Unidade 2 Modelizar a incerteza 2009/10

24-04-23Analise risco credito- Modelizar a incertza 1


. Em que medida a incerteza influencia as decisões?

. Como se formaliza a incerteza?

. Qual a atitude do investidor face ao risco?

Motivação : Problema:

Os agentes económicos quase nunca têm acesso a toda a informação sobre o ambiente em que interagem

O objectivo pretendido pode não ser obtido pela acção tomada

Solução Construir uma teoria de decisão


Decisão em incerteza

A escolha entre acções ou planos dados dois elementos depende:

Probabilidade de sucesso ou do falhanço Consequência do sucesso ou do falhanço.


CONCEITOS DA INCERTEZA

A INCERTEZA PODE SER DEFINIDA COMO UMA SITUAÇÃO EM QUE O AGENTE ECONÓMICO VÊ AS CONSEQUÊNCIAS DAS SUAS DECISÕES DEPENDER DE FACTORES EXÓGENOS CUJOS ESTADOS DA NATUREZA NÃO PODEM SER PREVISTOS COM CERTEZA

Encontra-se em situação de risco. O risco pode ser quantificado. Associa-se ao

risco uma distribuição de probabilidades. Probabilidade objectiva ou subjectiva?


activos contingentes

Ano 1Ano 1 22 33

Cashflow E6Cashflow E6 E6E6 E106E106

Cupões Cupões zerozero

Ano Ano TerminalTerminal

Valor Valor nominalnominal

11 1 ano1 ano E6E6

22 2 anos2 anos E6E6

33 3 anos3 anos E 106E 106

E103 = E103 = 6.v1+6.v2+106.v36.v1+6.v2+106.v3Com taxa de juro Com taxa de juro sem risco igual a 6%sem risco igual a 6%

24-04-23Analise risco credito- Modelizar a

incertza 6

Activos financeiros e a incerteza

Preço HojePreço Hoje Cash flow Cash flow Boa Boa conjunturaconjuntura

Cash flow má Cash flow má conjunturaconjuntura

Cupão zero Cupão zero unitáriounitário

v1v1 11 11

AcçãoAcção aa Cfa 1bCfa 1b Cfa 1mCfa 1m


incertza 7


V1= 1 / (1+rf) Cfa1 = p . Cfa1b + (1-p). Cfa1m Ra = (cfa1-a) / a a = cfa1 / (1+ra)


Decisão

Teoria da decisão = teoria de probabilidades (relativo às

hipóteses)+ teoria de utilidade (relativo aos resultados)

Ideia fundamental: Máxima utilidade esperada Ponderação decada resultado obtido pela

probabilidade de ocorrência.


REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO:

As preferências de um indivíduo têm uma representação da utilidade esperada se existir uma função u tal que um consumo aleatório x é preferível a um consumo aleatório y se e só se :

E [u(x) ≥ E [u(y)] Onde E[.] é a expectativa de acordo com

a probabilidade subjectiva de cada indivíduo.


REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO

Quais as condições necessárias e suficientes para que as preferências de um indivíduo possam ter uma representação na utilidade esperada?

Quais as condições necessárias e suficientes para que as preferências de um indivíduo apresentem aversão ao risco tendo como pressuposto a existência de uma utilidade esperada?


REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO

Probabilidade objectiva (Von Neumann-Morgenstern (1953) e probabilidade subjectiva (Savage (1972): diferentes aproximações á representação das preferência através de uma função de utilidade esperada.

Uma relação de preferência é uma relação binária que é transitiva e completa


Princípio básico Um agente tem de selecionar uma acção Considere Ac = {A1, A2,…Ai} um conjunto

de acções Considere Res = {res1, res2,…} um

conjunto de possíveis resultados Ex possiveis acções: plano 1 e 2.


Princípio básico P(resj| Ai) =

Probabilidade de obtenção do resultado resj, dada a acção Ai:

U(resj) = utilidade associada a cada resultado.

Utilidade Captura o desejo de realização de resj Um agente ec preferirá um estado que lhe possa dar

maior utilidade. U(resj) > U(resi) resj é preferível a resi


Princípio básico Dada P(res1| Ai), utilidade U(res1), P(res2| Ai), utilidade U(res2)…

A utilidade esperada (EU) de uma acção Aii:EU(Ai) = U(resj)*P(resj|Ai)

Escolher Ai tal que maximize EU MEU = argmax U(resj)*P(resj|Ai) Ai Ac resj OUT


res-j res

Exemplo


Decision node: You play

Chance node: Nature plays

Plan1

Plan20.70

0.30

0.80

0.20

SuccessReward: $100

SuccessReward: $50

FailureReward: -$1000

Failure

Reward: -$10

EU(Plan2):$50*0.7 -10*0.3= 32

EU(Plan1):100*0.8 –1000*0.2 = -120

Bigger Trees Possible


Plan1

Plan2

0.70

0.70

0.80

0.20

Plan3

0.30

0.30

Plan1

Plan2

0.70

0.70

0.80

0.20

Plan3

0.30

0.30

Decnode

REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO Conceitos: - Os modelos de incerteza partem de uma situação simples de dois

momentos (t0 e t1) A incerteza em economia é modelizada pela consideração de diversos

estados da natureza “incertos” a serem realizados em t1 Um estado da natureza é a descrição completa de uma situação de

incerteza a ocorrer entre t0 e t1. Um plano de consumo é a especificação do número de unidades de

consumo de um bem em diversos estados da natureza Relação de preferência do indivíduo face a diversos planos de consumo:

mecanismo que permite um indivíduo comparar diferentes planos de consumo

Função de utilidade permite concretizar a relação de preferência do indivíduo

X é preferível a x´ se e só se U(x) ≥ U(x´) ou Em termos de utilidade esperada:

E[u(x)] ≥ E[u(x´)]


Formalização do risco

A decisão do investidor é subjectiva Existem linhas de acção a tomar O resultado futuro é função dos estados de

natureza considerados no momento da decisão.

Os estados da natureza deverão ser mutuamente exclusivos e exaustivos

Os estados da natureza encontram-se fora do controle do decisor.

Para cada linha de acção existe uma consequência

Existe uma matriz de resultados (payoff matrix)


Payoff matrix

Estados da naturezaEstados da natureza

Linhas de acçãoLinhas de acçãoE1 E2 E3 ….. Ej ……… EnE1 E2 E3 ….. Ej ……… En

A1A1A2A2.....Ai.Ai......AmAm

C11 C12 C13 …… C1j ……….C1nC11 C12 C13 …… C1j ……….C1nC21 C22 C23 …… C2j ……….C2nC21 C22 C23 …… C2j ……….C2n

Ci1 Ci2 Ci3 …… Cij ……….CinCi1 Ci2 Ci3 …… Cij ……….Cin

Cm1 Cm2 Cm3 …… Cmj Cm1 Cm2 Cm3 …… Cmj ……….Cmn……….Cmn


incertza 20

Payoff matrixExemplo

Um vendedor de jornais vende ao preço de 5 euros uma revista que ele adquire ao preço de 3 euros. A sua experiência permite-lhe considerar que as vendas deste tipo de revista se situa em 2,3 ou 4 exemplares, sendo raro 1 ou 5. Tem a certeza de que vende pelo menos um exemplar.


Payoff matrixExemploNº exemplares Nº exemplares vendidosvendidos

Nºde exemplares Nºde exemplares armazenadosarmazenados

1 2 3 4 51 2 3 4 5

11

22

33

44

55

2 2 2 2 22 2 2 2 2

-1 4 4 4 4-1 4 4 4 4

-4 1 6 6 6-4 1 6 6 6

-7 -2 3 8 8-7 -2 3 8 8

-10 -5 0 5 10-10 -5 0 5 10


incertza 22

Payoff matrix

Exemplo Qual a melhor decisão? Critério Laplace : Não há razão q um estado da

natureza seja melhor que o outro – Média aritmética de cada linha e tomar a que der média mais elevada.

Critério Wald – Tomar em cada linha de acção a situação mais desfavorável e decidir pela menos desfavorável

Critério Hurwicz – Cada linha é ponderada pela situação mais favorável e menos favorável e faz-se a media aritmética (ponderada). O factor de ponderação é efectuado pelo decisor.

Critério de regressão – Procede a um regressão entre o valor previsto e o valor obtido à posteriori. Os parâmetros obtidos pela regressão irão afectar as decisões futuras.



C1b>C1m>C1b>C1m>FF

Cash Cash flowflow

DívidaDívida AcçõesAcções

Boa conjunt.Boa conjunt.Má conjunt.Má conjunt.

Valor Valor mercadomercado

C1bC1bC1mC1m

D=F.v1bD=F.v1b+F.v1m+F.v1m

FFFF

A=(c1b-A=(c1b-F).v1b+F).v1b+(c1m-F).v1m(c1m-F).v1m

C1b-FC1b-FC1m-FC1m-F

C1b>>F>CC1b>>F>C1m1m

Cash flowCash flow DívidaDívida AcçõesAcções

Boa conjunt.Boa conjunt.Má conjunt.Má conjunt.

Valor Valor mercadomercado

C1bC1bC1mC1m

D=F.v1b+C1D=F.v1b+C1m.v1mm.v1m

FFC1mC1m

A=(c1b-A=(c1b-F).v1bF).v1b

C1b-FC1b-F00

Valor da empresa com Valor da empresa com dívida=A+Ddívida=A+D=C1b.v1b+C1m.v1m=C1b.v1b+C1m.v1m=valor da empresa sem =valor da empresa sem dívidadívida


incertza 24

O valor da empresa é independente do seu endividamento (Modigliani e Miller)

Val = -I + C1.v1 Val = -I + C1b .v1b + C1m. V1m Valor da empresa = I + val = C1b .v1b +

C1m. V1m Valor da empresa endividada = A + D = C1b.v1b + C1m.v1m= valor da

empresa não endividada (hipotese 1)

Valor da empresa endividada = A+D =(F.v1b+C1m.v1m ) + ((c1b-F).v1b) = C1b.v1b + C1m.v1m= valor da empresa não endividada (hipotese 2)


Decisão de investimento e mercado completo

Preço Preço hojehoje

Cash Cash flow flow boa boa conjconj

Cash Cash flow flow má má conjconj

Cupão Cupão zero unitzero unit

AcçãoAcção

0,950,95

1,451,45

11

22

11

11

Activos Activos contingentes contingentes BB

Activos Activos contingentes contingentes MM

Cupão zero Cupão zero unitunit

11 11

Acção2Acção2 22 11

0,95=1.v1b+1.v1m0,95=1.v1b+1.v1m1,45=2.v1b+1.v1m1,45=2.v1b+1.v1m

V1b = 0,5 v1m = 0,45V1b = 0,5 v1m = 0,45


incertza 26

Aversão ao risco, exemplo…

Suponha que a um agente económico é dada a escolha de uma das seguintes hipóteses:

Escollha 1: obter certo $1,000,000 Esolha 2: Mandar uma moeda ao ar

Se sair cara, ganhar $3,000,000 Se sair coroa, não ganhar nada

Cálculo da utilidade esperada: EU(escolha1) = $1,000,000 EU(escolha2) = 0.5 * $0 + 0.5 * $3,000,000 =

$1,500,000

Porque muita gente prefere a escolha 1?24-04-23Analise risco credito- Modelizar a incertza 27

Aversão ao risco Porque a maior parte das pessoas são “avessas ao

risco” As funções de utilidade poderão ser :

Para o primeiro milhão U($1M) = 10 Para o segundo milhão U($2M) = 15 (Não 20) Para o terceiro milhão U($3M) = 18 (Não 30) ….


Aversão ao risco If we plot amount of money on the x-axis and utility

on the y-axis, we get a concave curve

EU(choice1) = U($1M) = 10 EU(choice2) = 0.5*U(0) + 0.5*U($3M =18) = 9 That is why we prefer the sure $1M


0

5

10

15

20

25

0 1M 2M 3M 4M

Money

Util

ity

Atitude face ao risco

Indiferença (neutro ao risco)

Aversão ao risco

Propensão ao risco

Nota: Há uma função de utilidade associada


Indiferença ao risco

Utilidade (U)


propensão ao risco

Utilidade

Riqueza


Aversão ao risco

Utilidade

Riqueza


Risk Averse, Risk NeutralRisk Seeking


0

5

10

15

20

25

0 1M 2M 3M 4M

Money

Utili

ty

RISK AVERSE

05

1015202530354045

0 1M 2M 3M 4M

Money

Utility

RISK NEUTRAL

0

20

40

60

80

100

120

0 1M 2M 3M 4M

Money

Utility

RISK SEEKER

EU(Choice1) = 10EU(Choice2) = 9

EU(Choice1) =10EU(Choice2) =15

EU(Choice1)=10EU(Choice2)=25

conclusão

Os activos financeiros são activos de risco. O crédito é uma operação que envolve risco.

Há todavia activos de maior ou menor risco e activos sem risco. Haverá crédito sem risco?

Os indivíduos têm um grau de maior ou menor aversão ao risco traduzido pela utilidade esperada do ganho obtido.

Os pagamentos são incertos o que envolve que as escolhas sejam designadas de lotarias mas o princípio de maximização da utilidade esperada é uma decisão racional.


Anexo – about uncertainty measure


Economist’s jargon

Economists call a lottery a situation which involves uncertain payoffs: Cultivating apples is a lottery Cultivating pears is another lottery Playing with a fair die is another one Monthly consumption

Each lottery will result in a prize


Drawing an indifference curve


X2

X1

EU1

EU2

EU3

Convex Indifference curvesImportant to understand that:EU1 < EU2 < EU3

Line of lotteries without risk

Indifference curve and risk aversion


X1

X2

3125/0.25

3125/0.75

Line of lotteries without risk

3125

3125

4000

500

Lot. A

Lot. B

We had said that if the individual was risk averse, he will prefer Lottery A to Lottery B.

These indifference curves belong to a risk averse individual as the Lottery A is on an indifference curve that is to the right of the indifference curve on which Lottery B lies.

Lot A and Lot B have the same expected value but the individual prefers A because he is risk averse and A does not involve risk

What shape is the utility function of a risk averse individual?


X=money

U(x)

U’(x)>0, U’(x)>0, increasingincreasing

U’’(x)<0, concaveU’’(x)<0, concave

Indifference curves and risk aversion

We have just seen that if the indifference curves are convex then the individual is risk averse

Could a risk averse individual have concave indifference curves? No….


Does risk aversion imply anything about the sign of U’’(x)

2 1 1

1 1 2

22 1 1

21 1 2

'( )*(1 ) '( )

''( )*(1 ) '( )

dx p U xdx p U x

d x p U xdx p U x


Convexity means that the second derivative is positive

In order for this second derivative to be positive, we need that U’’(x)<0

A risk averse individual has utility function with U’’(x)<0

Geometric property

A risk-averse utility function U is concave

Such a function satisfies: U[(1 - p) x + p y] ≥ (1 - p) U(x) + p U(y)

For each x, y, and p [0,1] (Not just p = ½, which is where we started)

Geometrically, the curve lies on or above a line through any two of its points


Measuring Risk Aversion

The most commonly used risk aversion measure was developed by Pratt


"( )( ) '( )

U Xr XU X

For risk averse individuals, For risk averse individuals, U”U”((XX) < ) < 00– rr((XX) will be positive for risk averse ) will be positive for risk averse

individualsindividuals

Now take wealth into account The coefficient a(x) helps measure

what a person would pay to avoid a gamble: That payment is approximately a(x)

times ½ the variance of the gamble What fraction of wealth would the

person pay to avoid a gamble? Where wealth is given by x > 0


The Arrow-Pratt Measures of Risk Aversion Absolute risk aversion - U΄΄(W)/U΄(W) = RA(W) Relative risk aversion -WU΄΄(W)/U΄(W) = RR(W) Risk aversion means U΄(W) > 0

and U΄΄(W) 0 The inverse of these measures

gives a measure of risk tolerance


Risk Aversion

If utility is logarithmic in consumptionU(X) = ln (X )

where X> 0 Pratt’s risk aversion measure is


"( ) 1( ) ( )

U Xr XU X X

Risk aversion decreases as wealth Risk aversion decreases as wealth increasesincreases

Risk Aversion

If utility is exponentialU(X) = -e-aX = -exp (-aX)

where a is a positive constant Pratt’s risk aversion measure is


2"( )( ) ( )

aX

aX

U X a er X aU X ae

Risk aversion is constant as wealth Risk aversion is constant as wealth increasesincreases

Willingness to Pay for Insurance Consider a person with a current

wealth of £100,000 who faces a 25% chance of losing his automobile worth £20,000

Suppose also that the utility function is

U(X) = ln (x)


Willingness to Pay for Insurance The person’s expected utility will be

E(U) = 0.75U(100,000) + 0.25U(80,000)E(U) = 0.75 ln(100,000) + 0.25 ln(80,000)

E(U) = 11.45714 In this situation, a fair insurance

premium would be £5,000 (25% of £20,000=expected loss)


Willingness to Pay for Insurance

The individual will likely be willing to pay more than £5,000 to avoid the gamble. How much will he pay?

E(U) = U(100,000 - y) = ln(100,000 - y) = 11.45714100,000 - y = e11.45714

y= 5,426 The maximum premium he is willing to pay is £5,426 The individual will insure if he is charged a fair premium (£5000) Though this is just an example, this shows a general result. Risk

averse individuals will prefer to be insured as long as the cost of that insurance is not too large


Documents

Unidade 2 Modelizar a incerteza 2009/10