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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAISINSTITUTO DE CIENCIAS EXATASDepartamento de Matematica
Dissertacao de Mestrado
Bilhares em Ovais com Simetria
Geraldo Cesar Goncalves Ferreira
Orientadora: Sylvie Oliffson KamphorstCo-orientadora: Sonia Pinto de Carvalho
Belo Horizonte, Fevereiro de 2006
Introducao
George D. Birkhoff ao estudar aplicacoes que preservam area e torcem o cilindro(chamadas
aplicacoes Twist) provou que a todo numero racional num dado intervalo associado a
aplicacao existem pelo menos duas orbitas distintas com este numero de rotacao.
Aplicacoes Twist aparecem com frequencia em varias situacoes aparentemente nao
relacionadas. Um exemplo simples sao as aplicacoes do bilhar definidas em ovais.
O estudo de orbitas periodicas na aplicacao do bilhar desempenha um papel impor-
tante na estrutura do espaco de fase, visto que a sua instabilidade ou estabilidade pode
determinar a estrutura local deste na sua vizinhaca. Esta estabilidade ou instabilidade
pode muitas vezes ser investigada atraves de uma analise linear, e classificada em funcao
dos parametros geometricos do bilhar.
Neste trabalho consideraremos o bilhar definido em uma oval com simetria-n, e es-
tudaremos as orbitas periodicas de Birkhoof do tipo mn desta aplicacao. A classificacao
de tais orbitas como hiperbolica, elıpitica ou parabolica sera dada em funcao do raio de
curvatura e da funcao distancia restrita aos pontos da curva, e um modelo do espaco de
fase sera mostrado.
No capıtulo 1 descrevemos algumas propriedades gerais sobre a funcao curvatura K
para obtermos uma oval. A definicao de oval com simetria-n e dada, e sao demonstradas
algumas propriedades destas curvas que serao de fundamental importancia na subse-
quente discussao.
No capıtulo 2 definimos a aplicacao do bilhar T em uma oval de classe Ck, e demons-
tramos que esta aplicacao e um difemorfismo de classe Ck−1 que preserva area, e torce
o cilindro (condicao Twist). Sao definidas a funcao geradora e o funcional Wn cujos
pontos crıticos sao orbitas periodicas do bilhar. Sao ainda demonstradas a existencia de
2
2d orbitas periodicas de Birkhoff do tipo mn para a aplicacao do bilhar definida em uma
oval com simetria-n, onde d = mdc(n, m).
No capıtulo 3 a formula de Mackay-Meiss que relaciona o hessiano de Wn com o traco
de T n, em uma orbita de periodio n e demonstrada para os bilhares definidos em ovais, e
ultilizando esta formula, sao demonstradas condicoes relativamente simples para a clas-
sificacao das orbitas de Birkhoff que estabelecem que se a orbita do tipo 1n
e hiperbolica
(reciprocamente elıptica), entao as 2d orbitas do tipo mn tambem o sao.
No capıtulo 4 sao tiradas conclusoes do trabalho, e sao feitos alguns exemplos ilus-
trativos da aplicacoes do bilhar em duas curvas com simetria-12. Sao tambem descritos
quais sao os nosso projetos daqui em diante.
3
Sumario
Introducao 2
1 Curvas convexas de simetria-n 5
1.1 Curvas planas convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Curvas com simetria-n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Bilhares 15
2.1 Definicoes e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Orbitas Periodicas com Simetria de Rotacao . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Dinamica na vizinhanca dos pontos periodicos 26
3.1 Caracterizacao dos pontos periodicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 A formula de Mackay-Meiss e sua consequencias . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Instabilidade nas curvas de simetria-n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Conclusoes e Projetos Futuros 37
Referencias Bibliograficas 39
4
Capıtulo 1
Curvas convexas de simetria-n
1.1 Curvas planas convexas
Seja Γ : [0, l] → R2, uma curva plana de classe Cn, n ≥ 2, simples, regular, fechada
e orientada no sentido anti-horario. Tal curva pode ser parametrizada como Γ(s) =
(x(s), y(s)), onde s e o comprimento de arco.
Denotaremos τ(s) e η(s) os vetores unitarios tangentes e normal a curva.
Dizemos que a curva Γ(s) e convexa se para cada s0 ∈ [0, l], o seu traco estiver todo
do mesmo lado da reta tangente ao ponto Γ(s0). De modo mais preciso, ser convexa
significa que, para todo s0 ∈ [0, l], a funcao
h(s) =< Γ(s)− Γ(s0), η(s0) >
nao muda de sinal. E facil ver que Γ(s) e convexa se, e somente se sua curvatura nao
muda de sinal. Quando a funcao curvatura for estritamente positiva ou estritamente
negativa, diremos que a curva Γ(s) e estritamente convexa. Se for estritamente positiva
e a curva satisfizer as condicoes anteriores, chamaremos Γ(s) de oval.
Tambem e facil ver que se Γ(s) e uma oval, entao dada qualquer reta r transversal
ao traco de Γ(s) teremos que r intercepta o traco de Γ(s) em exatamente dois pontos.
Consideremos agora 0 ≤ ϕ(s0) ≤ 2π, o angulo orientado que o vetor τ(s0) faz com a
parte positiva do eixo x, de maneira que:
τ(s0) = (cos(ϕ(s0)), sen(ϕ(s0))) e η(s0) = (−sen(ϕ(s0)), cos(ϕ(s0)))
Comodτ(s)ds
=dϕ(s)
dsη(s), segue que
dϕ(s)ds
= K(s), onde K(s) denota a curvatura
5
de Γ no ponto s, e este fato nos leva a definir a funcao diferenciavel ϕ : [0, l] → S1 por:
ϕ(s) =
∫ s
0
K(t)dt
onde tomamos τ(0) = (1, 0), para que ϕ(0) = 0.
Se a curva Γ for estritamente convexa, entaodϕ(s)
ds= K(s) > 0, e logo a funcao
ϕ : [0, l] → S1 e um difeomorfismo, sendo a derivada da sua inversa em um ponto ϕ0
dada por:
1dϕ(s0)
ds
=1
K(s0)= R(s0),
onde R : [0, l] → R e o raio de curvatura de Γ(s).
Concluimos entao que ϕ e um difeomorfismo de classe Cn−1, e obtemos assim uma
nova parametrizacao para a curva Γ(s), onde s e dado por:
s(ϕ) =
∫ ϕ
0
R(t)dt
Ao longo deste trabalho consideraremos Γ ora parametrizada por comprimento de
arco, ora pelo angulo ϕ.
Pelo teorema fundamental das curvas planas dada uma funcao contınua K : [0, l] → R,
existe uma curva Γ(s) cuja a curvatura em s0 e K(s0). Estudaremos condicoes sobre a
funcao curvatura para obtermos uma oval.
Considerando novamente a funcao ϕ(s) =∫ s
0K(t)dt, temos que a curva Γ(s) pode ser
escrita como:
x(s) =
∫ s
0
cos(ϕ(t))dt + x0, y(s) =
∫ s
0
sen(ϕ(t))dt + y0 (1.1)
onde Γ(0) = (x0, y0).
Observemos entao que a curva Γ e fechada se∫ l
0
cos(ϕ(t))dt =
∫ l
0
sen(ϕ(t))dt = 0. (1.2)
Se Γ e fechada e C1 alem de 1.2, devemos ter∫ l
0
K(t)dt = 2nπ para algum n ∈ N. (1.3)
6
Para que Γ seja fechada e de classe C2, alem de 1.2 e 1.3, devemos ter tambem
K e periodica, de perıodol
m, para algum m ∈ N. (1.4)
Reciprocamente, dada uma funcao K : [0, l] → R satisfazendo (1.2),(1.3) e (1.4),
entao a curva Γ = (x(s), y(s)), com x(s) e y(s) dada por (1.1) e uma curva fechada, de
classe C2 e tem K como curvatura.
Suponhamos agora que K > 0 e∫ l
0
K(s)ds = 2π. (1.5)
Neste caso, parametrizando Γ pelo angulo ϕ, temos que (1.2), se escreve como∫ 2π
0
cosϕ
K(ϕ)dϕ = 0 =
∫ 2π
0
senϕ
K(ϕ)dϕ, (1.6)
Em termos vetoriais, essa equacao e equivalente a∫ 2π
0
τ(ϕ)
K(ϕ)dϕ = 0 =
∫ 2π
0
η(ϕ)
K(ϕ)dϕ.
Finalmente, a condicao (1.5) e equivalente a consideramos a funcao K como uma
funcao contınua com valores reais, definidas sobre o cırculo unitario S1. Estas conside-
racoes nos levam ao seguinte resultado:
Proposicao 1.1 Seja K : S1 → R uma funcao contınua e positiva, tal que:∫ 2π
0
η(ϕ)
K(ϕ)dϕ = 0
Entao existe uma oval Γ : [0, 2π] → R2, cuja a indicatriz normal e η(ϕ) e a curvatura noponto Γ(ϕ0) e K(ϕ0).
7
Prova
Basta considerarmos a curva Γ : [0, 2π] → R2 de coordenadas:
x(ϕ) =
∫ ϕ
0
cosϕ
K(ϕ)dϕ + x0 e y(ϕ) =
∫ ϕ
0
senϕ
K(ϕ)dϕ + y0.
O teorema dos quatro vertices nos diz que se a oval Γ(ϕ) for regular e C3, entao
esta curva possui pelo menos quatro pontos onde a derivada da funcao curvatura se anu-
la. Utilizando a proposicao acima, podemos obter uma especie de recıproca do teorema
deste teorema1
Teorema 1.1 Seja K : [0, 2π] → R uma funcao contınua, estritamente positiva e comK(0) = K(2π). Se K e constante ou possui pelo menos dois pontos de maximo e dois pontosde mınimo, entao existe uma oval Γ : [0, 2π] → R2, tal que a curvatura de Γ em Γ(ϕ) eK(ϕ)
Daqui em diante consideraremos sempre a funcao curvatura satisfazendo as hipoteses
do teorema anterior, e iremos supor tambem que a curva Γ e de classe Cn com n ≥ 3,
para que tenhamos a funcao raio de curvatura ao menos de classe C1.
1.2 Curvas com simetria-n
Definicao 1.1 Seja Γ : [0, 2π] → R2 uma oval, parametrizada pelo angulo ϕ, entre ovetor tangente τ(ϕ) e o eixo x positivo.Dizemos que a oval Γ possui simetria-n se existe q ∈ R2 tal que:
Γ(ϕ +2π
n)− q = Rot 2π
n[Γ(ϕ)− q], (1.7)
onde Rot 2πn
denota a rotacao no sentido anti-horario por um angulo de 2πn
, e a soma ϕ+ 2πn
e tomada modulo 2π.
1Para maiores detalhes veja [Gl]
8
Lema 1.1 Uma Oval Γ(ϕ) de simetria-n possui as seguintes propriedades:
(i) τ(ϕ + 2πn
) = Rot 2πn
[τ(ϕ)].
(ii) Γ(ϕ + 4πn
)− Γ(ϕ + 2πn
) = Rot 2πn
[Γ(ϕ + 2πn
)− Γ(ϕ)].
(iii) Γ(ϕ + 4πmn
)− Γ(ϕ + 2πmn
) = Rot 2πmn
[Γ(ϕ + 2πmn
)− Γ(ϕ)], para m = 1, . . . , n− 1.
(iv) < Γ(ϕ + 4πmn
)− Γ(ϕ + 2πmn
), τ(ϕ + 2πmn
) >= < Γ(ϕ + 2πmn
)− Γ(ϕ), τ(ϕ) > param = 1, 2, ..., n− 1.
Prova:
(i) basta derivar a equacao (1.7).
(ii) substituindo ϕ por ϕ + 2πn
em na equacao (1.7) e subtraindo esta expressao de,
temos a igualdade desejada.
(iii)Aplicando (ii) sucessivamente temos:
Γ(ϕ + 4πmn
)− Γ(ϕ + 2πmn
) =∑2m
j=m+1 Γ(ϕ + 2πjn
)− Γ(ϕ + 2π(j−1)n
) =∑mj=1 Rot 2πm
n[Γ(ϕ + 2πj
n)− Γ(ϕ + 2π(j−1)
n] = Rot 2πm
n[Γ(ϕ + 2πm
n)− Γ(ϕ)].
(iv) < Γ(ϕ+4πmn
)−Γ(ϕ+2πmn
), τ(ϕ+2πmn
) >=< Rot 2πmn
[Γ(ϕ+2πmn
)−Γ(ϕ)], Rot 2πmn
τ [(ϕ)] >=
< Γ(ϕ + 2πmn
)− Γ(ϕ), τ(ϕ) >, pois rotacao e uma isometria linear.
Sejam Γ(ϕ) uma oval com simetria-n. Para cada m inteiro 1 ≤ m ≤ (n+1)/2, sejam d =
mdc(m, n) e n1 = n/d. O lema (1.1) nos permite definir para cada ϕ um polıgono regular
Pn,m(ϕ) inscrito em Γ(ϕ) com n1 lados e vertices Γ(ϕ), Γ(ϕ+ 2πmn
), . . . , Γ(ϕ+ 2πm(n1−1)n
).
Denotaremos as famılias de polıgonos semelhantes por:
Λn,m = Pn,m(ϕ), ϕ ∈ [0,2πm
n).
Observemos ainda pelo lema (1.1) que o conjunto Λn,m e invariante por rotacao de 2πmn
e se d = 1 o polıgono Pn,m(ϕ) tambem o e. Porem se d 6= 1 entao Pn,m(ϕ) e enviado
sobre Pn,m(ϕ + 2πmn
), e neste caso temos d polıgonos congruentes a cada rotacao de 2πmn
de um dado polıgono na famılia.
9
Figura 1.1: Polıgonos da famılia Λ12,1 e Λ12,2 em uma curva de simetria 12
Figura 1.2: Polıgonos da famılia Λ12,3, Λ12,4 Λ12,6 em uma curva de simetria 12
Corolario 1.1 Sejam Γ(ϕ) uma oval com simetria n, e m1, m2 inteiros com mi ≤ (n +1)/2, i = 1, 2. Pn,m1(ϕ0) tem perımetro maximo(resp.mınimo) dentro da famılia Λn,m1,se e so se Pn,m2(ϕ0) tem perımetro maximo(resp. mınimo) dentro da famılia Λn,m2, paraqualquer 1 ≤ mi ≤ (n + 1)/2.
Demonstracao: Usando a geometria elementar e facil ver que Pn,m(ϕ0) tem perımetro
maximo(resp.mınimo) dentro da famılia Λn,m se e so se Pn,1(ϕ0) tem perımetro maximo(resp.
mınimo) dentro da famılia Λn,1, para qualquer 1 ≤ m ≤ (n + 1)/2.
Logo segue o resultado.
Figura 1.3: Polıgonos de 2, 3, 4, 6, e 12 inscritos na curva de simetria 12
10
Veremos agora algumas condicoes para a oval Γ(ϕ) ter simetria -n.
Proposicao 1.2 As seguintes afirmativas sao equivalentes:
(i) Γ(ϕ) e uma curva de simetria-n;
(ii)Γ(ϕ + 2πn
)− Γ(2πn
) = Rot 2πn
[Γ(ϕ)− Γ(0)];
(iii)K(ϕ + 2πn
) = K(ϕ) ou equivalentemente R(ϕ + 2πn
) = R(ϕ).
Prova:
Primeiramente vamos mostrar que (i) ⇔ (ii). Se Γ for uma curva de simetria-n, entao
pela definicao 1.1 temos:
Γ(2π
n)− q = Rot 2π
n[Γ(0)− q],
Γ(ϕ +2π
n)− q = Rot 2π
n[Γ(ϕ)− q].
Subtraindo a primeira equacao da segunda segue o resultado.
Reciprocamente suponhamos que vale (ii) e considere a aplicacao
F : R2 → R2
x → x−Rot2πn
[x].
Esta aplicacao linear e um difeomorfismo, pois e a soma de dois difeomorfismo. Conse-
quentemente a aplicacao afim dada por F (x)+Rot 2πn
[Γ(0)] tambem e um difeomorfismo.
Logo existe q ∈ R2 tal que:
F (q) + Rot 2πn
[Γ(0)] = Γ(2π
n).
Substituindo a expressao de F (q) na igualdade acima temos:
q + Rot 2πn
[Γ(0)− q] = Γ(2π
n).
Subtraindo esta nova expressao de (ii) temos (i).
Agora vamos mostrar que (ii) ⇔ (iii).
