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DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

AVALIAÇÃO DO MODELO DE SOUZA–AURICCHIO PARA LIGAS COM MEMÓRIA DE FORMA NO CONTEXTO DE

CARREGAMENTOS AXIAIS-TORCIONAIS

Por

Tiago Ferreira da Fonseca

Brasília, 18 de outubro de 2019

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

ii

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

Faculdade de Tecnologia Departamento de Engenharia Mecânica

AVALIAÇÃO DO MODELO DE SOUZA–AURICCHIO PARA LIGAS COM MEMÓRIA DE FORMA NO

CONTEXTO DE CARREGAMENTOS AXIAIS-TORCIONAIS

Tiago Ferreira da Fonseca

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE

ENGENHARIA MECÂNICA DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE

DE BRASÍLIA, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO

DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS MECÂNICAS.

APROVADA POR:

____________________________________________________ Prof. Fábio Comes de Castro, D.Sc. (ENM/UnB) (Orientador)

____________________________________________________ Prof. Edgar Nobuo Mamiya, D.Sc. (ENM/UnB) (Examinador Interno)

____________________________________________________ Prof. Francisco Evangelista Junior, D.Sc. (ENC/UnB) (Examinador Externo)

Brasília/DF, 18 de outubro de 2019.

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FICHA CATALOGRÁFICA REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

FONSECA, T. F., (2019) Avaliação do modelo de Souza–Auricchio para ligas com memória

de forma no contexto de carregamentos axiais-torcionais. Dissertação de mestrado,

Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade de Brasília, DF, 58 p.

CESSÃO DE DIREITOS

AUTOR: Tiago Ferreira da Fonseca.

TÍTULO: Avaliação do modelo de Souza–Auricchio para ligas com memória de forma no

contexto de carregamentos axiais-torcionais.

GRAU: Mestre ANO: 2019

É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação de

mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e

científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte dessa dissertação de

mestrado pode ser reproduzida sem autorização por escrito do autor. ________________________________

Tiago Ferreira da Fonseca Setor Habitacional Jardim Botânico Quadra 8 Conj. C Lote 13 71681-415 Brasília – DF – Brasil.

FERREIRA DA FONSECA, TIAGO

Avaliação do modelo de Souza–Auricchio para ligas com memória de forma no contexto de

carregamentos axiais-torcionais

[Distrito Federal] 2019.

xi, 58 p., 210 x 297 mm (ENM/FT/UnB, Mestre, Ciências Mecânicas, 2019)

Dissertação de mestrado – Universidade de Brasília.

Faculdade de Tecnologia.

Departamento de Engenharia Mecânica.

1. Ligas com memória de forma 2. Modelo de Souza–Auricchio

3. Avaliação experimental 4. Axial-torcional

I. ENM/FT/UnB

iv

Dedico este projeto a minha mãe Silvânia Fonseca, a meu pai Robson Fonseca, a minha irmã Letícia Fonseca e a minha namorada Karina Livino por me apoiarem nos momentos de dificuldade e por tornarem mais este sonho possível.

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Agradecimentos Agradeço primeiramente aos meus pais pelos sacrifícios realizados em nome do meu bem-estar e educação. Agradeço também aos professores do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Brasília por todo o conhecimento repassado ao longo desta jornada. Em especial, agradeço ao Professor Fábio Comes pela orientação e pelo apoio nesses três anos de projeto. Por fim, agradeço a todos os amigos de curso pelo companheirismo dentro e fora das salas de aula.

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Resumo Este trabalho apresenta uma avaliação do modelo constitutivo de Souza–Auricchio para ligas

com memória de forma. O modelo, atualmente disponível no software comercial de elementos

finitos ANSYS®, é avaliado no contexto de carregamentos axiais-torcionais por meio de

comparação com dados experimentais disponíveis na literatura. Diferentes histórias de

carregamento, proporcionais e não-proporcionais, são simuladas sob controle de deslocamento

axial/ângulo de torção ou controle de força/torque. Em todos os casos, consideram-se corpos

de prova de Ni-Ti no formato de tubo de parede fina. Os resultados obtidos indicam que as

predições do modelo de Souza–Auricchio podem ser influenciadas pela forma de controle

adotada, de modo que ensaios conduzidos sob controle de deslocamento tendem a gerar

resultados mais exatos. Os resultados apontam ainda que as predições do modelo podem ser

influenciadas pela história de carregamento imposta. As diferenças observadas entre os

resultados numéricos e os resultados obtidos experimentalmente são até 5 vezes maiores nos

casos em que carregamentos não-proporcionais são aplicados. Por fim, os resultados sugerem

que, do ponto de vista qualitativo, o modelo de Souza–Auricchio consegue reproduzir as

principais características dos laços de histerese das curvas tensão-deformação. Entretanto, a

correlação quantitativa com os dados experimentais não é exata, podendo apresentar diferenças

de até 98% entre os resultados experimentais e os resultados numéricos.

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Abstract This work presents an evaluation of the Souza–Auricchio constitutive model for shape memory

alloys. The model, currently available in the ANSYS® commercial finite element software, is

evaluated in the axial-torsional loading context by comparison with experimental data available

in the literature. Different loading conditions, proportional and non-proportional, are

investigated in both displacement and force control modes. In all cases, Ni-Ti thin-walled tube

specimens are considered. Results indicate that Souza–Auricchio model predictions may be

influenced by the adopted control mode, so that tests conducted under displacement control

tend to return more accurate outcomes. Results also indicate that model prediction capabilities

may be influenced by applied loading conditions. Existing differences between numerical and

experimental results are up to 5 times greater in cases where non-proportional loads are applied.

Finally, results suggest that, from a qualitative point of view, the Souza–Auricchio model is

able to reproduce the main features of the stress-strain hysteresis loops. However, the

quantitative agreement with experimental data is no accurate, presenting variances of up to 98%

between experimental and numerical results.

viii

Sumário

1 Introdução ......................................................................................................................... 1

1.1 Objetivo ...................................................................................................................... 3

1.2 Organização do trabalho .......................................................................................... 3

2 Revisão bibliográfica ........................................................................................................ 4

2.1 Ligas com memória de forma .................................................................................. 4

2.1.1 Contexto histórico ................................................................................................... 4

2.1.2 Fenomenologia da transformação de fase ............................................................... 5

2.1.3 Pseudoelasticidade .................................................................................................. 8

2.1.4 Quasiplasticidade .................................................................................................... 9

2.1.5 Efeito memória de forma ...................................................................................... 10

2.2 Modelos constitutivos para ligas com memória de forma ................................... 11

2.2.1 Modelos fenomenológicos macromecânicos ........................................................ 12

2.2.2 Modelos micromecânicos ..................................................................................... 12

2.2.3 Modelos macromecânicos baseados em micromecânica e termodinâmica .......... 12

2.3 Modelo de Souza–Auricchio ................................................................................... 13

2.3.1 Modelo de Souza et al. (1998) .............................................................................. 14

2.3.2 Modelo de Souza–Auricchio ................................................................................. 17

2.3.3 Determinação das constantes do modelo .............................................................. 19

3 Comparação numérico-experimental ............................................................................ 23

3.1 Definição da malha ................................................................................................. 23

3.2 Dados experimentais de Mehrabi et al. (2015) ..................................................... 26

3.2.1 Determinação dos parâmetros do modelo ............................................................. 27

3.2.2 Resultado das simulações e discussão .................................................................. 29

3.3 Dados experimentais de Wang et al. (2010) .......................................................... 32

3.3.1 Determinação dos parâmetros do modelo ............................................................. 34

3.3.1 Resultado das simulações e discussão .................................................................. 35

4 Conclusão ......................................................................................................................... 38

Referências bibliográficas ...................................................................................................... 39

ix

Lista de Figuras

Figura 2-1 Evolução da fração volumétrica de martensita em função das temperaturas de

transformação de fase. ................................................................................................................ 6

Figura 2-2 Demaclação de uma LMF. ........................................................................................ 7

Figura 2-3 Esquema do efeito memória de forma. ..................................................................... 7

Figura 2-4 Diagrama esquemático do comportamento pseudoelástico. ..................................... 9

Figura 2-5 Diagrama esquemático do comportamento pseudoelástico (a) completo e (b) parcial.

..................................................................................................................................................... 9

Figura 2-6 Comportamento quasiplástico. ................................................................................ 10

Figura 2-7 Diagrama esquemático do efeito memória de forma. ............................................. 11

Figura 2-8 Representação gráfica das constante do modelo de Souza– Auricchio em uma curva

tensão-deformação correspondente ao comportamento pseudoelástico ................................... 22

Figura 3-1 Corpo de prova adotado por Mehrabi et al. (2015): (a) dimensões em mm e (b) vista

isométrica. ................................................................................................................................. 23

Figura 3-2 Malhas de elementos finitos utilizadas para discretizar o corpo de prova adotado por

Mehrabi et al. (2015): (a) malha I, (b) malha II e (c) malha III. ............................................... 24

Figura 3-3 Ensaio para definição da malha: (a) história de carregamento e (b) condições de

contorno. ................................................................................................................................... 25

Figura 3-4 Curvas (a) tensão axial vs deformação axial e (b) tensão cisalhante vs deformação

cisalhante para diferentes malhas. ............................................................................................. 26

Figura 3-5 História dos carregamentos proporcionais sob: (a) controle de deslocamento e

(b) controle de força impostos nos ensaios de Mehrabi et al. (2015). ...................................... 27

Figura 3-6 História dos carregamentos não-proporcionais sob: (a) controle de deslocamento e

(b) controle de força impostos nos ensaios de Mehrabi et al. (2015). ...................................... 27

Figura 3-7 Condições de contorno adotadas nos ensaios sob: (a) controle de deslocamento

axial/ângulo de rotação e (b) controle de força/torque realizados por Mehrabi et al. (2015). .. 28

Figura 3-8 Calibração das constantes do modelo para os ensaios de Mehrabi et al. (2015):

(a) curva experimental e (b) curva simulada utilizando-se as constantes obtidas. ................... 28

Figura 3-9 Curvas tensão axial vs deformação axial e tensão cisalhante vs deformação

cisalhante sob carregamento proporcional: (a) controle de deslocamento e (b) controle de força.

