Rafael Almeida Silva

Teorema da Funo Inversa

Mineiros Gois2015CENTRO UNIVERSITRIO DE MINEIROS (UNIFIMES)

Teorema da Funo Inversa

Breno CsarDenise Assis FeitosaGustavo Vilela NiasJoo Carlito Balz de SousaRafael Almeida SilvaRafael Damascena Silva

Trabalho apresentada ao Curso de Engenharia Civil, oferecido pela Unidade Bsica das Exatas, mantido pelo Centro Universitrio de Mineiros, como requisito parcial para obteno do Ttulo de Bacharel em Engenharia Civil, sob a orientao do Prof. Maxlei Vinicius Candido de Freitas.

Mineiros Gois2013RESUMO

Oteorema da funo inversa um importante resultado daanlise real. Admite diversas verses, todas estabelecem basicamente a existncia local de umafuno inversa para uma aplicao continuamente diferenvel.

Definio

Teorema da funo Inversa um importante resultado que trata da possibilidade de inverter uma funo, mesmo que localmente. O teorema tambm fala das propriedades de diferenciabilidade da inversa. O Teorema da Funo Inversa diz basicamente que se invertvel, ento invertvel numa vizinhana de

Derivada da Funo Inversa

Se F uma funo definida sobre um intervalo I e F derivvel com , ento F invertvel neste intervalo, sua funo inversa derivvel e .Suponha que F e sua inversa sejam derivveis, usando a Regra da Cadeia podemos encontrar a derivada de . Sabemos que F o = id, isto , F((y)) = y.Logo, derivando implicitamente e usando a Regra da cadeia, F( ) (y) = 1.Assim, se F(no for nulo, (Ou seja, se y = F(x) e sua inversa x= so derivveis, temos

Demonstrao

Para a demonstrao do Teorema de funo inversa vamos precisar do seguinte teorema sobre ponto fixo. o teorema do ponto fixo de Banach ou o principio da contrao. Sejam (M, d) e (N, d1) dois espaos mtricos. Uma aplicao f : M => N dita uma contrao de existe 0 tal que fcil ver que toda contrao uniformemente continua.Sejam (M, d) um espao mtrico completo e f : M => M uma contrao. Ento. f possui um nico ponto fixo em M. Alm disso, dado a sequencia definida por uma sequancia convergente e ponto fixo de f.Demostrao: se a sequencia (definida acima converge para Ento como f continua temos

Provando que a ponto fixo de f.Se f tem dois ponto fixos a e b, ento temos.

O que absurdo a menos que a = b. Logo , a = b.Basta provar que a sequencia () converge. Notemos que e que em geral Segue que para n, p temos.

N. Segue que para n, p N temos:d.( + ....+ d([ + + ... + ]d(, ) d (.Como lim = 0 segue que a sequencia de Cauchy e portanto convergente, o que completa a prova do teorema.

Exemplo: Dada a funo F: contnua, suponha eu existam n funes de classe tais que sejam de classe . Mostre que se so linearmente independentes para o todo x R, ento a funo F de classe .Este problema uma aplicao do Teorema da Funo Inversa (TFI)1. Na soluo, usamos a continuidade da funo F para garantir que a inversa, por F, de um aberto de um aberto e, . Alm disso, usamos o fato de os vetores formarem um conjunto L.I. para que nos assegurar que o Jacobiano de uma funo, a ser definida, diferente de zero [onde o Jacobiano de uma funo G em x dado por JG(x) = detG(x)].

Soluo: Considere a funo g= () : para todo y . Ento g de classe , pois so suas funes coordenadas. Agora escrevendo h(x) = g(F(x)) = ((F(x)), ..., (F(x))) tem-se h de classe , uma vez que cada de classe Dado que . Logo, pelo TFI a restrio glF() um difeomorfismo local de classe seja, existe um aberto V de F( contendo x tal que g: V g(V) um difeomorfismo , o que implica que a funo : g(V) V de classe .Considerando aberto U - (V) [F continuo em V aberto] e sabendo que a composta de funes de classe ainda uma funo , ento a funo h = g F = F .