Tópicos de álgebra moderna elementar draft

Versão: fevereiro/2005

Tópicos de Tópicos de Tópicos de Tópicos de

Álgebra Álgebra Álgebra Álgebra

Moderna Moderna Moderna Moderna

ElementarElementarElementarElementar Um Curso para Professores

de Matemática e de Física e

para futuros Matemáticos

e Físicos do Século XXI

Edição Preliminar - Conteúdo atual: 12 capítulos e 1 Apêndice

Capítulos: Prefácio 0.- Sobre as Lógicas e as Álgebras 1.- Linguagens, Teorias, e Sistemas Formais 2.- Lógica Proposicional 3.- Lógica Booleana e Álgebras de Boole 4.- Estrutura Dedutiva da Lógica Proposicional 5.- A Crise dos Fundamentos da Matemática 6.- Lógica Predicativa 7.- Lógicas Modernas Não-Clássicas 8.- Teoria Informal dos Conjuntos 9.- Teorias Axiomáticas dos Conjuntos 10.- A Construção dos Conjuntos Numéricos 11.- Teoria Elementar dos Números (resumo) Apêndice A: Teorias Axiomáticas e Provas de Teoremas Bibliografia Bibliografia Comentada (em estudo)

Autoria: Aury de Sá Leite Primeira edição deste texto: março de 2003 Edição Revisada em: janeiro/fevereiro de 2005 Atenção: Edição preliminar – necessita ampliações e nova revisão

Prefácio

“Todo conhecimento é um conhecimento aproximado”.

Gaston Bachelard (1884-1962),

Epistemólogo Francês

Estes textos, agora transformados em capítulos deste livro, estavam distribuídos em diversas apostilas, editadas e reeditadas, ora revisadas, ora ampliadas e, novamente necessitando de revisões que eram sempre adiadas. Eram textos que tinham se mostrado de muita utilidade, contendo boas idéias e algumas concepções bastante inovadoras. A maioria dos textos fazia parte de disciplinas que tínhamos ministrado ao longo de muitos anos no ensino universitário e em cursos de capacitação para muitos grupos de professores de matemática em exercício. E agora, havia algo que nos dizia que tínhamos a obrigação de fazer alguma coisa com todo este material, em termos de publicação.

Os textos estavam ali, mas disjuntos. O que faltava era estabelecer um fio condutor que desse ao leitor uma idéia de conjunto e o estimulasse a ler e a aprender alguma matemática. O que fizemos foi adotar como fio condutor, parte da História da Matemática

dos Séculos XIX e XX, a partir de 1854, que foi a data de publicação, por George Boole (1815/1864) − matemático e lógico inglês, do seu livro "An Investigation of the Laws of Thought – On which are founded the mathematical theories of Logic and Probabilities"1, um livro que revolucionaria aquilo que se entendia até ali, por Lógica − que era ainda a Lógica Aristotélica, com mais de dois séculos de persistência − e que criaria novíssimas perspectivas para a pesquisa em Matemática, envolvida que foi, por esta revolução.

A medida das mudanças causadas por esta revolução aparece numa frase muito expressiva de Newton C. A. da Costa, um brilhante matemático brasileiro, o criador da Lógica Paraconsistente, num de seus artigo publicado na Folha de São Paulo: “Não

exageraríamos se asseverássemos, como A. N. Whitehead, que a lógica atual está para a

lógica aristotélica como a matemática moderna está para a aritmética das tribos

primitivas”2.

Resolvido o elemento de interligação entre os textos, o que desejávamos agora, era um título que pudesse unificar toda aquela “coleção” de idéias e teorias matemáticas distintas, mas historicamente interligadas, resultado de pesquisas, descobertas e criações geniais, resultado de um século de fecundo progresso registrado na história da Lógica e da Matemática. Queríamos um título que desse aos leitores a exata noção daquilo que eles iriam encontrar. Queríamos também que este título deixasse bem claro que os assuntos aqui tratados se referiam a tópicos de Matemática Universitária que, interessantes para alunos dos Cursos de Licenciatura em Matemática e Física, poderiam não interessar diretamente

1 “Uma Investigação das Leis do Pensamento - Na qual estão fundadas as Teorias Matemáticas da Lógica e

Probabilidades”. 2 Artigo republicado no livro: “Introdução à Lógica Elementar – com o Símbolo de Hilbert”, de Rejane Carrion e Newton C. A. da Costa, Porto Alegre, Editora da Universidade/UFRGS, MEC/SESu/PROEDI, 1988.

aos professores já integrados no trabalho junto às escolas de Ensino Fundamental e Médio. No entanto, temos a esperança de que, se estes últimos vierem a se interessar pela leitura de alguns destes tópicos ou, até mais, pelo estudo detalhado de vários deles, isto poderá mudar as suas concepções sobre o que seja o aprender e o criar oportunidades de aprendizagem em Matemática, baseadas na história desta ciência.

Um primeiro nome que nos ocorreu foi “Tópicos de Matemática Universitária Para Futuros Professores” mudado logo em seguida para “Tópicos de Matemática Universitária Para Professores”, que depois de muita “filosofia” foi mudado para “Álgebra Elementar Universitária” e em seguida para “Álgebra Elementar – Um Curso Universitário”, para ficar finalmente como “Tópicos de Álgebra Moderna Elementar – Um Curso para Professores de Matemática e de Física e para futuros Matemáticos e Físicos do Século XXI”.

Parece que de alguma maneira, conseguiu-se, assim, a interligação de vários tópicos de matemática abstrata através da história de sua criação ou descoberta, num livro que, numa primeira leitura, pode parecer denso, mas não é. Pois o que se pretendeu a todo instante, foi escrever um livro de divulgação científica que pudesse ser utilizado como livro texto em cursos de Licenciatura, tanto de Matemática como de Física. Justamente por isto, tentamos fazer com que os capítulos pudessem ser lidos como se independentes fossem, facilitando abordagens de leitura que melhor viesse a atender aos interesses mais diversos ou imediatos. Com este intento cometemos a imperdoável heresia de evitar uma enorme carga de citação das fontes pesquisadas, diretamente no texto destinado ao leitor, − que até acredito saudavelmente necessária e recomendável em Monografias, Dissertações e Teses acadêmicas −, substituindo-as por uma bibliografia comentada, que pretende, isto sim, levar o leitor a mais leituras e não apenas dizer a ele de onde se retirou conhecimentos que muitas vezes figuram em vária publicações de forma simultânea ou mesmo desencontrada, e até mesmo em livros esgotados e até em livros dificilmente encontráveis em bibliotecas brasileiras, e quando encontrados, inacessíveis por fazerem parte de acervo não circulante, numa biblioteca do outro lado do país ou do mundo, e do qual não se pode tirar cópias...

UNESP, Guaratinguetá - São Paulo, janeiro de 2005.

Aury de Sá Leite

Tópicos de Álgebra Moderna Elementar – Aury de Sá Leite

0.1

Capítulo Zero - Introdução Sobre Lógicas e Álgebras

“Não exageraríamos se asseverássemos, como A.N. Whitehead, que a lógica atual está para a lógica aristotélica como a matemática moderna está para a aritmética das tribos primitivas”.

Newton C. A. da Costa Na Folha de São Paulo

0.1.- A Lógica Aristotélica

A Lógica é uma ciência e, como toda ciência ela é fruto de um complexo processo de produção de

conhecimento. Os processos de produção de conhecimentos, de modo geral, possuem características

dinâmicas próprias e inerentes a cada área do saber. Estes processos − às vezes lentos, truncados, caóticos

ou erráticos, às vezes extremamente rápidos, incisivos e contínuos − possuem fortes componentes

históricas, políticas, emocionais e sociais que, por sua vez, estão assentados na grande malha dos

conhecimentos humanos que puderam ser, até ali, conservados como válidos.

O processo evolutivo da Lógica, como ciência, pode ser enquadrado em praticamente todas as

possibilidades do quadro acima apresentado. Muitos filósofos antes de Aristóteles fizeram incursões em

busca da definição e compreensão do que seria a verdade, mas foi Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.) − um

filósofo grego discípulo de Platão, nascido em Estagira, na Macedônia − quem elaborou o primeiro

sistema completo de Lógica que se tem notícia.

No início do texto intitulado Analíticos, que é um dos vários textos que compõem o Órganon1, ele

se propõe investigar a ciência da demonstração e do saber demonstrativo, ali considerada um instrumento

(órganon) para o pensamento correto e para a elaboração da verdadeira ciência. No entanto, não coube a

ele a atribuição de um nome específico a esta ciência que, somente mais tarde, será adotado: Lógica.

A Lógica Aristotélica dominou o pensamento ocidental por mais de dois mil anos, até o advento

da Lógica Moderna, no final do século XIX.

A história da produção – ou ainda, da proposição ou descoberta – dos conceitos e dos métodos de

prova da Lógica Moderna será o fio condutor deste livro e que nos levará, de forma bastante adequada, ao

estudo comparado das Teorias Axiomáticas dos Conjuntos, aos processos de construção dos Conjuntos

1 A designação escolhida pelos comentadores gregos do Corpus Aristotélico (do latim: Documentos de Aristóteles) para ser dada ao conjunto dos escritos daquele filósofo que abordam o tema da lógica foi Órganon (do grego: instrumento).

Capítulo Zero - Introdução - Versão 1.1 - Janeiro de 2004

Sobre Lógicas e Álgebras 0.2

Numéricos e a um rápido enfoque, agora, sob nova forma de olhar, à Teoria dos Números Primos e às

Equações Diofantinas.

0.2.- A Lógica Moderna

O Inicio da Lógica Moderna, mas não ainda a sua consolidação, se dá com a publicação do livro

"An Investigation of the Laws of Thought – On which are founded the mathematical theories of Logic and

Probabilities"2 no ano de 1854, por George Boole (1815/1864) − matemático e lógico inglês. No prefácio

dessa importante obra o autor afirma: "O objetivo desse tratado é investigar as leis fundamentais em

virtude das quais ocorrem as operações da mente; expressar estas leis numa linguagem que possibilite

cálculos e, estabelecer a ciência da Lógica construindo seu método sobre tal fundamento; fazer deste

método a base de um método geral [...]".

A Lógica de Boole ou Lógica Booleana tem hoje grande aplicação no campo da Eletrônica e da

Computação e, quando abordada a partir desta perspectiva, é estudada com o nome de Álgebra de Boole,

devido aos componentes simbólicos e formais que a revestem, bem como à necessidade de validação de

fórmulas e à obtenção de provas de diversos teoremas por métodos algébricos.

Em 1884, Gottlob Frege (1848-1925), publica o seu primeiro trabalho cujo título completo é:

“Begriffschrift, eine der arithmetischen nachgebildet Formelsplash des reine Denkes”, ou numa tradução

livre: “Ideografia3, uma linguagem formalizada do pensamento puro com base na linguagem aritmética”,

que normalmente referido como “Begriffschrift”. De sua obra, constam ainda o livro “Die Grundlagen

der Arithmetik, eine logisch mathematische Untersuchung über den begriff der zahl” (Os Fundamentos da

Aritmética - Investigação lógico-aritmética sobre o conceito de número), publicado 1884. Os dois

volumes do seu trabalho “Grundlagen der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet” (Leis Básicas da

Aritmética, ideogaficamente deduzidas) foram publicados respectivamente nos anos 1893 e 1903.

Os trabalhos de Gottlob Frege (1848-1925), tanto no que diz respeito ao desenvolvimento da

Lógica Moderna quanto à fundamentação da Matemática não tiveram grande repercussão na época, apesar

de terem sido reconhecidos, alguns anos mais tarde, por Bertrand Russell (1872-1970), como sendo básico

para o desenvolvimento do conteúdo do “Principia Mathematica” (Volumes I, II e III), profundo tratado

de Lógica e Matemática escrito em colaboração com Alfred North Whitehead (1861-1947) e publicados

respectivamente nos anos de: 1910, 1912 e 1913. Cabe ressaltar que a dificuldade encontrada para a

2 “Uma Investigação das Leis do Pensamento - Na qual estão fundadas as Teorias Matemáticas da Lógica e Probabilidades”. 3 Ideografia: representação direta do sentido das palavras por sinais gráficos (Dicionário Houaiss – ed. 2001) ; representação de idéias através de símbolos gráficos; o uso de ideogramas para expressar idéias (The American Heritage Dictionary – 3rd edition).


0.3

difusão dos trabalhos de Frege residia na dificuldade de compreender-se o tipo de notação utilizada por

ele, extremamente original, mas que envolvia grande complexidade.

Finalmente, cabe registrar que a consolidação dos princípios do que se denominará Lógica

Moderna se dará, somente a partir das contribuições de David Hilbert (1862-1943), Kurt Gödel (1906-

1978) e Alfred Tarski (1902-1983), que mais à frente serão comentadas.

0.2.1. Lógica - Uma tentativa de definição

A definição do que seja hoje em dia, a lógica, tal a quantidade de novas lógicas que vêm surgindo

– descobertas, criadas ou propostas – e vêm sendo estudadas e aplicadas, exige o esforço de se recolher

dados em diversas fontes e frentes de pesquisas extremamente ágeis, num trabalho que poderia ser,

metaforicamente, comparado à façanha de se recolher os pedaços de um grande espelho estilhaçado, na

tentativa de recompô-lo, sabendo-se antecipadamente que cada um dos pedaços recolhidos são

autônomos em sua essência e em particular em sua função de nos mostrar os reflexos do que possam ser

as lógicas que vêm sendo reunidas sob o noe Lógica Moderna. já seria suficiente para vermos refletido o

necessário para uma primeira visão do que seja a Lógica Moderna.

Apresentado este quadro pouco animador, tentaremos recompor parte do nosso espelho

estilhaçado, apontando a seguir o que é a Lógica Moderna e o que devem ser as Lógicas Modernas:

A Lógica é ....

• A Lógica é a ciência que visa estudar e estabelecer leis formais que bem

dirijam as operações da mente.

• A Lógica é a ciência que trata das formas do pensamento em geral (dedução,

indução, hipótese, inferência etc) e das operações intelectuais que visam à

determinação do que é verdadeiro ou não.

• A Lógica (formal) se preocupa com a análise e prova da validade ou da

invalidade de proposições, com atenção para a forma, abstraindo-se

totalmente do assunto.

As Lógicas devem ....

• As Lógicas devem ser apresentadas através de linguagens formais ou

simbólicas que permitam manipulações algébricas ou lingüísticas bem

fundadas e consistentes.



• As Lógicas devem prover ferramentas para raciocínios e argumentações

sistematicamente corretos para as mais diversas áreas do conhecimento

humano.

• As Lógicas devem possibilitar o trabalho com proposições, permitindo

distinguir o conteúdo das mesmas e o método de validação dos raciocínios

dedutivos que envolvam estas proposições, sejam elas atômicas ou compostas.

• As Lógicas devem estudar e criar estruturas formais baseadas em linguagens

artificiais que permitam diferenciar os raciocínios válidos dos inválidos.

• As Lógicas devem mostrar como procede o pensamento e como se deve

estruturar o raciocínio na busca da verdade, deve ainda indicar como é

possível realizar demonstrações, quais são as formas de fazê-la e quando elas

são possíveis ou não.

Em resumo, as diversas Lógicas devem prover, para as mais diversas áreas do conhecimento

humano, ferramentas que permitam raciocínios claros e argumentações que sejam sistematicamente

corretas. Sendo assim, elas devem ser apresentadas através de linguagens formais que permitam

manipulações algébricas ou lingüísticas bem fundadas e consistentes.

0.2.2. Lógica - Uma tentativa de Classificação

Há muitos tipos de Lógica e todas as tentativas de classificá-las segundo o tipo, normalmente

encontradas na literatura, apesar de bastante complexas, espelham, quando muito, a época em que foram

propostas. No entanto, para as finalidades deste livro adotaremos uma divisão que, diga-se de passagem, é

bastante simplificada, mas panorâmica o suficiente para dar uma idéia precisa do caminho que foi seguido

no desenvolvimento deste livro.

Veja na figura a seguir: A Lógica Aristotélica [1] que não é considerada matemática, mas tão

somente formal, foi seguida pela Lógica Moderna [2], cuja estrutura algébrica bastante evidente, é

debitada à matemática, estará subdividida em duas: a Lógica Moderna Clássica [2.1] − cujo núcleo é

composto pela Lógica Predicativa, que abarca, de forma natural, a Lógica Proposicional que, por sua


0.5

vez, pode ser considerada como contida na Lógica Boolena −, e as Lógicas Modernas Não-Clássicas

[2.2], cujo escopo é bastante amplo e diversificado abrangendo lógicas de muitos e variados tipos.

[1] Lógica Aristotélica

[2] Lógica Moderna

[2.2.] Lógicas Modernas Não-Clássicas [2.1] Lógica Moderna Clássica

Lógica Predicativa

Lógica Boolena

[2.2.1] Lógica Trivalorada

[2.2.n] Muitas outras Lógicas

[2.2.2] Lógica Multivalorada

[2.2.3] Lógica Fuzzy

Lógica Proposicional

Algumas das Lógicas Modernas Não-Clássicas serão apresentadas no capítulo 6, mas pode-se

saber algo sobre muitas outras delas através de rápidas pesquisas na Internet através de alguma ferramenta

de busca – como, por exemplo, o Google [http://www.google.com.br/]. Para facilitar suas buscas tente os

seguintes tipos de Lógicas, aqui dispostos em ordem alfabética: Lógica de Crenças; Lógica Deôntica;

Lógica Epistêmica; Lógica Fuzzy; Lógica Intuicionista; Lógica Modal; Lógica Multivalorada; Lógica

Paraconsistente; Lógica Temporal; Lógica Trivalorada.

0.3.- Sobre a Álgebra e as Álgebras

A palavra Álgebra aparece pela primeira vez como parte do título de um manuscrito árabe

possivelmente datado de 800 a.C. que continha regras para a resolução de certos tipos de equações. A

palavra Álgebra, segundo a edição 2001 do Dicionário Houaiss, provém do árabe: al djabr, o que pode ser



traduzido como “a redução” por causa das simplificações de escrita que essa técnica matemática tornou

possível.

Até o início do século XIX, Álgebra era o nome dado à Teoria das Equações. A partir dos estudos

mais aprofundados sobre as equações algébricas, desenvolvidos por Lagrange, Vandermonde e Gauss −

que irão envolver necessariamente operações sobre entes abstratos −, seguidos de estudos realizados por

Abel, Cauchy e, sobretudo por Galois, chegar-se-á Teoria dos Grupos de Substituições com Serret e

Jordan nos meados do século XIX. Também, já no início do século XIX, a representação dos números

complexos, descoberta simultaneamente por Argand, Wessel, Cauchy e Gauss, abriam um novo campo de

pesquisa algébrica através dos vetores, fazendo surgir a Álgebra Linear, com os matemáticos ingleses

Hamilton, Cayley e Sylvester e com Möbius e Grassmann, matemáticos alemães. Foi assim que, pouco a

pouco, foi sendo alterado o significado da palavra Álgebra.

Em resumo, a partir dos meados do século XIX a Álgebra, que antes só se ocupava com o estudo

das equações, passa a dizer respeito também ao estudo de sistemas formais abstratos. Os sistemas formais

abstratos envolvem conjuntos de símbolos, numéricos ou não, bem como o estudo das propriedades e

operações que possam ser realizadas com os mesmos.

Modernamente, o nome “álgebra” ou o adjetivo “algébrico” aparece dando nome a “várias

álgebras” que levam especificamente o nome de seus autores ou de suas propriedades características(*):

Álgebra Abstrata, Álgebra Alternativa, Álgebra Associativa, Álgebra B* (B-estrela), Álgebra Booleana,

Álgebra C*, Álgebra Comutativa, Álgebra da Medida, Álgebra de Banach, Álgebra de Cayley, Álgebra de

Clifford, Álgebra de Grassmann, Álgebra de Hecke, Álgebra de Heyting, Álgebra de Hopf, Álgebra de

Jordan, Álgebra de Lie, Álgebra de Robbins, Álgebra de Schur, Álgebra de Stenrood, Álgebra de Von

Newmann, Álgebra Exterior, Álgebra Homológica, Álgebra Linear, Álgebra Não-Associativa, Sigma-

Álgebra de Borel, Sigma-Álgebra, e muitas outras.

0.4.- Sobre a Estrutura deste Livro

Reunidos sob o nome de Tópicos de Álgebra Moderna Elementar este livro apresenta, no

Capítulo 1, o conceito de Linguagens Formais e Sistemas Formais, que irão servir de base para a

introdução da Lógica Proposicional no Capítulo 2 e de um bom exemplo de Álgebra da Lógica − a

Álgebra de Boole − no Capítulo 3. No Capítulo 4 vai-se tomar contato com a Estrutura Dedutiva da

Lógica Proposicional. O Capítulo 5 estará reservado para a apresentação do tratamento algébrico-

axiomático da Lógica de Predicados ou Lógica Predicativa.

(*) Dados resumidos sobre estas e outras Álgebras podem ser encontrados no site: http://mathworld.wolfram.com/Algebra.html [em inglês].


0.7

No Capítulos 6, intitulado Hilbert e a Formalização da Matemática, o leitor irá encontrar idéias

bastante interessantes sobre possibilidade da Matemática ser expressa através de axiomas e provas de

teoremas diretamente neles baseadas, tentativa estas que, sugeridas por uns e levada a efeito por diversos

eminentes matemáticos, não se mostrou possível. No Capítulo 7, sobre as Lógicas Modernas Não-

Clássicas, envolvendo idéias revolucionárias que mudaram a maneira de se pensar a Lógica a partir da

segunda metade do século XX.

Mais à frente, no Capítulo 8, a Teoria Informal dos Conjuntos em sua versão intuitiva ou

ingênua, como é comumente chamada, devida a Cantor e algumas idéias resumidas sobre as Teorias

Axiomáticas dos Conjuntos, que irão figurar no Capítulo 9, permitirão um desenvolvimento bastante

claro sobre a construção e a verificação de maioria das propriedades dos Conjuntos Numéricos, que será

providenciada no Capítulo10.

Finalmente no Capítulo 11, o leitor encontrará uma introdução bastante razoável sobre a Teoria

Elementar dos Números, completando assim a sua preparação para o futuro estudo das Estruturas

Algébricas, que poderão ser encontradas nos livros de Álgebra Moderna, em tratamentos de maior ou

menor profundidade.



0.5.- Sumário do Capítulo Zero

• A História da Lógica tem seu início na Grécia muito antes de Aristóteles, mas é ele quem estabelece o

primeiro sistema completo de Lógica. Por mais incrível que possa parecer, a Lógica Aristotélica permaneceu

como hegemônica no pensamento ocidental por mais de dois séculos, até o advento da Lógica Moderna a

partir do final do século XIX com George Boole, Frege, Peano, Dedekind, Bertrand Russel, Alfred North

Whitehead e outros matemáticos notáveis.

• Deve-se observar atentamente, que os trabalhos de Boole foram publicados bem antes dos trabalhos de Frege.

Na época da publicação do livro "Uma Investigação das Leis do Pensamento" que continha as idéias de

Boole, Frege teria por volta de seis anos de idade. Enquanto o trabalho de Boole ganhou rápida

repercussão, os trabalhos de Frege só foram reconhecidos tardiamente, em particular, por Bertrand Russell.

No entanto, a verdadeira consolidação da Lógica Moderna se dará, finalmente, a partir das contribuições de

David Hilbert, Kurt Gödel e Alfred Tarski.

• A partir dos meados do século XIX a Álgebra, que antes só se ocupava com o estudo das equações, passa a

dizer respeito também ao estudo de sistemas formais abstratos. Os sistemas formais abstratos envolvem

conjuntos de símbolos, numéricos ou não, bem como o estudo das operações que possam ser realizadas com os

mesmos e de suas propriedades.


0.9

0.6.- Trabalhos de Pesquisa Recomendados - Capítulo Zero

1.- (Pesquisa) Leia atentamente o texto desta Introdução anotando os nomes de todos os matemáticos que

ali figuram. Elabore linhas de tempo paralelas para cada um deles contendo: (i) nome do matemático e

país de origem, data de nascimento; (ii) data das obras mais notáveis e (iii) data do falecimento (veja um

exemplo a seguir). Compare estas linhas de tempo com os acontecimentos notáveis da História da

Humanidade, fazendo uma última linha que contenha estes acontecimentos.

George Boole Inglaterra

Gottlob Frege Alemanha 1848 1925

1815 1864

Investigações das Leis do Pensamento

1854

Begriffschrift (Ideografia)

1884

2.- (Pesquisa) Use a ferramenta de buscas Google [http://www.google.com.br/] para saber mais

sobre os diversos tipos de lógicas mencionados neste capítulo.

3.- (Pesquisa) Examine no site http://mathworld.wolfram.com/Algebra.html [onde as informações estão

em inglês]: os dados sobre algumas das álgebras e dos nomes associados à palavra álgebra destacados a

seguir:

Abstract Algebra, Alternative Algebra, Associative Algebra, B-Star-Algebra, Banach Algebra,

Boolean Algebra, Borel Sigma-Algebra, C-Star-Algebra, Cayley Algebra, Clifford Algebra,

Commutative Algebra, Derivation Algebra, Exterior Algebra, Fundamental Theorem of Algebra,

Graded Algebra, Grassmann Algebra, Hecke Algebra, Heyting Algebra, Homological Algebra, Hopf

Algebra, Jordan Algebra, Lie Algebra, Linear Algebra, Measure Algebra, Nonassociative Algebra,

Power Associative Algebra, Quaternion, Robbins Algebra, Schur Algebra, Semisimple Algebra, Sigma-

Algebra, Simple Algebra, Steenrod Algebra, Umbral Algebra, von Neumann Algebra

Tópicos de Álgebra Moderna Elementar - Aury de Sá Leite

1.1

Capítulo 1

Linguagens, Teorias e Sistemas Formais

“O todo sem a parte não é todo,a parte sem o todo

não é parte, mas se a parte o faz todo sendo parte não

se diga que é parte sendo todo.” Gregório de Matos (1636/1695)

“Quanto mais reflito sobre a linguagem, tanto mais

me admiro que as pessoas consigam se entender

umas com as outras”. Kurt Gödel (1906-1978)

1.1.- Introdução

Um idioma é a língua falada por uma nação ou por um povo. Os idiomas são considerados

linguagens naturais. As linguagens naturais são aquelas que surgem e se desenvolvem a partir de

capacidades naturais de certas espécies, como as línguas humanas e as linguagens de alguns animais.

1.2.- As Linguagens Formais

Ao lado das linguagens naturais os seres humanos vêm criando certas linguagens, denominadas

formais, que são linguagens artificiais ou linguagens abstratas.

As linguagens formais são linguagens projetadas especificamente para facilitar a comunicação em

determinada área do conhecimento humano, muitas vezes recorrendo ao uso de símbolos e operações

simbólicas, como as que são utilizadas especialmente na Lógica, na Matemática, na Química, por

exemplo.

As linguagens formais não devem ser confundidas com o jargão. Jargão é o nome que se dá aos

códigos lingüísticos próprios de um grupo sociocultural ou profissional. Ele se restringe a um vocabulário

especial, com não muitas palavras, difícil de ser compreendido ou até mesmo incompreensível para os

“não-iniciados”. Como um linguajar destinado a não ser entendido senão por um grupo, em especial o que

adota determinadas convenções, o jargão é apenas uma adaptação vocabular e não uma linguagem no

sentido amplo do termo. É comum ouvir-se: “jargão médico”, “jargão jurídico” e, até mesmo, “jargão

popular” substituindo, neste caso, a palavra gíria.

1.1.2.- Sobre o que sejam a Sintaxe e a Semântica.

As linguagens sejam elas naturais ou não, normalmente comportam uma sintaxe e uma semântica:

Capítulo 1 - Versão 1.0 - Janeiro de 2004

Linguagens, Teorias, Teorias Formais e Sistemas Formais

1.2

A sintaxe é o estudo das regras através das quais as palavras ou símbolos e outros

elementos (sinais de pontuação e conectivos) devem ser combinados para formar sentenças

aceitáveis (apropriadas ou corretas) naquela linguagem – as sentenças-bem-formadas1.

A semântica é a ciência que estuda o significado das formas lingüísticas − palavras,

frases, sentenças, discursos e, até mesmo, textos inteiros. Ela estabelece formas de

obtenção/verificação do significado das sentenças-bem-formadas ou das fórmulas-bem-

formadas nesta linguagem. O estabelecimento de regras semânticas em uma linguagem

qualquer é extremamente necessário, para que nós não comecemos a escrever coisas sem

sentido nesta linguagem. Por exemplo, a sentença: “O garoto Paulo é estudioso” está

sintaticamente correta, ou seja, é uma sentença bem formada em Língua Portuguesa, e

semanticamente veicula uma idéia que pode ser refutada (pois pode ser falsa) ou aceita

(porque pode, por outro lado, ser verdadeira). Sendo assim, esta sentença é uma

proposição. Já a frase: “O automóvel Fiat é estudioso”, apesar de ter a mesma estrutura

sintática da frase anterior, se perde em termos de significado, ou seja, ela se perde

semanticamente, ou seja, ela nada significa.

Apenas a título de ilustração, poderíamos acrescentar que as linguagens naturais têm, além da

sintaxe e da semântica, a pragmática:

A pragmática é o estudo do uso da linguagem pelos diversos substratos sociais

(envolvendo faixas etárias, níveis econômicos, níveis de aceitação, nacionalidades,

religiões, costumes, crenças, ênfase nas assertivas, capacidade de formulação ou

comunicação, sentimentos envolvidos, sensações provocadas, etc) envolvendo, ainda, o

estudo de como ela afeta os interlocutores em termos de comportamento. A pragmática não

é, e nem deve ser, levada em conta quando se estuda ou se trabalha com as linguagens

formais, justamente pela própria natureza destas linguagens que, em geral, exigem clareza,

necessidade de comprovação formal e não admitem ambigüidades sejam elas quais forem.

1.1.2.- Linguagens-objeto e Metaliguagens

A linguagem, seja ela natural ou formalizada, que serve para descrever ou falar sobre uma outra

linguagem, natural ou artificial é denominada metaliguagem enquanto a linguagem sobre a qual se fala é

denominada linguagem-objeto. Geralmente, ocorre que uma linguagem formal tomada como linguagem-

1 Sentenças-bem-formadas ou fórmulas-bem-formadas, cuja abreviatura é fbf. Sendo que em inglês: “wff” é utilizado para se referir às “well-formed-formulas”.


1.3

objeto, acabará por ser descrita por uma linguagem natural que, neste caso, passa a ser a sua

metalinguagem.

Para dar um exemplo: quando alguém estuda a língua inglesa utilizando-se de uma “Gramática da

Língua Inglesa” explicada em Português estará se defrontando com um caso de linguagem-objeto (o

Inglês) explicada ou referida por uma metalinguagem (o Português). Há casos, em que a própria

linguagem natural é metalinguagem dela mesma (aqui ocorre o que se denomina auto-referência), como

no caso de uma gramática da Língua Portuguesa, escrita em Português.

1.2.- Sobre as Teorias

Vamos partir da concepção de que uma Teoria − tomando-se o sentido mais amplo desta palavra −

seja um sistema composto por um conjunto de hipóteses assumidas como verdadeiras e de suas

conseqüências lógicas.

Em resumo, uma teoria será tomada como sendo um sistema hipotético-dedutivo. No entanto,

acrescente-se que, uma teoria pode ser pesada ainda como sendo:

• Um conjunto de regras ou leis, mais ou menos sistematizadas, aplicadas a uma área

específica do conhecimento;

• Um conjunto de conhecimentos especulativos, de opiniões e idéias sobre um dado tema,

sistematizado, organizado ou metódico, geralmente sintético e baseado em hipóteses;

• Um conjunto sistemático de conhecimentos, fundamentado em observações empíricas e/ou

postulados racionais, voltado para a formulação de leis e categorias gerais que permitam a

ordenação, a classificação minuciosa e, eventualmente, a transformação do modo de se

encarar ou considerar os fatos e as realidades da natureza (Adaptação - Dicionário Houaiss

– ed. 2001).

Pensada destas formas, uma Teoria pode fazer referência a objetos de qualquer espécie, objetos

estes, não necessariamente bem descritos ou bem definidos, concretos ou abstratos, conceitualmente

fundamentais ou, definidos a partir destes conceitos. E mais grave, as hipóteses podem ser verdadeiras,

parcialmente verdadeiras ou até mesmo falsas. Isto é o que diferencia as Teorias, como um todo, das

Teorias Formais, que é com as quais teremos que trabalhar no campo da Lógica e da Matemática.



1.4

1.3.- Sobre os Sistemas Formais

Um Sistema Formal é constituído basicamente por:

(i) uma linguagem formal e, associada a ela, uma linguagem natural usada

como metalinguagem, permitindo a formulação de definições, explicitação

de propriedades e demais esclarecimentos ou justificativas, necessários para

dar significado à linguagem formal ou para aplainar a sua aridez;

(ii) um conjunto de fórmulas básicas aceitas naquela linguagem e tidas

como verdadeiras, denominadas axiomas;

(iii) um conjunto de regras de transformação (ou derivação) de fórmulas,

que aplicadas nos axiomas permite a obtenção de outras fórmulas também

aceitáveis e que passam a ser tidas, automaticamente, como verdade

naquela linguagem, justamente por terem sido geradas pelos axiomas.

Há que se discutir que do conceito de “aceitação de fórmulas básicas naquela linguagem” se

depreende que, além destas fórmulas estarem sintaticamente corretas, elas possam ser avaliadas quanto a

serem ou não verdadeiras. No entanto, quando se tratar de axiomas desta linguagem, obrigatoriamente elas

devem ser fórmulas aceitáveis naquela linguagem e verdadeiras2.

Note que a mera aceitação de uma fórmula como pertencente a uma dada linguagem não a torna

implicitamente verdadeira. Veja, por exemplo, que “X ama Y” corresponde a uma formulação bastante

comum e aceitável na Língua Portuguesa, e dependendo de “quem” seja o X e “quem” seja o Y ela poderá

ou não ser uma fórmula verdadeira.

1.4.- Especificando uma Linguagem e um Sistema Formais

A seguir vai-se mostrar como se especifica uma Linguagem Formal, passando pelas definições de

Teorias Formais Axiomáticas e as Teorias Formais Não-Axiomáticas e, finalmente, definindo-se o que

sejam os Sistemas Formais Axiomáticos.

2 Pode-se discutir ainda, e muito, que o conceito de verdade poderá ser substituído por valores escalares onde o verdadeiro será 1 e o falso será 0; o verdadeiro será 100% e o falso será 0%; o verdadeiro será sim e o falso será não. Assim é que, a palavra “verdade” ou “verdadeiro” ganha uma dimensão abstrata, em que algo que esteja 98% certo possa ser aceito como verdadeiro – se isto for permitido por alguma regra que estabeleça valores de tolerância; e algo que seja avaliado como valendo apenas ½, não possa ser nem verdadeiro nem falso (seja indecidível), apesar de ser uma formulação lingüística aceitável numa dada teoria.


1.5

1.4.1.- Adotando um Símbolo para Representar uma Linguagem Formal

Deve-se, para maior comodidade, adotar-se um símbolo para representar as linguagens formais

como por exemplo: Lα, onde a letra α, utilizada como um índice, serve para caracterizar ou nomear esta

linguagem diferenciando-a das tantas linguagens que podem ser criadas, poderão ser criadas ou que já

foram criadas e estão em uso. Assim LProp poderá se referir à linguagem formal da Lógica Proposicional3,

enquanto LPred, à da Lógica de Predicados, e LAPeano irá se referir à linguagem formal utilizada no Sistema

Aritmético de Peano.

1.4.1.1.- Especificando a Linguagem Formal Lαααα

Seja a Linguagem Formal Lα, a sua especificação desta linguagem prevê o estabelecimento do

Alfabeto de Lαααα, − que também pode ser denominado Vocabulário de Lαααα −, e da Gramática de Lαααα , de

acordo com o seguinte:

• O Alfabeto (ou Vocabulário) de uma dada linguagem Lαααα é um conjunto dos símbolos

lingüísticos, tais como: variáveis, constantes, sinais de operações e de funcionais

lingüísticos, acrescido quando necessário, de símbolos e/ou sinais extra-língüísticos −

os denominados símbolos metalingüísticos −, que eventualmente sejam necessários para

dar maior clareza, ou evitar ambigüidades, naquilo que se escreve em Lα, tais como:

parênteses, vírgulas, chaves e colchetes e demais sinais de pontuação, e às vezes, o sinal

de igualdade.

• A Gramática de uma Lαααα é um conjunto de regras que determinam que encadeamentos

de símbolos permitindo a boa-formação de sentenças simbólicas naquela linguagem,

isto é, a formação de sentenças ou fórmulas gramaticalmente corretas ou bem-formadas

− as fbfs (fórmulas-bem-formadas) ou, em inglês: wffs (“well-formed-formulas”).

1.4.2.- Sobre as Teorias Formais Axiomáticas e Não-axiomáticas

Os Sistemas Formais podem ser axiomáticos ou não-axiomáticos. Os sistemas não-axiomáticos são

aqueles denominados, em geral, hipotético-dedutivos. Os Sistemas Formais, axiomáticos ou não-

axiomáticos, podem ser desenvolvidos em linguagem natural ou em uma linguagem formal − quando os

símbolos e a sintaxe são formulados especialmente para atender às necessidades da teoria −, mas devem

3 Neste Texto como iremos trabalhar principalmente com a Lógica Proposicional e a Lógica Predicativa, iremos adotar ao invés da notação LProp e LPred, simplesmente L0 e L1. Enquanto o símbolo L1 se mostra bastante apropriado para se referir à Lógica Predicativa que também é uma Lógica de Primeira Ordem, o símbolo L0 passa a se referir à Lógica Proposicional, justamente porque L0 é, na verdade, uma Linguagem Formal que constitui o “núcleo” da Linguagem Formal L1.



1.6

possuir, obrigatoriamente, pelo menos uma regra de inferência. Esta regra de inferência é que irá permitir

a obtenção de leis (verdades) mais gerais ou derivar fórmulas mais complexas e demonstrar teoremas, seja

a partir da associação conveniente dos princípios elementares, definições e hipóteses desta teoria, ou

diretamente ao ser aplicada no conjunto de axiomas. A estes resultados é que devemos chamar teoria,

devendo-se entender que uma teoria sempre deverá estar apoiada por, ou deverá ser veiculada, através de

métodos axiomáticos ou então hipotético-dedutivos. Uma teoria não deve ser confundida com os métodos

utilizados para desenvolvê-la.

1.4.3.- Especificando um Sistema Formal

A partir do que se disse até aqui, podemos estabelecer que a especificação de um Sistema Formal,

axiomático ou não-axiomático Sα, deverá prever:

(i) o estabelecimento da sintaxe do Sistema Sα − representada por uma linguagem Formal

Lα (alfabeto e gramática);

(ii) o estabelecimento da semântica da linguagem, ou seja, estabelecer (ou definir) aquilo

que é − considerado em seu significado − válido (sempre verdadeiro) e aquilo que não é

válido (inválido) naquela linguagem;

(iii) o estabelecimento de um aparato de dedução − denominado Estrutura Dedutiva de Lα−,

composto por: (a) axiomas, quando os há, e por hipóteses, quando não os há, em Lα, (b) por

regras de inferência. Em outras palavras a estrutura dedutiva de Lα é um conjunto de regras

de inferência que permitam obter – derivar, deduzir ou gerar – outras fórmulas utilizando

os axiomas ou as hipóteses, que neste último caso, poderão ser associadas às definições e

aos teoremas anteriormente provados.

1.4.4.- Particularidades Notáveis dos Sistemas Formais Axiomáticos

No caso específico dos Sistemas Formais Axiomáticos, as Linguagens Formais – sintaxe e

semântica – que irão veiculá-lo, é o que se denomina a morfologia do sistema e, os axiomas, bem como

a(s) regra(s) de inferência, e os teoremas derivados a partir daí, é o que se denomina propriamente a teoria.

Ainda sobre dos Sistemas Formais Axiomáticos, um fato bastante notável que queremos frisar é o

seguinte: uma mesma teoria pode ser veiculada através de sistemas formais um pouco diferentes uns dos

outros. Estes sistemas podem apresentar diferentes conjuntos de símbolos, diferentes regras sintáticas,

distintos axiomas e regras de inferência, mas apesar de todas estas diferenças, se forem mantidas as

mesmas regras semânticas, todos estes sistemas − irão permitir praticamente o estabelecimento de uma


1.7

mesma teoria. A única ocorrência a ser registrada é que num dos sistemas aquilo que é um axioma será o

teorema em outro, e vice versa. Isto poderá ser visto em exemplos bastante notáveis no final do Capítulo

4, capítulo no qual se fala sobre a estrutura dedutiva da Lógica Proposicional.

1.4.5.- Conclusão

Apenas a título de conclusão, podemos afirmar, sem receio de estarmos errados, que: teorias

razoavelmente claras e precisas poderão ser organizadas usando-se apenas o termo de elementos:

“axiomas + definições + teoremas”, enquanto as teorias calcadas em “conceitos intuitivos ou conceitos

primitivos + hipótese + definições + tese ou antítese” devem ser utilizadas quando não se puder recorrer á

axiomatização, que é, a bem da verdade, o que ocorre com a maioria das ciências experimentais4, sejam

elas, humanas ou biológicas.

4 Para Mário Bunge, em seu Dicionário de Filosofia, Editora Perspectiva, 2002, as ciências podem ser divididas em formais e factuais, sendo que a primeira se refere a constructos (exemplos: a Lógica e a Matemática) e a segunda a fatos. As ciências factuais podem ser divididas em: naturais (exemplo: Biologia) , sociais (Economia) e biosociais (Psicologia).



1.8

1.5.- Sumário do Capítulo 1

• Uma Linguagem Formal é constituída por uma Gramática. A Gramática de uma Linguagem Formal deve

prever: (i) a forma de construção correta de suas fórmulas (sentenças), uma sintaxe e (ii) uma forma de

separar as fórmulas quanto a terem sentido, ou não, naquela linguagem, aquilo que se denomina a semântica

da linguagem.

• Sentenças (fórmulas) de uma Linguagem seja ela Natural ou Formal podem ser construídas corretamente sem

ter um significado naquela linguagem. As sentenças: “O aluno José é estudioso” e “O automóvel Ford é

estudioso” são sintaticamente corretas, mas a segunda delas falha quanto ao significado, ela é ambígua, ou

seja, falha no que diz respeito à semântica.

• A compreensão de que os Sistemas Formais são constituídos por uma linguagem formal − uma gramática com

regras sintáticas e a necessidade de uma semântica −, um conjunto de sentenças semanticamente aceitáveis

(axiomas) e um conjunto de regras de derivação, que a partir dos axiomas, se possa obter outras sentenças

(fórmulas) semanticamente aceitáveis naquela linguagem, é fundamental para o estudo da Lógica e de Teorias,

geralmente denominadas, Formais, Científicas, Matemáticas, ou simplesmente “Teorias”, no sentido mais

amplo da palavra.

• São denominadas teorias axiomáticas, aquelas desenvolvidas através do uso de: “linguagem

simbólica + axiomas + regras de inferência + definições + teoremas”, enquanto as teorias calcadas

em “conceitos intuitivos ou conceitos primitivos + hipótese + experimentação (testes de validação de

hipóteses) até chegar-se à tese ou antítese” são denominadas não-axiomáticas.


1.9

1.6.- Trabalhos Experimentais – Capítulo 1

1.- (Experimental) Seja uma linguagem L cujos símbolos são: "&" "|". As expressões-bem-formadas de L são obtidas pelas regras:

(a) "&" e "|" são expressões; (b) qualquer que seja a expressão E de L "E&" e "|E|" são expressões de L. (c) somente as expressões formadas pelas regras (a) e (b) são expressões de L.

Sendo assim, das expressões a seguir, assinale a única expressão que não pertence a L. a) ||&|&| b) &&&& c) ||||&| d) |&|||| e) ||&|&&&|&

2.- (Experimental) Dadas as regras do exercício anterior, verifique se as seguintes afirmativas são verdadeiras:

[1] Se uma sentença S1 de L tem pelo menos um símbolo "|" e um símbolo "&" então o símbolo “|"

ocorre um número ímpar de vezes em S1.

[2] Se uma sentença S2 de L apresenta uma quantidade par de símbolos "|"então pelo menos um

símbolo "&" deve ocorrer em S2.

[3] Se ocorre numa dada expressão S3 de L, a subexpressão ||&| então o número de símbolos "|"

terá que ser ímpar em S3. 3.- (Experimental) Seja o alfabeto de uma linguagem L, formado pelos símbolos a e b. Sejam, ainda, as regras que permitem criar as sentenças em L, dadas por : (i) "a" e "b" são expressões; (ii) qualquer que seja a expressão E de L "Ea" e "bE" são expressões de L. (iii) somente as expressões formadas pelas regras (i) e (ii) são expressões de L. Assim sendo, construa todas as sentenças de L com até 4 letras repetidas ou não do alfabeto de L. 4.- (Experimental) Seja uma Linguagem Formal e suas operações, dadas por: (1) As constantes ( k ) são tanto as 4 primeiras letras minúsculas ( x ) do alfabeto latino, na ordem: a,

b, c, d, a, b, ... , quanto as 4 primeiras letras latinas maiúsculas ( X ), na ordem: A, B, C, D, A, B, ..., sendo que L é sensível ao contexto, isto é: x ≠≠≠≠ X (por exemplo: a ≠ A), somente: k = x, k = X.

(2) Os símbolos de L são os seguintes: (i) ←, ↑, → e ↓: símbolos operacionais unários; (ii) � e �:

símbolos operacionais binários e (iii) ¬ : o símbolo de negação; parênteses (também: parêntesis), colchetes e chaves podem ser usados como separadores para manter a clareza das expressões de L.

(3) Definições das operações unárias e das negações:

D1. ∀k, k← = antecedente(k) D2. ∀k, k→ = sucessor(k)

D3. ∀X, X↓ = x D4. ∀x, x↑ = X D5. ∀x, ¬(x↑) = x D6. ∀x, ¬(X↓) = X

D7. ∀k, ¬(k←) = k→ D8. ∀k, ¬(k→) = k← D9. ∀x, ¬x = X; D10. ∀X,¬X = x



1.10

(4) As fórmulas-bem-formadas de L são dadas pelas seguintes definições recursivas: (i) As constantes acompanhas de símbolos operacionais unários são fórmulas bem formadas (fbfs); (ii) Se φ é uma fórmula bem formada (fbf), então ¬φ também o é; (iii) As fbfs definidas em (i) e (ii) acompanhadas de símbolos operacionais unários são fbfs; (iv) As únicas maneiras de se obter fbfs são as descritas em (i), (ii) e (iii). (5) Definição das operações binárias: (D11 e D12) As operações �, � são tais que, como nos

seguintes exemplos: a � b = B; b � c = C; d � a = D, a � b = A; sempre, de acordo com as tabelas:

� a b c d

a A B C D

b B B C D

c C B C D

d D D D D

� a b c d

a A A A A

b A B B B

c A B C C

d A B C D

Após ter lido o texto acima responda às seguintes questões: Questão 4.1: Caso a sentença seja uma fbf de L assinalar o ‘Sim’ e calcular o seu valor final, caso contrário assinalar o ‘Não’ : (a) Sim ( ) Não ( ) [(B→)↓] = (b) Sim ( ) Não ( ) {[¬(a↑)]→}↓ = (c) Sim ( ) Não ( ) ¬{[(A→)↓]→} = (d) Sim ( ) Não ( ) {[¬(a→)]→} ↑= (e) Sim ( ) Não ( ) { [(a→)←]↑}↑ = (f) Sim ( ) Não ( ) {¬[(¬A)↑] →}↑= Questão 4.2: Resolva, passagem por passagem, as expressões a seguir e verificando se as sentenças resultantes são bem formadas em L:

a) ¬[(c�d)↓]=

b) { ¬[(¬C) �(¬ D)] } ↑=

c) { [(a � b)↓] �[(c � a) ↓]} → =

d) ¬ {[((a→ � b)↓) � d←] ↑} =

e) { [(D↓) � (A→)↓] �(c � a) }

Questão 4.3: Há definições equivalentes em L; há definições conflitantes em L; há definições faltantes em L? A seu ver quais seriam cada uma delas?


10.10.10.10.1111

Capítulo 10 A Construção dos Conjuntos Numéricos

“Para a criatura de educação média de hoje, o ponto de

partida óbvio da matemática seria a seqüência de

números 1, 2, 3, 4, ... etc. Provavelmente apenas pessoas

dotadas de algum conhecimento matemático pensariam

em começar esta seqüência com o 0 e não com o 1. [...] Quanto ao zero, ele constitui acréscimo assaz recente; os

gregos e os romanos não dispunham de tal dígito.”

Bertrand Russel in “Introdução à Filosofia da Matemática”,

Editora Zahar, Rio de Janeiro, 1963.

10.1.- Números e Numerais Os números são entidades abstratas utilizadas para descrever quantidades discretas ou

contínuas. Sabe-se que números e numerais não são a mesma coisa. Os números se referem às

quantidades enquanto os numerais são os símbolos associáveis a estas quantidades.

Os números destinados à contagem − aqueles associáveis às quantidades discretas −, parecem

ser unanimemente os mais difundidos entre os povos desde a mais remota antiguidade. Segundo

Georges Ifrah, autor de “Os Números – a história de uma grande invenção” [Ifrah 1989, pág 18] se

pode encontrar, em muitas línguas, palavras que permitiam exprimir: “um”, “dois”, para em seguida,

passar-se para uma palavra que exprimirá: “muitos”, ou seja, a quantidade “três” ou mais objetos,

naquelas linguagens já seriam considerados “muitos”.

É muito fácil aceitar-se que os números destinados à contagem de objetos do quotidiano

poderiam ser pensados como sendo apresentados numa seqüência onde, mantidas as características

lingüísticas de cada povo, se apresentaria como: “um”, “dois”, “três”, “quatro” e assim por diante,

em se tratando, por exemplo, da língua portuguesa, chegando-se em algum momento à quantidade que

seria referida como “muitos”, o que faria com que esta seqüência passasse a ser, para a maioria das

pessoas, finita.

O que se sabe também, é que o número zero, o “nada”, não era conhecido como numeral nem

pelos gregos nem pelos romanos, tendo surgido historicamente há bem pouco tempo1.

1 Vide: http://en.wikipedia.org/wiki/Numbers_in_various_languages.

Capítulo 10 – Versão 2.0 - Janeiro de 2005 Conjuntos Numéricos

10.10.10.10.2222

10.1.1.- Os Números Naturais

Na Teoria dos Conjuntos de Cantor eles aprecem agrupados num conjunto denominado

apropriadamente Conjunto dos Números Naturais cuja notação, atualmente muitíssimo conhecida, é a

seguinte: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Alguns autores apresentam o conjunto dos números naturais como

sendo: N = {1, 2, 3, 4, ...} – não considerando o zero como número natural, mas um número inteiro.

Isto ocorre em especial, entre aqueles que adotam as concepções intuicionistas, ou por outros, sem

nenhuma explicação, quando isto facilita de alguma forma a exposição de suas teorias. Os axiomas de

Peano, numa versão publicada em 1898 considera o zero como sendo o primeiro dos números naturais,

apesar de, nas versões publicada por ele em 1889 e 1891, a seqüência de números naturais aparecer

iniciada pelo número 1. Uma das forma de frisar que estamos considerando, sem sombra de dúvida, o

zero como número natural é definir este conjunto como: N

Def

= N ∪ {0}, onde o sinal Def

= é lido “igual

por definição”.

10.1.2.- Os Números Naturais e a Correspondência Biunívoca

Utilizando as idéias do Intuicionismo pode-se afirmar que: o conceito de número natural é um

conceito abstrato ligado à possibilidade da criação de famílias de conjuntos onde os elementos

(objetos) dos conjuntos pertencentes àquela família, tomados dois a dois, podem sempre ter seus

elementos colocados em correspondência biunívoca-sobre (correspondência um-a-um com

sobrejeção). Esta família de conjuntos se constitui numa classe de equivalência onde a quantidade de

elementos de qualquer um de seus representantes exprimirá o número de elementos de qualquer outro

dos conjuntos da classe. A abstração, mencionada logo acima, está ligada ao fato que os tipos dos

elementos, cores, tamanhos, espessuras, ou quaisquer outras características, não devem ser levadas em

conta, elas devem ser abstraídas, para que estes elementos, tão somente contáveis, possam ser

colocados em correspondência biunívoca-sobre como átomos, no sentido mais abstrato do termo.

10.1.3.- O Conjunto dos Números Naturais

A Teoria dos Conjuntos, desenvolvida entre 1871 e 1884 por George Cantor, apresentava a

seqüência de números destinados à contagem, os números cardinais, sob a forma de um conjunto

infinito – um conjunto com cardinalidade (quantidade de elementos) igual a ℵ0 (aleph zero) como será

visto mais à frente – denominado Conjunto dos Números Naturais, e ele faz isto de forma não

axiomática, intuitiva. No entanto, como entidade matemática, o Conjunto dos Números Naturais

precisava ganhar uma forma axiomatizada e, assim foi que, em 1888, no livro “Was sind und was

sollen die Zahlen” (“O que são e o que devem ser os números”) o matemático alemão Dedekind que,

em 1872, já havia conseguido mostrar a possibilidade de definir precisamente os números reais a partir


10.10.10.10.3333

dos números inteiros, consegue introduzir o conceito de número natural baseando-se apenas em três

conceitos básicos: (1º) a existência do número 1;

(2º) o fato de todo número ter um sucessor e

(3º) o princípio da indução matemática.

Somente em 1889, a partir das idéias de Dedekind, é que o matemático italiano Giuseppe Peano

(Itália – 1858-1932) estabelece os axiomas da aritmética − cujos axiomas mais conhecidos dizem

respeito à criação axiomática dos Números Naturais.

Peano apresentou a “sua” Teoria Axiomática da Aritmética no livro, escrito em latim, intitulado

“Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita” [Kennedy 1975], obra conhecida também como:

“Princípios de Aritmética”. Neste texto, Peano declara ter utilizado os estudos feitos por Boole,

Schröder, Peirce, Jevons e MacColl, no campo da lógica e menciona ter sido influenciado pelos

trabalhos de Dedekind, reconhecidamente um dos primeiro a propor uma axiomatização bastante

aceitável para a aritmética. Assim, é bom que se registre que a fundamentação do trabalho de Peano foi

buscada nas concepções de Dedekind − fato este reconhecido pelo próprio Peano −, e seja talvez por

isto, que muitos autores prefiram denominar: Axiomas de Dedekind-Peano, os axiomas normalmente

apresentados como sendo Axiomas de Peano.

10.2.- Axiomatização da Aritmética

Há diversas propostas de axiomatização para a aritmética, sendo que elas diferem muito pouco

uma da outra. O primeiro passo de cada uma delas é estabelecer axiomaticamente a forma de criação

do conjunto dos números naturais para, em seguida, enunciar os axiomas que permitem estabelecer o

que sejam as operações de adição e multiplicação.

A Axiomatização da Aritmética proposta por Peano, que é a mais conhecida entre aquelas

propostas quase que simultaneamente por diversos matemáticos entre o final do século XIX e início do

século XX, será apresentada a seguir em três etapas. Nas duas primeiras etapas, são apresentados

somente os axiomas que permitem a criação do conjunto dos números naturais, axiomas estes, que

normalmente são conhecidos simplesmente como Axiomas de Peano − e que estabelecem, frise-se

bem, apenas como se dá a criação do conjunto dos números naturais. Na terceira etapa, será

apresentado o conjunto completo da Axiomatização da Aritmética devido a Peano em uma notação

bastante atual de acordo com a Lógica de Primeira Ordem.

As propostas de axiomatização da aritmética devidas a Peirce, a Dedekind , a Robinson, e

finalmente, aquela devida a Presburger, serão também apresentadas, não na ordem cronológica de

suas criações, mas tão somente numa ordem em que elas possam mostrar-se interessantes em termos

de motivação para futuros estudos pelos mais interessados. Apesar da ordem não cronológica da


10.10.10.10.4444

apresentação destas propostas teóricas, o leitor notará que as datas aproximadas da divulgação de cada

uma delas foi destacada no texto.

10.2.1.- Axiomas de Peano para a Aritmética – Versões de 1889 e 1891

Serão mostradas, a seguir, usando-se uma notação moderna2, as idéias de Peano originalmente

publicadas em 1889 e 1891 [Peano 1958, pág 85], em que o conjunto dos números naturais tem para

primeiro elemento a “unidade”, concepção esta que será modificada, mais tarde.

N representa o conjunto dos números aqui tratados (números naturais) .

O símbolo 1 significa “unidade”.

O símbolo a + 1 significa o sucessor de a, ou: “a mais 1”.

O símbolo = significa “é igual a”

e em seguida enuncia os seus axiomas:

1. 1 ∈∈∈∈ N.

2. Se a ∈∈∈∈ N, a = a.

3. Se a, b ∈∈∈∈ N, a = b se, e somente se, b = a.

4. Se a, b, c ∈∈∈∈ N, a = b, b = c implica a = c.

5. Se a = b e b ∈∈∈∈ N, a ∈∈∈∈ N.

6. Se a ∈∈∈∈ N, então a + 1 ∈∈∈∈ N.

7. Se a, b ∈∈∈∈ N, a = b se, e somente se, a + 1 = b + 1.

8. Se a ∈∈∈∈ N, a + 1 ≠≠≠≠ 1.

9. Se K é um conjunto qualquer3, 1∈∈∈∈K, e se para x∈∈∈∈N e x∈∈∈∈K, implica (x+1)∈∈∈∈K, então N⊂⊂⊂⊂K.

Estes 9 (nove) axiomas são seguidos das seguintes definições: 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, ..., e de

alguns teoremas, como por exemplo: 2 ∈ N, 3 ∈ N etc.

Ainda, como definição apresentada no texto de Peano, ocorre a seguinte:

Se a, b ∈∈∈∈ N, a + (b + 1) = (a +b) + 1.

cujo significado é: se a e b são números então “a + (b + 1)” é o mesmo que: “(a + b) + 1 é o

sucessor de a + b”. Veja que isto permite escrever para qualquer a ∈ N, que:

a + 2 = (a + 1) + 1; a + 3 = (a + 2) + 1 = ((a + 1) + 1) + 1 e assim por diante.

2 Modernamente, não é comum encontrar-se os axiomas de Peano em sua notação original, sendo que, normalmente, cada autor escolhe a notação que melhor se adapte ao texto em que estes axiomas estão sendo expostos. 3 Note que este axioma não afirma diretamente que N=K, pois K pode possuir outros elementos que não sejam números naturais. Pense sobre isto.


10.10.10.10.5555

Entre os teoremas enunciados e provados por Peano estão os seguintes:

1. Se a, b ∈∈∈∈ N, a + b ∈∈∈∈ N.

2. Se a, b, c ∈∈∈∈ N, a = b se, e somente se, a + c = b + c.

3. Se a, b, c ∈∈∈∈ N, a + (b + c) = (a + b) + c.

4. Se a ∈∈∈∈ N, 1 + a = a + 1.

5. Se a, b ∈∈∈∈ N, a + b = b + a.

Peano definiu a multiplicação da seguinte forma:

1. a ∈∈∈∈ N, a ×××× 1 = a

2. a, b ∈∈∈∈ N, a ×××× (b + 1) = (a ×××× b) + 1

10.2.2.- Axiomas de Peano para a Aritmética – Versão de 1898

A partir de 1898 Peano apresenta os axiomas de sua aritmética, reformulados, para fazer com

que o zero passe a fazer parte do conjunto dos números naturais [Peano 1959, pág 216]. Vejamos, esta

nova formulação a seguir, a partir dos seus entes fundamentais:

(1) o número zero −−−− cujo símbolo será: “0”;

(2) a unidade −−−− cujo símbolo será: “1”;

(3) o conceito de variável numérica ou número −−−− usando-se para representá-los as letras minúsculas do alfabeto latino: m, n e p;

(4) o conceito de igualdade, cujo símbolo será: “=”;

(5) o conceito de adição;

(6) o conceito de “sucessivo de” ou “sucessor de” −−−− simbolicamente expresso como: Suc(n) = n + 1 (originalmente adotado como n+ = n + 1) ;

(7) o conceito de conjunto e o de pertinência de elemento a conjunto;

(8) cinco axiomas que são os seguintes:

1o) O zero é um número natural.

2o) Todo número natural n tem um único sucessor: Suc(n) = n + 1.

3o) Se Suc(m) = Suc(p) então m = p.

4o) Para todo número natural n, Suc(n) ≠≠≠≠ 0;

ou seja: o zero não é sucessor de nenhum número natural.

5o) Se M é um subconjunto de N (conjunto dos números naturais), tal que

se 0 ∈∈∈∈M e Suc(p)∈∈∈∈M sempre que p∈∈∈∈M, então M = N.


10.10.10.10.6666

Desta forma, fica estabelecido de maneira única, sem que possa haver ambigüidades ou

contradições, o que seja o conjunto dos números naturais:

N = { 0, 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, ..., n, Suc(n), Suc(n) + 1, ...}

que, na medida em que venhamos a reconhecer a correspondência entre os numerais hindu-arábicos e

estas adições: como por exemplo: 1 + 1 = 2 , 1 + 1 + 1 = 3; 1 + 1+ 1 + 1 = 4 e assim por diante pode

ser escrito como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10, 11, ...} que é um conjunto infinito cuja quantidade

de elementos, ou seja, a cardinalidade é representada pela letra aleph (ℵ) do alfabeto hebreu, indexada

pelo número zero: ℵ0 cuja leitura é “aleph zero”. Um estudo mais detalhado sobre a cardinalidade de

conjunto infinitos, também ditos, transfinitos, será retomado mais à frente neste capítulo.

10.2.3.- A Aritmética de Peano de acordo com a Lógica de Primeira Ordem

Denomina-se Aritmética de Peano, à formulação da aritmética dos números naturais

estabelecida pelo conjunto de axiomas devido a Peano.

Vamos apresentar a seguir os entes fundamentais (símbolos: constantes, variáveis, função,

operadores, conectivos e símbolo predicativo) da teoria e em seguida os axiomas da Aritmética de

Peano.

10.2.3.1.- Os entes fundamentais da Aritmética de Peano

São símbolos da aritmética conhecida por Aritmética de Peano o P-aritmética ou Aritmética-

P, os seguintes:

(i) ‘0’ para representar o ‘número zero’ (constante) e ‘x’ e ‘y’ para representar um número natural qualquer (uma variável);

(ii) ‘s(x)’ para representar o ‘sucessor do número natural x’ (função);

(iii) ‘+’ para representar a ‘adição’ (operação binária);

(iv) ’××××’ para representar a ‘multiplicação’ (operação binária);

(v) ‘<’ para representar ‘menor do que’ (relação de ordem);

(vi) ‘=’ para representar a igualdade (relação de igualdade);

(vii) ‘ϕϕϕϕ(x)’ representa uma ‘propriedade ϕϕϕϕ’ da ‘variável x’ (função predicativa).

Neste sistema 1 = s(0), 2 = s(s(0)), 3 = s(s(s(0)) e assim por diante.


10.10.10.10.7777

10.2.3.2.- Os Axiomas da Aritmética de Peano

1. (∀∀∀∀x) (s(x) = x + 1)

2. (∀∀∀∀x) ¬¬¬¬(s(x) = 0) ou ¬¬¬¬∃∃∃∃x, s(x) = 0 zero não é sucessor de nenhum natural

3. (∀∀∀∀x, y) (s(x) = s(y) ⇒⇒⇒⇒ x = y)

4. (∀∀∀∀x) (x + 0 = x) zero: elemento neutro da adição

5. (∀∀∀∀x, y) (x + s(y) = s(x + y))

6. (∀∀∀∀x) (x ×××× 0 = 0) zero: elemento nulo da multiplicação

7. (∀∀∀∀x) (x ×××× 1 = x) um: elemento neutro da multiplicação

8. (∀∀∀∀x, y) (x ×××× s(y) = x ×××× y + x)

9. (∀∀∀∀x) ¬¬¬¬(x < 0)

10. (∀∀∀∀x, y) (x < s(y) ⇔⇔⇔⇔ (x < y) ∨∨∨∨ (x = y))

11. (ϕϕϕϕ(0) ∧∧∧∧ ∀∀∀∀x (ϕϕϕϕ(x) →→→→ ϕϕϕϕ(s(x))) ⇒⇒⇒⇒ ∀∀∀∀x ( ϕϕϕϕ(x) )

O leitor irá perceber que os 11 axiomas contemplam praticamente tudo o que se sabe sobre a

adição e a multiplicação de números naturais e suas propriedades. Cabe ainda nota que os axiomas 2 e

9 são praticamente equivalentes, a menos dos conceitos envolvidos, respectivamente, o de sucessor e o

da relação de ordem menor do que.

10.2.4.- A Aritmética de Charles S. Peirce - 1881

Charles Sanders Peirce (1839-1914), filósofo americano, matemático e cientista, foi juntamente

com William James (1842-1910), um dos fundadores do Pragmatismo − uma corrente filosófica que

pregava que a validade de uma doutrina é determinada pelo seu bom êxito prático. Tornou-se também

notável, entre outras coisas, pelas suas numerosas e importantes contribuições feitas no campo da

Lógica. Um exemplo destas contribuições é a sua aritmética, apresentada em 1881 em um artigo

intitulado “On the Logic of Number” e publicada no prestigioso American Journal of Mathematics. A

aritmética de Pierce não é axiomática, mas é citada por Peano como tendo influenciado o seu trabalho.

Nesta aritmética, Peirce toma como definidos os conceitos que, mais tarde, serão apresentados como

axiomas por Dedekind e Peano.

Vejamos a seguir alguns pequenos trechos do artigo de Pierce intitulado “On the logic of

Numbers” (Sobre a Lógica dos Números) que poderá ser encontrado em sua versão integral em inglês

e também traduzida para o espanhol no site: http://www.unav.es/gep/Peirce-esp.html. Neste site o

leitor poderá encontrar uma série bastante completa dos artigos publicados por ele, alguns no original,

em inglês, e muitos deles traduzidos para o espanhol.


10.10.10.10.8888

Sobre a Lógica do Número (On The Logic of Number)

Charles S. Peirce

Nada pode colocar em dúvida as propriedades elementares concernentes aos números: as que

não são automaticamente tomadas como verdadeiras à primeira vista, podem ser verificadas mediantes

formas usuais de demonstração. [ ...4 ]

• Quantidades Semi-Infinitas

Agora passaremos a estudar as proposições fundamentais sobre as quantidades semi-infinitas,

discretas e simples, que são os números usuais.

• Definições

o O número mínimo se denomina um.

o Por “x + y” se entende: para x = 1, “o sucessor imediato de y”; e nos demais casos, o

sucessor imediato de “x’ + y”, onde x’ é o antecessor imediato de x.

o Por “x × y” se entende, no caso de x = 1, o número y; e nos outros casos ” y + x’× y”

onde x’ é o antecessor imediato de x.

• Teoremas

(Nota: no texto do artigo de Peirce, após o enunciado de cada teorema, segue a demonstração)

Em todos os casos, a prova dos teoremas consiste em mostrar primeiramente, que a proposição

é verdadeira para o número um, e em seguida que, ao considerar que é verdade para o número n,

mostrar que, a partir disto, é verdadeira para o número 1+n, o sucessor imediato de n. Cada

transformação, destinada a provar os teoremas, é apresentada linha por linha, paralelamente à

justificativa teórica para a mesma5.

1.- Provar a lei associativa da adição. ((x + y) + z = x + (y + z).

2.- Provar a comutatividade da adição: x + y = y + x.

3.- Provar a lei distributiva (primeiro caso): (x + y) z = xz + yz.

4.- Provar a lei distributiva (primeiro caso): x(y + z) = xy + xz.

5.- provar a lei associativa da multiplicação: (xy)z = x(yz).

6.- Provar a comutatividade da multiplicação xy = yx. [ ... 6]

4 Peirce introduz aqui os conceitos de quantidade simples e quantidade discreta para somente então introduzir o conceito de quantidade semi-infinita. 5 Nota: no texto do artigo de Peirce, após o enunciado de cada teorema, segue a demonstração. 6 O artigo de Peirce continua apresentando as noções intituladas “Quantidade discreta simples infinita em ambos os sentidos” em que o zero e os números negativos são apresentados, e “Quantidade discreta simples limitada” onde ele entra no campo da mais completa abstração, que não vem ao caso analisar neste nosso texto.


10.10.10.10.9999

10.2.5.- A Aritmética de Dedekind - 1888

Em alguns textos (e isto vem se tornando bastante raro) pode-se encontrar ao invés do zero, o

número 1 como sendo a base para os axiomas de Peano e, em alguns outros casos específicos, como na

Aritmética de Dedekind, a seguir apresentada, o número 1 é considerado o primeiro número natural.

Neste caso, o conjunto dos números naturais passa a ser adotado como: N = {1, 2, 3, 4,...} cuja

conseqüência será a seguinte: deixa de existir o elemento neutro para a adição em N, isto é:

“∀∀∀∀x∈∈∈∈ NNNN, ∃∃∃∃e∈∈∈∈ NNNN, x + e = x ⇒⇒⇒⇒ e = 0∈∈∈∈ NNNN”

e este seria um axioma que teria que ser descartado, no caso de 1∉N.

Neste caso, o da não adoção do zero como o primeiro número natural, faria com que ele

somente “tivesse que ser introduzido” quando fosse introduzida a operação inversa da adição (a

subtração) visando permitir a criação do conjunto dos números inteiros (Z), quando então seria

introduzido aquele axioma, agora com novo enunciado:

“∀∀∀∀a∈∈∈∈ZZZZ ∀∀∀∀b∈∈∈∈ ZZZZ,,,, a – b∈∈∈∈ ZZZZ”,

a partir do qual, ao se entender que para a = b, teríamos que ter como conseqüência:

“∀∀∀∀a∈∈∈∈ ZZZZ, a – a = 0∈∈∈∈ ZZZZ” ” ” ” ou “∀∀∀∀x∈∈∈∈ZZZZ, ∃∃∃∃e∈∈∈∈ ZZZZ, x + e = x ⇒⇒⇒⇒ e = 0”....

Mas vamos à Aritmética de Dedekind. Em 1888, Julius Willhelm Richard Dedekind (1831-

1916) publica o livro “Was sind und was sollen die Zahlen” (“O que são e o que devem ser os

números”), neste texto Dedekind afirma que objetos são algo sobre os quais se pode pensar e

denomina classes, às coleções de objetos, que também são considerados como sendo objetos.

Dedekind vai mostrar a possibilidade da existência de classes infinitas, afirmando algo como:

“se s é um pensamento que eu tenho, então supondo que s' é um pensamento sobre o

meu pensamento s, e assim por diante, chega-se à conclusão que há um número infinito

de possíveis pensamentos, e assim à da existência de classes infinitas”.

Tomando, como absolutamente fundamental ao pensamento humano, o conceito de

correspondência biunívoca, Dedekind vai definir da seguinte maneira: “Uma classe A é dita infinita,

se e somente se, existe uma relação um-a-um f: A→ A tal que f(A) ≠ A”. Ainda afirma que: “A é uma

classe simplesmente infinita se, e somente se, A – f(A) tem um único objeto “a” naquela classe, que

gera A”.

Dedekind ainda mostrou que toda classe A, simplesmente infinita, possui como subclasse, uma

outra classe B, simplesmente infinita. Combinando isto com a prova de que existem classes infinitas,

nós temos uma prova de que existem infinitas classes simplesmente infinitas. Ao afirmar que


10.10.10.10.10101010

quaisquer duas classes simplesmente infinitas são isomorfas7, Dedekind irá mostrar por abstração, que

de uma classe simplesmente infinita pode-se obter a classe dos números naturais.

10.2.5.1.- Os Axiomas de Dedekind A criação dos Números Naturais e as Operações Elementares

A Aritmética de Dedekind, que numa primeira leitura sempre parece bastante abstrata, será

aqui mostrada sem o formalismo que lhe é peculiar. Não iremos aqui desenvolver, nem mesmo

demonstrar nada formalmente, mas tão somente elencar, sob a forma de uma série de tópicos,

acrescidos de explicações e exemplos, os conceitos fundamentais e algumas definições relevantes.

Permite-nos isto, a função deste texto, o de divulgar os conceitos, dentro de um nível assimilável pelo

leitor.

A Aritmética de Dedekind

São, basicamente, as seguintes, as idéias da Aritmética de Dedekind:

• Seja 1 o primeiro número natural, aquele que irá gerar a classe N (dos números naturais). • Seja n’ o sucessor de n adotando-se a notação n’= f(n).

• No nosso texto, vamos utilizar n’ = f(n) = n + 1, isto nos permitirá escrever: f(n’) = f(n+1) =

(n+1) + 1, se necessário.

• Se o nível de abstração exigido for tal que não nos seja permitido utilizar os numerais

hindu-arábicos para representar a seqüência: 1, 2, 3, 4, 5, etc, dos números naturais, para

escrever N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}, só nos restará escrever: N = { 1, 1’, (1’)’, ((1’)’)’, ...}.

• Seja considerar as subclasses Nm, que serão denominadas classes finitas de números

naturais geradas por 1, tais que: n ≤ m,.

• Seja considerar as classes infinitas, sendo que N≥m é uma classe infinita gerada por m, tais

que: N≥m = { m, m’, (m’)’, ((m’)’)’, ...} que para m = 1, é a própria N.

• Seja definir a ordem < dos números naturais como: m < n se, e somente se, a classe infinita

gerada por n é uma subclasse m’ da classe gerada por m, isto é: “ N≥n ⊂ N≥m’ “, deixando

de lado a abstração que será exigida, adotaremos aqui, os numerais hindu-arábicos, somente

para dar um exemplo:

4 < 8 , pois: N≥8 = { 8, 9, 10, ... } ⊂ N≥4’ = N≥5 = {5, 6, 7, 8, 9, 10, ... }.

A partir da idéia de “sucessor de 1”, e “sucessor do sucessor de 1” etc, um importante

conceito é introduzido em seguida, o conceito de definição por recorrência ou por

recursão:

7Morfismo: processo de transformação de um conjunto sobre outro que não altera as operações definidas em ambos.

Isomorfismo: morfismo cuja aplicação é bijetora; correspondência biunívoca entre os elementos de dois grupos, que


10.10.10.10.11111111

Dada a classe A e qualquer função θ : A→ A, e dado um objeto a, a∈A,

Dedekind prova que existirá uma única função f satisfazendo:

f(1) = a e f(n’) = θ(f(n)) .

Colocado sob a forma de teorema, ele deverá ser provado utilizando-se o

Princípio de Indução Finita:

Teorema:

Seja a um elemento de um conjunto não vazio A, seja θ uma função de A em A, e seja m um número natural, então existe uma única função f: Nm → A tal que:

a) f(m) = a;

b) f(n+1) = θ(f(n)), para todo número natural n ≥ m.

�� Nota: Este Teorema não será provado aqui, mas o leitor interessado encontrará nas páginas de 78 a 80 do livro Elementos de Álgebra de Luiz Henrique Jacy Monteiro [Monteiro 1969] uma sugestiva prova para ele.

Cabe notar aqui que a função f é única, mas a função θ poderá ser qualquer.

Vejamos, através de exemplos, como isto funciona:

Aplicação do conceito de

Definição por Recursão

Exemplo 1:

Se θθθθ(a) = a + 1

Exemplo 2:

Se θθθθ(a) = 2a

Exemplo 3:

Se θθθθ(a) = an

f(1) = a f(1) = a f(1) = a f(1) = a

f(2) = f(1’) = θ( f(1)) = θ(a) f(2) = a + 1 f(2) = 2a f(2) = a2

f(3) = f(2’) = θ( f(2) ) = θ(θ (a)) f(3) = a + 2 f(3) = 4a f(3) = a3

f(4) = f(4’) = θ(f(3)) = θ(θ(θ (a))) f(4) = a + 3 f(4) = 8a f(4) = a4

... ... ... ...

• Examinando os exemplos apresentados acima, verificamos que poderíamos provar a

unicidade da função f (o que será feito logo a seguir, no item 10.1.2.2.), mostrando, que

para cada número natural m, existe uma única função fm: Nm→ A, onde Nm é uma classe de

números naturais tais que: n ≤ m, que satisfaz: fm(1) = a; fm(n’) = θ(fm(n)) para qualquer n <

m.

preserva as operações de ambos.


10.10.10.10.12121212

• Finalmente, Dedekind, definirá: f(m) = fm(m), e munido desta definição ele passará a

definir as operações aritméticas elementares.

• Para cada número inteiro m, ele considera a função gm: N → N tal que: gm(1) = m’ e gm(n’)

= (gm(n))’, e define a adição como: m + n = gm(n).

• A partir disto pode-se provar que a adição fica totalmente caracterizada pela seguinte

fórmula recursiva:

+=+

=+

)'yx('yx

'x1x

• A multiplicação ficam bem determinada pelas seguintes propriedades, que a tomam como

uma adição parcelas iguais, tantas quantas for o valor do multiplicador, que também é uma

fórmula recursiva:

+×=×

=×

x)yx('yx

x1x

• A potenciação é definida, recursivamente, mas em função da multiplicação, como:

×=

=

x)x()x(

xxy'y

1

• E ainda, através de indução, as seguintes leis são provadas por Dedekind:

� x + y = y + x

� x + (y + z) = (x + y) + z

� x ×××× y = y ×××× x

� x ×××× (y ×××× z) = (x ×××× y) ×××× z

� x ×××× (y + z) = (x ×××× y) + (x ×××× z)

� (x ×××× z)y = (xy) ×××× (zy)

� xy+z = xy ×××× xz

� (xy)z = xy××××z

O leitor atento pôde comprovar, obviamente, que os conceitos sobre os números inteiros

estabelecidos por Dedekind são muito mais abstratos que aqueles estabelecidos por Peano, no

entanto, cabe lembrar mais uma vez, que as idéias de Peano foram baseadas nas de Dedekind.


10.10.10.10.13131313

10.2.6.- A Aritmética Raphael M. Robinson - 1950

A aritmética proposta por Raphael M. Robinson, denominada por Mendelson [Mendelson

1997] Sistema RR ou ainda Sistema Q, é um sistema que possui um número finito de axiomas. A

aritmética de Peano-Dedekind, por outro lado, é tida como uma estrutura axiomática infinita, na

medida em que o Axioma da Indução é um esquema axiomático8. A aritmética de Robinson não possui

nenhum axioma que permita a indução matemática.

A Aritmética de Robinson ou a Teoria Q como também é conhecida esta aritmética, pode ser

considerada como uma subteoria da Aritmética de Peano, ou seja, todos os axiomas e teoremas da

Teoria Q são também, ou um axioma ou um teorema da outra, mas não o contrário.

Na Aritmética do Sistema Q deve-se abstrair totalmente o conceito de numeral, ou seja, deve-se

desconsiderar a concepção de que a quantidade deva estar ligada diretamente a um símbolo − o

numeral.

Na Aritmética Q apenas o zero é explicitado, mesmo assim, este nome representa apenas algo

num dado domínio, e a função “sucessor imediato de” nunca deverá ser utilizada para, através da

sentença: “sucessor imediato de 0”, ou seja s(0), encontrar-se o numeral “1” pois ele não é um símbolo

da linguagem, como na linguagem formal na qual são expressos os axiomas de Peano. Na verdade, a

nossa seqüência de símbolos relativos à quantidade deverão ser: 0, s(0), ss(0), sss(0), ssss(0), e assim

por diante, indefinidamente.

Vejamos quais são os entes fundamentais e, portanto, não definidos da linguagem através da

qual iremos expor o Sistema Q:

0 : é uma constante ou símbolo cuja finalidade é representar, se necessário, o

número (valor ou quantidade) zero;

s : é o símbolo de uma função unária ou um símbolo predicativo unário cuja

finalidade é denotar a função “sucessor imediato de”;

+ : é o símbolo de uma função binária cuja finalidade é denotar a função adição;

¥ : é o símbolo de uma função binária cuja finalidade é denotar a função

multiplicação;


10.10.10.10.14141414

os parêntesis serão utilizados para tornar as sentenças mais legíveis.

Vejamos agora os axiomas:

1. ∀∀∀∀x∀∀∀∀y( x ≠≠≠≠ y →→→→ s(x) = s(y) )

Significado: a função “sucessor imediato de” é uma função um-a-um sobrejetora (biunívoca-sobre ou bijetora e sobrejetora), se x e y são distintos, eles possuem sucessores imediatos distintos.

2. ∀∀∀∀x( 0 ≠≠≠≠ s(x) )

Significado: o símbolo 0 não é sucessor de nenhum outro.

3. ∀∀∀∀x( x ≠≠≠≠ 0 →→→→ ∃∃∃∃y, x = s(y) )

Significado: qualquer x que não seja o 0 tem sucessor.

4. ∀∀∀∀x( x + 0 = x )

5. ∀∀∀∀x∀∀∀∀y( x + s(y) = s(x + y) )

Significados: os axiomas 4 e 5 fornecem uma forma recursiva de se obter a adição.

6. ∀∀∀∀x( x ¥ 0 = 0 )

7. ∀∀∀∀x∀∀∀∀y( x ¥ s(y) = x ¥ y + y )

Significados: os axiomas 6 e 7 fornecem uma forma recursiva de se obter a multiplicação, mostrando que a multiplicação se reduz a um processo de adições iteradas ou repetidas.

Apenas por uma questão de legibilidade, ou para facilitar o entendimento, pode-se adotar,

às vezes, o seguinte: s(0) como 1; ss(0) como 2; e em geral uma cadeia sss...s(0) com n símbolos

funcionais s, como n. No entanto não se deve perder de vista que 0, s(0), ss(0), sss(0), etc devem

ser tomados no estrito sentido da função s, ou seja, que o sintagma9 “sucessor imediato de”, deve

ser usado no estrito significado que ele possa ter numa linguagem usual.

NOTA:

Deve-se notar que os axiomas acima, como estão propostos, só serão satisfeitos, como um todo,

para um domínio com infinitos elementos. Mas vamos tecer, a seguir, alguns comentários para os

quais solicitamos a atenção do leitor mais atento e interessado:

8 Esquema axiomático ou axioma-esquema é um axioma que mediante a regra de inferência denominada Substituição pode ser transformado em infinitos axiomas. 9 Sintagma: unidades da língua que se encontram contíguas na cadeia da fala e não podem se entendidas separadamente, pois a contigüidade acaba por formar uma expressão que passa a ter significado distinto de cada um de seus componentes lingüísticos; grupo de unidades lingüísticas significativas, que formam uma unidade indissociável. Veja como exemplo o sintagma: dona de casa.


10.10.10.10.15151515

Comentários:

Tomemos, como exemplo, uma estrutura finita composta apenas pelos elementos do conjunto

{0, 1}, ela não teria como atender a todos os axiomas, mas poderíamos criar uma aritmética em que

alguns dos axiomas ao serem violados, seriam excluídos do sistema de axiomas, como por exemplo, o

axioma 2. Vamos definir, por exemplo: s(0) =1 e s(1) = 0. Você seria capaz de dizer quais os outros

axiomas violados a partir destas definições? Teríamos neste caso, uma aritmética?

Veja agora, o caso de um relógio analógico (aquele com ponteiros e numerais e 1 até 12).

Vamos supor, inicialmente, que o 12, seja o símbolo para “zero” nesta aritmética, veja que teríamos

s(12) = 1, s(1) = 2, e assim sucessivamente até s(11) = 12. Aqui teríamos o problema de adotar o 12

novamente como “zero” ou então adotá-lo como 12 e, continuar, fazendo s(12) =13; s(13) = 14, ..., até

s(23) = 12 = 0. A complexidade desta aritmética estaria ligada a sabermos se o 12 seria o “zero” ou

seria o próprio 12. Isto ficaria, está claro, por conta de sabermos se seria dia ou noite. Cabe agora

verificarmos quais os axiomas que seriam violados por esta aritmética quando comparada à Aritmética

engendrada pelo Sistema Q. Isto deve ser um exercício bastante interessante para aqueles que possuam

um espírito de pesquisador em matemática.

Os axiomas do sistema Q, sistema este, devido a Raphael M. Robinson aparecem em

Mendelson [Mendelson 1997] enunciados da seguinte forma:

1. x = x

2. x = y ⇒⇒⇒⇒ y = x

3. x = y ⇒⇒⇒⇒ (y = z ⇒⇒⇒⇒ x = z)

4. x = y ⇒⇒⇒⇒ x' = y' ou x = y ⇒⇒⇒⇒ s(x) = s(y)

5. x = y ⇒⇒⇒⇒ (x + z = y + z ∧∧∧∧ z + x = z + y)

6. x = y ⇒⇒⇒⇒ (x . z = y . z ∧∧∧∧ z . x = z . y)

7. x' = y' ⇒⇒⇒⇒ x = y ou s(x) = s( y) ⇒⇒⇒⇒ x = y

8. 0 ≠ x' ou 0 ≠≠≠≠ s(x)

9. x ≠ 0 ⇒⇒⇒⇒ (∃∃∃∃y)(x = y') ou x ≠ 0 ⇒⇒⇒⇒ (∃∃∃∃y)( x = s(y) )

10. x + 0 = x

11. x + y' = (x + y)' ou x +s(y) = s( x + y)

12. x . 0 = 0

13. x . y' = (x . y) + x ou x . s(y) = ( x . y ) + x

Este conjunto de axiomas foi modificado por Mendelson pelo acréscimos de mais um axioma,

para permitir as exposições pretendidas em seu livro [Mendelson 1997]:


10.10.10.10.16161616

14. (x = (x1 . x2) + y ∧∧∧∧ y < x1) ∧∧∧∧ (x = (x1 . x3) + z ∧∧∧∧ z < x1) ⇒⇒⇒⇒ y = z

A maior curiosidade sobre o Sistema Q, devido a Raphael M. Robinson, é que existem

propriedades que podendo ser provadas na Aritmética de Peano, não o podem ser na Aritmética de

Robinson, porque esta aritmética não adota entre seus axiomas o princípio da indução matemática,

como exemplo destes não-teoremas em Q, temos os seguintes:

(∀∀∀∀x)(∀∀∀∀y ) ( x + y = y + x )

(∀∀∀∀x)(∀∀∀∀y ) ( x ��y = y �x)

(∀∀∀∀x)((y)((z) ( (x + y) + z = x + (y + z) )

((x)((y)((z) ( x.(y + z) = (x.y) + (x.z) )

Outra idéia bastante interessante sobre a Aritmética Q de Robinson, é encontrada no livro

“Handbook of Proof Theory” editado por S. R. Buss [Buss 1998], citada aqui como introduzida não

somente por Robinson, mas também por Tarski e Mostowski [Tarski, Mostowski & Robinson 1953],

cujos axiomas básicos são sete, sendo que um oitavo axioma, o da relação de desigualdade ( ( ), foi

acrescentado pelo próprio Buss [Buss 1998], naquela aritmética. São estes oito axiomas, sendo que

nenhum deles é um axioma esquemático. Os axiomas são os seguintes:

1. ((x)((Sx ( 0)

2. ((x)((y)( Sx = Sy ( x = y )

3. ((x)(x ( 0 ( ((y) (Sy = x) )

4. (∀∀∀∀x)(x + 0 = x )

5. (∀∀∀∀x) (∀∀∀∀y)( x + Sy = S(x + y) )

6. (∀∀∀∀x)(x ¥ 0 = x )

7. (∀∀∀∀x)(x ¥ Sy = x ¥ y + x)

8. (∀∀∀∀x) (∀∀∀∀y)( ( x ≤≤≤≤ y ) ⇔⇔⇔⇔ (∃∃∃∃z) ( x + z = y) )

Ainda em [Buss 1998], pode-se encontrar uma outra axiomatização para a aritmética, ainda

mais forte que o anterior, devida a Robinson, Tarski e Mostowski [Tarski, Mostowski & Robinson

1953], constituída por um conjunto de axiomas esquemas e, portanto, uma axiomatização com infinitos

axiomas. Ele considera que a ≤ b é uma escrita abreviada para (∃c) (a + c = b), onde 0≤ c < n, a=Sa0 e

b=Sb0, e enuncia os seguintes axiomas esquemas, onde Sn0 indica o n-ésimo sucessor de zero.


10.10.10.10.17171717

1. Sm0 ≠≠≠≠ Sn0 para todo 0 ≤≤≤≤ m < n

2. Sm0 + Sn0 = Sm+n0 para todo m ≥≥≥≥ e n ≥≥≥≥ 0

3. Sm0 ¥ Sn0 = Sm¥n0 para todo m ≥≥≥≥ 0 e n ≥≥≥≥ 0

4. (∀∀∀∀x) (x ≤≤≤≤ Sm0 ∨∨∨∨ Sm0 ≤≤≤≤ x) para todo m ≥≥≥≥ 0

5. (∀∀∀∀x) (x ≤≤≤≤ Sm0 ⇔⇔⇔⇔ x = 0 ∨∨∨∨ x = S0 ∨∨∨∨ x = S20 ∨∨∨∨ ... ∨∨∨∨ x = Sm0) para todo m ≥≥≥≥ 0

Comentário:

Acreditamos que o leitor possa observar, a partir destes diversos exemplos de axiomatização da

aritmética, a fertilidade das idéias matemáticas surgidas ao longo do século XX a partir das tentativas

de logicização e da axiomatização desta ciência. Todos estes exemplos que foram aqui apresentados,

servem ainda para mostrar que a matemática é uma ciência em constante evolução, e porque não dizer,

ebulição, e que muito pouco desta criatividade chega até os bancos escolares.

