TT009 Matem´atica Aplicada I Prova Final, 3 Set 2003 Prof ... · 3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; n˜ao escreva fora dos espa¸cos designados, e seja sucinto(a)!

TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ANDRESSA GUADAGNIN Assinatura:

ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.

1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,

[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,

Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.

SOLUCAO DA 1a Questao:

Continue a solucao no verso =⇒

2 [1,5] Considere a funcaof(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).

Responda, justificando:

a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?

b) [0,5] As derivadas parciais∂u

∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂x,

∂v

∂y

sao contınuas em todos os pontos do eixo real?

c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?



3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacos designados, eseja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas, e f(x) e g(x) sao funcoes reaisgenericas.

Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao

y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea

Faca y = u(x)v(x), substitua e resolva umaequacao homogenea para u(x).

ay′′ + by′ + cy = f(x)

x2y′′ + xy′ + y = 0

x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0

4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).



5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por

F [f(x)](k) ≡∫ ∞

−∞f(x)e−ikx dx

tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],

e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).



TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CLARISSA SEKULA Assinatura:

ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis paravoce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados:o texto fora destes espacos nao sera considerado na correcao. Boa prova.


[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,




2 [1,5] Considere a funcao

f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).




∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂x,

∂v

∂y





3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacosdesignados, e seja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas,e f(x) e g(x) sao funcoes reais genericas.



Faca y = u(x)v(x), substitua e re-solva uma equacao homogenea parau(x).

ay′′ + by′ + cy = f(x)

x2y′′ + xy′ + y = 0

x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0





F [f(x)](k) ≡∫ ∞






TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CESAR A. DA SILVA Assinatura:



[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,





f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).




∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂x,

∂v

∂y









ay′′ + by′ + cy = f(x)

x2y′′ + xy′ + y = 0

x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0





F [f(x)](k) ≡∫ ∞






TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GIANE R. GMACH Assinatura:



[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,





f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).




∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂x,

∂v

∂y









ay′′ + by′ + cy = f(x)

x2y′′ + xy′ + y = 0

x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0





F [f(x)](k) ≡∫ ∞






TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GILBERTO MAZER KUBIS Assinatura:



[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,





f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).




∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂x,

∂v

∂y









ay′′ + by′ + cy = f(x)

x2y′′ + xy′ + y = 0

x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0





F [f(x)](k) ≡∫ ∞






TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: HELDER RAFAEL NOCKO Assinatura:



[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,





f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).




∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂x,

∂v

∂y









ay′′ + by′ + cy = f(x)

x2y′′ + xy′ + y = 0

x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0





F [f(x)](k) ≡∫ ∞






TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: LEANDRO BERGMANN TAYTELBAUM Assinatura:



[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,





f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).




∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂x,

∂v

∂y









ay′′ + by′ + cy = f(x)

x2y′′ + xy′ + y = 0

x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0





F [f(x)](k) ≡∫ ∞






TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARCELO ANDRIONI Assinatura:



[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,





f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).




∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂x,

∂v

∂y









ay′′ + by′ + cy = f(x)

x2y′′ + xy′ + y = 0

x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0





F [f(x)](k) ≡∫ ∞






TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: OTHAVIO TONIASSO TAKEDA Assinatura:



[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,





f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).




∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂x,

∂v

∂y









ay′′ + by′ + cy = f(x)

x2y′′ + xy′ + y = 0

x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0





F [f(x)](k) ≡∫ ∞






TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PALOMA GIOVANA FARIA Assinatura:



[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,





f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).




∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂x,

∂v

∂y









ay′′ + by′ + cy = f(x)

x2y′′ + xy′ + y = 0

x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0





F [f(x)](k) ≡∫ ∞






TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RAFAEL CABRAL GONCALVES Assinatura:



[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,





f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).




∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂x,

∂v

∂y









ay′′ + by′ + cy = f(x)

x2y′′ + xy′ + y = 0

x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0





F [f(x)](k) ≡∫ ∞






TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RICARDO FURLAN Assinatura:



[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,





f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).




∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂x,

∂v

∂y









ay′′ + by′ + cy = f(x)

x2y′′ + xy′ + y = 0

x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0





F [f(x)](k) ≡∫ ∞






TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:



[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,





f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).




∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂x,

∂v

∂y









ay′′ + by′ + cy = f(x)

x2y′′ + xy′ + y = 0

x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0





F [f(x)](k) ≡∫ ∞









[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,





f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).




∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂x,

∂v

∂y









ay′′ + by′ + cy = f(x)

x2y′′ + xy′ + y = 0

x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0





F [f(x)](k) ≡∫ ∞









[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,





f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).




∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂x,

∂v

∂y









ay′′ + by′ + cy = f(x)

x2y′′ + xy′ + y = 0

x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0





F [f(x)](k) ≡∫ ∞






TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO(A) PERFEITO(A) Assinatura:



[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,



Solucao:

[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = (a · c)b− (a · b)c+ (c · b)a− (c · a)b+ (b · a)c− (b · c)a = 0


2 [1,5] Considere a funcaof(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).



∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂x,

∂v

∂y




Item a:

∂u

∂x= −3x2;

∂v

∂y= 12xy − 3x2; y = 0 ⇒ ∂u

∂x=

∂v

∂y.

∂u

∂y= 6y; −∂v

∂x= 6xy − 6y2; y = 0 ⇒ ∂u

∂y= −∂v

∂x.

Sim, as condicoes sao satisfeitas em todos os pontos em que y = 0 (eixo real).Item b:Sim: Todas as derivadas parciais acima sao polinomios em x e y, e consequentemente funcoes contınuas.Item c:As equacoes de Cauchy-Riemman sao uma condicao necessaria, porem nao suficiente, de analiticidade em umponto. Quando, alem de valerem as equacoes de C-R, as derivadas ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x e ∂v/∂y sao contınuasno ponto, f(z) e analıtica no ponto. Portanto, f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo y = 0.


3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacos designados, eseja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas, e f(x) e g(x) sao funcoes reaisgenericas.



Faca y = u(x)v(x), substitua e resolva umaequacao homogenea para u(x).

ay′′ + by′ + cy = f(x) EDO, linear, ordem 2,nao-homogenea

Posso usar:

• o metodo da variacao de constantes,y = A(x)eλ1x + B(x)eλ2x, onde λ1 eλ2 sao raızes (talvez complexas) deaλ2 + bλ + c = 0, ou

• transformada de Laplace, ou

• transformada de Fourier (entre ou-tros).

x2y′′ + xy′ + y = 0 EDO, linear, ordem 2,homogenea (coeficientesnao-constantes)

Equacao de Euler: tente y = xα.

x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0 EDO, linear, ordem 2,homogenea (coeficientesnao-constantes)

Equacao de Bessel de ordem 1: solucaopelo metodo de Frobenius (series): uma vezobtida uma solucao de 1a especie, J1(x),posso tentar uma solucao LI (de 2a es-pecie) do tipo A(x)J1(x), ou ln xJ1(x) +∑

anxn+s.



A decomposicao em fracoes parciais e

2s2 + s + 1

s3 + s2 + s + 1=

s

s2 + 1︸︷︷︸L−1 cos t

+1

s + 1︸︷︷︸L−1e−t

;

donde:f(t) = e−t + cos t



F [f(x)](k) ≡∫ ∞





Aplicando diretamente a relacao acima,

F [δ(x)] = 1 = ikF [H(x)] ⇒ F [H(x)] =1

ik


TT009 Matematica Aplicada IP10, 11 Jul 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:


1 [10,0] A viga em balanco da figura tem um carregamento distribuıdo triangular variando de 0 em x = 0 atew0 em x = 2L. Ha tambem uma carga concentrada de intensidade w0L em x = L.

a) Escreva uma equacao para o carregamento distribuıdo total sobre a viga, w(x), que inclua as reacoes deapoio A e B, a carga concentrada em x = L e o carregamento triangular, usando as distribuicoes δ(x) eH =

∫ x

−∞ δ(ξ) dξ.

b) Integre as condicoes de equilıbrio∫∞−∞ w(x) dx = 0,

∫∞−∞ xw(x) dx = 0, e calcule as reacoes de apoio A

e B. O uso dos conceitos de teoria das distribuicoes e obrigatorio: resultados obtidos comconceitos elementares de mecanica nao serao considerados.

SOLUCAO DA 1a Questao:O carregamento distribuıdo total e

w(x) = Aδ(x) + Bδ(x− L)− w0Lδ(x− L)− [H(x)−H(x− 2L)]w0x

2L.

A 1a equacao de equilıbrio sera∫ +∞

−∞w(x) dx = A

∫ +∞

−∞δ(x) dx + B

∫ +∞

−∞δ(x− L) dx− w0L

∫ +∞

−∞δ(x− L) dx−

∫ +∞

−∞[H(x)−H(x− 2L)]

w0x

2Ldx

= A + B − w0L−w0

2L

∫ +∞

−∞[H(x)−H(x− 2L)]︸︷︷︸

u

x dx︸︷︷︸dv

= A + B − w0L−w0

2L

[x2

2[H(x)−H(x− 2L)]

]+∞

−∞︸︷︷︸=0

−∫ +∞

−∞

x2

2[δ(x)− δ(x− 2L)] dx

= A + B − w0L− w0L

= A + B − 2w0L = 0

A 2a equacao de equilıbrio sera∫ +∞

−∞xw(x) dx = A

∫ +∞

−∞xδ(x) dx + B

∫ +∞

−∞xδ(x− L) dx− w0L

∫ +∞

−∞xδ(x− L) dx−

∫ +∞

−∞[H(x)−H(x− 2L)]

w0x2

2Ldx

= 0 + BL− w0L2 − w0

2L

∫ +∞

−∞[H(x)−H(x− 2L)]︸︷︷︸

u

x2 dx︸︷︷︸dv

= 0 + BL− w0L2 − w0

2L

[x3

3[H(x)−H(x− 2L)]

