Transições de Fase e Fenômenos CríticosPG – 2º Semestre de 2007

Ementa:1. Fenomenologia de transições de fase.2. Modelos magnéticos simples.3. Universalidade e scaling.4. Métodos de aproximação. 5. Teoria de escala de tamanhos finitos.6. Invariância conforme.7. Sistemas desordenados.8. Transições de fase quânticas.

Instituto de Física, UFRJ

última atualização: 16/8/2007

Modelos magnéticos simples

• A origem da “interação magnética”• Modelo de Heisenberg isotrópico • Modelo de Heisenberg anisotrópico• Modelo de Ising• Modelo de Heisenberg planar• Modelo XY• Dimensionalidade da rede magnética• Simetria discreta vs. simetria contínua• O modelo de Potts• Universalidade: modelos de pseudo-spin

“Interação magnética” responsável pelo ordenamento magnético: troca (exchange) = repulsão coulombiana + princípio de Pauli Spins paralelos elétrons mais

afastados diminui atração dos núcleos menor energia de ligação

Spins anti-paralelos elétrons mais próximos aumenta atração dos núcleos maior energia de ligação

21 SS JE

acoplamento de troca: depende do recobrimento dos orbitais atômicos

Molécula de H2

Ene

rgia

(R

y)

Separação intermolecular (a0)

A origem da “interação magnética”

exchange direto

superexchange: mediada por átomos não magnéticos

exchange indireto em metais: mediada por elétrons de condução

A origem da “interação magnética”

Modelo de Heisenberg isotrópico

• Spins-S localizados em sítios de uma rede regular: Si magnetismo

de isolantes• A interação entre pares de spin é isotrópica (no “espaço de spins”:

• Alcance da interação: Jij decai com |i j| implicações para dimensionalidade efetiva da rede

jji

iijJH SS ,

Modelo de Heisenberg isotrópico

• Com J > 0, o estado fundamental corresponde a ferromagnetismo saturado;• Estados excitados: ondas de spin (deslocamentos transversais compartilhados por todos os sítios) spin de cada sítio não está em um estado bem definido

• Fontes de anisotropia de spin: campo cristalino ou campo dipolar que atuam nos momentos magnéticos

Exemplo: Dy3+ L = 5, S = 5/2, J = 15/2• sem campo cristalino, o estado fundamental é o multipleto 2H15/2 degenerescência 16• com campo cristalino uniaxial (< acoplamento spin-órbita) quebra degenerescência em oito dubletes • Para Dy3Al5O12 (DAG), Tc 2.5K << E/kB ~ 80K a baixas temperaturas o spin tem apenas dois estados, os de anisotropia máxima spin ½ efetivo• J|| ~ 100 J • melhor descrito por anisotropia single-ion

15/2

13/2

1/2

80K

Modelo de Heisenberg anisotrópico

zD

S

i

zij

jiiij SDJH

direção na projeçãomaior a favorece 0

:1/2) se apenas (efetivo anisotropyion -single

2

,

SS

Exemplo: Co2+ [L = 3, S = 3/2] em CoCs3Cl5.• campo cristalino mais forte que acoplamento spin-órbita contribuição orbital para momento magnético é quenched• componente axial do campo cristalino quebra degenerescência 4 do estado fundamental • Tc 0.52K << E/kB ~ 10K a baixas temperaturas o spin tem apenas dois estados, de anisotropia máxima spin ½ efetivo• J|| ~ 10 J • melhor descrito por anisotropia Ising

Modelo de Ising

zj

ji

ziij SSJH

,• Na base de autoestados de Si

z , |S1 S2Sn, com Si = S, (S 1), +S cada spin mantém sua individualidade pode-se substituir o operador por seu autovalor na Hamiltoniana

No que diz respeito a classes de universalidade, diferença entre Heisenberg anisotrópico e Ising é imaterial; discrepâncias com relação a grandezas não-universais serão comentadas posteriormente.