Outra formulação para os axiomas da Teoria Q que, no entanto, continua exatamente

equivalente às anteriores, pode incluir axiomas relativos à potenciação (cuja notação será “E”

significando “expoente” ou “elevado a”), como a seguir poderá ser visto:

(Q1) (∀∀∀∀x) ¬¬¬¬ x = 0

(Q2) (∀∀∀∀x)(∀∀∀∀y ) (sx = sy →→→→ x = y)

(Q3) ((x) (x + 0) = x

(Q4) ((x)((y) ( x + sy = s(x + y)

(Q5) ((x) (x •••• 0) = 0

(Q6) (∀∀∀∀x)((y) (x ( sy) = ((x ( y) + x)

(Q7) ((x) (xE0) = s0

(Q8) ((x)((y) (xEsy) = ((xEy) ( x)

(Q9) (∀∀∀∀x) ¬¬¬¬ x < 0

(Q10) (∀∀∀∀x)(∀∀∀∀y) ( (x < sy) ↔↔↔↔ ((x < y ∨∨∨∨ x = y) )

(Q11) (∀∀∀∀x)(∀∀∀∀y) ( (x < y) ↔↔↔↔ ((x = y ∨∨∨∨ y < x) )

Continua aqui o problema da impossibilidade de se derivar destes axiomas as propriedades

comutativas tanto da adição como da multiplicação, por exemplo.


10.10.10.10.18181818

10.2.7- A Aritmética Presburger - 1929

A aritmética que iremos apresentar a seguir foi criada em 1929 por Mojzesz Presburger e é de

grande interesse para os pesquisadores de matemática computacional.

A aritmética de Presburger considera apenas a adição de números naturais, não envolvendo a

multiplicação. A Aritmética de Presburger é completa e consistente. Presburger provou que a sua

aritmética não contém contradições (é consistente) e completa (todas as fórmulas desta teoria podem

ser provadas não havendo nenhuma fórmula que deva ser tomada como conjectura). A teoria de

Presburger é interessante na medida em que ela é decidível; ao contrário da Aritmética de Peano, ela

admite um algoritmo que permite decidir se uma fórmula-bem-formada desta teoria é, ou não,

verdadeira [Presburger 1929].

Axiomas da Aritmética de Presburger:

1. ∀∀∀∀x : ¬¬¬¬( 0 = x + 1) Existência do zero (e do 1)

2. ∀∀∀∀x ∀∀∀∀y : (x = y) ⇒⇒⇒⇒ (x + 1 = y + 1) Preservação da Igualdade

3. ∀∀∀∀x : x + 0 = x Elemento identidade aditiva

4. ∀∀∀∀x ∀∀∀∀y : (x + y) + 1 = x + (y + 1) Associatividade

5. [ P(0) ∧∧∧∧∀∀∀∀x : P(x) ⇒⇒⇒⇒ P(x + 1) ] ( (x : P(x) Indução (axioma-esquema)

A seguir iremos dar dois exemplos de teoremas que pode ser provado utilizando-se estes cinco

axiomas da Aritmética de Presburger:

Teorema 1:

∀∀∀∀x : ¬¬¬¬ (x = 1) ⇒⇒⇒⇒ ∃∃∃∃y ∃∃∃∃z : ( x = y + z)

Teorema2:

∀∀∀∀x ∀∀∀∀y : ∃∃∃∃z : x + z = y + 1 ⇒⇒⇒⇒ ∀∀∀∀z :¬¬¬¬ [ ( (1 + y) + 1 ) + z = x ]

� Notar que: o Teorema 2 pode ser reescrito como “ Se x ≤≤≤≤ y + 1 então y + 2 > x”


10.10.10.10.19191919

10.3.- Sobre a criação do Conjunto dos Números Inteiros

Podemos resumir o que foi estudado até aqui, da seguinte forma:

(1) consideraremos o zero como um número natural, logo:

N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}

quando isto não estiver suficientemente claro poderemos escrever que: N = N ∪ {0}; e

N *= {1, 2, 3, 4,...},

onde o asterisco indicará sempre a supressão do elemento zero em um qualquer conjunto,

(2) a adição e multiplicação são operações em N, isto é, a adição e a multiplicação são internas

ou são fechadas (veja axioma do fechamento a seguir) com relação a N;

(3) a adição e a multiplicação em N possuem as seguintes propriedades:

Fechamento da Adição ∀a∈N ∀b∈N, (a + b)∈N

Comutatividade da Adição ∀a∈N ∀b∈N, a + b = b + a

Lei do Cancelamento da adição ∀a∈N ∀b∈N ∀c∈N, a + b = a + c ⇒ b = c

Associatividade da Adição ∀a∈N ∀b∈N ∀c∈N, (a + b) + c = a + (b + c)

Elemento Neutro da Adição ∀a∈N ∃e∈N, a + e = e + a = a, e = elemento nulo ou zero

Fechamento da Multiplicação ∀a∈N ∀b∈N, (a × b) ∈N.

Comutatividade da Multiplicação ∀a∈N ∀b∈N, a × b = b × a

Lei do Cancelamento da Multiplicação ∀a∈N* ∀b∈N ∀c∈N, a × b = a × c ⇒ b = c

Elemento Nulo da Multiplicação ∀a∈N ∃e∈N, a × e = e × a = e, e = elemento nulo = 0

Elemento Neutro da Multiplicação ∀a∈N ∃u∈N, a × u = u × a = a, u = unidade = 1

Associatividade da Multiplicação ∀a∈N ∀b∈N ∀c∈N, a × (b × c) = (a × b) × c

Distributividade da Multiplicação com relação à adição

∀a∈N ∀b∈N ∀c∈N, a × (b + c) = a × b + a × c

Ordem em N

Cabe notar que a subtração não é uma operação no conjunto dos números naturais, ou seja, a

subtração não é fechada com relação a N, veja que:

[1] Adotando-se N = {0, 1, 2, 3, ...}, que é o nosso caso, ocorre:

∀a∈N ∀b∈N, ( a < b ⇔ (a – b)∉N );

[2] Adotando-se N = {1, 2, 3, 4, ..}, como em alguns outros textos, ocorrerá:

∀a∈N ∀b∈N, ( a ≤ b ⇔ (a – b)∉N ),


10.10.10.10.20202020

Assim, será preciso ampliar o conjunto dos números naturais, criar um novo conjunto numérico a

partir de N, no qual a subtração passe a ser uma operação.

Vamos partir da seguinte idéia básica:

Seja considerar o conjunto N = {0,1,2,3,...}= N ∪ {0};, dos números naturais, que quando

necessário, pode ser denominado conjunto de números inteiros não negativos, o que pela notação vista

no Capítulo 8, nos permitiu escrever: Z+ = N.

Para resolver o problema que sempre surgirá em N, quando se tiver obter o resultado

(diferença) para a subtração a – b com a < b, vai-se propor aqui uma notação bastante engenhosa que,

envolvendo números naturais, irá permitir a criação dos números inteiros negativos Z* = Z − N.

Vejamos a seguir as definições que nos permitirão ampliar o conjunto dos números naturais

pelo acréscimo de números inteiros negativos, criando assim, o conjunto dos números inteiros:

Definição [1] ∀a∈N ∀b∈N,,,, x = [a,b] = a − b ∈Z

Observações: • Pela definição: [8, 3] = 8 – 3 = 5, [5, 0] = 5 – 0 = 5 e [6, 1] = 6 – 1 = 5 de onde [8, 3], [5, 0] e

[6, 1] representam o mesmo número inteiro, o 5.

• Como se pode ver, pares distintos de números naturais associados através da notação [a, b] irão

constituir-se naquilo que será denominado um número inteiro: a − b.

• Veja agora que se por um lado 3 – 8 ∉ N, , , , (3 – 8) ∈ Z pois 3 – 8 = [3, 8] ∈Z

• Por outro lado, esta definição permite afirmar que todos os números naturais passam a ser

considerados números inteiros, isto é: N ⊂ Z.

Propriedades da igualdade de números inteiros na notação [a, b]:

1. Reflexiva: [a, b] = [a, b]

2. Simétrica: [a, b] = [c, d] ⇒ [c, d] = [a, b]

3. Transitiva: [a, b] = [c, d] ∧ [c, d] = [e, f] ⇒ [a, b] = [e, f]


10.10.10.10.21212121

Definição [2] – Relação de Ordem em Z:

∀a∈N ∀b∈N ∀c∈N ∀d∈N,,,, ( [a,b] > [c,d] ⇔ a + d > b + c)

∀a∈N ∀b∈N ∀c∈N ∀d∈N,,,, ( [a,b] < [c,d] ⇔ a + d < b + c)

Exemplos: • [8, 3] > [ 7, 5] pois, pela Definição 2: 8 + 5 > 3 + 7

• Pela Definição 1: [8, 3] = 8 – 3 = 5 e [ 7, 5] = 7 – 5 = 2 ⇒ [8, 3] > [ 7, 5]

• [6, 3] < [5, 1] ⇔ 6 + 1 < 3 + 5 ou [6, 3] < [5, 1] ⇔ 6 – 3 < 5 – 1

Definição [3] – A Adição em Z:

∀a∈N ∀b∈N ∀c∈N ∀d∈N,,,, ( [a,b] + [c,d] = [a + c, b + d]∈Z)

Definição [4] – A Multiplicação em Z:

∀a∈Z ∀b∈Z ∀c∈Z ∀d∈Z,,,, [a,b] × [c,d] = [a × c + b × d, a × d + b × c] = [a,b] × [c,d]

Exemplos: Usando as definições, podemos mostrar que

(a) (-1) × (-1) = +1 (b) (-3) × (-2) = +6 (c) (-1) × (+1) = -1 (d) (-4) × (+5) = -20 (e) (+1) × (-1) = -1 (f) (+6) × (-2) = -12 (g) (+1) × (+1) = +1 (h) (+1) × (+4) = +20

Soluções:

(a) (-1) × (-1) = 0 – 1 × 0 – 1 ]1[

= [0, 1] × [0, 1] ]2[

= [0×0 + 1×1, 0×1 + 1×0 ] = [1,0] = 1 – 0 = 1 = +1

(b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) – são deixadas para o leitor.

10.3.1.- A Regra de Sinais da Multiplicação em ZZZZ

Seja Z o conjunto os números inteiros e (Z, +, −, ×) a estrutura composta por Z e as suas

operações usuais (internas ou fechadas em Z) de: multiplicação, adição e subtração, adotando-se o

sinal “−”, de forma sobrecarregada, para indicar: tanto a operação inversa da adição, ou seja, a

subtração, bem como para indicar o oposto aditivo ou simétrico de um número inteiro. Assim, −a é o

oposto aditivo de a, pois: a + (−a) = 0.

Estabelecido isto, vamos mostrar duas formas de justificar a regra de sinais da multiplicação de

números inteiros. A primeira delas é bastante ingênua, mas na prática escolar pode produzir bons


10.10.10.10.22222222

resultados, a segunda, mais sofisticada, dependente de construções geométricas no plano cartesiano,

parece ser adequada apenas para alunos do final da 7ª série ou da 8ª em diante.

10.3.1.1.- Regra de Sinais da Multiplicação – uma explicação ingênua

Quando se trabalha com a multiplicação de números inteiros relativos (quando se consideram

os números inteiros positivos e negativos) um dos problemas maiores é explicar a regra de sinais,

principalmente a que diz respeito à multiplicação que envolva dois fatores negativos. Vamos introduzir

aqui um raciocínio que permitirá explicar para alunos da 6ª série, que é quando este assunto é

abordado, o porquê de um resultado positivo quando a multiplicação envolve dois fatores negativos.

Primeiramente, consideremos o seguinte:

A multiplicação: 3 ×××× (−−−−5) = (−−−−5) + (−−−−5) + (−−−−5) = −−−−15,

que poderia ter sido proposta sob a forma de um problema formulado verbalmente da seguinte forma,

bastante específica:

O problema: Quando vou ao trabalho, gasto 5 unidades monetárias por dia para me alimentar

(adotar ‘gasto 5’ como sendo: −5). Quanto gastei em 3 dias de trabalho? (adotar o 3 como:

+3)

Agora formulemos outro pequeno problema:

Gasto 5 unidade monetárias em alimentação a cada dia de trabalho. Tenho que trabalhar 6

dias na semana. Já trabalhei 2 dias. Pergunta-se quanto já gastei com alimentação e quanto

tenho que guardar para os dias de trabalho que faltam?

Solução:

Supor o seguinte:

• aquilo que “tenho” deve ser tomado como um valor positivo

• aquilo que “gastei” deve ser tomado como um negativo

[1] Cálculo do quanto eu gastei até agora: 2 × (−5) = (−5) + (−5) = −10 gastei dez unidades

monetárias. Note que o sinal de menos corresponde aqui à palavra gastei.

[2] Escolhendo uma notação para a quantidade de dias que faltam: “faltam 4 dias”: usaremos o sinal de

menos para representar a palavra falta ou faltam: assim: “−4” representará “faltam 4 dias”.

[3] Calculando quanto eu tenho que guardar (+) para os dias que faltam (−4) se e gasto (−5):

(−4) × (−5) = +20.


10.10.10.10.23232323

10.3.1.2.- A Propriedade Distributiva e a Regra de Sinais da Multiplicação em Z

A seguir vai-se mostrar que, ao aceitarmos como válida para os números inteiros relativos

(números inteiros positivos, negativos ou nulo) a propriedade distributiva da multiplicação com

relação á adição, teremos que aceitar como válida a seguinte regra de sinais da multiplicação: “a

multiplicação envolvendo dois como fatores dois números inteiros negativos, terá como produto um

número inteiro positivo” que normalmente é expressa por maioria dos estudantes da seguinte forma:

“na multiplicação, menos por menos, dá mais”.

[1] Seja admitir as seguintes propriedades:

Elemento Nulo da Multiplicação ∀a∈Z ∃e∈Z, a × e = e × a = e, e = 0

Distributividade da Multiplicação com relação à Adição

∀a∈Z ∀b∈Z ∀c∈Z, a × (b + c) = a × b + a × c

[2] Sabe-se que ∀∀∀∀a∈∈∈∈Z, a ×××× 0 = 0, assim podemos tomar: (−−−−1) ×××× 0 = 0 como verdadeira.

[3] Seja agora, tomar para fatores, sem perda de generalidade (não seriam necessariamente estes

dois e nem haveria a necessidade que fossem iguais), o (−−−−1) e novamente o (−−−−1).

[4] Seja de [2]: (−1) × 0 = 0 ⇒ (−1) × (−−−−1 + 1) = (−1) × 0 = 0

[5] Pela propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição, obtém-se:

(−1)×(−1 + 1) = (−1)×(−1) + (−−−−1)××××(+1) = (−1)×(−1) + (−−−−1) = 0 ⇒ (−−−−1)××××(−−−−1) = −−−−(−−−−1)

como −(−−−−1) = +1, de (−−−−1)××××(−−−−1) = −−−−(−−−−1) pode-se tirar que: (−−−−1) ×××× (−−−−1) = +1

10.3.1.3.- Comprovação Geométrica dos Sinais dos Produtos da Multiplicação em Z

As propriedades do paralelismo entre segmentos de reta e da semelhança entre triângulos vão

nos permitir, auxiliados por um plano cartesiano, mostrar o porque da regra de sinais da multiplicação

em Z.

1º Caso: Dois fatores positivos

O R U≅≅≅≅ 1 O R

P

S

U≅≅≅≅ 1

+

+

O R

S

U≅≅≅≅ 1

+

+

O

S +

+


10.10.10.10.24242424

[1] Adotar o segmento OU tal que 1)OU(med = , isto é, OU é um segmento unitário.

[2] Dados R∈Z e S∈Z, quer-se obter o produto ao se multiplicar: R × S.

[3] Seja adotar R)OU(med = , bem como S)OB(med = , alocando os números R e S de acordo

com o sinal, ou na porção positiva ou na porção negativa dos eixos cartesianos.

[4] Vamos supor neste nosso primeiro caso que R > 0 e S > 0.

[5] Traçar o segmento de reta OS e em seguida o segmento de reta US .

[6] Traçar o segmento RP // US , tal que P seja o ponto de intersecção com o eixo dos y.

[7] ROP~UOS ∆∆ ⇒ OU

OR

OS

OP= ⇒

1

OR

OS

OP= ⇒

1

OROSOP

×= ⇒ OROSOP ×= .

2º Caso: O primeiro fator positivo e o segundo negativo

U≅≅≅≅ 1 R

P

O

S

+

+

3º Caso: O primeiro fator negativo e o segundo positivo

U≅≅≅≅ 1 R

P

O

S +

+

−−−−

−−−−

Dados R∈Z e S∈Z, quer-se obter o produto ao se multiplicar: R × S, onde R > 0 e S < 0.

Dados R∈Z e S∈Z, quer-se obter o produto ao se multiplicar: R × S, onde R < 0 e S > 0.


10.10.10.10.25252525

4º Caso: O primeiro fator positivo e o segundo negativo

U≅≅≅≅ 1 R

P

O

S

+

+

−−−−

−−−−

10.3.2.- A Relação de Ordem < em ZZZZ

Ao escrevermos como seqüência os números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

poderemos admitir que estes elementos podem ser ordenados pela relação de ordem estrita “<” (menor

do que), onde x < y indica que o elemento x figura, nesta seqüência, à esquerda do elemento y, ou

ainda que y – x > 0. O mesmo pode ser feito com relação aos números inteiros: ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0,

1, 2, 3, 4, 5, 6, ... . Assim poderemos verificar a existência de uma série de propriedades induzidas em

Z pela relação de ordem escrita <, vejamos algumas delas:

1. Dados x∈Z e y∈Z, então: x < y ⇔ ∃w (w∈Z ∧ w > 0 ∧ y – x = w)

2. Dados x∈Z e y∈Z, x > 0 e y >0 então: x + y > 0

3. Dados x∈Z e y∈Z, x > 0 e y >0 então: x * y > 0

4. Se x∈Z então, somente uma única das seguintes possibilidades pode ocorrer:

x > 0 , x = 0 ou x < 0 (Lei da Tricotomia)

10.3.2.1.Comentários Importantes sobre as Propriedades da Relação de Ordem < em ZZZZ:

[1] Considere as seguintes três afirmações e verifique que levando-se em conta a Lei da Tricotomia, a

conjunção “ ∨ ” que aparece nelas, tem que ser considerada como exclusiva devido à lei da tricotomia:

[x∈Z ∧ ¬(x = 0)] ⇔ [x∈Z ∧ (x < 0) ∨ (x > 0)]

[x∈Z ∧ ¬(x < 0)] ⇔ [x∈Z ∧ (x > 0) ∨ (x = 0)]

[x∈Z ∧ ¬(x > 0)] ⇔ [x∈Z ∧ (x < 0) ∨ (x = 0)]

[2] Estas propriedades são extensíveis aos números racionais e aos números reais, bastando substituir

o “∈Z”, por “∈Q” e por “∈R” em cada uma delas. É evidente que poderíamos ter, desde o início, nos

Dados R∈Z e S∈Z, quer-se obter o produto ao se multiplicar: R × S, onde R < 0 e S < 0.


10.10.10.10.26262626

referido a estas propriedades como sendo propriedades dos números reais, o que englobaria todas as

demais situações.

[3] Pedagogicamente (ou metodologicamente) falando, o conceito de relação de ordem deveria ser

abordada a partir do uso do Conjunto dos Números Naturais. Normalmente, nos cursos superiores

lança-se mão diretamente dos Números Reais, mostrando que o conjunto dos Números Complexos é

não ordenado. No entanto estaremos trabalhando, mais à gente, com a Teoria dos Números em que o

conjunto a ser focado é o dos Números Inteiros, daí este procedimento.

10.4.- Números Reais e Números Racionais

Um número x é um número racional se, e somente se, ele pode ser escrito sob a forma de razão

(ou de um quociente) entre dois números inteiros, onde o divisor não seja zero, como por exemplo:

...5

25

2

10

1

55 ==

−

−== , assim, 5∈Q. A definição deste conjunto pode ser dada por:

Q }b,a,b

a x |{x 0}b ,b , a ,

b

a x |{x *Ζ∈Ζ∈==≠Ζ∈Ζ∈==

É evidente que o conjunto dos números racionais Q é uma extensão do conjunto dos números

inteiros Z, que por sua vez é uma extensão do conjunto dos números naturais N, e isto pode ser

colocado em símbolos: N⊂ Z⊂ Q, ou seja, N é um subconjunto de Z, e Z é um subconjunto de Q,

Por outro lado, o conjunto dos números racionais Q e o conjunto dos números irracionais Q’,

são disjuntos, ou seja, Q ∩ Q’ = ∅, ou seja, não um número que seja racional e irracional ao mesmo

tempo. São números racionais os números decimais finitos ou infinitos, mas somente quando forem

periódicos; os números irracionais são os números decimais infinitos e não periódicos. Esta distinção

dicotômica entre números racionais e irracionais, nos permite adotar a definição mostrada a seguir para

os números reais.

10.4.1.- Conjunto dos Números Reais

R ∈∈Ζ∈== i },... 3, 2, 1, {0,a ,a ...;a...aaa,a x |x{ i0n3210 N*}

ou ainda melhor:

R ∈∈±== i },... 3, 2, 1, {0,a ...;a...aaa,a x |x{ in3210 N}

Observar que:

são números não reais, por exemplo, os da forma k a onde ∈= n 2n, k Z e a∈Z*− .


10.10.10.10.27272727

A propriedade notável que liga os conjuntos Q e Q’ ao conjunto dos números reais é a seguinte:

o conjunto dos números reais pode ser definido como: R = Q ∪ Q’. A concepção de que R = Q ∪ Q’

e que números reais podem ser colocados em correspondência biunívoca com os pontos de uma reta (a

reta real) é que nos vai levar a estudar no final deste capítulo os Cortes de dedekind, que é uma forma

bastante interessante de criar o conjunto dos números reais.

10.4.1.1.- Algumas Propriedades dos números Reais Racionais

Iremos provar mais à frente, que Q2 ∉ , isto é, 2 não é um número racional, ele é um

número irracional. Faremos o mesmo com relação à 3 .

O conjunto dos números irracionais tem infinitos elementos, podendo-se citar como exemplos

de números irracionais, os seguintes: 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , ..., 3 2 , 3 3 , 3 4 , 3 5 , 3 6 , 3 7 , 3 9 ,

..., π≅ 3,1415926535... (número pi), e ≅ 2,7182818284... (número de Eüler).

Os números irracionais são sempre decimais infinitos e não periódicos. Já os números

racionais, números que podem ser escritos sob a forma de razão: ba com b≠0, podem gerar, quando

se efetua a divisão de a por b, decimais exatos, ou então, decimais infinitos porém periódicos,

denominadas dízimas periódicas.

10.4.1.2.- Exemplos de Geratrizes de Dízimas Periódica

A fração 432,01000

432= é um número racional que pode ser expresso como um número decimal

finito, isto é, com uma quantidade finita de casas decimais.

•

=== 6,06,0...666,03

2 e 936,0...936936936,0

333

312== são números racionais que correspondem a

números decimais infinitos periódicos simples, onde os períodos são, respectivamente, o 6 e a

seqüência de dígitos 936. Estas são exemplos de dízimas periódica simples.

34,1...4333,130

43== é uma dizima periódica composta onde 1,4 é o não- período (anteperíodo) e 3 é o

período.

Note que, nos exemplos acima, as frações 30

43 e

333

312 ,

3

2 são geratrizes de dízimas periódicas.

Quer-se saber, como, dado um número decimal periódico, simples ou composto, calcular a sua

geratriz. Vejamos apenas o caso das dízimas periódicas simples: Seja o número decimal periódico

n21 d...dd,0D = então se multiplicarmos D por 10n, onde n é a quantidade de dígitos formadores do

período, vamos obter:


10.10.10.10.28282828

n21n21n d...dd,d...ddD10 =× ⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒ Dd...ddd...dd,0d...ddD10 n21n21n21n +=+=× ⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒ n21n d...ddD D10 =−× ⇒⇒⇒⇒ ( n21

n d...ddD)110 =×− ⇒⇒⇒⇒ 110

d...ddD

nn21

−=

10.4.1.3.-Obtenção de Geratrizes de Dízimas Periódica Simples e Compostas

REGRA: A geratriz de uma dízima periódica simples, com a parte inteira igual a zero, é

uma fração cujo numerador é o período e o denominador é um numeral formado por

tantos dígitos nove quantos são os algarismos do período e de tantos zeros quantos são as

casas decimais nulas logo após a vírgula.

Tente justificar esta regra e, em seguida, elaborar uma regra ou uma estratégia para calcular as

geratrizes de dízimas periódicas compostas. Sugestão: tente separar a parte anteperiódica da parte

periódica. Ainda, de acordo com esta regra teremos que: 0,999... = 1, e ainda, 4,0999...= 4,01. Justifique

isto.

10.5.- Cardinalidade e Eqüipotência de Conjuntos

Dois conjuntos são ditos eqüipotentes quando têm a mesma cardinalidade.

Em símbolos: #(A) = #(B) ⇔ A ~ B ( ~ : eqüipotente)

10.5.1.- Cardinalidade do Conjunto dos Números Reais

Pudemos verificar no Capítulo 8 que N, o conjunto dos Números Naturais, o Conjunto dos

Números Naturais Pares e o Conjunto dos Números Naturais Ímpares são eqüipotentes. Vimos também

que é bem simples mostrar que a cardinalidade de N é a mesma que a de Z. Vamos repetir aqui as

figuras utilizadas anteriormente no Capítulo 8:

Números Ímpares : 1 3 5 7 9 11 ...

Números naturais : 0 1 2 3 4 5 ...

Números Pares : 0 2 4 6 8 10 ...


10.10.10.10.29292929

Números Ímpares : 1 3 5 7 9 ...

Números Inteiros: 0 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 5 −5...

Números Pares : 0 2 4 6 8 10 ...

Cantor Mostrou que a cardinalidade de Q é a mesma de Z, mas a cardinalidade de R, não é a

mesma de N. Cantor utilizou a letra ℵ (aleph – eu é a primeira letra do alfabeto hebreu) indexada: 0ℵ ,

1ℵ , 2ℵ , 3ℵ , etc, para representar os diversos graus de cardinalidade de conjuntos infinitos. A

cardinalidade de N é definida como sendo 0ℵ (aleph zero), isto é, #(N) = 0ℵ . Assim, podemos dizer,

agora que a cardinalidade dos números naturais pares, dos números naturais ímpares e dos números

inteiros é igual a 0ℵ . Pode-se mostrar através de exemplos, e não iremos provar isto aqui, que são

válidas as seguintes operações envolvendo o 0ℵ :

(a) 0ℵ + 0ℵ = 0ℵ e 0ℵ + 0ℵ +...+ 0ℵ = 0ℵ

(b) 0ℵ × 0ℵ = 0ℵ e 0ℵ × 0ℵ ×...× 0ℵ = 0ℵ

10.5.2.- A Cardinalidade do Conjunto dos Números Racionais

10.5.1.1.- Um Primeiro Modo de Mostrar a Cardinalidade dos Números Racionais

Vamos mostrar agora que o conjunto dos Números Racionais têm a mesma cardinalidade de N,

ou seja N ~ Q, ou mais, #(Q) = 0ℵ . Os conjuntos infinitos, de cardinalidade 0ℵ , são denominados

enumeráveis.

Para isto iremos utilizar uma malha para distribuir os números racionais não negativos (o zero e

os números positivos) e os números racionais negativos de forma bastante esquemática (confira na

tabela a seguir)

Ficará evidente que será possível estabelecer-se uma correspondência biunívoca entre os

números racionais não negativos e os números naturais pares (siga as setas mais escuras, associando a

cada elemento: 0, 2, 4, 6, 2n, ..., para n∈N) bem como, o mesmo poderá ser feito para os números

racionais negativos e os números naturais ímpares (siga as setas mais claras, associando a cada

elemento: 1, 3, 5, 7,..., 2n+1..., para n∈N). Assim pode-se concluir que a cardinalidade de N é a

mesma de Q.


10.10.10.10.30303030

... ... ... ... ... ...

1

5−

2

4−

3

3−

4

2−

5

1−

1

4−

2

3−

3

2−

4

1−

1

3−

2

2−

3

1−

1

2−

2

1−

1

0

1

1

2

1

1

2

3

1

2

2

1

3

4

1

3

2

2

3

1

4

5

1

4

2

3

3

2

4

1

5

... ... ... ... ... ...

Outra forma de estabelecer esta correspondência seria fazer corresponder ao aos números

racionais não negativos, os números inteiros não negativos, e aos números racionais negativos, os

números inteiros negativos, o que nos mostraria ainda a possibilidade de enumeração dos elementos do

conjunto Q através dos elementos de Z e, obtendo-se como conseqüência, o seguinte:

#(Q) = #(Z), como #(Z) = #(N), temos então, que #(Q) = #(N).

10.5.1.2.- Um Segundo Modo de Mostrar a Cardinalidade dos Números Racionais

Podemos mostrar que a cardinalidade de Q é a mesma do conjunto dos Números

Naturais N, ou seja, #(Q) = 0ℵ .

Seja considerar o produto cartesiano N* ×××× N* , ou seja, o produto cartesiano de N*

por N*, ou seja, N* ×××× N* def

= { (x, y) | x∈∈∈∈N* ∧∧∧∧ y∈∈∈∈N* }. Seja ainda tomar (N* ×××× N*) ∪∪∪∪ {0},

isto é, acrescentar o número zero aos elementos obtidos n produto cartesiano N* ×××× N*

cujos elementos podem ser dispostos da seguintes forma:


10.10.10.10.31313131

(0,0)

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) ...

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) ...

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) ...

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) ...

... ... ... ... ... ... ...

A figura acima nos mostra que os elementos do produto cartesiano (N*)2 unido ao conjunto

unitário cujo elemento é (0,0), ou em símbolos: (N* × N*) ∪ {(0,0)}. Podemos mostrar utilizando esta

figura que o conjunto ali apresentado, tem a mesma cardinalidade de N, ou seja, (N* × N*) ∪ {(0,0)}.

é um conjunto enumerável. Da mesma forma, poderíamos mostrar que a cardinalidade (N × N) = (N)2

é a mesma de N.

Agora, como poderemos mostrar que esta disposição de pares ordenados nos permitirá

mostrar que o conjunto dos números racionais tem a mesma cardinalidade que N?

Se definirmos os números racionais como: )b,a(b

a= onde a∈Z e b∈Z, b ≠ 0, vemos que a

figura nos mostra, após termos suprimido da mesma, o par ordenado (0,0) e o substituirmos pelo

número zero, a ordenação dos números racionais não negativos (o zero e os positivos) que poderiam

ser colocados em correspondência, por exemplo, aos números naturais pares. Se retomarmos à figura e

multiplicarmos os primeiros elementos dos pares ordenados por –1, ou seja, transformando os pares

ordenados (a,b) em elementos do tipo (-a, b), poderemos estabelecer uma correspondência entre estes

elementos, agora entendidos como números racionais negativos, de acordo com a definição adotada, e

os números naturais ímpares, e lembrando que 0ℵ + 0ℵ = 0ℵ , podendo-se mostrar que:

#(N) = #( (Z* ×××× N*) ∪∪∪∪{0} ) = #(Q).


10.10.10.10.32323232

10.5.1.3.- Observação importante

Se definirmos os números racionais como sendo pares ordenados:

)b,a(b

a= onde a∈Z e b∈Z, b ≠ 0,

teremos a seguinte propriedade: (a, b) = (c, d) ⇔ a × d = b × c, ou seja: cbdad

c

b

a×=×⇔= que

é uma das propriedade notáveis das proporções entre números inteiros.

10.6.- Cardinalidade dos Números Reais

10.6.1.- Representação do Conjunto dos Números Reais e seus Subconjuntos sob a forma de Intervalos

Supomos que o leitor já conheça a notação sob a forma de intervalos para os subconjuntos de

números reais. No entanto vamos recordá-las:

[1] R = ] - ∞, +∞ [ - notação que é denominada Reta Real:

[2] Semi-retas Reais: [3] Segmentos da Reta Real:

[2.1.] [a, +∞ [ = { x∈R | x ≥ a } [3.1.] [a, b] = { x∈R | a ≤ x ≤ b }

[2.2.] ]a, +∞ [ = { x∈R | x > a } [3.2.] ]a, b[ = { x∈R | a < x < b }

[2.3.] ]−∞, a] = { x∈R | x ≤ a } [3.3.] ]a, b] = { x∈R | a < x ≤ b }

[2.4.] ]−∞, a[ = { x∈R | x < a } [3.4.] [a, b[ = { x∈R | a ≤ x < b }

-∞ +∞ 0

10.6.2.- Cardinalidade do Segmento de Reta ]−−−−1,1[

Sabe-se que o conjunto dos números reais pode ser representado sob a forma de uma reta,

normalmente denominada reta real. Seja tomar, sobre esta reta, um segmento sem

extremidades, cuja representação seja o intervalo aberto: ]−1, 1[, como mostrado na figura

abaixo.

R0 1-1

Pode-se provar, através de um processo geométrico, que o intervalo ]−1, 1[ tem tantos

elementos quantos são os números reais, ou seja, ambos têm a mesma cardinalidade.


10.10.10.10.33333333

R0

1

-1

P1

P2

+∞∞∞∞

−−−−∞∞∞∞

10.6.3.- Prova de que o Conjunto dos Números Reais é Não-enumerável

É também devida a Cantor a prova de que existem números infinitos cuja cardinalidade está

acima de 0ℵ . O conjunto dos números reais tem cardinalidade 1ℵ .

A demonstração de Cantor é uma demonstração indireta. A demonstração parte da hipótese que

o conjunto R é enumerável, ou seja, #(R) = 0ℵ , e se chega a uma contradição, levando-nos a concluir

que:

#(R) ≠ 0ℵ , apontando para uma cardinalidade definida por Cantor como sendo 1ℵ , e maior que 0ℵ .

10.6.4.- Teorema: RRRR e ] 0,1[ têm mesma cardinalidade ou seja #(RRRR) = #( ] 0, 1[ )

O intervalo de extensão unitária A = ] [ 1 ,0

(um segmento de reta, que não contém as suas extremidades, tomado sobre a reta real)

não é enumerável (a sua cardinalidade não é igual à cardinalidade de N).

Prova – Método da Diagonal de Cantor:

[1] Vamos considerar que o conjunto A seja enumerável, isto é, que ele possa ser

definido da seguinte forma: A = {r1, r2, r3,..., rn, ... } ou seja, cada elemento de A pode

ser colocado em seqüência e conseqüentemente em correspondência aos números

naturais 1, 2, 3, 4, ... etc.

[2] Seja supor que r1, r2, r3, ...,rn, ..., são os números reais entre 0 e 1 possam ser

representadas numa tabela como a seguinte:

A construção geométrica acima, permite traçar segmentos a partir dos pontos P1 e

P2, que cortando o segmento que representa o intervalo ] -1, 1 [ estabeleça uma

correspondência biunívoca entre os pontos daquele segmento e a reta real. Assim pode-se,

estabelecer que #( ] -1, 1[ ) = #(R).


10.10.10.10.34343434

......aa a a a a,0r 1n15141312111 =

......aa a a a a,0r 2n25242322212 =

......aa a a a a,0r 3n35343332313 =

......aa a a a a,0r 4n45444342414 =

......................................................

......aa a a a a,0r nnn5n4n32n1nn =

......................................................

onde ∀aij, aij∈{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } onde cada ri apresenta um número infinito de

algarismos diferentes de zero.

[3] Adotando-se aqui o número 1 = 0,999... (uma dízima periódica simples), podemos

também adotar para aqueles números que possam ser escritos sob a forma de frações

decimais, a seguinte forma de notação:

...4999,05,010

5

2

1=== ,

ou seja, esta forma de escrever os números permite fazer com eles tenham uma

quantidade infinita de algarismos não nulos, como propusemos inicialmente.

[4] Construamos agora o número s = 0, b1 b2 b3 ... bn da seguinte forma: b1 ≠≠≠≠ a11 e b1 ≠≠≠≠

0; b2 ≠≠≠≠ a22 e b22 ≠≠≠≠ 0 até bn ≠≠≠≠ ann e bn ≠≠≠≠ 0, e assim por diante. Desta forma, construiu-se

um número real s ∈∈∈∈ ] 0,1[, de tal forma que s ≠≠≠≠ r1, pois b1 ≠≠≠≠ a11, s ≠≠≠≠ r2, pois b2 ≠≠≠≠ a22, ...,

s ≠≠≠≠ rn, pois bn ≠≠≠≠ ann, e assim por diante.

[5] Assim sendo, s ∉∉∉∉ A, o que contradiz o fato de que s ∈∈∈∈ A. Por isto a hipótese que A

seria enumerável é falsa, logo, A não é enumerável.

10.6.5.- A cardinalidade de ] -1,1 [ é igual à cardinalidade de RRRR

Utilizando os processos e métodos de prova que vimos até aqui, podemos mostrar que:

[1] #( ] -1, 1 [ ) = #(R)

[2] ] 0, 1[ não é enumerável, #( ] 0, 1 [ ) ≠≠≠≠ #(N) = 0ℵ

[3] #( ] 0, 1 [ ) = #(R) = 1ℵ

10.6.6.- A relação entre o 0ℵ e o 1ℵ

Pode-se provar os seguintes teoremas sobre a cardinalidade de N e de R:


10.10.10.10.35353535

10.6.6.1.- Teorema 1

Dado A um conjunto qualquer, #(A) < # ( 2#(A) ), onde #( 2#(A) ) = #(P(A)).

10.6.6.2.- Teorema 2 – Teorema de Cantor:

02 0ℵ<ℵ .

10.6.6.3.- Teorema 2 – Teorema de Cantor:

1 2 0 ℵ=ℵ.

10.6.7.- Hipótese do Contínuo

Caberia aqui perguntar se existe algum número K, tal que: 0ℵ < K < 1ℵ .

Esta pergunta deveria ser respondida pela demonstração da Hipótese do Contínuo proposta por Cantor.

O que a Hipótese do Contínuo, segundo Cantor, pretendia estabelecer que 1ℵ é o segundo número

cardinal infinito, da hierarquia: 0ℵ , 1ℵ , 2ℵ , 3ℵ , .... . No entanto, Gödel e Cohen mostraram que esta

hipótese não pode ser provada tomando-se como base os axiomas da Teoria dos Conjuntos. Este é um

problema indecidível: não se consegue provar que se esta hipótese é verdadeira ou falsa.

No entanto, muitas idéias matemáticas, veiculadas através de teoremas, alguns deles

importantes, são foram desenvolvidas levando-se em conta que a hipótese do contínuo deva ser

verdadeira. [Stoll 1963].

Hipótese do Contínuo: Não existe nenhum número cardinal K, tal que 0ℵ < K < 1ℵ .

Hipótese Generalizada do Contínuo: 1 2 +α

ℵ ℵ=α

10.7.- Os Números Reais e os Cortes de Dedekind

Primeiramente queremos mostrar que existem números não racionais. Por isto vamos provar que

2 não é um número racional, ou seja, 2 não pode ser escrito sob a forma de razão entre dois números inteiros.


10.10.10.10.36363636

10.7.1.- Teorema:

2 não é um Número Racional, isto é, 2 ∉∉∉∉ Q.

Prova:

[1] Vamos NEGAR A TESE, afirmando que: n

m2 = , m∈Z e n∈Z* ,isto é, 2 ∈ Q .

[2] HIPÓTESE: Seja MDC(m, n) =1, ou seja, que a fração n

mé a mais simples possível.

[3] Vamos elevar ambos os termos da equação de [1] ao quadrado: 2

2

n

m2 =

[4] de [3] podemos tirar: 2n2 = m2, o que mostrar que m2 é um número par (divisível por 2), ou

seja: m2 = 2n2 ⇔ 2

m2

= n2, assim, também m é divisível por 2 (da álgebra elementar).

[5] Se m é par, então m = 2k, k∈ N* ⇒ m2 = 4k2 de onde por substituição em [3], vem: [6] 2n2 = 4k2 que dividida por 2 resultará: n2 = 2k2, sendo assim, n2 é um número par e 2 divide n. [7] Por [5] e [6] tem-se que m e n são números pares o que contrariaria [2], a HIPÓTESE, ou seja, MDC(m, n) =2 ≠≠≠≠ 1, portanto: [8] Negar a Tese (afirmar que: 2 ∈∈∈∈Q) produziu um absurdo, portanto 2 ∉∉∉∉Q é verdadeiro.

10.7.2.- Propriedade Notáveis de RRRR – Supremo, Ínfimo e Intervalos Encaixantes

10.7.2.1.- Definição – Limitante Superior

Seja A um segmento de reta tomado sobre a reta numérica R, diz-se que L∈R é um limitante superior

de A se, e somente se, ∀a∈A, L ≥ a.

10.7.2.2.- Definição – Limitante Inferior

Seja A um segmento de reta tomado sobre a reta numérica R, diz-se que I∈R é um limitante inferior

de A se, e somente se, ∀a∈A, I ≤ a.

Observação: Se um subconjunto A⊂ R tem um limitante superior, então ele tem infinitos limitantes

superiores, sendo que o mesmo pode ser afirmado para os limitantes inferiores; somente no caso de A

= R, A não terá limitantes, nem superior nem inferior. Quando um conjunto admite limitante inferior

dizemos que ele é limitado inferiormente, quando admite limitante superior dizemos que ele é limitado

superiormente. Se um conjunto é limitado inferiormente e superiormente diz-se que ele é limitado.


10.10.10.10.37373737

10.9.2.3.- Definição – Supremo

Se A ⊂ R é limitado superiormente, denomina-se supremo de A, Sup(A), ao menor dos limitantes superiores de A.

10.7.2.4.- Definição – Ínfimo

Se A ⊂ R é limitado inferiormente, denomina-se ínfimo de A, Inf(A), ao maior dos limitantes inferiores de A.

10.7.2.5.- Observações Importantes:

• Se i = Inf(X)∈X então i é denominado mínimo de X, Mín(X) = i;

• Se i = Inf(X)∉X diz-se que X não tem mínimo.

• Se s = Sup(X)∈X então s é denominado máximo de X, Máx(X) = s;

• Se s = Sup(X)∉X diz-se que X não tem máximo.

Exemplos:

[1] A = { −10, 5, 6, 7, 8} ⊂ R • é limitado inferiormente e superiormente;

• limitantes inferiores: −10, −34, −1345, ou melhor: ∀x∈R, x ≤ −10;

• Mín(A) = Inf(A) = −10; • limitantes superiores ∀x∈R, x ≥ 8, Máx(A) = Sup(A) = 8.

[2] B = { x ∈ R | 2 ≤ x < 7 }

• Inf(B) = Mín(B) = 2 e Sup(B) = 7, mas B não tem máximo. [3] C = { x ∈ R | 2< x < 7 }

• Inf(C) = 2, mas C não tem mínimo e Sup(C) = 7, mas C não tem máximo.

[4] D = { x ∈ Q | 0 < x ≤ 2 }

• Inf(D) = 0, mas B não tem mínimo e como 2 ∉ Q (já foi provado anteriormente), temos que: D não tem supremo nem máximo.

10.7.2.6.- Princípio de Arquimedes ou Teorema de Arquimedes Teorema:

Se x > 0 e x∈∈∈∈RRRR, então para qualquer y∈∈∈∈RRRR, existe n∈∈∈∈NNNN****, tal que nx > y.

Prova:

Hipótese: Seja supor, por contradição, que para x∈∈∈∈RRRR*+ e y∈∈∈∈RRRR, não exista n∈∈∈∈N*N*N*N*, tal que nx > y.

• Então nx ≤ 0 para todo n∈N* e o conjunto A = {nx| n∈N*} é não vazio e limitado superiormente por y.

• Como y é um limitante superior de A, A tem um supremo.


10.10.10.10.38383838

• Seja supor Sup(A) = s.

• Então se n∈N*, nx = (n+1)x − x ≤ a –x , sendo que a – x será um majorante de A.

• Mas isto é um absurdo, pois a – x < a e a é o menor majorante de A.

• Esta contradição mostra que a hipótese nx ≤ 0 para todo n∈N*, é falsa,

• Logo é verdade que para x∈R*+ e y∈R, existe n∈N*, tal que nx > y.

• CQD.

10.7.2.7.- Teorema dos Intervalos Encaixantes

O conjunto de intervalos In = [ an, bn ]⊂ R, n =1, 2, 3, ..., onde cada um destes intervalos esteja

contido no precedente e 0)ba(lim nnn

=−∞→

, é denominado conjunto de intervalos aninhados ou

encaixantes. O teorema dos intervalos encaixantes, a seguir, mostra que um conjunto de intervalos

fechados aninhados terá sempre, um elemento comum, um número real. Pode-se provar que este

número é único.

Teorema 1:

Se In ⊃⊃⊃⊃ I2 ⊃⊃⊃⊃ ... ⊃⊃⊃⊃ In ⊃⊃⊃⊃ In+1 ⊃⊃⊃⊃... é uma seqüência de intervalos In, n ∈∈∈∈ N, intervalos não vazios

(intervalos fechados) em RRRR, então existe um elemento comum a todas estes intervalos.

�� Notar que: se os intervalos In são abertos eles não terão necessariamente um ponto em comum, por outro lado, o teorema acima nos mostra que se os intervalos In são fechados (não vazios) eles terão necessariamente um ponto em comum.

Prova do Teorema:

• Seja supor, por hipótese, que In = [ an, bn ], com an < bn para todo n∈N, isto é, In = [ an, bn ] é

um intervalo não vazio;

• In ⊂ I1 para todo n, logo an < b1 para todo n, de onde A = { an | n∈N } é limitado superiormente

por b1. Seja tomar α como sendo o supremo de A, isto é, sup(A) = α. Então an ≤ α para todo n.

• Vamos adotar por hipótese que α ≤ bn para todo n∈N, pois caso contrário existirá algum

número m n∈N, tal que bm < α. Como α = sup(A), deve existir ap tal que bm < ap.

• Seja q o maior dos números naturais m e p, como a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... e b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn ≥ ...

podemos escrever bq ≤ bm < ap ≤ aq, de onde pode-se tirar bq < aq , contrariamente à hipótese de

que Iq = [ aq, bq ] é um intervalo não vazio.

• Logo, α ≤ bn para todo n∈N, e como an ≤ α ≤ bn , conclui-se que α∈ In = [ an, bn ] para todo

n∈N.


10.10.10.10.39393939

10.7.3.- Os Cortes de Dedekind – Definição

Um estudo bastante interessante que pode ser levado avante sobre o conjuntos dos números reais é

baseado nas seguintes relações entre os conjuntos: R (números reais), Q (números racionais) e Q’

(números irracionais): [1] R = Q ∪ Q’ e [2] Q ∩ Q’ = ∅. A partir destes conceitos pode-se definir

os cortes de Dedekind.

Denomina-se Cortes de Dedekind ou Corte Racional aos conjuntos E ≠ φ e D ≠ φ, tais que:

a) E ⊂ Q ∧ D ⊂ Q

b) E ∪ D = Q

c) [1o] E ∩ D ∩ R = φ ou então [2o] E ∩ D ∩ R = {k} d) ( E ∩ D ∩ R = {k} ) ⇔ ( ∀x∈E ( x ≤ k ) ∧∀y∈D ( y ≥ k ) )

Comentários sobre as propriedades (a), (b), (c) e (d):

a) Os conjuntos E e D são subconjuntos de Q.

b) A união de E e D permitem reconstruir Q.

c) Há dois casos a considerar:

[1o] E, D e R não têm elementos comuns, ou seja, o corte se deu em um número que não é Supremo de E e nem Ínfimo de D, no caso o corte se deu em um número irracional, veja-se o

exemplo da 2 ;

[2o] E, D e R têm um único elemento comum “k”, um número racional d) O elemento k pertencente a E, D e R é u número racional que é o Máx(E) = Sup(E) e Mín(D) =

Inf(D).

10.9.3.1.- A Construção dos Números Reais através dos Cortes de Dedekind

Pode-se construir o conjunto dos Números Reais utilizando-se os cortes de Dedekind.

• O que Dedekind fez foi definir cada um dos números reais como sendo

um corte no conjunto dos números racionais.


10.10.10.10.40404040

A união de todos os cortes de Dedekind formam o conjunto dos números reais,

o que pode ser escrito simbolicamente como:

[1] ∀i∈N, Ei e Di são cortes de Dedekind restritos a: ∀j∈N, ∀k∈N, Ej≠Ek se j≠k

[2] =

∈

U U }D,E{ iNi

i R, desde que ∀j∈N, ∀k∈N, Ej≠Ek se j≠k.

[3] O conjunto dos números reais é completo, a completude de R significa que existe uma correspondência biunívoca entre cada número real e os pontos da reta real.

10.8.- A Aritmética de Tarski para os Número Reais A construção do Conjunto dos Números Naturais ensejou, no início deste capítulo a introdução

dos Sistemas de Peano, de Dedekind e de Robinson, que dizem respeito à Aritmética dos Números

Naturais. Aqui vai-se introduzir dois sistemas propostos por Tarski para a Aritmética dos Números

Reais, conforme ele propõe em seu livro “Introduction To Logic and to the Methodology of Deductive

Sciences”. O livro pode ser considerado um livro de divulgação científica. Foi escrito, segundo o autor,

para ser um livro científico de cunho popular (“a popular scientific book”) destinado a apresentar as

tendências da lógica moderna a não especialistas, associando a exatidão científica à máxima

inteligibilidade. Isto fica claro ao longo de todo o texto, pois é sem dúvida alguma, um livro de

agradável leitura, apesar de cientificamente muito bem apresentado. É sem dúvida alguma uma leitura

obrigatória para aqueles que gostam de matemática.

No capítulo X, intitulado “Extension of the Constructed Theory – Foundations of Arithmetic of

Real Numbers”.[Tarski 1946 pág. 213], nós iremos encontrar os itens 61 e 63, respectivamente

intitulados “First axiom system for the arithmetic of real numbers” e “Second axiom system for the

arithmetic of real numbers”, acompanhados de um estudos bastante interessantes, onde ele analisa,

com relação ao primeiro sistema, as suas vantagens metodológicas e suas desvantagens didáticas (“its

methodological advantages and didactical disadvantages”) e, com relação ao segundo sistema, as suas

desvantagens metodológicas e suas vantagens didáticas (“its methodological disadvantages and

didactical advantages”). O livro apesar de inteiramente ótimo, já vale, só pelo conteúdo deste capítulo,

que é justamente o último.

10.8.1.- “First axiom system for the arithmetic of real numbers”

Tarski adota quatro termos primitivos para apresentar o seu primeiro sistema para a aritmética

dos números reais: “número”, “unidade”, “adição” a relação de ordem “menor do que”, que segundo


10.10.10.10.41414141

ele podem ser trocados, respectivamente por: R, “1”, “+”, “<”, sendo que “O termo ‘número’10

será

normalmente associado ao conceito de ‘número real’, ou seja, referir-se-á aos números inteiros e

frações, racionais e irracionais, positivos e negativos, mas não aos números imaginários ou

complexos” [Tarski 1946 pág 3], e x + y representará o resultado da adição de dois números x e y, o

seja, a soma de x com y. Não são aqui introduzidos os axiomas da multiplicação

1. Se x ≠≠≠≠ y, então x < y ou y < x

2. Se x < y, então ¬¬¬¬ (y < x)

3. Se x < z então existe um número y tal que x < y e y < z.

4. Se K e L são conjuntos de números ( K⊂⊂⊂⊂R e L⊂⊂⊂⊂ R ). Se para qualquer

x∈∈∈∈K e y∈∈∈∈L ocorre que x < y. Sendo x e y quaisquer elementos de K e L

respectivamente, então existe um número z≠≠≠≠x e z ≠≠≠≠y para o qual a

seguinte condição ocorre: x < z e z < y.

5. x + (y + z) = (x + z) + y

6. Para qualquer número x e y existe um número z tal que x = y + z.

7. Se x + y < y + t então x < y e z < t

8. 1 ∈∈∈∈ R

9. 1 < 1 + 1

Curiosamente, aqui não são introduzidos os axiomas relativos à multiplicação. Poder-se-ia

alegar que a multiplicação pode ser conseguida pela aplicação sucessiva da operação de adição, mas

isto é válido apenas para a multiplicação de números naturais, mas não seria para os número racionais

e para os números reais, por exemplo.

10.8.2.- “Second axiom system for the arithmetic of real numbers”

Nesta segunda apresentação dos axiomas Tarski adota seis termos primitivos para apresentar o

seu novo sistema para a aritmética dos números reais: “número”, “unidade”, “zero”, “adição” e

“multiplicação”, a relação de ordem “menor do que”, que segundo ele podem ser trocados,

respectivamente por: R, “1”, “0”, “+”, “⋅⋅⋅⋅” e “<”, e os axiomas passam de 9 para 20.

10 No texto escrito por Tarski, “Introduction To Logic and to the Methodology of Deductive Sciences” (1946), o símbolo


10.10.10.10.42424242

1. Se x ≠≠≠≠ y, então x < y ou y < x

2. Se x < y, então ¬¬¬¬ (y < x)

3. Se x < y e y < z então x < z

4. Se K e L são conjuntos de números. Se para qualquer x∈∈∈∈K e y∈∈∈∈L ocorre

que x < y. Sendo x e y quaisquer elementos de K e L respectivamente, então

existe um número z≠≠≠≠x e z ≠≠≠≠y para o qual a seguinte condição ocorre: x<z e

y<z.

5. Para qualquer número y e z existe um número x tal que x = y + z (ou: Se

y∈∈∈∈R e z∈∈∈∈R, então y + z∈∈∈∈R ).

6. x + y = y + x

7. x + (y + z) = (x +y) + z

8. Para qualquer número x e y existe um número z tal que x = y + z.

9. Se y < z então x + y < x + z

10. 0 ∈∈∈∈ R (no original: 0 ∈∈∈∈ N onde N é “número” no sentido de número real)

11. x + 0 = x

12. Para qualquer número y e z existe um número x tal que x = y.z

13. x.y = y.x

14. x.(y.z) = (x.y).z

15. Para qualquer número x e y, y ≠≠≠≠ 0, existe um número z tal que x = y.z

16. Se 0 < x e y< z então x.y < x.z

17. x.(y + z) = (x.y) + (x.z)

18. 1 ∈∈∈∈ R (no original: 1 ∈∈∈∈ N onde N é “número” no sentido de número real)

19. x.1 = x

20. 0 ≠≠≠≠ 1

adotado para número real é N e não R como aqui é adotado.


10.10.10.10.43434343

10.9.- O Conjunto dos Números Reais - um Corpo Ordenado

Sabe-se que a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números

irracionais resulta o conjunto dos números reais. Não há um número ao mesmo tempo racional e

irracional, isto é, a intersecção destes dois conjuntos é vazia.

10.9.1.- Axiomas de Corpo

O conjunto dos números reais pode ser apresentado formalmente através do seguinte conjunto

de axiomas:

A1: ∀a∈R, ∀b∈R [ (a+b) ∈R ]

A2: ∀a∈R, ∀b∈R [ a+b = b+a ]

A3: ∀a∈R, ∀b∈R,∀c∈R [ (a+b) + c = a + (b+c) ]

A4: ∃0∈R, ∀a∈R [ 0 + a = a ]

A5: ∀a∈R, ∃!x∈R [ a + x = 0 ∈R ], x = −a

A6: ∀a∈R, ∀b∈R [ ab ∈R ]

A7: ∀a∈R, ∀a∈R [ ab = ba ]

A8: ∀a∈R, ∀b∈R, ∀c∈R [ (ab)c = a(bc) ]

A9: ∃ 1∈R, ∀a∈R [ 1.a = a ]

A10: ∀a∈(R – {0}), ∃! y∈R [ ay = 1 ], y = a

1

A11: ∀a∈R, ∀b∈R, ∀c∈R [ (a+b)c = ac + bc ]

O que se poderá verificar através de um estudo das Estruturas Algébricas (pesquisar um livro

de Álgebra Moderna ou Álgebra Abstrata) é que o conjunto que satisfaça os 11 axiomas acima é

denominado Corpo. O conjunto dos números inteiros só não é um Corpo porque não satisfaz o axioma

A10.

10.9.2.- Axiomas de Ordem em RRRR

Os axiomas que iremos apresentar a seguir mostram as propriedades de uma relação de ordem

estrita ou total “maior do que” ( > ) e de uma relação de ordem parcial ( ≥ ) que são aplicáveis aos

números reais. A relação de igualdade, cujas propriedades também serão apresentadas, são uma

relação de equivalência.


10.10.10.10.44444444

10.9.2.1.- Propriedades da Relação de Igualdade

A relação de igualdade pode relacionar conjuntos, elementos de conjuntos, funções, matrizes, e

isto, somente para citar alguns exemplos. Por isto é muitíssimo importante compreender e utilizar

sempre que possível as propriedades da igualdade, que são as seguintes:

Os grafos representativos das propriedades da relação de igualdade são os seguintes:

c

b

a a b a

Reflexiva Simétrica Transitiva

10.11.2.2.- Propriedades das Relações de Desigualdade

O1: ∀a∈R, ∀b∈R [ (a = b) ∨ (a > b) ∨ (b > a)], a > b ⇔ a < b ]

O2: ∀a∈R, ∀b∈R [ (a ≥ b) ∨ (b ≥ a) ⇒ (a = b) ]

O3: ∀a∈R, ∀b∈R, ∀c∈R [ (a > b) ∧ (b > c) ⇒ (a > c) ]

O4: ∀a∈R, ∀b∈R, ∀c∈R [ (a > b) ⇒ (a + c > b + c ) ]

O5: ∀a∈R, ∀b∈R, ∀c∈R [ (a > b) ∧ (c > 0) ⇒ (ac > bc)

10.9.3.- Valor Absoluto de Números Reais

Seja x∈R, o valor absoluto |x| de x, é definido por

|x| =

<

≥

0 x se x,-

0 x se ,x

:

Propriedade Reflexiva da Igualdade: ∀∀∀∀a, a = a

Propriedade Simétrica da Igualdade: ∀∀∀∀a, ∀∀∀∀b, se a = b então b = a

Propriedade Transitiva da Igualdade: ∀∀∀∀a, ∀∀∀∀b, ∀∀∀∀c, se a = b e b = c então a = c


10.10.10.10.45454545

10.9.4.- Provando Algumas Propriedades dos Números Reais

Exemplo 1

Prove que: ∀a∈R, ∀b∈R [ 0.a = 0 ]

Prova: Pelo axioma A11 tem-se 1 . 0 + 0 . a = (1 + 0)a = 1 . a, então por A4, tem-se: 0 . a = 0.

Exemplo 2

Prove que: ∀a∈R, ∀b∈R [ a2 + b2 ≥ 2ab ]

Prova:

Seja a2 + b2 ≥ 2ab ⇒ a2 + b2 − 2ab ≥ 0 ⇒ a2 − 2ab + b2 ≥ 0 ⇒ (a − b)2 ≥ 0.

A igualdade ocorre para a = b.

Exemplo 3

Prove que: ∀a∈R+, ∀b∈R+ [ ab2

ba≥

+ ] . (Obs.: R+={x∈R| x ≥ 0 } )

Prova:

Seja ab2

ba≥

+ ⇒ 0

2

)ba(

2

babaab

2

ba 2

≥−

=+−

=−+

. A igualdade ocorre para a = b.

Exemplo 4

Prove que: ∀a∈R, ∀b∈R, ∀c∈R [ bcacabcba 222 ++≥++ ]

Prova:

Seja a desigualdade já provada no exemplo 2, ∀a∈R, ∀b∈R [ a2 + b2 ≥ 2ab ]. Então pode-se escrever:

2bc c b

2ac c a

2ab b a

22

22

22

≥+

≥+

≥+

cuja soma resulta: bc2ac2ab2c2b2a2 222 ++≥++ ⇒ )bcacab(2)cba(2 222 ++≥++ de onde,

finalmente: bcacabcba 222 ++≥++ . A igualdade ocorre para a = b = c.


10.10.10.10.46464646

Exemplo 5

Prove que: Sendo ∀n∈R, n ≥ 2 [ 2

1

n2

1...

2n

1

1n

1>++

++

+ ]

Prova:

Sendo 2

1

n2

1n

n2

1...

n2

1

n2

1

nn

1...

2n

1

1n

1

n2

1...

2n

1

1n

1

parcelasn

=×=+++>+

+++

++

=+++

++

444 8444 76

, ou seja:

2

1

n2

1...

2n

1

1n

1>++

++

+.

10.10.- Conjunto dos Números Complexos C = { z | z = a + b i, a∈R ∧ b∈R, i = i− }

� onde a = Re(z) e b = Im(z), que devem ser lidos respectivamente como: “a é

igual à parte real de z” e “b é igual à parte imaginária de z”. �� Observação sobre os conjuntos numéricos: Os elementos dos conjuntos numéricos N, Z, Q e R

podem ser representados como pontos sobre uma reta, eles são conjuntos lineares. Já, os elementos do

conjunto C, necessitam de um plano para a representação de seus elementos, o plano onde estarão

localizados os números complexos é denominado Plano de Argand-Gauss.


10.10.10.10.47474747

APÊNDICE do Capítulo 10

1.- Prova de que 3 2 é irracional

Teorema:

3 2 não é um número racional

Prova:

• Hipótese: 3 2 ∈Q ⇔b

a23 =

• Sejam a∈N* e b∈N* númerob

a23 = ⇒ a2b3 = ⇒ 33 ab2 = (equação 1);

• Da equação 1 decorre que: 33 ab2 = ⇒ 3a|2 mas isto só será possível se a|2 de onde pode-

se escrever: ∃c∈N*, a = 2c (equação 2);

• Substituindo (equação 2) em (equação 1) vem: 33 ab2 = ⇔ 2b3 = 8c3 ⇒ b3 = 4c3 (equação 3);

• Se b3 = 4c3 ⇒ 3c4|2 ⇒ 3b|2 de onde pode-se escrever: ∃d∈N*, b = 2d (equação 4);

• De b3 = 4c3 e b = 2d vem 8d3 = 4c3 ⇔ 2d3 = c3 (equação 5), e pelo mesmo raciocínio anterior

poderíamos estabelecer que: ∃e∈N*, c = 2e;

• Note que a (equação 5) 2d3 = c3 é exatamente igual a 33 ab2 = (equação 1) a menos das

variáveis;

• Fica claro que poderíamos continuar indefinidamente o procedimento que adotamos até agora,

no entanto, cabe notar que como a = 2c temos que a > c; como c = 2e temos que c > e, e disto

tudo tirar que a > c > e > … onde a seqüência a, c, e, g, … não terá um menor elemento, o que

contradiz a propriedade da Boa Ordem dos Números Inteiros Positivos11. A partir desta

contradição a hipótese inicial: de que 3 2 ∈Q é falsa, logo 3 2 ∉Q.

11 Princípio da Boa Ordem: Todos os subconjuntos de número inteiros positivos tem um elemento mínimo.


10.10.10.10.48484848

2.- Prova de que 3 é irracional pelo Método da Descida Infinita.

Teorema:

3 não é um número racional

Prova:

• Seja adotar por hipótese: 1

1

b

a3 = [1] onde a1 e b1 são números inteiros positivos, sendo a1>

b1, o que nos permite levar em conta que 2b

a

2

3

1

1 << .

• Tomemos 13

1

− que racionalizado produzirá:

2

13

13

13

13

1 +=

+

+×

− assim tem-se a

igualdade 2

13

13

1 +=

− [2].

• Substituindo em [2] a 3 que ocorre no primeiro membro por 1

1

b

a termos:

2

13

1b

a1

1

1

+=

−

[3]

de onde poderemos obter uma nova igualdade ao isolarmos a 3 :

11

b

a2

3

1

1

−

−

= ⇒ 1

b

ba2

3

1

11

−−

= ⇒ 1ba

b23

11

1 −−

= ⇒11

111

ba

bab23

−

+−= ⇒

11

11

ba

ab33

−

−=

é claro que 3b1 – a1 e a1 – b1, em função da desigualdade 2b

a

2

3

1

1 << , são ainda números

inteiros, e por isto poderíamos escrever: 3b1 – a1 = a2 e a1 – b1= b2 , sendo que, no entanto,

a2 < a1 e b2 < b1, ou seja: 2

2

b

a3 = .

• Como este raciocínio, que pode ser repetido indefinidamente, podemos chegar a n

n

b

a3 = ,

onde an e bn são números inteiros cada vez menores, que podem ser diminuídos ainda mais, isto

é, indefinidamente, levando-nos ao absurdo de que não existe um menor número inteiro. Esta

redução ao absurdo, nos permite afirmar que a hipótese inicial 2

2

b

a3 = é falsa.

• Este método é denominado método da “descida infinita” devido a Fermat, que poderíamos

denominar “por redução ao absurdo da inexistência do menor inteiro”.


10.10.10.10.49494949

3.- Prova de que e ( o número de Eüler) é um número irracional

Teorema:

O número e, número de Eüler, não é um número racional.

Prova por redução ao absurdo:

Seja supor que e possa ser escrito sob a forma de razão: e = b

a com a e b números inteiros

positivos, e seja adotar ∑∑∞

+==

=−×=θ1bj

b

0j !j

!b

!j

!be !b então: 1

b

1

)1b(

10

1jj

≤=+

<θ< ∑∞

=

, mas θ é

um número inteiro e 10 ≤θ< é uma contradição. Logo e é um numero irracional.

4. - Teorema: 2 é um Número Real

Teorema:

Existe um número positivo x ∈∈∈∈ R tal que x2 = 2.

Em símbolos: 2 ∈R

Prova:

Já provamos que 2 ∉ Q, termos que provar que 2 ∈R, ou seja: x2 = 2.. Seja tomar A ={y∈R | y ≥ 0 ∧ y2 ≤ 2}.

(1) A é limitado superiormente. Entre os vários limitantes superiores de A, o 2 pode ser tomado como

um destes limitantes, sendo evidente que 2∉A. (2) Seja, por hipótese: A tem supremo, e seja Sup(A) = x. Por definição, Sup(A) pode ou não

pertencer a A. É evidente que x > 0.

(3) Se Sup(A) = x, temos as três seguintes possibilidades:

(3.1.) x2 < 2, (3.2.) x2 > 2 ou então (3.3.) x2 = 2.

(3.1.) Se x2 < 2, seja “fabricar” n∈N tal que 2x2

1x2n

−

+> onde x ≠ 2 . Note que para obtermos

os valores de n, os valores que podem ser dados ao x devem ser inteiros positivos tais que 0 < x

< 2 . Vamos tentar alguns exemplos: (i) para x = 1, n > 3, logo n = 4; (ii) para x = 1,4 teremos

n > 95)4,1(2

14,122

=−

+×, assim n = 96. Escolhendo valores de x mais próximos de 2 , obteremos


10.10.10.10.50505050

valores de n cada vez maiores, veja que ∞=+

=−

+=

−

+=

→→ 0

122

22

122

x2

1x2limnlim

22x2x, por isto

escolheu-se esta “fórmula” para o n, e isto porque iremos utilizar exatamente o inverso de n nos

nossos cálculos. Veja, por outro lado que: 0122

0

122

22

1x2

x2lim

n

1lim

2

2x2x=

+=

+

−=

+

−=

→→.

Assim: 2)x2(xn

1x2x

n

1

n

x2x)

n

1x( 222

222 =−+<

++≤++=+ , que implica

n

1x + ∈A, o

que contraria o fato Sup(A) = x. Logo n

1x + ∉A.

(3.2.) Se x2 > 2, seja “fabricar” m∈N tal que 2x

x2m

2 −> onde x ≠2. Seja agora adotar para os

nossos cálculos m

1, notando que 0

22

22

x2

2xlim

m

1lim

2

2x2x=

−=

−=

→→.

Assim, sendo x2

2x

m

1 2 −< e Sup(A) = x, existe um ao∈A com oa

m

1x<

−, mas isto acarreta:

2o

22

22 a)m

1x(

m

1

m

x2x

m

x2x2 <−=+−<−< , ou seja, 2a 2

o > , que é a negação do fato ao∈A.

(3.3.) Descartadas as possibilidades [3.1.] e [3.2.] nos resta afirmar finalmente que x2 = 2, isto

é, x = 2 aceitando ainda que x = 2 = Sup(A) e que 2 ∈ R, e podemos escrever:

A ={y∈R | y ≥ 0 ∧ y2 ≤ 2}= [0, 2 ] ⊂ R.

VERIFICAR The number log29 is irrational. Proof: Assume that log2 9 = p/q where p and q are positive integers. Then algebra yields 9q = 2p. But the left side of that equation is a product of 3’s and is not divisible by 2; the right side is a product of 2’s and is not divisible by 3.

Tópicos de Álgebra Moderna ElementarTópicos de Álgebra Moderna ElementarTópicos de Álgebra Moderna ElementarTópicos de Álgebra Moderna Elementar –––– Aury de Sá Leite Aury de Sá Leite Aury de Sá Leite Aury de Sá Leite 11.11.11.11.1111

Capítulo 11

Teoria Elementar dos Números

11.1.- Introdução: O que é a Teoria dos Números

A Teoria dos Números é uma área da Matemática que, de modo geral estuda as propriedades

dos números naturais e inteiros e, em particular a propriedade dos números primos. A Teoria dos

números tem uma longa história que começa com Pitágoras, passa por Euclides, e continua

influenciando e motivando as pesquisas de muitos matemáticos ilustres como Fermat, Pascal, Eüler,

Lagrange, Legendre, Gauss, Cauchy, Dirichilet, e muitos outros.

São várias as subdivisões da Teoria dos Números, de acordo com a ênfase pretendida: Teoria

Elementar dos Números; Teoria Analítica dos Números; Teoria Algébrica dos Números; Teoria

Algébrica dos Números e Teoria Geométrica dos Números, como se mostra a seguir:

• Teoria Elementar dos Números: utiliza somente os métodos elementares da aritmética

para a verificação e comprovação das propriedades essenciais do conjunto dos números

inteiros e em particular as propriedades dos números primos.

• Teoria Analítica dos Números: utiliza a análise real e complexa, especialmente para

estudar as propriedades dos números primos.

• Teoria Algébrica dos Números: utiliza álgebra abstrata avançada.(Álgebra Moderna) e

estuda os números algébricos tais como: 1 + 133 192 + .

• Teoria Geométrica dos Números: utiliza métodos geométricos, algébricos e analíticos

para estudar as propriedades dos números inteiros.

11.1.1.- Sobre a Teoria Elementar dos Números – Alguns Exemplos

Normalmente, o primeiro contato com a Teoria dos Números −−−− e isto ocorre com a maioria de

nós −, se dá através da Teoria Elementar dos Números, que é uma disciplina que usualmente faz parte

da grade curricular dos cursos de Licenciatura ou de Bacharelado em Matemática. Através desta

disciplina podem ser introduzidas propriedades bastante interessantes e notáveis dos números inteiros,

mas, que ao serem propostas como questões a serem resolvidas, ou Teoremas a serem provados, são

geralmente de difícil solução ou comprovação. Estas questões estão ligadas basicamente a três tipos de

pesquisas, a saber:

(1) Estudos específicos sobre as propriedades dos números primos;

(2) Estudos envolvendo a pesquisa de Algoritmos Eficientes para a Aritmética Básica;

(3) Estudos sobre a resolução de Equações Diofantinas;

Capítulo 11 – Versão 1.0 - Janeiro de 2004 Teoria Elementar dos Números

11.11.11.11.2222

que estão diretamente ligadas ao estudos Conjunto dos Números Inteiros e o seu subconjunto: o

Conjunto dos Números Naturais.

A título de ilustração, alguns dos muitos problemas que podem ser focalizados nestas três áreas

da Teoria Elementar dos Números são, a seguir, rapidamente comentados.

1. Estudos sobre as Propriedades dos Números Primos:

1.1. Existe uma quantidade infinita de números primos?

A resposta a esta pergunta é: SIM, este é um teorema provado entre os

séculos IV a.C. e III a.C por Euclides de Alexandria.

1.2. Pode-se exprimir os números pares, maiores que 2, como a soma de dois

números primos?

Esta é a denominada Conjectura de Goldbach, formulada em 1746 (e

até hoje não provada), apesar de ter sido verificada para números da ordem de

4 ×1014.

1.3. São todos os Números de Fermat, gerados pela fórmula Fn = 12n2

+ 2,

primos, como Fermat afirmou?

Uma curiosidade histórica que cercou esta área de estudos sobre a

geração de números primos diz respeito à busca de fórmulas universais que

permitissem a obtenção de “todos“ os números primos. Certamente não: os 4

primeiro destes números são: F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537. Mas

então ocorrem: F5 = 641 × 6700417, F6 = 274177 × 67280421310721, F7 =

59649589127497217 × 5704689200685129054721, ... , e nenhum outro

número primo foi encontrado nesta seqüência.

Aqui vai um outro exemplo destas tentativas: considere a seguinte

sentença: “∀n∈N, n2 + n + 41 é um número primo”. Esta sentença é

verdadeira para n = 0, n = 1, e espantosamente é válida até que até n seja

igual a 39. No entanto, ela falha para n = 40, pois: 402 + 40 + 41 não é um

número primo, verifique isto.

1.4. Quantos números primos terminam com o dígito 7? Seriam infinitos? São

664579 os números primos menores que 10 milhões, sendo que os números

primos que terminam em: 1, 3, 7 e 9 respectivamente são 166104, 166230,


166211 e 166032, isto corresponde a 24,99%, 25,01%, 25,01% e 24,98%

deste total de números. O que isto sugere?

1.5. Há infinitos pares de números denominados primos gêmeos: números

primos que diferem um do outro de apenas duas unidades, como (3 ; 5), (71 ;

73) ou (1000000007; 1000000009)?

2. Estudo de Algoritmos Eficientes para a Aritmética Básica:

Muitas das modernas aplicações que estão sendo levadas a efeito no

campo da criptografia − codificação destinada a gerar, armazenar ou até

mesmo transmitir (por exemplo: por telefonia ou mais especificamente pela

Internet) informações secretas ou confidenciais de forma segura, dependem

de algumas das propriedades dos números inteiros e dos números primos. No

entanto as aplicações aritméticas envolvendo as propriedades dos números

inteiros estão diretamente relacionadas à capacidade de se resolver dois

problemas fundamentais:

2.1. o problema do teste para verificar se o número é primo;

2.2. o problema da decomposição em fatores primos - que aparentemente

são problemas de simples solução, até que passem a envolver

numerais com dezenas e até centenas de dígitos.

3. Estudos sobre as Equações Diofantinas:

Diofante de Alexandria escreveu treze livros sobre a resolução de

equações algébricas sendo que apenas seis chegaram até nossos dias, e isto

graças à tradução para o árabe. Equações Diofantinas o nome dado às

equações indeterminadas para as quais se buscam somente as soluções

inteiras, sendo que Diofante trabalhou com aqueles tipos de equações não

somente buscando soluções inteiras, mas às vezes racionais. Vejamos alguns

exemplos de equações diofantinas:


11.11.11.11.4444

3.1.- 2x + 5y = 32 para a qual deseja-se encontrar os valores de x e y,

naturais, que a resolvam. Isolando-se o x, obtém-se: 2

y516x −= , de

onde x > 0 se, e somente se:y < 5

26

5

32= e y for um número par. Assim y

só poderia ser: 2, 4 ou 6, mas nunca zero. Logo a nossa equação

diofantina teria para solução os seguintes pares ordenados: (11,2), (6,4) e

(1,6).

3.2.- x2 + y2 = z2, por exemplo, que possui infinitas soluções representadas

pelas ternas ordenadas (x,y,z) conhecidas como Ternos ou Ternas

Pitagóricos, onde z é o lado maior de um triângulo retângulo – a

hipotenusa, e x e y seus catetos: (3,4,5), (4,3,5), (12,5,13), (5,12,13),

(24,7,25), (7,24,25), somente para citar alguns exemplos. Um conjunto de

fórmulas pode facilitar a obtenção das Ternas Pitagóricas: z = p2 + q2, x =

p2 − q2, y = 2pq, onde p e q são combinações de números inteiros

positivos distintos, com p > q, como por exemplo: 2 e 1; 3 e 1; 3 e 2; 4 e

1; 4 e 2; 4 e 3. Verifique se este tipo de raciocínio continua valendo para:

5 e 1; 5 e 2; ...; 5 e 4; para 6 e 1; 6 e 2; etc. Há uma justificativa algébrica

para tal fato? Este processo funcionará sempre?

3.3.- xn + y

n = z

n, que não possui soluções não nulas para n ≥ 3 (ou seja para n

> 2) que é justamente denominado o Último Teorema de Fermat − sobre

o qual o matemático francês Pierre de Fermat (1601-1665) afirmou em

uma pequena nota escrita na margem de uma página do um livro,

exatamente ao lado daquela equaçõe, possuir uma prova bastante simples

para a mesma, mas que não poderia ser escrita ali, por absoluta falta de

espaço. O matemático inglês Andrew Wiles finalmente em 1993, depois

de ter usado uma vasta coletânea de novas técnicas e de muitas técnicas

antigas da Teoria dos Números − bem como tendo dispendido muito

tempo de estudo e muitas e muitas folhas de papel − para resolver este

mistério, anunciou a prova deste Teorema, que havia permanecido, por

mais de 300 anos, como um desafio para os mais habilidosos

matemáticos.


3.4.- y2 = x3 + 17 que possui exatamente 8 soluções (x,y) onde x e y são

números inteiros sendo que os valores de x são os seguintes: − 2;−1; 2; 4;

8; 43; 52, sendo que os valores de y podem ser facilmente encontrados.

Aqui o difícil será mostrar que estas são as únicas soluções possíveis.

3.5.- Equações algébricas que possibilitem calcular todos os números inteiros

positivos que possam ser escritos como a soma de quatro quadrados

perfeitos, como por exemplo: 47 = 36 + 9 + 1 + 1. Para “facilitar”, os

quadrados perfeitos podem ser repetidos, como no exemplo dado; pode-se

ainda, adotar o 0 como um quadrado perfeito, como em: 10 = 9 + 1 + 0 +

0 ao invés de 10 = 4 + 4 + 1 + 1. Sabe-se que muitos números inteiros

positivos não podem ser escritos desta forma, e é isto que torna solução

deste problema bastante mais complexa. Este fato poderia motivar a

seguinte pergunta: quantos são os números inteiros positivos menores que

10.000, que não podem ser escritos como a soma de quatro quadrados

perfeitos? Este problema pode ser ainda apresentado como exigindo a

utilização de apenas dois quadrados perfeitos ou utilizando três quadrados

perfeitos. É evidente que agora, a solução tornar-se-ia ainda mais difícil.

11.2.- Sobre os Números Naturais

11.2.1.- Teorema

Não existe nenhum número natural (inteiro) entre 0 e 1.

Prova:

• Seja supor, por hipótese, que exista de um número natural (inteiro) m entre 0 e 1, isto é:

0 < m < 1

• Multiplicando esta expressão por m, obtém-se:

0 < m2 < m

que nos mostra que existe um número natural, diferente de 0 e de 1, cujo quadrado é menor que

ele próprio. Isto se configura como um absurdo, logo a nossa hipótese inicial é falsa, ficando,

assim, provado o Teorema.


11.11.11.11.6666

Comentários sobre o teorema demonstrado em 11.2.1.:

[1] É evidente que existe uma infinidade de números m entre 0 e 1, no entanto eles não podem ser

números naturais.

[2] Este Teorema pode ser generalizado assumindo-se o seguinte enunciado: “Para todo número

natural n, tem-se: não existem números naturais x, tais que n < x < n+1”. Que pode ser provado

da seguinte forma: Supondo-se por absurdo, que existe um número natural x tal que n < x < n+1

(hipótese); como n < x, x = n + a, para a um número natural e n + a < n + 1, de onde se conclui que

a<1; mas se a é natural e menor que 1, a = 0 e, finalmente: x = n + a = n + 0 = n, o que contraria a

hipótese.

11.2.2.- Axioma da Boa Ordem

Qualquer Subconjunto não vazio X de números naturais possui um elemento mínimo

Em símbolos:

∀∀∀∀X (X⊂⊂⊂⊂NNNN, X ≠≠≠≠ ∅∅∅∅) ⇒⇒⇒⇒ ∃∃∃∃x (x∈∈∈∈X, x ≤≤≤≤ n, ∀∀∀∀n∈∈∈∈N)N)N)N)

11.2.3.- Princípio da Indução Finita Matemática

Se X ⊂⊂⊂⊂ N é tal que:

(a) 0 ∈∈∈∈ X

(b) (k+ 1) ∈∈∈∈ X sempre que k ∈∈∈∈ X,

então X = N.

Prova do Princípio de Indução Finita:

• Seja ∃Y, Y = { n ∈ N | n ∉ X} isto é Y = CNX (Y é o complemento de X com relação a N).

• Hipótese: Y ≠≠≠≠ ∅∅∅∅.

• Pelo axioma da boa ordem, se Y ≠ ∅, Y tem um elemento mínimo. Seja este elemento m.

• É evidente que m ≠ 0, pois 0∈X por (a).

• Se m é o menor elemento de Y, é também evidente que: (m -1) ∉ Y, pois m -1 < m.

• Logo (m - 1) ∈ X, mas por (b) se (m -1) ∈ X tem-se que ((m-1) + 1) ∈ X, ou seja, m ∈ X, o

que contraria a hipótese (Y ≠ ∅).

• Assim, Y = ∅, e mais: Y = CNX = ∅, ou seja: X = N.


11.2.3.- Princípio da Indução Completa Matemática


(a) k ∈∈∈∈ X e

(b) (k+ 1) ∈∈∈∈ X sempre que {1, 2, 3, 4, ..., k} ⊂⊂⊂⊂ X,

então X = N.

11.2.3.1.- Um Primeiro Exemplo de Aplicação do Princípio da Indução Finita Matemática

Provar que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = 2

)1n(n +

Prova: Consiste em mostrar que: X = { x | x = 2

)1n(n +, para ∀n∈N } = N.

Vamos usar o princípio da Indução Finita:

(1) Verificar a validade para n = 0: x = 02

0

2

)10(0==

+ ⇒ 0 ∈∈∈∈ X

(2) Aceitar como hipótese que, para um dado k∈∈∈∈X: 1 + 2 + 3 + ... + k = 2

)1k(k +

(3) Verificar se a igualdade é válida para k + 1:

Será que 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 2

)2k)(1k()1k(

2

)1k(k ++=++

+ é verdadeira?

Vejamos duas maneiras distintas de se mostrar a validade de (3) 1ª Maneira:

De (2) temos: 1 + 2 + 3 + ... + k = 2

)1k(k + é verdade

Adicionando (k+1) à igualdade: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 2

)1k(k ++ (k+1)

1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 2

)1k(2)1k(k +++ de onde colocando-se o fator (k+1) em evidência,

obtém-se, finalmente: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) =2

)2k)(1k( ++ que prova o que queríamos.

2ª Maneira:

Seja tomar: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 2

)2k)(1k( ++

1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = =++

2

)2k)(1k(=

+++

2

2kk2k 2

=+

++

2

2k2

2

kk 2

2

)1k(2

2

)1k(k ++

+


11.11.11.11.8888

de onde 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = )1k(2

)1k(k++

+ e está provada a igualdade.

11.2.3.2.- Um Contra-exemplo

11.2.3.2.- Exemplos Diversos

[Exemplo 1] Provar que 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = (n+1)2

Prova: Testar para n = 0: tem-se 2.0 + 1 = 1 (verdade) Supor que: 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = (n+1)2 – aceitar como hipótese de indução

Provar que vale para: 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) + (2n + 3) = (n+2)2 (n + 1)2 + (2n + 3) = (n+2)2

n2

+ 2n + 1 + 2n + 3 = n2 + 4n + 4 = (n+2)2 = (n+2)2

[Exemplo 2] Provar que 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 6

)1n2)(1n(n ++.


)1n2)(1n(n ++, para ∀n∈N } = N.



0

6

)102)(10(0==

+×+ ⇒ 0 ∈∈∈∈ X

(2) Aceitar como hipótese que, para um dado k∈∈∈∈X: 12 + 22 + 32 + ... + k2 = 6

)1k2)(1k(k ++



Será que 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = 6

)12k2)(2k)(1k( ++++ é verdadeira?


De (2) temos: 12 + 22 + 32 + ... + k2 = 6

)1k2)(1k(k ++ é verdade

Adicionando (k+1)2 à igualdade: 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = 6

)1k2)(1k(k +++ (k+1)2

12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = =6

)1k(6)1k2)(1k(k 2++++

=6

)]1k)(1k(6)1k2)(1k(k +++++=

= ]6k6kk2[6

)1k( 2+++

+= ]6k7k2[

6

)1k( 2++

+= )]2k)(3k2[(

6

)1k(++

+ de onde, finalmente, se

obtém: 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = 6

)12k2)(2k)(1k( ++++

2ª Maneira:

Seja tomar: 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = 6

)12k2)(2k)(1k( ++++

12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = =++++

6

)12k2)(2k)(1k(=

+++

6

)3k2)(2k)(1k(

= =+++

6

)6k7k2)(1k( 2

=++++

6

)6k6kk2)(1k( 2

=++++

6

)]1k(6)1k2(k)[1k(

= =+++++

6

)]1k(6)1k()1k2(k)1k(=

++++

6

)1k(6)1k2)(1k(k 22)1k(

6

)1k2)(1k(k++

++

[Exemplo 3] Provar que n! > 3n, para ∀n∈N, n ≥ 7. Prova:

Seja S = {m∈∈∈∈NNNN| m! > 3n}

(1) Verifiquemos primeiramente se 7 ∈∈∈∈ S: 7! = 5040 > 37 = 2187. Sim, 7 ∈ S.

(2) Supor como hipótese, que k! > 3k é verdadeira para k ≥ 7, e mostrar que (k+1)! > 3(k+1).

(3) Seja tomar k! > 3k e multiplicar ambos os membros da desigualdade por k +1:

k! × (k+1) > 3k × (k+1)

se k ≥ 7 é evidente que k + 1 > 3 e podemos reescrever a desigualdade acima como sendo:

k! × (k+1) > 3k × 3

de onde, vem:

(k+1)! > 3k × 3 = 3k+1


11.11.11.11.10101010

11.2.4.- O Princípio da Indução Finita Matemática e as Funções Predicativas

A indução finita Matemática leva em conta a existência de funções predicativas do tipo P(x)

com x = f(n), ou seja, P(f(n)) com n ∈ N, e onde x = f(n) é uma função recursiva definida da seguinte

forma:

0n,n,1)1n(f)n(f

0)0(fx

≠Ν∈∀+−=

==

isto é, P(x) = P(f(n)) estabelecendo uma correspondência biunívoca entre os números naturais n e os

valores funcionais P(0), P(1), P(2), ... ,P(n), ... Assim, o princípio de indução finita pode ser reescrito

utilizando este conceito, o de fórmula predicativa que percorre o conjunto N:

11.2.4.1.- Princípio de Indução Finita Matemática Reescrito

1ª forma:

Se para uma propriedade ou função predicativa P(x)

(a) P(0) é verdadeira

(b) para algum k ∈∈∈∈ N, P(k+ 1) é verdade sempre que P(k) for verdadeira,

então,

P(n) é verdadeira para todo n ∈∈∈∈ N.

2ª forma:


(a) P(k) é verdadeira para algum k ∈∈∈∈ N

(b) se para algum n ∈∈∈∈ N, n ≥≥≥≥ k, P(n + 1) é verdade sempre que P(n) for verdadeira,

então,

P(x) é verdadeira para todo x ∈∈∈∈ N, x ≥≥≥≥ k.

11.2.5.- Definição de Numero Natural Primo


Assuntos a serem desenvolvidos:

11.4.- Divisibilidade

11.5.- Congruências

11.6.- Equações Diofantinas

- Teorema do Resto Chinês


2.1

Capítulo 2

Lógica Proposicional

“A Lógica não é tão simples como supõem os lógicos.”

Wittgenstein Remarks on the Philosophy of Psychology

– Vol I, §§ 488-9.

2.1.- Introdução

A Lógica Proposicional trabalha com sentenças da Linguagem Natural levando em conta apenas,

aquelas sentenças que são denominadas proposições, isto é, as sentenças que possam ser classificadas

como sendo verdadeiras ou falsas. Falso e Verdadeiro são entendidos como sendo os valores lógicos de

uma proposição.

Como a Lógica Proposicional estará preocupada apenas com os valores lógicos das proposições,

abstraindo-se dos assuntos ali tratados, podemos associar cada uma destas proposições, de maneira

unívoca, um símbolo denominado variável proposicional que por sua vez é quem passará a receber um, e

somente um, dos valores lógicos: Verdadeiro ou Falso.

As proposições são normalmente representadas por letras minúsculas do alfabeto latino1,

indexadas ou não: a, a1, a2, ..., b, b1, b2, ..., p,..., q, ... etc, podendo ser negadas, quando têm seus valores

lógicos invertidos, ou seja, se uma proposição p é verdadeira a negação de p, representada geralmente por

¬p, passará a ser falsa.

