Sumário - Técnico Lisboa - Autenticação · Orbitas de Planetas e Satélites´ Leis de Kepler ... Areas iguais varridas em tempos iguais —´ 2a Lei de Kepler! I E consequência

Orbitas Keplerianas

Paulo J. S. Gil

Departamento de Engenharia Mecanica, Seccao de Mecanica AeroespacialInstituto Superior Tecnico

Cadeira de Satelites, Lic. Eng. Aeroespacial

Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Orbitas Keplerianas IST, LEAero, Satelites 1 / 88

Sumario

Forca CentralMovimentos Celestes e Forca CentralForca Central Gravıtica

O Problema dos 2 Corpos

Orbitas KeplerianasGeometria das Seccoes ConicasOrbitas de Planetas e Satelites

Leis de Kepler

A Equacao de KeplerAnomaliasA equacao de KeplerOrbitas HiperbolicasDeducao Analıtica

Orbita Estabelecida a Partir de Condicoes Iniciais

Estabilidade das Orbitas Circulares

O Vector de Laplace-Runge-Lenz


Forca Central

Sumario




Leis de Kepler






Forca Central Movimentos Celestes e Forca Central

Evidencia de Forca Central no Sistema Solar

O

~r

θ

~v

~F

~er~eθ

Problema de Forca Central

I Um corpo sob influencia de umaforca que esta sempredireccionada para um ponto fixoO no referencial (de inercia)

I Ponto O escolhido como aorigem do referencial

I A forca central pode sempre ser escrita como ~F = F~r

rI No sistema solar observam-se situacoes similares a esta:

I Sol e planetasI Planetas e satelitesI etc.

I Casos reais podem ser aproximados por esta situacao (discutir)



Plano do Movimento

O

~r0

θ

~v0

~F

O movimento da-se num plano

I ~r0, ~v0 determinam um planoinicial; supor plano xy

I ~r0‖~F = m~a (referencial deinercia)

I A componente az da aceleracaosera sempre nula

I A velocidade so varia no planoxy e o movimento nunca saideste



Momento Angular Relativamente a Origem

I Derivada do momento angular relativamente a O

id~H0

dt=

iddt

(~r ×m~v) = ~v ×m~v︸︷︷︸=0

+~r ×m~a = ~r × ~F = ~M0 (1)

I ~M0 e o momento das forcas. Mas

~M0 = ~r × ~F = ~r × F~r

r= 0 (2)

I O momento angular conserva-se no problema de forca central!

~H0 = ~r ×m~v = Cte (3)

I O momento angular e um vector constante logo o movimentoocorre num plano; ~H0 e normal ao plano do movimento



Velocidade Areolar

O

~r

θ

~r + ∆~r

θ

∆~r

∆θ

~v

Area varrida por ~r no intervalo de tempo ∆t

I No instante t + ∆t o vector posicao sera~r + ∆~r ; a area varrida e aproximadamenteum triangulo

∆A =1

2|~r × (~r + ∆~r)| =

1

2|~r ×∆~r | (4)

(metade da area do paralelogramo)

dA

dt= lim

∆t→0

∆A

∆t= lim

∆t→0

1

2

∣∣∣∣~r × ∆~r

∆t

∣∣∣∣ =1

2|~r × ~v | =

|~H0|2m

= Cte

(5)

dA

dt=

H0

2m= Cte (6)



2a Lei de Kepler

2a Lei de Kepler e velocidade areolar

I A equacao da velocidade areolar determina que

Areas iguais varridas em tempos iguais — 2a Lei de Kepler!

I E consequencia da conservacao do momento angular ~H0 = Cte

Momento angular em coordenadas polares

Definicao: momento angular por unidade de massa ~h ≡~H0

m

dA

dt=

1

2|~r × ~v | = 1

2

∣∣∣∣∣∣~er ~eθ ~ez

r 0 0

r r θ 0

∣∣∣∣∣∣ = r2θ

2|~ez | =

r2θ

2=

h

2(7)

Ou seja: r2θ = h = Cte (8)



Equacoes do Movimento em Coordenadas Polares

Forca central em coordenadas polares

I Equacoes do movimento — 2a Lei de Newton

ar ≡ r − r θ2 =F

m≡ f (9a)

aθ ≡ r θ + 2r θ =1

r

ddt

(r2θ)

︸︷︷︸= h = Cte

= 0 (9b)

I A segunda equacao so reafirma a conservacao do momento

angular r2θ = h = CteI Substituindo θ = h/r2 de (9b) em (9a) resulta

r − h2

r3= f (10)



Eliminacao da Variavel Tempo

E possıvel eliminar a dependencia explıcita do tempo

I A equacao anterior indica que se pode eliminar a dependenciade θ da equacao do movimento. Entao

r =ddt

r =dr

dr

dr

dt=

dr

drr =

1

2

ddr

(r2)

(11)

I Substituindo r em (10) vem

r =1

2

ddr

(r2)

=h2

r3+ f (12)

I Admitindo que a forca so depende de r (nao depende de texplicitamente) e integrando

r2 = −h2

r2+ 2

∫f (r) dr + Cte (13)



I Pode-se utilizar a variavel θ em conjunto com θ = h/r2 paraobter

r =dr

dθ

dθ

dt=

dr

dθ

(h

r2

)(14)

I Combinando com a equacao anterior, o tempo sera eliminado ee possıvel obter a trajectoria por integracao(

dr

dθ

)2

= −r2 + 2r4

h2

∫f (r) dr +

r4

h2Cte (15)

I Das suas 2 componentes pode-se obter imediatamente avelocidade utilizando (13) e a expressao do momento angular

v2 = r2 + (r θ)2 = 2

∫f (r) dr + Cte (16)



Forca Central Conservativa

Uma forca central dependente so de r e conservativa

I Seja ~F = F (r)~er (Fθ = Fz = 0). Entao, o rotacional emcoordenadas cilındricas

∇× ~F =1

r

∣∣∣∣∣∣~er r~eθ ~ez∂∂r

∂∂θ

∂∂z

Fr rFθ Fz

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ ~F = −∇U = −∂U

∂r~er

(17)U e apenas funcao de r logo ∂U

∂r = dUdr

I Utilizando a expressao da velocidade (16) e integrando

v2 = − 2

m

∫dU

drdr + Cte = −2U

m+ Cte

⇒ 1

2mv2 + U = Cte ≡ E (18)



