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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

TESTE No. 1 DE CONTROLO - MEEC 6 de Novembro de 2009

Duração: 2 horas

Q.1 [8 val] O veículo representando na Figura 1 denomina-se “Airborne Remotely Operated Device”. O veículo descola na vertical sob a acção de um propulsor a hélice localizado na parte superior do corpo, e manobra no plano horizontal por actuação de quatro superfícies de deflexão localizadas na parte inferior.

Figura 1 “Airborne Remotely Operated Device” No que segue, considera-se apenas o movimento do veículo na coordenada vertical. O veículo tem massa m igual a 1Kg e desloca-se sob o efeito da força T gerada pelo propulsor a hélice. Pretende-se controlar a variável d (distância do centro de massa do veículo ao solo) em torno de um valor desejado arbitrário . O veículo está sujeito a duas forças verticais: i) força G=-mg devida ao campo gravítico, e ii) força T gerada pelo hélice, que se supõe ser da forma

onde η denota a velocidade de rotação do hélice (em rad/s). No seu movimento vertical, o veículo fica sujeito à força aerodinâmica

onde é a velocidade vertical.

Q1.1 [4 val] Considere o veículo “a pairar” no ponto de equilíbrio determinado por ; . Calcule o valor de equilíbrio correspondente para a força

T(t). Seja o sistema com entrada T e saída d. Mostre que o modelo

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linearizado de em torno do ponto de equilíbrio definido por e tem a função de transferência

onde ΔD(s) e ΔT(s) denotam respectivamente as transformadas de Laplace de δd(t)=d(t)-d0 e δT(t)=T(t)-T0 (note-se que é independente de d0 ). Sugestão: i) escreva, com base na equação de Netwon para corpos em translação, a equação diferencial que rege a evolução da velocidade velocidade V em função da força externa T, ii) linearize a equação diferencial obtida em torno do ponto de equilíbrio especificado, iii) a seguir, use simplesmente o facto de que d é o integral de V. Q1.2 [1 val] Calcule agora, a partir do valor de , o valor de equilíbrio η0 para a velocidade de rotação do hélice η. Prove justificadamente que o modelo do sistema

(descrito pela Eq. 1) linearizado em torno do ponto de operação especificado por Τ0 , η0 é dado por

com kT>0 a calcular, onde ΔT(s) e ΔN(s) denotam respectivamente as transformadas de Laplace de δT(t)=T(t)-T0 e δη(t)=η(t)-η0 . Q1.3 [3 val] Considere o sistema total linearizado com função de transferência

que se obtém a partir da ligação em série dos sistemas considerados em Q1.1 e Q1.2. Calcule a resposta δd(t) do sistema a uma entrada δη(t)=exp(-t)µ(t), onde µ(t) denota o escalão de Heaviside. Trace (de modo aproximado) a evolução gráfica de δd(t) e interprete sob o ponto vista físico. Q.2 [12 val] A Figura 2 representa um sistema de controlo de velocidade de um motor de corrente contínua com função de transferência 1/(s+1). O controlador consiste numa malha de retroacção interna de velocidade (através de Kd) em conjunto com uma malha externa de retroacção com ganho integral (através do termo Kp /s). Na figura, r é o sinal de referência e d representa um perturbação à entrada do sistema a controlar.

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r e 1/(s+1) Kp /s y

u

Kd

d

Figura 2. Sistema de controlo em malha fechada.

2.1 [2 val] Mostre que o sistema de controlo em malha fechada é estável para quaisquer valores de Kd, Kp >0. 2.2 [3 val] Corrobore a afirmação anterior recorrendo à técnica do traçado do diagrama de “Root-Locus”. A fim de simplificar esta questão faça Kd=1 e trace justificadamente o diagrama de “Root-Locus” em função de Kp . A seguir, discuta a estabilidade do sistema em malha fechada. 2.3 [2 val] Mostre que o sistema em malha fechada exibe erro estático de posição igual a zero, isto é, se a referência r for um escalão unitário, então

e(t) = 0. Utilize o teorema do valor final. Justifique intuitivamente o resultado obtido. 2.4 [2 val] Discuta a seguinte afirmação: o sistema em malha fechada rejeita completamente em regime estacionário (na saída y) o efeito de uma perturbação constante em d. Utilize o teorema do valor final. 2.5 [3 val] Seja Kd=1. Prentende-se agora que o erro estacionário de seguimento a uma rampa (erro estático de velocidade) do sistema em malha fechada seja exactamente zero. Para isso, propõe-se que o bloco Kp/s (integrador simples) seja substituído por Kp/s2 (integrador duplo). Verifique se o sistema resultante permite atingir o objectivo enunciado. Sugestão: trace justificadamente o diagrama de “Root-Locus” em função de Kp e discuta a estabilidade do sistema em malha fechada.