Texto_Empuxo_e_Est_Arrimo

5/11/2018 Texto_Empuxo_e_Est_Arrimo - slidepdf.com

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Aposti la de Mecânica dos Solos vol. 2 – EESC - USP (Benedito de S. Bueno e Orencio M. Vi lar) 95

CAPÍTULO 15

EMPUXOS DE TERRAS

1. INTRODUÇÃO

Por empuxo de terra entendem-se as solicitações do solo sobre as estruturas que interagemcom os maciços terrosos, ou forças que se desenvolvem no interior destes maciços.

O cálculo dos empuxos constitui uma das maiores e mais antigas preocupações da engenhariacivil; data de 1776 a primeira contribuição efetiva ao tema, em muito anterior ao nascimento daMecânica dos Solos como ciência autônoma. Trata-se de um problema de grande interesse prático, deocorrência freqüente e de determinação complexa.

Os muros de arrimo, os escoramentos de escavações os encontros de pontes, os problemas decapacidade de carga de fundações, entre outras, são as obras que exigem, em seus dimensionamentos eanálises de estabilidade, o conhecimento dos valores dos empuxos.

No estudo deste assunto, como na maioria dos problemas sob domínio da Mecânica dos Solos,

raras são as situações em que é possível determinar forças e, por conseguinte, tensões com base apenasnas condições de equilíbrio; os problemas são, em geral, estaticamente indeterminados.Para vencer esta dificuldade é imperioso considerar as condições de compatibilidade entre os

deslocamentos, o que implica a necessidade de conhecer-se também a variação das tensões com asdeformações, ou seja, a curva σx ε.

Há, em síntese, duas linhas de conduta no estudo dos empuxos de terra. A primeira, de cunhoteórico, apóia-se em tratamentos matemáticos elaborados a partir de modelos reológicos que tentamtraduzir, tanto quanto possível, o comportamento preciso da relação tensão x deformação dos solos.Este procedimento, em sua forma mais abrangente, considerando todos os aspectos do comportamentoreal dos solos, implica em dificuldades matemáticas insuperáveis. Isto leva a tomar-se hipótesessimplificadoras que acabam por definir uma situação que se distancia dos problemas práticos deinteresse.

A segunda forma de abordagem é de caráter empírico-experimental; são recomendaçõescolhidas de observações em modelos de laboratório e em obras instrumentadas.

A automatização dos métodos numéricos (diferenças finitas, método dos elementos finitos)através de computadores e a evolução das técnicas de amostragem e ensaios têm propiciado, nosúltimos anos, um desenvolvimento significativo dos processos de cunho teórico.

As análises através do método dos elementos finitos apresentam a vantagem de calcular tantoos empuxos como as deformações do solo e da estrutura. Todos os aspectos envolventes no problematais como interação solo-estrutura, seqüência construtiva, forma de abordagem da curva σ x ε , podemser levados em consideração. O único senão do método é devido às dificuldades que se enfrenta paradefinir com precisão a curva σ x ε do solo e os parâmetros a ela relacionados, que são, juntamente comos dados de geometria, de massa especifica, de condições de contorno, o "input" do problema.

Neste capítulo serão tratados apenas os processos clássicos de determinação de empuxos, deRankine e de Coulomb.

2. COEFICIENTES DE EMPUXO ATIVO, EM REPOUSO E PASSIVO

Para a determinação dos coeficientes de empuxo considere-se um semi-espaço infinito,constituído por um solo granular, homogêneo, isotrópico, não saturado e de superfície horizontal(Figura 15.1). Tome-se um elemento de espessura dz situado a uma profundidade z.




Figura 15.1 - Maciço de extensão semi-infinita, homogêneo e isotrópico em condição derepouso.

Sobre as faces do elemento atuam tensões verticais e horizontais, σv e σh , respectivamente.Em razão da geometria do problema estas tensões são principais. São elas que provocam asdeformações no elemento; estas, se descritas pela teoria da elasticidade tomam a forma:

[ ]µ⋅σ−σ⋅=ε 2E

1HVV

[ ])(E

1HVHH σ+σµ−σ⋅=ε

Para condição em que as deformações laterais são impedidas 0H =ε , tem-se:

[ ] 0HVH =σ+σ⋅µ−σ

0HVH =µσ−σ⋅µ−σ

Chamando a relação entre as tensões horizontais (σh ) e tensões verticais (σv) de Ko, temos:

µ−

µ−=

σ

σ=

1K

v

h

0 ou 0K

hv

h

0 =

σ

σ=

ε

Esta condição, ε h = 0 (deformações laterais nulas), é denominada em repouso e K 0,coeficiente de empuxo em repouso.

Imagine-se agora que a face esquerda do elemento dz foi substituída, sem que se introduzissenenhuma perturbação no solo, por um elemento de suporte (um muro de arrimo, por exemplo) e que se

procedeu à retirada do material situado deste lado (Figura 15.2).

Figura 15.2 - Estrutura de suporte em repouso.




A partir desta nova situação, mantendo-se σv constante, é possível estabelecer-se duascondições limites para o problema:

a) permitindo-se os deslocamentos do anteparo para a esquerda, ou seja, provocando-seuma expansão no solo:a tensão horizontal decresce até um valor limite mínimo, σha' correspondente à ruptura do solo. Esta condição é denominada ativa e a relação

avha K=σσ , coeficiente de empuxo ativo;

b) proporcionando deslocamentos do anteparo contra o maciço, isto é, causando umacompressão no solo; a tensão horizontal cresce até um valor limite máximo, o σhp , quecorresponde também a ruptura. Esta condição é denominada passiva e a relação

pvhp K=σσ , coeficiente de empuxo passivo.

Deslocamentos adicionais no anteparo para além daqueles que provocam as condições ativa epassiva não mais alteram os valores assumidos pelas tensões horizontais visto que o modelo reológicoempregado é o elasto-plástico. Isto significa que ao atingir as condições limites o solo plastifica, ouseja, as deformações continuam a crescer para um nível de tensão mantido constante.

A Figura 15.3 resume aquilo que foi definido.

Figura 15.3 - Coeficiente de empuxo: a) condição ativa; b)condição passiva; c) coeficiente deempuxo em função dos deslocamentos do anteparo.

Quando o anteparo movimenta-se livremente para a direita ou para a esquerda estabelecem-seas condições extremas de empuxo passivo e ativo, respectivamente. Estes dois casos definem oslimiares da ruptura do solo e são conhecidos como estados de equilíbrio limite.

Os valores dos empuxos no intervalo entre as condições ativa e passiva situam-se em umestado de equilíbrio elástico. Neles os deslocamentos do anteparo são insuficientes para provocar aruptura; o solo ainda está na sua fase elástica (lembrar que o modelo reológico utilizado é o elasto-plástico).

As condições de equilíbrio de forças estabelecidas para qualquer elemento do maciço, dentroda fase de equilíbrio elástico, definem um sistema de equações no qual o número de incógnitas superao número de equações. O problema é, portanto, estaticamente indeterminado, sem uma soluçãomatemática.

Considere-se, para verificação deste fato, o elemento de solo atrás referido. As tensõesnormais e cisalhantes que atuam sobre os pontos colocados sobre uma face do elemento variam àmedida que se caminha para a face oposta, ou seja, ao longo dos comprimentos dx e dz. As análisesde equilíbrio fornecerão as seguintes equações:

Xz

xz

x

x=

∂τ∂

+∂σ∂

Zz

z

x

xz=

∂σ∂

+∂τ∂




As forças X e Z são componentes das forças externas ou das forças de massa, que atuam sobreo elemento; elas são, portanto, de valor conhecido. Como foi atrás referido tem-se um sistema deequações com duas equações e três incógnitas, quais sejam σx, σz, τxz.

A compatibilização entre o número de equações e o número de incógnitas é possível quandose adiciona ao sistema definido anteriormente aquela equação que traduz o critério de ruptura ou deresistência do solo. No caso mais geral da Mecânica dos Solos esta equação será a estabelecida pelocritério de Mohr Coulomb )tgc( φ⋅σ+=τ . No entanto isto é possível para as condições deequilíbrio limite. Significa então que apenas as condições de empuxo ativo e passivo sãomatematicamente determinadas. Qualquer outra, inclusive a de repouso, não o é.

A condição de repouso, cujo conhecimento é de importância relevante, como será mostrado aseguir, só pode ser determinada experimentalmente. As técnicas de ensaios são ainda precárias, alémde trabalhosas.

Diante do exposto pode concluir-se que a determinação dos empuxos de terra constitui umatarefa de admirável complexidade. As condições extremas, determináveis, exigem deformaçõessuficientes para serem despertadas. Experiências realizadas com areias evidenciam que para o casoativo, deslocamentos da ordem de 0,1% da altura do anteparo são suficientes para provocar o estado deequilíbrio limite no caso ativo e deslocamentos maiores, de 4 a 5%, para o caso passivo.

Em muitos casos as estruturas de suporte são projetadas para trabalhar em intervalos situados

nas faixas ativo-repouso e repouso-passivo. O posicionamento será determinado pela maior ou menorcapacidade de deformação das estruturas. Segundo Mello (l975), em termos práticos adota-se apostura de calcular os empuxos ativo e passivo (E A e Ep), alterando-os, em seguida, com auxílio deum fator para fugir-se da situação de ruptura. No caso ativo, o valor de EA será majorado por umcoeficiente tomado, em geral, entre 1,3 a 1,5. Para a situação passiva , o valor de Ep será dividido porum fator compreendido na faixa de 1,4 a 1,5. Desta forma, os valores de projeto situar-se-ão dentro dafase de equilíbrio elástico. No caso ativo, este procedimento implica em obras de maior porte,portanto mais caras; em compensação o inverso ocorre para a situação passiva. Em ambos, porém, háa garantia da ausência da ruptura do solo arrimado.

3. COEFICIENTE DE EMPUXO EM REPOUSO

A condição de empuxo em repouso é estabelecida quando as deformações laterais do solo sãoimpedidas, ou seja:

0K

hv

h

0 =

σ

σ=

ε

O valor de Ko depende do tipo de solo, das condições geológicas que governaram a suaformação e do histórico de tensões a que foi submetido desde a sua gênese. Verifica-se que certossolos, cujas formações foram regidas pela sedimentação natural, possuem Ko aproximadamente

constante com a profundidade. Neste fato reside o interesse prático pela sua determinação, devido aque, nesta condição, K0 depende apenas do tipo de solo e do método de deposição.Como foi atrás referido, as determinações de Ko só são possíveis por via experimental, a partir

de ensaios de laboratório e de campo. Elas exigem técnicas de ensaio e equipamentos especializadas ede grande sensibilidade; são trabalhosas e, em geral não se situam na categoria dos ensaios de rotinada maioria dos laboratórios.

Bishop e Henkel (l957) propuseram uma técnica de determinação de Ko baseada em ensaiostriaxiais como deformações laterais impedidas. Os ensaios podem ser realizados de forma drenada ounão drenada, com amostras saturadas ou parcialmente saturadas.

Existem ensaios de campo, como o pressiômetro,que permitem a determinação "in situ" dovalor de Ko.

Em razão das dificuldades existentes para o conhecimento de Ko, várias relações empíricas

foram propostas para a sua determinação, dentre as quais pode enumerar-se:a) )sen1(K '

0 φ−= Jaky (1944);

b) )sen1(9,0K '

0 φ−= Frazer (1957);




c)'

'

'

0sen1

sen1)sen1(K

φ+

φ−φ−= Kezdi (1962);

d) )sen59,0(K '

0 φ−= Brooker (1965)

Ireland

A expressão de Jaky, apresentada no item a),é uma forma simplificada da expressão originalproposta,

'

''

0sen1

sen1)sen

3

21(K

φ+

φ−φ+=

Alpan (1967) sugere que se adote a equação a) para solos arenosos e a relação abaixo parasolos argilosos normalmente adensados:

)IP(log233,019,0K 0 ⋅+= ; IP em %

Segundo Alpan a determinação experimental de K0 é, no mínimo, uma tarefa laboriosa e se oefeito do pré-adensamento for considerado, ela torna-se proibitiva. Ainda não existe uma análiseteórica válida para o problema e esta pode tornar-se impraticável em vista da não linearidade existenteentre tensão e deformação.

Nos solos pré-adensados, tendo havido uma redução parcial da sobrecarga, nem sempreacompanhada de uma redução de deformação (o solo não tem comportamento elástico) podeencontrar-se valores de Ko maiores do que a unidade. A Tabela 15-l fornece valores de Ko para algunstipos de solos.

Tabela 15.1 - Valores de Ko (composta a partir de Bernatzik, 1947; Bishop, 1957,1958;Simons, 1958; Terzaghi e Peck,1967).

TIPO DE SOLO LL LP IP ATIVIDADE KO

Areia compacta (e = 0,60)

Areia média (e = 0,70)

Areia fofa (e = 0.88)

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0,49

0,52

0,64

Areia fofa saturada

Areia compacta saturada

Argila residual compacta

Argila residual compacta

Argila mole, orgânica, indeformada

Argila marinha, indeformada

Argila sensível

-

-

-

-

74,0

37,0

34,0

-

-

-

-

28,6

21,0

24,0

-

-

9,3

31,0

45,4

16,0

10,0

-

-

0,44

1,55

1,20

0,21

0,18

0,46

0,36

0,42

0,66

0,57

0,48

0,52

Argilas

Areias não compactadas

(fofas ou compactas)

Areias compactas por camadas

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0,60 a 0,80

0,40 a 0,50

0,80




4. MÉTODO DE RANKINE

Os processos clássicos utilizados para a determinação dos empuxos de terra são métodos deequilíbrio limite. Admite-se neles que a cunha de solo situada em contacto com a estrutura de suporteesteja num dos possíveis estados de plastificação, ativo ou passivo. Esta cunha tenta deslocar-se daparte fixa do maciço e sobre ela são aplicadas as análises de equilíbrio dos corpos rígidos.

A análise de Rankine apoia-se nas equações de equilíbrio interno do maciço. Estas equaçõessão definidas para um elemento infinitesimal do meio e estendida a toda massa plastificada através deintegração. Esta análise enquadra-se no teorema da região inferior (TRI) da teoria da plasticidade.

Como filosofia básica este teorema defende, em primeiro lugar, o equilíbrio entre os camposde tensão externos e internos que se estabelecem sobre a cunha plastificada. As tensões externas sãomotivadas por solicitações aplicadas na superfície do terreno ou pela ação do peso próprio da cunha.As solicitações internas são as reações que se desenvolvem na cunha, como conseqüência dassolicitações externas. Como segundo aspecto, o TRI impõe respeito a um critério de resistência, ouseja, que não haja em nenhum ponto desta cunha um estado de tensão capaz de levá-la, nem mesmonuma zona localizada, à condição de ruptura.

Estas duas exigências implicam uma condição de iminência de plastificação, ou seja, estadoativo ou passivo. Elas podem ser representadas, neste caso, graficamente num plano σx τ, por círculos

de Mohr que tangenciam as envoltórias de ruptura, pois o círculo de Mohr é a representação gráficadas condições de equilíbrio em torno de um ponto. As condições de iminência de ruptura, nos casosativo e passivo, são designadas neste plano pelos pontos da envoltória de resistência.

As linhas envoltórias separam o plano σx τ em duas regiões: na primeira, interna a elas, há umregime de equilíbrio elástico; na segunda, externa, há um processo de plastificação ou de ruptura emcurso e, sobre os pontos da envoltória há situações de equilíbrio limite.

Um ponto qualquer, no interior de um maciço em repouso, está sob um estado de tensão quepode ser representado por um círculo de Mohr. Nas condições de geometria simples, maciço infinitode superfície horizontal, os valores de σv e σh são tensões principais, basta para isto considerar asimetria do problema.

Mantendo-se constante o valor de σv e fazendo variar σh desde o seu valor inicial, de formacrescente ou decrescente, estabelecem-se as condições limites, ou seja, chega-se a dois círculos de

Mohr que tangenciam as envoltórias de resistência. As relações entre σv e σh definem os estados deempuxo ativo e passivo, conforme tenha sido o comportamento de σh crescente, ou decrescente, pelaordem. A Figura 15.4 reproduz aquilo que ora foi definido.

Figura 15.4 - Círculos de Mohr correspondentes aos estados de tensão em repouso, ativo epassivo.

A solução de Rankine (1856), estabelecida para solos granulares e entendida por Rèsal (l9l0) asolos com coesão, constitui a primeira contribuição ao estudo das condições de equilíbrio limite dos




maciços, tendo em conta as equações de equilíbrio interno do solo; em razão disto, estas condições sãoconhecidas como estados de plastificação de Rankine.

O método de Rankine, que consiste na integração, ao longo de altura do elemento de suporte,das tensões horizontais atuantes, calculadas a partir do sistema de equações estabelecidas para omaciço, fundamenta-se nas seguintes hipóteses:

a) maciço homogêneo de extensão infinita e de superfície plana (horizontal);b) maciço nos estados de plastificação de Rankine.

Embora teoricamente a solução de Rankine só seja válida para muro de parede vertical,perfeitamente lisa, que é quando se atingem os estados de plastificação de Rankine (superfície deescorregamento fazendo um ângulo igual a )245( φ + ou )245( φ − com o plano principal maior,para as condições ativa e passiva, respectivamente (Figura 15.5), ela é entendida também aos casos emque o tardoz do muro faz um ângulo β com a vertical. Quando a superfície do terreno é inclinada deum ângulo i com a horizontal, há que se considerar o muro com uma rugosidade suficiente parainclinar as tensões resultantes do mesmo valor.

Figura 15.5 - Condições para aplicação da teoria de Rankine.

À medida que se afasta das condições teóricas fundamentais, o método fornece valores que sedistanciam cada vez mais dos valores práticos observados. A presença do atrito ou de adesão nainterface gera tensões tangenciais que contribuem para resistir ao deslocamento da cunha plastificada;no caso ativo é empuxo será superestimado e no caso passivo, subestimado.

Além disso, o atrito propicia uma redução da componente horizontal do empuxo (menorquanto maior for o valor do atrito (δ) entre o solo e o muro) e provoca o encurvamento das superfíciesde escorregamento (sem ele reta), Figura 15.6.

Figura 15.6 - Efeito do atrito solo-estrutura sobre as direções dos planos de ruptura.

Como foi atrás referido, as expressões analíticas do método de Rankine podem ser obtidas apartir de construções gráficas do círculo de Mohr.

A seguir mostram-se os casos, de geometria simples, em que e possível aplicar a teoria deRankine. Os casos de geometria mais complexa serão analisados através dos processos gráficos dateoria de Coulomb.




a) Empuxos em maciços de superfície horizontala.1) Solos granulares

Sejam as considerações feitas para o solo da Figura 15.7.

Figura 15.7 - Estado de tensão em repouso em maciço granular com superfície horizontal.

Sobre o ponto P, num plano horizontal, atua uma tensão vertical zv ⋅γ=σ , que como sesabe, é uma tensão principal.

Estando o solo em condição de repouso, v0h K σ⋅=σ ; esta é também uma tensão principal e

atua em um plano vertical.O estado de tensão no ponto P fica definido com o conhecimento das direções destes dois

planos e das tensões neles atuantes. Este estado é representado pelo círculo de diâmetro 1PB , Figura15.8.

As condições de equilíbrio plástico podem ser conhecidas traçando-se as envoltórias deresistência e estabelecendo-se os círculos que passam por P e que tangenciam as envoltórias.

Figura 15.8 - Determinação dos coeficientes de empuxo em solos granulares.

O pólo do círculo no caso ativo (PA) situa-se coincidente com a σHA e no caso passivo (Pp ),

com σHP. Unindo-se através de retas, PA com D1 e PA com D2 ficam determinadas as direções dosplanos de ruptura para o caso ativo. Para o caso passivo una-se Pp a E1 e Pp a E2.Conforme já definido, a relação entre tensões efetivas horizontais e verticais constitui o

coeficiente de empuxo. No caso ativo tem-se:




V

HA

AKσ

σ=

Da Figura 15.8.

VHA

VHA

HAV

HAV

1

1

sen σσ+

σσ−

=σ+σ

σ−σ

=φ

Donde

( )245tgsen1

sen1K 2

V

HA

A φ−=φ+

φ−=

σ

σ=

( )245tgsen1

sen1K 2

V

HP

P φ+=φ−

φ+=

σ

σ=

Estas relações permitem concluir que:

A

PK

1K =

Observe que a variação das tensões horizontais é linear com a profundidade (

K= vAha σ⋅σ e zv ⋅γ=σ ). O diagrama resultante será triangular (Figura 15.9) e o empuxo

consistirá na integração das tensões laterais ao longo da altura.

Figura 15.9 - Distribuição de esforços laterais e empuxo pela Teoria de Rankine

a.2 - Solos com coesão e atrito

Para esta condição, seja a Figura 15.10.A tensão lateral poderá ser obtida como segue.

O P

O PK

3 A

3

A= v3

haA3

+cotgc= PO

+cotgcPO

σφ⋅

σφ⋅=

Substituindo

Av K)cotg.(cha cotgc σ+φ=+φ⋅




( )1KgcotcK AAVHA −⋅φ⋅+⋅σ=σ

porém

( ) AA K21K cotg −=−⋅φ

Disso resulta

AAVHA Kc2K −⋅σ=σ

O empuxo resultante sobre um muro de altura H será:

( )dzK2c-zK=dzE

H

0

AA

H

0

haA ∫ ∫ ⋅γ⋅⋅σ=

A

2

AA KHc2HK2

1=E ⋅−⋅γ⋅

Figura 15.10 - Determinação da tensão lateral em solos com coesão e atrito.

É importante notar que quando o solo apresenta coesão, KA já não se refere mais à relaçãoentre σ ha e σ v. Caso se deseje um coeficiente que retrate a relação entre tensão horizontal e vertical,este poderá ser obtido como segue, porém deve-se notar que o coeficiente assim obtido (KA

c) dependedo nível de tensão e deixa de ter uma importância prática tão relevante quanto a que se observa para ocaso de solos granulares.

AAvha Kc2K −⋅σ=σ

K Kc

KA

c ha

v

A

v

A= = −σ

σ σ

2

Em virtude do solo apresentar coesão, nem sempre será possível estabelecer uma condição deruptura. Ela só ocorrerá para pontos em que a tensão vertical seja superior a um dado valor 0z⋅γ .




Neste caso limite, o valor de σ h será nulo e o circulo ativo traçado será tangente à envoltória,conforme se representa na Figura 15.11.

Figura 15.11 - Determinação da distância zo : a) círculo de Mohr; b) diagrama de esforçoslaterais.

O estado de plastificação só será atingido, no caso ativo, para profundidades iguais ou maioresque zo. Da expressão para σ ha tem-se:

0Kc2K AvAha =−σ⋅=σ

0Kc2zK AoA =−⋅γ⋅

zc

K

o

A

=2 1

γ

Nem sempre, porém, o valor da coesão é constante com o tempo e disto resulta que nos cortesem argilas podem aparecer fendas de tração até a profundidade zo.

A presença da coesão possibilita manter um corte vertical, sem necessidade de escoramento,até uma altura (altura crítica-Hc) na qual o empuxo resultante é nulo:

0KHc2HK2

1E A

2

AA =⋅−⋅γ⋅

H Hc

c

KA= =

4 1

γ

Para solos puramente coesivos, Hc resulta:

Hcc

=4

γ

A determinação das tensões laterais para o caso passivo segue desenvolvimento análogo aoapresentado para o caso ativo, resultando.

0Kc2K pvphp =−σ⋅=σ

onde:




( )K1 sen

1 sentgp

2=+

−= +

φ

φ φ 45 2

b) Empuxos em maciços com superfície inclinada

Em maciços com superfície inclinada, σ v e σ h deixam de ser tensões principais. Sobre um

plano paralelo à superfície do terreno a tensão vertical ( σ v) vale (vide talude infinito):

icoszV ⋅⋅γ=σ

As componentes normal e tangencial valerão:

2icosz ⋅⋅γ=σ

icosisenz ⋅⋅⋅γ=τ

A Figura 15.12 mostra a representação gráfica dos círculos de Mohr para solos granulares,com superfície inclinada.

Figura 15 12 - Representação de Mohr para solos com atrito e superfície inclinada.

