Transições de Fase e Mecanismos Geradores de Leis de Potência

Renato VicenteComplex Systems EACH USP

Percolação

Um sítio é ocupado com probabilidade . p

Percolação

É possível caminhar de um lado a outro da rede

passando apenas por sítios vizinhos ?

Para pequeno o suficiente certamente que não.

Para grande o suficiente certamente que sim.

p

p

Percolação

A probabilidade de cruzamento W varia bruscamente mas

continuamente com p.

http://www.ibiblio.org/e-notes/Perc/perc640.htm

Na figura L=640

W: probabilidade

de cruzamento

P: percentagem de

sítios em clusters

gigantes

S:tamanho médio

dos clusters

excluindo clusters

gigantes

Percolação e Fractais

1.89( )M R R

No limiar de percolação a massa de pontos dentro de um circulo de

raio R escala com expoente 1.89 ao invés de 2.

Modelo de Ising

1. Se a maioria dos vizinhos for diferente

muda.

2. Se a maioria dos vizinhos for igual muda

com probabilidade que decai com o tamanho

da maioria. A “temperatura” aumenta a chance

de mudanças espontâneas.

Diagrama de Fases

A água exemplifica dois tipos de

transição.

Transições descontínuas

envolvem mudanças bruscas com

coexistência entre estados.

Retornando a Percolação

Exatamente sobre o limiar de percolação a

distribuição de tamanhos de clusters segue uma lei de potência.

0.593cp

Renormalização

Invariância em escala.

Renormalização

2 2 3 4 2 42 (1 ) 4 (1 ) 2p p p p p p p p

2 4

2 4

2

2 0

c c c

c c c

p p p

p p p

0.618cp

Mecanismos para obtenção de leis de potência

Outros mecanismos parageração leis de potência: lei de Zipf para

a frequência de palavras

1. Suponha que o numero de

vezes que uma palavra é

utilizada decaia

exponencialmente com seu

comprimento.

( ) lf l e

2. O número de palavras

possíveis cresce

exponencialmente com seu

comprimento.

( ) ln l e

3. O número de palavras

usadas com frequencia f

será:

( ) l ln l e e f

Outros mecanismos parageração leis de potência: lei de Zipf para

a frequência de palavras

1. Suponha que uma quantidade tenha distribuição

.

2. Medimos suas variações percentuais c

xy

3. A distribuição de x será:

2( ) ( ) ( )dy

p x p y cp y xdx

Distribuição de variações percentuais

( )p y

Criticalidade auto-organizada: Pilha de Areia