TODAS AS FÓRMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMÁTICA

5/16/2018 TODAS AS FRMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMTICA

1/22

R esum o C om ple to para 0 VESTIBULAR

1 . EOUACAO DO 1 C ? GRAUal DefiniC80

E uma sentence aberta do tipolax + b = 01 , com a* 0

bl Resolucaoax + b = 0 * ax = -b *x = - _ E . _a .

cl Conjunto Verdade: V = {:... _ E ._ }a

2 . EOUACAO DO 2 C ? GRAUal Definicao

E uma sentenca aberta do tipolax2 + bx + c ~ 0 I . com a*0

b) ResolucaoIx = - b ; ; i I , ondelt.=b2 - 4ac I

(f6rmula de 8askaral

cl 0 icussao~>O~V={ -b+y'"K; -b-v'!}2a 2a

bA=O~V={-28}'.' . 4~ (supondo veRId) Propriedades das ra(zes

{S=Xl +X2 =- ~P=Xl ,X2 =_c_

e) Uma equa~o do 29 grau cujo conjuritoverdade If {Xl ; X2} If IX2 -:- Sx + P= 0 I ,sendoS=XI +X2 eP=xt .X2.

3. EOUACAO "PRODUTO" EEaUAcAo "aUOCIENTE"e) a. b = 0 - a = 0 au b = 0b) . J ! . . . . = 0 _ a = 0 e b* 0b

4 . EOUACOES REDUTIVEIS A 1 C ? OU2C?GRAU

Se aequ~o proposta mio If do lC?g,:~,nem do 2'?grau, deve-se, se possrvel:al Fatorar

Exemplo:x3 _ 4x2 - X +4 = 0 **x2 .(x-41-(x-41=0 ** (x -41.(x2 -11=0 **x ~ 4=0 OU x2 - 1=0-Logo:V={1,-1,4}

b) Fazer uma troca de varillveisExemplo:X4 _ 5x2 + 4 = 0 pode ser trai'lsformada

em y2 _ 5y +4 =0, substituindo X'- por y.Assim:y2 -5y+4=0 _ v= 5 3 _

2- y=4 ou y=lVoltando para a inc6gnita inicial x temos:

x2 =4oux2 =1 _ x= 2 ou x= 1Logo: V = { 1, -1, 2, -2 }

1. PROPRIEDADES DASDESIGUALDADESSendo x, yea nurneros reais, valem as se-

guint(!s propriedades:al x


2/22

d) Vdrtice f) Sinal das ra(zesLembrando que S = XI + X2 = - ~ ealO0 ponto V( - _l!_ . - _/;L )2a' 4a P = XI . X2 = . . . . , temos: a

I. Ra(zes.Estritamente Positivas ~. r 6;;'0~ 1 P>08>0

e) Conjunto Imagema>O"*lmlf)= {yEflly>-_/;L} 4ay

II. Ra(zes Estritamente Negativas ~.16;;'0~ 1 P>O8 i)\;: -y- J

n fatores

{Y8 . {Yb= {Yab{Y8+{Yb=~z y '0'8'" ' n m r a!Y7"= (zya)mz y - ; m = n . e r ; m P (p o F 0)l = a ; aO = 1c) Potencia de Exooente Racional

b) Propriedades man = z y - ; m3. FUNCAO EXPONENCIALn ; am = an + man + am = an - m (a 4' 0)

a" bn= (ab)" a) Defini!;iiof : IR -+ IR tal que fix) = aX,com a> 0 eal." +bn =(.!...)" (b 4' 0)b

(an)m=a"m

2. RADICIACAOa) Defini~esz y a ; ; ; O x _ x"=a

0


3/22

M A T E M A T I C A

1. DEFINIc;:AoI '"=:__(X- 01a logca

7.. LOGARITMOS DECIMAlSa} Logaritmo decimal de urn nurnero po-

sitivo N, pode. ser escrito na forma:1109N=c+m 1onde: c E Z I!a caracterist ica eo . ; ; m < 1 I!a mantissa, sendo m encontra-

do na Tabus de Logaritmos.b] Determina~ao da caracterfstica:Regra I - A caracterrstica do logaritmo

decimal de urn nurnero N> 1 e igual ao namerode algarismos de sua parte inteira, menos 1.

Exemplos:log 2 =0, .log 231 =2; .Regra 2 _ A caracterfstica do logaritmo

decimal de urn nomero 0 < N < 1 e igual aooposto do numero de zeros que precedem 0 1~algarismo significativo.

Exemplos:log 0,02 = ;..2 + 0, ... = 2 , . ..Obs.: Para se passar urn logaritmo negativo

para a forma mista (caracterrstica negativa emantissa posit i va ] , basta somar 1 it sua parte de-ci lllal e subtrair 1 de sua parte inteira.

cl Propriedade da mantissaMultiplicandose ou dividindo-se urn nume-,

ro positivo por 10, 100, 1000, etc., a mantissado seu logaritmo decimal NAo SE ALTERA.

8. FUNc;:Ao LOGARITMICAal Definic;aof : IR: ... IR tal que f(xl ~ log x, com a >

ea*l. ab) A func;ao logar(tmica e a INVERSA

func;ao exponencial, pois: y = aX X = logc) GrMicos

dl A func;ao logarftmica I! INJETORA,seia:1 IL_IOQ_8_I_=_IO_9_a_X2__ X_I_=___,X_Z>_0.J

el Se[!TIlentao:log XI


4/22

5. TEOREMA DO BINOMIOa) (x + yIn =(n ) xn . yO + ( n ) . xn -I V i + ( 2n) . xn -2 V 2 + ... + ( nkI xn -k yk + ... + ( n ) . XO V n = ~ ( nk) . xn -k. yko 1 .n k=O~--'''';---~ ~---v--_.J ~----v---._/ \.-- ,, __ J '- ", __J ~. ., Jbl Cilculo dos coeficientesA maneira mais pnltica de cetcuter os coeficientes Ii lembrar que 0 primeiro Iisempre igual a 1 e os demais sao caloolados a partir do anterior pela rete< : a o de Fermat: (cada coeficiente) x (expoente de x) of - (expoente de y aumentado de 1) = coeficiente seguinte

c) Termo Geralo termo de ordem k + 1 do desenvolvimento. felto segundo os expoentes decrescentes de x, e: Tk + 1 = ( ~ ) ..xn-k . vko termo de ordem k + 1 do desenvolvimento, feito segundo os expoentes crescentesdex, e;T k + 1 =(~ ) .xk . yn-k

d) Nilmero de parcelas: 0 desenvolvimento de (x + yIn tem n + 1 parcel as.e) Soma de Coeficientes: a soma dos coeficientes numericos do desenvolvlmento de (ax + by)n, com a e b constantes e (a + bIn

6. ARRANJOS 8. COMBINACOESSao agrupamentos que diferem entre si ou

pela natureza ou pela ordem de seus elementos.a) Calculo dos arranjos simples:

.Ank=n.(n-1).(n-2) ..... (n-k+1)= nl I' '" - - -- - - - - -k~~~-- - - - - -. . (n - k)!b) calculo dos arranjos com repeti,.ao

* kAn k = n .. n . n ..... n,= n, ' - " - - - - - . . .. r - - - - . . ,k fatores

7. PERMUTACAOSao agrupamentos que diferem entre si

apenas pela ordem dos seus elementos.As perrnutacdes sao urn caso particular dos

arranjos em quen = ka) calculo das permutac6es simplesI Pn=An.n~ Pn=n!1b) caloolo das permutac;:oes com elementos

repetidos.

Sao cigrupamentos que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos.

a) caloolo das combinat;:oes simples

Cn,k=~:: kl(nn~~)1 :: (:)

b) calculo das combinac;6es com repeti,.apI C;.k = Cn+k_1 k I

1. DEFINICAOA probabilidade do evento A. subconjunto

de urn espaeo amostral S. e:= = r p : = ~PIA) :: . . ! ! 1 A LnISI

5sendo nlA) 0 numero de elementos do eventoA e niSI 0 narnero de elementos do especoamostral S.~. DECORRE da defini~o que

a) O';;;P(A)';;; 1b) PIA) + PIA) = ,

3. UNIAO DE EVENTOS

a) PIA U B):: PIA) + P(B) - PIA n B)b) Se An B = c p os eventos.A e B sao

chamados mutuamente exclusivos e neste caso:PIA U B) =PIA) + PCB)

pCl.P =_!!L . 1n Cl!I l!.