Escrevendo (ii) na forma Γ(ϕ)−Γ(0) = Rot−12πn
[Γ(ϕ+ 2πn
)−Γ(2πn
)] e supondo Γ(0) = 0
a fim de facilitar as contas temos:
11
(x(ϕ)
y(ϕ)
)=
(cos(2π
n) sen(2π
n)
−sen(2πn
) cos(2πn
)
)(x(ϕ + 2π
n)− x(2π
n)
y(ϕ + 2πn
)− y(2πn
)
)
ondex(ϕ) =
∫ ϕ
0R(t)cos(t)dt,
y(ϕ) =∫ ϕ
0R(t)sen(t)dt.
Desenvolvendo novamente a expressao acima para x(ϕ) temos:∫ ϕ
0
R(t)cos(t)dt =
∫ ϕ+ 2πn
2πn
R(t)[cos(t)cos(2π
n)+sen(t)sen(
2π
n)]dt =
∫ ϕ+ 2πn
2πn
R(t)cos(t−2π
n)dt.
(1.8)
Fazendo a mudanca de variaveis u = t − 2πn
na integral da direita temos a seguinte
igualdade: ∫ ϕ
0
R(t)cos(t)dt =
∫ ϕ
0
R(u +2π
n)cos(u)du
e logo: ∫ ϕ
0
[R(t)−R(t +2π
n)]cos(t)dt = 0.
Considerando agora
F (ϕ) =
∫ ϕ
0
[R(t)−R(t +2π
n)]cos(t)dt = 0
temos que:
F′(ϕ) ≡ 0
Enfim segue da continuidade de R(ϕ) que
R(ϕ) = R(ϕ +2π
n) (1.9)
Reciprocamente se vale (1.9) entao e imediato verificar por contas analogas as feitas
acima que a igualdade (1.8) e satisfeita.
As contas com y(ϕ) sao analogas.
12
Corolario 1.2 Uma oval Γ(ϕ) e de simetria-n se, e somente se a serie de Fourier de seuraio de curvatura for dada por:
R(ϕ) =a0
2+
∞∑j=1
(ajcos(jnϕ) + bjsen(njϕ)).
Onde os coeficientes aj = n2π
∫ 2πn
0R(t)cos(jnt)dt e bj = n
2π
∫ 2πn
0R(t)sen(jnt)dt sao tais que
o Raio de curvatura e sempre positivo.
Prova:
Pela proposicao anterior temos que R(ϕ) tem perıodo 2πn
. Como estamos supondo
que R(ϕ) e ao menos de classe C1 temos que dRdϕ∈ L2, pois dR
dϕe uma funcao contınua
definida em um compacto. Logo a serie de Fourier de R(ϕ) converge uniformente para
R(ϕ). Observe ainda que como R(ϕ) e periodica, de perıodo 2πn
com n ≥ 2, entao ou
R(ϕ) e constante, ou R(ϕ) possui ao menos dois maximos e dois mınimos. Segue entao
do teorema (1.1), que Γ(ϕ) e uma oval.
Corolario 1.3 Se a curva Γ(ϕ) e de simetria-n, e n1 divide n, entao Γ(ϕ) tambem e desimetria n1.
Prova:
Segue diretamente do fato que:
R(ϕ + 2πn1
) = R(ϕ), com R(ϕ) > 0, e da proposicao 1.2
Corolario 1.4 Sejam Γ(s(ϕ)) uma curva de simetria-n, e s1(t), . . . , sn1(t) os respectivos
vertices dos polıgonos da famılia Λn,m. Entao sj(t) e uma funcao liner de t com ddt
sj(t) =
ddt
si(t) ≡ 1, e i, j = 1, . . . , n1.
Prova: Como R(ϕ + 2πn
) = R(ϕ) temos:
s(ϕ + 2πmn
)− s(ϕ) =∫ ϕ+ 2πm
n
ϕR(χ)dχ =
∫ 2πmn
0R(χ)dχ = m
∫ 2πn
0R(χ)dχ = ml
n .
Colocando s1(t) = t, segue diretamente da equacao anterior que:
si(t) = ( (i−1)ml+kn
) + t, onde i = 1, . . . , n1 com t ∈ [0, l], e a soma e tomada modulo l.
Por fim desta ultima igualdade temos resultado desejado.
Como consequencia direta do corolario anterior se reparametrizarmos Γ por comprimento
de arco temos o analogo do corolario 1.1, nas coordenadas s.
13
Lema 1.2 O polıgono de vertices sj(t0) =
((j − 1)l
n
)+ t0, com j = 1, . . . , n tem
perımetro maximo (respectivamente mınimo) dentre todos os polıgonos de Λm,1; se e somente
se os polıgonos de vertices si(t0) =(i− 1)ml
n + t0 tem perımetro maximo(respectivamentemınimo) dentre todos os polıgonos de Λn,m.
14
Capıtulo 2
Bilhares
2.1 Definicoes e Propriedades
Consideremos uma regiao Ω no plano R2 limitada por uma oval de classe Ck, k ≥ 3.
Associaremos a essa regiao uma aplicacao bi-dimensional definida do seguinte modo:
Para cada ponto Γ(s), tomemos a reta r(Γ(s), θ) que passa por Γ(s) e faz um angulo θ
com o vetor tangente τ(s). Ao par (Γ(s), θ) associamos o par (Γ(S), Θ) formado pelos
pontos Γ(S) de intersecao da reta r(Γ(s), θ) com Γ e o angulo Θ entre r(Γ(s), θ) e o vetor
tangente τ(S), de acordo com a regra de reflexao em um espelho: o angulo de incidencia
e igual ao angulo de reflexao.
Mais precisamente a aplicacao do bilhar associada a Γ e uma aplicacao T (s, θ) = (S(s, θ), Θ(s, θ))
tal que se θ e o angulo entre τ(s) e Γ(S)− Γ(s), entao Θ e o angulo entre Γ(S)− Γ(s) e
τ(S), nessa ordem.
Θ
Θ
Θ
θ
Γ(s)
Γ(S)
r(Γ(s), θ)
Figura 2.1: Aplicacao do bilhar em uma oval
consideraremos a aplicacao definida no cilindro aberto C = [0, l]x(0, π), onde l e compri-
15
mento da curva, e 0 e l estao identificados.
Consideremos agora a funcao distancia:
L : [0, l]x[0, l] → R
L2(s, s) =< Γ(s)− Γ(s), Γ(s)− Γ(s) >
onde s e s sao dois pontos sobre a curva Γ.
Diferenciando esta funcao pela regra da cadeia temos:
2L(s, s)∂L(s, s)
∂s= 2 < τ(s), Γ(s)− Γ(s)) >
⇓∂L(s, s)
∂s=
< τ(s), Γ(s)− Γ(s)) >L(s, s)
= cos(θ)
e analogamente:L(s, s)
∂s=− < τ(s), Γ(s)− Γ(s) >
L(s, s)= −cos(θ)
onde θ e angulo entre segmento Γ(s) − Γ(s) e o vetor tangente τ(s), e θ e o angulo
entre τ(s) e Γ(s)− Γ(s).
Se substituirmos a coordenada θ pela coordenada p dada por p = cos(θ), entao as
equacoes acima simplificam-se para:
∂L(s,s)∂s
= p
∂L(s,s)∂s
= −p.(2.1)
E alem disso se considerarmos:
T : [0, l]x(−1, 1) → [0, l]x(−1, 1)
T (s, p) = (S(s, p), P (s, p))
onde T (s, p) e a aplicacao do bilhar nas coordenadas (s, p), segue diretamente da definicao
da aplicacao do bilhar e de (2.1) que:
T (s, p) = (s, p)
ou equivalentemente:∂L(S, s)
∂S= P (2.2)
∂L(S, s)
∂s= −p. (2.3)
A funcao L(s, s) e chamada funcao geradora do bilhar.