O segmento OP representa a tensão vertical e os pólos ativo e passivo são, respectivamentePA e Pp. As tensões num muro vertical serão conhecidas traçando-se pelo pólo uma vertical; aintersecção desta com o círculo (ponto PA - caso ativo) fornece a tensão lateral procurada. Assim

σ ha A AOP' OP= = Analogamente, para o caso passivo:

σ hp p pOP' OP= =

Da mesma forma que para superfície horizontal pode-se determinar algebricamente o valor datensão lateral:

icoszKK AVAha ⋅⋅γ⋅=σ⋅=σ

Na Figura 15.12 tem-se:




RPOR

RPOR

OP

OPK AA

v

ha

A+

−==

σ

σ=

Porém,

RP RPA

= ; icosOOOR1

⋅=

e RP O P O RA 1 A 1= −2 2

)cos1(OOsenOOCOPO 22

122

1

2

11

2

A1 φ−=φ⋅==

i)cos1(OOisenOORO 22

1

22

1

2

1 −=⋅=

Substituindo na relação inicial, tem-se:

i)cos1(OO)cos1(OOicosOO

i)cos1(OO)cos1(OOicosOO

OP

OP

22

1

22

1

22

1

22

1

22

1

22

1A

−−φ−+⋅

−−φ−−⋅=

Donde resulta

Kcos i i cos

cos i i cosA

2

2=

− −

+ −

cos

cos

2

2

φ

φ

Esta é a expressão mais genérica para KA. Observe que fazendo i = 0 resulta K 1 sen1 senA = −+

φ φ

e zK Aha ⋅γ⋅=σ , expressões já deduzidas para taludes com superfície horizontal.

O empuxo resultante será:

∫ ∫ ⋅⋅γ⋅=⋅σ⋅=H

0

A

H

0

VAA dzicoszKdzKE

icosHK

2

1E 2

AA ⋅⋅γ⋅⋅=

O empuxo terá a direção da superfície do terreno e dada a distribuição triangular de esforços,atuará a um terço da base do muro (Figura 15.13).




Figura 15-13 - Diagrama e direção do empuxo em maciços com superfície inclinada.

Para o caso de empuxo passivo, raciocínio análogo conduzirá à seguinte expressão para ocoeficiente de empuxo (Kp):

K =cos i + cos i cos

cos i - cos i cosp

2 2

2 2

−

−

φ

φ

A Figura 15.14 ilustra a construção gráfica necessária para a determinação dos esforçoslaterais em maciços com coesão e atrito e superfície inclinada.

Figura 15.14 - Representação de Mohr para solos com coesão e atrito e superfície inclinada

A tensão vertical é dada por OP e os pólos ativo e passivo são PA e Pp, respectivamente. No

caso de muro vertical as tensões laterais serão dadas por OPA (ativo) e OP P (passivo) .

5. MÉTODO DE COULOMB

O método de Coulomb para cálculo dos empuxos de terra foi enunciado em 1776. Enquadra-se na filosofia do Teorema de Região Superior (TRS) da teoria da plasticidade, que estabelece oequilíbrio de uma massa de solo, se para um deslocamento arbitrário, o trabalho realizado pelassolicitações externas for menor do que o das forças internas. Em caso negativo a massa estará emcondição de instabilização ou de plastificação.

O método de Coulomb admite como básicas as seguintes hipóteses:a) superfície de desligamento plana, passando pela base da estrutura de suporte;b) liberdade de movimentação da estrutura capaz de mobilizar todo o atrito existente entre ela

e o solo arrimado.

Esta última hipótese permite conhecer a direção do empuxo. Nenhuma referência é feita,entretanto, ao seu ponto de aplicação ou à forma da distribuição das tensões horizontais sobre o muro.O fato de conhecer-se a direção do empuxo implica que, para os casos de carregamento externos maissimples, é possível determinar o empuxo através de construções gráficas. As condições de equilíbrio,para um conjunto de forças, obrigam que estas forças concorram para um mesmo ponto ou forneçamum polígono fechado.

O cálculo do empuxo é efetuado estabelecendo-se as equações de equilíbrio das forçasatuantes sobre uma cunha de deslizamento hipotética. Uma das forças atuantes é o empuxo que noestado ativo corresponde à reação da estrutura de suporte sobre a cunha e, no passivo, à força que aestrutura de arrimo exerce sobre ela.

O empuxo ativo será o máximo valor dos empuxos determinados sobre as cunhas analisadas; opassivo, o mínimo. A ativação pode ser entendida como o fim de um processo de expansão que sedesencadeia no solo a partir de uma posição em repouso. Isto significa que o valor do empuxo vaidiminuindo, com a expansão, até que se atinge um valor critico, situado no limiar da ruptura, ou daplastificação.




Quando as análises de equilíbrio são efetuadas paras as diversas cunhas hipotéticas supõe-seque este limiar da ruptura tenha sido alcançado em todas elas, ou seja, todas atingiram a ativação.Portanto o maior valor de empuxo estabelecido na análise destas cunhas será o crítico, pois no

processo de ativação ele será atingido em primeiro lugar, sendo por conseguinte o empuxo ativo. Istocorresponde dizer que o empuxo ativo é um ponto de máximo dentre os mínimos valoresdetermináveis de empuxo. Um fato inverso ao descrito nestes dois parágrafos ocorrerá para o casopassivo.

Uma outra forma de proceder para calcular os empuxos de terra seria o de estabelecer umaexpressão matemática que descrevesse o equilíbrio de forças e encontrar o ponto máximo (empuxoativo) ou de mínimo (empuxo passivo). Nem sempre porém existem facilidades geométricas e decarregamento que permitam esta linha de ação. Tendo em vista a filosofia do Teorema da regiãoSuperior, no qual se enquadra, o processo de Coulomb tem como principio a comparação entre ostrabalhos de forças externas e o de forças internas. Isto equivale a um equilíbrio estático de forças,para um dado deslocamento. Assim, nos casos de geometria mais simples, será possível estabeleceruma equação geral para o problema e encontrar o seu valor máximo, ou mínimo, correspondente àssituações ativa e passiva respectivamente. Em seguida serão fornecidos os casos em que estaabordagem pode ser possível.

a) Solução analítica do método de Coulomb para solos granulares.

Figura 15.15 - Cálculo do empuxo em solos granulares pelo método de Coulomb.

Do triângulo de forças tem-se:

E

sen ( )=

W

sen(90 + )

a

θ φ φ -

φ

φθ⋅

sen

)-(senW=E a

O valor de Ea máximo será obtido fazendo-se:

∂

∂ θ

E

= 0

a, que resulta

A

2

a KH 2

1 =E ⋅⋅γ , onde KA será:

2

i)(sen

i)(sen)+(sen+)(sen

)(sencosec =K A

−β

−φ⋅δφδ−β

φ−β⋅β

A Tabela 15.2 extraída de Tschebotarioff (in Leonards, 1962) apresenta resultados docoeficiente de empuxo ativo, segundo Coulomb. Nessa tabela são consideradas a variação dasinclinações do tardoz do muro (β) e da superfície terreno (i), bem como do ângulo de atrito do solo




(φ’) e desprezado o atrito solo-muro (δ = 0o ). Ressalte-se que para o caso do empuxo ativo, o atritosolo muro introduz pouca variação no coeficiente de empuxo. Por exemplo, para muro vertical (β =90o), superfície do terreno horizontal (i = 0o ) e φ' = 30o , KA varia entre 0,33, para δ = 0 e 0,31 para δ

= 30o; para β = 100o ; i = 12o; φ = 30o, tem-se K = 0,48 (δ = 0) e K = 0,47 (δ = 30o).

Tabela 15.2 - Coeficientes de empuxo ativo (KA) pela Teoria de Coulomb, considerando atrito

solo-muro nulo (δ = 0)

i = -30o -12o ± 0

+ 12o

1 : 4,7

+ 30o

1 : 1,7

φ = 20o

β = 110o

β = 100o

β = 90o

β = 80o

β = 70o

0,57

0,50

0,44

0,38

0,32

0,65

0,55

0,49

0,42

0,35

0,81

0,68

0,60

0,50

0,40

φ = 30o

β = 110o

β = 100o

β = 90o

β = 80o

β = 70o

0,340,30

0,26

0,22

0,18

0,430,36

0,30

0,25

0,20

0,500,41

0,33

0,27

0,21

0,590,48

0,38

0,31

0,24

1,170,92

0,75

0,61

0,50

φ = 30

o

β = 110o

β = 100o

β = 90o

β = 80o

β = 70o

0,27

0,22

0,18

0,13

0,10

0,33

0,26

0,20

0,15

0,10

0,38

0,29

0,22

0,16

0,11

0,43

0,32

0,24

0,17

0,12

0,59

0,43

0,32

0,24

0,16

O valor do empuxo passivo, analogamente, será:

P 2

P KH0,5=E ⋅⋅γ⋅

2

i)(sen

i)(sen)+(sen)(sen

) (sen*cosec =K p

−β

+φ⋅δφ−δ−β

φ+ββ⋅

b) Solução gráfica

A determinação dos empuxos, inclusive para geometrias mais complexas, pode ser feitaatravés de processos gráficos. Estes processos são todos semelhantes entre si, podendo-se citar oprocesso direto e o de Cullman. No que segue mostraremos a construção referente ao processo direto,considerando um exemplo.

EXEMPLO 15.1 - Determinar graficamente, pelo método de Coulomb, o empuxo ativo sobre o murode arrimo esquematizado na Figura 15.16. O muro tem 8,0m de altura, δ= 20o, e o terraplenoapresenta γ = 1,80 tf/m3, s = l + σ tg 25o tf/m2 e i = 1:4.




Figura 15.16 - Determinação do empuxo pelo processo direto-solo com coesão e atrito.

Resolução

Uma cunha genérica ABD terá seu peso dado por:

BDh21 =W ⋅γ

Escolhendo como escala de forças h 2

1⋅γ resulta para o peso

W = BD que tem direção

vertical.

a) numa vertical por A marca-se o segmento AQ que representa o peso da cunha na escala

h2

1⋅γ .

b) a força de coesão valerá ADcC ⋅= . Na escala de forças adotada




h

AD

2c =

h2

1

C⋅

γγ

O termo 2c/ φ tem unidade de comprimento, é constante para todas as cunhas e pode ser

representado pelo segmento AR . Uma paralela à superfície do terreno por R determinará o ponto Ssobre AD. O segmento AI representa a força de coesão na escala adotada.

AR

h

AS

AD →

h

AD

2c =

h

ADAR =AS

γ⋅

h 2

1

ADc +AS

γ

⋅

c) por S traça-se uma paralela à força de atrito F.d) por Q tira-se uma paralela ao empuxo E.e) a intersecção destas duas retas, ponto J, determina o polígono de forças QASPG, que

permite encontrar os módulos de EA = PQ ,e de F = SP .f) repete-se o processo para várias cunhas, procurando-se estabelecer a envoltória dos

hipotéticos empuxos. O valor PQ máx representará o empuxo ativo.g) O empuxo ativo será:

max.A PQh2

1 =E ⋅γ

No exemplo em questão, tem-se:

AR=1,11=1,80

12 =

2 ⋅γ

kN/m80,4tf/m8,041,2*6,70E A ===

Havendo percolação de água no maciço, a construção gráfica terá a forma (Figura 15.17).

Figura 15.17 - Cálculo do empuxo em maciços com percolação de água.




Agora, além das forças W, C, F e Ea tem-se a força U, resultante das pressões neutrashidrodinâmicas que agem sobre a cunha. Para computar esta força toma-se o valor da cargapiezométrica nos pontos em que a superfície de deslizamento intercepta as linhas equipotenciais e

marca-se este valor sobre uma linha de base, normal à cunha, neste ponto. Em seguida, traça-se odiagrama resultante. A força U, de módulo equivalente à área do diagrama, atua no centro degravidade da figura e faz um ângulo reto com a linha de deslizamento.

6. ASPECTOS GERAIS QUE INFLUENCIAM NA DETERMINAÇÃO DO EMPUXO

a) Influência da pressão neutra

Considere-se a Figura 15.18 onde um elemento de arrimo, de paramento vertical, suporta astensões horizontais exercidas por um meio homogêneo, de superfície horizontal com massasespecíficas natural e submersa φ e φ’, respectivamente, e de resistência s = σ tg φ’.

Figura 15.18 - Influência da pressão neutra no calculo do empuxo

Lembrando que o coeficiente de empuxo e sempre referente a tensões efetivas, a presença dapressão neutra resultante de um NA estático é considerada como uma parcela que se soma aos valoresde empuxos obtidos em termos de tensões efetivas.

h2)h2h1(KE w

'

AA ⋅γ+⋅γ+⋅γ=

b) Influência de sobrecargas aplicadas à superfície do terrenoEsforços laterais devidos a sobrecargas aplicadas à superfície do terreno nem sempre são de

fácil avaliação. Alguns tipos de sobrecargas (uniformemente distribuídas, lineares, etc.) podem serconsideradas, bastando inclui-las nos polígonos de forças das construções gráficas. Algumas medidasefetuadas comprovam a aplicabilidade das fórmulas da Teoria de Elasticidade, entretanto sãonecessárias algumas correções empíricas para adequá-las aos valores reais medidos. Um dos aspectosa considerar e que requer correção refere-se à rigidez da estrutura.

Vários autores sugerem aplicar para carregamentos futuros, um fator multiplicativo de 2 nasexpressões da Teoria da Elasticidade, para levar em conta a possível restrição a deformações impostapela estrutura.

Apresentam-se a seguir alguns casos mais comuns de sobrecargas.

b.l - Sobrecarga uniformemente distribuída




Estas sobrecargas são tomadas como uma parcela constante que se soma ao valor do empuxo.Assim, as tensões horizontais devidas a uma sobrecarga q na superfície do terreno resultam, em

qualquer ponto do meio, um valor constante: qK ⋅ . O valor de K será KA, Ko ou Kp conforme sejamos deslocamentos da estrutura (Figura 15.19).

Figura 15.19 - Influência de sobrecarga uniforme distribuída na superfície do terreno.

Nas construções gráficas de Coulomb, pode-se somar a resultante devida à sobrecarga, ao pesoda cunha (W), com vistas a obter o efeito acumulado de empuxo devido ao solo e à sobrecarga.

b.2 - Sobrecarga linear uniforme paralela ao muro

Os processos gráficos do método de Coulomb permitem determinar a contribuição para astensões laterais desse tipo de sobrecarga. Neste caso, ao peso da cunha soma-se o valor da carga

(Figura 15.20), caso ela esteja situada no interior da cunha.

Figura 15.20 - Influência de sobrecarga linear

Ao considerar-se a cunha ABD não há interferência da sobrecarga Q. Quando Q situa-seimediatamente à esquerda de D2, deve-se adicioná-la ao valor de W. Todas as outras cunhas definidaspor pontos situados à direita de D2, tal como Dl, sofrem a mesma consideração. Em torno do ponto

D2 a envoltória dos hipotéticos empuxos sofre uma inflexão.

N.A.

γ

γ ‘

K hA 1. .γ h1

h2

K ( q + h + h )A 1 2γ γ‘ γW 2

. h

K hA 2. .γ ‘

K qA

H

E = K ( q H + ) +A A

γ h1 γ h2+

‘ γW 2. h

222

q

iD1

D2D3

Q

E = E + EA ∆

W

A

B

Q

E

∆E

SOLO+

SOBRECARGA SOLO




Se a carga estiver, situada muito distante do ponto B, a sua influência sobre o empuxo seráinsignificante. Ao definir-se a linha envoltória é possível estabelecer uma distância a partir da qual ainfluencia de Q deixa de ser significativa.

A Figura 15.21 esquematiza a utilização de fórmulas da Teoria da Elasticidade, nas quais já seencontra embutido o fator multiplicativo de 2.

Figura 15.21 - Acréscimo de tensão lateral devido a uma sobrecarga linear

b.3 - Sobrecarga concentrada

Também para sobrecarga concentrada é possível determinar tensões laterais através defórmulas da Teoria da Elasticidade adaptadas. A Figura 15.22 esquematiza os parâmetros necessáriospara o cálculo.

Figura 15.22 - Influência de carga concentrada sobre o esforço lateral em arrimos.b.4 - Sobrecarga retangular (sapata corrida)

As sobrecargas retangulares são também analisadas através dos processos gráficos da Teoriade Coulomb. A Figura 15.23 esquematiza a utilização da expressão baseada na Teoria da Elasticidade,na qual já se encontra embutido o fator multiplicativo 2.

Figura 15.23 - Esforços laterais devido à sobrecarga retangular

Qx

z

Hσh

m > 0,4

=σh

4 QHπ (m + n )

2 2 2

m n2

.

m < 0,4

=σh

QH (0,16 + n )

2 2

0,203 n

x = mH :

z = nH

Rx

z

Hσh

x

R

α

σhσh‘

σh‘ = h cos (1,1 )σ α.

( PLANTA )

x = m H

m > 0,4

. z = n H.

=σh

1,77 R

H2

m < 0,4

=σh (0,16 + n )2 3

n2

0,26 R

H2

m n2 2

(m + n )2 2 3

q

a σ ha

β

α /2α /2

σ h =a

2q

π ( - sen cos 2 )α α β.




A expressão fornece o valor da tensão lateral (σh) num ponto a sobre a estrutura de arrimo. Apartir desta expressão estabelece-se o diagrama das tensões horizontais, cuja área fornece o valor doempuxo provocado pela sobrecarga.

Outra maneira para considerar o efeito de sobrecargas uniformes consiste em empregar oábaco de Newmark desenvolvido para o cálculo de tensões laterais. O processo de utilização ésemelhante ao mostrado para acréscimo de tensões verticais no Capítulo VII - Volume 1.

Soluções baseadas na Teoria da Elasticidade para os mais variados tipos de carregamentopodem ser encontradas em Poulos e Davis (l974).

c) Influência do atrito entre o solo e o muro

A influência do atrito entre o solo e o muro pode ser evidenciada observando-se que quando omuro move-se, o solo que ele suporta expande-se ou é comprimido conforme seja o estado ativo oupassivo. No primeiro caso o solo apresenta uma tendência de descer ao longo da parede que, seimpedida, origina tensões tangenciais ascendentes que suportam em parte a massa de solo deslizante.Alivia-se, assim, o valor do empuxo sobre o muro. No caso passivo ocorre simplesmente o contrário.

O método de Rankine, que desconsidera o atrito entre o solo e o muro, fornece soluções dolado da segurança. O de Coulomb considera o atrito e fornece soluções mais realistas.

O emprego de uma ou outra teoria está associado, inclusive, como já foi referido, à geometriado problema. As obras dimensionadas através do método de Rankine serão mais caras pois, como sesabe, este método fornece valores mais conservativos em face de não considerar o atrito entre o solo eo muro. Por outro lado esta teoria é de extrema simplicidade e portanto menos trabalhosa do que asolução de Coulomb.

A presença do atrito, além de reduzir o valor do empuxo, provoca a sua inclinação. Isto tornaos muros mais estáveis já que a componente horizontal do empuxo está diretamente relacionada com aestabilidade do muro quanto a escorregamento e tombamento. O ângulo de atrito entre solo e murodepende fundamentalmente do ângulo de atrito do solo. Na falta de um valor especifico, recomenda-se adotar para φ um valor situado entre:

'

3

2

3

'

φ δ

φ

⟨⟨

d) Ponto de aplicação do empuxo

A teoria de Rankine, admitindo uma distribuição hidrostática de tensões, fixa o ponto deaplicação do empuxo a 1/3 da altura, medida a partir da base. A teoria de Coulomb nada estabelece arespeito.

Entretanto, quando se utilizam construções gráficas pode-se, através de um procedimento

empírico, determinar o ponto de aplicação de E. Para a cunha crítica determina-se o seu centro degravidade e traça-se por aí uma reta paralela à superfície de escorregamento. A interseção destaparalela com o muro será o ponto onde deve aplicar-se o empuxo (Figura 15.24).

A Figura 15.24 b ilustra a determinação do ponto de aplicação da parcela de empuxo devido auma sobrecarga linear (Q), paralela ao muro.




Figura 15.24 - Determinação do ponto de aplicação do empuxo: a)devido ao solo; b) devido àuma sobrecarga linear.

A partir da construção gráfica (processo direto, por exemplo), o valor de ∆E pode sercomputado como E-E'E =∆ , onde E' refere-se ao empuxo devido ao solo e à sobrecarga e E refere-seao empuxo devido somente ao solo. Conhecendo-se os valores de E e ∆E e seus pontos de aplicação,

pode-se estabelecer o ponto de aplicação do empuxo total E'.

e) Fendas de tração

Desde que haja coesão no solo, o estado de tensão que provoca sua ativação provocarátambém o aparecimento de fendas de tração.

A superfície do terreno o valor de σv será nulo e a tensão horizontal negativa. Como o solonão resiste tensões de tração (tensões negativas) formam-se, na sua superfície, fendas. Estas fendasirão até uma profundidade em que a tensão horizontal anula-se, ou seja:

AoAha K2c-ZK=0= γ⋅σ

Z o

=2c

KAγ

Supondo que o solo consiga suportar tração, então (Figura 15.25).

Figura 15.25 - Empuxo em solo com coesão, supondo que resista tração.

Como o solo não resiste às tensões de tração aparecerão fendas até a profundidade zo; o soloacima desta cota contribui para o empuxo como se fosse uma sobrecarga (Figura 15.26).

δEA

CG

B

A

D

superfíciecrítica

( a )

∆E

B

A

D

superfíciecrítica

( b )

R

S

y

φ

y =RS3

Q

H

B

A

Ea

D

+ +

+

2c v Ka

2c v Ka 2c v Kaγ H Ka -Ka γ H




Figura 15.26 - Empuxos em maciços com coesão: desenvolvimento de fendas de tração.

f) Determinação do empuxo ativo em estruturas de paredes irregulares

Seja a Figura 15.27 em que um muro de arrimo de parede angulosa sustenta um maciço dealtura H.

O problema pode ser dividido em duas partes isoladas e as componentes do empuxo E1 e E2 serão vetorialmente somadas, permitindo inclusive determinar o ponto de aplicação do empuxoresultante E.

O cálculo de E1 é efetuado considerando um muro de superfície inclinada e de altura h 1. O deE2, considerando um muro fictício de altura H e tardoz AD. Toma-se a parcela do diagrama de

tensões correspondente ao segmento RD de espessura h2, e no centro de gravidade aplica-se o valorde E2.

Figura 15.27 - Determinação dos empuxos em muros com paredes angulosas.

g) Determinação do empuxo em solos estratificados

Imagina-se a condição imposta pela Figura 15.28 onde uma estrutura de suporte sustentatensões horizontais provocadas por um maciço estratificado.

Figura 15.28 - Cálculo dos empuxos em maciços estratificados

H

+ ++ +

2c v Ka γ z Ko aKa (H - z )o γ

zo

E1

E2

B A

C D

H

h1

h2

D1

D2

D3

A h 3

h 2

h 1




O calculo do empuxo atuante sobre o elemento de suporte pode, a grosso modo, ser feito porcamadas. Considera-se inicialmente a camada superior onde a figura geométrica B1B2D2D1 aplica

sobre o segmento B1B2 de espessura hl, a parcela E1 ponto de aplicação e a direção de E1, pode serdeterminado por um processo conhecido.

Em seguida analisa-se a figura B2B3D3D2 que atua sobre o segmento B2B3 de espessura h2.Despreza-se o atrito entre os estratos e a contribuição do atrito existente entre o solo e o muro fora daregião considerada. O efeito da camada superior é analisado como se fora uma sobrecarga.

Aplica-se o mesmo raciocino para as camadas subseqüentes.Quando, apenas a massa específica das camadas for diferente a análise pode ser conduzida

pelos processos gráficos da teoria de Coulomb.

7. APLICABILIDADE DAS TEORIAS CLÁSSICAS

A teoria de Rankine, como ficou definido, aplica-se ao caso em que o tardoz do muro évertical e liso. Esta condição ideal é, às vezes, conseguida em estacas prancha metálicas ou quando omuro com parede vertical está sujeito a esforços sísmicos.

Principalmente quando o muro tem tardoz inclinado, tem-se utilizado a simplificação de sepassar pelo pé do muro um plano vertical imaginário, considerando que a cunha de solo, que se situaentre o muro e este plano, contribua com seu peso para a estabilidade do conjunto e que o solo à direitadeste plano esteja nos estados de equilíbrio de Rankine. O mesmo ocorre com freqüência em murosde flexão que têm sua base penetrando no maciço (Figura 15.29).

Quando o muro se desloca, desenvolve-se a superfície de ruptura ad . O solo situado à

esquerda de ab permanece no estado elástico, desenvolvendo-se o estado de equilíbrio plástico,somente dentro da cunha abcd, desde que o ângulo θ seja suficiente para que se desenvolva a

superfície ab sem interferência com o muro.O peso de solo situado sobre o muro contribui então para a estabilidade do muro e o empuxo é

calculado sobre a superfície ac , dado que o prisma acd encontra-se no estado de equilíbrio limite de

Rankine. Em solos arenosos, para que tal ocorra é necessário que:

θ φ φ

≥ + − −

1

290

oi

i' arcsen

sen

sen '




Figura 15.29 - Aplicação da teoria de Rankine: a) Muro vertical com talude horizontal; b)Muro de tardoz inclinado; c) Muro vertical com talude de superfície inclinada; d) Muro com baselarga.