4. PROBABILIDADE CONDICIONADA

~sA probabilidade de ocorrer 0 evento A. sa

bendo que ja ocorreu 0 evento B. e chamada deprobabilidade de Acondicionada a B.

PIA IB) = nlA n_lll= PIAn B)niB) PIB)

5. EVENTOSINDEPENDENTESa) PIA I B) = .PIA) e PIB I A) = PIB) ~

~A e B sao eventos independentes.b) PIA I B) * PIA) ou PIS IA) * PIS) ~

~ A e B sao eventos dependentes.

6. INTERSECCAO DE EVENTOSa) PIA n B) = PIA) . PCBIA)h) A e B independentes ~

~lp(An B)=P(A).~

Prof. Andre

7. LEI BINOMIAL DE'PROBABILlDAOE

Repetindo n vezes uma experiincia ondurn evento A tern probebltldade de ocorrer igua p, a probabilidade de ocorrer apenas k vezesevento A II

8. ESTATISTICAa) Media: X = ,com 1: fi=nbl Moda IMo): e 0 elemento de frequenciamaxima.c) Mediana (Md): eo elemento que ocupaa posiC(aocentral.d) Desvio: D = Xi - X

1: f 1 0 1e) Desvio Medio: Om = __ 1__1-nf) Desvio Padrao: s = ~

, 1: fD~g) Varillncia: 52 =--=-:L:.l._n


5/22

1. NUMEROS NATURAlSa) N= {O, 1,2,3, ... }b) Oivisio Euclidiana em Nalb* ,O .{a= b.Q +rr Q -. r< bSe r = 0 a divisao e chamada exata.Se a < b entao q = 0 e r = a

2. NUMEROS INTEIROSa) Z= { ... -3,-2,-1,0, 1,2,3, ... }b) Multiplo e divisor em Z

a = b . c ~ { a e multiplo deb e decbe c sao divisores (fatores) de a

c) Conjunto dos multiplos de aM(a) = { x E Z Ix = ak, k E Z }=

= {O, a, 2a, ... }d) Numero par e numero (mpara E Z IIpar _ a E M(2) - a = 2k, k E Za E Z II (mpar _ a ~ M(2) - a =2k + 1,

k'EZ

e) Numero pri~o e numero composto. { P '* 0, p '* 1, p '* -1pE Z e primo < = = >

D(p) = {1 , . .(1 ,p, -p ]

. { a , * o , a '* l, a{jE RaER-Cile{jER-Cil =>a'{jERaa E R - Cile {jE R - Cil~ B ER


6/22

1. FORMA ALGYRICAz= x+yi,comx,VE Rei' =-1,

2. OPERA~(;ES NA FORMA ALG~BRICA.1 Adi_':(a + bit + (e + di' = (a + el + (b + d,i

bl Subtr._,:(a +bl) - (e+di) = (a - el + (b -d,ie ' Multiplica(:fo:(8 + bit .(e +di) = (ae-bdl + (ad + bell

d, Divisfo: (supondo e + di :# 01a + bi a + bi e - die+di = e+di . e-di =ae+bd be-ad.=~ + CT+"ii2 .1

el Potlncias de i:edl fl = 1 ! il = i ! j2= -1 ! i3 = -i!&,1 :~ .. !i"=irl. 'o'nE Ne3' i"E{1.i,-1.-i}.'o'nEZ

3. IGUALDADEa + bi = c+ di" a = c. b = d

4. CONJUGADOSe z = x + Vi entio 0conjugado de z II 0complexoYtal que:z= x -Vi.

5. FORMA TRIGONOM~TRICA E REPRESENTA~AO GEOM~TRICAal M6dulo:1 z ] =p=J x2 +V2'bl Argumento: I I 0 angulo 6. tal que 6 E 0I-' 1 1 ' e { C O S 8 =.; (p :# 01

sen 8 = .L.p

Im(z) pi

cl Forma Trigonomlltrica: z = p (COl8 + i.en 8'6. OPERA~OES NA FORMA TRIGONOM~TRICA

bl Divisio: !!..= (~) . [cos (61 - 8,1 + i sen (61 - 6,1 ]~ ~ -cl Potenciacio: zn = pn . [~s (n81 + i . sen (n61 ]

dl R. ~iciacio: zk = z y p . [ co s (.!._ + 2 '1 1 ' kl + i . sen ( _ ! _ + 2 ? 1 ' k , ] com kE { O .1 .2 n-1}n n n nConclusGes:

al Todo complexo z:# 0 admite no campo eomplexo n r.fzes ""imas.bl Todas as ~a(zes n.esimas de z possuem 0mesmo m6dulo, que vale z y p .cl Os argumentos das ra(zes n-4simas de z slo OS" primeirOi tarmos de uma PA. eujo primeiro tamo II !!_ e cuja razio I I 2 ' 1 1 '

n "

1. DEFINI~AOP(x)=aoxn+a,xn-I +a2Xn-2 + ... +anonde n E N~ y E C e ai E C

2. VALOR NUM~RICO: PIa)Substituir x par 0 : e efetuar as operacoes

indicadas.3. GRAU

.: 0 maior expoente de x com coeficieritediferente de zero.

ao:#O""G=nao = O-e a, * 0 ~ G = n - 1ao = a, = 0 e a2 * 0 ~ G =n - 2ao=a, = =an_1 =Oean*O~G=Oao = al = =an=O~nliosedefinegrau

4. POLIN6MIO IDENTICAMENTE NULOa) Defini.;ioPix) =O~ P (x) = O. >'!xEC

Prof.

5. POLIN6MIOS IDt:NTlCOS b) Obtencio de O(x) e r:a) Defin~oA(x)=B(x)~ A (x) = B (xl. >'!xEC

b) C.N.S.A(x)= B(x)- ao=bo;a,=b,;a2 = b, ; ... ; an = bn

!.~~:, . .: Q O ! q, q, qn1L___

6. DIVISAO DE POLIN6MIOS (Briott-Ruffinc) Se A(x) Ii divis(vel por x - a ee a II raide Alx).

d) Se A(x) e divisivel par x - a e par x - /3com a * /3 . entao A(x) e divisivel po(x - a) . (x - / 3 ) .

a) DefinjcfoA(x) IB(X) ~ 0R(x) Olx)""fA(xl = = B(x) .Q (x) ~ R(x)lGR-


7/22

1. DEF IN ICAO

2. T.FA.Toda equa~ao de grau estritamente positivo

admite no campo complexo pelo menos uma raiz.3. T . D A D EC O MP OSI CA O

4. DE 2 E 3 CONC lU IMOSToda equa~ao de grau estritamente positivo

admite no campo complexo pelo menDs umaraiz e no mui.mo n raizes.5. R ElACO ES DE GIR AR D

a,r, + r2 + r3 + ... + rn = - - a ; ; -r ,rz +r,r3 +r,r4 + ... = +~. ao. a3r,r2r3+r,rZr4 +"'=-80

6. R AI~ ES R AC IO N AISSe . E . . . e raiz de F(x) = 0 de coeficientes in-q

teiros entao p 6 divisor de lin e q 6 divisor de ao.Obs.: _L e fral;ao irredutivel.q7. R AIZES M Ul TIP lAS

Se r e raiz de multiplicidade IillI de F(x) =0sera tarnbern raiz de F'(x) = 0 com multipli-cidade t :: m : := I J .

8. R AI~ES R EAISI F(x,) . F(xz) < 0 I ~ numero impar de

rarzes reai s no intervale x I -- X2

FIx)

9. R AIUS C OMP lEXASSe I z - a +bij c om b *' O,l!raizdeurna

equal;ao de coeficientes reais entaol z = a -tambern e. Ah!m disso z e ~ sao raizes de mesmmultiplicidade.

Conseqiiencia: Toda equ~o algebricacoeficientes -reals e grau (mpar sempre admpelos menos uma raiz real.