As variáveis proposicionais poderão ser associadas mediante conectivos adequados (∨ - ou; ∧ - e;

⇒ - implica; ⇔ - equivale) para formar cadeias de proposições denominadas proposições compostas, que

podem ser manipuladas algebricamente, e mesmo simplificadas, e ainda ter seu valor lógico final

calculado em função dos valores de cada uma de suas subsentenças componentes. Tomemos como

exemplo as proposições p, q e r dadas da seguinte forma:

p: “5 > 3” q: “Paulo Gosta de Maria” r: “Está chovendo”

para em seguida escrever, por exemplo: ((p ∨ q) ⇒ r ) ⇔ (¬(p ∧ r)) que é uma proposição composta que

envolve todas as sentenças anteriores. Independentemente do significado lingüístico de cada uma das

proposições e do novo “significado” que a proposição composta “passou” a ter, estaremos interessados

1 Nada impede que muitos autores adotem as letras latinas maiúsculas, indexadas ou não: A, A1, A2, ..., B, B1, B2, ..., P,.., Q, ... etc, para representar as variáveis proposicionais. No entanto, neste texto, reservaremos as letras latinas maiúsculas para representar os predicados da Lógica Predicativa, o que será visto no capítulo 5.

Capítulo 2 – Versão 1.0 - Janeiro de 2004

2.2

apenas no seu valor lógico, que agora passa a depender única e exclusivamente dos valores lógicos que

pudermos atribuir a cada uma das sentenças p, q e r.

2.2.- A Linguagem da Lógica Proposicional: L0

Vai-se a seguir especificar a Linguagem da Lógica Proposicional - a linguagem que

denominaremos L0, isto é, apontar os símbolos primitivos de L0 − estabelecer vocabulário ou alfabeto2

de L0 − e as formas de construir fórmulas-bem-formadas em L0 − estabelecer a sintaxe de L0. Note que

apenas com esta especificação ainda não temos um sistema formal axiomático, pois dependemos do

estabelecimento da estrutura dedutiva deste sistema que é composta por axiomas e, pelo menos, por uma

regra de inferência. Isto será feito apenas no Capítulo 4.

2.2.1.- Vocabulário ou Alfabeto de L0

Estes são os símbolos de L0, divididos por categorias sintáticas (ou gramaticais)::

[1] Conectivos (operadores binários) – Símbolos Lógicos

Símbolos Variações Nome Leitura

∧∧∧∧ & && Conjunção “e”

∨∨∨∨ Disjunção “ou”

⇒⇒⇒⇒ → ⊃ Implicação “Se...então...” ou então “... implica ...”

⇔⇔⇔⇔ ↔ ≡ Equivalência “...se, e somente se...”, “... equivale a ...”

[2] Inversor (operador unário) – Símbolo Lógico

¬¬¬¬ ~ ...’ ... ! Negação “não”

[3] Variáveis proposicionais – Símbolos Lógicos

p, p1, p2, ...; q, q1, q2, ...; a, a1, a2, ...; b, b1, b2, ..., etc

[4] Sinais de Pontuação – Símbolos Metalingüísticos

Igualdade: = Parênteses: ( ) Colchetes: [ ]

2 A palavra alfabeto está ligada etimologicamente às letras gregas α (alfa) e β (beta) tendo passado a significar “disposição convencional ou conjunto das letras de uma língua” e que, por extensão, iremos adotar aqui como sendo: “conjunto de símbolos de uma linguagem”.


2.3

Exemplos do uso de símbolos da Lógica Proposicional:

“não p”: ¬p ; ~p ; p’; p ; !p “p e q”: p ∧ q; p & q; p && q

“se p, então q”: p ⇒ q ; p → q ; p ⊃ q “p se, e somente se, q”: p ⇔ q ; p ↔ q ; p ≡ q

2.2.2.- A Sintaxe da Linguagem L0

A sintaxe é um dos componentes de uma estrutura lingüística que deve fornecer as regras para

formação de sentenças aceitáveis naquela linguagem, ou seja, a sintaxe estabelece as maneiras de se

combinar corretamente os elementos constituintes do vocabulário ou alfabeto de uma linguagem. A

sintaxe de L0 será dada através da seguinte definição recursiva:

2.2.2.1.- Definição: Fórmulas-bem-formadas em L0

Denominaremos fórmulas-bem-formadas (fbf) de L0 ou simplesmente fórmulas de L0 às

expressões obtidas através da aplicação das seguintes regras sintáticas:

(1) As variáveis proposicionais (a, a1, a2, ..., b, b1, b2, ..., p,..., q, ... etc) são fbf de L0 denominadas

fórmulas atômicas de L0, (também podem ser denominadas: proposições simples);

(2) Se p é uma fbf de L0 então ¬p (~p ou p ) é uma fbf de L0 denominada negação de p ou inverso de

p; (¬p, quando necessário, pode ser referida como sendo a negação de uma fórmula atômica ou a

negação de uma proposição simples);

(3) Se p e q são fbf de L0 então as expressões p∧q (ou p&q ou p&&q), p∨q, p⇒q (ou p→q ou p⊃q) e

p⇔q (ou p≡q) são fbfs denominadas proposições compostas básicas ou fórmulas básicas de L0.

(4) As fbfs de L0 são aquelas, e somente aquelas, obtidas pela aplicação − independentemente do

número de vezes − das regras sintáticas (1), (2) e (3).

Observações:

[1a ] As fórmulas bem formadas numa linguagem Lαααα são também chamadas Lα-

fórmulas, no caso da linguagem L0 suas fbfs poderiam ser chamadas L0-

fórmulas.


2.4

[2a] As L0-fórmulas obtidas pela aplicação sucessiva das regras (1), (2) e (3), que não

sejam mais fórmulas atômicas ou a negação de fórmulas atômicas, nem

fórmulas compostas básicas de L0, serão denominadas fórmulas complexas

de L0, quando este tipo de distinção se fizer necessária. As fórmulas

complexas de L0 contém no mínimo duas subfórmulas, sendo que pelo menos

uma destas subfórmulas deva ser do tipo previsto na regra (3).

[3a ] Os símbolos metalingüísticos (parênteses, colchetes e chaves) serão utilizados como

separadores quando se fizer necessário tornar clara a hierarquia das conexões

das subfórmulas componentes de fórmulas complexas da linguagem ou

meramente para evitar leituras ambíguas. O sinal de igualdade (=) é utilizado

muitas vezes no lugar do sinal de equivalência (≡) em algumas teorias que, ao

utilizarem a Lógica Proposicional, necessitem fazer distinção entre estas duas

relações binárias (= e ≡).

Exemplos:

Sejam p, q e r fórmulas atômicas3 de L0, então as cadeias de símbolos a seguir são L0-

fórmulas ou fbfs de L0.

a) [(p∧q) ⇔ (¬p ∨q)] ⇔ (p∨¬p) ou [(p∧q) ↔ (¬p ∨q)] ⇔ (p∨¬p)} onde o uso do símbolo ↔ é feito no interior de uma subfórmula, e o uso do símbolo ⇔, para a conexão entre subfórmulas.

b) {[(p⇒q)∧(q∨r) ] ⇒(p∨r)} ⇒ ¬(q∨r) ou {[(p→q)∧(q∨r) ] → (p∨r)} ⇒ ¬(q∨r)

2.3.- Semântica da Linguagem L0

As regras sintáticas apenas fornecem as regras para obtenção das fórmulas-bem-formadas das

linguagens formais, no entanto, elas nada dizem a respeito do significado de cada uma destas fórmulas.

A linguagem formal L0 é semanticamente simples na medida em que suas fórmulas só podem

receber um dos valores lógicos ou (valores semânticos): V (verdadeiro) ou F (Falso), e mais nenhum outro

além destes. Em resumo, a linguagem formal L0 dá suporte a um Sistema Formal Lógico bivalente, dual,

ou bivalorado. Deve-se acrescentar ainda, e com muita ênfase, que a Lógica Proposicional está

preocupada apenas em avaliar as fórmulas sobre serem ou não verdadeiras, sem se preocupar com o

significado lingüístico destas sentenças. É assim que poderíamos usar metaforicamente a seguinte

3 Note, nos exemplos dados, que a adoção dos conectivos → no lugar de ⇒ e de ↔ no lugar de ⇔, visa tão somente destacar, quando necessário, o que sejam as subfórmulas de um fórmula


2.5

imagem: cada símbolo proposicional é uma caixa preta sobre a qual, apenas uma das etiquetas seguintes

devem ser coladas “V” ou “F” ou no caso de muitos textos em língua inglesa, os símbolos “ ” ou “ ”,

que correspondem ao verdadeiro (True) e ao falso (False), respectivamente

2.3.1.- Análise dos Princípios semânticos de L0

São três os princípios, que poderíamos denominar princípios semânticos da linguagem L0, que

permitem garantir que a Lógica Proposicional é dual, ou seja, que suas fórmulas só podem ter um de dois

dos valores lógicos V ou F. Estes três princípios são devidos a Aristóteles, ou seja, foram herdados da

Lógica Aristotélica.

A seguir apresentamos os três princípios semânticos da Linguagem da Lógica Proposicional,

primeiramente, em linguagem natural e, em seguida, através de fórmulas da própria L0.

1o – Princípio da Identidade:

“O que é, é”

• Este princípio4 será representado por “p ⇔⇔⇔⇔ p” na linguagem L0.

2o – Princípio da Não-Contradição:

“Uma coisa não pode ser e não ser ao mesmo tempo.”

• Este princípio será representado por “¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p)” na linguagem L0. A sentença p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p é sempre falsa, isto é, diz-se que ela é uma contradição ou um absurdo.

3o – Princípio no Meio Excluído ou Princípio do Terceiro Excluído:

“Toda coisa deve ser ou não ser, não existindo um meio termo”

“Toda coisa deve ser ou não ser, não existindo uma terceira possibilidade.”

• Este princípio será representado por “p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬p” na linguagem L0. Esta sentença é sempre

verdade, ou seja, uma tautologia. Vamos analisar aquilo que nos é transmitido pelos três princípios semânticos acima apresentados,

usando uma linguagem natural (o nosso idioma) e um raciocínio envolvendo os elementos até aqui

apresentados.

4 Alguns textos mencionam ainda o Princípio da Auto-Implicação cuja notação é: P ⇒ P.


2.6

• Nada há a contra-argumentar no tocante ao primeiro princípio.

• Quanto ao segundo e terceiro princípios, vamos considerar o seguinte: numa lógica dual ou

bivalorada nós poderemos admitir que uma variável proposicional poderá assumir um único dos

valores lógicos: V (Verdade) ou F (Falso). Aceitando-se isto, vamos aprofundar a nossa análise:

� Quanto ao segundo princípio, teremos dois casos a considerar:

(i) se p é V, a negação de p, ¬p, não poderá ser verdade, logo somente restará a possibilidade de ¬p

ser falso; (ii) se p é F a negação de p, ¬p, não poderá ser verdade, logo somente restará a possibilidade

de ¬p ser V. Vamos exemplificar: seja p a sentença “Chove”. O que seria “p∧¬p”? Seria a sentença

composta “Chove e não chove”, o que é um absurdo, ou seja, contém uma contradição. Se formos

calcular probabilidade deste evento usando da Teoria das Probabilidades, veremos que ele tem

probabilidade zero, ou seja, este é um evento impossível.

� Quanto ao terceiro princípio, dentro dos critérios utilizados no item anterior, a sentença “Chove ou

não chove” passa a ser um evento certo, com probabilidade igual a um, isto é sempre irá ocorrer.

� Para Aristóteles o Princípio do Não-Contradição era o mais importante, pois segundo ele, os

outros dois seriam redutíveis a esse.

� Leibinitz (1646-1716) acrescentou aos princípios semânticos da Lógica Proposicionalmais um

princípio, o quarto, por ele denominado Princípio da Razão Suficiente: “Todas as coisas devem ter

uma razão suficiente pela qual são aquilo que são e não são outras coisas” [Nérici 1978]. Assim, por

exemplo, se tornam justificáveis perguntas tais como: “O que é suficiente para que um objeto seja

considerado uma cadeira, e não uma banqueta?”; “O que é necessário para que um animal seja

considerado uma ave? ou “ O que é necessário e suficiente para que uma pessoa possa dirigir um

automóvel?

2.3.2.- Função de Interpretação Semântica das L0-Fórmulas.

Seja P o conjunto de todas as L0-fórmulas (fórmulas-bem-formadas de L0) de extensão finita, isto

é, fbf de L0 com um número finito de átomos (símbolos proposicionais).


2.7

2.3.2.1.- Função de Avaliação semântica – Definição

Chamamos função de avaliação semântica das L0-fórmulas ou função de atribuição de valor

lógico às fbfs da Lógica Proposicional, à lei5 dada por ∆ : P a { V, F } definida por:

[1.a] V)p(

F)p(

F

V)p(

=∆

=∆

⇔

⇔=¬∆ [1.b]

V)p(

F)p(

F

V)p(

=¬∆

=¬∆

⇔

⇔=∆

[2]

=∆

∧

=∆

⇔=∧∆

V)q(

V)p(

V)qp( [3]

=∆

∨

=∆

⇔=∨∆

V)q(

V)p(

V)qp(

[4]

=∆

∧

=∆

⇔=⇒∆

F)q(

V)p(

F)qp(

[5] )q()p(V)qp( ∆=∆⇔=⇔∆

2.3.2.2.- Comentários

[1] Nos textos de Lógica em Inglês é comum encontrar os símbolos e respectivamente

representando o “True” (Verdadeiro) e o “False” (Falso). O símbolo possivelmente tenha

sido adotado devido à sua semelhança com o T que ocorre em “True” e o símbolo foi

adotado por como “False” possivelmente por se tratar de uma inversão do símbolo anterior.

[2] Ao adotarmos os valores V e F com o nome de valores lógicos, não estaremos

descartando o nome usualmente encontrado na literatura: “valores-verdade” ou “valores

de verdade” atribuído a estes valores e a todos os valores que normalmente ocorrem em

outras lógicas multivaloradas, mas somente aproveitando para chamar a atenção sobre a

existência de famílias notáveis de valores lógicos (ou de valores semânticos) possíveis em

outras linguagens formais ou até mesmo em linguagens naturais quando aplicadas a

algumas ciências. Vejamos alguns exemplos destes tipos de ocorrências: (i) sim, talvez e

não; (ii) possível, verdadeiro, falso e impossível; (iii) 0, ½ e 1; (iv) valores percentuais de

verdade: como 23% verdade, e seu complementar, 77% falso; e isto somente para citar

alguns exemplos de lógicas multivaloradas, lógicas estas, denominadas Não-Clássicas, que

iremos encontrar mais à frente neste livro.

5 Muitos autores utilizam a letra latina minúscula v para denotar a de função de avaliação semântica, mas nos parece, que a longo prazo, e na medida que avançarmos no estudo da Lógica Moderna, este uso de uma possa trazer confusão. Por isto, a partir do significado da palavra “discriminante” (“classificar, perceber diferenças; distinguir, discernir”) e do uso que se faz da letra grega ∆ (delta maiúsculo) para representar um discriminante na Álgebra achamos conveniente adotá-lo para este tipo de função.


2.8

2.3.2.2.- Tabela Verdade para a Negação

Podemos, seja a partir da definição da função de avaliação semântica das L0-fórmulas ou a partir

dos princípios semânticos de L0 estabelecer a tabela dos valores lógicos (valores-verdade) para uma

negação em nesta Lógica.

∆∆∆∆(p) ∆∆∆∆(¬¬¬¬p) V F F V

∆∆∆∆(p) ∆∆∆∆(¬¬¬¬p)

Ou na notação adotado por alguns autores de língua inglesa ��

2.4.- Tabela de Valores Lógicos para as L0-Fórmulas Básicas

Nós poderemos agora, construir uma tabela de valores lógicos (valores-verdade) para todas as

fórmulas básicas da Linguagem da Lógica Proposicional (L0) partindo das definições da função de

avaliação semântica ou de função de atribuição de valores lógicos às fbfs desta linguagem.

Sendo p e q variáveis proposições da linguagem L0, a tabela de valores lógicos de todas as

possíveis fórmulas básicas de L0 − fórmulas obtidas a partir da composição destas duas proposições com

dos conectivos da linguagem, é a seguinte:

∆∆∆∆(p) ∆∆∆∆(q) ∆∆∆∆(p ∧∧∧∧ q) ∆∆∆∆(p ∨∨∨∨ q) ∆∆∆∆(p ⇒⇒⇒⇒ q) ∆∆∆∆(p ⇔⇔⇔⇔ q)

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V

2.4.1.- Alguns Exemplos necessários

Vamos agora propor que a nossa linguagem seja a linguagem da Lógica Proposicional L0 e que a

Linguagem Natural por nós adotada seja a Língua Portuguesa, considerada então a nossa metalinguagem.

Os exemplos a seguir irão nos mostrar mais claramente, e de forma bastante definitiva, que a

Lógica Proposicional está preocupada apenas em avaliar as sentenças sobre elas serem ou não verdadeiras,

sem se deter na preocupação com o significado metalingüístico destas sentenças. Em outras palavras, a

compreensão do significado metalingüístico de cada um dos átomos componentes das fórmulas de L0, não


2.9

é necessária, estas fórmulas ganham significado a partir de sabermos simplesmente se ela é verdadeira ou

falsa.

A partir dos valores lógicos duais (V ou F) atribuídos a cada uma das fórmulas atômicas

componentes de uma fbf composta, para em seguida calcular-se os valores de cada uma das suas

subfórmulas, e finalmente o valor da fórmula como um todo, pode-se chegar ao valor lógico de uma

fórmula de L0. Veja os exemplos a seguir.

Exemplo 1:

Considere as seguintes proposições: p: “Curitiba é a capital do Brasil” e q: “Brasília é a capital do Brasil”. Em seguida considere que tenhamos informações suficientes para afirmar que p é falsa e q é verdadeira. O que segue é baseado nestas hipóteses.

� Serão verdadeiras as seguintes proposições compostas:

p∨∨∨∨q: “Curitiba é a capital do Brasil ou Brasília é a capital do Brasil” p⇒⇒⇒⇒q: “Se Curitiba é a capital do Brasil então Brasília é a capital do Brasil”

� Serão falsas as seguintes proposições compostas: p∧∧∧∧q: “Curitiba é a capital do Brasil e Brasília é a capital do Brasil” p⇔⇔⇔⇔q: “Curitiba é a capital do Brasil equivale a Brasília é a capital do Brasil” q⇒⇒⇒⇒p: “Se Brasília é a capital do Brasil então Curitiba é a capital do Brasil”

Exemplo 2:

Para reforçar ainda mais ainda o conceito de que a sintaxe de L0 não é baseada no significado metalingüístico, mas tão somente o valor lógico (V ou F) da L0-fórmula é que deve prevalecer na avaliação de sentenças compostas na lógica proposicional, vejamos os exemplos seguintes:

"Se 3 + 4 = 9 então 3 + 4 = 7" é verdadeira. "Se 12 + 41 = 7 então 7 + 1 = 198" é verdadeira!

2.5.- Interpretações de uma L0-Fórmula

2.5.1.- Definições:

• Cada um dos conjuntos de valores lógicos (V ou F) atribuídos de uma só vez a cada uma das

fórmulas atômicas de uma fórmula-bem-formada de L0 é denominado interpretação.

• Uma interpretação ∆X de uma dada L0-fórmula q onde p1, p2, p3, ..., pn são suas n proposições

atômicas distintas, é dada através da igualdade, onde X é uma variável, uma letra maiúscula, a

ser escolhida no alfabeto latino:

X: ∆(p1), ∆(p2), ∆(p3), ..., ∆(pn) ou Xq: ∆(p1), ∆(p2), ∆(p3), ..., ∆(pn)

a primeira notação é lida “interpretação X”, a segunda: “interpretação X da fórmula q”.


2.10

• Outra notação que poderá ser eventualmente adotada por ser mais explícita será a seguinte:

X = (p1, p2, p3, ..., pn) = (∆(p1), ∆(p2), ∆(p3), ..., ∆(pn) ), conforme aparece no exemplo 3, a seguir.

Exemplos:

[1] Seja a L0-fórmula s: (p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ r e a interpretação A: “∆(p) = V, ∆ (q) = F e ∆ (r) = V”, isto é:

A = (p, q, r) = (V, F, V). Assim, ∆A( (p ∧q) ⇒ r ) = ∆A( (V ∧ F) ⇒ V ) = (F ⇒ V) = V.

[2] A L0-fórmula (p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ r é falsa sob a interpretação ∆(p) = V, ∆(q) = V e ∆(r) = F. Verifique.

[3] Seja a fórmula (p ∧∧∧∧q) ⇒⇒⇒⇒ r com a seguintes interpretações dadas através das seguintes n-uplas

ordenadas: M = (p, q, r) = (F, V, V) e N = (p, q, r) = (F, F, V), verifique que: ∆∆∆∆M( (p ∨∨∨∨ q) ⇒⇒⇒⇒ r) =

V e que ∆∆∆∆N( (p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ r) = F.

2.5.2.- Teorema:

Dada uma qualquer fórmula-bem-formada q de L0, com n fórmulas atômicas distintas,

o número possível de interpretações para q será 2n .

Sugestão de Prova para o Teorema:

� A Análise Combinatória nos fornece a maneiras de provarmos este Teorema. A expressão

algébrica que permite calcular os “Arranjos de x Elementos tomados n a n, com possibilidade

Repetição dos elementos”, é dada por: ARx,n = xn.

• Os valores a serem atribuídos a cada uma das fórmulas atômicas de uma L0-fórmula serão dois,

Verdadeiro ou Falso (V ou F). Para uma L0-fórmula com duas fórmulas atômicas distintas, não

importando quantas vezes cada uma destas fórmulas atômicas figure na fórmula principal,

teremos seguintes possíveis atribuições: (V, V), (V, F), (F, V) e (F, F) , e nenhuma outra. Este é

um Arranjo de 2 Elementos tomados dois a dois, com Repetição, cujo cálculo do número de

possibilidades será dado por: AR2,2 = 22 = 4.

• No caso de três fórmulas atômicas distintas, as possíveis atribuições passarão a ser as

seguintes: (V, V, V), (V, V, F), (V, F, V), (V, F, F), (F, V, V), (F,V, F), (F, F, V) e (F, F, F)

cuja quantidade é calculável através de: AR2,3 = 23 = 8.

• Logo dada uma qualquer fórmula-bem-formada q, de L0, com n fórmulas atômicas distintas, o

número possível de interpretações para X será calculado através de AR2,n = 2n.

� Note que não provamos o Teorema, mas apenas sugerimos a forma indutiva de fazê-lo.


2.11

2.6.- Sobre a Validade de Fórmulas em uma Linguagem

A seguir damos a classificação das fórmulas de uma Linguagem de acordo o valor verdade da

mesma a partir das interpretações atribuídas à mesma.

2.6.1.- Fórmula Satisfatível

Uma fórmula de uma linguagem L é dita satisfatível se existe uma interpretação sob a qual ela é

verdadeira.

2.6.2.- Fórmula Insatisfatíveis ou Negação

Uma fórmula de uma linguagem L é dita insatisfatível ou uma negação ou uma contradição se não

existe interpretação sob a qual ela seja verdadeira.

2.6.3.- Fórmulas Logicamente Válidas ou Tautológicas

Uma fórmula de uma linguagem L é dita ser logicamente válida ou uma tautologia se esta fórmula

é verdadeira sob qualquer interpretação.

2.6.4.- Fórmulas Contingenciais

Uma fórmula de uma linguagem L é dita contingência se ela não é nem uma tautologia nem uma

negação.

Resumo:

Se a fórmula é: então é denominada:

Verdadeira sob pelo menos uma das interpretações possíveis

satisfatível

Verdadeira sob todas as interpretações possíveis

satisfatível válida ou tautologia

Falsa sob todas as interpretações possíveis

insatisfatível contradição ou negação (inválida(*))

Nem Tautologia nem Negações satisfatível contingência

(*) Na literatura inglesa pertinente ao tema aparece a palavra “invalid” com relação às negações ou contradições. Em inglês, é mais raro encontrar-se a palavra “negation” do que “contradiction” relacionado ao mesmo conceito, por isto por uma questão de preservação da palavra e não totalmente do significado é que optamos pela palavra “inválido”.


2.12

2.7.- Construção de Tabelas Verdade ou Tabelas de Valores Lógicos de L0

A construção de tabelas de valores lógicos ou de valores semânticos (mais conhecidas, no caso da

Lógica Proposicional, como tabelas-verdade) irá nos permitir classificar as fórmulas de L0 quanto a serem

tautologias, contradições (negações) ou contingências. A seguir vamos dar um exemplo deste tipo de

construção de tabelas semânticas para a Linguagem Proposicional, passo a passo, e propor um outro

exercício bastante necessário para o entendimento deste tipo de construção.

2.7.1.- Exercícios-modelo:

São apresentados três exercícios a seguir. O primeiro deles irá mostrar, passo a passo, a forma de

se avaliar semanticamente uma fórmula complexa da Linguagem Proposicional. O segundo exercícios

serve para a fixação da aprendizagem e o terceiro para transferência do que foi aprendido para o caso de

fórmulas complexas contendo três variáveis proposicionais (fórmulas atômicas).

2.7.1.1.- Exercício 1

Construa a tabela de valores lógicos para a seguinte fbf da Linguagem Proposicional, dada por:

¬¬¬¬(P ⇒⇒⇒⇒Q ) ⇔⇔⇔⇔ (P ∧∧∧∧¬¬¬¬Q)

Resolução, passo a passo, do exercício 1:

[1o passo] Construa uma tabela como abaixo com “2n + 1” linhas, onde n será a quantidade das subfórmulas atômicas distintas, componentes da fbf (no nosso caso: P e Q). Na primeira linha à esquerda coloque cada um destes átomos, separando a tabela em colunas que devem receber todas as possíveis interpretações para o conjunto de fórmulas atômicas (neste caso: 22 interpretações distintas possíveis):

P Q V V V F F V F F

[2o passo] Se houver na fórmula dada, algum átomo aparecer negado, inscreva-o(s) a partir da terceira coluna:

P Q ¬¬¬¬ Q V V V F F V F F


2.13

[3o passo] Inscreva, nas demais colunas, cada uma das subfórmulas da fórmula dada, reservando uma coluna para o resultado final. No caso deste exercício modelo, a coluna que receberá os valores lógicos finais poderá ser encimada apenas pelo símbolo ⇔⇔⇔⇔. Veja que a fórmula, inicialmente dada, pode ser enquadrada nas três últimas colunas da nossa tabela.

P Q ¬¬¬¬ Q P ⇒⇒⇒⇒ Q ¬¬¬¬(P ⇒⇒⇒⇒ Q) ⇔⇔⇔⇔ (P ∧∧∧∧ ¬¬¬¬Q) V V V F F V F F

[4o passo] Agora só resta preencher as lacunas da tabela com os valores lógicos correspondentes a cada uma das subfórmulas constantes no topo de cada coluna, e isto, em função dos valores das variáveis P e Q e da negação de Q, ¬¬¬¬Q, obtendo o resultado na coluna correspondente ao símbolo ⇔⇔⇔⇔ que mostra que as duas subfórmulas “¬¬¬¬(P ⇒⇒⇒⇒ Q)” e “(P ∧∧∧∧ ¬¬¬¬Q)” são equivalentes, e a fórmula dada é uma Tautologia.

P Q ¬¬¬¬ Q P ⇒⇒⇒⇒Q ¬¬¬¬(P ⇒⇒⇒⇒ Q) ⇔⇔⇔⇔ (P ∧∧∧∧ ¬¬¬¬Q) V V F V F V F V F V F V V V F V F V F V F F F V V F V F


Complete a tabela de valores lógicos abaixo, mostrando que a L0-fórmula a seguir é uma

tautologia: ¬¬¬¬( ¬¬¬¬P \/ Q) /\ (P \/ ¬¬¬¬ Q) ) ⇔⇔⇔⇔ ( ¬¬¬¬(P ⇔⇔⇔⇔ Q) )

P Q V V V F F V F F

Resposta do Exercício 2: _________________________


Complete, como exercício, a tabela verdade da seguinte fórmula, verificando se é uma tautologia,

negação ou contingência:

(P /\ Q) ⇒⇒⇒⇒ R] /\ (P ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬R)


2.14

• OBSERVAÇÃO IMPORTANTÍSSIMA: Note que as possíveis combinações de valores

lógicos na tabela, agora serão constituídas dos valores verdade tomados três a três, pois a

sentença possui três variáveis proposicionais. Se adotarmos a seguinte correspondência para

V e F: V ↔ 1 e F ↔ 0, veremos que as linhas da tabela (que apresentam as possíveis

interpretações para P, Q e R) quando reescritas segundo esta convenção, passarão a

apresentar-se como: 111; 110; 101; 100; 011; 010; 001 e 000, que representam números

inteiros em ordem estritamente crescente. Isto nos permite criar tabelas onde a ordem das

interpretações ficará sempre estabelecida de maneira unívoca. Veja, por exemplo, que no caso

de 4 variáveis proposicionais poderíamos escrever as interpretações na seguinte ordem: 1111;

1110; 1101; 1100;1011; 1010; 1001; 1000; 0111; 0110; 0101; 0100;0011; 0010; 0001 e 0000.

P Q R V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Resposta do Exercício 3: _________________________

2.8- As Primeiras Tautologias Notáveis de L0

Podemos mostrar facilmente, através da construção das tabelas de valores lógicos, que as seguintes

fórmulas são tautologias em L0: (p ⇒⇒⇒⇒ q ) ⇔⇔⇔⇔ (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q) e (p ⇔⇔⇔⇔ q) ⇔⇔⇔⇔ ( (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ ( p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q) ).

Denominadas respectivamente substituição da implicação e substituição da equivalência:

podem ser assumidas como “fórmulas de simplificação” que permitirão reescrever as fórmulas da Lógica

Proposicional apenas em função de conjunções ( ∧ ), disjunções ( ∨ ) e negações ( ¬ ). Isto nos mostra

que poderíamos ter definido como símbolos lógicos básicos de L0 apenas: a negação, a conjunção e

disjunção para, a partir deles, definir a implicação (⇒) e a equivalência (⇔).

2.9.- Equivalências Notáveis de L0 – Propriedades Algébricas de L0

Assim como as fórmulas de substituição dadas a conhecer no parágrafo anterior, outras fórmulas –

que são expressas sob a forma de equivalências – podem ser mostradas como tautológicas através da


2.15

construção de suas respectivas tabelas de valores-verdade. Iremos apresentar a seguir uma série destas

tautologias alertando que será de grande vantagem podermos assumi-las como Propriedades Algébricas,

Regras ou Leis da Lógica Proposicional.

Nome Algumas Propriedades Algébricas de L0

1. Dupla Negação ¬¬¬¬¬¬¬¬p ⇔⇔⇔⇔ p

2. Comutatividade (2.a) p ∧∧∧∧ q ⇔⇔⇔⇔ q ∧∧∧∧ p (2.b) p ∨∨∨∨ q ⇔⇔⇔⇔ q ∨∨∨∨ p

3. Associatividade (3.a) (p ∧∧∧∧ q) ∧∧∧∧ r ⇔⇔⇔⇔ p ∧∧∧∧ (q ∧∧∧∧ r) (3.b) (p ∨∨∨∨ q) ∨∨∨∨ r ⇔⇔⇔⇔ p ∨∨∨∨ (q ∨∨∨∨ r)

4. Distributividade (4.a) r ∨∨∨∨(p ∧∧∧∧ q) ⇔⇔⇔⇔ (r ∨∨∨∨ p) ∧∧∧∧(q ∨∨∨∨ r) (4.b) r ∧∧∧∧(p ∨∨∨∨ q) ⇔⇔⇔⇔ (r ∧∧∧∧ p) ∨∨∨∨ (r ∧∧∧∧ q)

5. Tautologia p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬p ⇔⇔⇔⇔ p

6. Contradição p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p ⇔⇔⇔⇔ Falso

7. Idempotência (7.a) p ∧∧∧∧ p ⇔⇔⇔⇔ p (7.b) p ∨∨∨∨ p ⇔⇔⇔⇔ p

8. Idempotência (8.a) ¬¬¬¬p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬p ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬p (8.b) ¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬p

9. Identidade (9.a) p ∧∧∧∧ Verdade ⇔⇔⇔⇔ p (9.b) p ∨∨∨∨ Falso ⇔⇔⇔⇔ p

10. Absorção (10.a) p ∨∨∨∨ Verdade ⇔⇔⇔⇔ Verdade (10.b) p ∧∧∧∧ Falso ⇔⇔⇔⇔ Falso

11. Adição (11.a) p ⇒⇒⇒⇒ p ∨∨∨∨ q (11.b) q ⇒⇒⇒⇒ p ∨∨∨∨ q

12. Contraposição (p ⇒⇒⇒⇒ q) ⇔⇔⇔⇔ (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬p)

13. Lei de De Morgan (13.a) ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ q) ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q (13.b) ¬¬¬¬(p ∨∨∨∨ q) ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q

14. Substituição da ⇒⇒⇒⇒ ( p ⇒⇒⇒⇒ q ) ⇔⇔⇔⇔ (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q )

15. Substituição da ⇔⇔⇔⇔ (p ⇔⇔⇔⇔ q) ⇔⇔⇔⇔ [(p ⇒⇒⇒⇒ q) ∧∧∧∧ (q ⇒⇒⇒⇒ p)] (p ⇔⇔⇔⇔ q) ⇔⇔⇔⇔ [(¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ (¬¬¬¬q ∨∨∨∨ p)]

2.10.- Aplicações das Propriedades Algébricas da Lógica Proposicional

Duas aplicações bastante notáveis decorrentes da aceitação destas equivalência entre as L0-fórmulas, como tautologias – o que pode ser verificado através de suas respectivas tabelas lógicas − são as seguintes:

[1] Sabe-se que as implicações e as equivalências podem ser reescritas respectivamente utilizando-se os símbolos de conjunções, disjunções e negações, assim as L0-fórmulas poderão ser colocadas na forma normal − disjuntiva ou conjuntiva − o que será visto a seguir;

[2] Através de manipulações algébricas convenientemente baseadas nas leis da tabela anterior, pode-se mostrar que uma L0-fórmula é uma tautologia. A idéia e ir reduzindo sistematicamente seus termos até obtermos como subfórmulas tautologias mais simples que possam ser substituídas pelo símbolo V ou , ou então, obtermos negações (contradições) que seria substituídos por F ou

. Isto nos permitirá provar, ainda que rudimentarmente, dispensando o uso das tabelas de valores lógicos, a validade de algumas L0-fórmulas, ou seja, que elas são teoremas de L0 ou L0-Teoremas.


2.16

2.10.1.- Obtenção de Formas Normais – Definição, Exemplos e o Método de Post

Uma fórmula-bem-formada está na forma normal se, e somente se,

contém apenas conectivos dos tipos: ∧∧∧∧ e ∨∨∨∨, e símbolos de negação: ¬¬¬¬ .

Há duas formas de se normalizar as fórmulas-bem-formadas da Lógica Proposicional: pode-se

fazer com que as sentenças da Lógica Proposicional assumam as formas normais disjuntivas ou

formas normais conjuntivas, o que é de grande interesse quando se trata de aplicar, por exemplo, a

Lógica Proposicional na solução de problemas práticos no campo da eletrônica digital.

2.10.1.1.- Forma Normal Disjuntiva:

(p1 ∧∧∧∧ p2 ∧∧∧∧ ... ∧∧∧∧ pn) ∨∨∨∨ (q1 ∧∧∧∧ q2 ∧∧∧∧... ∧∧∧∧ qn) ∨∨∨∨ ... ∨∨∨∨ (r1 ∧∧∧∧ ...) ∨∨∨∨ ...

2.10.1.2.- Forma Normal Conjuntiva:

(p1 ∨∨∨∨ p2 ∨∨∨∨ ... ∨∨∨∨ pn) ∧∧∧∧ (q1 ∨∨∨∨ q2 ∨∨∨∨ ... ∨∨∨∨ qn) ∧∧∧∧ ... (r1 ∨∨∨∨ ...) ∧∧∧∧ ...

2.10.1.3.- Exemplos – Transformações de Fórmulas de L0 para a Forma Normal

Exemplo 1:

Seja colocar a fbf ( p ∧∧∧∧ (q ⇒⇒⇒⇒ r) ) ⇒⇒⇒⇒ s na forma normal, utilizando as propriedades algébricas de

L0, justificando cada uma das passagens:

Exemplo 2:

Seja colocar a fbf ( p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q ) ⇔⇔⇔⇔ (p ∨∨∨∨ q) na forma normal, utilizando as propriedades algébricas de

L0, justificando cada uma das passagens:


2.17

Transformações Algébricas: Regra a se aplicada:

�� Entrada: ( p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q ) ⇔⇔⇔⇔ (p ∨∨∨∨ q) Substituição da ⇔⇔⇔⇔

( p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q ) ⇔⇔⇔⇔ (p ∨∨∨∨ q) Substituição da ⇒⇒⇒⇒

( ( p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q ) ⇒⇒⇒⇒ (p ∨∨∨∨ q) ) ∧∧∧∧( ( p ∨∨∨∨ q ) ⇒⇒⇒⇒ (p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) ) Lei de De Morgan

( ¬¬¬¬( p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q ) ∨∨∨∨ (p ∨∨∨∨ q) ) ∧∧∧∧( ¬¬¬¬( p ∨∨∨∨ q ) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) )

( (¬¬¬¬ p ∨∨∨∨¬¬¬¬¬¬¬¬q ) ∨∨∨∨ (p ∨∨∨∨ q) ) ∧∧∧∧( (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q ) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) )

�� Saída: Forma Normal Conjuntiva

2.10.1.4.- Obtenção de Formas Normais – O Método de Post

A obtenção das fórmulas normais disjuntivas ou conjuntivas através de manipulação algébrica é

algo trabalhosa, por isto lançaremos mão de um método, denominado Método de Post − que é

normalmente apresentado sob a forma de um teorema (Teorema de Post) cujo enunciado é bastante

complexo e a prova idem. Como a prova deste teorema foge ao escopo de nosso texto preferimos

apresentá-lo aqui, como muitos autores normalmente fazem, apresentá-lo como um método6.

Método para Obtenção de Formas Normais Disjuntivas

[1] Seja S um conjunto de símbolos proposicionais, S = {p1, p2, ... , pn}e seja uma proposição φ composta por símbolos oriundos de S.

Exemplo: S = {p1, p2, p3,..., pn} com ,...)p,p,p( 321φ=φ

[2] Construa a tabela verdade de φ, e escolha as linhas da tabela em que v(φ) = V.

Exemplo:

p1 p2 p3 ... φφφφ

6 Método: procedimento, técnica ou meio de se fazer alguma coisa, especialmente de acordo com um plano.


2.18

V V V ... F

V V F ... V

V F V ... F

V F F ... V

F V V ... V

F V F ... F

F F V ... F

F F F ... F

[3] Escreva para cada uma destas linhas a sentença conjuntiva ψj, 1 ≤ j ≤ 7: 'n

'2

'1 p...pp ∧∧∧ tal que :

=¬

==

F) v(pse p

V) v(pse p p

ii

ii'i

Exemplo: ψ1 = 321 ppp ¬∧∧ ; ψ2 = 321 ppp ¬∧¬∧ e ψ3 = 321 ppp ¬∧∧¬

[4] Escrevendo em seguida a sentença ψ1 ∨ ψ2 ∨ ... ∨ ψn que será a nova sentença equivalente à φ, somente que agora na Forma Normal Disjuntiva.

Exemplo: φ ≡ψ1 ∨ ψ2 ∨ ψ3 =( 321 ppp ¬∧∧ ) ∨ ( 321 ppp ¬∧¬∧ ) ∨ ( 321 ppp ¬∧∧¬ )

� Sugere-se ao leitor mais atento que faça um teste deste método utilizando sentenças simples, para

verificar em seguida à transformação se a sentença dada e a obtida são equivalente lógicos.

2.10.2.- Provando Teoremas na Lógica Proposicional – Duas Formas de Abordagem

Até aqui, no caso da Lógica Proposicional, entre as maneira de provar que fórmulas-bem-formadas

(fbfs) são teoremas, ou seja, que elas são fórmulas válidas nesta linguagem, estão as seguintes:

(1ª) a utilização de tabelas verdade;

(2ª) A prova direta através de manipulações algébrico-semânticas que envolvem o uso das

regras algébricas de L0 (vide tabela dada anteriormente) e os valores lógicos V ( ) ou F

( ), quando for o caso, respectivamente usados em substituições diretas de tautologias e

negações evidentes.


2.19

a primeira destas formas acreditamos que já esteja bastante testada nesta altura e a segunda que será

mostrada em alguns exemplos a seguir, que como se pode intuir, não é de todo difícil, mas é bastante

trabalhosa.

Mais adiante, no capítulo 4, iremos finalmente exibir a Lógica Proposicional como uma

teoria axiomática ou, mais propriamente, como um Sistema Formal Axiomático, e aí poderemos

mostrar os métodos dedutivos a partir desta nova perspectiva. Poderemos então provar L0-

Teoremas e derivar novas L0-tautologias utilizando um conjunto de axiomas ou mesmo de

esquemas axiomáticos(*)

que deverão estar associados a pelo menos uma regras de indução.

Introduziremos ainda, as regras de Dedução Natural, de acordo com as concepções de Gerhard

Gentzen. Este último método é bastante estudado por permitir seu uso também nas lógicas de

primeira ordem, como se verá, no capítulo dedicado ao estudo da Lógica Predicativa.

Vamos examinar a seguir a prova de teoremas através de do uso de manipulação algébrico-

semântica de acordo com o que ficou estabelecimento na tabela intitulada: Algumas Propriedades

Algébricas de L0, vista anteriormente.

2.10.2.1.- Exemplo 1: Provando uma equivalência por manipulação algébrica

• Vamos provar que ¬¬¬¬(p ∨∨∨∨ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ q) ⇔⇔⇔⇔ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q).

O que se quer provar: ¬¬¬¬(p ∨∨∨∨ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ q) ⇔⇔⇔⇔ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) . Regra a ser aplicada (vide Tabela): Entrada �� ¬¬¬¬(p ∨∨∨∨ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ q) Lei De Morgan (5.b)

¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) Lei De Morgan (5.a) ¬¬¬¬p ∧∧∧∧ (¬¬¬¬¬¬¬¬p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q) Dupla negação (1) ¬¬¬¬p ∧∧∧∧ (p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q) Distributividade (7.b) (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ p) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) Contradição(FA7)

Falso ∨∨∨∨ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) Decisão Disjuntiva (FA4.b) Saída �� (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) FIM

(*) Como se poderá ver mais à frente um esquema de axiomas é “um” axioma que através da regra de inferência denominada regra da substituição passa a ser assumido como infinitos axiomas. Um axioma deste tipo aparece na literatura inglesa como “axiom schema” que em português ficaria mais bem traduzido, de acordo com o sentido que deve ser dado ao conceito, como “axioma esquemático” que é, justamente, o nome que aqui adotamos. No entanto, na literatura em português alguns autores evitam este problema de tradução, adotando o nome de “esquema de axiomas” para o conjunto de axiomas esquemáticos de um dado sistema. A idéia de se traduzir “axiom schema” como “axioma-esquema” parece ser cativante, mas eu preferi: axioma

esquemático, por ser mais expressiva.


2.20

2.10.2.2.- Exemplo 2: Provando uma implicação

• Vamos provar que (p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ (p ∨∨∨∨ q) é uma fbf válida em L0 (é uma Tautologia):

O que se quer provar: (p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ (p ∨∨∨∨ q) . Regra a ser aplicada (Vide Tabela): Entrada �� (p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ (p ∨∨∨∨ q) Substituição da ⇒⇒⇒⇒ (8)

¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ (p ∨∨∨∨ q) Lei De Morgan (5.a) (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q) ∨∨∨∨ (p ∨∨∨∨ q) Associatividade (6.b) ¬¬¬¬p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q ∨∨∨∨ p ∨∨∨∨ q Comutatividade (2.b) ¬¬¬¬p ∨∨∨∨ p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q ∨∨∨∨ q Associatividade (6.b)

(¬¬¬¬p ∨∨∨∨ p) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬q ∨∨∨∨ q) Tautologias (FA6) Verdade ∨∨∨∨ Verdade Tautologia Saída �� Verdade FIM

2.10.3.- Provando Teoremas na Lógica Proposicional: Segunda Abordagem

No caso das equivalências, como em φ ⇔ ψ, devem-se provar as implicações entre as duas

subfórmulas componentes, ou seja, deve-se provar que: φ ⇒ ψ e ψ ⇒ φ (ou seja: “φ ⇐ ψ”). Usualmente,

nos meios científicos em que se utilizam as provas de teoremas, a prova de uma equivalência (φ ⇔ ψ) é

dividida em duas partes: o símbolo “⇒” caracteriza a chamada “prova de ida”, onde φ é tomada como

hipótese e ψ como a tese, e o símbolo “⇐”, caracteriza a denominada “prova de volta”, onde ψ deve ser

tomado, agora, como hipótese e φ como a tese.

2.10.3.1.- Exemplo 3: Provando um Teorema de L0 – ida ( ⇒⇒⇒⇒ ) e volta ( ⇐⇐⇐⇐ )

Prove o Teorema: “ L0 (p ⇔⇔⇔⇔ q) ⇔⇔⇔⇔ (p ∧∧∧∧q) ∨∨∨∨ ( ¬¬¬¬p ∧∧∧∧¬¬¬¬q)”(*) denominado “Equivalência

Material” que poderia ser reescrito como uma equivalência: (p ⇔⇔⇔⇔ q) ⇔⇔⇔⇔ (p ∧∧∧∧q) ∨∨∨∨ ( ¬¬¬¬p ∧∧∧∧¬¬¬¬q) ou

melhor, como: “(p ⇔⇔⇔⇔q) se, e somente se, (p ∧∧∧∧q) ∨∨∨∨ ( ¬¬¬¬p ∧∧∧∧¬¬¬¬q)”.

Prova de (⇒⇒⇒⇒) - Passagens Algébrico-Semânticas

Entrada�� Hipótese : (p⇔⇔⇔⇔q)

Regra No Nome da Regra

a ser aplicada: ( (p ⇒⇒⇒⇒ q) ∧∧∧∧ (q ⇒⇒⇒⇒ p) ) 9 Substituição da ⇔⇔⇔⇔ ( (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ (¬¬¬¬q ∨∨∨∨ p) ) 8 Substituição da ⇒⇒⇒⇒

(*) Você verá no próximo item, um estudo mais detalhado sobre o uso do símbolo

L0.


2.21

( (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) ) ∨∨∨∨ ( (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ p) ) 7.b Distributividade ( ¬¬¬¬q ∧∧∧∧ (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q) ) ∨∨∨∨ ( ¬¬¬¬p ∧∧∧∧ (p ∨∨∨∨ q) ) 2 Comutatividade ( (¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬ q ∧∧∧∧ q) ) ∨∨∨∨ ( (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ q) ) 7.a Distributividade ( (¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ Falso ) ∨∨∨∨ ( (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ q) ) FA5.b Contradição ( (¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ Falso ) ∨∨∨∨ ( ¬¬¬¬p ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ q) ) FA6.b Idempotência (negação) ( (¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ Falso ) ∨∨∨∨ ( ¬¬¬¬p ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ q) ) 3.a Idempotência (¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ q) 2.a Comutatividade (p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) 2.a Comutatividade Saída�� Tese: ( (p ∧∧∧∧q) ∨∨∨∨( ¬¬¬¬p ∧∧∧∧¬¬¬¬q) ) FIM de (⇒⇒⇒⇒)

A segunda parte da prova do Teorema, a volta (⇐), será obtida pela simples inversão do raciocínio

da tabela acima. Normalmente, em outras áreas da Matemática, esta prática de simples inversão para

provar a equivalência, a partir da prova de uma das implicações, não funciona tão bem, exigindo outros

tipos de raciocínio.

2.10.3.2.-.- Exemplo 4: Provando um Teorema de L0 – ida ( ⇒⇒⇒⇒ ) e volta ( ⇐⇐⇐⇐ )

Prove o Teorema denominado “Exportação-Importação”, expresso pela seguinte fbf de L0 como ( (p ∧∧∧∧q) ⇒⇒⇒⇒ r ) ⇔⇔⇔⇔ ( p ⇒⇒⇒⇒ (q ⇒⇒⇒⇒ r) ). (O preenchimento das dus últimas colunas da tabela de prova do Teorema são deixadas para o leitor) Prova de (⇒⇒⇒⇒) - Passagens Algébrico-Semânticas

Entrada�� 1ª Hipótese : (p∧∧∧∧q) ⇒⇒⇒⇒ r

Regra No

Nome da Regra

¬¬¬¬(p∧∧∧∧q) ∨∨∨∨ r - - - - - (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q) ∨∨∨∨ r ¬¬¬¬p ∨∨∨∨ (¬¬¬¬q ∨∨∨∨ r) ¬¬¬¬p ∨∨∨∨ (q ⇒⇒⇒⇒ r) (p ⇒⇒⇒⇒ (q ⇒⇒⇒⇒ r) ) Saída�� 1ª Tese: ( p ⇒⇒⇒⇒ (q ⇒⇒⇒⇒ r) ) FIM de (⇒⇒⇒⇒) Então: ( (p ∧∧∧∧q) ⇒⇒⇒⇒ r ) ⇒⇒⇒⇒ ( p ⇒⇒⇒⇒ (q ⇒⇒⇒⇒ r) ) Prova de (⇐⇐⇐⇐) - Passagens Algébrico-Semânticas

Entrada�� 2ª Hipótese : ( p ⇒⇒⇒⇒ (q ⇒⇒⇒⇒ r)

Regra No

Nome da Regra

¬¬¬¬p ∨∨∨∨ (q ⇒⇒⇒⇒ r) ¬¬¬¬p ∨∨∨∨ (¬¬¬¬q ∨∨∨∨ r) (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q) ∨∨∨∨ r ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ r (p∧∧∧∧q) ⇒⇒⇒⇒ r Saída�� 2ª Tese: (p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ r FIM de (⇐⇐⇐⇐) Então: (( p ⇒⇒⇒⇒ (q ⇒⇒⇒⇒ r) ⇒⇒⇒⇒ (p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ r ) ) SAÍDA FINAL - ida ( ⇒⇒⇒⇒ ) e volta ( ⇐⇐⇐⇐ ): ( (p ∧∧∧∧q) ⇒⇒⇒⇒ r ) ⇔⇔⇔⇔ ( p ⇒⇒⇒⇒ (q ⇒⇒⇒⇒ r) )

FIM da PROVA.


2.22

2.10.4.- A Validade de fbfs de L0 através de Manipulações Algébricas – Abordagem Teórica

A aplicação sucessiva das Propriedades Algébricas de L0 geralmente nos permitirá verificar a

validade ou a não validade de outras fbfs desta lógica.

2.11.- Argumentos Válidos e Inválidos em L0

Vamos a seguir mostrar a partir de dois pontos de vista o que são os argumentos.

O primeiro ponto de vista é mais abrangente e informal, dizendo respeito à uma dada Linguagem

Natural, que bem poderia ser a língua portuguesa. O segundo ponto de vista diz respeito a uma linguagem

formal, mais especificamente, e especificamente aqui no nosso caso, à Linguagem da Lógica

Proposicional, aqui apresentada simbolicamente como L0 .

2.11.1.- Argumentos – Abordagem Informal

Um argumento reúne necessariamente três elementos preponderantes: (i) as considerações básicas

(as premissas), (ii) a maneira de associar estas considerações (a inferência) e (iii) a verdade a que se quer

chegar (a conclusão):

• Premissas: Normalmente tomam-se como premissas considerações tidas ou reconhecidas como

verdadeiras.

• Inferência: é a operação intelectual por meio da qual se afirma que uma conclusão é verdadeira

em decorrência de sua ligação com considerações já reconhecidas como verdadeiras. Muitas

vezes, uma inferência é tida como operação que consiste em, tomando por base amostras

estatísticas, efetuar generalizações.

• Conclusão: qualquer consideração que decorre necessária e logicamente, segundo regras

operatórias implícitas ou explícitas, de enunciados anteriores.

• Argumentar: é produzir considerações destinadas a apoiar uma conclusão.


2.23

2.11.2.- Argumentos – Abordagem Formal

Um argumento é composto por uma série de n + 1 proposições, no qual, todas as n primeiras

proposições (p1, p2, p3, ..., pn), denominadas premissas, objetivam servir de base semântica para a n-ésima

primeira destas proposições (q), aquela que é denominada conclusão.

Seja Γ uma seqüência p1, p2, p3, ..., pn de n fbfs de L0, não necessariamente ordenada,

e seja q, também uma fbf de L0 :

p1, p2, p3, ..., pn q (ou Γ q ) representa um argumento válido em L0 se, e somente

se, não existirem interpretações para a seqüência p1, p2, p3, ..., pn e q, sob as quais, as n

primeiras sendo todas verdadeiras resulta a última falsa.

2.11.2.1.- Validade Semântica e Validade Sintática em L0

As notações: p1, p2, p3, ..., pn q ou Γ q representa o fato: p1, p2, p3, ..., pn, q é válido em L0,

quando e somente quando, q é verdadeira em todas as interpretações nas quais p1, p2, p3, ..., pn são

verdadeiras. Como a semântica de L0 é baseada nos valores lógicos duais: V e F, e este tipo de argumento

é baseado nestes valores ditos semânticos, diz-se que temos aqui uma validade semântica. A leitura mais

indicada para a expressão: “Γ q” seria: “Γ acarreta semanticamente q”, ou o conjunto de premissas

contidas em Γ acarretam (semanticamente) q”.

Por outro lado a notação p1, p2, p3, ..., pn q estará reservada para os argumentos denominados

sintáticos, e representarão validades sintáticas, isto é, quando e somente quando q for derivável p1, p2, p3,

..., pn e dos axiomas de L, se eles existem, pelas regras de inferência de L. Isto será visto no capítulo 4, a

seguir. A leitura mais indicada para a expressão: “p1, p2, p3, ..., pn q” seria: “q é derivável de p1, p2, p3,

..., pn”, não sendo a palavra “derivável” indicada para o caso anterior (Γ q), como se poderá ver a

seguir.

2.11.2.2.- Argumentos Válidos e Não Válidos – Observações

• p1, p2, p3, ..., pn q e Γ q deve ser interpretado como: “quando p1, p2, p3, ..., pn forem todas

verdadeiras, q também o será, obrigatoriamente”, este é um argumento válido.


2.24

• As notações: p1, p2, p3, ..., pn L0

q ou ΓL0

q representam o fato: p1, p2, p3, ..., pn e q são válidas em L0,


verdadeiras em L0.

• q significa que q é uma tautologia.

• q significa que q é uma contradição ou uma contingência.

• p1, p2, p3, ..., pn q deve ser interpretado como: “quando p1, p2, p3, ..., pn forem todas verdadeiras e q

for falsa”, este argumento é não válido ou inválido.

2.11.2.3.- Exemplos – Argumentos Válidos:

Iremos verificar, como exemplo, os seguintes cinco argumentos através de raciocínio

semântico e, quando necessário, buscando na tabela de valores semânticos (tabela de valores

verdade) o fato de todas as premissas sendo verdadeiras a conclusão não ser falsa.

Exemplo 1:

p ⇒⇒⇒⇒ q, p q ou p ⇒⇒⇒⇒ q, p q ?

Verificação por raciocínio:

Seja adotar por hipótese: v(p⇒q) = V e v(q) = V.

Pela definição do valor semântico da implicação: ]F)q(vV)p(v[]F)qp(v[ =∧=⇔=⇒ .

Se v(p⇒q) = V e v(p) = V (hipóteses), tem-se que v(q) =¬F, isto é, v(q) = V, podendo-se afirmar que

“p ⇒ q, p q”, ou seja, o argumento é válido.

Verificação através da Tabela de valores semânticos (valores verdade):

linha p q p⇒⇒⇒⇒q q linha

1 V V V V 1 2 V F F F 2 3 F V V F 3 4 F F V F 4

� A linha 1 da tabela nos mostra que p ⇒⇒⇒⇒ q, p q.


2.25

Exemplo 2:

Nos dois casos a seguir: (a) p, q q ou p, q q? (b) p, q p ou p, q p ?


Da hipótese: v(p) = V e v(q) = V, é trivial verificar que nos dois casos (a) e (b) a conclusão é V.

Exemplo 3:

p, p ∧∧∧∧q q ou p, p ∧∧∧∧q q ?


Da hipótese v(p)= V e v(p∧q)=V e

pela definição de valor semântico da conjunção: ]V)q(vV)p(v[]V)qp(v[ =∧=⇔=∧

obtém-se v(q) = V, sendo impossível que ocorra a partir daquelas hipóteses: v(q) = F.

Logo: “p, p∧q q” é um argumento válido.

Exemplo 4:

p⇔⇔⇔⇔q, p q ou p⇔⇔⇔⇔q, p q ?


Da hipótese v(p)= V e v(p⇔q)=V, como p é equivalente semântico de q, então v(q) = V.

2.11.2.4.- Contra-exemplos – Argumentos Não Válidos:

Contra-exemplo 1:

Queremos verificar se “p ⇒⇒⇒⇒ q” e “q” são premissas das quais se pode derivar “p”, ou seja , queremos saber se “p ⇒⇒⇒⇒ q, q p” é um argumento válido ou então se “p ⇒⇒⇒⇒ q, q p” é um argumento não válido (inválido).

Verificação do [Contra-exemplo 1 ] por raciocínio:

Seja adotar por hipótese: v(p ⇒ q) = V e v(q) = V.

Assim, v(p ⇒ q) = v(p ⇒ V) = V de onde, observando-se a definição do valor semântico da relação de

implicação, temos:

=

∧

=

⇔=⇒

F)q(v

V)p(v

F)qp(v ou seja, v(p⇒V)=V, se apresentará com duas


2.26

possibilidades: (i) v(V ⇒ V) = V ; (ii) v(F ⇒ V) = V, assim, “p ⇒⇒⇒⇒ q, p q” pois para v(p) = F ou v(p)

= F, “p ⇒ q, p q” é um argumento não válido (invalido).

Contra-exemplo 2:

Vamos agora supor que tenhamos as premissas p ⇒⇒⇒⇒ q e p ∨∨∨∨q e queremos concluir que a p

⇔⇔⇔⇔ q. Talvez consigamos algum resultado por raciocínio. Mas tentaremos primeiramente a

tabela verdade:

linha p q p⇒⇒⇒⇒q p∨∨∨∨q p⇔⇔⇔⇔q linha

1 V V V V V 1 2 V F F V F 2 3 F V V V F 3 4 F F V F F 4

Note que a linha 1 nos permitiria afirmar que “p⇒⇒⇒⇒q, p∨∨∨∨q p⇔⇔⇔⇔q” seria um argumento

válido, mas observe o que ocorre na linha 3. Na linha 3 ocorre que v(p⇒⇒⇒⇒q) = V, e v(p∨∨∨∨q) = V sendo

que v(p⇔⇔⇔⇔q)=F, assim “p⇒⇒⇒⇒q, p∨∨∨∨q p⇔⇔⇔⇔q”, ou seja, este é um argumento inválido.

2.11.3.- Teoremas sobre os Argumentos Válidos

2.11.3.1.- Teorema 1:

p1, p2, p3, ..., pn q ⇔⇔⇔⇔ (p1 ∧∧∧∧ p2 ∧∧∧∧ p3 ∧∧∧∧ ... ∧∧∧∧ pn) q

Prova: (temos que provar uma equivalência) (⇒⇒⇒⇒)

• Seja por hipótese: p1, p2, p3, ..., pn q. Isto equivale a se aceitar como hipótese que v(pi) =

V para i = 1,2,3,...,n e que v(q) = V.

• Pela definição da conjunção, se todas as fórmulas atômicas presentes em p1 ∧∧∧∧ p2 ∧∧∧∧ p3 ∧∧∧∧ ...

∧∧∧∧ pn são verdadeiras, tem-se (p1 ∧∧∧∧ p2 ∧∧∧∧ p3 ∧∧∧∧ ... ∧∧∧∧ pn) q corresponde semanticamente a V

q ou, ainda, pela hipótese v(q) = V, que V V.

(⇐⇐⇐⇐) • Seja por hipótese: (p1 ∧∧∧∧ p2 ∧∧∧∧ p3 ∧∧∧∧ ... ∧∧∧∧ pn) q. Isto equivale a se aceitar como hipótese que

v(p1 ∧∧∧∧ p2 ∧∧∧∧ p3 ∧∧∧∧ ... ∧∧∧∧ pn) = V e que v(q)=V.


2.27

• Pela definição da conjunção, se v(p1 ∧∧∧∧ p2 ∧∧∧∧ p3 ∧∧∧∧ ... ∧∧∧∧ pn) = V então v(p1)=V, v(p2)=V,

v(p3)=V, ..., v(pn) = V e temos, da hipótese, v(q)=V. Logo , podemos escrever pela

definição de argumento válido que: p1, p2, p3, ..., pn q.

2.11.3.2.- Teorema 2:

p1, p2, p3, ..., pn q ⇔⇔⇔⇔ v( (p1 ∧∧∧∧ p2 ∧∧∧∧ p3 ∧∧∧∧ ... ∧∧∧∧ pn) ⇒⇒⇒⇒ q ) = V

Esquema de Prova: (⇒⇒⇒⇒) Hipótese: p1, p2, p3, ..., pn q usar as definições de conjunção e implicação para provar a Tese: v(

(p1 ∧∧∧∧ p2 ∧∧∧∧ p3 ∧∧∧∧ ... ∧∧∧∧ pn) ⇒⇒⇒⇒ q ) = V.

(⇐⇐⇐⇐)

Hipótese: v( (p1 ∧∧∧∧ p2 ∧∧∧∧ p3 ∧∧∧∧ ... ∧∧∧∧ pn) ⇒⇒⇒⇒ q ) = V usar as definições de argumento válido para provar a

Tese: p1, p2, p3, ..., pn q.

2.11.3.- Vários Teoremas sobre Argumentos Válidos – Provar como Exercício

Considerando Γ como uma seqüência p1, p2, p3, ..., pn de n fbfs de L0, não necessariamente

ordenada, sendo q e r , também uma fbfs de L0 e p1, p2, p3, ..., pn q (ou Γ q ), conforme definido

anteriormente representando um argumento válido em L0, prove os seguintes teoremas:

Teorema 3: ΓΓΓΓ, p q ⇔⇔⇔⇔ ΓΓΓΓ p →→→→ q

Exemplo: q→→→→(p→→→→q) ⇔⇔⇔⇔ q p→→→→q ⇔⇔⇔⇔ q, p q

Teorema 4: ΓΓΓΓ q ∧∧∧∧ ΓΓΓΓ ⊆⊆⊆⊆ ΓΓΓΓ’ ⇒⇒⇒⇒ ΓΓΓΓ’ q

Exemplo: Seja ΓΓΓΓ correspondendo à seqüência de fbfs de L0 “p, p→→→→q” e seja ΓΓΓΓ p .

Se ΓΓΓΓ’ corresponde a p, p→→→→q, r então ΓΓΓΓ, r p ou seja, ΓΓΓΓ’ p .

Teorema 5: ΓΓΓΓ, p, p→→→→q r ⇔⇔⇔⇔ ΓΓΓΓ, p, q r

Teorema 6: ΓΓΓΓ, p ∧∧∧∧ q r ⇔⇔⇔⇔ ΓΓΓΓ, p, q r

Teorema 7: ΓΓΓΓ p ∧∧∧∧ q ⇔⇔⇔⇔ ( ΓΓΓΓ p ∧∧∧∧ ΓΓΓΓ q )

Teorema 8: ΓΓΓΓ q ⇒⇒⇒⇒ ( ΓΓΓΓ, q r ⇔⇔⇔⇔ ΓΓΓΓ r)


2.28

Teorema 9: ΓΓΓΓ, p ∨∨∨∨ q r ⇔⇔⇔⇔ ( ΓΓΓΓ, p r ∧∧∧∧ ΓΓΓΓ, q r )

Teorema 10: ΓΓΓΓ p ∨∨∨∨ q ⇔⇔⇔⇔ ΓΓΓΓ, ¬¬¬¬p q

Teorema 11: ΓΓΓΓ, p →→→→ q r ⇔⇔⇔⇔ ( ΓΓΓΓ, ¬¬¬¬p r ∧∧∧∧ ΓΓΓΓ, q r )

Teorema 12: ΓΓΓΓ p ↔↔↔↔ q ⇔⇔⇔⇔ ( ΓΓΓΓ, p q ∧∧∧∧ ΓΓΓΓ, q p )

Teorema 13: ΓΓΓΓ p ↔↔↔↔ q r ⇔⇔⇔⇔ ( ΓΓΓΓ, p, q r ∧∧∧∧ ΓΓΓΓ, ¬¬¬¬p, ¬¬¬¬q r )


2.29


• A Lógica Proposicional é uma lógica formal (ou Lógica Matemática) que trabalha somente com

sentenças da linguagem natural que possam ser qualificadas quanto a serem Verdadeiras (V) ou

Falsas (F). Estas sentenças são denominadas proposições, mas geralmente são denominadas fórmulas

e, neste caso, fórmulas da Linguagem da Lógica Proposicional L0.

• Na Lógica Proposicional as sentenças são entendidas como verdadeiras caixas pretas da qual só

interessa saber o valor lógico que, neste caso, assume a característica de valor semântico das

proposições, isto é, sempre se procurará abstrair o significado lingüístico das mesmas. Isto torna

possível construir sentenças bastante estranhas, como a seguinte: “ ‘Paulo ama Maria’ ou ‘3+2=7’, então ‘Hoje é sábado’ ” que dependendo dos lógicos (V ou F) valores atribuídos a cada uma das três

sub- sentenças que a compõe poderá ser tomada como verdadeira ou falsa.

• As letras latinas minúscula serão assumidas como símbolos proposicionais substituindo as sentenças

em linguagem natural, podendo ser negados, ao utilizamos o sinal de inversão lógica ou negação: ¬ ou associados através do uso de conectivos lógicos: ∨ - ou; ∧ - e; ⇒ - implica; ⇔ - equivale. Assim a

sentença do exemplo anterior poderia ser formalmente expressa como “ p ∨ q⇒ r”.

• Cada proposição é assumida como fórmula da Linguagem da Lógica Proposicional, podendo as

mesmas serem compostas, como a do exemplo anterior, ou atômicas, como cada uma das três

subsentenças que a compõem.

• A Lógica Proposicional admite uma função de avaliação semântica ou função de atribuição de valor

lógico dada por: ∆ : P a { V, F } (onde P é o conjunto formado por todas as possíveis fórmulas de

extensão finita da Lógica Proposicional) irá permitir avaliar semanticamente sentenças compostas

como a acima. As tabelas a seguir nos fornecem os valores semânticos das possíveis sentenças com

duas proposições formadas por todos os conectivos da Lógica Proposicional e a da sentença atômica

e sua negação:

∆(p) ∆(q) ∆(p ∧ q) ∆(p ∨ q) ∆(p ⇒ q) ∆(p ⇔ q)

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V

• O fato mais notável fica por conta do seguinte: dependendo dos valores lógicos atribuídos a cada uma

das subsentenças da sentença composta “ p ∨ q⇒ r”, onde p e q são as premissas e r a conseqüência,

ela poderá ser assumida como uma sentença verdadeira mesmo quando a primeira premissa e a

conseqüência forem falsas. Verifique, agora qual o valor verdade da sentença composta: “ ‘Paulo ama Maria’ ou ‘3+2=5’, então ‘Hoje é sábado’ ”. Neste caso você sempre terá que concluir que: “hoje é sábado”, mesmo que não seja!!!!, pois se o conjunto de premissas é verdadeiro, a conclusão obrigatoriamente será verdadeira. É exatamente nisto que estão baseadas as provas dos Teoremas tanto na Lógica como ma Matemática.

∆(p) ∆(¬p)

V F

F V


2.30

2.5.- Trabalhos Experimentais e Exercícios de Fixação – Capítulo 2

1.- (Fixação) Assinale entre as expressões a seguir as fbf (fórmulas-bem-formadas) da Lógica Proposicional, justificando as suas respostas com: erro de sintaxe ou erro de parentetização

(*).

a) (⇒⇒⇒⇒p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) →→→→ sim ( ) não ( ) _______________________________________

b) p /\ ⇒⇒⇒⇒ q →→→→ sim ( ) não ( ) _______________________________________

c) (p = q) /\ (q = p) →→→→ sim ( ) não ( ) _______________________________________

d) (p /\) ¬¬¬¬(p ⇒⇒⇒⇒ q) →→→→ sim ( ) não ( ) _______________________________________

e) (p ¬¬¬¬ q) ⇔⇔⇔⇔ (q ¬¬¬¬ p) →→→→ sim ( ) não ( ) _______________________________________

f) (p ∧∧∧∧¬¬¬¬ q) ⇔⇔⇔⇔(q ∨∨∨∨¬¬¬¬ p) →→→→ sim ( ) não ( ) _______________________________________ 2.- (Fixação) Para cada uma das fórmulas abaixo, estabeleça todas as possibilidades de parentetização, de forma que cada sentença passe a representar "idéias distintas":

a) ¬¬¬¬ p ⇒⇒⇒⇒ q →→→→

b) p ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬q →→→→

c) p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬ r ⇔⇔⇔⇔ q →→→→

d) p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬ q ⇔⇔⇔⇔ q ∨∨∨∨ ¬¬¬¬ p →→→→

3.- (Fixação) Verifique o valor verdade de cada uma das fórmulas abaixo sendo dada a seguinte interpretação: Verdade: p, q e r e Falso: x, y e z.

a) (p ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬q) /\ (¬¬¬¬r ∨∨∨∨ z)

b) ( (¬¬¬¬z ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬x) ⇒⇒⇒⇒ (p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬r) ) ⇒⇒⇒⇒ (x ∨∨∨∨ q)

c) [¬¬¬¬ ( z∨∨∨∨(p ∧∧∧∧¬¬¬¬ y) ) ⇒⇒⇒⇒ (x ∨∨∨∨ ¬¬¬¬ r ) ] ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬q

d) ( (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ x) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬ r) ) ⇔⇔⇔⇔ ( (p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ z )

e) [ ( (p ∨∨∨∨ x) ∨∨∨∨ r ) ∧∧∧∧ (q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬r) ] ⇒⇒⇒⇒ ( (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ q) ⇔⇔⇔⇔ z )

4.- (Fixação) Classifique as seguintes proposições composta, através de sua tabela verdade, como sendo tautologias, contingências ou negações. (4.1) (p /\ q) ⇒⇒⇒⇒ (q \/ p) (4.4) ¬¬¬¬( p ∨∨∨∨ q) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ q) ⇔⇔⇔⇔ (¬¬¬¬¬¬¬¬p) (4.2) ( (p ⇒⇒⇒⇒ q) \/ ¬¬¬¬q ) ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬p (4.5) (p ∨∨∨∨ q) ⇒⇒⇒⇒ q ⇔⇔⇔⇔ (p →→→→ q) (4.3) [(p /\ q) ⇒⇒⇒⇒ r] /\ (p ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬r) (4.6) (p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬p) ∧∧∧∧ [¬¬¬¬(q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) ] ⇔⇔⇔⇔ q

5.- (Experimental) Mostre que todas as fórmulas a seguir são Tautologias em L0, construindo uma única tabela de valores lógicos que englobe todas elas.

(5.1) p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p ⇒⇒⇒⇒ q (5.3) ¬¬¬¬( p ∨∨∨∨ q) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ q) ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬p (5.2.) (p ∨∨∨∨ q) ⇒⇒⇒⇒ q ⇔⇔⇔⇔ p ⇒⇒⇒⇒ q (5.4) (p ⇒⇒⇒⇒ q) ∧∧∧∧ (p ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬q) ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬p

6.- (Experimental) Mostre, usando tabelas de valores lógicos, que:

a) p⇒⇒⇒⇒q, q⇒⇒⇒⇒r, ¬¬¬¬r ¬¬¬¬p (este é um argumento válido) b) p ∧∧∧∧q ⇒⇒⇒⇒ r, p, r q (este é um argumento não válido ou inválido)

(*) Parentetização (do inglês: parenthesize) ou parentesiação: ato ou efeito de parentesiar, colocar parênteses (ou parêntesis).


2.31

7.- (Experimental) As variáveis de uma Linguagem Formal Lα, denominadas átomos desta linguagem, são dadas pelas letras minúsculas do alfabeto latino: a, a1, a2, ..., b, b1, b2, etc...., indexadas ou não, com índices recebendo os valores: 1, 2, 3, 4, ... .

Os símbolos operacionais de Lα são : + , • e o traço superior: ... e os valores lógicos de Lα são: 0 (zero) e 1 (um). O símbolo + representa a adição de números inteiros, menos quando em “1 + 1” que, neste caso, irá resultar 1. Assim, 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, mas 1 + 1 = 1. O símbolo • representará a multiplicação ordinária, realizada de todas as formas possíveis entre os

elementos 0 e 1, ou seja: 0 • 0 = 0, 0 • 1 = 0, 1 • 0 = 0 e 1 • 1 = 1. O símbolo ... é unário e realiza as

seguintes operações 0 = 1 e 1= 0. Questões a serem resolvidas a partir do enunciado acima: [1] Construa tabelas de dupla entrada para a adição e multiplicação acima definidas utilizando os elementos 0 e 1.

[2] Construa a tabela dos valores lógicos de (1) a , ( 2) a + b e (3) a • b.

[3] Idem para (a+b) • c e para ba + • c

[4] Sendo dada a definição “a ∇ b = a + b” mostre que se a ∆ b = ( a + b) • (a + b ) então teremos que ter: a ∆ b = (a ∇ b) • (b ∇ a) que é válida em Lα .

8.- (Experimental) Seja adotar uma relação de ordem para os valores-verdade V e F, tal como V > F, com o significado usual do sinal de > (maior do que). Verifique agora se as definições a seguir estão corretas comparando-as às definições encontradas no texto deste capítulo.

[1.a] )p()p(

)p()p(

F

V)p(

¬∆>∆

¬∆<∆

⇔

⇔=¬∆ [1.b]

)p()p(

)p()p(

F

V)p(

¬∆=∆

∆<¬∆

⇔

⇔=∆

[2] V)q()p(V)qp( =∆=∆⇔=∧∆ [3] V)q()p(V)qp( =∆=∆⇔=∨∆

[4] )p()q(F)qp( ∆<∆⇔=⇒∆ [5] )q()p(V)qp( ∆=∆⇔=⇔∆

9.- (Fixação) Colocar a fbf ( p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q ) ⇔⇔⇔⇔ (p ∨∨∨∨ q) na forma normal conjuntiva, utilizando as propriedades algébricas de L0, estudando detalhadamente e justificando cada uma das passagens: Transformações Algébricas: Regra a ser aplicada:

�� Entrada: ( p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q ) ⇔⇔⇔⇔ (p ∨∨∨∨ q) Substituição da ⇔⇔⇔⇔

( p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q ) ⇔⇔⇔⇔ (p ∨∨∨∨ q) Substituição da ⇒⇒⇒⇒

( ( p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q ) ⇒⇒⇒⇒ (p ∨∨∨∨ q) ) ∧∧∧∧( ( p ∨∨∨∨ q ) ⇒⇒⇒⇒ (p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) ) Lei de De Morgan

( ¬¬¬¬( p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q ) ∨∨∨∨ (p ∨∨∨∨ q) ) ∧∧∧∧( ¬¬¬¬( p ∨∨∨∨ q ) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) )

( (¬¬¬¬ p ∨∨∨∨¬¬¬¬¬¬¬¬q ) ∨∨∨∨ (p ∨∨∨∨ q) ) ∧∧∧∧( (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q ) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) )

�� Saída: Forma Normal Conjuntiva


2.32

10.- (Experimental) Para verificar a validade da seguinte proposição:

“Se uma carta tem uma vogal em um dos lados, então ela tem um número par do outro lado.”

virando somente duas destas cartas, quais devem ser viradas?

E M 2 9

Solução do Exercício 9:

Deve-se examinar as cartas “E” e, em seguida, a “9”. Veja que P ⇒⇒⇒⇒ Q não significa que deva ocorrer Q ⇒⇒⇒⇒ P, isto é: A sentença é verdadeira:

“Se uma carta tem uma vogal em um dos lados ⇒⇒⇒⇒ ela tem um número par do outro” não significa necessariamente que a recíproca da sentença anterior:

“Se uma carta tem um número par em um dos lados ⇒⇒⇒⇒ ela tem uma vogal do outro” deva ser verdadeira. Veja a tabela verdade da implicação:

P Q P ⇒⇒⇒⇒ Q V V V V F F F V V F F V


3.1

Capítulo 3 Lógica Booleana e Álgebras de Boole

"O objetivo desse tratado é investigar as leis fundamentais em

virtude das quais ocorrem as operações da mente; expressar

estas leis numa linguagem que possibilite cálculos, e sobre tal

fundamento estabelecer a ciência da Lógica e construir seu

método; fazer desse método a base de um método geral [...]"

George Boole no prefácio de

“The Laws of Thought”, 1854

Em 1854, o lógico e matemático George Boole publicou o notável livro denominado “An

Investigation of The Laws of Thought on Which are Founded The Mathematical Theories of Logic and

Probabilities” (”Uma Investigação sobre as Leis do Pensamento nas quais são Fundadas as Teorias

Matemáticas da Lógica e das Probabilidades”), sendo por isto considerado o lançador das bases da Lógica

Moderna. Por outro lado, a Lógica Booleana, a partir de algumas adaptações, passou a servir como um

modelo algébrico poderoso para os circuitos digitais ou circuitos lógicos, quando passa a ser conhecida

como Álgebra de Boole ou Álgebra Booleana. Há que se acrescentar que a Lógica criada por George

Boole tem várias aplicações teóricas dando origem a várias Álgebras Booleanas, como se verá mais

adiante.

3.1.- A Lógica Booleana ou a Lógica dos Circuitos Digitais

Os circuitos digitais são aparatos eletrônicos onde apenas dois valores estão presentes: o zero e o

um. Um sinal elétrico cuja tensão1 meça de 2 a 5 volts representa o 1 e, sinais entre 0 e 1 volt, representam

o zero, sendo que sinais fora destas faixas não são admitidos.

1 Volt: unidade de medida de diferença de potencial elétrico do Sistema Internacional definida como a diferença de potencial entre dois pontos de um condutor percorrido por uma corrente elétrica constante de um ampere, quando a potência dissipada entre os dois pontos é igual a 1 watt [símbolo: V] (Fonte: Dicionário Houaiss Eletrônico)

Faixas dos valores digitais

0 de 0 volt até 1 volt

1 de 2 volts até 5 volts


Lógica Booleana e Álgebras de Boole

3.2

tempo

volts

0

1

3

2

5

6

4O 1 digital

O 0 digital

O gráfico correspondente aos "zeros" e "uns" que entram ou saem de um dado circuito digital são

denominados trens de pulso. Os exemplos abaixo mostram alguns trens de pulso.

Exemplos: Os trens de pulso seguintes estão abaixo representados graficamente

[1o ] 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 0 0 1 0 0 1

[2o] 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 1 0 0 0 01 0 1 1 1 1

[3o] 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 0 0 0 01 0 0 1


3.3

Observação: O tempo de um circuito digital está ligado ao pulsar de um "clock" (relógio) interno

ao sistema. Sistemas distintos podem ter relógios com pulsações distintas, é assim que há

computadores mais rápidos e menos rápidos em função do “clock” que controla o seu hardware. A

pulsação de “clock” é medida em Megahertz.

3.1.1.- A Lógica dos Circuitos Digitais

A Lógica Matemática e a Lógica dos Circuitos Digitais – também chamada Lógica Digital – estão

profundamente relacionadas. Veja abaixo a tabela de correspondência entre os símbolos da Lógica

Matemática e os da Lógica Digital:

Valores Lógicos Conectivos

Lógica Matemática V F ∧∧∧∧ ∨∨∨∨

Lógica Digital 1 0 + ••••

Na Lógica Digital adota-se que o inverso do sinal 1 será o zero e o inverso do sinal 0 será 1, ou

seja, as proposições p, q, r, ... e ¬p, ¬q, ¬r da Lógica Proposicional, são aqui utilizadas, somente que

com uma nova simbolização: A, B, C, ... e A , B , C , ... , cuja tabela pode ser vista a seguir:

Na Lógica Digital os símbolos de implicação ( ⇒ ou → ou ⊃ ) e o de equivalência ( ⇔ ou ↔ ou

≡ ) não são utilizados2. Expressões booleanas que representem circuitos digitais equivalentes serão

relacionadas através do sinal de igual ( = ). Cabe, no entanto, esclarecer que expressões da Lógica

Proposicional, contendo implicações e equivalências, poderão ser transformadas facilmente em expressões

da Lógica Digital utilizando-se as seguintes “fórmulas de tradução”:

2 Lembrar que: Os pares de símbolos lógicos: (1) ¬ e ∨ ; (2) ¬ e ∧; (3) ¬ e ⇒ e (4) ⇒ e ⊥, da Lógica Proposicional, constituem-se em conjuntos de símbolos lógicos sintaticamente completos (ou funcionalmente completos), isto é: são conjuntos de símbolos suficientes para a geração de quaisquer das demais relações faltantes: ¬ ,∨ , ∧, ⇒, ⇔ ⊥.

A A 1 0 0 1



3.4

Lógica Proposicional Álgebra de Boole

Fórmula equivale a “Tradução” Expressão Booleana

(p ⇒⇒⇒⇒ q) ⇔⇔⇔⇔ (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q) BA +

(p ⇔⇔⇔⇔ q) ou

(p ⇒⇒⇒⇒ q) ∧∧∧∧(q ⇒⇒⇒⇒ p)

⇔⇔⇔⇔

(¬¬¬¬p ∨∨∨∨q) ∧∧∧∧ (¬¬¬¬q ∧∧∧∧p)

)AB()BA( ++ •

Observação sobre a função de atribuição de valor booleano

Na Álgebra de Boole a função de avaliação semântica (função de atribuição de valores lógicos)

utilizada para avaliar as fórmulas-bem-formadas da Lógica Proposicional, passa a denominar-se mais

adequadamente função de atribuição de valor booleano. A função de atribuição de valor booleano é

definida pela lei: ∆ : D a { 0, 1 } que leva as fórmulas-bem-formadas booleanas (expressões booleanas

que representam circuitos lógicos ou circuitos digitais) pertencentes a D aos valores 0 ou 1, definida por:

[1.a] )A(1)A( ∆−=∆

[1.b] )A(1)A( ∆−=∆

[2] )B()A())B(),A(min()BA( ∆×∆=∆∆=∆ •

[3] )B()A()B()A())B(),A((máx)BA( ∆×∆−∆+∆=∆∆=+∆

3.1.2.- Tabelas Verdade dos Circuitos A+B e do A.B

As tabelas de valores lógicos dos circuitos lógicos ou circuitos digitais A + B e A • B são

apresentadas a seguir. O símbolo “+” guardam uma semelhança muito próxima com adição de números

naturais, sendo somente que no caso de “1 + 1” a “soma irá corresponder a 1. Já o símbolo “•”

corresponde exatamente ao que se espera da multiplicação de números naturais.


3.5

A B A + B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

A B A •••• B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

3.2.- Circuitos de Chaveamento Básicos

As tabelas verdade poderão ser agora construídas tomando-se por base circuitos elétricos muito

simples denominados circuitos de chaveamento.

A idéia é verificar quando a lâmpada de um circuito de chaveamento se mantém apagada (chave A

desligada – “off”) ou acende (chave A ligada – “on”):

+ −− −−

A+ −− −−

A

Deve-se notar que os valores digitais 0 e 1 não têm diretamente relação com o desligado e o

ligado, pois o “zero”, na lógica digital, corresponde a uma corrente elétrica situada entre 0 e 1 volt,

enquanto o “um” se situa na faixa que vai dos 2 até os 5 volts. Logo não se pode dizer que o 0 e 1 não

estão diretamente ligados ao “on” (ligado) e “off”(desligado) como visto no circuito de chaveamento

acima. No entanto, estes tipos de circuitos podem nos ajudar a entender as portas lógicas digitais e a

construir as tabelas de entrada e saída dos sinais que passam através deles.

3.2.1.- Circuitos de Chaveamento e Portas Digitais “e” e “ou”

No circuito de chaveamento “e”, cuja notação simbólica é A.B, as chaves A “e” B devem estar

ligadas para que a lâmpada acenda.

B + −− −−

A B + −− −−

A

Circuito de chaveamento “e”: A •••• B



3.6

No circuito de chaveamento “ou”, cuja notação simbólica é A + B, basta que uma das chaves

estejam ligadas, a A ou a B. Confira nos diagramas a seguir.

Circuito de chaveamento “ou”: A + B

+ −− −−

+ −− −−

B A B A

3.3.- As Álgebras Booleanas – Isomorfismos

Um isomorfismo consiste numa correspondência um-a-um entre os elementos de dois conjuntos,

tal que, a cada resultado das operações realizadas com elementos do primeiro conjunto, corresponda em

termos de imagem, operações equivalentes no outro conjunto. Em outras palavras, diz-se que um sistema

é isomorfo a outro se existe uma correspondência biunívoca que associe as propriedades do primeiro com

as propriedades do segundo. Afirmar que dois sistemas são isomorfos é dizer que eles possuem a mesma

estrutura operacional ou. Algébrica.

Poder-se-ia definir de forma mais rigorosa o isomorfismo como sendo: uma aplicação f, bijetora

(injetora-sobre ou um-a-um) que associa: os elementos, as operações internas e os resultados de um

conjunto A, respectivamente aos elementos, operações internas e resultados de um conjunto B, se, e

somente se, são válidas as seguintes condições:

f(a + b) = f(a) + f(b)

f(a • b) = f(a) • f(b).

Os exemplos a seguir mostrarão o isomorfismo entre os sistemas booleanos a partir da

correspondência um-a-um que se pode estabelecer entre os elementos, operações e resultados obtidos ao

se utilizar os sinais: (1) + e • e (2) ∨ (conjunção) e ∧ (disjunção) que indicam operações da Lógica

Proposicional ; e entre (1) + e • e (3) ∪ (união) e ∩ (intersecção) que são utilizados como sinais de

operações da Teoria dos Conjuntos.


3.7

O que se tem quanto ao isomorfismo destas álgebras é o seguinte: toda Álgebra Booleana é uma

estrutura algébrica B caracterizada por possuir por um conjunto de símbolos notado aqui como D, L e CCCC

− respectivamente: da Álgebra de Boole, da Lógica Proposicional e da Teoria dos Conjuntos −, duas

operações binárias, uma operação unária e dois elementos bastante particulares, a saber: um elemento que

faz o mesmo papel que o elemento neutro da adição de números naturais (o número zero; o símbolo F ou

⊥; o conjunto vazio: ∅), e um elemento que faz o mesmo papel que o elemento neutro da multiplicação de

números naturais (o número um; o símbolo V ou ; o conjunto universo: U ).

3.3.1.- Exemplos

Vamos examinar os exemplos a seguir, através de sua simbologia peculiar e tabelas operacionais.

Exemplo 1:

Seja B = ⟨⟨⟨⟨D, +, •••• , −−−−, 0, 1 ⟩⟩⟩⟩ onde D é o conjunto de variáveis que dão nome aos circuitos de

chaveamento (Circuitos Digitais) como por exemplo A e B, tais que A∈∈∈∈D, B∈D:

A B A + B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

A B A •••• B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

A A 0 1 1 0

Exemplo 2

Seja B = ⟨⟨⟨⟨L, ∨∨∨∨, ∧∧∧∧, ¬¬¬¬, V, F⟩⟩⟩⟩ onde L é o conjunto dos variáveis e constantes da Lógica

Proposicional, como por exemplo x, y, ..., a, b, ..., tais que x∈∈∈∈L, y∈∈∈∈L, ..., a∈∈∈∈L, b∈∈∈∈L, ... :

x y x ∨∨∨∨ yF F FF V VV F VF F F

x y x ∧∧∧∧ yF F FF V FV F FV V V

x ¬¬¬¬xF VV F



3.8

Exemplo 3:

Seja B = ⟨⟨⟨⟨CCCC, ∪∪∪∪, ∩∩∩∩, ’, U, ∅∅∅∅⟩⟩⟩⟩ sendo A, B conjuntos, tais que A∈∈∈∈CCCC, B∈CCCC, e U é o conjunto

universo, isto é, A⊂⊂⊂⊂U e B⊂⊂⊂⊂U, sendo válidas as seguintes propriedades para A e B: A∪∪∪∪B = U, A∩∩∩∩B = ∅∅∅∅ e

A’=B (o complementar de A, com relação ao conjunto universo U, será o conjunto B):

A B A ∪∪∪∪ Bφφφφ φφφφ φφφφ

φφφφ U UU φφφφ UU U U

A B A ∩∩∩∩Bφφφφ φφφφ φφφφ

φφφφ U φφφφ

U φφφφ φφφφ

U U U

A A’φφφφ UU φφφφ

3.4.- As Portas Lógicas

Todos os circuitos digitais são formados basicamente por portas lógicas conectadas de diversos

modos obtendo-se circuitos digitais cada vez mais complexos. Uma porta lógica é um circuito digital

básico que tem uma, duas ou mais entradas e uma única saída. Internamente, pode-se dizer que os

componentes destes circuitos são basicamente chaves digitais. Os níveis lógicos de entrada são

processados internamente em cada porta lógica produzindo-se uma saída padrão em função daquela(s)

entrada(s). Em inglês saída = output e entrada = input, normalmente a dupla de palavras “entrada/saída” é

abreviada por “in/out” ou “I/O” (pronunciado em inglês: ái-ou).