Quando o muro é vertical, mas o terrapleno tem inclinação i, desde que i < θ, é aceitáveladmitir-se as hipóteses de Rankine, com as ressalvas já feitas, e tomar a direção do empuxo paralela àsuperfície do terreno.

Na teoria de Rankine está a admitir-se que não existindo atrito entre o solo e o muro, a cunha

de plastificação possa mover-se livremente, no caso ativo para baixo e no caso passivo para cima, emrelação ao muro. Claro se torna, que a presença do atrito dificulta este movimento livre e que suaausência aumenta a ação da cunha sobre o muro no caso ativo e a reduz no caso passivo. Em ambosos casos têm-se obras mais seguras e possivelmente mais caras do que aquelas que consideram osesforços no contato solo-estrutura.

Caso se desenvolva atrito entre solo e muro (situação mais real), ou a geometria do problema esolicitações externas tornem a teoria de Rankine inaplicável, utiliza-se a teoria de Coulomb. Nocálculo de empuxos passivos nenhuma das teorias fornece valores razoáveis, sobretudo quando o atritoque se desenvolve é grande. Já foi referido neste trabalho que a presença do atrito altera a forma dasuperfície de ruptura tornando-a curva no seu trecho inicial próximo ao pé do talude. Para valores de δ próximos dos 10o esta hipótese de superfície plana fornece valores compatíveis com os reais. A partirdeste limite a influencia do atrito passa a ser considerável e melhor seria calcular o valor do empuxo

passivo com base na construção gráfica denominada circulo de atrito.Para que se entenda o procedimento empregado para a determinação do empuxo passivoatravés do circulo de atrito, considerem-se as Figuras 15.30 e 15.31.

EA

(b)

EA

(c)

EA

(a)

a

b

c

d i

EA

φw

(d)




Figura 15.30 - Determinação do empuxo em solos granulares através do método do circulo deatrito.

A cunha deslizante ABD sofre a ação do muro, ação esta que pode ser representada peloempuxo passivo Ep Essa força está aplicada no terço médio inferior do muro (H/3 medido a partir dopé do muro). O empuxo passivo constitui o mínimo dos valores estabelecidos para as várias cunhas

hipotéticas analisadas.A cunha ABD pode ser dividida em duas regiões: ABE e BDE. Para definir esta cunhatraçam-se por B e D retas que fazem /2)-45( φ com a superfície do terreno; o ponto de encontro

destas duas retas define o ponto E. Traça-se por E uma perpendicular ao segmento DE . Portentativas ajusta-se um circulo que tendo centro sobre esta perpendicular, passe por A e tenha o

segmento DE como tangente, no ponto E.Esta construção baseia-se na hipótese que admite estar a cunha BDE no estado de plastificação

de Rankine.A cunha ABD pode ser dividida em duas outras regiões, ABFE e FED, esta, definida por uma

reta vertical traçada a partir de E. O ponto F situa-se no cruzamento desta vertical com a superfície doterreno.

A porção FDE, representada pelo empuxo passivo E p

' ( EFKp0,5='E2

p ⋅γ , com

( ) ( )φ−⋅φ+= sen1sen1K P ) atua sobre a região ABFE.

A direção de E p

' é horizontal e seu ponto de aplicação dá-se no terço médio inferior do

segmento FE .As forças que atuam sobre a região ABFE são as seguintes:

W = peso da cunha;

F = força de atrito que age ao longo do comprimento AE ; atua sobre uma reta base que fazum ângulo φ marcado em relação a superfície de ruptura. Esta reta é tangente a um círculo do centro

O e raio r = R sen φ, denominado circulo de atrito;E = empuxo passivo que constitui a reação do muro sobre a cunha ABD; atua segundo umadireção que faz ângulo δ em relação à normal ao tardoz.

Conhecidas estas forças monta-se o polígono de forças e a partir dele determina-se E p e F.




O processo é repetido para outras cunhas até que se tenha o valor do empuxo passivo.

Em termos gráficos desenham-se sobre a cunha, W e E p

', cujos sentidos, direções e pontos

de aplicação são conhecidos.

A interseção das retas base de W e Ep

' define o ponto M.

Paralelamente monta-se o polígono de forças, somando-se, inicialmente, W com E p

' . A

resultante desta soma dá a resultante G.Por M traça-se uma reta paralela a G. O prolongamento da linha de ação de Ep deve encontrar

esta reta no ponto N. Por N, traça-se uma tangente ao circulo de atrito, esta reta será a linha base de F .Conhecidas as direções de E' e F completa-se o polígono de forças para definir-se o módulo da

Ep.

Figura 15.31 - Determinação do empuxo passivo em solos com coesão e atrito pelo método docirculo de atrito.

Para maciço com coesão e ângulo de atrito e tendo ainda a atuar, à superfície, uma sobrecargaq, o calculo do valor do empuxo passivo pode ser obtido através do método do círculo de atrito.Este problema pode ser colocado como a soma de dois outros: o primeiro considerando o solo

como granular apenas; o segundo tendo em conta a ação da sobrecarga e da coesão, admitindo que osolo não tem peso. Estas hipóteses podem ser melhor entendidas se analisar a expressão de método deRankine que fornece o empuxo passivo para está mesma condição:

qK+K2c+KH =E pppp ⋅γ

O primeiro destes problemas considera nulos os termos qK+K2c pp ⋅ . Assim, tem-se um

valor de empuxo passivo E p

1

que pode ser obtido pelo processo já descrito a este valor deve-se somaraquele referente ao segundo problema E p

2, que considera o termo γ H Kp nulo, ou seja, seria admitir

um maciço com a mesma geometria do anterior, porém com o solo sem peso (γ = 0).




E = E + Ep p p

1 2

Então, como ficou acima especificado, a parcela E p

1 será obtida através do método do círculo

de atrito conforme seqüência já descrita, de acordo com a Figura 15.30.

Para o calculo de E p

2

considere-se a Figura 15.31.A forma de construção das superfícies de ruptura hipotéticas análogas à descrita para o caso de

maciço granular.

A reação da região FDE sobre a porção ABFE é dada pelo empuxo passivo E p

'' referente à

ação da sobrecarga que atua no trecho FD . Ela tem seu ponto de aplicação situada à meia altura do

segmento FE visto que, neste caso, o diagrama de tensão é constante com a profundidade.

As forças que atuam sobre o elemento do solo ABFE, além de E p

'' são:

S - força resultante da sobrecarga que atua ao longo do trecho BF ;

Ca - força de adesão que surge no contato solo-muro;C - força de coesão, cujo modulo vale, c. AE ; a direção de C é tomada como a da corda AE ;Sua linha de ação será tomada sobre uma reta paralela à corda referida, distante a do centro do

circulo, onde:

RC=C a ⋅⋅ ou Rc

Ca ⋅= e

AEC=C ⋅ e AEC=C ⋅

F - força de atrito que sé desenvolve ao longo do trecho AE, esta força faz um ângulo com a

normal ao circulo e portanto tangencia o circulo de atrito;

Ep2

- empuxo passivo que age sobre a cunha.

Em termos gráficos monta-se o polígono de forças a partir de dados das direções e sentidosdas forças envolvidas obtidas nas construções geométricas que seguem o roteiro abaixo:

1) inicia-se pelo polígono somando vetorialmente E p

'' e S, cuja resultante é R1;

2) prolonga-se, no desenho, a linha de ação da E p

'' até encontrar a força S, ponto M;

3) por M traça-se uma reta paralela a R, que cruza a linha de ação de Ca no ponto N;4) soma-se, no polígono de forças, vetorialmente R1 e Ca dando como resultado R2;5) pelo ponto N traça-se uma paralela a R2 que intercepta a reta base de C, no ponto Q;6) soma-se vetorialmente R2 a C obtendo-se a força R3;

7) por Q traça-se uma paralela a R3 que cruza com a linha base de E p

2

, no ponto T;8) por T traça-se uma reta tangente ao circulo de atrito, deter minando-se a reta base de F;

9) completa-se o polígono de forças somando-se a R3 as forças E p

2 e F cujas direções são

conhecidas. Estando a cunha em equilibro estas forças fornecem um polígono fechado, ou seja, as

linhas base destas duas forças se interceptam definindo os módulos de E p

2 e F.

Determina-se, assim, o empuxo total.

2

p

1

pp EEE +=

Para variar as cunhas ABD e determinar o empuxo passivo (mínimo dentre os hipotéticosvalores encontrados), basta considerar novos pontos E sobre a reta Ac (Figuras 15.30 e 15.31).




EXEMPLO 15.2

Determinar analítica e graficamente, pela Teoria de Rankine, as tensões laterais sobre ummuro de arrimo vertical, com 5m de altura, nas seguintes condições.

a) maciço com superfície horizontal (i = φ), γ = 2,0 tf/m3 e τ = σ tg 30o b) i = 0, γ = 2,0 tf/m3 , γ = l + σ tg 150 tf/m2 sem fendas de traçãoc) profundidade das fendas de tração no item b).

Resolução

a)Como a teoria de Rankine admite distribuição linear de esforços, basta calcular os esforçosno pé do muro.

No ponto M, tem-se:2

v tf/m10=5x2=h⋅γ=σ

porém

vah K= σ⋅σ

para φ = 30

0

, Ka = 1/3donde σ h =

1

3x 10 =

10

3tf / m

2

e o empuxo resulta

EA =10

3x

5

2=

25

3tf / m =

250

3k N / m

Graficamente, basta utilizar o diagrama de Mohr Coulomb.

O segmento OM equivale a σ v ; a ruptura ativa éatingida quando o círculo tangencia a envoltória devido a

uma distensão do solo. O segmento OP corresponde àtensão lateral no ponto M, a 5m de profundidade.

σ h A

2= OP = 3,3 tf / m

b)

AAhA K2c-K ⋅γ=σ φ = 15o K = O,59

Graficamente, tem-se:

na superfície (z = 0) → 0v =σ → tf/m2l,5-ORhA ==σ

no Ponto M (z = 5m) - tf/m2102x5v ==σ 2

hA m / tf 4,4OS ==σ




c) profundidade das fendas de tração

0hA =σ

1,30m=0,59

1x

2

1x2 =

K

1

c2 z

A

0 γ=

Graficamente:

OT = vσ para 0hA =σ

∴ 2,54z0v =⋅γ=σ z0 = 1,27m

SINOPSE

1. Os problemas de empuxos de terra são tratados imaginando que o maciço atinja um estadode equilíbrio limite (Teoria de Plasticidade). Isto requer que ocorram as deformações necessárias paramobilizar toda a resistência do solo.

2. Um maciço a partir da condição em repouso (sem deformação lateral) pode atingir ascondições de equilíbrio plástico ativo (ocorre distensão lateral do solo) ou de equilíbrio plásticopassivo (ocorre compressão lateral do solo).

3. A grandeza dos esforços laterais sobre estruturas de arrimo depende, então,fundamentalmente, das deformações em jogo. Resultados experimentais indicam que pequenasdeformações (da ordem de 0,002 H) não suficientes para mobilizar o estado ativo, enquanto para o

caso passivo são necessárias maiores deformações (acima de 0,02 H).4. A relação entre esforços efetivos horizontais e verticais recebe o nome de coeficiente de

empuxo. Pode-se ter Ko, KA e Kp, respectivamente, coeficientes de empuxo em repouso, ativo epassivo.

5. A Teoria de Rankine considera muro vertical e liso, isto -e, ele não altera a direção dosesforços. Além disso, não é possível levar em conta pressões devidas à percolação de água. Para ocaso de superfície de terreno inclinada de i e maciço de resistência τ = σ tgφ e γ tem-se:

K =cos i - cos i - cos

cos i + cos i - cosA

2 2

2 2

φ

φ

icoszKK AvAha ⋅⋅γ⋅=σ⋅=σ




Para superfície de terrenos horizontal (i = 0) as expressões reduzem-se para:

/2)-45(tg=sen+1

sen-1 K 2

A φφ

φ=

zK Aha ⋅γ⋅=σ

6. Para solos com coesão e atrito e superfície horizontal (i = 0) tem-se:

AAha 2cK-zK ⋅γ⋅=σ

7. A determinação dos esforços por Rankine pode ser feita graficamente num plano de Mohr(σxτ). Conhecida a tensão vertical (σV), o maciço é levado à ruptura por alívio de tensão lateral (casoativo) ou por acréscimo de tensão (caso passivo). Quando toda a resistência é mobilizada (círculos deMohr tangenciando a envoltória de resistência) têm-se as tensões laterais mínima (ativa) e máxima(passiva).

8. A Teoria de Coulomb considera superfície de ruptura plana, passando pelo pé do muro,

atrito entre solo e muro, e permitindo calcular empuxos em problemas de geometria mais complicada.9. O empuxo devido à água deve ser considerado separadamente. Não é possível incluir

esforços devidos à percolação de água pela Teoria de Rankine. Ao assumir nível de água estático,lembrar que os coeficientes de empuxo referem-se a tensões efetivas, e que a água exerce igual pressãoem todas as direções. Na análise de Coulomb basta considerar a resultante das pressões de água eincluí-la no polígono de forças.

10. Existem fórmulas teóricas para calcular esforços laterais devidos a sobrecargas aplicadas àsuperfície do terreno. Alguns tipos de sobrecarga (uniforme, linear, etc.) podem ser facilmenteconsideradas bastando incluí-las no polígono de forças.

11. Em solos que apresentam coesão existe a possibilidade de surgimento de fendas de tração.A profundidade que estas podem atingir é determinada pelo ponto em que a tensão lateral se anula

( )0=haσ .12. A máxima altura que um corte vertical poderá atingir em um solo puramente coesivo(φ=0), sem necessidade de escoramento é:

H =4c

c γ

13. Os valores de empuxo passivo fornecidos pelas Teorias de Rankine ou de Coulombafastam-se da realidade, sobretudo quando o atrito solo-muro supera 10o. Nesta situação érecomendável calcular o empuxo por outros métodos, como o do circulo de atrito, por exemplo.



Apostila de Mecânica dos Solos vol. 2 – EESC - USP (Benedito de S. Bueno e Orencio M. Vilar) 127

CAPÍTULO 16

ESTRUTURAS DE ARRIMO

1. INTRODUÇÃO

Sempre que se deseje vencer um desnível e não houver espaço para a construção de um talude,ou ainda, quando se deseje efetuar aberturas no terreno natural, para a implantação de galerias, porexemplo, há necessidade de construir estruturas de suporte que impeçam o desmoronamento doterreno.

As estruturas de arrimo podem ser de vários tipos e proporcionam estabilidade de váriasmaneiras. Existem os muros de arrimo de gravidade, de gravidade aliviada, muros de flexão, muros decontraforte, cortinas de estacas prancha, cortinas de estacas secantes ou justapostas, cortinas de perfismetálicos (H ou I) combinados com pranchões de madeira, paredes diafragma e eventualmente partesde estruturas projetadas para outro fim, que têm por finalidade retenção como por exemplo os sub-

solos de edifícios e cortinas de pontes.Pode-se utilizar estruturas de arrimo em obras temporárias, como na abertura de valas paraimplantação de condutos e metrôs. Nestes casos, geralmente, introduzem-se os elementos da estruturaanteriormente à escavação e à medida que se processa a escavação, complementa-se a estrutura com oselementos adicionais: pranchões de madeira, estroncas, tirantes, etc. Completada a obra, procede-seao reaterro da escavação e os ele mentos utilizados no escoramento podem ser retirados ereaproveitados.

Em obras definitivas, como no caso dos muros de arrimo, é normal proceder-se à escavação,deixar um espaço livre atrás de onde será implantada a estrutura, para facilidade de trabalho, e, umavez completada a estrutura, procede-se ao reaterro do espaço deixado livre . Deve-se frisar, entretanto,que estas não são regras gerais para estruturas temporárias e definitivas, havendo comumenteexceções.

2. TIPOS DE ESTRUTURAS DE ARRIMO

A Figura 16.1 mostra exemplos de muros de arrimo de gravidade e de gravidade aliviada.

Figura 16.1 - Muros de arrimo de gravidade a) b) e de gravidade aliviada c)

Os muros de gravidade dependem basicamente de seu peso para manter a estabilidade; suasdimensões são de tal ordem que não se desenvolvem tensões de tração em nenhuma seção.

No caso de muros de gravidade aliviada o principio básico é o mesmo, só que por razões deeconomia substitui-se parte do muro pelo solo que atua sobre a base. Há necessidade de se reforçar oconcreto.

Além da alvenaria e do concreto, pode-se construir muros de gravidade com o emprego de

outros materiais. Os "crib-walls" (Figura 16.2) são compostos de tarugos de madeira, concreto ou aço,formando gaiolas preenchidas posteriormente por solo.




Figura 16.2 - a) "Crib-walls"; b) Gabiões

Na regularização de córregos e saneamento de fundo de vales é comum o uso de gabiões(Figura 16.2). Colocam-se pedras de mão, em gaiolas de arame, que acabam formando blocos. Estescolocados superpostos formam paredes verticais, capazes de suportar grandes deformações eproporcionar boa drenagem do solo arrimado.

Outra estrutura que tem um comportamento determina do pelo seu peso próprio é a terraarmada.

Figura 16.3 - Terra Armada

A terra armada é um material que conjuga solo e uma armadura de tração (tiras metálicas, fios,fibra de vidro, geotêxteis). Por um mecanismo de atrito cria-se uma pseudo-coesão que garanteestabilidade ao maciço. O revestimento tem por finalidade impedir que o solo situado entre armadurasescoe e também proporcionar estética à estrutura.

A utilização de seções delgadas de concreto armado ocorre nos muros de flexão e decontrafortes (Figura 16.4). Trabalham sob tensões de tração, daí a necessidade de utilizar-se concretoarmado.

Figura 16.4 - Muros de flexão a) e com contrafortes b).

Os muros de flexão são utilizados com razoável economia até alturas da ordem de 6,0 m; oscontrafortes por introduzirem uma rigidez adicional na estrutura aplicam-se para alturas maiores que8,0 m e/ou quando as solicitações são elevadas.




As estacas prancha são peças de madeira, concreto armado ou aço que se cravam formandopor justaposição as cortinas e se prestam para estruturas de retenção de água ou solo, podendo serutilizadas tanto para obras temperarias quanto definitivas (Figura 16.5).

Figura 16.5 - Estacas Prancha - a) algumas seções; b) em balanço; c) ancorada.

O emprego de estacas prancha de madeira encontra-se hoje limitado a obras temporáriasdevido ao reduzido comprimento que apresentam e a pouca resistência a ciclos de umedecimento e

secagem. As estacas de concreto apresentam maior resistência que as de madeira, no entanto osproblemas de cravação também tornam o seu uso restrito, o que contribui cada vez mais para autilização em larga escala das estacas prancha de aço.

Dentre as inúmeras vantagens das estacas metálicas destacam-se: maior facilidade de cravaçãoe recuperação, maior regularidade, melhor estanqueidade, grandes comprimentos (emenda). m dosproblemas das estacas metálicas em obras definitivas é a corrosão; recomenda-se que sejam efetuadosestudos da agressividade da água subterrânea e do solo envolvido.

As estacas pranchas têm grande utilização em obras marítimas, podendo às vezes formardocas de ancoragem artificiais que avançam mar adentro. Neste caso, são cravadas duas filas deestacas prancha devidamente ancoradas em blocos sobre estacas e o espaço entre elas é preenchido pormaterial granular previamente selecionado.

Quanto ao método construtivo pode-se ter estacas prancha em balanço, em que a profundidade

de cravação e suficiente para suportar os esforços laterais. Este tipo se aplica a desníveis pequenos(Figura 16.5 b).

À medida que crescem as profundidades, passa-se a utilizar cortinas ancoradas e quanto aométodo de cálculo pode-se ter cortinas de extremidade livre ou de extremidade fixa engastadas (Figura16.6).

A utilização de ancoragens permite uma redução das deformações laterais, dos momentossolicitaste e da profundidade de cravação da estaca; como alternativa para as ancoragens pode-se terestacas prancha escoradas por estroncas.

De uma maneira geral as estacas prancha são cravadas até a profundidade fixada em projeto eem seguida procede-se à escavação em estágios, quando vão sendo colocadas os elementos de suporteadicionais (estroncas, tirantes, etc.).

Em obras urbanas, tipo vala-aberta, encontram grande aplicação os perfis metálicos cravados,combinados com pranchões de madeira.




Figura 16.6 - Estacas prancha de extremidade livre (a)e de extremidade fixa (b). T-reaçãodevida à ancoragem; A-esforço sobre a cortina; R-empuxo passivo disponível; S-empuxo passivoreverso, necessário para obter engastamento.

Esse tipo de escoramento segue a mesma linha de construção das estacas prancha, ou seja,cravação dos perfis, início da escavação até a cota de colocação do primeiro elemento estruturaladicional, prosseguimento da escavação até o próximo nível de entroncamento colocação da estronca,e assim sucessivamente até o fundo da escavação (Figura 16.7).

No que se refere a escavações escoradas podemos ter ainda os seguintes tipos de

escoramentos: estacas secantes, estacas justapostas e paredes diafragma.O método de construção para os três casos é basicamente o mesmo: primeiro, escavação dofuro até a cota desejada (eventualmente as estacas podem ser também cravadas), estabilização do furocom lama tixotrópica e posterior concentragem. As estacas secantes e paredes-diafragma encontrammaior aplicação quando se deseja impedir a migração de finos e/ou passagem de água; já as estacas justapostas são utilizadas para reter solos granulares acima do NA quando então se conta com acontribuição do arqueamento.

Figura 16.7 - Escoramento em perfis metálicos é pranchões de madeira.




Figura 16.8- a) Paredes de estacas secantes e b) Estacas justapostas

As paredes diafragma são construídas em painéis alternados com dimensões situadas entre 50x 250 cm e 90 x 400 cm; a escavação é feita com caçamba tipo "clam-shell" e a concretagem ésubmersa afastando-se a lama bentonítica que estabiliza o furo. A Figura 16.9 esquematiza as diversasfases de construção de uma parede diafragma.

Figura 16.9 - Parede Diafragma: a) execução de paredes guia; b) escavação com auxilio delama; c) colocação de armadura; d) concretagem submersa; c) retirada dos tubos guia; f) secção.

Completada a concretagem, dá-se início à escavação e a profundidade predeterminadaacrescentam-se as estruturas adicionais (estroncas etc.). Tendo em vista os inconvenientes que o

sistema de escoramento provoca dentro da vala, tem-se optado, alternativamente, pelo uso de tirantesancorados.Conforme já citado, pode-se utilizar estruturas de estacas prancha em obras marítimas (docas,

diques, ilhas de areia, ensecadeiras, etc.). No entanto, para estas obras o mais comum utilizar estacaspranchas especiais (em forma de arco) que se encaixam formando estruturas celulares.

Cravam-se as estacas que formam as células e em seguida preenche-se com solo. Geralmenteutilizadas para obras temporárias, trabalhem com coeficientes de segurança baixos e estão sujeitas agrandes deformações.

O correto dimensionamento de cada uma das estruturas citadas requer que se verifique paracada tipo determinadas situações. Basicamente, para os muros (gravidade, gravidade aliviada, flexão,contrafortes, "crib-walls") deve-se calcular os coeficientes de segurança ao desligamento, aotombamento, verificar a taxa de trabalho e a ruptura de todo o sistema; em se tratando de valas abertas,

além do cálculo dos esforços horizontais propriamente dito, deve-se verificar a estabilidade de fundoda escavação, bem como o possível desenvolvimento de superfícies de ruptura.Para o caso de solos argilosos pode ocorrer levantamento do fundo ("heave") e em se tratando

de solos arenosos pode ocorrer “piping”, caso haja entrada de água pelo fundo da escavação.




Quando se pode optar pelo material de preenchimento de estruturas de arrimo deve-se sempreevitar solos argilosos devido aos inúmeros problemas que estes podem causar, tais como deformaçõesvisco-elásticas, incertezas quanto aos desloca mentos necessários para produzir os estados deequilíbrio plástico e aumento de esforços devido à expansibilidade que se manifesta comumente nossolos finos. Um estudo sobre o comportamento insatisfatório de muros de arrimo mostrou que em68% dos casos os muros estavam apoiados em argila e que 51 % dos muros tinham solos coesivoscomo reaterro.

Regra geral, a correta determinação das cargas laterais atuantes sobre qualquer tipo deestrutura de arrimo depende das deformações a que estará sujeita essa estrutura.

3. ESTABILIDADE DE MUROS DE ARRIMO

A determinação dos esforços laterais sobre muros de arrimo, pode ser feita por qualquer dosmétodos tradicionais, desenvolvidos no capitulo anterior e que seja aplicável ao problema em questão.De qualquer forma, relembra-se que os esforços são decisivamente determinados pelas deformaçõesem jogo e muitas vezes, dada a rigidez da estrutura, não ocorrem deformações suficientes paramobilizar os estados de equilíbrio plástico. Experimentos com areias densas realizados por Terzaghi

mostraram que a distribuição linear de esforços, tal qual preconizado nas teorias tradicionais, temchance de ocorrer quando o muro sofre um giro em torno do seu pé (Figura 16.l0 a).Para areias compactas basta que o topo do muro se desloque cerca de 0,001 da sua altura, para

que o estado de tensões passe do repouso para o ativo. Como o deslocamento é muito pequeno, parecelícito supor que essa situação ocorre comumente nos muros de arrimo em balanço.

Figura 16.10 - Distribuição dos esforços laterais em função da deformação da estrutura deretenção.

Situação semelhante ocorre quando o muro tende a sofrer uma translação na horizontal.Inicialmente o diagrama tende a uma forma parabólica (Figura 16.10 b), com a resultante situada ameia altura; porém com pequenos deslocamentos (aa’) o diagrama passa a triangular (Figura 16.10 c),com a resultante posicionando-se no terço inferior do muro. Terzaghi assinala que em função dospequenos deslocamentos necessários para atingir o estado de equilíbrio ativo, pode-se desprezar aprimeira etapa (Figura 16.10 b), quando se trata de muros em balanço e admitir distribuição linear de

esforços.Caso o muro gire em torno de seu topo, as deformações na parte superior serão insuficientes

para atingir o estado de equilíbrio plástico (Figura 16.10 d). Entretanto, na parte inferior, os




deslocamentos já são suficientes para atingir o estado de equilíbrio limite. As partículas de areia daparte superior, por causa da restrição lateral, tendem a movimentar-se para baixo, porém a essatendência de movimento contrapõem-se tensões de cisalhamento na parte de solo contígua à superfíciede desligamento.

Como conseqüência, a tensão vertical na parte inferior da cunha é menor do que a tensãovertical em repouso, que corresponde ao peso de solo sobrejacente. Disso resulta, um diagramaparabólico com tensões altas próximo à superfície e baixas próximo ao pé do muro (Figura 16.10 d).

Este fenômeno de transferência de cargas na massa de solo, de um nível que passou pelaruptura, para outro nível contínuo, fora da zona de ruptura, recebe o nome de arqueamento. Oarqueamento condiciona uma série de comportamentos observados nos solos, sobretudo nosgranulares, como por exemplo, na distribuição de esforços sobre valas escoradas (item 4) e nacapacidade de carga de estacas.

Outra situação na qual a distribuição de esforços não é linear ocorre quando as extremidadesinferior e superior do paramento estão impedidas de se deslocar, porém, com possibilidade de flexãona parte central (Figura 16.10 e). Novamente, por efeito de arqueamento, o diagrama assume umaforma dupla parabólica com esforços menores onde os deslocamentos são maiores. Exemplo clássicode tipos de estruturas sujeitas a restrições desse tipo refere-se a cortinas de contenção em pontes e sub-solos de edifícios. Estas estruturas estando apoiadas sobre fundações pouco deformáveis terão a sua

parte superior impedidas de deslocar pela presença das lajes. Deve-se chamar a atenção para o caso dea estrutura ser bastante rígida, o que poderá impedir deformações apreciáveis e gerar um estado deesforços próximo do repouso.

Chama-se a atenção também para o caso dos solos pré-adensados que podem apresentarcoeficientes de empuxo maiores que a unidade.

A Figura 16.11 mostra sugestões para a definição das dimensões de muros de arrimo, segundoBowles (l977).

Figura 16.11 - Sugestões de medidas para dimensionamento de muros de arrimo.

O projeto estrutural do muro consiste em apenas uma das etapas do projeto global. Osesforços laterais podem gerar situações de instabilidade, seja por desligamento da estrutura ou




tombamento. A Figura 16.12 ilustra os esforços a observar na verificação ao desligamento e aotombamento de um muro de arrimo.

A parcela horizontal do empuxo deve ser comparada com todos os esforços resistentes e quena Figura 16.12 são:

- coesão e atrito na base: a resistência que se desenvolve entre muro e solo pode ser colocadasemelhantemente à envoltória de resistência dos solos S = Ca + f N

Onde: Ca - força de adesão solo muro (Ca = ca . B)f - coeficiente de atritoempuxo passivo (E p)

Evidentemente o empuxo ativo a considerar será composto de todas as ações que possam atuarsobre o muro: solo, água, sobrecargas, etc.

Figura 16.12 - Esforços em um muro de arrimo-verificação ao deslizamento e ao tombamento.

O Fator de Segurança ao deslizamento é definido como:

UN=N'E

N'f +Bc+E =FS

Ah

aph−

⋅

Devido a vários problemas que podem ocorrer com a coesão, recomenda-se utilizar em solosargilosos como adesão solo-muro Ca = (0,5 a 0,75)c limitando-se esse valor a um máximo de 5 tf /m .Para concreto lançado fresco sobre o solo, pode-se tomar f = tg φ.

Dentre as forças que se devem incluir em N, esta EAv, componente vertical do empuxo. Casonão se possa garantir que o solo situado frente ao muro venha a permanecer durante a vida útil da obranão se deve considerar a sua contribuição.

Normalmente, procura-se obter os seguintes fatores de segurança:

FS > 1,5 - areiasFS > 2,0 – argilas

O deslizamento geralmente constitui a situação mais critica para muros sobre solos arenosos.Caso haja camadas de menor resistência subjacentes ao solo de apoio do muro, deve-se considerar apossibilidade de deslizamento por essa camada.

O Fator de Segurança ao tombamento é calculado considerando-se os momentos em relaçãoao pé do muro (ponto A Figura 16.12).

bE

cEp+aW

=FSa

⋅⋅

Procura-se geralmente um FS mínimo de 1,5.




Os problemas maiores que podem advir pela tendência ao tombamento resultam dapossibilidade de a parte anterior da base do muro destacar-se do solo, vindo a diminuir a estabilidadegeral. Por essa razão procura-se fazer com que a resultante dos esforços caia dentro do núcleo central(terço médio) da base do muro. Quando a resultante apresenta excentricidade, desenvolvem-seesforços não uniformes no solo de fundação: caso a resultante se situe fora do terço médio, aparecerãotensões de tração.

As tensões que se desenvolvem na fundação são (Figura 16.13):

Figura 16.13 - Esforços no Solo de Fundação

Assim, outro aspecto a considerar na estabilidade de um muro de arrimo reside na tensãoaplicada ao solo. Deve-se verificar a capacidade de carga do solo de fundação e compará-la com astensões aplicadas, devendo resultar um fator de segurança satisfatório. Em geral procura-se obtervalores mínimos de FS de 2 e 3, para solos arenosos e argilosos, respectivamente.

Pode-se utilizar, sendo necessário, estacas como fundação, lembrando que as estacas estarão

sujeitas a esforços horizontais.Quanto a recalques, costuma-se aceitar valores relativamente elevados, desde que estesrecalques não interfiram com estruturas apoiadas sobre os muros ou próximos deles.

Uma última verificação consiste na possibilidade de ruptura de todo o talude, incluindo omuro (Figura 16.14). A verificação da estabilidade quanto à ruptura de todo o sistema pode ser feitapor um dos processos desenvolvidos no capítulo 14.

Figura 16.14 - Exemplos de superfícies de escorregamento

Finalmente chama-se a atenção para os benefícios que um sistema de drenagem internapropicia: a saturação do maciço, com elevação das pressões neutras, aumentará consideravelmente osesforços sobre o muro. Terzaghi lembra que mesmo sistemas de drenagem rústicos já proporcionamuma boa proteção contra os efeitos nocivos da água. A Figura 16.15 ilustra exemplos de filtros

utilizados em muros de arrimo.




Figura 16.15 - Exemplos de sistemas de drenagem em muros de arrimo.

Caso se utilizem solos siltosos ou argilosos, como material de reaterro, além das dificuldades já apontadas no item 1, deve-se esperar aumento de esforços devido à água, mesmo existindo umeficiente sistema de drenagem. Em épocas de intensa precipitação, o nível de água tardará a baixar,pois devido à baixa permeabilidade desses solos, a água fluirá muito lentamente para o dreno.

4. ESCAVAÇÕES ESCORADAS

Os escoramentos utilizados em escavações tais como valas e sub-solos de edifícios, podemser, basicamente flexíveis ou rígidos. No primeiro tipo enquadram-se as cortinas de estacas prancha esimilares e no segundo as paredes diafragma. A escolha de um tipo ou de outro fica determinado,fundamentalmente, pelas deformações permissíveis do escoramento.

Uma vez definido o tipo de parede, deve-se definir o tipo de escoramento a empregar. O maiscomum é utilizar estroncas, porém devido a problemas tais como largura da vala, circulação interior edeslocamentos da parede pode-se optar por tirantes ancorados no solo.

A conjugação de perfis metálicos (H ou I) com pranchões de madeira, suportados porestroncas a diferentes profundidades, é um dos tipos de escoramento flexível mais utilizado e deletrataremos a seguir.

Devido à natureza das deformações que surgem quando de sua execução, os esforços laterais a

considerar nesse tipo de estrutura diferem dos fornecidos pelas teorias tradicionais. Completada acravação dos perfis, inicia-se a escavação, que prossegue até a colocação do primeiro nível deestroncas. É razoável supor-se deformações praticamente nulas devido à pequena altura de escavaçãoe o estado de tensões fica determinado pela condição em repouso. A Figura 16.16 ilustra as diversasetapas de construção.

Ao prosseguir a escavação até a profundidade do segundo nível de estroncas, a rigidez daprimeira estronca impede deslocamentos da parte superior do escoramento, porém a profundidade daescavação gera esforços laterais suficientes para provocar um deslocamento dos perfis para dentro daescavação (Figura 16.16.c). A rigidez da estrutura II e mesmo qualquer pré-compressão são incapazesde reconduzir o terreno a seu estado original de tensões, porém pode alterar os esforços na regiãopróxima.

Figura 16.16 - Esforços sobre escavações escoradas. a) perfil cravado; b) escavação ecolocação do primeiro nível de estroncas; c) segundo nível de estroncas; d) demais níveis de estroncas.

À medida que continua a escavação, mais se acentuam os deslocamentos, de forma quequando se atinge o fundo da vala o escoramento se encontra na posição ab e normalmente nos níveis




inferiores esses deslocamentos são suficientes para mobilizar a situação de equilíbrio plástico ativo deRankine. Nesses escoramentos, passa-se então de uma situação de equilíbrio elástico, próximo àsuperfície, a uma situação de equilíbrio plástico a maiores profundidades e os diagramas de esforçoslaterais têm uma forma diferente da especificada nas teorias tradicionais.

Verifica-se assim, que os esforços a considerar no dimensionamento de escoramentos de valasdependem fundamentalmente das deformações originadas durante o processo construtivo. Interferemnessas deformações o tempo decorrido entre a escavação e a colocação das estroncas, a forma decolocação das estroncas e as variações de temperatura.

O problema de determinação dos esforços sobre escoramentos tem sido contornado através daadoção de diagramas empórios. Tais diagramas são originários de medidas feitas em obras,basicamente das forças que atuavam nas estroncas de escoramentos em valas dos metrôs de Munique,de Chicago e de Oslo. A partir dos esforços medidos criaram-se diagramas envolventes para váriostipos de solos; tais diagramas fornecem geralmente valores conservadores. A Figura 16.17 mostradiagramas envolventes para vários tipos de solos.

Figura 16.17 - Esforços laterais para dimensionamento dos elementos de escavaçõesescoradas.

Observar que os diagramas aparentes apresentados referem-se exclusivamente aos esforçosdevido ao solo. Havendo água e/ou sobrecargas a sua contribuição também deve ser levada em conta.

Devido a problemas de plastificação do solo junto ao fundo das escavações em argila econsequentes levantamentos de fundo, Terzaghi e Peck sugerem um número de estabilidade (N):

NH

c=

γ

Para valores de N superiores a 6 é provável uma ruptura pela base e para N variando entre 3 e

4 tem-se o início de formação de zonas de plastificação, com movimentos significantes do solo.O fator de redução m da expressão




K = 1 - m4 c

HAγ

(argilas moles e médias)

oscila entre 0,4 e 1,0. Segundo as medições efetuadas nas argilas de Oslo (normalmenteadensadas, aparentemente) e Chicago (ligeiramente pré-adensadas) é provável que m = 1,0 em argilaspré-adensadas e m < 1,0 nas argilas normalmente adensadas, sempre quando N > 4 e a camada de

argila seja suficientemente espessa para que se desenvolva integralmente a zona plástica.No dimensionamento estrutural dos perfis, pode-se considerá-los como uma viga continuacom a parte superior em balanço e intermediariamente apoiado nas estroncas e a parte inferior embalanço ou com as condições de apoio determinadas pela profundidade de embutimento do perfil(ficha). Um processo rápido para determinação dos esforços sobre as estroncas está representado naFigura 16.18.