10. EQUA CO ES R EC I1> RO C AS

/a)fDe 1 : esPec~e se~ao:: an;.a1 ~ an_, ':lDe 2; especle se.ao - --an. a, - -an_, .b) Os numeros ( 1 : : e . S : : ! ~ gera)mente s

rarzes,c) .Colocando em evidencia os fatores co

respondentes ao item (b). recal-se numa equ~ao recroroca de 1!1e specie e grau par: parasolver esta existe um "artif(cio".

d) Se a*'O I! raiz de uma equa~ao reerpro1 'ca entao - tambl!m I!.a

1. D-EF IN ICAOFatorar e tran sformar uma soma de dullS

ou mais parcells num produto de dois ou mailfatores.2. CASOST IP ICOS

19 caso: FATO R C OMUMI ax + bx = x ,(a + b) I29 c as o: A G R U PAME N TO

ax + bx + ay+ by= x.(a +b) + y.(a +b) ==(a + b) .(x + y)

3'! caso: DIFER EN CA DE QUAD R ADOS1 a Z - b2 = (a + b) . (a - b) 1

4' ? caso:QU AD RA DO P ER FEITO1 a2 + 2ab + b2 = (a + b) .(a + b) = (a + b)21la2 -2ab +b2 = (a -b).(a -b) = (a _b)21

59 caso: SO M A eO IFER EN C A-D E C UBO S1 a3 + b3 = (a + b). (a2 - ab + b2) 1la3 _b3 =(a _b).(a2 +ab+b2) I

6' ? ca so : C UB O P ER FE IT Oa3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 == (a +b)_(a +b).(a +b) = (a +b)3a3 _ 3a2 b + 3ab2 _ b3 =

= (a -b).(a -b).(a -b) = (a _b)3

7~ caso: TR IN OM IO DO 2? GRAUI ax2 +bx+c=a(x-rtl (X-r2)onde r, e r2 sao as raizes da equa~oax2 + bx + c= 08~ caso: UM ARTIFfclOa4 + a2 + 1 = a4 + 2a2 + 1 _ a2 =

= (a2 + 1)2 - a2 = (a2 + 1 + a) (a2 + 1 - a)

3. EXEMP lOS1. Fatorar x2 - 5x + 6

As ralzes da equal;ao x2 - 5x + 6 = 0r1 = 2 e r2 = 3; 0 coeficiente a = 1

logo:x2 - 5x + 6 = 1(x - 2) (x - 3)

= x2 (Z2 _w2 ) -l (Z2 _ w2) == (x2 _ y2) (Z2 _ w2). Pode-se continuarfatoracao por diferenca de quadrado(x2 _y2)(Z2~w2) = (x+y)(x-y)(z+w)(z-w)

3. Fatore desenvolvendo:a3 _ 3a2 b + 3ab2 _ b3 == a3 _ b3 _ 3ab(a - b) == (a - b) (a2 + ab + b2 ) - 3ab(a - b) == (a - b)(a2 + ab + b2 - 3ab) == (a - b) (i - 2ab + b2) == (a - b)(a - b)2 = (a _ b)3


8/22

1. CONJUNTO E ELEMENTOSe x t! urn elemento de urn conjunto A, es -

creveremos: x E A (Iese "x t! elemento de A").Se x nao t! um elemento de um conjunto A,

escreveremos: x fl A (Iese "x nao t! elementodeA',.

2. CONJUNTO VAZIOA=~ ~ VX,xf$. A

3. SUBCONJUNTO OU PARTE - RELACAo DE INCLusAoACB ~ (v-x) (xEA~xEB)A~B ~ (3x) (xEAexflB)xEA ~ {x ] CAxflA~{x}~A

4. IGUALDADE DE CONJUNTOSA=B - AC BeBe AA*-B _ AliBouBliA

5. CONJUNTO DAS PARTES DE iJM CONJUNTOa) Defin~P(A) = {x/xC A}xEP(A)_ xC A

1. FUNCAo ou APLICACAoa) Defini~Seja f uma .Rela~ao B inllria de A em B.D izemos que f t! uma FI,m~io de A em

B se, e somente se, estao verificadas as seguintescondi~es:

F.1. - Todo x EAse relaciona com al-gumyEB.

F 2. - Cada x E A que se relaciona, rela-ciona-se com urn 6nic:o y E B.

o unleo y E B chama-sa IMAGEM 0 E xPELA FUNCAO f e t! indicado por f(x).

A

b) Conjunto dominic de fD(f) =A

c) Conjunto c:ontradom(nio de fCOif) =B

d) Conjunto-Imagem de fIm(f) = { f(x) E B Ix E A}

b) TeoremaSe A tem k elementos entso PIA) tern

2k elementos.c) Propriedades

1) AEP(A)2) < j>E PIA)3) Se A tem k elementos ent io A possui2k subc:onjuntos.

6. OPERACOES ENTRE CONJUNTOSa) Reuniao ou UniaoAU B={xl xEAouxEB}A

b) Interse~An B'= {x ] xEAexEB}

A B

Se A n B =~entao dizemosque A esao D isjuntos.

c) Subtra~o1) A - B={ x I x E A e x B}

nlA U B)': n(A) + n(B) - n(A n B)

2 _ TIPOS DE FUNCOESa) Fun~o SobrejetoraUma fun,.ao f: A _,. B e sobrejetora se,

e somente se, Im(f) = CD(f).b) Fun~o InjetoraUma fun~o f: A _,. B e injetora, se e

somentese:XI *X2 =0- f(xd *f(X2), "XI, X2 E A

c) Fun~o BijetoraUma fun,.ao f: A _,.B e bijetora, se e so -

mente se, f t! sobrejetora e injetora.3. . FUNCOES MONOTONICAS (MONOTO-

NAS)Sejam: f: A_" B uma fun~o, I um subcon-

junto de A e Xl e Xl elementos de I.al ft!ESTRITAMENTECRESCENTEEM Ise, e somente se:

b) f t! CRESCENTE EM I se, e somente se:XI f(Xa

A

Cd! =A - B ={x 1 X E A e x E F B }n(A - B) = "(A) - n(A n B)

2) X C S => X =S - X = < ; x

d) PropriedadesACB=o-AUB=BACB ~ AnB=AAUIB n C) = IA UBI n (AUC)A nIB U C) = (AnB) U (An C)AC B ~BCAAUB=AnsA.nB =AUB

E:MI, se e somente se:

d) f IIDECRESCENTE EM I, se e somense:

e) f IIC aNST ANTE EM I se, e somenteXl


9/22

5. COMPOSICAO DE FUNCOESSejam f': A _. Beg: B _. C duas funcdes.Chama-se Funt;ao Composta de f com g a

funcao gof:A _. C, tal que:~)=9[f(xJ j I

B

6 . FUNCAOINVERSASeja f : A _. B uma funCao e i a funcao iden-

tidade.Se existir uma funr;:io g: B _. A tal que:a) gof = iA' b) fog = iBdizemos que gl! a funr;:io inversa de f e a

indicamos por f -I .

Observemos que:1) A funr;:io f: A ~ B Il inversivel se, e so-

mente se, f -l ! bijetora.2) Para se determinar a sentence da funCao

inversa basta:a) isolar x na sentenca de fb) trocar x,por y.

3) Os graticos de f e f-I sio sim6tricos emrel~io a bissetriz dos quadrantes impares.7. FUNCAO LIMITADA

Seja f: A ~ R uma funr;:io.A funr;:io f e limitada se, e somente se, exis-

tem a e b reais tais que:I a" fix) "b ISe f I! uma funr;:ao Jimitada, oseu gratico

esta contido em uma faixa horizontal.

Prof.

8. FUNCAo PERI6DICAUma funr;:ao f: A .... R II peri6dica se , e s

mente se, existe pER. tal que.fix ' + p] = fix), para todo x E A.Se f(x+ p) = fix) para todo x E A. enta

fix + K .p) = fix) para todo x E A, com K ESe uma funr; :io I! peri6dica entao 0 menovalor positivo de p chama-se perfodo de9. EXEMPLOS

a) f: [ a ; b j . .. .[ c ; d ] tal que fix) = xA funCao e : f(x)BijetoraEstritamente crescentelrnpar aInversivelLimitada

d

b) f : [ a ; b j ....[ a ; d ] tal que fix) ;=x2A funCao II: fmSobrejetoraParLimitadaA funCao naoe injetora.

