Teorias Microscópicas para a Supercondutividade

Raimundo Rocha dos Santos

rrds@if.ufrj.br

http://www.if.ufrj.br/~rrds/rrds.html

Apoio:

Este mini-curso pode ser obtido do site

seguindo o link em “Seminários, Mini-cursos, etc.”

V Escola Brasileira de Supercondutividade

Recife, 10 a 14 de dezembro de 2001

Esquema do mini-cursoI. Supercondutividade convencional: vínculos

experimentaisII. Condução em MetaisIII. Interação elétron-elétronIV. Teoria BCSV. Supercondutores de alta temperaturaVI. Conclusões

I. Supercondutividade convencional: vínculos experimentais

Metal normal

1. Resistência nula

2. Efeito Meissner

Campo magnético não entra na amostra: B = 0 no interior de um supercondutor

correntes superficiais apa-recem de modo a gerar um campo que se oponha ao campo aplicado

[SUC não é condutor perfeito,dentro do qual B/t = 0]

Levitação magnética

Aplicações tecnológicas no dia-a-dia

Outras aplicações: • geração de campos uniformes intensos (ressonância);• deteção de campos fracos (SQUID); etc.

T (°C)0

gelo

-250-269

4He

-200

N2

SUC’s convencionais

-150

SUC’s de alta temperatura

$

3. Existência de um campo crítico

para uma dada T, a amostra só é SUC abaixo de um campo crítico

Hc [

G]

Tipo I

T [K]

Hc2

[kG

]

T [K]

Tipo II

Existe também uma densidade crítica de corrente: Jc

log 10

Tc

log10 M

= 0.504

4. Efeito isotópico

MTc

[M é a massa média dos isótopos utilizados como íons da rede; Reynolds et al., (1951)]

ions participam ativamente fônons desempenham papel importante no mecanismo da supercondutividade

Hg

5. Calor Específico

C/T

[m

J/(m

ol K

)]

T 2 [K2] Tc/T

C/T

[m

J/(m

ol K

)]

CS/T

CS/T exp[-1.39Tc/T]

Cs exponencial a baixas temperaturas

gap no espectro

Ex: Preenchendo os “níveis de energia de uma partícula” com 10 férmions

2/L 4/L-2/L-4/L

F

II. Condução em Metais• Elétrons são férmions Pauli: dois férmions não podem ter conjuntos idênticos de números quânticos• Gás de férmions [livres e independentes (k,) definem estados]: E k2

momento

ener

gia

momento

ener

gia

00 jki

i 00 jki

i

Elétron só é espalhado ( resistência) pq há estados finais disponíveis

dens. de corrente

Considere cargas negativas em um potencial periódico

E

Como evitar dissipação: Suprimir, através de algum mecanismo, estados acessíveis na faixa de energia próxima ao nível de Fermi

III. Interação elétron-elétron

elétron

íon

A interação Coulombiana entre um par qualquer de elétrons é blindada pelos demais elétrons e pelos íons

constante dielétrica

22

2

20

2

2

2

2

2

2

)q(

)q(1

444

kq

e

q

e

q

e

Interação elétron-elétron efetiva: Vkk’

q

k k’

k’+ qk - q 'kk

Dependência de Vkk’ com retardamento devido ao fato de que velast << vF

22

2

20

2

2

'kk)q(

)q(1

4 g

kq

eV

• (q) D e k F 102-103 hD

interação via fônons só afeta elétrons com energias muito próximas

• Se D

interação via fônons é maior em módulo: Vkk’ < 0 interação efetiva é atrativa

Frölich (1951) - Teoria de Perturbação: cte. de aco-plamento e-f

Então, se a interação entre elétrons pode, sob certas circunstâncias, ser atrativa, deve-se esperar que o espectro perto de F sofra mudanças cruciais.

• O problema de Cooper• O estado fundamental BCS• Teoria BCS a temperatura finita

IV. A Teoria de Bardeen, Cooper e Schrieffer

1. O problema de Cooper (1956)

F

Dois elétrons interagindo atrativamente em presença de ummar de Fermi preenchido podem formar um estado ligado?