Potencial EfectivoI Para partıculas a mesma distancia e mesma energia, a

velocidade e a mesma independentemente da trajectoriaI v2 = r2 + (r θ)2 e combinando com a equacao da energia e do

momento angular

E =1

2mr2 +

mh2

2r2+ U =

1

2mr2 + Veff (19)

I Potencial efectivo Veff = U + mh2

2r2 no referencial que roda talque a partıcula esta sempre na mesma direccao; de (19):

r = ±√

2

m(E − Veff) ⇒ Veff(r) = U(r) +

mh2

2r26 E (20)

I Valores max. e min. de r , se existirem sao obtidos no casoVeff = E i.e. quando r = 0 — pontos de viragem das distanciasapsidais das orbitas; mais sobre Veff mais tarde

I r = 0 sempre ⇒ orbita e circular (r = Cte)Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Orbitas Keplerianas IST, LEAero, Satelites 13 / 88


Solucao Geral do Problema de Forca Central

Integracao em funcao do Tempo

De (20)

r =dr

dt= ±

√2

m

(E − U − mh2

2r2

)(21)

Integrando

t − t0 =

∫ r

r0

dr

±√

2m (E − U(r))− h2

r2

(22)

I Solucao na forma t = t(r); inversao (se possıvel) pode darsolucao explıcita r = r(t)

I O sinal + foi tomado em (21) sem perda de generalidade(equacoes simetricas no tempo. . . )



Solucao Geral do Problema de Forca Central

Trajectoria

Substituindo a equacao da energia na equacao da trajectoria (15)ou muito simplesmente fazendo dr

dθ = rθ

usando (21) e θ = h/r2

obtem-sedr

dθ=

r2

h

√2

m(E − U)− h2

r2(23)

Integrando

θ − θ0 =

∫ r

r0

h dr

r2√

2m (E − U)− h2

r2

(24)

I θ = h/r2 ⇒ θ nunca muda de sinal; θ aumentamonotonamente com t

I E usual realizar a mudanca de variavel u = 1/r no integral



Forca Proporcional a uma Potencia de r

Caso forca f = Arn

I TPC: faca a mudanca de variavel u = 1/r e mostre queU = −Au−(n+1)/(n + 1)

I TPC: mostre que (23) se escreve

θ − θ0 =

∫ u

u0

−du√a + bu2 + cu−(n+1)

(25)

com a = 2Emh2 , b = −1, c = 2A

mh2(n+1)

I Para n = 1,−2,−3 o integral pode ser calculado a custa defuncoes trigonometricas

I Para n = 5, 3, 0,−4,−5,−7 o integral pode ser calculado emtermos de funcoes elıpticas


Forca Central Forca Central Gravıtica

Forca Central GravıticaI Seja a forca central a forca gravıtica;

~F = −GMm

r2~er ⇒ F

m= f = − µ

r2, µ ≡ GM (26)

µ denomina-se Parametro Gravitacional (explicar)I Tem-se, com a mudanca de variavel u = 1/r e usando θ = h/r2

r =dr

dt=

dr

dθ

dθ

dt=

dr

dθθ =

dr

dθ

h

r2= −h

ddθ

(1

r

)= −h

du

dθ

⇒ r = −hdu

dθ(27)

I Similarmente

r =dr

dt=

dr

dθ

dθ

dt=

h

r2

dr

dθ=

h

r2

ddθ

(−h

du

dθ

)= −h2u2 d2u

dθ2

⇒ r = −h2u2 d2u

dθ2(28)



Equacao do Movimento Transformada

I Substituindo as equacoes anteriores na equacao do movimento(10)

r − h2

r3= f ⇔ −h2u2 d2u

dθ2− h2u3 = −µu2 (29)

I Dividindo a equacao por −h2u2 obtem-se finalmente umaequacao linear nao homogenea em u!

d2u

dθ2+ u =

µ

h2(30)

I Solucao: u = uh + up

I Solucao particular up: facil verificar que up =µ

h2verifica (30)

I Solucao homogenea uh: ensaiar solucao da forma uh = Cteeλθ



Solucao da Equacao Homogenea

I Substituindo a tentativa de solucao uh = Cteeλθ na equacaohomogenea obtem-se a equacao caracterıstica

λ2 + 1 = 0 ⇒ λ = ±i

I A solucao geral da equacao homogenea e entao

uh = Ae iθ + Be−iθ = C1 cos θ + C2 sin θ (31)

com C1 = A + B,C2 = i(A− B)I E sempre possıvel fazer

C1 = C cos β0, C =√

C 21 + C 2

2 (32a)

C2 = C sin β0, β0 = arctanC2

C1(32b)

I A solucao geral da homogenea escreve-se finalmente

uh = C (cos θ cos β0 + sin θ sin β0) = C cos(θ − β0) (33)



Solucao da Equacao do MovimentoA solucao da equacao do movimento vem finalmente

u =1

r= uh + up = C cos(θ − β0) +

µ

h2(34)

Notas

I C , β0 sao constantes de integracao a determinar

I A equacao do movimento pode ser reescrita em funcao de umaconstante nova e como

u = 1/r =1 + Ch2/µ cos(θ − β0)

h2/µ=

1 + e cos(θ − β0)

h2/µ(35)

I A constante de integracao β0 muda apenas a orientacao datrajectoria no plano do movimento



Potencial Gravıtico

A energia potencial, no caso da forca gravıtica, pode ser escritacomo (usando a forca por unidade de mass f )

U(r) =

∫−f dr =

∫ ∞

r

−µ

ρ2dρ = −µ

r(36)

I Escolheu-se para referencia da energia potencial no infinito:energia potencial nula quando a partıcula nao sente a forca i.e.quando nao ha forca

I ρ e a variavel muda de integracao

I O potencial U definido deste modo e a energia potencial porunidade de massa



Determinacao da Constante de Integracao C

A energia por unidade de massa E ≡ E/m escreve-se, lembrandoque v2 = r2 + r2θ2 = r2 + h2/r2 e que r = −hdu

dθ e usando asolucao da equacao

E =v2

2− µ

r=

h2

2

[(du

dθ

)2

+ u2

]− µu

=h2

2

[C 2 sin2 θ +

µ2

h4+ C 2 cos2 θ +

2µC

h2cos θ

]− µ2

h2− µC cos θ

h2

2

[C 2 −

( µ

h2

)2]

