TESTES EM MODELOS WEIBULL NA FORMAESTENDIDA DE MARSHALL-OLKIN

Felipe H. A. Magalhaes, Dione M. Valenca,Universidade Federal do Rio Grande do Norte, PPGMAE, DEST,

59072-970, Natal, RNE-mail: jubaster@gmail.com, dione@ccet.ufrn.br,

Palavras-chave: Metodos Estatısticos. Analise de sobrevivencia. Distribuicao Weibull. Dis-tribuicao de Marshall-Olkin. Teste da Razao de Verossimilhanca. Teste Gradiente

Resumo: Em analise de sobrevivencia, a variavel resposta e, geralmente, o tempo ate aocorrencia de um evento de interesse, denominado tempo de falha, e uma caracterıstica dedados de sobrevivencia e a presenca de censura, que e a observacao parcial da resposta. Associ-ados a essas informacoes, alguns modelos ocupam uma posicao de destaque por sua comprovadaadequacao a varias situacoes praticas, entre os quais e possıvel citar o modelo Weibull. Dis-tribuicoes na forma estendida de Marshall-Olkin oferecem uma generalizacao de distribuicoesbasicas que permitem uma flexibilidade maior no ajuste de dados de tempo de vida. Este tra-balho apresenta um estudo de simulacao que compara duas estatısticas de teste, a da Razao deVerossimilhancas e a Gradiente, utilizando a distribuicao Weibull em sua forma estendida deMarshall-Olkin. Como resultado, verifica-se apenas uma pequena vantagem para estatıstica daRazao de Verossimilhancas.

1 Introducao

Na analise de dados de sobrevivencia, algumas distribuicoes sao classicas. Dentre elas podemosdestacar a exponencial, Gamma, log-normal e a Weibull. Marshall e Olkin (1997) propoem umanova forma de expandir e ampliar uma famılia de distribuicoes pela introducao de um novoparametro (α). Considerando o fato de que um novo parametro foi inserido, e natural que sequeira avaliar o ajuste dos dados, testando o parametro que distingue a nova distribuicao dabasica.

Em um trabalho recente, Caroni (2010) compara, por simulacao, as estatısticas classicas daRazao de Verossimilhanca, Wald e Escore de Rao (Cox e Hinkley, 1974) para testar o parametroque distingue a distribuicao Marshall-Olkin estendida de uma basica. Como resultado verificouque o teste da razao de verossimilhanca mostrou-se superior aos outros.

Recentemente Terrell (2002) propos de uma nova estatıstica, chamada de gradiente, que ap-resenta a vantagem de nao envolver calculo matricial como produto de inversa de matrizes. Estaestatıstica, como as classicas, tambem tem, aproximadamente, uma distribuicao qui-quadradosob a hipotese nula.

O objetivo deste trabalho e comparar por meio de simulacao as estatısticas de teste da razaode verossimilhancas e gradiente para testar o parametro que distingue a distribuicao estendidada basica.

2 Distribuicao de Marshall-Olkin

Seja T uma variavel aleatoria (v.a.) contınua com funcao de distribuicao F(t) e funcao desobrevivencia S(t) = 1- F(t). A forma estendida de Marshall-Olkin correspondente, tem funcao

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de sobrevivencia, dada por:

SMO(t;α) =αS(t)

1− αS(t)=

αS(t)F (t) + αS(t)

, (1)

em que t > 0, α > 0, α = 1 − α. Marshall e Olkin (1997) apresentam toda a construcao daforma estendida para t ∈ <.

Define-se a funcao de risco como:

h(t;α) =r(t)

(1− αS(t)), (2)

com t > 0, α > 0, α = 1− α.Dessa forma, a funcao de log-verossimilhanca e definida a seguir:

l(t;α) =n∑1

{δi lnh(t;α) + lnSMO(t;α)} . (3)

Alem da flexibilidade, uma motivacao em inserir o novo parametro α e a inexistencia damonoticidade da funcao risco para 0 < α < 1.

3 Estatısticas de Teste

Considere θ um vetor parametrico pertencente a Θ ⊂ <p particionado da seguinte forma θ =(α, φ)T de tal maneira que a dim(α) = 1 e dim(φ) = p − 1. Suponha que se quer testar asseguintes hipoteses:

H0 : α = α0 versus H1 : α 6= α0.

Considere tambem θ e θ0, respectivamente, os estimadores de maxima verossimilhanca de θirrestrito e sob H0, onde θ = (α, φ), θ0 = (α0, φ0).