]+∞

−∞︸︷︷︸=0

−∫ +∞

−∞

x3

3[δ(x)− δ(x− 2L)] dx

= 0 + BL− w0L

2 − 4w0L2

3

= 0 + BL− 7w0L2

3= 0

Resolvendo o sistema de equacoes,

A = −13w0L,

B =73w0L


TT009 Matematica Aplicada IP11, 25 Jul 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO(A) PERFEITO(A) Assinatura:


1 [10,0] Obedecendo as definicoes,

f(k) ≡∫ ∞

−∞f(x)e−ikx dx,

f(x) ≡ 12π

∫ ∞

−∞f(k)eikx dk,

se f(x) = e−|x|, calcule f(k). Sugestao: ao calcular f(k), use o fato de que f(x) e par, e use a formula deEuler para separar a parte real da parte imaginaria de eikx; uma das integrais resultantes, entao, se anulara;prossiga, calculando a integral restante.SOLUCAO DA 1a Questao:

f(k) =∫ ∞

−∞e−|x|e−ikx dx

=∫ ∞

−∞e−|x| (cos kx− ik sen kx) dx

=∫ ∞

−∞e−|x| cos kx dx− i

∫ ∞

−∞e−|x| sen kx dx︸︷︷︸

=0

= 2∫ ∞

0

e−x cos kx dx.

Para calcular esta ultima integral, uso novamente a formula de Euler: note que

<∫ ∞

0

e−xeikx dx

=

∫ ∞

0

e−x cos kx dx

(< significa a parte real). A integral complexa e mais facil!∫ ∞

0

e−xeikx dx =∫ ∞

0

e(ik−1)x dx

=1

(ik − 1)

∫ ∞

0

e(ik−1)x(ik − 1) dx

=1

(ik − 1)e(ik−1)x

∣∣∣∣∞0

= − 1(ik − 1)

=1 + ik

1 + k2.

Como desejamos duas vezes a parte real,

f(k) =2

1 + k2.

ATENCAO: Muitos de voces tentaram integrar∫ +∞

−∞e−|x| cos kx dx

por partes. Mas isto e impossıvel, pois a funcao e−|x| nao e diferenciavel em x = 0 (desenhe seu grafico paraconfirmar isto). Portato, era imprescindıvel usar a simetria do integrando, passar para 2

∫∞0

, e, para 0 ≤ x ≤ ∞,usar e−|x| = e−x.

TT009 Matematica Aplicada IP12, 04 Ago 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO(A) PERFEITO(A) Assinatura:


1 [10,0] Usando, necessariamente, a transformada de Fourier definida por

f(ω) ≡∫ ∞

−∞f(t)e−iωt dt ↔ f(t) =

12π

∫ ∞

−∞f(ω)eiωt dω,

Resolva a equacaodf

dt+

1T

f = δ(t).

Use o seguinte fato:12π

∫ ∞

−∞

eiωt

ω − adω =

ieiat, t > 0,

0 t < 0.

SOLUCAO DA 1a Questao:A transformada de Fourier da equacao diferencial e

iωf +1T

f = 1,

f

(iω +

1T

)= 1,

f

(ω +

1iT

)=

1i,

f =1i

1ω − i

T

Portanto

f(t) =1i

12π

∫ ∞

−∞

1ω − i

T

eiωt dω

=1i

12π

∫ ∞

−∞

eiωt

ω − iT

dω

=1iiei i

T t = e−t/T .




1 [10,0] Se f(t), f(ω) sao um par transformada/transformada inversa de Fourier, e f e uma funcao par comf(0) ≥ f(t),∀t, uma forma de enunciar o princıpio da incerteza e:

T ≡[∫ +∞

−∞|f(t)| dt

]/f(0), Ω ≡

[∫ +∞

−∞f(ω) dω

]/fmax, ΩT ≥ 2π.

Considere o par transformada/transformada inversa de Fourier de funcoes gaussianas:

f(t) =1√π

e−( tσ )2

↔ f(ω) = σe−(ωσ2 )2

.

Use a formula bem conhecida∫ +∞−∞ e−u2

du =√

π para mostrar que, no caso das gaussianas acima, ΩT = 2π,ou seja: vale a igualdade. No sentido de reduzir a incerteza, portanto, as gaussianas sao uma escolha otima.Sugestao: as gaussianas sao sempre positivas, portanto esqueca-se do modulo nas definicoes acima; alem disto,tanto f quanto f tem seus maximos na origem.


As integrais que aparecem nas definicoes de T e de Ω sao∫ +∞

−∞f(t) dt =

∫ +∞

−∞

1√π

e−(t/σ)2 dt

=σ√π

∫ +∞

−∞e−(t/σ)2 d(t/σ)

= σ;∫ +∞

−∞f(ω) dω =

2σ

∫ +∞

−∞σe−(ωσ/2)2 d(ωσ/2)

= 2√

π.

Portanto,

T =√

πσ,

Ω = 2√

π/σ,

ΩT = 2π




1 [10,0] Seja o problema∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0

Sujeito as condicoes de contorno

u(0, y) = 0, 0 < y < b,

u(a, y) = f(y) 0 < y < b,

u(x, 0) = u(x, b) = 0, 0 < x < a,

no domınio D retangular da figura.

a) [5,0] Faca u = X(x)Y (y); obtenha as equacoes diferenciais X ′′ − λX = 0 e Y ′′ + λY = 0. Resolva asequacoes diferenciais ordinarias e mostre que, a menos de uma constante multiplicativa, as solucoes temque ser X = senh(nπy/b) e Y = sen(nπx/b).

b) [5,0] Deduza que a solucao geral e u =∑∞

n=1 Qnsenh(nπx/b) sen(nπy/b), com

Qn =2

b senhnπab

∫ b

0

f(y) sennπy

bdy.


Tente

u = X(x)Y (y) ⇒ ∂2u

∂x2= X ′′Y,

∂2u

∂y2= XY ′′;

entao,

X ′′Y + XY ′′ = 0 ⇒ X ′′

X= −Y ′′

Y= λ ⇒ X ′′ − λX = 0, Y ′′ + λY = 0.

Neste ponto, a maioria dos alunos supos λ > 0 sem justificar o fato; isto e um erro grave. E preciso chegar aesta conclusao com o auxılio das condicoes de contorno. De fato,

Y =

λ < 0 ⇒ c1e

√−λx + c2e

−√−λx,

λ = 0 ⇒ c3 + c4x,

λ > 0 ⇒ c5 cos(√

λx) + c6 sen(√

λx).

De u(x, 0) = u(x, b) = 0, tem-se Y (0) = Y (b) = 0; note que uma solucao nao-trivial somente e possıvel noultimo caso, donde:

c5 cos(0) + c6 sen(0) = 0 ⇒ c5 = 0,

c6 sen(√

λb) = 0 ⇒√

λb = nπ, n = 1, 2, 3, . . . , ⇒ λ =n2π2

b2.

Levando este valor de λ na equacao diferencial ordinaria para X,

X ′′ − n2π2

b2= 0 ⇒ X(x) = d1 cosh

nπx

b+ d2senh

nπx

b.

Esta forma e equivalente a soma de duas exponenciais, e mais conveniente neste caso. Se voce utilizasseexponenciais, seria levado necessariamente ao mesmo resultado. Da condicao de contorno X(0) = 0, deduzo qued1 = 0, de forma que os u’s que atendem automaticamente as condicoes de contorno homogeneas sao do tipo

u = c6d2senhnπx

bsen

nπx

b.

Tento portanto uma solucao em serie do tipo

u(x, y) =∞∑

n=1

Qnsenhnπx

bsen

nπx

b.

Para calcular os Qn’s, uso a ultima condicao de contorno que resta, e que e nao-homogenea:

u(a, y) =∞∑

n=1

Qnsenhnπa

bsen

nπx

b= f(y)

∫ b

0

∞∑n=1

Qnsenhnπa

bsen

nπx

bsen

mπy

bdy =

∫ b

0

f(y) senmπy

bdy

Uso agora o fato de que∫ b

0sennπx

b senmπyb dy = 0, quando n 6= m, para obter:

Qnsenhnπa

b

∫ b

0

sen2 nπx

bdy =

∫ b

0

f(y) sennπy

bdy.

A integral do seno ao quadrado precisa ser calculada:∫ b

0

sen2 nπx

bdy =

b

nπ

∫ nπ

0

sen2 nπy

bdnπy

b

=b

nπ

∫ nπ

0

sen2u du

=b

nπ

[12

∫ nπ

0

(1− cos 2u) du

]=

b

2.

Finalmente,

Qnsenhnπa

b

b

2=

∫ b

0

f(y) sennπy

bdy,

Qn =2

b senhnπab

∫ b

0

f(y) sennπy

bdy.


TT009 Modelos Matemáticos em Engenharia Ambiental I

P1, 30 Abr 2003

Prof. Nelson Luís Dias

NOME: Assinatura:

IMPORTANTE: Leia atentamente todas as questões, e comece pelas mais fáceis para você. Re-solva as questões de forma limpa e organizada, nos espaços designados: o texto fora destesespaços não será considerado na correção. Boa prova.

1 [5,0] Seja E = e1, e2, e3 a base canônica em R3. Desejo construir uma base ortonormal dextrógira F =f1, f2, f3. Os vetores f1 e f2 são

f1 =1√3(1, 1, 1), (1)

f2 =1√6(2,−1,−1). (2)

a) [2,0] Mostre que

f3 =1√2(0, 1,−1). (3)

b) [3,0] Calcule a matriz de rotação [C] cujos elementos atendem a fj =∑

i Cijei.

SOLUÇÃO DA 1a Questão:

1a) é óbvia: f3 = f1 × f2.1b) é resolvida com Cij = (fj · ei), donde

[C] =

1/√

3 2/√

6 01/√

3 −1/√

6 1/√

21/√

3 −1/√

6 −1/√

2

.

Continue a solução no verso =⇒

2 [5,0] Calcule a área da superfície externa do parabolóide de revolução z = x2 + y2, x2 + y2 ≤ 1.SOLUÇÃO DA 2a Questão:

Com f(x, y) = x2 + y2, ∂f∂x = 2x, ∂f

∂y = 2y, e

S =∫∫

x2+y2≤1

√1 + 4x2 + 4y2 dydx

=∫ 2π

θ=0

∫ 1

r=0

√1 + 4r2 r drdθ

= π5√

5− 16



P2, 09 Mai 2003


NOME: Assinatura:


1 [5,0] Resolva a equação diferencial com a condição inicial a seguir:

dy

dx+ x2y = exp

(−x3

3

), y(0) = 1.

SOLUÇÃO DA 1a Questão:

Faça y = uv e obtenha

udv

dx+ v

du

dx+ x2uv = exp

(−x3

3

), (1)

u

[dv

dx+ x2v

]+ v

du

dx= exp

(−x3

3

); (2)

forçando o termo dentro dos colchetes a ser zero,

dv

v= −x2 dx (3)

ln |v| = −x3

3(4)

v = exp(−x3

3

). (5)

Levando de volta este resultado na equação diferencial,

du

dx= 1, (6)

u = x + C. (7)

A solução geral será y(x) = (x + C) exp(−x3

3 ); de y(0) = 1, C = 1 e, nalmente,

y(x) = (x + 1) exp(−x3

3). (8)


2 [5,0] Obtenha a solução geral de y′′ − 2y′ + y = exp(x)SOLUÇÃO DA 2a Questão:

A equação característica é λ2 − 2λ + 1 = 0, que possui raiz λ = 1 dupla. Uma solução da equaçãohomogênea, portanto, é y = C1 exp(x), onde C1 é uma constante. Para obter uma segunda solução LI, substituay = v(x) exp(x) na equação homogênea associada, obtendo

d2v

dx2exp(x) = 0, (9)

d2v

dx2= 0, (10)

v(x) = k1x + k2. (11)

Mas k2 simplesmente se incorporaria à primeira solução já obtida, de forma que a solução geral da equaçãohomogênea tem a forma yh(x) = C1 exp(x)+C2x exp(x). A busca da segunda solução LI da equação homogêneaassociada torna a obtenção da solução particular quase óbvia: tente de novo y = u(x) exp(x), mas agora substituana equação não-homogênea, obtendo

d2u

dx2exp(x) = exp(x), (12)

u(x) =x2

2. (13)

A solução particular desejada, portanto, é yp = x2

2 exp(x) e a solução geral da equação não-homogênea é

y(x) =[C1 + C2x +

x2

2

]exp(x). (14)



P3, 16 Mai 2003


NOME: Assinatura:


1 [10,0] Encontre a solução geral (isto é: encontre as séries de y1(x) e y2(x), onde y1 e y2 são duas soluçõeslinearmente independentes) de

y′′ + 5x3y = 0

pelo método de Frobenius.SOLUÇÃO DA 1a Questão:

Faça

y =∞∑

n=0

cnxn+s; (1)

derive termo a termo duas vezes e substitua na equação diferencial:

∞∑n=0

cn(n + s− 1)(n + s)xn+s−2 +∞∑

n=5

5cn−5xn+s−2 = 0. (2)

Isolando os 5 primeiros termos,

4∑n=0

cn(n + s− 1)(n + s)xn+s−2 +∞∑

n=5

[cn(n + s− 1)(n + s) + 5cn−5] = 0. (3)

Termo a termo, os 5 primeiros dão:

c0(s− 1)s = 0, (4)

c1s(s + 1) = 0, (5)

c2(s + 1)(s + 2) = 0, (6)

c3(s + 2)(s + 3) = 0, (7)

c4(s + 3)(s + 4) = 0. (8)

Então s = 0 ou s = 1 na equação em c0. Neste caso, as raízes da equação indicial diferem por um inteiro. Então,de acordo com Butkhov, s = 0 (a menor raiz) fornecerá a solução geral. Com s = 0, c0 e c1 são arbitrários (sãoas constantes da solução geral); c2 = c3 = c4 = 0 e a relação de recorrência é

cn = − 5cn−5

(n− 1)n. (9)

As duas soluções LI desejadas serão

y1 = 1− 14x5 +

172

x10 − 13024

x15 + . . . (10)

y2 = x− 16x6 +

1132

x11 − 16336

x16 + . . . (11)



P4, 23 Mai 2003


NOME: Assinatura:


1 [10,0] Encontre a solução geral da equação diferencial

2x2y′′ + 2xy′ + y = 0

na forma y = Ay1 + By2, onde y1 e y2 são duas soluções reais e linearmente independentes, e A e B sãoconstantes reais.SOLUÇÃO DA 1a Questão:

Esta é uma equação de Euler. Tente

y = xm, (1)

y′ = mxm−1, (2)

y′′ = m(m− 1)xm−2. (3)

Substituindo na equação diferencial,

(2m2 + 1)xm = 0 ⇒ m = ±√

22

i. (4)

As soluções portanto são do tipo

y = x±√

22 i = exp(±i

√2

2lnx), (5)

ou seja: há duas soluções LI complexas do tipo

yI = K1

[cos

(√2

2lnx

)+ i sen

(√2

2lnx

)], (6)

yII = K2

[cos

(√2

2lnx

)− i sen

(√2

2lnx

)]. (7)

Agora, escolha duas constantes complexas

K1 =A− iB

2, (8)

K2 =A + iB

2(9)

com A,B ∈ R e some yI e yII para obter, nalmente

y = A cos

(√2

2lnx

)+ B sen

(√2

2lnx

). (10)


TT009 Matematica Aplicada I P5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GABARITO

Assinatura:


1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,

f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)n!

(z − a)n,

mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) em torno de z = i e

1z + i

= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8− (z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .

(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:

f(z) =1

(z + i)⇒ f(i) =

−i

2, (1)

f (1)(z) =−1

(z + i)2⇒ f (1)(i) =

14, (2)

f (2)(z) =2

(z + i)3⇒ f (2)(i)

2!=

i

8, (3)

f (3)(z) =−6

(z + i)4⇒ f (3)(i)

3!=−116

, (4)

f (4)(z) =24

(z + i)5⇒ f (4)(i)

4!=−i

32. (5)

Observe que o sinal do termo em (z − i)3 no enunciado esta errado.


2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultado para mostrar rapidamenteque a serie de Laurent de

g(z) =1

z2 + 1em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

14

+i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .

Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:

1z2 + 1

=1

(z − i)1

(z + i)(6)

=1

(z − i)

[− i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8− (z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .

](7)

=−i

2(z − i)+

14

+i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . . (8)


TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEXANDRE SUZUKI KEMMELMEIERAssinatura:

ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.


f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,

mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e

1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .



2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de

g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEX CONSELVAN DE OLIVEIRAAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEXANDER C. HABITHAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ANDRESSA GUADAGNINAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ANTONIO ORIEL DA ROCHA JR.Assinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CAROLINE VALENTE BUHRERAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CLARISSA SEKULAAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CRISTIANE SCHAPPOAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CRISTINA OPPERMANNAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CESAR A. DA SILVAAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ELLEN CHRISTINE PRESTESAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GIANE R. GMACHAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GILBERTO MAZER KUBISAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GUILHERME WENDLER ALVESAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: HELDER RAFAEL NOCKOAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: JOAO PAULO CASTAGNOLIAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: LEANDRO BERGMANN TAYTELBAUMAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARCELO ANDRIONIAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARIANNE SCHAEFER FRANCAAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARTIN HOLDSCHMIDTAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: NAYANA G. M. SILVAAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: NILO AUGUSTO SANTOSAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: OTHAVIO TONIASSO TAKEDAAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PALOMA GIOVANA FARIAAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PETTY CRISTINA CORREA FERREIRAAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PRISCILA KARINA ALTVATERAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RAFAEL CABRAL GONCALVESAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RICARDO FURLANAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RODRIGO REKSIDLERAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: THAIS CRISTINA CAMPOS DE ABREUAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: WAGNER AKIHITO HIGASHIYAMAAssinatura:



f(z) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(z − a)n,


1

z + i= − i

2+

z − i

4+

i(z − i)2

8+

(z − i)3

16− i(z − i)4

32+ . . .




g(z) =1

z2 + 1

em torno de z = i e

g(z) =−i

2(z − i)+

1

4+

i(z − i)

8− (z − i)2

16− i(z − i)3

32+ . . .



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEXANDRE SUZUKI KEMMELMEIER Assinatura:

ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva

as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao

sera considerado na correcao. Boa prova.

1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2

possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por

c−1 = lims→a

(s − a)f(s).

Sabendo que, para t > 0,

limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,

use integracao sobre o contorno

ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral

1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds

para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!

x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (1)

Como os polos sao de ordem 1:

c−1(−iω) = lims→(−iω)

(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (2)

c−1(+iω) = lims→(iω)

(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (3)

Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:

1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (4)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (5)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(6)

=1

ωsen ωt. (7)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEX CONSELVAN DE OLIVEIRA Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (8)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (9)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (10)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (11)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (12)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(13)

=1

ωsen ωt. (14)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEXANDER C. HABITH Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (15)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (16)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (17)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (18)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (19)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(20)

=1

ωsen ωt. (21)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ANDRESSA GUADAGNIN Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (22)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (23)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (24)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (25)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (26)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(27)

=1

ωsen ωt. (28)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ANTONIO ORIEL DA ROCHA JR. Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (29)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (30)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (31)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (32)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (33)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(34)