3.4.1.- Diagramas Representativos das portas lógicas

Apresentamos a seguir os diagramas representativos de cada uma das portas lógicas tais como elas

costumam aparecer nos circuitos digitais e suas tabelas lógicas com os valores de entrada (in ou input) e

os valores de saída (out ou output).

X A Input Output A X 0 1 1 0

Porta Inversora Não (NOT) : A’ = A


3.9

Input OutputA B X = A •B0 0 00 1 11 0 11 1 1

Porta E (AND): A •••• B

XA

B

Input OutputA B X = A + B0 0 00 1 11 0 11 1 1Porta OU (OR): A + B

XA

B

Input Output A B X BA + 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Porta NE (Não-E) ou Not-And (NAND): BA +

X A B

A B

X

Input Output

A B X = BA•

0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Porta NOU (Não-Ou) ou Not-Or (NOR): A •••• B

X A B

A B

X

Input Output

A B X = A ⊕ B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Porta Porta OU exclusivo (XOU) ou Exclusive-Or (XOR): A ⊕ B

X A

B

Este tipo de conectivo, o ou-exclusivo (exclusive or) é usado especificamente na Álgebra de Boole.

Ele não ocorre na Lógica Proposicional, se bem que alguns autores possam até mencioná-lo, por algo que



3.10

A B C AB AC AB + AC

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1

1 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

A B C B+C A ( B + C )

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 1 1 1

1 1 0 1 1

1 1 1 1 1

poderia ser julgado como excesso de zelo. No entanto isto é um erro, pois, na verdade, não se justifica a

“criação” de mais um conectivo lógico que pode ser recriado pelos demais que são até mesmo excessivos

na Lógica Proposicional, pois alguns deles poderiam ser definidos em função dos demais, como se verá no

capítulo 4, a seguir.

3.4.1.1.-Exemplos de Circuitos Lógicos e Tabelas Lógicas

A seguir são mostrados alguns exemplos contendo circuitos lógicos digitais e suas respectivas

tabelas verdade. Cabe ao leitor analisá-los devidamente, procurando absorver o melhor possível as

informações ali apresentadas.

Exemplo 1:

Dada a expressão digital: AB + AC, poderemos elaborar a sua tabela verdade e o seu diagrama de portas lógicas, veja a seguir:

A.BA

B

A.B + A.C

A.CC

Exemplo 2:

Dada a expressão digital: A(B + C) poderemos elaborar seu diagrama de portas lógicas e a sua respectiva tabela verdade:

B

C B + C

AA ( B + C )


3.11

A B AB B BAB +

0 0 0 1 1

0 1 0 0 0

1 0 0 1 1

1 1 1 0 0

A B A ⊕ B Vai um

0 0 0 0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 1

Exemplo 3:

Dada a expressão lógica: ¬¬¬¬( (A ∧∧∧∧B) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬B) ), primeiramente iremos escrever a sua expressão

booleana equivalente, para em seguida, elaborar o seu diagrama de portas lógicas e calcular a sua

tabela verdade:

�� Confira: ¬¬¬¬( (A ∧∧∧∧B) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬B) ) equivale à expressão booleana: BAB +

B

A

3.4.2.- Circuitos Lógicos Equivalentes

Dois circuitos lógicos são equivalentes quando, e somente quando, para as mesmas entradas

(inputs) eles produzem as mesmas saídas (outputs). Uma forma de se verificar se dois circuitos são

equivalentes é verificar se os dois produzem as mesmas saídas em suas tabelas verdade.

Os dois circuitos lógicos apresentados a seguir são denominados somadores binários

incompletos, suas tabelas de valores lógicos apresentam os valores de entrada e saída bem como os

respectivos valores transportados – o “vai um”.

B

A “Vai um” = AB

B

A

“Vai um” = AB

A⊕ B

A⊕ B



3.12

3.4.3.- Circuito Somador Completo

Os circuitos digitais, denominados somadores completos admitem tanto o “vai um” como

aceitam o “vem um”. Veja a seguir um Circuito somador digital completo:

B

A A⊕ B

“Vai um”

“Vem um”

A B Vem um A ⊕ B Vai um

0 0 0 0 0

0 1 0 1 0

1 0 0 1 0

1 1 0 0 1

0 0 1 1 0

0 1 1 0 1

1 0 1 0 1

1 1 1 1 1

A⊕ B


3.13


• A Lógica Booleana, mais conhecida, devido às suas propriedades operacionais, como Álgebra

Booleana ou Álgebra de Boole, tem a sua origem com a publicação do livro “An Investigation of The

Laws of Thought on Which are Founded The Mathematical Theories of Logic and Probabilities” por

George Boole em 1854, por George Boole(1815/1864) − matemático e lógico inglês.

• A Álgebra de Boole mantém com a Lógica Proposicional algumas semelhanças, tais como:

� As variáveis proposicionais: p, q, etc passam a ser denominadas variáveis booleanas e normalmente são adotadas como A, B, etc;

� Os símbolos ∨ e ∧ da Lógica Proposicional são trocados pelos símbolos + e • e o

símbolo ¬ , de negação, passa a ser um traço sobre a variável booleana, assim temos a seguinte correspondência entre as duas lógica:

p ∨ q A + B p ∧ q A • B ou AB ¬p A

� Também os valores semânticos ou valores lógicos V e F da Lógica Proposicional

são trocados respectivamente pelos valores 1 e 0, que nos circuitos eletrônicos passam a representar passagem de corrente com as seguintes voltagens:

Faixas dos valores digitais

0 de 0 volt até 1 volt 1 de 2 volts até 5 volts

� Na Álgebra Booleana faz-se o uso de símbolos gráficos para representar as portas

lógicas “e” e “ou” e a inversão de sinais de 1 para 0 ou de 0 para 1, e uma porta lógica denominada ou-exclusivo onde 1⊕1=0, cálculo este que não é necessário na Lógica Proposicional, pois V ⊕ V = 0.

� A Álgebra Booleana permite a representação gráfica e a criação física de circuitos

eletrônicos que realizam operações aritméticas em linguagem binária, isto é, tornam possível que números escritos na base de numeração decimal sejam transformados para a base 2, operados nesta base, e que, os resultados sejam de revertidos para a base 10,antes de serem apresentados como resposta ao usuário dos computadores dando origem à poderosa matemática numérica usada pelos computadores eletrônicos.

� Esta proximidade entre a Álgebra de Boole e a Lógica Proposicional permitiu a

criação de Sistemas Computacionais Inteligentes denominados Provadores Automáticos de Teoremas, dos quais falaremos no capítulo 4, a seguir.



3.14


1.- (Fixação) Escreva as expressões digitais correspondentes a cada um dos circuitos dados a seguir.

a)

A

B

C

X

Não A

B

B

Não A

A

A.B

Não C

b)

c)

A

B

C

X

Sugestões:

[1] Percorra o circuito a partir de A, B e C (entradas) e vá atribuindo valores a cada uma

das ramificações, veja algumas anotações já feitas no diagrama acima.

[2] Para a solução, percorra o circuito a partir da saída X, isto é: X = ( ) + ( ) + ( ) e em

seguida preencha agora os parêntesis com as anotações finais (as que precedem a porta lógica

“ou”).

A

B

X


3.15

2.- (Fixação) Construa as tabelas verdade para cada um dos circuitos lógicos do exercício 1.

3.- (Fixação) Desenhe cada um dos quatro circuitos lógicos dados a seguir a partir de sua

expressões.

a) BAB + e AAB + b) ACAAB ++ c) ABBABA ++ d) CBA +

4.- (Experimental) Estude comparativamente as diversas bases de numeração: binária, octal, decimal e hexadecimal. Há máquinas de calcular científicas de baixo custo, como por exemplo a Casio fx-82TL e mais modernamente a Casio fx-82MS, que fazem estas transformações. Pesquise ainda, sobre o como se transforma números não inteiros decimais para a base dois. 5.- (Experimental) Pesquise sobre os circuitos lógicos decimal-para-binário e binário-para-decimal, ou seja, aqueles que permitem a conversão de numerais escritos na base de numeração decimal (base 10) para a base de numeração binária (base 2) e vice versa.


4.1

Capítulo 4 Estrutura Dedutiva da Lógica Proposicional

“A idéia é dar a impressão de que é fácil.” Fred Astaire

Ator e dançarino de Hollywood

tecendo comentários sobre

a sua forma de dançar e sapatear.

4.1.- As Teorias Axiomáticas

Já se sabe, desde o primeiro capítulo deste livro, que os axiomas de uma linguagem formal devem

ser tais que se possa derivar a partir deles e com o uso de pelo menos uma regra de inferência, outras

tautologias, ou provar com o uso destes mesmos recursos, os teoremas desta linguagem. Assim, os

axiomas, que necessariamente são fórmulas-bem-formadas (fbfs) de uma linguagem formal, são

assumidos a priori, como tautologias – fórmulas válidas – desta linguagem.

No entanto é bom chamarmos a atenção do leitor para o seguinte fato notável: o antigo conceito de

que axiomas são verdades auto-evidentes ou intuitivas vem, modernamente, sendo substituída pelo

conceito de que não há a necessidade de compreendê-los direta ou imediatamente, mas apenas através de

seus efeitos, pois muitos axiomas são altamente contra-intuitivos.

No caso bastante específico da Lógica Proposicional e da Lógica Booleana, os axiomas podem ser

verificados como tautológicos através da construção de suas tabelas de valores semânticos ou de tabelas

de valores boolenos, respectivamente. Isto, de certa forma, se revela uma vantagem sobre outras teorias

axiomáticas, cujos axiomas não são verificáveis imediatamente, mas apenas pelos seus efeitos, como no

caso da Teoria Axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel, só para citar um exemplo bastante

conhecido pelos matemáticos, e que é abordada mais à frente neste livro.

4.2.- Lógica Proposicional vista como um Sistema Formal

A Linguagem Proposicional referida neste texto como L0 teve sua gramática, ou seja, sintaxe e

semântica, especificadas no Capítulo 2, mas iremos retomar resumidamente aqui, algumas daquelas idéias,

para poder, em seguida, ampliá-las um pouco:

• A sintaxe de L0 é composta por: (i) um alfabeto que comporta os seguintes símbolos lógicos:

¬ (negação), ∧ (conjunção), ∨ (disjunção), ⇒ (implicação) e ⇔ (equivalência); (ii) regras

gramaticais que permitem a obtenção de fórmulas-bem-formadas na linguagem – as L0-

fórmulas – construídas através de regras bem definidas que permitem fazer associações entre


Estrutura Dedutiva da Lógica Proposicional

4.2

os símbolos lógicos e as variáveis proposicionais − representados por letras latinas minúsculas,

indexadas ou não: a, a1, a2, ..., b, b1, b2, ..., p, ..., q, ... etc − que substituem as proposições,

independentemente dos seus conteúdos lingüísticos, apenas levando em conta os seus valores

semânticos V ou F. Além destes símbolos lingüísticos, símbolos metalingüísticos, tais como os

parênteses, os colchetes e as chaves, podem ser usados com a finalidade de pontuação.

• A semântica de L0, ou seja, o significado ou valor lógico das fórmulas-bem-formadas de L0 é

dado através de uma função denominada função de avaliação semântica das L0-fórmulas ou

função de atribuição de valor lógico às fbfs de L0 que é a lei ∆:P a {V, F}que associa

elementos do conjunto P, composto por todas as L0-fórmulas, a um dos valores V (verdadeiro)

ou F (falso). Apenas a título de recomposição de idéias e para que não se precise mencionar a

todo o momento que os símbolos e respectivamente representam o “True” (Verdadeiro) e

o “False” (Falso), poderíamos redefinir o conjunto domínio da função ∆, ampliando-o para

conter aqueles dois símbolos, adotando-a como sendo:

∆∆∆∆:P ∪∪∪∪ { { { { , } a {{{{V, F}}}} que passaria a ser definida por:

[0.a] ∆( ) = V [0.b] ∆( ) = F

[1.a] V)p(

F)p(

F

V)p(

=∆

=∆

⇔

⇔=¬∆ [1.b]

V)p(

F)p(

F

V)p(

=¬∆

=¬∆

⇔

⇔=∆

[2]

=∆

∧

=∆

⇔=∧∆

V)q(

V)p(

V)qp( [3]

=∆

∨

=∆

⇔=∨∆

V)q(

V)p(

V)qp(

[4]

=∆

∧

=∆

⇔=⇒∆

F)q(

V)p(

F)qp(

[5] )q()p(V)qp( ∆=∆⇔=⇔∆

4.2.1.- Outras Formas Mais Econômicas de se Estabelecer o Alfabeto de L0

A Linguagem L0 que está sendo estudada neste livro tem um alfabeto composto por cinco símbolos

lógicos: ¬ (negação), ∧ (conjunção), ∨ (disjunção), ⇒ (implicação) e ⇔ (equivalência), no entanto esta

quantidade de símbolos poderia ser diminuída, pois alguns destes símbolos podem ser expressos em

função de outros. Vejamos o seguinte teorema em que se afirma que, dados somente dois símbolos


4.3

lógicos: (1) ¬¬¬¬ e ∨∨∨∨; (2) ¬¬¬¬ e ∧∧∧∧; (3) ¬¬¬¬ e ⇒⇒⇒⇒ ou (4) ⇒⇒⇒⇒ e ⊥⊥⊥⊥, os demais símbolos de L0 poderão ser obtidos a

partir deles.

4.2.1.1.- Teorema:

Os pares de símbolos lógicos: (1) ¬¬¬¬ e ∨∨∨∨ ; (2) ¬¬¬¬ e ∧∧∧∧; (3) ¬¬¬¬ e ⇒⇒⇒⇒ e (4) ⇒⇒⇒⇒ e ⊥⊥⊥⊥

constituem-se em conjuntos de símbolos lógicos sintaticamente completos (ou funcionalmente

completos) na Lógica Proposicional.

Sugestão de prova do Teorema: Para provar este teorema basta definir as fórmulas atômicas “faltantes” utilizando os dois símbolos dados em cada um dos conjuntos denominados conjuntos completos de conectivos lógicos e verificar a equivalência através de suas tabelas verdade. Daremos a seguir as definições, deixando para o leitor a verificação da validade destas equivalências através da construção de suas tabelas verdade. Cabe observar que: com os conjuntos de símbolos (1) e (2) os outros símbolos

lógicos são definidos de forma independente, enquanto com os conjuntos de símbolos (3) e (4) as definições são interdependentes.

(1) Expressões construídas com os símbolos ¬¬¬¬ e ∨∨∨∨:

Definir: Como:

1 p ∧∧∧∧ q ¬¬¬¬(¬¬¬¬p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q)

2 p ⇒⇒⇒⇒ q ¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q

3 p ⇔⇔⇔⇔ q ¬¬¬¬( ¬¬¬¬(¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q) ∨∨∨∨ ¬¬¬¬(¬¬¬¬q ∨∨∨∨ p) )

(2) Expressões construídas com os símbolos ¬¬¬¬ e ∧∧∧∧:

Definir: Como:

1 p ∨∨∨∨ q ¬¬¬¬(¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q)

2 p ⇒⇒⇒⇒ q ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q)

3 p ⇔⇔⇔⇔ q ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) ∧∧∧∧ ¬¬¬¬(q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p)

(3) Expressões construídas com os símbolos ¬¬¬¬ e ⇒⇒⇒⇒:

Definir: Como:

1 p ∧∧∧∧ q ¬¬¬¬(p ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬q)

2 p ∨∨∨∨ q (¬¬¬¬p ⇒⇒⇒⇒ q)

3 p ⇔⇔⇔⇔ q (p ⇒⇒⇒⇒ q) ∧∧∧∧ (q ⇒⇒⇒⇒ p) (depende de 2)

(4) Expressões construídas com os símbolos ⇒⇒⇒⇒ e ⊥⊥⊥⊥:

Definir: Como:

1 ¬¬¬¬p p ⇒⇒⇒⇒ ⊥⊥⊥⊥

2 p ∧∧∧∧ q ¬¬¬¬(p ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬q)

3 p ∨∨∨∨ q ¬¬¬¬(¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) (depende de 2)

4 p ⇔⇔⇔⇔ q (p ⇒⇒⇒⇒ q) ∧∧∧∧ (q ⇒⇒⇒⇒ p) (depende de 2)



4.4

4.2.1.2.- Os Axiomas do Sistema S0

Nada impede, em função das características inerentes à Lógica Proposicional, que possamos

dispensar os axiomas e, até mesmo o que seria minimamente exigível no caso dos sistemas axiomáticos,

uma regra de inferência, quando quisermos derivar fórmulas e provar teoremas nesta lógica. Isto procede,

porque podemos dispor, no caso particular deste tipo de lógica, do uso até certo ponto cômodo das tabelas

verdade. No entanto, isto não se passa bem assim, pois tabelas de valores lógicos com muitas proposições

poderiam se tornar incômodas. Assim, queremos aproveitar para estender esta linguagem que foi

denominada L0, adotando-a como um Sistema Formal que passaremos a designar por:

S0 = ⟨⟨⟨⟨ L0, ΓΓΓΓ=Axiomas de L0, Regra(s) de Inferência em L0 ⟩⟩⟩⟩

notação que significa o seguinte:

S0 é uma estrutura

• composta por uma Linguagem Formal L0,

• um conjunto de axiomas ΓΓΓΓ ( Γ - letra grega, sigma maiúsculo ) que é um conjunto minimal de L0-

fórmulas tautológicas, ΓΓΓΓ ⊂ P, onde P é o conjunto de todas as fórmulas-bem-formadas de L0,

• Regra(s) de Inferência que permite(m) derivar de Γ todas as tautologias de L0, bem como, provar

seus Teoremas.

Observações Importantes:

Neste ponto de nossa discussão devemos ficar atentos para os seguintes fatos, extremamente

relevantes, relativos aos sistemas axiomáticos:

• Todo sistema axiomático deve possuir pelo menos uma regra de inferência;

• A redução da quantidade de axiomas de um sistema formal ao mínimo possível é a meta da

maioria dos cientistas, seja por questão de elegância, necessidade de precisão ou de

síntese;

• Existem outros sistemas axiomáticos para a Lógica Proposicional, e isto será mostrado no

final deste capítulo.


4.5

4.3.- Derivando Tautologias ou Provando os Teoremas de L0

Até aqui, no caso da Lógica Proposicional, entre as maneiras de se provar que fórmulas-bem-

formadas (fbfs) são teoremas, ou seja, que elas são fórmulas válidas nesta linguagem, estão as seguintes:

(1ª) a utilização de tabelas verdade;

(2ª) A prova direta através de manipulações algébrico-semânticas que envolvem o uso das

regras algébricas de L0 (vide tabela dada anteriormente) e os símbolos ou , quando for

o caso, respectivamente usados em substituições diretas de tautologias e negações

evidentes;

(3ª) Criar o nosso Sistema S0, ou seja, adotar a linguagem da Lógica Proposicional L0 com

um conjunto de símbolos lógicos sintaticamente completo, “eleger” um conjunto minimal ΓΓΓΓ

de axiomas de L0 e adotar pelo menos uma regra de inferência1;

(4ª) Adotar regras de Dedução Natural, de acordo com as concepções de Gerhard

Gentzen.

A primeira destas maneiras de “demonstração” − a do uso de tabelas verdade −, que acreditamos,

esteja bastante testada a esta altura, é possivelmente a mais indicada para aqueles que se iniciam no estudo

da Lógica. Quanto à segunda e terceira maneiras, cremos que os exemplos a seguir mostrarão a relativa

dificuldade que poderemos encontrar. Quanto à dedução natural, ela será mostrada no capítulo a seguir,

pois ela é a mais indicada para a derivação de fórmulas na Lógica Predicativa, pois neste tipo de Lógica

não se podem utilizar as tabelas verdade, como se verá.

4.3.1.- Provando Teoremas na Lógica Proposicional através de Manipulações Algébricas

Na literatura especializada às vezes se encontram referências à Álgebra da Lógica, e muitas vezes

costuma-se dar um tratamento estritamente algébrico à Lógica Booleana, denominando-a então, Álgebra

de Boole. Assim, o que vamos propor aqui não seria novidade alguma para aqueles que já trabalharam

com a Álgebra Booleana e, talvez, já estaria sendo esperado pelo leitor. Iremos examinar a seguir a prova

de teoremas através do uso de manipulação algébrico-semântica de acordo com o que ficou

estabelecimento na tabela intitulada: Algumas Propriedades Algébricas de L0, vista anteriormente, no

Capítulo 2, que estará reproduzida a seguir numa folha à parte para facilitar a sua manipulação e consulta. 1 Os axiomas e a(s) regra(s) de inferência permitirão derivar outras tautologias, sem a necessidade de comprovar que elas são tautologias através do uso das tabelas de valores semânticos ou de processos intrincados envolvendo manipulações algébricas geralmente trabalhosas. Estas sentenças assim obtidas, serão assumidas como válidas sintaticamente, ou seja, a derivação é um processo sintático em L0. Cabe notar que a verificação de tautologias através das tabelas de valores lógicos é um processo semântico.



4.6

TABELA DE PROPRIEDADES ALGÉBRICAS2 DA LÓGICA PROPOSICIONAL

Nome Algumas Propriedades Algébricas de L0

1. Dupla Negação ¬¬¬¬¬¬¬¬p ⇔⇔⇔⇔ p

2. Comutatividade (2.a) p ∧∧∧∧ q ⇔⇔⇔⇔ q ∧∧∧∧ p (2.b) p ∨∨∨∨ q ⇔⇔⇔⇔ q ∨∨∨∨ p

3. Associatividade (3.a) (p ∧∧∧∧ q) ∧∧∧∧ r ⇔⇔⇔⇔ p ∧∧∧∧ (q ∧∧∧∧ r) (3.b) (p ∨∨∨∨ q) ∨∨∨∨ r ⇔⇔⇔⇔ p ∨∨∨∨ (q ∨∨∨∨ r)

4. Distributividade (4.a) r∧∧∧∧(p ∨∨∨∨ q) ⇔⇔⇔⇔ (r ∧∧∧∧ p) ∨∨∨∨ (r ∧∧∧∧ q) (4.b) r∨∨∨∨(p ∧∧∧∧ q) ⇔⇔⇔⇔ (r ∨∨∨∨ p) ∧∧∧∧(q ∨∨∨∨ r)

5. Tautologia p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬p ⇔⇔⇔⇔ p

6. Contradição p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p ⇔⇔⇔⇔

7. Idempotência ( ∧∧∧∧ ) (7.a) p ∧∧∧∧ p ⇔⇔⇔⇔ p (7.b) ¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬p

8. Idempotência ( ∨∨∨∨ ) (8.a) p ∨∨∨∨ p ⇔⇔⇔⇔ p (8.b) ¬¬¬¬p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬p ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬p

9. Identidade (9.a) p ∧∧∧∧ ⇔⇔⇔⇔ p (9.b) p ∨∨∨∨ ⇔⇔⇔⇔ p

10. Absorção (10.a) p ∧∧∧∧ ⇔⇔⇔⇔ (10.b) p ∨∨∨∨ ⇔⇔⇔⇔

11. Adição (11.a) p ⇒⇒⇒⇒ p ∨∨∨∨ q (11.b) q ⇒⇒⇒⇒ p ∨∨∨∨ q

12. Contraposição (p ⇒⇒⇒⇒ q) ⇔⇔⇔⇔ (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬p)

13. Lei de De Morgan (13.a) ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ q) ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q (13.b) ¬¬¬¬(p ∨∨∨∨ q) ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q

14. Substituição da ⇒⇒⇒⇒ ( p ⇒⇒⇒⇒ q ) ⇔⇔⇔⇔ (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q )

15. Substituição da ⇔⇔⇔⇔ (p ⇔⇔⇔⇔ q) ⇔⇔⇔⇔ [(p ⇒⇒⇒⇒ q) ∧∧∧∧ (q ⇒⇒⇒⇒ p)] (p ⇔⇔⇔⇔ q) ⇔⇔⇔⇔ [(¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ (¬¬¬¬q ∨∨∨∨ p)]

2 Notar: é uma fbf de L0 destinada a substituir o valor lógico: V; ⊥⊥⊥⊥ é uma fbf de L0 destinada a substituir o valor lógico F.


4.7

4.3.1.1.- Exemplo 1: Provando uma equivalência

• Vamos provar que ¬¬¬¬(p ∨∨∨∨ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ q)) ⇔⇔⇔⇔ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q).

O que se quer provar: ¬¬¬¬(p ∨∨∨∨ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ q)) ⇔⇔⇔⇔ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) .

Regra a ser aplicada (Vide Tabela):

Entrada �� ¬¬¬¬(p ∨∨∨∨ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ q)) Lei De Morgan (13.b)

¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬(¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) Lei De Morgan (13.a)

¬¬¬¬p ∧∧∧∧ (¬¬¬¬¬¬¬¬p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q) Dupla Negação (1)

¬¬¬¬p ∧∧∧∧ (p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q) Distributividade (4.a)

(¬¬¬¬p ∧∧∧∧ p) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) Contradição(6)

⊥⊥⊥⊥ ∨∨∨∨ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) Identidade( 9.b)

Saída �� (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) FIM

4.3.1.2.- Exemplo 2: Provando uma implicação

• Vamos provar que (p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ (p ∨∨∨∨ q) é uma fbf válida em L0 (é uma Tautologia):

O que se quer provar: (p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ (p ∨∨∨∨ q) é uma Tautologia .

Regra a ser aplicada (Vide Tabela):

Entrada �� (p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ (p ∨∨∨∨ q) Substituição da ⇒⇒⇒⇒ (8)

¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ (p ∨∨∨∨ q) Lei De Morgan (5.a)

(¬¬¬¬p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q) ∨∨∨∨ (p ∨∨∨∨ q) Associatividade (3.b)

¬¬¬¬p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q ∨∨∨∨ p ∨∨∨∨ q Comutatividade (2.b)

¬¬¬¬p ∨∨∨∨ p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q ∨∨∨∨ q Associatividade (3.b)

(¬¬¬¬p ∨∨∨∨ p) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬q ∨∨∨∨ q) Tautologias (5)

∨∨∨∨ Idempotência(8.a)

Saída �� Verdade FIM

Comentário Importante sobre a prova de equivalências:

No caso das equivalências, como em φ ⇔ ψ, devem-se provar as implicações entre as duas

subfórmulas componentes, ou seja, deve-se provar que: φ ⇒ ψ e “φ ⇐ ψ”. (ou seja: ψ ⇒ φ). Usualmente,

nos meios científicos em que se utilizam as provas de teoremas, a prova de uma equivalência (φ ⇔ ψ) é

dividida em duas partes: o símbolo “⇒” caracteriza a chamada “prova de ida”, onde φ é tomada como

hipótese e ψ como a tese, e o símbolo “⇐”, caracteriza a denominada “prova de volta”, onde ψ deve ser

tomado, agora, como hipótese e φ como a tese.



4.8

4.3.3.- Exemplo 3: Prova de um Teorema do tipo “Se ... e, somente se, ...” – a ida ( ⇒⇒⇒⇒ ) e a volta ( ⇐⇐⇐⇐ )

Prove o Teorema: “(p ⇔⇔⇔⇔ q) ⇔⇔⇔⇔ (p ∧∧∧∧q) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧¬¬¬¬q)” denominado “Equivalência Material” que

poderia ser reescrito como uma equivalência: (p⇔⇔⇔⇔ q) ⇔⇔⇔⇔ (p ∧∧∧∧q) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧¬¬¬¬q), ou melhor, como:

“(p ⇔⇔⇔⇔q) se, e somente se, (p ∧∧∧∧q) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬p ∧∧∧∧¬¬¬¬q)”.


Entrada �� Hipótese : (p⇔⇔⇔⇔q)

Regra No Nome da Regra

aplicada:

(p⇔⇔⇔⇔q) 15 Substituição da ⇔⇔⇔⇔

( (p ⇒⇒⇒⇒ q) ∧∧∧∧ (q ⇒⇒⇒⇒ p) ) 14 Substituição da ⇒⇒⇒⇒

( (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ (¬¬¬¬q ∨∨∨∨ p) ) 4.a Distributividade

( (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) ) ∨∨∨∨ ( (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ p) ) 2.a Comutatividade

( ¬¬¬¬q ∧∧∧∧ (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q) ) ∨∨∨∨ ( ¬¬¬¬p ∧∧∧∧ (p ∨∨∨∨ q) ) 4.a Distributividade

( (¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬ q ∧∧∧∧ q) ) ∨∨∨∨ ( (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ q) ) 6 Contradição

( (¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ ⊥⊥⊥⊥ ) ∨∨∨∨ ( (¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ q) ) 7.b Idempotência

( (¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ ⊥⊥⊥⊥) ∨∨∨∨ ( ¬¬¬¬p ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ q) ) 9.b Identidade

(¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ ( ¬¬¬¬p ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ q) ) 4.b Distributiva

(¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ ((¬¬¬¬p ∨∨∨∨ p) ∧∧∧∧ (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q)) 5 Tautologia

(¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q)) 4.a Distributiva

(¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ ((p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ q)) 6 Contadição

(¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ ( ⊥⊥⊥⊥ ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ q)) 9.b Identidade

(¬¬¬¬q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ q) 2.b Comutatividade

Saída �� Tese: ( (p ∧∧∧∧q) ∨∨∨∨( ¬¬¬¬p ∧∧∧∧¬¬¬¬q) ) FIM de (⇒⇒⇒⇒)

Notar: A segunda parte da prova do Teorema, a volta (⇐), será

obtida pela simples inversão do raciocínio da tabela acima.

Normalmente, em outras áreas da Matemática, esta prática de

simples inversão para provar uma equivalência, a partir da prova de

uma das implicações, não funciona tão bem, exigindo outros tipos de

raciocínio.

4.4.- Argumentos Válidos e Inválidos em L0

Vamos a seguir mostrar a partir de dois pontos de vista o que são os argumentos. O primeiro ponto

de vista será bastante informal, dizendo respeito à uma dada linguagem natural, que bem poderia ser a

Língua Portuguesa. O segundo ponto de vista diz respeito a uma linguagem formal, mais especificamente,

e especificamente aqui, no nosso caso, a Linguagem da Lógica Proposicional.


4.9

4.4.1.- Argumentos – Uma Abordagem Informal

Um argumento reúne necessariamente três elementos preponderantes:

(i) as considerações básicas (as premissas);

(ii) a maneira de associar estas considerações (a inferência);

(iii) a verdade a que se quer chegar (a conclusão).

Vamos analisar, a seguir, o que significa cada uma destas idéias:

• Premissas: Normalmente tomam-se como premissas considerações tidas ou reconhecidas como

verdadeiras;

• Inferência: é a operação intelectual por meio da qual se afirma que uma conclusão é verdadeira em

decorrência de sua ligação com considerações já reconhecidas como verdadeiras. Muitas vezes, uma

inferência é tida como operação que consiste em se efetuar generalizações, tomando por base amostras

estatísticas;

• Conclusão: qualquer consideração que decorre necessária e logicamente, segundo regras operatórias

implícitas ou explícitas, de enunciados anteriores;

• Argumentar: é produzir considerações destinadas a apoiar uma conclusão.

Observação Importante [1]:

• A notação: p1, p2, p3, ..., pn q representa o fato: q é válido em Lα , quando e somente

quando, q é verdadeira para todas as interpretações nas quais p1, p2, p3, ..., pn são verdadeiras.

Note que ao adotar-se ΣΣΣΣ = { p1, p2, p3, ..., pn}, pode-se escrever: ΣΣΣΣ q.

• Como a semântica de Lα é baseada nos valores semânticos (lógicos) duais: V e F, então quando

ΣΣΣΣ q for válida em Lα , esta é uma validade semântica, podendo-se afirmar: q é semanticamente

válida em Lα .

• A leitura mais indicada para a expressão: “ΣΣΣΣ q” seria: “ΣΣΣΣ acarreta semanticamente q”, isto

é, o conjunto de premissas contidas em ΣΣΣΣ acarretam (semanticamente) q”.

� A validade semântica diz respeito à aplicabilidade das regras algébricas (ou operacionais) da Lógica.



4.10


• A notação “p1, p2, p3, ..., pn q” deve ser lida “q é derivável de p1, p2, p3, ..., pn” e dos

axiomas da Linguagem (se eles existem) e através das regras de inferência desta Linguagem.

• A notação: “ q” deve ser utilizada para indicar “q é um teorema”, e em particular, quando

“ Lαααα

q”, para indicar que “q é um teorema na Linguagem Lαααα”, sendo que neste último caso,

somente axiomas e regras de inferência de uma linguagem Lα foram utilizados para provar a

validade de . Isto poderia ser representado ainda por ΓΓΓΓ q, ou mais comumente por

q,

indicando que q é um teorema de Lα..

• O símbolo é um símbolo sintático.

• A validade sintática diz respeito à ao significado lingüístico baseado nos axiomas da linguagem.


O que realmente se pretende com relação aos sistemas formais é que ocorra o seguinte: que as

fbfs que sejam sintaticamente válidas também o sejam semanticamente válidas. Isto nos levará

aos sistemas formais consistentes e completos, que será visto mais adiante.

4.4.2.- Argumentos – Abordagem Formal

Um argumento é composto por uma série de 1n + proposições, no qual, todas as n primeiras

proposições (p1, p2, p3, ..., pn), denominadas premissas, objetivam servir de base semântica para a n-ésima

primeira destas proposições (q), aquela que é denominada conclusão.

Seja ΣΣΣΣ uma seqüência p1, p2, p3, ..., pn de n fbfs de L0, não necessariamente ordenada, simples ou

compostas3, e seja q, também uma fbf de L0 :

então p1, p2, p3, ..., pn q (que também pode ser notado como: ΣΣΣΣ q ) representa um

argumento válido em L0 se, e somente se, não existirem interpretações para a seqüência p1,

p2, p3, ..., pn e q, sob as quais, as n primeiras sendo todas verdadeiras, por acaso venha a

ocorrer como conseqüência, que a última seja falsa.

3 Notar que: Σ ⊂ P e não necessariamente Γ ∩ Σ ≠ ∅.


4.11

4.4.2.1.- Argumentos Válidos e Não-Válidos – Observações

• p1, p2, p3, ..., pn q e Σ q deve ser interpretado como: “quando p1, p2, p3, ..., pn forem todas

verdadeiras, q também o será, obrigatoriamente”, este é um argumento válido.

• As notações: p1, p2, p3, ..., pn L0

q ou Σ L0

q representam o fato: p1, p2, p3, ..., pn e q são válidas em L0,


verdadeiras em L0.

• p1, p2, p3, ..., pn q deve ser interpretado como: “quando p1, p2, p3, ..., pn, forem todas verdadeiras e q

for falsa”, este argumento é não-válido ou inválido.

4.4.2.2.- Exemplos – Argumentos Válidos:

Iremos verificar, como exemplos, os seguintes cinco argumentos utilizando o raciocínio semântico

e, quando necessário, buscando na tabela de valores semânticos (tabela de valores verdade) o fato de todas

as premissas sendo verdadeiras a conclusão não ser falsa.

Exemplo 1:

p ⇒⇒⇒⇒ q, p q ou p ⇒⇒⇒⇒ q, p q ?


Seja adotar por hipótese: ∆(p⇒q) = V e ∆(q) = V.

Pela definição do valor semântico da implicação: ]F)q(V)p([]F)qp([ =∆∧=∆⇔=⇒∆ .

Se ∆(p⇒q) = V e ∆(p) = V (hipóteses), tem-se que ∆(q) = ¬F, isto é, ∆(q) = V, podendo-se afirmar que

“p ⇒ q, p q”, ou seja, o argumento é válido.

Verificação através da Tabela de valores semânticos (valores verdade):

linha p q p⇒⇒⇒⇒q q linha

1 V V V V 1

2 V F F F 2

3 F V V F 3

4 F F V F 4

� A linha 1 da tabela nos mostra que p ⇒⇒⇒⇒ q, p q.

Exemplo 2:

Nos dois casos a seguir: (a) p, q q ou p, q q? (b) p, q p ou p, q p ?



4.12


Da hipótese: ∆(p) = V e ∆(q) = V, é trivial verificar que nos dois casos (a) e (b) a conclusão é V.

Exemplo 3:

p, p ∧∧∧∧ q q ou p, p ∧∧∧∧ q q ?


Da hipótese ∆(p)= V e ∆(p∧q)=V e

pela definição de valor semântico da conjunção: ]V)q(V)p([]V)qp([ =∆∧=∆⇔=∧∆

obtém-se ∆(q) = V, sendo impossível que ocorra a partir daquelas hipóteses: ∆(q) = F.

Logo: “p, p∧q q” é um argumento válido.

Exemplo 4:

p ⇔⇔⇔⇔ q, p q ou p ⇔⇔⇔⇔ q, p q ?


Da hipótese ∆(p) = V e ∆(p⇔q) =V, como p é equivalente semântico de q, então ∆(q) = V.

4.4.2.3.- Contra-exemplos – Argumentos Não Válidos:

Contra-exemplo 1:

Queremos verificar se “p ⇒⇒⇒⇒ q” e “q” são premissas das quais se pode derivar “p”, ou seja ,

queremos saber se “p ⇒⇒⇒⇒ q, q p” é um argumento válido ou então se “p ⇒⇒⇒⇒ q, q p” é um argumento não válido (inválido).

Verificação do [Contra-exemplo 1] por raciocínio:

Seja adotar por hipótese: ∆(p ⇒ q) = V e ∆(q) = V.

Assim, ∆(p ⇒ q) = v(p ⇒ V) = V de onde, observando-se a definição do valor semântico da relação de

implicação, temos:

=∆

∧

=∆

⇔=⇒∆

F)q(

V)p(

F)qp( ou seja, ∆(p ⇒ V) = V, se apresentará com as seguintes


4.13

duas possibilidades: (i) ∆(V ⇒ V) = V ; (ii) ∆(F ⇒ V) = V, assim, “p ⇒⇒⇒⇒ q, p q” pois para ∆(p) = F

ou ∆(p) = F, “p ⇒ q, p q” é um argumento não válido (invalido).

Contra-exemplo 2:

Vamos agora supor que tenhamos as premissas p ⇒ q e p ∨q e queremos concluir que a p ⇔ q.

Talvez consigamos algum resultado por raciocínio. Mas tentaremos primeiramente a tabela verdade:

linha p q p⇒⇒⇒⇒q p∨∨∨∨q p⇔⇔⇔⇔q linha

1 V V V V V 1

2 V F F V F 2

3 F V V V F 3

4 F F V F F 4

Note que a linha 1 nos permitiria afirmar que “p⇒q, p∨q p⇔q” seria um argumento válido,

mas observe o que ocorre na linha 3:

na linha 3 ocorre que ∆(p⇒q) = V, e ∆(p∨q) = V sendo que ∆(p ⇔ q) = F,

assim “p ⇒ q, p ∨ q p ⇔ q”, ou seja, este é um argumento inválido.

4.4.3.- Teoremas sobre os Argumentos Válidos

4.4.3.1.- Teorema 1:

p1, p2, p3, ..., pn q ⇔⇔⇔⇔ (p1 ∧∧∧∧ p2 ∧∧∧∧ p3 ∧∧∧∧ ... ∧∧∧∧ pn) q

Prova: (temos que provar uma equivalência)

(⇒⇒⇒⇒)

• Seja por hipótese: p1, p2, p3, ..., pn q. Isto equivale a se aceitar como hipótese que ∆(pi) = V

para i = 1,2,3, ...,n e que ∆(q) = V.

• Pela definição da conjunção, se todas as fórmulas atômicas presentes em p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧...∧ pn

são verdadeiras, tem-se (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn) q corresponde semanticamente a q ou,

ainda, pela hipótese ∆(q) = V, que V V ou seja .

(⇐⇐⇐⇐)

• Seja por hipótese: (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn) q. Isto equivale a se aceitar como hipótese que

∆(p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn) = V e que ∆(q)=V.



4.14

• Pela definição da conjunção, se ∆(p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn) = V então ∆(p1)=V, ∆(p2)=V,

∆(p3)=V, ..., ∆(pn) = V e temos, da hipótese, ∆(q) = V. Logo, podemos escrever pela definição

de argumento válido que: p1, p2, p3, ..., pn q.

4.4.3.2.- Teorema 2:

p1, p2, p3, ..., pn q ⇔⇔⇔⇔ v( (p1 ∧∧∧∧ p2 ∧∧∧∧ p3 ∧∧∧∧ ... ∧∧∧∧ pn) ⇒⇒⇒⇒ q ) =

Esquema de Prova:

(⇒⇒⇒⇒) Hipótese: p1, p2, p3, ..., pn q usar as definições de conjunção e implicação para provar a Tese:

∆( (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn) ⇒ q ) = V.

(⇐⇐⇐⇐)

Hipótese: ∆( (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn) ⇒ q ) = V usar as definições de argumento válido para provar a Tese:

p1, p2, p3, ..., pn q.

4.4.4.- Vários Teoremas sobre Argumentos Válidos – Provar como Exercício

Considerando Σ como uma seqüência p1, p2, p3, ..., pn de n fbfs de L0, não necessariamente

ordenada, sendo q e r , também fbfs de L0 e p1, p2, p3, ..., pn q (ou Σ q ), conforme definido

anteriormente representando um argumento válido em L0, prove os seguintes teoremas:

Teorema 3: ΣΣΣΣ, p q ⇔⇔⇔⇔ ΣΣΣΣ p →→→→ q

Exemplo: q →→→→ (p→→→→q) ⇔⇔⇔⇔ q p→→→→q ⇔⇔⇔⇔ q, p q

Teorema 4: ΣΣΣΣ q ∧∧∧∧ ΣΣΣΣ ⊆⊆⊆⊆ ΣΣΣΣ’ ⇒⇒⇒⇒ ΣΣΣΣ’ q

Exemplo: Seja ΣΣΣΣ correspondendo à seqüência de fbfs de L0 “p, p→→→→q” e seja ΣΣΣΣ p .

Se ΣΣΣΣ’ corresponde a p, p→→→→q, r então ΣΣΣΣ, r p ou seja, ΣΣΣΣ’ p .

Teorema 5: ΣΣΣΣ, p, p→→→→q r ⇔⇔⇔⇔ ΣΣΣΣ, p, q r

Teorema 6: ΣΣΣΣ, p ∧∧∧∧ q r ⇔⇔⇔⇔ ΣΣΣΣ, p, q r


4.15

Teorema 7: ΣΣΣΣ p ∧∧∧∧ q ⇔⇔⇔⇔ ( ΣΣΣΣ p ∧∧∧∧ ΣΣΣΣ q )

Teorema 8: ΣΣΣΣ q ⇒⇒⇒⇒ ( ΣΣΣΣ, q r ⇔⇔⇔⇔ ΣΣΣΣ r)

Teorema 9: ΣΣΣΣ, p ∨∨∨∨ q r ⇔⇔⇔⇔ ( ΣΣΣΣ, p r ∧∧∧∧ ΣΣΣΣ, q r )

Teorema 10: ΣΣΣΣ p ∨∨∨∨ q ⇔⇔⇔⇔ ΣΣΣΣ, ¬¬¬¬p q

Teorema 11: ΣΣΣΣ, p →→→→ q r ⇔⇔⇔⇔ ( ΣΣΣΣ, ¬¬¬¬p r ∧∧∧∧ ΣΣΣΣ, q r )

Teorema 12: ΣΣΣΣ p ↔↔↔↔ q ⇔⇔⇔⇔ ( ΣΣΣΣ, p q ∧∧∧∧ ΣΣΣΣ, q p )

Teorema 13: ΣΣΣΣ, p ↔↔↔↔ q r ⇔⇔⇔⇔ ( ΣΣΣΣ, p, q r ∧∧∧∧ ΣΣΣΣ, ¬¬¬¬p, ¬¬¬¬q r )

4.5.- Alguns Exemplos de Sistemas Axiomáticos para a Lógica Proposicional

Pode-se utilizar um sistema axiomático para a obtenção, através de derivação, de todas as fórmulas

válidas no Cálculo Proposicional. A seguir serão apresentados, de forma bastante resumida, três sistemas

axiomáticos distintos que utilizam duas regras de inferência: a modus ponens e a substituição, que serão

mostradas a seguir.

O que o leitor irá perceber é que os axiomas que os diversos autores vêm adotando em seus

sistemas lógicos, são na verdade, o que se passou a denominar axiomas-esquema ou axiomas

esquemáticos, que são “um” axioma que através da regra de inferência denominada regra da

substituição, passa a ser assumido como infinitos axiomas.

Um axioma deste tipo aparece na literatura inglesa como “axiom schema” que em português ficaria

mais bem traduzido, de acordo com o sentido que deve ser dado ao conceito, como “axioma esquemático”

que é, justamente, o nome que aqui adotamos. No entanto, na literatura em português alguns autores

evitam este problema de tradução, adotando o nome de “esquema de axiomas” para o conjunto de axiomas

esquemáticos de um dado sistema. A idéia de se traduzir “axiom schema” como “axioma-esquema”

parece ser cativante, mas eu preferi: axioma esquemático, por ser mais expressiva.



4.16

4.5.1.- Sistema Axiomático de Whitehead e Russel 4 para L0

[1] Símbolos primitivos: ¬¬¬¬ (negação) e ∨∨∨∨ (conjunção)

[2] os demais símbolos são dados por definição, como segue 5:

D1 - A ⊃⊃⊃⊃ B é a escrita abreviada de ¬¬¬¬A ∨∨∨∨ B

D2 - A ∧∧∧∧B é a escrita abreviada de ¬¬¬¬(¬¬¬¬A ∨∨∨∨ ¬¬¬¬B)

D3 - A ≡≡≡≡ B é a escrita abreviada de (A ⊃⊃⊃⊃ B) ∧∧∧∧ (B ⊃⊃⊃⊃ A)

[3] Axiomas-Esquema 6: AE1 – (A ∨∨∨∨ B) ⊃⊃⊃⊃ A

AE2 – B ⊃⊃⊃⊃ (A ∨∨∨∨ B)

AE3 – (A ∨∨∨∨ B) ⊃⊃⊃⊃ (B ∨∨∨∨ A)

AE4 – (A ∨∨∨∨ (B ∨∨∨∨ C) ) ⊃⊃⊃⊃ (B ∨∨∨∨ (A ∨∨∨∨ C)

AE5 – (B ⊃⊃⊃⊃ C) ⊃⊃⊃⊃ ((A ∨∨∨∨ B) ⊃⊃⊃⊃ (A ∨∨∨∨ C))

�� Notas Importantíssimas:

1a - Estes axiomas devem ser assumidos como esquemas axiomáticos ou axiomas esquemáticos (AE) – veja abaixo em RI-2 a possibilidade de se usar estes axiomas como esquemas para substituições. 2a - Estes axiomas não são independentes uns dos outros, o AE4 pode ser obtido a partir dos demais axiomas [Verifique como exercício].

[4] Regras de Inferência

RI-1– RIMP - Modus Ponens: A é válida e A ⊃⊃⊃⊃ B, então B é válida.

RI-2– RISUB- Substituição: Pode-se, dentro de um esquema de axioma (ou esquema axiomático) substituir uma letra (átomo) por uma fórmula qualquer, desde que todas as letras idênticas sejam substituídas por fórmulas idênticas.

4 Adaptado da obra de Whitehead e Russel, o Principia Mathematica. 5 Os símbolos ⊃ e ≡ são os adotados pelos autores do Principia Mathematica e correspondem respectivamente à implicação e à equivalência. 6 AE – Abreviatura de Axioma Esquemático ou Axioma-Esquema ou Esquema de Axioma.


4.17

4.5.2.- Exemplos de Derivação no Sistema Axiomático de Whitehead-Russel

Exemplo 1:

1.- Provar, utilizando os axiomas de Whitehead e Russel e as regras de inferência (Modus Ponens e

Substituição) o seguinte Teorema de L0 : (B ⊃⊃⊃⊃ C) ⊃⊃⊃⊃ ((A ⊃⊃⊃⊃ B) ⊃⊃⊃⊃ (A ⊃⊃⊃⊃ C))

Passos: Transformações Observações 1 (B ⊃⊃⊃⊃ C) ⊃⊃⊃⊃ ((A ⊃⊃⊃⊃ B) ⊃⊃⊃⊃ (A ⊃⊃⊃⊃ C)) Entrada: É uma Fórmula válida ?

Aplicar em (1) a Definição D1 2 (B ⊃⊃⊃⊃ C) ⊃⊃⊃⊃ ((¬¬¬¬A ∨∨∨∨ B) ⊃⊃⊃⊃ (¬¬¬¬A ∨∨∨∨ C))

Tomar por base o AE5 3 (B ⊃⊃⊃⊃ C) ⊃⊃⊃⊃ ((A ∨∨∨∨ B) ⊃⊃⊃⊃ (A ∨∨∨∨ C))

Aplicar a RI-2 em AE5 (Trocar: A por ¬¬¬¬A) 4 (B ⊃⊃⊃⊃ C) ⊃⊃⊃⊃ ((¬¬¬¬A ∨∨∨∨ B) ⊃⊃⊃⊃ (¬¬¬¬A ∨∨∨∨ C)) Veja que (2) e (4) são equivalentes

Saída: SIM, a fórmula em (1) é válida.

Exemplo 2: Provar, utilizando os axiomas de Whitehead e Russel e as regras de inferência (Modus

Ponens e Substituição) o seguinte Teorema de L0 :

¬¬¬¬A ∨∨∨∨ A

Passos Transformações Observações 1 ¬¬¬¬A ∨∨∨∨ A Entrada: É uma Fórmula válida ?

Tomar o AE5

2 (B ⊃⊃⊃⊃ C) ⊃⊃⊃⊃ ((A ∨∨∨∨ B) ⊃⊃⊃⊃ (A ∨∨∨∨ C))

Aplicar a RI-2 em (2) (Trocar: A por ¬¬¬¬A) 3 (B ⊃⊃⊃⊃ C) ⊃⊃⊃⊃ ((¬¬¬¬A ∨∨∨∨ B) ⊃⊃⊃⊃ (¬¬¬¬A ∨∨∨∨ C))

Aplicar a definição D1 em 3 4 (B ⊃⊃⊃⊃ C) ⊃⊃⊃⊃ ((A ⊃⊃⊃⊃ B) ⊃⊃⊃⊃ (A ⊃⊃⊃⊃ C))

Aplicar a RI-2 em (4) (Trocar: B por (A∨∨∨∨A) ) 5 ((A∨∨∨∨A) ⊃⊃⊃⊃ C) ⊃⊃⊃⊃ ((A ⊃⊃⊃⊃ (A∨∨∨∨A)) ⊃⊃⊃⊃ (A ⊃⊃⊃⊃ C))

Aplicar a RI-2 em (5) (Trocar: C por A) 6 ((A∨∨∨∨A) ⊃⊃⊃⊃ A) ⊃⊃⊃⊃ ((A ⊃⊃⊃⊃ (A∨∨∨∨A)) ⊃⊃⊃⊃ (A ⊃⊃⊃⊃ A))

Aplicar a RI-1em (6): ((A∨∨∨∨A) ⊃⊃⊃⊃ A) é o AE1 7 Tem-se: ((A∨∨∨∨A) ⊃⊃⊃⊃ A) ⊃⊃⊃⊃ ((A ⊃⊃⊃⊃ (A∨∨∨∨A)) ⊃⊃⊃⊃ (A ⊃⊃⊃⊃ A))

e ((A∨∨∨∨A) ⊃⊃⊃⊃ A) é válida, então ((A ⊃⊃⊃⊃ (A∨∨∨∨A)) ⊃⊃⊃⊃ (A ⊃⊃⊃⊃ C)) é válida. ��

�� Aguardar

Tomar o AE2 8 B ⊃⊃⊃⊃(A ∨∨∨∨ B)

Aplicar a RI-2 em (8) (Trocar: B por A) 9 A ⊃⊃⊃⊃(A ∨∨∨∨ A) �� Aguardar

Aplicar a RI-1 em (7) (A ⊃⊃⊃⊃(A∨∨∨∨A)) é a (9)

10

Tem-se: (A ⊃⊃⊃⊃ (A∨∨∨∨A) ) ⊃⊃⊃⊃ (A ⊃⊃⊃⊃ A) e (A ⊃⊃⊃⊃ (A∨∨∨∨A) ) é válida, então A ⊃⊃⊃⊃ A é válida.

Aplicar a definição D1 em 10 11 ¬¬¬¬A ∨∨∨∨ A

Saída: A fórmula em (11) é válida.



4.18

4.5.3.- Sistema Axiomático de Lukasiewicz para L0

Datado de 1929, este é um outro sistema axiomático proposto para a Lógica Proposicional por Jan

Lukasiewicz, um lógico polonês. Com os mesmos símbolos e regras de inferência do sistema anterior,

devido a Whitehead e Russel, o sistema axiomático para a Lógica Proposicional de Lukasievicz possui os

seguintes três esquemas de axioma:

Axiomas: AE1 – (A ⊃⊃⊃⊃ B) ⊃⊃⊃⊃ ( (B ⊃⊃⊃⊃ C) ⊃⊃⊃⊃ (A ⊃⊃⊃⊃C) )

AE2 – A ⊃⊃⊃⊃ (¬¬¬¬A ⊃⊃⊃⊃ B)

AE3 – (¬¬¬¬A ⊃⊃⊃⊃ A) ⊃⊃⊃⊃ A

� Notar que os dois primeiros axiomas do Sistema Axiomático de Lukasiewicz para a Lógica

Proposicional poderiam ser derivados dos Axiomas e definições do Sistema de Whitehead-Russel,

conforme mostrado nos exemplos 3 e 4 anteriores.

Exemplo:

Seja derivar a fórmula “A ⊃⊃⊃⊃ A” a partir dos axiomas de Lukasievicz

Tomar o axioma AE2 A ⊃⊃⊃⊃ (¬¬¬¬A ⊃⊃⊃⊃ B)

Substituir B por A em AE2 A ⊃⊃⊃⊃ (¬¬¬¬A ⊃⊃⊃⊃ A)

Tomar o Axioma AE1 (A ⊃⊃⊃⊃ B) ⊃⊃⊃⊃ ( (B ⊃⊃⊃⊃ C) ⊃⊃⊃⊃(A ⊃⊃⊃⊃C) )

Substituir C por A em AE1 (A ⊃⊃⊃⊃ B) ⊃⊃⊃⊃ ((B ⊃⊃⊃⊃ A) ⊃⊃⊃⊃(A ⊃⊃⊃⊃A))

Substituir B por ¬¬¬¬A ⊃⊃⊃⊃A em (4) (A ⊃⊃⊃⊃ (¬¬¬¬A ⊃⊃⊃⊃A) ) ⊃⊃⊃⊃ (((¬¬¬¬A ⊃⊃⊃⊃A) ⊃⊃⊃⊃ A) ⊃⊃⊃⊃(A ⊃⊃⊃⊃A))

Modus Ponens- (2) é válida, então: ((¬¬¬¬A ⊃⊃⊃⊃A) ⊃⊃⊃⊃ A) ⊃⊃⊃⊃(A ⊃⊃⊃⊃A) é válida

Modus Ponens-AE3: (¬¬¬¬A ⊃⊃⊃⊃ A) ⊃⊃⊃⊃ A (A ⊃⊃⊃⊃A) é válida

4.5.4.- Sistema Axiomático de Alexander Bolotov7

[1] Símbolos primitivos: ¬¬¬¬ (negação) e ⇒⇒⇒⇒ (implicação)

[2] Axiomas-Esquema: Ax1 – p ⇒⇒⇒⇒ (q ⇒⇒⇒⇒ p)

Ax2 – ( p ⇒⇒⇒⇒ (q ⇒⇒⇒⇒ r) ) ⇒⇒⇒⇒ ( (p ⇒⇒⇒⇒ q)⇒⇒⇒⇒ (p ⇒⇒⇒⇒ r) )

Ax3 – ( (¬¬¬¬p ⇒⇒⇒⇒ ¬q)⇒⇒⇒⇒ (q ⇒⇒⇒⇒ p) )

[3] Regras de Inferência: [3.1] Substituição: Seja A uma fórmula da Lógica Proposicional e p uma variável proposicional em A. Seja A(p/B) o resultado da substituição de todas as ocorrências de p em A, pela fórmula B, ou seja:

)B/p(A

A

[3.2.] Modus Ponens: Seja A ⇒ B uma fórmula da Lógica Proposicional, então a seguinte regra é,

então, válida: B

BA,A ⇒, que significa, se A e A ⇒ B são válidas, então B é válida.

7 Professor da Universidade de Westminister / Inglaterra – http://www.wmin.ac.uk/bolotoa/index.html


4.19

Exemplo:

Seja derivar a fórmula “p ⇒⇒⇒⇒ p” a partir dos axiomas de Alexander Bolotov

[1[ Tomar o axioma Ax2 ( p ⇒⇒⇒⇒ (q ⇒⇒⇒⇒ r) ) ⇒⇒⇒⇒ ( (p ⇒⇒⇒⇒ q)⇒⇒⇒⇒ (p ⇒⇒⇒⇒ r) )

[2] Substituir em [1[: q/(p⇒⇒⇒⇒p) e r/p ( p ⇒⇒⇒⇒ ((p ⇒⇒⇒⇒ p) ⇒⇒⇒⇒ p) ) ⇒⇒⇒⇒ ( (p ⇒⇒⇒⇒ (p ⇒⇒⇒⇒ p) )⇒⇒⇒⇒ (p ⇒⇒⇒⇒ p) )

[3] Tomar o Ax 1 p ⇒⇒⇒⇒ (q ⇒⇒⇒⇒ p)

[4] Substituir em [3[:q/(p⇒⇒⇒⇒p) p ⇒⇒⇒⇒ ( (p ⇒⇒⇒⇒ p) ⇒⇒⇒⇒ p)

[5] Modus Ponens em [2] e [4] ( p ⇒⇒⇒⇒ (p ⇒⇒⇒⇒ p) ) ⇒⇒⇒⇒ ( (p ⇒⇒⇒⇒ p)

[6] Substituir em [3[:q/p p ⇒⇒⇒⇒ (p ⇒⇒⇒⇒ p)

[7] Modus Ponens em [5] e [6] p ⇒⇒⇒⇒ p

F I M F I M

4.5.5.- Sistema Axiomático de Carmo Costa para L0

A nossa construção axiomática para a Lógica Formal aqui apresentada não é única, um exemplo

bastante interessante, é o seguinte, de acordo com Marcos Mota do Carmo Costa [Costa 1992] que

estabeleceu a seguinte estrutura de sustentação sintática para a Lógica Proposicional:

[0] Considera A,B,C, ...,P,Q, ... são fórmulas, indicando como ΓΓΓΓ como um conjunto de fórmulas da lógica

proposicional.

[1] Considera apenas os símbolos de negação e implicação como primitivos e define a conjunção e

disjunção em função destes, como se segue:

[1.1.] (P /\ Q) d e f

==== ¬ (P ⇒ Q) [1.2.] (P \/ Q) d e f

==== (¬ P ⇒ Q) [2] Estabelece apenas três axiomas: [2.1.] P ⇒ (Q ⇒ P) [2.2.] ( R ⇒ (P ⇒ Q) ) ⇒ ( ( R ⇒ P) ⇒ (R ⇒ Q) ) [2.3.] (¬ P ⇒ ¬ Q) ⇒ ( (¬ P ⇒ Q) ⇒ P)

[3] Adota a regra de inferência “modus ponens”: ΓΓΓΓ P , ΓΓΓΓ (P ⇒ Q)

ΓΓΓΓ Q

onde o símbolo “ ” deve ser lido: “tem por conseqüência” ou “acarreta”, e ΓΓΓΓ deve ser entendido como

um conjunto de fórmulas da lógica proposicional;



4.20

4.6.- Sistemas Simbólicos Computacionais

Os computadores são poderosas auxiliares no estudo da Matemática Numérica e Gráfica. O que

muita gente não sabe é que os computadores podem ser equipados com softwares bastante notáveis

capazes de realizar intrincadas manipulações simbólicas e algébricas. Estes sistemas, classificáveis como

Sistemas Simbólicos Computacionais, podem ser basicamente de dois tipos: aqueles aplicados à

Matemática em geral e aqueles dedicados estritamente aos processos de manipulação em Lógica

Simbólica, que poderiam ser divididos em dois grandes grupos: os Sistemas Matemáticos

Computacionais e os Provadores Automáticos de Teoremas.

4.6.- Os Sistemas Matemáticos Computacionais

Os Sistemas Matemáticos Computacionais que também podem ser denominados Sistemas

Algébricos Computacionais, se bem que esta denominação seja muito genérica, são sistemas interativos

destinados a solucionar problemas envolvendo cálculos numéricos e problemas simbólicos de matemática

em geral, como por exemplo: calcular derivadas e integrais, tanto analiticamente (realizando cálculo

simbólico) quanto numericamente, analisar ou resolver sistemas lineares, resolver equações diferenciais

analítica e numericamente, plotar gráficos cartesianos ou polares planares e tridimensionais, e muito mais.

Menciona-se que estes sistemas são interativos porque cabe ao usuário a formulação correta do

problema e a interpretação das respostas que nem sempre são emitidas numa forma padrão ou usual. Por

isto estes sistemas têm que ser vistos como sistemas oraculares, ou seja, fornecem respostas que precisam

ser interpretadas ou reinterpretadas pelo usuário.

Entre os mais famosos Sistemas Matemáticos Computacionais, disponíveis para comercialização

estão o Mathematica, o Maple, o Derive, o Macsyma, o Matlab. Um fato bastante interessante a ser

registrado é que a comunidade acadêmica brasileira tem reiteradamente recomendado a utilização do

Maple por se tratar de uma ferramenta produzida por uma universidade e não por uma empresa.

4.7.- Os Provadores Automáticos de Teoremas

Sob o nome Provadores Automáticos de Teoremas, estão reunidos uma gama variada de sistemas

computacionais, altamente sofisticados, que realizam intrincados processamento simbólico baseados em

rigorosa fundamentação lógica. As provas produzidas nestes sistemas são realizadas através de

manipulações de símbolos, baseadas em premissas, axiomas e algumas poucas regras de inferência, que

normalmente incluem a regra Modus Ponens e Regras de Substituição. Estes sistemas, de modo geral, são

difíceis de serem usados e alguns deles são bastante lentos e alguns tipos de provas obtidas via provadores

automáticos de teoremas, geralmente, são bastante complexas e longas.


4.21

Estas ferramentas, denominadas genericamente Provadores Automáticos de Teoremas, se

distribuem por três grandes grupos.

O primeiro destes grupos reúne as ferramentas destinadas ao ensino da Lógica, os editores de

provas. O segundo grupo reúne as ferramentas destinadas especificamente à prova de teoremas

matemáticos, são os provadores de teoremas propriamente ditos ou os assistentes de prova. O terceiro e

último destes grupos reúne ferramentas destinadas à verificação formal de sistemas computacionais

envolvendo programas e/ou hardware, denominados verificadores de prova.

Em termos de automatização entre estas ferramentas há aqueles que sendo totalmente

automatizadas praticamente dispensam a interferência humana e aqueles que exigem a participação

humana durante as operações, mesmo porque, em alguns casos há o interesse do usuário de acompanhar

passo a passo o processamento.

São exemplos bastante conhecidos de provadores automáticos de teoremas: o Coq, o EVES, o

IMPS, o Mizar, Nqthm, o Nuprl, o Otter, o PVS, com destaque para o Alfie (dedicado ao ensino - é um

editor para a Lógica Proposicional), o HOL e o Isabelle (com características que permitem encaixá-los em

dois dos grupos supra mencionados o segundo e o terceiro), sendo que se tem notícia de muitos protótipos

em desenvolvimento, bem como, outros plenamente operacionais, em diversas universidades, inclusive

brasileiras.

4.8.- Um exemplo de Prova Automática de Teorema

Para dar ao leitor a oportunidade de melhor compreender o que seriam os Sistemas

Computacionais Provadores Automáticos de Teoremas, nós escolhemos o SPASS do Max-Planck-

Institut für Informatik (localizado em Saarbrücken, Alemanha) para apresentar como exemplo.

O SPASS é um Provador Automático de Teoremas para a Lógica de Primeira Ordem com símbolo

de igualdade que está disponível na Internet para dawnload no site:

http://spass.mpi-sb.mpg.de/download/index.html

onde se fica sabendo, de imediato, que junto com uma versão do programa SPASS/FLOTTER binary,

específico para o seu tipo de computador, você poderá ainda receber a documentação para o uso do

sistema e uma pequena coleção de exemplos testados.

É um deste exemplos que nós exibimos a seguir, com algumas adaptações, para mostrar como se

realiza uma Prova Automática de Teoremas no SPASS.

O leitor irá ver na documentação a seguir, que popositalmente foi dividida em duas partes, o

seguinte: (i) na primeira parte: a entrada do arquivo fonte (programa objeto) e (ii) na segunda parte: as

saídas providas pelo sistema ao longo do processo de prova.



4.22

1a Parte O Ciclo de Entrada de um arquivo fonte no SPASS, passo a passo.

[1º Passo] O ponto de partida é o problema de lógica a ser resolvido.

Seja assumir as seguintes sentenças como premissas: (1) Sócrates é humano. (2) Todo humano é mortal. É claro que a nossa conclusão seria: (3) Sócrates é mortal.

[2º Passo] Devemos agora formular o nosso problema usando a simbologia da Lógica de Segunda Ordem.

(1) Humano(socrates) (2) ∀∀∀∀x Humano(x) ⊃⊃⊃⊃ Mortal(x) (3) Mortal(socrates)

onde sintaticamente: Humano e Mortal são predicados enquanto sócrates é uma constante. O

símbolo ∀∀∀∀ é o quantificador universdal e ⊃⊃⊃⊃ corresponde à implicação. [3º Passo] Devemos agora prover o SPASS de um arquivo de entrada (um programa fonte) que contenha exatamente a fórmula respeitando a sua sintaxe. begin_problem(Socrates1).

list_of_descriptions.

name({*Socrates*}).

author({*Joao e Maria*}).

status(unsatisfiable).

description({* Socrates eh mortal e como todos os humanos sao mortais, ele eh tambem

mortal. *}).

end_of_list.

list_of_symbols.

functions[(socrates,0)].

predicates[(Humano,1),(Mortal,1)].

end_of_list.

list_of_formulae(axioms).

formula(Human(socrates),1).

formula(forall([x],implies(Human(x),Mortal(x))),2).

end_of_list.

list_of_formulae(conjectures).

formula(Mortal(socrates),3).

end_of_list.

end_problem.


4.23

Comentários sobre a sintaxe do Programa: � Um arquivo de entrada do SPASS consiste de quatro partes, a saber:

• Uma parte onde se fornece uma descrição do “programa”, cujo cabeçalho deve ser: list_of_descriptions.

• Uma parte de declaração de tipos dos símbolos, cujo cabeçalho deve ser obrigatoriamente: list_of_symbols.

• Uma parte onde todos os axiomas devem ser apresentados, começando por: list_of_formulae(axioms).

• Uma parte final onde todas as cojecturas devem ser apresentadas, encabeçada por: list_of_formulae(conjectures).

� As formulas são introduzidas através da notação: formula( formula ).

e são geralmente escritas em notação prefixa, e o SPASS tenta provar que a conjunção de todos os axiomas implica na disjunção de todas as conjecturas.

2a Parte O Ciclo de Saída de dados referentes à prova no SPASS, passo a passo.

As saídas produzidas pelo SPASS para o “programa” anterior será o seguinte:

--------------------------SPASS-START-----------------------------

Input Problem:

1[0:Inp] || -> Human(socrates)*.

2[0:Inp] || Mortal(socrates)* -> .

3[0:Inp] || Human(U) -> Mortal(U)*.

This is a monadic Horn problem without equality.

This is a problem that has, if any, a finite domain model.

There are no function symbols.

This is a problem that contains sort information.

The conjecture is ground.

The following monadic predicates have finite extensions: Human.

Axiom clauses: 2 Conjecture clauses: 1

Inferences: IEmS ISoR IORe

Reductions: RFClR RBClR RObv RUnC RTaut RSST RSSi RFSub RBSub RCon

Extras : Input Saturation, Always Selection, No Splitting, Full Reduction,

Ratio: 5, FuncWeight: 1, VarWeight: 1

Precedence: Mortal > Human > socrates

Ordering : KBO

Processed Problem:

Worked Off Clauses:

Usable Clauses:



3[0:Inp]Human(U) || -> Mortal(U)*.

SPASS V 1.0.0

SPASS beiseite: Proof found.

Problem: socrates1.dfg

SPASS derived 1 clauses, backtracked 0 clauses and kept 4 clauses.

SPASS allocated 438 KBytes.



4.24

SPASS spent 0:00:00.12 on the problem.

0:00:00.02 for the input.

0:00:00.02 for the FLOTTER CNF translation.

0:00:00.00 for inferences.

0:00:00.00 for the backtracking.

0:00:00.00 for the reduction.

--------------------------SPASS-STOP------------------------------

O mais interessante fica por conta do seguinte: o provador SPASS lê o arquivo de entrada e transforma a fórmula numa conjunto de cláusulas na forma normal, onde as conjecturas(s) são negadas, o que significa que as provas realizadas pelo SPASS são baseadas em refutação.

Assim, as cláusulas8



3[0:Inp] || Human(U) -> Mortal(U)*.

são as suas cláusulas de entrada onde: -> denota a implicação, * significa que o literal é maximal, sendo que a negação de um literal é precedida por ||. A seguir o SPASS analisa o problema e emite a seguinte mensagem:

This is a monadic Horn problem without equality.

This is a problem that has, if any, a finite domain model.

There are no function symbols.

This is a problem that contains sort information.

The conjecture is ground.

The following monadic predicates have finite extensions: Human.

Axiom clauses: 2 Conjecture clauses: 1

Baseado nas informações anteriores, o SPASS emite a seguinte mensagem contendo as diretrizes ou estratégias que irão guiar a prova do teorema:

Inferences: IEmS ISoR IORe

Reductions: RFClR RBClR RObv RUnC RTaut RSST RSSi RFSub RBSub RCon

Extras : Input Saturation, Always Selection, No Splitting, Full

Reduction, Ratio: 5, FuncWeight: 1, VarWeight: 1

Precedence: Mortal > Human > socrates

Ordering : KBO

Tendo decidido as diretrizes/estratégias a serem adotadas e tendo dado ciência ao usuário do que

irá fazer a partir dali, o SPASS irá executar o “programa” emitindo como resultado final, uma das seguintes saídas (outputs):

SPASS beiseite: Proof found. − se a formula é válida SPASS beiseite: Completion found. − se a fórmula não é válida

No entanto, é bom ficar atento para o seguinte: poderá ocorrer que a fórmula seja indecidível e neste caso, o sistema SPASS entra em looping (dispara) sem emitir nunca uma saída.

8 Um grupo de palavras contendo um sujeito e predicados que participam de uma sentença complexa.ou de uma conjunto

indissociável de sentenças – uma composição.


4.25

No nosso caso o objetivo foi alcançado, veja a linha que nós destacamos em negrito a linha: “SPASS beiseite: Proof found” na seguinte saída emitida pelo SPASS:.

Usable Clauses:




SPASS V 1.0.0

SPASS beiseite: Proof found.

Problem: socrates1.dfg

SPASS derived 1 clauses, backtracked 0 clauses and kept 4 clauses.

SPASS allocated 438 KBytes.

SPASS spent 0:00:00.12 on the problem.

0:00:00.02 for the input.

0:00:00.02 for the FLOTTER CNF translation.

0:00:00.00 for inferences.

0:00:00.00 for the backtracking.

0:00:00.00 for the reduction.

Para este exemplo bastante simples o SPASS já acha a prova por meio de saturação/redução, e

conseqüentemente não produz nenhuma cláusula nova. E mais a seqüência da prova não é fornecida automaticamente, sendo que o usuário, se necessitar da mesma deve entrar com a opção -DocProof no campo de opções da interface principal do SPASS, e a saída virá adicionalmente acompanhada do seguinte relatório contendo os passos da prova:

Here is a proof with depth 1, length 5 :




4[0:Res:3.1,2.0]Human(socrates) || -> .

5[0:ClR:4.0,1.0] || -> .

Formulae used in the proof : 1 3 2



4.26


• A Lógica Proposicional é vista aqui como um Sistema Formal Axiomático que se resolveu denominar,

por comodidade, S0. Este sistema é constituído por uma linguagem formal, a Linguagem Formal L0

cujo alfabeto comporta os símbolos lógicos: ¬ (negação), ∧ (conjunção), ∨ (disjunção), ⇒

(implicação) e ⇔ (equivalência) e por regras gramaticais que permitem a obtenção de um conjunto

P de as L0-fórmulas ou seja das fórmulas-bem-formadas nesta linguagem. A função de avaliação

semântica ou função de atribuição de valor lógico é a lei ∆ que associa cada fórmula de P a um

único dos valores lógicos V ou F. Além da Linguagem L0 o sistema S0 é constituído de um conjunto Γ

de axiomas e de pelo menos uma regra de inferência aplicável à L0.

• Pode-se acrescentar ainda os símbolos (true) e (fase) ao conjunto de fórmulas de L0 passando a

avaliá-los da seguinte forma: ∆( ) = V e ∆( ) = F, facilitando o nosso trabalho de manipulação algébrica das fórmulas de L0.

• Quatro formas de derivar Tautologias ou de provar Teoremas em L0 são sugeridas: a utilização de

tabelas verdade; a manipulação algébrica; a derivação axiomática utilizando axiomas-esquemáticos

e a regras de dedução Natural de Gentzen. Esta última forma de derivação será apresentada no

capítulo 5.

• Uma abordagem informal sobre o que são os argumento é seguida de uma abordagem formal sobre

argumentos válidos e inválidos numa dada linguagem formal.

• A notação: p1, p2, p3, ..., pn q representa o fato: q é válido em L0, quando e

somente quando, q é verdadeira em todas as interpretações nas quais p1, p2, p3,

..., pn são verdadeiras. Note que ao adotar-se Σ = { p1, p2, p3, ..., pn}, pode-se

escrever: Σ q. Como a semântica de L0 é baseada nos valores lógicos duais:

V e F, e este tipo de argumento é baseado nestes valores ditos semânticos, diz-

se que temos aqui uma validade semântica. A leitura mais indicada para a

expressão: “Σ q” seria: “Σ acarreta semanticamente q”, isto é, o conjunto

de premissas contidas em Σ acarretam (semanticamente) q”.

• A notação “p1, p2, p3, ..., pn q” deve ser lida “q é derivável de p1, p2, p3, ..., pn”,

ou mais, a notação: “ q ” deve ser utilizada para indicar “q é um teorema”,

e em particular, quando “ Lαααα

q”, para indicar que “q é um teorema na Linguagem Lαααα”, sendo que neste último caso, somente axiomas e regras de

inferência de uma linguagem Lα foram utilizados para prová-lo, isto poderia ser

representado por Γ q, ou simplesmente por

q.

• O leitor encontra no final deste capítulo algumas referências e alguns exemplos de Sistemas Simbólicos Computacionais: os Sistemas Matemáticos Computacionais e os Provadores Automáticos de Teoremas.


4.27

4.8.- Trabalhos Experimentais do Capítulo 4

1.- (Experimental) Mostre que o conjunto de definições a seguir são válidos, construindo as

respectivas tabelas verdade e mostrando que se as sentenças são equivalências lógica.

(1) Definições com os símbolos ¬¬¬¬ e ∨∨∨∨:

Definir: Como:

p ∧∧∧∧ q ¬¬¬¬(¬¬¬¬p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q)

p ⇒⇒⇒⇒ q ¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q

p ⇔⇔⇔⇔ q ¬¬¬¬( ¬¬¬¬(¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q) ∨∨∨∨ ¬¬¬¬(¬¬¬¬q ∨∨∨∨ p) )

(2) Definições com os símbolos ¬¬¬¬ e ∧∧∧∧:

Definir: Como:

p ∨∨∨∨ q ¬¬¬¬(¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q)

p ⇒⇒⇒⇒ q ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q)

p ⇔⇔⇔⇔ q ¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q) ∧∧∧∧ ¬¬¬¬(q ∧∧∧∧ ¬¬¬¬p)

(3) Definições com os símbolos ¬¬¬¬ e ⇒⇒⇒⇒:

Definir: Como:

p ∧∧∧∧ q ¬¬¬¬(p ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬q)

p ∨∨∨∨ q (¬¬¬¬p ⇒⇒⇒⇒ q)

p ⇔⇔⇔⇔ q (p ⇒⇒⇒⇒ q) ∧∧∧∧ (q ⇒⇒⇒⇒ p)

(4) Definições com os símbolos ⇒⇒⇒⇒ e ⊥⊥⊥⊥:

Definir: Como:

¬¬¬¬p p ⇒⇒⇒⇒ ⊥⊥⊥⊥

p ∧∧∧∧ q ¬¬¬¬(p ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬q)

p ∨∨∨∨ q ¬¬¬¬(¬¬¬¬p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q)

p ⇔⇔⇔⇔ q (p ⇒⇒⇒⇒ q) ∧∧∧∧ (q ⇒⇒⇒⇒ p)

2.- Mostre que o conjunto de símbolos { ∧∧∧∧, ∨∨∨∨, ¬¬¬¬ } é um conjunto de conectivos lógicos

funcionalmente completo para a Lógica Proposicional.

3.- (Fixação) Prove o Teorema expresso pela seguinte fbf de L0: L0 ( (p ∧∧∧∧q) ⇒⇒⇒⇒ r ) ⇒⇒⇒⇒ ( p ⇒⇒⇒⇒ (q ⇒⇒⇒⇒ r) ).


Entrada�� Hipótese : (p∧∧∧∧q) ⇒⇒⇒⇒r

Regra No

Nome da Regra

(p∧∧∧∧q) ⇒⇒⇒⇒r Hipótese - - - - -

p ⇒⇒⇒⇒(q ⇒⇒⇒⇒ r) Tese - - - - -



4.28

4.- (Fixação) Mostrar que A ⊃⊃⊃⊃ (¬¬¬¬A ⊃⊃⊃⊃ B) é derivável dos axiomas de Whitehead-Russel para a Lógica Proposicional completando a tabela a seguir:

1 A ⊃⊃⊃⊃ (¬¬¬¬A ⊃⊃⊃⊃ B) Entrada: É uma Fórmula válida ?

Tomar por base o AE4 2 (A ∨∨∨∨ (B ∨∨∨∨ C) ) ⊃⊃⊃⊃ (B ∨∨∨∨ (A ∨∨∨∨ C)

Aplicar D1 em (2) e trocar 3 (¬¬¬¬(B⊃⊃⊃⊃C) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬(A ∨∨∨∨ B) ∨∨∨∨ (A ∨∨∨∨ C) ) ) ⊃⊃⊃⊃

⊃⊃⊃⊃ (¬¬¬¬(A ∨∨∨∨ B) ∨∨∨∨ (¬¬¬¬(B⊃⊃⊃⊃C) ∨∨∨∨ (A ∨∨∨∨ C) ) )

Saída: SIM, a fórmula em (1) é válida.

5.- Mostrar que A ⊃⊃⊃⊃ (¬¬¬¬A ⊃⊃⊃⊃ B) é derivável dos axiomas de Whitehead-Russel para a Lógica Proposicional.

6.- (Experimental) Pesquise na Internet os sites de alguns dos Sistemas Provadores de Teoremas

citados no texto. Use a ferramenta de busca Google: http://www.google.com.br/


5.1

Capítulo 5

A Crise dos Fundamentos da Matemática

No prefácio à primeira edição

inglesa do seu livro

"Introdução à Lógica" de 1940,

Tarski afirmou que:

o objetivo da Lógica deveria ser o da

criação de "um aparato conceitual

unificado que proveria uma base

comum para o todo o conhecimento

humano". 5.1.- Introdução

Admite-se modernamente que a Lógica e a Matemática não são uma só ciência. Cada uma delas

ocupa a sua posição que, diga-se de passagem, são posições relevantes na ampla paisagem do

conhecimento humano. A tentativa de associar a Lógica e a Matemática, num único corpo científico, foi

denominado Logicismo ou Movimento Logicista e chegou a seu ápice no de 1910, mas encontrou

obstáculos que se mostraram intransponíveis.

Outro movimento foi iniciado em 1904 por Hilbert. Hilbert propunha a completa axiomatização da

Matemática e, a partir disto, a sua formalização. Este projeto, denominado Formalismo, somente ganhou

corpo a partir de 1920 quando então foi endossado por grandes matemáticos. Este programa teve seu final

decretado em 1931.

Outro movimento surgido mais ou mesmo nesta mesma época praticamente paralelo ao Logicismo

e ao Formalismo foi o Intuicionismo. O Intuicionismo foi um movimento fortemente filosófico que viria a

ser aplicado para repensar a estruturação dos fundamentos da Matemática. O movimento intuicionista foi

iniciado por Brouwer, matemático holandês, e pretendia que os fundamentos da matemática tivessem

como base a intuição humana.

Estes programas não conseguiram seus intentos, mas apesar disto tiveram o mérito de fazer

avançar a partir do final do século XIX e na primeira metade do século XX a Lógica e a Matemática,

criando não somente as novas Lógicas, denominadas Não-Clássicas, mas as novas Geometrias − as

Geometrias Não-Euclidianas −, e proporcionando grandes avanços a partir da adoção da formalização da

Aritmética, com Peano, e a criação da Álgebra Moderna, só para citar alguns exemplos.



5.2

5.2.- A Crise dos Fundamentos da Matemática

Foi final do século XIX1 (por volta de 1870) que, não somente os matemáticos, mas os lógicos e

muitos filósofos, passaram a perceber que a Matemática se apresentava com muitos problemas com

relação à sua fundamentação teórica, o problema com o qual se defrontaram parecia tão grave, que passou

a ser conhecido como a crise dos fundamentos.

Entre 1871 e 1884, George Cantor desenvolveu a “sua” Teoria dos Conjuntos. Esta teoria, que

parecia ser um passo na direção da busca de uma sólida fundamentação para a Matemática, apesar de

amplamente baseada em símbolos, não era axiomática, era informal e praticamente baseada na linguagem

natural.

A Teoria Ingênua dos Conjuntos ou Teoria Informal dos Conjuntos, como modernamente é

chamada por muitos autores, causou furor nos meios matemáticos, por um lado, pela sua originalidade e

alcance intelectual, por outro lado, pelos paradoxos (antinomias ou contradições) por ela gerados e

apontados por diversos eminentes matemáticos. Este fato reforçou ainda mais o que já vinha se tornando

perceptível para muitos filósofos e matemáticos: a Matemática necessitava de uma rigorosa revisão em

suas bases teóricas. Se para muitos matemáticos as contradições encontrados nesta teoria eram tidos como

imperfeições ou impossibilidades matemáticas locais ou meramente temporais, para os intuicionistas, uma

terceira corrente do pensamento matemático surgida nesta época, estas falhas, apenas mostravam

claramente que a matemática clássica estaria necessitando de uma ampla e rigorosa reformulação de seus

princípios tendo como base a intuição humana, daí o nome Intuicionismo.

É assim, que no final do século XIX e início do século XX irão se defrontar três grandes correntes

do pensamento que “tentarão” dar à matemática uma sólida fundamentação: o Logicismo, o Intuicionismo

e o Formalismo. Apesar dos resultados teóricos notáveis conseguidos por estas correntes do Pensamento

Filosófico Matemático, que provocou avanços nunca antes vistos da matemática, a crise dos fundamentos

não pôde ser superada. Mas por outro lado “[...] o que se verificou é que, a falta do estabelecimento

preciso destes fundamentos, não impediu nem impede o avanço das modernas pesquisas em Matemática,

apesar de ainda haver alguns entre nós [matemáticos] que anseia por isto [o estabelecimento de sólida

fundamentação para a Matemática]” [Snapper 1979].

Duas correntes se apoiavam na Lógica, o Logicismo na sua intenção de integrar Matemática e

Lógica, e o Formalismo. O Formalismo, uma parte relevante do denominado Programa de Hilbert, tinha

1 Possivelmente a "crise dos fundamentos" e as propostas de solução possam ser localizada com alguma precisão entre os anos

1870 e 1940 [Grattan-Guiness 2000], se isto realmente for julgado necessário para estudos posteriores.


5.3

como meta axiomatizar toda a Matemática e provar seus teoremas baseando-se exclusivamente em

linguagens formalizadas, ou seja, nos axiomas e em regras de inferências.

5.3.- O Logicismo, o Formalismo e o Intuicionismo

A seguir será apresentado um rápido esboço sobre as três correntes do Pensamento Matemático

surgidas no final do século XIX e início do Século XX: o Logicismo, o Intuicionismo e o Formalismo.

5.3.1.- O Logicismo

O Logicismo era uma idéia devida a Leibniz. Ele propôs e realizou alguns estudos preliminares no

sentido de mostrar que a matemática seria redutível à lógica, ou seja, que os enunciados da matemática

seriam todos expressáveis em termos puramente lógicos e os seus teoremas poderiam ser derivados de

conjuntos de axiomas puramente lógicos. Esta idéia, que a partir de 1884, foi encampada por Gottlob

Frege (1848-1925) matemático e filósofo alemão e retomada com grande empenho, alguns anos mais

tarde, por Bertrand Russell (1872-1970) e Alfred North Whitehead (1861-1947). Esta forma de pensar a

Matemática resultou na publicação em 1910 do primeiro volume da monumental obra, em três volumes,

“Principia Mathematica” na qual eles, Russel e Whitehead, pretendiam mostrar a possibilidade de se

deduzir as relações matemáticas das relações lógicas.

A dificuldade da logicização completa da matemática foi pressentida nos próprios “Principia

Mathematica” , a monumental obra de Whitehead e Russell, nos quais foram requeridas mais cem de

páginas de símbolos, antes de se iniciar a mais simples das deduções. Os alicerces deste programa

acabaram por afundar em 1931 quando Gödel provou, aquele que atualmente é conhecido como o

Teorema da Incompletude de Gödel. Este teorema mostrou que a meta de permear e integrar matemática e

lógica como uma única ciência é impossível.

5.3.2.- O Intuicionismo O Intuicionismo foi um movimento mais filosófico, do que propriamente matemático, iniciado em

1908 por Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966), um brilhante matemático holandês, mais conhecido

como, L. E. J. Brouwer, que vinculava a existência de entidades matemáticas quaisquer à possibilidade de

sua gênese pela intuição humana. Somente para citar um exemplo marcante deste tipo de reformulação de

princípios pretendida pelos intuicionistas, dever-se-ia considerar que: o primeiro número “natural”

deveria ser o número um, o número zero não seria considerado natural, pois isto seria contrário à intuição

humana.



5.4

Há também uma Lógica Intuicionista distinta da Lógica Clássica Matemática: para os

intuicionistas não valem: a regra de inferência “reductio ad absurdum” ( do latim: “redução ao

absurdo”) e do princípio lógico denominado “tertium non datur” (do latim: “o princípio do terceiro

excluído”) e a lei da dupla negação (“¬¬p ⇔ p”) e isto, exatamente, como conseqüência da não aceitação

do princípio do terceiro excluído.

A Lógica Intuicionista que rejeitava o quadro teórico proposto por Frege-Russel-Whitehead teve

suas bases nos pensamentos do matemático Arend Heyting − um discípulo de Brouwer −, e também nos

pensamentos de Michael Dummett.

Pode-se até discutir se a adoção destas restrições realmente capturam os aspectos filosóficos do

Intuicionismo, ou seja, basear a matemática em elementos gerados pela intuição humana, mas há que se

reconhecer que esta nova forma de pensar a Lógica – a Lógica Intuicionista – vem se tornando bastante

útil de um ponto de vista prático quando se fala, por exemplo, da Ciência da Computação.

Dag Prawitz vai buscar e adaptar à Lógica Intuicionista as idéias de Gerhard Gentzen da Dedução

Natural, que tão bem funcionam no escopo da Lógica Predicativa. Esta reformulação da Dedução Natural

aos princípios intuicionistas, é fundamental para muitos sistemas lógicos computacionais.

5.3.3.- O Formalismo

O Formalismo é uma concepção fundamental da Matemática Moderna, desenvolvida

principalmente a partir dos trabalhos do matemático alemão David Hilbert (1862-1943). Para Hilbert a

garantia de coerência dos sistemas formais estaria fundada no uso de linguagens simbólicas apropriadas,

no método axiomático e da prova de teoremas, associados a, pelo menos, uma regra de inferência.

É, praticamente, com David Hilbert que se inicia a tentativa de se formalizar a Matemática, ou

seja, inicia-se um movimento em que se acreditava poder reformular completamente a matemática,

tornado-a completa e consistente de tal maneira que, quaisquer proposições matemáticas, poderiam ser

apresentadas formalmente e, que estas, poderiam ser provadas usando-se um pequeno número de símbolos

com significados bem definidos. Ainda para Hilbert, os axiomas seriam suficientes para estabelecer os

conceitos envolvidos na teoria não sendo necessário estabelecê-los explicitamente.

A proposta formalista de Hilbert data praticamente de 1904, mas começou a ganhar fôlego a partir

de 1920 com as contribuições dadas por Paul Bernays, Wilhelm Ackermann e John von Neumann, entre

outros. Em 1931 Gödel mostrou que a formalização não poderia ser considerada como uma técnica por

meio da qual se possa obter uma matemática livre de contradições.


5.5

5.3.4.- Uma Prova de Teorema - Intuicionismo x Formalismo

Vamos provar um teorema utilizando o Princípio do Terceiro Excluído (que não era aceito pelos

intuicionistas) e, em seguida, vamos discutir a nossa forma de fazê-lo segundo a ótica do Intuicionismo:

Teorema: Existem pelo menos dois números irracionais distintos

a e b tais que ab

é um número racional.

Prova Formal2:

• Seja adotar a ≠ b, tais que: a = 3 e b = 2 .

• Pelo Princípio do Terceiro Excluído, há duas, e somente duas, hipóteses a serem

consideradas:

1ª Hipótese: ab será racional

2ª Hipótese: ab irracional

• Pela 1ª Hipótese: Se ab =2

3 é racional, o teorema estará provado;

• Pela 2ª Hipótese: Se ab é irracional, então tomemos a = 2

3 e b = 2 :

ab = =22

)3( 33)3()3()3(3 122

12422

=====×

O Teorema está provado, e exatamente, para a ≠≠≠≠ b.

Comentários:

[1] Para os Intuicionista este Teorema não estaria provado, pois eles não

aceitavam a regra de inferência Redução ao Absurdo, o Princípio do Terceiro

Excluído e a Lei da Dupla Negação. Impedidos de utilizar o Princípio do Terceiro

Excluído, nós teríamos de encontrar um outro caminho para provar nosso

Teorema.

[2] Mesmo para nós ou para aqueles que aceitam o Princípio do Terceiro

Excluído, prece ficar algo a ser explicado sobre 2

3 ser, de fato, um número

irracional, apesar da prova do Teorema estar absolutamente correta. Pense sobre

isto.

2 Muitos autores enunciam este Teorema sem a exigência de que os números racionais sejam distintos, e neste caso, ele é

provado utilizando-se 2

2a = e 2b = (veja a prova a seguir), o que seria impróprio para o nosso caso, em que a ≠ b.



5.6

[3] Em tempo: Seria necessário provar que 2 e 3 são números irracionais,

por outro lado não ficou provado que 2

3 é um número irracional.

[4] Vamos provar agora o seguinte teorema que é uma variante do teorema que

acabamos de provar:

Teorema: Existem números racionais tais a e b, tais que ab

é racional.

Prova:

1ª Hipótese: 2

2 é racional.

Seja fazer a = 2 e b = 2 , então como a b são irracionais, pela hipótese ab é racional.

2ª Hipótese: 2

2 é irracional.

Seja fazer a =2

2 e b = 2 , então como a b são irracionais, calculemos ab:

ab = 2

22

= 2

2 = 2 que é um racional.

� Para provar este teorema três fatos matemáticos foram levados em conta: (1º) que

a 2 é um número irracional – este é um teorema e precisaria ser provado; (2º) os

números que não são racionais são obrigatoriamente irracionais; (3º) a Lei ou

Princípio do Terceiro Excluído: algo é verdadeiro ou então é falso, e nenhuma outra

hipótese pode ser aventada além destas duas.

� Pensemos sobre o que se afirmou acima, e mais: ficou provado que 2

2 é

irracional?

5.3.- Consistência, Completude e os Teoremas de Gödel

Entende-se por consistência de um Sistema Formal (Axiomático) a ausência de contradição, isto

pode ser escrito como: ¬(ϕ ∧¬ϕ). Em outras palavras, um Sistema Formal (Axiomático) é consistente se

todas as fórmulas-bem-formadas da forma ϕ ∧¬ϕ não é um teorema neste sistema.

Entende-se por completude de um de um Sistema Formal (Axiomático) se, ao acrescentarmos

qualquer novo axioma independente ao conjunto de axiomas do sistema ele passaria a ser inconsistente.

Informalmente, o teorema da Incompletude de Gödel estabelece que toda formulação axiomática

consistente da teoria dos números inclui obrigatoriamente proposições indecidíveis. Este é o Primeiro


5.7

Teorema da Incompletude de Gödel e responde, de forma negativa, um problema proposto por Hilbert: se

a matemática é “completa”. Gödel mostrou que nem todas as proposições da Teoria dos Números

poderiam ser provadas ou refutadas.

O Segundo Teorema da Incompletude de Gödel estabelece que a Teoria dos Números é

consistente, mas que isto não poderia ser provado utilizando-se os métodos da Lógica de Predicados (A

Lógica de Primeira Ordem), ou colocado de forma mais ampla: para se provar que um qualquer sistema

formal é consistente, usando recursos deste mesmo sistema, só será possível se este sistema for

inconsistente. Por exemplo, Gerhard Gentzen mostrou que a consistência e a completude da aritmética

podem ser provadas, se o Princípio de Indução Transfinita for utilizado. No entanto, esta abordagem não

permite provar a consistência de toda a matemática.

Em linhas gerais, estes são os Primeiro e Segundo Teoremas sobre a Incompletude de Teorias

Axiomáticas:

•••• Primeiro Teorema da Incompletude: Dada uma qualquer teoria axiomática consistente T que inclui

“Aritmética Básica”, nela existirá uma sentença ϕ tal que nem ϕ nem ¬ϕ será um teorema (sentença

demonstrável) de T.

•••• Segundo Teorema da Incompletude: Seja T uma teoria axiomática que inclui aritmética de Peano de

primeira ordem. E seja C uma sentença de T que expressa a consistência de T. Se T é consistente, então

nem C, nem ¬C, serão um teorema (sentença demonstrável) em T.

A conseqüência da prova dos teoremas de Gödel é que as três formas de se repensar a Matemática

entre 1870 e 1940 que se mostraram férteis (o sistema proposto por Frege, Russel e Whitehead − o da

logicização da Aritmética e da Matemática −, a proposta de Hilbert − o da formalização da Matemática −,

sem deixar de incluir aí as idéias de Brouwer, o Ituicionismo) foram interrompidas. A crise dos

fundamentos, apesar de não ter sido solucionada, criou a oportunidade de se fazer Matemática de

excelente qualidade.

O que restou deste amplo processo de pensamento e criação, foi que, tanto a concepção da

logicização de parte da Matemática, como a concepção de Formalização da Matemática, vêm se

mostrando adequadas para o desenvolvimento de teorias matemáticas consistentes, dependendo do que se

pretenda alcançar com elas e da escolha dos métodos dedutivos, deixando-se para a Teoria da Prova, a

validação destas teorias.



5.8

5.4.- A Teoria da Prova

Sabemos que as provas ou demonstrações de teoremas são fundamentais para a construção das

Teorias Matemáticas. O que muitos não sabem, nem conseguiriam imaginar, é que são publicados mais

200.000 novos teoremas por ano, em revistas especializadas da área de Matemática e de áreas afins a esta

área [Davis & Hersh 1985, pág. 46-47].

Aquilo que muitos imaginam, e que são crenças muito disseminadas e arraigadas: que os teoremas

em Matemática já estariam todos provados e que cada um deles poderia ser provado de uma única e

definitiva maneira, são concepções completamente falsas.

A Teoria da Prova (em alemão: “beweistheorie”) foi uma concepção de Hilbert, baseada no

conceito de decidibilidade. Um Sistema Formal Axiomático ou uma Teoria Matemática é decidível se há

um procedimento automático finito ou um algoritmo que permita determinar se uma qualquer fórmula-

bem-formada do sistema ou da teoria é ou não um teorema. Entre as teorias indecidíveis se encontra a

aritmética.

A Teoria da Prova trabalha basicamente com o conceito de decidibilidade, em alguns autores

passaram a chamar de “teoremicidade”, isto é, a provabilidade de sentenças-bem-formadas em uma

Teoria Formal.

A Teoria da Prova envolve a prova de teoremas sobre a existência, a unicidade e a consistência

destas provas − metateoremas visando verificar a teoremicidade −, além do estabelecimento de limites

para o tamanho (finitude) da prova de uma fórmula-bem-formada de uma dada Teoria Formal.

O projeto computacional dos Provadores Automáticos de Teoremas, só para citar um exemplo, são

amplamente baseados nestes conceitos. O mais curiosos é que os Provadores Automáticos de Teoremas

podem ser utilizados com as teorias matemáticas indecidíveis, pois estes provadores estão capacitados a

emitirem uma mensagem de “falha” (finitude) depois que uma quantidade razoável de tentativas feitas

para se provar que uma sentença é um teorema nesta teoria. Assim é que os Provadores Automáticos de

Teoremas podem mostrar a validade, a invalidade ou a indecidibilidade de sentenças de uma dada teoria,

se bem que a indecidibilidade possa ser baseada ou na extensão de tempo gasto (custo computacional) ou

no número (finitude) de passos utilizados na busca da decisão.


5.9


No final do século XIX, entre 1871 e 1884, Geoge Cantor apresenta a “sua” Teoria dos

Conjuntos. As contradições encontradas nesta teoria, que foi desenvolvida informalmente, vieram mostrar

algo que já vinha sendo percebido por matemáticos e lógicos: as bases da matemática eram frágeis e

necessitavam de uma reformulação teórica profunda.

• Seguindo as idéias de Leibniz de Algebrização da Lógica, Gottlob Frege, matemático

alemão, inicia em 1884 uma obra notável que passa pela criação da Lógica Predicativa (uma

Lógica de Primeira Ordem) com a qual pretendia estabelecer que a Aritmética era redutível à

Lógica. Em 1910, Bertrand Russell e Alfred North Whitehead, lógicos e matemáticos, vão mais

além, ao tentarem mostrar que a Lógica e a Matemática poderiam ser uma única ciência e

publicam o primeiro dos três volumes da monumental obra “Principia Mathematica”.

• Em 1908, um matemático holandês, L. E. J. Brouwer encampa o Intuicionismo como uma

das formas de se repensar a Matemática. Os intuicionistas entre outras coisas, não adotavam o

número zero como sendo um número natural, além de não aceitarem a prova de teoremas pelo

método de Redução ao Absurdo, não admitindo o Princípio do Terceiro Excluído, um dos

princípios semânticos básicos da Lógica Predicativa e da Lógica Proposicional, e ainda não

aceitavam a Lei da Dupla Negação (¬¬ p ⇔ p).

• Em 1904 Hilbert propõe, como alternativa a estas duas correntes de pensamento

matemático, formalização da matemática, num movimento denominado Formalismo. A partir de

1920, com as contribuições dadas por Bernays, Ackermann e von Neumann, o programa de

Hilbert tem continuidade, até que em 1931, com a prova dos Teoremas da Incompletude, por

Gödel, o programa é interrompido.

• A Teoria da Prova concebida por Hilbert, é a teoria que atualmente vem dando

sustentação às tentativas de formalização de tópicos da matemática. A Teoria da Prova trabalha

basicamente com o conceito de “teoremicidade” (teoremas sobre a validade das provas), isto é,

com a provabilidade de sentenças-bem-formadas das Teorias Formais, e é amplamente utilizada

nos projetos computacionais dos Provadores automáticos de Teoremas.


6.1

Capítulo 6 Lógica Predicativa

“Eu procurei tornar crível o fato de que a aritmética é um

ramo da lógica, reduzindo o conceito de número natural a

uma combinação de conceitos puramente lógicos, não tendo

que tomar quaisquer fundamentos para a sua demonstração,

nem da experiência nem da intuição.”

Gottlob Frege (1848–1925), Matemático e Filósofo

Alemão, in “The Foundations of Arithmetic”, Oxford

University Press (1953) traduzido do alemão para o

inglês por J.L. Austin

"Sua descoberta da contradição me causou a maior surpresa

e, eu quase diria, consternação, desde que sacudiu a base na

qual eu pretendi construir minha aritmética.... Isto é ainda

mais sério pois, com a perda de minha regra V, não só as

fundamentos de minha aritmética, mas também os possíveis

fundamentos da própria aritmética, parecem desaparecer ".

Gottlob Frege – Carta a Bertrand Russell, “From

Frege to Godel”, p. 127, editor J. van Heijenoort.

6.1.- Leibniz e as Tentativas de Algebrização da Lógica

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), matemático e filósofo alemão, apesar de extremamente

criativo, foi um personagem incomum porque seus trabalhos não se davam através de composições

organizadas, nem seqüenciais, e a maioria deles nunca foi publicada.

Leibniz descreveu uma vez qual era a sua forma de trabalho: “Quando faço alguma coisa, esqueço-

a completamente em poucos meses e, em vez de procurá-la em meio ao caos de folha que nunca tenho

tempo de separar e classificar, eu tenho de fazer todo o trabalho de novo”. Isto possivelmente explique o

porquê do trabalho realizado por Leibniz no campo da Lógica Matemática, ou seja, aquele sobre a

Algebrização da Lógica, nunca foi publicado. Se isto tivesse ocorrido, ele passaria a ser considerado o

criador desta ciência, um século e meio antes disto ter ocorrido. No entanto somente com o trabalho de

Frege e de Russel é o que o pioneirismo de Leibniz neste campo irá ser reconhecido.

Um fato, também bastante curioso, entre os muitos da vida científica de Leibniz é que, de forma

independente, ele e Newton inventaram o Cálculo Diferencial e Integral sendo que, apesar de Newton

feito ter feito isto antes Leibniz, foi este último que logrou publicá-lo primeiro, e mais, a notação que

prevaleceu no Cálculo foi a que Leibniz propôs, e não, a de Newton.


Lógica Predicativa

6.2

No seu livro publicado em 1666, “Disertatio de Arte Combinatória”, Leibniz enuncia um

projeto seu, que intentaria a construção de um sistema simbólico que ele denominou língua characterica

universalis, que viria a ser uma linguagem de comunicação universal que, se associada ao seu projeto da

criação do calculus ratiotinator, eliminaria a possibilidade de ambigüidades na linguagem e no raciocínio.

Na verdade, o que ele pretendia era a criação de uma Lógica Universal que continha três idéias julgadas

importantes: uma characteristica universalis, um calculus ratiotinator e uma ars combinatória.

• A characteristica universalis constituir-se-ia numa linguagem científica universal por meio da

qual todas as verdades fossem dedutíveis por raciocínio.

• O calculus ratiotinator diria respeito à coleção de formas lógicas do raciocínio que permitissem

operacionalizar todas essas possíveis deduções a partir dos princípios iniciais.

• A ars combinatoria constituir-se-ia num alfabeto de conceitos que tornassem possível a

construção, por meio da operação de cálculos, de conceitos cada vez mais elaborados.

A seguir poderá ser visto um texto incompleto que contém uma proposta, feita por Leibniz, de

algebrização da Lógica, que nunca seria levada avante e nem publicada por ele.

Este é um trecho de um texto inédito, originalmente escrito em latim1 por Leibniz. Nele Leibniz faz

a proposta de um cálculo onde ele utiliza os sinais + e ∞∞∞∞ , dando a entender que estes sinais não foram

utilizados no sentido usual, servindo aqui para indicar a combinação de conceitos e o resultado disto

advindo. Na tradução e adaptação vista a seguir, os sinais originalmente adotados no texto em latim: + e

∞∞∞∞ passaram, respectivamente, a ser ≈ e = .

Cabe ainda o comentário seguinte: o cálculo aqui proposto é o mais evoluído, dentre as diversas

tentativas de abordagem do tema, realizadas por ele. A versão dada a seguir é abreviada, com algumas

modificações, da tradução de C. I. Lewis tal como se encontra na sua obra Survey of Symbolic Logic, p.

379. Este trabalho foi publicado em alemão por Gehardt (in: Die philosophischen Schriften von G.W.

Leibniz. Gerhardt, C. I. (ed), Hildesheim: Georg Olms Verlag. v. 7, 1890), mas sem nenhum título.

• DEFINIÇÃO 1: Dois termos são denominados termos coincidentes, ou diz-se que dois termos são os mesmos, quando podem ser substituídos, um pelo outro, onde quisermos, sem alterar a verdade de

1 Nota: Duas traduções deste texto podem ser encontradas: para o português [Kneale & Kneale 1968] e para o inglês [Kneale & Kneale 1984].


6.3

qualquer proposição em que ocorram. A = B significa que A e B são o mesmo. • DEFINIÇÃO 2:. Termos que não são os mesmos, isto é, termos que não podem ser sempre substituídos um

pelo outro, são diferentes. A ≠ B significa que A e B são diferentes.

PROPOSIÇÃO 1: Se A = B então também B = A. �� Prova da Proposição 1: Uma vez que A = B (por hipótese) segue-se (pela definição 1)

que na frase A = B (que é verdadeira por hipótese) B pode ser substituído por A e A por B; logo temos B = A.

PROPOSIÇÃO 2: Se A ≠ B então também B ≠ A. �� Prova da Proposição 2: De outro modo teríamos B = A e por conseqüência (pela definição 1) A = B, o que é contrário à hipótese. PROPOSIÇÃO 3: Se A = B e B = C então A = C. �� Prova da Proposição 3: Se na frase A = B (verdadeira por hipótese) C for substituído por B (pela definição 1, uma vez que B = C) o resultado será uma frase verdadeira. PROPOSIÇÃO 4: Se A = B e B ≠ C então A ≠ C. �� Prova da Proposição 4: Se na proposição B ≠ C (verdadeira por hipótese) A for substituído por B, temos (pela definição 1, uma vez que A = B) a proposição verdadeira A ≠ C.

• DEFINIÇÃO 3: “A está em L” ou “L contém A”, é o mesmo do que dizer que “pode-se fazer coincidir L com uma pluralidade conjunta de termos e que, A é um deles”. B ∆ N = L significa que B está em L e que B e N conjuntamente compõem ou constituem L. O mesmo se pode dizer para um maior número de termos.

• AXIOMA l: B ∆ N = N ∆ B.

• POSTULADO: Qualquer pluralidade de termos, como A e B, pode ser reunida para compor um termo único

A ∆ B.

• AXIOMA 2: A ∆ A = A.

PROPOSIÇÃO 5: Se A está em B e A = C, então C esta em B. �� Prova da Proposição 5: Se A está em B (verdadeira por hipótese) a substituição de C por A (pela definição 1, uma vez que por hipótese A = C) resultará que C está em B. PROPOSIÇÃO 6: Se C esta em B e A = B então C está em A. �� Prova da Proposição 6: Se C está em B a substituição de A por B (uma vez que A = B) resultará que C está em A. PROPOSIÇÃO 7: A está em A. �� Prova da Proposição 7: Porque A está em A ∆ A (pela definição 3). Logo (pela proposição 6) A está em A. PROPOSIÇÃO 8. Se A = B, então A está em B. �� Prova da Proposição 8: Se (pela proposição 7) A está em A, e como por hipótese A = B, tem-se daí, que A está em B. PROPOSIÇÃO 9: Se A = B, então A ∆ C = B ∆ C. �� Prova da Proposição 9: Porque se em A ∆ C = A ∆ C (que é verdadeira por si mesma) B for substituído por A uma vez, teremos A ∆ C = B ∆ C.


Lógica Predicativa

6.4

OBSERVAÇÃO: Esta proposição não tem recíproca, tanto quanto, as duas proposições seguintes (veja o porquê na proposição 13) PROPOSIÇÃO 10: Se A = L e B = M, então A ∆ B = L ∆ M. �� Prova da Proposição 10: Uma vez que B = M, A ∆ B = A ∆ M (pela proposição anterior) e substituindo L pelo segundo A (uma vez que por hipótese A =L), tem-se então, que A ∆ B = L ∆ M. PROPOSIÇÃO 11: Se A = L e B = M e C = N então A ∆ B ∆ C = L ∆ M ∆ N. PROPOSIÇÃO 12: Se B esta em L, então A ∆ B esta em A ∆ L. �� Prova da Proposição 12: L = B ∆ N (pela definição 3) e A ∆ B está em B ∆ N ∆ A (pelo mesmo) isto é A ∆ B está em L ∆ A . OBSERVAÇÃO: Esta proposição não tem recíproca. PROPOSIÇÃO 13: Se L ∆ B = L, então B esta em L. �� Prova da Proposição 13: Porque B está em L ∆ B (pela definição 3) e L ∆ B = L (pela hipótese); logo (pela Proposição. 6) B está em L . PROPOSIÇÃO 14: Se B está em L, então L ∆ B = L . �� Prova da Proposição 14: Se B está em L então (pela def. 3) L = B ∆ P. Logo (pela Proposição 9) L ∆ B = B ∆ P ∆ B que (pelo axioma 2) é igual a B ∆ P que (por hipótese) é igual a L. PROPOSIÇÃO 15: Se A esta em B e B está em C, então A está em C . �� Prova da Proposição 15: Como A está em B (por hipótese) logo A ∆ L = B (pela definição 3). Analogamente uma vez que B está em C, B ∆ M = C e, substituindo-se B por A ∆ L nesta proposição (uma vez que mostramos que são coincidentes) temos o seguinte: A ∆ L ∆ M = C. Logo (pela definição 3) A está em C. COROLÁRIO. DA PROPOSIÇÃO 15: Se A ∆ N esta em B, então N está em B. �� Prova: N está em A ∆ N (pela definição 3). COMENTÁRIO: Esta proposição não tem recíproca, nem a seguinte. PROPOSIÇÃO 16: Se A está em B e B está em C e C esta em D então A está em D. PROPOSIÇÃO 17: Se A está em B e B está em A, então A = B . �� Prova da Proposição 17: Porque se A está em B, então A ∆ N = B (pela definição 3). Mas B está em A (por hipótese); logo A ∆ N está em A (pela Proposição 5). Logo (pelo Corolário da Proposição 15) N está em A. Logo (pela Proposição 14) A = A ∆ N, isto é, A = B. PROPOSIÇÃO. 18. Se A esta em L e B está em L, então A ∆ B está em L. �� Prova da Proposição 18: Porque como A está em L (por hipótese) A∆M = L (pela definição 3). Analogamente uma vez que B está em L, B ∆ N = L. .Juntando as equações precedentes temos (pela Proposição 10) A ∆ M ∆ B ∆ N= L ∆ L. Logo, (pelo axioma 2) tem-se que A ∆ M ∆ B ∆ N = L, assim, (pela definição 3) A ∆ B está em L. PROPOSIÇÃO. 19. Se A está em L. e B está em L, e C está em L, então A ∆ B ∆ C está em L. OBSERVAÇÃO: Esta proposição e outras do mesmo gênero não possuem recíproca. PROPOSIÇÃO 20: Se A está em M e B está em N, então A ∆ B está em M ∆ N. Porque A está em M (por hipótese) e M está em M ∆ N (pela definição 3). Logo (pela Proposição 15)


6.5

A está em M ∆ N. Analogamente, uma vez que B está em N e N está em M ∆ N, então também (pela Proposição. 15) A ∆ B está em M ∆ N. OBSERVAÇÃO: Esta Proposição e a seguinte não possuem recíprocas. PROPOSIÇÃO. 21. Se A está em M e B esta em N e C está em P, então A ∆ B ∆ C está em M ∆ N ∆ P. SOBRE A DEFINIÇÃO 3: Dizemos que o conceito do gênero está no conceito da espécie, os indivíduos da espécie nos indivíduos do gênero, a parte no todo, o que é último e individual no contínuo, como o ponto na linha, embora um ponto não seja parte de uma linha. Do mesmo modo dizemos que o conceito do atributo ou predicado está no conceito do sujeito. E em geral este conceito é da mais vasta aplicação. Não tratamos aqui da maneira especial pela qual estás coisas se relacionam umas com as outras e com aquilo que as contém. Assim as nossas demonstrações abrangem também aquelas coisas que compõem alguma coisa no sentido distributivo, como todas as espécies reunidas compõem o gênero. A mesma coisa pode ser composta de muitas maneiras diferentes, se as coisas de que é composta são também compostas. Na verdade se a resolução pudesse ser levada até ao infinito, as variações da composição seriam infinitas. Assim a análise e a síntese dependem dos princípios que se estabelecem. NOTAS SOBRE OS AXIOMAS 1 e 2: Uma vez que a álgebra geral (speciosa generalis) não é mais do que a representação de combinações por meio de símbolos e a manipulação destes símbolos, e como as leis que se podem descobrir acerca das combinações são várias, tem-se que técnicas de cálculo se diversificam. Não vamos tratar agora da teoria das variações, que consiste simplesmente na modificação da ordem, e para nós A ∆ B será o mesmo do que B ∆ A. Não consideramos também a repetição, isto é A ∆ A é para nós o mesmo que A. Assim onde quer que estas leis possam ser usadas, o nosso cálculo é aplicável. É óbvio que ele pode ser usado na combinação de conceitos absolutos, onde não há nem leis de ordem nem leis de repetição. Assim dizer 'quente e leve' é o mesmo que dizer 'leve e quente' e tal como em poesia, dizer 'fogo quente' ou 'leite branco' é um pleonasmo. A mesma coisa é verdadeira quando se diz que certas coisas estão contidas noutras coisas. Porque a adição genuína desta coisa com ela mesma é uma adição inútil... Por isso a adição genuína escrever-se-á aqui ∆, tal como a adição de grandezas se escreve +' 2.

6.2.- Frege, a Aritmética e a Lógica de Primeira Ordem

Enquanto George Boole queria mostrar que a Lógica era parte da Matemática [Kneale & Kneale

1968] o projeto de Gottlob Frege, matemático alemão (1848-1925) era bem mais modesto, mas ainda

assim bastante ousado. Partindo de uma idéia de Leibniz – a da logicização da matemática −, Frege

pretendia mostrar que a aritmética poderia ser expressa totalmente em termos da Lógica. Esta intenção,

apesar de frustrada no seu final (veja as citações no início deste capítulo), foi sendo exposta por ele nos

seguintes livros:


Lógica Predicativa

6.6

(i) Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens

(Ideografia(*)

, uma linguagem formalizada do pensamento puro com base na linguagem da

aritmética), em 1893. No Begriffsschrift, como ficou conhecido este livro, Frege introduz o

cálculo de predicados de primeira ordem de forma axiomática e indica a possibilidade de sua

extensão às lógicas de ordem superiores à primeira, ou seja, as quantificações de ordem superiores

seriam permitidas, mas ele não apresenta os axiomas e regras que permitam trabalhar com este tipo

de quantificação. Resumindo, neste livro, Frege apresenta a axiomatização completa do cálculo

de Predicados, preparando-se para apresentar e criar o suporte lógico para a “sua” aritmética.

(ii) “Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch mathematische Untersuchung über den begriff

der zahl” (Os Fundamentos da Aritmética - Investigação lógico-aritmética sobre o conceito de

número), em 1884. Neste livro termina de expor o seu programa de logicização da aritmética,

apresentando algumas demonstrações e discutindo os fundamentos da aritmética que até ali haviam

sido apresentados por outros matemáticos e outros filósofos. É somente em 1891, portanto, 7 anos

após a publicação dos Grundlagen, que ele vai adicionar ao seu Sistema Lógico, o Axioma V, que

expresso em linguagem moderna seria: “∀a( f(a) = g(a) ) ⇔ ( #(Dom(f)) = #(Dom(g) )” ou seja “

‘Há tantos Fs quanto Gs’ equivale a ‘o número de Fs é o mesmo número de Gs‘ ”. Ele considerava

que esta proposição era um axioma independente demais axiomas anteriormente apresentados em

seu sistema. No entanto, há críticas sobre o significado daquilo que Frege denominava regra V,

lançando-se a hipótese de que como ele foi enunciado nem mesmo seria uma equivalência, nem se

chegando, mesmo a discutir sua validade como axioma.

(iii) “Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet” (Leis básicas da Aritmética

idograficamente deduzidas), publicado em dois volumes, 1893 (Volume I) e 1903 (Volume II).

Nos Grundgesetze der Arithmetik I e II Frege pretendia expor, de forma acabada, o seu projeto de

logicização da aritmética incluindo demonstrações formais detalhadas dos resultados mais importantes.

No entanto, em 1902, antes da publicação do segundo volume da obra, Frege recebe uma carta de Russell

informando-o da existência de uma inconsistência no seu sistema de lógica, inconsistência esta que

acabou ficando conhecida como Paradoxo de Russell.

(*) Ideografia: representação direta do sentido das palavras por sinais gráficos


6.7

6.3.- A Lógica Proposicional e a Lógica de Predicados

Como pôde ser visto nos capítulos anteriores, a Lógica Proposicional trabalha com sentenças de

uma dada Linguagem Natural às quais se associam de maneira unívoca, independentemente de seus

conteúdos lingüísticos, um dos valores lógicos: verdadeiro ou falso. Na verdade, estas sentenças −

denominadas proposições ou fórmulas proposicionais − são tratadas como se fossem “caixas pretas” (em

inglês: “black box”) sobre as quais se quer apenas saber se são verdadeiras ou falsas; não faz parte do

escopo da Lógica Proposicional a investigação sobre as propriedades ou qualidades (os predicados) dos

objetos (variáveis) que eventualmente ocorram nestas fórmulas.

A Lógica Predicativa é também conhecida como Lógica de Primeira Ordem, podendo haver

lógicas de ordem superior à primeira, conceitos estes que serão introduzidos no final deste capítulo.

6.4.- Lógica de Predicados, Lógica Predicativa ou Lógica de Primeira Ordem

A Lógica de Predicados, ou Lógica Predicativa, é uma extensão da Lógica Proposicional que nos

permitirá raciocinar também sobre as propriedades dos objetos arrolados naquelas proposições ou

fórmulas. A Lógica de Predicados será, neste trabalho, simbolizada por L1, onde o índice adotado “1”, irá

referir-se à particularidade de ela ser, normalmente, denominada Lógica de Primeira Ordem Clássica3.

6.4.1.- Vocabulário ou Alfabeto de L1

A Linguagem L1 tem o seguinte alfabeto (vocabulário) composto pela união dos seguintes sete

conjuntos disjuntos de símbolos4:

1. Um conjunto de variáveis da forma: x, x1, x2, ..., y, y1, y2, ..., z, w

2. Um conjunto de constantes – nomes, números e objetos tais como: José; 123; 1,5; cadeira

3. Um conjunto de símbolos funcionais: f, g, h, ...

4. Um conjunto de símbolos predicativos ou relacionais: P, Q, R, ..

5. Um conjunto de símbolos lógicos herdados de L0 (Lógica Proposicional): ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔

3 Muitos textos trabalham diretamente com a Lógica de Primeira Ordem não separando dela a Lógica Predicativa, que passa a fazer parte integrante daquela. Normalmente, assim agindo, e dependendo do contexto e da intenções dos autores, a Lógica de Primeira Ordem passa a ser classificada como Lógica Matemática Clássica ou Lógica Simbólica Clássica ou Lógica Formal Matemática. 4 Os símbolos citados em 1, 2 e 3 são denominados termos enquanto os citados em 4 são denominados átomos – veja as definições a seguir.


Lógica Predicativa

6.8

6. Um conjunto com dois quantificadores: ∀ e ∃

7. Um conjunto de símbolos de separação ou pontuação: ( ), [ ] , a vírgula e o ponto-e-vírgula

Observações:

[1] Deve-se assumir que o conjunto de variáveis é infinito, mas contável, isto é poder-se-á ter variáveis

indexadas, como no caso: x, x1, x2, ..., y, y1, y2, ..., a, a1, a2, ..., b, b1, b2, ..., p,..., q, ... etc

[2] O conjunto de símbolos funcionais e predicativos, que pode até mesmo ser vazio, conterá símbolos

indicados apenas por letras latinas maiúsculas, podendo variar para incluir cadeias de caracteres

expressivas ou que seja referência explícita a alguma função ou predicado, como por exemplo:

Amigo_de(x); Casado(x); Casado(x,y), Idade(x); Ama(x,y); Pais_de(x,y,z).

[3] As constantes podem ser referidas como símbolos funcionais nulos.

[4] Os símbolos funcionais e predicativos são referidos pela aridade, que corresponde à quantidade de

argumentos associados ao símbolo: f(x) tem aridade 1; g(x,y) tem aridade dois, P(x,y,z) tem aridade três.

Quando desacompanhados das variáveis estes símbolos podem trazer a aridade associada a eles como um

índice sobrescrito ou subscrito como: f1 ou f1; g2 ou g2 e P3 ou P3, por exemplo.

6.4.1.1.- Termos

A seguir daremos a definição indutiva de termo:

São termos de L1:

• As variáveis e as constantes do alfabeto de L1;

• Se f é um símbolos funcional de aridade n e t1, t2, ..., tn são termos,

então f(t1, t2, ..., tn) é um termo.

Observar que: O conceito de indução, utilizado na definição acima, permitirá a existência de funcionais (termos) do tipo: f(t1, t2, ... , tk, ... , tn) onde tk = g(tp, tq), por exemplo, com k, n, p e q números inteiros não negativos e não nulos.

6.4.1.2.- Funcionais - Definição

Já se mostrou o que sejam os símbolos de funcionais em L1, agora vamos definir o que sejam os

funcionais em L1, propriamente ditos:

Seja um domínio D não vazio composto por termos (variáveis, constantes e funcionais – vide a

definição indutiva de termo de L1) de L1.


6.9

Denominamos função f ou funcional f à lei funcional definida por

f: Dn →→→→ D = { t1, t2, ... , tn },

onde f é um funcional de aridade n que recebe um valor de D, isto é:

f(t1, t2, ... , ... , tn) = ti ∈∈∈∈ D, n e i números inteiros não negativos e não nulos.

Notas: [1] Dn representa D × D ×...× D, um produto cartesiano que permite a formação de n-uplas ordenadas do tipo (t1, t2, ... , ... , tn).

[2] Por exemplo D2 = D × D }DyDx|)y,x{(def

∈∧∈= , onde (x,y) são pares ordenados, isto é: (x, y) =

(y, x) ⇔ x = y, ou seja, (x, y) ≠ (y, x) sempre que x ≠ y. [3] As funções f, acima definidas, são totais, isto é, são definidas para todos os valores de entrada pertencentes a Dn. Uma função é parcial quando ela só devolve valores funcionais para tão somente parte dos elementos de Dn.

6.4.1.3.- Predicados - Definição

Seja um domínio D não vazio composto por termos (variáveis, constantes e funcionais – vide a

definição indutiva de termo de L1) de L1.

Denomina-se predicado ou função predicativa à lei funcional definida por

P: Dn →→→→ { V, F }

Onde: P é um predicado de aridade n que recebe um valor lógico (V ou F) , isto é:

P(t1, t2, ... , ... , tn) = X ∈∈∈∈ {V, F}, com n número inteiro não negativo e não nulo.

Observação: Diz-se que V e F (respectivamente: ¨ e ⊥⊥⊥⊥) são predicados de aridade zero.

6.4.1.4.- Átomo - Definição

Sendo P um predicado n-ário e t1, t2, ..., tn termos, então P(t1, t2, ..., tn) é denominado átomo e somente este tipo de ocorrência poderá receber esta denominação.

6.4.2.- Exemplos de Funcionais e Predicados �� Nos exemplos a seguir é bom que se atente para o seguinte fato: tanto os funcionais como os predicados são funções cujo domínio é Dn alterando-se apenas o contradomínio que são, respectivamente, D e {V, F}.

�� Os valores numéricos utilizados nos exemplos são os números inteiros: 0, ±±±± 1, ±±±± 2, ±±±± 3, ...


Lógica Predicativa

6.10

6.4.2.1.- Exemplos de funcionais (*):

[1] sucessor(5) é um funcional de aridade 1, que deve ser lido: “o sucessor de 5”, assim, sucessor(5) = 6.

[2] soma(3,2) é um funcional de aridade 2, que deve ser lido “ a soma de 3 com 2”, assim, soma(3,2) = 5

[3] sucessor( soma(3,2) ) = 6 é um predicado de aridade 2 onde um dos termos é outro funcional, também de aridade 2.

[4] soma(-2,4,-1,5) é um funcional de aridade 4, podendo-se escrever , por exemplo, o seguinte: soma(-2,4,-1,5) = sucessor(5) = 6.

[5] Pai(Márcia) é um funcional que deve ser lido “o pai de Márcia”, supondo-se que o pai de Márcia seja Jaime, então: Pai(Márcia) = Joaquim é um predicado falso.

6.4.2.2.- Exemplos de funções predicativas:

[1] Maior(5, 3) é uma função predicativa de aridade 2, deve ser lida “5 é maior que 3” é tal que v(Maior(5, 3) ) = V

[2] Soma(5,3,8) é uma função predicativa de aridade 3, deve ser lida “5 mais 3, tem como

soma, 8”, e é um predicativo tal que v(Soma(5,3,8) ) = V.

6.4.2.3.- Exemplos de funcionais associados a funções predicativas:

[1] Menor(x, sucessor(x)) é um predicado cujos termos são uma variável e um funcional, veja: sucessor(x) = x + 1 para qualquer valor de x inteiro.

[2] Pai(João, Márcia,) é um predicado, que será lido como “ João é o pai de Márcia”

afirmativa esta que poderá ser verdadeira ou falsa Pai(Márcia) = João é um funcional, que poderá ser verdadeiro ou falso

6.4.3.- Quantificadores

São dois os símbolos de quantificação ou os quantificadores, a saber:

Quantificador universal: ∀ , que é lido “para todo” ou “qualquer que seja”.

Quantificador existencial: ∃ , que é lido “existe um”, “existe pelo menos um”.

Observações:

[1] Para se fazer referência à existência de um único elemento, que possua um dado predicado,

utiliza-se uma das seguintes notações: ∃! ou ∃|, que é lida “existe um único” ou “existe e é único”;

(*) Lembrar que numa adição os elementos que operam, os operandos, são denominadas parcelas, e que soma é o nome dado ao

resultado desta operação.


6.11

a não existência de elementos pode ainda ser referida simbolicamente como: ∃/ , ou mesmo como

~∃ ou então como ¬∃, que são formas menos utilizadas, mas que nos parecem mais expressivas.

[2] Alguns autores adotam os símbolos /\ em lugar do quantificador universal ∀, e \/ em lugar do

quantificador existencial ∃, justificando esta notação pela relação existente entre o conceito de

quantificação universal – para todo – com o conceito de conjunção onde, por exemplo, a sentença

composta: “p ∧ q ∧ r“, que é uma conjunção, será verdadeira se, e somente se, as subsentenças p, q

e r forem todas verdadeiras. Por outro lado, para que a disjunção “ p ∨ q ∨ r “ seja verdadeira,

exige-se que pelo menos uma de suas subsentenças seja verdadeira, não havendo nada impedindo,

no entanto, que duas delas ou até mesmo todas, sejam verdadeiras. O símbolo para quantificar a

existência de um único elemento, neste caso, será: /\1 e a negação do quantificador existencial será

¬\/.

6.4.3.1.- Exemplos do Uso de Quantificadores

Exemplos Significado ou leitura

1. ∃y∈D, P(y) Existe (pelo menos) um “objeto” y de um domínio D que possui a propriedade P

2. ∀x Q(x) ou ∀x∈D, Q(x) Todos os “objetos” x (de um domínio D!) possuem a propriedade Q

3. ∀x∃y(x < y) Para todo x, existe pelo menos um y tal que x é menor que y

4. ∀x∀y(x>0∧y>0 ⇒ x+y>0) Quaisquer que sejam dois números positivos, a soma deles será sempre positiva

5. ∀x (suc(x) > x) O sucessor de qualquer número é sempre maior que o próprio número

6.5.- Sintaxe da Lógica Predicativa ou Lógica de Primeira Ordem Clássica

6.4.1.- As Fórmulas-Bem-Formadas da Lógica de Primeira Ordem

Fórmulas ou fórmulas-bem-formadas (fbf’s) na Lógica de Primeira Ordem são definidas recursivamente como:

(i) um átomo (Por exemplo: P(t1, t2, ..., tn) ) é uma fórmula;

(ii) se P e Q são fórmulas então ¬¬¬¬P, P∨∨∨∨Q, P∧∧∧∧Q, P⇒⇒⇒⇒Q e P⇔⇔⇔⇔Q são fórmulas;

(iii) se P é uma fórmula e x uma variável então∀∀∀∀xP(x) e ∃∃∃∃xP(x) são fórmulas;

(iv) as fórmulas só podem ser geradas por uma aplicação finita de (i), (ii) e (iii).


Lógica Predicativa

6.12

6.4.2.- Escopo de Quantificadores

Um quantificador tem predominância sobre uma extensão específica de uma fórmula, esta

extensão de prevalências se chama escopo desse quantificador.

Exemplo: Analise a sentença "Todo número natural é um número real":

← ∃ →escopo de y

( ) ( )( ) yR xN yx ⇒∃∀

→∀← x de escopo

6.4.3.- Variáveis Ligadas e Livres

Dada a sentença: ( ) ( ) ( )[ ]y,xQyz,y,xPx ∃∧∀

(i) nota-se que há duas ocorrências da variável x no escopo do quantificador universal − a variável

x é dita amarrada ou ligada;

(ii) em P(x,y,z) as variáveis y e z não pertencem ao escopo de nenhum quantificador, sendo por

isto, chamadas: variáveis livres, ou diz-se que: estas são ocorrências livres de y e de z;

(iii) a ocorrência de y em Q(x,y) está ligada ou amarrada ao quantificador existencial. É dito que a

variável y é ao mesmo tempo livre e ligada devido à sua ocorrência anterior como variável livre;

(iv) única variável genuinamente livre, na sentença dada, é a variável z.

6.6.- Verificando a Validade de Fórmulas na Lógica de Primeira Ordem

6.6.1.- Uma Lista Notável de Fórmulas Válidas

O leitor poderá agora estudar comparativamente cada um dos grupos abaixo que apresentam listas

de sentenças relevantes da lógica de primeira ordem, verificando quais são as válidas e, também, as

inválidas a elas correspondentes. As sentenças numeradas como 1’, 2’, 3’ etc, são as sentenças não

válidas. Para facilitar a compreensão das sentenças, elas foram agrupadas pela ordem crescente de suas

respectivas complexidades.


6.13

GRUPO 1:

Sentenças Válidas Sentenças Inválidas

[1.1] P(x) ⇒ P(x) [1.1’] P(x) ⇒ P(a) [1.2] ∀x P(x) ⇒ P(t) [1.2’] P(t) ⇒ ∀x P(x) [1.3] P(t) ⇒ ∃x P(x) [1.3’] ∃x P(x) ⇒ P(t) [1.4] ∀x P(x) ⇒ ∃x P(x) [1.4’] ∃x P(x) ⇒ ∀x P(x)

GRUPO 2:


[2.1] ∃y ∀x P(x,y) ⇒ ∀x ∃y P(x,y) [2.1’] ∀x ∃y P(x,y) ⇒ ∃y ∀x P(x,y)) [2.2] ∃x P(x,x) ⇒ ∃x ∃y P(x,y) [2.2’] ∀x P(x,x) ⇒ ∀x ∀y P(x,y) [2.3] ∀x ∀y P(x,y) ⇒ ∀x P(x,x) [2.3’] ∃x ∃y P(x,y) ⇒ ∃x P(x,x) [2.4] ∀x ∀y P(x,y) ⇒ P(x,y) [2.4’] ∀x ∀y P(x,y) ⇒ P(y,x)

GRUPO 3:


[3.1] ∀x P(x) ∨ ∀x Q(x) ⇒ ∀x ( P(x) ∨ Q(x) ) [3.1’] ∀x ( P(x) ∨ Q(x) ) ⇒ ∀x P(x) ∨ ∀x Q(x) [3.2] ∃x ( P(x) ∧ Q(x) ) ⇒ ∃x P(x) ∧ ∃x Q(x) [3.2’] ∃x P(x) ∧ ∃x Q(x) ⇒ ∃x ( P(x) ∧ Q(x) )

6.6.2- Interpretações

Uma interpretação da fórmula F na Lógica de Predicativa consiste: (i) no estabelecimento um

domínio não vazio D composto por termos (variáveis, constantes e funcionais) e (ii) da atribuição de

“valores” a cada uma das constantes, símbolos funcionais e símbolos predicativos que ocorrem em F, da

seguinte forma:

[1] A cada variável em F, deve-se associar um elemento de { } t,...,t,t D n2,1=

[2] A cada símbolo funcional n-ário em F deve-se mapear { } Dt )t,...,t,t( D in2,1n ∈= em D;

[3] A cada símbolo predicativo n-ário em F deve-se atribuir um valor verdade dual, isto é, associar a estes símbolos um dos valores verdade ¨ ou ⊥, isto é, V ou F.


Lógica Predicativa

6.14

Observação: Diz-se que ¨ e ⊥ (respectivamente: V e F) são predicados de aridade zero.

6.6.2.1.- Exercício-Exemplo:

Dadas as fórmulas F1: ( )xxP∀ e F2: ( )xxP∃ verifique o valor verdade das mesmas sobre a

seguinte interpretação:

D = {1,2} com P(1) Falsa e P(2) Verdade.

Solução:

� F1 é falsa sobre esta interpretação, pois existe um x para o qual F1 é falsa, logo F1 não é

verdadeira para todo o x, F1: ( )xxP∀ é falsa.

� F2, verdadeira, pois existe um x, nessa interpretação, para o qual F2 é verdadeira.

6.6.2.2.- Exercício:

Dar os valores lógicos de todas as sentenças abaixo sobre a seguinte interpretação:

I: D= {1,2} com "a" recebendo 1; f(1) = 2, f(2) = 1, e a seguinte tabela:

Predicado P(1) P(2) Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2)

Valor Verdade

F V V V F F

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )y,xQxPyx d a,xQxPx c

af,xQxfPx b a,xfQxPx a

∧∃∀∧∃

∧∃⇒∀

Respostas:

a) b)

c) d)

6.6.3.- Validade de Fórmulas

♦♦♦♦ Chama-se válida à fórmula que seja verdadeira sobre todas as interpretações

possíveis (a formula é uma tautologia).


6.15

♦♦♦♦ As fórmulas que são verdadeiras pelo menos para uma dada interpretação

chamaremos satisfatível (a formula é uma contingência).

♦♦♦♦ Uma fórmula que não seja verdadeira para nenhuma interpretação será chamada

insatisfatível (a formula é uma contradição).

6.6.4.- Fecho Universal

Dada uma fórmula qualquer A formada por variáveis livres x1, x2, ..., xn, o fecho universal de A,

denotado por A’, será ∀x1∀x2 ...∀xn A. Veja os exemplos a seguir.

6.6.4.1.- Exemplos:

• ( ) )z,y,x(R)y(Q)x(P ⇔∧ terá para fecho universal: ( )[ ])z,y,x(R)y(Q)x(Pzyx ⇔∧∀∀∀

• )w,z,x(Q)y,x(P(x →∀ terá para fecho universal a fórmula: )]w,z,x(Q)y,x(P(x[zwy →∀∀∀∀

Já se sabe que uma fórmula do cálculo de predicados é válida se é verdadeira para qualquer

interpretação, isso também pode ser colocado da seguinte forma: “Uma fórmula do cálculo de predicados

é válida se, e somente se, o seu fecho universal é válido” .

6.7. - Dedução na Lógica de Primeira Ordem

A dedução na Lógica de Primeira Ordem exige que as fórmulas sejam “preparadas” para tal, o que

pode ser feito através das seguintes técnicas e formas de simplificação, que normalmente podem ser

associadas:

( 1 ) aplicação das regras de inferência da Lógica Predicativa (Lógica de Primeira Ordem);

( 2 ) colocando-se as fórmula na forma normal e, após isto, colocando-se os quantificadores em evidência (Forma Normal Prenex).

( 3 ) eliminando-se os quantificadores;

( 4 ) simplificando-se as fórmulas através da utilização de tautologias;

(5) Utilizando as Fórmulas de Dedução Natural de Gentzen

A seguir, cada uma destas técnicas e formas de simplificação serão definidas e exemplificadas

(vide itens de 6.7.1. a 6.7.4.).


Lógica Predicativa

6.16

6.7.1. - Regras de Inferência da Lógica de Primeira Ordem

Em geral na literatura, entre as muitas regras de inferência possíveis, apenas duas regras de

inferência são tidas como fundamentais para as deduções da Lógica de Predicados,. Estas duas regras são

as seguintes:

(1) Especialização Universal: ( ) ( ) ( )|∀ =x P x P a

(2) Modus Ponens: [( ) ] |F F F F1 2 1 2⇒ ∧ =

6.7.1.1.- Exemplo:

( ) ( )[ ( ) ( )]1 ∀ →x H x M x

(2) H(Sócrates)

• pela Especialização Universal:

( )[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]|∀ ⇒ →=x H x M x H Sócrates M Sócrates

• pela regra Modus Ponens:

[H(Sócrates)→M(Sócrates)]∧ H(Sócrates) |= M(Sócrates)

6.7.1.2.- Um Exemplo Interessante de Conjunto de Axiomas para a Lógica de Predicativa

Para Raymond Turner [Turner 1984] a Lógica de Primeira Ordem está bem definida pelo

seguinte conjunto finito de axiomas, duas regras de inferência, e ainda algumas relações de equivalência

notáveis envolvendo os demais conectivos, a saber:

(1) Axiomas:

Para qualquer fórmula-bem-formada A, B, C da Lógica de Primeira Ordem

(1.1) A →→→→ (B →→→→ A)

(1.2) (A →→→→ (B →→→→ C) →→→→ ( (A →→→→ B) →→→→ (A →→→→ C) )

(1.3) (¬¬¬¬B →→→→ ¬¬¬¬A) →→→→ ( (¬¬¬¬B →→→→ A) →→→→ B)

(1.4) (∀∀∀∀x) A(x) →→→→ A(t) onde t é um termo livre ou uma constante.

(1.5) (∀∀∀∀x) (A →→→→ B) →→→→ ( A →→→→ (∀∀∀∀x B) ) onde A não contém ocorrências de x, livres.

(2) Regras de Inferência:


6.17

(2.1) Modus Ponens: A, A B

B

→→→→ (2.2) Especialização Universal:

A

x A ∀∀∀∀

(3) Relações de equivalência notáveis:

(3.1) (A \/ B) ↔↔↔↔ ¬¬¬¬( ¬¬¬¬A /\ ¬¬¬¬B)

(3.2) (A →→→→B) ↔↔↔↔ (¬¬¬¬A \/ B)

(3.3) (A ↔↔↔↔ B) ↔↔↔↔ ( (A →→→→ B) /\ (B →→→→ A) )

(3.4) ∃∃∃∃x A ↔↔↔↔ ¬¬¬¬ (∀∀∀∀x) ¬¬¬¬A

Exercício:

O leitor interessado poderá construir as tabelas verdade para os axiomas e para as relações

de equivalência aqui apresentadas, verificando a validade dos mesmos.

6.7.2. - Forma Normal Prenex

Uma fórmula F está na forma normal prenex se, e somente se, esta fórmula estiver na forma:

)M(xQ...xQ nn11

onde ( )Q xi i representa um quantificador e a variável a ele ligada ∀xi ou ∃xi e M é o núcleo ou matriz da

fórmula, tal que M não contém quantificadores e está na forma normal, que pode ser conjuntiva ou

disjuntiva. nn11 xQ...xQ é denominado prefixo da forma normal prenex.

6.7.2.1. – Fórmulas para Eliminação das Negações de Quantificadores

Na obtenção das fórmulas da Lógica Predicativa na Forma Normal Prenex as seguintes fórmulas

serão bastante utilizadas:

1.a.- ¬¬¬¬∀∀∀∀x φφφφ(x) ↔↔↔↔ ∃∃∃∃x ¬¬¬¬φφφφ(x) 1.b.- ¬¬¬¬∃∃∃∃x φφφφ(x) ↔↔↔↔ ∀∀∀∀x ¬¬¬¬φφφφ(x)

2.a.- ∀∀∀∀x φφφφ(x) ∧∧∧∧ ψψψψ(x) ↔↔↔↔ ∀∀∀∀x( φφφφ(x) ∧∧∧∧ ψψψψ(x) ) 2.b.- ∀∀∀∀x φφφφ(x) ∨∨∨∨ ψψψψ(x) ↔↔↔↔ ∀∀∀∀x( φφφφ(x) ∨∨∨∨ ψψψψ(x) )

3.a.- ∃∃∃∃x φφφφ(x) ∧∧∧∧ ψψψψ(x) ↔↔↔↔ ∃∃∃∃x( φφφφ(x) ∧∧∧∧ ψψψψ(x) ) 3.b.- ∃∃∃∃x φφφφ(x) ∨∨∨∨ ψψψψ(x) ↔↔↔↔ ∃∃∃∃x( φφφφ(x) ∨∨∨∨ ψψψψ(x) )

4.a.- ( ψψψψ(x) →→→→ ∀∀∀∀xφφφφ(x) ) ↔↔↔↔ ∀∀∀∀x( ψψψψ(x) →→→→ φφφφ(x) ) 4.b.- (∀∀∀∀xφφφφ(x) →→→→ψψψψ(x)) ↔↔↔↔ ∃∃∃∃x(φφφφ(x) →→→→ψψψψ(x))

5.a.- ( ψψψψ(x) →→→→ ∃∃∃∃xφφφφ(x) ) ↔↔↔↔ ∃∃∃∃x( ψψψψ(x) →→→→ φφφφ(x) ) 5.b.- (∃∃∃∃x φφφφ(x) →→→→ ψψψψ(x)) ↔↔↔↔ ∀∀∀∀x(φφφφ(x) →→→→ ψψψψ(x))

�� Observar: Nas fórmulas 2.a. e 5.b. deve-se assumir que a variável x é livre em ψψψψ(x).

Exemplos de colocação de uma Fórmula na Forma Normal Prenex


Lógica Predicativa

6.18

Exemplo 1: Verifique na tabela acima quais das fórmulas foram utilizadas em cada um dos passos

Fórmula inicial: ∀∀∀∀x( P(x) →→→→ Q(x) ) →→→→ ( ∀∀∀∀xP(x) →→→→ ∀∀∀∀xQ(x) )

1º Passo: Renomear as variáveis a fim de evitar o choque entre variáveis que apareçam no escopo de

dois ou mais quantificadores distintos.

∀∀∀∀x( P(x) →→→→ Q(x) ) →→→→ ( ∀∀∀∀yP(y) →→→→ ∀∀∀∀zQ(z) )

2º Passo: Eliminar os conectivos que não sejam ∧ ou ∨

¬∀∀∀∀x( ¬¬¬¬P(x) ∨∨∨∨ Q(x) ) ∨∨∨∨ ¬¬¬¬∀∀∀∀yP(y) ∨∨∨∨ ∀∀∀∀zQ(z)

3º Passo: Eliminar os símbolos de negação que estão diante dos quantificadores

∃x(P(x) ∧∧∧∧ ¬¬¬¬Q(x) ) ∨∨∨∨ ∃∃∃∃y¬¬¬¬P(y) ∨∨∨∨ ∀∀∀∀zQ(z)

4º Passo: Colocar em evidência todos os quantificadores obtendo a forma: )M(xQ...xQ 2211

∃x∃∃∃∃y∃∃∃∃z ( P(x) ∧∧∧∧ ¬¬¬¬Q(x) ) ∨∨∨∨ ¬¬¬¬P(y) ∨∨∨∨ Q(z) )

5º Passo: Utilizar a lei distributiva para transformar a matriz M Forma Normal de Cláusulas

∃x∃∃∃∃y∃∃∃∃z ( P(x) ∨∨∨∨ ¬¬¬¬P(y) ∨∨∨∨Q(z) ) ∧∧∧∧ (¬¬¬¬Q(x) ) ∨∨∨∨ ¬¬¬¬P(y) ∨∨∨∨ Q(z) )

6.7.3. - Técnicas de Eliminação de Quantificadores

Entre as formas de simplificação de fórmulas da Lógica de Predicados está a eliminação de

quantificadores. Uma destas regras é denominada especialização universal.

6.7.3.1. - Especialização Universal

Uma técnica de eliminação de quantificadores muito usada é a de substituição, das variáveis

ligadas a quantificadores universais, por constantes. Esta é, na verdade uma regra de inferência já

apresentada exatamente no item anterior.

6.7.2.2.- Exemplo

Sendo: 1: ∃∃∃∃x∀∀∀∀y [ P(x, y) ∧∧∧∧ P(y, x) →→→→ Q(x, y) ]

Poderemos ter: 2: ∃∃∃∃x [P(x, a) ∧∧∧∧ P(a, x) →→→→ Q(x, a) ]

6.7.4. - Técnicas de Simplificação Utilizando Tautologias

Fórmulas já usadas no Cálculo Proposicional poderão ser úteis na simplificação de sentenças do

Cálculo de Primeira Ordem, como por exemplo:


6.19

( ) ( ) [( ) ( )]1 1 2 1 2 2 1F F F F F F↔ ⇔ → ∧ →

( ) ( ) ( )2 1 2 1 2F F F F⇒ ⇔ ¬ ∨

( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 1 2a F F F F DeMorgan¬ ∨ ⇔ ¬ ∧ ¬

( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 1 2b F F F F DeMorgan¬ ∧ ⇔ ¬ ∨ ¬

Exemplo de simplificação: ] )x(R))x(Q)x(P [ ] )x(R))x(Q)x(P( [ ∨¬∨¬⇔→∧

6.7.5.- Dedução Natural

Na Lógica Predicativa não temos, como na Lógica Proposicional, a possibilidade de utilizar as

tabelas verdade para verificar a validade das fórmulas-bem-formadas, pois não é possível fazê-lo

quando se utilizam os quantificadores. Assim, entre os métodos de derivação para a Lógica Predicativa o

mais indicado seria o método de dedução natural, cujos procedimentos muito se aproximam do raciocínio

humano.

Foram Stanislaw Jaskowiski e Gerhard Gentzen, que apesar de trabalhando de forma

independente, que sugeriram o Método de Dedução Natural, respectivamente em 1934 e 1935.

Os sistemas de dedução natural se caracterizam por não apresentarem axiomas associados a regras

de inferência para a obtenção de novas tautologias ou para provar teoremas, mas utiliza tão somente regras

(ou “esquemas”) de derivação.

A derivação de sentenças ou de proposições em uma linguagem Lógica L consiste de um conjunto

de estágios que ocorrem na geração ou da simplificação de uma sentença ou proposição, iniciada com a

aplicação das regras transformacionais oriundas de uma estrutura operacional lógica estável e bem

fundada nesta linguagem (sintaticamente e semanticamente definidas), que conduzam à estrutura final

desejada da sentença.

As regras de inferência de um sistema de dedução natural permitem a introdução ou a eliminação,

nas sentenças dadas, de variáveis proposicionais (p, q, ...), símbolos lógicos (conectivos ou negação: ∧, ∨,

⇒, ⇔, ¬), contradição (⊥) e quantificadores (∀, ∃) visando, com isto, a obtenção de novas sentenças ou

de sentenças mais simples, mas sempre tautológicas.


Lógica Predicativa

6.20

6.7.5.1.- Os seqüentes – Definição

Além da idéia da Dedução Natural, que será visto logo a seguir, deve-se a Gerhard Gentzen a

noção de seqüente. Se a primeira idéia, a da Nedução Natural, pode ser utilizada para a derivação de

sentenças a segunda, a dos seqüentes, poderá ser utilizada para provar Teoremas.

Definição: Um seqüente é uma implicação lógica normalmente apresentada sob a forma:

m1n1 B,...,BA,...,A ⇒

cujo significado lógico é o seguinte:

m1n1 B...BA...A ∨∨⇒∧∧

onde Ai e Bi são variáveis proposicionais (proposições) e n1 A,...,A é chamado antecedente e m1 B,...,B

conseqüente do seqüente, sendo que ambos podem ser eventualmente vazios.

Leitura:

Antes de passarmos ao estudo das Regras de Dedução Natural, vamos recordar e ampliar

ligeiramente alguns conceitos vistos anteriormente:

• Diz-se que uma fórmula q é uma conseqüência lógica de um conjunto de fórmulas (as premissas: p1, p2, p3, ..., pn ) se, sempre que estas forem verdadeiras, aquela seja verdadeira.

Notação para argumento: p1, p2, p3, ..., pn

q onde p1, p2, p3, ..., pn são as premissas e q a conseqüência.

• No caso de p1, p2, p3, ..., pn

q ser válido, diz-se que “o conjunto de premissas p1, p2, p3, ..., pn acarretam semanticamente q”.

• Um argumento é dito válido se sua conclusão é conseqüência lógica de suas premissas.

• A notação utilizada para argumento: p1, p2, p3, ..., pn

q onde p1, p2, p3, ..., pn

são as premissas e q a conseqüência, pode ser estendida para os seqüentes, cuja notação para q assumirá a forma de uma disjunção: q ⇔ q1 ∨ q2 ∨ q3 ∨ ... ∨ qm e o conjunto de premissas passará a ser uma conjunção: p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn , assim um seqüente poderá ser escrito como: p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn

q1 ∨ q2 ∨

q3 ∨ ... ∨ qm ou mais simplesmente

p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn ⇒⇒⇒⇒ q1 ∨ q2 ∨ q3 ∨ ... ∨ qm

• . A notação p1, p2, p3, ..., pn

q onde q seja apenas uma única fórmula-bem-formada representa um seqüente onde apenas um conseqüente foi gerado pelas premissas. No caso de não se conseguir derivar q do conjunto de fórmulas p1, p2, p3, ..., pn afirma-se que houve insucesso.

• Provar um seqüente é obter q através da aplicação das regras de dedução


6.21

natural ao conjunto de premissas p1, p2, p3, ..., pn .

• Um seqüente é válido se uma prova para ele pode ser encontrada, ou seja, se conseguimos derivar q utilizando p1, p2, p3, ..., pn e as regras de dedução natural.

• NOTA IMPORTANTE: A partir da notação aqui sugerida para os seqüentes e comprando-a com a notação utilizada para se definir seqüente (item 6.8.1 acima),

m1n1 B...BA...A ∨∨⇒∧∧ ,

deve-se concluir , que esta última se refere a p1, p2, p3, ..., pn

q onde q assume a forma m1 B...B ∨∨ ou seja m1 B...Bq ∨∨≡

6.7.5.2.- Dedução Natural –Regras de Inferência para a negação, conjunção e disjunção

A dedução natural é baseada numa série de regras de inferência que permitem a inserção e retirada

de operadores lógicos e quantificadores. Assim, nos nomes de cada uma das regras da Dedução Natural é

conveniente associar a cada uma destas fórmulas uma especificação sobre ela ser de introdução de

símbolos: introαααα( sentenças ) ou de eliminação de símbolos: elimαααα( sentenças ) − que podem ser

aplicados a uma, duas ou até três sentenças −, sendo que αααα é uma variável que corresponde a um dos

símbolos lógicos ou quantificadores da Lógica de Predicados: ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔, ⊥, ∀ ou ∃.

Regras de Inferência para a negação (¬¬¬¬) e contradição (⊥⊥⊥⊥)

Nome: Símbolo: Regra de inferência

Eliminação de Dupla Negação elim¬¬¬¬¬¬¬¬( ¬¬¬¬¬¬¬¬p ) p

p¬¬

Introdução de Dupla Negação intro¬¬¬¬¬¬¬¬( p ) p

p

¬¬

Eliminação de símbolo de Negação elim⊥⊥⊥⊥(⊥⊥⊥⊥) p

⊥


Lógica Predicativa

6.22

Regras de Inferência para a Conjunção e a Disjunção

Para facilitar o raciocínio e a verificação posterior dos passos dados numa tabela (ou processo) de

dedução natural é bom numerá-los seqüencialmente de 1 até n, e fazer referência aos passos que foram

utilizados para as introduções ou eliminações, conforme se poderá ver a seguir, nos exercícios dados como

exemplo: elim∧∧∧∧(1), intro∧∧∧∧(2, 3), etc, onde o primeiro símbolo é unário e o segundo binário.

O leitor deve ficar atento para a idéia de seqüente que será introduzida nos exemplos a seguir.

6.7.5.3.- Dedução Natural – Exemplos (negação, conjunção e disjunção)

Exemplo de Derivação (ou de Prova) Nº 1:

Dado o seqüente: p ∧∧∧∧ q, r q ∧∧∧∧ r provar que ele é válido

Passo Justificativa

1 p ∧∧∧∧ q premissa

2 r premissa

3 q elim∧∧∧∧(1)

4 q ∧∧∧∧ r intro∧∧∧∧(2, 3)

�� Revendo os passos da tabela anterior, pode-se escrever este seqüente como:


Introdução da Conjunção intro∧∧∧∧( p , q ) qp

q p

∧

Eliminação da Conjunção elim∧∧∧∧(p∧∧∧∧q) p

qp ∧

q

q p ∧

Eliminação da Conjunção elim∧∧∧∧(p∧∧∧∧p) p

pp ∧

Eliminação de Conjunção elim∧∧∧∧(p, ⊥⊥⊥⊥) p

p

¬

⊥

Eliminação de Conjunção elim∧∧∧∧(¬¬¬¬p, ⊥⊥⊥⊥) p

p ⊥¬

Eliminação de Conjunção ou Eliminação de Contradição elim∧∧∧∧(p, ¬¬¬¬p) ⊥

¬p p

Introdução da Disjunção intro∨∨∨∨( p ) qp

p

∨

Eliminação da Disjunção elim∨∨∨∨ ( p∨∨∨∨q, p⇒⇒⇒⇒r, q⇒⇒⇒⇒r) r

rqrpqp ⇒⇒∨


6.23

p ∧∧∧∧ q, r r, q, q ∧∧∧∧ r ou ainda: (p ∧∧∧∧ q) ∧∧∧∧ r r ∧∧∧∧ q ∧∧∧∧ (q ∧∧∧∧ r) −−−− o que não mostra

muita coisa, mas veja o segundo exemplo para que a idéia de seqüente fique mais

clara.

Exemplo de Derivação (ou de Prova) Nº 2:

Dado o seqüente: p, ¬¬¬¬¬¬¬¬( q ∧∧∧∧ r ) (¬¬¬¬¬¬¬¬p) ∧∧∧∧ r provar que ele é válido

Passo Justificativa

1 p premissa

2 ¬¬¬¬¬¬¬¬( q ∧∧∧∧ r ) premissa

3 q ∧∧∧∧ r elim¬¬¬¬¬¬¬¬(2)

4 ¬¬¬¬¬¬¬¬p intro¬¬¬¬¬¬¬¬(1)

5 r elim∧∧∧∧(3.

6 (¬¬¬¬¬¬¬¬p) ∧∧∧∧ r intro∧∧∧∧(4, 5)

�� Revendo os passos da tabela anterior, pode-se escrever este seqüente como:

p, ¬¬¬¬¬¬¬¬( q ∧∧∧∧ r ) q ∧∧∧∧ r, ¬¬¬¬¬¬¬¬p, r, (¬¬¬¬¬¬¬¬p) ∧∧∧∧ r

ou ainda: p∧∧∧∧( ¬¬¬¬¬¬¬¬( q ∧∧∧∧ r ) ) (q ∧∧∧∧ r) ∧∧∧∧ (¬¬¬¬¬¬¬¬p) ∧∧∧∧ r ∧∧∧∧ (¬¬¬¬¬¬¬¬p ∧∧∧∧ r)

6.7.5.4.- Dedução Natural – Regras de Inferência para a Condicional e Bicondicional

Regras de Inferência para a Condicional e Bicondicional

6.7.5.5.- Dedução Natural – Exemplos (condicional e bicondicional)

Exercícios Modelo – Tabelas Simples

Exercício Modelo 1 - Tabela Simples

5 Esta regra de inferência já nos é bastante familiar, é a Regra de Inferência Modus Ponens


Introdução da Condicional ou Introdução da Implicação intro⇒⇒⇒⇒( p, q ) qp

q p

⇒

Eliminação da Condicional ou Eliminação da Implicação 5 elim⇒⇒⇒⇒( p, p⇒⇒⇒⇒ q ) q

qp p ⇒

Introdução da Bicondicional intro⇔⇔⇔⇔(p⇒⇒⇒⇒q, q⇒⇒⇒⇒p) qp

pq qp

⇔

⇒⇒

Eliminação da Bicondicional elim⇔⇔⇔⇔( p⇔⇔⇔⇔q) q p

qp

⇒

⇔

p q

qp

⇒

⇔


Lógica Predicativa

6.24

Dado o seqüente: p ∧∧∧∧ q q ∨∨∨∨ r provar que ele é válido

Passo Justificativa

1 p ∧∧∧∧ q premissa

2 q elim∧∧∧∧(1)

3 q ∨∨∨∨ r intro∨∨∨∨ (2)

Exercício Modelo 2 - Tabela Simples

Dado o seqüente: ¬¬¬¬¬¬¬¬(q ∧∧∧∧ r) , p (r ∧∧∧∧ p) ∨∨∨∨ q provar que ele é válido

Passo Justificativa

1 ¬¬¬¬¬¬¬¬(q ∧∧∧∧ r) premissa

2 p premissa

3 q ∧∧∧∧ r elim¬¬¬¬¬¬¬¬(1)

4 r elim∧∧∧∧ (3)

5 r ∧∧∧∧ p intro∧∧∧∧(4,2)

6 (r ∧∧∧∧ p) ∨∨∨∨ q intro∨∨∨∨(6)

Exercícios Modelo – Tabelas Compostas (Para Disjunções)

Quando a premissa de um seqüente for uma disjunção nós teremos que apelar para as tabelas compostas, como a seguir será mostrado. Exercício Modelo 3 - Tabela Composta –

Dado o seqüente: (p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ (r ∧∧∧∧ s) q ∨∨∨∨ s, provar que ele é válido

Passo Justificativa

1 (p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ (r ∧∧∧∧ s) premissa

2 p ∧∧∧∧ q elim∨∨∨∨ (1)

3 q elim∧∧∧∧(2)

4 q ∨∨∨∨ s intro∨∨∨∨(3)

5 r ∧∧∧∧ s elim∨∨∨∨ (1)

6 s elim∧∧∧∧ (5)

7 q ∨∨∨∨ s intro∨∨∨∨ (6)

8 (q ∨∨∨∨ s) ∧∧∧∧ (q ∨∨∨∨ s) intro∧∧∧∧ (4,7)

9 q ∨∨∨∨ s elim∧∧∧∧ (8)

Observação Importante: Os resultados das sub-provas (sub-tabelas) devem ser tomados como

conjunções, isto é, eles devem ser unidos pelo símbolo ∧∧∧∧ (conjunção). Veja no exemplo a seguir que, ao conectarmos as sub-provas como sendo elementos de uma conjunção, teremos um problema com a derivação do conseqüente.


6.25

Exercício Modelo 4 - Tabela Composta –

Dada a sentença: (q ∧∧∧∧ p) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ r) q ∧∧∧∧ r, mostre que ele não é válido, isto é, que: (q ∧∧∧∧ p) ∨∨∨∨

(p ∧∧∧∧ r) q ∧∧∧∧ s

Passo Justificativa

1 (q ∧∧∧∧ p) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ r) premissa

2 q ∧∧∧∧ p elim∨∨∨∨ (1)

3 q elim∧∧∧∧(2)

4 p elim∧∧∧∧(2)

5 p ∧∧∧∧ r elim∨∨∨∨ (1)

6 p elim∧∧∧∧ (5)

7 r elim∧∧∧∧ (6)

8 p Nada se pode afirmar

sobre q ∧∧∧∧ r

(*) NADA SE PODE AFIRMAR porquê: p é verdadeiro na primeira sub-prova e r é verdadeiro na

segunda sub-prova. O que se exige é apenas que pe q sejam simultaneamente verdadeiros ou então que p e

r sejam simultaneamente verdadeiros, no entanto, p e r podem ser, um verdadeiro e o outro não

necessariamente verdadeiro. Isto mostra que não podemos derivar q ∧∧∧∧ r de (q ∧∧∧∧ p) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ r), ou seja, a

expressão “Se (q ∧∧∧∧ p) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ r) então q ∧∧∧∧ r” não é um Teorema. Podemos ainda afirma que: (q ∧∧∧∧ p)

∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ r) não permite derivar q ∧∧∧∧ r. Note que o possível seqüente correspondente a esta sentença

seria (q ∧∧∧∧ p) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ r) p.

Exercício Modelo 5 - Tabela Composta

Dada a sentença: (p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ r r ∨∨∨∨ q, mostre que ela é válida.

Passo Justificativa

1 (p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ r premissa

2 r elim∨∨∨∨ (1)

3 r ∨∨∨∨ q intro∨∨∨∨ (2)

4 p ∧∧∧∧ q elim∨∨∨∨ (1)

5 q elim∧∧∧∧ (4)

6 r ∨∨∨∨ q intro∨∨∨∨ (5)

7 (r ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ (r ∨∨∨∨ q) intro∧∧∧∧ (3,6)

8 r ∨∨∨∨ q elim∧∧∧∧ (8)


Lógica Predicativa

6.26

6.7.5.6.- Dedução Natural – Regras de Inferência para Introdução ou eliminação de Quantificadores

Regras de Inferência para os quantificadores

6.7.5.7.- Exercícios Modelo – Tabelas com Quantificadores

Exercício Modelo 6 - Tabela com Quantificadores

Dada a sentença: ∀∀∀∀x, P(x,s) ∧∧∧∧ ∀∀∀∀y, (P(y) ∧∧∧∧ Q(y)) ( P(t) ∧∧∧∧ Q(t)) ∧∧∧∧ P(t,s), mostre que ela é

válida, sendo que s e t são constantes ou variáveis livres de quantificação.

Passo Justificativa

1 ∀∀∀∀x, P(x,s) premissa

2 ∀∀∀∀y, (P(y) ∧∧∧∧ Q(y)) premissa

3 P(t,s) elim∀∀∀∀(1)

4 P(t) ∧∧∧∧ Q(t) elim∀∀∀∀ (2)

5 ( P(t) ∧∧∧∧ Q(t)) ∧∧∧∧ P(t,s) intro∧∧∧∧(4,3)


Dada a sentença: ∀∀∀∀x, P(x) ⇒⇒⇒⇒ Q(x) ∧∧∧∧ ∀∀∀∀x, P(x) ∀∀∀∀x, Q(x), mostre que ela é válida.

Passo Justificativa

1 ∀∀∀∀x, P(x) ⇒⇒⇒⇒ Q(x) premissa

2 ∀∀∀∀x, P(x) premissa

3 P(t) ⇒⇒⇒⇒ Q(t) elim∀∀∀∀(1)

4 P(t) elim∀∀∀∀ (2)

5 Q(t) elim⇒⇒⇒⇒ (4,3)

6 ∀∀∀∀x, Q(x) intro∀∀∀∀(5)



Eliminação do Quantificador Universal elim∀∀∀∀(P(x)) )t(P

P(x)x,∀

Introdução do Quantificador Universal intro∀∀∀∀(xi) )x(P,x

)P(x )P(x ... )P(x )P(x 1nn10

∀+

Introdução do Quantificador Existencial intro∃∃∃∃ (P(t)) )x(P,x

)t(P

∃

Eliminação do Quantificador Existencial elim∃∃∃∃ (P(x)) P(t)

)x(P,x∃


6.27

Dada a sentença: P(t) ∧∧∧∧ Q(s) ∃∃∃∃x, P(x) ∧∧∧∧∃∃∃∃ y, Q(y), mostre que ela é válida.

Passo Justificativa

1 P(t) premissa

2 Q(s) premissa

3 ∃∃∃∃x, P(x) intro∃∃∃∃ (1)

4 ∃∃∃∃y, Q(y) intro∃∃∃∃ (2)

5 ∃∃∃∃x, P(x) ∧∧∧∧ ∃∃∃∃y, Q(y) intro∧∧∧∧(3,4)


Dada a sentença: ∃∃∃∃x (P(x) ∧∧∧∧Q(x)) ∃∃∃∃x, P(x), mostre que ela é válida.

Passo Justificativa

1 ∃∃∃∃x, (P(x) ∧∧∧∧Q(x)) premissa

2 P(t) ∧∧∧∧Q(t) elim∃∃∃∃ (1)

3 P(t) intro∧∧∧∧(2)

4 ∃∃∃∃x, P(x) intro∃∃∃∃ (3)

6.7.6.- Outras Propostas de Sistemas de Dedução Natural

O sistema de Seqüentes/Dedução Natural proposto por Gentzen poderá ser encontrado na literatura

especializada ora, com notação distinta daquela apresentada no item anterior, ora com uma quantidade

maior ou até mesmo menor de fórmulas (regras de inferência).

6.7.6.1.- Um Sistema de Regras de Inferência Clássico para a Dedução Natural

Vamos explorar aqui, inicialmente, um de Sistema de Dedução Natural cujo conjunto de regras de

inferência (aqui denominados esquemas de derivação) é bastante próximo daquele proposto por Gentzen.

O leitor deve atentar para o fato de que os esquemas de derivação a seguir apresentados possuem nome

que pretendem caracterizá-los, sendo que alguns destes nomes estão em latim.

As tabelas trazem na primeira coluna o nome do argumento válido sob uma outra forma de notação

muito comum em livros de lógica e, em especial, em livros de filosofia; na segunda coluna estão os

argumentos e, as suas respectivas notações, em linguagem proposicional estão na terceira coluna. Uma

idéia bastante interessante é analisar cada um dos argumentos do ponto de vista do significado de cada um

destes esquemas em termos de linguagem natural. Deve-se ainda atentar que este sistema dedutivo ou de

derivação se destina à Lógica Proposicional, não incluindo regras de inferência destinadas à introdução e

eliminação de quantificadores. O que se explica pelo fato de que sendo este sistema adotado em Filosofia

há muitíssimo tempo, preserve suas características clássicas, o que não impede de inserirmos aí as regras

de inferência eu julguemos necessárias.


Lógica Predicativa

6.28

(1) Adição:

qp

p

∨

p p ∨ q

[ p ⇒ p ∨ q ] ⇔ Verdade

qp

q

∨

q p ∨ q

[ q ⇒ p ∨ q ] ⇔ Verdade

(2) Simplificação

p

qp ∧

p∧q p

[p∧q ⇒ p ] ⇔ Verdade

q

qp ∧

p∧q q

[p∧q ⇒ q ] ⇔ Verdade

(3) Conjunção

qp

q,p

∧

p, q p ∧ q

[p∧q ⇒ p∧q ] ⇔ Verdade

(4) Absorção

)qp(p

qp

∧→

→

p→ q p→ (p ∧ q)

[p→ q ⇒ p→ (p∧q) ] ⇔ Verdade

(5) Modus Ponens

q

p,qp →

p→ q, p q

[( (p→ q) ∧ p ) ⇒ q ] ⇔ Verdade

(6) Modus Tollens

p

q,qp

¬

¬→

p→ q, ¬q ¬p

[( (p→ q)∧¬q) ⇒ ¬p ] ⇔ Verdade

(7)Silogismo disjuntivo

q

p,qp ¬∨

p∨ q, ¬p q

[( (p∨ q) ∧ ¬p) ⇒ q ] ⇔ Verdade

p

q,qp ¬∨

p∨ q, ¬q q

[( (p∨ q) ∧ ¬q) ⇒ p ] ⇔ Verdade

(8) Silogismo hipotético


6.29

rp

rq,qp

→

→→

p→ q, q→ r p→ r

[( (p→ q) ∧( q→ r) ⇒ q ]⇔Verdade

(9) Dilema construtivo

sq

qp,sr,qp

∨

∨→→

p→ q, r→ s, p∨q q ∨ s

[( (p→ q)∧(r→ s)∧ (p∨r) ) ⇒ q∨s] ⇔

⇔Verdade

(10) Dilema destrutivo

rp

sq,sr,qp

¬∨¬

¬∨¬→→

p→q, r→s,¬q∨¬s ¬p∨¬r

[((p→q)∧(r→s)∧(¬q∨¬s))⇒¬p∨¬r] ⇔

⇔Verdade

6.7.6.2.- Um Sistema Sintético de Regras de Inferência para a Dedução Natural

O que iremos notar, no conjunto de regras de inferência apresentado a seguir, é a sua simplicidade.

Ainda mais, nos exemplos de aplicação das regras, a facilidade apresentada pelas anotações simbólicas

feitas ao lado de cada um dos esquemas de derivação irá prover uma leitura mais clara de cada um dos

passos do processo de dedução da fórmula. Atente bem para isto.

Leis de Introdução

I qp

q p∧

∧ 1I

qp

p ∨

∨ 2I

qp

p ∨

∨

I qp

q ... p[*]

→→

I p

... p[*]

¬¬

⊥

I xP(x)

)x(P∀

∀ I

xP(x)

)t(P∃

∃

[*] esta anotação indica que em alguma passagem anterior esta proposição foi tomada como verdadeira.

Leis de Eliminação

1E p

q p∧

∧ 2E

q

q p∧

∧ E

p

r p q p ∨

∨∨


Lógica Predicativa

6.30

E q

qp p→

→ E

q

p p¬

¬

E P(t)

)x(Px∀

∀ E

P(t)

)x(Px∃

∃

6.7.6.3.- Exercícios Modelo – Esquemas de Derivação com anotações simbólica

Exercício Modelo 10 –

Mostre que (p →→→→ q) ∧∧∧∧ (q →→→→ r ) ⇒⇒⇒⇒ (p →→→→ r) ou (p →→→→ q) ∧∧∧∧ (q →→→→ r ) (p →→→→ r) Solução:

E

I )rp()rq()qp(

Irp

r

Erq

)]rq()qp[( E

q

Ep qp

)]rq()qp[(

]1[

]2[

2

]1[1[2]

]1[

→

→→⇒→∧→

→→

∧→

→∧→→

∧→

→∧→


Mostre que ∀∀∀∀x( P(x) →→→→ Q(x) ) ∧∧∧∧(Q(x) →→→→ R(x) ) ∀∀∀∀x( P(x) →→→→ R(x))

I))x(Q)x(P(x

I )x(R)x(P

)x(R

ER(x)Q(x)

R(x)x(Q(x)

)x(Q

E )x(Q)x(P )x(P

))x(Q)x(P(x

]1[

]1[

∀→∀

→→

∀→

→∀∀

→

→∀


Mostre que ∀∀∀∀x∀∀∀∀y( P(x,y) →→→→ ¬¬¬¬R(y,x) ) ∀∀∀∀x( R(x,x) )


6.31

E

E

I)x,x(Rx

Ix)R(x,

)x,x(R x)R(x,

E )x,x(R)x,x(R x)R(x,

E)x,y(R)y,x(R(y

))x,y(R)y,x(R(yx

]1[

[1]

[1]

→

→

∀¬∀

→¬

⊥

¬

∀¬→

∀¬→∀

¬→∀∀

6.7.7. – Provas através de Tableau Semântico

Os Tableaux Semânticos6 (do francês: tableau; em português: quadro, tablô, mas também: tableau

- no singular, e tableaux - no plural) são diagramas arborescentes descendentes, isto é, árvores invertidas

ou árvores que partindo de um nó têm seus ramos voltados para baixo. Os nomes Analytic Tableaux

(Tableaux Analíticos), Semantic Trees (Árvores Semânticas) ou Analytic Trees (Árvores Analíticas), no

lugar de Semantic Tableaux (Tableaux Semânticos), como preferimos fazer aqui.

6.7.7.1.- O Tableau Semântico – A técnica e o método

A técnica de prova utilizada nos tableaux semânticos é denominada prova por refutação. A forma

mais fácil de provar que uma fórmula-bem-formada X da Lógica Predicativa é uma tautologia, é provar

que ela não pode ser falsa. Assim, assume-se que X é falsa (bastando para isto tomar a negação de X,

¬X) visando derivar, a partir disto, uma contradição. Esta é a denominada prova indireta ou prova por

refutação.

As definições a seguir introduzirão alguns dos conceitos básicos envolvidos no método que

permitirão a construção das árvores semânticas que suportarão as provas por refutação de sentenças da

Lógica de Primeira Ordem:

Definição 1.- O nó inicial de um Tableau Semântico é sempre constituído pela negação da

sentença que se pretende provar (ou verificar a validade).

Definição 2.- Denomina-se caminho de um Tableau Semântico à seqüência de ramos, da

árvore constituinte do tableau, percorrida desde o nó (folha) inicial até um dado nó (folha)

localizado no último estágio da árvore (conjunto de últimas folhas).

6 Não confundir os Tableaux Semânticos com os Mapas Semânticos, estes, utilizados na Representação de Conhecimentos em sistemas simbólicos computacionais.


Lógica Predicativa

6.32

Definição 3.- Um caminho do tableau é dito fechado se este caminho contém pelo menos

um par conjugado de fórmulas lógicas (por exemplo: A e ¬A fazem parte deste caminho).

Definição 4.- Um caminho não fechado é dito aberto. Os caminhos fechados geralmente

são marcados no seu final com um “X”, para facilitar a conclusão final.

Definição 5.- Um tableau é dito fechado se todas o caminhos a partir do nó inicial são

fechados.

6.7.8.- As Regras Semânticas para a Lógica Proposicional

Nas tabelas a seguir iremos apresentar as regras semânticas a serem utilizadas na construção dos

Tableaux Semânticos. Nas primeiras e segundas colunas iremos apresentar as regras com seus respectivos

valores semânticos, sendo V para verdadeiro e F para Falso, como é usual, e nas terceiras e quartas

colunas, as fórmulas serão apresentadas sem os seus valores semânticos, mas com a notação lógica usual,

bastante suficiente para o seu entendimento.

6.7.8.1.- Regras de Expansão – Esquemas Visuais

Os tableaux semânticos são expandidos a partir do nó inicial através de dois tipos de regras de

expansão: a as expansões do tipo α (vertical) e as expansões do tipo β (horizontal). As expansões podem

ser caracterizadas visualmente como:

αααα

αααα1

αααα2

ββββ

ββββ1 ββββ2

1- Conjunção:

A ∧∧∧∧ B [V]

A[V]

B[V]

A ∧∧∧∧ B [F] A[F] B[F]

A ∧∧∧∧ B

A[V]

B[V]

¬¬¬¬(A ∧∧∧∧ B)

¬¬¬¬A ¬¬¬¬B

2- Disjunção:


6.33

A ∨∨∨∨ B

A B

A ∨∨∨∨ B [F]

A[F]

B[F]

A ∨∨∨∨ B [V]

A[V] B[V]

¬¬¬¬(A ∨∨∨∨ B)

¬¬¬¬A

¬¬¬¬B

3- Implicação:

A ⇒⇒⇒⇒ B

¬¬¬¬A B

A ⇒⇒⇒⇒ B [F]

A[V]

B[F]

A ⇒⇒⇒⇒ B [V]

A[F] B[V]

¬¬¬¬(A ⇒⇒⇒⇒ B)

A

¬¬¬¬B

4- Equivalência:

A ⇔⇔⇔⇔ B [F]

A[V] A[F]

B[F] B[V]

A ⇔⇔⇔⇔ B

A ¬¬¬¬A

B ¬¬¬¬ B

¬¬¬¬(A ⇒⇒⇒⇒ B)

A

¬¬¬¬B

A ⇔⇔⇔⇔ B [V]

A[V] A[F]

B[V] B[F]

¬¬¬¬(A ⇔⇔⇔⇔ B)

A ¬¬¬¬A

¬¬¬¬B B

5- Negação:

¬¬¬¬A [F]

A[V]

¬¬¬¬A [V]

A[F]

¬¬¬¬¬¬¬¬A

A

6.8.2.2.- Regras Semânticas – Notações Resumidas

A seguir são apresentadas duas tabelas contendo as regras de expansão em Tableaux Semânticos

dos tipos α a β. Note que a equivalência não foi considerada na construção destas tabelas ficando explícito

que “X ⇔ Y” deva ser automaticamente substituído por “(X ⇒ Y) ∧ (Y ⇒ Y)”.

Nas tabelas a seguir, para todas as proposições X e Y valem:


Lógica Predicativa

6.34

Regra Fórmula

1. Se ¬¬¬¬X é verdadeiro então X é falso 1. V(¬¬¬¬X) ⇒⇒⇒⇒ FX

2. Se ¬¬¬¬X é falso então X é verdadeiro 2. F(¬¬¬¬X) ⇒⇒⇒⇒ VX

3. Se (X∧∧∧∧Y) é verdadeiro então X e Y são verdadeiros 3. V(X ∧∧∧∧ Y) ⇒⇒⇒⇒ VX ∧∧∧∧ VY

4. Se (X∧∧∧∧Y) é falso então X é falso ou Y é falso 4. F(X ∧∧∧∧ Y) ⇒⇒⇒⇒ FX ∨∨∨∨ FY

5. Se (X∨∨∨∨Y) é verdadeiro então X é verdadeiro ou Y é verdadeiro 5. V(X ∨∨∨∨ Y) ⇒⇒⇒⇒ VX ∨∨∨∨ VY

6. Se (X∨∨∨∨Y) é falso então X e Y são falsos 6. F(X ∧∧∧∧ Y) ⇒⇒⇒⇒ FX ∧∧∧∧ FY

7. Se (X ⇒⇒⇒⇒ Y) é verdadeiro então X é falso ou Y é verdadeiro 7. V(X ⇒⇒⇒⇒ Y) ⇒⇒⇒⇒ FX ∨∨∨∨ VY

8. Se (X ⇒⇒⇒⇒ Y) é falso então X é verdadeiro e Y é falso 8. F(X ⇒⇒⇒⇒ Y) ⇒⇒⇒⇒ VX ∧∧∧∧ FY

6.7.8.3.- A classificação das fórmulas semânticas quando a serem do tipo αααα (vertical) ou ββββ (horizontal):

Conjuntivas Disjuntivas

αααα αααα1 αααα2 ββββ ββββ1 ββββ2

X X X X ∧∧∧∧ Y Y Y Y XXXX YYYY ¬¬¬¬(X (X (X (X ∧∧∧∧ Y) Y) Y) Y) ¬¬¬¬X X X X ¬¬¬¬Y Y Y Y

¬¬¬¬(X (X (X (X ∨∨∨∨ Y) Y) Y) Y) ¬¬¬¬XXXX ¬¬¬¬YYYY X X X X ∨∨∨∨ Y Y Y Y XXXX YYYY

¬¬¬¬(X (X (X (X ⇒⇒⇒⇒ Y) Y) Y) Y) XXXX ¬¬¬¬YYYY X X X X ⇒⇒⇒⇒ Y Y Y Y ¬¬¬¬XXXX YYYY

6.7.8.4.- Tableaux Semânticos – Alguns Exemplos

Vamos a um primeiro exemplo: se construirmos a tabela verdade para a sentença:

(p ⇒⇒⇒⇒ q) ⇒⇒⇒⇒ (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬p)

veremos que ela é uma tautologia, ou seja, ela é satisfatível para quaisquer valores verdades atribuíveis a p

e a q. Dada uma sentença X que se quer provar tautológica, o método do Tableau Semântico se inicia com

a negação da sentença X, ¬X.


