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UMA PROPOSTA PARA A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE
FRAÇÃO CENTRADA NA CULTURA DA ANTIGA CIVILIZAÇÃO
EGÍPCIA
Edmar Luiz Gomes Júnior
Davidson Paulo Azevedo Oliveira
Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar uma proposta de ensino na qual a história das frações
no Antigo Egito aliado à Teoria das Situações Didáticas de Brousseau, pode ser utilizada como
ferramenta didática para a introdução e exploração de conceitos iniciais deste conteúdo. Propomos
atividades que apresentam situações rotineiras dessa antiga civilização, adaptadas aos dias atuais,
usando como instrumento de medida um “pedaço de corda com nós” no intuito de proporcionar um
ensino e aprendizagem mais natural e intuitivo da ideia conceitual de fração. Assim, temos uma proposta
baseada nas experiências pedagógicas dos autores e em leituras realizadas. Além disso, apresentamos
tanto um referencial teórico marcado pela Teoria das Situações Didáticas (TSD) e por argumentos que
justificam e norteiam a utilização da História da Matemática em sala de aula e enquanto perspectiva no
Educação Matemática quanto um panorama histórico do Egito Antigo e de uma Matemática mais
prática, desenvolvida por eles, destacando essencialmente o modo singular de suas frações unitárias.
Palavras-chave: Frações, História da Matemática, Teoria das Situações Didáticas, Educação
Matemática.
Introdução
Durante nossas práticas pedagógicas percebemos o quanto o tópico de frações e seus
conceitos iniciais são importantes e, ao mesmo tempo, não enfatizados, seja nos livros didáticos
ou nos materiais de apoio ao professor. Nesse sentido, Brolezzi (1996, p. 1) afirma que,
atualmente, não é possível “construir na mente dos alunos um conceito de número racional que
permita sua utilização mais tarde. As operações com racionais são, quando muito, mecanizadas
em torno de algumas regrinhas básicas geralmente confundidas umas com as outras”.
Para Patrono (2011) as dificuldades em relação aos números Racionais, principalmente
quando representados por frações, geralmente acompanham o aluno durante todo o ensino
básico, além de estarem relacionadas, em partes à construção do conceito. Para a autora os
alunos têm dificuldade em perceber as frações como números.
É nesse sentido que Hiebert e Beher citados por Tinoco e Lopes (1994) constatam que,
para as crianças, a ideia de fração seria um par de números naturais e que essa ideia persiste até
mesmo depois delas terem iniciado o estudo dos Números Racionais.
É importante destacar que, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, Brasil
(1997), um dos objetivos da Matemática para o segundo é a construção do significado do
número racional e de suas representações, além de afirmar que o contato com representações
fracionárias é bem menos frequente no cotidiano do aluno pois seu uso limita-se a metades,
terços, quartos e mais pela via da linguagem oral do que por meio de representações escritas.
Desta forma, tal significação já deveria ter sido construída junto aos alunos que ingressam no
3º ciclo, diferentemente do percebido durante a prática pedagógica.
Portanto, apresentamos uma proposta pedagógica que se justifica, tanto para os alunos
que ainda não construíram o conceito de fração ao ingressar no 3º ciclo, quanto para aqueles
que já possuem o conceito consolidado, de modo a retomar tal significação. A proposta utiliza
de discussões envolvendo a História ao percebê-la do ponto de vista metodológico e ao utilizar
a história como uma ferramenta, no sentido de auxiliar o ensino e aprendizagem de Matemática
para a introdução do tópico de fração e na construção de seu significado junto aos alunos.
Sendo assim. apresenta-se, neste trabalho, uma proposta de ensino na qual a história
das frações, especificamente o surgimento de seu conceito no Antigo Egito, pode ser utilizado
como ferramenta didática para a introdução deste tópico em turmas do Ensino Fundamental.
São reproduzidas situações rotineiras dessa civilização, adaptadas aos dias atuais, usando como
instrumento de medida um “pedaço de corda com nós” no intuito de proporcionar uma
aprendizagem intuitiva do conceito inicial de fração.
A História da Matemática como perspectiva pedagógica
Acreditamos que, por ser o tópico de frações um conhecimento que advém de uma
necessidade histórica, como a medição de terras no antigo Egito, o uso da História da
Matemática poderia contribuir no processo de ensino e aprendizagem. Em consonância com os
argumentos reforçadores e questionadores defendidos por autores brasileiros, apresenta-se a
categorização realizada por Jankvist (2009) das potencialidades pedagógicas da História da
Matemática em dois tipos, ferramenta (Tool) e meta (Goal).
A história, como ferramenta, é vista como uma auxiliadora no processo de ensino e
aprendizagem de Matemática, diferentemente da história vista como meta, que teria finalidade
em si mesma “os argumentos presentes na visão da história como ferramenta se referem a como
os estudantes aprendem Matemática” (JANKVIST, 2009, p. 237).