+h22µC

2h2cos θ − µC cos θ︸︷︷︸

=0

=h2

2

[C 2 −

( µ

h2

)2]

(37)



Solucao das Orbitas KeplerianasI Seja C escrita em funcao da nova constante e

C 2 =( µ

h2

)2e2 (38)

I e e determinada pelas constantes do movimento como sendo

e =

√1 +

2E h2

µ2(39)

I A nova constante e e a excentricidade da orbitaI A equacao da trajectoria fica finalmente

u =1

r=

µ

h2(1 + e cos(θ − β0)) ⇔ r =

h2/µ

1 + e cos(θ − β0)

(40)

A equacao da trajectoria descreve uma conica de excentricidade e



Conicas

Efeito da excentricidade e

Fonte: Chow

Efeito do β0

F

~r0

~v0

F

β0

~r0~v0

θ − β0

Condicoes iniciais rodadas β0 geramuma trajectoria rodada β0



Sumario




Leis de Kepler







Problema de 2 Corpos atraıdos pela Gravidade

O y

z

x

m1

~r1 ~r = ~r2 −~r1

m2~r2

~F1

~F2 = −~F1

2 corpos isolados

I Nao ha forcas externas

I Gravidade e a unica forca

I ~ri e a posicao do corpo i

I ~Fi e a forca que actua nocorpo i

I ~r = ~r2 −~r1 e o vectorrelativo de m1 para m2

I Equacoes do movimento

m1~r1 = ~F1, m2~r2 = ~F2 (41)

I 3a Lei de Newton: ~F2 = −~F1

I Centro de massa (def.): ~rC =m1~r1 + m2~r2

m, m ≡ m1 + m2



Mudanca de Coordenadas

O y

z

x

m1

~r1~r

m2~r2

C

~rC

~ρ1

~ρ2

Movimento do Centro de Massa C

I C encontra-se sobre ~r = ~r2 −~r1I Somando as equacoes do movimento

m~rC = m1~r1 + m2~r2 = ~F1 + ~F2 = 0(42)

I ~rC = 0 integra-se imediatamente para

~rC = ~rC0 + ~vC0t (43)

I ~rC = m1~r1+m2~r2m ⇒

m~rC = m1~r1 + m2(~r +~r1) ⇔ m~r1 = m~rC −m2~r (44)

I Idem para o caso de ~r2; entao (~ri = ~rC + ~ρi )

~r1 = ~rC −m2

m1 + m2~r ~r2 = ~rC +

m1

m1 + m2~r (45)



Equacao que Rege o Movimento

I Os ~ρi sao uma percentagem do vector relativo ~r

I Mudanca de coordenadas de (~r1,~r2) para (~rC ,~r)

I Parte da solucao: ~rC ja esta determinado por (43) — C podeser colocado na origem num referencial de inercia; neste caso~rC = Cte = 0

I Nas novas coordenadas as equacoes do movimento ficam

~F1 = m1~r1 = m1 ~rC︸︷︷︸=0

−m1m2

m~r = −m1m2

m~r (46a)

~F2 = m2~r2 = m2 ~rC︸︷︷︸=0

+m2m1

m~r =

m2m1

m~r (46b)

I Como ~F2 = −~F1 (3a Lei de Newton), as duas equacoes saoiguais



Reducao ao Problema de Forca Central

~F2 = −~F1 = −Gm1m2

r3~r logo ambas as equacoes escrevem-se

m1m2

m1 + m2~r = −Gm1m2

r3~r ⇔ ~r = −Gm

r2~er (47)

Equacao similar a de forca central

Solucao e uma conica, como no caso de forca central, com

I m = m1 + m2

I ~r e posicao relativa de m2 no referencial que acompanha m1

mas que nao roda

I Conica descrita por m2 relativamente a m1

I Ambas as partıculas descrevem conicas no referencial de inerciado centro de massa pois ~ρi sao uma percentagem fixa docomprimento de ~r ,



Trajectorias no Referencial do Centro de Massa C

C

m1

m2

~ρ1

~ρ2

I m2 descreve uma conica relativamente a m1 (e vice-versa)I A posicao de m2 relativa a m1 e ~r (no referencial que

acompanha m1 mas que nao roda relativamente ao de inercia)I No referencial de C , ~ρi sao uma percentagem fixa de ~rI As partıculas descrevem conicas opostas no referencial de C ,

com a mesma excentricidade; C e foco de ambasPaulo J. S. Gil (SMA, IST) Orbitas Keplerianas IST, LEAero, Satelites 30 / 88


Caso m1 � m2 ou m1 →∞

C

m1

m2

~ρ1

~ρ2

Razao das massas

I m1 = 2m2

I m1 = 3m2

I m1 = 5m2

I m1 = 9m2

I m1 = 19m2

I m1 = 80m2

I Quanto maior a diferenca das massas, maior a diferenca dotamanho relativo das elipses

I Massas iguais ⇒ elipses iguais ⇒

I Caso de orbitas circulares:⇒

(m1�m2)


Orbitas Keplerianas

Sumario




Leis de Kepler






Orbitas Keplerianas Geometria das Seccoes Conicas

Curvas ConicasFonte: Bate et al.

I Inclinacao do plano de interseccaodetermina o tipo de conica

I Hiperboles, parabolas e elipses;circunferencia e caso particular da elipse

I As elipses e as hiperboles tem 2 eixos desimetria (as parabolas so tem 1 e ascircunferencias tem infinitos)

Referencial dos eixos de simetria com origem na interseccao

I Equacao das elipsesX 2

a2+

Y 2

b2= 1 (48)

I Equacao das hiperboles

X 2

a2− Y 2

b2= 1 (49)



Geometria Geral das ConicasFonte: Bate et al.

