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Esta comunicação é fruto de uma pesquisa desenvolvida com alunos de um curso de Licenciatura em Matemática de uma universidade privada da cidade de São Paulo. O convite para participar desta pesquisa foi feito a todos os alunos do curso de Licenciatura em Matemática, aceitaram o convite !" alunos de turmas diferentes. Nosso objetivo foi o de investigar como os conteúdos matemáticos aprendidos por alunos são mobilizados em situ-ações diferentes daquelas tipicamente trabalhadas nas aulas de Matemática. Para isso resolvemos trabalhar com os alu-nos nesta pesquisa as mobilizações de conhecimentos matemáticos na disciplina de Física, a #m de veri#car como eles se comportam diante de tarefas de Física que exigem a mobilização de conteúdos matemáticos, considerando que estes nem sempre são apresentados de forma explícita. Em alguns casos, quando um aluno não resolve um exercício de Física em que é preciso usar conteúdos matemáticos, não podemos a#rmar apenas que não tem conhecimentos matemáticos su#cientes; que tem di#culdades na interpreta-ção do enunciado; ou que não aprendeu nada de Matemática nas séries anteriores. O problema parece bem mais amplo e envolve uma série de aspectos não somente relacionados aos conteúdos matemáticos, mas também didáticos, relativos a um determinado conhecimento de conteúdo. Para veri#car estas considerações e atingir o objetivo mencionado anteriormente nosso instrumento de pesquisa foi elaborados a luz do referencial teórico da didática francesa, mais especi#camente com base no referencial teórico do pesquisar francês Raymound Duval, sobre os registros de representação semiótica. Este instrumento foi elaborado com três questões sobre Cinemática e apresentava, em sua comanda, as informações para sua realização. Não foi exigido que os alunos resolvessem as tarefas, porém considerava-se ideal a sua resolução, pois o objetivo era de que eles descreves-sem as principais di#culdades encontradas, envolvendo as diferentes representações apresentadas em cada tarefa, bem como as presentes na resolução. Era preciso que os alunos veri#cassem se o enunciado facilitava a resolução ou não. Tal instrumento tinha por objetivo veri#car como os alunos se comportam diante de tarefas que exigem o trabalho com um mesmo objeto matemático, porém em diferentes registros de representação, e em quais tipos de transformações eles apresentam maior ou menor di#culdade. Tivemos a intenção também de veri#car como os alunos se comportam ao realizarem uma análise didática de tare-fas de Física que apresentam a transformabilidade de um mesmo objeto matemático, no caso, a função polinomial de !.º grau. Passamos no próximo tópico a apresentar uma síntese do que Duval (!$$%, &''$) conisdera sobre os registros de re-presentação semiótica e seus aspectos de transformabilidade.

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Para Duval (!$$%), os registros de representação semiótica são representações referentes a um sistema de signi#cação, ou seja, são uma forma de tornar algo acessível a alguém, comunicando uma ideia que parte de uma formulação men-tal. Assim, Duval (!$$%) de#ne as representações semióticas como produções que empregam signos de um sistema de representação. O autor destaca que «uma #gura, um enunciado em língua natural, uma fórmula algébrica, um grá#co, são representações semióticas que salientam sistemas semióticos diferentes» (Ibid., p. %$). Podemos entender que um mesmo objeto matemático quando apresentado por meio de representações diferentes não apresenta o mesmo conteúdo.

UMA INVESTIGAÇÃO COM ALUNOS DE UM CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA SOBRE A MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS

Edda CuriUniversidade Cruzeiro do Sul — Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Matemática/São Paulo — Brasiledda.curi@ cruzeirodosul.edu.br

Cintia Ap. Bento dos SantosUniversidade Cruzeiro do Sul — Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Matemática/ São Paulo — Brasilcintia.santos@cruzeirodosul.edu.br

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Duval (&''$) entende que os registros de representação semiótica constituem uma forma de explorar uma informa-ção ou simplesmente comunicá-la a um interlocutor. Existem quatro tipos muito diferentes de registros, que podem ser sintetizados de acordo com a Figura !.

F()*+, !.—Classi#cação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemático Fonte: Duval, &''%

Para Duval (&''%) «a originalidade da atividade Matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois regis-tros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar a todo momento de registro de representação» (Ibid, p.!-). Na resolução de tarefas, um registro pode aparecer privilegiado, porém sempre deve existir a possibilidade de passar de um registro a outro; assim, o autor enfatiza que a compreensão em Matemática depende da coordenação de ao menos dois registros de representação semiótica. Ele considera, ainda, que as representações semióticas são indis-pensáveis para #ns de funcionamento e mobilização de conteúdos matemáticos, ou seja, não existe mobilização de con-teúdos que não esteja associada a representações semióticas. Duval (!$$%, &''$) considera que, para um sistema semiótico poder funcionar como um registro de representação, ele deve assumir outras funções, além da comunicação, duas das quais, importantes em termos cognitivos, são as trans-formações de conversão e as de tratamento. Em relação à transformação de tratamento, Duval (!$$%) de#ne que este signi#ca uma atividade cognitiva que visa à transformação de uma representação semiótica em outra, porém permanecendo o mesmo registro de representação, como, por exemplo, a resolução de uma equação ou sistemas de equações; e a#rma que «o tratamento é uma transfor-mação interna a um registro» (Ibid., p. -!). Já a transformação de representação, chamada de conversão, consiste na mu-dança entre o registro de partida e de chegada, porém conservando o mesmo objeto matemático, como exemplo, pode-mos mencionar a passagem da escrita algébrica de uma equação à sua representação grá#ca, ou mesmo, a representação grá#ca para a escrita algébrica. A teoria de Duval (&''%, &''$) possibilita a re.exão a respeito do fato de uma tarefa proposta pode ser entendida quando apresentada no registro #gural, mas pode oferecer di#culdades, se expressa por meio do registro em língua na-tural ou mesmo simbólico, pois as funções cognitivas a serem mobilizadas são diferentes em cada tipo de registro. Es-tas observações remetem-nos a di#culdades que podem ser encontradas pelos educandos nas tarefas de Física, uma vez que a maioria delas apresenta seu enunciado no registro da língua natural, porém sua resolução exige a passagem para o registro #gural (mesmo que de forma mental) e ainda necessita do registro no sistema de escrita. Duval considera que

«a passagem de um enunciado em língua natural a uma representação em outro registro toca um conjunto complexo de operações para designar os objetos» (DUVAL, &''%, p.!/).

{!} Maiores detalhes sobre esta pesquisa, os demais instrumentos e suas respectivas análises podem ser veri#cados em Santos (&'!').

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Conforme mencionamos anteriormente as analises das atividades que passaremos a apresentar fazem parte de um ins-trumento de pesquisa{!} que foi elaborado com três tarefas em que cada uma se relaciona a um tipo de transformação. A tarefa ! transcrita na Figura &, apresenta seu enunciado na lingua natural e fornece, inclusive, a representação grá-#ca. Solicita a função horária da velocidade representada pelo grá#co, ou seja, é necessário, a partir destes dois registros fornecidos, construir o registro algébrico.

F()*+, &.—Comanda da tarefa ! do instrumento Fonte: Adaptado de Bonjorno et al., &''!

A transformação que ocorre em uma tarefa como esta é a conversão, pois o objeto matemático continua a ser o mesmo, o que muda é seu registro de representação. Consideramos também que o aluno precisava ter conceitos adquiridos so-bre a Cinemática, a #m de identi#car que o grá#co apresentaria duas funções horárias distintas, uma no intervalo de ' a %s e outra no intervalo de %s a !'s, por tratar-se de um grá#co do Movimento Uniforme. Nossa hipótese era de que os alunos teriam maior di#culdade na resolução desta tarefa, uma vez que a conversão, ou seja, a passagem do registro grá#co para o registro algébrico já não é uma ação tão imediata. Neste caso, a resolução não é técnica: é necessário certa adaptação para que os alunos mobilizem os conteúdos. Ao considerarmos as respostas dos alunos, constatamos que a maior di#culdade era extrair as informações do grá#co e representá-las na forma algébrica; ou seja, a conversão necessária, neste caso, quando se necessita realizar a passagem da representação grá#ca para representação algébrica, parece não ser uma transformação imediata para os alunos, o que di#culta o entendimento da questão e o êxito da resolução. E con#rma também, em tarefas de Física que envolvem as representações, o que Duval (&''%, &''$) considera, para a Matemática: representações diferentes de um mesmo obje-to suscitam di#culdades para os alunos, pois não apresentam, de forma alguma, o mesmo conteúdo. No caso da passagem de um grá#co para uma representação algébrica, apesar de falarmos do mesmo objeto mate-mático — neste caso, a função a#m ou função polinomial de primeiro grau —, um dos problemas identi#cados nesta conversão é a institucionalização habitual que a conversão tem para os alunos no seguinte sentido: a partir de uma fun-ção, elaborar um grá#co, e não o sentido inverso. Este sentido considerado inverso, apesar de utilizar o mesmo objeto matemático, não tem o mesmo signi#cado para os alunos. Aqui podemos retomar Duval (&''$), que a#rma que representações diferentes de um mesmo objeto mate-mático apresentam conteúdos diferentes, ou seja, são situações diferentes trabalhar um grá#co e uma expressão algébri-ca embora representem o mesmo objeto matemático. Nos protocolos dos alunos apresentados nas próximas #guras é possível veri#car a di#culdade que apresentam em a partir do registro grá#co passar para o registro algébrico.

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Nos protocolos dos alunos, #ca claro embora reconheçam o objeto matemático e veri#quem a necessidade de extrair do grá#co as funções horárias da velocidade de cada movimento fornecido em seu intervalo de tempo apresentam di#cul-dades em realizar a representação. Ou seja, a di#culdade em compreender o enunciado, mencionada pelos alunos, nada mais é do que a di#culdade de transformar o registro da língua natural em registro algébrico. Com base na análise destes protocolos podemos veri#car as di#culdades dos alunos e #ca evidente que o problema pode não estar associado ao conhecimento de um conteúdo matemático e sim ao reconhecimento de um objeto matemá-tico em diferentes registros de representação. As vezes como professores de Matemática imaginamos que determinadas conexões são simples para os alunos quando na verdade podem não ser. Aqui podemos relacionar o que Duval (&''$) considera a este respeito: o autor a#rma que a passagem de um sistema de representação para outro pode ser fator fre-quente e familiar na atividade matemática, porém não tem nada de evidente e espontâneo, para a maioria dos alunos. Para a tarefa &, apresentada na Figura 0, fornecemos o registro algébrico conjuntamente com o intervalo de tempo do deslocamento e solicitamos aos alunos o registro grá#co desse mesmo objeto matemático, ou seja, o deslocamento do móvel.

F()*+, %.—Protocolo da tarefa ! do A''%

F()*+, -.—Protocolo tarefa ! do A''1

F()*+, ".—Protocolo da tarefa ! do A''-

F()*+, 0.—Comanda da tarefa & do instrumento % Fonte: Adaptado de Bonjorno et al., &''!

Nossa hipótese era de que os alunos tivessem menor di#culdade para a resolução esta tarefa, uma vez que a transforma-ção, mesmo sendo, neste caso, uma conversão, consiste em uma ação mais imediata e rotineira para alunos: a passagem do registro algébrico para o registro grá#co, uma transformação de conversão que imaginamos não apresentar o mesmo grau de di#culdade da conversão inversa.

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Fica evidente, no protocolo dos alunos, que, para esta tarefa, o custo cognitivo da resolução é mais imediato em re-lação às mobilizações necessárias. Tais constatações estão também nos protocolos dos alunos, apresentados nas #guras 1, / e $.

Nos protocolos, veri#camos que os alunos reconhecem que o enunciado facilita a resolução e que a solução se torna facilitada pelo fato de essa transformação de representação oferecer um conteúdo de uma forma que os alunos já estão habituados a trabalhar. Notamos, inclusive, no protocolo do aluno ''-, que, apesar de reconhecer que esta tarefa apresenta o caminho in-verso da anterior, ele admite ter tido di#culdades na resolução, embora a tarefa seja de fácil interpretação.

F()*+, 1.—Protocolo da tarefa & do A''&

F()*+, /.—Protocolo da tarefa & do A''%

F()*+, $.—Protocolo da tarefa & do A''1

F()*+, !'.—Protocolo da tarefa & do A''-

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De fato, esta tarefa apresenta o mesmo conteúdo matemático da anterior, porém ela pode ser mais acessível aos alu-nos devido ao caminho da transformação desta conversão isso #ca con#rmado, uma vez que Duval (&''$) considera que, em uma transformação de conversão, o objeto matemático continua a ser o mesmo, mas seu conteúdo é diferente, quando se considera seu registro de representação. Porém podemos observar, nesse protocolo, que suas di#culdades estão relacionadas a aspectos conceituais da Mate-mática. É clara a di#culdade dos alunos em associar o objeto matemático, função polinomial de primeiro grau, inserido no contexto da Física. Imaginamos que, se, porventura, esta questão apresentasse uma função com variáveis expressas por y e x e solicitasse a construção grá#ca, talvez não ocorressem tais di#culdades por parte dos alunos. Dessa forma, #ca evidente que a articulação de conteúdos matemáticos nas aulas de Física ainda apresenta diversas fragilidades, pri-cipalmente quando ocorre a mobilização de mesmos objetos matemáticos, mas por meio de representações semióticas diferentes. A tarefa %, apresentada na Figura !!, tem, em seu enunciado na língua natural, também o registro algébrico, ou seja, a própria função horária do deslocamento. As alternativas solicitadas para resolução estão todas atreladas à função já fornecida. Nesta tarefa a transformação presente é o tratamento, pois o aluno parte do registro algébrico e continua tra-balhando nele.

F()*+, !!.—Comanda da tarefa % do instrumento % Fonte: Bonjorno et al., &''!, p. &0

Duval (&''%) salienta que o tratamento é uma atividade de transformação de representações dentro de um mesmo re-gistro semiótico; ele mesmo cita como exemplo a resolução de uma equação. Nesta tarefa, nossa hipótese era de que os alunos apresentariam menor di#culdade, por haver uma ação mais imedia-ta de resolução, uma vez que o trabalho ocorre apenas no registro algébrico. Não são necessárias mobilizações de con-teúdos, além daquelas previamente fornecidas. Em relação a esta tarefa, observamos, nas respostas dos alunos, que, diferentemente das anteriores, eles não realiza-ram muitas descrições sobre o grau de di#culdade; partiram da resolução imediata, ou seja, substituíram os valores na função e chegaram aos resultados. A maioria dos alunos resolveu com êxito os itens «a», «b» e «c». Ressaltamos que no item «d» alguns alunos erraram a questão, por terem feito a substituição imediata do valor !'s na variável tempo da função. Seguiram a mesma sistemática dos itens anteriores e não observaram que o item «d» se referia à distância percorrida pelo móvel no !'.º segundo, ou seja, no intervalo de tempo entre !'s e !!s.

F()*+, !&.—Protocolo da tarefa % do A''&

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Segundo os protocolos apresentados nas Figuras !& e !%, #ca evidente que os alunos consideram esta tarefa como uma «manipulação de fórmulas», não expressando di#culdades em sua resolução. Para Duval (&''%), esse tipo de transformação, o tratamento, é, muitas vezes, do ponto de vista «pedagógico», uma forma de procurar o melhor registro de representação a ser utilizado para que os alunos possam compreender uma situ-ação. Cabe ressaltar que, quando solicitamos, na comanda inicial do instrumento, que os alunos veri#cassem se a forma de apresentação do enunciado facilitava ou não a resolução da tarefa, tínhamos como objetivo que, mesmo implicitamente, os alunos veri#cassem as diferentes representações envolvidas em cada tarefa, mesmo sem classi#car estas transforma-ções em tratamentos e conversões. Um passo importante é a própria veri#cação dos diferentes registros, pois este fator indica se os alunos transitam por diferentes registros de representação, em se tratando do mesmo objeto matemático.Para Duval (&''%), «os fenômenos cognitivos reveladores da atividade matemática concernem a mobilização de vários registros de representação semiótica e à conversão dessas representações» (Ibid, p.&-). Nestas tarefas que compuseram este instrumento, utilizamos basicamente o mesmo objeto matemático (funções po-linomiais de primeiro grau). A intenção era evidenciar que sua aprendizagem na Matemática não pode apresentar uma conotação tão distante que não a faça ser reconhida na disciplina de Física. Mas os resultados indicam que, em alguns casos, os alunos comprendem o sentido de uma conversão, mas não reconhecem seu sentido de volta. Sobre a responsa-bilidade deste fato, Duval (&''%) considera que «geralmente, no ensino, um sentido de conversão é privilegiado, pela idéia de que o treinamento num sentido estaria automaticamente treinando a conversão no outro sentido» (Ibid, p.&'). Assim, nem sempre o trabalho, por exemplo, partindo da representação algébrica para a representação grá#ca, quer di-zer que o aluno em situações futuras tenha clareza, ao partir da representação grá#ca para a representação algébrica.

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Com base nas analises realizadas #ca evidente que a passagem de um registro de representação a outro em algumas si-tuações ocupa um papel de fragilidade perante ao aluno quanto a mobilização de conteúdos matemáticos e também no reconhecimento do objeto matemático que está sendo trabalhado. A teoria de Duval (!$$%, &''$) possibilita ao professor entender o funcionamento das di#culdades apresentadas pe-los alunos e em que problemas esbarram quando não conseguem resolver determinadas tarefas. Ficou evidente em nos-sa pesquisa que os alunos conseguem trabalhar com facilidade na resolução de uma tarefa que vai do registro algébrico para o grá#co, porém revelaram di#culdades em solucionar a tarefa que solicitava o caminho inverso.

F()*+, !%.—Protocolo da tarefa % do A''%

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Com base nestas considerações é possível concluir que a aprendizagem está associada ao fato do aluno reconhecer o mesmo objeto matemático em diferentes representações e que esse reconhecimento é responsável pelo sucesso que os alunos podem apresentar nas mobilizações de conteúdos matemáticos em diferentes situações. Isso #ca evidente na disciplina de Física, uma vez que, esta é uma disciplina que apesar de seu forte caráter conceitual depende também de resoluções de tarefas que necessitam da articulação e reconhecimento de conteúdos matemáticos.Com base nesta teoria e na análise da pesquisa desenvolvida pudemos observar também que a passagem de um sistema de representação para outro ou a mobilização simultânea de vários sistemas de representação, no decurso do mesmo processo intelectual, podem ser fenômenos familiares e frequentes na atividade matemática, porém não são espontâne-os ou evidentes para a maioria dos estudantes. Assim nas atividades de ensino deve-se considerar a diversidade dos registros de representação semiótica envolvidos em uma determinada situação. Dessa forma, observamos nesta teoria um caminho que possibilita a professores a análise da di#culdade dos alunos em relação a um determinado conteúdo, sendo ainda que esta abordagem possibilita a elabo-ração até mesmo de sequências didáticas que façam evoluir a concepção dos alunos num determinado nível de ensino. Muitas vezes são os problemas de coordenação entre os registros de representação semiótica que geram aos alunos uma aprendizagem fragmentada, não possibilitando que os objetos aprendidos se encontrarem disponíveis em relação a sua mobilização para serem utilizados em situações futuras.

R*8*#:!3.0+

Bonjorno, R. A. et al. (&''!). Física completa. Volume único: ensino médio. & ed. São Paulo: FTD.

Duval, R.(!$$%). Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactiques et de Sciences Cognitives, v. ", p. %1-0".

______. (&''%). Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática. In: MACHADO, S. D. A. (Org.). Aprendizagem em Matemática: registros de representação semiótica. Campinas, SP: Papirus. p.!!-%%.

______. (&''$). Semiósis e pensamento humano: registros semióticos e aprendizagens intelectuais. Trad. de Lênio Fernandes Levy e Marisa Rosâni Abreu da Silveira. São Paulo: Editora Livraria da Física.

Santos, C. A. B. (&'!'). O ensino da Física na formação do professor de Matemática. &'!', !/$ f. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Matemática)-Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo.