25Física na Escola, v. 5, n. 1, 2004 Newton e a Força Gravitacional

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Introdução

A“Proposição IV”, do Livro III,dos “Princípios Matemáticosda Filosofia Natural”, de Isaac

Newton, é uma peça essencial noargumento newtoniano para a cons-trução da idéia de uma força gravita-cional. Nesta proposição, Newtonargumenta que a força que mantéma Lua em sua órbita é da mesma na-tureza que a força que atrai uma pe-dra na superfície da Terra, e, paraverificar esta conjectura, introduzuma “experiência de pensamento”, ada “queda da Lua”, para verificar sehá compatibilidade entre o valor daaceleração centrípeta da Lua, modifi-cada em uma adequada proporçãopara a situação imaginada da Luacaindo na superfície terrestre, e a ace-leração de um corpo em queda livrena superfície da Terra; obtendo umaexcelente concordância numérica. Acomparação só foi possível, à época,porque Newton apoiou-se nos traba-lhos de Christian Huygens sobre opêndulo, os quais forneceram as pri-meiras medidas confiáveis, ainda queindiretas, da gravidade terrestre. Oargumento newtoniano é notável porrazões variadas. É nessa proposiçãoque, pela primeira vez, se expressa oque hoje denominamos de síntesenewtoniana, isto é, a idéia de que afísica dos corpos celestes em suasórbitas é a mesma do movimento doscorpos na superfície da Terra. Étambém um argumento notável pelaengenhosidade e pela simplicidade, dealcance histórico e didático. Densmo-re [4] afirma que este argumento étalvez, a mais emocionante demonstra-ção nos Principia, enquanto Bernard

Olival Freire Junior, Manoel MatosFilho e Adriano Lucciola do ValleInstituto de Física da UniversidadeFederal da Bahia

Apresenta-se a “Proposição IV”, do Livro III,dos Princípios Matemáticos da Filosofia Naturale seu Sistema do Mundo. É nessa proposiçãoque, pela primeira vez, se expressa o que hojedenominamos de síntese newtoniana, isto é,a idéia de que a física dos corpos celestes emsuas órbitas é a mesma do movimento doscorpos na superfície da Terra. Para verificarsua proposição, Newton faz uma “experiênciade pensamento”, a da “queda da Lua”. Suge-rimos que esta proposição pode, e deveria, serintroduzida nos cursos de Licenciatura emFísica e no ensino de Física no Ensino Médio.Ao fazê-lo, estaremos ensinando um bomconteúdo de Física, de modo atrativo, e contex-tualizando-o nos marcos do conhecimentocientífico da época. Usando as palavras deMatthews [6], estaremos ensinando tanto oconhecimento em Física como sobre a Física.

Cohen considera-a um clímax dosPrincipia [10]. Entretanto, esse argu-mento pouco aparece nos livros-texto[13]. Nós apresentaremos uma tradu-ção dessa Proposição; teceremosbreves comentários sobre ela; apre-sentaremos a proposição conforme oargumento original, para isso nosapoiaremos largamente em Densmore[4]; apresentaremos a mesma propo-sição de modo bastante simplificado,e mesmo anacrônico, mas inteira-mente adequado à introdução noEnsino Médio; e, por fim, extrairemosalgumas conclusões de naturezadidática, relacionadas ao uso dessaProposição [14].

O argumento da“queda da Lua”

“Que a Lua gravita em torno daTerra [15], e é sempre retiradade seu movimento retilíneo, ereconduzida a sua órbita, pelaforça da gravidade” [Livro III,Proposição 4]

A distância média da Lua àTerra, nas sizígias, em semi-diâ-metros da Terra, é 59, de acordocom Ptolomeu e a maioria dosastrônomos; 60, de acordo comWendelin e Huygens; 60 1/3, deacordo com Copérnico; 60 2/5,de acordo com Street; e 56 1/2,de acordo com Tycho. Mas Tychoe aqueles que seguem suastabelas de refração, ao estabe-lecer uma refração maior - porquatro ou cinco minutos – parao Sol e a Lua do que para estrelasfixas (em completa oposição ànatureza da luz), tinham au-

