Um breve estudo de séries para o curso de Cálculo · PDF fileCAPÍTULO 1. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS 6 1.2 Seqüênciaslimitadas e Monótonas De nição 1.3. Uma seqüência (an) é

UESB-Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

Um breve estudo de séries para o curso deCálculoVersão 2.0

Laura Cristina Rodrigues Goulart

2017

Sumário

1 Seqüências Numéricas 3

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Seqüências limitadas e Monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Subseqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Resultados Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Séries Numéricas 13

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Teste da divergência(TD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Séries de Termos Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1 Teste da Comparação (TC) . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.2 Teste da Comparação por Limites(TCL) . . . . . . . . 16

2.3.3 Teste da Integral(TI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Séries Absolutamente Convergente . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Teste da Raiz(TRI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2 Teste da Razão(TRZ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Séries Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Séries de Potências 26

3.1 Introdução a seqüências de funções . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.1 Propriedades da Convergência Uniforme . . . . . . . . 27

3.2 Introdução a série de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.1 Raio de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Propriedades da Função Soma de uma Série de Potência . . . 30

3.5 Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5.1 Exercício Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2

Capítulo 1

SeqüênciasNuméricas

1.1 Introdução

Neste capítulo, introduziremos o conceito do que é uma seqüênciae faremos uma analogia entre o limite de uma função e a convergência deuma seqüência . Além disso, muitos dos resultados obtidos para limite serãorestringidos a seqüências , como por exemplo a regra de L'Hospital. Con-tudo, por se tratar de um caso particular de funções , para as seqüênciasacrescentaremos teoremas peculiares garantindo a sua convergência.

De�nição 1.1. Uma seqüência numérica real é uma função a : N → R

Notação : (an)

O número n é chamado de índice da seqüência e an o n-ésimo termoou termo geral.

Exemplo 1. A seqüência dos números pares: 0, 2, 4, . . . , 2n, . . .

Exemplo 2. A seqüência dos números ímpares: 1, 3, 5, . . . , 2n− 1, . . ..

Exemplo 3. A seqüência dos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . ..

Exemplo 4. an = n

Exemplo 5. an =1

n

A primeira observação obtida dos exemplos acima é que nem sempreuma seqüência é determinada por uma lei de formação (ver o exemplo 3).

Além disso, no exemplo 5 podemos observar que a partir de um certomomento, os elementos da seqüência se aproximam rapidamente do zero. Istomotiva a de�nição de seqüência convergente.

3

CAPÍTULO 1. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS 4

A idéia intuitiva de uma seqüência convergente é que a partir deum certo índice n0, os termos an estão bem próximos de uma determinadaconstante L e esta proximidade é medida pelo valor absoluto.

De�nição 1.2. Seja (an) uma seqüência numérica. Dizemos que (an) con-

verge para um número real L quando dado ϵ > 0, existe n0 tal que ∀n ≥ n0 ⇒|an − L| < ϵ.

Notação : an → L ou lim an = L.

É importante observar que dado ϵ > 0, o índice n0 será determinadoa partir dele, ou seja, o índice será interpretado como uma função de ϵ.

Exemplo 6. Vamos provar quen

n+ 1→ 1.

Dado ϵ > 0 queremos que |an − 1| < ϵ ⇔ | n

n+ 1− 1| = 1

n+ 1< ϵ ⇔

⇔ n >1

ϵ− 1.

Assim, dado ϵ > 0, existe n0 >1

ϵ− 1 tal que n ≥ n0 ⇒ |an − 1| < ϵ.

Para compreendermos que realmente n0 está �xado pelo ϵ, vamostomar valores para este último e observar como �cará o índice. Por exemplo,

tome ϵ =1

10e teremos que n0 = 9, enquanto que para ϵ =

1

100teremos que

n0 = 99.

Propriedades:

Sejam (an), (bn) seqüências numéricas tais que an → L1 e bn → L2.

Então:

(1) an + bn → L1 + L2

(2) can → cL1, onde c é uma constante real qualquer.

(3) an · bn → L1 · L2

(4) Se L2 ̸= 0 teremos queanbn

→ L1

L2

(5) |an| → |L1|

(6)Se f uma função contínua real, então f(an) → f(L1)


DEM:

(1) Como an → L1 e bn → L2 temos que ∀ϵ > 0,∃n1, n2 ∈ N tais que:

∀n ≥ n1, n ≥ n2 ⇒ |an − L1| <ϵ

2e |bn − L2| <

ϵ

2.

Tome n0 = max{n1, n2} e claramente obtemos:

∀n ≥ n0 ⇒ |(an+bn)−(L1+L2)| = |(an+L1)+(bn−L2)| < |an−L1|+|bn−L2| <ϵ

2+ϵ

2= ϵ.

Portanto, an + bn → L1 + L2

(2) Deixamos a cargo do leitor.

(3)Como (bn) é uma seqüência convergente temos que ela é limitada, e desta

maneira existe um número real M > 0 tal que |bn| ≤ M, ∀n ∈ N.

Como an → L1 e bn → L2 temos que ∀ϵ > 0, ∃n1, n2 ∈ N tais que

n ≥ n1, n ≥ n2 ⇒ |an − L1| <ϵ

(M + |L1|)e |bn − L2| <

ϵ

(M + |L1|).

Tome n0 = max{n1, n2}.

Daí,

|an · bn − L1 · L2| = |an · bn − bn · L1 + bn · L1 − L1 · L2| =.

= |(an − L1)bn + (bn − L2)L1| < |an − L1||bn|+ |bn − L2||L1| <

<ϵ

(M + |L1|)M +

ϵ

(M + |L1|)|L1| = ϵ

(4) Deixamos a cargo do leitor.

(5) Basta observar que ||x| − |y|| ≤ |x− y|.

(6) Seja ϵ > 0.

Como f é contínua segue para cada a ∈ R, existe δ > 0 tal que

|x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ϵ

Por outro lado, an → L1 temos que existe n0 tal que n ≥ n0 ⇒ |an−L1| < δ

Juntando os dois fatos acima, concluimos que n0 tal que n ≥ n0 ⇒

|an − L1| < δ ⇒ |f(an)− f(L1)| < ϵ e é o que queríamos.