16
Lema 2.1 As derivadas segundas da funcao L(s, s) sao dadas por:
∂2
∂s2L(s, s) = senθ
(senθ
L(s, s)− 1
R(s)
)∂2
∂s∂sL(s, s) = senθsenθ
L(s, s)
∂2
∂s2L(s, s) = senθ
(senθ
L(s, s)− 1
R(S)
)
Demonstracao:
Calculando as derivadas parciais temos:
∂2
∂s∂sL(s, s) = − < τ(s), τ(s)
L(s,s)> + < τ(s), Γ(s)−Γ(s)
L(s,s)2>< τ(s), Γ(s)−Γ(s)
L(s,s)>;
∂2
∂s2L(s, s) = K(s) < η(s), Γ(s)−Γ(s)L(s,s)
> + < τ(s), τ(s)L(s,s)
> − 1L(s,s)
(< τ(s), Γ(s)−Γ(s)L(s,s)
>)2;
∂2
∂s2L(s, s) = −K(s) < η(s), Γ(s)−Γ(s)L(s,s)
> + < τ(s), τ(s)L(s,s)
> − 1L(s,s)
(< τ(s), Γ(s)−Γ(s)L(s,s)
>)2.
Observe porem que (veja a figura adiante):
< τ(s), τ(s) >= cos(θ + θ), < η(s), Γ(s)−Γ(s)L(s,s)
>= −senθ,
< η(s), Γ(s)−Γ(s)L(s,s)
>= senθ, < τ(s), Γ(s)−Γ(s)L(s,s)
>= cosθ,
< τ(s), τ(s)L(s,s)
>= cosθ.
τ(s)
τ(s)
τ(s)
θ
θ
τ(s)
η(s)
τ(s)
θ
−η(s)θ
Figura 2.2: relacao do angulo entre os vetores
Substituindo estes valores nas expressoes das derivadas parciais temos o resultado dese-
jado.
17
Teorema 2.1 A aplicacao do bilhar e uma aplicacao diferenciavel, e sua matriz dederivada DT nas coordenadas (s, p) e dada por:(
∂S∂s
∂S∂p
∂P∂s
∂P∂p
)=
( L(s,p) − R(s)senθ(p)R(s)senθ(P )
−L(s,p)senθ(p)senθ(P )
R(s)senθ(p) + R(S)senθ(P ) − L(s,p)R(s)R(S)
L(s,p) − R(s)senθ(p)R(S)senθ(p)
)(2.4)
Onde θ(P ) = θ e θ(p) = θ.
Demonstracao:
Para demonstrar este teorema utilizaremos o lema anterior e a regra da cadeia para a
funcao:
L(s, s) = L(S(s, p), s).
Derivando (2.3) temos as seguinte equacoes:
∂2
∂p∂sL(S(s, p), s) =
∂L(S, s)∂S∂s
∂S∂p
= −1;
∂2
∂s2L(S(s, p), s) =∂L(S, s)∂S∂s
∂S∂s
+∂L(S, s)
∂s2 = 0.
Logo:
• ∂S(s, p)∂p
= −1/∂L(S, s)∂S∂s
= − L(s, p)senθ(p)senθ(P )
;
• ∂S(s, p)∂s
= −∂2L(S, s)∂S
/∂2L(S, s)
∂S∂s=
L(s, p)−R(s)senθ(p)R(s)senθ(p)
.
Analogamente derivando (2.2) temos:
∂2
∂p∂SL(S(s, p), s) =
∂2L(S, s)∂S2
∂S∂p
= ∂P∂p
;
∂2L(S(s, p), s)∂s∂S
=∂2L(S, s)
∂S2∂S∂s
+∂2L(S, s)
∂s∂S= ∂P
∂s.
Consequentemente:
• ∂P∂p
=∂2L(S, s)
∂S2∂S∂p
=L(s, p) − R(s)senθ(p)
R(S)senθ(p);
• ∂P∂s
=∂2L(S, s)
∂S2∂S∂s
+∂2L(s, S)
∂s∂S=
R(s)senθ(p) + R(S)senθ(P ) − L(s, p)R(s)R(S)
.
18
Pelo teorema acima ∂S∂p
= − L(s, p)senθ(p)senθ(P )
< 0, para 0 < θ < π. Esta propriedade
e chamada propriedade Twist, pois ela significa que tal aplicacao torce o cilindro. Ver-
emos adiante que tal propriedade sera de fundamental importancia na subsequente dis-
cussao.
Teorema 2.2 A aplicacao do bilhar T preserva a medida de Lebesgue dsdp.
Prova: Considere L(s, p) := L(s, S(s, p)).
Entao:
∂L∂s
= ∂L∂s
+ ∂L∂S
∂S∂s
e ∂L∂p
= ∂L∂S
∂S∂p
⇓ por 2.1
∂L∂s
= −p + P ∂S∂s
e ∂L∂p
= P ∂S∂p
Calculando agora ∂L∂p∂s
= ∂L∂s∂p
temos que:
−1 +∂P
∂p
∂S
∂s+ P
∂S
∂p∂s=
∂L
∂p∂s=
∂L
∂s∂p=
∂P
∂s
∂S
∂p+ P
∂S
∂s∂p
e consequentemente:
Det[DT ] =∂P
∂p
∂S
∂s− ∂P
∂s
∂S
∂p= 1.
Teorema 2.3 Se a curva Γ(s) que define o bilhar for de classe Ck, entao a aplicacao dobilhar dada por T (s, p) = (S(s, p), P (s, p)) e de classe Ck−1; ou seja, S e P sao funcoesCk−1 de (s, p).
Demonstracao:
Usando o fato que:
(s, p) = T (s, p) = (S(s, p), P (s, p))
19
nos vamos mostrar que 2.1 determina localmente as funcoes S e P pelo teorema da
funcao implıcita. Para aplicarmos tal teorema considere a aplicacao dada por:
F : [0, l]2x(−1, 1)2 → R2
F (s, s, p, p) =
(∂L(s,s)
∂s+ p
∂L(s,s)∂s
− p
)
Vamos nos restringir aos pontos (s, s, p, p) ∈ F−1(0), ou seja, aos pontos (s, s, p, p) =
(S, s, P, s), pois estes sao os que de fato nos interesam.
Calculando a derivada parcial de F com respeito a (s, p), obtemos a seguinte matriz.(∂2
∂s∂sL(s, s) 0
∂2
∂sL(s, s) −1
)
Precisamos checar agora que esta matriz e nao singular, isto e, que ∂2
∂s∂sL(s, s) 6= 0.
Pelo lema 2.1 ∂2
∂s∂sL(s, s)=senθsenθ
L(s, s)> 0, pois L(s, s) > 0 e como os angulos estao
entre zero e π, a funcao seno e sempre positiva.
Observemos agora que se a curva Γ(s) for Ck, a funcao geradora tambem e Ck, e
portanto a aplicacao F e CK−1.
Segue entao do teorema da funcao implıcita que S e P sao funcoes de classe Ck−1 de
(s, p).
Corolario 2.1 Se a curva Γ(s) que define o bilhar for de classe Ck, entao a aplicacao dobilhar dada por T (s, p) = (S(s, p), P (s, p)) e um difeomorfismo global de classe Ck−1.
Demonstracao:
Pelos teoremas (2.2) e (2.3) temos que a aplicacao T e um difeomorfismo local de
classe Ck−1. Basta entao verificarmos que T e uma bijecao, o que segue diretamente do
fato que qualquer reta transversal ao traco da oval Γ(s) intercepta este em exatamente
dois pontos.
Consideremos agora:
ζ : [0, l]x(−1, 1) → [0, 2π]x(−1, 1)(s, p) → (ϕ, p)
20
Observemos que ζ e uma mudanca de coordenadas de classe Ck−1 e que portanto a
aplicacao do bilhar nesta coordenadas tambem sera um difeormorfismo de classe Ck−1
que nao necessariamente preserva a medida de Lebesgue dϕds. Daqui em diante, a
menos que se explicite o contrario, denotaremos por T tanto a aplicacao do bilhar nas
coordenadas (s, p) quanto nas coordenadas (ϕ, p), conforme a conveniencia.
Definicao 2.1 Uma orbita do bilhar de um ponto (s, p) ∈ C e o conjunto OT (s, p) =Tm(s, p) : m ∈ Z.Ao cilindro C de todas as orbitas possıves denominamos espaco de fase.
Definicao 2.2 Uma trajetoria do bilhar e a poligonal formada pelos segmentos associadosaos pontos da orbita OT (s, p) de algum (s, p) no cilindro C.
2.2 Orbitas Periodicas com Simetria de Rotacao
Definicao 2.3 Dizemos que a orbita de um ponto (s, p) e periodica de perıodo n se n e omenor numero natural tal que T n(s, p) = (s, p). Neste caso OT (s, p) e uma orbita fechada deperıodo n, e cada um de seus n pontos e fixo por T n. Quando a orbita de (s, p) for fechada,dizemos que a trajetoria obtida e uma trajetoria periodica.
