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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
JOSÉ CÍCERO DOS SANTOS
UM DIAGNÓSTICO DA APRENDIZAGEM DA CÔNICA ELIPSE NO
ENSINO MÉDIO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
SÃO PAULO
2014
JOSÉ CÍCERO DOS SANTOS
UM DIAGNÓSTICO DA APRENDIZAGEM DA CÔNICA ELIPSE NO
ENSINO MÉDIO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Dissertação submetida à Banca Examinadora
da Universidade Anhanguera de São Paulo,
como exigência parcial para a obtenção do
título de Mestre em Educação Matemática, sob
a orientação da Professora Doutora Vera
Helena Giusti de Souza.
SÃO PAULO
2014
JOSÉ CÍCERO DOS SANTOS
UM DIAGNÓSTICO DA APRENDIZAGEM DA CÔNICA ELIPSE NO
ENSINO MÉDIO
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de MESTRE
EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, na Universidade Anhanguera de São Paulo –
UNIAN, à seguinte banca examinadora:
BANCA EXAMINADORA
______________________________________________________ Profa. Dra. Vera Helena Giusti de Souza (Presidente – Orientadora)
UNIAN
__________________________________________
Prof. Dr. Méricles Thadeu Moretti (1º Titular Externo)
UFSC
________________________________________
Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni (2º Titular Interno)
UNIAN
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
2014
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta Dissertação e por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura _____________________________________
Local e Data ________________________________________
Não somos nós que definimos
os rumos que a vida toma.
A vida segue e leva-nos com ela
por estranhos caminhos. Assim foi comigo.
(HOFFMANN, 2013)
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho à minha família,
em especial à minha irmã Maria José.
AGRADECIMENTOS
À professora Doutora Vera Helena Giusti de Souza, pela paciência e trabalho
de orientação desenvolvida com dedicação e amizade.
Ao professor Doutor Méricles Thadeu Moretti e ao professor Doutor Vincenzo
Bongiovanni que contribuíram muito com as sugestões dadas na ocasião da
qualificação enriquecendo meu trabalho e ajudando para que este chegasse ao
término.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática
da Universidade Anhanguera de São Paulo, pelo incentivo e aprendizado durante o
curso.
Ao professor Paulo César que, ainda no curso de Licenciatura em Matemática
na UNEB, contribuiu com a minha aprendizagem em Geometria Analítica e de outras
Geometrias.
À Direção da escola na qual fizemos a coleta de dados, por autorizar a
aplicação do diagnóstico.
Aos alunos dos terceiros anos do Ensino Médio, por aceitarem responder o
diagnóstico.
Aos amigos do Programa de Pós-Graduação, pelo companheirismo, auxílio e
amizade.
À CAPES, pela Bolsa de Estudos, que permitiu maior dedicação ao curso de
Pós-Graduação.
Aos meus amigos, por compreenderem minhas ausências e que de alguma
forma contribuíram com carinho e estímulo.
E principalmente a Deus, pois sem Ele nada disso seria possível.
RESUMO
Coloca-se, como objetivo de pesquisa, investigar a aprendizagem da cônica elipse
em alunos do Ensino Médio. Para tal, escolheu-se um grupo de alunos para verificar
se conseguem fazer a passagem entre os registros algébrico, gráfico e da língua
materna, no caso das elipses e também em qual dessas passagens mostram maior
dificuldade. Colocam-se as seguintes questões de pesquisa: Alunos de 3ª série do
Ensino Médio mostram ter aprendido as conversões que envolvem os registros
gráfico, algébrico e da língua materna, no caso das elipses? Em quais dessas
conversões esses alunos mostram maior dificuldade? Para responder estas
questões, elaborou-se e aplicou-se um questionário com seis questões em um grupo
de alunos de uma 3ª série do Ensino Médio de uma escola pública do Estado de
São Paulo. Os protocolos obtidos com essa aplicação foram analisados à luz da
Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval. Escolheu-se
essa teoria, porque se acredita que um sujeito aprende fatos básicos relacionados a
um objeto matemático quando é capaz de realizar a passagem, que Duval chama de
conversão, entre representações desse objeto em diferentes sistemas semióticos. A
análise qualitativa dos protocolos revela que apenas um aluno, dos 28 que
participaram da pesquisa, mostra ter aprendido a fazer as conversões propostas; e
os outros 27, apesar de terem acertado algumas das respostas, não mostram ter
desenvolvido uma aprendizagem que permita que se conclua que aprenderam a
efetuar tais conversões. Além disso, pode-se observar que esses 27 alunos
apresentam problemas para resolver questões que envolvem conhecimentos
supostamente aprendidos anteriormente, como a resolução de equações; a
localização de pontos no plano cartesiano; e a diferença entre medida de um
segmento, a coordenada de um ponto sobre uma reta e a posição desse ponto na
reta.
Palavras-Chave: Elipses. Ensino Médio. Duval. Registros de Representação
Semiótica.
ABSTRACT
The aim of this research is to investigate the learning of conic ellipse in High School
students. To this end, it was chosen a group of students to see if they have learned
how to do the passage among algebraic, graphical and mother tongue registers of
representation, in figure ellipse case, and in which of these passages they show
greater difficulty. The following research questions were put: Students in 3rd grade of
High School have learned how to do the conversion among graphic, algebraic and
mother tongue registers, in ellipses case? In which of these conversions these
students show greater difficulty? In order to answer these questions, it was designed
and applied a questionnaire with six questions in a group of a 3rd grade High School
students, at a public school in São Paulo state, Brazil. Protocols obtained in this
application were analysed according to the Theory of Semiotic Registers of
Representation of Raymond Duval. This theory was chosen because it is believed
that subject learns basic facts related to mathematical objects when he (she) is able
to perform the passage, which Duval calls conversion, between representations of
this object in different semiotic systems. Qualitative analysis of protocols reveals that
just one of the 28 subjects has learned how to do the proposed conversions, and the
other 27, although have given some correct answers, do not show they have learned
the process of conversion, at least in the imposed conditions of this research. Apart
from this, it is possible to observe that these students show difficulties to solve
questions involving previous knowledge, such as equations resolution; localization of
points on the Cartesian plan; and the differences among measure of a segment,
coordinates of a point in a straight line and the position of this point on this line.
Key-words: Ellipses. High school. Duval. Semiotic Registers of Representation.
