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Trigonometrıa hiperbolica
Cesar Zarco Romero
Universidad Nacional Autonoma de MexicoSeminario de Geometrıa A
13 de abril de 2020
Indice
Introduccion
Funciones hiperbolicas
Triangulos
Introduccion
Queremos probar el siguiente Teorema.
TeoremaPara β ∈ R se cumplen las igualdades
cosh(β) = eβ + e−β
2 y sinh(β) = eβ − e−β
2 .
Funciones hiperbolicasDistancia
En geometrıa hiperbolica, ”cırculos” de distancia constante alorigen se vuelven hiperbolas, para alguna constante ρ > 0. A lolargo de esta exposicion consideraremos {(x, y) ∈ R2 | x > 0}.
Funciones hiperbolicasAngulo hiperbolico
DefinicionSea (x0, y0) ∈ H fijo y considere la recta que pasa por el origen yel punto (x0, y0), a saber, ` = {(x, y) ∈ R2 | y = y0
x0x}. Definimos
el angulo hiperbolico β entre la recta ` y el eje positivo x como
β := σ
ρ,
donde σ es la longitud Lorentziana del arco de la hiperbola entrelos puntos (x0, y0) y (ρ, 0).
Funciones hiperbolicasGeometrıa
Funciones hiperbolicasDefinicion
Definimos las funciones trigonometricas hipebolicas en terminos de(x0, y0), esto es,
cosh(β) := x0ρ, sinh(β) := y0
ρ.
Funciones hiperbolicasIntegrales
Funciones hiperbolicasIntegrales
Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico
Entonces
ρ · β =∫ x0
ρ
√ρ2
s2 − ρ2ds = ρ
∫ x0
ρ
1√s2 − ρ2ds. (1)
Recordemos que de la identidad (sin(t))2 + (cos(t))2 = 1 tenemos(tan(t))2 + 1 = (sec(t))2, por lo que (tan(t))2 = (sec(t))2− 1 parat ∈ R. Esto sugiere el cambio de variable s = ρ sec(t) parat ∈ [0, π/2).
De modo que
ds = ρ
(− 1
(cos(t))2
)(− sin(t))dt = ρ sec(t) tan(t)dt.
Luego,
β =∫ x0
ρ
1√s2 − ρ2ds =
∫ sec−1(x0/ρ)
sec−1(ρ/ρ)
ρ sec(t) tan(t)√ρ2(sec(t))2 − ρ2dt.
Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico
Entonces
ρ · β =∫ x0
ρ
√ρ2
s2 − ρ2ds = ρ
∫ x0
ρ
1√s2 − ρ2ds. (1)
Recordemos que de la identidad (sin(t))2 + (cos(t))2 = 1 tenemos(tan(t))2 + 1 = (sec(t))2, por lo que (tan(t))2 = (sec(t))2− 1 parat ∈ R. Esto sugiere el cambio de variable s = ρ sec(t) parat ∈ [0, π/2). De modo que
ds = ρ
(− 1
(cos(t))2
)(− sin(t))dt = ρ sec(t) tan(t)dt.
Luego,
β =∫ x0
ρ
1√s2 − ρ2ds =
∫ sec−1(x0/ρ)
sec−1(ρ/ρ)
ρ sec(t) tan(t)√ρ2(sec(t))2 − ρ2dt.
Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico
Entonces
ρ · β =∫ x0
ρ
√ρ2
s2 − ρ2ds = ρ
∫ x0
ρ
1√s2 − ρ2ds. (1)
Recordemos que de la identidad (sin(t))2 + (cos(t))2 = 1 tenemos(tan(t))2 + 1 = (sec(t))2, por lo que (tan(t))2 = (sec(t))2− 1 parat ∈ R. Esto sugiere el cambio de variable s = ρ sec(t) parat ∈ [0, π/2). De modo que
ds = ρ
(− 1
(cos(t))2
)(− sin(t))dt = ρ sec(t) tan(t)dt.
Luego,
β =∫ x0
ρ
1√s2 − ρ2ds =
∫ sec−1(x0/ρ)
sec−1(ρ/ρ)
ρ sec(t) tan(t)√ρ2(sec(t))2 − ρ2dt.
Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico
Ası, β queda como
β =∫ sec−1(x0/ρ)
0
ρ sec(t) tan(t)√ρ2(sec(t))2 − ρ2dt
=∫ sec−1(x0/ρ)
0
sec(t) tan(t)√(tan(t))2 dt
=∫ sec−1(x0/ρ)
0sec(t)dt
=∫ sec−1(x0/ρ)
0sec(t) · sec(t) + tan(t)
sec(t) + tan(t)dt
= ln(|sec(t) + tan(t)|)∣∣∣sec−1(x0/ρ)
0,
(2)
Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico
Por lo tanto,
β = ln(|sec(t) + tan(t)|)∣∣∣sec−1(x0/ρ)
0
= ln(∣∣∣∣x0
ρ+ tan(sec−1(x0/ρ))
∣∣∣∣)− 0.(3)
Ademas,
(tan(sec−1(x0/ρ)))2 = (sec(sec−1(x0/ρ)))2 − 1 =(x0ρ
)2− 1
Ası, sustituyendo este hecho en (3),
β = ln
∣∣∣∣∣∣x0ρ
+
√(x0ρ
)2− 1
∣∣∣∣∣∣ .
Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico
Por lo tanto,
β = ln(|sec(t) + tan(t)|)∣∣∣sec−1(x0/ρ)
0
= ln(∣∣∣∣x0
ρ+ tan(sec−1(x0/ρ))
∣∣∣∣)− 0.(3)
Ademas,
(tan(sec−1(x0/ρ)))2 = (sec(sec−1(x0/ρ)))2 − 1 =(x0ρ
)2− 1
Ası, sustituyendo este hecho en (3),
β = ln
∣∣∣∣∣∣x0ρ
+
√(x0ρ
)2− 1
∣∣∣∣∣∣ .
Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico
Por lo tanto,
β = ln(|sec(t) + tan(t)|)∣∣∣sec−1(x0/ρ)
0
= ln(∣∣∣∣x0
ρ+ tan(sec−1(x0/ρ))
∣∣∣∣)− 0.(3)
Ademas,
(tan(sec−1(x0/ρ)))2 = (sec(sec−1(x0/ρ)))2 − 1 =(x0ρ
)2− 1
Ası, sustituyendo este hecho en (3),
β = ln
∣∣∣∣∣∣x0ρ
+
√(x0ρ
)2− 1
∣∣∣∣∣∣ .
Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico
Por ende,
β = ln
x0ρ
+
√x2
0 − ρ2
ρ2
, pues x0 ≥ ρ > 0. (4)
En particular, para (ρ, 0) ∈ H,
0 = β = ln
ρρ
+√ρ2 − ρ2
ρ2
Sustituyendo cosh(β) = x0/ρ en (4) obtenemos
eβ = cosh(β) +√
(cosh(β))2 − 1
Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico
Por ende,
β = ln
x0ρ
+
√x2
0 − ρ2
ρ2
, pues x0 ≥ ρ > 0. (4)
En particular, para (ρ, 0) ∈ H,
0 = β = ln
ρρ
+√ρ2 − ρ2
ρ2
Sustituyendo cosh(β) = x0/ρ en (4) obtenemos
eβ = cosh(β) +√
(cosh(β))2 − 1
Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico
Por ende,
β = ln
x0ρ
+
√x2
0 − ρ2
ρ2
, pues x0 ≥ ρ > 0. (4)
En particular, para (ρ, 0) ∈ H,
0 = β = ln
ρρ
+√ρ2 − ρ2
ρ2
Sustituyendo cosh(β) = x0/ρ en (4) obtenemos
eβ = cosh(β) +√
(cosh(β))2 − 1
Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico
Despejando y elevando al cuadrado,
(eβ − cosh(β))2 = (cosh(β))2 − 1.
Equivalentemente,
e2β − 2eβ cosh(β) = −1.
Por ultimo,
cosh(β) = −1− e2β
−2eβ = e2β + 12eβ = eβ + e−β
2 ,
como querıamos mostrar.
Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico
Despejando y elevando al cuadrado,
(eβ − cosh(β))2 = (cosh(β))2 − 1.
Equivalentemente,
e2β − 2eβ cosh(β) = −1.
Por ultimo,
cosh(β) = −1− e2β
−2eβ = e2β + 12eβ = eβ + e−β
2 ,
como querıamos mostrar.
Funciones hiperbolicasCoseno hiperbolico
Despejando y elevando al cuadrado,
(eβ − cosh(β))2 = (cosh(β))2 − 1.
Equivalentemente,
e2β − 2eβ cosh(β) = −1.
Por ultimo,
cosh(β) = −1− e2β
−2eβ = e2β + 12eβ = eβ + e−β
2 ,
como querıamos mostrar.
Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico
Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico
Para el seno hiperbolico tenemos la igualdad
ρ · β =∫ y0
0
√ρ2
y2 + ρ2dx = ρ
∫ y0
0
1√y2 + ρ2dx. (5)
Hacemos el cambio de variable y = ρ tan(t) para t ∈ (−π/2, π/2).En consecuencia, dy = ρ(sec(t))2dt. De modo que
β =∫ tan−1(y0/ρ)
0
ρ(sec(t))2√(ρ tan(t))2 + ρ2dt
=∫ tan−1(y0/ρ)
0
(sec(t))2√(tan(t))2 + 1
dt
=∫ tan−1(y0/ρ)
0sec(t)dt.
Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico
De la igualdad (3) tenemos
β = ln(|sec(t) + tan(t)|)∣∣∣tan−1(y0/ρ)
0
= ln(∣∣∣∣√(tan(t))2 + 1 + tan(t)
∣∣∣∣) ∣∣∣tan−1(y0/ρ)
0
= ln(∣∣∣∣√(y0/ρ)2 + 1 + y0/ρ
∣∣∣∣)(6)
En particular, para (ρ, 0) ∈ H,
0 = β = ln
∣∣∣∣∣∣√(0
ρ
)2+ 1 + 0
ρ
∣∣∣∣∣∣ .
Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico
De la igualdad (3) tenemos
β = ln(|sec(t) + tan(t)|)∣∣∣tan−1(y0/ρ)
0
= ln(∣∣∣∣√(tan(t))2 + 1 + tan(t)
∣∣∣∣) ∣∣∣tan−1(y0/ρ)
0
= ln(∣∣∣∣√(y0/ρ)2 + 1 + y0/ρ
∣∣∣∣)(6)
En particular, para (ρ, 0) ∈ H,
0 = β = ln
∣∣∣∣∣∣√(0
ρ
)2+ 1 + 0
ρ
∣∣∣∣∣∣ .
Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico
Notemos que si√(
y0ρ
)2+ 1 + y0
ρ < 0, entonces
0 <
√(y0ρ
)2+ 1 < −y0
ρ.
Esto implica (y0ρ
)2+ 1 <
(y0ρ
)2,
por lo cual 1 < 0. Por consiguiente,√(
y0ρ
)2+ 1 + y0
ρ > 0. Demanera que
β = ln
√(y0ρ
)2+ 1 + y0
ρ
.
Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico
Notemos que si√(
y0ρ
)2+ 1 + y0
ρ < 0, entonces
0 <
√(y0ρ
)2+ 1 < −y0
ρ.
Esto implica (y0ρ
)2+ 1 <
(y0ρ
)2,
por lo cual 1 < 0.
Por consiguiente,√(
y0ρ
)2+ 1 + y0
ρ > 0. Demanera que
β = ln
√(y0ρ
)2+ 1 + y0
ρ
.
Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico
Notemos que si√(
y0ρ
)2+ 1 + y0
ρ < 0, entonces
0 <
√(y0ρ
)2+ 1 < −y0
ρ.
Esto implica (y0ρ
)2+ 1 <
(y0ρ
)2,
por lo cual 1 < 0. Por consiguiente,√(
y0ρ
)2+ 1 + y0
ρ > 0.
Demanera que
β = ln
√(y0ρ
)2+ 1 + y0
ρ
.
Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico
Notemos que si√(
y0ρ
)2+ 1 + y0
ρ < 0, entonces
0 <
√(y0ρ
)2+ 1 < −y0
ρ.
Esto implica (y0ρ
)2+ 1 <
(y0ρ
)2,
por lo cual 1 < 0. Por consiguiente,√(
y0ρ
)2+ 1 + y0
ρ > 0. Demanera que
β = ln
√(y0ρ
)2+ 1 + y0
ρ
.
Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico
Despejando y sustituyendo sinh(β) = y0/ρ, tenemos
eβ =
√(y0ρ
)2+ 1 + y0
ρ=√
(sinh(β))2 + 1 + sinh(β)
Esto implica (eβ − sinh(β)
)2= (sinh(β))2 + 1.
Consecuentemente,
e2β − 2eβ sinh(β) = 1.
Por lo tanto,
sinh(β) = 1− e2β
−2eβ = −1 + e2β
2eβ = eβ − e−β
2 .
Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico
Despejando y sustituyendo sinh(β) = y0/ρ, tenemos
eβ =
√(y0ρ
)2+ 1 + y0
ρ=√
(sinh(β))2 + 1 + sinh(β)
Esto implica (eβ − sinh(β)
)2= (sinh(β))2 + 1.
