Testes Complementares - Função Composta e Paridade · CEM – Centro de Estudos Matemáticos CEM 05)(Uem 2012) Considere as funções f e g, ambas com domínio e contradomínio

CEM – Centro de Estudos Matemáticos

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Florianópolis Santa Catarina Professor: Erivaldo

Função Composta – SUPERSEMI

01)(Aman 2013) Sejam as funções reais ( ) 2f x x 4x= + e ( )g x x 1.= −

O domínio da função f(g(x)) é a)

D = x ∈R | x ≤ −3 ou x ≥1{ }

b) D = x ∈R | −3 ≤ x ≤1{ }

c) D = x ∈R | x ≤1{ }

d) D = x ∈R | 0 ≤ x ≤ 4{ }

e) D = x ∈R | x ≤ 0 ou x ≥ 4{ }

02)(Pucrj 2012) Sejam f(x) 2x 1= + e g(x) 3x 1.= + Então f(g(3)) g(f(3))− é igual

a: a) – 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 03)(Uern 2012) Sejam as funções compostas f(g(x)) 2x 1= − e g(f(x)) 2x 2.= −

Sendo g(x) x 1,= + então f(5) g(2)+ é

a) 10. b) 8. c) 7. d) 6. 04)(Ufsj 2012) Sendo a função ( )f x ax b,= + tal que ( )( )f f x 9x 8,= + é

CORRETO afirmar que

a) ( )1 xf x 23

− = +

b) ( )f 0 8=

c) ( )f x 3x 4= +

d) ( ) ( )1 x 2f x

3− −

=


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05)(Uem 2012) Considere as funções f e g, ambas com domínio e contradomínio real, dadas por f(x) 5x 2= − e 2g(x) x 6x 1= − + , para

qualquer x real. A respeito dessas funções, assinale o que for correto. 01. A imagem de qualquer número racional, pela função f, é um

número irracional. 02. A função g possui uma única raiz real. 04. Ambas as funções são crescentes no intervalo [ [0,+∞ do domínio.

08. O gráfico da função f go é uma parábola.

16. Ambas as funções possuem inversas. 06)(Ufsm 2012) Os praticantes de exercícios físicos se preocupam com o conforto dos calçados utilizados em cada modalidade. O mais comum é o tênis, que é utilizado em corridas, caminhadas, etc. A numeração para esses calçados é diferente em vários países, porém existe uma forma para converter essa numeração de acordo com os tamanhos.

Assim, a função xg(x)6

= converte a numeração dos tênis fabricados no

Brasil para a dos tênis fabricados nos Estados Unidos, e a função f(x) = 40x + 1 converte a numeração dos tênis fabricados nos Estados Unidos para a dos tênis fabricados na Coreia. A função h que converte a numeração dos tênis brasileiros para a dos tênis coreanos é

a) 20 1h(x) x . 3 6

= +

b) 2h(x) x 1. 3

= +

c) 20h(x) x 1. 3

= +

d) 20 x 1h(x) . 3+=

e) 2 x 1h(x) . 3+=


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07)(CFTMG 2012) Sendo 2f(x) x 2x 1= + + definida em A = {x ∈R / x ≥ −1} e 2g(x) x= definida em R+, o gráfico que representa a função (gof)(x) é

a)

b)

c)

d)


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08)(IFSC 2012) Em uma fábrica de bijuterias o custo de produção de um lote de brincos é calculado a partir de um valor fixo de R$ 125,00, mais R$ 1,50 por unidade produzida. Nessa fábrica, são produzidos lotes de, no máximo, 10000 brincos, sendo vendido cada lote com 25% de lucro sobre o valor de custo. Sobre essa situação, leia e analise as afirmações abaixo: I. A função C que relaciona o custo de produção a uma quantidade x

de brincos produzidos é C(x) = 126,50x. II. A função V que relaciona o valor de venda de um lote de brincos e o

custo C de produção é V(C) = 1,25C. III. O custo para produção de um lote com 400 brincos é R$ 725,00. IV. Considerando C a função que relaciona o custo de produção de

uma quantidade x de brincos e V a função que relaciona o valor de venda de um lote de brincos com o custo C de produção, então a função composta V(C(x)) é a função que relaciona o valor de venda de um lote de brincos e a quantidade x de brincos produzidos.