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Exemplos das três atividades cognitivas referentes à semiósis. .............. 30
Quadro 3 – Quadro da classificação dos diferentes registros mobilizáveis no
funcionamento matemático. ............................................................................. 31
Quadro 4. Variações cognitivas da representação de uma elipse com centro na
origem e fora da origem. .................................................................................... 39
Quadro 5: Conversão congruente ............................................................................. 40
Quadro 6. Exemplo de uma conversão não congruente. .......................................... 43
Quadro 7. Variáveis visuais do gráfico de uma elipse com centro na origem e eixos
paralelos aos eixos coordenados. ...................................................................... 44
Quadro 8: Apresentação das características da figura elipse na equação reduzida . 51
Quadro 9:Interpretação esperada das unidades significativas quando são dadas em
língua materna. .................................................................................................. 73
Quadro 10: Interpretação esperada das unidades significativas quando são dadas
em língua materna. ............................................................................................ 75
Quadro 11: Resumo dos resultados da questão 1A ................................................ 160
Quadro 12: Resumo dos resultados da questão 1B ................................................ 160
Quadro 13: Resumo dos resultados da questão 2A ................................................ 162
Quadro 14: Resumo dos resultados da questão 2B ................................................ 163
Quadro 15: Resumo dos resultados da questão 3A ................................................ 165
Quadro 16: Resumo dos resultados da questão 3B ................................................ 165
Quadro 17: Resumo dos resultados da questão 4A ................................................ 167
Quadro 18: Resumo dos resultados da questão 4B ................................................ 167
Quadro 19: Resumo dos resultados da questão 5A ................................................ 168
Quadro 20: Resumo dos resultados da questão 5B ................................................ 168
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Corte oblíquo de um cone reto ................................................................... 45
Figura 2: Representação gráfica da relação dP, F1 + d P, F2 = 2a ou d(Q, F1) +
d (Q, F2) = 2a .................................................................................................... 46
Figura 3: Elementos da elipse ................................................................................... 47
Figura 4: Representação gráfica de uma elipse com centro na origem e eixo maior
sobre o eixo x. .................................................................................................... 48
Figura 5: Elipse com o eixo maior paralelo ao eixo dos x e centro em O’(x0, y0). .... 50
Figura 6. Elipse com o eixo menor paralelo ao eixo dos x ........................................ 50
Figura 7: Resposta do aluno 1 da questão 1A .......................................................... 80
Figura 8: Resposta do aluno 1 da questão 1B .......................................................... 81
Figura 9: Resposta do aluno 1 da questão 3A .......................................................... 82
Figura 10: Resposta do aluno 1 da questão 4A ........................................................ 83
Figura 11: Resposta do aluno 1 da questão 5A e 5B ................................................ 84
Figura 12: Resposta do aluno 2 da questão 4 ........................................................... 85
Figura 13: Resposta do aluno 2 da questão 5 ........................................................... 86
Figura 14: Resposta do aluno 3 da questão 4 ........................................................... 88
Figura 15: Resposta do aluno 3 da questão 5B ........................................................ 89
Figura 16: Resposta do aluno 4 da questão 3B ........................................................ 90
Figura 17: Resposta do aluno 4 da questão 4 ........................................................... 91
Figura 18: Resposta do aluno 4 da questão 5 ........................................................... 92
Figura 19: Resposta do aluno 5 da questão 4 ........................................................... 94
Figura 20: Resposta do aluno 5 da questão 5 ........................................................... 95
Figura 21: Resposta do aluno 6 da questão 3A ........................................................ 96
Figura 22: Resposta do aluno 6 da questão 4 ........................................................... 97
Figura 23: Resposta do aluno 7 da questão 4 ........................................................... 99
Figura 24: Resposta do aluno 7 da questão 5 ......................................................... 100
Figura 25: Resposta do aluno 8 da questão 2B ...................................................... 101
Figura 26: Resposta do aluno 8 da questão 4 ......................................................... 102
Figura 27: Resposta do aluno 8 da questão 5 ......................................................... 103
Figura 28: Resposta do aluno 9 da questão 1A ...................................................... 103
Figura 29: Resposta do aluno 9 da questão 1B ...................................................... 104
Figura 30: Resposta do aluno 9 da questão 3 ......................................................... 105
Figura 31: Resposta do aluno 9 das questão 4A ..................................................... 106
Figura 32: Resposta do aluno 9 da questão 5A ...................................................... 106
Figura 33: Resposta do aluno 12 da questão 1A .................................................... 107
Figura 34: Resposta do aluno 12 da questão 1B .................................................... 107
Figura 35: Resposta do aluno 12 da questão 2A .................................................... 108
Figura 36: Resposta do aluno 12 da questão 2B .................................................... 109
Figura 37: Resposta do aluno 12 da questão 3A .................................................... 110
Figura 38: Resposta do aluno 12 da questão 3B .................................................... 110
Figura 39: Resposta do aluno 12 da questão 4A .................................................... 111
Figura 40: Resposta do aluno 12 da questão 4B .................................................... 112
Figura 41: Resposta do aluno 12 da questão 5A .................................................... 112
Figura 42: Resposta do aluno 12 da questão 5B .................................................... 113
Figura 43: Resposta do aluno 13 da questão 4 ....................................................... 115
Figura 44: Resposta do aluno 13 da questão 5A .................................................... 116
Figura 45: Resposta do aluno 13 da questão 5B .................................................... 116
Figura 46: Respostas do aluno 14 da questão 4 ..................................................... 117
Figura 47: Resposta do aluno 14 da questão 5A .................................................... 118
Figura 48: Resposta do aluno 14 da questão 5B .................................................... 119
Figura 49: Resposta do aluno 15 da questão 1 ....................................................... 120
Figura 50: Resposta do aluno 15 da questão 2 ....................................................... 121
Figura 51: Resposta do aluno 15 da questão 4 ....................................................... 122
Figura 52: Resposta do aluno 15 da questão 5 ....................................................... 123
Figura 53: Resposta do aluno 16 da questão 1A .................................................... 124
Figura 54: Resposta do aluno 16 da questão 1B .................................................... 125
Figura 55: Resposta do aluno 16 da questão 2A .................................................... 126
Figura 56: Resposta do aluno 16 da questão 2B .................................................... 127
Figura 57: Resposta do aluno 16 da questão 3 ....................................................... 128
Figura 58: Resposta do aluno 16 da questão 4 ....................................................... 129
Figura 59: Resposta do aluno 16 da questão 5 ....................................................... 130
Figura 60: Resposta do aluno 17 da questão 4 ....................................................... 131
Figura 61: Resposta do aluno 17 da questão 5 ....................................................... 132
Figura 62: Resposta do aluno 18 da questão 3 ....................................................... 133
Figura 63: Resposta do aluno 18 da questão 4 ....................................................... 134
Figura 64: Resposta do aluno 18 da questão 5 ....................................................... 135
Figura 65: Resposta do aluno 19 da questão 1B .................................................... 136
Figura 66: Resposta do aluno 21 da questão 4 ....................................................... 139
Figura 67: Resposta do aluno 21 da questão 4A .................................................... 140
Figura 68: Resposta do aluno 21 da questão 4B .................................................... 140
Figura 69: Resposta do aluno 22 da questão 4A .................................................... 142
Figura 70: Resposta do aluno 23 da questão 4A .................................................... 143
Figura 71: Resposta do aluno 24 da questão 4A .................................................... 144
Figura 72: Resposta do aluno 24 da questão 5 ....................................................... 145
Figura 73: Resposta do aluno 25 da questão 1A .................................................... 146
Figura 74: Resposta do aluno 25 da questão 1B .................................................... 146
Figura 75: Resposta do aluno 25 da questão 4 ....................................................... 147
Figura 76: Resposta do aluno 25 da questão 5 ....................................................... 148
Figura 77: Resposta do aluno 26 da questão 1 ....................................................... 149
Figura 78: Resposta do aluno 26 da questão 2 ....................................................... 150
Figura 79: Resposta do aluno 26 da questão 3A .................................................... 151
Figura 80: Respostas do aluno 26 da questão 4 ..................................................... 152
Figura 81: Resposta do aluno 26 da questão 5 ....................................................... 153
Figura 82: Resposta do aluno 27 da questão 4 ....................................................... 154
Figura 83: Resposta do aluno 27 da questão 5 ....................................................... 155
Figura 84: Resposta do aluno 28 da questão 4 ....................................................... 156
Figura 85: Resposta do aluno 28 da questão 5 ....................................................... 157
Figura 86: Questão 1 do diagnóstico elaborada pelo autor ..................................... 160
Figura 87: Questão 2A do diagnóstico elaborada pelo autor .................................. 162
Figura 88: Questão 3 do diagnóstico elaborada pelo autor ..................................... 164
Figura 89: Questão 4 do diagnóstico elaborada pelo autor ..................................... 166
Figura 90: Questão 5 do diagnóstico elaborada pelo autor ..................................... 168
Figura 91: Questão 6 do diagnóstico elaborada pelo autor ..................................... 170
Figura 92: Resposta do aluno 17 da questão 6 ....................................................... 170
Figura 93: Resposta do aluno 16 da questão 6 ....................................................... 171
Figura 94: Fragmento do item i da questão 3 .......................................................... 174
SUMÁRIO
DEDICATÓRIA ............................................................................................................ 6
AGRADECIMENTOS .................................................................................................. 7
RESUMO..................................................................................................................... 8
ABSTRACT ................................................................................................................. 9
LISTA DE QUADROS ............................................................................................... 10
LISTA DE FIGURAS ................................................................................................. 11
SUMÁRIO.................................................................................................................. 15
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 18
PRINCIPAIS MOTIVAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DA PESQUISA ......................................................... 18
CAPÍTULO 1: JUSTIFICATIVA ................................................................................. 23
1. 1 JUSTIFICATIVA ............................................................................................................................ 23
1.2 OBJETIVOS DA PESQUISA ............................................................................................................ 26
1.3 QUESTÕES DE PESQUISA ............................................................................................................. 26
CAPÍTULO 2: CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS ......................................................... 28
2.1 OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA ........................................................................ 28
2.2 VARIÁVEIS VISUAIS E AS UNIDADES SIGNIFICATIVAS DA ELIPSE ................................................. 36
2.3 CONSIDERAÇÕES MATEMÁTICAS DA ELIPSE ............................................................................... 45
2.3.1 DEFINIÇÃO ............................................................................................................................ 45
2.3.2 ELEMENTOS DA ELIPSE ......................................................................................................... 46
2.3.3 EQUAÇÃO REDUZIDA DA ELIPSE........................................................................................... 48
2.3.4 REPRESENTAÇÃO DA ELIPSE QUANDO OS EIXOS DE SIMETRIA SÃO PARALELOS AOS EIXOS
COORDENADOS ............................................................................................................................. 49
2.4 CARACTERÍSTICAS DA FIGURA ELIPSE E SUAS RELAÇÕES NAS REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICA E
GRÁFICA ............................................................................................................................................ 51
CAPÍTULO 3: REVISÃO DE LITERATURA .............................................................. 53
3.1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 53
3.2 O QUE DIZEM AS PESQUISAS SOBRE A CONVERSÃO .................................................................. 53
CAPÍTULO 4: A PESQUISA ...................................................................................... 63
4.1 CONSIDERAÇÕES METODOLÓGICAS ........................................................................................... 63
4.2 ANÁLISE DIDÁTICA DO QUESTIONÁRIO DIAGNÓSTICO .............................................................. 64
CAPÍTULO 5: ANÁLISE DOS RESULTADOS .......................................................... 77
5.1 VISÃO GERAL DOS RESULTADOS ................................................................................................. 77
5. 2 ANÁLISE DO DIAGNÓSTICO POR ALUNO .................................................................................... 79
5. 3 ANÁLISE POR QUESTÃO ............................................................................................................ 159
5.3.1 ANÁLISE DA QUESTÃO 1 ..................................................................................................... 159
5.3.2 ANÁLISE DA QUESTÃO 2 ..................................................................................................... 162
5.3.3 ANÁLISE DA QUESTÃO 3 ..................................................................................................... 164
5.3.4 ANÁLISE DA QUESTÃO 4 ..................................................................................................... 166
5.3.5 ANÁLISE DA QUESTÃO 5 ..................................................................................................... 167
5.3. 6 ANÁLISE DA QUESTÃO 6 .................................................................................................... 169
CAPÍTULO 6: CONCLUSÕES ................................................................................ 172
6. 1 CONSIDERAÇÕES GERAIS .......................................................................................................... 172
6. 2 RESPOSTAS DAS QUESTÕES DE PESQUISA ............................................................................... 176
CAPÍTULO 7: CONSIDERAÇÕES FINAIS.............................................................. 178
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 181
ANEXOS ................................................................................................................. 186
ANEXO 1 .......................................................................................................................................... 186
ANEXO 2 .......................................................................................................................................... 188
ANEXO 3 .......................................................................................................................................... 191
ANEXO 4 .......................................................................................................................................... 193
18
INTRODUÇÃO
PRINCIPAIS MOTIVAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DA PESQUISA
Como professor de Matemática do Ensino Médio durante seis anos na rede
Estadual de Ensino da Bahia, juntamente com outros colegas de profissão,
constatamos que muitos alunos apresentam falhas na aprendizagem ao lidarem com
as diversas representações gráficas e algébricas de curvas planas, como a
circunferência e as cônicas em geral. Com o objetivo de compreender algumas
dessas dificuldades, desenvolvemos um projeto de pesquisa para verificar se
estavam relacionadas com a mobilização de conteúdos algébricos, em específico as
equações algébricas de primeiro grau, estudadas na transição do Ensino
Fundamental para o Ensino Médio. Com o propósito de desenvolver tal projeto de
pesquisa, procuramos o Programa de Pós-Graduação da Faculdade São Luiz de
França, em Aracaju, no Estado de Sergipe e após ser aprovado no processo seletivo
para o Curso Especialização em Ensino e Metodologia de Matemática,
desenvolvemos as ideias da pesquisa e os resultados apontaram que os alunos
iniciam o Ensino Médio sem saber resolver equações do primeiro grau.
Estes resultados só aumentaram nossas inquietações acerca das dificuldades
dos alunos no estudo de Geometria Analítica e nossas reflexões apontavam para a
interferência das dificuldades na resolução de equações na aprendizagem dos
conteúdos de Geometria Analítica. De qualquer forma, surgiram vários outros
questionamentos sendo o mais marcante: Por que alunos sentem tanta dificuldade
para aprender Geometria Analítica?
Em busca de pesquisas realizadas na área, encontramos poucas com foco na
aprendizagem de temas relacionados à Geometria Analítica e resolvemos buscar
resposta para nossas inquietações no Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo (antiga Universidade
Bandeirante de São Paulo - UNIBAN) e, após aprovação no processo seletivo,
19
ingressamos no Curso com o objetivo de realizar uma Dissertação de Mestrado com
foco em algum dos conteúdos de Geometria Analítica.
