Trabalho M1 Algebra Semestre Passado (Questões Diferentes)

8/18/2019 Trabalho M1 Algebra Semestre Passado (Questões Diferentes)

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A nota completa da questão está condicionada a apresentação do desenvolvimento dos exercícios. Organização eclareza de ideias são fundamentais!

1.

(1,6) O conjunto V = {(x, y) ∈ ²| x, y ∈ | } com as operações definidas a seguir:(, ) + (, ) = ( + + 1 , + + 1)

k(x, y) = (kx, ky)é espaço vetorial sobre R ? Se não for, indique quais axiomas não se verificam.

A1 = (u + v) + w = u + (v + w)

(u + v) + w u + (v + w)

((x1 + y1) + (x2 + y3)) + (x3 + y3) (x1 + y1) + ((x2 + y2) + (x3 + y3))

(x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1) + (x3 + y3) VALE (x1 + y1) + (x2 + x3 + 1, y2 + y3 +1)(x1 + x2 + x3 + 1 , y1 + y2 + y3 + 1) = (x1 + x2 + x3 + 1, y1 + y2 +y3 + 1)

A2 = u + v = v + u

u + v v + u

(x1, y1) + (x2, y2) VALE (x2, y2) + (x1, y1)(x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1) = (x2 + x1 + 1, y2 + y1 + 1)

A3 = u + 0 = u

(x1 + y1) + (0, 0)

(x1 + 0 + 1 , y1 + 0 + 1) FALHA(x1 + 1, y1 + 1) ≠ u

A4 = u + (-u) = 0

(x1, y1) + (-x1, -y1)

(x1 – x1 + 1 , y1 – y1 + 1) FALHA (1, 1) ≠ 0

Como a multiplicação é a usual, então os axiomas do M1 até o M4 são verdadeiros.

Portanto V não é um espaço vetorial, tendo em vista que os axiomas A3 e A4 Falham.

UNIVERSIDADE DO VALE DO ITAJAIPROFESSOR: ANDRESSA PINHEIRO DATA: 11 / 09 / 2015DISCIPLINA: ÁLGEBRA II TIPO: TRABALHO PESO: 3,0

ALUNO(s):Victor Hugo Florêncio e Carlos Henrique Dias NOTA


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2. (3,6). Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de seus respectivos espaços vetoriais.

Dos que forem subespaço, mostre seus geradores, ou seja, seu conjunto gerador. Dos que não forem

subespaço, dê um contraexemplo.

a) W = {(x, y, z, t) ∈ ^4| x – y – z + t = 0} R^4 c) S = {{(x, y, z) ∈ ³| y = x + 2 e z =

0} R³

b)

U = {[ ] ∈(,)| y = - x} (,) _________________________________________________________________________________________________________

a) x= y + z –t

v = (y1 + z1 –t1, y1, z1, t1) u = (x2 + z2 –t2, y2, z2,t2)

I) u + v = (y1 + z1 –t1, y1, z1, t1) + (y2 + z2 –t2, y2, z2, t2)= (y1 + y2 + z1 + z2 – t1 – t2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2)

II) α. u = α. (y1 + z1 –t1, y1, z1, t1)= (αy1 +αz1 –αt1, αy1, αz1, αt1) É SUBESPACO

(x, y, z, t) = (y + z – t, y ,z ,t) = (0, 0, 0, 0) + (y, y, 0, 0) + (z, 0, z, 0) + (-t, 0, 0, t)

(y + z – t, y ,z ,t) = x(0, 0, 0, 0) + y(1, 1, 0, 0) + z(1, 0, 1, 0) t(-1, 0, 0, t)

W=[(0 , 0, 0, 0),(1, 1, 0, 0),(1, 0, 1, 0),(-1, 0, 0, 1)]

____________________________________________________________________________

b) u = 1 −11 1 v = 2 −22 2

I) u + v = 1 −11 1 + 2 −22 2

= 1 + 2 −1 − 21 + 2 1 + 2

II) α.u = α. 1 −11 1 = . 1 − 11 1 É SUBESPACO

= − =

1 −10 0 +

0 00 0 +

0 01 0 +

0 00 1

− = x1 −10 0 + y

0 00 0 + z

0 01 0 + w

0 00 1

U=[ −

+

+

+

]

_______________________________________________________________________________________________________


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c) v = (x1, x1 + 2, 0) u = (x2, x2 + 2, 0)

I) u + v = (x1, x1 + 2, 0) + (x2, x2 + 2, 0)= (x1 + x2, x1 + x2 + 4, 0) NÃO É SUBESPACO

a = ( 2, 4 ,0) b= (3, 5, 0)

u + v = (2 + 3, 4 + 5, 0)= (5, 9, 0) ERRADO


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3. (1,8) Determine:

a)

O subespaço S do R³gerado pelo conjunto {(- 1, - 2, 3), (3, 3, - 4)}

b) Para que valor de k o vetor (- 1, 4, k) é combinação linear de u = (3, 2, 1) e v = (6, 3, 3)?

a) [v1, v2] = (x, y, z) ∈ ³ / (x, y, z) = a(-1, -2, -3) b(3, 3, 4)

(x, y, z) = (-a, -2a, -3a) + (3b, 3b, -4b)

= (-a + 3b, -2a + 3b, 3a -4b)

-a + 3b = x -2(x-y) +3b = y

-2a + 3b = y -a + 3b = x -2x + 2y + 3b = y

3a -4b = z -2a + 3b = y 3b = y + 2x – 2y

a = x – y 3b = 2x – y

b = 2x -y3

3(x – y) -4(2x – y) = z

3

3x -3y -8x +4y = z

1 1 3 3 1

9x -9y -8x +4y = 3z

x -5y -3z =0 ____________________________________________________________________________

b) (-1, 4, k) = a(3, 2, 1) + b(6, 3, 3)(3a, 2a, a) + (6b, 3b, 3b)

3a + 6b = -1 2a + 3b = 4

2a + 3b = 4 (. -2) 3a + 6b = -1 18 + 3b = 4

a + 3b = k -4a -6b = -8 3b = -14

a = + 9 b = 14

3

9 + 3 14 = k

3

9 + 14 = k

K = 23


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4.

(1,5) Classificar os seguintes conjuntos como L.I ou L.D.

a) {(1, 2, 1), (2, 4, 2), (5, 10, 5)} R³ b) {1 + 2x + 3x², 1 + 4x + 9x², 1 + 8x + 27x²}

a) (a, 2a, a) + (2b ,4b, 2b) + (5c, 10c, 5c) = {0, 0, 0}

a + 2b + 5c = 0 a + 2b + 5c = 0

2a + 4b + 10c = 0 -a - 2b -5c = 0

A + 2b +5c = 0

Resposta: Os vetores são L.D pois o sistema admite infinitas soluções. ___________________________________________________________________________

b) a(1 + 2x + 3) + b(1 + 4x + 9) + c(1 + 8x + 27)

(a + b + c) + x.(2a + 4b +8c) + .(3a + 9b + 27c) = (0, 0x, 0)

a + b + c = 0 (.2) 2a + 2b + 2c = 0 2a +4.(-3) + 8c = 0

2a + 4b + 8c = 0 - 2a + 4b + 8c = 0 2a – 12c + 8c = 0

3a + +9b + 27c = 0 -2b – 6c =0 2a = 4c

-2b = 6c a = 2c

b = -3c

3a + 9b + 27c = 03(2c) + 9(-3c) + 27c = 0

6c -27c + 27c = 0

6c = 0

Resposta: Os vetores são L.I

____________________________________________________________________________

5. a) (1,0) Dar uma base e a dimensão do subespaço W de , em que:

W = {(x, y, z, t) ∈ | x – y = y e x – 3y + t = 0}.

x – y = x x -3y + t = 0 (2t, t , z , t)

x = y + y 2y -3y + t = 0

x = 2y -y = -t .(-1)

x = 2t y = t


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(2t, t, 0, t) + (0, 0, z, 0)

t(2, 1, 0, 1) + z(0, 0, 1, 0)

A={(2, 1, 0, 1),(0, 0, 1, 0)} gera W

Ver se é L.I

a(2, 1, 0, 1) + b(0, 0, 1, 0) = (0, 0, 0, 0)

2a = 0 a = 0/2 a = 0

a = 0

b = 0 É L.I portanto A é base de W.

a = 0

b)

(0,5) Complete o conjunto encontrado como base de W na letra (a), até que se torne uma base

do .

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