Unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 1 Unidade teórica 3 1 Modelo de Markowitz e a Fronteira eficiente

unid3 Carlos Arriaga Costunid3 Carlos Arriaga Costaa

EconomiaFinanceira - Mestrado emEconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso Economia UM 2005/06 4º curso

11

Unidade teórica 3 Unidade teórica 3

1 Modelo de Markowitz e a 1 Modelo de Markowitz e a

Fronteira eficiente Fronteira eficiente

2. Determinação da Fronteira eficiente 2. Determinação da Fronteira eficiente

CCarlos Arriaga Costaarlos Arriaga Costa2005/062005/06



22

Unidade teórica 3 Unidade teórica 3

. O que é a fronteira eficiente num . O que é a fronteira eficiente num conjunto de portefólios?conjunto de portefólios?

. Como modelizar a eficiência ?. Como modelizar a eficiência ?

. Quais as hipóteses do modelo de . Quais as hipóteses do modelo de Markowitz?Markowitz?

. Como determinar a fronteira de . Como determinar a fronteira de eficiência?eficiência?

. .



33

MATEMÁTICA DA FRONTEIRA DE UM PORTEFÓLIO: o MATEMÁTICA DA FRONTEIRA DE UM PORTEFÓLIO: o MODELO DE MARKOWITZ (1959)MODELO DE MARKOWITZ (1959)

HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ:HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ:

- HIPÓTESES RELATIVAS AOS ACTIVOS FINANCEIROSHIPÓTESES RELATIVAS AOS ACTIVOS FINANCEIROS

H1: Todo o investimento é uma decisão tomada em situação de H1: Todo o investimento é uma decisão tomada em situação de risco. O retorno de um activo financeiro para um período risco. O retorno de um activo financeiro para um período futuro é consequentemente uma variável aleatória com futuro é consequentemente uma variável aleatória com distribuição normal.distribuição normal.

H2 : os retornos de diferentes activos financeiros não se H2 : os retornos de diferentes activos financeiros não se movimentam de uma forma independente de uns e de outros. movimentam de uma forma independente de uns e de outros.



44

Hipóteses relativas ao comportamento Hipóteses relativas ao comportamento dos investidoresdos investidores

H3: O comportamento de todos os investidores é H3: O comportamento de todos os investidores é caracterizado por um grau mais ou menos caracterizado por um grau mais ou menos pronunciado de aversão ao risco (medido pelo pronunciado de aversão ao risco (medido pelo desvio padrão e pela distribuição dos retornos)desvio padrão e pela distribuição dos retornos)

H4: Os investidores tomam decisões racionais: H4: Os investidores tomam decisões racionais: Mesmo que a sua função de utilidade seja Mesmo que a sua função de utilidade seja subjectiva eles operam segundo escolhas subjectiva eles operam segundo escolhas transitivas.transitivas.

H5: Todos os investidores têm um mesmo H5: Todos os investidores têm um mesmo horizonte de decisão, que comporta um só período.horizonte de decisão, que comporta um só período.



55

ESTRUTURAÇÃO DO MODELO DE MARKOWITZESTRUTURAÇÃO DO MODELO DE MARKOWITZ

Os acontecimentos dos quais contribuem para as decisões Os acontecimentos dos quais contribuem para as decisões tomadas não se encontram explicitados no modelo. A tomadas não se encontram explicitados no modelo. A distribuição de probabilidades relativamente aos distribuição de probabilidades relativamente aos rendimentos de cada activo financeiro é efectuado rendimentos de cada activo financeiro é efectuado condicionalmente ao estado da economia em geral e à condicionalmente ao estado da economia em geral e à situação do mercado financeiro em particular.situação do mercado financeiro em particular.

Uma decisão consiste em alocar um determinado Uma decisão consiste em alocar um determinado orçamento aos diferentes activos financeirosorçamento aos diferentes activos financeiros



66

FRONTEIRA EFICIENTEFRONTEIRA EFICIENTE

1º Fase: Repartir as soluções possíveis 1º Fase: Repartir as soluções possíveis em dois sub-conjuntos, correspondendo em dois sub-conjuntos, correspondendo um deles ao das soluções dominantes um deles ao das soluções dominantes (eficientes) e um outro ao das soluções (eficientes) e um outro ao das soluções dominadas (ineficientes)dominadas (ineficientes)

2ºA fase: Dentro das soluções 2ºA fase: Dentro das soluções eficientes, fazer corresponder aquela eficientes, fazer corresponder aquela que maximiza a função de utilidade do que maximiza a função de utilidade do investidor. investidor.



77

PRIMEIRA FASEPRIMEIRA FASE Em razão do principio de racionalidade, um Em razão do principio de racionalidade, um

investidor que pretende situar-se a um nível de risco investidor que pretende situar-se a um nível de risco optará por um portfólio de maior valor esperado do optará por um portfólio de maior valor esperado do rendimento E(r2).rendimento E(r2).

Em razão do princípio de racionalidade e de aversão Em razão do princípio de racionalidade e de aversão ao risco, um investidor que pretende situar-se a um ao risco, um investidor que pretende situar-se a um nível de rendimento esperadonível de rendimento esperado optará pelo portfólio optará pelo portfólio de menor risco. de menor risco.

Pode-se estabelecer a hipótese de que todos os Pode-se estabelecer a hipótese de que todos os investidores, com base em características objectivas, investidores, com base em características objectivas, localizarão de maneira semelhante a fronteira localizarão de maneira semelhante a fronteira eficiente , que é independente das preferências eficiente , que é independente das preferências individuais dos investidores.individuais dos investidores.



88

Segunda Fase Segunda Fase Temos de ter em conta as funções de Temos de ter em conta as funções de

utilidade de cada investidor (curvas de utilidade de cada investidor (curvas de indiferença)indiferença)

A fronteira de eficiência (dado objectivo)A fronteira de eficiência (dado objectivo)

Cada investidor escolherá o portfólio Cada investidor escolherá o portfólio correspondente ao ponto onde a fronteira de correspondente ao ponto onde a fronteira de eficiência é tangente a uma das suas curvas eficiência é tangente a uma das suas curvas de indiferença. de indiferença.



99

Fronteira de eficiência Fronteira de eficiência A fronteira de eficiência deriva da maximização de um retorno esperado A fronteira de eficiência deriva da maximização de um retorno esperado

dado um determinado risco. dado um determinado risco.

Markowitz (1952,JoF) resolveu este problema matemáticamenteMarkowitz (1952,JoF) resolveu este problema matemáticamente

Se não existir nenhum activo sem risco , a fronteira de eficiência será a Se não existir nenhum activo sem risco , a fronteira de eficiência será a metade mais elevada da fronteira com um mínimo de variância. metade mais elevada da fronteira com um mínimo de variância.

Se existir um activo sem risco , a fronteira de eficiência será a linha Se existir um activo sem risco , a fronteira de eficiência será a linha tangente à fronteira com um mínimo de variância. tangente à fronteira com um mínimo de variância.

Se não forem admitidas “posições curtas” todas as ponderações dos Se não forem admitidas “posições curtas” todas as ponderações dos activos são não negativas. (Xactivos são não negativas. (Xii0).0).

Se forem admitidas “posições curtas” a curva continua indefinidamente. Se forem admitidas “posições curtas” a curva continua indefinidamente.



1010

Fronteira de eficiência onde não Fronteira de eficiência onde não existem activos sem riscoexistem activos sem risco

Fronteira de eficiência quando não são admitidos Fronteira de eficiência quando não são admitidos “posições curtas”“posições curtas”Retorno

Risco

FEM

A

• Se se admitir “short sales” a fronteira prolonga-se para lá de A



1111

Fronteira de eficiência onde existe Fronteira de eficiência onde existe um activo sem riscoum activo sem risco

A fronteira de eficiência é encontrada pelo ponto de tangência da A fronteira de eficiência é encontrada pelo ponto de tangência da recta que passa pelo activo sem risco e a fronteira. recta que passa pelo activo sem risco e a fronteira.

Se “short sales” são admitidos o portfólio da fronteira deverá Se “short sales” são admitidos o portfólio da fronteira deverá incluir alguns activos adquiridos em “short sales” (posição curta) .incluir alguns activos adquiridos em “short sales” (posição curta) .

Retorno

Risco

FEM

B

RF

A



1212

Fronteira eficienteFronteira eficiente

E(p)E(p)

σσ (p) (p)



1313

Cálculo da fronteira de Cálculo da fronteira de eficiênciaeficiência

Um investidor poderá enfrentar diferentes cenários não importa a Um investidor poderá enfrentar diferentes cenários não importa a existência de activos sem risco ou a possibilidade de “short sales” . existência de activos sem risco ou a possibilidade de “short sales” .

Cada um dos cenários implicará diferentes métodos matemáticos na Cada um dos cenários implicará diferentes métodos matemáticos na resolução das ponderações óptimas do portefólio. resolução das ponderações óptimas do portefólio.

Os cenários que o investidor enfrenta são: Os cenários que o investidor enfrenta são:

-”Short sales” e uma taxa sem risco para empréstimos ou concessão de -”Short sales” e uma taxa sem risco para empréstimos ou concessão de emprestimos. emprestimos. -”Short sales” e não existência de uma taxa sem risco para empréstimos -”Short sales” e não existência de uma taxa sem risco para empréstimos ou concessão de emprestimos. ou concessão de emprestimos. -”Short sales” não permitidas e uma taxa sem risco para empréstimos ou -”Short sales” não permitidas e uma taxa sem risco para empréstimos ou concessão de emprestimos. concessão de emprestimos. -”Short sales” não permitidas e não existência de uma taxa sem risco -”Short sales” não permitidas e não existência de uma taxa sem risco para empréstimos ou concessão de emprestimos. para empréstimos ou concessão de emprestimos.



1414

Cálculo da fronteira de eficiência utilizando o método de Cálculo da fronteira de eficiência utilizando o método de MarkowitzMarkowitz

Cenario 1 Cenario 1 -”Posições curtas (short sales)” e uma taxa sem -”Posições curtas (short sales)” e uma taxa sem risco para empréstimos ou concessão de emprestimos.risco para empréstimos ou concessão de emprestimos.

A fronteira de eficiência é obtida pelo ponto de tangência entre a A fronteira de eficiência é obtida pelo ponto de tangência entre a linha de transformação e a fronteira com o mínimo de variância. linha de transformação e a fronteira com o mínimo de variância.

O declive da linha de transformação é designada por Rácio de O declive da linha de transformação é designada por Rácio de sharpe. sharpe.

O rácio de sharpe é uma medida do excesso de retorno O rácio de sharpe é uma medida do excesso de retorno relativamente ao risco total. relativamente ao risco total.

O ponto de tangência coincide com o óptimo do portefólio. O ponto de tangência coincide com o óptimo do portefólio.

Ao longo da fronteira de eficiência um investidor possui uma Ao longo da fronteira de eficiência um investidor possui uma proporção de fundos neste portefólio que pode compreender alguns proporção de fundos neste portefólio que pode compreender alguns activos e “cash” (dívida pública por exemplo). activos e “cash” (dívida pública por exemplo).



1515

Racio de sharpeRacio de sharpe Um dos activos sem risco (rf)Um dos activos sem risco (rf) rp = (1-x)rf + xra = rf + (ra-rf)xrp = (1-x)rf + xra = rf + (ra-rf)x

rp = rf + ((ra-rf) / rp = rf + ((ra-rf) / σσa) * a) * σσpp Racio de sharpe: declive da recta Racio de sharpe: declive da recta ((ra-rf)/ ((ra-rf)/ σσa) : mede o excesso de a) : mede o excesso de

retorno derivado do risco do activoretorno derivado do risco do activo



1616

Matematicamente, a técnica de Matematicamente, a técnica de MarkowitzMarkowitz para o cálculo da para o cálculo da fronteira de eficiência, resulta na maximização do declive (rácio de fronteira de eficiência, resulta na maximização do declive (rácio de Sharpe) da linha de transformação sujeito a uma restrição que a Sharpe) da linha de transformação sujeito a uma restrição que a soma dos ponderadores é igual a um. soma dos ponderadores é igual a um.

Assim, escolher um óptimo de XAssim, escolher um óptimo de X ii de modo a de modo a

N

p Fi

i 1p

E(R ) RMax s.t. X 1

(1)

N

i i Fi 1

12

N N N2 2i i i j ij

i 1 i 1 j 1i j

X(E(R) R)Max

X XX

(2)

Substituíndo por RSubstituíndo por Rpp e e p p o problema resulta em escolher Xo problema resulta em escolher Xii de modo a de modo a



1717

Dá-nos N condições de 1ª ordemDá-nos N condições de 1ª ordem

N

1 1i 2 2i i ii N Ni i F i i ii 1

Z Z .... Z .. Z E(R ) R X Z Z

(3 )

Desde que os retornos, variâncias e co-variâncias sejam conhecidas, as Desde que os retornos, variâncias e co-variâncias sejam conhecidas, as condições de 1ª ordem podem ser calculadas em óptimas proporções de condições de 1ª ordem podem ser calculadas em óptimas proporções de

ZZii e então para ponderações óptimas de X e então para ponderações óptimas de Xii.. ZZii é a quantidade investida em activos com risco. é a quantidade investida em activos com risco. Se Se ZZii é inferior á unidade (1- é inferior á unidade (1- ZZii) será investido nos activos sem risco ) será investido nos activos sem risco

(lenders).(lenders). Se Se ZZii é maior que a unidade (1- é maior que a unidade (1- ZZii) será investido no activo sem risco ) será investido no activo sem risco

(borrowers).(borrowers).

Uma vez que as ponderações óptimas são conhecidas, o retorno esperado Uma vez que as ponderações óptimas são conhecidas, o retorno esperado e o risco do portefólio óptimo podem ser calculados e o risco do portefólio óptimo podem ser calculados

O rácio de Sharpe para o portfolio P pode igualmente ser calculado. O rácio de Sharpe para o portfolio P pode igualmente ser calculado.



1818

Cuthbertson eNitzsche (2001) reescrevem a equação (3) em forma Cuthbertson eNitzsche (2001) reescrevem a equação (3) em forma matricial. Assumindo haver três activos :matricial. Assumindo haver três activos :

Onde Onde é a matriz das variâncias-covariâncias dos retornos dos é a matriz das variâncias-covariâncias dos retornos dos activos, activos, zz é um vector coluna de proporções óptimas e é um vector coluna de proporções óptimas e ee um um vector coluna do excesso dos retornos. vector coluna do excesso dos retornos.

11 12 13 1 1 F

21 22 23 2 2 F

31 32 33 3 3 F

Z E(R ) RZ E(R ) RZ E(R ) R

Ωz e (4)



1919

A solução é dada por A solução é dada por

1zΩe (5)

As ponderações óptimas , XAs ponderações óptimas , Xii, são , são calculadas como atrás. calculadas como atrás.



2020

Lewis (1998) no “ NBER Working Paper No. 6351” assume queLewis (1998) no “ NBER Working Paper No. 6351” assume que– A utilidade do investidor depende do retorno esperado e do A utilidade do investidor depende do retorno esperado e do

risco . risco . – Os investidores maximizam a sua utilidade sujeita à linha de Os investidores maximizam a sua utilidade sujeita à linha de

transformação óptima. transformação óptima. – A solução óptima é o ponto de tangância das curvas de indiferença do A solução óptima é o ponto de tangância das curvas de indiferença do

investidor a linha de transformação e pode-se interpretar as investidor a linha de transformação e pode-se interpretar as proporções óptimas, proporções óptimas, zz, como a quantidade de fundos investidos nos , como a quantidade de fundos investidos nos activos com risco.activos com risco.

A solução seráA solução será

11

RRAz Ωe (6)

Onde RRA é o coeficiente de aversão relativa ao risco. Onde RRA é o coeficiente de aversão relativa ao risco. Quanto menor uma pessoa for avessa ao risco, mais longe é o ponto de Quanto menor uma pessoa for avessa ao risco, mais longe é o ponto de

intersecção da linha de transformação com a curva de indiferença do intersecção da linha de transformação com a curva de indiferença do investidor no seu ponto de tangência, i.e. investidor no seu ponto de tangência, i.e. zz é maior. é maior.



2121

ExemploExemplo

Asset Average Return

Standard Deviation

Correlations

BOI (2)

(Covariance)

CRH (3) AIB (1) 14% 6% 0.5(9) 0.2(18)

BOI (2) 8% 3% 0.4(18)

CRH (3) 20% 15%

Risk Free 5% 0%



2222

Precisamos de calcular as co variâncias Precisamos de calcular as co variâncias ijij==ijiji i jj.. Substituimos os valores nas três equ (3) que traduzem as Substituimos os valores nas três equ (3) que traduzem as

condições de 1ª ordem.condições de 1ª ordem. ObtemosObtemos

1 2 3

1 2 3

1 2 3

36Z 9Z 18Z 14% 5%9Z 9Z 18Z 8% 5%

18Z 18Z 225Z 20% 5%

(7)

• A equação resolve-se por substituição.• Contudo, se houver um número grande de activos, as condições de primeira ordem

são resolvidas por cálculo matricial .



2323

Em forma de matriz (7) ficaEm forma de matriz (7) fica

1

1

1RRA

36 9 18 91 9 9 18 3

RRA18 18 225 15

z Ω e

z (8)



2424

Suponha que A tem um coeficiente RRA=1 então as Suponha que A tem um coeficiente RRA=1 então as condições de 1ª ordem podem ser calculadas em relação a Zcondições de 1ª ordem podem ser calculadas em relação a Z ii comocomo

Suponha que o investidor B tem menos aversão ao risco e tem um Suponha que o investidor B tem menos aversão ao risco e tem um coeficiente de RRA=0.2 então as condições de 1ª ordem podem coeficiente de RRA=0.2 então as condições de 1ª ordem podem ser calculadas em relação a Zser calculadas em relação a Zii como como

3

1 2 3 ii 1

14 1 3 18Z , Z , Z , Z 29%63 63 63 63

(9 )

3

1 2 3 ii 1

70 5 15 90Z , Z , Z , Z 143%63 63 63 63

(1 0 )



2525

Se ambos os investidores tiverem as mesmas Se ambos os investidores tiverem as mesmas expectativas sobre os retornos esperados, desvios expectativas sobre os retornos esperados, desvios padrão dos retornos e correlações entre os retornos, padrão dos retornos e correlações entre os retornos, então as mesmas condições de 1ª ordem podem podem então as mesmas condições de 1ª ordem podem podem ser resolvidas para as mesmas ponderações óptimas Xser resolvidas para as mesmas ponderações óptimas Xii..

1 2 314 1 3X X X18 18 18

(11)



2626

O valor esperado do retorno é dado O valor esperado do retorno é dado porpor

%14%)20(183%)8(

181%)14(

1814R 3

2p (12)



2727

O risco esperado é dado porO risco esperado é dado por

%33%18

3243%18

32442%9

324142

%225183%9

181%36

1814

65

222

2

p

(13)



2828

A equação da linha de A equação da linha de transformação que passa pelo transformação que passa pelo portfolio P é dado porportfolio P é dado por

p32

p 1%5R (14)



2929

GraficamenteGraficamente

Retorno

Risco

5%

P14.67%

5.82%

• Onde se localizam os portfolios A e B?

p32

p 1%5R



3030

Os retornos esperados dos portfolios Os retornos esperados dos portfolios A e B são dados porA e B são dados por

A45 18ER (5%) (14.67%) 7.76%63 63

(15)

B27 90ER (5%) (14.67%) 18.81%63 63

(16)



3131

O risco esperado dos portfolios A e B O risco esperado dos portfolios A e B é dado poré dado por

A18(5.82%) 1.66%63

(17)

B90(5.82%) 8.29%63

(18)



3232

GraficamenteGraficamente

Retorno

Risco

5%

P14.67%

5.82%

• A é menos avesso ao risco que B.

A(71%,29%)

B(-43%,143%)18.81%

7.76%

1.66% 8.29%



3333

Diversificação eficienteDiversificação eficiente O conceito de eficiência permite estabelecer a seguinte O conceito de eficiência permite estabelecer a seguinte

proposição : para todo o investidor, o portfólio de utilidade proposição : para todo o investidor, o portfólio de utilidade máxima que ele vai escolher tendo em conta o princípio de máxima que ele vai escolher tendo em conta o princípio de racionalidade, deverá ser um portfólio optimamente racionalidade, deverá ser um portfólio optimamente diversificado.diversificado.

Diversificando vai permitir reduzir o risco e aumentar Diversificando vai permitir reduzir o risco e aumentar simultâneamente o rendimento esperado do portfólio.simultâneamente o rendimento esperado do portfólio.

O grau de diversificação possível de obter é função das O grau de diversificação possível de obter é função das covariancias dos activos financeiros que constituem o covariancias dos activos financeiros que constituem o porfólio.porfólio.

Estudos empíricos têm mostrado que uma diversificação Estudos empíricos têm mostrado que uma diversificação com 20 activos financeiros apresentam um resultado com 20 activos financeiros apresentam um resultado bastante satisfatório no que respeita ao binómio risco bastante satisfatório no que respeita ao binómio risco versus custos de transacção.O aumento de activos no versus custos de transacção.O aumento de activos no portfólio pouco mais irá atenuar o risco.portfólio pouco mais irá atenuar o risco.



3434

Diversificação – exemplo com dois Diversificação – exemplo com dois activos financeirosactivos financeiros

Activo A E (RActivo A E (RAA) = 5% ) = 5% σσ (R (RAA) = 20%) = 20%

Activo B E (RActivo B E (RBB) = 15% ) = 15% σσ (R (RBB) = 40%) = 40%

Que proporções de A e de B?Que proporções de A e de B?

Três situações:Três situações: ρρ AB = 1AB = 1

ρρ AB = - 1AB = - 1

-1<-1<ρρ AB<1AB<1



3535

Diversificação – exemplo com dois Diversificação – exemplo com dois activos financeirosactivos financeiros

E( R)E( R)

15%15%

10% B10% B

CC

5% A5% A

10% 20% 40%10% 20% 40% σσ( R)( R)



3636

DiversificaçãoDiversificação



3737

Teoremas dos portfolios eficientesTeoremas dos portfolios eficientes

Proposição 1Proposição 1 Considerado c uma constante e R-c o Considerado c uma constante e R-c o

vectorvector R-c = [E (r1) –cR-c = [E (r1) –c E (r2)- cE (r2)- c E(rn) – c]E(rn) – c] O vector Z resolve as equações R-c = SzO vector Z resolve as equações R-c = Sz Z = SZ = S-1-1[R-c][R-c] X = {x1, x2….xn}X = {x1, x2….xn}



3838


Proposição 1Proposição 1 Xi = zi / Xi = zi / ΣΣZjZj Todos os portfolios de envelope (na Todos os portfolios de envelope (na

fronteira) são desta formafronteira) são desta forma cc xi porfolio de tangência dado cxi porfolio de tangência dado c



3939


Proposição 2Proposição 2 Se dois portfolios se encontram na Se dois portfolios se encontram na

fronteira eficiente (portfolios de fronteira eficiente (portfolios de envelope) e dada uma constante a o envelope) e dada uma constante a o protfolio resultante protfolio resultante

ax + (1-a)y ax + (1-a)y Também se encontra na fronteira de Também se encontra na fronteira de

eficiênciaeficiência



4040

Teoremas dos portfolios eficientesTeoremas dos portfolios eficientes Proposição 3Proposição 3 Se um portfolio s encontra na fronteira de Se um portfolio s encontra na fronteira de

eficiencia (portfolio y) então existirá sempre um eficiencia (portfolio y) então existirá sempre um outro linearmente relacionado com este que se outro linearmente relacionado com este que se encontra igualmente na fronteira de eficiênciaencontra igualmente na fronteira de eficiência

E (rx) = c + E (rx) = c + ββ x x [E(ry) – c][E(ry) – c] ββ x x = Cov (x,y) / = Cov (x,y) / σσ22

yy

c será o valor esperado d eum portfolio z cuja c será o valor esperado d eum portfolio z cuja covariancia com y é 0covariancia com y é 0

c = E(rz)c = E(rz) Cov (y,z) = 0Cov (y,z) = 0



4141

Dificuldades do modelo de Dificuldades do modelo de MarkowitzMarkowitz

1. Os valores dos parâmetros não serem 1. Os valores dos parâmetros não serem conhecidosconhecidos

Algumas estimativas dos parâmetrosAlgumas estimativas dos parâmetros estarem enviesadasestarem enviesadas

O modelo requerer n valores de retorno, n O modelo requerer n valores de retorno, n valores da variância e N. (N-1)/2valores da variância e N. (N-1)/2

co-variâncias.co-variâncias. Para n= 1000, precisamos de estimar 501 Para n= 1000, precisamos de estimar 501

500 parâmetros500 parâmetros



4242

Todavia é a a partir do Modelo de Todavia é a a partir do Modelo de Markowitz que se fizeram Markowitz que se fizeram simplificações e outros modelos simplificações e outros modelos surgiram…surgiram…

Documents

Unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 1 Unidade teórica 3 1 Modelo de Markowitz e a Fronteira eficiente