1.2 Seqüências limitadas e Monótonas

De�nição 1.3. Uma seqüência (an) é limitada quando existe um número real

M > 0 tal que |an| ≤ M para todo n inteiro positivo.

Em outras palavras, o conjunto dos termos da seqüência é um con-junto limitado.

Podemos também dizer que uma seqüência é limitada quando exis-tem números reais A,B tais que A ≤ an ≤ B para n inteiro positivo. Osnúmeros A,B são chamados de limite inferior e limite superior, respectiva-mente.

Um exemplo claro é a seqüência an =1

nlimitada tanto pelo zero

quanto pelo 1.

Teorema 1.1. Toda seqüência convergente é limitada.

DEM:

Seja (an) uma seqüência tal que an → L.

Assim, pela própria de�nição , dado ϵ > 0, ∃n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 ⇒

|an − L| < ϵ ⇔ L− ϵ < an < L+ ϵ.

Tome A = {a1, . . . , an0 , L− ϵ, L+ ϵ} e considere α1 = minA, α2 = maxA.

Logo,α1 ≤ an ≤ α2.

Portanto, a seqüência é limitada.

Uma das aplicações deste lema é o fato de que seqüência ilimitadasnão serão convergentes; como é fácil veri�car no exemplo 1.4.

A recíproca do teorema 1.1 não é verdadeira e para veri�car isto,basta tomar a seqüência alternada (0,1,0,1,0,1,0,1,...) no qual é divergente elimitada. Porém, existe um resultado semelhante garantindo que um deter-minado tipo de seqüência converge e para isto de�niremos o que será umaseqüência monótona.

De�nição 1.4. Uma seqüência (an) é dita crescente quando an ≤ an+1 e

ela é dita decrescente quando an ≥ an+1. Uma seqüência é dita monótona

quando ela for crescente ou decrescente.

Os exemplos 4 e 5 são seqüências monótonas.

É importante notar que numa seqüência crescente, o primeiro termoé um dos seus limites inferiores, enquanto que numa seqüência decrescente,ele será um limite superior.


Teorema 1.2. Toda seqüência monótona e limitada é convergente.

DEM:

Seja (an) uma seqüência crescente e limitada.

Assim, a seqüência (an) possue um supremo S, e consequentemente

teremos que:

(i) an ≤ S para todo n.

(ii) ∀ϵ > 0,∃n0 tal que S − ϵ ≤ an0

Como a seqüência é crescente temos que n ≤ n0 ⇒

S − ϵ ≤ an ≤ S < S + ϵ ⇔ |an − S| < ϵ.

Portanto, an → S.

Observação 1. Uma seqüência convergente pode não ser monótona.

(an =(−1)n+1

n).

Observação 2. Uma seqüência monótona pode ser divergente. (an = n!).

Observação 3. Uma seqüência limitada pode ser divergente.(an = (−1)n)

1.3 Subseqüências

Ao eliminarmos alguns termos de uma seqüência , de maneira orde-nada, obtemos uma nova seqüência chamada de subseqüência .

De�nição 1.5. Dado um subconjunto S de N de�nimos como subseqüência

de uma seqüência como sendo a seqüência restrita a esse conjunto S.

Consideremos os exemplos 1 e 2 para entendermos melhor essa de�ni-ção, pois essas duas seqüências nada mais são que subseqüências do exemplo4.

Notação : (ank)

Teorema 1.3. Se an → L então ank→ L.

DEM:

Como an → L temos que ∀ϵ > 0, existe n0 tal que n ≥ n0 ⇒|an − L| < ϵ.

Observemos que nk ≥ k e portanto, k ≥ n0 ⇒ |ank− L| < ϵ.


Observação 4. Uma importante conseqüência deste lema é que o limite de

uma seqüência é único. Além disso, quando uma seqüência admite duas sub-

seqüências convergindo para pontos distintos teremos que essa seqüência é di-

vergente. Porém, se as subseqüências de índices pares e ímpares convergem

para o mesmo valor, teremos, claramente, a convergência da seqüência para

este valor.

Exemplo 7. an =

n+ 1

n, se n par

n− 1

n, se n ímpar

1.4 Resultados Importantes

Teorema 1.4. Sejam (an) e (bn) seqüências tais que an → 0 e (bn) é limitada.

Então anbn → 0.

Por exemplo, a seqüência an =cos(n3 + 5)

nconverge para zero, pois

cos(n3 + 5) é limitada e1

n→ 0.

Como uma seqüência é um tipo especial de função, é natural ques-tionar a sua diferenciabilidade. Além disso, prova-se que existe uma funçãof tal que f(n) = an e segue imediatamente quelimx→∞f(x) = L ⇒ an → L.

Teorema 1.5 (Regra de L'Hospital para Seqüências ). Sejam (an) e (bn)

seqüências com funções f, g derivavéis tais que f(n) = an, g(n) = bn, an → ∞ou 0, bn → ∞ ou 0. Se

limx→∞f ′(x)

g′(x)= L, então

anbn

→ L.

Esse último lema é uma versão da regra de L'Hospital para seqüên-cias e iremos aplicá-lo para estudar o comportamento da seqüência an =

n

lnn

Logo, limn

lnn= lim

11

n

= limn = ∞.

Teorema 1.6 (Teorema do Confronto para Seqüências ). Sejam (an), (bn), (cn)

seqüências tais que an ≤ cn ≤ bn. Se an, bn → L, então cn → L.

O próximo lema pode ser interpretado como: A média aritmética deuma seqüência converge para o mesmo limite da seqüência analisada.


Teorema 1.7. Se a seqüência (an) converge para L, então bn =a1 + a2 + . . .+ an

n→

L.

DEM:

Como lim an = L temos, pela de�nição , que para qualquer ϵ > 0,

existe n0 tal que n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ϵ

2.

Logo,

|an0+1 + . . .+ ann

| <

ϵ

2+ . . .+

ϵ

2n

=n− n0

n

ϵ

2<

ϵ

2.

Por outro lado, a1, . . . , an0 é uma quantidade �nita de números reais e

segue imediatamente que lima1 + . . .+ an0

n= 0.

Assim, existe n1 tal que n ≥ n1 ⇒ |a1 + . . .+ an0

n| < ϵ

2.

Tomemos n2 = max{n0, n1} e segue que |a1 + . . .+ an

n| = |a1 + . . .+ an0

n+

+an0+1 + . . .+ an

n| < |a1 + . . .+ an0

n|+ |an0+1 + . . .+ an

n| < ϵ

2+

ϵ

2= ϵ.

Portanto, bn =a1 + a2 + . . .+ an

n→ L.

Exercícios Resolvidos

(10) Estude o comportamento da seqüência an = rn para qualquer númeroreal r, no qual |r| ̸= 1.

Solução

(10 caso) 0 ≤ |r| < 1.

Observemos que a seqüência bn = |rn| = |r|n é decrescente e limitadainferiormente por 0 , e consequentemente |rn| → 0 ⇒ rn → 0.

(20 caso) |r| > 1.

Neste caso a seqüência bn considerada acima é claramente ilimitada,ou seja, ela é divergente.

Logo, rn também é divergente.

(20) Prove que n√n → 1.


Solução

Observemos que lim an = limn1n = ∞0 que se trata de uma

indeterminação .

Então vamos procurar uma função contínua e aplicar a propriedade

6, com o objetivo de "abaixar"o expoente 1n. Sendo assim, o leitor

perceberá que a função que se encaixa melhor é a logarítmica natural.

Seja f(x) = ln(x) e segue que lim ln(an) = ln(lim an).

Logo,

lim lnn1n = lim

lnn

n= lim

1n

1= 0.

Contudo, a função logarítmica natural é bijetora, ou seja, lim ln(an) =

0 = ln(lim an) ⇔ lim an = 1.

(30) Estude o comportamento das seqüências abaixo:

(a) an = (−1, 1/2, 3, 1/4,−5, 1/6, ...)

(b) an =3n3 + 1

2n3 + 2

Solução :

(a) A seqüência admite uma subseqüência convergindo para zero, po-rém existe uma outra subseqüência divergente.

Portanto, (an) é divergente.

(b) lim3n3 + 1

2n3 + 1= lim

n3(3 + 1/n3)

n3(2 + 1/n3)=

lim(3 + 1/n3)

lim(2 + 1/n3)=

lim 3 + lim 1/n3

lim 2 + lim 1/n3=

=3 + 0

2 + 0=

3

2.

(4o) Mostre que√

6 +√

6 +√6 + · · · = 3

Solução :

A idéia aqui é contruir uma seqüência para depois veri�car a sua con-vergência.

Tomemos a0 =√6 e an =

√6 + an−1.

Vamos supor que an → L , e logo, an−1 → L por se tratar de umasubseqüência .

Assim,

L = lim an = lim√6 + an− =

√lim(6 + an−1) =

√6 + L ⇒ L2 = 6+L ⇒ L = 3 ou L = −2.

Como an é uma seqüência de termos positivos teremos que L = 3.


Exercícios Propostos

1. Estude a convergência das seqüências abaixo:

(a) an = (0, 1, 0, 1, 0, 1, · · · )(b) an = n

√3

(c) an =1

2n

(d) an =1

nn

(e) an =en

n

(f) an =2n

5n

(g) an = 2−ncosn

(h) an = n√n!

(i) an =n

n+ senn

(j) an = (1 +3

n)n

(k) an = n√1 + 2n

(l) an =(2n− 1)!

(2n)!

(m) an = (1− 2

n)n

(n) an = cos(nπ)

(o) an =∫ n

1

1

xdx

2. Calcule limn→∞ sn, onde sn =∑‘n

k=1(1

k− 1

k + 1).

3. Considere a seqüência (an) tal que an → L. Mostre que:

(a) cn = n√a1 · a2 · ·an → L

(b) Suponha quean+1

an→ L e então n

√an → L

4. Prove que lim (1 + 1/n)n = e.

5. Coloque V(verdadeiro) ou F(falso), justi�cando-se:

(a) ( ) toda seqüência convergente é limitada.

(b) ( ) toda seqüência limitada é convergente.

(c) ( ) toda seqüência limitada é monótona.


(d) ( ) toda seqüência monótona é convergente.

(e) ( ) toda seqüência divergente é não monótona.

(f) ( ) se uma seqüência possui uma subseqüência convergente, elaprópria converge.

(g) ( ) o limite de uma seqüência é único.

(h) ( ) toda seqüência decrescente e limitada converge para zero.

(i) ( ) se an ≤ bn tal que (an) é crescente e (bn) converge, então (an)também converge.

6. Considere a ∈ R um inteiro positivo. Mostre que a sequência xn =1

2

(xn−1 +

a

xn−1

)converge para

√a.

Capítulo 2

Séries Numéricas

2.1 Introdução

Neste capítulo, consideraremos uma seqüência e a partir daí, so-mando os seus termos, construiremos uma outra, no qual o limite receberáo nome de série numérica. Abordaremos também mais alguns critérios deconvergência, mas agora vistos para séries. Por isso, é importante tomar umcerto cuidado e não usar esses critérios para seqüências.

De�nição 2.1. Dado uma seqüência numérica (an), formaremos uma nova

seqüência dita soma parcial da seguinte forma:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3...

Sn = a1 + ...+ an =∑n

j=1 aj

Observemos que limSn = a1 + a2 + · · · + an + · · · =∑

n≥1 an eesta última chama-se série numérica. Aqui temos dois conceitos distintos,mas capazes de confundir o leitor e para entendermos melhor essa distinçãoe sutileza, veremos o seguinte exemplo:

Exemplo 8. Vamos calcular a soma parcial da série∑

n≥1

1

n(n+ 1)e assim,

S1 =1

2

S2 =1

2+

1

6=

2

3

13

CAPÍTULO 2. SÉRIES NUMÉRICAS 14

S3 =1

2+

1

6+

1

12=

3

4...

Sn =n

n+ 1

Uma outra maneira de encontrar essa soma parcial é usando fraçõesparciais. (tente!)

De�nição 2.2. Quando a seqüência da soma parcial convergir para S, dire-

mos que a série converge, e denotaremos por∑

n≥1 an = S

Dessa forma, teremos que a série∑

n≥1

1

n(n+ 1)= limn→∞

n

n+ 1=

1

Nem sempre será possível analizar a convergência das somas par-cais, por isso, nas próximas seções enunciaremos alguns dos critérios maisimportantes de convergência. Um outro contratempo será que os critériosapresentados apenas nos dizem se a série conerge ou diverge, não determi-nam o valor exato do limite.

Exemplo 9 (Série Geométrica). Seja∑

n≥0 qn e teremos que a soma parcial

é dada por Sn = 1+ q+ q2 + q3 + ...+ qn =1− qn+1

1− q, pois a série se trata da

soma in�nita de uma p.g. de razão q.

Supondo que ∥q∥ < 1 segue que limn→∞ Sn =1

1− qe assim,

∑n≥0 q

n =

1

1− q; por outro lado, notemos que para ∥q∥ ≥ 1 a série diverge.

2.2 Teste da divergência(TD)

Teorema 2.1. Se a série∑

n≥1 an converge, então an → 0.

DEM:

Observe que an = Sn − Sn−1.

Logo, limn→∞ an = limn→∞(Sn − Sn−1) = 0

A partir desse resultado, analisaremos, primeiramente, a convergên-cia da seqüência do termo geral e no caso em que o limite é não nulo, con-cluiremos que a série diverge. Este teste é dito Teste da Divergência.Entretanto, o fato do limite ser nulo não garantirá a convergência da sériecomo veremos adiante.


Exemplo 10. Seja a série∑

n≥1

n+ 1

3n+ 4e segue imediatamente que limn→∞

n+ 1

3n+ 4=

1/3. Pelo T.D. temos que a série diverge.

Exemplo 11. Já para essa outra série∑

n≥2

n

lnnteremos que limn→∞

n

lnn=

limn→∞

1

1/n= +∞. Pelo T.D., temos que a série acima diverge.

2.3 Séries de Termos Positivos

Dizemos que uma série∑n≥1

an é de termos positivos qdo an ≥ 0,

∀n ≥ 1.

2.3.1 Teste da Comparação (TC)

O teorema abaixo descreve o Teste da Comparação ; um teste depouca praticidade, mas largamente usado em algumas das demonstrações dosoutros testes.

Teorema 2.2 (Teste da Comparação). Sejam as séries∑n≥1

an e∑n≥1

bn séries

de termos positivos tais que an ≤ bn, ∀n. Então:

(i) Se∑n≥1

bn converge, então∑n≥1

an converge.

(ii) Se∑n≥1

an diverge, então∑n≥1

bn diverge.

DEM:

(i) Vamos primeiro supor que∑n≥1

bn converge e considere Sn, Tn as

somas parcias das séries∑n≥1

an e∑n≥1

bn, respectivamente.

Assim, existe um número real T tal que limTn = T .

Como an ≤ bn segue imediamente Sn ≤ Tn < T , pois T é um limite

superior para a seqüência (Tn).

Além disso, observemos que S1 = a1 ≤ a1 + a2 = S2,...,Sn ≤ Sn + 1, ou

seja, Sn é limitada e crescente.


Portanto,∑n≥1

an converge.

(ii) Basta supor que∑n≥1

bn é convergente e aplicar o item anterior.

Exemplo 12 (Série Harmônica). Seja a série∑n≥1

1

n.

Notemos que∑n≥1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+

1

4+

1

5+

1

6+

1

7+

1

8+ · · · ≥

≥ 1 +1

2+ (

1

4+

1

4) + (

1

8+

1

8+

1

8+

1

8) + · · · =

= 1 +1

2+

1

2+

1

2· · · = 1 +

∑n≥1

1

2,

sendo que esta última série claramente diverge.

Portanto, pelo T.C. concluimos que∑n≥1

1

ndiverge.

Observemos que o limite do termo geral da série harmônica é nulo eisto esclarece o comentário feito anteriormente na pág. 19.

2.3.2 Teste da Comparação por Limites(TCL)

Além do T.C., teremos também um outro teste chamado de Teste daComparação por Limite, o mais indicado para séries nos quais não poderemosfacilmente comparar.

Teorema 2.3 (Teste da Comparação por Limite). Sejam as séries∑n≥1

an e∑n≥1

bn séries de termos positivo.

(i) Se limanbn

= k > 0, então ambas as séries tem o mesmo compor-

tamento.

(ii) Se limanbn

= 0 e∑

bn converge, então a série∑

an converge.

(iii) Se limanbn

= ∞ e∑

bn diverge, então a série∑

an diverge.

DEM:

(i) Como limanbn

= k > 0 e dado ϵ = k/2 temos que existe n0 tal que


n ≥ n0 ⇒k

2<

anbn

<3k

2⇒ k

2bn < an <

3k

2bn.

Agora, vamos analisar todos os possíveis casos:

(1) Se∑n≥1

bn converge e como an <3k

2bn segue que

∑n≥1

an converge

(2) Se∑n≥1

an diverge e como an <3k

2bn segue que

∑n≥1

bn diverge.

(3) Se∑n≥1

bn diverge e comok

2bn < an segue que

∑n≥1

an diverge.

(4) Se∑n≥1

an converge e comok

2bn < an segue que

∑n≥1

bn converge.

Os itens (ii) e (iii) prova-se de maneira análoga ao anterior e por isso

deixamos a cargo do leitor.

Exemplo 13. Seja a série∑n≥1

√2n+ 3

n+ 5.

Para usar o T.C.L. precisamos encontrar uma série no qual já co-

nhecemos a sua convergência e uma candidata será a série∑n≥1

1

n+ 5diver-

gente.

Logo, lim

√2n+ 3

n+ 51

n+ 5

= lim√2n+ 3 = ∞, ou seja, a série inicial

diverge.

Observação 5. Para usarmos o TCL, podemos seguir as seguintes etapas:

1. Eliminar o denominador ou numerador.

2. Comparar com as séries mais importantes - série harmônica, geométricaou as p-séries.

2.3.3 Teste da Integral(TI)

Para o estudo da p-série introduziremos mais um critério de conver-gência.


Teorema 2.4 (Teste da Integral). Seja∑n≥1

an uma série de termos positi-

vos. Se existe uma função f contínua, positiva e decrescente para x ≥ 1 tal

que f(n) = an, então a série tem o mesmo comportamento que∫∞1

f(x)dx.

DEM:

Considere Sn a soma parcial da série∑n≥1

an.