6.35

Exemplo 1: Tableau Semântico para ( (p ⇒ q) ⇒ (¬q ⇒ ¬p) ) usando a numeração ordinal e os sinais F

e V.

F ( (p ⇒⇒⇒⇒ q) ⇒⇒⇒⇒ (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬p) )

1 V (p ⇒⇒⇒⇒ q)

2 F (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬p)

2.1 V ¬¬¬¬q

2.2 F ¬¬¬¬p

2.1.1 F q

1.1 F p V q 1.2

2.2.1 V p XXXX

XXXX

Exemplo 2: Tableau Semântico para ( (p ⇒ q) ⇒ (¬q ⇒ ¬p) ) usando a técnica de cima para baixo (top-

down) – não recomendada.

F ( (p ⇒⇒⇒⇒ q) ⇒⇒⇒⇒ (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬p) )

1 V (p ⇒⇒⇒⇒ q)

2 F (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬p)

1.1 F p V q 1.1

2.1 V ¬¬¬¬q V ¬¬¬¬q 2.1

2.2 F ¬¬¬¬p F ¬¬¬¬p 2.2

2.1.1 F q F q

2.2.1 V p XXXX

XXXX

Exemplo 3: Tableau semântico para ( (p ⇒ q) ⇒ (¬q ⇒ ¬p) ) utilizando a negação (¬) e a negação da

negação (¬¬ ).

¬¬¬¬( (p ⇒⇒⇒⇒ q) ⇒⇒⇒⇒ (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬p) )

1 (p ⇒⇒⇒⇒ q)

2 ¬¬¬¬ (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬p)

2.1 ¬¬¬¬q

2.2 ¬¬¬¬¬¬¬¬p ≡≡≡≡ p

2.1.1 ¬¬¬¬q

1.1 ¬¬¬¬p q 1.2

XXXX XXXX


Lógica Predicativa

6.36

Exemplo 4: Tableau semântico para (p ⇒ q) ⇒ ((q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)) utilizando a negação (¬) e a negação da negação (¬¬ ).

¬¬¬¬( (p ⇒⇒⇒⇒ q) ⇒⇒⇒⇒ ((q ⇒⇒⇒⇒ r) ⇒⇒⇒⇒ (p ⇒⇒⇒⇒ r)) )

1 (p ⇒⇒⇒⇒ q) XXXX

2 ¬¬¬¬ ((q ⇒⇒⇒⇒ r) ⇒⇒⇒⇒ (p ⇒⇒⇒⇒ r))

2.1 q ⇒⇒⇒⇒ r

2.2 ¬¬¬¬ (p ⇒⇒⇒⇒ r)

2.2.1 p

2.2.2 ¬¬¬¬r

1.1 ¬¬¬¬p q 1.2

XXXX 2.1.1 ¬¬¬¬q r 2.1.2

XXXX XXXX

Exemplo 5: Tableau semântico para (p ⇒ q) ⇒ ((q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)) utilizando a negação (¬) e a negação da negação (¬¬ ) a técnica de numeração ordinal e finalmente a diagrama em forma de árvore descendente.

0 ¬¬¬¬( (p ⇒⇒⇒⇒ q) ⇒⇒⇒⇒ ((q ⇒⇒⇒⇒ r) ⇒⇒⇒⇒ (p ⇒⇒⇒⇒ r)) )

1 (p ⇒⇒⇒⇒ q)

2 ¬¬¬¬ ((q ⇒⇒⇒⇒ r) ⇒⇒⇒⇒ (p ⇒⇒⇒⇒ r))

2.1 q ⇒⇒⇒⇒ r

2.2 ¬¬¬¬ (p ⇒⇒⇒⇒ r) 2.2.1 p

2.2.2 ¬¬¬¬r

1.1 ¬¬¬¬p XXXX q 1.2

2.1.1 ¬¬¬¬q XXXX r XXXX 2.1.2


6.37

¬¬¬¬( (p ⇒⇒⇒⇒ q) ⇒⇒⇒⇒ ((q ⇒⇒⇒⇒ r) ⇒⇒⇒⇒ (p ⇒⇒⇒⇒ r)) )

1 (p ⇒⇒⇒⇒ q)

2 ¬¬¬¬ ((q ⇒⇒⇒⇒ r) ⇒⇒⇒⇒ (p ⇒⇒⇒⇒ r))

2.1 q ⇒⇒⇒⇒ r

2.2 ¬¬¬¬ (p ⇒⇒⇒⇒ r) 2.2.1 p

2.2.2 ¬¬¬¬r

1.1 ¬¬¬¬p q 1.2 XXXX

2.1.1 ¬¬¬¬q r 2.1.2 XXXX XXXX

Exemplo 6: Tableau semântico para [ (p ⇒ ( q ⇒ r)) ⇒ ((p ∨ s) ⇒ (( q ⇒ r) ∨ s)) ]

¬¬¬¬ [ (p ⇒⇒⇒⇒ ( q ⇒⇒⇒⇒ r)) ⇒⇒⇒⇒ ((p ∨∨∨∨ s) ⇒⇒⇒⇒ (( q ⇒⇒⇒⇒ r) ∨∨∨∨ s)) ]

1 (p ⇒⇒⇒⇒ ( q ⇒⇒⇒⇒ r))

2 ¬¬¬¬ ((p ∨∨∨∨ s) ⇒⇒⇒⇒ (( q ⇒⇒⇒⇒ r) ∨∨∨∨ s))

2.1 p ∨∨∨∨ s)

2.2 ¬¬¬¬ (( q ⇒⇒⇒⇒ r) ∨∨∨∨ s))

2.2.1 ¬¬¬¬ ( q ⇒⇒⇒⇒ r)

2.2.2 ¬¬¬¬s

1.1 ¬¬¬¬p q ⇒⇒⇒⇒ r 1.2 XXXX

2.1.1 p s 2.1.2 XXXX XXXX

6.7.8.5.- Tableau semântico para a verificação da validade de argumentos


Lógica Predicativa

6.38

Seja o argumento: p∧q, q∨r, r ⇔s, ¬r, q⇒p £ q ∧¬s . Seja, agora, considerar este argumento como

um seqüente e reescrevê-lo como sendo:

(p∧q) ∧ (q∨r) ∧ (r ⇔s) ∧ (¬r) ∧ (q⇒p) ∧ (¬(q ∧¬s)) £ ∅

ou

∅ £ ¬¬¬¬ [ (p∧q) ∧ (q∨r) ∧ (r ⇔s) ∧ (¬r) ∧ (q⇒p) ∧ (¬(q ∧¬s)) ]

Comentário: o conceito de argumento prevê que, ao assumirmos que todas as premissas

como sendo verdadeiras, teríamos que obter, obrigatoriamente, uma conclusão verdadeira.

No entanto ao incluirmos a negativa desta conclusão entre as premissas, o que iremos

obter é uma sentença logicamente inválida.

1. p∧∧∧∧q

2 q∨∨∨∨r

3 r ⇔⇔⇔⇔ s

4 ¬¬¬¬r

5 q ⇒⇒⇒⇒ p

6 ¬¬¬¬(q ∧∧∧∧¬¬¬¬s) 1.1 p 1.2 q 2.1 q r 2.2 xxxx

5.1 ¬¬¬¬q p 5.2

6.1 ¬¬¬¬q ¬¬¬¬¬¬¬¬s 6.1 x x x x s 6.1.1

3.1 r ¬¬¬¬r 3.1

3.2 s ¬¬¬¬s 3.2 xxxx xxxx

Mostre num Tableau Semântico, que (A⇒⇒⇒⇒B) ∧∧∧∧ (B ⇒⇒⇒⇒ C)

¬¬¬¬(A ⇒⇒⇒⇒ C)


6.39

(A⇒⇒⇒⇒B) ∧∧∧∧ (B ⇒⇒⇒⇒ C)

¬¬¬¬(A ⇒⇒⇒⇒ C)

¬¬¬¬A B

¬¬¬¬B C ¬¬¬¬B C A A A A

¬¬¬¬C ¬¬¬¬C ¬¬¬¬C ¬¬¬¬C

X X X X X X X X X X X X XXXX

6.7.8.6- Fórmulas Inválidas e o Tableau Semântico Aberto

|O Tableau construído para a sentença (A⇒⇒⇒⇒B) ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬(A ∨∨∨∨ ¬¬¬¬B) é aberto, ou seja, iremos mostrar que a sentença dada é falsa.

(A⇒⇒⇒⇒B) ⇔⇔⇔⇔ ¬¬¬¬(A ∨∨∨∨ ¬¬¬¬B)

(A⇒⇒⇒⇒B) ¬¬¬¬(A ∨∨∨∨ ¬¬¬¬B)

¬¬¬¬(A ∨∨∨∨ ¬¬¬¬B) ¬¬¬¬ ¬¬¬¬ (A ∨∨∨∨ ¬¬¬¬B)

¬¬¬¬A B A

¬¬¬¬B

¬¬¬¬A ¬¬¬¬A A ∨∨∨∨ ¬¬¬¬B

¬¬¬¬¬¬¬¬B ¬¬¬¬¬¬¬¬B

B B A ¬¬¬¬B

? ? ? ?

6.7.8.7.- Outros Exemplos de Tableaux Semânticos sem Numeração de Ordem

Os tableaux abaixo foram expandidos sem a numeração ordinal, cabendo ao leitor tentar a

justificar a geração de cada uma das folhas da árvore semântica.


Lógica Predicativa

6.40

1) Tableau Semântico para

(p ⇒⇒⇒⇒ q) ⇒⇒⇒⇒ (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬p)

¬¬¬¬[ (p ⇒⇒⇒⇒ q) ⇒⇒⇒⇒ (p ⇒⇒⇒⇒ q) ]

(p ⇒⇒⇒⇒ q)

¬¬¬¬ (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬p)

¬¬¬¬p q

¬¬¬¬q ¬¬¬¬q p p

¬¬¬¬q ¬¬¬¬q p X X X X

X X X X

2) Tableau semântico para

¬¬¬¬[ (p ∧∧∧∧ q) →→→→ (p ∧∧∧∧ q) ]

(p ∧∧∧∧ q) →→→→ (p ∧∧∧∧ q)

¬¬¬¬(p ∧∧∧∧ q)

(p ∧∧∧∧ q)

p q

¬¬¬¬p ¬¬¬¬q X XX XX XX X

3) Tableau semântico para

(p ∧∧∧∧ q) →→→→ (q ∧∧∧∧ p)

¬¬¬¬( (p ∧∧∧∧ q) →→→→ (q ∧∧∧∧ p) )

(p ∧∧∧∧ q)

¬¬¬¬(q ∧∧∧∧ p)

p q

¬¬¬¬p ¬¬¬¬q X X X X X X X X

6.7.9.- As Regras Semânticas para a Lógica Predicativa

São duas as regras a serem acrescentadas ao conjunto de Regras Semânticas já estudadas no item

anterior e elas dizem respeito à sentenças que contenham quantificadores. Elas são as seguintes:

∀∀∀∀x P(x)

P(v)

Comentário: Substituir ∀∀∀∀x P(x) por P(v) onde “v” é uma variável que pode ser substituída por uma constante qualquer, até mesmo, uma que já ocorreu naquele caminho da árvore.

∃∃∃∃x P(x)

P(c)

Comentário: Substituir ∃∃∃∃x P(x) por P(c) onde “c” é uma constante que ainda não ocorreu naquele caminho da árvore ou na própria árvore.

6.7.9.1.- O Tableau Semântico para a Lógica Proposicional – Exemplos

Exemplo 1: Prove que a sentença ∀x P(x) ⇒ P(b) é válida, utilizando a árvore semântica.


6.41

¬¬¬¬[ ∀∀∀∀x P(x) ⇒⇒⇒⇒ P(b) ]

1 ∀∀∀∀x P(x)

2 ¬¬¬¬ P(b) 1.1 ou 2.1 P(b) X X X X

Exemplo 2: Prove que a sentença ∀x P(x) ⇒ ( P(a) ∧ P(b) ) é válida, utilizando a árvore semântica.

¬¬¬¬[ ∀∀∀∀x P(x) ⇒⇒⇒⇒ (P(a) ∧∧∧∧ P(b) ) ]

1 ∀∀∀∀x P(x)

2 ¬¬¬¬( P(a) ∧∧∧∧ P(b) ) 1.1 P(v)

2.1 ¬¬¬¬P(a) ¬¬¬¬P(b) 2.2 2.1.2 ou 1.1.1 P(a) P(b) 2.2.1 ou 1.1.2 X X X X X X X X

Exemplo 3: Prove que a sentença ∀x (P(x) ⇒ Q(x)) ⇒ (∀x P(x) ⇒ ∀x Q(x)) é válida, utilizando a árvore semântica.

¬¬¬¬[∀∀∀∀x (P(x) ⇒⇒⇒⇒ Q(x)) ⇒⇒⇒⇒ (∀∀∀∀x P(x) ⇒⇒⇒⇒ ∀∀∀∀x Q(x)) ]

1 ∀∀∀∀x (P(x) ⇒⇒⇒⇒ Q(x))

2 ¬¬¬¬(∀∀∀∀x P(x) ⇒⇒⇒⇒ ∀∀∀∀x Q(x))

2.1 ∀∀∀∀x P(x)

2.2 ¬¬¬¬∀∀∀∀x Q(x)

2.2.1 ∃∃∃∃x ¬¬¬¬Q(x)

2.2.1.1 ¬¬¬¬Q(a) 2.1.1 P(a)

1.1 ¬¬¬¬Q(a) ∧∧∧∧ P(a)

1.1.1 Q(a) ⇒⇒⇒⇒ P(a)

1.1.1.1 ¬¬¬¬P(a) Q(a) 1.1.1.2 X XX XX XX X


Lógica Predicativa

6.42

6.8. – Sobre as Lógicas de Segunda Ordem

A Lógica Predicativa é uma Lógica de Primeira Ordem, e por isto é normalmente denominada

Lógica de Primeira Ordem Clássica. As Lógicas de Primeira Ordem são aquelas em que se assume como

quantificáveis todas ou algumas das variáveis de uma sentença bem formada de acordo com as

especificações de sua linguagem, sendo que não podem ser assumidos como variáveis nesta lógica, os

predicados e as funções. Estes tipos de variáveis serão encontrados em Lógicas de Segunda Ordem ou em

Lógicas de ordem superior à Segunda.

Em resumo, a Lógica de Primeira Ordem se caracteriza pela quantificação de todas ou de algumas

variáveis de uma sentença bem formada do Cálculo de Predicados. Já a o que caracteriza a Lógica de

Segunda Ordem é a quantificação, não somente das variáveis, mas também dos Predicados e dos

Funcionais [Enderton 1972]. Assim por exemplo, as sentenças:

))x(xP)x(P(x,P ∀⇒∃∀

))x(R)x(Q(x,R,Q ⇒∀∀∃

∃f(x,y), f:R→R, f(3,4) = 72 ∧ f(4,5)=0

∀P [ P(0) ∧∀k∈N (P(k) → P(k+1) ) ⇒ ∀n∈N, P(n) ]

são fórmulas-bem-formadas da Lógica de Segunda Ordem.

6.9.- Sobre a Prova Automática de Teoremas

Por volta de 1936, de modo independente, o americano Alonzo Church (1903- ) e o inglês Alan M.

Turing (1926-1967) mostraram que não existem procedimentos gerais para checar a validade de fórmulas

da Lógica de Primeira Ordem, ou posto em outras palavras, eles provaram que não existe nenhum

procedimento de decisão (que decida se uma fórmula é ou não um teorema, isto é, se uma fórmula é ou

não válida) para o cálculo com quantificadores aplicados sobre variáveis, ou seja, a Lógica de Primeira

Ordem é indecidível.

Na verdade, para um grande número de sistemas formais, e até mesmo a aritmética, não existem

procedimentos efetivos de decisão. Isto significa que não é possível a construção, mesmo que somente

teórica, de máquinas capazes de identificar até mesmo no conjunto de sentenças-bem-formadas da

aritmética aquelas que são válidas.

Apesar das concepções de Church e de Turing, desde 1930, Jacques Herbrand (1908-1931),

matemático francês, tido por muitos como intuicionista, mas que sempre esteve mais próximo das

concepções formalistas de Hilbert, já havia introduzido o conceito de se buscar interpretações que


6.43

permitissem a falsificação de fórmulas. Assim, se uma fórmula é realmente válida, nenhuma interpretação

que permita falseá-la é encontrada e o procedimento (algoritmo) pára após um certo número de tentativas.

6.9.1.- O Método de Herbrand e as Concepções de Davis e Putnam

O Método de Herbrand é normalmente a base de muitos Provadores Automáticos de Teoremas

existentes e pode ser aplicado sobre fórmulas simples (ou simplificadas – veja a seguir) da Lógica de

Primeira Ordem, sendo que muitas fórmulas válidas acabam por não serem provadas apesar da quantidade

de tempo gasto na tentativa de fazê-lo [Chang & Lee 1973].

O mais conhecido trabalho de Herbrand é o teorema cujo enunciado é o seguinte: “Cada fórmula

que pode ser provada na Lógica Predicativa é redutível a uma fórmula desprovida de quantificadores que

é uma tautologia na Lógica Proposicional”. Os passos para que se possa aplicar este Teorema na prática,

simplificando-se as fórmulas que contenham quantificadores, foram estabelecidos por Davis e Putnam em

1960 e envolvem o uso das funções de Skolem:

1.- Uma fórmula da Lógica de Primeira Ordem deve ser colocada sob a forma prenex

normalizada onde os quantificadores devem ser todos explicitados;

2.- A fórmula deve ser colocada na forma normal conjuntiva;

3.- Os quantificadores devem ser eliminados utilizando-se as funções de Skolem num

processo denominado skolemização.

Não vamos aqui nos aprofundar neste estudo que pode ser continuada em livros sobre Prova

Automática de Teoremas [Gallier 1985, 2003] apenas iremos, a seguir, dar alguns exemplos da aplicação

destas simplificações.

6.9.1.1. – Funções de Skolem - A Skolemização

A eliminação de quantificadores visando simplificar as fórmulas da Lógica Predicativa têm na

Scolemização uma forte ferramenta que associada às formas Normais Prenex possibilitam as Provas

Automática de Teoremas.

Definição – Função de Skolem

1º caso: Seja uma fórmula F da Lógica Predicativa reduzida à forma normal prenex

)M(xQ...xQ...xQ nnkk11 onde M é uma forma normal conjuntiva. Supondo-se que Qk com 1≤ k ≤ n

é um quantificador existencial e que não há nenhum quantificador universal antes de Qk

escolhem-se constantes distintas de qualquer outra que ocorra em M e se substituem todos os xk,


Lógica Predicativa

6.44

com 1≤ k ≤ n, que apareçam em M por cada uma destas constantes, eliminando-se Qkxk que figura

no prefixo da forma normal prenex.

2º Caso: Se há n quantificadores universais antes de Qkxk escolhe-se uma função ϕ n-ária distinta de

qualquer outra que ocorra em M e troca-se o xk por ϕ(xk-n, xk-n+1, ..., xk-1) eliminando-se Qkxk que

figura no prefixo da forma normal prenex.

6.9.1.2. - Exemplos da obtenção da forma standard de Skolem

Exemplo 1: )w,v,u,t,z,y,x(P wvutzyx ∃∃∀∃∀∀∃

levando-se em conta o escopo de cada um dos quantificadores, poderemos escrever:

))u,z,y(h),u,z,y(g,u),z,y(f,z,y,a(P vzy ∀∀∀

onde x = a, t = f(y,z), v = g(y,z,u) e w = h(y,z,u).

Exemplo 2: )]z,y,x(R)z,x(Q)y,x(P[ zyx ∨∧¬∃∃∀

Vamos primeiro transformá-la numa fórmula na forma normal conjuntiva:

)]z,y,x(R)z,x(Q)z,y,x(R)y,x(P[ zyx ∨∧∨¬∃∃∀

de onde { }))]x(g),x(f,x(Q[))]x(g),x(f,x(R))x(f,x(P[ x ∧∨¬∀

Exemplo 3: Este é um caso mais complexo e iremos explicar cada uma das passagens

) )x(xQ)x(P x() )x(Q)x(P ( x ∀→∀→→∀

1º Passo - Renomear as variáveis de mesmo nome que apareçam ligadas a quantificadores distintos:

) )z(zQ)y(P y() )x(Q)x(P ( x ∀→∀→→∀

2º Passo – Eliminar os conectivos distintos de ∧ e ∨ :

)z(zQ)y(P y) )x(Q)x(P ( x ∀∨∀∨∨¬¬∀

3º Passo – Remover a negação do início da sentença:

)z(zQ)y(P y) )x(Q)x(P ( x ∀∨¬∃∨¬∧∃


6.45

4º Passo – Colocar a sentença na forma Prenex:

) )z(Q)y(P ) )x(Q)x(P (zyx ∨¬∨¬∨∀∃∃

5º Passo – Usar a Propriedade distributiva para transformar a matriz em Forma Normal Conjuntiva

) )z(Q)y(P Q(x)( ) )z(Q)x(P)x(P (zyx ∨¬∨¬∧∨¬∨∀∃∃

6º Passo – Skolemizar a fórmula:

) )z(Q)b(P Q(a)( ) )z(Q)b(P)a(P (z ∨¬∨¬∧∨¬∨∀

Exemplo 4: [1] )y,x(xPy)y,x(yPx ∃∀→∀∃

[2] )y,x(xPy ) )y,x(yPx ( ∃∀∨∀∃¬

[3] ) )z,w(P)y,x(P (wzyx ∨¬∃∀∃∀

[4] )z ),z,x(g((P))x(f,x(P (zy ∨¬∀∀

Observação: Dependendo da finalidade ou das necessidades, para se eliminar completamente os

quantificadores pode-se adotar uma técnica bastante interessante que utiliza as funções de Skolem e a

especialização universal, que poderia ser descrita como:

1.- Colocar todos os quantificadores no início da sentença (forma Prenex);

2.- Eliminar os quantificadores existenciais usando as funções de Skolem fazendo com que

todas as variáveis passem a ser quantificadas universalmente,

3.- Utilizar a especialização universal para que as variáveis quantificadas universalmente sejam

substituídas por constantes do domínio D7.

Exemplo 1:

y)P(x, y∃

f(x))P(x, x∀

Exemplo 2:

y)P(x, yzx ∃∀∀

z))f(x,P(x, zx∀∀

7 No caso destas substituições (por fórmulas de Skolem e pela Especialização Universal algumas informações acabam por ser negligenciadas, ou até mesmo perdidas. Numa função de Skolen f(x,y), por exemplo, que ocorram em P(x,y,f(x,y)) podem ocorrer muitas constante a que satisfaçam P(x, y, a), no entanto apenas um a precisa ser escolhido. È preciso notar que uma funçã predicativa pode estabelecer uma relação muitos-a muitos enqunato as funções de Skolem estabelecem uma relação muitos-a-um. Assim, o que se consegue com relação a este tipo de susbstituição é apenas verificar a satisfabilidade, mas não a validade.


Lógica Predicativa

6.46

))a(f,a(P P(a,f(a,a))

6.9.3.- Lógica aplicada à Ciência da Computação

Está fora do escopo deste texto o estudo da Lógica destinada a aplicações na Ciência da

Computação, sendo que aqueles que desejam aprofundar-se neste estudo que passa pelo Teorema de

Herbrand, pelo Princípio de Resolução, pela Análise de Programas Computacionais e outros assuntos

devem buscar informações nos textos constantes da bibliografia apresentada no final deste livro.


6.47


• O objetivo deste capítulo é a introdução da Lógica de Predicados, Lógica Predicativa (uma Lógica de

Primeira Ordem ou “a” Lógica de Primeira Ordem) criada por Gottlob Frege. Logo no Início se

toma contacto com uma pequena amostra do que seria a algebrização da Lógica tentada por

Leibniz, mas nunca concluída.

• Em seguida são mostrados alguns dados históricos que nos permitirá compreender o porquê da criação

da Lógica Predicativa (Lógica de Primeira Ordem) por Gottlob Frege, criação esta levada

avante, com a intenção, que viria a ser frustrada, de Logicizar a Aritmética.

• A Lógica de Primeira Ordem (L1) é introduzida formalmente e é apontada como uma extensão da

Lógica Proposicional (L0), o que não é nada mais do que natural. Esta formalização passa pelo

estabelecimento da Linguagem da Lógica de Primeira Ordem:

(i) Alfabeto: variáveis proposicionais, constantes, símbolos funcionais, símbolos

predicativos, símbolos lógicos herdados da Lógica Proposicional L0, os quantificadores

universal e existência e símbolos de separação ou pontuação;

(ii) Sintaxe: o processo de obtenção das fómulas-bem-formadas de L1 é introduzido através

de uma definição recursiva;

(iii) Semântica: introduzida através de exemplos de sentenças válidas em L1, pelas

técnicas de eliminação de quantificadores, chegando, finalmente, nas propostas

axiomáticas para L1 e pelo uso das regras de inferência (modus Ponens e Especialização

Universal) e à Dedução Natural devida a Gerhard Gentzen.

(iv) Partindo da noção de seqüentes, a dedução natural é bastante explorada e

exemplificada através da apresentação de outras duas formas bastante interessantes de

apresentar a dedução natural – uma clássica, destinada somente à Lógica Predicativa e

outra mais atual que envolve esquemas de dedução com anotações.

(v) A verificação da validade semântica de sentenças em L1 foi ainda estudada através da

utilização dos Tableaux Semânticos.


Lógica Predicativa

6.48


1.- Assinalar com V ou F e dar o conjunto de valores que tornam a sentença válida ou o valor que a torna insatisfatível. Sendo dados: U={0,1,2,3} então, se x ∈∈∈∈ U:

1a) ∀x, x>0 ( ) 1b) ∃x, x>4 ( )

1c) ∀x, x<4 ( ) 1d) ∃x, x>0 ( )

1e) ∀x, x.0=x ( ) 1f) ∃x, x.0=x ( )

1g) ∃x, x.0=0 ( ) 1h) ∀x, x.0=0 ( )

2.- Assinalar com V ou F, dando o conjunto de valores que validam a sentença ou o valor que a torna falsa. Sendo dados: U={0,1,2,3,4,5} então, se x ∈∈∈∈ U:

2a) ∀x, x+1>2 ( ) 2b) ∃x, x+1<4 ( )

2c) ∀x, x-1<5 ( ) 2d) ∃x, x-5>0 ( )

2e) ∀x, 0.x=x ( ) 2f) ∃x, x+x=x ( )

2g) ∃x, x+0=x ( ) 2h) ∀x, x+x=2.x ( )

3.- Assinalar com V ou F, dando o conjunto de valores que validam a sentença ou o valor que a torna falsa.

Dados: U={0,1,2,3,4} com x ∈∈∈∈ U e y ∈∈∈∈ U.

3a) ∀x ∃y, x.y=0 ( ) 3b) ∃x ∃y, x+y=0 ( )

3c) ∃x ∀y, x+y=y ( ) 3d) ∃x, ∀y, x+y=x ( )

4.- Assinalar com V ou F, dando o conjunto de valores que validam a sentença ou o valor que a torna falsa.

Dados: U={0,1,2,3,4} com x ∈∈∈∈ U e y ∈∈∈∈ U.

4a) ∀x ∃y,x+y>4 ( ) 4b) ∃x ∃y,x+y>8 ( )

4c) ∃x ∀y, x.y=y ( ) 4d) ∃x, ∀y,x-y=-y ( )

5.- Considerando: ( )( ) ( ) ] y,xQ yx [ ∃∀ sobre D = {0,1}, com a seguinte tabela de valores verdade:

( ) ( ) ( ) ( )

V F V F

1,1Q 0,1Q 1,0Q 0,0Q

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

dar o valor verdade da fórmula nessa interpretação.

6.- Verifique a validade de "∀∀∀∀ ∃∃∃∃ ⇒⇒⇒⇒x y P x Q x y, ( ) ( , ) " sob a interpretação:

U = {1,2}; P(1), V;P(2), V;Q(1,1), F;Q(1,2), V;Q(2,1), F e Q(2,2), F.

7.- Verifique a validade de " , ( ) ( ( ( )) ( , ( )))"∀ ∀ ⇒ ∧x y P x P f x Q x f y

U = {1,2} f(1) = 2 e f(2) = 1 somente P(2), falso, os demais valores são V.

8.- Dar, no exercício anterior, os valores de x e y satisfatórios e os valores de x e y insatisfatórios


6.49

9.- Verifique a validade de " , ( ) ( , )"∀ ∀ ¬ ⇒y x P x Q x y sob a interpretação:

U = {1,2}; P(1)), V;P(2), V;Q(1,1), F;Q(1,2), V; Q(2,1), V e Q(2,2), F

10.- Verifique a validade de " , ( ) ( ( ( )) ( , ( )))"∀ ∃ ⇒ ∧ ¬x y P x P f x Q x f y sob a interpretação:

U = {1,2} com f(1) = 2 e f(2) = 1, sendo somente P(1) e Q(1,2) falsos, os demais valores são V.

Estude todos os casos e aponte os valores satisfatórios e os insatisfatórios, para x e y.

11.- As fórmulas-bem-formadas abaixo são válidas. Analise-as quanto ao sentido lógico, isto é, o que elas significam na prática. Tente dar exemplos numéricos que satisfaçam estas fórmulas ou expliquem o sentido das mesmas.

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) )

[ ] [( ) ( ) ( ) ( ) )] ( )( ( ) ( ) )

[ ] ( )[( ) ( ) ( )]

[ ] ( )[ ( ) ( ) ( )]

1

2

3

4

5

∀∀∀∀ ⇒⇒⇒⇒ ∃∃∃∃

∀∀∀∀ ∧∧∧∧ ⇒⇒⇒⇒ ∀∀∀∀ ∧∧∧∧ ∀∀∀∀

∀∀∀∀ ∨∨∨∨ ∀∀∀∀ ⇒⇒⇒⇒ ∀∀∀∀ ∨∨∨∨

∀∀∀∀ ∀∀∀∀ ⇒⇒⇒⇒

∃∃∃∃ ⇒⇒⇒⇒ ∀∀∀∀

x P x x P x

x P x Q x x P x x Q x

x P x x Q x x P x Q x

y x P x P y

y P y x P x

(

12.- Todas as sentenças apresentadas a seguir são falsas. Justifique.

[1] ∃∃∃∃ x ( x < 0 ) ⇒⇒⇒⇒ ∀∀∀∀x (x < 0)

[2] ∀∀∀∀x ∀∀∀∀y ( x > y) ⇒⇒⇒⇒ ∃∃∃∃y ∀∀∀∀x (y > x)

[3] ∀∀∀∀x ∃∃∃∃y ( x > y) ⇒⇒⇒⇒ ∃∃∃∃y ∀∀∀∀x (x > y)

[4] ( ∃∃∃∃x ( x > 0) ∧∧∧∧ ∃∃∃∃x (x ≤≤≤≤ 0) ) ⇒⇒⇒⇒ ∃∃∃∃x [ ( x > 0) ∧∧∧∧ (x ≤≤≤≤ 0) ]

[5] [ ∀∀∀∀x ( x > 0 ∨∨∨∨ x ≤≤≤≤ 0) ] ⇒⇒⇒⇒ [∀∀∀∀x ( x > 0) ∨∨∨∨ ∀∀∀∀x (x ≤≤≤≤ 0) ]


7.1

Capítulo 7 Lógicas Modernas Não-Clássicas

É habitual aos filósofos negar a realidade do espaço-tempo, e também, ao considerarem a possibilidade deles serem reais, negar a possibilidade desta associação. [...] Considerando que as ciências e o bom senso apontam na direção oposta à destes filósofos e sendo que nenhum argumento um priori pode ser aduzido contra aquelas, que estão bem fundamentadas, nós podemos estabelecer que este é um argumento suficiente para a aceitação da concepção de espaço-tempo.

Bertrand Russell

7.1.- Introdução A Lógica Matemática Clássica −−−− a Lógica Predicativa1−−−− podem mostra-se, muitas vezes,

inadequadas para a modelagem de certos problemas no campo das ciências exatas, humanas ou biológicas.

Esta incapacidade de abrangência, ou mais, esta inadequação, fez com que surgissem, principalmente no

século XX, as lógicas tidas como não-clássicas. Assim, deparamo-nos com dois tipos de lógicas não-

clássicas que vêm a ser: as que complementam e as que se rivalizam com a lógica clássica.

A principal característica das lógicas que complementam a lógicas clássicas é a de manterem

como núcleo as leis fundamentais da lógica clássica. Como já foi visto nos capítulos anteriores, há três leis

que fundamentam as lógicas clássicas, seja ela a Lógica Clássica Aristotélica ou a Lógica Matemática

Clássica. Estas leis são enunciadas, pelos diversos autores, mais ou menos com as seguintes palavras:

(1a) Lei ou Princípio da Identidade:

"Todo objeto é idêntico a si mesmo"; Em símbolos:

∀∀∀∀x, x ⇔⇔⇔⇔ x

(2a) Lei ou Princípio Não-contradição:

"Dadas duas proposições, sendo uma a negação da outra, então uma delas é falsa"; Em símbolos:

∀∀∀∀x, ¬¬¬¬¬¬¬¬(x) ⇔⇔⇔⇔ x ou ainda: ¬¬¬¬∃∃∃∃x, x ∧∧∧∧ ¬¬¬¬x

1 Deve-se compreender aqui, que a Lógica de Predicativa é vista como, automaticamente, incorporando a Lógica Proposicional.


Lógicas Modernas Não-Clássicas

7.2

(3a) Lei ou Princípio do Terceiro Excluído:

"Toda proposição é verdadeira ou falsa, não existindo uma outra possibilidade". Em símbolos:

∀∀∀∀x, x ∨∨∨∨ ¬¬¬¬x

Muitas lógicas que rivalizam com as lógicas clássicas, as chamadas lógicas heterodoxas, foram

sendo criadas ao longo do século XX, a partir da seguinte idéia: construir-se lógicas onde são derrogados

(desconsiderados) um dos três princípios das Lógicas ditas Clássicas. Alguns autores denominam,

algumas destas lógicas, como Lógicas da Incerteza, onde e quando os raciocínios devem ser realizados

apesar da incompletude das informações conseguidas.

As lógicas heterodoxas podem ser dos tipos paracompletas ou paraconsistentes. O prefixo grego

“para” significa: perto de, ao longo de, em direção a, contra, desviado de etc. Segundo Lalande [Lalande

1993] este prefixo, modernamente, serve para indicar o desvio do modelo considerado como normal ou,

desviado dos padrões ou dos modelos usuais.

Lógicas Heterodoxas

• Chama-se lógica paracompleta aquela em que se elimina o Princípio da Não-contradição

ou se elimina o Princípio do Terceiro Excluído. No caso da eliminação do Princípio do

Não-contradição, podem ocorrer proposições tais que nem elas nem suas negações sejam

verdadeiras, ou que elas e suas negações sejam verdadeiras (daí a incompletude). No caso

da eliminação do Princípio do Terceiro Excluído é que surgem as chamadas lógicas de mais

de dois valores, as lógicas de múltiplos valores, e ainda as lógicas de infinitos valores, ou

lógicas multivaloradas.

• Chama-se lógica paraconsistente aquela em que se eliminou o Princípio da Identidade.

Esta lógica é inconsistente (daí o nome a paraconsistência) porque entre os seus teoremas

pode existir pelo menos dois teoremas, um sendo a negação do outro, o que seria

impossível na lógica clássica.

Neste capítulo são apresentados alguns exemplos de Lógicas Paracompletas e um exemplo de

Lógica Paraconsistente: Lógicas Trivalentes [1], a Lógica dos Múltiplos Valores [2] e Lógica Nebulosa

[3]; além destas, são ainda apresentadas a Lógica Modal [4], a Lógica Intuicionista [5] e a Lógica

Dialética [6]. As Lógicas [1], [2], [3], [4] e [5] são lógicas paracompletas enquanto o exemplo [6] é o de


7.3

uma lógica paraconsistente. Acrescente-se que, as Lógicas temporais, isto é, aquelas em que o tempo é

considerado uma variável, são Lógicas Paracompletas.

Apresentam-se a seguir vários exemplos de lógicas criadas nestes últimos cem anos. As

apresentações não são feitas visando extensão ou profundidade, mas tão-somente levar ao leitor as

principais idéias destas novas lógicas, deixando a seu critério estudos mais aprofundados em outras

obras mais específicas e abrangentes.

7.2.- LÓGICAS TRIVALENTES E MULTIVALORADAS Jan Lukasiewics (1878/1956), lógico polonês, foi um dos primeiros a formular uma lógica

trivalente em sua obra “Sobre a Lógica Trivalente”, publicada em 1920. Posteriormente desenvolveu

uma lógica polivalente infinita. Publicou ainda, entre outras, “Elementos de Lógica Matemática” (1929),

“A Silogística de Aristóteles do ponto de vista da Moderna Lógica Formal” (1951), “Um sistema de

Lógica Modal” (1953).

Para Lukasiewics os valores estabelecidos em sua lógica trivalente foram: verdadeiro (V), Falso

(F) e possível (M = möglich = possível), que podem ser substituídos, respectivamente, por 1, 0 e 1/2, com

grande vantagem, na construção das tabelas verdade desta lógica.

A seguir são apresentadas as tabelas verdade para a Lógica Trivalente, onde de consideram A e

B como sentenças-bem-formadas desta Lógica.

A ¬¬¬¬A

1 0

½ ½

0 1

A B A \/ B A /\ B A ⇒⇒⇒⇒ B A ⇔⇔⇔⇔ B

1 1 1 1 1 1

1 ½ 1 ½ ½ 0

1 0 1 0 0 0

½ 1 1 ½ 1 0

½ ½ ½ ½ 1 1

½ 0 ½ 0 ½ 0

0 1 1 0 1 0

0 ½ ½ 0 1 0

0 0 0 0 1 1

Uma pergunta que naturalmente surgirá, sem dúvida, é: “O valor verdade das expressões da lógica

bivalente coincidem com as da lógica trivalente? Ou seja, uma tautologia numa delas é também na



7.4

outra, uma contradição numa delas o é, também, na outra ?”. Deixa-se ao leitor para pensar, pelo

menos um pouco, a possível resposta para esta pergunta.

Lukasiewics estabeleceu a tabela verdade da negação e da implicação, definindo em função destas,

as conjunções: ( P \/ Q ) = ( (P ⇒⇒⇒⇒ Q) ⇒⇒⇒⇒ Q )

A definição da conjunção (/\) foi estabelecida a partir da negação (¬) e da disjunção (\/):

( P /\ Q ) = ( ¬¬¬¬ ( ¬¬¬¬P \/ ¬¬¬¬Q) )

A tabela a seguir mostra, de forma bastante esquemática, o cálculo dos valores lógicos das

definições anteriores, com destaque para os valores principais e para os resultados pretendidos:

P Q ¬¬¬¬P ¬¬¬¬Q P \/ Q P /\ Q

P ⇒⇒⇒⇒ Q (P ⇒⇒⇒⇒ Q) ⇒⇒⇒⇒ Q ¬¬¬¬P \/ ¬¬¬¬Q ¬¬¬¬ ( ¬¬¬¬P \/ ¬¬¬¬Q)

1 1 0 0 1 1 0 1

1 ½ 0 ½ ½ 1 ½ ½

1 0 0 1 0 1 1 0

½ 1 ½ 0 1 1 ½ ½

½ ½ ½ ½ 1 ½ ½ ½

½ 0 ½ 1 ½ ½ 1 0

0 1 1 0 1 1 1 0

0 ½ 1 ½ 1 ½ 1 0

0 0 1 1 1 1 1 0

Já na tentativa de responder à pergunta feita anteriormente: “Os valores verdade das

expressões da lógica proposicional coincidem com valores verdade da lógica trivalente?”, o leitor

deverá verificar que as definições dadas por Lukasiewics são tautológicas na Lógica Proposicional.

Sobre a validade de fórmulas da Lógica Trivalente quando submetidas à semântica da Lógica

Proposicional, propõe-se ao leitor analisar a sentença: “P /\ ¬¬¬¬P” nestas duas lógicas.

Examine a seguir a tabela da proposição “P /\ ¬P” nestas duas lógicas:

Lógica Bivalente

Lógica Trivalente

P ¬¬¬¬P P /\ ¬¬¬¬P P /\ ¬¬¬¬P

1 0 0 0

1/2 1/2 - 1/2

0 1 0 0


7.5

Na Lógica Proposicional a expressão “P /\ ¬¬¬¬P” é uma contradição, isto é, é sempre falsa. No

entanto, na Lógica Trivalente ela não é sempre falsa, assim, não seria uma contradição, muito menos uma

tautologia e, nem mesmo seria, uma contingência, mas sim uma possibilidade(!), lembrando que nesta

lógica “½” significa “possível”. Na lógica trivalente, a expressão citada como exemplo, “P /\ ¬¬¬¬P”,

poderia ser também chamada de quase-contradição [Klir 1995].

Outros pesquisadores propuseram suas tabelas para a lógica dos três valores. A tabela abaixo

permite comparar os valores lógicos das diversas propostas, de acordo com cada autor [Klir 1995]:

P Q Lukasiewics Bochvar Kleene Heiting ∧∧∧∧ ∨∨∨∨ ⇒⇒⇒⇒ ⇔⇔⇔⇔ ∧∧∧∧ ∨∨∨∨ ⇒⇒⇒⇒ ⇔⇔⇔⇔ ∧∧∧∧ ∨∨∨∨ ⇒⇒⇒⇒ ⇔⇔⇔⇔ ∧∧∧∧ ∨∨∨∨ ⇒⇒⇒⇒ ⇔⇔⇔⇔

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ½ ½ 1 ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 1 ½ ½ ½ 1 ½ ½

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

½ 1 ½ 1 1 ½ ½ ½ ½ ½ ½ 1 1 ½ ½ 1 1 ½

½ ½ ½ ½ 1 1 ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 1 1

½ 0 0 ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 0 ½ ½ ½ 0 ½ 0 0

0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0

0 ½ 0 ½ 1 ½ ½ ½ ½ ½ 0 ½ 1 ½ 0 ½ 1 0

0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

7.2.1.- LÓGICAS DE MÚLTIPLOS VALORES Lukasiewics também propôs uma lógica de múltiplos valores ( n ≥ 2, n natural finito), como uma

extensão de sua lógica de três valores, cujas definições são a seguir apresentadas. Cabe notar que estes

múltiplos valores, desta lógica, devem estar limitados ao intervalo fechado números reais de 0 até 1, ou

seja, estes valores podem ser números reais no intervalo real [0,1].

Assim o conjunto de n valores lógicos de uma lógica multivalorada ou n-valorada, para n, um

número natural finito maior ou igual a 2, poderá ser calculado da seguinte forma:

}VL 0,1

n 1,

2

n 2,

3

n 3, . . . ,

n - 3

n - 3,n - 2

n - 1,n 1

n 11n =

− −

−

−

−= .



7.6

7.2.1.1.- Definições Sendo P uma proposição da Lógica de Múltiplos valores, define-se como valor de P como sendo:

[1] 0 ≤≤≤≤ Valor ( P ) ≥≥≥≥ 1

assim, pode-se definir também:

[2] Valor ( ¬¬¬¬P ) = 1 - Valor ( P ) [3] Valor ( P ∧∧∧∧ Q ) = min( Valor(P), Valor (Q) ) [4] Valor ( P ∨∨∨∨ Q ) = max( Valor(P), Valor (Q) ) [5] Valor ( P ⇒⇒⇒⇒ Q ) = min(1, 1 + Valor(P) - Valor (Q) ) [6] Valor ( P ⇔⇔⇔⇔ Q ) = 1 - | Valor ( P ) - Valor ( Q ) |

Cabe ao leitor verificar que estas definições podem ser aplicadas, sem restrições, à Lógica

Bivalente e à Lógica Trivalente através do exame das tabelas verdade, anteriormente construídas.

7.2.2.- Lógica de Infinitos Valores

Como uma natural extensão da Lógica de Múltiplos Valores tem-se as Lógicas de Infinitos

Valores, cujos valores lógicos podem ser todos os números reais tomados no intervalo [0,1].

Uma outra lógica de infinitos valores, baseada em princípios do cálculo das probabilidades, é

devida a Reichenback.

7.3.- LÓGICA NEBULOSA OU LÓGICA FUZZY

Neste item propõe-se, a título de ilustração, uma rápida visão de um exemplo bem atual de lógica

paracompleta, ou seja, uma lógica onde se eliminou o princípio do terceiro excluído. Esta é o que se

resolveu chamar, em português, de Lógica Nebulosa. Do inglês: "Fuzzy Logic", onde fuzzy seria mais

bem traduzido como “impreciso” ou “difuso”, nos daria o nome Lógica Difusa que é também usado às

vezes; no entanto, o nome Lógica Fuzzy é o que vem sendo mais utilizado.


7.7

Considera-se aqui que o leitor tenha noções da Teoria dos Conjuntos de Cantor, a noção de

conjuntos numéricos e a noção de função. Sendo assim, levaremos ao leitor uma exposição resumida

do que seja a Lógica Fuzzy.

7.3.1.- Função Grau de Pertinência

Na Teoria Clássica dos Conjuntos, ou um elemento pertence ou não pertence a um dado conjunto,

não restando nenhuma outra alternativa. Seja U um conjunto universo, contínuo ou discreto, no sentido da

Teoria dos Conjuntos de Cantor. Seja x∈∈∈∈U, um elemento qualquer de U. Pode-se definir uma função que

indica o grau de pertinência de x ao conjunto A⊆U, denominada função característica, na Teoria

Clássica dos conjuntos:

( )ϕϕϕϕ A x : U →→→→ {0,1} dada pela lei ( )ϕϕϕϕ A x1 se x A

0 se x A =

∈

∉

.

7.3.2.- Exemplos

7.3.2.1.-Exemplo

A partir de que idade uma pessoa pode ser considerada “velha”?

Seja I a função idade, onde uma pessoa é considerada “de idade” ou seja “velha” a partir dos 65

anos, definida por: }{I:[0,100] 0,1→ dada por I x y( ),

= =≥

0

65

se x < 65

1, se x

0 65 100

1

0 x

y



7.8

Seria o caso de perguntar: uma pessoa com 64 anos e 11 meses não é velha?

Seria o caso de também perguntar: antes dos 65 anos a pessoa é considerada jovem?

Não seria mais adequado perguntar: este gráfico é ideal para modelar este problema?

7.3.2.2.- Exemplo

Como deve ser modelado o seguinte problema: Um produto alimentício, cuja validade é de 6

meses, se torna danoso à saúde, rigorosamente, 6 meses após a data de fabricação? Ou seja, um dia antes

do término do prazo de validade de um dado produto alimentício ele é saudável, deixando de sê-lo,

imediatamente, no dia seguinte?

7.3.2.3.- Exemplo

Como deve ser modelado o seguinte problema: Como se representa um número real próximo de

5? Supondo que o intervalo aberto ] 4,5; 5,5 [ se constituísse num bom modelo para o problema, teríamos

o seguinte gráfico representando os números reais próximos de 5.

0 1 2 3 4 5 6

7.3.2.4.- Exemplo

Como deve ser modelado o seguinte problema: Como se representam temperaturas onde de 0o C

a 6o C, exclusive = temperatura muito baixa; de 6o C a 14o C, exclusive = temperatura baixa; de 14o C a

22o C, exclusive = temperatura média; de 22o C a 30o C, exclusive = temperatura alta e, de 30o em diante,

temperatura muito alta.


7.9

0 6 14 22 30

muito

baixa baixa média alta

muito

alta

TEMPERATURA EM GRAUS CELSIUS:

7.3.3.- Modelando os Exemplos Anteriores Segundo a Lógica Fuzzy

Os problemas anteriores, apresentados como exemplos, poderiam ser melhor modelados a partir da

proposta feita por Zadeh [Zadeh 1965], onde se considera que alguns elementos de um conjunto podem

pertencer a um conjunto em graus variáveis entre 0, que indica a sua total não pertinência, e 1, que indica

a total pertinência.

Seja o conjunto U, discreto ou contínuo (um universo no sentido da Teoria dos Conjuntos de

Cantor), e seja x ∈∈∈∈ U, um elemento qualquer de U. Pode-se definir uma função que indica o grau de

pertinência de x ao conjunto A ⊆ U, denominada na Função de Pertinência na Teoria Fuzzy, onde A

passará a ser denominado conjunto fuzzy ou nebuloso.

( )µµµµ A x : U →→→→ [0,1] dada pela lei µµµµ A (x) y onde y [0,1] = ∈ .

7.3.3.1.- Exemplo

O gráfico a seguir modela o problema em que se pretende atribuir à idade de 65 anos a condição de

“idoso” ou “velho”. Uma interpretação dos gráficos abaixo poderia ser a seguinte: até os 25 anos a pessoa

é considerada jovem, a partir desta idade ela não é mais jovem, mas também não é, ainda, velha. Assim o

grau de pertinência ao grupo das pessoa idosas, y, irá aumentando até tornar-se 1, exatamente aos 65 anos.

Assim, por exemplo, no primeiro gráfico, uma pessoa com 45 anos teria um grau de pertinência aos

conjunto dos jovens igual a 0,25 enquanto seu grau de pertinência ao conjunto de pessoas velhas seria da

ordem de 0,75.

[1]



7.10

0 65 100

1

0 x

y

25 45

0,75

No segundo gráfico o grau de pertinência tanto ao grupo de jovens como ao de velhos, para quem

tivesse 45 anos, valeria exatamente 0,5. O terceiro gráfico modela o problema de forma bem mais amena

para as pessoa idosas, e uma pessoa de 45 anos será apenas 0,25 velha, contra 0,75 jovem.

[2] [3]

0 65 100

1

0 x

y

25 45

0,5

0 65 100

1

0 x

y

25 45

0,25

Não resta dúvida que o problema seria melhor modelado pelo seguinte gráfico fuzzy, que poderia

ser modificado até atingir o ideal, de acordo com as necessidades julgadas necessárias:

0 25 65

jovem meia idade velho

40 55

7.3.3.2.- Exemplo

A seguir exibem-se dois possíveis gráficos fuzzy que podem modelar o problema do produto

alimentício, cuja validade é de 6 meses.


7.11

0

1

0 x

y

6 12

7.3.3.3.- Exemplo

Possíveis representações gráficas de um número real próximo de 5 na Lógica Fuzzy. Supondo

que os números próximos de 5 estivessem localizados no intervalo aberto ]4,5; 5,5[ , teríamos o seguinte

gráfico para representar este fato:

0 1 2 3 4 5

1

ou, por exemplo:

0 1 2 3 4 5

1

ou ainda:

0 1 2 3

1

4 5

ou ainda:

0

1

0 x

y

6 12



7.12

0 1 2 3

1

4 5

7.3.3.4.- Exemplo

No gráfico a seguir apresenta-se um possível modelo para a representação fuzzy das temperaturas:

de 0o C a 6o C, exclusive = muito baixa; de 6o C a 14o C, exclusive = baixa; de 14o C a 22o C, exclusive =

média; de 22o C a 30o C, exclusive = alta e, de 30o em diante = muito alta.

0 8 12 20 324 16 24 28

7.3.4.- Operações com Conjuntos Fuzzy

A Teorias dos Conjuntos Fuzzy é uma extensão da Teoria Clássica dos Conjuntos. A seguir

estabelecem-se definições extremamente úteis para o entendimento da Teoria dos Conjuntos Fuzzy, nas

quais U indicará o universo de trabalho.

(1) Igualdade de Conjuntos

A = B ⇔ µ µA Bx x( ) ( )= para todo x ∈ U.


7.13

(2) Complementação

Dado A ⊂ U, A__

será o complemento de A com relação a U, se e somente se,

µ µA

Ax x__ ( ) ( )

= −1 para todo x∈U.

(3) Inclusão

A ⊆B ⇔ µ µA Bx x( ) ( )≤ para todo x ∈ U.

A ⊂ B ⇔ µ µA Bx x( ) ( )≤ e µ µA Bx x( ) ( )< para pelo menos um x ∈ U.

(4) União

(4.1) µ µ µA B A Bx max x x∪ =( ) ( ( ), ( )) para todo x ∈ U (segundo Zadeh).

(4.2) µ µ µA B A Bx min x x∪ = +( ) ( , ( ) ( ))1 para todo x ∈ U (segundo Lukasiewics).

(5) Intersecção

(5.1) µ µ µA B A Bx min x x∩ =( ) ( ( ), ( )) para todo x ∈ U (segundo Zadeh).

(5.2) µ µ µA B A Bx max x x∩ = + −( ) ( , ( ) ( ) )0 1 para todo x ∈ U (segundo Lukasiewics).

7.3.4.1.- Exemplos

Exemplo [1]: Vamos adotar, a seguinte notação para os conjuntos fuzzy discretos



7.14

A = { (x,nA) | x ∈∈∈∈P, P conjunto de proposições; nA = µµµµ A (x) [0,1] ∈ }

Ainda: A = B se, e somente se, µµµµ A (x) = µµµµ B (x) , ∀x ∈ P.

Para alguns autores, A e B, quando adotados como índices da função µµµµ(x) , isto é, µµµµ A (x)

e µµµµ B (x) , passam a ser considerados os “agentes” que avaliam as proposições de um dado

conjunto P atribuindo a elas um valor lógico n ∈∈∈∈ [0,1] ou, segundo outra notação, nA = µµµµ(x) ∈∈∈∈

[0,1] e nB = µµµµ(x) ∈∈∈∈ [0,1]; enquanto os conjuntos A e B apresentam como elementos, pares

ordenados contendo como primeiro termo um proposição de P e como segundo elemento o valor “n”

atribuído por aquele agente a esta proposição.

Seja, agora, o conjunto P = { x1, x2 , x3 , x4 , x5} onde:

x1: Paulo ama Marta.

x2: Marta ama Paulo.

x3: Hoje é terça feira.

x4: Eu sou estudioso.

x5: Márcia é bonita.

Sejam, ainda :

A = { (x1; 0,5), (x2; 0,7), (x3; 0), (x4; 0,3), (x5; 0,9) } = { (x1; 0,5), (x2; 0,7), (x4; 0,3), (x5; 0,9) }

B = { (x1; 0,8), (x2; 0,6), (x3; 1), (x4; 0,9), (x5; 0,8) }

Negação de A = A__

= { (x1; 0,5), (x2; 0,3), (x3; 1), (x4; 0,7), (x5; 0,1) }

Negação de B = B__

= { (x1; 0,2), (x2; 0,4), (x3; 0), (x4; 0,1), (x5; 0,1) }


7.15

A U B = { (x1; 0,8), (x2; 0,7), (x3; 1), (x4; 0,9), (x5; 0,9) } (segundo Zadeh)

A U B = { (x1; 1), (x2; 1), (x3; 1), (x4; 1), (x5; 1) } (segundo Lukasiewics)

A I B = {(x1; 0,5), (x2; 0,6), (x3; 0), (x4; 0,3), (x5; 0,9) } (segundo Zadeh)

A I B = {(x1; 0,3), (x2; 0,3), (x3; 0), (x4; 0,2), (x5; 0,7) } (segundo Lukasiewics)

Nota-se, neste exemplo, que as definições de operações devidas a Zadeh, se mostram mais

versáteis e possivelmente mais adequadas à modelagem deste problema, do que as de Lukasiewics. O

leitor não deve considerar isto como uma generalização, pois outros problemas poderiam ser melhor

modelados ao se utilizar as definições de operações com conjuntos fuzzy devidas a Lukasiewics.

Exemplo [2]: Vai-se exemplificar, aqui, a união e a interseção de conjuntos fuzzy contínuos.

Especificamente escolhem-se conjuntos complementares para se mostrar que, paradoxalmente, na Lógica

Fuzzy: A U A__

≠ U e que A I A__

≠ φ, ao contrário do que ocorre na Teoria Clássica dos Conjuntos,

que é: A U A__

= U e que A I A__

= φ.

Os gráficos, a seguir apresentam a função:

I: [ , ][0,100] → 0 1 dada por I x y( ),

= =≥

0

65

se x < 65

1, se x

e a sua função complementar:

I__

: [ , ][0,100] → 0 1 dada por I x y__

( ),

= =≥

1

65

se x 65

0, se x <



7.16

0 65 100

1

0 x

y

25 0 65 100

1

0 x

y

25

Sobrepondo estes dois gráficos teremos:

0 65 100

1

0 x

y

25

máximo

mínimo

cuja união será:

0 65 100

1

0 x

y

25

e cuja interseção será:


7.17

0 65 100

1

0 x

y

25

Observar que, nos exemplos acima, para cada xk ∈∈∈∈ [0,100] :

µµµµ( xk ) ∨ µµµµ ( ¬xk ) ≤ 1

µµµµ( xk ) ∧ µµµµ( ¬xk ) ≥ 0

ou ainda mais diretamente, na Lógica Fuzzy:

x ∨∨∨∨ ( ¬¬¬¬ x ) ≤≤≤≤ 1

x ∧∧∧∧ ( ¬¬¬¬ x ) ≥≥≥≥ 0

7.4.- LÓGICA MODAL

Entre os conceitos filosóficos com que a lógica pode trabalhar estão: a possibilidade, necessidade,

a obrigação, a permissão, o conhecimento, a crença, a percepção, a memória, a esperança, o esforço,

somente para citar alguns dos “modos” mais evidentes com os quais se pode buscar a verdade das

proposições [Hintikka 1996]. Estes conceitos são alguns dos conceitos denominados epistemológicos.

A Epistemologia é a disciplina que aborda as ciências como objeto de investigação. Uma lógica

que envolva estes conceitos ou modos é denominada Lógica Epistêmica ou Lógica Modal. Não se deve

esquecer, ainda, que o sujeito epistêmico ou sujeito universal difere basicamente do sujeito psicológico e

do indivíduo (sujeito individualizado). O sujeito epistêmico, apesar da diversidade de seus pensamentos,

percepções e ações, reúne um conjunto ideal de propriedades da razão, que são comuns a todos os



7.18

indivíduos ou, ainda melhor, idênticas para todos os indivíduos. Ele pode ainda ser denominado

simplesmente sujeito ou eu transcendental.

Ao contrário dos exemplos anteriores, em que se apresentou um modelo aparentemente acabado de

cada uma das lógicas, no caso das Lógicas de Crenças, uma lógica epistêmica ou lógica modal, vai-se

caminhar na busca construtiva de um modelo que possa satisfazer-nos, pelo menos, em parte.

7.4.1.- Conjuntos de Crenças, Sistemas de Crenças

O termo crença é tomado, nesta Lógica, no seu mais amplo sentido, o de convicção pessoal.

Assim, um conjunto de crenças contém conhecimentos, hipóteses confirmáveis e hipóteses que poderiam,

mas ainda não foram falseadas, além daquilo que entendemos comumente como crenças.

Um sistema de crenças é constituído de sentenças chamadas crenças e dos valores a elas

associados, podendo ser, este sistema, ainda acrescido, por exemplo, de um agente psicologicamente ou

mecanicamente sensível ou ainda, acrescido de um universo de ação denominado conjunto de mundos

possíveis.

O valor associado a uma crença pode ter fundamentos irracionais, como por exemplo, emocionais

ou intuitivos; podem ter fundamentos racionais, tais como valores baseados no pragmatismo, ou seja, em

experiências anteriores.

As crenças podem ser de dois tipos: as crenças explícitas, compreendidas aqui como

imediatamente acessíveis, e as crenças implícitas acessíveis por meio de dedução

Crenças pertencentes a um conjunto de crenças podem ser mudadas, substituídas ou até mesmo

eliminadas; também seus valores podem ser mudados a qualquer tempo em função de novas experiências

ou, no caso de termos em nosso sistema um agente, de meras necessidades de mudança no agente ou no

universo de ação, ou até mesmo, de mudanças de agente ou do universo de ação. No entanto um sistema

de crença incorpora componentes estáveis: procedimentos dedutivos que garanta a derivação de crenças

implícitas a partir das crenças explícitas e procedimentos de manutenção que gerenciem de forma eficiente

e eficaz as mudanças no conjunto de crenças.

Não é difícil entender que a obtenção de crenças implícitas a partir das crenças explícitas, as

derivações, quando muito complexas tornam a verificação dos resultados imprevisível, quando não,

impossível.


7.19

7.4.2- Analisando Sistemas de Crenças

Organizar experiências e resolver problemas, esta é uma das finalidades mais amplas de um

sistema de crenças. Assim sendo, teremos que poder verificar em algum tempo:

(a) a correção e completude do conjunto de crenças;

(b) a eficiência e eficácia dos procedimentos de dedução;

(c) a adaptabilidade do conjunto de crenças em face de novas experiências;

(d) a existência ou não de um agente experienciador ou de um universo de ação;

(d.1) se o agente experienciador tem sensibilidade psicológica e/ou mecânica;

(d.2) se leis próprias desse universo (ou mundo) devem ser levadas em conta em tempo de

resolução do problema;

(d.3) se experienciação do agente é meramente introspectiva ou se o agente está situado

num dado universo.

7.4.3.- Modelagem de um Conjunto de Crenças

A maneira mais ingênua de modelar a Lógica Sentencial de Crenças é através dos Conjuntos de

Crenças. Seja estabelecer que L é uma linguagem proposicional. Então, um conjunto de crenças de um

agente “α” é um subconjunto de sentenças “φ“ de L. Assim, pode-se estabelecer que “α acredita que φ“,

ou seja, Acredita αααα(φφφφ), sendo φ uma sentença de L, se e somente se, φ pertence ao conjunto de crenças de

α. Na notação: Acredita αααα(φφφφ), “Acredita” é denominado operador modal da Lógica de Crenças. Outro

operador modal para a Lógica de crenças é “Conhece”, cuja notação é: Conhece αααα(φφφφ). Mais à frente vai-

se estabelecer a relação entre estes dois operadores.

Um dos problemas com este modelo inicial é que nada se assume sobre o que seja exatamente uma

crença, e mais, nada impede que o agente possa ter crenças algo contraditórias, e que também possa

acreditar em sentenças inconsistentes, como por exemplo, a pode acreditar que “ P ∧ ¬ P “ seja

verdadeira.



7.20

7.4.4.- Mundos Possíveis

A Lógica de Crenças tem com Hintikka [Hintikka 1962] uma ampla formalização envolvendo o

conceito de “mundos possíveis”. Hintikka estabelece que W é um conjunto de mundos alternativos,

w w w w i0 1 2, , , ... , , ... , ou seja, o conjunto de todos os mundos possíveis na interpretação do mundo real

w. O conhecimento e as crenças de um agente α que esteja situado num mundo real w, consiste num

subconjunto W’ de W. W’ é o conjunto de todas as interpretações possíveis do mundo real w de acordo

com as concepções de α. Assim, o agente α conhece ou acredita em algo em w, se e somente se, este

algo é verdade em todos os mundos contidos em W’. Pode-se assim, notar Wα = W’ ⊂ W, onde Wα ou

W’ é o conjunto de mundos onde estão as verdades para α.

Uma observação pertinente é a seguinte: W é um conjunto de todos os mundos possíveis,

distorcidos ou não, ao se tentar interpretar o mundo real w. Assim fica evidente que W’ depende única e

exclusivamente do “entendimento” que o agente α tenha do mundo real w. Assim, os mundos

w w w w i0 1 2, , , ... , , w w wk l m, , , ... que passam a fazer parte do conjunto W de mundos possíveis são

criações dinâmicas dos agentes α, β, γ, δ, ... . Formalmente poderíamos ter para estes agentes α, β, γ, δ, ...

que W = W W W Wα β γ δ∪ ∪ ∪ ∪... .

Neste modelo, parece que seria evidente que o agente sempre acreditasse ou conhecesse as

conseqüências lógicas de suas crenças ou do seu conhecimento, isto é, se “α acredita em φ”, e “se φ

implica ψ”, então teremos que “α acredita em ψ” e, ainda, se “α conhece φ”, e “se φ implica ψ”, então

teremos que “α conhece ψ”. No entanto, pode-se ver que isto não reflete o que verdadeiramente ocorre na

prática, e aí está um problema a ser resolvido. Outro problema, com este modelo, reside no fato de se

saber como é que o agente “entende” ou “interpreta” duas sentenças φ e ψ cujas sintaxes sejam distintas

(frases completamente diferentes em termos de construção lingüísticas) que, no entanto, queiram dizer a

mesma coisa ou, em outras palavras, tenham a mesma intenção ou o mesmo significado lingüístico no

mundo real w.

Apesar desta caminhada em termos de modelagem da Lógica Sentencial de Crenças ainda

restam muitas coisas a serem estabelecidas.


7.21

7.4.5.- Melhorando o Modelo da Lógica Sentencial para Crenças

Tomando-se a concepção de Hintikka para os mundos possíveis e a concepção de sentenças

equivalentes em termos de intenção, pode-se melhorar o modelo até aqui proposto para a Lógica

Sentencial de Crenças.

Vai-se supor que W seja um conjunto de todos os mundos possíveis, como anteriormente

estabelecido. Seja tomar uma sentença φ satisfatível no mundo real w. Pretende-se estabelecer nesta

modelagem que, uma sentença φ pode ter qualquer tipo de formulação sintática sem que, no entanto, isto

possa dificultar a identificação de φ pelo agente. Assim, diz-se que φ não é determinada pela formulação

sintática, mas tão-somente pela intenção estabelecida ou conferida por α à sentença φ. Em outras

palavras, a sentença tem sua significação estabelecida pela intenção que α descobre ou reconhece em φ.

Neste tipo de modelo sentencial para a Lógica de Crenças, se o agente acredita em φ, ele obviamente

acredita ψ, desde as sentenças φ e ψ, apesar de sintaticamente distintas, transmitam a mesma intenção. No

caso de duas sentenças sintaticamente distintas que apresentam para α a mesma intenção, ele acredite ou

não nelas, diz-se que está estabelecida uma identidade entre as sentenças φ e ψ, ou seja, o agente não

discerne entre φ e ψ, ou seja, para o agente φ = ψ.

Desta forma, estabelecida a igualdade de duas sentenças a partir da intenção, ou seja a identidade

entre as sentenças, pode-se estabelecer que a semântica desta linguagem passa a ser dada pelos valores

verdade atribuídos às sentenças pelo agente em termos de crença ou conhecimento, ou seja, os valores

verdade são estabelecidos por α em função dos operadores modais. A partir daqui, quando se escrever “φ

= ψ“ deve-se entender que φ e ψ são equivalentes em termos de valores lógicos no mundo real w, ficando

fora de cogitação o que significam e qual o valor lógico a ser atribuído a φ e ψ pelo agente. No entanto,

quando isto puder provocar dúvida, poder-se-á utilizar “Vw (φ) = Vw (ψ)”, indicando que as sentenças

distintas ou não, possuem o mesmo valor “Verdade”, “V” no mundo real w, ou ainda, “Vα(φ) = Vα (ψ)”,

se o mesmo valor lógico é atribuído às proposições, pelo agente α, independente do valor lógico que as

mesmas tenham no mundo real w.

Pode-se propor, ainda, a partir do que se estabeleceu até o momento, em termos de modelagem

para a Lógica de Crenças, o seguinte:



7.22

(1) Acredita αααα(φφφφ) só pode assumir os valores lógicos Verdadeiro ou Falso (V ou F)

independente do valor lógico de φ no mundo real w.

(2) “Acredita αααα(φφφφ) ∧∧∧∧ (φφφφ = ψψψψ)” não acarreta que “Acredita αααα(ψψψψ)”, ou seja, o agente α

acredita que φ mas não necessariamente acredita em ψ, mesmo que φ e ψ tenham o

mesmo valor lógico no mundo real w. Admitir esta possibilidade como válida

poderia acarretar uma série de absurdos.

(3) Sejam φ e ψ duas sentenças distintas de mesmo valor lógico no mundo real w, e que

seja reconhecido pelo agente α apenas que φ e ψ têm intenções distintas, podendo

ocorrer que, para α, Acredita αααα(φφφφ) e Acredita αααα(ψψψψ), sejam tomadas como sentenças

de valores lógicos distintos, ou seja, para α, φ e ψ são tomadas, quando crenças,

como tendo valores distintos, apesar de terem no mundo real w, o mesmo valor

lógico, que poderá ser notado como: “Vα(φ) ≠ Vα (ψ)” apesar de que “Vw(φ) = Vw

(ψ)”.

7.4.6.- Tentando Alguma Formalização da Lógica Sentencial para Crenças

Além das sugestões de modelagem anteriormente propostas pode-se ainda tentar

a criação de um modelo formal [Genesereth 1987]. As idéias a seguir são apenas

sugestões, acredita-se que não cabe no escopo deste texto uma formulação mais ampla

deste modelo.

7.4.5.1.- Fórmulas-Bem-Formadas

Adota-se as f b f (fórmulas-bem-formadas) da Lógica de Primeira Ordem chamando-as de “f b f

ordinárias”. Sendo α um agente (termo primitivo) e φ uma f b f ordinária.

Leis de formação das f b f na lógica de crenças


7.23

( i ) Toda f b f ordinária da lógica de primeira ordem é uma f b f da lógica de crenças.

( ii ) Se φ é uma f b f ordinária fechada e α é um termo primitivo, então Acredita αααα(φφφφ) é uma f b

f.

(iii) Se φ e ψ são f b f que têm a mesma intenção - intenção esta, descoberta, reconhecida ou

estabelecida pelo agente -, elas são f b f semanticamente equivalentes, isto é, são sinônimas.

( iv ) Se φ e ψ, semanticamente distintas, são f b f's, então, são f b f todas as fórmulas construídas

com φ e ψ utilizando-se os conectivos usuais da lógica de primeira ordem.

Contra-exemplos: Não são f b f da lógica de crenças as seguintes sentenças

(1) “Deve existir um x, tal que R acredite que x, caso exista, tenha a propriedade P.”

∃x Acredita(R, P(x) ) - P(x) não é fechada no escopo de Acredita.

(2) “R1 acredita que R2 acredita que A tem a propriedade P.“

Acredita(R1 , Acredita( R2 , P(A)) - Acredita( R2 , P(A)) não é f b f ordinária.

(3) Acredita( ( ∃x G(x) ), P(A) ) - ∃x G(x) não é um termo.

Exemplos: São f b f da lógica de crenças as seguintes sentenças

(1) “R acredita que existe um x que tem a propriedade P.”

Acredita(R, ∃x P(x) ) - P(x) é fechada no escopo de Acredita.

(2) “É verdade que A tem a propriedade P então R acredita na existência de pelo menos um que tem a

propriedade P.”



7.24

P(A) ⇒⇒⇒⇒Acredita(R, ∃x P(x) )

(3) “É verdade que A tem a propriedade P então R acredita na existência de um x que tem a

propriedade P.”

P(A) ⇒⇒⇒⇒Acredita(R, P(x) )

7.4.5.2.- Operadores Modais

Pode-se estabelecer numa dada modelagem que os dois operadores modais Acredita e Conhece da

Lógica de Crenças se relacionam através da seguinte igualdade:

Conhece αααα(φφφφ) = Acredita αααα(φφφφ) ∧∧∧∧ φφφφ.

O leitor atento poderá descobrir o que a igualdade acima quer dizer. E acreditamos, que ele poderá

verificar, sem nossa ajuda, o seguinte: se φ é válida e se α acredita em φ , então α conhece φ. O que

queremos enfatizar aqui é que φ deverá ser válida no mundo real w.

7.4.5.3.- Propriedades das Crenças

Exibe-se ainda, a seguir, a título de exemplo, alguns axiomas que poderiam ser adotados na

tentativa de uma modelagem mais rigorosa da Lógica de Crenças. O que leitor irá notar é que, a adoção

destes axiomas no modelo, acarretaria a necessidade de várias modificações no que já se estabeleceu até

aqui. Caberia ainda verificar se os axiomas aqui sugeridos são ou não convenientes, e quais as

conseqüências para o modelo, a partir da adoção de cada um deles ou de todos eles.

Axioma 1: O agente não acredita em contradições, isto é, ¬¬¬¬Acredita αααα(Falso).

Axioma 2: Se um agente acredita em algo, então ele sabe que acredita em algo, isto é,

Acredita αααα(φφφφ) ⇔⇔⇔⇔ Acredita αααα( Acredita αααα(φφφφ) ) ⇔⇔⇔⇔ Conhece αααα(Acredita αααα(φφφφ) )

Axioma 3: O agente não pode conhecer algo falso, isto é:


7.25

Conhece αααα(φφφφ) ⇒⇒⇒⇒ φφφφ.

7.5.- A Lógica Intuicionista

A Lógica Intuicionista ou Lógica Construtivista é o resultado de um amplo movimento filosófico

denominado Intuicionismo iniciado em 1908 por L. E. J. Brouwer - Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-

1966), um brilhante matemático holandês.

7.5.1.- A Lógica Intuicionista como um paradigma para o pensamento lógico

Na Lógica Clássica um valor lógico (verdadeiro ou falso) é atribuído a uma fórmula qualquer A,

sempre num sentido abstrato. Na Lógica Intuicionista, uma fórmula somente será considerada verdadeira

se esta verdade puder, de fato, ser provada. Como um exemplo desta diferença, cita-se normalmente o

princípio do terceiro excluído (P∨¬P) que sendo considerado válido na Lógica Clássica, não o é na Lógica

Intuicionista. Vejamos o porquê: como, na Lógica Intuicionista, a validade de uma fórmula está associada

à sua provabilidade (decidibilidade), se na fórmula “P∨¬P”, a sentença P não puder ser provada, surge um

problema com o símbolo “¬P” que passará a ser a negação de uma sentença que não pode ser provada. Se

P não pode ser provada, o símbolo “¬P” não representa, para os intuicionistas, que a negação de P, “¬P”,

possa ser uma sentença que passe a poder ser provada.

Os sistemas computacionais que operam com processamento lógico-simbólico devem obter uma

resposta e não apenas apontar que existe uma resposta. Assim, há fortes motivos para se utilizar a Lógica

Intuicionista na prática.

As seguintes sentenças são tautologias da Lógica Clássica:

• Lei do Terceiro Excluído: (P∨¬P)

• Lei de Pierce: ((P→Q)→P)→P

• Inserção da dupla negação: P → ¬¬P

• Eliminação da dupla negação: ¬¬P → P

no entanto, na Lógica Intuicionista apenas a dupla negação pode ser inserida, mas não pode ser eliminada.

Como se viu acima, a negação na Lógica Intuicionista difere frontalmente da negação na Lógica Clássica.

Na Lógica Clássica, ¬P significa que, se P é verdadeira, ¬P é falsa, na Lógica Intuicionista, ¬P significa

que a prova de P é impossível. A eliminação da dupla negação é impossível, pois ¬¬P significa que não

existe prova de que a prova de P é impossível, ou seja, não existe prova de que não se pode provar uma

sentença que já foi provada.



7.26

7.6.- A LÓGICA DIALÉTICA

Ao rejeitar os princípios tanto da identidade como da contradição, levando em conta a dinâmica e

as contradições da realidade, a lógica dialética representa uma reação à lógica clássica. A dialética surgiu

inicialmente na Grécia como sendo a arte do diálogo. A dialética encontra suas raízes na filosofia de

Heráclito de Éfeso (540-480 a.C.).

Modernamente na dialética, que é uma lógica paraconsistente, o pensamento se desenvolve

através de uma tese à qual se opõe imediatamente e de forma dinâmica a antítese, que permitirá, de uma

certa forma, produzir a síntese. Assim a síntese irá se constituir novamente em uma tese, que irá provocar

uma nova antítese, e o processo se desenvolve em função do tempo. Este conflito, a contradição entre a

tese e a antítese, é o cerne do pensamento dialético, pois é exatamente deste pensar e repensar que surge a

síntese.

tese

antítese

síntese

DIALÉTICA

7.6.1.- A Dialética

É Sócrates quem dá realce ao método dialético na busca da verdade. Para Sócrates a verdade se

encontra no próprio homem, é inata. Assim, ele busca através de perguntas bem direcionadas, extrair a

verdade do interlocutor. No entanto com Sócrates o método é chamado simplesmente diálogo. Com Platão

o diálogo passa a ser um monólogo. Com Platão a dialética é um esforço pessoal genuíno de buscar a

verdade que se acha adormecida na mente de cada um, já que para ele a verdade está no próprio homem, é

inata, faz parte da mente humana e pode ser acessada sob a forma de apelo à memória ou sob a forma de

recordação. Tanto para Sócrates como para Platão, e ainda para Aristóteles, a verdade seria estática, ou

seja, eles consideravam o princípio da identidade ( "O que é, é."). Assim, a palavra dialética não

assumiria, ainda, o significado concebido por Heráclito.


7.27

É famosa a seguinte concepção de Heráclito: um homem não toma banho duas vezes no mesmo rio,

pois na segunda vez, o rio não será o mesmo e nem o homem será, também, o mesmo. Já para Aristóteles

seria Zénon de Eléa (490-430 a.C.) o fundador da dialética [Konder 1982].

É com Hegel (1770/1831- Alemanha) que a dialética retoma suas origens. Raciocinar ou pensar,

com Hegel, significará a formulação de uma afirmação, a tese. Imediatamente, a razão busca falsear a

tese, através de uma antítese. Este conflito cria uma situação insustentável para a razão provocando uma

busca de solução que unifica a tese e a antítese naquilo que se chama síntese. E novamente a síntese,

entendida como uma nova tese, provoca o reinício do processo.

Enquanto Hegel atribui o processo dialético à razão, Marx, apesar de inspirado no esquema

dialético hegeliano, atribui à natureza e à matéria o motor do processo dialético. Quando a dialética de

Marx passa à História o processo dialético é pensado como sendo desencadeado, e movido, pela natureza

e pelo econômico e, neste caso, a sua dialética é chamada Materialismo Histórico, já em Hegel temos uma

dialética idealista.

7.6.3.- Voltando a Hegel

Para Hegel a dialética tem três leis fundamentais:

[1a] Lei da Interpenetração dos Contrários:

Todas as coisas estão correlacionadas umas com as outras, e estes correlacionamentos se dão até

mesmo entre os contrários. É desta forma que se pode estabelecer aqui que, mesmo entre a afirmação e a

negação da afirmação, há uma interpenetração. As coisas não podem ser compreendidas de forma isolada:

a verdade tem algo de falso e o falso tem algo de verdade. Mesmo em assim não sendo, é preciso levar em

conta os contrários para se entender as conexões, o contexto. Idéias opostas, ou fatos, que se encontrem

em oposição, para a Dialética são considerados faces distintas de uma mesma questão, são partes de uma

mesma unidade.

[2a] Lei da Negação da Negação:

A forma de se obter a verdade através dialética parte da tese (a afirmação) acarretando a antítese (a

negação da tese), mas a conclusão se dá com a negação da negação, a síntese. As transformações são

provocadas pelas contradições, ou seja, é a negação que gera o movimento que impele à reflexão e à

possibilidade transformação. É a dupla negação que faz surgir um elemento novo, a síntese.

[3a] Lei da Transformação da Qualidade em Quantidade (e vice-versa):

Quando ocorrem mudanças elas não se dão sempre de forma linear ou previsível, num mesmo

ritmo ou cadência. As mudanças podem ser bruscas, ou seja, podem ocorrer através de saltos. Quando se



7.28

trata de mudança, a qualidade está ligada diretamente à quantidade e vice-versa. As alterações ou

transformações, por pequenas que sejam, estão ligadas à quantidade enquanto os saltos abruptos dizem

respeito à qualidade. É preciso refletir muito sobre esta terceira lei e buscar exemplos para melhor ilustrá-

la. Um exemplo interessante da quantidade afetando a qualidade se dá com a água que passa do líquido

para o sólido de forma abrupta quando se diminui a temperatura. Outro exemplo prático é visível nas salas

de aula: porque o número de alunos por sala de aula é limitado por exemplo a um máximo de 40. Porque

não podemos colocar numa sala de aula: 41, 42, 43, ..., 60 alunos. Quando é que o número de alunos numa

mesma sala de aula deixa de ser controlável pelo professor dentro dos atuais parâmetros educacionais, ou

seja quando é que a quantidade de alunos por sala rompe o equilíbrio afetando a qualidade do ensino.

Seria ideal, então, salas de aulas com 2, 3, 4 , ..., 10 alunos?

7.7.- A BUSCA DA VERDADE. VERDADE?

Buscar a verdade nas ciências exatas, humanas ou da natureza é, de forma abrangente, uma função

da Lógica das Ciências ou da Metodologia. A busca da verdade de modo pessoal, ou a busca da nossa

verdade, ou da verdade dos seres em si mesmos, tem muito a ver com a dialética.

Assim, tentando motivar a reflexão do leitor, daremos um exemplo: pede-se a alguém para ir

buscar num quarto muito escuro um objeto que deve escolhido entre vários iguais a ele. No entanto

afirma-se que o objeto é preto. A pessoa entra no quarto e toma nas mãos o objeto preto, ao sair nota que o

objeto é verde escuro. Onde estava a verdade? A verdade lógica é: o objeto é preto, pois seria muito

difícil distinguir um objeto verde-escuro naquela situação, mas a verdade que seria obtida dialeticamente,

ou ainda mais profundamente, a verdade ontológica é: o objeto é verde escuro. A ontologia é a parte da

filosofia que trata da verdade essencial das coisas.

O exemplo anterior nos mostra que a verdade total pode estar submersa e deve ser buscada

dialeticamente. Somente como referência poderíamos citar os tipos de verdade [Nérici 1978]: a verdade

lógico-formal, a verdade objetiva, a verdade ontológica e a verdade moral. A verdade objetiva é aquela

que reflete a observação direta de fenômenos e a verdade moral se refere ao agir.


7.29

7.8.- Sumário do Capítulo 7 São três os princípios da Lógica denominada Clássica:

Princípio da Identidade: ∀x, x ⇔ x; Princípio da Não-contradição: ∀x, ¬¬(x) ⇔ x ou ainda: ¬∃x, x ∧¬x Princípio do Terceiro Excluído: ∀x, x ∨ ¬x

Neste capítulo são discutidas as lógicas que rivalizam com as lógicas clássicas, as chamadas lógicas heterodoxas, que surgem da seguinte idéia: ao se derrogar um dos três princípios. Alguns autores denominam, algumas destas lógicas, como Lógicas da Incerteza, onde e quando os raciocínios devem ser realizados apesar da incompletude das informações conseguidas.

As lógicas heterodoxas podem ser dos tipos paracompletas ou paraconsistentes. O prefixo grego “para” significa: perto de, ao longo de, em direção a, contra, desviado de etc. Segundo Lalande [Lalande 1993] este prefixo, modernamente, serve para indicar o desvio do modelo considerado como normal ou, desviado dos padrões ou dos modelos usuais.

• Chama-se lógica paracompleta aquela em que se elimina o Princípio da Não-contradição ou se elimina o Princípio do Terceiro Excluído. No caso da eliminação do Princípio do Não-contradição, podem ocorrer proposições tais que nem elas nem suas negações sejam verdadeiras, ou que elas e suas negações sejam verdadeiras (daí a incompletude). No caso da eliminação do Princípio do Terceiro Excluído é que surgem as chamadas lógicas de mais de dois valores, as lógicas de múltiplos valores, e ainda as lógicas de infinitos valores, ou lógicas multivaloradas. • Chama-se lógica paraconsistente aquela em que se eliminou o Princípio da Identidade. Esta lógica é inconsistente (daí a paraconsistência) porque entre os seus teoremas pode existir pelo menos dois teoremas, um sendo a negação do outro, o que seria impossível na lógica clássica.

Neste capítulo são apresentados alguns exemplos de Lógicas Paracompletas e um exemplo de

Lógica Paraconsistentes: Lógicas Trivalentes [1], a Lógica dos Múltiplos Valores [2] e Lógica

Nebulosa [3]; além destas, são ainda apresentadas a Lógica Modal [4], a Lógica Intuicionista [5] e a

Lógica Dialética [5]. As Lógicas [1], [2], [3], [4] e [5] são lógicas paracompletas enquanto o exemplo

[6] é o de uma lógica paraconsistente.

Capítulo 8 – Versão 1.2 - março de 2004

Teoria Informal dos Conjuntos

8.1

Capítulo 8


Neste capítulo, são apresentadas algumas idéias da Teoria Informal dos Conjuntos devida a George Cantor, seguidas da proposição e demonstração de algumas propriedades fundamentais. No próximo capítulo, o Capítulo 9, são apresentados e comentados, de forma suficientemente clara, os axiomas que dão sustentação à Teoria Axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel, sendo que a Teoria Axiomática dos Conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel será rapidamente apresentada.

8.1.- Introdução

Entre 1871 e 1884, George Cantor desenvolveu a Teoria dos Conjuntos. Ela não foi

desenvolvida de forma axiomática, por isto iremos denominá-la Teoria Informal dos Conjuntos.

Apesar do brilhantismo com que Cantor expôs suas idéias, alguns matemáticos passaram a

encontrar e a apontar contradições que poderiam, de alguma forma, invalidar muitas daquelas idéias. A

mais famosa destas contradições é conhecida como Paradoxo ou (Antinomia) de Russel; devida a

Bertrand Russel, aponta que: apesar do que afirmava Cantor, era impossível haver um conjunto de

todos os conjuntos, pois este conjunto deveria possuir a si mesmo como elemento, o que geraria um

círculo vicioso. Foram contradições como esta, e várias outras, menos conhecidas e menos famosas,

que levaram outros matemáticos a propor a axiomatização da Teoria dos Conjuntos1.

A primeira apresentação axiomática da Teoria dos Conjuntos se deve a Ernest Friedrich

Ferdinand Zermelo com base em sete axiomas que incluía o axioma da escolha. Adolf Abraham

Halevi Fraenkel introduziu um outro axioma na teoria de Zermelo passando a partir daí ser, esta

teoria, conhecida como Teoria de Zermelo-Fraenkel – muito citada em inglês como ZF-Theory. Esta

teoria recebeu ainda outras modificações sugeridas por Thoralf Skolem [Stoll 1961], sendo que

eventualmente pode aparecer citada como Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Skolem.

A abordagem axiomática da Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel, apesar de muito

popular, não é a única. Outra teoria axiomática dos conjuntos bastante citada é a de John von

Neumann, uma teoria que, simplificada por Paul Bernays, ao receber contribuições de Gödel, passou a

ser conhecida como Teoria Axiomática dos Conjuntos de von-Neumann-Bernays-Gödel (Teoria dos

Conjuntos NBG). Há outras teorias axiomáticas dos conjuntos menos conhecidas e menos citadas,

Tópicos de Álgebra Moderna Elementar – Aury de Sá Leite 8.8.8.8.2222

como a de Morse-Kelley2 (MK), a de Tarski-Grothendieck (TG) e as duas teorias axiomáticas dos

conjuntos desenvolvidas por Willard Quine, sendo que na última delas, uma contradição apontada por

J.B. Rosser foi eliminada por Hao Wang [Mora 1994].

Paul R. Halmos expôs a Teoria dos Conjuntos num pequeno livro denominado “Teoria

Ingênua dos Conjuntos” [Halmos 1960]. Neste livro Halmos apresenta, com base nas idéias de Cantor

e de Zermelo, os axiomas e, a partir deles, prova alguns poucos, mas importantes teoremas.

Um outro trabalho notável sobre a teoria de Zermelo-Fraenkel, publicado sob o título: “Teoria

Axiomática dos Conjuntos: uma introdução”, de autoria de dois professores do Câmpus da UNESP

de Presidente Prudente, Sebastião Antonio Izar e Wilson Maurício Tadini [Izar & Tadini 1998], foi

utilizado como base para um curso ministrado no Curso de Licenciatura em Matemática daquela

Instituição.

8.2.- Noções Fundamentais

Serão expostas e comentadas a seguir algumas das noções fundamentais da Teoria dos

Conjuntos formulada por George Cantor.

8.2.1.- Conjuntos e Elementos

Cantor “definiu” conjunto da seguintes maneira [Mora 1994]:

“Um conjunto é uma coleção num todo, de objetos determinados, que sejam percebidos ou

compreendidos por nós como distintos, denominados elementos do conjunto”.

Em seu livro “Discrete Mathematics and Its Applications”, após uma imensa digressão sobre o

que possa ser um conjunto sem, contudo, defini-lo, Kenneth H. Rosen [Rosen 1991] apresenta,

finalmente, a sua “Definição 1”:

“Os objetos em um conjunto são também chamados elementos ou membros do conjunto”.

“É dito que um conjunto contém seus elementos”..

No entanto, para aquilo que pretendemos no nosso curso, será conveniente tomarmos a noção de

conjunto como sendo intuitiva, ou mais, iremos tomá-la como conceito não definido, ou seja, uma

noção primitiva da teoria. Também, as noções de elementos de um conjunto e a de pertinência (ou

não) de um dado elemento a um conjunto, serão tomadas como intuitivas ou primitivas.

1 Informações bastante detalhadas (em inglês) sobre: George Cantor, Set Theory, Paradoxes, Zermelo Set Theory, Zermelo-Fraenkel Axioms, von Neumann-Bernays-Gödel Set Theory, Skolem, e sobre os axiomas da Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel - podem ser encontradas no site: http://mathworld.wolfram.com/. 2 O leitor encontrará em alguns outros autores: Kelley-Morse (KM)



8.3

8.2.2.- Determinação de um Conjunto

Na figura a seguir, são apresentadas algumas das diversas formas de representação de um mesmo

conjunto:

[3] Diagrama de Venn-Eüler:

A

a e

o i u

Seja Considerar: A é o conjunto das vogais da Língua Portuguesa.

[1] A = { a, e, i, o, u } = { i , o, u, a, e } = {a, a, e, i, i, i, o, u, u }

[2] A = { x | x é uma vogal do alfabeto, da Língua Portuguesa}

Figura 1.- Formas de representação de um conjunto

• A forma de representação [1] é denominada forma de listagem, onde os elementos do conjunto

são apresentados um a um, separados por vírgulas, sob a forma de uma lista linear não

necessariamente ordenada.

• Na forma de representação [2] o conjunto A passa a ser referido pela propriedade de seus

elementos, e a leitura é a seguinte: “A é igual ao conjunto dos x, tal que x é uma vogal da

Língua Portuguesa”. Aqui o x é uma variável que representa cada um dos elementos cuja

propriedade é a de ser uma vogal do alfabeto da Língua Portuguesa, o que não nos permitirá

incluir, no conjunto A, o y como vogal.

• A forma de representação [3] apresenta o conjunto através de um diagrama de Venn-Eüler,

muito usado na prática para concretizar as propriedades e as operações entre conjuntos, como

se verá mais à frente.

• Considerando x um elemento qualquer de um conjunto qualquer X, estabelecendo que a

proposição “¬¬¬¬(x∈∈∈∈X)” possa ser escrita resumidamente como: “x∉∉∉∉X”, e recorrendo à Figura 1

acima, podemos escrever: a∈∈∈∈A, 3∉∉∉∉A e b∉∉∉∉A, que poderão ser lidos (indiferentemente) como:

“o elemento a pertence ao conjunto A”, “3 não pertence a A” e “b não é elemento do

conjunto A”.

• Pode-se ainda observar na Figura 1, as duas propriedades mais notáveis dos conjuntos, quando

apresentados sob a forma de listagem, isto é, os elementos separados por vírgulas entre

chaves:

(1a) os elementos de um conjunto, quando ele for apresentado sob a forma de listagem,

não precisam estar necessariamente ordenados;


(2a) a repetição de um elemento na “lista” não cria novos elementos;

é assim que tanto {a, e, i, o, u }, como { i, o, u, a, e} e { a, a, e, i, i, i, o, u, u} continuam

sendo o conjunto das vogais.

Nota Importante:

Sendo P(x) uma propriedade de uma variável x, podemos escrever um dado conjunto M

cujos elementos tenham em comum uma propriedade P, como sendo M = {x | P(x)} que é lido ou

entendido como: “M é o conjunto de elementos do tipo x, tal que x tem a propriedade P”.

Esta forma de representação de um conjunto é a melhor forma de determinação do mesmo,

ou seja: a determinação de um conjunto pela propriedade característica de seus elementos evita que

tenhamos que “listar” os seus elementos, o que às vezes poderá ser impraticável.

8.2.3.- Conjunto Vazios

A concepção de que conjuntos “devam possuir elementos” não nos impede de definir ou,

simplesmente, de adotar:

• conjuntos com apenas um elemento (os conjuntos unitários), como por exemplo

{x | x é a primeira letra minúscula do alfabeto grego} = {αααα}.

• conjuntos sem elementos (os conjuntos vazios), que serão representados por ∅∅∅∅ ou por { }.

Assim sendo, podemos escrever simbolicamente )}x(P)x(P|x{ ¬∧=∅ que poderemos adotar

como uma definição de conjunto vazio, lembrando da Lógica de Primeira Ordem (Lógica de

Predicados), a seguinte sentença: P(x) ∧∧∧∧ ¬¬¬¬P(x), que é uma contradição, como no exemplo a

seguir: “x é um número maior que 10” e ao mesmo tempo “x é um número menor ou igual

que 10”. Note que, se P(x) = “x é maior que10”, então ¬¬¬¬P(x) = “x não é maior 10” equivale a

“x é menor ou igual a 10”. É comum encontrar-se a seguinte definição de conjunto vazio:

}xx|x{ ≠=∅ em que não são utilizados símbolos da Lógica, mas símbolos algébricos.

8.3.- Conjuntos finitos e Conjuntos Infinitos – Cardinalidade

Um conjunto é finito, se possui exatamente n elementos distintos (n = 0, 1, 2, 3, 4, ...). Dos

exemplos dados até aqui, o conjunto das vogais, o conjunto vazio e os conjuntos unitário, são

finitos, mas existem aqueles cuja quantidade de elementos infinita.

8.3.1.-Definição de Cardinalidade de Um Conjunto

A cardinalidade de A é a quantidade de elementos distintos deste conjunto.



8.5

Para denotar a cardinalidade de um conjunto poderemos utilizar indiferentemente uma das

seguintes notações: n(A) ou #(A). Assim n(∅) = 0 ou #(∅) = 0; n(A) = 1 ou #(A) = 1 se A é um

conjunto unitário, se A é um conjunto com n elementos escreveremos #(A) = n ou n(A) = n.

Observar que: [1] #({a, e, i, o, u }) = #({ i, o, u, a, e}) = #( { a, a, e, i, i, i, o, u, u} ) = 5

[2] #( {x | x é a primeira letra minúscula do alfabeto grego} ) = #( {α} ) = 1.

[3] #(A) = 0 ⇔ A = ∅

8.3.2.- Exemplos de Conjunto Numéricos (Infinitos) Notáveis

A seguir serão apresentados os conjuntos numéricos: Naturais, Inteiros, Racionais, Reais e

Complexos. No Capítulo 11 este assunto será retomado, quando serão abordadas as formas de

construção destes conjuntos bem como uma de suas propriedades mais notáveis, a cardinalidade.

[1] Conjunto dos Números Naturais: ...} 5, 4, 3, 2, 1, {0,Ν = com ...} 5, 4, 3, 2, 1, {Ν* = = N – { 0 }.

[2] Conjunto dos Números Inteiros: ...} 4, 3, 2, 1, ,0{ ±±±±=Ζ

ou então: ...} 4, ,3, 2 1, , 0 1,- 4,-3,-2,- {..., Z =

com: } 0 {- Z ...} 4, 3, 2, 1, {* =±±±±=Ζ 2.1.- Conjunto dos Números Inteiros não negativos: Ν==Ζ+ ...} 5, 4, 3, 2, 1, {0, 2.2.- Conjunto dos Números Inteiros não positivos: ...} 5,- 4,- 3,- 2,- 1,- {0,=Ζ−

2.3.- Conjunto dos Números Inteiros positivos: ** ...} 5, 4, 3, 2, {1, Ν==Ζ+

2.4.- Conjunto dos Números Inteiros negativos: ...} 5,- 4,- 3,- 2,- 1,- {* =Ζ− �� Fórmula para obtenção dos números inteiros pares:

Zn 2n, k par número um é k ∈=⇔ �� Fórmula para obtenção dos números inteiros ímpares:

Ζ∈=∨+=⇔ n 1,-2nk 12n k ímpar número um é k

[3] Conjunto dos Números Racionais: }b,a,b

a x |{x 0}b ,b , a ,

b

a x |{x Q *Ζ∈Ζ∈==≠Ζ∈Ζ∈==

� Um número x é um número racional se, e somente se, ele pode ser escrito sob a forma de razão (ou de um quociente) entre dois números inteiros, onde o divisor não

seja zero, como por exemplo: ...5

25

2

10

1

55 ==

−

−== , assim, 5∈Q.

� Iremos provar mais à frente, no capítulo 10, que Q2 ∉ , isto é, 2 não é um número racional, ele é um número irracional. O conjunto dos números irracionais tem infinitos elementos, podendo-se citar como exemplos de números irracionais, os


seguintes: 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , ..., 3 2 , 3 3 , 3 4 , 3 5 , 3 6 , 3 7 , 3 9 , ..., π≅ 3,1415926535... (número pi), e ≅ 2,7182818284... (número de Eüler). � Os números irracionais são sempre decimais infinitos e não periódicos. Já os números racionais, números que podem ser escritos sob a forma de razão: ba com b≠0, podem gerar, quando se efetua a divisão de a por b, decimais exatos, ou então, decimais infinitos porém periódicos, denominadas dízimas periódicas. Vejamos alguns exemplos:

• 432,01000

432= é um número racional que pode ser expresso como um

número decimal finito, isto é, com uma quantidade finita de casas decimais.

• •

=== 6,06,0...666,03

2 e 936,0...936936936,0

333

312== são números

racionais que correspondem a números decimais infinitos periódicos simples, onde os períodos são, respectivamente, o 6 e a seqüência de dígitos 936. Estas são exemplos de dízimas periódica simples.

• 34,1...4333,130

43== é uma dizima periódica composta onde 1,4 é o não-

período (anteperíodo) e 3 é o período.

Notar que: nos exemplos acima, as frações 30

43 e

333

312 ,

3

2 são geratrizes de dízimas

periódicas. Quer-se saber, como, dado um número decimal periódico, simples ou composto, calcular a sua geratriz. Vejamos apenas o caso das dízimas periódicas

simples: Seja o número decimal periódico n21 d...dd,0D = então se multiplicarmos D por 10n, onde n é a quantidade de dígitos formadores do período, vamos obter:

n21n21n d...dd,d...ddD10 =× ⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒ Dd...ddd...dd,0d...ddD10 n21n21n21n +=+=× ⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒ n21n d...ddD D10 =−× ⇒⇒⇒⇒ ( n21

n d...ddD)110 =×− ⇒⇒⇒⇒ 110

d...ddD

nn21

−=

REGRA: A geratriz de uma dízima periódica simples, com a parte inteira igual a zero, é uma fração cujo numerador é o período e o denominador é um numeral formado por tantos dígitos nove quantos são os algarismos do período e de tantos

zeros quantos são as casas decimais nulas logo após a vírgula.

�� Tente justificar esta regra e, em seguida, elaborar uma regra ou uma estratégia para calcular as geratrizes de dízimas periódicas compostas. Sugestão: tente separar a parte anteperiódica da parte periódica. �� Ainda, de acordo com esta regra teremos que: 0,999... = 1, e ainda, 4,0999...= 4,01 justifique isto.

[4] Conjunto dos Números Reais: }Ni },... 3, 2, 1, {0,a ,a ...;a...aaa,a x |x{R *i0n3210 ∈∈Ζ∈==

�� Observar que: são números não reais, por exemplo, os da forma k a onde Zn 2n, k ∈= e *a −Ζ∈ .

[5] Conjunto dos Números Complexos: C = { z | z = a + b i, a∈R ∧ b∈R, i = i− } � onde a = Re(z) e b = Im(z), que devem ser lidos respectivamente como: “a é igual à parte real de z” e “b é igual à parte imaginária de z”.



8.7

�� Observação sobre os conjuntos numéricos: Os elementos dos conjuntos numéricos N, Z, Q e R

podem ser representados como pontos sobre uma reta, eles são conjuntos lineares. Já, os elementos do

conjunto C, necessitam de um plano para a representação de seus elementos, o plano onde estarão

localizados os números complexos é denominado Plano de Argand-Gauss.

8.3.3.- A Cardinalidade de Conjuntos Infinitos

� Os conjuntos que não são finitos são denominados infinitos. Os conjuntos de cardinalidade igual à cardinalidade do conjunto N são denominados enumeráveis.

� Veremos mais adiante que o conjunto dos números reais é não enumerável

No caso de um dado conjunto X não ser finito, ele será denominado infinito. Neste momento, a

partir de um exame detido do item anteriormente apresentado (Exemplos de Conjunto Numéricos),

pode-se observar pelo menos dois tipos de cardinalidade infinita: [1o] aquela que corresponde à dos

números naturais e [2o] aquela que corresponde à dos números reais.

Com um pouco de imaginação será possível estabelecer-se que há tantos números pares, ou

tantos números ímpares, por exemplo, quantos são os números naturais – bastando para isto examinar

o seguinte esquema:

Números Ímpares : 1 3 5 7 9 11 ...

Números naturais : 0 1 2 3 4 5 ...

Números Pares : 0 2 4 6 8 10 ...

O esquema acima pode ser justificado algebricamente, ou seja, poderemos encontrar uma

função que nos permita fazer corresponder cada um dos números pares a um número natural e uma

função que nos permita fazer corresponder cada um dos números ímpares a um número natural.

Vejamos:

[1] f:{x | x =2k, k∈N}→ N, dada por f(x) = 2

x = k

2

k2= , onde x poderá assumir os valores 0,

2, 4, 6, 8, 10, ... enquanto k será, respectivamente, igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

[2] g: {x | x =2k+1, k∈N}→ N, dada por g(x) = x = 2k+1, onde x podendo ser igual a 1, 3, 5,

7, 9, 11, ..., k assunirá os valores, respectivamente, igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...


Pode-se mostrar, da mesma maneira, que o conjunto dos números inteiros (Z) tem a mesma

cardinalidade de N, o que parece até bem intuitivo, se considerarmos o que foi visto acima, para os

números pares e para os números ímpares.

Consideremos o seguinte esquema que indica uma correspondência biunívoca entre os números

inteiros e os números naturais:

Números Pares : 0 2 4 6 8 10 ...

Números Inteiros: ... −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 ...

Números Ímpares : ... 9 7 5 3 1

cujos valores podem ser obtidos de forma bastante simples através da função: h:Z→N, que é definida

da seguinte forma: h(z) =

<+=

≥=

0 z para 1),-(2zn

0z para ,z2n

Comentário Importante:

Não parece ser tão intuitivo, ou tão fácil de mostrar, que o conjunto dos números racionais

(Q) tenha a mesma cardinalidade de N. Mais à frente, no Capítulo 10, iremos examinar a forma com

que Cantor provou que a cardinalidade do conjunto dos números racionais é a mesma do conjunto dos

números naturais. Também é devida a Cantor a prova de que a cardinalidade do conjunto dos números

reais (R) é superior à cardinalidade do conjunto dos números Naturais, ou seja, R é um conjunto não

enumerável. Isto também será mostrado.

8.3.4.- Conjuntos Enumeráveis e Conjuntos Contáveis

8.3.4.1.- Definição - Enumerabilidade

Se um conjunto qualquer X é eqüipotente3 a N (a cardinalidade de X é igual à cardinalidade do Conjunto dos Números Naturais) diz se que X é enumerável.

8.3.4.2.-- Definição – Conjuntos Contáveis

Diz-se que um conjunto é contável se ele é finito ou enumerável.

Observações: [1] Um conjunto é dito não enumerável se ele é infinito e sua

cardinalidade não é igual à cardinalidade de N.

[2] Um exemplo de conjunto não enumerável é o conjunto dos números reais. Isto será provado a seguir.

3 Dois conjuntos são ditos eqüipotentes quando têm a mesma cardinalidade.



8.9

8.3.5.- Exemplos de Conjuntos Vazio, Unitário e Conjuntos Universo

Como se viu anteriormente, a caracterização ou a “definição” do conjunto vazio se dá através

do uso de contradições, como nos exemplos já citados, em que se faz o uso da Lógica:

)}x(P)x(P|x{ ¬∧=∅ , ou quando se faz o uso da Álgebra: }xx |x{ ≠=∅ . Podem ser citados

outros exemplos, só que menos conhecidos, dentro desta mesma linha: A x,xA ∉∀⇔∅= ;

}1xx |x{ +==∅ ou }xx |x{ >=∅ . Com um pouco mais de conhecimento de Teoria dos

Conjuntos, podemos criar nossos próprios conjuntos vazios através da escolha de delimitações ou

restrições, tais como ocorre em }42 x x|x{ −=+∧Ν∈=∅ , onde a restrição fica por conta do

conjunto no qual deve ser buscada a solução para a equação x + 2 = −4. Veja que a raiz da equação

dada: x + 2 = −4 é x = −6, como −6∉N, só nos resta afirmar que a equação não tem solução (em N) e

com conseqüência temos ali um conjunto vazio.

Note que }6{}42 x x|x{ −=−=+∧Ζ∈ já não é mais um conjunto vazio, mas sim um conjunto

unitário, devido à escolha do campo de trabalho Z. Os conjuntos N e Z dos exemplos acima são os

conjuntos universo ou conjuntos de trabalho onde a solução de x + 2 = −4 deveria ser buscada.

8.4.- Igualdade de Conjuntos

8.4.1.- Definição

Dois conjuntos são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos.

Em símbolos: B))xA x(x( B A conjuntos, B e A ∈⇔∈∀⇔=

Observação

Dados A)))xBx(x( B))xA x(x(( BA conjuntos, B e A ∉∧∈∃∨∉∧∈∃⇔≠

8.4.2.- Teorema:

O conjunto vazio é único.

Prova

Sejam X e Y dois conjuntos vazios, isto é, X = ∅ e Y = ∅. Se assumirmos que X ≠ Y teremos,

então, que assumir, o seguinte: existe pelo menos um elemento que, estando em um destes conjuntos,

não poderá estar no outro. No entanto isto seria um absurdo, pois tanto X como Y são conjuntos sem

elementos. Assim, aquilo que assumimos inicialmente, que X ≠ Y, estava errado, levando-nos a

concluir que X = Y.


8.5.- Relação de Inclusão

8.5.1.- Definição

Um conjunto A está contido em (é subconjunto de) um outro conjunto B (superconjunto) se,

e somente se, todos os elementos de A são também elementos de B.

Em símbolos: B))xA x(x( BA conjuntos, B e A ∈⇒∈∀⇔⊂

�� Observação: O símbolo ⊂ é lido “está contido em” ou “é subconjunto de”.

8.5.2.- Teorema

O conjunto Vazio está contido (é subconjunto) em todos os conjuntos: A,A ⊂∅∀

Prova

Seja A um conjunto qualquer. Vamos assumir, por hipótese que ¬(∅ ⊂ A), isto é, ∅ ⊄ A. Se esta hipótese é verdadeira, teremos que admitir que existe um elemento pertencente ao conjunto ∅ que não pertence ao conjunto A. Mas φ não possui elementos, logo a hipótese é falsa, sendo verdade que

A,A ⊂∅∀ .

8.5.3.- Provar

∅ é o único subconjunto de ∅. ( Em outras palavras: ∀X, se X ⊂ ∅ então X = ∅ )

Comentários e Prova:

[1] A expressão “∀X, se X ⊂ ∅ então X = ∅” simbolicamente será dada por: ∀X(X ⊂ ∅ ⇒ X = ∅), onde X ⊂ φ é a Hipótese e X = ∅ é a Tese, ou seja, aquilo que queremos provar. [2] Vê-se que estamos diante de uma expressão da Lógica Proposicional do tipo4 “P ⇒ Q”, uma implicação, cujos valores verdade são apresentados na tabela ao lado: [3] Veja que se partirmos da negação de P, isto é tomarmos ¬P, poderemos chegar indiferentemente tanto a V como a F, pois, se numa implicação a premissa é falsa, a conclusão poderá ser falsa ou verdadeira, ou seja, nada se poderá concluir. [4] A forma de resolver isto é negar a conclusão (Modus Ponens5) e verificar que isto transforma a premissa num absurdo:

[4.1] ¬(X = ∅) ↔ X ≠ ∅. Se X é não é vazio, existe x ∈ X tal que X ⊄ ∅ o que nega a premissa (Hipótese).

4 Na verdade esta é uma expressão da Lógica Predicativa ou de Primeira Ordem: ∀x[P(x) ⇒ Q(x)], que por uma questão simplificação foi escrita como sendo uma expressão da Lógica Proposicional: P ⇒ Q. 5 Modus Ponens: ( (P→Q) /\ Q) ⇒ P, ou em outra notação:

P

Q,QP → , que deve ser entendido da seguinte forma:

“Se P → Q é verdade e P é verdade (premissas), então Q será verdade (conseqüência)”.

P Q P ⇒ Q V V V V F F F V V F F V



8.11

[4.2] Então a única forma de tornar a premissa verdadeira (X ⊂ ∅) é aceitar que X = ∅ (aceitar a Tese).

Comentário Importantíssimo:

Vamos partir do que afirmamos em [3] acima: seja negar P, isto é, seja adotar: X ⊄ ∅. Isto

somente se dará se ∃x∈X, porém isto não é suficiente para se chegar a X = ∅, poderíamos também

chegar em algo como X = {x | x = a} onde a é um elemento qualquer. Veja pela tabela de P ⇒ Q que,

se P é Falso, pode-se chegar a um Q Verdadeiro ou Falso, indiferentemente (!).

8.5.4.- Representação da Inclusão Através do Diagrama de Venn-Eüler

� Sejam A e B, dois conjuntos contidos em um mesmo conjunto

universo U, tal que B seja um subconjunto de A, isto é B ⊂ A. A

representação destes fatos através do diagrama de Venn-Eüler é

dada ao lado.

Observar na figura ao lado:

1. Todos os elementos de A e B pertencem a U: A ⊂⊂⊂⊂ U e B ⊂⊂⊂⊂ U.

2. Todos os elementos de B são elementos de A: B ⊂⊂⊂⊂ A. 3. Há elementos em A que não estão em B:

∃∃∃∃x∈∈∈∈A ∧∧∧∧ x∉∉∉∉B, ou seja: A ⊄⊄⊄⊄ B. 4. Há Elementos de U que não pertencem nem a A, nem a B:

∃∃∃∃x∈∈∈∈U(x∉∉∉∉A ∧∧∧∧ x∉∉∉∉B)

UA

Sejam, por exemplo:

U = {0,1, 2, ... , 10}= {x | x∈N, x ≤ 10}

A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

B={2, 6, 10}

10

6 2

B

8

4

0

51

3

7

9

8.5.5.- Teorema

A e B são conjuntos, B) (A A)B B(A =⇔⊂∧⊂ .

Prova

Se B))xA x(x( BA ∈⇒∈∀⇔⊂ e se A))x Bx(x( A B ∈⇒∈∀⇔⊂ logo BA ))Bx Ax(x(A))x Bx(x(B))x Ax(x( =⇔∈⇔∈∀⇔∈⇒∈∀∧∈⇒∈∀

8.5.6.- Propriedades da Relação de Inclusão

Será fácil provar as seguintes propriedades da Relação de Inclusão, tomando por base as provas dos teoremas anteriores:

(1) Reflexiva: AA ⊂ (2) Transitiva: CA)CBBA( ⊂⇒⊂∧⊂ (3) Anti-simétrica: B) (A A)B B(A =⇔⊂∧⊂

Observar: A propriedade (2) da Relação de Inclusão poderá ser mostrada (ou visualizada) através de um Diagrama de Venn-Eüler, sem que isto signifique uma demonstração.


8.6.- Conjunto das Partes de um Conjunto (Conjunto Potência de A)

8.6.1.- Definição

Dados A e B conjuntos, se A está contido em B ( BA ⊂ ) diz-se que A é uma parte de B.

Se BA e A com BA ≠φ≠⊂ diz-se que A é um subconjunto próprio de B.

Observação Importante:

O símbolo ⊆⊆⊆⊆ é utilizado por alguns autores no sentido de “está contido ou é igual a” enquanto

o símbolo “⊂⊂⊂⊂” só é utilizado o primeiro conjunto é um subconjunto próprio do outro, isto pode ser

colocado em símbolos:

Sendo A e B, dois conjuntos,

[1] (A ⊆⊆⊆⊆B) ⇔⇔⇔⇔ (A ⊂⊂⊂⊂ B ou A = B);

[2] A ⊂⊂⊂⊂ B ⇔⇔⇔⇔ (∀∀∀∀x∃∃∃∃y((x∈∈∈∈A ⇒⇒⇒⇒ x∈∈∈∈B) ∧∧∧∧( y∈∈∈∈B ⇒⇒⇒⇒ y∉∉∉∉A)), ou seja: A ⊂⊂⊂⊂ B, mas A ≠≠≠≠B.

8.6.2.- Definição

Dado A, um conjunto finito, chama-se conjunto das partes de A (ou conjunto potência de A), ao

conjunto de todos os subconjuntos X de A.

Em símbolos: P (A) = { X | X ⊂ A }, A um conjunto finito,

onde P (A) é lido conjunto das partes de A ou Conjunto Potência de A.

Observação

∀A, ∅ ∈ P (A) e A ∈ P (A)

8.6.2.1.- Exemplos de Conjunto da Partes de um Conjunto:

(1) Se A = {1, 2}, então P (A) } {1,2} (2}, {1}, ,{φ= (2) Se B = {a, b, c}, então P (B) } B c}, {b,c},{a, b},{a, , {c} {b}, {a}, ,{φ=

(3) P (∅) }{∅= . Notar que ∅ ≠ {∅} pois {∅} é um conjunto unitário.

(4) P ({∅}). }}{,{ ∅∅= note que os subconjuntos de {∅} são o conjunto vazio: ∅, e ele próprio:

{∅}.

8.6.3.- Teorema

Se A é subconjunto de B, então o conjunto das parte de A é um subconjunto das partes de B, e se o conjunto das parte de A é um subconjunto das partes de B, então A estará contido em B.

Em símbolos: A e B conjuntos, A ⊂ B ⇔ P (A) ⊂ P (B)



8.13

Prova

[1: ⇒⇒⇒⇒] Tem-se que: ∀ X∈P (A) ⇒ X ⊂ A, como A ⊂ B por hipótese, temos que: ∀X(X ⊂ A ⇒ X ⊂ B). Logo ∀X(X∈ P (A) ⇒ X∈ P (B)) ⇒ (P (A) ⊂ P (B)).

[2: ⇐⇐⇐⇐] Tem-se que: A∈ P(A) como P (A) ⊂ P (B) por hipótese, temos que A ∈ P (B) de onde

podemos tirar que: A ⊂ B. De [1] e [2] pode-se concluir o seguinte: A ⊂ B ⇔ P (A) ⊂ P (B).

8.6.4.- Teorema

A quantidade de conjunto componentes das parte de um conjunto A, com cardinalidade #(A) = n, será dada por 2n.

Em símbolos: #(A) = n ⇒ #(P (A)) = 2n

Neste texto adotaremos a notação #(A), sendo que é bastante comum encontrar-se, na literatura, a notação n(A).

Prova

A prova deste teorema é baseada no conceito de Combinações Simples aprendido no 2o ano do

Curso Médio (colegial) em Análise Combinatória. Sabemos que as combinações simples de n

elementos distintos tomados p a p é dada pela fórmula: Cn,p = !p)!pn(

!n

− o que pode também ter sido

estudado no Ensino Médio com o nome de Números Binomiais: !p)!pn(

!n

p

n

−=

, que será lido

número binomial n sobre p.

Observando-se atentamente o processo de formação de subconjuntos de um dado conjunto A, com

#(A) = n (vide os exemplos anteriores), vemos que podemos formar

1

nconjuntos unitários,

2

n

conjuntos com dois elementos,

3

n conjuntos com 3 elementos, até

−1n

n e, finalmente,

n

n que

resulta 1, e que corresponde ao próprio conjunto A com seus n elementos. Além disso, fazendo-se com

que o número binomial

0

n corresponda ao conjunto com “zero” elementos, o conjunto vazio,

poderemos escrever de acordo com a Teoria dos Números Binomiais:

#(P (A)) = +

0

n

1

n+

2

n+

3

n+ ... +

−1n

n+

n

n= 2n.


8.7.- Complementação de um Subconjunto

8.7.1.- Definição

Seja A um conjunto e B um subconjunto qualquer de A. Definimos complementar de A com relação a

B, notado C A B, todos os elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B.

Em Símbolos: Se B⊂ A, C A B = {x | x∈A ∧ x∉B}

8.7.1.1.- Exemplos

(1) Sendo A = { a, e, i, o, u} e B= {i, u} tem-se que: C A B = {a, e, o}

(2) Para qualquer A, C A A = ∅ e C∅ A= A. É evidente que C∅ ∅ = ∅.

(3) Sendo U o conjunto universo, C U A= CA A'A == = {x | x ∉A }.

8.7.1.2- Representação da Complementação de um Conjunto - Diagrama de Venn-Eüler

�� Sejam A e B dois conjuntos contidos em um mesmo

conjunto universo U, tal que B seja um subconjunto de

A, isto é B ⊂⊂⊂⊂ A.

Observar na figura ao lado:

1. C A B = {0, 4, 8}

2. C U A = CA A'A == = {1, 3, 5, 7, 9}

3. C U B = CB B'B == = {0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9}

UA

Sejam, por exemplo:

U = {0,1, 2, ... , 10}= {x | x∈N, x ≤ 10}

A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B={2, 6, 10}

10

6 2

B

8

4

0

51

3

7

9

8.7.1.3.- Representação Genérica da Complementação de Conjuntos - Diagrama de Venn-Eüler

U A

B

U A

B

U A

B

C A B C U A C U B

A figura anterior apresenta os diagramas de Venn-Eüler para a complementação de conjuntos

de um forma abstrata. Os elementos dos conjuntos são desconsiderados, considerando-se apenas a relação de inclusão entre eles. Assim, em cada uma delas, a região representativa do conjunto complementar de um dado conjunto (subconjunto) com relação a um outro conjunto que o contenha (seu superconjunto), aparece hachurada (sombreada).

Chama-se a atenção para os seguintes fatos:

[1] Se B⊂ A, C A B = {x | x∈A ∧ x∉B} e



8.15

[2] C U A = CA A'A == ={x | x ∉A },

[3] C U B = CB = B'B = ={x | x ∉B },

o que acab por ficar bem claro através das figuras genéricas apresentadas, no entanto, estes fatos foram apenas mostrados, mas não demonstrados e nem provados!

Parte 1.B.- Operações com Conjuntos

8.8.- Interseções de Conjuntos

8.8.1.- Definição

A ∩∩∩∩ B = {x | x ∈∈∈∈ A ∧∧∧∧ x ∈∈∈∈ B}

8.8.1.1.- Exemplos

Se A = {a, e, i, o, u} e B = {a, b, c, d, e, f, g, h} ⇒ A ∩ B = {a, e} Se A = {a, e, i, o, u} e B = {x | x é um consoante do alfabeto da Língua Portuguesa} ⇒ ⇒ A ∩ B = { } = ∅, sendo que neste caso A e B são denominados conjuntos disjuntos. Se A = { 2, 8, 12, 38} e B = { x | x = 2m, m ∈N} ⇒ A ∩ B = { 2, 8, 12, 38} = A, o que evidencia que ocorre: A⊂ B, ou seja, A é subconjunto de B.

8.8.2.- Diagramas de Venn-Eüler e de Carroll para a Intersecção de Dois Conjuntos

Há duas formas de representação diagramática da interseção entre dois conjuntos. O Diagrama

de Venn-Eüler e o Diagrama de Carroll (Devido a Lewis Carroll – o criador de Alice no País das

Maravilhas, que era um brilhante lógico) que é uma tabela de dupla entrada. O diagrama de Carroll só

pode ser utilizado para representar operações com apenas dois conjuntos, já o diagrama de Venn-Eüler

tem a vantagem de poder representar operações entre uma quantidade finita de conjuntos quaisquer.

Note que, as quatro regiões distinguíveis no diagrama de Venn-Eüler, encontra, de forma

correspondente, as mesmas quatro regiões no diagrama de Carroll. Confira na figura a seguir:


A ∩∩∩∩ B

U

A B

BA ∩

B Não B

A A e B A e Não B

Não A Não A e B Não A e Não B

8.8.2.1.- Observação Importante:

Não existe o diagrama de Carroll para representar os universos com três ou mais conjuntos.

8.9.- União ou Reunião de Conjuntos

8.9.1.- Definição

A ∪∪∪∪ B = {x | x ∈∈∈∈ A ∨∨∨∨ x ∈∈∈∈B}

8.9.1.1.-Exemplos

Se A = {a, e, i, o, u} e B = {a, b, c, d, e, f, g, h} ⇒ A ∪ B = { a, b, c, d, e, f, g, h i, o, u}.

Se A = {a, e, i, o, u} e B = φ ⇒ A ∪ B = {a, e, i, o, u} = A.

Se A = {2, 8, 12, 38} e B = { x | x = 2m, m ∈N} ⇒ A ∪ B ={0,2,4,6,8,10, ...}={x | x = 2m, m ∈N} = B.

8.9.2.- Diagramas de Venn-Eüler e de Carroll para a União de Dois Conjuntos

A ∪∪∪∪ B

U

A B

BA ∪

B Não B

A A e B A e Não B

Não A Não A e B Não A e Não B

8.9.3.- Cardinalidade da Interseção e da União de Dois Conjuntos

[1] #(A ∩∩∩∩ B) = #(A) + #(B) −−−− #(A ∪∪∪∪ B)

[2] #(A ∪∪∪∪ B) = #(A) + #(B) −−−− #(A ∩∩∩∩ B)



8.17

8.10.- Aplicação do Diagrama de Venn-Eüler na Resolução de Situações-Problema

Uma aplicação bastante interessante dos diagramas de Venn-Eüler é aquela que se costuma

fazer para agilizar a resolução de situações-problema específicos que envolvam a contagem de

elementos pertencentes a dois ou mais conjuntos, sobre os quais se conhece apenas alguns dados

operacionais, por exemplo, a interseção, a união, os elementos de um deles ou algum outro tipo de

particularidade notável. A seguir iremos mostrar como exemplo, a resolução de duas Situações-

Problema de Contagem com o Auxílio dos Diagramas de Venn-Eüler.

8.10.1.- Situação-Problema 1 – Envolvendo Dois Conjuntos:

Numa sala de aulas, dos estudantes, 8 obtiveram boas notas em Português e Matemática.

Sabe-se que: 18 obtiveram boas notas em Português e 12 obtiveram boas notas em Matemática.

Sabendo-se que são 15 os estudantes que não obtiveram média nem em Matemática, nem em

Português, pergunta-se quantos são os estudantes desta sala de aulas.

Resolução da Situação Problema 1:

• Seja nomear os conjuntos como Port e Mat.

• São dados no problema que: #(Port ∩ Mat ) = 8; #(Port) = 18 e que #(Mat) = 12.

• Para preenchermos o diagrama de Venn-Eüler ou o de Carroll a seguir, devemos considerar o

seguinte:

� #(Port) − #(Port ∩ Mat ) = 18 – 8 = 10 nos fornecerá a quantidade de elementos que

pertencem a Port mas não pertencem a Mat.

� #(Mat) − #(Port ∩ Mat ) = 12 – 8 = 4 nos fornecerá a quantidade de elementos que

pertencem a Mat mas não pertencem a Port.


Port Não Port

Mat 8 4

Não Mat 10 15

U

Matemática

8

Português

15 4 10

�� Sabe-se ainda que: #(U) − #(Port ∪ Mat) = 15 corresponde à quantidade dos estudantes que

não obtiveram média nem em Matemática, nem em Português. A partir disto, pode-se calcular

facilmente o valor de #(U), que é a quantidade de alunos na sala de aulas, da seguinte forma:

#(U) = 15 + #(Port ∪ Mat) = 15 + 22 = 37.

8.10.2.- Situação-Problema 2 – Envolvendo Três Conjuntos:

Num clube de uma cidade estão sempre disponíveis para a leitura de seus associados, três

jornais: A, B e C. Sabe-se que 40 sócios vão lá todos os dias e para lerem os jornais A, B e C,

sistematicamente; que 60 lêem os jornais A e B; 50 lêem os jornais B e C e que os jornais A e C

são lidos por 65 pessoas, também sócias daquele clube. O clube tem 400 membros cadastrados,

contando-se os seus sócios efetivos e os seus dependentes. Quer-se saber: Quantos são os membros

do clube que não vão lá para ler os jornais.

Resolução da Situação-Problema 2:

O universo (U) que iremos analisar é o dos

membros do clube (os sócios e seus dependentes),

cuja cardinalidade é dada por: #(U) = 400.

Façamos o diagrama de Venn-Eüler para esta

situação, onde devem figurar o conjunto Universo

e os três conjunto A, B e C, com todas as suas

possíveis interseções.

A

20

25

20

C

B

10

10

1

40

U



8.19

Vamos preencher o diagrama com: o nome de cada conjunto (A, B e C), e com as respectivas

quantidades de elementos que cada uma das oito regiões possui − a quantidade de elementos distintos

de um conjunto é denominada cardinalidade −, de acordo com a seguinte ordem:

(1o) #(A ∩∩∩∩ B ∩∩∩∩ C) = 40;

(2o) #(A ∩∩∩∩ B) = 20;

(3o) #(A ∩∩∩∩ C) = 25;

(4o) #(B ∩∩∩∩ C) = 50;

(5o) #(exclusivamente em A) = #(A, não B, e não C) = 20;

(5o) #( exclusivamente em B) = #(B, não A, e não C) = 15;

(6o) #( exclusivamente em C) = #(C, não A, e não B) = 10.

Logo teremos como solução:

#(U, não A, não B e não C) = #(U) −−−− #(A∪∪∪∪B∪∪∪∪C) = 400 – 140 = 260

Observe que: deve-se sempre tomar o cuidado de verificar se na distribuição das respectivas quantidades não são ultrapassados os valores totais dos elementos que devem figurar em cada um dos conjuntos A, B e C.

8.11.- Partição de um conjunto

8.11.1.- Definição de Classes de Conjuntos e Famílias de Conjuntos

Um conjunto formado por conjuntos, como por exemplo: P(A ) − o conjunto das partes de um

conjunto ou conjunto potência de A, são denominados Classes ou Famílias de Conjuntos,

sendo que alguns autores, mas isto ocorre com menor freqüência, utilizam o nome Coleções.

� Normalmente a palavra Classe é utilizada para fazer referência a Conjuntos de Conjuntos,

enquanto o nome Família é utilizado para referenciar Conjuntos de Classes.

� Assim como existem os subconjuntos quando trabalhamos com os conjuntos, passaremos a

ter as subclasses, e as subfamílias de conjuntos, quando passamos a trabalhar com as classes, e

famílias de conjuntos.

8.11.2.-Definição

Uma partição de um conjunto A é uma subdivisão de A em conjuntos disjuntos tais que a

união dos mesmos resulte o conjunto A.

Cada um dos subconjuntos de uma Partição de um dado conjunto A, são denominados

regiões disjuntas de A ou, mais simplesmente, família disjunta de subconjuntos de A.


Em símbolos: Dado um conjunto A ≠≠≠≠ ∅∅∅∅, a coleção ou classe de conjuntos:

{Ai | Ai ⊂⊂⊂⊂ A, 1 ≤≤≤≤ i ≤≤≤≤ n, n∈∈∈∈N, n < 2#(A) } ⊂⊂⊂⊂ PPPP(A )

será uma partição de A se, e somente se:

≠∅=∩

=∪∪∪=

∅≠⊂∀

<≤≤∈∃ =

k j ,AA

AA...AAA

A A,A

que tal2n n,kj,i,1 ,Nn

kj

n

1in21i

ii

(A)# U

8.11.1.1.-Exemplos:

(1) Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, serão partições de A, as seguintes coleções (conjuntos de conjuntos):

(a) {{2, 4, 6}, {1, 3, 5}}; (b) {{1}, {2, 5}, {3, 6}, {4}}; (c) {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}}. (2) O conjunto dos números ímpares e o conjunto dos números pares constituem uma partição de N (números naturais). (3) O conjunto dos números negativos, o conjunto dos números positivos e o conjunto unitário cujo

elemento é o número zero (o zero não é nem negativo, nem positivo), constituem-se numa partição do

conjunto Z (números inteiros).

(4) Os conjuntos dos números racionais (Q) e o dos números irracionais (Q’) constituem-se numa

partição do conjunto dos números reais (R), isto é: R = Q ∪ Q’ e Q ∩ Q’ = ∅∅∅∅....

8.12.- Diferença de Conjuntos

8.12.1.- Definição

Chama-se diferença entre dois conjuntos A e B quaisquer (B ⊂ A ou A ⊂ B, o que inclui a

possibilidade A=B), notada por A – B, ou A/B,

ao conjunto que contenha elementos de A que não pertença a B.

Em símbolos: A, B quaisquer, A – B = {x | x ∈ A ∧ x ∉B}

Cuidado: Somente quando B ⊂ A é que A – B = {x | x∈A ∧ x∉B} = C A B

8.12.1.1.- Exemplos:

(1) A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 3, 5, 7, 9, 10} então A – B = {1, 4} e B – A = {0, 7, 9, 10}



8.21

(2) A = {1, 2, 3, 4, 5} e P = {2, 4} então A – P = {1, 3, 5}= C A P, pois P⊂ A; pode-se calcular P – A,

obtendo-se P – A = ∅, no entanto, é impossível calcular-se o C P A, pois A⊄ P, e esta última

operação só estaria definida se A⊂ P .

8.13.- Relações de De Morgan

As definições das operações união de conjuntos, interseção de conjuntos e a complementação

de conjuntos (adotando-se C U A = CA), associada às seguinte lei da Lógica Proposicional:

Distributiva: P ∧∧∧∧ (Q ∨∨∨∨ R) = (P ∧∧∧∧Q) ∨∨∨∨ (P ∧∧∧∧R) e P ∨∨∨∨ (Q ∧∧∧∧ R) = (P ∨∨∨∨ Q) ∧∧∧∧ (P ∨∨∨∨ R)

nos permitirá provar as seguintes relações conhecidas como Leis de De Morgan.

[1] C(A ∪ B) = CA ∩ CB

[2] C(A ∩ B) = CA ∪ CB

8.13.1.- Provar:

C(A ∪ B) = CA ∩ CB

Prova:

C(A ∪ B) def

= {x | x∈U ∧ x ∉(A∪B)} = {x | x∈U ∧ x ∉(A ∪B)}=

= {x | x∈U ∧ (x ∉A ∧ x∉B)} = {x | (x∈U ∧ x ∉A) ∧ ( x∈U ∧ x∉B)}=

= {x | (x∈U ∧ x ∉A) } ∩ {x| x∈U ∧ x∉B)} = C U A ∩ C U B = CA ∩CB .

8.3.2.- Provar:

C(A ∩ B) = CA ∪ CB

Prova:

C(A ∩ B) def

= {x | x∈U ∧ x ∉(A∩B)} = {x | x∈U ∧ x ∉(A ∩B)}=

= {x | x∈U ∧ (x ∉A ∨ x∉B)} = {x | (x∈U ∧ x ∉A) ∨ ( x∈U ∧ x∉B)}=

= {x | (x∈U ∧ x ∉A) } ∪ {x| x∈U ∧ x∉B)} = C U A ∪ C U B = CA ∪CB .

8.14.- Pares Ordenados – Um estudo bastante Interessante

Seja definir par ordenado da seguinte forma: dados dois elementos x e y, de conjuntos

quaisquer, chama-se par ordenado a um terceiro elemento, notado (x, y), onde x é chamado primeiro


elemento do par ordenado e, y, o segundo elemento. Um par ordenado é tal que: (x,y) ≠ (y,x). Assim,

podemos afirmar que:

Propriedade 1: (x, y) = (z, w) ⇔⇔⇔⇔ x = z e y = w

8.14.1- Um Par Ordenado Definido a Partir de um Conjunto de Conjuntos

Vamos agora criticar as idéias anteriormente expostas sobre o que deveriam ser os pares

ordenados. Nas Teorias Axiomáticas dos Conjuntos, particularmente naquelas denominadas Teorias de

Classes de Conjuntos, x e y, eventualmente poderiam ser conjuntos. Outro conceito muito interessante

que diz respeito ao pares ordenados é que eles mesmos são, na verdade, conjuntos. Vejamos a seguir,

como isto pode ser verificado.

Ao invés de adotarmos a idéia anterior, que pode parecer até muito satisfatória, mas é ingênua,

poderíamos definir par ordenado como sendo o conjunto: {{x}, {x, y}} −−−− veja que aqui por maior que

seja a nossa intuição, dificilmente concordaríamos com isto, ou seja, que {{x}, {x, y}} = (x,y) tal que

(x,y) ≠≠≠≠ (y,x)..

Para mostrar que isto é totalmente aceitável e cabível, vamos reescrever o nossa propriedade 1

anterior, de maneira a fazê-la corresponder à esta nova definição de par ordenado:

Propriedade 2: {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}} ⇔⇔⇔⇔ x = z e y = w

a partir da qual gostaríamos de obter como conseqüência: {{x}, {x, y}} = (x, y), o que nos permitirá

afirma que um par ordenado é um conjunto. Mas esta conseqüência, precisa ser provada.

Vejamos como Provar que: {{x}, {x, y}} = (x, y),

A partir da Propriedade 2, podemos afirmar o seguinte sobre o conjunto {{x}, {x, y} : [1] Para x ≠≠≠≠ y teremos: {{x}, {x, y}} = {{x, y}, {x}} que é um par não ordenado. [2] Para x = y teremos: {{x}, {x, y}} = {{x}, {x}} ⇔⇔⇔⇔ {{x}} que é um conjunto unitário ou uma classe unitária.

8.14.2- Teorema

{{x}, {x, y}} = (x, y) ⇔⇔⇔⇔ x ≠≠≠≠ y

onde (x, y) é um par ordenado, isto é: (x, y) = (z, w) ⇔⇔⇔⇔ x = z e y = w.

Prova:

Vamos mostrar que: {{x}, {x, y}} é um par ordenado (x,y), no sentido ingênuo do termo, ou seja, que as duas definições dadas anteriormente e propriedades 1 e 2 são equivalentes. Para isto basta mostrar a validade da Propriedade 2, ou seja, vamos mostrar que:

{{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}} ⇔⇔⇔⇔ x = z e y = w . ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- [1 ⇐⇐⇐⇐(Volta)] Hipótese: x = z e y = w ⇒⇒⇒⇒ Tese: {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}}



8.23

Se x = z e y = w é imediato que {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}}. (Está provada a Volta: ⇐⇐⇐⇐). ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- [2 ⇒⇒⇒⇒ (Ida) ] Hipótese: {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}} ⇒⇒⇒⇒ Tese: x = z e y = w

Aqui temos casos possíveis a considerar: [2.1] x = y ou então [2.2] x ≠≠≠≠ y.

[2.1. ⇒⇒⇒⇒] Se for considerado na Hipótese que x = y, temos: {{x}} = {{z}, {z, w}}. • Para que a igualdade entre os conjuntos se verifique, obrigatoriamente temos que impor: x = z = w, assim, como pela primeira possibilidade x = y, teremos x = z = w =y, e é assim que chegamos à nossa Tese: x = z e y = w.

[2.2. ⇒⇒⇒⇒] Se for considerado na Hipótese que x ≠≠≠≠ y, teremos: {x} = {z, w} ou então {x} = {z} • Se {x} = {z, w} teríamos que ter x = z = w e a igualdade {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}} se reduziria a {{x}, {x, y}} = {{x}, {x, x}}={{x}}, o que seria um absurdo, pois considerou-se que x ≠ y. Assim, pode-se afirmar que adotar-se: {x} = {z, w} conduziria a um absurdo. Portanto, pode-se assumir que {x} = {z, w} é falsa. • Se: {x} = {z}, ou seja, x = z, teríamos {{x}, {x, y}} = {{x}, {x, w}}. Como x ≠≠≠≠ y, obrigatoriamente: {x, y} = {x, w} pois {x, y} ≠≠≠≠ {x}, e evidentemente: y = w. Fica assim demonstrado que x = z e y = w, de onde: {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}} ⇒⇒⇒⇒ x = z e y = w. (Está

provada a ida: ⇒⇒⇒⇒). �� De acordo com [1 ⇐⇐⇐⇐] e [2 ⇒⇒⇒⇒] o Teorema está provado.

8.15.- Produto Cartesiano

8.15.1.- Definição

Chama-se produto cartesiano de A por B, ao conjunto A ×××× B = {(x, y) | x∈∈∈∈A ∧∧∧∧ y∈∈∈∈B}.

8.15.1.1.- Exemplos:

[1] A = {1, 2, 3} e B = {a, b} ⇒

=×

=×

(b,3)}(a,3),(b,2),(a,2),(b,1),{(a,1),AB

b)}(3,a),(3,b),(2,a),(2,b),(1,a),{(1,BA

[2] C = {2, 5} ⇒ (5,5)}(5,2),(2,5),{(2,2),CC =× = C2

[3] Notar que o Plano Cartesiano (Eixos Coordenados Cartesianos) é notado como sendo um produto cartesiano: R2 = R × R. [4] A × B × C = {(x, y, z) | x∈A ∧ y∈B ∧ z∈C}, onde (x, y, z) é denominada terna ordenada ou terno

ordenado.

8.15.2.- Propriedades dos Produtos Cartesianos:

[1] A × B = B × A ⇔ A = B (não comutatividade) [2] ∀A, A × ∅ = ∅ × A = ∅


[3] #(A × B) = #(A) × #(B) [4] #(A × B × C) = #(A) × #(B) × #(C)



8.25

8.16.- Resumo das Principais Propriedades das Operações com Conjuntos

8.16.1.- Provar

�� Sendo A, B e C conjuntos, pode-se provar a validade das seguintes igualdades: A ∩ A = A Idempotência A ∪ A = A Idempotência A − A = ∅ Anulamento A ∩ B = B ∩ A Comutatividade A ∪ B = B ∪ A Comutatividade (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Associatividade (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) Associatividade A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Distributividade da intersecção com relação à união A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Distributividade da união com relação à intersecção C − (A ∩ B) = (C −A) ∪ (C −B) Distributividade da diferença com relação à intersecção C −(A ∪ B) = (C −A) ∩ (C −B) Distributividade da diferença com relação à união

8.16.2.- Mais Propriedades

C − (B − A) = (A ∩ C) ∪ (C− B) (B − A) ∩ C = (B ∩ C) −A = B ∩ (C − A) (B −A) ∪ C = (B ∪ C) − (A − C)

A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A A ∩ ∅ = ∅ A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B A ∪ ∅ = A A ⊂ B ⇔ A − B = ∅ ∅ − A = ∅ A ∩ B = ∅ ⇔ B − A = B A − ∅ = A A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B

8.16.3.- Propriedades da Complementação de Conjuntos

Para U, o Conjunto Universo, e os subconjuntos A, B e C de U, sendo C U A = CA = A’:

C U (C U A) = C(CA) = A(A’)’

B − A = (C u A) ∩ B

(B - A)' = A ∪ B' A ⊂ B ⇔ B' ⊂ A' A ∩ U = A A ∪ U = U U − A = A’ A − U = ∅


9.9.9.9.1111

Capítulo 9

Teorias Axiomáticas dos Conjuntos

“Todo matemático concorda que todo matemático deve

conhecer um pouco da teoria dos conjuntos; o desacordo

começa no tentar decidir o quanto é esse pouco”.

Paul R. Halmos no prefácio de seu livro “Naive Set Theory”,

Princeton: Van Nostrand, 1960.

9.1.- A Teoria Informal dos Conjuntos Versus Teorias Axiomáticas dos Conjuntos

A Teoria dos Conjuntos de Cantor, apesar de ter a seu favor o fato de ter sido uma criação

original e tremendamente importante para a Matemática, foi desenvolvida de forma não axiomática.

Denominada por alguns autores, Teoria Ingênua ou Teoria Informal dos Conjuntos, ela apresentava no

seu bojo uma série de contradições (paradoxos ou antinomias1), como por exemplo, aquele apontado

por Bertrand Russel: a impossibilidade da existência de um conjunto de todos os conjuntos, cuja

existência era admitido na teoria de Cantor.

A axiomatização foi um recurso que Euclides de Alexandria, entre o final do século IV a.C. e

início do século III a.C., havia utilizado para nos legar a “sua” Geometria. A partir do início do século

XX, com Hilbert, a axiomatização, passou a ser vista como uma forma de se repensar as teorias da

Lógica e da Matemática. A partir disto, foram propostas várias formulações axiomáticas para a Lógica,

como pôde ser visto no capítulo 4 e para as teorias matemáticas, entre elas, a aritmética, a teoria de

grupos, os axiomas de corpo − cujas propriedades refletem diretamente as propriedades dos números

reais. Como não poderia deixar de ser propostas de axiomatização para a Teoria dos Conjuntos foram

apresentadas.

9.1.1.- A Teoria Axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel

Foi em 1908 que Ernest Zermelo apresentou a sua formulação axiomática da Teoria dos

Conjuntos. O sistema axiomático de Zermelo possuía sete axiomas e não era ainda uma teoria de

classes, ou seja, uma teoria dos conjuntos cujo ente primitivo atômico seriam os conjuntos, que agora

passariam a ser entendidos como os “elementos de” (“pertencentes a”) classes de conjuntos. A teoria

de Zermelo, nesta altura, ainda admitia a existência de “elementos” como aqueles estabelecidos como

entes primitivos na Teoria de Cantor que, denominados ur-elementos, elementos fundamentais ou

Capítulo 9 – Versão 1.0 - Janeiro de 2004 Teorias Axiomáticas dos Conjuntos

9.9.9.9.2222

proto-elementos, passariam a se mostrar desnecessários segundo Fraenkel, pois a ausência destes ur-

elementos numa teoria axiomática de conjuntos não consistia um problema para os matemáticos, sendo

que os conceitos de conjuntos e classes, bastariam para a criação e o desenvolvimento de uma

linguagem matemática suficientemente expressiva.

Somente em 1922, portanto 13 anos depois da apresentação das idéias de Zermelo é que

Fraenkel irá propor o acréscimo de mais um axioma a este sistema - o Axioma da Troca ou da

Substituição. Neste mesmo ano, é incorporado ao sistema mais um axioma, este devido von Neumann,

o Axioma a Fundação ou da Regularidade. Ainda no ano de 1922, Skolem propõe uma linguagem

formal para a veiculação da teoria. Esta teoria é conhecida atualmente como Teoria dos Conjuntos de

Zermelo-Fraenkel (ZF), mas ela pode ser citada, mas não sempre, como Teoria de Zermelo-Fraenkel-

Skolem. Também pode ser apresentada como Teoria dos Conjuntos ZFC – sigla inglesa para

“Zermelo-Fraenkel Axiomatic Set Theory with Choice Axiom” ou, em português, Teoria Axiomática

de Zermelo-Fraenkel com o Axioma da Escolha, que é uma formulação bastante ampla, cujos dez

axiomas, seguidos de algumas explicações e exemplos, será apresentada neste texto.

9.1.1.- Outras Teorias dos Conjuntos

Uma outra tentativa bem sucedida de axiomatização da Teoria dos Conjuntos que vem

ganhando ampla projeção nos meios científicos é a Teoria Axiomática dos Conjuntos de von

Neumann-Bernays-Gödel (NBG ou vNBG) [Mendelson 1997]. Na seqüência, iremos examinar muitas

das idéias formais desta teoria e iremos fazer rápidas referências sobre outras três Teorias Axiomáticas

dos Conjuntos, a saber: Morse-Kelley (MK) − ou Kelley-Morse (KM) como querem alguns autores −,

Tarski-Grothendieck (TG).

Mesmo parecendo que já tenhamos muitas formulações axiomáticas para uma mesma teoria, e

todas engendradas na primeira metade do século XX, o que de alguma forma mostra a fertilidade de

idéias neste período, se podem citar ainda, duas outras formulações, ambas propostas por Willard

Quine, sendo que Hao Wang eliminou na última delas uma contradição que fora apontada por J.B.

Rosser [Mora 1994].

È bom estar alerta para o seguinte: (i) na Teoria dos Conjuntos de Cantor conjunto era

apresentado através de sua definição, nas teorias axiomáticas, a partir de Fraenkel, conjunto passa a ser

um conceito primitivo − um conceito não definido que será estabelecido através dos axiomas −; (ii) a

relação de pertinência cujo símbolo é “∈” − e cuja leitura pode ser “é elemento de” − passa a ser uma

1 Paradoxo - do grego pará – ‘contra”, doksa – ‘opinião’; em Filosofia: pensamento, proposição ou argumento que contraria os princípios básicos e gerais que cosntumam orientar o pensamento humano. .Antinomia – contradições entre

quaisquer dois princípios, doutrinas ou prescrições.


9.9.9.9.3333

relação admissível apenas entre um conjunto e um conjuntos de conjuntos (uma classe); (iii) os

elementos de um conjunto no sentido de Cantor, passam a ser denominados ur-elementos ou, em

português, proto-elementos; (iv) a relação de igualdade passa a ser considerada, também, um conceito

primitivo nestas axiomatizações.

9.2.- A Teoria dos Conjuntos de Zermelo e Fraenkel (ZF)

A Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel, como toda teoria axiomática, é aqui apresentada

mediante a utilização de uma Linguagem Formal, que conforme já se afirmou no item anterior,

sugerida por Skolem.

Cabe ressaltar, principalmente para os leitores que estão iniciando a leitura deste livro por este

capítulo, que a formalização é o processo que normalmente permite adaptar muitas concepções

matemáticas ao processamento mecânico, ou mais exatamente, ao processamento computacional

algébrico ou simbólico. Há programas computacionais denominados Provadores Automáticos de

Teoremas2 que realizam a tarefa a eles destinada – a de provar automaticamente ou auxiliar, passo a

passo o usuário, na prova de teoremas [Harrison 1996] - de forma bastante notável a partir de dados de

teorias lógico-matemáticas. Assim, muitas vezes, sistemas axiomáticos referentes a uma mesma teoria,

podem parecer à primeira leitura, bastante distintos quando não totalmente incompreensíveis ou sem

possibilidade de serem comparados em termos de equivalência, no entanto, o Processamento

Automático acaba por mostrar que os diversos tratamentos axiomáticos se referem a uma mesma

teoria, pois os teoremas que podem ser provados numa daquelas formulações também o podem ser nas

outras.

NOTAS:

Sobre o que são as Teorias Axiomáticas

Já se sabe, pela leitura dos capítulos anteriores, que o desenvolvimento de uma teoria

axiomática, exige que se estabeleça de forma bastante clara, ou seja, de maneira não ambígua, o

seguinte:

1. os conceitos primitivos ou fundamentais da linguagem formal a ser utilizada;

2. a gramática da linguagem, ou seja, deve-se estabelecer:

(2.1) os símbolos da linguagem;

2 Na pratica são encontráveis dois tipos de Provadores de Teoremas: há os denominados “Provadores Automáticos de

Teoremas” que tentam obter a prova de teoremas sem a assistência dos usuários e há aqueles denominados “Provadores

Interativos de Teoremas” ou “Checadores de Provas” que meramente auxiliam o usuário na produção de provas formais agindo meramente como assistentes que checam a prova que está sendo feita pelo usuário.


9.9.9.9.4444

(2.2) a sintaxe desta linguagem, ou seja, as maneiras de construir as sentenças-bem-formadas ou as fórmulas-bem-formadas ( fbf’s ) nesta linguagem;

3. a semântica da linguagem, ou seja, como verificar se as fbf’s são válidas (são tautologias) ou não, nesta linguagem;

4. a estrutura dedutiva da teoria:

4.1.- um conjunto de tautologias básicas da linguagem −−−− um conjunto minimal de axiomas −−−− e, a partir destes axiomas e de pelo menos uma regra de inferência destinadas a derivar novas tautologias ou a provas os teoremas desta teoria;

4.2.- regras de inferência, regras de dedução natural, através de árvores de refutação (árvores semânticas) destinadas a derivar ou provar a validade de fórmulas-bem-formadas desta teoria.

9.2.1- Os Conceitos Primitivos da Teoria ZF

A Teoria Axiomática dos Conjuntos de Zermelo e Fraenkel ou Teoria ZF é apresentada na

linguagem formal denominada de 1a ordem (da Lógica de 1a Ordem ou Lógica Predicativa) acrescida

do conceito primitivo “conjunto” e de duas relações: a de pertinência e a de igualdade, também

tomadas como conceitos não definidos, ou seja:

(1) “conjunto” do qual nada se sabe e nada se afirma inicialmente. O que seja um conjunto, e

mais, o que sejam suas especificidades, “irão surgindo” na medida em que os axiomas da

Teoria de ZF forem sendo enunciados;

(2) “é um elemento de” – relação entre conjuntos indicada pelo símbolo “∈”;

(3) “é igual a” – relação entre conjuntos indicada pelo símbolo “=”.

NOTAS:

Sobre o que são os Conjuntos de Conjuntos (Classes) e os Ur-elementos

Vamos aqui rever algumas ideais sobre as relações de pertinência e inclusão de acordo

com Cantor.

Seja o conjunto T = {1, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, 4} cujos cardinalidade é #(T) = 5, ou seja, T tem

cinco(!) elementos, a saber: o 1 e o 4 que são numerais – símbolos que representam quantidades −,

e os conjuntos {1}, {1, 2} e {1, 2, 3}, elementos pertencentes a T, também compostos por

numerais. Podemos escrever a partir do conceito de pertinência – um conceito intuitivo na teoria de

Cantor –, e da definição de inclusão: B))xA x(x( BA conjuntos, B e A ∈⇒∈∀⇔⊂

as seguintes sentenças verdadeiras na Teoria dos Conjuntos de Cantor:


9.9.9.9.5555

• [1] 1 ∈ T e 4 ∈T, por isto: {1}⊂ T, {4}⊂ T e {1, 4}⊂ T ;

• [2] {1}∈T, {1, 2}∈T e {1, 2, 3}∈T, por isto: {{1}}⊂ T, {{1,2}}⊂ T, {{1,2,3}}⊂ T,

{{1}, {1, 2}}⊂ T , {{1,2,}, {1,2,3}}⊂ T e {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}⊂ T ;

• de [1] e [2] podemos ter ainda: {1, {1}}⊂ T, {1, {1,2}}⊂ T, {4,{1}}⊂ T, {1,4,{1}}⊂ T e assim

por diante;

no entanto, as seguintes afirmações seriam falsas:

• [3] {4}∈T é falsa, pois {4} não é um elemento de T;

• [4] {1, 2, 3, 4}⊂ T é falsa, pois os numerais 2 e 3 não são elementos de T ;

• [5] 2 ∈ T é falsa, pois o numeral 2 não é elemento de T, apesar de ser elemento de dois

elementos de T, dos conjuntos {1, 2} e {1, 2, 3}.

�� NOTAR BEM: Elementos como o “1” e o “4”, admitidos na Teoria Cantoriana dos Conjuntos, são

denominados, nas teorias de Classes, proto-elementos (“ur-elementos”), o que será

visto em detalhes mais à frente. Nestas teorias conjuntos como o T apresentado

acima, T = {1, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, 4}, não poderiam existir, pois elas são teorias

de classes, onde os “elementos” serão sempre pelo menos conjuntos, quando não,

classes – conjuntos de conjuntos.

9.2.2.- Os Símbolos da Teoria ZF

Além das variáveis3: a, b, c,..., x, y, x, w,... , cuja notação genérica será νννν, os demais símbolos

usados nesta teoria para a formação de suas fbf’s (fórmulas bem formadas) são:

• os símbolos da Lógica de Primeira Ordem: ¬, ∧ (ou &), ∨, ⇒ (ou →), ⇔ (ou ↔), ∀, ∃;

• a relação de igualdade: = (relação já arrolada entre os elementos primitivos da Teoria);

• os parêntesis destinado a servir de separadores, a fim de evitar ambigüidades ou confusões na

leitura ou interpretação nas sentenças-bem-formadas da linguagem (e até mesmo de colchetes

“[ ]” quando somente os parêntesis não forem suficientes);

e ainda

• os parêntesis destinados a conterem elementos − elemento estes que serão sempre: conjuntos ou

classes − separados por vírgulas, para a representação n-uplas ordenadas (pares ordenados,

3 Alguns autores utilizam as letras latinas minúsculas para representar conjuntos e as letras latinas maiúsculas para representarem as classes, assim, x∈A deve ser entendido como “o conjunto x é um elemento da classe A”. Neste texto,

usaremos x∈a com o mesmo significado.


9.9.9.9.6666

ternas ordenadas, quádruplas ordenadas etc): ( ),..., , , que aqui serão adotados, como fazem

muitos autores, como: ,..., , .

Na Teoria de Zermelo-Fraenkel com o Axioma da Escolha somente a partir do axioma ZF3, o

terceiro de um conjunto de dez axiomas, é que será introduzida a possibilidade de obtenção de um

conjunto a partir da propriedade comum aos seus elementos, “{ x | P(x) }”, com x uma classe.

9.2.3.- As Fórmulas-bem-formadas na Teoria ZF

9.2.3.1.- Definição

Chamamos fórmulas-bem-formadas, ou simplesmente, fórmulas da Linguagem da Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel às expressões obtidas através da seguinte definição indutiva:

(a) Para todas as variáveis x e y, x = y e x∈∈∈∈y são fórmulas;

(b) Se φφφφ e ψψψψ são fórmulas, então: ¬¬¬¬φφφφ, (φφφφ ∧∧∧∧ ψψψψ), (φφφφ ∨∨∨∨ ψψψψ), (φφφφ ⇒⇒⇒⇒ ψψψψ) e (φφφφ ⇔⇔⇔⇔ ψψψψ) também são fórmulas.

Nota: Eventualmente os símbolos ⇔⇔⇔⇔ e ⇒⇒⇒⇒ podem ser substituídos, quando em sub-fórmulas

(fórmulas dentro de fórmulas compostas), com a finalidade de facilitar a leitura, pelos

símbolos ↔↔↔↔ e →→→→, respectivamente.

(c) Se φφφφ é uma fórmula e νννν é uma variável então ∀∀∀∀ννννφφφφ e ∃∃∃∃ννννφφφφ são fórmulas, onde ∀∀∀∀ννννφφφφ e ∃∃∃∃ννννφφφφ são notações abreviadas para ∀∀∀∀νννν( φφφφ(νννν) ) e ∃∃∃∃νννν( φφφφ(νννν) ), ou ainda, para ∀∀∀∀νννν φφφφ(νννν) e ∃∃∃∃νννν φφφφ(νννν).

(d) Todas as fórmulas desta linguagem são aquelas, e somente aquelas, obtidas pela aplicação das regras gramaticais (a), (b) e (c), anteriores.

9.3.- Ocorrências de Variáveis: Livres e Ligadas – Escopo de Um Quantificador

9.3.1.- Definição

Dada uma fórmula-bem-formada φφφφ da Teoria ZF e uma variável νννν, uma ocorrência de νννν

em φφφφ é uma ocorrência ligada se ela ocorre na fórmula φφφφ como uma de suas subfórmulas e é

notada de uma das seguintes formas: ∀∀∀∀ννννψψψψ ou ∃∃∃∃ννννψψψψ; caso contrário, νννν é livre, ou seja, é uma

ocorrência da variável νννν, livre em φφφφ.

Comentários:

[1] Notação: As sub-fórmulas ∀νψ ou ∃νψ que venham a ocorrer em φ (φ uma fbf da Linguagem da

Teoria ZF), são notações abreviadas para: ∀ν( ψ(ν) ) e ∃ν( ψ(ν) ), onde ψ(ν) denota uma fórmula

onde a variável ν é tal que satisfaz ψ, ou seja: ν tem a propriedade Ψ.


9.9.9.9.7777

[2] Escopo de Quantificadores: Um quantificador (∀ ou ∃) tem, normalmente, predominância sobre

um trecho específico de uma fórmula. A extensão de cada uma destas predominância se chama escopo

daquele quantificador.

Exemplo: Analisemos a sentença "Todo número natural é um número real" quanto ao escopo dos

quantificadores: →∃← y de escopo

( ) ( )( ) yRxN yx ⇒∃∀

→∀← x de escopo

[3] Dada a sentença da Lógica de Primeira Ordem ( ) ( ) ( )[ ]y,xQyy,xPx ∃∧∀ nota-se que há duas

ocorrências da variável x no escopo do quantificador universal; no entanto a primeira

ocorrência de y, em P(x,y), não pertence ao escopo de nenhum quantificador, sendo por

isso, chamada de variável livre, ou diz-se esta é uma ocorrência livre de y, a variável x é

dita amarrada ou ligada. A ocorrência de y em Q(x,y) está ligada ou amarrada ao

quantificador existencial.

9.4.- Algumas Idéias e Definições Preliminares

A seguir são apresentados os conceitos definidos básicos da Teoria Axiomática dos Conjuntos

de Zermelo-Fraenkel. Estas definições se destinam, de alguma forma, a facilitar a leitura e

compreensão daquilo que será exposto no item subseqüente, que contém os axiomas daquela teoria.

Nas definições a seguir as letras latinas minúsculas representam conjuntos ou classes de

conjuntos.

[1] Par Não-Ordenado:

∀∀∀∀u(u∈∈∈∈z ↔↔↔↔ (u = x ∨∨∨∨ u = y ∧∧∧∧ ¬¬¬¬(x = y)) )

Nota: devido à propriedade comutativa da conjunção(∨) tem-se que z = {x, y} = {y, x}

[2] Conjunto Unitário (em inglês: “singleton”):

∀∀∀∀u(u∈∈∈∈z ↔↔↔↔ (u = x ∨∨∨∨ u = y ∧∧∧∧ (x = y)) )

Nota: um conjunto com elementos dois iguais z = {x, y}={x, x} é um conjunto unitário z = {x}.


9.9.9.9.8888

[3] Conjunto Vazio:

∀∀∀∀u(¬¬¬¬(u∈∈∈∈x)) que também pode ser escrito abreviadamente como sendo: ∀∀∀∀u(u∉∉∉∉x).

Nota: x = ∅ ou x = { } são formas abreviadas de representar o conjunto vazio.

[4] Par ordenado:

∃∃∃∃u∃∃∃∃v( u ={x} ∧∧∧∧ v = {x, y} ∧∧∧∧ z = {u, v})

Notação: z = (x, y) ou z = y,x onde (x, y) = (m, n) ou y,x = n,m se,

e somente se, x = m e y = n.

Observação: “ (x,y) = { {x},{x,y} }” é um Teorema na Teoria ZF. Veja a prova deste teorema no capítulo anterior, no item: 8.14.- Pares Ordenados - Um Estudo Bastante Interessante.

[5] Subconjunto:

∀∀∀∀u(u∈∈∈∈x →→→→ u∈∈∈∈y) é a definição de x ⊂⊂⊂⊂ y

[7] União de Classes de Conjuntos:

U U Uwx

x}wx|x{w∈

=∈=

Exemplos: [1] Seja w = {a} ⇒ U aw =

[2] Seja w = {a, b} ⇒ baw ∪=U

[3] Seja w ={ a, {b,c,f}, {a, c, d}, e } ⇒ U }}f,d,c,b,a{eaw ∪∪=

[4] w = {x | x∈∅} ⇒ U ∅=w

[5] w = P (x) ⇒ U xw =

[6] }}}k{{,h},g,f,e{},e{,d{}},c,b{,a{{w = então

}}}}k{{,h},g,f,e{},e{,d{}},c,b{,a{{wU U= = }}}k{{},g,f,e{},c,b{},e{,h,d,a{

[6] Conjunto Potência ou Conjunto das Partes de um conjunto:

∀∀∀∀y(y∈∈∈∈z ↔↔↔↔ y ⊂⊂⊂⊂ x) é a definição de z = P (x)


9.9.9.9.9999

9.5.- Os Axiomas da Teoria de Zermelo-Fraenkel

Apresentado em 1908, por Zermelo, o sistema da Teoria Axiomática dos Conjuntos, continha

somente 7 (sete) axiomas e entre eles já estava um axioma denominado Axioma da Escolha, que

provocaria grande celeuma entre os matemáticos, sobre a sua aceitabilidade como independente ou não

dos demais axiomas. Atualmente encontra-se na literatura, a Teoria Axiomática dos Conjuntos devido

a Zermelo, em duas versões de acordo com o tipo de aplicação pretendida, aquela que comporta nove

axiomas e aquela que traz, como um 10º axioma, o Axioma da Escolha, quando passa a ser

denominada Teoria de Zermelo-Fraenkel com o Axioma da Escolha, também é conhecida pela sigla na

língua inglesa: ZFC que significa “Zermelo-Fraenkel with Choice Axiom”.

O leitor irá notar que a tabela a seguir apresenta os nomes do 10 (dez) axiomas da Teoria ZFC e

as possíveis variações destes nomes encontráveis na literatura.O axioma ZF8 foi acrescentado à Teoria

dos Conjuntos de Zermelo, por Fraenkel, em 1922. O Axioma ZF9 é devido a von Neumann, e o

ZF10, o Axioma da Escolha, já fazia parte da teoria desde a sua primeira versão.

Para orientação do leitor, os nomes que adotaremos neste livro aparecem, na tabela,

sublinhados. É com estes nomes que os dez axiomas da Teoria ZFC serão enunciados, seguidos, de

alguns comentários e até mesmo de alguns exemplos, quando necessário.

ZF1.- Axioma da Extensão, Axioma da Extensionalidade, Axioma da Igualdade ou Axioma da Determinação

ZF2.- Axioma da Existência do Conjunto Vazio ou Axioma do Conjunto Vazio

ZF3.- Axioma da Separação de Classes, Axioma da Separação ou Axioma da Especificação

ZF4.- Axioma da Existência de Pares de Classes, Axioma da Existência de Pares, Axioma do Emparelhamento (do inglês: “Pairing Axiom”) ou Axioma do Par

ZF5.- Axioma da Soma de Classes (do inglês: “Sum-set Axiom”) ou Axioma da União de Classes

[8] Intersecção de Classes de Conjuntos: IIwx

xw∈

=

Exemplos:

[1] Seja w ={ {a}, {a, b}, {a, c, d} } ⇒ Ix = {a}.

[2] Seja w ={ a, {a,b,c,f}, {a, c, d}, e } ⇒ ∅=∈

Iwx

x


9.9.9.9.10101010

ZF6.- Axioma do Conjunto Potência de uma Classe ou Axioma das Partes de uma Classe

ZF7.- Axioma da Existência da Infinidade de Elementos em uma Classe Ou Axioma da Infinidade

ZF8.- Axioma da Substituição ou Axioma da Troca (devido a Fraenkel, somente foi acrescentado à Teoria de Zermelo em 1922)

ZF9.- Axioma da Fundação ou Axioma da Regularidade (devido a von Neumann)

ZF10.- Axioma da Escolha

A seguir serão apresentados os axiomas da Teoria ZFC e alguns exemplos, quando necessário.

9.5.1.- (ZF1) Axioma da Extensionalidade ou Axioma da Determinação

Dois conjuntos que tenham os mesmos elementos são o mesmo conjunto.

Em símbolos:

)yx)yzxz(z(yx =→∈↔∈∀∀∀

ou ) yx)yzxz( (zyx =→∈↔∈∀∀∀

ou ) )yzxz(zyx (yx ∈↔∈∀→=∀∀ ,

mas, se para alguns autores o axioma pode ser apresentado como sendo uma implicação, para

outros poderia ser uma equivalência: ) yx)yzxz( (zyx =↔∈↔∈∀∀∀ .

• Comentários:

[1] No tocante à teoria ZFC, neste texto, tanto os “elementos” (que serão conjuntos) como os

conjuntos de conjuntos (as classes ou coleções de conjuntos) são notados com letras minúsculas.

[2] O nome dado a este axioma, extensionalidade, pretende indicar que a igualdade de conjuntos, ou

de classes, pode ser determinada pelas suas extensões, ou seja, pela comparação entre conjuntos que

pertençam extensivamente a duas classe ou coleções de conjuntos.

[3] Normalmente, na literatura, o leitor poderá encontrar este mesmo axioma escrito das seguintes

formas:

[3.1] )ba)bxax(x(ba =→∈↔∈∀∀∀ : onde se adotou somente as letras latinas minúsculas,

reservando-se as letras a, b, c, d ... para os conjuntos e x, y, z, w ... para as classes. Este tipo de

notação é prático, mas não é muito usual.

[3.2] )BA)BzAz(z(BA =→∈↔∈∀∀∀ : este tipo de notação, em que as classes são nomeadas usando-se letras latinas maiúsculas, poderia remeter a Teoria de ZF à Teoria de Cantor, o que nos parece indevido, pois o “elemento z”, nesta definição é exatamente um “conjunto z”, e isto não estaria suficientemente ressaltado no caso de uma leitura mais apressada ou sem a devida reflexão.


9.9.9.9.11111111

9.5.2.- (ZF2) Axioma da Existência do Conjunto Vazio

Existe (pelo menos) um conjunto que não possui elementos.

Em símbolos: ))xy((yx ∈¬∀∃ ou então )xy(yx ∉∀∃

Comentários: [1] O conjunto que não possui elementos é denominado vazio e é representado pelos símbolos: ∅ ou { }. [2] Este axioma apenas garante a existência do conjunto vazio, mas não afirma que seja único. [3] A afirmativa: “O conjunto vazio é único” é um Teorema, e já foi provado no capítulo anterior.

9.5.3.- (ZF3) Axioma da Separação ou Axioma da Especificação

Para qualquer conjunto x, existe um conjunto y cujos elementos são exatamente os elementos de x

que possuam a propriedade P.

Em símbolos: ))u(Pxuyu(uyx ∧∈↔∈∀∀∀ , sendo P(u) uma função predicativa.

Observações e Exemplos:

[1] Outra forma de enunciar o axioma: Se P(u) é um predicado e x um conjunto ou uma classe,

então existe um conjunto y cujos elementos são os elementos de x para os quais P(u) é verdadeira.

[2] Teorema: O conjunto y é único e y = {u∈x | x tem a propriedade P }= {u∈x | P(u) }

[3] Exemplo: Seja A={ ∅∅∅∅, {1,5}, {1,3,5}, {0,5}, {1}, {1,0} } e B={u∈∈∈∈A | #(u) = 2)} = {{1,5}, {0,5},

{1,0} }

[3] Definição de Intersecção de Conjuntos: Pode-se definir a intersecção de dois conjuntos

usando esta forma de criação de conjuntos, isto é: A ∩∩∩∩ B = {u∈∈∈∈A | u∈∈∈∈ B}.

9.5.4.- (ZF4) Axioma da Existência de Pares de Classes ou Axioma do Par

Dados dois conjuntos quaisquer, existe um conjunto ao qual ambos pertencem.

�� Em outras palavras: Se x e y são conjuntos, quando x ≠≠≠≠ y, pode-se criar o conjunto {x, y}, denominado par não-ordenado de conjuntos e, quando x = y, tendo-se {x, y} = {x, x} = {x} que é um conjunto unitário (ou singleton).

Em símbolos: )yuxuzu(uzyx =∨=↔∈∀∃∀∀

Comentário:

[1] Compare este axioma com as definições 1 e 2 do item 9.4.


9.9.9.9.12121212

[2] Pode-se ainda usar a notação })y,x{z(zyx =∃∀∀ , cabendo chamar a atenção para o seguinte: se

x = y, o par {x, x} se transforma em {x} e ainda vale a propriedade: {x , y} = {y , x} conforme

definição [1] do item 9.4.

9.5.5.- (ZF5) Axioma da Soma de Classes ou Axioma da União de Classes

Para toda coleção de conjuntos (classe), existe um conjunto que contém todos os elementos que pertencem pelo menos a um dos conjuntos da dada coleção de conjuntos (classe).

Em símbolos: ))xuuy(uzy(yzx ∈∧∈∃↔∈∀∃∀

• Notação Simplificada: )xz(zx U=∃∀ ainda se pode ter: )xz(zxxuU∈

=∃∀

Exemplos:

[1] Sendo dada a classe x, como }}}}k{{,h},g,f,e{},e{,d{}},c,b{,a{{x = então

z}}}k{{},g,f,e{},c,b{},e{,h,d,a{}}}}k{{,h},g,f,e{},e{,d{}},c,b{,a{{x ===U U , onde cada um

dos elementos ui∈ x, são os seguintes, sem a necessária ordem na indexação: }}c,b{,a{u1 = e

}}}k{{,h},g,f,e{},e{,d{u 2 = e os yj são, sem a necessária ordem na indexação, os seguintes: y1 = a,

y2 = d, y3 = h, y4={b,c}, y5 = {e,f,g} e y5 = {{k}}.

[2] No caso de um par não ordenado: x = {a, b} tem-se que bax ∪=U , o que passa a permitir a

notação a partir A∪B=U }B,A{ .

[3] Para a classe x = {{1,2}, (1,3,5}} tem-se que }5,3,2,1{}5,3,1{}2,1{x =∪=U = z.

9.5.6.- (ZF6) Axioma do Conjunto Potência de uma Classe ou Axioma das Partes de uma Classe

Para todo conjunto, existe uma classe de conjuntos que contém como seus elementos todos os subconjuntos possíveis da dada classe.

Em símbolos: )xyzy(y(zx ⊂↔∈∀∃∀ ou ∀x∃z(z = P (x))

• Exemplos: [1] Numa Teoria com ur-elementos teríamos: Se x = {1, 2, 5} ⇒ P (x) = { ∅, {1}, {2}, {5}, {1,2}, {1,5}, {2,5}, {1,2,5} } [2] Se x = {{1,2}, {1,3,5}} ⇒ P (x) = { ∅, {{1,2}}, {{1,3,5}}, x }, ou seja,

P (x) = { ∅, {{1,2}}, {{1,3,5}}, {{1,2}, {1,3,5}} }

� Examine este exemplo com cuidado e lembre-se do que já se provou no capitulo anterior (item

8.6):Se #(A) = n ⇒⇒⇒⇒ #( P (A)) = 2n


9.9.9.9.13131313

9.6.6.- (ZF7) Axioma da Infinidade

Existe um conjunto x com a seguinte propriedade: ∅∅∅∅∈∈∈∈x e se u∈∈∈∈x, então u+∈∈∈∈x .

Em símbolos:

),xuxu(ux(x 1 ∈→∈∀∧∈∅∃ + onde u+1 = u ∪ {u} é denominado sucessor de u.

Observações e Exemplos:

[1] Um conjunto x que possua esta propriedade é denominado conjunto indutivo. A existência dos

conjuntos indutivos nos permitirá a criação do conjunto dos números naturais.

[2] Pelo menos pode-se garantir a partir deste axioma a existência de um conjunto infinito e indutivo,

ou seja: N = { φ, {φ}, {φ, {φ}}, { φ, {φ},{φ, {φ}} }, ...}.

[3] Note que podemos ter conjuntos infinitos não indutivos, mas os conjuntos indutivos são

obrigatoriamente infinitos.

[4] Na literatura u+ ou, alternativamente, u+1, ou até mesmo u+1, são usados para representar o conjunto sucessor de u.

9.6.- Algumas Conceitos e Definições e Algumas Conclusões

9.6.1.- Tirando Conclusões a Respeito da Existência de Conjuntos

Discutiu-se no início deste texto que não havia nenhuma garantia do que seriam estes

“tais”conjuntos, nem como eles seriam. É somente a partir dos Axiomas ZF2 e ZF4 que podemos

estabelecer a existência de alguns destes “tipos”de conjuntos na Teoria de Zermelo, vejamos como isto

ocorre:.

� O axioma ZF2 garante a existência do conjunto vazio: φ.

� O axioma ZF4, garantindo a existência dos pares não-ordenados: {x, y}, permite ainda a

criação dos conjuntos unitários (os “singletons”), bastando para isto, estabelecer que x = y

termos como conseqüência: {x,x} = {x}.

� O axioma ZF4 permite ainda a criação de conjunto com pares de elementos do tipo:

{x,{x, y}} que se pode provar que são os pares ordenados na sua notação usual:

(x,y) = (z,w) ⇔ x = z ∧ y = w, ou naquela que passaremos a adotar: y,x = w,z se, e

somente se, x = z e y = w.


9.9.9.9.14141414

CONCLUSÕES:

A partir das idéias acima e de acordo com a notação até aqui adotada, poderíamos

escrever o seguinte:

• ∃x( x = ∅ )

• ∀x∀y∃z( z = {x,y} ) − onde z é um par não-ordenado

• ∀x∃w( w = {x} ) − onde w é um conjunto unitário ou um “singleton”

• ∀x∀y∃p( p = y,x ) − onde p é um par ordenado

9.6.2.- Sobre o Sucessor de um Conjunto e Sobre o que seja a Cardinalidade

Seja: x+1= x ∪∪∪∪ {x}, onde x+1 indica o conjunto ou a classe sucessora de x.

• Admitidas a existência dos conjuntos vazios (classes vazias), do conjunto unitário (classe

unitária), e dos conjuntos de pares de conjuntos (classes com dois membros ou com dois elementos)

vamos dar o seguinte exemplo, que permite a construção dos conjuntos infinitos e que permite

definir uma função que estabelece uma forma de contagem da quantidade de elementos distintos

que pertençam a um dado conjunto, ou seja, permite verificar a sua cardinalidade:

� conjunto vazio: φ

� sucessor do conjunto vazio: φ+1 = φ ∪ {φ}= {φ} – um conjunto unitário

� sucessor do sucessor do conjunto vazio: φ+1+1 = {φ} ∪ {{φ}}= {φ, {φ}} – um par não-ordenado

� sucessor do sucessor do sucessor do conjunto vazio:

φ+1+1+1 = {φ, {φ}}∪ {{φ, {φ}}} = {φ, {φ},{φ, {φ}}}– um terno não-ordenado (!)

• A função que permite atribuir valores numéricos (associar um número cardinal) a cada um

destes conjuntos, pode fazê-lo da seguinte forma, levando em conta a quantidade de elementos

distintos pertencentes a cada um dos conjuntos:

φ a 0; {φ} a 1; {φ, {φ}}a 2; { φ, {φ},{φ, {φ}} } a 3; ... e assim por diante.

o que, por uma questão de comodidade, poderá ser reescrito como:

#(φ) = 0; #({φ}) = 1; #( {φ, {φ}} ) = 2; #( { φ, {φ},{φ, {φ}} } ) = 3 e assim por diante,

onde:

“#(x) = k”, k ∈ N, para todo α conjunto, deverá ser lido: “a cardinalidade de x é igual a k”.

• Podemos utilizar as mesmas idéias para obter a cardinalidade dos sucessores do conjunto {x}:

{x}a 1; {x}+1={x}∪{{x}} = { x, {x}}a 2, e assim por diante, bem como #( {x}+1+1) =. 3,

#( {x}+1+1+1) = 4, etc.


9.9.9.9.15151515

O Axioma da Cardinalidade:

Em muitas das retomadas axiomáticas da Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel

pode-se encontrar o conceito de cardinalidade, não como um conceito definido, mas apresentado sob a

forma de mais um axioma [Izar & Tadini 1998]:

“A cada conjunto x está associado univocamente o número cardinal #(x),

denominado cardinalidade de x, tal que dados a e b, dois conjuntos ou classes, #(a) =

#(b) indicará que a quantidade de elementos de a é igual à quantidade de elementos

de b”.

9.6.3.- Definição de Produto Cartesiano entre Conjuntos de Conjuntos

Sejam a e b classes ou coleções de conjuntos e x e y conjuntos ou classes, tais que x∈∈∈∈a e y∈∈∈∈b.

z = a ×××× b é a notação abreviada para: ∀∀∀∀w(w∈∈∈∈z ⇔⇔⇔⇔ ∃∃∃∃x∃∃∃∃y(x∈∈∈∈a ∧∧∧∧ y∈∈∈∈b ∧∧∧∧ w = y,x ) )

que também pode ser notado como sendo:

z = a × b = {z∈P (P }byax}},y,x{,x{z|))ba( ∈∧∈=∪

�� Note que o produto cartesiano é definido nas teorias onde x e y são ur-elementos e A e B conjuntos como: A × B = { y,x | x∈A ∧ y∈B} ou ainda: A × B = {(x,y)| x∈A ∧ y∈B}.

9.6.4.- Definição de Função de um conjunto a em um conjunto b

Sejam a e b classes ou coleções de conjuntos e x e y conjuntos ou classes, tais que x∈∈∈∈a e y∈∈∈∈b.

A notação simplificada Func(f,a,b) indica que f é uma função que leva (associa) cada elemento

x da classe a a um único elemento y da classe b (Em se tratando de funções assumindo valores reais

no conjunto A de números reais com imagens reais num conjunto B, esta notação seria: f:A a B ,

y = f(x), mas este não é o caso):

Func(f,a,b) ⇔ ( ∀ y,x ∈a × b ( y,x ∈f ⇔ ( y,x ∈f ∧ z,x ∈f → y = z)]

9.7.- Os Axiomas e Axiomas-Esquema da Teoria de Zemelo-Fraenkel (ZF8 e ZF9)

À medida em que avançamos na formalização da Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel,

os axiomas vão se tornando mais e mais complexos. Alguns destes axiomas são na verdade esquemas

tautológicos que, mediante o uso da regra de inferência denominada substituição, passa a suportar


9.9.9.9.16161616

várias ou, até mesmo, infinitas possibilidades de construção de novas tautologias. Estes axiomas são

denominados axiomas-esquema ou axiomas esquemáticos. Entre os axiomas até aqui enunciados, o

axioma ZF3 é um esquema axiomático na medida em que a propriedade P(u) pode ser substituída a

cada momento por uma nova propriedade, possibilitando a construção de novas verdades tautológicas.

No caso do axioma da substituição temos que introduzir como pré-requisito o conceito de

predicado da Lógica de Primeira Ordem que representa uma função.

9.7.2.- Predicado da Lógica de Primeira Ordem que Representa uma Função

Tomemos como exemplo a seguinte função: f:Ra R, dada pela lei y = 3x, ou seja, queremos o

conjunto dos número reais tais que y seja o triplo de x. Poderísmos agora escrever esta função como

um predicado da lógica formal: triplo_de(y,x) que seria lida “y é o triplo de x”. Abstraindo ainda

mais, poderíamos escrever apenas P(y,x) e afirmar que este predicado representa uma função.