................................................................................................................................................... 29

Figura 3-10 Curvas tensão axial vs deformação axial e tensão cisalhante vs deformação

cisalhante sob carregamento não-proporcional: (a) controle de deslocamento e (b) controle de

força. ......................................................................................................................................... 30

x

Figura 3-11 Ilustração esquemática do corpo de prova utilizado. Dimensões em mm (adaptado

de Wang et al., 2010). ............................................................................................................... 32

Figura 3-12 Malha de elementos finitos utilizada para discretizar o corpo de prova adotado por

Wang et al. (2010): (a) vista frontal e (b) vista isométrica. ...................................................... 32

Figura 3-13 Condições de contorno adotadas nos ensaios realizados por Wang et al. (2010). 33

Figura 3-14 História do carregamento (a) proporcional, (b) não-proporcional defasado 45° e (c)

não-proporcional defasado 90° imposto nos ensaios realizados por Wang et al. (2010). ........ 34

Figura 3-15 Calibração das constantes do modelo para os ensaios de Wang et al. (2010):

(a) curva experimental e (b) curva simulada utilizando-se as constantes obtidas. ................... 35

Figura 3-16 Curvas tensão axial vs deformação axial e tensão cisalhante vs deformação

cisalhante sob: (a) carregamento proporcional, (b) carregamento não-proporcional defasado 45°

e (c) carregamento não-proporcional defasado 90°. ................................................................. 36

xi

Lista de Tabelas

Tabela 1-1 Dados experimentais para LMF sob carregamento axial-torcional. ......................... 2

Tabela 3-1 Propriedades da liga de Ni-Ti utilizada por Mehrabi et al. (2015). ........................ 28

Tabela 3-2 Índices de desempenho para os ensaios de Mehrabi et al. (2015). ......................... 31

Tabela 3-3 Propriedades da liga de Ni-Ti utilizada por Wang et al. (2010). ............................ 35

Tabela 3-4 Índices de desempenho para os ensaios de Wang et al. (2010). ............................. 37

xii

Lista de Símbolos

Símbolos Latinos

𝐴" Temperatura final de formação da austenita

𝐴# Temperatura inicial de formação da austenita

𝐸% Módulo de elasticidade da fase austenítica

𝐸& Módulo de elasticidade da fase martensítica

𝒆() Deformação de transformação

𝐼+, Função indicatriz

𝐽. Segundo invariante do tensor desviador de tensão

𝐽/ Terceiro invariante do tensor desviador de tensão

𝑀" Temperatura final de formação da martensita

𝑀# Temperatura inicial de formação da martensita

𝐸 Módulo de elasticidade

𝒆 Parcela desviadora do tensor de deformações

𝐹 Força

𝑓 Função limite

𝐺 Módulo de cisalhamento

ℎ Parâmetro de endurecimento do material

𝐼 Diferença entre resultados experimentais e numéricos

𝐾 Módulo de compressão

𝐿 Comprimento inicial

𝑚 Parâmetro de Lode

𝑀 Torque

𝑝 Parcela volumétrica do tensor de tensões

𝑅 Raio do domínio elástico

xiii

𝒔 Parcela desviadora do tensor de tensões

𝑡 Pseudotempo

𝑇 Temperatura

𝑋 Força termodinâmica associada à deformação de transformação

𝑿 Tensão termodinâmica associada à deformação de transformação

Símbolos Gregos

𝜀@ Máxima deformação de transformação

𝜀) Deformação residual

𝜀() Deformação de transformação

𝜎%B Tensão final de formação da austenita

𝜎%C Tensão inicial de formação da austenita

𝜎&B Tensão final de formação da martensita

𝜎&C Tensão inicial de formação da martensita

𝜎D Tensão axial crítica em compressão

𝜎" Tensão final da demaclação

𝜎# Tensão inicial da demaclação

𝜎( Tensão axial crítica em tração

𝜏& Parâmetro do material

∆𝐿 Deslocamento axial

ø Diâmetro

𝛽 Parâmetro de escala da temperatura

𝛾 Deformação cisalhante

𝛿 Parâmetro de regularização

𝜀 Deformação axial

𝜺 Tensor de deformações infinitesimais

xiv

𝜃 Parcela volumétrica do tensor de deformações

𝛩 Rotação

𝜆 Parâmetro derivado da função indicatriz

𝜉 Fração volumétrica de martensita

𝜎 Tensão axial

𝝈 Tensor de tensões infinitesimais

𝜏 Tensão cisalhante

𝛷 Ângulo de fase

𝜑 Parâmetro associado à fração volumétrica de martensita

𝛹 Potencial de energia livre

𝛺 Pseudopotencial de dissipação

𝜔 Velocidade angular

Subscritos

𝑒𝑥𝑝 Experimental

𝑒𝑥𝑡 Externo

𝑖𝑛 Interno

𝑚𝑎𝑥 Máximo

𝑛 Instante inicial

𝑛 + 1 Instante final

𝑛𝑢𝑚 Numérico

Sobrescritos

+ Parte positiva

∙ Variação temporal

Siglas

Cd-Au Cádmio-ouro

xv

Cu-Al-Zn-Mn Cobre-alumínio-zinco-manganês

Cu-Zn-Al Cobre-zinco-alumínio

LMF Ligas com memória de forma

Ni-Ti Níquel-titânio

1

1 Introdução As ligas com memória de forma (LMF) constituem uma classe de ligas metálicas com

comportamentos termomecânicos característicos, denominados de efeito memória de forma e

pseudoelasticidade. O efeito memória de forma pode ser entendido como a capacidade do material

de memorizar uma forma previamente definida e recuperá-la, após sofrer uma deformação

quasiplástica (i.e., deformação resultante da reorientação dos cristais que compõem o material), por

meio da imposição de uma temperatura. Por sua vez, a pseudoelasticidade pode ser entendida como

a capacidade do material de recuperar deformações resultantes de transformações martensíticas

induzidas por tensão.

Devido a estes comportamentos, as aplicações envolvendo LMF difundiram-se por diversos

segmentos da indústria. No setor automotivo, por exemplo, o comportamento pseudoelástico

propicia um sistema eficiente de dissipação de impacto, sendo utilizado em veículos militares e

comerciais (Paine & Rogers, 1995). Ainda neste segmento, a utilização de materiais com memória

de forma na construção de atuadores proporciona vantagens com relação ao peso e a dimensão dos

dispositivos (Stoeckel, 1990).

Na indústria aeroespacial, as LMF são utilizadas na construção de dispositivos destinados à

redução dos ruídos emitidos pelo motor das aeronaves. Tais dispositivos, conhecidos como

chevrons, são responsáveis por misturar o fluxo de gases na exaustão e, assim, reduzir o ruído

emitido. Durante a decolagem, as tiras de LMF se aquecem e defletem a estrutura dos chevrons em

direção ao fluxo de gases, aumentando assim a taxa de mistura e reduzindo o ruído. Por outro lado,

quando a aeronave se encontra em velocidade de cruzeiro, as tiras de LMF se resfriam, aumentando

a rigidez dos chevrons e melhorando a eficiência do motor (Hartl et al., 2009).

No campo da biomedicina, as ligas de níquel-titânio (Ni-Ti) têm sido empregadas na fabricação

de stents, fios ortodônticos e dispositivos para cirurgias minimamente invasivas (Miyazaki, 1998).

O efeito memória de forma e a pseudoelasticidade, juntamente com a biocompatibilidade (i.e.,

2

habilidade do material de permanecer não tóxico durante a sua vida funcional) e a biofuncionalidade

(i.e., bom funcionamento do material no interior do corpo humano), tornam as ligas de Ni-Ti

interessantes para aplicações biomédicas.

A demanda crescente da indústria por materiais inteligentes (i.e., materiais capazes de responder

a estímulos externos de maneira funcional) tem impulsionado a produção de trabalhos voltados a

investigação dos comportamentos (Lieberman et al., 1975; Funakubo & Kennedy, 1987; Otsuka &

Wayman, 1999), mecanismos microestruturais (Jackson et al., 1972) e aplicações das LMF (Duerig

et al., 1990; Van Humbeeck, 1999).

Nas últimas três décadas, diversos modelos constitutivos para LMF foram propostos. Entre eles,

o modelo desenvolvido por Souza et al. (1998) e aperfeiçoado por Auricchio & Petrini (2004)

proporciona um ambiente favorável para a análise tensão-deformação tridimensional de dispositivos

mecânicos. O modelo de Souza–Auricchio apresenta um algoritmo de solução simples e robusto,

fundamental para sua implementação dentro de códigos de elementos finitos. Desde 2012, este

modelo encontra-se disponível no software comercial de elementos finitos ANSYS® (Imaoka, 2011).