Entre os argumentos classificados como ferramenta está a motivação, a ideia de que a
história pode melhorar o ensino e aprendizagem oferecendo diferentes pontos de vista, além de
nos oferecer, enquanto educadores, uma visão hipotética da construção de determinado
conhecimento ao longo da história a fim de preparar um caminho didático mais natural e
intuitivo aos alunos, pois na realidade os caminhos de tal construção na história podem ser
complexos e muitas vezes não seguir determinada lógica didática .
Um importante ponto de vista é de que a história, ainda na categoria de ferramenta,
não seja utilizada sem que antes haja modificações e adequações. Além disso, a história como
ferramenta se refere aos argumentos evolutivos, que afirmam não haver aprendizagem de
Matemática sem história. Jankvist (2009, p. 239) ainda afirma que:
O argumento recapitulação não se aplica apenas para a Matemática como um
todo, mas para conceitos matemáticos individuais e teorias. Muitas vezes, é
em relação ao desenvolvimento de conceitos matemáticos simples que outro
argumento para a história como ferramenta se relacionada com o argumento
evolutivo, o chamado paralelismo histórico, é colocado em "teste"; o
paralelismo histórico diz respeito à observação das dificuldades e obstáculos
que apareceram na história e como eles reaparecem na sala de aula.
Por outro lado, ele afirma em relação aos argumentos contidos na categorização da
história como meta, que os aspectos da aprendizagem da História da Matemática teriam um
propósito em si mesmos e ao mesmo tempo, atenta para que:
(...) quando nos referimos à história como tendo um objetivo em si, este não
deve ser confundido com o conhecimento da História da Matemática como
um tópico independente, ou seja, História da Matemática pela História da
Matemática. Em vez disso, o foco é sobre os aspectos de desenvolvimento e
evolução da Matemática enquanto disciplina (JANKVIST, 2009 p.239).
Sendo assim, o intuito seria mostrar aos alunos que a Matemática existe e que evolui
de acordo com o tempo e o espaço, ou seja, não surgiu do nada e que, os seres humanos possuem
um papel importantíssimo nesse processo de evolução que a disciplina vem sofrendo ao longo
da história através de diferentes culturas e vice-versa. Por este ponto de vista, saber a História
da Matemática não é a principal ferramenta para aprender Matemática, melhor e mais
profundamente, embora não a descarte como um subproduto que pode vir a ser positivo. Ao
utilizar a história como meta, a aprendizagem de aspectos do desenvolvimento e evolução da
Matemática tanto serve um objetivo em si mesmo quanto serve para ilustrar outros aspectos
históricos da disciplina.
Além disso, é preciso levar em consideração também, a diferenciação que Grattan-
Guiness faz de termos como História e Herança da Matemática (ROGERS, 2009). Para ele,
História foca em detalhes, contexto cultural, influências negativas, anomalias, de modo que
forneça evidências, muito distante do que nós estamos aptos a compartilhar, do que aconteceu
e como aconteceu. Herança, em contrapartida, trata da questão em si, “como chegamos aqui?”.
Onde conhecimentos prévios são vistos em termos de explicações contemporâneas e
similaridades são solicitadas. Mas o autor ainda faz um alerta, pois ao utilizarmos a Herança,
podemos deixar no aluno a impressão de que esse progresso de ideias mostre a Matemática de
maneira simples como uma disciplina cumulativa.
Desta forma, apresentados exemplos de uso da História da Matemática tanto nos
aspectos culturais da civilização egípcia (Seu sistema de numeração e atividades rotineiras que
requeriam raciocínio lógico-matemático) que serão abordados quando na maneira de tornar
lúdica a Herança da Matemática que se justificará na reprodução do sistema de medição egípcio
a fim de proporcionar ao aluno um conceito próprio e verdadeiro das frações.
A abordagem dos conceitos iniciais de fração por meio da reprodução de situações de
medição rotineiras do Antigo Egito parte de uma abordagem histórica do seu conceito tendo a
História da Matemática como perspectiva e a Teoria das Situações Didáticas (TSD) como
metodologia.
Metodologia
Este trabalho propõe que a TSD seja utilizada como a metodologia responsável por
conectar determinados saberes da antiga civilização egípcia aos conceitos iniciais de fração.
Brousseau (2008) destaca a importância da tendência natural dos indivíduos de se adaptarem
ao meio citando alguns psicólogos como, Skinner, que estudou os estímulos e propôs a
construção de um modelo de sujeito, Piaget, que estudou principalmente a gênese não escolar
dos conhecimentos através de dispositivos nos quais a criança demonstra seus padrões de
pensamento percebendo-se assim suas estruturas e conhecimentos matemáticos, além de
Vigotsky que estudou a influência do meio sociocultural na aprendizagem. Sendo assim, para
Brousseau (2008) o ensino passa a ser, pois, uma atividade que concilia dois processos: um, de
aculturação, e outro, de adaptação independente.