Modelo de Heisenberg planar

Exemplo: CsNiF3.• sem exchange: campo cristalino singleto (menor energia) e dubleto• com exchange ~ gap singleto-dubleto mistura 3 estados spin efetivo S = 1• + anisotropia single-ion favorecendo alinhamento num “plano fácil”

2

,

i

zij

jiiij SDJH SS

anisotropia single-ion (só se S > ½) com D < 0: favorece o alinhamento das componentes planares

Modelo XY

É o limite extremo de anisotropia planar:• spins confinados a um plano

yj

yi

xj

xi

jiij SSSSJH

,

Planar XY

Para grandezas universais, diferença entre planar e XY é imaterial

Dimensionalidade da rede magnética

• Anisotropia espacial possível (p.ex., materiais estruturados em

camadas) determina a dimensionalidade da rede magnética: Jij pode depender da direção de i j:

A distância entre átomos magnéticos entre planos distintos é bem maior que a distância quando estão no mesmo plano J|| << J d = 2

YBa2Cu3O7- (YBCO) Bi-2212

Cu

O

Ca

Sr

Bi

Dimensionalidade da rede magnética

d = 1

Simetria discreta vs. simetria contínua

Generalização do modelo de Ising: o modelo de Potts

modelo de Ising FM: dois estados possíveis para o spin num sítioenergia de interação:

J se dois spins vizinhos num mesmo estado (paralelos) +J se dois spins vizinhos em estados diferentes (paralelos)N.B.: o importante é que há um E 0 separando estes estados, e não de quanto é a separação simetria discreta: {S } {S }

Questão [tese de doutorado proposta por C Domb a seu estudante RB Potts (tese de doutorado, Oxford, 1951)]: como generalizar Ising para q estados, preservando a simetria discreta?

Imagine vetores clássicos em cada sítio de uma rede que podem apontar em qq uma de q direções:

q = 2 q = 3 q = 4

q

JE

i

ij ji

,,2,1

Revisão: FY Wu (1982)

Modelo de Potts de 3 estados em 3 dimensões

NdAl2 PrAl2, e DyAl2 são ferromagnetos com simetria cúbica: na ausência de campo magnético H, a magnetização aponta em uma das dirções cristalinas [100], [010], ou [001].A aplicação de um campo magnético na direção [111] estabiliza qualquer uma das direções igualmente.

O sistema sofre uma transição de primeira ordem – descontinuidade na magnetização – em Hc (T)

B Barbara et al., JPC 11, L183(1978)

Modelo de Potts de 3 estados em 2 dimensões

Gases nobres (He, Kr,...) adsorvidos na superfície de grafite; eles ocupam os centros dos hexágonos

Berker et al., PRB 17, 3650 (1978)

Para cobertura (i.e., fração de sítios ocupados) 1/3, os átomos de Kr preferem ocupar uma das 3 sub-redes q = 3

Efeitos da dimensionalidadeModelo de Ising

Bk

JSzS )1(

3

2 :re temperatucritical field-Mean

d=3: séries; d=2: exato (Onsager); d=1: exato (Ising)

MF falha até mesmo em 3D:• Tc superestimada• descontinuidade, ao invés de divergência• ausência da cauda de altas temperaturas

Flutuações mais importantes quando d :• Tc descresce• Tc 0 em d =1

http://www.cs.adelaide.edu.au/~paulc/physics/spinmodels.html

Paul Coddington, University of Adelaide, paulc@cs.adelaide.edu.au

Referências [RMP=Rev Mod Phys; PRX=Phys Rev X;]

LJ de Jongh and AR Miedema, Adv Phys 23, 1 (1974)LP Kadanoff et al., RMP 39, 395 (1967)HE Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, (Oxford), 1967FY Wu, RMP 54, 235 (1982); 55, 315 (1983) (E).JM Yeomans, Statistical Mechanics of Phase Transitions, (Oxford), 1992.