Tabela 1-1 Dados experimentais para LMF sob carregamento axial-torcional.

Referência Material Corpo de Prova Modo de Controle Sittner et al. (1995) Cu-Al-Zn-Mn Tubo de parede fina Força, Deslocamento Sittner et al. (1996) Cu-Al-Zn-Mn Tubo de parede fina Força, Deslocamento Rogueda et al. (1996) Cu-Zn-Al Tubo de parede fina Força Tokuda et al. (1999) Cu-Al-Zn-Mn Tubo de parede fina Força, Temperatura Tokuda et al. (2002) Cu-Al-Zn-Mn Tubo de parede fina Força, Temperatura McNaney et al. (2003) Ni-Ti Tubo de parede fina Deslocamento Wang et al. (2007) Ni-Ti Tubo de parede fina Deslocamento Grabe & Bruhns (2008) Ni-Ti Cilindro sólido Deslocamento Sittner et al. (2009) Ni-Ti Fio Deslocamento, Temperatura Wang et al. (2010) Ni-Ti Tubo de parede fina Deslocamento Karbaschi (2012) Ni-Ti Fio Deslocamento Mehrabi et al. (2014) Ni-Ti Tubo de parede fina Deslocamento Mehrabi et al. (2015) Ni-Ti Tubo de parede fina Força, Deslocamento Khodaei & Terriault (2018) Ni-Ti Tubo de parede fina Força

3

Embora uma ampla gama de ensaios axiais-torcionais para LMF tenham sido reportados na

literatura (Tabela 1-1), as avaliações experimentais do modelo de Souza–Auricchio ainda se

concentram no contexto unidimensional (Auricchio et al., 2009a; Auricchio et al., 2009b; Auricchio

et al., 2014). Neste trabalho, o comportamento tensão-deformação descrito pelo modelo de Souza–

Auricchio é avaliado, tanto do ponto de vista qualitativo quanto quantitativo, utilizando dados

extensivos de testes axiais-torcionais.

1.1 Objetivo

O objetivo geral deste trabalho consiste em avaliar a capacidade de predição do modelo

constitutivo de Souza–Auricchio para ligas com memória de forma, no contexto de carregamentos

axiais-torcionais, por meio de comparação com dados experimentais disponíveis na literatura. Os

objetivos específicos são: (i) avaliar a influência da forma de controle (e.g., força ou deslocamento)

e (ii) da história de carregamento (e.g., proporcional ou não-proporcional) na capacidade de predição

do modelo.

1.2 Organização do trabalho

Este trabalho encontra-se estruturado em quatro capítulos. O capítulo 2 apresenta,

primeiramente, uma revisão bibliográfica sobre as LMF e seus principais comportamentos

termomecânicos. Em seguida, a formulação do modelo de Souza–Auricchio é apresentada. O

capítulo 3 apresenta uma série de comparações realizadas entre resultados obtidos

experimentalmente e resultados advindos de simulações numéricas utilizando o modelo de Souza–

Auricchio. Por fim, o capítulo 4 apresenta as conclusões e considerações finais deste trabalho.

4

2 Revisão bibliográfica 2.1 Ligas com memória de forma

As LMF são capazes de deformar-se pseudoelasticamente quando submetidas a carregamentos

externos, podendo atingir deformações reversíveis da ordem de 10% a depender de sua composição

(Delaey et al., 1974). Além deste comportamento, as LMF também são capazes de memorizar uma

forma previamente estabelecida e recuperá-la, por meio de processos de ativação térmica, mesmo

após submetidas a deformações quasiplásticas da ordem de 8%. Essa habilidade de reconstituição

do material é denominada de efeito memória de forma (Ölander, 1932).

2.1.1 Contexto histórico

O efeito memória de forma foi descoberto pelo físico sueco Arne Ölander (1932). Este efeito foi

observado, pela primeira vez, em uma liga metálica de cádmio-ouro (Cd-Au). Apesar dos avanços

obtidos nos anos seguintes, com os trabalhos de Kurdjumov & Khandros (1949) e de Chang & Read

(1951), o alto custo das ligas e a dificuldade de manufaturá-las inviabilizavam a utilização das LMF

em escala industrial.

Na década seguinte, Buehler et al. (1963), cientistas do U.S. Naval Ordnance Laboratory,

identificaram a presença do efeito memória de forma em ligas de Ni-Ti. Os responsáveis pela

descoberta batizaram a liga de Nitinol, em homenagem ao laboratório onde trabalhavam. O Nitinol,

ao contrário das demais ligas conhecidas na época, mostrava-se mais barato e fácil de manusear,

além de possuir melhores propriedades mecânicas.

A primeira aplicação comercial bem-sucedida das LMF acontece em 1969, quando a Raychem

Corporation passa a utilizar estas ligas na fabricação de elementos de fixação e uniões para a

indústria aeronáutica. Desde então, as LMF, em especial as ligas de Ni-Ti, vêm sendo

gradativamente empregadas em diversos setores da indústria automotiva, aeroespacial e biomédica.

5

2.1.2 Fenomenologia da transformação de fase

Frequentemente, as LMF apresentam duas fases cristalográficas bem definidas, que se

diferenciam quanto à estrutura cristalina e, consequentemente, quanto às características exibidas. A

fase de alta temperatura é denominada austenita e possui, geralmente, estrutura cúbica. A fase de

baixa temperatura, denominada martensita, pode apresentar estrutura ortorrômbica, tetragonal ou

monoclínica. Os cristais que compõem a fase martensítica podem estar organizados de modo a

possuírem orientações distintas entre si, caracterizando a martensita maclada, ou possuírem uma

direção preferencial de orientação, caracterizando a martensita demaclada (Krishnan et al., 1974).

Nas LMF, assim como na maior parte das ligas metálicas, a transformação entre as diferentes

fases cristalográficas não ocorre por difusão, mas sim pela distorção da estrutura de cisalhamento,

resultante de um movimento cooperativo entre os átomos. Esta transformação, conhecida como

transformação martensítica, está intimamente relacionada aos comportamentos característicos

exibidos pelas LMF. Entretanto, diferentemente das demais ligas, a transformação martensítica nas

LMF ocorre de maneira reversível, podendo ser induzida termicamente ou mecanicamente (Delaey

et al., 1974).

As transformações de fase induzidas termicamente ocorrem em faixas de temperatura que

variam não só de acordo com a composição química da liga, mas também de acordo com a história

termomecânica da mesma. Neste tipo de transformação, pode-se identificar a existência de quatro

temperaturas principais: 𝑀# (temperatura inicial de formação da martensita), 𝑀" (temperatura final

de formação da martensita), 𝐴# (temperatura inicial de formação da austenita) e 𝐴" (temperatura

final de formação da austenita) (Shaw & Kyriakides, 1995).

A Figura 2-1 ilustra a variação da fração volumétrica de martensita em função da temperatura

imposta, na ausência de cargas mecânicas aplicadas. Nota-se que, durante o processo de

resfriamento, a curva inferior é percorrida e, ao atingir-se a temperatura 𝑀#, têm-se o inicio da

formação da martensita. Conforme o processo de resfriamento avança, a fração volumétrica de

6

martensita aumenta. A transformação de fase é concluída assim que a temperatura 𝑀" é atingida,

restando então somente martensita maclada no material. Do mesmo modo, durante o aquecimento,

a formação da austenita tem início no momento em que a temperatura 𝐴# é alcançada. O processo

avança até que se ultrapasse a temperatura 𝐴", finalizando assim a transformação de fase do material

(Shaw & Kyriakides, 1995).

Figura 2-1 Evolução da fração volumétrica de martensita em função das temperaturas de transformação de fase.

Um material, inicialmente na fase martensítica maclada, pode ter seus cristais reorientados

quando submetido a aplicação de uma carga mecânica suficientemente elevada. Este processo de

reorientação dos cristais é conhecido como demaclação (ver Fig. 2-2). Denota-se por 𝜎# a tensão

mínima necessária para que o processo de demaclação tenha início. A demaclaçāo do material

avança a medida em que a tensão aplicada aumenta. A tensão correspondente ao fim do processo de

demaclação é denotada por 𝜎".

A demaclação resulta em uma variação macroscópica da forma do material, onde a configuração

deformada é mantida mesmo após a retirada da carga. Este fenômeno é conhecido como

quasiplasticidade. A recuperação da configuração original pode ser induzida por meio do

7

aquecimento do material em temperaturas superiores a 𝐴". O aquecimento proporciona a

transformação da martensita demaclada em austenita (ver Fig. 2-3). Um subsequente resfriamento

desde material, em temperaturas inferiores a 𝑀", resulta novamente na formação da martensita

maclada, sem alterações na forma. O processo descrito acima é denominado de efeito memória de

forma (Ölander, 1932).

Figura 2-2 Demaclação de uma LMF.

Figura 2-3 Esquema do efeito memória de forma.

8

Conforme citado anteriormente, a transformação martensítica pode ser induzida termicamente

ou mecanicamente. Neste segundo caso, pode-se observar a formação da martensita demaclada

quando um material, inicialmente na fase austenítica, é submetido a aplicação de cargas mecânicas

suficientemente elevadas. A transformação da austenita em martensita demaclada resulta em uma

variação macroscópica da forma do material. Entretanto, se a temperatura estiver acima de 𝐴", a

forma original é recuperada após a retirada da carga aplicada. Este fenômeno é conhecido como

pseudoelasticidade (Delaey et al., 1974).

2.1.3 Pseudoelasticidade

O comportamento pseudoelástico somente é observado em temperaturas superiores a 𝐴# e resulta

de transformações martensíticas induzidas por tensão (Delaey et al., 1974). O comportamento

tensão-deformação pseudoelástico de uma LMF submetida a temperaturas superiores a 𝐴" é

ilustrado na Fig. 2-4. Durante o carregamento, o material exibe um comportamento elástico quando

submetido a tensões inferiores a 𝜎&C. No instante em que este limite é ultrapassado, a fase austenítica

torna-se instável e a transformação martensítica tem início. Durante o processo de formação da

martensita demaclada é possível observar uma deformação macroscópica no material. A

transformação martensítica chega ao fim assim que a tensão aplicada atinge 𝜎&B. Durante o

descarregamento, o material responde inicialmente de maneira elástica. Contudo, a fase martensítica

torna-se instável ao atingir-se uma tensão equivalente a 𝜎%C. Conforme os níveis de tensão

diminuem, a martensita demaclada se transforma novamente em austenita, fazendo com que haja a

recuperação de boa parte da deformação sofrida. Se a temperatura estiver acima de 𝐴", o material

irá retornar a fase austenítica e se reconstituir integralmente, caracterizando assim a

pseudoelasticidade completa. Todavia, se a temperatura estiver entre 𝐴# e 𝐴", haverá apenas uma

recuperação parcial da deformação sofrida, caracterizando assim a pseudoelasticidade parcial.

Posteriormente, a deformação residual 𝜀) poderá ser recuperada através do aquecimento do

9

material em temperaturas superiores a 𝐴" (Delaey et al., 1974). A Figura 2-5 ilustra os

comportamentos pseudoelásticos completo e parcial em um diagrama tensão-deformação.

Figura 2-4 Diagrama esquemático do comportamento pseudoelástico.

(a) (b)

Figura 2-5 Diagrama esquemático do comportamento pseudoelástico (a) completo e (b) parcial.

2.1.4 Quasiplasticidade

A quasiplasticidade é um fenômeno observado somente em temperaturas inferiores a 𝑀" e

resulta da reorientação dos cristais que compõem a fase martensítica (Delaey et al., 1974). A Figura

2-6 ilustra o comportamento tensão-deformação quasiplástico de uma LMF.

10

Figura 2-6 Comportamento quasiplástico.

Durante o carregamento, o material exibe um comportamento elástico quando submetido a

tensões inferiores a 𝜎#. No instante em que esta tensão limite é ultrapassada, o processo de

demaclação tem início. A demaclação acontece em níveis praticamente constantes de tensão,

chegando ao fim no momento em que a tensão 𝜎" é alcançada. Se o carregamento for cessado antes

que o limite de escoamento seja atingido, o material irá se comportar de maneira elástica durante

todo o processo de descarregamento. Por fim, haverá a presença de uma deformação residual, a qual

poderá ser recuperada posteriormente através de um tratamento térmico (Delaey et al., 1974).

2.1.5 Efeito memória de forma

O efeito memória de forma configura-se como o fenômeno associado à recuperação da

deformação residual gerada pela imposição de um carregamento quasiplástico a uma LMF. A

natureza deste fenômeno pode ser melhor compreendida por meio do diagrama tensão-deformação-

temperatura esquemático apresentado na Fig. 2-7.

O material, inicialmente na fase martensítica maclada, tem seus cristais reorientados quando

submetido à tensões superiores a 𝜎". Durante o processo de descarregamento, o material se comporta

de maneira elástica e a estrutura martensítica demaclada é mantida. A deformação residual gerada

11

é então recuperada por meio do aquecimento do material a temperaturas superiores a 𝐴". Este

processo de aquecimento leva o material da fase martensítica demaclada para a fase austenítica. Um

posterior resfriamento do material, a temperaturas inferiores a 𝑀", induzirá a formação da martensita

maclada (Delaey et al., 1974).

Figura 2-7 Diagrama esquemático do efeito memória de forma.

2.2 Modelos constitutivos para ligas com memória de forma

Em geral, os modelos constitutivos são desenvolvidos com o intuito de simular a resposta

macromecânica das ligas e, assim, tornar o processo de criação de estruturas mais confiável.

Usualmente, os modelos constitutivos para LMF são divididos em três categorias: modelos

fenomenológicos macromecânicos, modelos micromecânicos, e modelos macromecânicos baseados

em micromecânica e termodinâmica. Esta seção introduz uma breve caracterização destas três

categorias.

12

2.2.1 Modelos fenomenológicos macromecânicos

Desde a década de 1980, a comunidade científica tem se dedicado ao desenvolvimento de

modelos constitutivos capazes de predizer o comportamento das LMF. Os primeiros modelos

baseavam-se em observações experimentais unidimensionais e, portanto, possuíam um caráter

fenomenológico. Ao que se sabe, o primeiro modelo fenomenológico tridimensional para uma LMF

foi proposto por Bertram (1983). O modelo, inspirado na teoria clássica da plasticidade, já era capaz

de descrever o efeito memória de forma. Anos depois, Tanaka et al. (1995) apresentam uma estrutura

macroscópica teórica para explicar o comportamento das LMF durante um carregamento cíclico

mecânico e/ou térmico. O efeito do carregamento cíclico nos laços de histerese das curvas tensão-

deformação ou tensão-temperatura são o principal tópico de discussão. Auricchio & Sacco (1997)

propuseram um modelo fenomenológico unidimensional baseado na plasticidade, o qual abordava

a pseudoelasticidade isotérmica das LMF e incorporava um termo de endurecimento linear.

Posteriormente, Bouvet et al. (2004) apresentam um modelo tridimensional para descrever o

comportamento pseudoelástico das LMF sujeitas a carregamentos multiaxiais.

2.2.2 Modelos micromecânicos

Os modelos micromecânicos buscam descrever o comportamento das LMF levando em

consideração a microestrutura granular da liga (Lim & McDowell, 1999; Patoor et al., 1989; Sun &

Hwang, 1993; Tokuda et al., 1998; Gao & Brinson, 2002). Nestes modelos, o comportamento

macroscópico médio do material é obtido por meio da representação microestrutural da liga sobre

um elemento de volume representativo (Thamburaja & Anand, 2002; Mirzaeifar et al., 2013).

2.2.3 Modelos macromecânicos baseados em micromecânica e termodinâmica

Esta classe de modelos constitutivos surge a partir da união dos princípios da micromecânica e

da termodinâmica. Tais modelos fazem uso de um potencial de energia livre (e.g. energia livre de

Gibbs e energia livre de Helmholtz), obtido por meio da modelagem micromecânica. Além disso,

são escolhidas as variáveis de estado que melhor representam comportamento termomecânico das

13

LMF quando sujeitas a alterações microestruturais. O potencial de energia livre é utilizado

juntamente com a primeira e segunda leis da termodinâmica, e as leis constitutivas que regem o

comportamento das LMF são obtidas a partir da termodinâmica de processos irreversíveis

(Chaboche & Lemaitre, 1990).

Os modelos constitutivos pertencentes à esta classe diferenciam-se dos demais pela escolha das

variáveis internas. Usualmente, as variáveis de estado que definem as tensões de transformação e a

fração volumétrica de martensita são empregadas na formulação dos modelos para LMF. Entretanto,

alguns pesquisadores optam por definir diferentes variáveis de estado na tentativa de reproduzir

determinados efeitos (e.g. reorientação da fase martensítica). A função de transformação também

afeta alguns aspectos críticos do modelo. A função de transformação, responsável por definir o

critério de transformação, é comumente baseada na teoria clássica de plasticidade (Dunne &

Petrinic, 2005). Escolhas especificas têm tornado os modelos capazes de capturar a assimetria no

comportamento tração-compressão exibido pelas LMF, assunto este extensivamente abordado nos

trabalhos de Qidwai & Lagoudas (2000) e Raniecki & Lexcellent (1998). Finalmente, a inclusão da

equação do calor na formulação dos modelos constitutivos contribuiu significativamente para a

habilidade dos modelos em simular a resposta dinâmica das LMF.

O modelo de Souza–Auricchio (Souza et al., 1998; Auricchio & Petrini, 2004), foco de estudo

do presente trabalho, enquadra-se nesta última categoria de modelos constitutivos, sendo melhor

apresentado na seção que se segue.

2.3 Modelo de Souza–Auricchio

Esta seção apresenta o modelo constitutivo de Souza–Auricchio para LMF. Este modelo foi

originalmente desenvolvido por Souza et al. (1998) utilizando conceitos da termodinâmica de

materiais com variáveis internas (Chaboche & Lemaitre, 1990) e a teoria dos materiais padrão

generalizado (Halphen & Nguyen, 1975; Maugin, 1992). Posteriormente, o modelo foi aperfeiçoado

por Auricchio e Petrini (2004) ao perceberem que o algoritmo implícito de integração das relações

14

constitutivas do modelo original, necessário à construção de um modelo de elemento finitos, possuía

algumas limitações. Para fins de clareza, esta seção apresenta em primeiro lugar o modelo original

de Souza et al. (1998) e, em seguida, discute-se as modificações introduzidas na versão proposta

por Auricchio e Petrini (2004). A apresentação será concisa, sugerindo-se para um estudo mais

detalhado a leitura dos trabalhos citados neste parágrafo.