Figura 16.18 - Processo simplificado para determinação dos esforços nas estroncas.

As estroncas são elementos submetidos à compressão e ao peso próprio. Em escavações

estreitas os momentos devidos ao peso próprio são pequenos, porém em escavações largas isso podeter grande interferência, sendo necessário pensar em apoios e contraventamentos para essas estroncaso que diminui o espaço útil dentro da escavação. Nestas situações tem-se utilizado, sempre quepossível, tirantes ancorados no solo, como se representa na Figura 16.19.

Figura 16.19 - Sistemas alternativos de apoio. a) tirantes ancorados; b) escoras.

Outra alternativa, esta mais simples consiste na colocação de escoras apoiadas no fundo daescavação.

A distribuição de esforços adotada para o metrô de São Paulo aparece nas Figuras 16.20 e16.21, para solos arenosos e solos argilosos respectivamente.




Figura 16.20 - Distribuição de esforços para solos arenosos Metrô de São Paulo.

No presente caso, considera-se que o solo onde está embutido o perfil proporcione um apoiosituado a 60% do comprimento da ficha. Cargas adicionais, tais como devidas a fundações deedifícios, devem ser incluídas.

Figura 16.21 - Distribuição de esforços para solos argilosos. Metrô de São Paulo.

No caso de solos argilosos admite-se a possibilidade de abertura de tração até umaprofundidade zo determinada por

A

oK

1

c 2,67

2

1 =z ⋅

γ⋅⋅

A profundidade da fenda assim calculada deverá ser limitada a 3,0 m e o peso de solo, até aprofundidade zo é tomado como uma sobrecarga. Além disso, deve-se supor a fenda preenchida por

água o que resulta um esforço adicional de 2

oW z2

1⋅ γ .

Na verificação da estabilidade da pranchada, um dos aspectos a considerar refere-se àprofundidade da ficha to. Para facilitar essa verificação pode-se, na adoção do diagrama equivalente,considerar o empuxo ativo como atuante em toda a extensão do perfil (h + to), conforme se mostraráno próximo item.

5. ESTABILIDADE DAS ESCAVAÇOES ESCORADAS

Além do cálculo estrutural das partes componentes do escoramento, é necessário realizaroutras verificações:

- profundidade de embutimento da ficha




- estabilidade do fundo da escavação (levantamento e “piping”)- escorregamento de todo o sistema- deslocamentos da parede.

5.1 - Verificação da Ficha

Nas paredes de perfil metálico com pranchões, estes descem somente até o fundo daescavação, formando uma parede continua. Abaixo do fundo, seguem apenas os perfis, sendonecessário verificar o empuxo passivo disponível para garantir o apoio do perfil. Uma forma decálculo proposta por Weissenbach, considerando perfil com aba bo = 30 cm e espaçamento entre L >l,50 m, é dada pelas expressões.

2

op t7,0E = - areia úmida

2

op t3,5E = - areia submersa

to - comprimento da ficha

Variando essas condições, introduzem-se fatores de correção, f 1-devido ao solo; f 2 - devido aoperfil e f 3 - devido ao espaçamento entre perfis:

f 1 solo2,0 - marca em blocos (c > 1,0 tf /m2)1,5 - areia (Dr > 70%)0,6 - silte e argila

f =b

302 - (b - largura da aba do perfil - cm)

f =L

1,503

- (L - espaçamento entre perfis - m)

Para espaçamentos usuais entre perfis (L = 1,50 a 2,00 m) é comum admitir-se a parede comocontínua até o fim do perfil. Assim o empuxo passivo a considerar pode ser calculado pelas teoriastradicionais.

Na verificação da ficha procura-se um fator de segurança mínimo de 1,5. Quando no ajuste dodiagrama consideram-se os esforços como atuantes em toda a extensão do perfil, o fator de segurançada ficha é dado por (Figura 16.22).

Figura 16.22 - Verificação do fator de segurança da ficha

Assim, no calculo dos esforços sobre o perfil (viga continua apoiada em A, B, C, D) despreza-se a parcela ∆EA, a qual se considera que atue diretamente 'sobre o apoio da ficha.




Quando houver três ou mais níveis de estroncas as reações sobre as estroncas situadas entre0,25H e 0,75H são majoradas de 30% devido às simplificações assumidas dos esforços. nadeterminação

5.2 - Estabilidade do Fundo

A estabilidade de fundo da escavação foi analisada por Terzaghi que considerou a capacidadede carga do solo, quando solicitado por uma "sapata corrida" de largura B, tal qual se esquematiza naFigura 16.23.

Nesse estudo são abordadas valas com solo coesivo (φ = 0) e arenosos (c = 0). Apresenta-se aseguir uma dedução englobando as duas analises de Terzaghi para solo com coesão a atrito.

Para um solo genérico, pode-se definir a carga na "sapata" de largura B, devida ao solo como:

Hc-tgE-WQ AB ⋅φ=

A capacidade de carga para uma sapata de largura 2B é dada por

NgBN.qNc qcRH ⋅⋅ γ++⋅=σ

Nc Nq N γ - fatores de capacidade de cargaq - sobrecarga (q = γ’ . to - ficha aumenta estabilidade pelo acréscimo de sobrecarga)

Figura 16.23 - Estabilidade de fundo de uma escavação

Terzaghi considerou que a carga máxima (Q’RH) que o solo pode suportar à profundidade H,para uma sapata de largura B é:

Q =Q

2RH' RH

onde: - )NBgNqqNc(c2BQRH γ⋅⋅⋅++=

Assim o Fator de Segurança quanto à ruptura de fundo é dado por




Hc- tgE-W

)NB +Nq+NB(c =

Q

Q =FS

A

qc

B

'RH

φ⋅

⋅⋅ γ⋅ γ

Como a largura B é desconhecida, busca-se o menor fator de segurança fazendo-se variar B.Em geral procura-se obter um valor mínimo de 1,5.

Os gráficos da Figura 16.24 fornecem o fator de segurança para a estabilidade de fundo de

escavações em argilas.

Figura 16.24 - Estabilidade contra levantamento de fundo em solos coesivos (NAVFAC DM-7, 1971).

No caso a, a espessura da camada é tal que é possível o desenvolvimento total da superfície deruptura e, no caso b existe uma camada mais resistente impedindo a formação da superfície de rupturatotal.

Em solos arenosos, em presença de água, o fluxo para dentro da escavação, pela base, tenderáa promover o aparecimento de areia movediça. Há necessidade, portanto, de impedir que as pressões

neutras geradas superem o peso total de pressões neutras geradas superem o peso total de solo nofundo da escavação. O controle dá percolação de água, o aumento da ficha e a colocação de filtros sãomedidas que auxiliam a garantir a estabilidade do fundo da escavação. Gráficos que fornecem fatoresde segurança contra "piping" em escavações em areia, bem como a profundidade da ficha para evitar“piping”, são apresentados em NAVFAC-DM-7 (l971) e reproduzidos também em Winterkorn andFang (l975).

5.3 - Escorregamento Geral

Outra verificação necessária refere-se a possibilidade de ruptura de todo o sistema porescorregamento (Figura 16.25).




Figura 16.25 - Escorregamento Geral

A estabilidade pode ser calculada por qualquer dos métodos apresentados no Capítulo 14,devendo-se garantir um fator de segurança adequado para a situação mais critica que possa ocorrer.Observe que as estroncas atuam como esforços externos e devem ser incluídas na analise deestabilidade.

5.4 - Deslocamentos da Pranchada e Recalques Associados

As deformações do solo contido pela parede são responsáveis por deslocamentos da superfíciedo terreno adjacente à escavação. Surge então a necessidade de quantificar os recalques associadosaos deslocamentos da pranchada para verificar a sua influência sobre as estruturas vizinhas.

Trata-se de uma das verificações mais difíceis e mais incertas no dimensionamento doescoramento de uma escavação, em função das simplificações impostas em todas as faces dedimensionamento e do desconhecimento do comportamento real do solo.

Peck (1967) ressalta que os recalques dependem das propriedades do solo, das dimensões daescavação, da técnica de escavação, do tipo de escoramento empregado e da técnica de construção doescoramento. Por estas razões é extremamente difícil realizar previsões acerca do tema sendo

necessário recorrer a medidas em obras semelhantes e a uma considerável dose de julgamento porparte do projetista. Baseado em medidas (ou na inexistência delas...) em diversas obras, Peck afirmaque escavação em areias densas e em materiais granulares coesivos provavelmente exibirão pequenosrecalques, desde que se empreguem boas técnicas de construção no escoramento. Já em argilas molesos recalques a esperar deverão ser elevados. O gráfico da Figura 16.26 permite obter ordens degrandeza dos recalques a esperar devido a deslocamentos da pranchada.

Figura 16.26 - Recalques a esperar devido a deslocamentos da pranchada (Peck, 1967) .

EXEMPLO 16.1

Para o muro de arrimo esquematizado a seguir, verificar a estabilidade ao deslizamento e aotombamento, bem como tensões aplicadas ao solo de fundação.




- cálculo do empuxo ativo por Coulombβ = 90o φ = 35o δ = 30o i = 10o 0,28=

98,0

0,420,91 +0,87

0,821

=K

2

A

⋅

⋅

tf/m3,32,=E

tf/m5,76=E tf/m6.65=0,2851,90

2

1 =E

Av

Ah2

A ⋅⋅⋅

Obs. 1 tf = 10 kN

- peso do muro

tf/m5,02,500,405W1 =⋅⋅=

tf/m12,02,501,602

15 W2 =⋅⋅

+=

- tombamento (desprezando empuxo passivo)

8,00,286,6,5

1,02)-(2,012,0+0,20)-2,0(5,0 =FST ⋅

⋅

⋅

- deslizamento (desprezando empuxo passivo)

( )FS =

12,0 + 5,0 + 3,32=

11,73

5,76= 2,0D

5 76,

- tensões na fundação considerando momentos em relação ao centro da base do muro (ponto C), tem-se:excentricidade da resultante – e

∑

∑

∑

∑ ⋅⋅⋅

m / tf 20,32=V

m

m.tf 2,58=0,805-0,0212,0+0,906,65=M

V

M =e




e =2,58

20,320,13 m

=20,32

2,0

6 x 2,58

2,0= 10,16 3,87

= 14,03 tf / m = 6,29 tf / m

2

A2

B2

≅± ±σ

σ σ

SINOPSE

1. As estruturas de arrimo proporcionam uma transição entre dois níveis situados emdiferentes cotas no terreno.

2. Existem estruturas dos mais variados tipos. Basicamente elas são divididas em flexíveis erígidas.

3. Os esforços sobre uma estrutura de arrimo são decisivamente influenciados pelasdeformações que a estrutura possa sofrer. Comumente ocorrem situações em que as deformações sãoinsuficientes para atingir os estados de equilíbrio ativo ou passivo e o maciço permanece num estadointermediário entre "repouso-ativo" ou "repouso-passivo".

4. Na verificação da estabilidade de um muro de arrimo há que se atentar para a possibilidadede desligamento e tombamento. Além disso, deve-se considerar a possibilidade de ruptura do talude

formado, bem como verificar as tensões aplicadas ao solo de fundação e os recalques.5. Um sistema de drenagem, mesmo rústico, pode proporcionar sensíveis benefícios a um

muro de arrimo, com redução de esforços sobre ele.6. Sempre que se puder optar pelo material de preenchimento, deve-se escolher solos

arenosos. Incertezas quanto aos deslocamentos necessários para promover os estados de equilíbrioplástico, deformações visco-elásticas, dificuldades de drenagem, expansões, são algumas das razõesque tornam problemática a utilização de solos argilosos como preenchimento.

7. Os esforços sobre escoramentos flexíveis escorados diferem daqueles dados pelas teoriastradicionais. A adoção de diagramas empíricos, para vários tipos de solo, tem permitido dimensionaresses escoramentos.

8. Além do dimensionamento estrutural das partes componentes do escoramento flexível deuma escavação (perfis metálicos, pranchões de madeira e estroncas) é necessário verificar asestabilidades da ficha, do fundo da escavação, da ruptura do talude formado e dos deslocamentos dapranchada.




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