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1. (Unesp 2012) O gol que Pelé não fez

Na copa de 1970, na partida entre Brasil e Tchecoslováquia, Pelé pega a bola um

pouco antes do meio de campo, vê o goleiro tcheco adiantado, e arrisca um chute que

entrou para a história do futebol brasileiro. No início do lance, a bola parte do solo

com velocidade de 108 km/h (30 m/s), e três segundos depois toca novamente o solo

atrás da linha de fundo, depois de descrever uma parábola no ar e passar rente à trave,

para alívio do assustado goleiro.

Na figura vemos uma simulação do chute de Pelé.

Considerando que o vetor velocidade inicial da bola após o chute de Pelé fazia um

ângulo de 30° com a horizontal (sen30° = 0,50 e cos30° = 0,85) e desconsiderando a

resistência do ar e a rotação da bola, pode-se afirmar que a distância horizontal entre o

ponto de onde a bola partiu do solo depois do chute e o ponto onde ela tocou o solo

atrás da linha de fundo era, em metros, um valor mais próximo de

a) 52,0.

b) 64,5.

c) 76,5.

d) 80,4.

e) 86,6.

2. (Unifesp 2013) O atleta húngaro Krisztian Pars conquistou medalha de ouro na

olimpíada de Londres no lançamento de martelo. Após girar sobre si próprio, o atleta

lança a bola a 0,50m acima do solo, com velocidade linear inicial que forma um ângulo

de 45° com a horizontal. A bola toca o solo após percorrer a distância horizontal de

80m.

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Nas condições descritas do movimento parabólico da bola, considerando a aceleração da

gravidade no local igual a 10 m/s2, 2 igual a 1,4 e desprezando-se as perdas de energia

mecânica durante o voo da bola, determine, aproximadamente:

a) o módulo da velocidade de lançamento da bola, em m/s.

b) a altura máxima, em metros, atingida pela bola.

3. (Pucrj 2013) Um projétil é lançado com uma velocidade escalar inicial de 20 m/s

com uma inclinação de 30° com a horizontal, estando inicialmente a uma altura de 5,0

m em relação ao solo.

A altura máxima que o projétil atinge, em relação ao solo, medida em metros, é:

Considere a aceleração da gravidade g = 10 m/s2

a) 5,0

b) 10

c) 15

d) 20

e) 25

4. (Unicamp 2012) Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversário. A

bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distância de

40 m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a

altura máxima por ela alcançada esteve entre

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a) 4,1 e 4,4 m.

b) 3,8 e 4,1 m.

c) 3,2 e 3,5 m.

d) 3,5 e 3,8 m.

5. (Uesc 2011) Galileu, ao estudar problemas relativos a um movimento composto,

propôs o princípio da independência dos movimentos simultâneos — um móvel que

descreve um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza

como se os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo.

Assim, considere um corpo lançado obliquamente a partir do solo sob ângulo de tiro de

45º e com velocidade de módulo igual a 10,0m/s.

Desprezando-se a resistência do ar, admitindo-se que o módulo da aceleração da

gravidade local é igual a 210m / s e sabendo-se que 2

cos45º2

e 2

sen45º2

, é

correto afirmar:

a) O alcance do lançamento é igual a 5,0m.

b) O tempo total do movimento é igual a 2s .

c) A altura máxima atingida pelo corpo é igual a 10,0m.

d) O corpo atinge a altura máxima com velocidade nula.

e) A velocidade escalar mínima do movimento é igual a 10,0m/s.

6. (Ufu 2011) Uma pedra é lançada do solo com velocidade de 36 km/h fazendo um

ângulo de 45° com a horizontal. Considerando g = 10 m/s2 e desprezando a resistência

do ar, analise as afirmações abaixo.

I. A pedra atinge a altura máxima de 2,5 m.

II. A pedra retorna ao solo ao percorrer a distância de 10 m na horizontal.

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III. No ponto mais alto da trajetória, a componente horizontal da velocidade é nula.

Usando as informações do enunciado, assinale a alternativa correta.

a) Apenas I é verdadeira.

b) Apenas I e II são verdadeiras.

c) Apenas II e III são verdadeiras.

d) Apenas II é verdadeira.

7. (Uftm 2011) Num jogo de vôlei, uma atacante acerta uma cortada na bola no instante

em que a bola está parada numa altura h acima do solo. Devido à ação da atacante, a

bola parte com velocidade inicial V0, com componentes horizontal e vertical,

respectivamente em módulo, Vx = 8 m/s e Vy = 3 m/s, como mostram as figuras 1 e 2.

Após a cortada, a bola percorre uma distância horizontal de 4 m, tocando o chão no

ponto P.

Considerando que durante seu movimento a bola ficou sujeita apenas à força

gravitacional e adotando g = 10 m/s2, a altura h, em m, onde ela foi atingida é

a) 2,25.

b) 2,50.

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c) 2,75.

d) 3,00.

e) 3,25.

8. (Uft 2010) Um jogador de futebol chuta uma bola com massa igual a meio

quilograma, dando a ela uma velocidade inicial que faz um ângulo de 30 graus com a

horizontal. Desprezando a resistência do ar, qual o valor que melhor representa o

módulo da velocidade inicial da bola para que ela atinja uma altura máxima de 5 metros

em relação ao ponto que saiu?

Considere que o módulo da aceleração da gravidade vale 10 metros por segundo ao

quadrado.

a) 10,5 m/s

b) 15,2 m/s

c) 32,0 m/s

d) 12,5 m/s

e) 20,0 m/s

9. (Ufop 2010) Uma pessoa lança uma pedra do alto de um edifício com velocidade

inicial de 60 m/s e formando um ângulo de 30º com a horizontal, como mostrado na

figura abaixo. Se a altura do edifício é 80 m, qual será o alcance máximo (xf) da pedra,

isto é, em que posição horizontal ela atingirá o solo? (dados: sen 30º = 0,5, cos 30º = 0,8

e g = 10 m/s2).

a) 153 m

b) 96 m

c) 450 m

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d) 384 m

10. (Ufmg 2007) Uma caminhonete move-se, com aceleração constante, ao longo de

uma estrada plana e reta, como representado na figura:

A seta indica o sentido da velocidade e o da aceleração dessa caminhonete.

Ao passar pelo ponto P, indicado na figura, um passageiro, na carroceria do veículo,

lança uma bola para cima, verticalmente em relação a ele.

Despreze a resistência do ar.

Considere que, nas alternativas a seguir, a caminhonete está representada em dois

instantes consecutivos.

Assinale a alternativa em que está MAIS BEM representada a trajetória da bola vista

por uma pessoa, parada, no acostamento da estrada.

a)

b)

c)

d)

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11) Uma mangueira emite um jato d'água com uma velocidade inicial v0 de módulo

igual a 10 m/s.

Sabendo-se que o tubo horizontal possui um diâmetro interno d = 1,25 m, determine o

alcance máximo x do jato no interior do tubo (g = 10 m/s2).

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Gabarito:

Resposta da questão 1:

[C]

Dados: v0 = 30 m/s; θ= 30°; sen 30° = 0,50 e cos 30° = 0,85 e t = 3 s.

A componente horizontal da velocidade (v0x) mantém-se constante. O alcance

horizontal (A) é dado por:

0x 0A v t A v cos30 t A 30 0,85 3

A 76,5 m.

Resposta da questão 2:

1ª Solução:

a) Dados: A = 80 m; 2 = 1,4; g = 10 m/s2.

As componentes da velocidade inicial são:

ox oy 0 ox oy 0 ox oy 02

v v v cos45 v v v v v 0,7v .2

Desprezando a altura inicial do lançamento, a expressão do alcance horizontal (A) é:

2 20 0

0

0

v vA sen 2 80 sen 90 v 800 20 2 20 1,4

g 10

v 28 m / s.

θ

b) Aplicando a equação de Torricelli na vertical, lembrando que no ponto mais alto a

componente vertical da velocidade é nula (vy = 0):

22 2

y 0y384

v v 2 g y 0 0,7 28 20 y y y 19,2 m.20

Δ Δ Δ Δ

Como a altura inicial é 0,5 m, a altura máxima (h) é:

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0h h y h 0,5 19,2

h 19,7 m.

Δ

2ª Solução:

a) Dados: A = 80 m; 2 = 1,4; g = 10 m/s2.

A figura ilustra a situação descrita.

As componentes da velocidade inicial são:

ox oy 0 ox oy 0 ox oy 02

v v v cos45 v v v v v 0,7v .2

Na direção do eixo x, a velocidade (v0x) é constante, portanto, o movimento é uniforme.

Quando x for igual ao alcance máximo (A), o tempo será igual ao tempo total (tT).

Então:

0x 0x T 0 T

0 T

x v t A v t 80 0,7 v t

0,7 v t 80 I .

Na direção do eixo y, de acordo com o referencial da figura, quando o tempo é igual ao

tempo total, y = 0.

Assim:

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2 20 oy 0

20 T T

gy y v t t y 0,5 0,7v t 5 t

2

0 0,5 0,7 v t 5 t II

Substituindo (I) em (II):

2T T T

80,50 0,5 80 5 t t 16,1 t 4 s.

5

Voltando em (I):

0 T 0

0

80 8080 0,7 v t v

0,7 4 2,8

v 28,6 m / s.

b) Pela conservação da Energia mecânica, em relação ao solo:

2 2 2 2A B 0 0x 0 A 0xMec Mec A

2 2

m v m v v 2 g h vE E m g h m g H H

2 2 2 g

28,6 2 10 0,5 0,7 28,6 818 10 400H

20 20

H 21,4 m.

Resposta da questão 3:

[B]

Decompondo a velocidade inicial, teremos uma componente vertical de

V.sen30 20x0,5 10 m/s

A partir da posição inicial, podemos calcular o deslocamento vertical até o ponto mais

alto da trajetória, utilizando a equação de Torricelli:

2 2 20V V 2.a. S 0 10 2x10x S S 5,0mΔ Δ Δ

Como o corpo havia partido de 5,0 m de altura, sua altura máxima será H: 5 + 5 = 10 m.

Resposta da questão 4:

[B]

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OBS: Essa questão foi cobrada na prova de Matemática, mas admite solução através de

conceitos Físicos, aliás, solução bem mais simples e curta. Serão dadas aqui as duas

soluções.

1ª Solução (Matemática):

Encontremos, primeiramente, a equação da parábola que passa pelos pontos dados:

A equação reduzida da parábola de raízes x1 e x2 é: 1 2y a x x x x .

Nesse caso temos: x1 = 0 e x2 = 40.

Substituindo esses valores na equação dada:

2y a x 0 x 40 y ax 40ax.

Para x = 30 y = 3. Então:

2 1

3 a 30 40a 30 3 900a 1200a a .100

Assim, a equação da parábola mostrada é:

2 2x 1 x 2y 40 x y x.

100 100 100 5

Para x = 20 h = H. Então:

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220 2

H 20 H 4 8 100 5

H 4 m.

2ª Solução (Física):

Pela regra de Galileu, sabemos que, para qualquer movimento uniformemente variado

(M.U.V.) com velocidade inicial nula, os espaços percorridos em intervalos de tempo

(t) iguais e subsequentes, as distâncias percorridas são: d, 3d, 5d, 7d...

Ora, a queda livre e o lançamento horizontal na direção vertical são movimentos

uniformemente variados a partir do repouso, valendo, portanto a regra de Galileu.

Assim, se a distância de queda num intervalo de tempo inicial (t) é h, nos intervalos

iguais e subsequentes as distâncias percorridas na queda serão: 3h, 5h, 7h...

O lançamento oblíquo, a partir do ponto mais alto (A), pode ser considerando um

lançamento horizontal. Como a componente horizontal da velocidade inicial se mantém

constante (vx = v0x), os intervalos de tempo de A até B e de B até C são iguais, pois as

distâncias horizontais são iguais (10 m).

Assim, se de A até B a bola cai h, de B até C ela cai 3h, como ilustrado na figura.

Então:

3h 3 h 1 m.

Mas : H 3h h 3 1 H 4 m.

3ª Solução (Física):

Como as distâncias horizontais percorridas entre A e B e entre B e C são iguais, os

intervalos de tempo entre esses pontos também são iguais, pois a componente horizontal

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da velocidade se mantém constante (vx = v0x). Assim, se o tempo de A até B é t, de A até

C é 2t.

Equacionando a distância vertical percorrida na queda de A até B e de A até C, temos:

2

2 2

gA B : h t

2 H 4h.

g gA C : H 2t H 4 t

2 2

Mas, da Figura: H h 3 4h h 3 h 1 m.

Como H 4h H 4 m.

Resposta da questão 5:

[B]

Decompondo a velocidade inicial em duas componentes: horizontal (x) e vertical (y),

temos: s/m2545cos.VoVox 0

s/m2545sen.VoVoy 0

Estudando o movimento vertical.

s25,0tt10250atVoV subida

Portanto, o tempo total de movimento vale: s2t2T

S.a.2VV 20

2 m5,2HxH10x22502

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Estudando o movimento horizontal.

m10S2

S25

t

SV

.

Resposta da questão 6:

[B]

36 km/h = 10 m/s

A primeira providência é decompormos a velocidade em componentes horizontal e

vertical.

O movimento vertical é uniformemente variado. No ponto mais alto a componente

vertical da velocidade é nula. Portanto:

22 2

0V V 2a S 0 5 2 20H H 2.5mΔ

0 subida

2V V at 0 5 2 10t t s

2

Por outro lado, na horizontal, o movimento é uniforme. O tempo para voltar ao solo é o

dobro do tempo de subida ( 2s ). Portanto:

S V.tΔ S 5 2 2 10mΔ

Resposta da questão 7:

[C]

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Na direção horizontal (x) o movimento é uniforme. Assim, podemos calcular o tempo

(t) que a bola leva para tocar o chão.

x

x

x x 4v t t 0,5 s.

t v 8

Na direção vertical (y) o movimento é uniformemente variado, com aceleração igual à

da gravidade (g).

22

oy

10 0,5g th v t h 3 0,5 1,5 1,25

2 2

h 2,75 m.

Resposta da questão 8:

[E]

y

x 5 m

v

v

v v = v 0

30°

0x

0x

0y

Aplicando Torricelli para o eixo y:

2 2

y 0yv v 2 g y .

No ponto mais alto: 0x yv v v 0

y h

Substituindo:

02 = 2

0yv 2 g h v0y = 2 g h 2(10)(5) = 10 m/s.

Mas:

v0y = v0 sen 30° 10 = v01

2 v0 = 20 m/s.

Resposta da questão 9:

[D]

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As componentes horizontal e vertical da velocidade inicial são:

0x 0 0 0

0y 0 0 0

v v cos v cos30 60 0,8 48 m / s.

v v sen v sen30 60 0,5 30 m / s.

Adotando referencial no solo e orientando a trajetória para cima temos:

y0 = 80 m; v0y = 30 m/s e g = -10 m/s2.

Desprezando os efeitos do ar, a equação do movimento no eixo y é:

2 2

0 0y

1y y v t a t y 80 30 t 5 t .

2

Quando a pedra atinge o solo, y = 0. Substituindo:

2 2

6 36 4 1 160 80 30 t 5 t t 6 t 16 0 t

2

t 8 s.6 10t

t 2 s (não convém).2

No eixo x o movimento é uniforme. A equação é:

0 0xx x v t x 0 48 8 x 384 m.

Resposta da questão 10:

[B]

A velocidade horizontal da bola mantém-se constante e a da caminhonete aumenta.

Portanto, a bola se atrasa em relação à caminhonete.

Resposta da questão 11:

Para se conseguir o alcance máximo dentro deste tubo, considerando que a altura

máxima dentro do tubo é de 1,25 m.

Por Torricelli

0 = v02.sen

2α - 2.g.h

0 = 102.sen

2α - 2.10.1,25

0 = 100.sen2α - 25

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senα = 0,5 ==> α = 30°

O tempo total de voo é o dobro do tempo de subida, então:

0 = 10.senα - 10.t(sub)

0 = 5 - 10.t(sub) ==> t(sub) = 0,5 s ==> t = 1 s

O alcance é dado por x = v0.cosα.t

x = 10.cos30°.1 = 10.

3

2 = 5 3 m

x = 5 3 m.