2.3.1 Modelo de Souza et al. (1998)

O modelo proposto por Souza et al. (1998) baseia-se na termodinâmica de meios contínuos com

variáveis internas, segundo a qual o estado de um ponto material de um sólido é definido pelos

valores do tensor das deformações, da temperatura e de um conjunto de variáveis internas em um

determinado instante de tempo. As variáveis internas possuem o papel de representar, em nível

macroscópico, fenômenos dissipativos que ocorrem em nível microscópico. Além disso, na

construção das relações constitutivas que regem o comportamento das LMF, o modelo de Souza et

al. (1998) utilizou a teoria de material padrão generalizado. Nesta teoria, o comportamento tensão-

deformação do material é completamente definido a partir da escolha de dois potenciais: o potencial

de energia livre, do qual resultam as leis de estado; e o potencial de dissipação, do qual advém as

leis de evolução das variáveis internas. No que se segue, descreve-se as variáveis observáveis, as

variáveis internas, o potencial de energia livre e o potencial de dissipação adotados no modelo de

Souza et al. (1998), bem como as relações constitutivas resultantes.

As variáveis observáveis usadas no modelo de Souza et al. (1998) são o tensor das deformações

infinitesimais, 𝛆, e a temperatura, 𝑇. A variável interna incorporada ao modelo para descrever as

deformações macroscópicas associadas à transformação de fase do material é um tensor de segunda

ordem, 𝒆(), chamado deformação de transformação. Assume-se que 𝒆() é um tensor desviador,

tendo em vista evidências experimentais que sugerem que a transformação de fase martensítica

ocorre aproximadamente a volume constante (Orgéas & Favier, 1995). A quantidade 𝒆() , definida

como a norma de Frobenius de 𝒆(), serve como uma medida da quantidade de martensita em um

15

ponto material do sólido. Assim, denotando por 𝜀@ o valor máximo da deformação de transformação

ao final da transformação de fase de um ensaio uniaxial, tem-se a restrição

0 ≤ 𝒆() ≤ 𝜀@, (2.1)

onde 𝜀@ é considerado um parâmetro do material.

O potencial de energia livre de Helmholtz, 𝛹, proposto por Souza et al. (1998) possui a seguinte

forma:

𝛹 𝜃, 𝒆, 𝒆(), 𝑇 =12𝐾𝜃. + 𝐺 𝒆 − 𝒆() . + 𝜏&(𝑇) 𝒆() +

ℎ2𝒆() . + 𝐼+, 𝒆

() , (2.2)

onde 𝜃 = tr(𝛆) e 𝒆 são as parcelas volumétrica e desviadora do tensor das deformações; 𝐾 e 𝐺

denotam os módulos de compressão e cisalhamento do material; ∙ representa a norma de

Frobenius de um tensor; 𝜏&(𝑇) é uma função com valores positivos e que aumenta de forma

monotônica com a temperatura; essa função é definida como 𝜏& 𝑇 = 𝛽 𝑇 −𝑀" onde o símbolo

⋅ representa os colchetes de Macaulay (i.e., 𝑥 = 𝑥 + |𝑥| /2), 𝛽 é um parâmetro do material

relacionado à dependência da tensão crítica (i.e., nível de tensão no qual a transformação

martensítica tem início) com a temperatura e 𝑀" é a temperatura abaixo da qual apenas a fase

martensítica é estável; ℎ é um parâmetro do material relacionado ao endurecimento do material

durante a transformação de fase; por fim, 𝐼+, 𝒆() é a função indicatriz definida por

𝐼+, 𝒆() =

0, se 𝒆() ≤ 𝜀@,+∞, casocontrário.

(2.3)

Esta função indicatriz foi incluída no potencial de energia livre para garantir que a condição (2.1),

que restringe os valores da magnitude da deformação de transformação, seja satisfeita. Em outras

palavras, a função indicatriz evita que 𝒆() possua valores fora do seu intervalo admissível, uma vez

que seria necessária uma quantidade infinita de energia para fazê-lo.

As relações constitutivas (ou leis de estado) do modelo são obtidas a partir da desigualdade de

Clausius–Duhem, explorando o fato de que esta desigualdade deve ser satisfeita para qualquer

16

processo termodinâmico descrito pelo potencial apresentado na Eq. (2.2). O procedimento consiste

em substituir na desigualdade de Clausius–Duhem alguns processos termodinâmicos particulares

(e.g., um processo de deformação elástica à temperatura constante e uniforme). Resulta deste

procedimento (Chaboche & Lemaitre, 1990) que as quantidades termodinâmicas associadas às

parcelas volumétrica e desviadora do tensor das deformações, 𝜃 e 𝒆, e à deformação de

transformação, 𝒆(), devem possuir as formas a seguir:

𝑝 =𝜕𝛹𝜕𝜃

= 𝐾𝜃,

𝒔 =𝜕𝛹𝜕𝒆

= 2𝐺 𝒆 − 𝒆() ,

𝑿 = −𝜕𝛹𝜕𝒆()

= 𝒔 − 𝛽 𝑇 −𝑀"𝒆()

𝒆()− ℎ𝒆() − 𝜆

𝒆()

𝒆(),

(2.4)

onde o tensor 𝑿, que representa a tensão termodinâmica associada à deformação de transformação

𝒆(), é chamado tensão de transformação. A variável 𝜆 presente na Eq. (2.4)3 surge da diferenciação

da função indicatriz 𝜕𝐼+, 𝒆() em relação a 𝒆() e é definida como

𝜆 = 0se0 < 𝒆() < 𝜀@,𝜆 ≥ 0se 𝒆() = 𝜀@.

(2.5)

Tendo em vista a obtenção de uma lei de evolução para a deformação de transformação, 𝒆(),

Souza et al. (1998) propuseram um pseudopotencial de dissipação com a seguinte forma:

𝛺 𝒆() = 𝑅 𝒆() , (2.6)

onde 𝑅 é uma propriedade do material que pode ser interpretada como sendo o raio do domínio

elástico. Pode-se mostrar (Souza et al., 1998) que a escolha do pseudopotencial de dissipação

apresentado na Eq. (2.6) resulta na seguinte lei de evolução para a deformação de transformação:

𝒆() = 𝜑𝜕𝑓𝜕𝑿

= 𝜑𝑿𝑿, (2.7)

onde

17

𝑓 𝑿 = 𝑿 − 𝑅 ≤ 0,𝜑 ≥ 0,𝜑𝑓 𝑿 = 0.

(2.8)

Cabe observar que a relação estabelecida na Eq. (2.8)1 define um domínio no qual a tensão de

transformação 𝑿 deve estar confinada, cuja forma é uma hiperesfera de raio 𝑅. Quando a tensão de

transformação 𝑿 encontra-se no interior deste domínio (i.e., 𝑓(𝑿) < 0), a condição (2.8)3 implica

que 𝜑 = 0 e, da relação (2.7), tem-se que 𝒆() = 𝟎. Nesse caso, portanto, o material comporta-se de

forma elástica. Por outro lado, quando há transformação de fase, 𝜑 > 0, a condição (2.8)3 impõe

que a tensão de transformação 𝑿 deve estar no contorno do domínio (i.e., 𝑓 𝑿 = 0).

2.3.2 Modelo de Souza–Auricchio

Auricchio & Petrini (2004) propuseram algumas modificações no modelo original de Souza et

al. (1998), e em seu algoritmo de integração numérica, com o objetivo de construir uma formulação

numérica que permitisse a análise por elementos finitos de problemas reais de forma robusta e

eficiente. Vale observar que o modelo e algoritmo desenvolvidos por Auricchio & Petrini (2004)

foram incorporados ao aplicativo comercial de análise por elementos finitos ANSYS®, desde a sua

versão 14.5. Apresenta-se a seguir, de forma sintética, as modificações introduzidas por Auricchio

& Petrini à formulação de Souza et al. (1998).

Ao invés de uma função de transformação de von Mises, conforme expressa a Eq. (2.8)1,

Auricchio & Petrini (2004) utilizaram uma função de Prager–Lode dada por

𝑓 𝑿 = 2𝐽. + 𝑚𝐽/𝐽.− 𝑅, (2.9)

onde 𝐽. e 𝐽/ são o segundo e o terceiro invariantes do tensor desviador 𝑿 definidos por

𝐽. =

12𝑿 .,

𝐽/ =13det 𝑿 .

(2.10)

18

Na Eq. (2.9), 𝑚 é uma propriedade do material denominada parâmetro de Lode e 𝑅 é o raio do

domínio elástico. Deve-se ressaltar que 𝑚 ≤ 0,46 para que a convexidade da superfície de

transformação seja garantida. A vantagem de utilizar a função de Prager–Lode, ao invés da função

de von Mises, é que ela permite descrever a assimetria da resposta tensão-deformação das LMF

quando submetidas à tração e compressão.