Pode-se testar H0 contra H1 usando o teste da razao de verossimilhancas que e dada por:

ξRV = 2{l(α, φ)− l(α0, φ0)

}(4)

em que φ0 e o estimador de maxima verossimilhanca de φ sobre a hipotese nula e α, φ saoestimadores de maxima verossimilhanca em relacao a todo o espaco parametrico Θ.

A funcao escore neste caso e da forma

U(α, φ)T = [Uα(α, φ), Uφ(α, φ)] ,

sendo Uα(α, φ) = ∂l(α,φ)∂α e Uφ = ∂l(α,φ)

∂φ .A estatıstica gradiente sob as mesmas condicoes definidas acima e dado por

ξG = U(α0, φ0)T [

(α, φ)− (α0, φ0)].

Assim como a estatıstica da razao de verossimilhancas, a estatıstica gradiente possui uma dis-tribuicao aproximadamente qui-quadrado com 1 grau de liberdade.

A estatıstica gradiente para este modelo e dada por:

ξG = Uα(α0, φ0) [α− α0] + Uφ(α0, φ0)[φ− φ0

]=

1α0

n∑i=1

{1− SMO(α0, φ0) [1 + δi]

}[α− α0] , (5)

em que Uφ(α0, φ0) = 0.

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4 Simulacao

Realiza-se um estudo de simulacao para investigar o desempenho dos testes com respeito aproximidade das a taxa de rejeicao calculadas do verdadeiro nıvel nominal fixado para testar ahipotese nula H0 : α = 1 da WeibullMO(α, γ, 1), em amostras finitas.

O tamanho das amostras n variam de 5 em 5 e vai de 5 ate 150 para a Fig. 1 e de 20 ate 160para a Fig. 2. Os Tempos de vida T ′

is foram gerados com distribuicao WeibulMO(α, γ, 1), parai = 1, ..., n, sob H0. Como parametros desconhecidos se tem θ = α, γ = 0, 5 e θ = (α, γ), γ comoparametro de perturbacao nas Figuras 1 e 2 respectivamente. Considera-se censuras aleatoriasa direita geradas de uma Exp(1/ζ), com ζ = 5, 5 se tem 15% de censura. 10.000 Replicas saogeradas e em cada replica calcula-se os valores das estatısticas ξRV e ξG. Por fim, calcula-se aproporcao de vezes que H0 : α = 1 e rejeitada para cada tamanho de amostra.

O software utilizado foi o R 2.12.2 com base no metodo quase-Newton, BFGS(Broyden,Fletcher, Goldfarb, Shanno, 1970), por meio do comando optim, para obter os estimadores demaxima verossimilhanca. O pacote reliaR foi utilizado para obtencao da funcoes de densidade,sobrevivencia e risco da distribuicao Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin.

Figura 1: Taxas de rejeicao de H0 : α = 1, para diferentes tamanhos de amostra, utilizando a distribuicao em(a) WeibullMO(α, 0.5, 1) e em (b) WeibullMO(α, γ, 1) com 15% de censura, respectivamente.

5 Conclusao

Os resultados das simulacoes apresentados representam a contribuicao original deste trabalho,mostram claramente que os testes da razao da verossimilhancas e gradiente sao suficientementeprecisos para testar o parametro extra α nas distribuicoes exponencial e Weibull na forma es-tendida de Marshall-Olkin em amostras finitas. A estatısitica gradiente apresentou em geral,uma leve desvantagem, principalmente em amostras muito pequenas e censuradas. Esta desvan-tagem ocorre pelo fato deste teste apresentar o tamanho empirico do teste maior que o nıvelnominal considerado (1% ou 5%). Quando o parametro de forma da Weibull foi consideradode perturbacao (Figura 1b) observou-se o melhor resultado para esta estatıstica, que mostrouresultados equivalentes aos obtidos pela estatıstica da razao de verossimilhancas.

Referencias

[1] CARONI, C. Testing for the Marshall-Olkin extended form of the Weibull dis-tribution. Statistical Papers 51:325-336. 2010.

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[2] MARSHALL AW; OLKIN, I. A new method of adding a parameter to a family ofdistributions with application to the exponential and Weibull families. Biometrika84:641-652. 1997.

[3] TERRELL, GR. The Gradient Statistic. Computing Science and Statistics 34, 206-215.2002.

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