UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS

UnUCET – Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas

Curso de Engenharia Civil

HIAGO MARTINS BORGES

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

Anápolis

2012

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS

UnUCET – Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas

Curso de Engenharia Civil

TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO

Anápolis

2012

Hiago Martins Borges

Pesquisa bibliográfica apresentada ao Professor Marco

Aurélio Caetano, como exigência para avaliação parcial na

disciplina de Resistência dos Materiais II.

INTRODUÇÃO

Vigas são elementos estruturais de grande importância na utilização em

projetos de engenharia (HIBBELER, 2010). Esses elementos são projetados para

suportar diversas cargas em sua extensão, sejam elas não verticais ou dispostas

verticalmente, dando origem aos esforços de cisalhamento e flexão. ( Em:

<http://www.cesec.ufpr.br/etools/firstapplets/faap/teoria1j.html>)

Segundo Hibbeler (2010) , para se projetar uma viga corretamente, em

primeiro lugar, é necessário determinar a força de cisalhamento e o momento

máximos que agem na viga. Para isso, faz-se uso dos diagramas de força cortante e

momento fletor.

Assim, quando se dimensiona uma viga, seja ela de qualquer material deve-

se primeiramente calcular os esforços da estrutura para posteriormente fazer o

dimensionamento da peça propriamente dito, onde é verificada qual as dimensões

necessárias da peça estrutural que resista aos esforços solicitados. ( Em:

<http://www.cesec.ufpr.br/etools/firstapplets/faap/teoria1j.html>)

Por meio da revisão bibliográfica, este trabalho tem por objetivo abordar

assuntos referentes ao cisalhamento na flexão, promovendo o estudo de um método

para a determinação da tensão de cisalhamento em uma viga com seção transversal

prismática, feita de material homogêneo e que se comporta de uma maneira linear

elástica.

1- CISALHAMENTO TRANSVERSAL

1.1- CISALHAMENTO EM ELEMENTOS RETOS

As vigas, em geral, suportam cargas de cisalhamento e também de momento

fletor. Numa viga submetida à uma força cortante V, aparecem tensões de

cisalhamento nas seções transversais e longitudinais ( figura 1) . Numa determinada

seção transversal, as tensões de cisalhamento, que nela atuam, têm como

resultante, ou são equivalentes, à força cortante V (NASH, 1982).

Figura 1. Cisalhamento transversal e longitudinal.

É possível explicar fisicamente por que a tensão de cisalhamento se desenvolve nos planos longitudinais de uma viga considerando que ela é composta por três tábuas. Se as superfícies superior e inferior de cada tábua forem lisas e as tábuas estiverem soltas, a aplicação doa carga P fará com que as tábuas deslizem uma sobre a outra e, assim, a viga sofrerá a deflexão mostrada na figura 2-a . Por outro lado se as tábuas estiverem unidas, as tensões de cisalhamento longitudinais entre elas impedirão que uma deslize sobre a outra e, por consequência, a viga agirá como uma unidade única (figura 2-b) (HIBBELER, 2010)

Figura 2 . Cisalhamento em vigas.

Quando submetidas ao cisalhamento, as seções transversais de uma viga tendem a distorcer de maneira bastante complexa. Segundo Hibbeler ( 2010) quando a viga é submetida ao cisalhamento e também à flexão, podemos considerar que essa distorção da seção transversal é pequena o suficiente para ser desprezada.

Tábuas soltas (a) Tábuas unidas. (b)

No caso do cisalhamento transversal, a distribuição da deformação por

cisalhamento ao longo da largura de uma viga não pode ser expressa facilmente em

termos matemáticos. Sendo assim, a analise de tensão de cisalhamento citada é

desenvolvida de uma maneira diferenciada. Desenvolve-se uma fórmula para a

tensão de cisalhamento indiretamente; isto é, usando a fórmula da flexão e a relação

entre o momento fletor e cisalhamento ( V = dM / dx ).

1.2- A FÓRMULA DO CISALHAMENTO

Segundo Nash (1982), em uma viga que suporta cargas perpendiculares ao

seu eixo, aparecem não só tensões normais, paralelas ao eixo da barra, como

também tensões de cisalhamento nas seções transversais e nos planos que lhes

são perpendiculares. É possível assim, deduzir uma expressão que fornece o valor

da tensão de cisalhamento, em função da força cortante e das propriedades

geométricas da seção transversal.

Considere um elemento de viga como ilustrado na Figura 3, de comprimento

infinitesimal dx.

Figura 3 . Viga e elemento de viga de comprimento dx.

Como observa-se na figura 4, devido aos efeitos da flexão, esse elemento de viga é solicitado por tensões normais, paralelas ao eixo x. ‘

Figura 4 . Tensões normais devido a flexão em um elemento de viga.

Conforme verificado na figura 4, essas tensões normais que atuam nas faces do elemento hachurado mpp1m1, de comprimento dx, variam linearmente a partir da linha neutra e, em qualquer ponto, a uma distância y da linha neutra são definidas nas faces mp e m1p1, respectivamente, como (TIMOSHENKO, 1989):

e

Equação 1 . Tensões normais devido à flexão em um elemento de viga

Sendo I o momento de inércia da seção transversal, em relação à linha neutra.

Figura 5 . Elemento mpp1m1.

Analisando o equilíbrio na direção x do elemento mpp1m1, por meio das equações e da figura 5 percebe-se que σ1 ≠ σ2 . Sendo assim, a tensão de

cisalhamento τ é fundamental para que se estabeleça o equilíbrio. Vale lembrar

que as tensões verticais nos planos mp e m1p1 não estão sendo consideradas, uma vez que está se analisando somente o equilíbrio na direção x.

Figura 6 . Diagrama de corpo livre do elemento mpp1m1.

Sabendo que:

Equação 2 . Tensão Normal originada por um elemento de carga dF

Temos:

Integrando dF e fazendo uso da Equação 1, temos:

∫

⁄

∫

⁄

Equação 3 . Força F1 atuante em mp.

Analogamente:

∫

⁄

Equação 4 . Força F2 atuante em m1p1.

Fazendo o equilíbrio do elemento da figura 6, na direção x:

∫

⁄

∫

⁄

∫

⁄

Equação 5 . Força F3 atuante na face pp1.

Como exposto anteriormente, para que seja satisfeita a condição de equilíbrio

em x, outra força deve atuar no elemento. Desde que a face mm1 não suporta, por

hipótese, qualquer força horizontal, a única possibilidade de equilíbrio está no

aparecimento de uma força horizontal, na face pp1. Segundo Nash (1982), essa

força representa a ação da parte inferior da viga sobre o elemento hachurado em

questão. Seja τ a tensão de cisalhamento que atua nos diversos pontos de pp1 . A

força horizontal será da formaτ , onde (b.dx) é a área da parte inferior do

elemento, conforme pode se observar na figura 3.

Sendo assim, F3 pode ser escrita em função da tensão τ:

τ

Equação 6 . Força F3 em função de τ.

Ao relacionar as equações 5 e 6, obtém-se:

τ

∫

⁄

τ

∫

⁄

Sendo

a força de cisalhamento, e ∫

⁄

o momento de

primeira ordem da área sombreada em torno do eixo neutro. Finalmente temos a

fórmula de cisalhamento em uma viga:

τ

Equação 7 . Fórmula de cisalhamento

Observações: - V, b e I são constantes em uma seção. - Ms varia com a distância y1.

- Trata-se todos os elementos da fórmula com valores

positivos, pois sabe-se que a tensão τ atua na mesma direção da força de cisalhamento V.

1.3 – TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS

Para desenvolver uma certa percepção do método de aplicação da fórmula de

cisalhamento e também discutir algumas de suas limitações, é necessário estudar

as distribuições de tensão de cisalhamento em alguns tipos comuns de seções

transversais de vigas (HIBBELER, 2010).

À seguir será feito um estudo do cisalhamento em seções de vigas

retangulares e circulares.

1.3.1 – DISTRUIBUIÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO NA SEÇÃO

RETANGULAR

Figura 7 . Seção retangular.

Tendo posse dos dados suficientes, é possível calcular a distribuição do cisalhamento na seção retangular de uma viga, através da Fórmula de Cisalhamento (Equação 7):

Equação 8 . Distribuição do cisalhamento em seção retangular.

A expressão acima indica que a tensão de cisalhamento varia

parabolicamente com y1. Como regra geral, a máxima tensão de cisalhamento τ ocorre no centro de gravidade da seção transversal CG (y1=0). Portanto

τ

Figura 8 . Tensão máxima de cisalhamento τ

1.3.2 – DISTRUIBUIÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO NA SEÇÃO

CIRCULAR

Figura 9 . Seção circular.

Para seções circulares de vigas (figura 9) não se pode assumir que todas as tensões de cisalhamento agem paralelamente ao eixo y; em determinado ponto m na superfície, a tensão deve agir de forma tangente. Porém, as tensões de cisalhamento na linha neutra, onde as tensões são máximas, podem ser assumidas como paralelas à y e de intensidade constante ao longo da largura. Assim, para a linha neutra, pode-se utilizar a fórmula de cisalhamento (Equação 7):

Equação 9 . Cisalhamento máximo em seção circular

1.4- FLUXO DE CISALHAMENTO

Fluxo de cisalhamento é uma medida da força por unidade de comprimento ao longo de um eixo longitudinal de uma viga. Esse valor é determinado pela fórmula do cisalhamento e é usado para se definir a força de cisalhamento desenvolvida em elementos de fixação e cola que mantêm os vários segmentos de uma viga

unidos (HIBBELER, 2010).

Em outras palavras, pode-se dizer que o fluxo de cisalhamento (f) é a força de cisalhamento horizontal por unidade de distância ao longo do eixo longitudinal da viga. E é dado pela seguinte expressão:

Equação 10 . Fluxo de cisalhamento

1.5 – CENTRO DE CISALHAMENTO

Para Hibbeler (2010), o centro de cisalhamento é o ponto no qual se pode

aplicar uma força que causará a deflexão de uma viga sem provocar torção. Ele

sempre estará localizado em um eixo de simetria da seção transversal e a sua

localização é função apenas da geometria da seção transversal, não dependendo,

assim, do carregamento aplicado na viga.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Diante da importância de vigas como elementos estruturais aplicados na

engenharia, é de extrema necessidade o desenvolvimento de técnicas adequadas

para dimensioná-las de forma eficaz, garantindo assim não só a economia de

materiais, mas principalmente bom desempenho.

Para isso, é necessário o conhecimento de técnicas específicas que

assegurem a eficácia do dimensionamento. Um importante aspecto a ser levado em

consideração é a determinação das forças de cisalhamento a qual a viga se

submeterá.

A tensão de cisalhamento transversal em vigas pode ser determinada

indiretamente pela fórmula da flexão e pela relação entre momento e cisalhamento (

V= dM/dx). O resultado é a fórmula do cisalhamento (Equação 7). Como foi

apresentado, o estudo pode ser aplicado para vigas de diferentes seções

transversais (retangulares e circulares), porém possui algumas restrições.

Hibbeler (2010) salienta que a fórmula do cisalhamento (Equação 7) não dá

resultados precisos quando aplicada a elementos cujas seções transversais são

curtas ou achatadas ou em pontos onde ocorrem mudanças repentinas na seção

transversal ou em um ponto sobre um contorno inclinado. Nesses casos, a tensão

de cisalhamento deve ser determinada por métodos mais avançados baseados na

teoria da elasticidade.

Além do cálculo da tensão de cisalhamento em vigas, foi discutido outros

conceitos complementares ( fluxo de cisalhamento e centro de cisalhamento).

Por meio da revisão de literatura, acredita-se que o presente trabalho

alcançou os objetivos propostos, tendo exercido grande importância para o

enriquecimento do conhecimento pessoal e para a formação acadêmica.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

HIBBELER, Russel C. Resistência dos materiais. 7a ed. São Paulo: Pearson Prentice hall, 2010.

NASH, W. A. Resistência dos materiais. 3a ed. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1982.

TIMOSHENKO, S. P., GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: Livros

Técnicos e Científicos, 1989. v. 2.

UFPR - CESEC. Teoria sobre vigas. Disponível em: http://www.cesec.ufpr.br/etools/firstapplets/faap/teoria1j.html. Acesso: 12 de maio de 2012.

VANDERLEI, R. M. Cisalhamento. UEM. Disponível em:

http://www.gdace.uem.br/romel/MDidatico/MecanicaSolidosI/Capitulo5-Cisalhamento.pdf. Acesso em: 12 de maio de 2012.