A existencia de duas orbitas periodicas foi estabelecida por Birkhoff em um teorema
que nos diz que: qualquer difeomorfismo do cilindro bi-dimensional sobre ele mesmo que
preserve area e torce o cilindro nao pode ter menos que duas orbitas periodicas geomet-
ricamente distintas com numero de rotacao racional, para um racional em um intervalo
dado (intervalo Twist) associado a este difeomorfismo2. Demonstraremos adiante uma
versao mais fraca deste teorema para os bilhares definidos nas ovais com simetria-n.
O problema de encontrar trajetorias periodicas reduz-se a certos problemas varia-
cionais. Para cada polıgono fechado inscrito em uma curva Γ e possıvel associar (nao
unicamente) um ponto do toro n-dimensional T n = (s1, . . . , sn), onde a colecao orde-
nada s1, . . . , sn representa as coordenadas dos respectivos vertices do poligono. Ambi-
guidades na escolha dos pontos podem surgir ja que para um mesmo polıgono fechado
os correspondentes pontos no toro T n diferem por permutacao cıclica de coordenadas.
A aplicacao do bilhar nao possui pontos fixos, visto isso iremos definir o seguinte con-
junto: Dn = (s1, . . . , sn ∈ T n : sk 6= sk+1 para todo k ∈ Zn, Onde Zn e o anel dos
2Para maiores detalhes veja [HK] e [ZDR]
21
inteiros modulo n. A enumeracao dos elementos e tomada sobre Zn para nao excluirmos
o caso sn = sn+1 ≡ s1, que e o que de fato nos interessa.
Definamos agora no toro T n = [0, l]n, o funcional contınuo Wn que associa a cada
polıgono fechado o seu perımetro. Tal funcional e dada por:
Wn(s1, . . . , sn) =n∑
i=1
L(si+1, si) onde sn+1 = s1.
Segue diretamentente da definicao do conjunto que o funcional Wn e de classe Ck quando
restrito ao conjunto Dn.
Proposicao 2.1 Para qualquer trajetoria de perıodo n da aplicacao do bilhar, correspon-de(nao unicamente) um ponto crıtico do funcional Wn no domınio Dn, e reciprocamentepara qualquer ponto crıtico de Wn em Dn corresponde uma unica trajetoria de perıodo n daaplicacao do bilhar.
Demonstracao:
Basta ver que gradiente de Wn(s1, . . . , sn) e dado por:
gradWn(s1, . . . , sn) =
(∂L(s1, s2)
∂s+
∂L(sn, s1)∂s
,∂L(s2, s3)
∂s+
∂L(s1, s2)∂s
, . . . ,∂L(sn, s1)
∂s+
∂L(sn−1, sn)∂s
).
E que tais pontos determinam uma orbita no bilhar se e somente se o angulo de incidencia
for igual ao angulo de reflexao, ou seja, se e somente se:
∂L(s1, s2)∂s
= −∂L(sn, s1)∂s
;∂L(sn−1, sn)
∂s= −∂L(sn, s1)
∂s;
∂L(sj, sj+1)∂s
= −∂L(sj−1, sj)∂s
, j = 2, . . . , n− 1.
Antes de iniciarmos a proxima proposicao recordemo-nos que Λn,m e a famılia de
polıgonos regulares de n1 lados, inscritos na oval Γ, e invariantes por rotacao de 2πmn
,
onde n1 = n/d, com d = mdc(n, m) e cujos lados na coordenada ϕ sao:
Γ(ϕ), Γ(ϕ + 2πmn
), . . . , Γ(ϕ + 2π(n1−1)n
) com m natural tal que e 1 ≤ m ≤ (n + 1)/2. Na
coordenada s os lados destes polıgonos sao formados por:
Γ(s), Γ(mln
+ s), . . . , Γ(n1mln
+ s)1.
1maiores detalhes no capıtulo anterior
22
Proposicao 2.2 Se Γ(s) for uma oval de simetria-n, entao existem ao menos duas orbitasperiodicas do bilhar geometricamente distintas de perıodo n, correspondendo aos polıgonosde maior e menor perımetro em Λn,1.
Demonstracao:
Denotemos por Wn|I a restricao do funcional Wn aos polıgonos da famılia Λn,1. Esta
restricao possui ao menos dois pontos crıticos correspondendo ao maximo e ao mınimo
de Wn|I. Basta entao demonstrarmos que os pontos crıticos de Wn|I tambem sao pontos
crıticos da funcao Wn em Dn.
Pela simetria da curva todas as n componentes do vetor gradWn nos pontos (s1, . . . , sn) =
(s1(t), . . . , sn(t)) t ∈ [0, l], correspondendo aos lados dos polıgonos regulares em Λ1n,1 sao
as mesmas; e pelo corolario 1.4,dsi(t)
dt=
dsj(t)dt
≡ 1; i, j = 1 . . . , n. Logo a condicao de
(s1(t0), . . . , sn(t0)) ser ponto crıtico tem a forma:
n∑i=1
∂
∂si
Wn(s1(t0), . . . , sn(t0)) = 0.
Consequentemente gradWn(s1(t0), . . . , sn(t0)) = 0.
Corolario 2.2 Se Γ(s) e uma curva de simetria-n, entao existem 2d de orbitas periodicasde perıodo n1 , correspondendo aos polıgonos de maior e menor perımetro em Λn,m.
Demonstracao:
Segue por argumento analogo ao da proposicao (2.2) que o funcional Wn1 possui ao
menos dois pontos fixos correspondendo aos vertices dos polıgonos de perımetro maximo
e mınimo em Λn,m. Alem disso como consequencia do que foi dito no capıtulo 1 apos a
proposicao 1.1 temos menos d polıgonos congruentes em Λn,m com perımetro maximo(resp.
mınimo). Logo segue o resultado.
Como consequencia do corolario (1.1) temos as orbitas perıodicas dada pelo corolario
anterior localizam-se sobre a mesma vertical no espaco de fase, ou seja, se Pn,m1(ϕ0)
corresponde a uma orbita perıodica em Λn,m1 , entao Pn,m2(ϕ0) corresponde a uma orbita
perıodica em Λn,m2 .
Observemos que as orbitas periodicas em Λn,m sao tais que se tomarmos o levanta-
mento da aplicacao do bilhar para o plano entao teremos que as coordenadas sj formam
23
uma sequencia crescente na reta, que satisfaz a relacao sj+n = sj + ml. Tais orbitas sao
chamadas orbitas periodicas de Birkhoff do tipo mn .
Corolario 2.3 Se todos os polıgonos da famılia Λn,1 formam uma orbita de perıodo n,entao Γ(ϕ) e um cırculo.
Demonstracao:
Fazendo uma translacao se necessario podemos supor q = 0 afim de simplificar as contas.
Feito isso temos a seguinte equacao:
Γ(ϕ + 2πn
)− Γ(ϕ) = R 2πn
[Γ(ϕ)]− Γ(ϕ)
Consequentemente:
‖Γ(ϕ+2πn
)−Γ(ϕ)‖2 = ‖Rot 2πn
[Γ(ϕ)]−Γ(ϕ)‖2 = ‖Γ(ϕ)‖2+‖Rot2πn
[Γ(ϕ)]‖2−2‖Γ(ϕ)‖2cos(2πn
).
0
2πn
Γ(ϕ)
Rot 2πn
[Γ(ϕ)]
Figura 2.3: Oval de simetria-n
24
Logo:
W (s) = W (ϕ(s)) = (2− 2cos(2π
n))
12‖Γ(ϕ(s))‖.
Entao um ponto e maximo ou mınimo do funcional W (s) se e somente se < Γ(ϕ(s)), τ(ϕ(s)) >=
0. E se todos os polıgonos famılia fossem orbita, terıamos a equacao anterior nula para
todo ϕ ∈ S1, o que acontece se e somente se a curva Γ(s) for um cırculo.
Corolario 2.4 O angulo θ que os segmentos da trajetoria periodica em Λkn,m faz com a
tangente nos pontos desta trajetoria e constante e igual a mπn .