Vamos dar mais um exemplos exemplo e um contra-exemplo do que acabamos de mostrar: (i)

o predicado Mãe_de(y,x) ou “y é mãe de x” representa uma função, pois o y é única para cada x, ou

seja, há uma única mãe y para cada filho x, e isto caracterizaria uma função do conjunto dos filhos

para o conjunto das mães; (ii) já no caso do predicado Filho_de(y,x) ou “y é filho de x” poderísmos ter

vários y’s para um mesmo x, e isto caracterizaria uma relação do conjunto dos pais para o conjunto dos

filhos.

Definição:

Diz-se que P(y,x), um predicado de uma Lógica de Primeira Ordem representa, uma função que

aplica elementos x de uma dada coleção de conjuntos a em elementos y de uma coleção b de

conjuntos, ou que é um predicado-função de a em b, se e somente se,

) )zy)x,z(P)x,y(P()bzbyax( (zyx =⇔=⇒∈∧∈∧∈∀∃∀ .

9.7.3.- (ZF8) Axioma da Substituição (devido a Fraenkel)

Se P(y,x) é um predicado-função e x∈∈∈∈a um conjunto,

então existe um conjunto b formado por todos os elementos y,

para os quais P(y,x) é verdadeira.

Comentários e Exemplos:

[1] Este axioma deixa claro o seguinte: uma função aplicada sobre um conjunto terá, também,

um conjunto por imagem.


9.9.9.9.17171717

[2] Seja, por exemplo, P(y,x) um predicado-função tal que corresponda a “y = 3x”, isto é “ y é o triplo

de x” e seja, por exemplo, um conjunto x = {0,1,2,3}∈a. Neste caso o conjunto imagem y

correspondente ao conjunto x será: y ={0,3,6,9}∈∈∈∈b.

[3] Seja, por exemplo, P(y,x) uma função predicativa tal que corresponda a “y = x + 1”, e seja o

conjunto x = {0,1,2,3}∈a. Neste caso o conjunto imagem y correspondente ao conjunto x será:

y ={1,4,7,10}∈∈∈∈b.

[4] Seja a = {{2}, {1,2}, {0,3,5}} e seja o predicado função P(y,x) = Dobro_de(y,x) uma aplicação

sobre a, então, pelo axioma da Substituição, existirá um conjunto b, tal que:

b = {{4}, {2,4}, {0,6,10}}

9.7.4.- (ZF9) Axioma da Fundação ou Axioma da Regularidade (devido a von Neumann)

Todo conjunto não vazio é disjunto pelo menos de um de seus elementos.

Em símbolos: }yxxy,y(x,x ∅=∩∧∈∃→∅≠∀

9.8.- O axioma da Escolha

Quando se adota o axioma da Escolha como um axioma a mais nesta teoria, ela passa a ser

conhecida pela sigla ZFC que em inglês é entendida como “Zermelo-Fraenkel Set Theory with Choice

Axiom”. A partir de trabalhos apresentados por Gödel em 1940 e Paul J. Cohen em 1963, ficou

provado que o Axioma da Escolha é independente dos outros nove axiomas da Teoria de Zermelo-

Fraenkel. O axioma da Escolha está para a teoria axiomática dos conjuntos, como o Postulado da

Paralelas está para a Geometria Euclidiana, isto é, pode-se ter uma teoria dos conjuntos com ou sem o

axioma da Escolha.

(ZF10) Axioma da Escolha

Dado o conjunto x cujos elementos são conjuntos não vazios tais que dois a dois não possuam elementos comuns, existe um conjunto y tal que seus elementos são exatamente um elemento de

cada um dos conjuntos de x.

Em símbolos: Se x é uma classe cujos elementos são conjuntos não vazios tais que dois a dois não possuam

elementos comuns, isto é: ( )[ ])])uvuv(xv[vu(xuux ∅=∩→≠∧∈∀∧∅≠→∈∀∀

então, vale o seguinte: ( )[ ])]wzyuz(zyuw[wxuuyx =→∩∈∀∧∩∈∃→∈∀∃∀

Outra forma de enunciar este axioma:

∀x[x∈z ⇒ x ≠ ∅ ∧ ∀y(y∈z ⇒ x ∩ y = ∅ ∨ x = y) ] ⇒ ∃u∀x∃v(x∈z ⇒ u ∩ x = {v} )


9.9.9.9.18181818

I promised to torture you more with the Axiom of Choice, so here it is. First a schematic version:

The above shows a top set (red) containing blue sets, with each blue set containing green/purple sets, which are assumed to be all be different. The Axiom of Choice says you can always find a set containing exactly set from each of the blue sets, even with an infinity of blue sets or green sets. The purple sets in the above diagram form a choice set. Here are some other ways to state the axiom of Choice:

• For any two cardinalities, either one is bigger, or they are equal. For this to be violated, you need a choice situation like above with no choice set, and then the number of B's will be incomparable with the number of x's. One would think there would be more x's, but that requires there to be an x for every B. You would have to be able to choose a specific one for each B-- the Axiom of Choice.

• Every set is well orderable. You can prove that any infinite set can be divided into an infinite number of well orderable pieces each smaller than the infinite set. But you need the Axiom of Choice to do this "all the way down" and get a well ordered set.

9.8.- A Teoria dos Conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG ou vNBG)

A seguir vai-se apresentar uma axiomatização para a Teoria dos Conjuntos devida a von

Neumann, Bernays e Gödel (NBG ou vNBG), tendo como extensão o Axioma da Escolha. A Teoria

Axiomática de von Neumann-Bernays-Gödel é uma teoria de classes, isto é, nela são considerados

como elementos apenas os conjuntos e as classes de conjuntos, cabendo lembrar, por exemplo, que um

par ordenado, cuja notação por nós adotada é b,a (bem como os pares não-ordenados {a,b}) só serão

considerados como tal, numa teoria de classes quando, e somente quando, a e b forem conjuntos ou

classes.

A teoria vNBG é aqui apresentada, tendo como base a excelente obra de Elliott Mendelson,

Introduction to Mathematical Logic [Mendelson 1997] e adotando uma notação bastante próxima da

expressiva notação que pode ser encontrada em dois artigos científicos de Willian Farmer e Joshua D.

Guttaman [Farmer 2002, Farmer & Guttaman 2002].

Nos itens seguintes serão apresentados os conceitos primitivos desta teoria, bem como as

definições fundamentais e aquelas definições que resolvemos denominar “As 14 Definições

Necessárias para Melhor Entender a Teoria vNBG”, para somente então se introduzir os 16 axiomas.


9.9.9.9.19191919

9.8.1.- Os Conceitos Primitivos da Teoria vNBG

Os conceitos primitivos desta teoria são três:

[1] classe (conjunto de conjuntos) que são notadas através das seguintes letras latinas

maiúsculas a, b, c, d. Quando necessário, serão referidos como Classe. Assim Classe(a)

deverá ser lido: “a é uma classe”.

[2] conjunto que são notados através das seguintes letras latinas minúsculas: x, y, z, w. Quando

necessário, serão referidos como Conjunto. Assim, Conjunto(x) deverá ser lido: “x é um

conjunto”.

[3] ∈∈∈∈ - a relação de pertinência.

9.8.2.- As primeiras Definições Fundamentais da Teoria vNBG

Definição F1: ∀a, Classe(a) ↔ (a = a)

Definição F2: ∀x, Conjunto(x) ↔ ∃y, x ∈ y – pela Definição 1, fica evidente aqui que y é uma

classe, ou seja, Classe(y), e a definição significa o seguinte: qualquer que seja o conjunto ele será

sempre elemento de alguma classe. Uma forma bastante conveniente de se escrever a Definição F2

seria, por exemplo: ∀x ∃a (Conjunto(x) ,Classe(a), x∈a).

�� Há uma outra Versão para a Definição F2, mais rebuscada, e que nos mostra a possibilidade

de inclusão de classes: ∀a∃b ( (Conjunto(a) ∨ Classe(a) ) ∧ Classse(b), a ∈ b ) .

9.8.2.- As 14 Definições Necessárias para Melhor Entender a Teoria vNBG

Aqui iremos apresentar 14 definições, que resolvemos denominar necessárias. Algumas delas

são bastante familiares para aqueles leitores que vieram acompanhando este texto até aqui. No entanto,

algumas definições bastante particulares é que fazem da Teoria de von Neumann-Bernays-Gödel

aquilo que ela tem de mais especial, ela é uma teoria de Classes.

Definição N1 - Definição de Par:

∀Clas(a) ∀Clas(b), {a, b} ⇔ ∃Conj(x), ∀Clas(a) ∧∀Clas(b) ∧∀Conj(y), y ∈ x ≡ (y = a ∨ y = b)

Definição N2 - Definição de Conjunto Unitário (singleton):

∀Clas(a) , {a, a} = {a}

Definição N4 - Definição de Tripla Ordenada:

Definição N3 - Definição de Par Ordenado:

∀Clas(a) ∀Clas(b), b,a = {{a},{a, b}}


9.9.9.9.20202020

∀Clas(a) ∀Clas(b) ∀Clas(c), c,b,ac,b,a =

Definição N6 - Definição de Subconjunto Próprio:

∀Clas(a) ∀Clas(b), a ⊂ b ⇔ a ⊆ b ∧ a ≠

b

Definição N7 - Definição de Conjunto Vazio:

∀Clas(a), Vazio(a) ⇔ (∀Conj(x),

x∉a)

Definição N8 - Definição de Univocidade:

∀Clas(a), Unívoca(a) ⇔ [ ∀Conj(x) ∀Conj(y) ∀Conj(z) ( y,x ∈a ∧ z,x ∈a ⇒ y = z ]

Definição N9 - Definição de Função:

∀Clas(a), Função(a) ⇔ [ Unívoca(a) ∧ ∀Conj(x) x∈a ↔ (∃ Conj(y) ∃Conj(z), x = z,y ]

Definição N10 - Definição de Intersecção:

∀Clas(a), ∀Clas(b), a ∩ b ⇔ [ ∃ Clas(c) ∀Conj(x), x∈c ↔ (x∈a ∧ x∈b) ]

Definição N11 - Definição de Complemento: (Atenção: Complemento de a = a = a’ = Ca)

∀Clas(a), a ⇔ [ ∃ Clas(b) ∀Conj(x), x∈b ↔ x∉a ]

Definição N12 - Definição de Domínio:

∀Clas(a), Domínio(a) ⇔ [ ∃ Clas(b) ∀Conj(x), x∈b ↔ (∃ Conj(y), y,x ∈a ]

Definição N13 - Definição de Soma de Classes:

∀Clas(a), Soma(a) ⇔ [ ∃ Clas(b) ∀Conj(x), x∈b ↔ (∃ Conj(y), x∈y ∧ y∈a) ]

Definição N14 - Definição de Potência de Classes:

∀Clas(a), Potência(a) ⇔ [ ∃ Clas(b) ∀Conj(x), x∈b ↔ x ⊆ a]

Definição N5 - Definição de Subconjunto:

∀Clas(a) ∀Clas(b), a ⊆ b ⇔ (∀Conj(x), x∈a ⇒ a∈b)


9.9.9.9.21212121

9.8.3.- Os axiomas da Teoria vNBG

A seguir, serão apresentados os dezesseis axiomas da Teoria dos Conjuntos de von Neumann-

Bernays-Gödel.

Axioma 1 - Extensionalidade:

∀Clas(a) ∀Clas(b) [∀Conj(x) ( x∈a ↔ x∈b ) → a = b]

Axioma 2 - Intersecção:

∀Clas(a) ∀Clas(b) ∃Clas(c) ∀Conj(x) [ x∈c ↔ x∈a ∧ x∈b ]

Axioma 3 - Complementação:

∀Clas(a) ∃Clas(b) ∀Conj(x) [ x∈a ↔ x∉b ]

Axioma 4 - Par:

∀Conj(v) ∃Conj(w) ∀Conj(x) ∀Conj(y) [ x∈y ↔ x = z ∨ x = w ]

Axioma 5 – Pertinência de Classes:

∃Clas(a) ∀Conj(x) ∀Conj(y) ( y,x ∈a ↔ x∈y)

Nota: Veja a Definição N3 - Definição de Par Ordenado

Axioma 6 - Domínio:

∀Clas(a) ∃Clas(b) ∀Conj(x) ( x∈b ↔ ∃ Conj(y), y,x ∈a )

Axioma 7 – Produto Cartesiano:

∀Clas(a) ∃Clas(b) ∀Conj(x) ∀Conj(y) ( y,x ∈b ↔ x∈a )

Axioma 8 – Permutação 1 ou Relação Inversa:

∀Clas(a) ∃Clas(b) ∀Conj(x) ∀Conj(y) ( y,x ∈b ↔ x,y ∈a )

Axioma 9 – Permutação 2:

∀Clas(a) ∃Clas(b) ∀Conj(x) ∀Conj(y) ∀Conj(z) ( z,y,x ∈b ↔ x,z,y ∈a )

Axioma 10 – Permutação 3:

∀Clas(a) ∃Clas(b) ∀Conj(x) ∀Conj(y) ∀Conj(z) ( z,y,x ∈b ↔ y,z,x ∈a )

Axioma 11 – Infinidade:


9.9.9.9.22222222

∀Conj(x) [ ¬¬¬¬Vazio(x) ∧ [ ∀Conj(y), y∈x → (∃Conj(z), z∈x ∧ y ⊂ z) ] ]

Axioma 12 – União ou Soma de Classes ou Conjuntos:

∀Conj(x) [ Conj(Soma(x) ]

Axioma 13 – Conjunto Potência:

∀Conj(x) [ Conj(Potência(x) ]

Axioma 14 – Substituição:

∀Clas(a) [ Unívoca(a) ⇒ (∀Conj(x) ∃Conj(y) ∀Conj(z), z∈y ↔ (∃Conj(w), w ∈x ∧ z,w ∈a ) ]

Axioma 15 – Fundação ou Regularidade:

∀Clas(a) [ ¬¬¬¬Vazio(a) → [ ∃Conj(x) x∈a ∧ ∀Conj(y), ¬(y∈x ∧ y∈a) ]

Axioma 16 – Escolha Global:

∀Clas(a) [ (Função(a) ∧ ∀Conj(x), ¬¬¬¬Vazio(x)) → ∃Conj(y), y∈x ∧ y,x ∈a ]

9.9.- Uma Notação mais Simples para as Definições e Axiomas da Teoria vNBG

A notação adotada nesta primeira apresentação da Teoria vNBG (item 9.8) é semelhante àquela

adotada por Farmer e Guttman [Farmer 2002, Farmer & Guttaman 2002] que, como já se mencionou

anteriormente, é bastante expressiva. No entanto, se aquela notação parece ser útil num primeiro

momento, ou numa primeira leitura, ela vai nos parecendo carregada demais de símbolos quando de

fato deva ser utilizada. A partir desta constatação propõe-se, a seguir, uma simplificação da notação,

tomando-se por base, aquela sugerida no livro de Mendelson [Mendelson 1997], ou seja, os conjuntos

seriam notados com algumas letras latinas minúsculas específicas (x, y, z, w, ...), enquanto as classes,

o seriam com outras letras latinas Maiúsculas distintas daquelas escolhidas para os conjuntos (A, B, C,

D, ...). Assim, no texto a seguir o leitor irá se deparar com as mesmas definições e axiomas

anteriormente apresentados, mas com a seguinte notação: A, B, C representas as classes; x, y, z, u, v, w

representam os conjuntos; P (x) - o conjunto potência de x - no lugar de Potência(x), F(A)

representando Função(A); x = ∅ ou A = ∅ respectivamente nos lugares de Vazio(x) ou de

Vazio(A); x ≠ ∅ ou A ≠ ∅ nos lugares de ¬¬¬¬Vazio(x) ¬¬¬¬Vazio(A); Dom(A) foi naturalmente escolhido


9.9.9.9.23232323

para substituir Domínio(A); Soma(A) foi substituído por U )A( , enquanto Unívoca(A) passou a ser

notado como Unívoca(A).

9.9.1. Definições da Tória vNBG

Definição N1 - Definição de Par: ∀A ∀B, {A, B} ⇔ ∃x, A ∧ B ∧ ∀y, y ∈ x ≡ (y = A ∨ y = B)

Definição N2 - Definição de Conjunto Unitário (singleton): ∀A, {A, A} = {A}

Definição N3 - Definição de Par Ordenado: ∀A ∀B, B,A = {{A},{A, B}}

Definição N4 - Definição de Tripla Ordenada: ∀A ∀B ∀C, C,B,AC,B,A =

Definição N5 - Definição de Subconjunto:∀A ∀B, A ⊆ B ⇔ (∀x, x∈A ⇒ A∈B)

Definição N6 - Definição de Subconjunto Próprio: ∀A ∀B, A ⊂ B ⇔ A ⊆ B ∧ A ≠ B

Definição N7 - Definição de Conjunto Vazio: ∀(A), A = ∅ ⇔ (∀x, x∉A)

Definição N8 - Definição de Univocidade: ∀A, Unívoca(A)⇔[∀x∀y∀z( y,x ∈A∧ z,x ∈A⇒ y=z]

Definição N9 - Definição de Função: ∀A, F(A)⇔[Unívoca(A)∧∀x, x∈A ↔ (∃y∃z, x = z,y ]

Definição N10 - Definição de Intersecção: ∀A, ∀b, A ∩ B ⇔ [ ∃c ∀x, x∈c ↔ (x∈A ∧ x∈b) ]

Definição N11 - Definição de Complemento: ∀A, A ⇔ [ ∃ B ∀x, x∈B ↔ x∉A ]

Definição N12 - Definição de Domínio: ∀A, Dom(A) ⇔ [∃B ∀x, x∈B ↔ (∃y, y,x ∈A ]

Definição N13 - Definição de Soma de Classes: ∀A, U )A( ⇔ [∃B∀x, x∈B ↔ (∃y, x∈y ∧ y∈A)]

Definição N14 - Definição de Potência de Classes: ∀A, P (A)⇔[∃B∀x, x∈B ↔ x ⊆ A]

9.9.2.- Axiomas

Axioma 1 - Extensionalidade: ∀A ∀B [∀x ( x∈A ↔ x∈B ) → A = B]

Axioma 2 - Intersecção: ∀A ∀B ∃C ∀x [ x∈C ↔ x∈A ∧ x∈B ]

Axioma 3 - Complementação: ∀A ∃B ∀x [ x∈A ↔ x∉B ]

Axioma 4 - Par: ∀v ∃w ∀x ∀y [ x∈y ↔ x = z ∨ x = w ]

Axioma 5 – Pertinência de Classes: ∃A ∀x ∀y ( y,x ∈A ↔ x∈y)

Axioma 6 - Domínio: ∀A ∃B ∀x ( x∈B ↔ ∃y, y,x ∈A )

Axioma 7 – Produto Cartesiano: ∀A ∃B ∀x ∀y ( y,x ∈B ↔ x∈A )

Axioma 8 – Permutação 1 ou Relação Inversa: ∀A ∃B ∀x ∀y ( y,x ∈B ↔ x,y ∈A )

Axioma 9 – Permutação 2: ∀A ∃B ∀x ∀y ∀z ( z,y,x ∈B ↔ x,z,y ∈A )


9.9.9.9.24242424

Axioma 10 – Permutação 3: ∀A ∃B ∀x ∀y ∀z ( z,y,x ∈B ↔ y,z,x ∈A )

Axioma 11 – Infinidade: ∀x [ x ≠ ∅ ∧ [ ∀y, y∈x → (∃z, z∈x ∧ y ⊂ z) ] ]

Axioma 12 – União ou Soma de Classes ou Conjuntos: ∀x [ Conj(U )x( ]

Axioma 13 – Conjunto Potência: ∀x [ Conj(P (X)) ]

Axioma 14 – Substituição: ∀A [ Unívoca(A) ⇒ (∀x ∃y ∀z, z∈y ↔ (∃w, w ∈x ∧ z,w ∈A ) ]

Axioma 15 – Fundação (ou Regularidade): ∀A [A≠∅ → [ ∃x, x∈A ∧ ∀y, ¬(y∈x ∧ y∈A) ]

Axioma 16 – Escolha Global: ∀A [ ( F(A) ∧ ∀x, x ≠∅) → ∃y, y∈x ∧ y,x ∈A ]

9.10.- A Teoria dos Conjuntos de Morse-Kelley e a de Tarski-Grothendieck

Como mencionado no início deste capítulo, muitas foram as tentativas de axiomatização da

Teoria dos Conjuntos, sendo a mais conhecida e estudada a de Zermelo-Fraenkel (Zermelo-Fraenkel-

Skolem). Já a Teoria dos Conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel, cujas definições e axiomas

vimos nos itens anteriores, deu origem a uma outra teoria com um sistema de axiomas mais simples, a

Teoria dos Conjuntos de Morse-Kelley (MK) que não estudaremos neste texto. Quanto à Teoria dos

Conjuntos de Tarski-Grothendieck seus axiomas são basicamente aqueles da teoria de Zermelo-

Fraekel onde o axioma da escolha foi trocado pelo axioma da existência dos cardinais arbitrariamente

grandes, os cardinais fortemente inacessíveis, também conhecido como axioma dos conjuntos

inacessíveis [Suppes 1972].

Os leitores interessados na Teoria de Tarski-Grothendieck encontrarão na Internet, no site do

Projeto Mizar: http://web.cs.ualberta.ca/~piotr/Mizar/mirror/httpd/JFM/index.html informações

muito interessantes sobre ela.

O Projeto Mizar envolve o contínuo desenvolvimento de um sistema computacional, cuja base

dados atualmente envolve mais de 2.000 definições matemáticas e mais de 30.000 teoremas, cujo

objetivo é o de, a partir de uma linguagem matemática inteligível, mas ao mesmo tempo

suficientemente rigorosa, permitir o processamento computacional deste conteúdo matemático. Todo

este material está reunido na Mizar Mathematical Library (MML), uma biblioteca de artigos cujas

bases se assentam nos axiomas da Teoria dos Conjuntos de Tarski-Groethendieck: aquele que

estabelece que a teoria se refere somente a conjuntos:

• o axioma da Extensionalidade,

• os axiomas do par não-ordenado,

• o do par ordenado e o do singleton,


9.9.9.9.25252525

• axioma da união de uma família de conjuntos,

• o axioma do conjunto potência,

• o axioma da fundação ou da regularidade (vide axioma 15 da teoria

vNBG)

• e o axioma de Tarski, que é o seguinte:

Para todo conjunto N existe uma classe de conjunto M satisfazendo às seguintes condições:

(i) N∈∈∈∈M

(ii) Se X∈∈∈∈M e Y ⊆⊆⊆⊆ X, então Y∈∈∈∈M

(iii) Se X∈∈∈∈M e Z = P (X), então Z∈∈∈∈M

(iv) Se X ⊆⊆⊆⊆ M e #(X) ≠≠≠≠ #(M) então X∈∈∈∈M

Tarski mostrou que #(M), isto é, o cardinal de um dado conjunto M, é infinito e inacessível

(fortemente inacessível) quando M satisfaz às condições deste axioma, por isto, o nome dado ao

axioma.

9.11.- Uma Teoria Axiomática dos Conjuntos com Ur-elementos

A palavra alemã “urelement” é um termo que foi incorporado à linguagem matemática no

início do século XX. A partícula “ur” da língua alemã corresponde aproximadamente ao afixo

“prôtos” do grego, cujo significado é, entre outros: o primeiro, o inicial, o primitivo, aquele que vem

antes ou que precede todos, o mais distinto, o principal. Assim é que, a palavra “urelement” poderia

ser traduzida por “proto-elemento”.

Na Matemática, as Teorias Axiomáticas dos Conjuntos, como por exemplo as Teorias ZF,

vNBG, MK e TG, passaram a fazer referências somente aos conjuntos e às classes. No entanto, nas

ciências naturais ou sociais, há a necessidade de se fazer referência a coisas que não são conjuntos,

nem classes, como por exemplo: elétrons, moléculas, pessoas, companhias etc, bem como a classes e

conjuntos que contém as mais diversas destas coisas. Foi assim que se passou a utilizar a palavra

urelement (que também aparece grafada como ur-element), que em português poderia ser grafada

como proto-elemento (e porque não ur-elemento?), para designar alguma coisa que não é um conjunto,

mas que pode ser elemento de um conjunto.

Segundo Mendelson [Mendelson 1997] foi a partir da axiomatização da Teoria dos Conjuntos

de Zermelo, em 1908, que se teve que admitir pela primeira vez a existência dos ur-elementos sendo,

no entanto, que Fraenkel, foi o primeiro a observar que a ausência destes elementos numa Teoria dos


9.9.9.9.26262626

Conjuntos não se consistiria num problema para os matemáticos. Ainda é Mendelson [Mendelson 1997

pág 297] quem nos informa que os axiomas de von Neumann (1925, 1928) excluíam os ur-elements.

Em resumo, os conjuntos e as classes são suficientes para o desenvolvimento de uma Teoria

Axiomática dos Conjuntos − e que se mostra útil aos propósitos matemáticos −, onde os elementos são,

na pior das hipóteses, conjuntos pertencentes a uma classe. Assim, enquanto na Teoria Axiomática de

Cantor pode-se ter: a ∈ {a,e,i,o,u}={x | x é vogal do alfabeto da língua portuguesa}=V, que poderá ser

lido ou entendido como “a vogal a pertence ao conjunto da vogais”, nas Teorias Axiomáticas citadas

anteriormente, não se pode nem pensar numa situação destas, pois as vogais são ur-elementos e não

fazem parte daquelas teorias.

9.11.1.- Os Ur-elementos e Axioma da Extensionalidade Na Teoria Axiomática dos Conjuntos que leva o nome de Zermelo-Frankel o axioma da

Extensionalidade ou da Extensão afirma que: “Dado qualquer conjunto A e um conjunto B, A é igual a

B, se e somente se, dado um conjunto C, C é membro de A e C é membro de B”, o que pode ser escrito

simbolicamente como:

∀∀∀∀A, ∀∀∀∀B, A = B ↔↔↔↔ (∀∀∀∀C , C ∈∈∈∈ A ↔↔↔↔ C ∈∈∈∈ B).

Pode parecer que o conjunto C, no axioma da Extensionalidade poderia não ser nem um

conjunto nem uma outra classe membro das classes A e B, mas na Teoria ZF, C é pelo menos um

conjunto, quando não, uma classe. Vamos supor agora o seguinte: que C não sejam nem um conjunto

nem uma classe, ou seja, que a exigência do Axioma da Extensionalidade seja violada. O que

aconteceria?

Vejamos: um ur-elemento é um membro de um conjunto (ou uma classe) que não é um

conjunto. Nos axiomas de Zermelo-Fraenkel, não se faz referência a nenhum ur-elemento, mas em

algumas axiomatizações alternativas da Teoria dos Conjuntos eles ocorrem.

Observe que, quando A é um ur-elemento, não faz nenhum sentido afirmar que C pertence a A.

Por outro lado, poderemos afirmar que: “C∈A será falso sempre que A for um ur-elemento”. Pelo

axioma de extensionalidade, isto teria como conseqüência um fato deveras interessante: “todo ur-

elemento seria equiparável ao conjunto vazio”, pois A não possui elementos tanto quanto ∅ também

não os possui. Mas a discussão pára aqui, pois ser “equiparável” não quer dizer “igual”.

Para evitar este tipo de confusão, nós podemos pensar em definir ur-elemento como:

∀∀∀∀x, Ur(x) ↔↔↔↔ x ≠≠≠≠ ∅∅∅∅ ∧∧∧∧ ¬¬¬¬(∃∃∃∃y, y∈∈∈∈x)


9.9.9.9.27272727

em pensar em modificar o axioma da extensionalidade para só se aplicar a conjuntos não vazios, ou

seja:

∀∀∀∀A, ∀∀∀∀B, (∃∃∃∃C, C∈∈∈∈A) →→→→ (A = B ↔↔↔↔ (∀∀∀∀C , C ∈∈∈∈ A ↔↔↔↔C ∈∈∈∈ B))

.

o que pode ser lido como: “Dado qualquer conjunto A e um conjunto B, se A é um conjunto não vazio

(isto é, existe pelo menos um membro C em A), A é igual a B, se e somente se, A e B têm

precisamente os mesmos membros”.


9.9.9.9.28282828


Neste capítulo são expostas algumas idéias relativas às Teorias Axiomáticas dos Conjuntos. De forma rápida, seguida de alguns comentários, são apresentadas as principais definições e axiomas da Teoria Axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraennkel e von Neumann-Bernays-Gödel, bem como são citadas algumas das principais características das teorias de Morse-Kelly e de Tarski-Grothendieck Todas estas teorias são teorias de classes (Teorias de Conjuntos de Conjuntos), em que os elementos fundamentais ou conceitos primitivos são: os conjuntos, as classes e a relação de pertinência. Há ainda teorias que incluem entre os elementos fundamentais elementos no-sentido-cantoriano, ou seja, elementos que não são nem conjuntos nem classes, como o “5” da sentença “5∈N”, onde N é o conjunto dos números naturais e o elemento 5 é denominado ur-elemento ou proto-elemento. Veja que N∈5 é falso, ou até mais, não é uma sentença bem formada nas teorias em que se considera a existência dos ur-elementos.

Na tabela a seguir os axiomas da Teoria de Zermelo-Fraenkel com o axioma da Escolha (ZFC)

são apresentados numa notação mais abstrata do que a que foi apresentada no corpo do capítulo. As variáveis x, y, z,..., u, v, w são ora conjuntos, ora classes, mas nunca elementos no sentido comum dado à relação “é elemento de” ou “pertence a”, da Teoria Informal de Cantor.

Axiomas da Teoria ZFC

Nome do Axioma Fórmula

Extensionalidade ∀z(z∈x ↔ z∈y) → x = y Conjunto Vazio ∃x∀y(y∈x ↔ y ≠ y)

Pares ∃x∀y(y∈x ↔ y = u ∨ y = v) União ∃x∀y(y∈x ↔ ∃z(z∈u & y∈z))

Conjunto Potência ∃x∀y(y∈x ↔ ∀z(z∈y → z∈u)) Infinidade ∃x(∅ ∈ x & ∀y(y∈x → y'∈x)) Separação ∃x∀y(y∈x ↔ y∈u & φ(y))

Fundação ou

Regularidade ∃x(x∈u) → ∃x(x∈u & ~∃y(y∈x & y∈u))

Substituição ∀v∃!wψ(v, w) → ∃x∀y(y∈x ↔ ∃v(v∈u & ψ(v, y))

Escolha ∀u((∀x(x∈u → ∃u(u∈x) & ∀x∀y(x∈u & y∈u & ~x = y → ~∃w(w∈x & w∈y)) → → ∃z∀x(x∈u → ∃!w(w∈x & w∈ z))

Os ur-elementos emergem naturalmente da formulação inicial da Teoria Axiomática dos Conjuntos de Zermelo. Fraenkel, no entanto, alega que a ausência deste conceito numa Teoria Axiomática dos Conjuntos não consistia um problema para os matemáticos, sendo que as conceitos de conjuntos e classes, bastariam para a criação e o desenvolvimento de uma linguagem matemática suficientemente expressiva. Pode-se adotar a seguinte definição para os ur-elementos ou para os proto-elementos:

∀∀∀∀x, Ur(x) ↔↔↔↔ x ≠≠≠≠ ∅∅∅∅ ∧∧∧∧ ¬¬¬¬(∃∃∃∃y, y∈∈∈∈x)


9.9.9.9.29292929

9.13.- Exercícios de Fixação – Capítulo 9

1) Calcular o resultado das seguintes operações indicadas envolvendo classes de conjuntos:

1.a) { {a}, {b, {c}} } « {a, {b}, {c}} } = 1.b) { {a}, {b, {c}} } » {a, {b}, {c}} } =

1.c) { ∆, {∆}, {a, b} } « { {a}, {a, b} } = 1.d) { ∆, {∆}, {a, b} } » { {a}, {a, b} } =

1.e) { a, {b}, {b, c}, d} −−−− { a, {a}, {b, c}, d} = 1.f) { a, {a}, {b, c}, d} −−−−{ a, {b}, {b, c}, d} =

2) Dada a definição de classe sucessora de a como sendo: a+ = a « {a}, calcular:

2.a) a+++ 2.b) ∆++ 2.c) {a, {b} }++

3) Seja NNNN =NNNN«{0} o conjunto dos números naturais. Mostre como a cardinalidade das classes sucessoras de ∆, a partir de ∆, podem ser colocadas em correspondência biunívoca com a seqüência dos números naturais e mostre que as classes sucessoras de a, a partir de a, somente podem ser colocadas em correspondência biunívoca com os elementos de NNNN*.

4) Sendo dada a classe x a seguir, calcule os conjuntos P P P P (x) e PPPP(P P P P (x)), adotando a seguinte convenção: z = P P P P (x) e P P P P (z) = = = = PPPP(P P P P (x)).

4.a) x = {{2}, {1,3}} 4.b) x = { {1}, {3}, {4,5} }

5) Seja a função-predicado P(y, x) = P(x+, x) onde x+ é a classe sucessora de x como definida no exercício 2. Seja xŒa e yŒb. Calcule b tal partir das classes a seguir:

5.a) a = { {d}, {e, {f} } } 5.b) a ={ ∆, {∆}, {g, h} } 5.c) a = { f, {g}, {h, m}, d}

6) Calcule o produto cartesiano das classes a por b (aâb) rigorosamente a partir da definição:

z = a××××b ={z∈∈∈∈P P P P (P P P P (a«b)| z = {x,{x,y}}, xŒa Ÿ yŒb) dados: a = { m, {n,p}} e b = {{k}, {q} }

7) Seja a definição de união de classes dada por: ))xuuy(uzy(yzx ∈∧∈∃↔∈∀∃∀ ou ainda,

de forma resumida: )xz(zxxuU∈

=∃∀ , calcule Uxu

xz∈

= para os seguintes conjuntos:

7.a) x = { {a}, {b, {c}}, {b}, {{d}} } 7.b.) x = { ∆, {∆}, {a, b}, {c, d, {e} }, {{{f}}} }

8|) calcule Iwx

xz∈

= dado um conjunto w:

8.a) w ={ {a, b}, {a,b,c,f}, {a, c, d} } 8.b) w = { b, {b}, {b, c} }

9) Seja o axioma ZFC3 dado por ))u(Pxuyu(uyx ∧∈↔∈∀∀∀ . Escreva os conjuntos y, onde “y = {u | uŒx Ÿ P(u)}”, sendo dado x = {∆, {∆}, {a}, {b,{c}}, {d}, {e,f,g} } sendo que P(u) …

9.a) ... é um predicado cujo significado é: “uŒx e u é um singleton”

9.b) ... é um predicado cujo significado é: “uŒx e u é um par não ordenado de classes”.


9.9.9.9.30303030

10) Dê dois exemplos bastante significativos para o axioma ZFC9 (Axioma da Fundação ou Axioma da Regularidade – axioma devido a von Neumann) “Todo conjunto não vazio é disjunto pelo menos de um de seus elementos” que simbolicamente é dado pela expressão da lógica de Primeira Ordem:

}yxxy,y(x,x ∅=∩∧∈∃→∅≠∀

11) Seja o axioma ZFC10 (Axioma da Escolha – “Choice Axiom”) – “Dado o conjunto x cujos elementos são conjuntos não vazios tais que dois a dois não possuam elementos comuns, existe um conjunto y tal que seus elementos são exatamente um elemento de cada um dos conjuntos de x”, que pode ser escrito simbolicamente como uma implicação:

Se

( )[ ])])uvuv(xv[vu(xuux ∅=∩→≠∧∈∀∧∅≠→∈∀∀

então, vale o seguinte:

( )[ ])]wzyuz(zyuw[wxuuyx =→∩∈∀∧∩∈∃→∈∀∃∀

VER se não é: ( )[ ])]wzyz(zyuw[wxuuyx =→∈∀∧∩∈∃→∈∀∃∀

Usando um exemplo que envolva classes de conjuntos, explique a premissa e a conseqüência desta implicação.

12) Dadas as definições e os axiomas da Teoria Axiomática dos Conjuntos vNZB (expressas na

Linguagem da Lógica de Primeira Ordem) redija-as em linguagem natural e dê exemplos

significativos de cada uma delas e, quando necessário, dê contra-exemplos para melhor

esclarecê-las.

13) Discuta de forma comparativa as diversas Teorias Axiomáticas dos Conjuntos que foram

abordadas neste texto.

Teorias Axiomáticas e Provas de Teoremas Aury de Sá Leite – DMA - 2005

Apêndice C pág. 1

Apêndice A

Teorias Axiomáticas e Provas de Teoremas

Conceitos-Chave - Quadro Sinóptico

Neste Apêndice são apresentados, de forma bastante organizada, os conceitos-chave que irão

facilitar ao leitor a compreensão dos assuntos abordados nos diversos capítulos deste livro. O

quadro sinóptico a seguir, na verdade um sumário dos assuntos organizados de forma encadeada,

poderá dar uma idéia da abrangência, bem como da organização, tentadas pelo autor ao longo deste

trabalho.

Apesar de nos parecer que a leitura e compreensão de todo o texto a seguir possam

realmente ampliar em muito a compreensão do leitor sobre o que sejam as Teorias Axiomáticas e as

Provas de Teoremas, os assuntos não se esgotam somente nisto, sendo que muito mais poderá ser

encontrado pelos mais interessados, seja em artigos científicos, seja livros textos ou seja na Internet.

A numeração associada a cada um dos conceitos constantes do índice que servirá ainda

como um quadro sinóptico dos assuntos tratados a seguir, é a mesma que lhes é atribuída no texto

que o segue, visando facilitar consultas focadas especificamente em determinados conceitos.

Quadro Sinóptico Apêndice A..................................................................................................................................... 1 Teorias Axiomáticas e Provas de Teoremas..................................................................................... 1 Conceitos-Chave - Quadro Sinóptico .............................................................................................. 1 Quadro Sinóptico ............................................................................................................................ 1 1.- Linguagem Natural .................................................................................................................... 3 2.- A Crise dos Fundamentos da Matemática................................................................................... 3

2.1.- Logicismo ........................................................................................................................... 3 2.2.- Intuicionismo ...................................................................................................................... 3 2.3.- Formalismo......................................................................................................................... 4 2.4.- Teoremas de Gödel ............................................................................................................. 4

3.- Lógica Matemática .................................................................................................................... 4 4.- Linguagens Artificiais: as Formais e as Simbólicas .................................................................... 5 5.- Teorias....................................................................................................................................... 5 6.- Teorias Axiomáticas .................................................................................................................. 5

6.1.-A Axiomatização da Aritmética - Giuseppe Peano ............................................................... 6 7.- Gramática de uma Linguagem.................................................................................................... 8 8.- Conceitos Não-definidos - Entes Primitivos .............................................................................. 9 9.- Conceitos Definidos e Definições .............................................................................................. 9 10.- Axiomas ................................................................................................................................ 10 11.- Regras de Inferência .............................................................................................................. 10 12.- Teoremas ............................................................................................................................... 10

12.1.- Teorema Recíproco - encontrar um exemplo (ou exemplos)... ......................................... 10


Apêndice C pág. 2

13.- Lemas .................................................................................................................................... 11 14.- Corolários .............................................................................................................................. 11 15.- Conjecturas ............................................................................................................................ 11

15.1.- Exemplos de Conjectura:................................................................................................. 11 16.- Princípios e Leis .................................................................................................................... 11 17.- Métodos de Prova .................................................................................................................. 12

17.1.- Métodos Diretos de Prova ............................................................................................... 12 17.1.1.- Prova sem o uso de palavras ..................................................................................... 12 17.1.2.- Prova por Dissecção (Dissecação) ............................................................................ 12 17.1.3.- Métodos Hipotético-Dedutivo – Modus Ponens ........................................................ 13 17.1.4.- Método Hipotético-Dedutivo – Prova por Contraposição.......................................... 13

17.2.- Método Indireto de Prova: ............................................................................................... 13 17.2.1.- Prova por Redução ao Absurdo................................................................................. 13

17.3.- O que significam C.Q.D. ou Q.E.D.................................................................................. 14 17.4.- O que significa “Supor, sem perda de generalidade que ...” ............................................. 14

18.- Indução Matemática............................................................................................................... 14 Muitos teoremas, fórmulas e propriedades que sejam verdadeiras para os números naturais ou para alguma variável que possa assumir valores em N (conjunto dos números naturais) podem ser provadas utilizando-se o método da Indução Finita Matemática ou o Princípio da Indução Matemática: .................................................................................................................................. 14

Princípio de Indução Matemática – Versão 1:............................................................................ 14 Princípio de Indução Matemática – Versão 2:............................................................................ 14 Princípio de Indução Matemática – Versão 3:............................................................................ 14 Contra-Exemplo:....................................................................................................................... 15 Exemplos: (veja estas igualdades provadas no item 19, a seguir) ............................................... 15

19.- O Conceito de Indução Matemática Revisitado e Ampliado ................................................... 15 19.1.- Axioma da Boa Ordem.................................................................................................... 15 19.2.- Princípio da Indução Finita Matemática .......................................................................... 15

Prova do Princípio de Indução Finita:.................................................................................... 15 19.3.- Princípio da Indução Completa Matemática..................................................................... 16

19.3.1.- Um Primeiro Exemplo (totalmente desenvolvido) de Aplicação do Princípio da Indução Finita Matemática .................................................................................................... 16 19.3.2.- Um Contra-exemplo ................................................................................................. 17 Prova:.................................................................................................................................... 17 19.3.3.- Exemplos Diversos................................................................................................... 18

19.4.- O Princípio da Indução Finita Matemática e as Funções Predicativas ............................. 19 19.4.1.- Princípio de Indução Finita Matemática Reescrito .................................................... 20

Assuntos a serem desenvolvidos (algum dia):................................................................................ 20 10.- Definição de Numero Natural Primo .................................................................................. 20 10.1.- Divisibilidade.................................................................................................................. 20 10.2.- Congruências .................................................................................................................. 20 10.3.- Equações Diofantinas ...................................................................................................... 20

10.3.1.- Teorema do Resto Chinês ......................................................................................... 20 Bibliografia................................................................................................................................... 21


Apêndice C pág. 3

1.- Linguagem Natural • A linguagem é um sistema de signos que pode servir de meio de comunicação e que pode servir,

também, de ferramenta básica para o pensamento. • Um idioma é a língua falada por uma nação ou por um povo. Os idiomas são considerados

linguagens naturais. As linguagens naturais são aquelas que surgem e se desenvolvem a partir de capacidades naturais de certas espécies, como as línguas humanas e as linguagens de alguns animais.

• Ao lado das linguagens naturais o homem vem criando as linguagens denominadas formais que são linguagens artificiais (ou abstratas). Podemos citar, como exemplo iniciais, as “linguagens” utilizadas na Teoria dos Conjuntos, na Álgebra, na Geometria, na Química, na Física, na Semiótica.

2.- A Crise dos Fundamentos da Matemática • No final do século XIX e início do Século XX os matemáticos passaram a perceber que a

Matemática se apresentava com muitos problemas com relação à sua fundamentação teórica. A denominada crise dos fundamentos se propagará por toda a matemática e irá exigir um posicionamento crítico profundo e um maior profissionalismo por parte dos matemáticos, fará surgir novas academias e sociedades matemáticas, e fará surgir uma série de jornais dedicados a esta ciência. Neste período se defrontam três grandes correntes do pensamento que “tentaram” dar à matemática uma sólida fundamentação: o Logicismo, o Intuicionismo e o Formalismo (vide a seguir). Apesar dos resultados teóricos notáveis conseguidos por estas correntes do Pensamento Filosófico Matemático, a crise dos fundamentos não pode ser resolvida. “O que se verificou é que o estabelecimento preciso destes fundamentos não impede o avanço das modernas pesquisas em Matemática, apesar de ainda haver alguns entre nós (matemáticos) que anseia por isto (o estabelecimento de sólida fundamentação para a Matemática)” [Snapper 1979].

2.1.- Logicismo

Logicismo: teoria segundo a qual a matemática seria uma parte da lógica, pois os seus teoremas poderiam ser derivados de conjuntos de axiomas puramente lógicos. Esta é uma concepção desenvolvida a partir de 1884 por Gottlob Frege (1848-1925) matemático e filósofo alemão, que retomada alguns anos mais tarde, por Bertrand Russell (1872-1970) e Alfred North Whitehead (1861-1947), resultou na publicação em 1910 da obra “Principia Mathematica” que pretendia deduzir as relações matemáticas das relações lógicas.

• A dificuldade da logicização completa da matemática foi pressentida já nos “Principia

Mathematica” (1925) monumental obra de Whitehead e Russell, nos quais foram requeridas mais cem de páginas de símbolos, antes de se iniciar a mais simples das deduções. Os alicerces deste programa acabaram por afundar em 1931 quando Gödel provou, aquele que atualmente é conhecido como o Teorema da Incompletude de Gödel. Este teorema mostrou que a meta de permear e integrar matemática e lógica como uma única ciência era impossível.

2.2.- Intuicionismo

Intuicionismo: concepção da filosofia da matemática, apresentada em 1908 por L. E. J. Brouwer (1881-1966), que vincula a existência de uma entidade matemática qualquer à possibilidade de sua gênese pela intuição humana, ou seja, teoria que afirma serem as entidades da Lógica Matemática livres criações do pensamento, independendo de origens empíricas, e sustentadas pela clareza que lhes confere seu caráter intuitivo.


Apêndice C pág. 4

• A formulação (intuicionista) da Teoria dos Conjuntos de Cantor deu ensejo a Bertrand Russel e outros matemáticos logicistas a encontrarem nesta formulação uma série de paradoxos (contradições) tidos por eles como erros e não como imperfeições ou impossibilidades matemáticas locais, que segundo os intuicionistas apenas comprovavam que a matemática clássica estaria necessitando de uma reformulação rigorosa a partir dos fundamentos.

• Somente para citar um exemplo deste tipo de reformulação dos princípios pretendida pelos intuicionistas, dever-se-ia considerar que: o número zero não seria o primeiro número

“natural”, mas sim, o número um, pois isto estaria mais próximo da intuição humana.

2.3.- Formalismo

Formalismo: Concepção fundamental da lógica matemática, desenvolvida principalmente a partir dos trabalhos de David Hilbert (1862-1943), matemático alemão, que assegura a coerência dos sistemas pelo uso da linguagem simbólica e do método axiomático.

• É, praticamente, com David Hilbert que se inicia a tentativa de formalizar a matemática, ou seja, inicia-se um movimento em que se acreditava poder formular completamente a matemática e, de tal maneira consistente, que se poderiam ser apresentadas formalmente quaisquer proposições matemáticas e, que estas, poderiam ser provadas usando-se um pequeno número de símbolos com significados bem definidos. A axiomatização é o primeiro passo da formalização, sendo que a este primeiro passo devem seguir formas de se provar que a matemática assim criada é livre de contradições. Em 1931 Gödel mostrou que a formalização não pode ser considerada como uma técnica por meio da qual se possa obter uma matemática livre de contradições.

2.4.- Teoremas de Gödel

• Informalmente, o teorema da Incompletude de Gödel estabelece que toda formulação axiomática consistente da teoria dos números inclui obrigatoriamente proposições indecidíveis. Este é o Primeiro Teorema da Incompletude de Gödel e responde, de forma negativa, um problema proposto por Hilbert: se a matemática é “completa”, ou seja, verificar se todas as proposições da Teoria dos Números poderiam ser provadas ou refutadas.

• O Segundo Teorema da Incompletude de Gödel estabelece que a Teoria dos Números é consistente, mas que isto não poderia ser provado utilizando-se os métodos da Lógica de Predicados (A Lógica de Primeira Ordem), ou colocado de forma mais ampla: para se provar que um qualquer sistema formal é consistente, usando recursos deste mesmo sistema, só será possível se este sistema for inconsistente. Por exemplo, Gerhard Gentzen mostrou que a consistência e a completude da aritmética podem ser provadas, se o Princípio de Indução Transfinita for utilizado. No entanto, esta abordagem não permite provar a consistência de toda a matemática.

3.- Lógica Matemática • Pode-se entender por Lógica o estudo formal dos métodos, estrutura e validade das deduções e

provas matemáticas. • As pessoas, geralmente entendem por Lógica Matemática a Lógica de Primeira Ordem (a

Lógica de Predicados), um conjunto formal de regras destinadas à formação de sentenças (sentenças matemáticas e/ou lógicas) usando os seguintes símbolos: (i) os conectivos, a saber: ¬ (negação), ⇒ (implicação), ⇔ (equivalência), ∧ (conjunção) e ∨ (disjunção), (ii) juntamente com os quantificadores: ∀ (universal) e ∃ (existencial).

• Uma forma de lógica bastante simples é a Lógica Proposicional quando estudada através das tabelas verdade (V ou F) e a Lógica Boolena (1 ou 0). Uma generalização deste tipo de lógica se


Apêndice C pág. 5

dá a partir da adoção de valores lógicos como verdadeiro, falso e indecidível (respectivamente adotados como sendo: 1, 0 e ½) a Lógica Tri-valorada. Um exemplo de lógica muito mais avançada seria a denominada Lógica Fuzzy (Lógica Nebulosa) que trata a verdade como uma quantidade contínua entre 0 e 1, considerando regiões onde nada se pode decidir com certeza, as regiões “fuzzy”.

• Pensada de forma mais abrangente, uma Lógica é qualquer conjunto de regras de formação sentenças (a sintaxe da lógica) junto com regras para a atribuição de valores-verdade a estas sentenças (a semântica da lógica).

• Uma Lógica, normalmente inclui: (i) um conjunto de tipos (também chamados classes), que pode ser até mesmo vazio, que representam os tipos diferentes de objetos que a teoria discute, como por exemplo, conjuntos, números ou conjuntos numéricos, (ii) um conjunto de símbolos, ou seja, as variáveis, os conectivos e os quantificadores.

4.- Linguagens Artificiais: as Formais e as Simbólicas • As linguagens artificiais podem ser classificadas como Formais ou Simbólicas. Normalmente,

as linguagens formais se destinam ao estudo ou estabelecimento de Teorias Hipotético-dedutivas ou de Teorias Axiomáticas. Note-se que, enquanto um sistema hipotético-dedutivo pode ser axiomático ou não-axiomático, as Linguagens Simbólicas podem ser aquelas, apenas e tão somente, destinadas às comunicações sociais, como por exemplo, a linguagens simbólicas dos surdos mudos ou a linguagem das propagandas na mídia.

5.- Teorias • Teoria - conhecimento sistemático, fundamentado em observações empíricas e/ou fundamentada

em postulados racionais, voltado para a formulação de leis e categorias gerais que permitam a ordenação, a classificação minuciosa e, eventualmente, a transformação dos fatos e das realidades da natureza (Dicionário Houaiss).

• Teoria - conjunto de conhecimentos não ingênuos que apresentam graus diversos de sistematização e credibilidade, e que se propõem explicar, elucidar, interpretar ou unificar um dado domínio de fenômenos ou de acontecimentos que se oferecem à atividade prática (Enciclopédia Encarta Digital).

• Não se deve confundir uma teoria com o sistema ou a forma de sistematização que se escolheu para veiculá-la.

6.- Teorias Axiomáticas • Uma Teoria é denominada Teoria Axiomática se possui um conjunto de axiomas (verdades

aceitas a priori) dos quais podem ser derivadas outras verdades nesta Teoria e que formam juntamente com as definições um conjunto de verdades derivadas ou estabelecidas (axiomas, verdades derivadas dos axiomas e definições) que são utilizadas para provar os teoremas desta Teoria.

• Uma teoria axiomática (como uma das geometrias) é completa se cada sentença gramaticalmente (semanticamente e sintaticamente) bem-formada da teoria é capaz de ser provada como sendo verdadeira ou falsa.

• A ausência de contradição, isto é, a impossibilidade de provar que uma proposição e sua negação são ambas verdadeiras, em um Sistema Axiomático, é conhecida como consistência.

• Uma Teoria não pode ser confundida com o método escolhido para expô-la. Um sistema axiomático é uma estrutura formal que visa permitir a sistematização lógica das teorias em geral, enquanto uma teoria é um conjunto conexo de conhecimentos, sistematicamente fundamentados em observações empíricas e/ou fundamentada em postulados racionais voltados para a formulação de leis e categorias gerais.


Apêndice C pág. 6

6.1.-A Axiomatização da Aritmética - Giuseppe Peano

• Desde a antiguidade e entre os mais diversos povos, os números naturais são por excelência os números destinados à contagem. Historicamente o número zero, o “nada” apareceu muito depois, e o seu numeral − um círculo sem nada dentro −,deveria ter representado um continente sem nenhum conteúdo, nenhum elemento em seu interior – como um cercado em um campo, mas sem animais, ou uma cesta, sem nenhum pão, por exemplo. No entanto, como entidade matemática, o conjunto dos números naturais precisava ser formalizado e, assim foi que, Giuseppe Peano (Itália - 1858/1932) elaborou a Teoria Axiomática dos Números Naturais − e em 1889 Peano publicou um pequeno livro em latim intitulado “Arithmetices Principia Nova

Methodo Exposita” [Kennedy 1975]. Neste texto, Peano menciona os estudos feitos por Boole, Schröder, Peirce, Jevons e MacColl, no campo da lógica e menciona os trabalhos de Dedekind publicado em 1888, reconhecidamente a primeira axiomatização da aritmética. No prefácio de seu livro, Peano introduz a notação lógica que irá utilizar no texto.

• A seguir serão mostradas as idéias de Peano neste primeiro trabalho [Peano 1958, pág 85], em que o conjunto dos números naturais tem para primeiro elemento a “unidade”, conceito que será modificado, mais tarde, em 1898 [Peano 1959, pág 216] fazendo com que o zero passasse a ser considerado como o menor dos elementos do conjunto dos números naturais.

O símbolo N significa “número”.

O símbolo 1 significa “unidade”.

O símbolo a + 1 significa o sucessor de a, ou: a mais 1.

O símbolo = significa “é igual a”

e em seguida enuncia os seus axiomas:

1. 1 ∈∈∈∈ N.

2. Se a ∈∈∈∈ N, a = a.

3. Se a, b ∈∈∈∈ N, a = b se, e somente se, b = a.

4. Se a, b, c ∈∈∈∈ N, a = b, b = c implica a = c.

5. Se a = b e b ∈∈∈∈ N, a ∈∈∈∈ N.

6. Se a ∈∈∈∈ N, então a + 1 ∈∈∈∈ N.

7. Se a, b ∈∈∈∈ N, a = b se, e somente se, a + 1 = b + 1.

8. Se a ∈∈∈∈ N, a + 1 ≠≠≠≠ 1.

9. Se K é uma classe, 1 ∈∈∈∈ K, e se para x ∈∈∈∈ N e x ∈∈∈∈ K implicar que

x + 1 ∈∈∈∈ K, então N ⊆⊆⊆⊆ K. Os axiomas são seguidos das seguintes definições: 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, ..., e alguns

teoremas, como por exemplo: 2 ∈ N, 3 ∈ N etc. Ainda, como definição, ocorre a seguinte:

Se a, b ∈∈∈∈ N, a + (b + 1) = (a +b) + 1.


Apêndice C pág. 7

Cujo significado é: “se a e b são números então: a + (b +1) significa que (a + b) + 1 é o

sucessor de a + b”. Veja que isto permite escrever para qualquer a ∈ N, que:

a + 2 = (a + 1) + 1; a + 3 = (a + 2) + 1 = ( (a + 1) + 1) + 1 e assim por

diante.

Entre os teoremas enunciados e provados por Peano estão os seguintes:

1. Se a, b ∈∈∈∈ N, a + b ∈∈∈∈ N.

2. Se a, b, c ∈∈∈∈ N, a = b se, e somente se, a + c = b + c.

3. Se a, b, c ∈∈∈∈ N, a + (b + c) = (a + b) + c.

4. Se a ∈∈∈∈ N, 1 + a = a + 1.

5. Se a, b ∈∈∈∈ N, a + b = b + a.

Peano define a multiplicação da seguinte forma:

1. a ∈∈∈∈ N, a ×××× 1 = a

2. a, b ∈∈∈∈ N, a ×××× (b + 1) = (a ×××× b) + 1

• As idéias apresentadas no livro “Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita”, conhecido como: “Princípios de Aritmética”, modernamente são apresentados de formas diversas por diferentes autores. Adotaremos aqui uma formulação que nos parece bastante apropriada ao nível deste texto e do trabalho a ser aqui desenvolido e que envolvem os seguintes conceitos e axiomas:

(1) o número zero − cujo símbolo será adotado como 0; (2) a unidade − cujo símbolo será adotado como sendo 1; (3) o conceito de variável numérica ou número − usando-se para representá-los

as letras: m, n e p; (4) o conceito de igualdade, cujo símbolo será “=”; (5) o conceito de adição; (6) o conceito de “sucessivo de” ou “sucessor de”− simbolicamente expresso

como: Suc(n) = n + 1; (7) o conceito de conjunto e o de pertinência de elemento a conjunto; (8) cinco axiomas (afirmações básicas, tomadas como verdadeiras):

os Axiomas de Peano de açodo com a nossa formulação:

1o) O zero é um número natural

2o) Todo número natural n tem um único sucessor: Suc(n) = n + 1

3o) Se Suc(m) = Suc(p) então m = p

4o) Para todo número natural n, Suc(n) ≠≠≠≠ 0

5o) Se M é um subconjunto de N (conjunto dos números naturais), tal que


Apêndice C pág. 8

se 0 ∈∈∈∈M e Suc(p)∈∈∈∈M sempre que p∈∈∈∈M, então M = N.

• Desta forma, fica estabelecido de maneira única, sem que possa haver ambigüidades ou contradições, o que seja o conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, ......, n, Suc(n), Suc(n) + 1, ...} que, na medida em que venhamos a reconhecer a correspondência entre os numerais hindu-arábicos e estas adições, como por exemplo: 1 + 1 = 2 , 1 + 1 + 1 = 3; 1 + 1+ 1 + 1 = 4 e assim por diante, poderá ser reescrito como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10, 11, ...}.

• Nota Importante: A partir dos Axiomas de Peano normalmente, se pode propor “uma” Aritmética, onde alguns outros novos axiomas associados aos axiomas de Peano irão estabelecer as operações aritméticas e as suas propriedades. Veja a seguir uma destas possíveis “propostas”. Tente explicar cada um daqueles 10 axiomas e verificar se este conjunto de axiomas é suficiente para “suportar” tudo o que necessitamos em uma “Aritmética envolvendo Números Naturais”. Os axiomas deste sistema (Aritmética de Peano) utilizam os seguintes símbolos:

(i) ‘0’ para representar o ‘número zero’ e ‘x’ e ‘y’ para representar um número natural qualquer (uma variável); (ii) ‘s(x)’ para representar o ‘sucessor do número natural x’; (iii) ‘+’ para representar a ‘adição‘; (iv) ’×’ para representar a ‘multiplicação’; (v) ‘<’ para representar ‘menor do que’ e (vi) ‘=‘ para representar a igualdade; (vii) ‘ϕ(x)’ representa uma ‘propriedade ϕ’ da ‘variável x’. Neste sistema 1 = s(0), 2 = s(s(0)), 3 = s(s(s0))) e assim por diante.

Axiomas:

1. (∀x) (s(x) = x + 1) 2. (∀x) ¬(s(x) = 0) 3. (∀x, y) (s(x) = s(y) ⇒ x = y) 4. (∀x) (x + 0 = x) 5. (∀x, y) (x + s(y) = s(x + y) ) 6. (∀x) (x × 0 = 0) 7. (∀x, y) (x × s(y) = x × y + x) 8. (∀x) ¬(x < 0) 9. (∀x, y) (x < s(y) ⇔ (x < y) ∨ (x = y) ) 10. ϕ(0) ∧ ( ∀x (ϕ(x) → ϕ(s(x)) ) ⇒ ∀x ( ϕ(x) )

7.- Gramática de uma Linguagem • Uma Linguagem Formal é constituída por um Alfabeto e uma Gramática. • O Alfabeto de uma Linguagem Formal, normalmente, é constituído pelos seguintes tipos de

símbolos: (i) constantes (números, formas planas ou espaciais, imagens); (ii) variáveis (símbolos algébricos, formas planas ou espaciais, imagens); (iii) conectivos; (iv) quantificadores; (iv) descritores; (v) grafos enfim, signos diversos, criados para facilitar a comunicação naquele contexto.

• A Gramática de uma Linguagem Formal deve prever: (i) a forma de construção correta de suas fórmulas (cadeias de símbolos ou sentenças), uma sintaxe e (ii) uma forma de separar as fórmulas quanto a terem, ou não, sentido naquela linguagem, aquilo que se denomina semântica da linguagem.

• As Sentenças (fórmulas) de uma Linguagem seja ela Natural ou Formal podem ser construídas corretamente (sintaticamente corretas) sem ter um significado naquela linguagem


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(semanticamente consistentes). As sentenças: “O aluno José é estudioso” e “O automóvel Ford é estudioso” são sintaticamente corretas, mas a segunda delas falha quanto ao significado, ela é ambígua, ou seja, falha no que diz respeito à semântica.

• A Linguagem pode ter um Dicionário onde estejam reunidas as cadeias de símbolos ou os conceitos que necessitem de definição.

• A semântica de uma Linguagem pode ser uma semântica atribuída por valoração, isto é, o significado das sentenças é dado através de valores, como por exemplo: verdadeiro ou falso; verdadeiro, falso ou indecidível; valores atribuíveis através de escalas percentuais baseadas nos números de 0 a 100; etc, possuindo tabelas-verdade que estabeleçam a forma de se atribuir os valores às sentenças básicas geradoras das demais sentenças bem-formada na Linguagem.

8.- Conceitos Não-definidos - Entes Primitivos • Os entes primitivos de uma teoria (também denominados conceitos primitivos, objetos não

definidos, conceitos não definidos) são conceitos oriundos da Linguagem Natural ou simbólicos tomados como básicos para o entendimento da Linguagem Artificial (Formal ou Simbólica) em que será expressa uma dada Teoria. Normalmente, o significado de cada um dos conceitos não-definidos será dado pelos axiomas.

9.- Conceitos Definidos e Definições • A aprendizagem de conceitos pode se dar basicamente por duas vias: através de um processo

construtivo baseado na intuição denominado formação de conceito, ou por um processo denominado aprendizagem de conceitos através de definição, que envolve a compreensão de significados - pelo menos a compreensão de uma linguagem natural ou simbólica. Assim, podemos antever a existência de pelo menos dois tipos de conceitos: os formados pelo indivíduo a partir de suas próprias experiências, com uso de sua intuição, conceitos estes, que poderiam ser denominados conceitos intuitivos, e os conceitos definidos, que eventualmente poderiam ser chamados, como Vygotsky propôs, “conceitos científicos".

• Para Gagné a aprendizagem verbal é uma das formas primeiras e mais comuns para a transmissão de conhecimento. Ela permite estabelecer e precisar rótulos (imagens mentais, símbolos, signos ou até mesmo uma palavra ou um conjuntos de palavras) que serão utilizados na comunicação diária e funcionam como veículos para o pensamento. As teorias cognitivistas apontam os conceitos como sendo unidades básicas do conhecimento, ou seja, rótulos (“lables”) ou receptáculo ("conteiner") de significados básicos.

• Ainda para Gagné, as informações verbais dizem respeito ao "saber o que". Nomes, fatos, princípios e generalizações são os tipos de unidades classificáveis como informações verbais. Os verbos que podem ser listados como ações ligadas à informação verbal são, em ordem alfabética: alegar; afirmar; declamar; declarar; dizer; especificar; explicar; expressar; manifestar; narrar; proclamar; propor; recitar; relatar; situar. Além das informações verbais há as informações simbólicas, sonoras, tácteis, olfativas e gustativas, mas normalmente todos estes tipos de informações têm uma linguagem como base, para o estabelecimento dos rótulos.

• A definição é uma operação lingüística que busca a determinação clara e precisa de um conceito ou um objeto.

• Para Aristóteles, uma definição é aquilo que aponta a natureza essencial de alguma coisa, determinando desta maneira suas semelhanças e diferenças com relação a outras realidades.

• No escopo de uma Teoria, uma definição é um enunciado ou sentença que visa dar sentido ou significado a símbolos, palavras ou locuções (locução é um conjunto de palavras que equivalem a um só vocábulo, por terem significado conjunto próprio e função gramatical única) indicando suas características genéricas e específicas, suas finalidades, sua inclusão num determinado campo do conhecimento.


Apêndice C pág. 10

10.- Axiomas • Os axiomas, que necessariamente são fórmulas-bem-formadas (fbfs) de uma linguagem formal,

são assumidos a priori, como tautologias – fórmulas válidas – desta linguagem. O antigo conceito de que axiomas são verdades auto-evidentes ou intuitivas, vem sendo substituída modernamente, pelo conceito de que não há a necessidade de compreendê-los direta ou imediatamente, mas apenas através de seus efeitos, pois muitos axiomas são altamente contra-intuitivos.

• Os axiomas de uma linguagem formal devem ser tais que se possa derivar a partir deles e com

o uso de pelo menos uma regra de inferência, outras tautologias (sentenças o fórmulas

verdadeiras), ou provar com o uso destes mesmos recursos, os teoremas desta linguagem. • Um conjunto de axiomas é completo na medida em que seja impossível acrescentar um novo

axioma ao seu conjunto de axiomas sem que ocorra os dois fatos: (i) o axioma acrescentado é dependente dos demais, isto é, ele pode ser derivado logicamente dos demais axiomas; (ii) o novo axioma exige a inclusão de um novo elemento entre os conceitos primitivos da Teoria.

• Um conjunto de axiomas é consistente se, entre aqueles axiomas não existem axiomas que se contradizem, e se for impossível utilizar estes axiomas para prova um teorema e para refutá-lo ao mesmo tempo.

• Para Gödel um conjunto de sentenças é logicamente consistente (nenhuma contradição pode ser deduzida das sentenças) se e somente se as sentenças tiverem um modelo, isto é, se e somente se há um “universo” em que elas são todas verdadeiras.

11.- Regras de Inferência • Há Duas regras de Inferência Lógica básicas, sendo que a mais utilizada é a Modus Ponens:

vide, a seguir, no item 17.- Métodos de Prova - Método Hipotético-Dedutivo, um resumo teórico e um exemplo do uso desta regra quando aplicada para provar Teoremas da Matemática.

• A Regra de Inferência denominada Regra da Substituição, apesar de parecer mais simples do que a Modus Ponens, por exigir “apenas(!)” substituiões nos axiomas, é bastante complexa. A aplicação desta regra de inferência exige que a proposição a ser provada seja substituída de forma plena nos axiomas em que ela porventura venham a se “encaixar” e que todos os axiomas que receberam as substituições sejam envolvidos no processo de prova daquela proposição. A Regra de Inferência Lógica dae Substituição é bastante utilizada em Provas Automáticas (via Sistemas Computacionais Dedicados) de Teoremas da Lógica.

12.- Teoremas • Teorema é uma afirmação que pode ser demonstrada como verdadeira através de argumentações

e operações matematicamente aceitáveis. Em geral um teorema é o enunciado de algum princípio geral que faz parte de uma teoria. O processo que visa mostrar que o Teorema é verdadeiro se denomina prova.

• Philip J. Davis e Reuben Hersh, em seu livro “A Experiência Matemática” [Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1985 – pág. 46-47], afirma que cerca de 200.000 teoremas da matemática são publicados anualmente.

12.1.- Teorema Recíproco - encontrar um exemplo (ou exemplos)...



13.- Lemas • Um teorema mais simples ou imediato usado em conjunto com outros teoremas do mesmo tipo

ou teoremas já provados para provar teoremas de elevada complexidade.

14.- Corolários • É um novo Teorema que pode ser provado utilizando-se algo já provado num Teorema anterior

ou, em outras palavras, uma proposição que deriva, em um encadeamento dedutivo, de uma asserção precedente, produzindo um acréscimo de conhecimento por meio da explicitação de aspectos que, no enunciado anterior, se mantinham latentes ou obscuros.

15.- Conjecturas • Conjectura é uma proposição que é consistente de fato, mas que não se pode provar que seja

verdadeira ou falsa. Conjectura é um sinônimo para hipótese.

15.1.- Exemplos de Conjectura: A conjectura de Goldbach - Em uma carta enviada a Eüler, em 1742, Goldbach propõe, mas não prova, que todo número par maior que 2, pode ser escrito como a soma de dois números primos, como, por exemplo: 4 = 1 + 3; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 5 + 5; 12 = 5 + 7… ou ainda: 12 = 5 + 7 = 9 + 3; 20 = 13 + 7 = 17 + 3; 42 = 23 + 19 = 29 + 13 = 31 + 11 = 37 + 5.

Esta idéia nunca foi provada, mas estimulou muitos matemáticos a pensarem sobre o assunto. Tanto que: (a) em 1752, Eüler, vem a sugerir que todo número par da forma p = 4n + 2 poderia ser escrito sob forma p = 4m+1, como nos exemplos: 14 = 1+13; 22 = 5 +17; 30 =1 + 29 =13 +17; (b) em 1894, George Cantor, preparou uma tabela em que a conjetura foi mostrada para os números pares até 1000; (c) entre 1896 e 1903, A. Aubry verificou a conjetura de Goldbach para números entre 1000 a 2000; (d) também em 1896, R. Haussner verificou a conjectura de Goldbach para valores até 10000; (e) em 1966, o matemático chinês Chen Jing Run (1933-1996) mostrou que todo número par pode ser representado como sendo a soma de um número primo com o produto de no máximo dois números primos.

• Hipótese do Contínuo – esta é uma proposta feita originalmente por George Cantor de que não existe nenhum conjunto infinito cuja cardinalidade se situa entre a cardinalidade 0ℵ lida “aleph zero” (o menor dos valores transfinitos, que corresponde à quantidade de elementos, seja do conjunto dos números naturais, dos conjunto dos números inteiros ou do conjunto dos números racionais) e a cardinalidade do conjunto dos números reais c1 =ℵ , onde o c é denominado

“contínuo”). Simbolicamente, a hipótese do continuo pode ser enunciada como: ¬∃ k, 0ℵ < k

< 1ℵ , ou seja: ¬∃ k, 0ℵ < k < c.

16.- Princípios e Leis • Emprega-se a palavra princípio para se referir a uma proposição elementar e fundamental que serve de base a uma ordem de conhecimentos; lei de caráter geral com papel fundamental no desenvolvimento de uma teoria e da qual outras leis podem ser derivadas; proposição lógica fundamental sobre a qual se apóia o raciocínio. Normalmente usada com relação a axiomas, teoremas etc. • Lei, expressão definidora das relações constantes que existem entre os fenômenos naturais, como, p.ex., o enunciado de uma propriedade física verificada de maneira precisa; regra ou



relação constante entre fenômenos; manifestação exterior de fenômenos complexos; conjunto de regras e princípios que norteiam a elaboração e o modo de proceder em (pintura, literatura, música).

17.- Métodos de Prova • Um método de prova envolve a utilização de rigorosos argumentos lógicos e matemáticos que demonstrem inequivocamente a verdade de uma dada proposição. Uma proposição matemática que possa ser provada é denominada Teorema. Há dois tipos básicos de Métodos de Prova: (i) os métodos diretos (o sem uso de palavras; o por dissecção e o hiptético-dedutivo) e pelo menos um indireto (o por redução ao absurdo).

17.1.- Métodos Diretos de Prova

17.1.1.- Prova sem o uso de palavras

• É um Método de Prova que, baseado em elementos visuais, envolve apenas a necessidade de comentário, dispensando os argumentos lógico-matemáticos. • Veja o exemplo a seguir, onde os números pentagonais (figura 1) são mostrados como tendo uma relação aritmética (figura 2) com os números triangulares (figura 1)

• Os números triangulares, quadrados e pentagonais são mostrados na figura 1. A figura 2 mostra que a diferença entre um n-ésimo número pentagonal e n, é igual a três vezes (n-1) números triangulares. De fato, apesar da figura mostrar um caso particular em que n = 5, o fato é que, a partir daí, pode-se facilmente generalizar a propriedade.

17.1.2.- Prova por Dissecção (Dissecação)

• Dissecar é decompor os elementos ou a estrutura de algo, para melhor compreendê-lo ou torná-lo compreensível. Um teorema que é comumente provado por dissecção (ou dissecação) é o Teorema de Pitágoras.

Números triangulares

Números quadrados

Números pentagonais

Figura 1: Números Triangulares, números

quadrados e números pentagonais

Figura 2



17.1.3.- Métodos Hipotético-Dedutivo – Modus Ponens

Prova baseada unicamente em rigorosos argumentos lógicos e matemáticos justificados através de uma linguagem natural envolvendo os elementos não definidos, os axiomas e as eventuais definições de uma teoria. Normalmente,neste caso, é utilizada a regra de inferência lógica conhecida como Modus Ponens: Seja A ⇒ B uma fórmula da Lógica Proposicional, então

a seguinte regra é, válida: B

BA,A ⇒, que significa, “se A e A ⇒⇒⇒⇒ B são válidas, então B é

válida”. Assim, a regra de inferência lógica Modus Ponens, pode ser reescrita, no nosso caso da

prova de Teoremas (na Lógica Matemática), como sendo:

Hipótese: P

Tese: Q

PROVA: Mostra-se que a hipótese é

verdadeira, isto é, “Se P é verdade então Q será

verdade”.

17.1.4.- Método Hipotético-Dedutivo – Prova por Contraposição

• Este método leva em conta a seguinte equivalência da Lógica proposicional: (p ⇒⇒⇒⇒ q) ⇔⇔⇔⇔ (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬p).

• Dado um Teorema da forma "p implica q" podemos colocá-lo na forma contrapositiva: "q não implica p" ou seja: “a negação de q implica a negação de p”. Não se deve confundir este tipo de prova com a prova por contradição. Em resumo, os passos por provar um teorema através de contraposição são os seguintes : 1. Escreva a declaração na forma: “p implica q” ou (p ⇒⇒⇒⇒ q);

2. Escreva a contrapositiva da declaração inicial: “não q não implica p” ou (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬p). 3. Prove a contraposição de forma direta.

4. Conclua que o teorema é verdadeiro, baseado na equivalência: (p⇒⇒⇒⇒q)⇔⇔⇔⇔(¬¬¬¬q⇒⇒⇒⇒¬¬¬¬p).

• Exemplo: (p ⇒⇒⇒⇒ q): p ≡ “Se n2 é um número inteiro par” então q ≡ “n é um número par”. Prova:

[1] Vamos negar que n seja um número par: ¬¬¬¬q ≡ “n é um número ímpar” ou ¬¬¬¬q ≡ “n não é um número par”. [2] A contraposição da afirmativa é: ¬¬¬¬q ≡ “Se n é um número inteiro ímpar”, então ¬¬¬¬p ≡ “n2 é um número ímpar” ou ¬¬¬¬p ≡ “n2 não é um número par”. [3] Se n é um número inteiro ímpar então n = 2x + 1, x ∈Z (¬¬¬¬q é verdadeira). [4] Vamos calcular o quadrado de n: n2 = (2x + 1)2 = 4 x 2 + 4 x + 1 = 2(2x 2 + 2x) + 1. [5] Fazendo (2x 2 + 2x) = y , y ∈Z iremos obter: n2 = 2(2x 2 + 2x) + 1 = 2y + 1 é um número ímpar (¬¬¬¬p é verdadeira). [6] O teorema está provado.

17.2.- Método Indireto de Prova:

17.2.1.- Prova por Redução ao Absurdo

• Um método de prova que se inicia por estabelecer uma afirmativa contrária àquilo que se pretende prova. Esta afirmativa deve levar a uma contradição. Assim o objeto da prova, antes negado e constatado como falso, agora deve ser assumido como verdadeiro.



• O Método de Prova de Teoremas por Redução ao Absurdo é baseado na seguinte tautologia da Lógica Predicativa: quer-se provar que: QP ⇒ então usa-se Q))PP(Q( ⇒¬∧⇒¬ , veja a seguir:

Teorema:

Se P então Q.

Hipótese: P é verdade; Assumir ¬¬¬¬Q como verdade por hipótese;

Tese: Q é verdade.

Se ¬¬¬¬Q acarreta uma contradição, isto é, P ∧∧∧∧¬¬¬¬P passam a ocorrer, então ¬¬¬¬Q é falsa, e pela Lei do Terceiro Excluído da Lógica Predicativa tem-se: Q é verdadeira.

17.3.- O que significam C.Q.D. ou Q.E.D.

• Q.E.D. (às vezes escrito QED) é a abreviatura da expressão Latina "quod erat demonstrandum" ("como queríamos demonstrar") que em português corresponde a C.Q.D. (às vezes escrito como CQD), normalmente é colocado no final de uma demonstração matemática para indicar que ela

foi completada. Um pequeno retângulo ou um pequeno quadrado preenchido ou � vazio normalmente podem ser utilizados, com a mesma finalidade, em textos impressos.

17.4.- O que significa “Supor, sem perda de generalidade que ...”

• Ao provarmos um teorema podemos estabelecer hipóteses onde a variável envolvida é apenas uma das muitas que poderiam escolhidas. Na verdade o que se vai provar para aquela variável é válido para todas as demais, por extensão, e isto torna conveniente a menção de “Seja supor sem perda de generalidade, que: <hipótese envolvendo apenas uma das variáveis>.

18.- Indução Matemática

Muitos teoremas, fórmulas e propriedades que sejam verdadeiras para os números naturais ou para alguma variável que possa assumir valores em N (conjunto dos números naturais) podem ser provadas utilizando-se o método da Indução Finita Matemática ou o Princípio da Indução Matemática:

Princípio de Indução Matemática – Versão 1:

• Se P(0) é verdadeira e se para algum n∈N, P(n+1) é verdadeira sempre que P(n) for verdadeira, então, P(n) é verdadeira para todo número inteiro N.

Princípio de Indução Matemática – Versão 2:

• Se P(k) é verdadeira e se para algum n∈N, n ≥ k, P(n+1) é verdadeira sempre que P(n) for verdadeira, então, P(n) é verdadeira para todo número inteiro n, n ≥ k.

Princípio de Indução Matemática – Versão 3: • Se P(0) é verdadeira, e se para algum n∈N, P(n+1) é verdadeira sempre que P(0), P(1), P(2), ...,

P(n) forem verdadeiras,então, P(n) é verdadeira para todo número inteiro n, n ≥ k.



Contra-Exemplo:

Dada a igualdade: 1 + 2 + 3+ 4 + 5 + ...+ (n - 1) + n= 3

12 2 +n, mostre que apesar de P(0), P(1), ...,

p(n) para um certo n finito, serem verdadeiras, esta relação não é verdadeira para P(n+1).

Sugestão: teste a relação para 1, 2 e 3, e diga o que pôde ser concluído. Veja que a adição de números inteiros deve sempre resultar um número inteiro, no

entanto, para n = 3: 3

19

3

132 2

=+×

, ou seja: 1 + 2 + 3 = 3

19 o que é falso.

Veja no item a seguir (19, 19.3.2.) a prova de que a igualdade é falsa por métodos algébricos.

Exemplos: (veja estas igualdades provadas no item 19, a seguir)

[1] Prove que 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 6

)1n2)(1n(n ++

[2] Prove que n! ≥ 3n para n = 7, 8, 9, ... [3] Prove que 2n ≥ n2 para n = 4, 5, 6, ...

19.- O Conceito de Indução Matemática Revisitado e Ampliado

19.1.- Axioma da Boa Ordem

Qualquer Subconjunto não vazio X de números naturais possui um elemento mínimo

Em símbolos:

∀∀∀∀X (X⊂⊂⊂⊂NNNN, X ≠≠≠≠ ∅∅∅∅) ⇒⇒⇒⇒ ∃∃∃∃x (x∈∈∈∈X, x ≤≤≤≤ n, ∀∀∀∀n∈∈∈∈N)N)N)N)

19.2.- Princípio da Indução Finita Matemática


(a) 0 ∈∈∈∈ X

(b) (k+ 1) ∈∈∈∈ X sempre que k ∈∈∈∈ X,

então X = N.

Prova do Princípio de Indução Finita:

• Seja ∃Y, Y = { n ∈ N | n ∉ X} isto é Y = CNX (Y é o complemento de X com relação a N).

• Hipótese: Y ≠≠≠≠ ∅∅∅∅.

• Pelo axioma da boa ordem, se Y ≠ ∅, Y tem um elemento mínimo. Seja este elemento m.

• É evidente que m ≠ 0, pois 0∈X por (a).

• Se m é o menor elemento de Y, é também evidente que: (m -1) ∉ Y, pois m -1 < m.



• Logo (m - 1) ∈ X, mas por (b) se (m -1) ∈ X tem-se que ((m-1) + 1) ∈ X, ou seja, m ∈ X, o

que contraria a hipótese (Y ≠ ∅).

• Assim, Y = ∅, e mais: Y = CNX = ∅, ou seja: X = N.

19.3.- Princípio da Indução Completa Matemática


(a) k ∈∈∈∈ X e

(b) (k+ 1) ∈∈∈∈ X sempre que {1, 2, 3, 4, ..., k} ⊂⊂⊂⊂ X,

então X = N.

19.3.1.- Um Primeiro Exemplo (totalmente desenvolvido) de Aplicação do Princípio da Indução Finita Matemática

Provar que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = 2

)1n(n +


)1n(n +, para ∀n∈N } = N.



0

2

)10(0==

+ ⇒ 0 ∈∈∈∈ X

(2) Aceitar como hipótese que, para um dado k∈∈∈∈X: 1 + 2 + 3 + ... + k = 2

)1k(k +


Será que 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 2

)2k)(1k()1k(

2

)1k(k ++=++

+ é verdadeira?


De (2) temos: 1 + 2 + 3 + ... + k = 2

)1k(k + é verdade

Adicionando (k+1) à igualdade: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 2

)1k(k ++ (k+1)



1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 2

)1k(2)1k(k +++ de onde colocando-se o fator (k+1) em evidência,

obtém-se, finalmente: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) =2

)2k)(1k( ++ que prova o que queríamos.

2ª Maneira:

Seja tomar: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 2

)2k)(1k( ++

1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) =

=++

2

)2k)(1k(=

+++

2

2kk2k 2

=+

++

2

2k2

2

kk 2

2

)1k(2

2

)1k(k ++

+

de onde 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = )1k(2

)1k(k++

+ e está provada a igualdade.

19.3.2.- Um Contra-exemplo

Dada a igualdade: 1 + 2 + 3+ 4 + 5 + ...+(n - 1) + n = 3

12 2 +n, mostre pelo método da indução

finita matemática que ela é falsa.

Prova:

Seja adotar Soma(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...+(n - 1) + n = 3

12 2 +n, assim teremos

n = 1 ⇒ Soma(1) = 13

112 2

=+×

,

n = n-1 ⇒ Soma(n-1) = 3

1242

3

1)12(2

3

1)1(2 222 ++−=

++−=

+−× nnnnn=

3

342 2 +− nn

Assim, iremos adotar como hipótese de indução: Soma(n-1) = 3

342 2 +− nn.

Substituindo na igualdade original Soma(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...(n - 1) + n= 3

12 2 +n, a nossa

hipótese de indução, teremos:

Soma(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...+(n - 1) + n = 3

12 2 +n ⇒ Soma(n) =

3

342 2 +− nn + n =

3

12 2 +n,

mas isto vai acarretar uma desigualdade, veja a seguir:

3

342 2 +− nn + n =

3

12 2 +n ⇒

3

3342 2 nnn ++− =

3

12 2 +n ⇒

3

32 2 +− nn =

3

12 2 +n ⇒

⇒ 3

212 2 ++− nn =

3

12 2 +n ⇒

3

12 2 +n +

3

2+− n =

3

12 2 +n que é uma igualdade falsa, ou

seja, uma desigualdade.



19.3.3.- Exemplos Diversos

[Exemplo 1] Provar que 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = (n+1)2

Prova: Testar para n = 0: tem-se 2.0 + 1 = 1 (verdade) Supor que: 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = (n+1)2 – aceitar como hipótese de indução

Provar que vale para: 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) + (2n + 3) = (n+2)2 (n + 1)2 + (2n + 3) = (n+2)2

n2

+ 2n + 1 + 2n + 3 = n2 + 4n + 4 = (n+2)2 = (n+2)2

[Exemplo 2] Provar que 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 6

)1n2)(1n(n ++.


)1n2)(1n(n ++, para ∀n∈N } = N.



0

6

)102)(10(0==

+×+ ⇒ 0 ∈∈∈∈ X

(2) Aceitar como hipótese que, para um dado k∈∈∈∈X: 12 + 22 + 32 + ... + k2 = 6

)1k2)(1k(k ++


Será que 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = 6

)12k2)(2k)(1k( ++++ é verdadeira?


De (2) temos: 12 + 22 + 32 + ... + k2 = 6

)1k2)(1k(k ++ é verdade

Adicionando (k+1)2 à igualdade: 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = 6

)1k2)(1k(k +++ (k+1)2



12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = =6

)1k(6)1k2)(1k(k 2++++=

6

)]1k)(1k(6)1k2)(1k(k +++++=

= ]6k6kk2[6

)1k( 2 ++++

= ]6k7k2[6

)1k( 2 +++

= )]2k)(3k2[(6

)1k(++

+ de onde, finalmente, se

obtém: 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = 6

)12k2)(2k)(1k( ++++

2ª Maneira:

Seja tomar: 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = 6

)12k2)(2k)(1k( ++++

12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = =++++

6

)12k2)(2k)(1k(=

+++

6

)3k2)(2k)(1k(

= =+++

6

)6k7k2)(1k( 2

=++++

6

)6k6kk2)(1k( 2

=++++

6

)]1k(6)1k2(k)[1k(

= =+++++

6

)]1k(6)1k()1k2(k)1k(=

++++

6

)1k(6)1k2)(1k(k 22)1k(

6

)1k2)(1k(k++

++

[Exemplo 3] Provar que n! > 3n, para ∀n∈N, n ≥ 7.

Prova:

Seja S = {m∈∈∈∈NNNN| m! > 3n}

(1) Verifiquemos primeiramente se 7 ∈∈∈∈ S: 7! = 5040 > 37 = 2187. Sim, 7 ∈ S.

(2) Supor como hipótese, que k! > 3k é verdadeira para k ≥ 7, e mostrar que (k+1)! > 3(k+1).

(3) Seja tomar k! > 3k e multiplicar ambos os membros da desigualdade por k +1:

k! × (k+1) > 3k × (k+1)

se k ≥ 7 é evidente que k + 1 > 3 e podemos reescrever a desigualdade acima como sendo:

k! × (k+1) > 3k × 3

de onde, vem:

(k+1)! > 3k × 3 = 3k+1

19.4.- O Princípio da Indução Finita Matemática e as Funções Predicativas A indução finita Matemática leva em conta a existência de funções predicativas do tipo P(x)

com x = f(n), ou seja, P(f(n)) com n ∈ N, e onde x = f(n) é uma função recursiva definida da

seguinte forma:



0n,n,1)1n(f)n(f

0)0(fx

≠Ν∈∀+−=

==

isto é, P(x) = P(f(n)) estabelecendo uma correspondência biunívoca entre os números naturais n e os

valores funcionais P(0), P(1), P(2), ... , P(n), ... Assim, o princípio de indução finita pode ser

reescrito utilizando este conceito, o de fórmula predicativa que percorre o conjunto N:

19.4.1.- Princípio de Indução Finita Matemática Reescrito

1ª forma:


(a) P(0) é verdadeira

(b) para algum k ∈∈∈∈ N, P(k+ 1) é verdade sempre que P(k) for verdadeira,

então,

P(n) é verdadeira para todo n ∈∈∈∈ N.

2ª forma:


(a) P(k) é verdadeira para algum k ∈∈∈∈ N

(b) se para algum n ∈∈∈∈ N, n ≥≥≥≥ k, P(n + 1) é verdade sempre que P(n) for verdadeira,

então,

P(x) é verdadeira para todo x ∈∈∈∈ N, x ≥≥≥≥ k.

Assuntos a serem desenvolvidos (algum dia):

10.- Definição de Numero Natural Primo

10.1.- Divisibilidade

10.2.- Congruências

10.3.- Equações Diofantinas

10.3.1.- Teorema do Resto Chinês



Bibliografia [Peano 1957] Peano, Giuseppe. Opere scelte di Giuseppe Peano. Vol. 1. Ed. U. Cassina. Cremonese, Rome,1957.

[Peano 1958] Peano, Giuseppe. Opere scelte di Giuseppe Peano. Vol. 2. Ed. U. Cassina. Cremonese, Rome, 1958.

[Peano 1959] Peano, Giuseppe. Opere scelte di Giuseppe Peano. Vol. 3. Ed. U. Cassina. Cremonese, Rome, 1959.

[Kennedy 1975] Kennedy, Hubert C. (Ed.) Selected Works of Giuseppe Peano. Edited and translated by Hubert C. Kennedy. University of Toronto Press, 1975.

[Snapper 1979] Snapper, Ernest. “The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism and Formalism”. Mathematics Magazine, 52, Sept, p. 207-216

[Scimone 2002 ?] Scimone, Aldo. “An Educational Experimentation on Goldbach’s Conjecture” in European Research In Mathematics Education III, Thematic Group 4, [Ver Internet address and date]

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