1. SEQU~NCIA REALDefinicao: e toda funcao f : N * _ . R que a

cada numero natural n associa urn unico nume-ro real an'

Notac;ao: f = (an)nE N.= (~I ,a2 , .... an''' ')onde ai, B2, . . . sao chamados termos da se-quencia.

2. PROGRESSAO ARITMnlCA (PA.)a) Dflfinic;:ao;Dados os mlmeros a e r define-se:(al. a2," ., an, ... ) e uma P.A.-~ { :~: ~=an + r "

b) TermoGeral:,an=al + (n -l).rc) Soma: Sn= (al;an).nd) Propriedades:

ak -1 + ak + 11) ak = 2 .Isto e: numaP.A. cada termo, a partir do segundo. e mediaarltrnetlca entre 0anterior e 0 posterior.

2) ak + 1 + an _ k = al + an' ou seja:considerando os n primeiros termos de umaPA. a soma de dois termos eqiiidistantes dosextremos tl igual a soma dos extremos.3. PROGRESSAO GEOMJ:TRICA (P.G.)

a) DefiniCao:Dados os numeros a e q define-se:

(ai, a2,. _ " an' .{..!~:a P.G."~ , an + 1 = an . q

b) Termo Geral: an = al . qn -1c) Produto: IPn I=V(al .an)n.d) Propriedades

1) ait = ak_1ak+1 isto e: numa P.G.cada terrno, a partir do segundo, a media geo-rnetrica entre 0 anterior e 0 posterior.

2) ak+1 .an -k = al .an, ou seja: consi-derando as n primeiros term os de uma P.G., 0produto de dois termos eqOidistantes dos ex-tremos e igual ao produto dos extremos.

e) Soma dos terrnos da P.G.:1) Se q = 1entso Sn = n . aI

Prof. Andre

2),Se q * ' 1entao:, ' n S = al (q - 1).n 'q _ 1

,3) s a : -1< q < 1entaoal' (l_qn,1-q

S=lim S ;,, __ al_,_00 n....+'~ n 1- q

4. EXEMPLOS'I. Problema 'nroposto a Gauss' Quandomesmo deduziu intuitivamente uma formde obter a soma dos n prlmelros term osuma P.A.Ache a soma dos prirneiros 100 numernaturais [excluindo 0zero).al = 1 r= 1an = 100n = 100 SI00 = .! . + 100 x 100 =50502 '

2. Em urn tabuleiro de xadrez, colocando-se1 grao de milho na 1~casa, 2 na 2~ 43~ e assim sucessivamente ata a 64~ casqual 0 numero total de graos de milhteremos sobre 0 tabuleiro?Observa-se uma P.G_Com 31 = 1

q = 2logo: n = 64


10/22

I.MATRIZES1. DEFINICOES

al Matriz m x n_ - .~

1I21M= :ml

Se m = n entao a matriz Me quadrada.bl Matriz nula

cl Matriz identidadeou unidadedeordem n.In = (xijlnxn tal que xij = 1 se i = Ie

Xij=0 se i* j.1=n

d) Matriz opostaSe A = (aij'mxn Ii uma matriz entao

B = (bijlmxn e a matriz oposta de A se e so -mente se bij = -aij.

e) Matriz transposta.Se A = (aij'mxn e uma matriz entao

At = (a'ij)nxm e a matriz transposta de A seesomente se a'ji = aij.

A= r ~ ~ :. .~ ~ ~. . . : ~ ~1l~ml am2 .. , amn m x n

2. OPERACOES

f) Matrizes iguaisA = (aij'mxn e B ':" (bij)mxn sao matri-

zes iguais, se, e somente se,< i i j =bij

a]' Adi~aoSe A = (aij)mxn' B = (bij)mxn'

C = (Cij) mxn entao C = A + B se, e somense, cij =aij + bij.

b) Multiplica~ao (de nurnero por matrSe A = (aij)mxn' B = (bij)mxn e ocIInumero qualquer entao B = oc.A se, e somense, bij=tx aij .

c) Multiplica~o (de matriz por matriz)S~ A = (aik)mxp' B = (bkj)pxn e C

(cij)mxn entao. C = A.B se, e somenteCij=ail . btj + !lil . b, j + ... + aip bpi'3. PROPR IEDADES

As propriedades das operaeoes com mlm'ros reais valem para as operac6es com matrize. porarn, na rnultiplicacao de matrizes nlio valas propriedades comutativa, anulamentoproduto e cancelamento, ou seja:a) Existem matrizes A e B tais q

A.B*B.A

b) Pode-se ter A . B =0 mesmo com A * 0eB*O.

c) Pode-se ter A . C =B . C mesmo comA*BeC'*O.

Se A e B sao matrizes conformes para ope-ra~o indicada em cada caso e oc.Ifum nurnero ,qualquer entao: /

d) (At,t= A.1 (A+Blt=At+Btfl (oc.A lt =oc.At91 (A .Blt= Bt .At

II. DETERMINANTES1. DEFINICOES

al Determinante de matriz de H ordem.Se M= (a111 entao detM = a"

bl Determinante de matriz de ordem n;;;' 2.o determinante II igual a soma dos pro-dutos (-l)P .a1(U a,a, a3a] .,.aOOn ondeOCIa, ,OC3,... ,Qn IIuma permutacao genllricados segundos (ndices e plio numero de inver-sOes em relacao a fundamental 1,2,3, ... , n.

c) Cofator AijSe M= (a,,) entaoA" =1.Se M e matriz quadrada de ordem n;; ;' 2

enta~ Aij = (_l)i +j . Dij onde Dij e 0 determi-nante que se obtern de M suprimindo a tinhae a coluna j.

2. REGRAS PRATICAS

a) Determinante de ordern 2:

b) Determinante de ordem 3:

= a" a22 a33 + al2 a23 a31 + al3 a2la32 +- al3 a22 all - a" a'3 a32 - al2 a21 a33

Prof. Andre

3. PROPRIEDADESGrupo 1- Teoremas de Laplace e CauchNuma matriz quadrada a soma dos prod

tos dos elementos de uma fila qualquer:aI palos respectivos cofatOres Ii igual eo d

terminante da matriz. IT.de Laplacbl palos cofatores dos elementos eerr .

pondentes de outra fila paralela Ii zero.IT. de Cauch

Grupo 2 - Determinante igual a zero.o determinante de uma matriz quadrada

igual a zero, se a matriz possui:al uma fila nula.bl duas filas paralelas iguais.cl duas filas paralelas proporcionais.dluma fila que licombin~ linear c

outras filas paralelas.Grupo 3- Determinante nlo se altera.o determinante de uma matriz quadrid

nao se al tera se:a) troearmos ordenadamente linhas par e

lunas (det M = det Mtl.bl somarmos a uma fila uma combinl9fo

linear de outras filas paralelas IT. de .lacc!b


11/22

Grupo 4 - Altera~es no deteminantllo determinante de uma matriz quadrada de

ordem n altera-se:al trocando de sinal, quando duas filas pa-

ralelas trocam de luger entre si.bl ficando multiplicado par Q quando os

elementos de uma fila sio multiplicados por Q_el ficando multiplicado por an quando amatriz IImultiplieada por a.Grupo 5 - Propriedades complementaresal Teorema de Binet - Se A e B sao

matrizes uuadradas de mesma ordem entaodet IABI = det A _det B_

b) a p+q x a [ e l x a [g J xb m+n y b@y + b t t J - j yr+s ,-, c C~!z c ~.r~z z

c) Determinante de Vandermonde

, 1 .e = Ib-al.lc-al.le-ble2

t. DEFINICOESaI Sistema lineari allXI +a12 X2+ . .. +alnxn=b,.a21 XI +a22 X2+_ .. +a2nxn=b2 0 ami XI +am2 X2 + ... +amnxn=bmObs.: Se bl = b2 = ... =bm = 0,0 siste-ma e homoqsneo.bl Matriz Incompleta.

M.I.=

~

11 al2 al nJ~I ~ ..'. : a~~ml am2 ... amn

c) Matriz Completar ~ ~ ;. . . ~ ~. . .: . . . .~ .~. . .. ~ ]~ml am2 ... amn bm

dl Se a matriz incompleta for quadradaoseu determinante l! chamado deterrnlnante dosistema (DI.

dl a 0 0 0x bOOy z c 0m n p d

abed

Prof.

5. PROPRIEDADES

III. MATRIZ INVERSAt. DEFINICAO

M- I II inversa de M se, e sornente se,M.M -I = M -I . M = In

2. EXISTi:NCIAM If invers(vel se, e sornente se,det M *0.

3. ELEMENTOcofator de ~i de Mb..de M-I = - - = - _

IJ det M",.

4. REGRAal Calcule det Mb) Determine a matriz dos cofatores de M:M'cl Determine a matriz adjunta: f in = M,tdl Aplique a f6rmula: M-I = --'--. Mdet M

2. SISTEMA NORMALalm=neD*Obl Teorema de Cramer - qualquer siste-

ma normal e possfvel e determinado .c) Re$Oluc;:ao(regra de Cramerl

01 O2 On.XI =0;X2 =0;'";n =03. CARACTERISTICAA caracterrstlca de uma matriz e "p" se, e

sornente se:al Existir um menor de ordem p Idetermi

nante I diferente de zero.bl Todos os menores de ordem p +' Ide.

terminantel quese obtem ORLANDO 0menorde ordem p do item Ia ) sio iguais a zero.4. DISCUSSAO DE UMSISTEMA LINEARSendo: p, a caracterfstica de M.1.

q, a caracterrstlca de M.C.n, 0 nurnero de incognitas

o teorema de RouchE!Cappelli nos perrni-te concluir que:

al A -I Ii Ilnica.bl IA -11-1 =' Acl IA.BI-1 =B-I.A-Id) IAt,:'1 = IA -lItel detIA-II= -'-

detA6. EXEMPLO

Determine a inversa da matriz Mdada:

M=[: ~]

a] Det M= 6 - 5 = , :. det M * 0

bl M'= [: -:]

- : ]. [ 3 - ' ] _ = [ 3 - ' ]) M-I = _l., -5 2 -5 2

c) M = [ 3-5

al p * q .. lsI I!imposs(vel Inenhuma solu-qiol..bl p = q = n .. lsI I! poss(vel e determinado (6nieasolu*'. .c i p = q < n .. lsI II poss(vel e indeterm_inado (infinites solu~sl. .5. SISTEMA LINEAR HOMQGENEO" 56 admite a solu9ao trivial.d) p


12/22

1. LIMITE DE UMA FUNCAOL II 0 limite da funCo f, quando x tende ao

ponto a, se,e somente se:lim fIx) = Lx-+a+ e lim f(x)=~

2. FUNCAO CONTI'NUAf e eontrnua no ponto aE 0 (f) se, e sornen-

te se lim fIx) = f(a)x-+a

3. FUNCAO DESCONTI'NUAf e descont(nua no ponte aE D(fI se, e so-

mente se, ou ~ lim fIx) ou lim fIx) * f(a).x-+a x-+a

4. LIMITE TRIGONOM~TRICOFUNDAMENTAl.lim ~ = 1 (x em radianos)

x-+O x5. LIMITE EXPONENCIAL FUNDAMENTAL

lim (1 + ...!..)x=ex .

6. PROPRIEDADES DOS LIMITESa) 0 limite de uma funCo f: A -+ IR, se

existir e unico.b) Sejam f, 9 e h mis funes tais que:

g(x)' ;; f (x)'; ; htx), "iIx * alim g(x) = bx-+alim h(x)= bx-+aPode-se concluir que lim fix) = b

x-+a

7. OPERACOESa) lim [fIx) +g(x)] = lim fIx) + lim g(x)

x+a x+a x+a

b) lim [f(x)-g(x)]= lim f(x)-lim g(x)x+a x+a x+a

c) lim [f(x) . g(x)] = lim fIx) . l im g(x)x-+a x-+a x-+a

8. LIMITES INFINITOS

lim t(x)d) lim ..!!.:1= x-+a (se lim g(x) *0)x+a g(x) lim g(x) x+ax-+a

a) .Se lim fIx) = 0 e se para x "rnuito prximo de a"f(x) *0 entio:lim -'-= ooou 1 lim -'-x+ a fIx) x +a f(x)

b) Se lim f(x) = ooentao lim _1_=x+ a x +a fIx)Exernplo:

Analise a continuidade da funCo descripelo gratico abaixo:

fIx)b -__;/.)c ---~-~

I:

observamos que:~+.f(X)=C}lim fix) = c = > lim fIx) = c * f(a) = bx+a" x+af(a) =b .

logo:A funco II descontrnua em a, apesar

existiro lim fIx).x-+a

1. DEFINICAOSeja f: I -+ R uma funCa de variavel real.II derivavel no ponto a E I, se e somente se,

exis te um nurnero real d tal que:d= limx-+a

fIx) - fla)x -a

o numero real d e a derivada da fun"aof no ponto a ell indicado por f'(a)_

Se f izermos x - a = h entio:

f'(8)= limh-+O

fIx + h) ....,Ix)h

2. FUNCAO DERIVADASela f: I .... R uma fun.;:ao derivayel em I.

Chama-se funCo derivada da Fun"ao f afun"ao f': I -+ IR ta l que:

fIx + h) - fIx)hf'(x)= limh .... O

3. TABELA DE DERIVADASa) Operaes com fun,,08s:

Sejam u = fIx) e Ii = g(x) duas funese k um nurnero real.

y = k . u = > y' = k . u'y = u + v = > y' = u' + y'y=u - v => y'= u' - y'y= u.v => y'= v. u'+v'.u

uy=-y

V .u-u .v'y2=> y'=

b) Fun"ao Constante

y= k=>y'=O

c) FunCo Ident idade

y = x=>y'= 1d) FunCo Potencia

y = xk =>v' = k xk - 1e) FunCo Exponencial

y = aX =>v' = aX . In ay=eX = > y' =eX

f) FunCo Loqarr trnlca

y= log x=> y'=...!... -'-a X Ina

y = In x = > v' = ...!..xg) F un"oes Trigonometr icas

y = ~n x => y' = cos xy = cos X => v' = -sen Xy = tg X => v' = see2Xy = cotg x. =>\,~~ -cossee2 xy = sec x => v' ,",'Sec x tg xY = cossee x =>v' =-cossee x c o t s . x

h) Fun"ao Composta


13/22

u = f(xl => dudx4. APLICACOES DE DERIVADAS d) Pontosde Inflexao:

Seja f : I -+ fI deriviivel tal que f' e f" se-jam tambllm a e ponto de inflexio horizontal .f'(al * 0 => a e ponto de inflexio oblique.

e) Interpretaeso Geomlltrica.A derivada de f no ponto a I! 0 coefici-

ente angular da reta t, tangente a curva f noponto Pta, f(al l.

A equaCo da reta tangente it curvaf noponto de abscissa a I! y - f(al = f'(al . (x-al.Exemplo:

Determine 0 ponte de maximo (ou mini-mol de uma fun.;ao quadratlca.

f(xl =ax2+bx+e (a*OI.f'(xl ;" 2ax -I ' b = 0 => x = - .JL.v 2ay =f(x I =a. (- _b_,2 + b (-.JL.f +c ,',v v 2a 2a

:_ y = J t. .. _ ..Ji.. + C = b2 - 2b2 + 4aev 4a 2a 4a/:;4a

al Ponto crrtico de f.Y= g(ul => dy. du Seja f : I -+ IR uma func;ao derivavel. Um

ponto a E I e ehamado ponto er(tieo de he, esomaite se, f '(al =O.

