UNIDAD Nº 7: RETICULADOS ISOSTATICOS PLANOS Y … · UTN.BA - ING CIVIL – ESTABILIDAD – ING J. EDUARDO MARCO REVISION 2015 4 2- La chapa mencionada , conjuntamente con las barras

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UNIDAD Nº 7: RETICULADOS ISOSTATICOS PLANOS Y ESPACIALES. Estructura reticulada: su definición. Reticulados planos y espaciales. Generación. Distintas tipologías. Condición de rigidez necesaria y suficiente. Cálculo de esfuerzos en barras. Sistemas mixtos de alma llena y alma calada. Utilización de programas de cálculo estructural. DEFINICION GENERAL. Se denomina estructura reticulada o de alma calada a la conformada por barras de eje recto cuyos extremos se encuentran articulados o rotulados (caso plano y espacial respectivamente).Para la presente tipología estructural el estado de cargas consiste exclusivamente en fuerzas concentradas aplicadas en los nudos. Gráficamente:

Las fotos que preceden permiten observar estructuras de bajo peso propio (poco material) en función de las luces que salvan. En general se trata de estructuras fabricadas en acero. Fundamentalmente en el caso de los puentes se puede ver que las vigas presentan una altura importante.


A continuación se demuestra que las barras constitutivas de una estructura reticulada se encuentran solicitadas exclusivamente por esfuerzo normal de valor constante. Para dicha demostración se parte del análisis del equilibrio del sistema de fuerzas actuante sobre una barra, teniendo presente que por definición de estructura reticulada, los momentos extremos de barra son nulos al igual que el estado de cargas actuante sobre la misma.

Rx=0 → QAX – QBX =0 Ry=0 → QAY – QBY =0 Rz=0 → NA – NB=0 MX

B=0→ – QAY x L =0 MYB=0→ QAX x L =0 MZ

B=0→ 0=0 Del análisis de las seis ecuaciones surge que:

QAX = QBX = QAY = QBY =0 y NA = NB = N Finalmente el diagrama de cuerpo libre de la barra es el que se muestra:

ESFUERZO NORMAL CONSTANTE

CLASIFICACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS RETICULADAS Y CÁLCULO DE ESFUERZOS EN BARRAS. Las mismas se pueden clasificar en planas y espaciales. Para el caso de los sistemas planos es habitual estudiar reticulados que conforman una sola chapa (simples, compuestos y complejos) y sistemas reticulados formados por más de una chapa. Para el caso de sistemas espaciales se analizan con carácter de interés práctico reticulados simples como así también los generados a partir de un anillo base. A continuación se desarrolla: Reticulados planos. Simples. Son aquellos generados a partir de un triángulo elemental (cadena cerrada de tres chapas con sus tres articulaciones relativas no alineadas que se comporta como una única chapa rígida) .A continuación se grafica:


De la figura surge que, para generar un nuevo nudo a partir del sistema inicial, es necesario agregar dos barras. El nuevo sistema vuelve a constituir una cadena cerrada de tres chapas con sus tres articulaciones no alineadas comportándose finalmente como una sola chapa rígida que requiere tres condiciones de vínculo externo correctamente dispuestas para su efectiva inmovilización. Es decir:

En la estructura que precedes, si se llama b al número de barras, k al número de nudos y cve al número de condiciones de vínculo externo se puede observar el cumplimiento de la siguiente expresión:

b + cve = 2.k Para el caso en análisis: 5 + 3 = 2 x 4 = 8 La expresión indicada es la condición de rigidez necesaria para los reticulados planos .Se habla de condición necesaria pues no garantiza la invariabilidad cinemática del sistema. A continuación se ejemplifica:

b + cve = 2.k → 9 + 3 = 2 x 6 = 12

Se puede observar el cumplimiento de la condición de rigidez necesaria .Sin embargo al analizar cinemáticamente la estructura se observa que: 1- Las barras b1 a b5 conforman una única chapa . Consecuentemente la existencia de la barra b6 no resulta necesaria.


2- La chapa mencionada , conjuntamente con las barras b7 a b9 , conforman una cadena cerrada de cuatro chapas con menor número de condiciones de vínculo externo que las estáticamente necesarias. 3- Si se modifica la posición de la barra b6 ubicándola entre los nudos 4 y 5 ,la estructura se transforma en una única chapa isostáticamente vinculada y cinemáticamente invariable. A continuación se ejemplifican reticulados simples de forma habitual, con la nomenclatura con que se designan en la práctica profesional a sus elementos constitutivos.

Compuestos. Es el caso en que dos o más reticulados simples se encuentran unidos entre si de manera de conformar una sola chapa rígida . A continuación se ejemplifica: Ejemplo 1

b + cve = 2.k → 11 + 3 = 2 x 7 = 14

Se cumple la condición de rigidez necesaria .A continuación se analiza cinemáticamente la estructura partiendo de considerar la cadena cerrada de tres chapas formada por los dos reticulados simples (RS1 y RS2) y la barra 11. Dado que las tres articulaciones relativas no se encuentran alineadas puede afirmarse que dicha cadena cerrada se comporta como una única chapa rígida. Dicha chapa se vincula a tierra mediante tres condiciones de vínculo externo correctamente dispuestas dado que la dirección del apoyo móvil no pasa por el punto fijo definido por el apoyo fijo.


Ejemplo 2

b + cve = 2.k → 9 + 3 = 2 x 6 = 12 Se cumple la condición de rigidez necesaria . En cuanto al análisis cinemático se considera la existencia de dos reticulados simples ( el conformado por las barras b1-b2-b3 y el conformado por las barras b4-b5-b6).Ambos reticulados se encuentran vinculados entre si por tres bielas (las barras a, b y c) cuyas direcciones no son concurrentes a un punto. De esta forma el reticulado analizado se comporta como una única chapa rígida. Dicha chapa se vincula a tierra mediante tres apoyos móviles cuyas direcciones no concurren a un punto resultando el sistema isostáticamente vinculado y cinemáticamente invariable. Complejos. Son aquellos cuya generación no responde ni a los reticulados simples ni a los compuestos. Ejemplo

b + cve = 2.k → 9 + 3 = 2 x 6 = 12

Se cumple la condición de rigidez necesaria . Con respecto al análisis cinemático y de acuerdo a la figura que precede , se considera la cadena cerrada de tres chapas ( S1-S2-S3 ) .Dichas chapas se encuentran vinculadas entre si mediante tres articulaciones relativas ( A12inf- A23 - A13).Como además dichas articulaciones no se encuentran alineadas el sistema se comporta como una única chapa rígida. La chapa en cuestión se vincula a tierra en forma suficiente de acuerdo a la figura de análisis. Desde el punto de vista resolutivo se deja aclarado que abrir la cadena cerrada en una articulación relativa consiste, en este caso, en cortar las dos barras que definen dicha articulación.


Reticulados conformados por más de una chapa.

b + cve = 2.k → 12 + 4 = 2 x 8 = 16

Se cumple la condición de rigidez necesaria . En referencia al análisis cinemático, los reticulados simples RS1 y RS2 conforman un arco de tres articulaciones cinemáticamente invariable al igual que las barras b1 y b2. En términos sencillos se puede afirmar que el sistema consiste en una cadena cerrada de cuatro chapas isostáticamente vinculada y cinemáticamente invariable. Determinación de esfuerzos internos en barras. Como quedo demostrado, las barras constitutivas de una estructura reticulada resultan solicitadas exclusivamente por esfuerzo normal de tracción o compresión. En lo que sigue se indican métodos para la determinación de dichos esfuerzos. Método de los nudos Considérese la siguiente estructura reticulada cargada:

Resolver el problema consiste en determinar las reacciones de vínculo externo y los esfuerzos internos en barras. Es decir que el número de incógnitas resulta ser:

Nº de Incógnitas = b + cve


Si ahora se procede al despiece de la estructura en barras y nudos , evidenciando los esfuerzos internos en barras y las reacciones de vínculo externo , el sistema queda como se muestra:

Se puede observar que: 1-El esfuerzo interno en cada barra ha sido supuesto de tracción. 2-Al plantear el equilibrio de cada nudo, por tratarse de un sistema plano de fuerzas concurrentes a un punto, se dispone de dos ecuaciones de equilibrio. Consecuentemente el número total de ecuaciones disponibles resulta ser:

Nº de Ecuaciones = 2.k

Dado que se trata de un sistema isostático debe cumplirse que:

Nº de Incógnitas = Nº de Ecuaciones Es decir que:

b + cve = 2.k Expresión análoga a la condición necesaria de rigidez para reticulados planos. De esta forma es posible plantear un sistema de ecuaciones cuya resolución arroje por resultado la totalidad de los esfuerzos internos en barras como así también las reacciones de vínculo externo. A continuación y como es habitual en la resolución de la presente tipología estructural se resolverá el sistema de ecuaciones, que en el ejemplo planteado resulta de 8x8 ,en forma desacoplada. Para lograr dicho cometido se comienza por la determinación de reacciones de vínculo externo en la forma conocida. Es decir :


Luego se plantea el equilibrio de nudos con el objeto de obtener los esfuerzos internos en barras. Dado que como ya se explicó solo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio por cada nudo, es necesario comenzar la resolución por aquel que no presente más de dos incógnitas. Entonces: Análisis del nudo A

Análisis del nudo B

Análisis del nudo C


En el nudo precedentemente analizado solo resulta necesaria una ecuación de equilibrio, motivo por el cuál la restante ecuación se utiliza para verificación. Análisis del nudo D En dicho nudo todos los esfuerzos internos en barras son conocidos , por lo tanto se utiliza para verificar el equilibrio.

Concluido el cálculo de esfuerzos internos en barras se representa el resultado final tal como se muestra:

En la representación que precede el signo positivo caracteriza las barras traccionadas y el signo negativo caracteriza las barras comprimidas. Método de Ritter o de las secciones. El método que a continuación se presenta, NO permite en la mayoría de los casos la determinación de la totalidad de los esfuerzos internos en las barras constitutivas de una estructura reticulada. Sin embargo, resulta muy útil su aplicación conjuntamente con el método de los nudos en aquellos casos donde todos los nudos de la estructura presentan más de dos incógnitas. Consiste básicamente en efectuar un corte según tres barras cuyas direcciones no concurren a un punto, dejando dividida la estructura en dos partes claramente diferenciadas. A continuación se ejemplifica:


Se puede observar en el ejemplo que se muestra que todo nudo presenta más de dos incógnitas. Consecuentemente se ha efectuado un corte involucrando las barras AE, BC y CF cuyas direcciones no concurren a un punto. Si además se consideran conocidas las reacciones de vínculo externo la situación es la siguiente:

Planteando ahora el equilibrio de la parte izquierda (o de la parte derecha) se obtienen los esfuerzos internos evidenciados al efectuar el corte. Luego y por aplicación del método de los nudos es posible la determinación de los esfuerzos internos en las barras restantes. Se puede observar que dicha determinación es posible dado que existen nudos con no más de dos incógnitas. Con respecto a las ecuaciones de equilibrio, las mismas pueden plantearse en la forma habitual (Rz=0, Ry=0 y Mxo=0) o bien, como sugiere el método que se analiza, pueden utilizarse tres ecuaciones de momento considerando como centro de reducción en cada caso, el punto intersección de dos de las direcciones según las cuáles actúan los esfuerzos a determinar. La ventaja en este caso consiste en generar tres ecuaciones independientes entre si con una sola incógnita cada una. Por ejemplo, para el caso que se analiza, es posible determinar EAE mediante una ecuación de momento respecto del punto intersección de las direcciones definidas por los esfuerzos EBC y ECF (punto C). En el caso particular de la determinación del esfuerzo interno ECF, la ecuación de momento respecto del punto intersección de las direcciones definidas por los esfuerzos EBC y EAE (que son paralelas entre si) no resulta posible , pues dicho punto se encuentra ubicado sobre la recta impropia a distancia infinita. Por este motivo dicha ecuación se transforma en una ecuación de proyección de fuerzas en dirección perpendicular a la dirección definida por los esfuerzos EBC y EAE (dirección n-n). En función de lo expresado en el último párrafo se puede concluir ,si se quiere desde un punto filosófico, que una ecuación de proyección de fuerzas en determinada dirección equivale a una ecuación de momento respecto de un punto infinitamente alejado ubicado sobre la dirección perpendicular a la de proyección.


Método de Henneberg o de falsa posición. Para el desarrollo del método indicado considérese la siguiente estructura cargada :

Partiendo de aceptar que la estructura se encuentra isostáticamente vinculada y es además cinemáticamente invariable (ver análisis cinemático de reticulados complejos), se procede a la determinación de esfuerzos en barras. Se puede observar que no existe un nudo con solo dos incógnitas, ni tampoco es posible cortar tres barras cuyas direcciones no sean concurrentes a un punto, de forma tal de dejar claramente dividida la estructura en dos partes (método de Ritter). Cuando la situación mencionada ocurre, el método de Henneberg propone generar un sistema sustituto, modificando la posición de una barra con el objeto que la estructura se pueda resolver a partir de los métodos conocidos. Gráficamente:

Obviamente, el sistema sustituto debe resultar isostáticamente vinculado y cinemáticamente invariable. El mismo se ha logrado en este caso modificando la posición de la barra que en la estructura original se ubica entre los nudos A y F, ubicándola entre los nudos C y F. Se puede observar además que este sistema es de fácil resolución por el método de los nudos, comenzando la misma por el nudo A que solo presenta dos incógnitas.


A continuación se efectúa la siguiente superposición de efectos operando con el sistema sustituto

Dado que en la estructura original la barra ubicada entre los nudos C y F no existe, puede considerarse a la misma con esfuerzo interno nulo .Consecuentemente es posible plantear la ecuación que a continuación se detalla con el objeto de determinar el esfuerzo interno en la barra A F en la estructura original:

E(s)CF, Cargas + E(s)

CF, EAF=1 x EAF =0

La ecuación remarcada indica que la suma del esfuerzo interno en la barra C F debido al estado de cargas más el esfuerzo interno en la barra C F debido al esfuerzo unitario aplicado entre los nudos A y F multiplicado por el verdadero valor, debe resultar nula. Una vez obtenido el esfuerzo interno en la barra A F , el cuál surge de la ecuación que precede, es posible aplicando superposición de efectos obtener los esfuerzos internos de la totalidad de las barras. Por ejemplo:

EAB =E(s)AB, Cargas + E(s)

AB, EAF=1 x EAF

Si bien por simplicidad se ejemplificó el caso de cambio de posición de una sola barra para generar el sistema sustituto, de ser necesario es posible obtener el mismo modificando la posición de n barras. En dicha situación en lugar de una sola ecuación se genera un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Se deja a cargo del lector el análisis de este caso siguiendo los lineamientos precedentemente explicados. Barras inactivas. Ciertas configuraciones de estructuras reticuladas respecto de su geometría y estado de cargas conducen a poder definir de antemano y previo al cálculo de esfuerzos internos, la existencia de barras con esfuerzo nulo. A continuación se ejemplifica:


Análisis del nudo A.

Conclusión: Si a un nudo descargado concurren dos barras sus esfuerzos internos resultan nulos. Análisis del nudo C.

Conclusión: Si a un nudo descargado concurren tres barras, dos de las cuáles son colineales, el esfuerzo interno en la que no lo es vale cero y además las barras colineales presentan idéntico esfuerzo interno. Reticulados espaciales. Simples: Son aquellos generados a partir de un tetraedro elemental (el cuál constituye un cuerpo rígido). A continuación se grafica:

A partir del tetraedro elemental la generación de un nuevo nudo requiere la utilización de tres barras cuyas direcciones no sean coplanares. De esta forma el nuevo sistema vuelve a comportarse como cuerpo rígido requiriendo seis condiciones de vínculo externo correctamente dispuestas para su efectiva inmovilización. En el caso de estructuras reticuladas espaciales se cumple la siguiente condición de rigidez necesaria.

b + cve = 3.k Se recuerda que el cumplimiento de la expresión precedente no garantiza la invariabilidad cinemática del sistema.


La aplicación de la condición de rigidez necesaria a la estructura ejemplificada conduce al siguiente resultado:

b + cve = 3.k → 9 + 6 = 3 x 5 = 15 A continuación se grafican casos prácticos de reticulados simples:

Reticulados generados a partir de un anillo base. En este caso se analizan estructuras reticuladas vinculadas a tierra con más de seis condiciones de vínculo externo. Gráficamente:

b + cve = 3.k → 16 + 8 = 3 x 8 = 24

Se cumple la condición de rigidez necesaria . En cuanto al análisis cinemático se puede concluir que la totalidad de los nudos de la estructura se encuentran inmovilizados mediante tres bielas no coplanares resultando el sistema isostáticamente vinculado y cinemáticamente invariable. De la figura de análisis surge que es posible generar la estructura a partir del anillo base conformado por las barras AB, BC, CD y AD. El mismo se encuentra fijo a tierra mediante tres condiciones de vínculo externo en el nudo A , una en el nudo B y dos en los nudos C y D . Esta situación simplifica el análisis cinemático al poder comenzar el mismo por el nudo A que se encuentra fijo.


Simplemente modificando la distribución entre el nudo A y el nudo B, el anillo base puede vincularse con dos condiciones de vínculo externo en cada nudo, pero en dicha situación ya no es posible comenzar el análisis cinemático por un nudo fijo. A continuación se grafica el caso mencionado:

b + cve = 3.k → 4 + 8 = 3 x 4 = 12 Cuando se presenta este inconveniente se aconseja, luego de verificar el cumplimiento de la condición de rigidez necesaria, aplicar el método de prueba de carga nula. Determinación de esfuerzos internos en barras. Los métodos para la determinación de esfuerzos internos en barras de reticulados espaciales son los mismos que ya fueron desarrollados para reticulados planos. O sea: Método de los nudos Partiendo del siguiente reticulado espacial cargado y evidenciando las reacciones de vínculo externo y los esfuerzos internos en barras resulta:

Para resolver completamente la estructura es necesario determinar reacciones de vínculo externo y esfuerzos internos en barras. Por lo tanto:

Nº de Incógnitas = b + cve


Como se puede observar en cada nudo de la estructura se presenta un sistema espacial de fuerzas concurrentes, motivo por el cuál para el planteo del equilibrio de dicho sistema de fuerzas se dispone de tres ecuaciones. Es decir:

Nº de Ecuaciones = 3.k

Como se trata de un sistema isostático debe cumplirse que:

Nº de Incógnitas = Nº de Ecuaciones Es decir que:

b + cve = 3.k Expresión análoga a la condición necesaria de rigidez para reticulados espaciales. De esta forma es posible plantear un sistema de ecuaciones cuya resolución arroje por resultado la totalidad de los esfuerzos internos en barras como así también las reacciones de vínculo externo. También en este caso el sistema de ecuaciones puede ser resuelto en forma desacoplada, comenzando por obtener las reacciones de vínculo externo en la forma conocida, para luego proceder a determinar los esfuerzos internos en barras a partir de un nudo que no presente más de tres incógnitas.

Método de Ritter o de las secciones. Para el caso de reticulados espaciales el método resulta útil cuando todos los nudos presentan más de tres incógnitas. En este caso el corte debe involucrar seis barras cuyas direcciones no sean cortadas por una recta. Dicho corte debe dejar dividida la estructura en dos partes claramente diferenciadas. A continuación se grafica:

A continuación se grafica la estructura seccionada previa determinación de las reacciones de vínculo externo:


La determinación de los esfuerzos internos E1 a E6 puede llevarse a cabo a partir del equilibrio del sistema de fuerzas actuante sobre una u otra parte en que ha quedado dividida la estructura original. Los restantes esfuerzos internos en barras se determinan planteando el equilibrio del sistema de fuerzas que actúa sobre cada nudo, a condición que este último no presente más de tres incógnitas. Método de Henneberg o de falsa posición. La manera de aplicar el método mencionado en el título al caso de reticulados espaciales es idéntica al caso de reticulados planos. Consecuentemente se remite al lector a dicha sección. Barras inactivas. En el caso de reticulados espaciales se presentan idénticas situaciones a las oportunamente explicadas para el caso de reticulados planos. SISTEMAS MIXTOS DE ALMA LLENA Y ALMA CALADA. Ejemplo N°1

1-Análisis cinemático.

La estructura en análisis consiste en una cadena cinemática cerrada de cuatro chapas que, como se sabe, presenta cuatro grados de libertad. Consecuentemente requiere cuatro condiciones de vínculo externo correctamente dispuestas para su efectiva inmovilización. De la simple observación de la figura surge que la estructura cuenta con cuatro condiciones de vínculo externo (un apoyo fijo y dos apoyos móviles) resultando isostáticamente vinculada.


A continuación se analiza si la vinculación es efectiva: La chapa S2 se encuentra fija como consecuencia de tener aplicado el apoyo fijo y un apoyo móvil cuya dirección no pasa por el punto fijo A. En particular A12 y A23 están fijas. Las chapas S1 y S3 se comportan para la chapa S4 como bielas de dirección A12- A14 y A23- A34 respectivamente. Dado que las direcciones de dichas bielas y la dirección del apoyo móvil aplicado en el punto D no son concurrentes a un punto, se puede afirmar que la chapa S4 se encuentra fija. En particular A14 y A34 están fijas. Las chapas S1 y S3 presentan cada una dos puntos fijos (las articulaciones relativas) por lo tanto están fijas. Como todas las chapas están fijas el sistema resulta cinemáticamente invariable. 2-Cálculo de reacciones de vínculo.

Rz=0 → HA=0 Ry=0 → 500Kn -VA-VB -VD=0 MxA=0→ 2500Knm + 50Knm - VB.3m - VD.10m=0

MxA12

S2=0→ VA.3m + HA.3m + VB.0m + X1.0m - X2.3m=0 MxA34

S3=0→ 50Knm - X1.4m + X2.0m=0 MxA14

S3 S4=0→ 50Knm - X1.4m + X2.3m - VD.3m=0 Operando se obtiene: HA=0Kn VA=262.5Kn VB= - 25Kn VD=262.5Kn X1=12.5Kn X2=262.5Kn


3-Despiece de la estructura en sus chapas componentes.

4-Determinación de esfuerzos internos en las barras constitutivas de las chapas S2 y S4. Dichas chapas se comportan como sistemas reticulados, consecuentemente aplicando el método de los nudos surgen los siguientes esfuerzos internos en barras.

EAB=ECD=262.5Kn Tracción EBE=ECF=12.5Kn Tracción EAE=EDF=371.23Kn Compresión 5-Trazado de diagramas de características.


Ejemplo N°2

A continuación se indica el diagrama de cuerpo libre. Se recuerda que las barras articuladas –articuladas sin carga solo pueden presentar esfuerzo normal constante. Queda a cargo del lector indicar las ternas locales en las barras de alma llena como así también las secciones de interés:

Los diagramas de características se indican en lo que sigue:



EJERCICIOS PROPUESTOS. Para las estructuras indicadas a continuación se solicita: Análisis cinemático, cálculo de reacciones de vínculo, trazado de diagramas de características y verificación mediante programa para cálculo de estructuras.



APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES A LA DETERMINACION DE ESFUERZOS EN BARRAS DE RETICULADOS. Dado que como se sabe las barras de reticulado presentan exclusivamente esfuerzo normal constante, la determinación se puede simplificar como continúa. Sea entonces la siguiente estructura reticulada:

Si se pretende determinar por aplicación del principio de los trabajos virtuales el esfuerzo en la barra BC entonces el sistema equilibrado (SE) es el que se indica a continuación:

A continuación se indica el mecanismo de un grado de libertad al que se le aplica el desplazamiento virtual (DV):


Como desplazamiento virtual se adopta el giro θ1 de la chapa S1 respecto de su punto fijo O1:

Finalmente, aplicando la ecuación del principio de los trabajos virtuales resulta:

Wve=0 → EBC.∆ξBC=EBC.(θ2.6m)= 60Kn.θ2.3m → EBC=30Kn

En función del resultado obtenido la barra se encuentra traccionada.

En este caso la magnitud correspondiente en la expresión de trabajo virtual para el esfuerzo en la barra BC es el corrimiento relativo entre los puntos B y C en dirección del eje de barra (∆ξBC).

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