V. O preço de venda de um lote com 100 brincos é R$ 343,75. Assinale a alternativa CORRETA. a) Apenas as afirmações II, III, IV e V são VERDADEIRAS. b) Apenas as afirmações I, III, IV e V são VERDADEIRAS. c) Apenas as afirmações III, IV e V são VERDADEIRAS. d) Apenas as afirmações I e II são VERDADEIRAS. e) Todas as afirmações são VERDADEIRAS. 09)(Espm 2012) Sejam f e g funções reais tais que

( ) ( )f 2x 1 2x 4 e g x 1 2x 1+ = + + = − para todo x R.∈ Podemos afirmar que a

função fog(x) é igual a: a) 2x – 1 b) x + 2 c) 3x + 1 d) 2x e) x – 3


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10)(Uepg 2011) Sobre uma função afim f(x) = ax + b, assinale o que for correto. 01. Se a > 0 e b < 0 então f(x) é crescente e possui raiz negativa. 02. Se o gráfico de f(x) passa pelos pontos, (–1, 1) e (3, 5) então f(f(–3)) = 1.

04. Se f(x) + f(x – 3) = x então f(x) = 1 3x .2 4

+

08. Se b = – 3 e f(f(–2)) = – 5 então a = 3. 16. Se a.b > 0 a raiz de f(x) é um número positivo. 11)(Ifal 2011) Considere o gráfico da função y f(x),= representado por

segmentos de reta:

I. ( ) f(4) f(21).=

II. ( ) f(f(f(0))) f(2).=

III. ( ) f(f(6)) 2f(f(f(8))).=

Podemos afirmar que a) somente as afirmativas (I) e (II) são verdadeiras. b) somente as afirmativas (I) e (III) são verdadeiras. c) somente as afirmativas (II) e (III) são verdadeiras. d) todas as afirmativas são verdadeiras. e) todas as afirmativas são falsas.


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12)(Espm 2011) A figura abaixo representa o gráfico cartesiano da função f (x).

Sabendo-se que f (1) = 2, o valor de f ( )f π⎡ ⎤⎣ ⎦

a) 1

b) 32

c) 34

d) 2

e) 52

13)(Afa 2011) Considere o conjunto { }A 0,1,2,3= e a função f : A A→ tal

que ( )f 3 1= e ( )f x x 1= + , se x 3≠ . A soma dos valores de x para os quais

( )( )fofof x 3= é

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 14) Classifique as seguintes funções em par, ímpar ou sem paridade: a) f(x) = 4x4 – 5x2 + 7 b) g(x) = 9x7 – 6x5 + 4x3 + 7 c) h(x) = 15x5 + 6x3 – 5x d) f(x) = x4 + cosx e) g(x) = x3 – senx f) h(x) = x2.cosx


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15)(Fei 1996) Em relação à função polinomial f(x) = 2x3 - 3x, é válido afirmar-se que: a) f(-x) = f(x) b) f(-x) = - f(x) c) f(x2) = ( f(x) )2 d) f(ax) = a f(x) e) f(ax) = a2 f(x) 16)(Unifesp 2010) Uma função f : R → R diz-se par quando f(−x) = f(x), para todo x∈R, e ímpar quando f(−x) = − f(x), para todo x∈R. a) Quais, dentre os gráficos exibidos, melhor representam funções pares

ou funções ímpares? Justifique sua resposta.

b) Dê dois exemplos de funções, y = f(x) e y = g(x), sendo uma par e

outra ímpar, e exiba os seus gráficos. 17)(Ita 2010) Sejam f, g: RR→ tais que f é par e g é impar. Das seguintes afirmações: I. f . g e impar, II. f o g e par, III. g o f e impar, é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) todas.