A principal modificação proposta por Auricchio & Petrini (2004) refere-se à versão discretizada

no tempo do modelo constitutivo. Para explicar essa modificação, apresenta-se a seguir as relações

constitutivas do modelo de Souza et al. (1998) após sua discretização no tempo pelo método

implícito de Euler:

𝑝 = 𝐾𝜃,𝒔 = 2𝐺 𝒆 − 𝒆() ,

𝑿 = 𝒔 − 𝛽 𝑇 − 𝑀" + ℎ 𝒆() + 𝜆𝜕 𝒆()

𝜕𝒆() ,

𝜆 ≥ 0,

𝒆() = 𝒆() + Δ𝛿𝜕𝑓 𝑿𝜕𝝈

,

𝒆() ≤ 𝜀@,

𝑓 𝑿 = 2𝐽. + 𝑚𝐽/𝐽.− 𝑅 ≤ 0,

Δ𝛿 ≥ 0,Δ𝛿𝑓 𝑿 = 0,

(2.11)

onde os subscritos 𝑛 e 𝑛 + 1 denotam os valores da quantidade no início e no final do

pseudointervalo de tempo [𝑡, 𝑡]. O problema crucial levantado por Auricchio & Petrini refere-

se ao fato de que a tensão de transformação 𝑿 depende da derivada da magnitude (norma de

Frobenius) da deformação de transformação. Quando 𝒆() = 𝟎, esta derivada fica indefinida. Para

resolver este problema, Auricchio & Petrini (2004) propuseram a substituição da norma de

Frobenius 𝒆() por uma norma regularizada definida por

𝒆() = 𝒆() −𝛿()/

𝛿 − 1𝒆() + 𝛿 /, (2.12)

19

onde 𝛿 é um parâmetro que controla a “suavidade” da norma regularizada. Esta norma possui as

seguintes propriedades desejáveis. Para valores de 𝒆() grandes, a norma regularizada coincide com

a norma de Frobenius. Para valores de 𝒆() pequenos, a diferença entre 𝒆() e 𝒆() tende a zero

para 𝛿 → 0. A quantidade 𝒆() é sempre diferenciável se 𝛿 > 0, inclusive quando 𝒆() = 𝟎. Em

outras palavras, a quantidade 𝜕 𝒆() /𝜕𝒆() é bem definida para quaisquer valores de 𝒆(). Vale

mencionar que Auricchio & Petrini (2004) adotaram 𝛿 = 0,02 em suas simulações numéricas.

Por fim, cabe ressaltar que Auricchio & Petrini (2004) desenvolveram um algoritmo do tipo

preditor elástico/corretor inelástico (de Souza Neto et al., 2011) para obter a solução numérica do

modelo discretizado no tempo. A estrutura deste algoritmo é similar aos frequentemente

empregados para solução de problemas de plasticidade computacional. Além disso, estes autores

obtiveram a matriz tangente consistente necessária à convergência quadrática assintótica do método

de Newton–Raphson global. Este tópico, de fundamental importância à implementação

computacional do modelo no contexto do método dos elementos finitos, não havia sido considerado

no trabalho original de Souza et al. (1998).

2.3.3 Determinação das constantes do modelo

Esta seção trata da determinação das constantes do modelo de Souza–Auricchio. Conforme

discutido por Auricchio et al. (2009a), estas constantes podem ser obtidas a partir dos seguintes

dados experimentais:

• curva tensão-deformação resultante de um processo de carregamento/descarregamento axial

de um corpo de prova submetido à temperatura constante;

• curva deformação-temperatura resultante de um processo de aquecimento/desaquecimento

de um corpo de prova submetido à tensão axial constante.

Vale ressaltar que a escolha destes dados experimentais para a calibração do modelo de Souza–

Auricchio deve-se à relativa simplicidade dos ensaios necessários à sua obtenção, em comparação

20

com ensaios realizados sob condições de carregamento multiaxial. Além disso, há procedimentos

padronizados para a obtenção destes dados, como as normas ASTM E3098 (2017) e F2516 (2018).

Apresenta-se a seguir a versão do modelo de Souza–Auricchio particularizada para o caso

uniaxial (unidimensional). Esta versão torna clara a interpretação física das constantes do modelo e,

ainda, sugere um procedimento para a determinação de suas constantes.

No contexto uniaxial, o potencial de energia livre de Helmholtz do modelo de Souza–Auricchio

adquiri a forma

𝛹 𝜀, 𝜀(), 𝑇 =12𝐸 𝜀 − 𝜀() . + 𝜏&(𝑇) 𝜀() +

ℎ2𝜀() . + 𝐼+, 𝜀

() , (2.13)

onde 𝜀 é a deformação total, 𝜀() é a deformação de transformação e 𝑇 é a temperatura. Para levar

em consideração os diferentes módulos de elasticidade das fases austenítica (𝐸%) e martensítica

(𝐸&), o módulo de elasticidade é expresso por 𝐸 = 𝐸% + 𝜉 𝐸& − 𝐸% , onde 𝜉 = 𝜀() /𝜀@ é a fração

volumétrica de martensita (0 ≤ 𝜉 ≤ 1). A satisfação da restrição 0 ≤ 𝜀() ≤ 𝜀@ relacionada aos

valores da deformação de transformação é garantida pela inclusão da seguinte função indicatriz no

potencial de energia livre:

𝐼+, 𝜀() =

0, se 𝜀() ≤ 𝜀@,+∞, casocontrário.

(2.14)

A dependência de 𝜏& em relação a temperatura é expressa 𝜏& 𝑇 = 𝛽 𝑇 −𝑀" onde ⋅ são os

colchetes de Macaulay, 𝛽 é um parâmetro do material e 𝑀" é a temperatura abaixo da qual apenas

a fase martensítica é estável. No modelo uniaxial, as relações constitutivas são dadas por

𝜎 =

𝜕𝛹𝜕𝜀

= 𝐸 𝜀 − 𝜀() ,

𝑋 = −𝜕𝛹𝜕𝜀()

= 𝜎 − 𝜏& 𝑇𝜀()

𝜀()− ℎ𝜀() − 𝜆

𝜀()

𝜀(), (2.15)

onde 𝑋 é a força termodinâmica associada à deformação de transformação 𝜀(). A variável 𝜆 presente

na expressão de 𝑋, resultante da derivada da função indicatriz, é tal que

21

𝜆 = 0se 𝜀() < 𝜀@,𝜆 ≥ 0se 𝜀() = 𝜀@.

(2.16)

A lei de evolução da deformação de transformação, 𝜀(), no caso uniaxial passa a ser escrita como

𝜀() = 𝜑𝜕𝑓𝜕𝑋

= 𝜑𝑋|𝑋|, (2.17)

onde

𝑓 𝑋 = 𝑋 − 𝑅 ≤ 0,𝜑 ≥ 0,𝜑𝑓 𝑋 = 0.

(2.18)

Deve-se observar que a Eq. (2.18)1 foi obtida assumindo-se que parâmetro de Lode, 𝑚, é igual

a zero. Isso implica que a resposta tensão-deformação do material é a mesma quando submetido à

tração ou à compressão.

O exame da versão uniaxial do modelo de Souza–Auricchio, Eqs. (2.13) a (2.18), indica que ele

possui oito constantes: 𝐸%, 𝐸&, 𝜀@, ℎ, 𝑅, 𝛽,𝑀" e 𝑚. A representação gráfica das sete primeiras

constantes pode ser visualizada na Fig. 2-8. Esta figura mostra a curva tensão-deformação de uma

liga com memória de forma submetida a um processo de carregamento/descarregamento, ocorrido

a uma temperatura maior que 𝐴" (i.e., no caso em que o comportamento do material é

pseudoelástico). Nota-se que a inclinação da curva tensão-deformação quando o material está na

fase austenítica fornece 𝐸%, enquanto a inclinação da curva após o processo de transformação

martensítica corresponde a 𝐸&. Por sua vez, a máxima deformação de transformação, 𝜀@, pode ser

estimada pela diferença entre os valores da deformação total no final e no inicio da transformação

martensítica. O parâmetro ℎ define a inclinação da curva tensão-deformação durante a

transformação martensítica, pois 𝜕𝜎/𝜕𝜀 = 𝐸ℎ/ 𝐸 + ℎ . Vale ressaltar que 𝜕𝜎/𝜕𝜀 = 𝐸ℎ/ 𝐸 +

ℎ ≈ ℎ quando 𝐸 ≫ ℎ. O parâmetro 𝑅 (i.e., o raio do domínio elástico) corresponde à metade da

diferença entre a tensão ao final da transformação martensítica e a tensão no início da transformação

reversa. O parâmetro 𝜏& é igual ao valor médio entre as tensões ao final da transformação

22

martensítica e no início da transformação reversa. Por fim, cabe observar que no caso em que há

assimetria entre as curvas de tração e compressão da uma LMF, o parâmetro de Lode 𝑚 pode ser

calculado pela expressão (Auricchio & Petrini, 2004)

𝑚 =272𝜎 − 𝜎𝜎 + 𝜎

, (2.19)

onde 𝜎 e 𝜎 são as tensões axiais críticas em tração e compressão, respectivamente.

No presente trabalho, as constantes do modelo de Souza–Auricchio foram obtidas a partir das

curvas tensão-deformação axial fornecidas nos estudos experimentais analisados (Wang et al., 2010;

Mehrabi et al., 2015). Entretanto, deve-se observar que é possível obter os parâmetros do modelo a

partir de duas curvas deformação-temperatura do material correspondentes a tensões axiais

aplicadas distintas, conforme proposto por Auricchio et al. (2009a). Para obter essas curvas começa-

se o ensaio a uma temperatura baixa e com um nível de tensão no qual apenas a fase martensítica

está presente, aquece-se então o material e, por fim, desaquece-se o material até a temperatura

inicial. Esta estratégia não foi adotada no presente trabalho, pois as curvas deformação-temperatura

não foram levantadas nos experimentos coletados da literatura.