Prof. Andre

6. MEDIASa) Ml!dia AritmeticaA = XI + 1'2 + ... + I'n

n

bl Media ~ri tmetiea PonderadaP = X I PI + X 2 ,P 2 + .. . + xn P n

P I +P 2 + .. ';+-Pnel Ml!dia HarmOnicaH=---:--~----:----'-+-'-+ ... +-'-

XI ~ linn

d) Ml!dia Geometrica

e) A media arltmetlca e sempre maior ouigual a media geometriea

A;;;'G

y = 9 [ f(xl ] => dy dy dudj(=diJ'dj(iI Fun.;ao Inversa Se a E I II um oonto crrtico de f entao:

{ou a Iiminimanteou a Ii rnaxirnanteou a t! absCissa de ponto de inflexaohorizontal.

b) Fun.;ao MonotOnica (Mon6tonalSe f: I -+. fI II derivavelem J C I, entao:- f t!estritamente crescents em J se , e

sornente se, f '(x) >0 para todo x E J.- f t! estritamente decrescente em J se ,

e somente se, f '(xl 0 => a e ponto de minimo.

1. PROPORc6ES 4. PORCENTAGEMSejam a, b, e e d nurneros reais nio nulos. p%deCt! _LC.. '00al ..!_= _ c : _ = > a . d= b . eb d Ap6s um aumento de p% sobre e passamos

ater('OO+p)%.C= (l~~O+P).cAp6s um desconto de p% sabre C passa-

. 100 - pmos a ter (100 - p] %C = ---;00' CAp6s do is aumentos sucessivos de p% sobre

C passamos a ter

bl ..!_= ..s => a + b = c + db d b dc) ..!_=..s = > a+e =~=__b d b +d b . da _ e a2 r ? - a . cd) "b-d> tiT= d2 =b.d

2. GRANDEZAS DIRETAMENtEPROPORCIONAIS

(100 + p)%. (100 + p)% _ C = ( 100+ P,2 . C100S e um .capital C e aplicado a uma taxa de

i% por periodo ap6s t periodos teremos um ju-ro composto j tal quej = C [(100 + 1)%lt - 1]

(a, b, cl e diretamente proporcional a(m, n, p) se, e somente se:

..!...=_!J_=..!..=k= a+b+cm n p m+n+p 5. JUROS SIMPLES3 . GRANDEZASINVERSAMENTE

PROPORCIONAIS Se um capital C rende juros simples j ap6sum tempo t aplieado a uma taxa de i% e ntao:(a, b, cl e inversamente proporcional a

(m, n, pI se,e somerite se: a.m = b.n = c.p = k. CitJ = 100


14/22

1. MEDIDAS DE ARCOS E ANGULOSSistema GrauGrau (0)Minuto ( ')

_1_ do iingulo rete90_1-dograu60

Segundo (")= _.1_. dominuto60Sistema Radiano

/'---'~' ,I II I O!: .ti__'\ 0 r\ I" I'. . '"""----",

O! comp (AB)

2. FUNCOES TRIGONO_TRICAS NOTRIANGULO RETANGULOC

seno = cat. opostohipot.co-sene = cat. adjac.hipot.

sen B =_b_= cos Cacos B = _c_ = sen Ca .tg B = .JL. = cotgC

C

'cotgB=_C_=tgCb _.'sec B= _a_ = cossec Cc .cossec B = _a_ = sec Cb

Angulos complementares ~m co-tuneoesiguais.3. VALORES NOTAvEISx \ _ \ ' sen x cos x tgx

I 11 1 ..ff .;f3:1)0 I _"2 "36. 2

450 I 11 V2 V2 1I 4 2 211)0 1 11 v'3 1 ..[33" -2 "2

Prof. Andre

4. RELACOES FUNDAMENTAlS E AUXILlARES

tangente = cat. opostocat. adjac.

F.I.) sen2 x + cos2 X = 1F.II.) tgx=..!!!!2Lcos xF.III.) cotg x = _1_ =_Q!JL.tg x sen xF.IV.) secx=_1_cos xF.V.) cossec x = __ 1 _sen x

A.lI.) cosset? x = 1 + cotlf x5. ARCO TRIGONO_TRICO

A P 4 ! o co nj unto de todos os arcos de origem A e extremidade P.

Conjunto das determinaies:A I a+n.2lT Ioula+n.36001(nEZ)Casos Notiiveis:

II ( ! j _tI) f f i -

ou n @ Ao)W~A

a + n. 360a+n.211

a + n . 1800a+n.11

+a+n.360+a+n.211

(-1)n.a+n.1800(-1)n.a+n.lT

V)

VI)

6. FUNCOES TRIGONOMTRICAS

a+n.900a + n. 11/2

+a+ n.'1800a+n.lT

A'

B'

qo cicio triqonometrtco definimos:'sen x = ONcos x = OMtgx = AT

Fun9iio Dominic Imagem I II III IV Par ou impar Periodo Sinai.sen x fl L-1 ; 1 ] t. \, \, t impar 211 @en(-x) = -sen xoos x fl [-1; 1] \, \, r t Par 2lT

-~ f + Jos x = cos (-x)tg x x ' * _ ! ! _ + nlT fl t t t t impar IT - @ ~-2 tg(-x) =-tg x '-,


15/22

x

x

y=tgx

-7r/2 131T/2II

x

II7 -. VARIACAO DO PERf000 DE UMA FUNCAO

a) Seja y = flxl de per(odo pe V de perfodo P

I) V = K + f( xl entio P = PII) Y=K.f(xl entio P=p

9. ADICAO ESUBTRACAO DE ARCOS

tg (a bl = tga +t9 b1 +tga.tgb

cos (a bl = cos a . cos b + sen a. sen bsen (a bl = sen a . cos b cos a . sen b

10. ARCO DUPLO

cos (2 .al = cos2 a - sen2 a == 2 cos2'a -1= 1. - 2sen2 asen(2 . al = 2 . sen a . cos atg (2 .al = 2. tg a1 _tg2a

11. ARCOTRIPLO

sen(3. a) =3. sen a -4. sen3a

1111 Y = fix + KI entioIV) Y = f(K . x) entio

P=pp=_p_I K I

bl A fun.,ao inversa da fun.,aof : [ -!!_; . . ! ! . . . ] -+ ( -1; 1 ] t.q. fix) = sen x II2 2 t-I: [-1; 1]-+ [~; ;; ] t.q.rlx) = arc sen xbl G raf icamente ocorrem as segu intes mLJ dances:

I) 0gn!fico da fun.,ao sobe K se K> 0 oudesce K se K < O.

II) 0gn!fico da fun.,ao deforma-se na verti-cal (abre ou techal. Se K 0 ou para a d ireita se K


16/22

1. COORDENADAS CARTESIANAS NOPLANO Y ordenadas

PIx, Y)PIx. Y) .... - .-._._ '->'-'0-'i x 0 y> 0 i abscissas

1 xO, x! v-co Y _ : : : . ~PIx. Y)... _._._._. PIx, Y)

2. DISTANclA ENTRE DOIS PONTOSI dAB = J (xB - XA)2 + (YB- YA)21Y: : - ~ " V J-A i (dx) .. I! !

3. RAZAo DE SECCAO

{

-+ xC-xAr=~ em Ox: r = :'B_- Xc

CB -+ YC-YAern Ov ir> YB-YC

8. ESTUDO DA RETA8.1. EOUACAO DA RETA

Reta horizontalI b=O .. x=\: ~ .. x= K I RetaverticalI c = 0 .. ax + by = 0 IReta passa pela origem8.2. DECLIVIDADE

y

8.3. EOUACAo'GERALA(xA' YA)l x Y 1. . xA YA 1 =0 ..B(xB' VB)J xB YB 1

.. ax+by+c=O

BYB } - , ; : : : 1 ' - - - : , - 3 ' i , ' rN:-co-t-e-q-u-e:-------,YC,--/ C - I a) CinternoaABr> 0\ " I IYA A jib) C externo a AB r < 0I I jL-- -

i x

5. AREA DO TRIANGULOArea do triangulo =+3

6. INTERCEPTOSObten.,ao de:Ix -+ toma-se Y= 0 em Y= fIx)Iy -+ toma-se x = 0 em Y= fIx)

Yly(O;Y)

