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Domínio, Contradomínio e Imagem mcabral/livros/livro-alglin/... Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Domínio, Contradomínio e

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  • Transformações Lineares Revisão de Funções

    Definição

    Projeção, Rotação e Reflexão

    Núcleo e Imagem

    composição de TLs/produto de matrizes

    Função Inversa

    Inversa de TL

    Domínio, Contradomínio e Imagem

    Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)

    Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:

    YX

    f (X )

    X é o domínio; Y é o contra-domínio e {y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X} é a imagem, denotada Im(f ) ou f (X ).

    Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 30

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    Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)

    Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:

    YX

    f (X )

    X é o domínio; Y é o contra-domínio e {y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X} é a imagem, denotada Im(f ) ou f (X ).

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    Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:

    YX

    f (X )

    X é o domínio; Y é o contra-domínio e {y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X} é a imagem, denotada Im(f ) ou f (X ).

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    Domínio, Contradomínio e Imagem

    Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)

    Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:

    YX

    f (X )

    X é o domínio; Y é o contra-domínio e {y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X} é a imagem, denotada Im(f ) ou f (X ).

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    Inversa de TL

    Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva

    Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)

    Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez.

    Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30

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    Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva

    Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)

    Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez.

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    Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva

    Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)

    Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez.

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    Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva

    Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)

    Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez.

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    Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)

    Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez.

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    Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva

    Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)

    Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez.

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    Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva

    Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)

    Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez.

    Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30

  • Transformações Lineares Revisão de Funções

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    Núcleo e Imagem

    composição de TLs/produto de matrizes

    Função Inversa

    Inversa de TL

    Funções – Exemplo 1

    Exemplo (função injetiva)

    f : R → R2 definido por f (x) = (x , x).

    f

    R é o domínio R2 é o contra-domínio É injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = y Não é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ R A imagem de f é a reta y = x.

    Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 30

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    composição de TLs/produto de matrizes

    Função Inversa

    Inversa de TL

    Funções – Exemplo 1

    Exemplo (função injetiva)

    f : R → R2 definido por f (x) = (x , x).

    f

    R é o domínio R2 é o contra-domínio É injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = y Não

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