Figura 2-8 Representação gráfica das constante do modelo de Souza– Auricchio em uma curva tensão-deformação correspondente ao comportamento pseudoelástico

23

3 Comparação numérico-experimental Para que o modelo de Souza–Auricchio possa ser considerado eficiente, o mesmo deve ser capaz

de predizer o comportamento real de uma LMF sujeita a diferentes tipos de carregamento. Neste

sentido, é apresentada a seguir uma série de comparações realizadas entre resultados experimentais,

disponíveis na literatura, e resultados obtidos via simulação numérica. As simulações numéricas

foram realizadas no software comercial de elementos finitos ANSYS® 19.1.

O elemento finito SOLID 186 foi escolhido para discretizar todas as geometrias utilizadas nas

simulações aqui realizadas. O SOLID 186 é um elemento hexaédrico de 20 nós, e possui suporte

para grandes deformações (Ansys, 2015).

3.1 Definição da malha

A malha adotada na comparação numérico-experimental foi definida a partir da análise de

convergência realizada. A análise consistiu em replicar um dos ensaios conduzidos por Mehrabi et

al. (2015), utilizando diferentes níveis de discretização do corpo de prova, e comparar as curvas

tensão-deformação obtidas. O corpo de prova utilizado na análise tem formato de tubo de parede

fina e possui 4,5 mm e 3,9 mm de diâmetro externo e interno, respectivamente, e 14 mm de

comprimento (ver Fig. 3-1a). A Figura 3-2 apresenta as três malhas propostas para discretizar o

tubo: malha I (300 elementos); malha II (1.800 elementos) e malha III (5.400 elementos).

(a) (b)

Figura 3-1 Corpo de prova adotado por Mehrabi et al. (2015): (a) dimensões em mm e (b) vista isométrica.

24

(a)

(b)

(c)

Figura 3-2 Malhas de elementos finitos utilizadas para discretizar o corpo de prova adotado por Mehrabi et al. (2015): (a) malha I, (b) malha II e (c) malha III.

25

Para a realização da análise, utilizou-se o ensaio proporcional de tração/torção combinados sob

controle de força e torque. A história de carregamento e as condições de contorno utilizadas (ver

Fig. 3-3) são tais que replicam as condições descritas no estudo de Mehrabi et al. (2015).

(a) (b)

Figura 3-3 Ensaio para definição da malha: (a) história de carregamento e (b) condições de contorno.

As tensões axial (𝜎) e cisalhante (𝜏) foram obtidas, respectivamente, a partir da força (𝐹) e torque

(𝑀) de reação na superfície engastada do tubo. As relações entre estas quantidades são dadas por

𝜎 =

4𝐹𝜋(ø(. − ø. )

,

𝜏 =16𝑀ø(

𝜋(ø( − ø ), (3.1)

onde ø( e ø representam, respectivamente, o diâmetro externo e interno do tubo. Por sua vez, as

deformações axial (𝜀) e cisalhante (𝛾) foram obtidas, respectivamente, a partir do deslocamento

axial (∆𝐿) e rotação (𝛩) da superfície livre do tubo. As relações entre estas quantidades são expressas

por

𝜀 =

∆𝐿𝐿,

𝛾 =ø(𝛩2𝐿

, (3.2)

onde 𝐿 representa o comprimento inicial do tubo.

26

Os resultados apresentados na Fig. 3-4 indicam que as curvas tensão-deformação obtidas são

semelhantes entre si, independentemente da malha analisada. Desde modo, por questões de custo

computacional, opta-se por utilizar a malha I (Fig. 3-2a) nas simulações realizadas durante a

comparação numérico-experimental.

(a) (b)

Figura 3-4 Curvas (a) tensão axial vs deformação axial e (b) tensão cisalhante vs deformação cisalhante para diferentes malhas.

3.2 Dados experimentais de Mehrabi et al. (2015)

Os experimentos conduzidos por Mehrabi et al. (2015) foram realizados em tubos de parede fina

de Ni-Ti, fornecidos pela Jonhson Matthey. Os corpos de prova ensaiados possuem 4,5 mm e 3,9

mm de diâmetro externo e interno, respectivamente, e 14 mm de comprimento (ver Fig. 3-1). O

comportamento da liga foi estudado através de ensaios monotônicos de tração/torção combinados.

Diversas histórias de carregamento, proporcionais e não-proporcionais, foram impostas ao material

sob controle de força/torque ou de deslocamento axial/ângulo de torção (ver Figs. 3-5 e 3-6). As

condições de contorno adotadas nos ensaios sob controle de deslocamento axial/ângulo de torção e

nos ensaios sob controle de força/torque são apresentadas, respectivamente, nas Figs. 3-7a e 3-7b.

Após o processo de usinagem, as amostras foram termicamente tratadas e tiveram sua resposta

mecânica estabilizada. Os ensaios foram realizados no interior de uma câmara térmica, que manteve

a temperatura em 23 °C durante a execução de todos os ensaios.

27

(a) (b)

Figura 3-5 História dos carregamentos proporcionais sob: (a) controle de deslocamento e (b) controle de força impostos nos ensaios de Mehrabi et al. (2015).

(a) (b)

Figura 3-6 História dos carregamentos não-proporcionais sob: (a) controle de deslocamento e (b) controle de força impostos nos ensaios de Mehrabi et al. (2015).

3.2.1 Determinação dos parâmetros do modelo

Nenhum ensaio de ciclagem térmica foi realizado no estudo apresentado por Mehrabi et al.

(2015). Deste modo, os parâmetros do modelo de Souza–Auricchio foram determinados com base

no ensaio monotônico de tração apresentado (ver Fig. 3-8a). Para a determinação da temperatura

final de formação da martensita, 𝑀", utilizaram-se os dados produzidos por Sittner et al. (2009) para

uma liga de Ni-Ti. Os parâmetros obtidos encontram-se expostos na Tabela 3-1.

28

(a) (b)

Figura 3-7 Condições de contorno adotadas nos ensaios sob: (a) controle de deslocamento axial/ângulo de rotação e (b) controle de força/torque realizados por Mehrabi et al. (2015).

(a) (b)

Figura 3-8 Calibração das constantes do modelo para os ensaios de Mehrabi et al. (2015): (a) curva experimental e (b) curva simulada utilizando-se as constantes obtidas.

Tabela 3-1 Propriedades da liga de Ni-Ti utilizada por Mehrabi et al. (2015).

Propriedade Símbolo Valor Módulo de Young da austenita 𝐸% 30.300 MPa Módulo de Young da martensita 𝐸& 16.600 MPa Raio do domínio elástico 𝑅 57 MPa Máxima deformação de transformação 𝜀@ 0,0495 Parâmetro de endurecimento ℎ 2.200 MPa Parâmetro de escala da temperatura 𝛽 2,1 MPa.K-1 Temperatura final de formação da martensita 𝑀" 239,15 K Parâmetro de Lode 𝑚 0

29

3.2.2 Resultado das simulações e discussão

A partir dos dados apresentados na Tabela 3-1, obtém-se a modelagem das curvas tensão-

deformação axial e cisalhante da liga analisada para as diferentes histórias de carregamento. Os

resultados experimentais e os resultados obtidos via simulação numérica são apresentados nas Figs.

3-9 e 3-10. Cabe ressaltar que as tensões e deformações são calculadas com base nas relações

apresentadas pelas Eqs. (3.1) e (3.2).

(a)

(b)

Figura 3-9 Curvas tensão axial vs deformação axial e tensão cisalhante vs deformação cisalhante sob carregamento proporcional: (a) controle de deslocamento e (b) controle de força.

30

(a)

(b)

Figura 3-10 Curvas tensão axial vs deformação axial e tensão cisalhante vs deformação cisalhante sob carregamento não-proporcional: (a) controle de deslocamento e (b) controle de força.

Para padronizar a comparação entre as diferentes curvas apresentadas, definem-se quatro índices

de desempenho: diferença da tensão axial máxima (𝜎); diferença da deformação axial máxima

(𝜀); diferença da tensão cisalhante máxima (𝜏) e diferença da deformação cisalhante máxima

(𝛾). A diferença relativa (𝐼) entre o resultado experimental e o resultado obtido via simulação

numérica é calculada por

𝐼(∙) =(∙) − (∙)

(∙). (3.3)

31

Deste modo, a partir das curvas apresentadas nas Figs. 3-9 e 3-10 e utilizando a Eq. (3.3), obtêm-

se os quatro índices de desempenho (ver Tab. 3-2) para a comparação numérico-experimental do

estudo de Mehrabi et al. (2015).

Tabela 3-2 Índices de desempenho para os ensaios de Mehrabi et al. (2015).

Com base nas Figs. 3-9 e 3-10 e nos dados apresentados na Tab. 3-2, pode-se fazer algumas

observações com relação aos resultados obtidos:

• O modelo de Souza–Auricchio mostra-se capaz de reproduzir, do ponto de vista qualitativo,

as principais características dos laços de histerese das curvas tensão-deformação.

• As predições do modelo aparentam ser influenciadas pela forma de controle adotada nos

ensaios. Para o conjunto de dados analisados, as predições do modelo mostraram-se mais

exatas quando a forma de controle adotada é o deslocamento. Tomando como exemplo as

curvas tensão-deformação cisalhantes obtidas nos ensaios sob carregamento proporcional,

observa-se que a diferença da tensão cisalhante máxima no ensaio controlado por

deslocamento é de, aproximadamente, -24%. Entretanto, no ensaio controlado por força, a

diferença da deformação cisalhante máxima aproxima-se de 98%.

• O modelo descreve o comportamento tensão-deformação axial com maior exatidão, se

comparado à predição do comportamento cisalhante. Em uma análise qualitativa, nota-se

uma melhor sobreposição entre os laços de histerese experimental e numérico no caso axial.