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18)(Afa 2011) Considere as funções reais f e g tal que ( ) 2f x x 1= + e que

existe a composta de g com f dada por ( )( ) ( )22gof x x 1= + . Sobre a

função g, é incorreto afirmar que ela é a) par. b) sobrejetora. c) tal que

g x( ) ≥ 0,∀x ∈R

d) crescente se [ [x 1,∈+∞

19)(Uepg 2011) Considerando os conjuntos: R = {0, 1, 3, 5, 7}, S = {2, 4, 6} e P = {1, 2}, assinale o que for correto. 01. 1 ∈ (S – P). 02. Existe uma função f: S→ P que é bijetora. 04. (S ∩ P) ∪R = R. 08. R ∩ S ∩ P = ∅ . 16. Nenhuma função f: S → R é sobrejetora. 20)(Uft 2010) Seja a um número real e ] [ [ [f : , a,−∞ ∞ → ∞ uma função

definida por f(x) = m2x2 + 4mx + 1, com m ≠ 0. O valor de a para que a função f seja sobrejetora é: a) - 4 b) - 3 c) 3 d) 0 e) 2 21)(Ita 2005) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0,1} e as afirmações:

I. {0} ∈ S e S ⋂ U ≠ ∅.

II. {2} ⊂ (S - U) e S ⋂ T ⋂ U = {0, 1}.

III. Existe uma função f: S → T injetiva.

IV. Nenhuma função g: T → S é sobrejetiva.

Então, é(são) verdadeira(s)

a) apenas I. b) apenas IV. c) apenas I e IV. d) apenas II e III. e) apenas III e IV.


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22)(Unifesp 2002) Há funções y = f(x) que possuem a seguinte propriedade: "a valores distintos de x correspondem valores distintos de y". Tais funções são chamadas injetoras.

Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem abaixo, é injetora?


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Gabarito:

01) a

02) a

03) a

04) d

05) 09

06) c

07) a

08) a

09) d

10) 06

11) d

12) d

13) b

14)

a) par

b) sem paridade

c) ímpar

d) par

e) ímpar

f) par

15) b

16)

a) As funções pares são I e

III, pois f(-a) = f(a) para

qualquer a real. As

funções ímpares são IV e

V, pois f(-a) = - f(a) para

qualquer a.

b) função y = x2 é par e a

função y = x é ímpar.

17) b

18) b

19) 24

20) b

21) b

22) e


CEM

Resolução: Questão 01: Temos que

2

2

2

f(g(x)) (x 1) 4(x 1)

x 2x 1 4x 4

x 2x 3

(x 3)(x 1).

= − + −

= − + + −

= + −

= + −

Assim, a função f go está definida para os valores de x tais que

(x 3)(x 1) 0 x 3 ou x 1,+ − ≥ ⇔ ≤ − ≥

ou seja, D = {x ∈R | x ≤ −3 ou x ≥1}.

Questão 02: Como f(3) 2 3 1 7= ⋅ + = e g(3) 3 3 1 10,= ⋅ + = segue que

f(g(3)) g(f(3)) f(10) g(7)

2 10 1 (3 7 1)20 1 21 11.

− = −= ⋅ + − ⋅ += + − −= −

Questão 03: Sabendo que g(f(x)) 2x 2= − e g(x) x 1,= + vem

g(f(x)) f(x) 1 2x 2 f(x) 1 f(x) 2x 3.= + ⇔ − = + ⇔ = −

Portanto, f(5) g(2) 2 5 3 2 1 10.+ = ⋅ − + + =


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Questão 04:

( )( )( )

( )2

2

f f x 9x 8

a ax b b 9x 8

a x b a 1 9x 8

a 9, logo a 3 ou a 3.

= +

+ + = +

+ + = +

= = = −

Considerando a 3,= temos:

( )b 3 1 8

b 2+ =

=

Logo ( )f x 3x 2= + e ( ) ( )1 x 2f x

3− −

=

OBS: Poderíamos também ter considerado a 3.= − Questão 05: (01) Verdadeiro. Para qualquer x Q Im(f) I (I ConjuntodosIrracionais)∈ → ∈ →

(02) Falso.

12

2

x 3 2 2g(x) 0 x 6x 1 0

x 3 2 2

⎧ = +⎪= ⇒ − + = ⇒ ⎨= −⎪⎩

(04) Falso.

A função f(x) 5x 2= − é crescente para todo x ∈R

A função 2g(x) x 6x 1= − + é crescente para todo [ )∈ ∞x 3,

(08) Verdadeiro.

= = − + − = − + −o 2 2(f g)(x) f(g(x)) 5(x 6x 1) 2) 5x 30x 5 2 é uma parábola.

(16) Falso. Considerando as funções f e g, ambas com domínio e contradomínio real, temos:

I. −

= − = ℜ = ℜ

+= = ℜ = ℜ1

f(x) 5x 2 com D e CD

x 2f (x) com D e CD5

II. [ ) [ )−

= − + =ℜ = ℜ

= + + = − +∞ = + ∞

2

1

g(x) x 6x 1 com D e CD

g (x) 3 x 8 comD 8, e CD 0,

Portanto, a inversa de g possui restrição quanto ao domínio. Logo, não admite inversa.


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Questão 06:

h(x) = f[g(x)]

h(x) = x40. 16+

h(x) = 20 x 13

⋅ +

Questão 07: A função composta g(f(x)) será dada por:

( )

( )

22

2

g f(x) x 2x 1

g f(x) x 2x 1 para x 1

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + ≥ −

Portanto, o seu gráfico é o da alternativa [A] (apenas o ramo direito da parábola). Questão 08: I. Falsa, pois C(x) = 125 + 1,5x. II. Verdadeira. Como o lucro da produção é de 25% temos V(C) = 1,25 ⋅ C. III. Verdadeira, pois C(400) = 125 + 1,5 ⋅ 400 = R$ 725,00. IV. Verdadeira, pois V(C(x)) = 1,25 ⋅ (125 + 1,5x). V. Verdadeira, pois V(C(100)) = 1,25 ⋅ (125 + 1,5 ⋅ 100) = 1,25 ⋅ 275 = 343,75. Apenas as afirmações II, III, IV e V são VERDADEIRAS.


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Questão 09: Fazendo t 2x 1,= + vem

1 x 1x 2t 1 t (x) .2

− −= + ⇔ =

Logo,

x 1 x 1f 2 1 2 4 f(x) x 3.2 2− −⎛ ⎞⋅ + = ⋅ + ⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Por outro lado, se u x 1,= + então

1x u 1 u (x) x 1.−= + ⇔ = −

Desse modo, g(x 1 1) 2 (x 1) 1 g(x) 2x 3.− + = ⋅ − − ⇔ = −

Portanto, f g(x) f(g(x))

g(x) 32x 3 32x.

== += − +=

o

Questão 10: Item (01) – Falso Sendo f(x) = ax + b, temos para a > 0 e b < 0 o gráfico a seguir:

Portanto, f(x) = ax + b é crescente, porém não possui raiz negativa (intercepta x num valor positivo)


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Item (02) – Verdadeiro Considerando f(x) = ax + b, temos: ( 1,1) f( 1) a( 1) b a b 1 a 1(3,5) f( 3) a( 3) b 3a b 5 b 2− ⇒ − = − + ⇒ − + = =⎧ ⎧

⇒⎨ ⎨⇒ = + ⇒ + = =⎩ ⎩, então f(x) x 2= +

Portanto: f( 3) ( 3) 2 1− = − + = −

Logo: f(f( 3)) ( 1) 2 1− = − + =

Item (04) – Verdadeiro f(x) ax bf(x) f(x 3) 1x(ax b) (a(x 3) b) 1xax b ax 3a b 1x2ax 2b 3a 1x

Logo :12a 1 a232b 3a 0 b4

⇒ = +⇒ + − =⇒ + + − + =⇒ + + − + =⇒ + − =

⎧ = → =⎪⎪⎨⎪ − = → =⎪⎩

Portanto: 1 3f(x) x2 4

⇒ = +

Item (08) – Falso Para b 3 f(x) ax 3⇒ = − → = −

( )2

f( 2) 2a 3f(f( 2)) a 2a 3) 3

f(f( 2)) 2a 3a 3

⇒ − = − −⇒ − = − − −

⇒ − = − − −

Portanto:

2

2

1 2

f(f( 2)) 5Logo

2a 3a 3 52a 3a 2 0

Temos :1a 2 ou a2

− = −

⇒ − − − = −⇒ − − + =

= − =

Item (16) – Falso Se a 0 e b 0 ab 0Logo :A raiz de f(x) ax b será negativa.

