), (71 ;
73) ou(1000000007; 1000000009)?
4 Algoritmos ecientes para a arit-mtica bsica
Muitas das modernas aplicaes que esto a ser levadasa efeito no
campo da criptograa dependem de algumasdas propriedades dos nmeros
inteiros e dos nmeros pri-mos. No entanto, as aplicaes aritmticas
envolvendoas propriedades dos nmeros inteiros esto
directamenterelacionadas com a capacidade de se resolver dois
pro-blemas fundamentais:
1. o problema do teste para vericar se o nmero primo;
2. o problema da decomposio em factores primos.
-
4 8 BIBLIOGRAFIA
Aparentemente so problemas de simples soluo, atque passem a
envolver numerais com dezenas e at cen-tenas de dgitos.
5 Ver tambm Aritmtica
6 Notas[1] Robson 2001, p. 201 Isso controverso. Veja en:
Plimpton 322. O artigo de Robson escrito polemica-mente (Robson
2001, p. 202) com o objetivo de talvez[...] tirar [Plimpton 322] do
seu pedestal (Robson 2001,p. 167); ao mesmo tempo, conclui-se
que
[...] a pergunta como a tabela foi cal-culada?" no tem que ter a
mesma respostaque a pergunta que problemas a tabela esta-belece?" A
primeira pode ser respondida deforma mais satisfatria por inversos
multipli-cativos, como sugerido pela primeira vez hmeio sculo, e a
segunda por algum tipo deproblema com tringulos retngulos
(Robson2001, p. 202).
Robson discorda da noo de que o autor que produziuPlimpton 322
(que teve de trabalhar para viver, e nopertencia a uma classe mdia
desocupada) poderia tersido motivado por sua prpria curiosidade
despreocu-pada na ausncia de um mercado para uma nova ma-temtica.
(Robson 2001, pp. 199-200)
7 Referncias[1] Jean-Paul Collette (1985), Historia de las
matemticas
(volmenes 1 y 2). Traduo de Alfonso Casal, Madrid:Siglo XXI
Editores S.A. ISBN 84-323-0526-4
[2] Neugebauer & Sachs 1945, p. 40. O termo takiltum
pro-blemtico. Robson prefere a traduo Os quadrados re-alizados da
diagonal a partir do qual 1 tomado, de modoque o lado mais curto
aparece ... Robson 2001, p. 192
[3] Robson 2001, p. 189. Outras fontes do a frmula mo-derna
(p2q2;2pq;p2+q2) . Van der Waerden d tanto afrmula moderna quanto a
que equivale forma preferidapor Robson (van der Waerden 1961, p.
79)
[4] van der Waerden 1961, p. 184.
[5] Neugebauer (Neugebauer 1969, pp. 36-40) discute a ta-bela em
detalhes e menciona, de passagem, o mtodo deEuclides em notao
moderna (Neugebauer 1969, p. 39).
[6] Friberg 1981, p. 302.
[7] ieeta.pt Goldbach conjecture verication. Acessado
em10/01/2012.
8 Bibliograa Friberg, Jran. (August 1981). Methods andtraditions
of Babylonian mathematics: Plimpton322, Pythagorean triples and the
Babylonian tri-angle parameter equations. Historia Mathematica8
(3): 277318. Elsevier. DOI:10.1016/0315-0860(81)90069-0.
Neugebauer, Otto E.. The exact sciences in antiquity.corrected
reprint of the 1957 ed. New York: DoverPublications, 1969. ISBN
978-0-486-22332-2
Neugebauer, Otto E.; Sachs, Abraham Joseph;Gtze, Albrecht.
Mathematical cuneiform texts.[S.l.]: American Oriental Society
etc., 1945. vol.29.
Robson, Eleanor. (2001). "Neither Sherlock Hol-mes nor Babylon:
a reassessment of Plimpton 322".Historia Mathematica 28 (28):
167206. Elsevier.DOI:10.1006/hmat.2001.2317.
van der Waerden, Bartel L.; Dresden, Arnold(trans). Science
Awakening. New York: OxfordUniversity Press, 1961. vol. Vol. 1 or
Vol 2.
-
59 Fontes, contribuidores e licenas de texto e imagem9.1
Texto
Teoria dos nmeros Fonte:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_n%C3%BAmeros?oldid=42258054
Contribuidores: Jorge~ptwiki,Faxel, Manuel Anastcio, LeonardoG,
Marcelo Reis, Osias, LeonardoRob0t, Diotti, Nuno Tavares, NTBot,
Getbot, RobotQuistnix, Rei-artur, Yurik, YurikBot, Ccero,
MalafayaBot, Salgueiro, He7d3r, Thijs!bot, Rei-bot, Escarbot,
JAnDbot, EuTuga, Der kenner, TXiKiBoT,Tumnus, VolkovBot, SieBot,
Aginomor, Synthebot, Shambau, GOE, Kaktus Kid, Raafael,
Alexandrepastre, PixelBot, Carlos Maurcio,Ruy Pugliesi, Vitor
Mazuco, Numbo3-bot, Luckas-bot, Nallimbot, Jonathan Malavolta,
Vanthorn, Salebot, ArthurBot, Matemago, Xqbot,Rubinbot, Darwinius,
LucienBOT, RibotBOT, Faustino.F, Alch Bot, Dinamik-bot, FMTbot,
EleferenBot, EmausBot, ZroBot, Braswiki,ChuispastonBot, Duduzimm,
MerlIwBot, Flaviamissi, AvocatoBot, Garsd, Prima.philosophia,
Addbot, RodrigoAndradet e Annimo: 39
9.2 Imagens Ficheiro:Diophantus-cover.jpg Fonte:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Diophantus-cover.jpg
Licena: Public
domain Contribuidores: ? Artista original: ?
Ficheiro:Disqvisitiones-800.jpg Fonte:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e3/Disqvisitiones-800.jpg
Licena: Public
domain Contribuidores: ? Artista original: ?
Ficheiro:Magnifying_glass_01.svg Fonte:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3a/Magnifying_glass_01.svg
Licena:
CC0 Contribuidores: ? Artista original: ? Ficheiro:NoFonti.svg
Fonte:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b5/NoFonti.svg
Licena: CC BY-SA 2.5 Contribuido-
res: Image:Emblem-important.svg Artista original: RaminusFalcon
Ficheiro:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg Fonte:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Nuvola_apps_edu_
mathematics-p.svg Licena: GPL Contribuidores: Derivative of
Image:Nuvola apps edu mathematics.png created by self Artista
original:David Vignoni (original icon); Flamurai (SVG
convertion)
Ficheiro:Pierre_de_Fermat.png Fonte:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Pierre_de_Fermat.png
Licena: Publicdomain Contribuidores: ? Artista original: ?
Ficheiro:Plimpton_322.jpg Fonte:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Plimpton_322.jpg
Licena: Public domainContribuidores: image copied from
http://www.math.ubc.ca/~{}cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html
Artista original: photo authorunknown
Ficheiro:Portal.svg Fonte:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Portal.svg
Licena: CC BY 2.5 Contribuidores: Portal.svg
Artista original: Portal.svg: Pepetps
Ficheiro:Symbol_question.svg Fonte:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/Symbol_question.svg
Licena: Public do-
main Contribuidores: ? Artista original: ? Ficheiro:Ulam_1.png
Fonte:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/69/Ulam_1.png
Licena: CC-BY-SA-3.0 Contribuido-
res: Transferido de en.wikipedia para o Commons. Artista
original: Grontesca em Wikipdia em ingls
Ficheiro:Wikibooks-logo.svg Fonte:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/Wikibooks-logo.svg
Licena: CC BY-SA3.0 Contribuidores: Obra do prprio Artista
original: User:Bastique, User:Ramac et al.
9.3 Licena Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0
Histria Alvorecer da aritmtica Caractersticas Subdivises
Sobre a teoria elementar dos nmeros Propriedades dos nmeros
primos Teorema de Euclides Conjectura de Goldbach
Algoritmos eficientes para a aritmtica bsica Ver tambm Notas
RefernciasBibliografia Fontes, contribuidores e licenas de texto e
imagemTextoImagensLicena