• Não se pode tirar conclusões com relação à influência do tipo de carregamento (i.e.,

proporcional ou não-proporcional) na capacidade de predição do modelo de Souza–

Auricchio.

Carregamento Controle 𝐼𝜎 𝐼𝜀 𝐼𝜏 𝐼𝛾

Proporcional Deslocamento 18,8% -1,3% -24,0% -0,2% Força 1,8% 22,1% 2,8% 98,2%

Não-proporcional Deslocamento 6,8% -2,2% -32,1% 0,5% Força 1,2% -8,6% 0,6% 65,5%

32

3.3 Dados experimentais de Wang et al. (2010)

Os experimentos conduzidos por Wang et al. (2010) foram realizados em tubos de parede fina

de Ni-Ti, fornecidos pela Xi’an Saite Metal Materials Development. Os corpos de prova utilizados

possuem 11,6 mm e 10 mm de diâmetro externo e interno, respectivamente, e 26 mm de

comprimento útil (ver Fig. 3-11). Conforme estabelecido na análise de convergência realizada na

seção 3.1 deste estudo, a malha contendo 300 elementos é suficiente para discretizar o corpo de

prova utilizado nas simulações numéricas. Deste modo, tem-se representado na Fig. 3-12 a malha

de elementos finitos utilizada para discretizar o corpo de prova adotado por Wang et al. (2010).

Figura 3-11 Ilustração esquemática do corpo de prova utilizado. Dimensões em mm (adaptado de Wang et al., 2010).

(a) (b)

Figura 3-12 Malha de elementos finitos utilizada para discretizar o corpo de prova adotado por Wang et al. (2010): (a) vista frontal e (b) vista isométrica.

O comportamento da liga foi estudado por meio de ensaios de tração/torção combinados. Todos

os ensaios realizados foram controlados por deslocamento axial/ângulo de torção. As condições de

contorno adotadas encontram-se representadas na Fig. 3-13. Carregamentos proporcionais e não-

33

proporcionais foram aplicados, de modo que a influência da história de carregamento no

comportamento mecânico da liga pudesse ser avaliada. A história dos carregamentos impostos ao

material durante os ensaios pode ser expressa por:

∆𝐿 𝑡 = 𝐿

𝜀2

+𝜀2

sin 𝜔𝑡 − 90° ,

𝛩 𝑡 =2𝐿ø(

𝛾2

+𝛾2

sin 𝜔𝑡 − 90° − 𝛷 , (3.4)

onde 𝜔 representa a velocidade angular, 𝑡 representa o pseudotempo e 𝛷 representa o ângulo de

fase. Três tipos de carregamento foram selecionados para os ensaios de tração/torção combinados

(ver Fig. 3-14), incluindo um carregamento proporcional (𝛷 = 0°), um carregamento não-

proporcional defasado em 45° (𝛷 = 45°) e um carregamento não-proporcional defasado em 90°

(𝛷 = 90°). As máximas deformações axial e cisalhante foram, respectivamente, iguais a 3% e 6%.

Figura 3-13 Condições de contorno adotadas nos ensaios realizados por Wang et al. (2010).

Antes da realização dos ensaios, as amostras foram submetidas ao processo de recozimento para

eliminar a tensão residual e a fase martensítica gerada durante o processo de usinagem. Não houve

qualquer tentativa de estabilizar a resposta tensão-deformação das amostras. Todos os ensaios foram

realizados a temperatura ambiente de, aproximadamente, 22 °C.

34

(a) (b)

(c)

Figura 3-14 História do carregamento (a) proporcional, (b) não-proporcional defasado 45° e (c) não-proporcional defasado 90° imposto nos ensaios realizados por Wang et al. (2010).

3.3.1 Determinação dos parâmetros do modelo

Nenhum ensaio de ciclagem térmica foi realizado no estudo de Wang et al. (2010). Deste modo,

os parâmetros do modelo de Souza–Auricchio foram determinados com base no ensaio de tração

realizado (ver Fig. 3-15a). Para a determinação da temperatura final de formação da martensita, 𝑀",

utilizaram-se novamente os dados produzidos por Sittner et al. (2009) para uma liga de Ni-Ti. Os

parâmetros obtidos encontram-se expostos na Tabela 3-2.

35

(a) (b)

Figura 3-15 Calibração das constantes do modelo para os ensaios de Wang et al. (2010): (a) curva experimental e (b) curva simulada utilizando-se as constantes obtidas.

Tabela 3-3 Propriedades da liga de Ni-Ti utilizada por Wang et al. (2010).

3.3.1 Resultado das simulações e discussão

A partir dos dados apresentados na Tabela 3-3, obtém-se a modelagem das curvas tensão-

deformação axial e cisalhante da liga analisada para diferentes histórias de carregamento. Os

resultados experimentais e os resultados obtidos via simulação numérica são apresentados na Fig.

3-16. Nota-se que, de maneira similar ao procedimento realizado na seção 3.2.2 deste estudo, os

quatro índices de desempenho são determinados (ver Tab. 3-4). Ressalta-se ainda que as tensões e

deformações são calculadas com base nas relações apresentadas pelas Eqs. (3.1) e (3.2).

Propriedade Símbolo Valor Módulo de Young da austenita 𝐸% 29.000 MPa Módulo de Young da martensita 𝐸& 33.000 MPa Raio do domínio elástico 𝑅 110 MPa Máxima deformação de transformação 𝜀@ 0,035 Parâmetro de endurecimento ℎ 6.000 MPa Parâmetro de escala da temperatura 𝛽 2,7 MPaK-1 Temperatura final de formação da martensita 𝑀" 239,15 K Parâmetro de Lode 𝑚 0

36

(a)

(b)

(c)

Figura 3-16 Curvas tensão axial vs deformação axial e tensão cisalhante vs deformação cisalhante sob: (a) carregamento proporcional, (b) carregamento não-proporcional defasado 45° e (c)

carregamento não-proporcional defasado 90°.

37

Tabela 3-4 Índices de desempenho para os ensaios de Wang et al. (2010).

A partida da análise das curvas apresentadas na Fig. 3-16 e dos dados apresentados na Tab. 3-4,

pode-se fazer algumas observações com relação aos resultados obtidos:

• O comportamento tensão-deformação é subestimado em todas as condições de

carregamento. Em média, as máximas tensões axiais previstas pelo modelo são 13%

menores do que as observadas experimentalmente. Já no contexto cisalhante, as máximas

tensões previstas são, em média, 33% menores do que as observadas experimentalmente.

• As tensões máximas previstas no contexto axial se mostraram mais exatas do que as previstas

no contexto cisalhante. Como exemplo, observa-se que no ensaio proporcional a diferença

entre as tensões axiais máximas foi de -3,6% enquanto a diferença entre as tensões

cisalhantes máximas foi de -29,1%.

• Os resultados indicam que a capacidade de predição do modelo de Souza-Auricchio pode

ser influenciada pelo tipo de carregamento aplicado (i.e., proporcional ou não-proporcional).

Nota-se, por exemplo, que a diferença da máxima tensão axial (𝐼𝜎) no caso proporcional

é de, aproximadamente, -4%. Enquanto isso, no caso não-proporcional (90°), esta diferença

ultrapassa os -20%.

Carregamento 𝐼𝜎 𝐼𝜀 𝐼𝜏 𝐼𝛾 Proporcional -3,6% 0,4% -29,1% -0,9% Não-proporcional (45°) -15,3% -0,8% -33,5% -0,6% Não-proporcional (90°) -20,3% -1,7% -36,0% -0,9%

38

4 Conclusão Este trabalho apresentou uma avaliação do modelo constitutivo de Souza–Auricchio para ligas

com memória de forma. O modelo, disponível no software comercial de elementos finitos ANSYS®,

foi avaliado por meio de comparação com dados experimentais axiais-torcionais disponíveis na

literatura. Histórias de carregamento proporcionais e não-proporcionais foram simuladas, tanto em

controle de deslocamento axial/ângulo de torção quanto em controle de força/torque. Em ambos os

casos, utilizaram-se corpos de prova de Ni-Ti no formato de tubo de parede fina. A discretização

dos corpos de prova no aplicativo ANSYS® foi feita por meio de elementos hexaédricos de 20 nós,

capazes de simular grandes deformações.

As comparações realizadas indicam que as predições do modelo de Souza–Auricchio podem ser

influenciadas pela forma de controle adotada nos ensaios. Na comparação numérico-experimental

feita a partir dos dados produzidos por Mehrabi et al. (2015), percebe-se que as predições do modelo

são mais exatas quando os ensaios são controlados por deslocamento axial/ângulo de torção.

As comparações realizadas apontam também que as predições do modelo podem ser

influenciadas pela história de carregamento imposta nos ensaios. Na comparação feita a partir dos

dados produzidos por Wang et al. (2010), nota-se que as diferenças da tensão axial máxima e da

tensão cisalhante máxima são até 5 vezes maiores para os casos não-proporcionais.

Por fim, os resultados obtidos indicam que o modelo de Souza–Auricchio é capaz de reproduzir,

do ponto de vista qualitativo, as principais características dos laços de histerese das curvas tensão-

deformação. Entretanto, a correlação quantitativa com os dados experimentais não é exata,

especialmente ao predizer o comportamento cisalhante das LMF. Para o conjunto de dados

analisados, a diferença média entre as tensões e deformações máximas previstas pelo modelo e as

observadas experimentalmente é de, aproximadamente, 30%.

39

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