Uma Introdução aos Delineamentos Sequenciais

Edcarlos Miranda de Souza (UFAC)

Análise de dados de Sensibilidade

Exemplos de situações onde tal conceito é aplicado:

• Experimentos com explosivos;

• Pesquisas farmacêuticas;

• Pesquisas sobre germicidas;

• Pesquisas sobre Anestésicos;

• Experimentos de dose-resposta;

• Etc.;

Experimento com explosivos

Para cada bomba está associada uma altura crítica!

Experimentos com inseticidas

Para cada inseto está associado uma dose crítica!

Resumo (exemplificando com as alturas) :

• Investigações experimentais frequentemente lidam com variáveis contínuas que não podem ser medidas na prática;

• A altura (dose) crítica em que o peso é derrubado (inseticida é aplicado) não pode ser medida na prática;

• O que se conhece é se determinada altura é maior ou menor do que a altura (dose) crítica;

• O que se pode fazer é selecionar alguma altura (dose) arbitrária e determinar se a altura crítica para uma dada espécie e menor ou maior do que a altura selecionada;

• Em Análise de Sensibilidade o que pode ser feito na prática é observar se a unidade experimental é sensível ou não ao tratamento pelo qual ela é submetida.

Um “pequeno” problema:

A primeira Técnica proposta

• O Método Probit, desenvolvido por Bliss (1934,1935) e Fisher (1935).

O Método Probit

Ensaios de dose-resposta:

• Uma determinada droga é administrada em K diferentes doses d1

, d2, ... dk a respectivamente

m1, m2

, ... mk indivíduos, obtendo-se como resposta, após um período especificado, y1

, y2,

... yk indivíduos que mudam de estado (ocorrência de um sucesso).

• A resposta de cada indivíduo e binária;

O probit

~ ,i i iY Bin m

Susceptibilidade ou Tolerância

• Sobre certas condições, a Susceptibilidade ou Tolerância de cada indivíduo pode ser representada pela menor dose que é apenas suficiente para matá-lo, a dose letal do indivíduo.

• Nos experimentos com explosivos seria a menor altura para qual o explosivo explode, da qual abaixo desta altura não ocorre a explosão e acima desta altura sempre explode.

Susceptibilidade ou Tolerância

• Suposição 1: Esta Susceptibilidade ou Tolerância varia de indivíduo para indivíduo da população.

• Suposição 2: A curva de distribuição dessa Susceptibilidade ou Tolerância é uma Normal.

i 2, id

iP U d idUP

1iP Z d

1 2 iP Z d 1 2 id

1

1 2i id iprobit

2~ ,U N

1

2

1

Simulação

2,

2) Para cada dose foi simulado o total de sucessos em

k ensaios: , ;i i i i imortos Bin n k d

14) Calculou-se ;i iprobit p p

3) Calculou-se ;ii

i

mortosp

k

5) Regressão Linear (reta) em: idoses probit p

ˆ ˆ6) Com os betas estimados encontrou-se .e

1) Estipulou-se uma sequencia de doses;

Um “probleminha”

• O método probit tem um pequeno problema quando na amostra ocorre 100% de sucessos ou 100% de fracassos, pois neste caso:

1

1

0 ?

1 ?

Como encontrar as estimativas?

O Problema dos zeros e uns

Alguns resultados: probit

Alguns resultados: probit

Alguns resultados: probit

Alguns resultados: probit

iy 1iy 1iy

1iFracasso em y iFracasso em y

iSucesso em y1iSucesso em y

O Método Up and Down

Exemplo dos explosivos

alturas: 2,0m, 1,7m,1,4m e 1,1m

S S F S S F F S F

2,0 m

1,7 m 1,7 m 1,7 m

1,4 m 1,4 m 1,4 m 1,4 m

1,1 m

Notações:

1)a altura será representada por ;ii y

2) é a distância entre as alturas (doses);d

2,3) p ;i i iP U y y

4) é o número de vezes que o passeio visitou a altura i

e ocorreu um sucesso (explosão);

in

6) ;iN n

7) ;iM m

5) é o número de vezes que o passeio visitou a altura

e ocorreu um fracasso (não explosão);

im i

Máxima Verossimilhança do passeio

0, | i in m

i i

i

P n m y K p q

0 1 2 1 2 3 2 1 2, , , , , , , ,

S F S S F S FS F

y y y y y y y y y

0

0

1

0

n

m

1

1

3

0

n

m

2

2

1

3

n

m

3

3

0

1

n

m

Psequencia 1 0

0 0p q 3 0

1 1p q 1 3

2 2p q 0 1

3 3p q

Observação Interessante:

• O número de falhas em qualquer nível não pode diferir em mais do que um para o número de sucessos no próximo nível mais alto (Isso vale para este tipo de experimento: explodiu desce, não explodiu sobe).

Quando voltamos a yi ?

iy 1iy 1iy

Uma aproximação para a Verossimilhança

1,i in m N M

0 1, | , 'in

i i

i

P n m y M N K p q

Equações de Máxima Verossimilhança

1

1

1 1

1

log0 0

log0 0

i ii

i i

i i i ii

i i

z zPn

q q

x z x zPn

q q

1

ˆ 'min( , ) 2

Ay d

M N

2

2ˆ 1.62 0.029

NB Ad

N

iA in2

iB i n

Como simular o passeio do bêbado?

1. Especificamos as alturas yi’s; 2. Escolhemos uma altura inicial; 3. Calculamos a probabilidade p de

explosão para esta altura; 4. Geramos um número u uniforme entre

0 e 1 ; 5. Se u<p ocorre uma explosão, baixamos

uma altura e repetimos o processo para esta nova altura;

6. Se u>=p não explode, subimos a altura e repetimos o processo para a nova altura.

7. Para se ter uma amostra de tamanho 100, repete-se o processo 100 vezes.

Alguns resultados: Up and Down

Alguns resultados: Up and Down

Alguns resultados: Up and Down

Alguns resultados: Up and Down

Alguns resultados: Up and Down

Alguns resultados: Up and Down

Alguns resultados: Up and Down

Alguns resultados: Up and Down

Comentários!

• Probit

• X

• Up and Down

O Delineamento da Moeda Viciada (Biased Coin Design – BCD)

Derman (1957); Stylianou e Flournoy (2002)

iy 1iy 1iy

0, | i i in w m

i i i

i

P n m y K p l q

• Obrigado pelas palmas!!!