Sim, com energia de ligação dada por

)(1exp2

FD vDE

intensidade da interação e-e

Densidade de estados no nível de Fermi

(detalhes na 2a. e 3a. aulas)

(|k|) parte orbital simétrica parte de spin anti-simétrica par num estado singlete: S = 0

2. O estado fundamental BCS (1957)

Elétrons, com energias próximas, interagindo atrativamenteaos pares:

casos outros em

e se

0

'kk'kk

DDvV

q

k k’

k’+ qk - q Momento do CM do par se conserva: K = k + k’ = (k – q) + (k’+ q)

Aproximação: superfície de Fermi esférica

Para que dois elétrons interajam, eles devem ter energia dentro de uma casca com a energia de Debye; que valor de K otimiza os efeitos da interação?

kF

K

Para superfícies de Fermi esféricas, o maior número de estados envolvidos ocorre quando K = 0

'k'k,k

k'kkkk

k)k( bbVcc

H

termo livre (banda)

kkk ccb

A Hamiltoniana BCS:

Solução variacional:

k 2k

kk 01

1

g

bg

Interlúdio: Densidade de estados quânticos

d = 1

d = 2

d = 3

12)(

d

EED

D

E

dEEDdN )(# de estadosno intervalo dE densidade de estados

com energia E

N.B.: gás de eletrons!

Densidades de estados (eletrons quase-livres ou tight-binding)

MetalIsolante ouSemicondutor

As somas em k podem ser expressas em integrais sobre energias:

)(2 )k(

k

DdkdL d

d

d

A equação do gap (detalhes na 2a. e 3a. aulas):

2k

2k

'k 'k

'k'kk

0k )k(

2

1

E

EV

V com ,

)()k(k T

dkk

dkk

s

xyyx

yxyx

- onda

- onda

-onda

sensen

coscos

1

)k( 22

SUC’sconvencionais

A equação do gap fornece, então,

)(1exp)(1senh2 FD

F

D vDvD

onde supusemos acoplamento fraco: vD(F) << 1

é o gap de energia para as excitações elementares, e Ek éa energia das quase-partículas

Ek / F

k/kF

Noção elementar de quase-partículas (c.f. superfluidez em 4He):

2

Gás de e `s

Estados ocupados

Estados desocupados

F

+ interação atrativa

A modificação no espectro pode ser esquematizada da seguinteforma:

ener

gia

momento

ener

gia

momento

Condução por pares (cada par tem KCM=k1+k2):

todos têm KCM = 0

Para um par “sentir” a impureza teria que ser quebrado:

KCM KCM dos demais pares alto custo energético (gap!)

Ao formarem pares, os elétrons “se vacinam” contra as fontes de resistência

E

3. Teoria BCS a temperatura finita

'k

'k,k

k'kk0

k

k

k1

)k( bbVV

cc

H

Aproximação de Campo Médio:

'kk'kk'kk'kk bbbbbbbb

Definição do gap:

'k

'k'kk0

k )k(1

)( bVV

T

=1 em BCS (s )

Interlúdio: Ordem de longo alcance não-diagonal, função de onda macroscópica, e classe de Universalidade

• Em geral, são nulos os valores esperados de operadores de criação e de destruição, mas não em SUC ou SUF

ordem de longo alcance não-diagonal• Analogia das super-correntes com movimento não-dissipativo de elétrons em átomos

função de onda macroscópica: (r) = 0 ei(r)

transf de Fourier: (k) = k/2Ek (parâmetro de ordem)

• Função de onda complexa: 2 números classe de universalidade do modelo-XY

que fornece a equação do gap a T finita:

Solução auto-consistente + Transf de Bogoliubov (detalhesnas aulas da tarde):

2k

2k

k

k

kk )k(,

2tanh

2

E

E

Eb com

'k

'k

'k

'k'kk

0k 2

tanh2

1)(

E

EV

VT

( T

)(0

)T/Tc

A equação do gap éresolvida para (T ),e, para 0, obtém-se Tc

)(1exp567.0 FDcB vDTk

52.3)0(2

cBTkusada para comparar com obtido em exp’s de tunelamento

Discrepâncias nesta razão e no efeito isotópico atribuídasà simplicidade da interação elétron-fonon utilizada (p.ex.,troca de um fônon apenas)

deve-se ir além; p.ex., a teoria de acoplamento forte de Eliashberg (os graus de liberdade fonônicos são mantidos, ao invés de eliminados para construir interação efetiva entre os elétrons)

A teoria BCS era “a teoria” microscópica da SUC até 1986, quando o primeiro supercondutor de alta Tc (30 K) foi descoberto por Bednorz e Müller. Ainda OK para carbetos de Boro (coexistência SUC+MAG) e para MgB2 (acoplamento forte: Eliashberg)

O diagrama de fases:

V. Supercondutores de Alta Temperatura

Diferenças fundamentais entre os SUC’s:

alta Tc (fonons: Tc < 30 K)

estado normal metálico ou isolante (dep de x)

proximidade de uma fase magnética

• tempo de vida das quase-partículas depende fortemente da temperatura

• estado dos pares é predominantemente do tipo onda-d• pequenos comprimentos de coerência [ 12 Å], quando comparados com os convencionais [ 500 Å]

• gap para excitações de spin abre-se acima de Tc

T*

Tc

Taxa de relaxação spin-rede, 1/TT1, mede resp. mag. local qa << 1; Knight shift mede qa ~ 1.Decréscimo de ambas quandoT ligado à abertura de um gap no espectro de excitaçõesde spin

• Resistividade linear com T em intervalo apreciável não-líquido de Fermi??

Ť

Esta dependência, T, com 2 e dependendo da dopagemfoi observada em outras amostras

TTc0 T*

HTCS

TTc0

conv e R = 0

R = 0

Todas estas diferenças apontam para um mecanismo não-fonônico: magnético

Estrutura cristalina:

Cálculos de bandas: caso não-dopado (x = 0):

Metal ????

Incluindo correlação, ocomportamento isolante(correto!) é obtido

Ordenamento antiferromagnético: planos de CuO2

Cu

O

Descrição simplificada do isolante antiferromagnético dopado

Favorece o salto do buraco entre sítios

Repulsão Coulombiana: a energia total aumenta se 2 e’s ocuparem o mesmo orbital termo de correlação(Modelo de Hubbard)

iii

ji

ji nnUcctH

,,

H.c.

sítios de Cu

transfere buraco do sitio j para i

S/ dopagem: energia é minimizada se colocarmos 1 buraco por sítio

os buracos tendem a ficar localizados nos sítios sistema é um isolante (Mott)(para qq valor da repulsão Coulombiana)

C/ dopagem: buracos adicionais são “compartilhados”, diminuindo o momento local a tendência à ordem é enfraquecida

O que o modelo simplificado prevê (2 dimensões)?

Teoria de Campo Médio (teoria de 1 partícula)

Simulações de Monte Carlo

Este exemplo ilustra que a dimensão, d, do sistema desempenha um papel crucial:

d desvios do comportamento médio (flutuações)

Teorias de Campo Médio podem prever comportamentos pouco realistas em d = 1 ou 2

Comportamento magnético razoavelmente bem explicado pelo modelo simplificado:dopagem tende a destruir ordem AFM

E como explicar a fase AFM se estender a uma dopagem não-

nula?multi-orbitais, 3a. dimensão, etc

Vejamos agora a fase “SG”:

Inicialmente pensou-se tratar de uma fase de vidro de spin [spin-glass], mas estudos experi-mentais e teóricos recentes sugerem tratar-se de uma fase listrada

Fase listrada melhor observada num “primo” dos supercondutores

novo ingrediente:ordenamento direcional dosorbitais d do Mn

Formação de CDW [onda de densidadede carga]

Acredita-se que nos HTCS haja um equilíbrio entre o ordenamento de spin (AFM, nao SDW) e o ordenamento de cargas (tipo CDW) ao longo de uma direção ( na Fig.):

As cargas tendem a se agrupar em regiões de menor ordem AFM

Ainda não se sabe como modificar o modelo de Hubbard –2D de modo a produzir “stripes”, mas podemos tentar ver se ele pode descrever um estado supercondutor

Simulações de MC para n =0.87, eU = 4: suscetibilidade dependente de q

Pico em q = (,) não diverge, mas fica mais pronun-ciado à medida em que T flutuações antiferromagnéticas de curto alcance

0

q)0()(1

)q(

izi

zi

s

emmdN

Várias teorias/modelos se baseiam na presença destas flutuações AFM: os elétrons trocariam estas flutuações, de modo análogo à troca de fônons nos SUC’s convencionais.

Partindo do modelo de Hubbard, uma T de Pert para estes processos [Scalapino (1995)] fornece, para q = |k-k’| grandes

)'kk(2

3 2' UVkk pico em (, )

Eq do gap:

2k

2k

'k 'k

'k'kk

0k )k(

2

1

E

EV

V com ,

Se V > 0, tem que apresentar nós onda d

Tomando a transf de Fourier, a interação efetiva no espaço real fica

Veff

r

interação entre 1os. vizinhos atrativa

01

2

interação on-site repulsiva

Modelo de Hubbard estendido

jijjii

iii

ji

ji nnnnVnnUcctH,,,

))((

H.c.

(ver resultados em 1D nas transparências)

Isto nos remete ao modelo de Hubbard atrativo (on-site):

iii

ji

ji nnUcctH

,,

H.c.

{a origem do U < 0 também pode ser atribuída a uma flutuação devalência [Wilson (2001)] }

Tc

TT*

(região de pares pré-formados;gap de spin)

|U|

VI. Conclusões

• Teoria BCS OK para SUC’s convencionais

• Recentemente: Tc de 40 K em MgB2 e de 55 K em C60 dopados; só e-f é suficiente?

• SUC’s de alta Tc ainda sem teoria microscópica bem estabelecida

• Mecanismo magnético ainda é o mais forte candidato.

1986 + 46 = 2032. Será?