< < ⇒ >

= +.


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Questão 11: A lei da função f é dada por

3x 6, se 0 x 8f(x) 30, se 8 x 15 .

2x 60, se15 x 30

+ ≤ <⎧⎪= ≤ <⎨⎪− + ≤ ≤⎩

I. Verdadeira. f(4) 3 4 6 18= ⋅ + = e f(21) 2 21 60 18.= − ⋅ + = II. Verdadeira.

f(f(f(0))) f(f(3 0 6))f(f(6))f(3 6 6)f(24)2 24 6012.

= ⋅ +== ⋅ +== − ⋅ +=

e f(2) 3 2 6 12.= ⋅ + = III. Verdadeira f(f(6)) 12.= e

2 f(f(f(8))) 2 f(f(30))2 f( 2 30 60)2 f(0)2 (3 0 6)12.

⋅ = ⋅= ⋅ − ⋅ += ⋅= ⋅ ⋅ +=

Questão 12: Observando que f é constante para 2 x 4≤ ≤ e sabendo que 3,14,π ≅ basta calcularmos f(f(2)) para determinarmos f(f( )).π Do gráfico, temos que para x 2≤ f é uma função afim, isto é, f(x) ax b.= + Como o gráfico intersecta o eixo y no ponto de ordenada 3, temos que b 3.= Além disso, sabemos que f(1) 2.= Logo, 2 a 1 3 a 1= ⋅ + ⇒ = −. Desse modo, f(x) x 3= − + para x 2≤ e, assim, f(2) 2 3 1= − + = . Portanto, f(f( )) f(f(2)) f(1) 2.π = = =


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Questão 13: f[f(f(x))] =3 f(f(x)) = 2 f(x) =1 Portanto, x = 3. Questão 14: a) Função polinomial só com expoentes pares b) Função polinomial com expoentes pares e com expoentes ímpares c) Função polinomial só com expoentes ímpares d) Soma de funções pares e) Soma de funções ímpares f) Produto de funções pares Questão 15: A Função f(x) = 2x3 - 3x é uma função polinomial só com expoentes

ímpares, portanto ela é ímpar, ou seja f(-x) = -f(x) Questão 16: a) As funções pares são I e III, pois f(-a) = f(a) para qualquer a real. As

funções ímpares são IV e V, pois f(-a) = - f(a) para qualquer a. b) função y = x2 é par e a função y = x é ímpar.

Questão 17: I. f(-x).g(-x) = - f(x).g(x) (função ímpar) II.f(g(-x)) = f(-g(x)) = f(g(x)) ( função par) III.g(f(-x)) = g(f(x)) ( função par) Apenas I e II estão corretas.


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Questão 18:

2g(f(x)) (f(x)) f(x)

portanto g(x) = x

= =

g(x) não é sobrejetora, pois seu conjunto imagem é 0,+∞⎡ ⎡⎣ ⎣ e seu

contradomínio é o conjunto dos números reais. Questão 19: Item (01) - Falso S – P = {4,6}. Portanto 1 ∉ (S – P). Item (02) - Falso Função Bijetora ⇔ Função injetora e função sobrejetora. Função injetora: 1 2 1 2x x y y≠ ⇒ ≠

Função sobrejetora: CD(f) Im(f)=

Portanto: f : S P→ não é injetora, pois existirá 1 2 1 2x x y y≠ ⇒ =

Item (04) - Falso

{ }(S P) R 0,1,2,3,5,7 R∩ ∪ = ≠

Item (08) – Verdadeiro R S P ,∩ ∩ = ∅ pois não possuem nenhum elemento em comum.

Item (16) – Verdadeiro Função sobrejetora: CD(f) Im(f)=

Portanto: Qualquer associação entre S e R que defina uma função terá CD(f) Im(f).≠


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Questão 20: a deverá ser o y do vértice.

Portanto, s = 3412

.4)1..4)4((

4 2

2

2

22−=−=

−−=Δ−

mm

mmm

a

Questão 21: b Questão 22: e

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