Trabalho 2 de PDS

7/18/2019 Trabalho 2 de PDS

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Trabalho – 2

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Processamento Digital de Sinais

Prof. Éderson Rosa da Silva

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Sistemas Discretos

Data de entrega: 28/01/2013

Alunos

Mateus Martins Lemes 11011EMT026

Vinicius Mainardi de Moraes 100779



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Trabalho 2 Sistemas Discretos

1 –

Objetivos

O presente trabalho tem como objetivo o uso do MatLab aplicado a sistemas

discretos como ferramenta para facilitar os cálculos e facilitar a visualização dos sinais.

2 – Fundamentação Teórica

Matematicamente, um sistema de tempo discreto (ou sistema discreto, mais

resumidamente) é descrito por um operador T{.} que torna numa sequência x[n]

(chamada de excitação) e a transforma em outra sequência y[n] (chamada de resposta).

Isto é,

Sistema Linear

Em PDS nós dizemos que o sistema processa um sinal de entrada e gera um sinal

de saída. Sistemas discretos são classificados em sistema linear e não-linear. Um

sistema discreto T{.} é um operador linear L{.} se, e somente se, L{.} satisfaz ao

princípio da superposição:

Sabemos que uma sequência arbitrária x[n] pode ser sintetizada como uma soma

de impulsos unitários escalados e deslocados no tempo, tal como:



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Usando as Equações (2) e (3), a saída y[n] de um sistema linear a uma entrada

arbitrária x[n] é dada por:

A resposta L{δ[n-k]} pode ser interpretada como a resposta de um sistema linear

no tempo n devido a um impulso unitário no tempo k. Ela é chamada de resposta à

amostra unitária e é denotada hk [n]. A saída completa é dada pela soma de superposição

O cálculo da Equação (5) requer a resposta à amostra unitária variante no tempo

hk [n], a qual na prática não é muito conveniente. Por isso, sistemas de tempo invariante

são mais usados em PDS.

Sistema Linear Invariante no Tempo

Um sistema linear no qual um par entrada-saída, x[n] e y[n], é invariante a um

deslocamento n no tempo é chamado de Sistema Linear Invariante no Tempo (SLIT).

Para um SLIT os operadores L{.} e deslocamento no tempo são reversíveis, como

mostrado abaixo:

Para um SLIT a função variante no tempo hk [n] torna-se uma função invariante

no tempo h[n-k], e a saída na Equação (5) será dada por:



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Convolução

A resposta à amostra unitária de um SLIT é dada por h[n]. A operação

matemática na Equação (6) é chamada de soma da convolução linear e é denotada por:

Portanto, um SLIT é completamente caracterizado no domínio do tempo por sua

resposta à amostra unitária h[n], como mostrado a seguir:

A operação de convolução de dois sinais pode ser obtida de vários modos. Se as

sequências são funções matemáticas (de duração finita ou infinita), então pode-se

avaliar analiticamente a Equação (6) para todo n para se obter a forma funcional de y[n].

3 – Procedimentos e Resultados

Com o auxílio de um computador, com o software MatLab, conectado à internet,

realizaram-se os seguintes procedimentos e obtiveram-se os resultados correspondentes.

Item 3.1

Considerando um pulso retangular x[n] = u[n]-u[n-10] usado como entrada de

um SLIT com resposta à amostra unitária h[n] = (0,9)n .u[n], determinou-se a saída y[n],

e traçou-se os sinais envolvidos.

Utilizou-se do seguinte código:

x = ones(1,10); nx = 0:9; n = 0:100; h = (0.9).^n; nh = 0:100; y = conv(x,h); ny = nh(1) + nx(1) : nh(end) + nx(end); figure(1), stem(nx,x);

figure(2), stem(nh,h);

figure(3), stem(ny,y);



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E chegaram-se nos seguintes resultados:

Figura 1 – Sinal envolvido 1




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Item 3.2

Utilizando a função conv do MatLab, calculou-se manualmente a convoluçãoentre as sequências x[n] e h[n], e depois traçaram-se os sinais envolvidos.

x[n]=[11,7,0,-1,4]

h[n]=[3,0,-5,2,1]

Código para gerar as sequências:

X = [11,7,0,-1,4]; NX = -2:2;

H = [3,0,-5,2,1]; NH = 0:4;

figure(4), stem(NX,X);

Código para convoluir x[n] e h[n]:

Y = conv(X,H); NY = NH(1) + NX(1) : NH(end) + NX(end); figure(6), stem(NY,Y);



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Resultados obtidos:

Figura 4 – x[n]

Figura 5 – h[n]

Figura 6 – x[n] * h[n]



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Item 3.3

Considerando o SLI causal descrito pela equação de diferenças dada abaixo:

y[n]- 0,6 y[n - 2] = 0,3 x[n]+ 0,5 x[n -1] + 0,3 x[n - 2]

Escreveu-se um programa MatLab para simular a saída do sistema para asseguintes entradas (0 n 127):

a) Amostra unitária, x[n] = d[n]

b) Degrau unitário, , x[n] = u [n]

c) Exponencial discreta, x[n] = 3.(0,4)nu [n]

a) Utilizou-se do seguinte código:

nyy = 0:127; yya(1) = 0.3;

yya(2) = 0.5;

yya(3) = 0.9;

for i=4:128 yya(i) = 0.6*yya(i-2);

end figure(1), stem(nyy,yya);

E obteve-se o seguinte resultado:

Figura 7 – Resultado a



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b) Utilizou-se o seguinte código:

yyb(1) = 0.3;

yyb(2) = 0.8;

for j=3:128 yyb(j) = 0.6*yyb(j-2) + 1.1;

end figure(1), stem(nyy,yyb);


Figura 8 – Resultado b

c) Utilizou-se o seguinte código:

yyc(1) = 0.3*3*(0.4)^0;

yyc(2) = 0.3*3*(0.4)^1 + 0.5*3*(0.4)^0;

for k=3:128

yyc(k) = 0.6*yyc(k-2) + 3*(0.3*(0.4)^k + 0.5*(0.4)^(k-1) +0.3*(0.4)^(k-2)); end figure(1), stem(nyy,yyc);



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Figura 9 – Resultado c

Item 3.4

Utilizando-se a função filter do MatLab, obteve-se a saída do item anterior e

descobriu-se os valores dos vetores a e b usados como argumentos na referida função.

Posteriormente, simulou-se o sistema para as entradas utilizadas no item anterior.

a) Utilizou-se seguinte código:

A = [1 0 -0.6]; B = [0.3 0.5 0.3]; X(1) = 1; N = 0:127; for i = (length(X) + 1) : length(N)

X(i) = 0; end Y = filter(B,A,X); figure (1), stem(N,Y);



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Figura 10 – Resultado a

b) Utilizou-se o código:

A = [1 0 -0.6]; B = [0.3 0.5 0.3]; N = 0 : 127; for i = 1 : length(N)

X(i) = 1; end Y = filter(B,A,X); figure(2), stem(N,Y);


Figura 11 – Resultado b



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c) Utilizou-se o código:

A = [1 0 -0.6]; B = [0.3 0.5 0.3]; N = 0:127;

for i = 1 : length(N) X(i) = 3*(0.4^(i-1)); end Y = filter(B,A,X);

figure (3), stem(N,Y);


Figura 12 – Resultado c

4 – Conclusão

O presente trabalho trouxe facilidade no cálculo de convoluções de sinais

discretos no tempo e mostrou a variedade de caminhos a seguir quando se trata de

programação.

5 – Referências Bibliográficas

[1] Engenharia de Controle Moderno, OGATA.

[2] Processamento Digital de Sinais, HAYES.

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