I Focos F ,F ′, parametrop define pontos navertical dos focos

I Notar que nashiperboles a ordem dosfocos esta trocada:parametros a, c podemser consideradosnegativos

I No referencial OXY ospontos da elipse[hiperbole] na verticaldos focos temcoordenadas (±c ,±p)

∀A ponto de uma elipse, a soma das distancias aos 2 focos e sempreconstante FA + F ′A = 2a



Conicas Construıdas Utilizando a Directriz

F

D

~rp rp/e

~rθ r/e

p

p/e

I A razao entre a distancia ao foco e adistancia a directriz e a excentricidade e

I O valor de e determina o tipo de conica:elipses (e < 1, cırculos para e = 0),parabolas (e = 1, caso intermedio),hiperboles (e > 1)

I O parametro p e a distancia ao foco doponto na vertical do foco

I Tem-se

x = r cos θ, y = r sin θ (50)

I Usando as definicoes da directriz e de p:

p/e = x + r/e ⇒ r =p

1 + e cos θ(51)

A equacao geral das conicas e obtida, em funcao de p e ePaulo J. S. Gil (SMA, IST) Orbitas Keplerianas IST, LEAero, Satelites 35 / 88


Elipses

O Fa

b p

PA

rθ

Propriedades

I Elipse de semi-eixos maior ae menor b (definicao)

I p e denominado parametroou semi-latus rectum (def.)

I Periapsis e Apoapsis enomes derivados; de (51):

rp =p

1 + e, ra =

p

1− e(52)

I Claramente tem-se

2a = ra + rp =p

1− e+

p

1 + e=

2p

1− e2⇒ p = a(1− e2)

(53)



Propriedades das Elipses

O Fa

bp

a(1− e)ae

rθ

Propriedades

I De (53)

rp = a(1− e) , (54a)

ra = a(1 + e) (54b)

I Como a = OF + rp entao

OF = ae (55)

I Soma das distancias aos focos: r + r ′ = 2a (demonstrar)I Das propriedades tambem se obtem que (demonstrar)

b = a√

1− e2 (56)



ParabolaFonte: Schaub

Parabola e = 1

I Raio do periapsis (nao haapoapsis)

rp =p

2

I Equacao da trajectoria

r =2rp

1 + cos θ

TPC: Deduzir a expressao em coordenadas cartesianas com origemno foco; que acontece quando p varia?



Hiperbole

Fonte: SchaubHiperboles e > 1

I Resultados similaresdesde que seconsidere a < 0

I θ∞ = arccos(−1

e

)I b = a

√e2 − 1

I p = (−a)(e2 − 1)= |a|(e2 − 1)

I rp = (−a)(e − 1)= |a|(e − 1)

I p = rp(1 + e)

TPC: Deduzir as expressoes acima neste caso das hiperbolesutilizando a directriz


Orbitas Keplerianas Orbitas de Planetas e Satelites

Excentricidade das Orbitas e Energia

Relembrando (39) e =

√1 +

2E h2

µ2

I A energia e a excentricidade estao directamente relacionadas eI e < 1 ⇒ E < 0 — orbitas elıpticas

(2E = −(µ/h)2 ⇒ orbita circular)I e = 1 ⇒ E = 0 — orbitas parabolicasI e > 1 ⇒ E > 0 — orbitas hiperbolicas

I Da equacao da energia E = v2/2− µ/r

r →∞ ⇒ E → v2∞2

(57)

I E > 0, partıcula escapa para infinito e chega la com velocidadeI E = 0, partıcula chega a infinito com velocidade nulaI E < 0, partıcula nao pode escapar da atraccao da massa central



Orbitas Espaciais, Semi-eixo Maior e EnergiaI Comparando a solucao da trajectoria (40) r = h2/µ

1+e cos θ com aequacao das conicas (51) r = p

1+e cos θ encontra-se o valor emfuncao dos parametros da orbita do semi-latus rectum

p =h2

µ(58)

I Combinando p = a(1− e2) = h2/µ com a equacao (39)

e =

√1 +

2E h2

µ2⇒ E =

µ2

2h2(e2 − 1) =

µ(e2 − 1)

2a(1− e2)(59)

E = − µ

2a(60)

I Orbitas hiperbolicas: E = − µ2a = µ

2|a|I Orbitas parabolicas: E = 0



Propriedades das Orbitas

PlanetaF 2a

Orbitas, energia e a

I E = − µ2a

⇒ E aumenta com a

I Massa central sempre nofoco cuja localizacaodepende de e

I a = Cte, e crescente⇒ ra cresce, rp decresce

I Figura: a = Cte ⇒ E = Cte, e = 0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9

I Orbitas muito excentricas — possibilidade de cair no corpocentral

I Orbitas baixas (baixa energia) tem que ser pouco excentricas —necessario precisao no lancamento



Equacao Vis-Viva (da Forca Viva)

I Uma vez que E = − µ2a = v2

2 −µr entao

v =

√2µ

(1

r− 1

2a

)(61)

I Velocidade na orbita determinada pela posicao (raio) esemi-eixo maior

I Equacao fundamental para estudar as manobras orbitais

I Velocidade e tanto maior quanto menor a distancia ao corpocentral e vice-versa

I Outra implicacao: velocidade de escape so depende da altitude,nao da direccao da velocidade



Leis de Kepler Revisitadas

1a Lei de Kepler

I Todos os planetas descrevem orbitas elıpticas com o Sol numdos focos

Expressa a solucao das orbitas no caso e < 1

2a Lei de Kepler

I A linha que une o Sol aos planetas (posicao relativa) varreareas iguais em tempos iguais

Expressa a conservacao do momento angular h = Cte

Filme 2a Lei de Kepler animada emhttp://ircamera.as.arizona.edu/NatSci102/NatSci102/lectures/kepler.htm


http://ircamera.as.arizona.edu/NatSci102/NatSci102/lectures/kepler.htm


3a Lei de Kepler

3a Lei de Kepler

I Perıodo T ∝ a3/2 onde a e o semi-eixo maior

As equacoes das orbitas tambem resultam nesta Lei de Kepler

Demonstracao

I Da 2a lei: dAdt = 1

2 r θ2 = h/2 = CteI dA = 1

2hdt ⇒∫

dA = 12h∫

dt = 12h(t − t0)

I Seja T = t − t0, o perıodo orbital ⇒ A e a area inscrita naorbita — a area da elipse

Ae = πab =1

2hT ⇒ T =

2πab

h(62)



Perıodo Orbital

I Lembrando que b = a√

1− e2 e p = h2

µ = a(1− e2)

T =2πab

h=

2πaa√

1− e2

√µ√

a√

1− e2(63)

T =2πa3/2

√µ

(64)

I Tendo 2 planetas pode-se eliminar a constante deproporcionalidade T 2 = 4π2

µ a3 = Cte a3 (resultado de Kepler)

T 22

T 21

=a32

a31

(65)

I Implicacao: Planetas mais longınquos andam mais devagar


A Equacao de Kepler

Sumario




Leis de Kepler






A Equacao de Kepler Anomalias

Anomalias Verdadeira e Excentrica

As anomalias sao simplesmente angulos; o seu nome deve-se ahistoricamente certos angulos nao serem o esperado — anomalos

Fonte: Battin Cicunferencia auxiliar de raio a

I A Anomalia Verdadeira θ e oangulo em coordenadas polares apartir do periapsis

I A Anomalia Excentrica E e oangulo central da circunferenciaauxiliar de raio a relacionado com aposicao do satelite (figura)


A Equacao de Kepler Anomalias

Anomalia Media

A partir do perıodo orbital (lei de Kepler)

T 2 =(2π)2a3

µ(66)

pode-se definir uma velocidade de revolucao media do satelite n

n =2π

T=

√µ

a3(67)

A Anomalia Media M e o angulo medio medido a partir da ultimapassagem no periapsis

Def. M : M = n(t − T0) =

√µ

a3(t − T0) (68)

(T0 e o tempo de passagem no periapsis)


A Equacao de Kepler A equacao de Kepler

Transformacao Afim

Fonte: Battin

I Transformacao Afim entre a ocırculo e a elipse: contraccao dacoordenada y em b/a — umamudanca de escala

I Os comprimentos e areascorrespondentes sao escalados emb/a

I RQ escala para RP comRP = b/aRQ

I A area FAQ transforma-se na area FAP, que e b/a maispequena que a primeira



Areas

Fonte: Bate

I A area Ac e determinada a custado sector circular E

2ππa2 e dotriangulo definido pelo centro, focoe ponto no cırculo

Ea2

2= Ac +

1

2(ae)(a sin E ) (69)

⇒ Ac =a2

2(E − e sin E ) (70)

I Usando a transformacao afim

Ae =b

aAc =

ab

2(E −e sin E ) (71)



Equacao de Kepler

I Lei de Kepler aplicada a um perıodo

dA

dt=

Aelipse

T=

ab

2

√µ

a3= Cte (72)

I Integrando entre o tempo de passagem no periapsis T0 e t eutilizando (71)∫ t

T0

dA = Ae =ab

2(E−e sin E ) =

ab

2

√µ

a3

∫ t

T0

dt =ab

2

√µ

a3(t−T0)

I Finalmente, simplificando e utilizando a definicao (68) de M√µ

a3(t − T0) ≡ M = E − e sin E (73)



Relacao entre E e θ

Fonte: Battin

I Da figura

a cos E + r cos(π − θ) = ae

⇔ a cos E − r cos θ = ae (74)

I A transformacao afim implica que

r sin θ = RP =b

aRQ =

b

aa sin E

(75)

Utilizando a equacao da orbita, as equacoes anteriores resultam em

cos E =e + cos θ

1 + e cos θ⇒ cos θ = − e − cos E

1− e cos E(76)

sin E =

√1− e2 sin θ

1 + e cos θ⇒ sin θ =

√1− e2 sin E

1− e cos E(77)



Utilizando a identidade tan x2 = sin x

1+cos x e substituindo as equacoesanteriores, obtem-se finalmente para elipses

tanθ

2=

√1 + e

1− etan

E

2(78)

que determina os valores sem confusao de quadrante

Para movimentos parabolicos obtem-se

2

√µ

p3(t − T0) = tan

θ

2+

1

3tan3 θ

2(79)

E para movimentos hiperbolicos√µ

−a3(t − T0) = e sinhF − F , cos θ =

e − coshF

e coshF − 1(80)

Nota: o movimento parabolico e singular e os outros 2 podem serunificados fazendo E = iF


A Equacao de Kepler Deducao Analıtica

Integracao Directa da Equacao de Kepler

Da lei de Kepler pode-se obter θ

dA

dt=

ab

2

√µ

a3=

h

2=

r2θ

2⇒ θ =

dθ

dt=

a2√

1− e2

r2

√µ

a3(81)

e usando a equacao da orbita r = a(1−e2)1+e cos θ

dθ

(1 + e cos θ)2= (1− e2)−3/2

√µ

a3dt (82)

Integrando a partir do periapsis∫ θ

0

dθ

(1 + e cos θ)2=

√µ/a3√

(1− e2)3

∫ t

T0

dt =

√µ/a3√

(1− e2)3(t − T0)

(83)



Calculo do IntegralI Problema: calcular ∫ θ

0

dθ

(1 + e cos θ)2(84)

I Tabelas:

Caso∫

dθ

(1 + e cos θ)n, n = 2 (85)

∫dθ

(1 + e cos θ)2=

−e sin θ

(1− e2)(1 + e cos θ)+

1

1− e2

∫dθ

1 + e cos θ(86)

I Resultado verificado por derivacao do resultado (intrincado. . . )

I Mudanca de variavel laboriosa: tan θ2 = x ⇒ cos θ = 1−x2

1+x2 comdθdx = 2

1+x2 pode obter-se o resultado (TPC!!!)



Mudanca de VariavelA mudanca de variavel tambem funciona no integral original;simplificando, obtem-se∫

dθ

(1 + e cos θ)2=

2

(1− e)2

∫ [1− c

(x2 + c)2+

1

x2 + c

]dx , c =

1 + e

1− e(87)

O resultado e diferente para e < 1 e para e > 1∫dθ

(1 + e cos θ)2

e < 1 : =1

1− e2

[−e sin θ

1 + e cos θ+

2√1− e2

arctan

(√1− e2

1 + etan

θ

2

)](88)

e > 1 : =1

e2 − 1

[e sin θ

1 + e cos θ− 1√

e2 − 1log

(√e + 1 +

√e − 1 tan θ

2√e + 1−

√e − 1 tan θ

2

)](89)



Tempo em Funcao da Anomalia VerdadeiraFinalmente, o tempo em funcao da anomalia verdadeira e escritopara orbitas elıpticas e hiperbolicas

e < 1 : te =a3/2

√µ

[2 arctan

(√1− e

1 + etan

θ

2

)− e

√1− e2 sin θ

1 + e cos θ

](90)

e > 1 : th =a3/2

√µ

[e√

e2 − 1 sin θ

1 + e cos θ− log

(√e + 1 +

√e − 1 tan θ

2√e + 1−

√e − 1 tan θ

2

)](91)

Equacoes na forma adimensional com a substituicao

τe = te

√µ

2πa3/2(92)

τh = th

√µ

a3/2(93)



Representacao Grafica — Orbitas ElıpticasFonte: Thomson

Tempo adimensional τe vsanomalia verdadeira θ

I Solucao grafica da equacaode Kepler para orbitaselıpticas

I Tempo adimensional

τe = te√

µ

2πa3/2

I Graficos permitem solucaoaproximada — curvasdiferentes para cada valor daexcentricidade e < 1

I Solucao simetrica para asduas metades da orbita poiseixo maior e eixo de simetria



Representacao Grafica — Orbitas HiperbolicasFonte: Thomson

Tempo adimensional τh vs anomaliaverdadeira θ

I Solucao grafica da equacao deKepler para orbitas hiperbolicas

I Tempo adimensional

τh = th√

µ

a3/2

I Graficos permitem solucaoaproximada — curvas diferentespara cada valor da excentricidadee > 1

I Solucao simetrica para as duasmetades simetricas da orbitadivididas pelo periapsis



Resolver a equacao de Kepler

I A equacao de Kepler etranscendente, so pode serresolvida numericamente quando sesabe t e se pretende calcular oangulo

I Muitas tentativas de resolver aequacao de Kepler, e muitosalgoritmos

I Quando a excentricidade e elevada,certos algoritmos falham

I A equacao de Kepler e fundamental para resolver problemas deMecanica Orbital

I Para orbitas nao elıpticas a equacao e diferente



Sumario




Leis de Kepler







Insercao em Orbita

F

~eθ

~r0

~v0

γ0

θ0

~rp

Insercao em Orbita

I ~r0, ~v0 sao as condicoes iniciais e definemo plano da orbita (~h = ~r0 × ~v0 = Cte)

I O angulo γ entre ~v e a direccaotransversal ~eθ e o flight path angle

I Relativamente as condicoes iniciais, quala orbita em que a partıcula se encontra?

I Especificar orbita no plano ⇒ determinar{a, e} e θ0 (i.e. a orientacao da orbita)

I O valor algebrico do momento angular ~h pode ser determinadoem qualquer instante utilizando γ; no instante escolhido t0:

h = r v sin( ˆr , v) ⇒ h = r0v0 cos γ0 (94)



Velocidade Radial na Orbita

I A componente radial da velocidade r pode ser obtidadiferenciando a equacao da orbita

ddt

(1

r=

1 + e cos θ

p

)⇒ − r

r2= −e sin θ

pθ (95)

I Ou seja, usando r2θ = h, p = h2/µ e resolvendo para r

r =µ

he sin θ (96)

I r sera nulo quando θ = 0, π ⇒I vr ≡ θ = 0 no periapsis e no apoapsisI A velocidade e perpendicular ao vector posicao no periapsis e no

apoapsis (so tem componente tangencial)I h = r v cos γ = rpvp = rava



Orbita Deduzida a Partir de Condicoes Iniciais

I No ponto inicial de insercao tem-se

r0 = [r ]θ=θ0 = (~v0)r = v0 sin γ0 (97a)

θ0 = [θ]θ=θ0 ⇒ r0θ0 = (~v0)θ = v0 cos γ0 (97b)

I Utilizando (97a) e (96) para r no ponto inicial

r0 =µ

he sin θ0 = v0 sin γ0 (98)

I Utilizando a expressao do momento angular no pontoh = r0v0 sin γ0 e simplificando

e sin θ0 =r0v

20

µsin γ0 cos γ0 (99)



Anomalia Verdadeira Inicial θ0

I Invertendo a equacao da orbita 1r0

= µh2 (1 + e cos θ0) e

utilizando o momento angular novamente

e cos θ0 =h2

µ

1

r0− 1 =

r20 v2

0 cos2 γ0

µr0− 1 =

r0v20

µcos2 γ0 − 1

e cos θ0 =r0v

20

µcos2 γ0 − 1 (100)

I Dividindo termo a termo as equacoes (99) e (100) anteriores, olado esquerdo simplifica para e sin θ0

e cos θ0= tan θ0 e

tan θ0 =

(r0v2

0µ

)sin γ0 cos γ0(

r0v20

µ

)cos2 γ0 − 1

(101)



Sinal de γ e Quadrante da OrbitaNotas importantes sobre

tan θ0 =

r0v20

µsin γ0 cos γ0

r0v20

µcos2 γ0 − 1

I vr = r = µeh sin θ ⇒ γ > 0 nos 1o e 2o Quadrantes

I γ e θ tem que ser determinados para localizacao na orbita —todas as solucoes possıveis devem ser consideradas!

I Sinal de γ permite determinar quadrante a que pertence θ

Ir0v

20

µ cos2 γ0 = 1 ⇒ θ0 = 90◦

Ir0v

20

µ cos2 γ0 > 1, γ0 > 0[< 0] ⇒ θ0 ∈ 1o[3o] Quadrante

Ir0v

20

µ cos2 γ0 < 1, γ0 > 0[< 0] ⇒ θ0 ∈ 2o[4o] Quadrante



Excentricidade em Funcao das Condicoes IniciaisQuadrando e somando (99) e (100)

(e sin θ0)2 + (e cos θ0)

2 = e2(sin2 θ0 + cos2 θ0) = e2

=

(r0v

20

µ

)2

sin2 γ0 cos2 γ0+

(r0v

20

µ

)2

cos4 γ0−2

(r0v

20

µ

)cos2 γ0+1

=

[(r0v

20

µ

)2

cos2 γ0

] (cos2 γ0 + sin2 γ0

)︸︷︷︸= 1

− 2

(r0v

20

µ

)cos2 γ0 + sin2 γ0 + cos2 γ0

=

[(r0v

20

µ

)2

− 2

(r0v

20

µ

)+ 1

]cos2 γ0 + sin2 γ0

⇒ e2 =

(r0v

20

µ− 1

)2

cos2 γ0 + sin2 γ0 (102)



Semi-Eixo Maior e Outras Notas

Semi-Eixo maior e Condicoes Iniciais

Da equacao da energia (para hiperboles, a < 0)

− 2µr02aµ

=2r0v

20

2µ− 2

r0µ

µr0⇒ a

r0=

1

2− r0v20

µ

(103)

Notas

I Dimensoes fısicas der0v2

0µ :

[r0v2

0µ

]= LL2T−2

M L3T−2

M

= adimensional

I Equacoes validas para qualquer instante, nao so para o inicial

I γ0 6= 0 ⇒ e 6= 0 i.e. orbita circular nao e possıvel

I γ0 = 0 ⇒ r0 e periapsis, apoapsis ou a orbita e circular (ver aseguir)



r0v20

µ e Tipo de Orbita

Da equacao de e verifica-se que

I Se tem orbitas elıpticas, parabolicas ou hiperbolicas consoanter0v2

0µ < 2,

r0v20

µ = 2 our0v2

0µ > 2

I TPC: mostrar que este resultado nao depende do valor de γ0

I Grafico polar de e(γ0) para diversos valores der0v2

0µ demonstra

este resultado:I e = distancia ao centro

I ε = .05 e curvas para

A =r0v2

0µ = 2, 2± ε, 2± 2ε, etc.

I Linhas verdes: A < 2 ⇒ e < 1

I Linhas azuis: A > 2 ⇒ e > 1

I Linha vermelha:A = 2 ⇒ e = 1



Relacao Entre e e r0v20

µ para cada γ0

Fonte: Thomson

I Desta figuratambem severifica relacaoentre tipo deorbita eparametro

r0v20

µ

I Na figura:K ≡ µ, β0 ≡ γ0

I e < 0 correspondea orbitas rodadasπ (ver a frente)



Caso de Satelite lancado com γ0 = 0

Notas

I γ0 = 0 ⇒ r0 e periapsis, apoapsis ou a orbita e circular

I Tem-se e = ±(

r0v20

µ − 1)

I Facil ver o tipo de orbita

I Orbita circular e = 0 ⇒ v0 =√

µr0

I Velocidade de escape e = 1 ⇒ v0 =√

2µr0

I Estando no apoapsis, pode-se considerar e negativo i.e.

p

r= 1 + e cos(θ − π) = 1− e cos θ = 1 + e ′ cos θ (104)

com e ′ = −e < 0 corresponde a orbita rodada π no plano

I e > −1 pois caso contrario nao estaria no ponto considerado



Caso γ0 = 0 — Representacao GraficaFonte: Thomson

I Satelite lancadocom γ0 = 0

I Se velocidadenao esuficientementeelevada o pontor0 e o apoapsis enao o periapsis

I Esse caso eequivalente a tere < 0



Sumario




Leis de Kepler







Estabilidade das Orbitas

Orbitas Parabolicas

I Se alguma perturbacao altera ligeiramente a orbita elatransforma-se em orbita elıptica ou orbita hiperbolica

I Impossıvel saber tipo de orbita quando e ' 1

Orbitas Circulares

I Orbita circular e caso especial de orbita elıptica

I Quando orbita circular sofre uma perturbacao, o resultado eainda aproximadamente uma orbita circular?

I Estudo da estabilidade das orbitas circulares



Perturbacao de Uma Orbita Circular

I Sistemas de forcas centrais atractivas — orbitas circularessempre possıveis com a velocidade certa (forca aplicada = forcacentrıfuga)

I Componente radial da equacao da forca para orbita circular deraio r0

− r0θ2 = f (r0) (105)

I Instabilidade radial r1 : r = r0 + r1; r deve verificar a e que geral

r − r θ2 = f (r), r2θ = h ⇒ r − h2

r3= f (r) (106)

I Mas, como r1 e pequena perturbacao, r1/r0 � 1

r = r0

(1 +

r1r0

), r0 = Cte ⇒ r = r1 (107)



Desenvolvimentos em Serie

I Lembrando que

1

(1± x)α= 1∓ αx ± α(α + 1)

x2

2!∓ . . . (108)

I O desenvolvimento em serie de h2/r3

h2

r3=

h2

r30 (1 + r1/r0)3

=h2

r30

(1− 3

r1r0

+ 6r21

r20

− . . .

)(109)

I A serie de Taylor de uma funcao geral f (r) em torno de r0 e(r1 = r − r0)

f (r) = f (r0) + r1f′(r0) +

r21

2f ′′(r0) + . . . (110)



Equacao da Estabilidade LinearI Substituindo na equacao da orbita (106) e mantendo so termos

de ordem 1 e sabendo que − h2

r30

= f (r0)

r1 −h2

r03

(1− 3

r1r0

)= f (r0) + r1f

′(r0) (111)

I Resulta finalmente a equacao que rege a perturbacao

r1 −[

3

r0f (r0) + f ′(r0)

]r1 = 0 (112)

I Equacao diferencial do oscilador harmonico — de 2a ordemlinear, homogenea, de coeficientes constantes

I Solucoes gerais: Ci exp (λi t), λi = ±√

3r0

f (r0) + f ′(r0), i = 1, 2

I Se exponenciais sao reais nao ha estabilidade; Estabilidade para

3

r0f (r0) + f ′(r0) < 0 (113)



Aplicacao: Estabilidade das Orbitas Circulares Gravıticas

Caso f (r) = − µ

rn

3

r0f (r0) + f ′(r0) = − 3µ

rn+10

+nµ

rn+10

=(n − 3)µ

rn+10

(114)

Caso f (r) = − µ

r 2

n = 2 :3

r0f (r0) + f ′(r0) = − µ

rn+10

< 0 ⇒ Orbita estavel

(115)

TPC: Mostrar que no caso de forca gravıtica e perturbacao inicial

r1(0) a velocidade angular se torna θ = hr20

(1− 2r1(0)

r0cos√

µr30t

)Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Orbitas Keplerianas IST, LEAero, Satelites 79 / 88


Sumario




Leis de Kepler







O vector de Laplace-Runge-Lenz e Orbitas Keplerianas

I Equacao das orbitas pode ser obtida por um metodo algebricoutilizando apenas tecnicas de analise vectorial

I O metodo faz uso de uma quantidade conservada (integral domovimento) pouco usual — o vector de Laplace-Runge-Lenz,tambem conhecido por vector excentricidade ou vector deLaplace

I Conhecimento do vector de Laplace-Runge-Lenz tambempermite estudar as propriedades de simetria e ajuda a descrevera orbita no espaco de modo simples

I Generalizacoes destas ideias podem ser encontradas emquestoes mais avancadas



Manipulacao Algebrica

I ~h = ~r × ~r ⊥ ~r ,~r ⇒ ~r × ~h pertence ao plano da orbita

I Como ~h = 0 em orbitas keplerianas entao

ddt

(~v × ~h

)=

ddt

(~r × ~h

)= ~r × ~h

+ ~r × ~h︸︷︷︸= 0

(116)

I Utilizando a definicao de ~h = ~r × ~r = ~r × ~v e a equacao domovimento ~r = − µ

r2~er = − µr3~r obtem-se

ddt

(~v × ~h

)= − µ

r3~r × (~r × ~r) (117)

I Notando que ~r ≡ ~v e utilizando a conhecida igualdade vectorial

~a× (~b × ~c) = (~a · ~c)~b − (~a · ~b)~c (118)

e notando que ~r · ~rr = ~v · ~r

r = ~v · ~er = vr = r , r 6= |~r | ≡ |~v |



Integral do Movimento

I O lado direito da expressao (117) simplifica-se

− µ

r3

[~r × (~r × ~r)

]= − µ

r3

[(~r · ~r)~r − (~r ·~r)~r

]=

µ

r3

[r2~r − (~r · ~v)~r

]=

µ

r2

[r~r − (~er · ~v)~r

]=

µ

r~r − µ

r2vr︸︷︷︸= r

~r = µ

(~r

r− r~r

r2

)= µ

ddt

(~r

r

)(119)

I Encontra-se assim mais um integral do movimento

ddt

(~r × ~h

)= µ

ddt

(~r

r

)⇔ d

dt

(~r × ~h − µ

~r

r

)= 0

⇒ µ~A ≡(~r × ~h − µ

~r

r

)= ~C = Cte (120)



O Vector de Laplace-Runge-Lenz (LRL)

I Denominou-se a constante do movimento ~C ≡ µ~A parafacilidade posterior de interpretacao

I O vector ~A e, por definicao, o vector de Laplace-Runge-Lenz

~A =1

µ

(~r × ~h − µ

~r

r

)(121)

I ~A e uma constante do movimento (nao independente de outrasja conhecidas)

I Que representa ~A?I ~A pertence ao plano do movimento pois ~r × ~h ⊥ ~h (normal ao

plano) e ~r ∈ planoI Conhecer ~A e saber quanto vale o seu modulo e direccao



Modulo de LRLI Determinando o modulo de ~A = ~r×~h

µ − ~rr atraves da sua norma

~A·~A =(~v × ~h)2

µ2+

~r ·~rr2−2

~r

r·~v × ~h

µ=

(~v × ~h)2

µ2+1− 2

µr(~r ·~v×~h)

(122)I A expressao simplifica-se lembrando do calculo vectorial que

(~a× ~b)2 = |~a|2|~b|2 − (~a · ~b)2 , ~a · ~b × ~c = ~a× ~b · ~c (123)

I Substituindo na expressao

A2 =1

µ2

(v2h2− (~v · ~h)︸︷︷︸

=0(~v⊥~h)

)+1− 2

µr(~r × ~v︸︷︷︸

~h

· ~h

︸︷︷︸h2

) =h2v2

µ2+1−2h2

µr

=2h2

µ2

(v2

2− µ

r

)+1 =

2h2E

µ2+1 ⇒ A =

√1 +

2E h2

µ2= e

(124)Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Orbitas Keplerianas IST, LEAero, Satelites 85 / 88


Vector ExcentricidadeI O modulo do vector de Laplace-Runge-Lenz e a excentricidade,

daı a designacao de vector excentricidade ~e ≡ ~AI Um modo alternativo de determinar |~A| e utilizar a equacao da

orbita 1r = 1+e cos θ

h2/µ, a expressao (96) r = µe

h sin θ e r2θ = h

para determinar directamente o resultado:

A2 =2h2

µ2

(v2

2− µ

r

)+ 1 =

2h2

µ2

(r2 + r2θ2

2− µ

r

)+ 1

=h2µ2e2

µ2h2sin2 θ +

h2r2h2

µ2r4− 2h2(1 + e cos θ)

µh2/µ+ 1

= e2 sin2 θ +h4

µ2

(1 + e cos θ)2

h4/µ2− 2− 2e cos θ + 1

= e2 sin2 θ + 1 + e2 cos2 θ + 2e cos θ − 1− 2e cos θ

= e2( sin2 θ + cos2 θ) + 0 + 0 = e2 (125)

q.e.d.



Direccao do Vector Excentricidade

I Para determinar a direccao do vector excentricidade pode-secalcular o produto interno com ~r que, por definicao

~r · ~e = r e cos α (126)

onde α e o angulo entre os dois vectores

I Por outro lado

~r · ~e =~r · ~v × ~h

µ−

~r ·~rr

=

~h︷︸︸︷~r × ~v · ~h

µ− r2

r=

h2

µ− r (127)

I Igualando (126) e (127)

r e cos α =h2

µ− r ⇒ r =

h2/µ

1 + e cos α⇒ α = θ

(128)

O vector excentricidade tem a direccao do periapsis!



Ilustracao do Vector de Laplace-Runge-Lenz

F

r

~v

~v×~hµ −~r

r

~er~v

~v×~hµ

−~rr

~e

Vector de Laplace-Runge-Lenz ~e

I ~e = ~v×~hµ − ~r

r

I Aponta sempre para a direccao doperiapsis;

I Determina a direccao da linha dasapsides — util em transformacaode referenciais

I E uma constante do movimento

I Vector de Laplace-Runge-Lenz pode ser utilizado em calculosmais sofisticados e estudo das propriedades de simetria dasorbitas

I Quando as perturbacoes orbitais sao importantes a variacao dovector de Laplace-Runge-Lenz pode ser utilizada paradeterminar a precessao do periapsis da orbita


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Sumário - Técnico Lisboa - Autenticação · Orbitas de Planetas e Satélites´ Leis de Kepler ... Areas iguais varridas em tempos iguais —´ 2a Lei de Kepler! I E consequência