Teoria Dos Números Mestre Chris

8/18/2019 Teoria Dos Números Mestre Chris

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TEORIA DOS NÚMEROS - SISTEMAS DENUMERAÇÃO (3)

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

1.7 – OPERAÇÕES EM BASES NÃO DECIMAIS O princípio básico das operações é levar em consideração que numa base n,

cada 1 grupo de n unidades irá formar 1 unidade da ordem imediatamentesuperior. Tomando, por exemplo, a base 10, cada 10 unidades forma uma dezena.Ao somar 4 + 8 teremos, 4 + 8 = 10 unidades mais 2 unidades. Isto se escreve12.

Para um sistema de base 6, 4 + 5 = 6 unidades mais 3 unidades, o que se

escreve 13(6).

Adição

1ª ordem: 2 + 2 + 2 + 1 = 2 grupos de 3 + 1 = 21(3) fica 1 na 1ª ordem e vão2 para a 2ª ordem.2ª ordem: 2 + 1 + 2 + 1 = 2 grupos de 3 = 20(3) fica 0 na 2ª ordem e vão 2para a 3ª ordem.3ª ordem: 2 + 2 + 0 + 2 + 2 = 2 grupos de 3 + 2 = 22(3) fica 2 na 3ª ordem evão 2 para a 4ª ordem4ª ordem: 2 + 1 + 2 + 2 + 2 = 3 grupos de 3 + 0 = 100(3) fica 0 na 4ª ordeme vai 1 para a 6ª ordem.5ª ordem: 1 + 2 + 1 + 1 = 1 grupos de 3 + 2 = 12(3) fica 2 na 5ª ordem evão 2 para a 6ª ordem.6ª ordem: 1 (da 4ª ordem) + 1 (da 5ª ordem) + 2 + 1 + 1 + 1 = 2 grupos de 3 +1 = 21(3) fica 1 na 6ª ordem e vão 2 para a 7ª ordem.7ª ordem: 2 + 2 + 1 + 2 + 2 = 3 grupos de 3 + 0 = 100(3) fica 0 na 7ª ordem,0 na 8ª ordem e 1 na 9ª ordem. Multiplicando na base 3

Observemos que, para a base 3: 1.1 = 1; 1.2 = 2.1 = 2; 2.2 = 11 (umgrupo de 3 + 1);1 + 1 = 2; 1 + 2 = 10; 2 + 2 = 11; 2 + 2 + 2 = 20.Assim, 212211(3) x 2 = 1 2 0 2 1 2 2 (3)Veja como são obtidas as diversas ordens.1ª ordem – 2 x 1 = 2 2ª ordem – 2 x 1 = 23ª ordem – 2 x 2 = 11 1 para a 3ª ordem e vai 1 para a 4ª4ª ordem – 2 x 2 + 1 = 11 + 1 = 12 2 para a 4ª ordem e vai 1 para a 5ª5ª ordem – 2 x 1 + 1 = 10 fica 0 na 5ª ordem e vai 1 para a 6ª

6ª ordem – 2 x 2 + 1 = 11 + 1 = 12 2 para a 6ª ordem e vai 1 para a 7ª.

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Da mesma forma multiplicam-se os segundo e terceiro algarismos de 212.Cada produto é posicionado com um deslocamento de 1 ordem para a esquerda. EXERCÍCIOS: (1) Usando os algarismos arábicos (0, 1, 2, 3 ... 8, 9), quantos e quais são osdígitos usados num sistema

(a) de base 5 (b) de base 7?

(2) Suponha que os asteriscos são elementos de um conjunto ( * * * * * * * * * ** * * * * * * * * * *).

(a) conte-os na base 10 (b) conte-os na base 4 (c) conte-os nabase 3 (d) conte-os na base 2.

(3) Faça as seguintes transformações:(a) 22122101(3) para base 10(b) 1100111010(2) para base 10(c) 4532(7) para base 10(d) 122141(5) para base 10(e) 4357 para base 7

(f) 6632 para a base 2(g) 12212(3) para base 5 (h) 10110001(2) para base 7 (4) Efetue as operações:(a) base 3, 2122111 + 101220 + 20122 + 221022(b) base 2, 10011111 + 11011100 + 11011 + 1011011(c) base 3, 21221 x 1201(d) base 2, 1011011 x 1011(e) base 5, 4231 – 4412(f) base 2, 1100111 - 101101 Postado por Eduardo Vasconcelos às 18:37 Nenhum comentário:Enviar por e-mailBlogThis!Compartilhar no TwitterCompartilhar no FacebookCompartilhar com oPinterest Marcadores: ÁLGEBRA , SISTEMAS DE NUMERAÇÃO, TEORIA DOS NÚMEROS

TEORIA DOS NÚMEROS - SISTEMAS DENUMERAÇÃO (2)


1.4 - BASE DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO

Base de um sistema de numeração é um conjunto de símbolos ou dígitosnecessário para representar qualquer número nesse sistema. O sistema mais usadoé o sistema decimal cujos dígitos ou algarismos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.Em computação o sistema de base dois, cujos dígitos são 1 e 0, é de fundamentalimportância pois pode-se associar a cada um deles um sinal luminoso. Ao 0associa-se uma luz apagada e ao 1 associa-se uma luz acessa.

Num sistema de base "n" onde a, b, c, d, e, f são alguns de seus dígitos, onúmero abcdef (n) corresponde aa.n5 + b.n4 + c.n3 + d.n2 + e.n1 + f.n0. O índice (n)indica qual a base que se está usando. Não há necessidade de indicar a basequando a mesma é a base dez pois esta é usada correntemente.Tomando por exemplo, o número 122122(três), teremos 1.35 + 2.34 + 2.33 + 1.32 +2.31 + 2.30.

1.5 – MUDANÇAS DE BASES

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Observando o exemplo anterior onde o número aparece decomposto empotências da base três, podemos ver que a simples resolução das operaçõesindicadas na base desejada irá resultar no número escrito em tal base.

Para transformar para a base 10, fazemos: 1.243 + 2.81 + 2.27 + 1.9 + 2.3+ 2.1 = 476.

A indicação a.n5 + b.n4 + c.n3 + d.n2 + e.n1 + f.n0 define o processo paratransformar da base dez para outra base. Como pode ser notado, o trabalhoconsiste em converter o número como uma soma de potencias inteiras da basemultiplicada pelos dígitos que a mesma utiliza. Isto se consegue dividindo o númerodado pela base. O resto da divisão será o primeiro algarismo da direita do númeroem tal base. Dividindo o quociente pela base, o resto será o próximo algarismo. Oprocesso deve-se repetir até que o quociente se torne menor que a base.Assim, para transformar 6152 para a base 5, teremos:

1.6 – USANDO PLANILHAS Aplicando as informações do item anterior é fácil criar aplicativos para

mudança de bases nestes softwares. 1.6.1 – Base qualquer para a base 10 (1) Digite na célula B2 a base a ser

transformada(2) Nas células C3 digite o número 1.(3) Na célula C4 digite = C3*$B$2 para multiplicar o conteúdo da célula C3 pelabase. A seguir pressione ENTER.No lugar de digitar C3 você pode clicar na mesma que ela será exibida no lugardevido.Na célula C4 será exibido o valor da base.(4) Clique na célula C4 para seleciona-la. No canto inferior direito será exibido umpequeno quadrado preto.(5) Posicione o ponteiro do mouse sobre esse quadrado.Mantendo o botão direito do mouse pressionado arraste-o pelas células abaixo dacélula C4.Este procedimento irá copiar a fórmula para as demais células.Na coluna serão exibidas as potências da base.(6) Na célula D3, D4, D5, ... digite os algarismos que constituem o número a serconvertido sendo que em D3 deve-se escrever o primeiro algarismo da direita.(7) Na célula E3 digite = C3*D3 e pressione ENTER.(8) Clique na célula E3 e repita o procedimento para copiar a fórmula para ascélulas da coluna E.(9) Clique na célula abaixo da última célula preenchida da coluna E. Vamos chamá-la de Em.(9) Na barra de ferramentas abaixo da barra de menu clique no sinal S para obter asoma dos valores da coluna E.(10) Pressione ENTER. Na célula Em será exibido o número obtido ao transformarpara a base 10.(11) Salve o arquivo para ser usado em outros exercícios. Com o arquivo salvobasta mudar o número a ser transformado e a base.

1.6.2 – Base 10 para outra base (1) Na célula F2 digite a base.(2) Na célula D2 digite o número.


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(3) Na célula C4 digite =TRUNCAR(D2/$F$2).(4) Na célula D4 digite =D2-C4*$F$2(5) Na célula E4 digite =SE(C4>=$F$2;"continue";"FIM")(6) Na célula C5 digite =TRUNCAR(C4/$F$2)(7) Na célula D5 digite =SE(C5=$F$2;"continue";"FIM")

(9) Selecione as células C5, D5 e E5.(10) Posicionando o ponteiro do mouse sobre o quadrinho preto no canto inferiordireito da célula E5 e mantendo o botão esquerdo do mouse pressionado, arraste-opelas abaixo da linha 5. Use quantas linhas desejar.(11) Salve o seu trabalho. Quanto for usado para outro exercício, basta substituir onúmero a ser transformado e a base desejada.

1.7 - MAIS EXEMPLOS (a) Transformar 1101001(2) para a base 10.

Escrevendo na forma de produto de potências, temos1101001(2) = 1.26 + 1.25 + 0.24 + 1.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20 = 64 + 32 + 0 + 8 +0 + 0 + 1 = 105

(b) Transformar 2263 para a base 3.Efetuando as divisões por 3,

Portanto, 2263 = 10002211(3) . Observe bem a ordem em que são tomados osrestos das divisões. (c) 2211(3) para a base 5.

Nesse caso pode-se transformar para a base 10 e da base 10 para a base5. Entretanto, vamos transformar diretamente da base três para a base cinco.

No sistema decimal, cada dez unidades escreve-se 10, que é chamado de 1dezena. Cada grupo de 10 dezenas escreve-se 100 que é chamado de 1 centena, eassim, sucessivamente.Da mesma forma, no sistema de base 5, cada 5 unidades escrevemos 10 (5).Vamos, impropriamente, chamar 10(5) de 1 dezena. Cada grupo de 5 “dezenas” (5unidades) escrevemos 100(5) ou seja, uma “centena”.

Aplicando essa idéia nos exemplos, teremos:

5

1

= 10(5), 5

2

= 25 = 100(5) , 5

3

= 125 = 1000(5) .Portanto, 2.33 = 2.27 = 2.(52 + 2) = 2.102(5) = 204(5); 2.32 = 18 = 3.51 + 3 =33(5) ;1.31 = 3 = 3(5) 1.30 = 1 = 1(5) .

Assim, 2211(3) = 204(5) + 33(5) + 3(5) + 1(5) = 301(5). Note que 4(5) + 3(5) =12(5) pois cada grupo de 5 equivale a 10(5) . Postado por Eduardo Vasconcelos às 18:36 Nenhum comentário:Enviar por e-mailBlogThis!Compartilhar no TwitterCompartilhar no FacebookCompartilhar com oPinterest Marcadores: ÁLGEBRA , SISTEMAS DE NUMERAÇÃO, TEORIA DOS NÚMEROS

TEORIA DOS NÚMEROS - SISTEMAS DE

NUMERAÇÃO (1)

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1.1 – CONTAGEM Na antiguidade o homem usava um conjunto de objetos para controlar a

quantidade de seus haveres. Fazia corresponder, por exemplo, os componentes deseu rebanho a pequenos objetos como pedras. A cada uma cabeça do rebanhocorrespondia uma pedra. O aumento da quantidade de cabeças de seu rebanhoexigia cada vez maior coleção de objetos. Isto fez com que o homem sentisse anecessidade de criar símbolos que pudessem representar as quantidades. Nasceu aía idéia de número.

Para sistematizar o processo de contagem estabelecia-se um conjunto desímbolos que continham uma quantidade qualquer de sinais, alguns usavam cinco,

outros dez, outros doze, outros vinte. Em alguns sistemas foram usados até 60símbolos. A representação consistia principalmente na repetição desses símbolos ena soma de seus valores.Uma das grandes dificuldades no processo de representação de números estava nafalta da representação do zero.1.2 – ALGUNS SISTEMAS ANTIGOS DENUMERAÇÃO 1.2.1 - Egípcios – 3000 AC - Usavam ossímbolos para representa 1, 10, 100.Cada símbolo podia ser repetido até 10 vezes.Ex. 453 =

1.2.2 - Gregos (400 AC) e romanos (200 AC) usavam as 27 letras doalfabeto grego. As nove primeiras letras representavam os valores de 1 a 9, asnove seguintes representavam as dezenas de 10 a 90 e as nove últimas indicavam

as centenas de 100 a 900. O numero 243 seria representado por . 1.2.3 - Babilônios (1500 AC) usavam um sistema sexagesimal onde eram

aplicados símbolos em forma de uma cunha. representa as unidades podendoser repetida até 59 vezes. Cada grupo de 60 unidades era indicado por . Onúmero 365 é indicado nesse sistema por

ou seja 6 x 60 + 5.

1.2.4 - Indianos (250 AC) – Usavam um sistema de numeração com 9 símbolospara indicar os números de 1 a 9. Não representavam o zero. Um número como468, era indicado por 4 sata, 6 dasan, 7 onde satã indicava a potência 102 e dasana potencia 101.1.3 – ALGARISMOS ROMANOS

É um sistema posicional e aditivo, onde cada símbolo pode ser repetidoaté 3 vezes. A cada símbolo é atribuído um valor. Símbolo de valor maior escrito àesquerda de outro menor é somado e símbolo menor escrito à esquerda de umvalor maior é subtraído.Os símbolos usados nesse sistema de numeração são: I = 1, V = 5, X = 10, L =50, C = 100, D = 500, M = 1000. Um traço acima do símbolo, multiplica o valor dosímbolo por 1000.Exemplos:- 46 = XLVI (note que X < L XL = 50 – 10 = 40 e V > I VI = 5

+ 1 = 6) 2369 = MMCCCLXIX ou IIMMCCCLXIX.


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