Consecuentemente,
e2β − 2eβ sinh(β) = 1.
Por lo tanto,
sinh(β) = 1− e2β
−2eβ = −1 + e2β
2eβ = eβ − e−β
2 .
Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico
Despejando y sustituyendo sinh(β) = y0/ρ, tenemos
eβ =
√(y0ρ
)2+ 1 + y0
ρ=√
(sinh(β))2 + 1 + sinh(β)
Esto implica (eβ − sinh(β)
)2= (sinh(β))2 + 1.
Consecuentemente,
e2β − 2eβ sinh(β) = 1.
Por lo tanto,
sinh(β) = 1− e2β
−2eβ = −1 + e2β
2eβ = eβ − e−β
2 .
Funciones hiperbolicasSeno hiperbolico
Despejando y sustituyendo sinh(β) = y0/ρ, tenemos
eβ =
√(y0ρ
)2+ 1 + y0
ρ=√
(sinh(β))2 + 1 + sinh(β)
Esto implica (eβ − sinh(β)
)2= (sinh(β))2 + 1.
Consecuentemente,
e2β − 2eβ sinh(β) = 1.
Por lo tanto,
sinh(β) = 1− e2β
−2eβ = −1 + e2β
2eβ = eβ − e−β
2 .
Funciones hiperbolicasGraficas
Para (x, y) ∈ H se satisface x2−y2 = ρ2. Por ende, x =√ρ2 + y2.
La funcion f : R→ R dada por f(y) :=√ρ2 + y2 tiene derivada
f ′(y) := 2y2√ρ2 + y2 ,
de donde vemos que f tiene un mınimo global de ρ en y = 0. Esdecir, para (x, y) ∈ H se tiene ρ ≤ x. Ası, 1 ≤ x/ρ ≤ cosh(β).
Por otro lado,
lımβ→∞
cosh(β) = lımβ→∞
eβ + e−β
2 =∞.
Y tambien,
lımβ→−∞
cosh(β) = lımβ→−∞
eβ + e−β
2 =∞.
Funciones hiperbolicasGraficas
Para (x, y) ∈ H se satisface x2−y2 = ρ2. Por ende, x =√ρ2 + y2.
La funcion f : R→ R dada por f(y) :=√ρ2 + y2 tiene derivada
f ′(y) := 2y2√ρ2 + y2 ,
de donde vemos que f tiene un mınimo global de ρ en y = 0. Esdecir, para (x, y) ∈ H se tiene ρ ≤ x. Ası, 1 ≤ x/ρ ≤ cosh(β).Por otro lado,
lımβ→∞
cosh(β) = lımβ→∞
eβ + e−β
2 =∞.
Y tambien,
lımβ→−∞
cosh(β) = lımβ→−∞
eβ + e−β
2 =∞.
Funciones hiperbolicasGraficas
Grafica del coseno hiperbolico.
Funciones hiperbolicasGraficas
Para graficar el seno hiperbolico note que
lımβ→∞
sinh(β) = lımβ→∞
eβ − e−β
2 =∞.
A su vez,
lımβ→−∞
sinh(β) = lımβ→−∞
eβ − e−β
2 = −∞.
Luego, (sinh(β))′ = βeβ+βe−β
2 = 0 si y solo si β = 0. Y(sinh(β))′ > 0 si β > 0. De igual forma, (sinh(β))′ < 0 si β < 0.
Funciones hiperbolicasGraficas
Para graficar el seno hiperbolico note que
lımβ→∞
sinh(β) = lımβ→∞
eβ − e−β
2 =∞.
A su vez,
lımβ→−∞
sinh(β) = lımβ→−∞
eβ − e−β
2 = −∞.
Luego, (sinh(β))′ = βeβ+βe−β
2 = 0 si y solo si β = 0. Y(sinh(β))′ > 0 si β > 0. De igual forma, (sinh(β))′ < 0 si β < 0.
Funciones hiperbolicasGraficas
Grafica del seno hiperbolico.
TriangulosTrigonometrıa
IdentidadPara todo β ∈ R≥0 se satisface
(cosh(β))2 = 11− (tanh(β))2 .
Demostracion.
11− (tanh(β))2 = (cosh(β))2
(cosh(β))2 − (sinh(β))2 = (cosh(β))2.
TriangulosTrigonometrıa
Supongamos que conocemos tanh(β) = 3/5. Queremos encontrarcosh(β). Podemos utilizar la identidad anterior para obtener elvalor buscado.
TriangulosTrigonometrıa
TriangulosTrigonometrıa