Devido à extensão de conteúdos dentro desse tópico, resolvemos
desenvolver uma pesquisa com a cônica elipse, pois vemos que a aprendizagem
deste conteúdo passa pelo Ensino Fundamental, nos estudos de potenciação,
equações algébricas, sistema cartesiano, triângulos retângulos, teorema de
Pitágoras, rotação, translação e simetria e atravessa o Ensino Médio, em esboços
de gráficos de funções, na resolução de problemas envolvendo figuras planas no
sistema cartesiano, nas equações da circunferência e da reta. Partimos também do
princípio que em função da quantidade de variáveis didáticas que um sujeito
mobiliza quando estuda o conteúdo elipse, talvez tivéssemos resposta para nossos
questionamentos acerca das dificuldades de aprendizagem dos alunos nos demais
tópicos de Geometria Analítica.
Assim, decidimos elaborar e analisar um instrumento diagnóstico, que
pudesse mostrar como foi essa aquisição, no caso da cônica elipse, de forma a, de
posse dos resultados, poder avaliar novas formas de abordagem do assunto.
Consideramos relevante um diagnóstico, porque vemos o ensino de Geometria
Analítica no Ensino Médio com o objetivo de colocar o aluno frente a uma nova
perspectiva matemática e o conhecimento nesta área é fundamental para o
desenvolvimento do raciocínio do estudante, principalmente no que diz respeito à
expressão gráfica das formas e suas relações matemáticas.
O Currículo de Matemática contempla o ensino de conteúdos relacionados à
Geometria Analítica desde o Ensino Fundamental: Se os professores ensinam
tópicos de Geometria Analítica desde o Ensino Fundamental II, por que alunos da 3ª
série do Ensino Médio mostram tanta dificuldade na aprendizagem de Geometria
Analítica? Será que é verdade que alunos da 3ª série do Ensino Médio não
aprendem fatos básicos relacionados à aprendizagem das cônicas?
Com esta última questão em mente, consideramos necessário investigar se a
resposta a esta última questão é positiva ou negativa. Se positiva, esperamos poder
contribuir, por meio dos possíveis resultados, com os processos de ensino e de
20
aprendizagem do assunto cônicas no Ensino Médio. Se negativa, esperamos
entender porque muitos alunos mostram tanta dificuldade com o assunto.
Assim, colocamos como objetivo da pesquisa que realizamos “investigar se,
após terem passado por um ensino de Geometria Analítica, alunos mostram ter
aprendido a fazer a passagem entre expressões algébricas, gráficos e textos em
língua materna, no caso da elipse” e “em quais das passagens mostram mais
dificuldades”.
Para atingir tais objetivos, aplicamos, a um grupo de alunos de uma 3ª série
do Ensino Médio de uma escola pública de São Paulo, um questionário diagnóstico,
com questões sobre a elipse, elaboradas à luz da Teoria dos Registros de
Representações Semióticas (DUVAL, 1995), porque acreditamos que um sujeito
aprende fatos básicos relacionados a um certo objeto matemático quando é capaz
de realizar a passagem (que Duval chama de conversão) entre representações
desse objeto, em diferentes sistemas semióticos.
Para elaborar o instrumento de pesquisa, consideramos o que dizem os
Parâmetros Curriculares Nacionais Mais para o Ensino Médio1 (BRASIL, 2012) e o
Currículo do Estado de São Paulo (2011), representado pelos cadernos do aluno e
do professor, acerca do ensino deste tema nas escolas da rede estadual de ensino,
onde aplicamos o questionário.
No questionário diagnóstico, apresentamos seis questões que contemplam os
três tipos de registros relacionados à cônica elipse: do registro gráfico para o
algébrico; do registro algébrico para o gráfico; do registro gráfico para o registro em
língua materna; do registro em língua materna para o registro gráfico; do registro em
língua materna para o registro algébrico e do registro algébrico para o registro em
língua materna.
Dividimos nosso trabalho em sete capítulos, cuja estrutura resumimos no que
segue.
No CAPÍTULO I, colocamos a justificativa, a hipótese, os objetivos e as
questões de pesquisa.
1 A partir desse ponto utilizaremos PCNEM
+ para abreviar Parâmetros Curriculares Nacionais Mais
para o Ensino Médio.(Nota do autor)
21
No CAPÍTULO II, apresentamos as principais ideias sobre os registros de
representação semiótica, desenvolvida por Raymond Duval (1995) e que utilizamos
como fundamentação teórica. A Teoria dos Registros de Representação Semiótica
tem sido difundida em diversos artigos, livros e entrevistas (DUVAL, 1995, 2000,
2003, 2009, 2011, 2013), os quais citamos ao longo do trabalho e, para utilizar essas
ideias como suporte teórico e metodológico, elaboramos um texto sobre as variáveis
visuais e as unidades significativas, ligadas às características da elipse, seguido por
considerações matemáticas que reputamos relevantes sobre a elipse. Finalizamos
este capítulo com um quadro sobre as características da figura elipse e as relações
dessas caracteristicas com as representações algébrica e gráfica.
No CAPÍTULO III, expomos nossa revisão de literatura, com os principais
resultados obtidos por alguns pesquisadores que, em suas pesquisas, verificaram o
processo de conversão relacionado a funções, circunferências e cônicas e que de
alguma forma contribuíram com nossas reflexões acerca do trabalho que
desenvolvemos com a cônica elipse.
No CAPÍTULO IV, descrevemos nossas considerações metodológicas,
apresentamos nosso questionário diagnóstico, acompanhado por uma análise
didática das questões escolhidas, assim como as justificativas das escolhas feitas e
dos procedimentos utilizados.
No CAPÍTULO V, escrevemos as análises por aluno, análise por questão e
apontamos, no decorrer das reflexões, outras variáveis que não previmos na análise
didática do questionário, mas que surgiram nos raciocínios feitos pelos sujeitos e
que, do nosso ponto de vista, foram significativamente importantes para nossas
conclusões.
No CAPÍTULO VI, apresentamos nossas conclusões, com as respostas a
nossas questões de pesquisa e com alguns raciocínios feitos nos protocolos acerca
dos resultados apontados.
No CAPÍTULO VII, fechamos nossa Dissertação de Mestrado com
considerações finais a respeito do trabalho desenvolvido e com algumas sugestões
para futuras pesquisas que possam ser desenvolvidas com conteúdos de Geometria
Analítica, em específico a elipse.
22
O Capítulo VII é seguido pelas Referências e pelos Anexos: solicitação de
autorização para pesquisa acadêmico-científica, termo de consentimento livre e
esclarecido, parecer de aprovação do projeto da comissão de ética da UNIAN e o
questionário diagnóstico sobre as elipses.
23
CAPÍTULO 1: JUSTIFICATIVA
No capítulo anterior, colocamos um pouco de nossa trajetória, em busca de
respostas às nossas preocupações e o nosso interesse em desenvolver uma
pesquisa diagnóstica sobre a aprendizagem da passagem entre os registros gráfico,
algébrico e da língua materna, no caso da cônica elipse. Neste, apresentamos
algumas leituras que fizemos e que justificam nossa pesquisa e a corroboram.
1. 1 JUSTIFICATIVA
A Geometria Analítica é definida como a parte da Geometria que investiga as
propriedades das linhas, superfícies e volumes, mediante expressões analíticas
associadas a tais elementos; sua aprendizagem, do ponto de vista matemático, é
uma variável dependente, ou seja, para que o sujeito desenvolva a aprendizagem de
como calcular a distância entre dois pontos, precisa tomar consciência de vários
outros conceitos internos a esse processo.
Segundo Ribeiro (2010), a essência da Geometria Analítica consiste na
transferência de uma investigação geométrica para uma investigação algébrica.
Para ele, o ensino de conteúdos de Geometria Analítica, sem uma conexão entre os
registros algébricos e gráficos, pode prejudicar a aprendizagem, uma vez que muitos
estudos, segundo ele, atestam que uma boa parte dos que ingressam em um Curso
Superior, na área de exatas, apresentam defasagem de aprendizagem em
conteúdos de Geometria Analítica e não conseguem entender, efetuar ou identificar
as mudanças de registro dentro do tema. Assim, fica de certa forma justificada nossa
preocupação e a importância de fazer um diagnóstico para verificar se os sujeitos de
nossa pesquisa conseguem efetuar essas mudanças de registro.
Segundo Duval (1995), ensinar Matemática é antes de tudo possibilitar o
desenvolvimento geral das capacidades de raciocínio, de análise e de visualização e
24
que a aprendizagem de um conceito matemático consiste em desenvolver
coordenações progressivas entre vários sistemas de representação semiótica.
Silva (2006) e Dallemole (2010) constataram que muitos alunos apresentam
dificuldades para realizar tratamentos e conversões quando estão em jogo os
registros da língua materna, algébrico e gráfico e também para compreender a
diferença entre um objeto matemático e sua representação gráfica ou algébrica, no
caso de conteúdos relacionados ao estudo em Geometria Analítica, como reta,
ponto, plano, circunferência e cônicas. O que pretendemos fazer, com a cônica
elipse, ampliam e complementam os estudos de Silva (2006) e Dallemole (2010).
Os PCNEM+ (BRASIL, 2012) alertam que, no interior de um mesmo tema, as
igualdades e variações podem ter muitos significados, relativamente distintos.
Equações algébricas, apresentadas abstratamente em Matemática
como, por exemplo, 𝑦 = 3𝑥 − 2 ou 𝑦 = 𝑥², expressam, a um só tempo, a possibilidade de variações nas funções de ambos os lados de cada equação e a igualdade ou equivalência entre ambos os lados que contêm elementos com significados efetivamente distintos (PCNEM, 2012, p.28-29).
Em função das possibilidades de multirrepresentações de um objeto
matemático, os PCNEM+ sugerem que a Geometria Analítica deve ser aprendida em
duas vias: “o entendimento de figuras geométricas, via equações e o entendimento
de equações, via figuras geométricas” (BRASIL, 2000, p. 77). Com efeito, Santos
(2009), escreve que:
Desde a simples localização de pontos no plano cartesiano determinando coordenadas, até o estudo de retas e circunferências, através de suas respectivas equações, o estudante, ao estudar Geometria Analítica, lida conjuntamente com as representações algébrica e geométrica (SANTOS, 2009, p. 1)
O Currículo do Estado de São Paulo enfatiza que:
Um conteúdo como Geometria Analítica, geralmente associado ao Ensino Médio, pode e deve ter espaço para uma apresentação inicial no Ensino Fundamental. As primeiras ideias associadas ao plano cartesiano podem – e devem – estarem presentes já no Ensino Fundamental, na 5ª- serie/6º- ano ou na 6ª- serie/7º- ano, ainda que por meio da localização de pontos em mapas, ou pelo estudo de simetrias, ampliações e reduções de figuras no plano coordenado; na 7ª- serie/8º- ano ou na 8ª- serie/9º- ano, podem – e devem – estar
25
associadas à construção, análise e interpretação de gráficos (SÃO PAULO, 2011, p. 41,42).
Uma das competências citadas pelos PCNEM+ (BRASIL, 2012) é que o aluno
consiga, após concluir o Ensino Médio, transcrever mensagens matemáticas da
linguagem corrente para uma linguagem simbólica (equações, gráficos, diagramas,
fórmulas, tabelas) e vice-versa. Segundo este mesmo documento, aprender
Matemática no Ensino Médio deve ser mais do que memorizar fórmulas e que a
aquisição do conhecimento matemático deve estar vinculada a um saber fazer
Matemática e um saber pensar Matemática.
Como a mudança de registros não é espontânea (DUVAL, 1995), a reflexão
sobre os pressupostos acima nos remeteu à seguinte questão: Será que
desenvolvemos em nossos alunos o hábito de analisar ou pensar a Matemática sob
diferentes pontos de vista?
Sabemos que conteúdos de Geometria Analítica estão repletos de Registros
de Representação Semiótica e esperamos que esta pesquisa contribua para que
professores de Matemática valorizem o ensino de Geometria Analítica sob a
perspectiva semiótica.
Silva (2011), em sua recente pesquisa sobre as secções cônicas (ver mais
detalhes deste trabalho em nossa revisão de literatura), realizada com docentes de
Matemática da rede pública de ensino do Estado de São Paulo, aponta que
professores consideram Geometria Analítica complexa e que muitos “pulam” o
assunto por se sentirem inseguros para ensiná-lo.
Acreditamos que esta pesquisa é relevante por concordar que a
aprendizagem de conteúdos de Geometria Analítica contribui, do ponto de vista
social, para o avanço em diferentes áreas das Ciências, como por exemplo, na
Engenharia e na Arquitetura, desde o esboço de um projeto para construção de um
edifício até a construção de cenários virtuais; na Física, quando estudamos a
gravitação e o movimento elípticos dos planetas. Do ponto de vista individual,
conhecimentos de Geometria Analítica também são cobrados em Avaliações
Institucionais internas e externas do Ensino Médio, como por exemplo, na prova
Brasil; no Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM); no Sistema de Avaliação de
Rendimento do Estado de São Paulo (SARESP); e em Vestibulares.
26
Acreditando ter justificado nosso interesse em realizar um diagnóstico com a
cônica elipse, explicitamos nossos objetivos e nossas questões de pesquisa.
1.2 OBJETIVOS DA PESQUISA
O trânsito entre as diferentes formas de representação, conforme apregoa
Duval (2013), é importante para aprender Matemática e, de nossa vivência como
professor do Ensino Médio e dos resultados obtidos por Silva (2006) e Dallemole
(2010), alunos mostram dificuldade para realizar esse trânsito. Para elaborar
qualquer intervenção que mude esse quadro, achamos necessário realizar um
diagnóstico que comprove, ou não, essas dificuldades. Assim, no caso da elipse,
colocamos como objetivos de nossa pesquisa
Investigar se alunos do Ensino Médio mostram ter aprendido a conversão
entre os registros algébrico, gráfico e da língua materna, no caso da cônica
elipse.
Determinar quais dessas conversões apresentam mais dificuldades.
1.3 QUESTÕES DE PESQUISA
Iniciamos a construção deste projeto com a seguinte questão: “Por que alunos
da 3ª série do Ensino Médio sentem dificuldades de aprendizagem ao estudar
conteúdos de Geometria Analítica?” Tal questionamento inicial nos conduziu a duas
outras questões, que definimos como nossas questões de pesquisa, admitindo que
tais alunos já passaram por um ensino sobre as cônicas.
“Alunos de 3ª série do Ensino Médio mostram ter aprendido a conversão entre os
registros de representação gráfico, algébrico e da língua materna?”
“Em quais dessas conversões esses alunos mostram maior dificuldade?”
27
Estabelecidos os objetivos da pesquisa e as questões que pretendemos
responder, fomos em busca das ideias teóricas que pretendemos utilizar para a
elaboração e a análise de nosso instrumento de pesquisa.
28
CAPÍTULO 2: CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS
2.1 OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
Escolhemos a Teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL,
1995) por concordar que só é possível “fazer Matemática” se trabalhamos com as
representações dos objetos, que são abstratos e que os sujeitos, em fase de
aprendizagem, podem confundir um objeto matemático com suas representações,
sejam elas mentais ou semióticas. Para evitar esta confusão, Duval (1995) defende
que o professor, em sala de aula, deve utilizar representações diversas e que
tragam propriedades diferentes do objeto representado.
Por exemplo, uma hipérbole pode ser representada de forma discursiva por
uma equação algébrica, por um texto em língua materna, ou por uma forma não
discursiva, como um gráfico cartesiano. Cada uma destas representações do objeto
hipérbole traz à tona informações diferentes que, juntas, poderão evitar que um
sujeito confunda o objeto matemático hipérbole com qualquer de suas
representações. No caso de Geometria Analítica, em geral, existe uma diversidade
de registros semióticos que devem ser explorados nos processos de ensino, para
alavancar a aprendizagem.
A partir desta escolha, redigimos algumas passagens, inspirados na leitura
dessa teoria, que serviram de embasamento para a elaboração de nosso
instrumento diagnóstico e que serão utilizadas em nossas análises.
Um registro de representação é, segundo Duval (1999), um sistema semiótico
que tem as funções cognitivas fundamentais para o funcionamento cognitivo
consciente, ou seja, para um sujeito aprender Matemática, é necessário que saiba
discriminar e coordenar pelo menos dois sistemas semióticos de representação e
converter “espontaneamente” de um sistema semiótico a outro. Em relação às
representações semióticas, o autor ainda coloca que suas especificidades
consistem:
29
Em serem relativas a um sistema particular de signos, a linguagem, a escritura algébrica ou os gráficos cartesianos, e em poderem ser convertidas em representações “equivalentes” em outro sistema semiótico, mas podendo tomar significações diferente para os sujeitos que as utiliza. (DUVAL, 2009, p. 32).
Um sistema semiótico deve permitir as três atividades cognitivas
fundamentais associadas à semiósis: a formação de uma representação; o
tratamento de uma representação; e a conversão de uma representação em outra,
num outro sistema de representação.
A formação de uma representação de um determinado objeto é feita por meio
de regras próprias ao registro semiótico no qual a representação é produzida. Por
exemplo, dentro do sistema algébrico de representação, usamos as letras do
alfabeto (em geral, 𝑥, 𝑦 expressam as variáveis ou as incógnitas) e os números
reais, com regras próprias para expressar os “quadrados”, as “somas”, as
“igualdades”, as “divisões” e as “multiplicações”, para produzir uma equação do tipo
4𝑥² + 9𝑦² = 36, com regras de “leitura” próprias desse sistema em Matemática.
O tratamento é uma transformação que se efetua no interior de um mesmo
registro. Por exemplo, dada a equação da elipse 4𝑥2 + 9𝑦2 = 36 o sujeito pode
efetuar um tratamento para deixá-la na forma reduzida, do tipo 𝑥2
9+
𝑦2
4= 1 e este
tratamento ocorre dentro do mesmo sistema algébrico.
A conversão é uma transformação que se faz para passar de um registro a
outro, mudando o sistema semiótico e, portanto, a forma de apresentar o objeto,
mas sem mudar o conteúdo; por exemplo, dada uma questão do tipo: “o eixo maior
de uma elipse está contido no eixo 0𝑥. Sabendo que o centro é na origem, o
comprimento do eixo menor é 6 e a distância focal é 10, determine a equação da
elipse”. A questão foi proposta em língua materna e, podemos converter tal texto
para uma expressão algébrica. Para achar tal expressão, o sujeito precisa processar
as informações e convertê-las do registro em língua materna para o registro
algébrico do tipo 𝑥²
34 +
𝑦²
9 = 1, o que exige, por parte do sujeito, o reconhecimento de
características importantes para tal conversão.
30
Quadro 1: Exemplos das três atividades cognitivas referentes à semiósis.
A formação de uma representação
Em língua materna2 No sistema algébrico
Elipse com centro (0, 0), extremidades do eixo maior 𝐴1(0, 4) e 𝐴2(0, -4) e comprimento do eixo menor igual a 4.
𝑥²
4 +
𝑦²
16 = 1
O tratamento de uma representação
Em língua materna No sistema algébrico
Elipse com centro (0, 0), extremidades do eixo maior 𝐴1(0, 4) e 𝐴2(0, - 4) e comprimento do eixo
menor igual a 4 → elipse com centro (0, 0),
extremidades do eixo maior 𝐴1(0, 4) e 𝐴2(0, - 4) e
do eixo menor B1(2,0) e B2(- 2,0).
36𝑥²
9 +
144𝑦²
9 =
9
9 →
𝑥²
4 +
𝑦²
16 = 1
A conversão de uma representação
Do sistema algébrico Para o sistema gráfico
𝑥²
4 +
𝑦²
16 = 1
Segundo Duval (1995), os registros de representação semiótica constituem os
graus de liberdade de que um sujeito pode dispor para clarear uma ideia ainda
confusa, resolver um problema em Matemática ou para comunicar-se; e as
mudanças de registro constituem um dos pontos mais delicados e importantes para
a aprendizagem, pois são elas que permitem ao sujeito enxergar as propriedades do
objeto estudado, evidenciados em cada registro, o que pode ajudar na construção
2 Neste trabalho, utilizamos a expressão “língua materna” para designar o uso da língua portuguesa
em sala de aula de Matemática. Por esta razão, os “registros em língua materna”, conforme as ideias da Teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 1995), são os que envolvem palavras da língua natural e símbolos matemáticos.
31
de novos conceitos. No caso da Geometria, em particular, podemos mudar de uma
imagem para uma equação algébrica ou vice-versa.
Em razão dessa argumentação, Duval (1995) defende a importância da
incorporação dos registros no processo de ensino, para que haja aprendizagem,
pois imputa a conversão como não espontânea do ser humano. Na introdução do
seu livro “Sémiosis et pensée humaine – registres sémiotiques et apprentissages
intellectuels” escreve que:
Um trabalho de aprendizagem específico centrado na diversidade dos sistemas de representação, na utilização de suas possibilidades próprias, nas comparações pela colocação em correspondência e nas “traduções” mútuas de uma para outra parece necessário para favorecer essa aprendizagem3. (Duval, 1995, p.6, tradução nossa)
Duval (1995) ainda defende que a aprendizagem matemática constitui um
campo de estudo privilegiado para analisar atividades cognitivas fundamentais como
conceituação, raciocínio, resolução de problemas e compreensão de textos, uma
vez que essas atividades solicitam a utilização de sistemas de expressão e
representação que ultrapassam a língua materna ou as imagens.
Segundo Duval (2003), existem quatro tipos de Registros de Representação
Semiótica (ver Quadro 2) que estão presentes na Matemática e que podem ser do
tipo multifuncional, como a língua materna, cujo tratamento não é algoritmizável, ou
do tipo monofuncional, muito utilizados nas atividades matemáticas, como por
exemplo os sistemas de numeração, as escritas algébricas e formais, cujo
tratamento é algoritmizável.
Quadro 2 – Quadro da classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemático.
Representações Discursivas Representações não-discursivas
REGISTROS MULTIFUNCIONAIS
Os tratamentos não são algoritmizáveis.
Língua Natural
Associações verbais (conceituais)
Forma racional: argumentação a partir de observações e de crenças;
Figuras geométricas planas ou em perspectiva.
Apreensão operatória e não somente perspectiva;
3 Um travail d`apprentissage spécifique centré sur la diversité des systèmes de répresentation, sur
l`utilisation de leurs possibilités propres, sur leur comparaison par mise em correspondance et sur
leurs «traductions» mutuelles l`un dans l`autre semble nécessaire pour la favoriser. (DUVAL, 1995,
p.6.)
32
dedução válida a partir de definições ou do uso de teoremas
Construção com instrumentos.
REGISTROS MONOFUNCIONAIS
Os tratamentos são algoritmizáveis.
Sistemas de escrita: Numéricos (binária,decimal, fracionária); algébricos; simbólicos (linguagens formais).
Cálculo
Gráficos cartesianos.
Mudanças de sistemas de coordenadas; Interpolação, extrapolação.
(Duval, 2003, p.14)
É necessário que o professor tome consciência das diferentes representações
existentes nos conteúdos matemáticos e desenvolva metodologias capazes de
proporcionar ao aluno compreender as especificidades do conteúdo sob diferentes
vias de representação, por exemplo, numa mesma página de um livro de
Matemática podemos observar o vai e vem incessante entre fórmulas literais,
expressões em língua materna, figuras geométricas ou gráficas. São estas
transformações de representações em outras transformações presentes no ensino
de qualquer objeto matemático que causam as dificuldades de aprendizagem.
As transformações são conversões que de acordo com o tipo de objeto
parecem mais fáceis que outras, Duval (1995) introduziu as noções de congruência
e de não congruência para explicar essas diferenças e para determinar os tipos de
conversão em que estas diferenças aparecem.
Segundo Duval (1999) a conversão pode ser congruente ou não-congruente.
Ela é congruente quando a conversão é imediata, ou seja, aquela em que o aluno
intuitivamente não tem qualquer dúvida a respeito da conversão.
A conversão não-congruente é aquela em que o tempo de tratamento
aumenta e a conversão pode se revelar impossível de efetuar, ou mesmo de
compreender, se não houver uma aprendizagem prévia referente às especificidades
semióticas de formação e de tratamento da representação, que são próprias a cada
um dos registros em uso.
Se apresentamos a equação da circunferência (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 para o
aluno que já desenvolveu a aprendizagem desse objeto e que quer esboçar o gráfico
dessa circunferência, ele pode identificar, de forma imediata, o centro (𝑎, 𝑏) e o raio
da mesma. Essa conversão o autor chama de congruente. Se apresentamos a
equação 𝑥² − 2𝑎𝑥 + 𝑎² + 𝑦² − 2𝑏𝑦 + 𝑏² − 𝑟² = 0 podemos supor que o sujeito
33
precisa de um tempo maior para “tratar” a equação e achar o centro e o raio da
circunferência e esboçar o gráfico desejado. Segundo a definição dada por Duval
(2013), essa conversão é não-congruente.
Acreditamos que o professor de Matemática não deve fechar os olhos para os
inúmeros registros que podem expressar os conteúdos matemáticos; portanto, é
necessária uma reflexão sobre as práticas e trabalhar, em sala de aula, os
tratamentos e as conversões, em diferentes contextos, com os Registros de
Representação Semiótica em conteúdos geométricos e algébricos.
Duval (2013) concedeu uma entrevista, via e-mail, a Freitas e Resende
(2013), publicada na Revista Paranaense de Educação Matemática (RPEM), edição
de número 2, à qual tivemos acesso pelo site da revista (disponível nas nossas
referências). Duval discorre sobre as origens da teoria; as contribuições dela para as
pesquisas e práticas de professores em sala de aula; bem como sobre os
progressos no ensino e na aprendizagem de Matemática nas últimas décadas.
Alguns dos pressupostos da teoria, abordados nessa entrevista, já redigimos nos
parágrafos anteriores (ver p. 25); vamos, então, a partir deste ponto, salientar alguns
trechos que contêm novos olhares de Duval sobre a teoria e pontos de vista dele
sobre a relação entre os registros de representação e o ensino de Matemática.
Para Duval (2013), a principal dificuldade na aprendizagem de Matemática
está relacionada ao fato de que existem objetos em Matemática que não se
descobrem, não os sentimos pelo tato e nem se explicam, como acontece em outras
áreas, como Física, Botânica, Geologia, Engenharia. Isso por não existir um acesso
perceptivo, direto ou instrumental aos números (microscópio, telescópio,
osciloscópio, espectroscópio), às funções, às relações geométricas, ou seja, aos
objetos matemáticos.
Segundo Duval,
[...] para termos acesso a esses objetos, precisamos de uma atividade de produção semiótica. Esta, por exemplo, pode ser rudimentar como a simples designação verbal dos números, ou muito elaborada como a utilização de um sistema de numeração contendo o símbolo “0”, para designar não apenas os números, mas para realizar operações aritméticas (RPEM, 2013, p. 16).
34
Para entender o impacto das especificidades da Matemática nos processos
de compreensão de sua aprendizagem, segundo Duval (2013), é preciso considerar
as duas faces da atividade matemática, que ele chama de face exposta e de face
oculta da Matemática. Duval relaciona a face exposta aos objetos matemáticos,
como por exemplo os números, as funções, as equações, os polígonos, os
poliedros; e às propriedades, às fórmulas, aos algoritmos e às demonstrações, aos
quais esses objetos dão origem. A face oculta corresponde aos gestos intelectuais
que constituem o caráter cognitivo e epistemológico e que são específicos da
Matemática. Sobre isto, Duval afirma
eu a chamo de face “oculta” porque ela não é direta e imediatamente perceptível em relação ao que observamos do trabalho dos alunos em sala de aula, mesmo que seja a partir de gravações de vídeo. Ela se manifesta indiretamente, por meio de bloqueios ou erros recorrentes, a partir do momento em que solicitamos a resolução de problemas, sejam problemas aritméticos elementares (problemas aditivos e multiplicativos), de aplicação de um teorema de geometria, modelagem de uma situação por meio de uma equação, um problema de mínimo ou de máximo, etc.(RPEM, 2013, p. 17-18).