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mentado a paralaxe da Lua pelomesmo número de minutos; istoé, pela décima-segunda oudécima-quinta parte da paralaxetotal. Corrijamos este erro e adistância chegará a 60 1/2semi-diâmetros terrestres, que émais ou menos o que foi atri-buído pelos outros. Vamos assu-mir que a distância média ésessenta semi-diâmetros nassizígias e que o período lunarcom respeito às estrelas fixastotaliza 27 dias, 7 horas, e 43minutos, como afirmado pelosastrônomos; e que a circunfe-rência da Terra é 123.249.600pés parisienses, como estabe-lecido pelos franceses através demedição. Se, agora, supusermosque a Lua seja privada de todomovimento e deixada descer nadireção da Terra, sob a influênciaexclusiva da força pela qual (pelaProposição 3, Corolário) ela émantida em sua órbita, ela irá,na queda, percorrer 15 1/12 pésparisienses no espaço de umminuto. Esta conclusão derivade cálculos baseados seja na Pro-posição 36 do Livro I ou (o quesignifica o mesmo) no nono Co-rolário da quarta Proposição domesmo livro. Pois o [versed sine][16] daquele arco que a Lua des-creve em seu movimento médio,no tempo de um minuto à dis-tância de sessenta semi-diâme-tros terrestres, é cerca de 15 1/12 pés parisienses, ou mais pre-cisamente, 15 pés, uma polegadae 1 4/9 linhas. De onde, desdeque aquela força aumente como inverso da razão duplicada dadistância ao se aproximar da Ter-ra, e seja por isso maior em 60 x60 partes na superfície da Terraque na Lua, um corpo, ao cairnas nossas regiões, sob a açãodaquela força, deveria descreverum espaço de 60 x 60 x 15 1/12 pés parisienses no espaço deum minuto e, no espaço de umsegundo, 15 1/12 pés, ou maisprecisamente, 15 pés, 1 polegadae 1 4/9 linhas. E os corpos pe-sados, próximos à superfície ter-restre, efetivamente descem

com a mesma força. Pois ocomprimento de um pêndulooscilando em segundos, na lati-tude de Paris, é três pés parisi-enses e 8 1/2 linhas, como Huy-gens tem observado. E a alturaque um corpo pesado atravessa,ao cair durante o tempo de umsegundo, está para a metade docomprimento desse pêndulo,assim como, na razão dupla[quadrado], a circunferência docírculo está para seu diâmetro(como Huygens também temapontado). Ela tem o compri-mento, por isso, de 15 pés pari-sienses, 1 polegada e 1 7/9 li-nhas. E porque a força quemantém a Lua em sua órbita,se ela descesse até a superfícieda Terra, se tornaria igual anossa força de gravidade, então(pelas Regras 1 e 2) ela é a pró-pria força que nós estamos acos-tumados a chamar de gravidade.Pois se a gravidade fosse deladiferente, os corpos, ao procu-rarem a Terra com as duas forçasconjuntamente, desceriam duasvezes mais rápido e ao caíremdurante o espaço de um segundodescreveriam 30 1/6 pés deparisienses em completo desa-cordo com a experiência [17].

A mais emocionantedemonstração dos Principia

Para uma melhor apreciação dosignificado dessa proposição, deve-mos ter em conta a estrutura geraldos Principia. Newton abre sua obracom um conjunto de definições e axio-mas, onde aparecem as três leis deNewton, conforme denominaçãoatual. Nenhuma referência é feita àforça gravitacional nessa parte dolivro. Em seguida, Newton dedicatodo o Livro I ao “movimento doscorpos” tratados em uma abordagemestritamente matemática, sem consi-deração da natureza física das forçasenvolvidas. Este livro é mais umtratado de matemática, ou de físicamatemática, no sentido contemporâ-neo, que a apresentação de uma teoriafísica. O Livro II é inteiramente dedi-cado ao estudo de movimentos de

corpos em meios resistentes. Nos doisprimeiros livros nenhuma referênciaé feita à força gravitacional. É noLivro III, intitulado “O sistema demundo”, que devemos esperar aintrodução da idéia de uma forçagravitacional, sem a qual a mecânicanewtoniana não teria como abordarnem o movimento dos corpos nosistema solar nem derivar o movi-mento de corpos próximos da super-fície terrestre. Contudo, mesmo noLivro III, Newton não introduz deimediato a idéia de uma força gravita-cional. Inicialmente, ele apresenta umconjunto de fenômenos astronômicos,mostrando que eles obedecem às leisde Kepler. Desse modo, Newton mos-tra que os satélites de Júpiter e deSaturno descrevem áreas proporcio-nais ao tempo de percurso e que seusperíodos e distâncias orbitais estão emuma proporção similar à 3ª. Lei deKepler (Fenômenos 1 e 2); mostra queos cinco planetas primários [Mercú-rio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno]giram em torno do Sol (Fenômeno 3);que os períodos dos cinco planetas pri-mários, mais o período da Terra emtorno do Sol, ou do Sol em torno daTerra, mantêm com as respectivasdistâncias orbitais a relação identifi-cada por Kepler, que hoje denomina-mos de 3ª Lei de Kepler (Fenômeno4); que os cinco planetas primáriossó obedecem à lei das áreas de Keplerse tomarmos a distância dos planetasao Sol e que o mesmo não ocorrerá setomarmos as distâncias dos mesmosplanetas à Terra [o que deve serconsiderado um argumento favorávelao heliocentrismo] (Fenômeno 5); e,por fim, que a Lua varre áreas iguaisem tempos iguais (Fenômeno 6).Como Newton havia demonstrado noLivro I, trajetórias que satisfazemrelações como as Leis de Kepler devemser causadas por uma força que variacom o inverso do quadrado da distân-cia. Desse modo as proposições 1, 2,e 3 são dedicadas a mostrar que a for-ça centrípeta sobre os satélites deJúpiter, sobre os planetas primários esobre a Lua são todas proporcionaisao inverso do quadrado da distânciaao centro de cada movimento.

Só então é que Newton introduz,na Proposição 4, a idéia de uma força

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gravitacional, tal qual conhecemoshoje. Deve ser notado que, até New-ton, a expressão “a Lua gravita nadireção da Terra ...” era um non-sense,porque a palavra gravidade era usadaexclusivamente com o significado de“peso terrestre” [4]. Newton buscaassociar dois resultados experimentaisnuméricos bem estabelecidos à época:a gravidade terrestre e a aceleraçãocentrípeta da Lua. Esta identidade deefeitos (valores iguais para a acelera-ção) deve levar, conforme a Regra deFilosofar número 2, que Newton ha-via enunciado no início desse mesmoLivro III, a uma identidade de causas;logo, a força que acelera uma pedrana superfície da Terra é da mesmanatureza da força que mantém a Luaem sua órbita. Não era ainda a idéiade uma gravitação “universal”, o quedemandaria examinarmos as Propo-sições subseqüentes, mas foi o passomais significativo na estratégianewtoniana para a introdução dessaidéia.

Seria interessante refletirmossobre as razões que teriam levadoNewton a uma estratégia de persua-são tão cuidadosamente elaborada.Nossa opinião é que Newton tinhaplena consciência dos obstáculos queenfrentaria para convencer seuscontemporâneos da existência de umaação à distância, como parecia ser aforça gravitacional, e buscou minimi-zar essas resistências. Deve ser ditoque tanto a idéia de uma força atrati-va entre o Sol e os planetas quanto aidéia de uma explicação única paraos movimentos celestes e terrestresjá estavam postas antes de Newton[18]. Kepler havia sugerido a existên-cia de uma força entre o Sol e os pla-netas, mas pensava em uma força denatureza magnética e pensava emuma força tangencial, de arrasta-mento, e não em uma força centrípe-ta. Descartes buscou uma explicaçãounificada para a física dos movimen-tos celestes e aquela dos movimen-tos terrestres, mas o fez através daidéia de um universo totalmentepreenchido por uma substância, uméter, cujos vórtices seriam responsá-veis tanto pela manutenção da Luaem sua órbita quanto pela queda deum objeto na superfície da Terra. A

explicação cartesiana, ainda queabrangente na sua capacidade deexplicação, não fornecia, contudo,previsões quantitativas. A forçapreditiva da mecânica e da gravitaçãonewtonianas são bem conhecidas esão as responsáveis pela aceitaçãodessa física, mas a gravitação newto-niana enfrentaria, como de fatoenfrentou, um forte obstáculo denatureza epistemológica [19]. Esteobstáculo relacionava-se à visão demundo mecanicista, sustentada porDescartes, mas partilhada pela quasetotalidade dos protagonistas daemergente ciência moderna. O meca-nicismo implicava na adoção exclu-siva de interações através do contatoentre corpos, logo uma interação devizinhança, de contigüidade, e rejei-tava qualquer idéia de ações à distân-cia porque esse tipo de explicaçãoestava relacionado a explicações queo mecanicismo visava combater [20].A gravitação newtoniana, como umtipo ação à distância, sem um meioque transmitisse a interação entre oscorpos, poderia sugerir a adoção deum mesmo tipo de explicação comba-tida pelo mecanicismo. Newton apa-rentemente não tinha uma explica-ção satisfatória para a gravitação eadotou a estratégia de introduzi-lacomo uma conseqüência necessáriados fenômenos quando tratadosmatematicamente conforme os resul-tados que havia elaborado no Livro I.O pressentimento de Newton estavabem fundamentado, pois sua estraté-gia minimizou, mas não eliminou asresistências à gravitação mesmo en-tre cientistas como Huygens eLeibniz. A divisão entre newtonianos,principalmente britânicos, e cartesia-nos, sobretudos continentais, duroumais de meio século, de modo queuma larga aceitação da gravitação sóse consolidaria quase na metade doséculo XVIII.

O argumento originalNessa seção apresentamos, em

conformidade com o argumento origi-nal, como Newton calculou a acelera-ção de queda da Lua em sua órbita.Nos apoiaremos largamente emDensmore [4], obra notável para umensino contextualizado da Física

newtoniana.Uma demonstraçãorigorosa escapa ao padrão de um cursode Ensino Médio, por envolver umapassagem ao limite que Newton haviademonstrado na Proposição 4, Corolá-rio 9, do Livro I. Aqui apenas apresen-taremos, sem o rigor necessário, oargumento newtoniano.

Passo 1: Newton calculou, semo recurso à expressão algébrica da ace-leração centrípeta, a distância que aLua cairia na direção da Terra comosendo de 15 1/12 pés parisienses, notempo de 1 minuto, caso, estando emsua órbita nas sizígias, fosse privadade todo o seu movimento tangencial.Para chegar a esse resultado, calcule-mos, inicialmente, qual distância aLua viajará em órbita em 1 minuto.

x = 187.961 pés de Paris.

Considerando que o movimento daLua em sua órbita resulta de uma com-posição entre seu movimento tan-gencial uniforme e um movimentoradial acelerado e que, para tempospequenos, a corda AF pode ser no limiteidentificada com o arco efetivamentepercorrido pela Lua (AF = x), podemos,por considerações geométricas, obter oresultado que buscamos.

Caso a Lua fosse libertada de umponto da sua órbita e caísse para aTerra sob a mesma força que a man-tém em órbita, viajaria uma distância,AL.

28 Física na Escola, v. 5, n. 1, 2004Newton e a Força Gravitacional

Como os triângulos AFL e AFDsão semelhantes [21]

,

.

Durante 1 minuto,

,

donde AL = 15,0089 ≈ 15, 01 pésparisienses. A diferença entre o valorque obtivermos e aquele obtido porNewton - 15 1/12 pés parisienses –pode ser explicada porque ele tambémlevou em conta o efeito da aceleraçãoda Lua na direção do Sol.

Passo 2: Newton expressou aaceleração centrípeta da Lua calcu-lando a distância que ela cairia emcerto tempo, em direção à Terra, seperdesse subitamente sua velocidadetangencial. Ele afirmou que ela irá “naqueda percorrer 15 1/12 pés parisien-ses no espaço de um minuto.” Chame-mos essa distância SL. A esta altura,devemos observar que Newton já ha-via demonstrado, em proposições noLivro I, que se uma força fosse capazde gerar movimento circulares ouelípticos e se esses movimentosobedecessem à Terceira Lei de Kepler,então tal força deveria ser radial e pro-porcional ao inverso do quadrado dadistância ao centro da circunferência.Desse modo, Newton já havia de-monstrado que a força centrípetadeveria ser proporcional ao inverso doquadrado da distância. Newton tomatambém forças (f) proporcionais àsacelerações (a) e considera que parasituações de aceleração constante, aexemplo de movimentos na superfícieda Terra, a aceleração é proporcionalà distância percorrida (S) e inversa-mente proporcional ao tempo gastono percurso (T). Todas essas propor-ções reunidas levam a:

fs = 602 f0

f ∝ S/T2, e f ∝ 1/R2, então,

(1)

. (2)

Considere SL como sendo a distân-cia de queda da Lua à altura de suaórbita; ST como sendo a distância dequeda da lua à altura de um raio daTerra; TL como sendo o tempo de quedada Lua à altura de sua órbita; TT comosendo o tempo de queda da Lua àaltura de um raio da Terra; e reescre-vendo a Eq. 2 como uma proporção,

.

Reduzamos o tempo de 60 segun-dos à altura da órbita da Lua para 1segundo à superfície da Terra, então:TL = 60 TT. Além disso, vamos reduzira distância da órbita da Lua de 60raios terrestres para 1 raio da terra,ou seja, na superfície da Terra: RL =60 RT

Substituindo na Eq. 2:

Assim, SL = ST.Então se você diminuir tempo e

raio (antes de 60 raios terrestres), onúmero para S permanecerá o mesmo,quer dizer, em um segundo, a Luadeveria cair também 15 1/12 pésparisienses na superfície da Terra.

Passo 3: Qual a aceleração sofri-da por uma pedra em queda livre nasuperfície da Terra? Devemos inicial-mente nos perguntar por que New-ton usou medidas de um pêndulo euma equação de pêndulo para obteraceleração de uma pedra na superfícieda Terra ao invés de simplesmentedeixar cair uma pedra de uma sacadae medir o tempo de queda? No SéculoXVII não existiam equipamentos

suficientemente precisos para crono-metrar a queda de uma pedra a fimde determinar a aceleração da gravi-dade. Galileu, quando determinou queos corpos caem com uma mesma ace-leração percorrendo distâncias pro-porcionais ao quadrado dos tempos,recorreu ao expediente do planoinclinado para evidenciar esta propor-ção, mas o plano inclinado galileanonão podia fornecer uma medida con-fiável do valor da aceleração da gravi-dade. Foi o estudo do pêndulo, pelasmãos do holandês Christiaan Huy-gens, que permitiu a primeira medidaprecisa dessa aceleração, razão pelaqual Newton recorre ao pêndulo deHuygens e não aos trabalhos de Gali-leu para obter o valor dessa aceleração.

Huygens publicou, em 1673, aobra Horologium Oscillatorium, quepermitiu o tratamento matemáticopreciso do problema do pêndulo. Eletambém construiu relógios precisosem conformidade com aquele trata-mento. Huygens ajustou o período deoscilação do pêndulo a uma medidaindependente do tempo (um tempo depassagem do Sol de dois segundos) ecom a medida direta do comprimentodo pêndulo, além dos teoremas quehavia estabelecido, pôde, pela primei-ra vez na história, obter um valorconfiável para a aceleração da gravi-dade.

Note, contudo, que Newton nãocita a expressão algébrica para operíodo do pêndulo. Ele refere-se aoresultado obtido por Huygens afir-mando que “a altura que um corpopesado atravessa, ao cair durante otempo de um segundo, está para ametade do comprimento desse pêndu-lo, assim como, na razão dupla, a cir-cunferência do círculo está para seudiâmetro (como Huygens tambémtem apontado).” O resultado de Huy-gens pode então ser expresso como:

Para L = 3,059 pés parisienses,temos: d = 15,0956 pés parisienses.Esta distância de queda, na superfícieda Terra, em um segundo, é uma

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medida da aceleração da gravidade edeve ser comparada com aquela obtidapara a aceleração centrípeta da Lua,na superfície da Terra, obtida por New-ton, conforme o Passo 1, que vale 151/12 pés parisienses, o que expressauma boa concordância, portanto, en-tre os dois valores. Com esse resul-tado, Newton atinge seu objetivo:tanto a força que atua na queda doscorpos na superfície da Terra quantoaquela que atua na Lua, como forçacentrípeta, são de mesma natureza.

A expressão hoje usual para operíodo do pêndulo pode ser obtidacombinando diretamente a expressãoanterior, obtida por Huygens, com aexpressão da aceleração uniforme deum corpo na superfície da Terra, comatenção para o fato de que, quandoNewton fala em “comprimento de umpêndulo oscilando em segundos”,devemos adotar um período, no sen-tido contemporâneo, para o pêndulocom o dobro desse valor, isto é: T =2t. Logo,

e , com ,

levam a:

Um argumento adequado aoEnsino Médio

Para uma apresentação maissimplificada – seguramente accessí-vel ao ensino médio - do argumentonewtoniano, introduzimos as se-guintes simplificações: uso de nota-ção moderna para a aceleração centrí-peta e para o período de um pêndulosimples, expressões de uso correnteno Ensino Médio. Utilizamos tam-bém a notação contemporânea paraa aceleração (comprimento pelo qua-drado do tempo) e unidades do sis-tema MKS. Mesmo com essas simpli-ficações, é nossa opinião que aapresentação guarda quase o mesmofascínio que a apresentação originalde Newton.

Vamos, inicialmente, fixar osvalores das grandezas utilizadas porNewton convertendo-os para umsistema de unidades contemporâneo,

o MKS. Usaremos, para isso, asTabelas 1 e 2.

Passo 1: Calcularemos a acelera-ção centrípeta da Lua à distancia desua órbita atual (60 raios terrestresnas sizígias):

A Figura 2 acima representa a ór-bita da lua. Podemos calcular a velo-cidade (v) com que a Lua gira em tornoda Terra, como segue, sendo ∆t operíodo de revolução da lua e C aórbita cheia da mesma.

Substituindo os valores com basena Tabela 2, temos:

Com o valor de v, calcularemosagora a aceleração centrípeta da Luana altura de sua órbita (aco) pelarelação abaixo. Observamos, con-tudo, que Newton, calculou essaaceleração usando considerações geo-métricas, que apresentamos na seçãoanterior, e não a expressão algébrica,hoje de uso corrente, para a aceleraçãocentrípeta.

Fazendo os cálculos, temos:

.

O leitor deve ter notado que New-ton, contudo, não expressou a acele-ração centrípeta da Lua desse modo.Ele escreveu que ela “irá, na queda,percorrer 15 1/12 pés parisienses noespaço de um minuto.” O valor que

Newton e a Força Gravitacional

Tabela 1

Distância média da Lua à Terra = raio da órbita da lua = 60 raios terrestres - R = 60 r

Período de revolução da Lua: P = 27d 7h 43’ = 39343’

Circunferência da Terra: c = 123 249 600 pés parisienses

Diâmetro da Terra: c = 2π r = π d

d = c /π , logo, d = 123 249 600 /π , d = 39 231 500 pés parisienses

Circunf. da órbita da Lua: C = = 2π R , R = 60 r , C = 2π (60 r) = 60 (2π r) , C = 60 c

C = 60 x 123 249 600

C = 7 394 976 000 pés parisienses

Diâmetro da órbita da Lua:

D = 60 d = 60 x 39 231 500 pés parisienses , D = 2 353 890 000 pés parisienses

Conversões

Um pé parisiense = 0,3248 metros

12 “linhas” parisienses = 1 polegada parisiense

Tabela 2

Distância média da Lua à Terra = raio da órbita da lua (R):(Aproximadamente 60 raios terrestres): (R = 60 r) = 3,82 x 108 m

Período de revolução da Lua (P): P = 27,3 Dias = 2.358.720 s

Circunferência da Terra (c): c ≅ 4 x 107 m

Diâmetro da Terra (d): d = 12.740.000 m

Circunferência da órbita da Lua (C): C = 24 x 108 m

Diâmetro da órbita da Lua (D): D = 7,64 x 108 m

30 Física na Escola, v. 5, n. 1, 2004

obtivemos poderá ser expresso na ter-minologia newtoniana utilizando aexpressão da distância percorrida porum corpo em aceleração uniforme apartir de repouso, expressão algébricaque não era, entretanto, utilizada noSéculo XVII, quando o um bom argu-mento matemático devia ser expressona linguagem geométrica e das pro-porções. Cometendo, portanto, umanacronismo, em função da finali-dade pedagógica, podemos traduzir nalinguagem newtoniana o valor queobtivemos:

h = at2/2 =2,7 x 10-3 m/s2

x (60)2/2 = 4,86 m

Os 4,86 metros que obtivemoscorrespondem, convertidos, a 14,96pés parisienses, valor em boa concor-dância com aquele obtido por New-ton.

Passo 2 – Primeira alternativa:Agora vamos imaginar que a Lua caiuna direção da Terra. Como Newton jáhavia demonstrado, em proposiçõesno Livro I, que uma força centrípetacapaz de gerar movimentos circularesou elípticos, e cujos movimentosobedecem à Terceira Lei de Kepler, deveser proporcional ao inverso do qua-drado da distância ao centro da cir-cunferência, ele pode afirmar que nasuperfície da Terra esta força sobre aLua será 602 vezes maior que naórbita da Lua, uma vez que estamosassumindo a distância média da Luaà Terra ser de 60 raios terrestres.Adotando a proporcionalidade entreforça e aceleração, chegamos àconclusão que a aceleração da Lua nasuperfície da Terra será igualmente602 vezes mais intensa que a acele-ração na órbita natural da Lua. Tendoem vista que ac0 = 2,7 x 103 m/s2, deacordo com os cálculos feitos no Passo

1, encontramos para a aceleração daLua na superfície da Terra, um valorde act ≅ 9.72 m/s2. No Ensino Médio,vale a pena chamar a atenção dosestudantes para a familiaridade quetemos hoje com esse valor pela suaproximidade da conhecida aceleraçãodos corpos em queda livre na superfícieterrestre.

Passo 2 – Segunda alternativa: Ocálculo feito conforme os recursosmatemáticos usados por Newton é detal simplicidade e elegância que pen-samos que ele deveria ser apresentadoaos nossos estudantes. Nesta etapado nosso trabalho, com o objetivo defacilitar o entendimento, não segui-remos o raciocínio de Newton, queestava apoiado nos teoremas de Huy-gens, mas utilizaremos a relação di-reta do período de um pêndulo com ocomprimento, relação esta que é parteintegrante do conteúdo do EnsinoMédio. Observamos, entretanto, queessa relação hoje tão familiar pôde serdeduzida facilmente dos teoremas deHuygens, como, aliás, já o fizemos.

Colocando a expressão em funçãode g, temos:

Convertendo os valores que New-ton adotou de Huygens, temos queum pêndulo de comprimento L = 1,0metro tem um período T = 2 segun-dos e fornece o seguinte valor para aaceleração da gravidade:

Este valor é aproximadamente omesmo que encontramos para a Lua

Newton e a Força Gravitacional

no Passo 2 – Primeira alternativa.Isto é o que nós esperaríamos, se aforça que segura a Lua em sua órbitaé da mesma natureza daquela que fazuma pedra cair na superfície terrestre.Desse modo, Newton obtém umaexpressiva evidência para seu argu-mento de que a força centrípeta queage sobre a Lua é de natureza gravi-tacional.

ConclusõesA Proposição IV do Livro III dos

“Princípios Matemáticos da FilosofiaNatural”, ou o argumento da “quedada Lua”, é um marco essencial nahistória da ciência, uma proposiçãocrucial no desenvolvimento da idéiada gravitação universal e de nossamoderna cosmologia, como assina-lado por Densmore. Como vimos, elapode, e deveria, ser introduzida noscursos de Licenciatura em Física e noensino de Física no Ensino Médio. Aofazê-lo, estaremos ensinando um bomconteúdo de Física, de modo atrativo,e contextualizando-o nos marcos doconhecimento científico da época.Estaremos, também, introduzindo osestudantes em uma reflexão sobre aprodução da própria Física, examinan-do, em particular, o papel dos experi-mentos de pensamento e o papel dasestratégias de persuasão na constru-ção do conhecimento científico.Usando as palavras de Matthews[6], estaremos ensinando tanto oconhecimento em ciência comosobre a ciência. Constatando a qua-se total ausência da apresentaçãodessa Proposição nos livros didá-ticos de Física, nos damos conta doquanto ainda pode ser feito paratornar o ensino de Física mais atra-tivo e mais significativo para osnossos estudantes.

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[10] Newton, I. The Principia – Mathemati-

31Física na Escola, v. 5, n. 1, 2004

cal Principles of Natural Philosophy, Anew translation by I. Bernard Cohen& Anne Whitman, preceded by AGuide to Newton´s Principia by I. Ber-nard Cohen, University of CaliforniaPress, (1999).

[11] Nussenzveig, M. Curso de Física Básica– 1 – Mecânica, 3ª ed., Editora EdgardBlucher, São Paulo, (1996).

[12] Sonneville, M. et Fauque, D. La gravi-tation, Centre National de Documen-tation Pédagogique, Paris, (1997).

[13] Nussenzveig [11] e Holton [5] são,nesse sentido, exceções. Contudo, osdois livros apresentam a comparaçãoentre a aceleração centrípeta da Lua ea aceleração da gravidade na superfí-cie terrestre fazendo um caminhoinverso ao do argumento original deNewton, isto é, eles partem da acelera-ção na superfície da Terra, reduzemesse valor em função da distância Ter-ra – Lua, e comparam com a acele-ração centrípeta da Lua. A ausênciado experimento de pensamento da“queda da Lua” reduz, a nosso ver,parte da fascinação exercida por essaProposição. Mesmo entre historia-dores da ciência a expressão “quedada Lua” não é de uso generalizado;Blay [1] é dos poucos a utilizar estaexpressão, que nos parece muito signi-ficativa tanto do ponto de vista histó-rico quanto pedagógico.

[14] Em curso ministrado por um dos au-tores (Freire Jr.), no qual se explorouo livro de Matthews [7], a apresenta-ção desse livro, dedicado às implica-ções históricas e filosóficas do estudodo movimento pendular, motivou umgrupo de alunos a examinar nos deta-lhes Proposição IV, a qual é apresen-tada, no referido livro, nas páginas188-191. O presente trabalho é o resul-

tado dessa atividade. Uma versãopreliminar desse trabalho foi apresen-tada no XV Simpósio Nacional de Ensinode Física, Curitiba, 2003.

[15] A tradução dessa frase encerra certadificuldade. Newton [8] escreveu nooriginal em latim “Lunam gravitare interram; & vi gravitatis retrahi sempera motu rectlineo, & in orbe suo retireri”.A tradução inglesa de Motte-Cajoriadotou “That the moon gravitates to-wards the earth, ...”. A clássica tradu-ção francesa da Marquesa do Chastelet[1, 12] adotou “La Lune gravite vers laTerre, ...”. Para os leitores contempo-râneos a expressão “Que a Lua gravitaem torno da Terra” já implica na idéiade que a Lua circula em torno da Terraatraída pela força da gravidade. AtéNewton, contudo, a expressão gravi-dade expressava apenas o peso doscorpos terrestres e não uma forçaatuando em escala astronômica sobreum corpo celeste. Uma tradução maisliteral e mais precisa, porém redundan-te para o leitor contemporâneo, pareceser “Que a Lua gravita na direção daTerra” para enfatizar a idéia de que aforça centrípeta é da mesma naturezado peso dos corpos terrestres.

[16] Não conhecemos uma tradução portu-guesa adequada para o termo “versedsine”, razão pela qual deixamos a ex-pressão inglesa. A dificuldade está rela-cionada à própria história do conheci-mento físico e matemático, pois, confor-me assinalado por I. Bernard Cohen emNewton [10], “um termo com o qual osleitores de hoje podem não estar fami-liarizados é ‘versed sine’ [...] porque hojenós pensamos nas funções trigonomé-tricas em termos de ângulos, mas, naépoca de Newton, e mesmo no séculoXIX, estas funções eram concebidas e

definidas mais em termos de seus arcosque de seus ângulos correspondentes”.A expressão atual para o “versed sine”seria um menos o cosseno (1 – cos θ).

[17] Esta tradução teve por base Newton[9]. Após o texto aqui traduzido, New-ton incluiu uma explicação sobre apremissa da Terra em repouso e umEscólio, que não traduzimos.

[18] Para uma apresentação do contextointelectual e científico no qual New-ton formulou a idéia da força gravita-cional, ver Butterfield [2].

[19] Para descrições didáticas dos êxitos damecânica newtoniana, bem como dosobstáculos por ela enfrentados, ver[5, 11].

[20] Carolino [3] mostra que tanto osfilósofos aristotélicos quanto astrólo-gos medievais admitiam o “influxo”dos planetas como uma das formasde influência dos corpos celestes sobrea Terra. “Esta forma de influenciarconsiderava-se oculta, pois não haviameio de saber como, na realidade, talse processava. Essa ação só se podiaconceber por intermédio de seus efei-tos. [...] E assim dizia-se, por exemplo,que o influxo da Lua provocava asmarés”. O leitor pode perceber clara-mente que não seria implausível, paraos contemporâneos de Newton, umaassociação da gravitação com tais“influxos”; de onde todo o cuidado deNewton na construção de sua argu-mentação.

[21] Da geometria temos que, o triânguloAFD é retângulo em F, visto que é ins-crito na semi-circunferência, o triân-gulo AFL é retângulo em L, visto queAL é a projeção de AF na direção deAD, e o ângulo  é comum. Logo porângulo - ângulo - ângulo os triângulosAFD e AFL são semelhantes.

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OSimpósio Nacional de Ensinode Física (SNEF) é organizadopela Sociedade Brasileira de

Física (SBF) e ocorre a cada dois anos.Neste ano será realizado no CentroFederal de Educação Tecnológica doRio de Janeiro (CEFET-RJ), na semana

de 24 a 28 de janeiro de 2005. O temado encontro “O Ensino no Ano Mun-dial da Física” é fruto da coincidênciahistórica deste XVI SNEF com adeterminação da UNESCO de come-morar em 2005 o ano mundial daFísica (WYP 2005), uma vez que em2005 completa-se 100 anos dostrabalhos de Einstein de 1905. NoBrasil, as comemorações do anomundial da Física estão sendo organi-zadas pela SBF, sob a coordenação doProf. Dr. Ildeu de Castro Moreira. Em2005, o primeiro evento do ano sob opatrocínio da SBF é o SNEF. Assimsendo o XVI SNEF iniciará, no Brasil,as comemorações das atividadesrelativas ao Ano Mundial da Física.

Convidamos professores, futurosprofessores e demais interessados, detodos os níveis de ensino, para de-bater questões relacionadas ao ensinoe aprendizagem de Física neste “AnoMundial da Física”; para apresen-tarem os resultados de suas experiên-cias didáticas e de suas pesquisasrealizadas no campo da investigaçãodo ensino de Física e na formação deprofissionais para atuarem nessecampo, quer como docentes ou comopesquisadores.

Para maiores informações sobreo SNEF, consulte a página da Socie-dade Brasileira de Fïsica em http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xvi/.