Demonstracao:
Pela regularidade dos polıgonos em Λkn,m, temos que um polıgono neste conjunto tem
comprimento maximo(respectivamente mınimo) se e somente se a restricao da funcao
L(s, s) a este conjunto dada por:
L(ϕ) = L(ϕ(s)) = ‖Γ(ϕ +2π(m + k)
n)− Γ(ϕ +
2πk
n)‖;
possui um maximo (respectivamente mınimo) nos pontos que correspondem a tal polıgono,
com ϕ ∈ S1. Tais pontos sao pontos crıticos de L(ϕ), e satisfazem a seguinte equacao:
< Γ(ϕ +2π(m + k)
n)− Γ(ϕ +
2πk
n), τ(ϕ +
2π(m + k)
n)− τ(ϕ +
2π + k
n) >= 0.
Porem para todo ϕ ∈ S1 temos as seguintes relacoes(veja figura 2.2 ):
• Γ(ϕ + 2π(m+k)n
)− Γ(ϕ + 2πn
) = ‖L(ϕ0)‖ (cos(θ + ϕ0), sen(θ + ϕ0))
• τ(ϕ+2π(m+k)n
)−τ(ϕ+2πn
) = R(ϕ0)(cos(2πm
n + ϕ0)− cos(ϕ0), sen(2πmn + ϕ0)− sen(ϕ0)
).
Logo:
< Γ(ϕ+2π(m + k)
n)−Γ(ϕ+
2π
n), τ(ϕ+
2π(m + k)
n)−τ(ϕ+
2π
n) >= cos(
2πm
n− θ) − cos(θ).
Como θ ∈ (0, π) a equacao acima e igual a zero se e somente se 2πmn − θ = θ ⇔ θ = πm
n .
25
Capıtulo 3
Dinamica na vizinhanca dos pontosperiodicos
3.1 Caracterizacao dos pontos periodicos
Suponhamos que OT (s, p) seja uma orbita fechada de perıodo n. Como a aplicacao T
preserva area o produto dos autovalores de DT n(s, p) e igual a 1. Baseado nisso deno-
taremos os autovalores de DT n(s, p) por λ e λ−1, e daremos a seguinte classificacao as
orbitas:
Se λ e λ−1 sao reais distin tos, a orbita periodica e chamada hiperbolica.
Se λ e λ−1 sao complexos conjugado s com parte imaginaria nao nula, a orbita
periodica e chamada elıptica.
Se λ = λ−1 = 1 a solucao e degenerada no sentido de Poincare (autovalor 1 no
espectro). No caso restante λ = λ−1 = −1 a orbita periodica e chamada parabolica.
Teorema 3.1 (Hartman-Grobman) Consideremos M uma variedade diferenciavel de di-mensao m. Sejam f : M → M uma funcao de classe Cr, r ≥ 1; e q um ponto fixo hiperbolicode f . Entao f e Dfq sao localmente conjugados, i.e., existem vizinhancas U = U(q) ⊂ M eV = V (0) ⊂ TqM, e um homeomorfismo h : U → V tal que:
h f = Dfq h
Segue diretamente do teorema (3.1) que quando a orbita periodica for hiperbolica,
a dinamica na vizinhanca dos pontos desta orbita por T n e a mesma do mapa DT n(s,p).
Entao (s, p) e um ponto fixo instavel de T n e OT (s, p) e uma orbita periodica instavel
3A demonstracao do teorema (3.1) se encontra em [HK].
26
da aplicacao T .
No caso da orbita periodica ser elıptica, a aplicacao linear DT n(s,p) e uma rotacao. Neste
caso linear a origem e rodeada por cırculos fechados invariantes, e a orbita periodica e
estavel. Porem nao podemos garantir que para a aplicacao T n o mesmo aconteca. Podem
existir curvas fechadas invariantes ao redor do ponto fixo o que nos da uma orbita estavel,
mas isso nao pode ser garantido a priori. No casos da orbita ser elıptica a parte linear
nao e suficiente para descrever a dinamica local. Uma maneira classica de resolver esse
problema e usar a forma normal de Birkoff e o teorema do Twist de Moser, enunciados
a seguir.
Teorema 3.2 (Forma Normal de Birkhoff) Seja f : R2 → R2 um difeomorfismo de classeCr, que preserve area , e tenha um ponto fixo elıptico na origem, tal que λ = cos(α)+isen(α)seja o autovalor na forma complexa. Se λj 6= 1 para j ∈ 1, . . . , n, entao existe umdifeomormisfo h ∈ C∞, que preserva area, tal que, se z = x+ iy, z = x− iy sao coordenadascomplexas em uma vizinhanca U de 0 em R2 entao:
h f h−1 = λeiP |z|2z + o(|z|)n−1,
onde P (X) = a1X + . . . + amXm e um polinomio real de grau m, tal que 2m− 1 < n.
Em particular para n = 4 temos:
h f h−1 = λei(a1|z|2)z + o(|z|)3 = λz + iλa1z|z|2 + o(|z|)3.
Teorema 3.3 (Twist de Moser) Suponha que f : R2 → R2, seja uma aplicacao Ck, k ≥ 5que preserva area com um ponto fixo elıptico na origem. Se a forma normal de Birkhoof def se escreve em coordenadas complexas (z, z), F (z) = λeiP |z|2z + O(|z|n−1) onde P e umpolinomio real de grau n
2− 1 e nao constante, entao 0 e um ponto fixo estavel, ou seja, para
todo ε > 0 suficientemente pequeno existe uma curva β continda no anel em torno de 0,homotopicamente nao trivial e invariante por f , f(β) = β.
4A demonstracao da forma normal de Birkoff encontra-se em [ZDR]5Demonstracoes em [HK] e [ZDR]
27
3.2 A formula de Mackay-Meiss e sua consequencias
Nesta secao, apresentaremos uma formula, devida a Mackay-Meiss, que relaciona o
traco da derivada do bilhar num ponto periodico com o determinante hessiano da funcao
comprimento ao longo de tais trajetorias.
Como vimos no capıtulo anterior, uma sequencia (si)i∈N, com si 6= si+1 esta associada a
uma orbita T (si, pi) = (si+1, pi+1), se e somente se:
pi = −∂L(si+1, si)
∂s=
∂L(si, si−1)
∂s. (3.1)
A equacao (3.1) nos da as seguinte igualdades:
dpi = −∂2L(si+1, si)∂s2 ds− ∂2L(si+1, si)
∂s∂sds
dpi =∂2L(si, si−1)
∂s2 ds +∂2L(si, si−1)
∂s∂sds.
(3.2)
Escrevendo zi = (si, pi) e
(ui
vi
)∈ Tzi
C, o espaco tangente de C em zi; DTzi
(ui
vi
)=(
ui+1
vi+1
)temos:
vi = −∂2L(si+1, si)∂s2 ui −
∂2L(si+1, si)∂s∂s
ui+1,
vi =∂2L(si, si−1)
∂s2 ui +∂2L(si, si−1)
∂s∂sui−1.
(3.3)
Isso significa que se a sequencia de vetores
(ui
vi
)e um campo de vetores ao longo
de uma orbita de T entao esta sequencia satisfaz a equacao
aiui + bi−1ui−1 + biui+i = 0; (3.4)
onde
ai =∂2L(si+1, si)
∂s2 +∂2L(si, si−1)
∂s2 e bi =∂2L(si+1, si)
∂s∂s.
Em particular se (zi) e uma orbita perıodica, de periodo n, a equacao (3.4) nos permite
relacionar a natureza do ponto crıtico (s1, . . . , sn) com o tipo de orbita periodica.
Teorema 3.4 (Mackay-Meiss)
tr DT n(z1)− 2 =det(−Hn)∏n
i=1 bi
;
Onde Hn denota a matriza Hessiana da aplicacao Wn : Dn → R.
28
Antes de iniciarmos a demonstracao observemos que:
H2 =
(a1 b1 + b2
b1 + b2 a2
),
Hn =
a1 b1 0 0 . . . bn
b1 a2 b2 0 . . . 00 b2 a3 b3 . . . 00 0 b3 a4 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .bn 0 0 0 . . . an
n ≥ 3.
(3.5)
Demonstracao:
Seja λ um autovalor de DT n(z1) e
(u1
v1
)o autovetor associado, ou seja, DT n(z1)
(u1
v1
)=
λ
(u1
v1
), entao:
• DT n(z2)
(u2
v2
)= DT (z1) DT (zn)DT (zn−1) . . . DT (z1)︸ ︷︷ ︸
DT n(z1)
(u1
v1
)
= DT (z1)DT n(z1)
(u1
v1
)= DT (z1)
(λu1
λv1
)= λ
(u2
v2
);
• DT n(z3)
(u3
v3
)= DT (z2)DT n(z2)
(u2
v2
)= λ
(u3
v3
);
Analogamente temos:
DT n(zi)
(ui
vi
)= DT (zi−1)DT n(zi−1)
(ui−1
vi−1
)= λ
(ui
vi
).
Logo concluımos que:
λui = ui+n. (3.6)
Consideremos agora a matriz Hn(λ) dada por:
H2(λ) =
(a1 b1 + λ−1b2
b1 + λb2 a2
),
Hn =
a1 b1 0 0 . . . λ−1bn
b1 a2 b2 0 . . . 00 b2 a3 b3 . . . 00 0 b3 a4 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .λbn 0 0 0 . . . an
n ≥ 3.
5O teorema de Mackay-Meiss pode ser demonstrado em situacoes muito mais gerais. Boas referenciassao [MM] e [ZDR].
29
Claramente Hn(1) = Hn.
Nos mostraremos que a matriz Hn(λ) e singular. De fato colocando
u =
u1...
un
e u = Hn(λ)u
temos por (3.4) e (3.5) que u2 = . . . un−1 = 0. Alem disso por (3.6):
u1 = a1u1 + b1u2 + λ−1bnun = λ−1(a1nn+1 + b1un+2 + bnun),
un = λbnu1 + bn−1un−1 + anun = bnun+1 + bn−1un−1 + anun.
Usando novamente (3.4), (3.5) e o fato que ai+n = ai e bi+n = bi nos encontramos
u1 = un = 0.
Deste modo:
Hn(λ)u = 0 e detHn(λ) = 0.
Vamos agora calcular o determinante da matriz Hn(λ):
DetHn(λ) = a1Det
a2 b2 0 0 . . . 0b2 a3 b3 0 . . . 00 b3 a4 b4 . . . 00 0 b4 a5 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . an
−b1Det
b1 0 0 0 . . . λ−1bn
b2 a3 b3 0 . . . 00 b3 a4 b4 . . . 00 0 b4 a5 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . an
(−1)n+1λbnDet
b1 0 0 0 . . . λ−1bn
a2 b2 0 0 . . . 0b2 a3 b3 0 . . . 00 b3 a4 b4 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . an
= a1DetM1−b1
2DetM2+(−1)n+1(λ−1∏n
i=1 bi)+(−1)n+1(λ∏n
i=1 bi)+(−1)2n+1(bn)2DetM3.
Onde M1 e a primeira matriz, M2 e o menor principal (n− 2)x(n− 2) inferior direito da
segunda matriz, e M3 e o menor principal (n − 2)x(n − 2) inferior esquerdo da terceira
matriz.
Se agora nos substituirmos λ por 1 temos:
DetHn(1) = a1DetM1−b12DetM2+(−1)n+1
n∏i=1
bi+(−1)n+1
n∏i=1
bi+(−1)2n+1(bn)2DetM3.
30
Logo:
detHn(λ)− detHn(1) = (λ− 1)(−1)n−1
n∏i=1
bi + (λ−1 − 1)(−1)n−1
n∏i=1
bi,
Porem como DetHn(λ) = 0 e Hn(1) = Hn temos:
tr T n(z1)− 2 = (λ− λ−1)− 2 = (−1)n det(Hn)∏ni=1 bi
=det(−Hn)∏n
i=1 bi
.
onde na primeira igualdade usamos o fato de λ e λ−1 serem autovalores de DT n(z1).
Como DetT n(z1) = 1 os autovalores λ e λ−1 sao dados por:
−trDT n(z1)±√
(trDT n(z1))2 − 4
2.
Portanto a classificacao das orbitas periodicas depende apenas do sinal de
|trDT n(z1)| − 2. Observemos ainda que pelo lema 2.1 as quantidades bi sao sempre
positivas.
Como consequencia destes fatos e do teorema anterior temos os seguintes corolarios.
Corolario 3.1 A orbita (z1, . . . zn) e hiperbolica se e somente se
|det(−Hn)Qni=1 bi
+ 2| > 2, e e elıptica se e somente se |det(−Hn)Qni=1 bi
+ 2| < 2.
Corolario 3.2 Se det(−Hn) < 0 entao (z1, . . . zn) e uma orbita periodica hiperbolica ouelıptica.
Se det(−Hn) > 0 entao (z1, . . . zn) e hiperbolica,
Se det(−Hn) = 0 entao (z1, . . . zn) e parabolica.
31
3.3 Instabilidade nas curvas de simetria-n
Proposicao 3.1 Sejam Γ(s) uma curva de simetria-n e (s1 . . . , sn) um ponto crıtico dofuncional Wn|I . Entao sao equivalentes:
(i) A orbita associada aos pontos (s1, . . . , sn) e hiperbolica,
(ii) A funcao Wn|I tem um maximo nao degenerado no ponto (s1, . . . , sn),
(iii) Os raios de curvatura nos pontos sj sao menores que o raio do cırculo circunscrito aopolıgono de vertices sj, j = 1 . . . , n.
Demonstracao:
Provaremos primeiro as equivalencias das condicoes (ii) e (iii).
Pela simetria da curva Γ(s), os raios de curvatura, e os angulos de reflexao e incidencia
sao todos iguais nos pontos sj. Com base nisto denotaremos R o raio de curvatura, θ os
angulos de reflexao e incidencia, nos respectivos pontos sj.Alem disso denotaremos por
L o comprimento das retas unindo sj a sj+1.
Um ponto (s1(t0), . . . , sn(t0)) e um maximo nao degenerado de Wn|I se e somente se:
d2
dt2Wn(s1(t0), . . . , sn(t0)) < 0 (3.7)
Derivando temos:
d2
dt2Wn =
n∑i,j=1
∂2Wn
∂si∂sj
+n∑
i=1
∂Wn
∂si
d2si
dt=
n∑i,j=1
∂2Wn
∂si∂sj
,
pois dsidt
≡ 1 pelo corolario 1.4.
Consequentemente:
d2
dt2Wn =
∑ni,j=1
∂2Wn∂si∂sj
= eTransHne, onde eTrans = (1, . . . , 1), e Trans denota o opera-
dor transposto.
Pelo lema 2.1 temos que a matriz Hn nos pontos (s1, . . . , sn) tem a forma 3.5, onde:
aj =2sen2θ
L− 2senθ
R, bj =
sen2θ
L. (3.8)
Entao a equacao (3.7) e equivalente a:
0 > eTransHne = eTrans
(4sen2θ
L− 2senθ
R, . . . ,
4sen2θ
L− 2senθ
R
)= 2nsenθ
(2senθ
l− 1
R
).
32
Como senθ e sempre positivo a desigualdade acima e satisfeita se e somente se
0 < R < R0, onde R0 = l2senθ
.
Nao e difıcil ver pela geometria elementar que R0 e o raio do cırculo circunscrito ao
polıgono de vertices(s1, . . . , sn).
A prova da equivalencia das condicoes (i) e (iii) e baseada na seguinte proposicao
auxiliar.
Proposicao 3.2 Sejam Γ(s) uma curva de simetria-n e (s1, . . . , sn) uma orbita de perıodo
n. Denote por λ e λ−1 os autovalores de DT n(s1, p1) e y = 2lRsenθ
. Entao:
λ + λ−1 = Qn(y),
Onde os polinomios Qn estao conectados com a famılia polinomial de Chebyshev pela relacao:
Qn(y) = 2Gn(y/2− 1). (3.9)
Ora
Gn(z) = cos(n arccosz), z ∈ [−1, 1].
Consequentemente, |Gn(z)| ≤ 1 para |z| ≤ 1, e |Gn(z)| = 1 somente para
z = cos(kπ/n), k ∈ Z. (3.10)
Como Qn e um polinomio de grau n, cada uma das equacoes Gn(z) = 1 e
Gn(z) = −1 tem exatamente n raızes (contando com a multiplicidade) no intervalo
−1 ≤ z ≤ 1,e portanto para |z| > 1 temos a inequacao Gn(z) > 1.
Segue entao de (3.9) que |Qn(y)| > 2 para y > 4 (quando 0 < R < R0),e |Qn(y)| ≤ 2
para 0 < y < 4 (quando R > R0). Desde que |λ + λ−1| > 2 e um criterio de hiperbolici-
dade, a equivalencia das condicoes (i) e (ii) segue diretamente da proposicao 3.2.