Uma das propriedades de integral é que para funções decrescente e

positiva teremos ai+1 ≤∫ i+1

if(x)dx ≤ ai

Logo,

a2 + ...+ an+1 ≤∫ 2

1

f(x)dx+ ...+

∫ n+1

n

f(x)dx =

=

∫ n+1

1

f(x)dx ≤ a1 + ...+ an ⇐⇒ Sn+1 − a1 ≤∫ n+1

1

≤ Sn (I)

Se∫∞1

f(x)dx converge ou diverge, por (I) temos que a série também

terá o mesmo comportamento.

Exemplo 14 (As p-séries). Seja a série∑n≥1

1

np, com p ̸= 1 um número

inteiro positivo .

Vamos aplicar o T.I. para essa série.

Considere a função f(x) =1

xpque é claramente positiva, contínua

e decrescente para x ≥ 1.

Assim,∫ ∞

1

1

xp= lim

n→∞

∫ n

1

1

xp= lim

n→∞

x−p+1

−p+ 1|n1= lim

n→∞

n1−p − 1

1− p

(1apossibilidade)p > 1 Neste caso, limn→∞n−p+1 − 1

−p+ 1=

1

p− 1

(2apossibilidade)p < 1 e segue imediatamente que a série diverge.


2.4 Séries Absolutamente Convergente

Os testes estudados até esse momento são especí�cos, isto é, elesservem para analizar alguns tipos de séries. Por essa razão, necessitaremosde testes mais práticos incluindo as séries de termos negativos e alternados.Porém, antes de enuncia-los, teremos a de�nição de convergência absoluta.

De�nição 2.3. Uma série∑n≥1

an é dita absolutamente convergente quando

a série∑n≥1

|an| convergir.

Exemplo 15. A série∑n≥1

cosn

n2converge absolutamente, pois

∑n≥1

|cosn|n2

≤∑n≥1

1

n2

O próximo resultado não será demonstrado pelo fato de ser preciso oconceito de seqüência de Cauchy, no qual não foi dado neste curso. Contudo,no livro do Elon há uma elegante prova.

Lema 2.1. Toda série absolutamente convergente é convergente.

Uma conseqüência imediata é que séries convergentes não necessitam

serem absolutamente convergentes, como por exemplo a série∑n≥1

(−1)n+1

nno

qual veremos sua convergência pelo teste de Leibniz.

2.4.1 Teste da Raiz(TRI)

Teorema 2.5 (Teste da raiz). Sejam a série∑n≥1

an e A = lim n√

|an|. Então:

(i) 0 ≤ A < 1 ⇒ a série converge absolutamente;

(ii) A > 1 ⇒ a série diverge

(iii) Para o caso A = 1 nada podemos a�rmar.

DEM:

Primeiro provaremos o item (iii) e para isto tomemos as séries∑n≥1

1

n

e∑n≥1

1

n2.

Para ambas teremos que A = 1, mas uma diverge enquanto que aoutra converge.


Suponhamos que 0 ≤ A < 1 e assim, existe r ∈ R tal que 0 ≤ A < 1.

Como A = lim n√

|an| temos que existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒n√

|an| ≤ A < r < 1 ⇒ |an| < rn.

Como 0 < r < 1 temos que a série∑n≥1

rn converge e pelo T.C. segue

imediatamente que a∑n≥1

an converge absolutamente.

Para o caso A > 1 deixamos a cargo do leitor.

Exemplo 16. Estudaremos a convergência das séries abaixo, usando o TRI:

(a)∑n≥1

1

nn.

Logo,

limn

√1

nn= lim

1

n= 0

E portanto, a série converge.

(b)∑n≥1

(1 +1

n)n

Assim,

limn

√(1 +

1

n)n = lim 1 +

1

n= 1

Para este caso, nada poderemos a�rmar. Já pelo T.D. garantimos

que a série diverge.

(c)∑n≥1

( n√n+ 1)n

Logo,

lim n

√( n√n+ 1)n = lim n

√n+ 1 = 2

Assim, a série é divergente.

2.4.2 Teste da Razão(TRZ)

A demonstração do teste seguinte obedece o mesmo princípio doteste da raiz, onde se busca uma série marjorante. Por isso, omitiremosalguns detalhes para não entediar o leitor.

Teorema 2.6. (Teste da razão) Sejam a série∑n≥1

an e L = lim|an+1||an|

.

Então

(i) 0 ≤ L < 1 ⇒ a série converge absolutamente;


(ii) L > 1 ⇒ a série diverge;

(iii) Para o caso L=1 nada podemos a�rmar.

DEM:

Para provar o item (iii) basta tomar, novamente, as séries harmônicae uma p-série convergente.

Suponhamos que 0 ≤ L < 1 e assim, temos garantido a existênciade um r ∈ R tal que 0 ≤ L < r < 1.

Logo, existe no ∈ N tal que n ≥ no ⇒ |an+1||an|

≤ L < r < 1 ⇒

|an+p| < rp|ano |.

Como 0 < r < 1 temos que a série∑n≥no

rp|ano | e pelo T.C. segue

imediatamente que a série inicial converge absolutamente.

Para o caso L > 1 deixamos a cargo do leitor.

Exemplo 17. Vamos estudar o comportamento das séries a seguir:

(a)∑n≥1

2n

n!

lim|an+1||an|

= lim

2n+1

(n+ 1)!2n

n!

= lim2

n+ 1= 0 < 1

Pelo TRZ temos que a série converge.

(b)∑n≥1

en

n2

lim|an+1||an|

= lim

en+1

(n+ 1)2

en

n2

= lim e(n

n+ 1)2 = e > 1

Pelo TRZ temos que a série diverge.

(c)∑n≥1

1

ln(n)

lim|an+1||an|

= lim

1

ln(n+ 1)1

ln(n)

= limln(n)

ln(n+ 1)= 1

Pelo TRZ, nada podemos concluir, porém usando tanto a série harmô-

nica e o TCL teremos que essa série diverge.

(d)∑n≥1

ln(n)


lim|an+1||an|

= limln(n+ 1)

ln(n)= 1

Pelo TRZ, nada podemos concluir, todavia pelo TD temos garantido

que essa série diverge.

Observação 6. Lembremos que|an+1||an|

→ L então n√

|an| → L (ver exer-

cícios propostos do capítulo anterior), que traduzido quer dizer que o teste

da razão implica no teste da raiz. Ou seja, se o TRZ der um exato valor, o

TRI dará o mesmo valor.

Observação 7. Podemos usar o TRZ para determinar a convergência de

uma sequência. Por exemplo, a sequência an =2n

n!→ 0 já que a série∑

n≥1

2n

n!converge pelo TRZ.

2.5 Séries Alternadas

Para encerrarmos este capítulo, incluiremos um teste para sériesalternadas.

Teorema 2.7. (Teste de Leibniz(TL)) Seja (an) uma seqüência decres-

cente de termos positivos convergindo para zero, então a série∑n≥1

(−1)n+1an

converge.

DEM:

Consideremos as somas parcias Sn desta série.

Nosso objetivo será dividir Sn em duas partes: índices pares e ím-pares.

Primeiro, observemos que pelo fato da seqüência an ser decrescenteteremos que S2n é crescente tal que 0 < S2n < a1 e segue que S2n → S.

Por outro lado, S2n+1 = S2n + a2n+1 ⇒ S2n+1 → S

Portanto, a série é convergente.

Exemplo 18. Pelo TL segue que a∑n≥1

(−1)n+1 1

nconverge.

Exercícios Propostos

1. Encontre a soma das séries abaixo:

(a)∑n≥0

(3

5)n


(b)∑n≥0

22−n

(c)∑n≥0

(−2)n · 43n+1

(d)∑n≥0

(−1)n+2 · 2n+2

5n

(e)∑n≥1

1

3n

2. Encontre a soma parcial das séries abaixo:

(a)∑n≥1

ln(n

n+ 1)

(b)∑n≥1

1

(2n− 1)(2n+ 1)

(c)∑n≥1

3

9n2 + 3n− 2

(d)∑n≥1

2

(4n− 3)(4n+ 1)

(e)∑n≥1

1

4n2 − 1

3. Usando o TD, mostre que as séries abaixo divergem:

(a)∑n≥1

3n2 + 5

5n2 + 1

(b)∑n≥1

1n√n

(c)∑n≥1

cos(nπ

3)

(d)∑n≥1

(√n+ 1−

√n)

4. Use o TCL para analisar o comportamento das séries abaixo:

(a)∑n≥1

1

2 + 5n

(b)∑n≥1

1

n+ 4


5. A série∑n≥1

1

nsen(

1

n) é divergente ou convergente. Justi�que sua res-

posta.

6. Utilize o TI para estudar o comportamento das seguintes séries:

(a)∑n≥1

n

n2 + 1

(b)∑n≥2

1

n2 − 1

(c)∑n≥1

ln(n)

n

7. Estude a convergência das séries abaixo:

(a)∑n≥2

n

lnn

(b)∑n≥1

1

n2n

(c)∑n≥1

n!

nn

(d)∑n≥1

(cos2

3)n

(e)∑n≥1

3n

n

(f)∑n≥1

cosn

5n

(g)∑n≥1

3

n4 + n2 + 1

(h)∑n≥1

2 + cos(n)

n2

(i)∑n≥1

ln(n)

n3

(j)∑n≥1

3

n(lnn)2

(k)∑n≥1

3

9n2 + 3n− 2

(l)∑n≥1

(−1)n

n2 + 7


(m)∑n≥1

(−1)nn2

n3 + 2

(n)∑n≥1

(−1)n(2n)!

3n

(o)∑n≥1

n

n+ 1

(p)∑n≥1

n32n

5n−1

(q)∑n≥1

(1 +1

n)2n

(r)∑n≥1

(−1)n+1 n

en

(s)∑n≥1

(−1)n2n

n!

(t)∑n≥1

sen(1

nln(n))

(u)∑n≥1

1√n3 + n+ 1

8. Calcule 0, 6 + 0, 06 + 0, 006 + ...

9. Prove, usando a série conviniente que limnn

(2n)!= 0

10. Use o T.I. para provar que a série harmônica diverge.

Capítulo 3

Séries de Potências

Assim como é feito para sequências numéricas, podemos associar acada número natural, uma função originando uma sequência de funções.

3.1 Introdução a seqüências de funções

De�nição 3.1. Dizemos que uma seqüência de funções (fn) convergem pon-

tualmente para f se dado ϵ > 0 e para cada x em Dfn = Df , existe n0 ∈ Ntal que n > n0 ⇒ |fn(x)− f(x)| < ϵ.

Notação : fn(x) → f(x)

Observemos, entretanto, que o n0 é determinado tanto pelo ponto xquanto pelo valor ϵ. Um exemplo simples é a seqüência fn(x) = xn, de�nidaem [0, 1]. É claro que fn(x) → 0, se x ̸= 1 efn(x) → 1, se x = 1

Assim, para cada x ∈ [0, 1] teremos uma seqüência numérica dife-rente, isto é, para cada x �xado, encontramos um n0.

Além disso, apesar de cada função fn serem contínuas, a sua funçãosoma é descontínua. Por essa razão, a convergência pontual não é tão "boa".

Por outro lado, tomemos a seqüência fn(x) = xnde�nida em (−1, 1).

Portanto, fn(x) → 0 independentemente de x.

Este fato induz a uma outra de�nição de convergência de seqüênciade funções .

De�nição 3.2. Dizemos que uma seqüência de funções (fn) convergem uni-

formemente para f se dado ϵ > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |fn(x) −f(x)| < ϵ, ∀x ∈ Dfn.

Notação : fn(x) → f(x) unif.

26

CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS 27

A convergência uniforme é a mais adequada pois preserva as propri-edades dos termos de uma sequêncoa numérica como veremos a seguir.

3.1.1 Propriedades da Convergência Uniforme

Seja (fn) é uma seqüência de funções contínuas convergindo unifor-memente para f.

Então:

(1) f é contínua.

(2) lim∫ b

afn(x)dx =

∫ b

alim fn(x)dx =

∫ b

af(x)dx

(3) ddx

lim fn(x) = lim ddxfn(x) =

ddxf(x)

3.2 Introdução a série de funções

A partir dessa seção, estaremos usando sempre a convergência uni-forme, exceto quando mencionado o contrário.

De�nição 3.3. Seja (fn) uma seqüência de funções de�nidas em A ⊂ R. A

série∑

n≥1 fn é dita a série de funções .

Para cada x ∈ A �xado, a série de funções torna-se uma série numé-rica e, por isso é tão importante um estudo anterior e aprofundado de sériesnuméricas. Além disso, a função limite f da série tem o mesmo domínio daseqüência (fn).

Exemplo 19. Seja a série∑

n≥0 xn.

Observemos que para x = 1/2 teremos a série geométrica conver-

gente∑

n≥0(1/2)n, enquanto que para x = 3 teremos uma série divergente.

É natural questionarmos para que pontos pontos de A garantimosa convergência da série. Para resolver esta questão, de�nimos uma regiãodo domínio no qual a série converge para uma função real f, e esta região éconhecida como DOMÍNIO DE CONVERGÊNCIA.

Teorema 3.1 (Critério de Weierstrass). Seja∑

n≥1 fn uma série de funções

e considere a série numérica∑

n≥1Mn tal que |fn(x)| ≤ Mn para todo x em

A e n ≥ 0. Se a série∑

n≥1 Mn converge, então a série∑

n≥1 fn converge.

DEM:

A convergência da série numérica garante que, dado ϵ > 0, existe n0

tal que n > n0 ⇒ |f(x)−∑n

j=1 fj(x)| = |∑∞

j=n+1 fj(x)| ≤∑∞

j=n+1Mj < ϵ eisto independe de x ∈ A.


Pelo TC teremos a convergência da série∑

n≥1 fn.

Observação 8. Se∑

n≥1 fn é uma série convergente de funções contínuas(

ou derivavéis ou integravéis) teremos que o seu limite é contímua(ou derivavél

ou integravél).

3.3 Séries de Potências

A série de funções mais importante é a série de potência de�nidaabaixo:

De�nição 3.4. A série∑

n≥1 an(x − a)n é dita série de potência de centro

a, onde (an) é uma seqüência numérica.

O nosso principal objetivo será determinar o domínio de convergên-cia de uma série de potência.

Lema 3.1. Se∑

n≥1 an(x− a)n converge para x = b, então a série converge

para todo x em A tal que |x− a| < |b− a| = r

DEM:

Como∑

n≥1 an(x− a)n converge temos que lim an(x− a)n = 0.

Assim, �xando ϵ = 1 temos que existe n0 tal que

∀n ≥ n0 ⇒ |an(x− a)n| < 1 (1).

Por outro lado, para todo x em A tal que |x − a| < r teremos|an(b− a)n| = |an(x− a)n| · |( (b−a)

(x−a))n| (2).

Tomemos q = (b−a)(x−a)

.

Por (1) e (2) concluímos que |an(x− a)n| < qn < 1.

Pelo CW teremos que a série∑

n≥1 an(x − a)n converge para todox ∈ (a− r, a+ r).

Corolário 3.1. Se∑

n≥1 an(x−a)n diverge para x = b, então a série diverge

para todo x em A tal que |x− a| > |b− a| = r

3.3.1 Raio de Convergência

Os próximos teoremas caracterizarão o nosso domínio de convergên-cia.


Teorema 3.2. Consideremos a série de potências∑

n≥1 an(x − a)n. Então

existem somente três possibilidades:

(i) A série converge apenas em x = a;

(ii) A série converge para todo R;

(iii) Existe r > 0 tal que a série converge absolutamente para todo

x ∈ (a− r, a+ r).

A demonstração é feita aplicando-se o lema anterior

O número r é chamado de raio de convergência da série.

Para a primeira possibilidade do Teorema 3.2 teremos, na realidade,que o raio de convergência é nulo; enquanto que para a segunda, o raio éin�nito.

O teorema a seguir, nos indica como encontrar o raio de convergênciapor meio do teste da razão de séries numéricas.

Teorema 3.3. Seja a série de potência∑

n≥1 an(x − a)n . Então o raio de

convergência r da série é dado por r = lim |an||an+1| .

DEM:

Apliquemos o TRZ para séries quaisquer e segue que lim |an+1(x−a)n+1

an(x−a)n| =

|x− a| · lim |an+1||an| .

Tomemos L = lim |an+1||an| .

Assim, teremos somente três possibilidades:

(1) L = 0 e a série converge para todo x em R, isto é, r = ∞.

(2) L ≥ 1 e a série diverge para todo x ̸ a, isto é, r = 0.

(3) 0 < L < 1 e a série converge para todo x ∈ (a − 1/L, a + 1/L),isto é, r = lim |an|

|an+1| .

Exemplo 20. ∑n≥0

2nxn

(2n)!

Cálculos

r = lim|an||an+1|

= lim

2n

(2n)!

2n+1

(2[n+1])!

= lim2n(2n + 2)!

2n+1(2n)!= lim

(2n + 2)(2n + 1)

2= ∞

Portanto, Ic = R


Exemplo 21. ∑n ≥ 0

(−1)n(x− 1)n

(n + 1)2n

Cálculos

r = lim|an||an+1|

= lim

1(n+1)2n

1(n+2)2n+1

= lim(n + 2)2n+1

(n + 1)2n= 2 · lim n + 2

n + 1= 2

Portanto, Ic = (−1, 3)

Observação 9. Até este momento não estudamos o comportamento da série

nos extremos do intervalo de convergência, mas esta análise é tão importante

para o resultado �nal.

(1) Para x = −1 temos a série∑

n≥01

n+1divergente.

(2) Para x = 3 temos a série∑

n≥0(−1)n

n+1convergente.

Portanto, a resposta correta é Ic = (−1, 3].

Exemplo 22. ∑n ≥ 0

(n + 1)!(x− 5)n

10n

Cálculos

r = lim|an||an+1|

= lim(n+1)!10n

(n+2)!10n+1

= lim(n + 1)!10n+1

(n + 2)!10n= lim

10

(n + 2)= 0

Portanto, Ic = {5} e neste caso, diremos que a série é divergente.

Exemplo 23. É claro que o intervalo de convergência da série∑

n≥1 xn é

(−1, 1); além de que teremos que∑

n≥1 xn = 1

1−xpara todo x tal que |x| < 1.

A partir desta série, iremos construir diversas séries de potência.

3.4 Propriedades da Função Soma de uma Sé-

rie de Potência

Consideremos S(x) a função soma da série∑

n≥1 an(x− a)n no qualclaramente tem como domínio de de�nição o intervalo de convergência dasérie.


Teorema 3.4. S(x) é contínua em (a− r, a+ r)

DEM: Seja x0 ∈ (a−r, a+r) e consideremos Sn(x) =∑n

i=0 ai(x−a)i

(soma parcial); Rn(x) =∑∞

i=n+1 ai(x− a)i (resto).

É claro que S(x) = Sn(x) +Rn(x)

A�rmação 1. Rn(x) → 0.

Basta ver que limSn(x) = S(x) = lim(Sn(x) +Rn(x))

A�rmação 2. Sn(x) é contínua.

De fato,

limx→x0

Sn(x) = limx→x0

n∑i=0

ai(x−a)i =n∑

i=0

limx→x0

ai(x−a)i =n∑

i=0

ai(x0−a)i = Sn(x0)

Logo, usando a de�nição de limite segue que limx→x0 S(x) = limx→x0(limSn(x)) =lim(limx→x0 Sn(x)) = limSn(x0) = S(x0)

Como consequência deste teorema, temos os seguintes colorários:

Corolário 3.2. S ′(x) =∑

n≥1 nan(x− a)n para todo x ∈ (a− r, a+ r).

Corolário 3.3. Para todo x ∈ (a−r, a+r) temos que∫ x

aS(t)dt =

∑n≥0

an(x−a)n+1

n+1

3.5 Série de Taylor

Um resultado importante do corolário é que a função soma de umasérie de potência é �nitamente derivavél e suas derivadas são contínuas, istoé, ela é de classe C∞.

Assim,

S(x) = a0 + a1(x− a) + a2(x− a)2 + · · · ⇒ S(a) = a0

S ′(x) = a1 + 2a2(x− a) + · · · ⇒ S ′(a) = a1

S ′′(x) = 2a2 + 6a3(x− a) + · · · ⇒ S ′′(a) = a2


Por recorrência obtemos que S(n)(a) = n!an.

Logo,

an =S(n)(a)

n!.

Dessa forma, dada uma função f de classe C∞, desejamos encontraruma série de potência para representá-la na vizinhança de um ponto de R.

De�nição 3.5. Seja função f de classe C∞, a série∑

n≥0f(n)(a)

n!(x − a)n é

dita série de Taylor da função f(x) no ponto a.

Observação 10. Independentemente de como encontrarmos a função soma

de uma série de potência, teremos que a série nada mais é do que a série de

Taylor desta função soma.

3.5.1 Exercício Proposto

1. Determine o intervalo de convergência das séries abaixo:

(a)∑

n≥12n

n2xn

(b)∑

n≥13n

n4n(x+ 1)n

(c)∑

n≥1(3n)!(2n)!

xn

(d)∑

n≥1n2

23n(x+ 2)n

(e)∑

n≥1 n3xn

(f)∑

n≥1 nnxn

(g)∑

n≥1n3+n+1n4+1

(x− 1)n

(h)∑

n≥1 nn(x− 3)n

(i)∑

n≥1x2n+1

(−4)n

(j)∑

n≥1(−1)n+1xn

(k)∑

n≥1n(x−1)2n

32n−1

(l)∑

n≥1(−1)n+1x2n−1

(2n−1)!

(m)∑

n≥1(−1)nxn

nln(n)

(n)∑

n≥1(x+5)n−1

n2

(o)∑

n≥1(1−x)n

(n+1)3n

(p)∑

n≥1 n!xn

(q)∑

n≥12nx2n

(2n)!


2. Determine a função soma das séries abaixo:

(a)∑

n≥0(−1)nxn

(b)∑

n≥0xn

4n

(c)∑

n≥0(−1)nx2n

(d)∑

n≥0 x4n

(e)∑

n≥0 4nxn

3. Encontre a série de potência das funções abaixo:

(a) f(x) = −1(1−x)2

(b) f(x) = ln(1− x)

(c) f(x) = 1x

4. Considere S(x) =∑

n≥0xn+1

(n+1)2e determine:

(a) O intervalo de convergência da série;

(b) S ′(x);

(c) H(x) =∫ x

0S(t)dt.

5. Mostre que arctgx =∑

n≥1(−1)n x2n+1

2n+1.

6. Utilizando séries de potências convenientes, mostre que∑

n≥1n

2n−1 = 4.

7. Encontre a série de Taylor para as funções ex, senx em torno da origem.

8. Obtenha∫ x

0e−t2dt em séries de potências.

9. Obtenha a série de potências de x para f(x) = ex−1x

.

10. Use a representação de funções em séries de potêncis para determinarf (40)ef (41) de f(x) = x2senx.

11. Sabendo que∑

n≥1 xn = 1

1−x, obtenha uma série de potência de x para

cada função abaixo:

(a) 1(1−x)3

(b) x(1+x2)2

(c) 11−x4

(d) 11−4x

(e) 12+x

12. Usando a representação ln(1 − t) =∑

n≥0tn+1

n+1para |t| < 1, calcule

ln(1.2) com 3 casas decimais e compare o valor com o resultado obtidopela calculadora.


13. Desenvolva as funções f(x) = 11−3x

e g(x) = 13−2x

em séries de potênciasde x, determine os respectivos intervalos de convergência e em seguidaobtenha séries para representar f ′(x) e

∫ x

0g(t)dt.

14. Encontre a Série de Taylor em torno da origem de cada função dada aseguir:

(a) f(x) = e−x2

(b) f(x) = xsenx

(c) f(x) = 3x+1

(d) f(x) = −ln(1 + x2)

(e) f(x) = senxx

15. Para cada função f dada abaixo, encontre sua expansão em série deTaylor em torno do ponto indicado:

(a) f(x) =√x, a = 9;

(b) f(x) = tgx, a = 0;

(c) f(x) = cosx, a = π/3

"Os erros do passado não justi�cam o medo de ser feliz no presente."

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Um breve estudo de séries para o curso de Cálculo · PDF fileCAPÍTULO 1. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS 6 1.2 Seqüênciaslimitadas e Monótonas De nição 1.3. Uma seqüência (an) é