=1

ωsen ωt. (35)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CAROLINE VALENTE BUHRER Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (36)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (37)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (38)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (39)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (40)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(41)

=1

ωsen ωt. (42)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CLARISSA SEKULA Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (43)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (44)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (45)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (46)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (47)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(48)

=1

ωsen ωt. (49)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CRISTIANE SCHAPPO Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (50)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (51)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (52)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (53)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (54)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(55)

=1

ωsen ωt. (56)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CRISTINA OPPERMANN Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (57)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (58)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (59)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (60)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (61)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(62)

=1

ωsen ωt. (63)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CESAR A. DA SILVA Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (64)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (65)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (66)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (67)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (68)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(69)

=1

ωsen ωt. (70)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ELLEN CHRISTINE PRESTES Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (71)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (72)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (73)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (74)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (75)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(76)

=1

ωsen ωt. (77)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GIANE R. GMACH Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (78)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (79)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (80)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (81)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (82)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(83)

=1

ωsen ωt. (84)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GILBERTO MAZER KUBIS Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (85)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (86)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (87)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (88)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (89)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(90)

=1

ωsen ωt. (91)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GUILHERME WENDLER ALVES Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (92)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (93)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (94)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (95)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (96)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(97)

=1

ωsen ωt. (98)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: HELDER RAFAEL NOCKO Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (99)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (100)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (101)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (102)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (103)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(104)

=1

ωsen ωt. (105)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: JOAO PAULO CASTAGNOLI Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (106)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (107)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (108)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (109)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (110)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(111)

=1

ωsen ωt. (112)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: LEANDRO BERGMANN TAYTELBAUM Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (113)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (114)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (115)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (116)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (117)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(118)

=1

ωsen ωt. (119)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARCELO ANDRIONI Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (120)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (121)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (122)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (123)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (124)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(125)

=1

ωsen ωt. (126)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARIANNE SCHAEFER FRANCA Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (127)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (128)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (129)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (130)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (131)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(132)

=1

ωsen ωt. (133)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARTIN HOLDSCHMIDT Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (134)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (135)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (136)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (137)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (138)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(139)

=1

ωsen ωt. (140)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: NAYANA G. M. SILVA Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (141)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (142)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (143)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (144)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (145)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(146)

=1

ωsen ωt. (147)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: NILO AUGUSTO SANTOS Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (148)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (149)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (150)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (151)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (152)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(153)

=1

ωsen ωt. (154)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: OTHAVIO TONIASSO TAKEDA Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (155)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (156)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (157)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (158)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (159)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(160)

=1

ωsen ωt. (161)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PALOMA GIOVANA FARIA Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (162)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (163)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (164)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (165)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (166)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(167)

=1

ωsen ωt. (168)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PETTY CRISTINA CORREA FERREIRA Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (169)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (170)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (171)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (172)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (173)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(174)

=1

ωsen ωt. (175)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PRISCILA KARINA ALTVATER Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (176)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (177)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (178)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (179)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (180)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(181)

=1

ωsen ωt. (182)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RAFAEL CABRAL GONCALVES Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (183)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (184)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (185)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (186)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (187)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(188)

=1

ωsen ωt. (189)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RICARDO FURLAN Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (190)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (191)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (192)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (193)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (194)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(195)

=1

ωsen ωt. (196)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RODRIGO REKSIDLER Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (197)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (198)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (199)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (200)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (201)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(202)

=1

ωsen ωt. (203)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: THAIS CRISTINA CAMPOS DE ABREU Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (204)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (205)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (206)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (207)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (208)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(209)

=1

ωsen ωt. (210)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: WAGNER AKIHITO HIGASHIYAMA Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (211)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (212)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (213)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (214)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (215)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(216)

=1

ωsen ωt. (217)



TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:




1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (218)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (219)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (220)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (221)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (222)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(223)

=1

ωsen ωt. (224)







1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (225)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (226)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (227)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (228)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (229)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(230)

=1

ωsen ωt. (231)







1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (232)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (233)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (234)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (235)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (236)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(237)

=1

ωsen ωt. (238)







1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (239)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (240)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (241)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (242)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (243)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(244)

=1

ωsen ωt. (245)







1 [10,0] A funcao

f(s) =est

s2 + ω2


c−1 = lims→a

(s − a)f(s).


limR→∞

∫

ABCD

f(s) ds = 0,



1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞

f(s) ds


x

y

γ

R

C

BA

D

−iω

+iω


Em s = ±ω:1

s2 + ω2=

1

(s − iω)(s + iω). (246)



(s + iω)e−iωt

(s − iω)(s + iω)=

e−iωt

−2ωi, (247)


(s − iω)eiωt

(s − iω)(s + iω)=

eiωt

2ωi. (248)


1

2πi

∫

ABCDA

f(s) ds =1

2πi

∫

DA

f(s) ds (249)

=1

2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (250)

=1

2ωi

[

eiωt− e−iωt

]

(251)

=1

ωsen ωt. (252)



TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEXANDRE SUZUKI KEMMELMEIER Assinatura:


1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e

ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,

obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.


Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:

ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].

A serie de Fourier sera

e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.


2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,

1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm

(m(inteiro) > 0)t(m−1)

(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)

e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:

y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.


A transformada de Laplace da equacao diferencial e:

s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.

A inversa e imediata, usando a tabela:

y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEX CONSELVAN DE OLIVEIRA Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEXANDER C. HABITH Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ANDRESSA GUADAGNIN Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ANTONIO ORIEL DA ROCHA JR. Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CAROLINE VALENTE BUHRER Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CLARISSA SEKULA Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CRISTIANE SCHAPPO Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CRISTINA OPPERMANN Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CESAR A. DA SILVA Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ELLEN CHRISTINE PRESTES Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GIANE R. GMACH Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GILBERTO MAZER KUBIS Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GUILHERME WENDLER ALVES Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: HELDER RAFAEL NOCKO Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: JOAO PAULO CASTAGNOLI Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: LEANDRO BERGMANN TAYTELBAUM Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARCELO ANDRIONI Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARIANNE SCHAEFER FRANCA Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARTIN HOLDSCHMIDT Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: NAYANA G. M. SILVA Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: NILO AUGUSTO SANTOS Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: OTHAVIO TONIASSO TAKEDA Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PALOMA GIOVANA FARIA Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PETTY CRISTINA CORREA FERREIRA Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PRISCILA KARINA ALTVATER Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RAFAEL CABRAL GONCALVES Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RICARDO FURLAN Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RODRIGO REKSIDLER Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: THAIS CRISTINA CAMPOS DE ABREU Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: WAGNER AKIHITO HIGASHIYAMA Assinatura:



ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.





ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.





ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.





ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.





ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.





ck =1L

∫ b

a

f(x)e−i2πkx

L dx,




ck =11

∫ 1

0

e−xe−i2πkx dx

=∫ 1

0

e−(i2πk+1)x dx

=−1

(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x

∣∣∣∣10

=−1

(i2πk + 1)

[e−(i2πk+1) − 1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk+1)

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−(i2πk)e−1

]=

1(i2πk + 1)

[1− e−1

].


e−x =+∞∑

k=−∞

1i2πk + 1

[1− e−1

]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.



1s− a

eat

1s2 + a2

sen at

as

s2 + a2cos at

1s2 − a2

senh at

as

s2 − a2cosh at

1sm


(m− 1)!

sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)


y(iv) − y = 0,

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1.



s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,

(s4 − 1)y − 1 = 0,

y =1

s4 − 1= −1

21

s2 + 1− 1

41

s + 1+

14

1s− 1

.


y(t) = −12

sen t− 14e−t +

14et.


TT708 Micrometeorologia e Dispersao AtmosfericaP1, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: Eduardo Calegari Assinatura:TT009 Matematica Aplicada I

1 [10,0] A definicao correta de umidade relativa e

y ≡ r/r∗,

onde r = ρv/ρs e a razao de mistura do ar e r∗ = ρ∗v/ρ∗s e a maxima razao de mistura possıvel a mesmatemperatura termodinamica T ; note que quando a atmosfera esta saturada, a pressao parcial do ar seco e p−e∗,e nao p− e; use este fato para mostrar que

y =e

e∗p− e∗

p− e≈ e

e∗.

TT708 Micrometeorologia e Dispersao AtmosfericaP1, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: Favia Rodrigues Assinatura:TT009 Matematica Aplicada I

1 [10,0] A definicao correta de umidade relativa e

y ≡ r/r∗,

onde r = ρv/ρs e a razao de mistura do ar e r∗ = ρ∗v/ρ∗s e a maxima razao de mistura possıvel a mesmatemperatura termodinamica T ; note que quando a atmosfera esta saturada, a pressao parcial do ar seco e p−e∗,e nao p− e; use este fato para mostrar que

y =e

e∗p− e∗

p− e≈ e

e∗.

TT009 Matematica Aplicada IP9, 04 Jul 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:


1 [10,0] Se

φn(x) =n

πl

1

1 +(

nxl

)2

mostre que:

a)∫ +∞

−∞φn(x) dx = 1, ∀n,

b) limn→∞

∫ +∞

−∞f(x)φn(x − a) dx = f(a),

e que portanto φn(x) e uma sequencia delta. Sugestao:

d

dxarctg x =

11 + x2

.

SOLUCAO DA 1a Questao: ∫ +∞

−∞

11 + x2

dx = 2∫ ∞

0

11 + x2

dx = 2 arctg x|∞0 = 2(π/2 − 0) = π;

y =n(x − a)

l,

dy =ndx

l,

x =ly

n+ a,

limn→∞

∫ +∞

−∞f(x)

n

πl

1

1 +(

n(x−a)l

)2 dx = limn→∞

∫ +∞

−∞f(

ly

n+ a)

1π

11 + y2

dy

= f(a)∫ ∞−∞

1π

11 + y2

dy = f(a).


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TT009 Matem´atica Aplicada I Prova Final, 3 Set 2003 Prof ... · 3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; n˜ao escreva fora dos espa¸cos designados, e seja sucinto(a)!