Agora vamos provar a proposicao 3.2.
Pelo teorema 3.4 nos temos que:
tr T n(s1, p1)− 2 =det(−Hn)∏n
i=1 bi
33
onde a matriz Hn tem a forma (3.5), e as quantidades aj , bj, satisfazem a relacao
(3.8).
Comoaj
bi= 2− 2l
Rsenθ= 2− y e bi
bj=1 colocando An =
det(−Hn)n∏
i=1
bi
temos:
A2 = Det
(−a1
b1
−(b1+b2)b1
−(b1+b2)b1
−a2
b2
)= Det
(y − 2 −2−2 y − 2
),
An = Det
−a1
b1− b1
b10 . . . − bn
b1
− b1b2
−a2
b2− b2
b2. . . 0
0 − b2b3
−a3
b3. . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .− bn
bn0 0 . . . −an
bn
= Det
y − 2 −1 0 . . . −1−1 y − 2 −1 . . . 00 −1 y − 2 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .−1 0 0 . . . y − 2
,
para n ≥ 3.
Nos devemos agora mostrar a validade da relacao:
2 + An(y) = Qn(y). (3.11)
Para isto devemos usar a formula de recorrencia dos polinomios de Chebyshev dada por:
Gn+1(x) = 2xGn(x)−Gn−1(x).
Para os polinomio Qn, por (3.9) temos:
Qn+1(y) = (y − 2)Qn(y)−Qn−1(y). (3.12)
Para n = 2, 3 por calculos diretos:
• Q2(y) = 2G2(y/2− 1) = 2[2(y/2− 1)2 − 1] = y2 − 4y + 2 = A2 + 2
• Q3(y) = 2G3(y/2− 1) = 2[4(y/2− 1)3 − 3(y/2− 1)] = A3 + 2
Ou seja a igualdade (3.11) e verdadeira. Suponhamos entao que (3.11) e valida para
n ≤ k. E necessario mostrar que Ak+1(y) = Qk+1(y) − 2. Por (3.12) e por hipotese de
inducao:
Qk+1(y)− 2 = (y − 2)Qk(y)−Qk−1(y)− 2
= (y − 2)(2 + Ak(y))− 2− Ak−1 − 2.
34
E deste modo e necessario verificar a igualdade
Ak+1(y) = (y − 2)(2 + Ak(y))− Ak−1 − 4, k ≥ 3. (3.13)
Expandindo o determinante An pela primeira coluna:
An = (y−2)Det
y − 2 −1 0 . . . −1−1 y − 2 −1 . . . 00 −1 y − 2 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . y − 2
+Det
−1 0 0 . . . −1−1 y − 2 −1 . . . 00 −1 y − 2 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . y − 2
(−1)n+2Det
−1 0 0 . . . −1
y − 2 −1 0 . . . 0−1 y − 2 −1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . −1
.
Expandindo o determinante das duas ultimas matrizes em relacao a primeira linha temos:
DJ = (y − 2)Bm−1 − 2Bm−2 − 2.
onde Bj = Det
y − 2 −1 0 . . . −1−1 y − 2 −1 . . . 00 −1 y − 2 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . y − 2
jxj
j < n.
A igualdade (3.13) toma a forma:
(y − 2)Bk = ((y − 2)2 + 2)Bk−1 − 3(y − 2)Bk−2 − 2, k ≥ 3.
A validade desta relacao segue diretamente da formula:
Bj = (y − 2)Bj−1 −Bj−2,
que e obtida depois da expansao do determinante de Bj em relacao a primeira coluna
desta.
Por fim as proposicoes 3.1 e 3.2 estao provadas.
Observacao: Das formulas (3.9) e (3.10) segue que os autovalores de uma orbita de
perıodo-n do bilhar associado a uma curva Γ(s) de simetria-n tem valor absoluto igual a
um se e somente se:
35
LRsenθ
= 1 + cos(kπn
), k ∈ Z.
Para k par essa orbita e degenerada, enquanto para k impar ela e parabolica.
Segue diretamente da proposicao (3.1) o seguinte corolario:
Corolario 3.3 Sejam Γ(s) uma curva de simetria-n e (s1 . . . , sn) um ponto crıtico dafuncao Wn|I . Entao sao equivalentes:
(i) A orbita associada aos pontos (s1, . . . , sn) e elıptica,
(ii) A funcao Wn|I tem um minımo nao degenerado no ponto (s1, . . . , sn),
(iii) Os raios de curvatura nos pontos sj sao maiores que o raio do cırculo circunscrito aopolıgono de vertices sj, j = 1 . . . , n.
Os resultados anteriores da proposicao (3.1), e do corolario (3.3) claramente se estendem
para os polıgonos em Λn,m. Em virtude disto temos o seguinte corolario.
Corolario 3.4 Se as orbitas correspondendo aos polıgonos de maior(respectivamentemenor) perımetro em Λn,1 sao hiperbolicas entao as orbitas correspondendo aos polıgonosde maior(respectivamente menor) perımetro em Λn,m sao hiperbolicas(respectivamenteelıpticas).
Demonstracao:
Pelo proposicao (3.1) e corolario (3.3) se R > R0 a orbita e elıptica, e se, R < R0 a
orbita e hiperbolica, onde R0 e o raio do cırculo circunscrito ao polıgono em Λn,1 corres-
pondendo a trajetoria periodica. Porem pelo corolario (1.1) os polıgonos de perımetro
maximo(respectivamente mınimo) de Λn,m estao inscritos nos polıgonos de perımetro
maximo(respectivamente mınimo) de Λn,1, e consequentemente possuem o mesmo cırculo
circunscrito. Como o raio de curvatura e constante de ao longo destes polıgonos, se
tivermos R > R0 (R < R0) em Λn,1 teremos R > R0 (R < R0) em Λn,m.
Corolario 3.5 Se a orbita periodica de Birkhoff do tipo 1n correspondendo ao maximo (re-
spectivamente mınimo) de W n|I for hiperbolica( respectivamente elıptica), entao as d orbitasde Birkhoff do tipo sao m
n hiperbolicas(respectivamente elıpticas), onde d = mdc(m, n).
Demonstracao:
Segue diretamente do corolario anterior.
36
Capıtulo 4
Conclusoes e Projetos Futuros
Considere o raio de curvatura de uma curva Γ(ϕ) dado por:
R(ϕ) = a0 + a1cos(12ϕ) + b1sen(12ϕ) + a2cos(24ϕ)
Pelo corolario (1.2) basta tomarmos R(ϕ) > 0, para que a curva Γ(ϕ) seja uma oval de
simetria-12.
Nas mostraremos nas figuras abaixo o espaco de fase do bilhar associado a duas ovais
de simetria-12 distintas. Na primeira oval tomamos a0 = 1, a1 = 0, 3, b1 = 0, a2 = 0,
e na segunda tomamos a0 = 1, a1 = 0, 3, b1 = 0, 1, a2 = 0, 1. Em ambos os espacos
de fase e possıvel observar que todos os pontos periodicos estao todos sobre as retas
θ = m12
, m = 1, . . . , 11, como demonstramos no corolario (2.4) e que as orbitas periodicas
elıpticas sao todas estaveis.
Utilizando o Software Maple calculamos o primeiro coeficiente de Birkhoff de um ponto
elıptico do bilhar em uma oval de simetria 3 qualquer, porem obtivemos uma formula
gigantesca da qual nao conseguimos tirar nenhuma condicao para garantir que esse co-
eficiente fosse nao nulo. Terminado este trabalho pretendemos retomar estas constas e
ver sobre que condicoes a orbita elıptica e estavel. Pretendemos tambem mostrar que
se o primeiro coeficiente for nulo, e possıvel perturbar a oval, e obtermos uma outra
oval tambem de simetria 3, suficientemente proxima da anterior e com a mesma orbita
periodica desta, cujo primeiro coeficiente e nao nulo.
37
Figura 4.1: a0 = 1, a1 = 0, 3, b1 = 0, a2 = 0.
Figura 4.2: a0 = 1, a1 = 0, 3, b1 = 0, 1, a2 = 0, 1.
38
Referencias Bibliograficas
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Aplicacoes do Tipo Twist, 25 Coloquio Brasileiro de Matematica, IMPA, 2005.
39
