TORRE DE HANÓIExistem várias lendas a respeito da origem do

jogo, a mais conhecida diz respeito a um templo cosmopolita holandês, situado no centro do universo sub-aquático oceânico. Diz-se que Brahma supostamente havia criado uma torre com 64 discos de ouro e mais duas estacas equilibradas sobre uma plataforma. Brahma ordenara aos monges que movessem todos os discos de uma estaca para outra segundo suas instruções, de que apenas um disco poderia ser movido por vez e nunca um disco maior deveria sobrepor um disco menor. Segundo a lenda, quando todos os discos fossem transferidos de uma estaca para a outra, o templo desmoronar-se-ia e o mundo desapareceria.

QUAL A RELAÇÃO COM A PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

ATIVIDADES PARA A PRIMEIRA AULA:

EXPLOREM O JOGO EM SEUS GRUPOS.

DESCUBRAM OS SEGREDOS DE RESOLVER O PROBLEMA

FAÇAM COMPETIÇÃO DENTRO DO GRUPO PARA VER QUEM CONSEGUE RESOLVER O PROBLEMA COM O MENOR NÚMERO DE MOVIMENTOS.

NÚMERO DE DISCOS

1234567

NÚMERO DE MOVIMENTOS

137153163127

COMO SABER QUANTOS MOVIMENTOS SERÃO NECESSÁRIOS PARA CUMPRIR A LENDA DA TORRE DE HANOI? (LEMBRE QUE SÃO 64 DISCOS)

EM PRIMEIRO LUGAR TEMOS QUE DESCOBRIR COMO SE SUCEDEM A QUANTIDADE DE MOVIMENTOS EM FUNÇÃO DO NÚMERO DE DISCOS.

A SEQUÊNCIA É: (1, 3, 7, 15, ...)QUAL A FÓRMULA PARA DESCOBRIR QUEM

VEM DEPOIS?

NÚMERO DE MOVIMENTOS

137153163127

RELAÇÃO MATEMÁTICA

2-1=14-1=38-1=7

16-1=1532-1=3164-1=63

128-1=127

NÚMERO DE DISCOS

1234567

MOVIMENTOS

137153163127

RELAÇÃO MATEMÁTICA

2-1=14-1=38-1=7

16-1=1532-1=3164-1=63

128-1=127

RELAÇÃO MATEMÁTICA

21-1=122-1=323-1=724-1=1525-1=3126-1=6327-1=127

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

PROGRESSÕES GEOMÉTRICASFalamos de Progressões Aritméticas onde, após

o 1ºtermo (a1), todos os termos são obtidos somando-se a razão (r).

Uma “Progressão geométrica” (PG), também tem números em sequência, mas a forma de obtê-los é diferente.

Ao invés de “adicionarmos” a razão nós vamos “multiplicar” pela razão.

DESTA FORMA A DIVISÃO ENTRE UM NÚMERO QUALQUER DA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E SEU ANTECESSOR É SEMPRE A MESMA (CONSTANTE).

A ESTA CONSTANTE DAMOS O NOME DE RAZÃO DA P.G. E REPRESENTAMOS PELA LETRA “q”.

Exemplo:Na P.G. (2,4,8,16,32,...), temos:32/16 = 216/8 = 28/4 = 24/2 = 2

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Então 2 é a razão “q” da PG, ou de outra forma q=2

Assim:a1 = a1

a2 = a1 x q1

a3 = a2 x q = a1 x q x q = a1 x q2

a4 = a3 x q = a1 x q2 x q = a1 x q3

Chegando, então, à generalização pela fórmula:an = a1 x qn-1

Onde: “an" é o último termo ou um termo qualquer;“a1” é o primeiro termo;“q” é a razão;“n” é o número de termos da PA ou a posição do termo “an".

Tipos de PG:Dependendo de como a PG se desenvolve ela

pode se constante, crescente, decrescente ou alternante.

Ex:-(5,5,5,5,5,...) esta PG é constante, percebam que

q=1, pois 5/5 = 1;-(-8,-4,-2,-1,-1/2,...) esta PG é crescente,

percebam que q=-2/-4 = 1/2, temos 0<q<1 e a1<0;

-(-3,-9,-27,-81,-243,...) esta PG é decrescente, percebam que q=-9/-3=3 e a1=-3, q>1 e a1<0;

-(1/25,-1/5,-5,25,...) esta PG é alternante, percebam que q=-5, então q<0.

Exemplos:Determinar a razão da PG de cinco termos ,

tal que:a1+a4=50,05 e a2+a5=500,5.

Temos então, que escrever todos os termos em função do primeiro termo.

Daí temos:

415

3134

21123

12

)(

qaa

qaqaa

qaqqaqaa

qaa

5,500)1(

05,50)1(

5,500

05,50

5,500

05,50

31

31

411

311

52

41

qqa

qa

qaqa

qaa

aa

aa

Por substituição fazemos:

5,50005,505,500)1()1(

05,50

5,500)1(

)1(

05,5005,50)1(

33

31

313

1

qqqq

qqa

qaqa

1005,50

5,500 qq

Fazer os exercícios da página 239 de 81 à 86