Segundo Brousseau (2008), é primordial que o meio, considerado como um sistema,
seja modelado, fazendo com que um problema, ou exercício, não seja considerado somente
reformulação de um conhecimento, mas um instrumento, um sistema autômato, antagônico ao
sujeito, que responde a determinadas regras e que se torne uma ferramenta que faça mais do
que apenas reformular um conhecimento, é necessário que o meio, intencionalmente, se torne
um campo fértil para a descoberta de novos conhecimentos.
Brousseau (2008) denomina situação como um modelo interacionista, do aluno com
um meio distinto que define certo conhecimento como artifício do aluno para alcançar ou
conservar, nesse meio, um estado a seu favor. Assim, a situação didática é todo o contexto que
envolve o aluno, incluindo o professor e o sistema educacional, com o intuito de produzir um
efeito de ensino, pressupondo a aprendizagem pela adaptação do aluno. Enfatiza-se que os
conhecimentos se manifestam essencialmente como instrumentos de controle das situações.
Para Brousseau (2008), as relações de um aluno com o meio podem ser dispostas em
categorias como, troca de informações não codificadas ou sem linguagem, troca de informações
codificadas em uma determinada linguagem e troca de opiniões.
A troca de informações não codificadas ou sem linguagem correspondem aos
momentos de ação e de tomada de decisão, é o momento que o aluno trilha seu próprio caminho,
diferentemente da troca de informações codificadas em uma determinada linguagem que ocorre
através de mensagens do aluno com o meio, seja na linguagem Matemática ou na linguagem
habitual do aluno. Por último, tem-se a troca de opiniões que são sentenças referentes a um
conjunto de enunciados que exercem o papel de teoria.
Um aspecto das Situações Didáticas é sua classificação em etapas, denominadas por,
devolução, ação, formulação, validação e institucionalização. As quatro primeiras fases são
denominadas situações adidáticas, pois são momentos em que o professor permite que o aluno
trilhe seu próprio caminho na busca pelo conhecimento além de não revelar a intenção didática
da situação, agindo como mediador.
A devolução é o momento em que o aluno, por intermédio do professor, aceita o
compromisso de uma situação de aprendizagem (adidática) e toma para si o peso dessa
transferência. Pommer (2008, p.2) enfatiza que na fase da devolução:
(...) o aluno se defronta com situações intencionalmente elaboradas pelo
professor (não arbitrárias), a fim de promover uma ação do aluno em busca do
conhecimento, porém os alunos inicialmente não devem perceber os
pressupostos didáticos envolvidos no objeto de estudo (o que está sendo
ensinado, o que deve ser conhecido ou sabido), a não ser pelo êxito de uma
tarefa complexa.
Com relação às situações que devem ser elaboradas pelo professor, Pommer (2008)
afirma que:
(...) cabe ao docente fazer um duplo papel cíclico: procurar situações onde os
alunos possam dar sentido ao conhecimento, através da contextualização e
personalização do saber, num movimento de vivenciar o conhecimento pelo
aluno e ajudá-los no sentido inverso, ou seja, descontextualizando e
despersonalizando os conhecimentos, como fazem os matemáticos, de modo
a tornar as produções dos alunos fatos universais e reutilizáveis (POMMER,
2008, p. 4).
Nesse sentido, as situações devem ser contextualizadas e ao mesmo tempo
proporcionar ao aluno sua descontextualização de modo que ele consiga tornar os fatos
universais e reutilizáveis em qualquer outro contexto.
Na fase da ação, o aluno deve refletir acerca do problema recebido, simular e eleger
um procedimento para sua resolução por meio da sua interação com o milieu. Pommer (2008,
p.7) afirma ainda que “(...) o termo milieu indica o meio adidático, um sistema antagonista, sem
intenção didática explícita e exterior ao aluno, que pode abranger, dentre outros, situações-
problema, jogos, os conhecimentos dos colegas e do professor”.
Nesse sentido, percebe-se que no momento da ação, as interações que se processam
entre os envolvidos na aprendizagem vão além de uma simples resolução de um exercício ou
problema proposto, é necessário que o aluno reflita acerca de tal tema e busque junto ao milieu
um procedimento que permita sua resolução.
A formulação de um conhecimento, segundo Brousseau (2008), corresponderia a uma
capacidade do sujeito de retomá-lo (reconhece-lo, identificá-lo, decompô-lo e reconstruí-lo em
um sistema linguístico). Nesta fase, o aluno deve reescrever sua estratégia, utilizando uma
linguagem mais adequada mesmo que não seja uma linguagem formal, mas que seja diferente
da usada por ele habitualmente.
Sendo assim, as fases anteriores carecem de validação, de um processo de correção,
que pode ser tanto empírica quanto apoiada em aspectos culturais. Os alunos devem colaborar
na busca da verdade, esforçando-se para vincular, seguramente, um conhecimento a um campo
de saberes já estabelecido.
Cada um pode se posicionar e, havendo divergências, solicitar uma demonstração por
parte do colega. Nessa fase, os alunos tentam convencer uns aos outros da veracidade de suas
afirmações utilizando uma linguagem Matemática apropriada (demonstrações, provas).
No passado, Brousseau (2008) acreditava que, considerando somente as ações
anteriores, devolução, ação, formulação e validação, já se possuía todos os tipos possíveis de
situação, porém, percebeu-se que havia a necessidade de incluir o professor nesse processo.
Garantir a solidez do processo e eliminar o que fosse contraditório exigia um trabalho teórico.
A fase de institucionalização se tornou fundamental e de responsabilidade do professor, pois,
nela é que se daria a determinado conhecimento o status de saber.
Nesta fase, o professor deve retomar para ele a responsabilidade concedida ao aluno
dando o status de saber e descartando produções dos alunos que não estejam de acordo com o
proposto além de definir seu objetivo de estudo formalizando e generalizando. Para Pommer
(2008) é na institucionalização que o papel explícito do professor é manifestado, o objeto é
oficialmente aprendido pelo aluno e o professor reconhece tal aprendizagem.
O Antigo Egito e a Matemática
A agricultura surge no Vale do Nilo por volta de 7000 anos atrás sendo que a primeira
dinastia a governar o Alto Egito (o vale do rio) e o Baixo Egito (o delta do rio) data de
aproximadamente 3100 antes da era comum. Dentre o legado dos primeiros faraós está a elite
de funcionários e os sacerdotes, uma corte extremamente luxuosa e, para eles mesmos, os reis,
o papel de conectar os mortais aos deuses. Katz (2008) credita justamente a esse papel do faraó,
essa ligação entre o mundo terrestre e o mundo espiritual, o desenvolvimento da esplêndida
arquitetura do Antigo Egito, como as Pirâmides, construídas para ser as tumbas reais, e os
magníficos templos em Luxor e em Karnak.
Um aspecto importante levantado por Eves (2005) é o isolamento geográfico natural
do Egito Antigo em relação a outros impérios contemporâneos a ele, o que proporcionou certa
proteção a invasões estrangeiras e consequentemente governos pacíficos e ininterruptos por
uma sucessão de dinastias. Eves (2005) contraria ainda a opinião popular ao afirmar que a
Matemática no Egito antigo não teria alcançado o nível obtido pelos babilônicos possivelmente
por esse semi-isolamento mencionado anteriormente. Enquanto a Babilônia se localizava em
um local que era rota de grandes caravanas e necessitava de grandes obras de engenharia que
se justificavam em seus caprichosos rios, o Tigre e o Eufrates, o Egito permanecia em seu
isolamento geográfico com seu sereno rio Nilo.
É importante destacar que a escrita teria começado neste período também e que,
segundo Katz (2008) essas primeiras escritas eram sobre contabilidade, principalmente sobre
os vários tipos de bens que eles possuíam.
Acerca dos sistemas de medidas utilizados pelos egípcios na era antiga, que é em
particular o foco deste trabalho, Katz (2008) afirma que “existiam muitos tipos de sistemas de
medida diferentes, que dependiam dos bens a serem mensurados. Mas uma vez que existia um
limitado número de símbolos, o mesmo símbolo poderia ter diferentes significados e se conectar
a diferentes sistemas de medida” (p. 2).
Ainda sobre o início de escrita dos antigos egípcios, Katz (2008) afirma que eles
possuíam dois estilos diferentes para tal. Geralmente, eram utilizados os hieróglifos para se
escrever em monumentos e o hierático, uma espécie de letra cursiva, para se escrever em papiros
com pincel e tinta.
O autor afirma ainda que a dominação grega sobre o Egito no início da nossa era foi a
principal responsável pelo desaparecimento das duas formas de escrita. Mas felizmente, no séc.
XIX, a partir do grande achado que foi a Pedra de Roseta e que continha um mesmo texto escrito
em hieróglifo, demótico, uma variante do grego tardio, e em grego, Jean-François Champollion
(1790 – 1832), um linguista e egiptólogo francês, foi capaz de iniciar o processo de
entendimento da escrita egípcia.
Outro ponto importante levantado por Katz (2008) é sobre o desenvolvimento das
técnicas Matemáticas naquele período, que segundo ele, foi feito pelos escribas. Esses
funcionários do governo teriam sido cruciais para garantir a coleta e distribuição de bens
contribuindo assim para garantir a base material para o governo do faraó.
Katz (2008) também afirma que as evidências das técnicas Matemáticas utilizadas por
eles vêm da educação e do trabalho diário dos escribas e são relatadas em dois papiros que
contêm uma coleção de problemas matemáticos com suas soluções, o Papiro Matemático Rhind
e o Papiro de Moscou.
Além disso, os egípcios desenvolveram dois sistemas diferentes de numeração, sendo
um para cada um dos dois estilos de escrita, hieroglífico e hierático. Para o sistema hieroglífico,
Cada uma das primeiras potências de 10 era representada por um símbolo diferente e os outros
números inteiros que não fossem potências de 10, eram representas pela repetição conveniente
daqueles símbolos.
As potências eram representadas da seguinte maneira: 100 = 1 por , 10¹ = 10 por ,
10² = 100 por , 10³ = 1000 por , 104 = 10000 por , 105 = 100000 por e 106 = 1000000
por .
Já o sistema de numeração hierático estaria em oposição ao sistema hieroglífico. Cada
número entre 1 e 9 tem seu próprio símbolo, assim como cada múltiplo de 10, entre 10 e 90, e
cada múltiplo de 100, entre 100 e 900 e assim por diante. Uma das grandes diferenças entre os
dois sistemas é que, os hieróglifos podiam ser escritos em qualquer direção, ou seja, a que fosse
mais adequada no momento da inscrição. Já no sistema hierático, os símbolos sempre deveriam
ser escritos da direita para a esquerda.
As frações egípcias
Os egípcios trabalhavam com frações unitárias, com a única exceção de 2
3. Em geral, as
frações 1
𝑛 eram representadas tanto nos sistema hieroglífico quanto no sistema hierático. Por
meio dos hieróglifos eles utilizavam o símbolo correspondente para o inteiro n e acima dele, o
símbolo . Podemos ver as frações 1
2, 1
3, 1
8, 1
16, 1
4 e
1
120 respectivamente e, de cima para baixo,
representadas no lado direito de um relevo no templo de Kom Ombo que foi usado como um
sanatório. Já no sistema hierático, o símbolo era substituído por um ponto, mas todo o
processo permanecia o mesmo.
Portanto, ao representar, por exemplo, a fração 1
7, teríamos, no sistema hieroglífico,
e no sistema hierático, . Katz (2008) acrescenta ainda que, a única exceção, a fração
2
3, também tinha símbolos especiais que, em hieróglifo e em hierático, seria respectivamente,
e . Duas outras frações, 1
2 e
1
4, segundo o autor, também tinham símbolos especiais
para sua representação, e X, respectivamente.
Katz (2008) afirma que a técnica aritmética mais complexa desenvolvida pelos
egípcios, a representação de qualquer fração por meio de frações unitárias, se deu justamente
da necessidade de trabalhar com as outras frações, que não as unitárias, consequentes de
divisões não exatas. Contudo, possivelmente os egípcios não enxergavam dessa maneira, pois
assim, culturalmente, pensamos e usamos as frações não unitárias, os egípcios simplesmente
escreviam-nas através de uma soma de frações unitárias.
A PROPOSTA
A primeira tarefa tem como objetivo introduzir a antiga civilização egípcia a partir do
documentário “A História da Matemática – Episódio 1 – A linguagem do Universo” produzido
pela rede britânica de televisão BBC e discutir alguns aspectos daquela cultura e da Matemática
produzida por eles. Sugerimos que, após o documentário, os alunos possam discutir e em
seguida redigir um texto com suas primeiras impressões sobre a antiga civilização egípcia e
sobre como a Matemática foi importante para ela.
QUADRO 1: Tarefa 1: Explorando a Matemática egípcia Tarefa 1: Explorando a Matemática egípcia
A Cultura e a Matemática da antiga civilização egípcia
A tarefa inicial tem como objetivo discutir alguns aspectos da cultura egípcia e da Matemática
produzida por eles, a partir do documentário “A História da Matemática – Episódio 1 – A linguagem
do Universo”.
Para discutir
Considerando o documentário assistido, realize uma discussão com seus colegas levando em
consideração os pontos a seguir e redija um texto com suas primeiras impressões sobre a antiga
civilização egípcia e sobre como a Matemática foi importante para ela.
a) O conhecimento dos egípcios sobre o sistema decimal.
b) O método de multiplicação e divisão egípcios.
c) Números binários.
d) Frações.
e) Frações unitárias.
f) Sólidos geométricos presentes naquela cultura.
Fonte: Produzido pelos autores.
Para a segunda tarefa necessitaremos de um espaço extra-classe maior, como o pátio
ou a quadra da escola, giz para demarcar os “terrenos antes inundados pelo Nilo” e uma corda
pré-delimitada com nós (por exemplo de 10 cm em 10 cm).
Na área escolhida para realização da atividade sugerimos que o professor demarque
uma área retangular que será tida como o terreno a ser repartido novamente após a cheia do rio
Nilo. Em seguida, o professor seleciona os alunos que serão os “agricultores” que tiveram seus
terrenos invadidos durante a cheia do rio Nilo e aqueles que serão os “esticadores de corda”
(agrimensores), que são funcionários do Faraó e que medem o terreno através de nós em cordas.
Cada agricultor, irá se reunir com seus estiradores de corda e lhes dizer “quantos nós”
acredita que seriam necessários para delimitar suas terras. Será pensada em uma demarcação
horizontal e não levado em consideração a área, visto que, o intuito da atividade é fornecer
números fracionários como consequência. No entanto, se algum aluno questionar sobre as áreas,
aproveite para discutir com eles esse conceito. Tudo isso se caracterizará pela primeira fase das
Situações Didáticas, isto é, a devolução, momento em que o aluno, por intermédio do professor,
aceita o compromisso de uma situação de aprendizagem (adidática) e toma para si o peso dessa
transferência.
Em seguida vai o primeiro esticador de corda e demarca a terra do primeiro agricultor,
e assim por diante. É preciso estimular os alunos agricultores a solicitarem uma maior
quantidade de nós de modo que não sobre terra a ser dividida para os últimos agricultores.
Surgindo assim um primeiro problema como o do exemplo a seguir.
QUADRO 2: Exemplo de um possível problema
Fonte: Produzido pelos autores.
Problema: Falta ainda demarcar o terreno de 15 agricultores.
Diante disso, o professor pode ter em mãos um papiro com um decreto do Faraó no
qual solicita que a terra invadida pelo rio Nilo seja dividida igualmente entre os agricultores.
Toda a demarcação anterior será desfeita e todos os alunos, esticadores de corda e agricultores,
serão reunidos e discutirão o problema.
É necessário pensar na quantidade demarcada para medição (área riscada pelo
professor) como uma quantidade de números naturais de nós que, quando dividida pela
quantidade de alunos agricultores resulte em números decimais que não sejam dizimas
periódicas.
Nesse momento se dará fase da ação, na qual o aluno deve refletir acerca do problema
recebido, simular e eleger um procedimento para sua resolução através da sua interação com o
milieu, ou seja, o meio adidático, um sistema antagonista, sem intenção didática explícita e
exterior ao aluno, que neste caso pode abranger, dentre outros, a própria situação-problema, e
os conhecimentos dos colegas e do professor.
Nesse sentido, percebe-se que no momento da ação, as interações que se processam
entre os envolvidos na aprendizagem vão além de uma simples resolução de um exercício ou
problema proposto, é necessário que o aluno reflita acerca de tal tema e busque junto ao milieu
um procedimento que permita sua resolução.
É necessário pensar na quantidade demarcada para medição (área riscada pelo
professor) como uma quantidade de números naturais de nós que, quando dividida pela
quantidade de alunos agricultores resulte em números decimais que não sejam dizimas
periódicas. É importante que a atividade seja direcionada, de modo que os alunos façam a
divisão do número de cordas total (número natural) e percebam o resto, com o qual deverão
trabalhar e discutir quantas das partes daquele resto ficará para cada agricultor.
Sugerimos, ainda, que o professor inicie uma discussão quanto à representação ser
referente ao inteiro, ou à uma quantidade, isto quando o resto da divisão do terreno pelo número
de alunos for maior que 1, o que não é o ideal, visto que é uma atividade de introdução e os
alunos possivelmente ainda não estarão familiarizados com os números decimais, apesar de eles
provavelmente já terem estudado nas séries iniciais. Por isso a importância de se demarcar a
área pensando na quantidade de alunos e, quando possível, em um resto 1 para essa divisão.
Discutido isto, o professor deve apresentar aos alunos o método pelo qual os egípcios
escreviam as frações e cada esticador de corda registrará em sua atividade a demarcação dos
terrenos de cada agricultor.
Este é o momento em que possivelmente ocorrerá a terceira fase das situações
didáticas, a formulação de um conhecimento, a uma capacidade do estudante de retomá-lo
(reconhecê-lo, identificá-lo, decompô-lo e reconstruí-lo em um sistema linguístico, no caso o
sistema egípcio de representação de frações). É necessário que haja ainda outro momento entre
os estudantes, para que possam discutir os resultados finais encontrados por cada dupla
(esticador e agricultor), a fase denominada por Brousseau de validação.
Seria interessante que, nesta fase, os alunos percebessem que uma prova possível da
validade dos resultados encontrados seriam a soma de cada um deles, que, caso estejam
corretos, resultará na medida total da área demarcada anteriormente pelo professor.
Levando em consideração que os estudantes possivelmente não tenham trabalhado
ainda com os métodos formais de soma de frações, tais operações devem ser feitas
intuitivamente, não sendo exigida esta formalidade (é possível que já tenham trabalhado com
operações com frações no terceiro ano).
Outra questão é quanto à forma de validação utilizada pelos estudantes que deve ser
avaliada pelo professor, não sendo necessariamente a soma das medidas individuais resultando
na medida total. A seguir, seria interessante um retorno à sala de aula (Se a atividade ocorrer
em outro local), onde o professor deve retomar para ele a responsabilidade concedida ao aluno
dando o status de saber e descartando produções dos alunos que não estejam de acordo com o
proposto, além de explicitar o conceito de fração formalizando e generalizando.
É nesta fase que o professor pode dar a determinado conhecimento o status de saber
(levando em consideração que saber seja produto cultural de uma instituição que tem como
objetivo identificar, analisar e organizar os conhecimentos, a fim de facilitar sua comunicação).
QUADRO 3: Tarefa 2: Trabalhando com o conceito de fração Tarefa 2: Trabalhando com o conceito de fração
A seguir temos um fragmento do texto do historiador grego Heródoto que nos diz um pouco sobre a medição
dos antigos egípcios por cordas:
“Quando o Nilo transborda, cobre o Delta e as terras chamadas Líbia e Arábia, numa distância de uma viagem
de dois dias desde as duas margens, não consegui saber nada da sua natureza, nem dos sacerdotes nem de
qualquer outra pessoa. Tinha curiosidade em saber por que é que o rio transborda durante cem dias desde o
solstício de Verão... e o rio está baixo durante todo o Inverno até transbordar de novo no solstício de Verão.
Por esta razão o Egito foi dividido. Disseram-me que este rei (Sesóstris) repartiu todo o país entre os egípcios,
dando a cada um uma porção igual de terra, e fê-lo sua fonte de rendimento, avaliando o pagamento de um
tributo anual. E se qualquer homem que fosse roubado pelo Nilo de uma porção de suas terras podia dirigir-se
a Sesóstris e expor a ocorrência, então o rei enviaria um homem para verificar e calcular e parte pela qual a
terra tinha sido reduzida, de tal forma que a partir dessa altura ele deveria pagar proporcionalmente ao tributo
imposto originalmente.
Esta foi a forma como, em minha opinião, os Gregos aprenderam a arte de medir a terra; os relógios de sol, os
gnomos e as doze divisões do dia, vêm para a Grécia da Babilónia e não do Egito.
Heródoto (II, 109)
Esticadores de cordas, túmulo de Djeserkareseneb - (OsirisNet, 2010)
Se você foi escolhido como agricultor, irá se reunir com um estirador de corda e lhe dizer “quantos nós” acredita
que delimitam suas terras. Se você foi escolhido como esticador de corda, deve junto com os demais esticadores
estabelecer uma ordem e iniciar as demarcações de terra de cada agricultor, um por um, sabendo que uma mesma
parte do terreno não pode pertencer a mais de um agricultor.
Houve algum problema?
Se sim, continue.
Diante do problema encontrado, houve um decreto do Faraó no qual ele solicita que a terra alagada pelo rio Nilo
seja dividida igualmente entre todos os agricultores. Desfaçam toda a demarcação anterior, reúna-se com seu
colega (agricultor e esticador de corda responsáveis um pelo outro) e discutam o novo problema.
Registro
Registre aqui como representariam a parte do terreno de cada um de dois modos diferentes sendo um deles,
necessariamente, o modo como os egípcios faziam.
Para discutir
Discutam com as demais duplas os resultados encontrados por cada um. Tente convencer os colegas, caso os
resultados não sejam os mesmos, usando argumentos matemáticos.
Fonte: Produzido pelos autores.
O professor poderá utilizar aproximadamente duas aulas de 50 minutos para
desenvolver essa tarefa. Sugerimos a possibilidade de não apresentar aos alunos nenhum
detalhamento ou explicação sobre o tema, ou seja, realizar o mínimo de intervenção possível.
Propomos ainda que as anotações dos alunos sejam recolhidas e analisadas. Com esta atitude o
professor poderá encontrar elementos que não estavam presentes nas falas dos alunos durante
os debates e que poderão auxiliá-lo a tomar decisões em relação às intervenções que porventura
se façam necessárias.
A terceira tarefa, e última tarefa proposta, tem como objetivo trabalhar as frações
unitárias principalmente o que concerne ao processo de multiplicação ou divisão, sequências e
soma de frações. Um dos intuitos da atividade é proporcionar aos alunos o conhecimento da
mitologia por trás do olho de Hórus para, em seguida, solicitar que os mesmos completem a
sequência, sabendo que cada fração equivaleria à metade da fração anterior.
Segundo Robins e Shute (1987) as frações 1
2, 1
4, 1
8, 1
16, 1
32 e
1
64, eram conhecidas pelos
egípcios como “Frações do olho de Hórus”, pois eram escritas utilizando símbolos especiais,
os quais representavam partes do olho do deus que possuía cabeça de falcão, Hórus, conhecido
também como olho wedjat.
As frações 1
2, 1
4, 1
8,
1
16,
1
32 e
1
64 na terminologia moderna, formam uma progressão
geométrica convergente de seis termos na qual o primeiro termo é igual à razão. O segundo
intuito da atividade seria o de instigar os alunos a somar essas frações na intenção de descobrir
o inteiro, ou seja, que os alunos verifiquem se o deus Thoth conseguiu reunir todas as partes do
olho de Hórus.
Diante da constatação de que o inteiro não pode ser obtido, por parte dos alunos,
instigue-os a acrescentarem mais termos à sequência (respeitando a razão 1
2) e que continuem
verificando se a soma será um inteiro. Seria interessante trabalhar esta atividade também
quando o assunto proposto for os números decimais, visto que a visualização de que a sequência
tende a um inteiro (mas nunca será um inteiro) por meio dos números decimais pode ser mais
fácil para alguns alunos.
QUADRO 4: Tarefa 3: Trabalhando com frações unitárias
Tarefa 3: Trabalhando com frações unitárias O Olho de Hórus
As frações 1
2, 1
4, 1
8, 1
16, 1
32 e
1
64, eram conhecidas pelos egípcios como “Frações do olho de Hórus”, pois eram
escritas utilizando símbolos especiais, os quais representavam partes do olho do deus que possuía cabeça de
falcão, Hórus, conhecido também como olho wedjat. Segundo a mitologia egípcia, o olho de Hórus foi ferido,
arrancado ou até mesmo comido pelo assustador deus Seth e que, posteriormente, foi reconstruído pelo deus com
cabeça do pássaro íbis, Thoth (suposto criador da Matemática), por meio de um feitiço do Livro dos Mortos.
Descobrindo o Olho de Hórus
Complete a sequência das frações que eram representadas pelos egípcios por partes do Olho de Hórus, sabendo
que cada fração equivale à metade da fração anterior.
Reconstruindo o Olho de Hórus
Agora, verifique se o deus Thoth conseguiu reunir todas as partes do olho de Hórus somando todas as frações
que as partes representam.
Despois de reconstruído, o Olho de Hórus voltou a ser um inteiro como antes?
Se não, acrescente mais termos à sequência de frações (sabendo que o próximo termo sempre será metade da
fração anterior) e tente somá-los novamente.
O que aconteceu? Conseguiu encontrar um inteiro desta vez?
Se não, por que você acha que mesmo adicionando mais termos a essa sequência, o inteiro não pode ser obtido
novamente?
Qual ou quais relações você consegue estabelecer entre suas descobertas Matemáticas e a mitologia do Olho de
Hórus?
Fonte: Produzido pelos autores.
Ao propor estas tarefas para a sala de aula, chamamos a atenção para a necessidade de
cuidados em relação à postura do professor e também na do aluno. As tarefas buscam uma
investigação que promova discussões entre os diferentes modos de pensar dos alunos. Caso se
utilize as tarefas como exercícios rotineiros, resolvidos pelo professor na lousa, toda a
potencialidade da tarefa pode ficar comprometida. É importante observar que essas tarefas
também têm como objetivo exercitar a leitura e interpretação dos estudantes e, como
consequência, estimulá-los a falar sobre o que entenderam daquilo que foi apresentado além de
apresentar ideias que julgamos importantes acerca do conteúdo de frações.
Considerações Finais
Discutimos um exemplo de como a TSD pode ser utilizada para o desenvolvimento da
ideia inicial de frações visando, sobretudo, um processo de ensino e aprendizagem mais natural
e intuitivo, norteado principalmente pela História da Matemática. Para tanto, estabeleceu-se
como base para a pesquisa a elaboração de uma tarefa respeitando as fases propostas por
Brousseau bem como de uma tarefa introdutória e outra complementar onde algumas ideias
trabalhadas na tarefa principal pudessem ser retomadas e aprimoradas.
Referências
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais (1ª à 4ª série). Vol. 3 – Matemática. Brasília,
1997. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf. Acesso em 30 jun
de 2015.
BROLEZZI, Antônio Carlos. Frações decimais: História e significado. CAEM/USP, 1996.
BROUSSEAU, G. Introdução ao Estudo das Situações Didáticas – Conteúdos e Métodos
de Ensino. São Paulo. Ática, 2008.
EVES, H. Introdução à história da matemática. Trad. Hygino H. Domingues. Campinas:
Editora da Unicamp, 1995.
JANKVIST, U. T. A categorization of the “whys” and “hows” of using history in
mathematics education. Educational Studies in Mathematics. 2009.
KATZ, V. J. A history of mathematics. New York, Addison Wesley, 3.ed., 2008.
PATRONO, Rosângela Milagres. A aprendizagem de Números Racionais na forma
fracionária no 6ºano do Ensino Fundamental: Analise de uma proposta de Ensino.
Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, UFOP, 2011.
POMMER, Wagner M. Brousseau e a ideia de Situação Didática. São Paulo: SEMA –
Seminários de Ensino de Matemática/FEUSP, 2008.
ROBINS, G.; SHUTE, C. Mathematical Bases of Ancient Egyptian Archtecture and
Graphic Art. Historia Mathematica, n 12. p. 107-122. Cambridge. 1985.
ROBINS, G.; SHUTE, C. The Rhind mathematical papyrus: an ancient Egyptian text.
British Museum Publications. Michigan. 1987.
ROGERS, L. History, Heritage, and the UK Mathematics Classroom. Proceedings of
CERME 6. 2009.
TINOCO, L. A. A.; LOPES, M. L. Frações: dos resultados de pesquisa à prática em sala de
aula. In: Educação Matemática em Revista – SBEM, n 2, p. 13-18, 1° sem, 1994.