Ponto Medio:Y BYB - - - - --

YMx

YA +YBYM=1r- ~----2----_,: I M ( X A +xB . YA+ YB )11~2 2-----------'

xf(x;y)=O

7. INTERSECCAO DE CURVASy

g(x;y) = 0f(x;y) = 0

x

4. AliNHAMENTO DE 3 PONTOSSejam:A(XA'YA)l IXA YAB(xB' VB) JeD = xB YBC(XC YC) Xc YC As coordenadas do ponto de intersec~o

sao as solucees do sistema{fIx; Y ) = 0g(x;y) =0

Prof. Andre

.. r : al x + bl Y + CI = 0s : a 2x + b2y + < : 2 =0

D = 0 A. B, C sao colinearesD ' * 0 A B. C formam triilngulo

8.4. EOUACAo REDUZIDAy

I y=mx~8=arctg m

~ = _!2_ ~ < = > res paralelasa2 b2 ~~ ~ _!2_ =..EL, _ res coincidentes12 b2 ~~EL _ res concorrentes12 b2 _al .12 +bl .~ -=,O"'r e s perpendiculares

8.7. FEIXE DE RET AS' Feixe de Retas Paralelasr : ax + by + C ,;, 0 entao 0 feixe Cle retasparalelas a r tenf equat;:iio ax + by + K = 0(KER). Y

x Feixe de Retas Concorrentes de CentroC(Xo V ol Y

x

~~~-r--~---"xm = - -{- coef. angular Ih = - _c_ coef. linearb

'8.5. EOUACAO SEGMENTARIAYQ(O;q)

I Y~Yo-m(x-xQ) (mER)ou ,x~

x8.6. POSICAo RELATIVA DE DUAS RETAS r:y=mlx+hl,s:y=~X+h2ml = m2 e hi ' * h2 _ res paralelasml = m2 e hi = h2 < = > res coincidentesml '* m2 res concorrentesml = - _1__ res perpendicularesm2


17/22

8.8. ANGULO ENTRE DUAS RETASConhecidos as coeficientes angulares mr e

ms' temos:t v

x8.9. DISTANCIA DE PONTO ARETA

Dado a ponto: P(xp. yp) e a retar : ax + by + C= 0, temos:

v.r _'p./d ;' Ia . xp + b .YP + c I

~d=x

8.10DIST~NCIA ENTRE DUAS RETASDadas as retas paralelas{r:a.X+b."Y+C=Os: a . x + b . Y + C' = 0, temos:

d = Ic - c' I~

x

9. ESTUDO DA CIRCUNFERENCIA

Prof.

92. EaUAcAo GERAL (ou Normal)Desenvolvendose (I). obtemos:IX2 +1-2ax-2by+p=0

9.1. EaUAcAo CARTESIANA lou reduzida)A equacso da circunferencia de centro

CIa, b) e raio r e :,'I-x-_-a-)-:-2....- 1 y---b-)2:--=-r2-',(I)

x

9,3.EaUACAo DO 2 ? GRAU E A CIRCUNFERENC,AA equar,:ao do segundo grau; x2 -t- y2 + k . xy + mx + ny + p =0

sera a equar,:ao de uma circunferencia de centro

Cla,b), ma=-- 2 e b=- . . ! ! . .2

v@ .Pix. ylCaso particularSe 0 centro da circunferencia for a origemdo sistema cartesiano entao CIO, 0) e a equa'osera:

com

e ralo r = J a2 + b2 _ p'se, e somente se:a) O s coeficientes de x2 e y2 forem iguais e naonulos. Podemos sempre supor quesejam am-bos iguais a 1.

b) "Nao existir" 0 termo em xv , ou seja k = O.c) r2 = a 2 ... b2 - P>O.Observac;:ao:a) Se a2 + b2 - P = 0 aequa~o representa ape-nas 0 ponte CIa, b).

b) Se a2 ... b2 - P < () 0 conjunto verdade daequac;:ao e 0 conjunto vazlo,

9.4. POSICAO DE UM PONTO EM RELACAOA UMA CIRCUNFERENCIASejam x2 + y2 + mx + ny + p = 0 a equa-

c;:aode uma circunferencia e P(xo, Yo) um pen-to qualquer. Seja, amda,flxo, Yo) = = x~ ... y~ ... m Xo + n Yo'" PA posir,:ao do ponto P em relar,:lIoa ~ircunfe-

rencia II determinada pelo valor de f(xo, Yol.Assim:flxo' Yo) = 0 P pertence;l circunferinciaflxo, Yo) > 0 P externo Iicircunfertinciaflxo, Yo)


18/22

11. ESTUDO DA HIPIORBOLE Defin i,.aoDados dais pontos Fie F2 (focos) e urn

segmento de medida 2a, denornlna-se HIP~RBOLE ao L.G. dos pontos do plano tals que:

IIPF1-PF21=2a I Equ~o ReduzidaAI

.~L- _

1. REGlAO CONVEXA E NAO CONVEXA

convexa nio convexa

VA, B E R } _'*AB C R 3 C , D E 5 I CD 5A*B

Observac;aes:1) As equacdes das assfntotas da ,hiper-

bole com centro C(O; 0) sao: .,y=.E_.xa item Ay= ~ . xb item B

2) Se 0 centro da hiperbole for 0 pontoC(g; h) as equacdss A e B transforrnar-se-Jo em:

(x _ g)2--a-2- -(y _ h)2--a-2- -

12. ESTUDO DA PARABOLA Defini~Dado urn ponto F (foco) e uma reta r (di

retriz}, denomina-se PARABOLA ao L.G. dospontos do plano eqiiidlstantes de F e de r.

PF = Pr

Equa"iio ReduzidaA)

II(I x =-f II y2 =-4.f.x I=4.f.x

B) c) yy-----~. Iy=

x- - - - , -~I x2 = 4. f. y x2 =-4. f. y I

b)Analogamente: (3= d; 'Y= a; 0 = b

c) Angulos ColateraiS:~~ + d = 1 8 0 1Analogamente: (3+c='Y+ b~ 0 ,+ a = 1800

a TRIANGULOS

2. PARALELISMO b

r//s

a) Angulo, Corresponden~es: 1 r O s - C =a IAnalogamente: (3= b; 'Y= c; 0 = d

b) Condit;XIesde ExistinciaI a


19/22

M A T E M A T I C A

d) Criterios de Congrutincia

ALA LALL~ ~~LLL LAAo

~~ L~4. POLIGONOS CONVEXOS DE n LADOS

d= n(n2-3) A I D " . , ' " Si = In - 2) .1800; Se=360 An------- __

AsSe 0 pol(gono for regular entao

(n-2)1800a) Cada angulo interno vaIe: ...>.:.'--:!.._..:..=-=--n3600b) Cada angulo externo vale: --- n

5. TEOREMADETALES

B jc jojI

R r 1 1 5slittlluu II ...

sTu

Prof. Andre

7. SEMELHANC;:ADE TRIANGULOS

b) t.ABC '" t.MNP,* Area (6ABC) = k2Area (t.MNP)

b2 = 8. m 82 = = b2 + c2 (Teorema de PiUgorasl

A

c) Criterios: L.;,..A.::_A.;_"'__J.__:L::A_::L=-"'__jL__L::

8. RELAc;:OES M~TRICAS NOS TRIANGULOS RETANGULOS

.b.C=8.h

."9. RELAc;:OES MeTRICAS NUM TRIANGU.LOQUALOUER

~-----------~ei=b2 +c2 -2mcCalculando mem funo de b e cos A obte-

rnos, em ambos os casos, 0teorerna dos co-senos:a1 =b2 + c2 "- 2bc cos A

10. PONTOS NOTAVEIS DO TRIANGULO(BICOI

Baricentro Incentro

r l l sl l tl lu ll . .. '* _rut = ~ = ~ = ...RS ST TU

6. TEOREMADABISSETRIZ

I AS e' bissetriz ~ ABBS ~ I

11. AIIiGULOS NA CIRCUNFERt:NCIA

CENTRAL a=AB

EXCIONTRICOEXTERIOR

EXCIONTRICOINTERIOR r=AB+@2

Prof. Andre

13. POLIC30NOS REGULARES ,-'.&Seja R 0 raio da circunferencla circunscri-

ta, r 0 raio da inscrita, fl 0 lado do pol(gono ea oap6tema.

al TriiingulctEquilatero Os quatro pontos notliveis coinci-dem (B ;: I;:C ;: 0)

a=r= R-2.h=R+r h= fl..['32

blOuadrado d e diagonal d=2R d=v2 a=r=L 2

iNSCRITO

-~-~12. POTENCIA DE PONTO

P..." ' : : - - - - - - - e - T ---) Se P for externo ';:-.:-...--_--~_-'. BIi circunferencia, entao: '2" ----IPA.PB=PC.PD=PT21 ''0'"

b) Se P for internea circunferencia,entao:I PA . PB = PC . PO I

c) Hexagono Regular Seis trianguloseqliiliiteros

=R' a=r=Rv'3 2


20/22

12. AREAS DA~ FIGURAS PLANAS ~l-~-~-I 0 I

~S="';p(p-a) (p-b) (p-c) a < : ::>:\.:....c. . " .. ' .f6rmuiadeHierao ~b

Losango:S=JL2..2

a) TriangulosSendo R 0 raio da circunferencia circuns-

crita, r 0 da in~crita e p = a + b +c o sernipe-2rfmetro, a area de urn triiingulo pode ser calcu-lada das seguintes formas:

Quadrado:5=2 :::L2S=JL....2

c) Figuras CircularesS= . . . ! L . . h .2 2 .rsS=--- 4 Ar-ea do circulo:S=1TR2

Comprimen1o da circunf.:= 21TRb) Quadrilateros Notaveis-/ . < 0 \ _

~~b

b .S= ab.sena2 Coroa CircularS=1T(R2 _ r2)Retiingulo:S=ab. a~~

bS= ..!..l!..4 R Setor Circular:Paralelogramo:S=bh S=...L.!L2b (1A';~.~,IIBSegmento Circular:S=..!...JL -SMAB2Trapezio:S= (B+!!L...!L2S= p. r

1. PRISMASa) Prisma Reto e Prisma Oblrquo

c) Piriimide RegularE a plramide reta cuja base I! urn pol(gonoregular. " - -Sendo:

e) Cubo AT = 6 a2 V=a3 D=ay'3

po semi per (metro da basea 0 apoterna da baseR 0ralo da circunscrita9 0 ap6tema latera I a aresta lateral, tem-se:b i Area e VolumeI AT=AL+2AB IV=AB.H

c) Prima Regular~ 0 prisma rete cujas bases sao polfqonos

regulares.

2. PIRAMIDES g2 = H2 + a2 2 = H2 + R 2 AB=pa AL=pg V = . . E . ! J : ! .3

a) Piriimide ~eta e PiramideOblrqua

d) Paralelep(pedo Reto-Retangulo

d) Tetraedro RegularH= av'63AT =a2...[3V= a3.J212

b) Area e Volume

Diagonal: 0 = ...;a2 + b2 + c2


21/22

3. CILINDROS

a) Cilindro Obi (Q!Jo AT= AL +2 AS V=ASH 0 paralelogramo

ABCD Ii a sec~o meridianab) Cilindro Reto AS = 1T R2 AL = 2 1T R H AT =21 T R (R + H ).V=1TR2H A seccso meridiana e

urn retanquto

c) Cilindro EQiiihiteroE O aquele cuja s ec cs o m e-

ridiana e urn quadrado[ H =2R

IIII: HIIfMhW lft- - - . G

C 4. CONESa) Cone v v

b) Cone Reto~ aquele em que a proje~ao ortogonal do

vert ice V e 0 centro 0da baseV s f = R2 + H2

AS= 1 T R2 AL = 1T R 9 AT=1TR(g+R) V= 1T R2 H B

3 .0 tr iangulo isoscelesVAB e a ~o me'

rldianac) Cone EqUihitero~ aquele cuja se~ao meridiana e urn trlan-

gulo eqUilatero.9 - 2R

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - ~Prof.

7. ESFERA E SUAS PARTESa) Superf(cie Esferica e Esfera Area da superffcie esfericaI A=41TR2 I Volume da esferaI V= T1TR31

b) Fuso Esferico e Cunha Esft!r ica 0 fuso esferlco de angulo equatorial a

(em graus) e parte da superffcie esfarica .. ' " a"casca do gomo da laranja".

I 1 T R2 aobtemos: Atuso = --000-- j1.cunha esferica e urn solido. '" parte da

esfera. '" 0 "gamoda laranja". Pela regra de tres

{.3600_~ 1TR3a Vcunha

obtemos: I Vcunha = ~ I

Pela regra de tres

{~oo ~ 41 T R2~ Afuso

c) Zona Esferica.e Segmento Esferico dedUBSbases Zona Esferica e parte da superf icie esfe

rica. '" a "casca".

esferico e 0 solidolimitado pela zonaesferica.

d) Calota Esftlrica e Segmento Esferico deuma base Fazendo

rl = 0 obtemos acalota esfer ica e 0segmento esfericode uma base.

Acalota = 2 1 T R H

5. LEMBRETEa) Para solidos de "sec~ao constante" tais

como cilindro, prisma, etc., tem-se:Volume = (Area da base) . Altur.a

b) Para solidos "com ponta'; como pirami'de e cone, temse:

Volume== (Area da Sase) . Altura3

6. TRONCOS DE SASESPAR ALE LASa) De Piramide

A , . ==AL + As + Ab V= ~ (Aa+~+'" Aa~b) DeCone

92 =H2 + (R _ ,)2 AL = 1T (R + r) 9 V = 2 ! . . . ! : ! . (R2 + ,2 + Rrl3

d) Setor Esferico, A rota~ao do setor circular em torno doeixo e gera 0 setor esferica cujo volume e:

e) Anel Esftlrico A rota"ao do segmento circular em tor-no do eixo egera 0anel esttlrico cujovolume e;c j . : , e(,..' :::-r::~--'\ ; - - - - - + - - : - l -. \ ~ I ,I. . . . . . _ - ' - _ . ."8. S6LIDOS SEMELHANTES


22/22

1. POSIC6ESRELATIVASa1 Entre RetasParalelas Coinciden1eS Paralelas Olstlntes/~~! )7/,sl

r:"s rCa;SCa;rns=Concorrentes Revers~sJ > . < s / [/ \1rns={p} ~ :J r,s \

b) Entre Reta e Plano

c) Entre PianosParalelosCoincidentes! ' 7 J /a=/3

Paralt!losDistintos/ ( 1 7/{3::':::('(~7

O t n / 3 = r p

Secantes./.

Otn{3=r

Prof. Andre

4. DIEDROS E TRIEDROSV

~,b a

b ca, b e c sao arestasc. fj e 'Y sao facesd1,d2 e d3 saodiedros (angulosentre faces).sao valldas as seguintes desigualdades: OO :~.f3lly/ Y

Tetraedro Regular faces triangulares V = 4; A = 6; F =4

P sllr------~----,--

xas I!valida a se-guinte relac;iio:

Hexaedro Regularou Cubo faces quadrangulares V = 8; A = 12; F = 6

V-A-toF=1

b) Superffcies Poliedricas Fechadas Para todo poliedro convexoe para al-

guns poliedros nao convexos e valida a seguinterelaC;ao: I ' V - A + F = 2 (Euler) INo Poliedro da fig,ura temOs:l . L _ _V=13,A=21eF=10 />: ---__V - A+ F = 13 - 21 + 10 = - 2

Emtodopoliedro Euleriano (V-A+F=2)a soma de todos os angu los de todas as faces e360~(V-2). .

c) Poliedros de PlataoE todo poliedro Euleriano IV - A + F= 2)

onde: 'A quantidade de arestas nos vertices e

constante. A quantidade de lades nas faces e cons-

tante.Existem somente 5 poliedros de Platiio: Te-

traedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro eIcosaedro (THODJ).

Octaedro Regular faces triangulares V = 6; A = 12; F = 8

Dodecaedro Regular faces pentagonais V = 20; A = 30; F = 12

lcosaedro Regular faces triangulares V=12;A=30;F=20

/ JULAS Z P E Mk-J ) 1 = 1 5 / ( Q U Iq :;'O Q -g "b 62 ~

Documents

TODAS AS FÓRMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMÁTICA