Trabalho realizado pelos Alunos 12º ano TCC / TM

Escola Secundária de Avelar Brotero

Valor justo de uma aposta

TOTOLOTO

• O jogo

1º Prémio : acertar nos 6 números sorteados

2º Prémio : acertar em 5 números sorteados e no suplementar

3º Prémio : acertar em 5 números sorteados

4º Prémio : acertar em 4 números sorteados

5º Prémio : acertar em 3 números sorteados

• Recolha de Dados

1º prémio 2º prémio 3º prémio 4º prémio 5º prémio

124524675$ 5399894$ 265568$ 1676$ 264$

60684631$ 1137242$ 113724$ 2351$ 230$

115001786$ 1597247$ 141395$ 1974$ 210$

56333566$ 2816678$ 173156$ 2954$ 235$

119958403$ 2596583$ 124969$ 2682$ 226$

117204740$ 1039034$ 78714$ 1645$ 188$

239218933$ 5289320$ 223492$ 2954$ 226$

18785595$ 612573$ 68063$ 1488$ 174$

242342725$ 5357627$ 212416$ 3104$ 238$

122757689$ 1278727$ 177054$ 2773$ 240$

• Tratamento de Dados

Média dos prémios :

1º Prémio : ...... 121 681 274 $

2º Prémio : ...... 2 712 492 $

3º Prémio : ...... 157 855 $

4º Prémio : ...... 2 360 $

5º Prémio : ...... 223 $

• Matematização

ii px

O valor esperado é dado pela soma dos produtos de cada prémio pela correspondente probabilidade,

seja x1 o 1º prémio e p1 a respectiva probabilidade de sair

x2 o 2º prémio e p2 a respectiva probabilidade de sair

... ... ... ... x5 o 5º prémio e p5 a respectiva probabilidade de sair

  x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 + x4 p4 + x5 p5

é a média ou valor esperado desta distribuição.

Lei de Laplace

“ Numa experiência aleatória em que os casos elementares têm igual possibilidade de se realizar, a probabilidade de um acontecimento se concretizar é

dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis e o número de possíveis.”

Combinações possíveis de 6 números de 49

23456444546474849

649

C

13983816 6

49 C

Probabilidade de acertar em cada um dos prémios

1º Prémio

649

1

C p(1º prémio) =

p(1º prémio) = 13983816

1

p(1º prémio) 0,00000007151123842

2º Prémio

A estrutura de cada chave é da seguinte forma C C C C C S

Tomemos, como exemplo, a seguinte chave 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

De quantas maneiras podemos obter 5 resultados?

{1, 2, 3, 4, 5 }, {1, 2, 3, 4, 6 }, {1, 2, 3, 5, 6 }, {1, 2, 4, 5, 6 }, {1, 3, 4, 5, 6 }, {2, 3, 4, 5, 6 }

Temos, portanto, 6 casos favoráveis.

Assim, o número de chaves favoráveis é dado por 1 .

2º Prémio

2º Prémio

p(2º prémio) = 1

649

56

C

C

p(2º prémio) = 13983816

6

p(2º prémio) 0,0000004290674305

3º Prémio

A estrutura de cada chave é da seguinte forma C C C C C E

142C

Assim, o número de casos favoráveis é 252, dado por

56 C

142C = 6 42

3º Prémio

p(3º prémio) =

649

142

56

C

CC

p(3º prémio) = 13983816

426

p(3º prémio) = 0,00001802083208

4º Prémio

A estrutura de cada chave é da seguinte forma C C C C E E.

243

46 CC O número de casos favoráveis é 13545, dado por

4º Prémio

p(4º prémio) = 6

492

43 4

6

C

CC

p(4º prémio) =

13983816

13545

p(4º prémio) = 0,0009686197244

5º Prémio

As chaves têm a seguinte estrutura C C C E E E

O número de casos favoráveis é 13545, dado por 343

36 CC

5º Prémio

p(5º prémio) = 6

493

43 3

6

C

CC

p(5º prémio) = 13983816

246820

p(5º prémio) = 0,0176504039

Tabela de Distribuição

  1º prémio 2º prémio 3º prémio 4º prémio 5º prémio

xi valor

do prémio

121681274$ 2712492$ 

157855$ 2360$ 223$

pi prob. 0,0000000715 

0,0000004291 

0,0000180208 0,0009686197 0,0176504039

ii pxx

Média da distribuição :

x = 121681274 0,0000000715 + 2712492 0,0000004291 + 157855 0,0000180208 + 2360 0,0009686197 + 223 0,0176504039

x 19$00

Conclusão

Verificámos que a probabilidade de obter um bom prémio é muito reduzida, 1º prémio: temos 1 hipótese para 13983816 2º prémio: temos 1 hipótese para 2330636

´ 3º prémio: temos 1 hipótese para 55491

4º prémio: temos 1 hipótese para 1032

5º prémio: temos 1 hipótese para 57

...e no entanto o jogo continua.