Para Duval, o ensino deve privilegiar a face oculta em qualquer atividade
matemática, pois sem o desenvolvimento desta, não podemos compreender e nem
conduzir tal atividade. Segundo Duval (2013), o professor, para contemplar
significativamente a face oculta durante o ensino e fazer dela uma ferramenta
didática, deve considerar a aprendizagem da matemática do ponto de vista do aluno
e não somente do ponto de vista matemático ou dos professores, pois
a apropriação dos gestos intelectuais próprios da atividade matemática não depende da aquisição dos conceitos matemáticos. Ao contrário, a tomada de consciência desses gestos pelos alunos acaba por ser a condição necessária para a aquisição de conceitos. Assim, os critérios de progressão na aprendizagem matemática não são, de forma alguma, os mesmos do ponto de vista cognitivo e do ponto de vista matemático. As palavras “compreender”, “conseguir” e “dificuldade” não possuem o mesmo sentido (RPEM, 2013, p. 20).
Duval (2013) supõe ainda que é importante saber diferenciar, no processo de
aprendizagem de Matemática, os pontos de vista matemático e cognitivo. O ponto
de vista matemático é aquele em que o sujeito consegue justificar um resultado por
meio de uma propriedade, ou seja, alcançar um resultado matematicamente correto
para uma pergunta ou um problema; e o ponto de vista cognitivo é aquele em que o
sujeito primeiro reconhece que para o mesmo objeto é possível desenvolver
35
diferentes representações semióticas, cujos conteúdos não têm nada em comum, o
que segundo Duval (2013) significa pensar de forma espontânea, e por si só, para
substituir uma dada representação semiótica por outra mais útil. Segundo ele, este
aspecto é crucial para resolver qualquer problema e muito importante por agregar
novos conhecimentos.
Para Duval (2013), o uso da Teoria dos Registros de Representação
Semiótica, em sala de aula, requer que se leve em conta a face oculta da atividade
Matemática, porque é nesta que o sujeito efetua tratamentos e conversões, ou seja,
todas as transformações de representações semióticas cujo funcionamento cognitivo
é ao mesmo tempo específico da Matemática e independente dos conceitos
mobilizados. Segundo ele, as atividades que os professores organizam devem
sempre ter por objetivo a aquisição, ou a aplicação, de cada um dos conceitos que
são os conteúdos matemáticos requeridos para os objetivos locais do ano seguinte,
ou seja, devemos ensinar para nossos alunos conteúdos que sirvam de base para o
desenvolvimento de uma nova aprendizagem, em um novo conteúdo. Caso
contrário, “nós não fazemos Matemática” (RPEM, 2013, p. 21) e sim ensinamos algo
que é diferente de Matemática.
Duval (2013) chama atenção para as dificuldades que surgem como
obstáculos à progressão na aprendizagem e que se manifestam por meio de erros
ou, ainda pior, por bloqueios. A análise dessas dificuldades deve ser um ponto
metodológico e teoricamente crucial de pesquisas sobre o ensino de Matemática.
Segundo esse pesquisador, a distinção entre dois tipos de erros radicalmente
diferentes se impõe, pelo fato de estarem relacionados com a introdução de um
novo conceito ou de um novo procedimento e que para Duval são erros transitórios e
específicos.
Achamos importante trazer para este trabalho esses pressupostos de Duval
acerca dos erros e das dificuldades, pois durante o ensino devemos considerá-los
como indicadores do que o sujeito “aprendeu”, ou não, e nos remete a refletir até
que ponto os conceitos adquiridos durante certo ensino “servirão” de base para o
desenvolvimento de um novo conceito, a partir de um outro tema. São os erros e as
dificuldades que evidenciam para o professor novas variáveis que não foram
previstas a priori e que, segundo Duval (2013), são significativamente importantes
36
para retomar o ensino de um certo tema e discutir as falhas observadas na
aprendizagem
eles bloqueiam qualquer progresso real na aprendizagem matemática. Quando se permanece unicamente na face exposta da atividade matemática, procura-se explicar todas as dificuldades que os alunos encontram, como se fossem erros transitórios, decorrentes da complexidade epistemológica dos conceitos a serem adquiridos. Mas, as dificuldades mais profundas, aquelas que param a maioria dos estudantes na entrada da atividade matemática, não decorrem apenas de uma deficiência na aquisição de conceitos, mas de um desconhecimento total dos gestos intelectuais, quer dizer, de operações semio-cognitivas que são próprias da atividade matemática (RPEM, 2013, p. 25).
A leitura dessa entrevista nos ajudou a esclarecer algumas passagens da
teoria, assim como definiu, por meio de uma linguagem mais clara, alguns conceitos
relacionados à congruência e aos pontos de vista matemáticos, cognitivo e
pedagógico. Como vamos aplicar um diagnóstico, é fato que os alunos expressarão
raciocínios certos e errados e os pressupostos de Duval (2013) acerca dos erros e
das dificuldades dos alunos serão significativamente importantes em nossa análise,
pois partimos do princípio de que são as respostas erradas que servirão para
verificarmos possíveis dificuldades de aprendizagem dos sujeitos acerca da cônica
elipse. Além disso, não queremos fazer uma análise apenas para atingir um objetivo
imediato, o de nossa pesquisa, que é verificar se sabem ou não efetuar as
mudanças de registro, mas também trazer outras variáveis que possam contribuir
para futuras pesquisas que tenham como objetivo estudar os erros como uma
ferramenta didática para que o professor reflita sobre sua metodologia de ensino e,
se possível, a modifique.
2.2 VARIÁVEIS VISUAIS E AS UNIDADES SIGNIFICATIVAS DA ELIPSE
Em 1988, Duval desenvolveu uma pesquisa sobre a articulação entre os
registros gráficos de funções afins, os registros algébricos e os registros em língua
materna - sob o título “Graphiques et équations: I’articulation de deux registres” - que
37
revelou dificuldades dos alunos para efetuar a conversão entre os registro gráfico,
algébrico e em língua materna.
Entendemos que as dificuldades de conversão são consequências naturais da
mudança de registro, pois de acordo com Duval (1995), mudar de registro de
representação, em geral envolve a escolha de diferentes propriedades do objeto que
se quer representar. Segundo Duval (1995), converter é transformar um registro de
um objeto matemático, dado numa certa situação, num outro registro desse mesmo
objeto, nessa mesma situação e afirma que esta não é uma transformação
espontânea, precisa ser “ensinada”.
Quando efetuamos a conversão de um registro para outro, evidenciamos
outras características do objeto, o que acarreta novos saberes, que Duval (2013)
chama de face oculta da Matemática e que, por isso mesmo, precisa ser desvelada,
pois são importantes para a aprendizagem. Por esta razão, Duval sugere que os
registros semióticos de um objeto sejam apresentados ao estudante em todas as
vias possíveis, isso porque uma única via não garante a compreensão, ou seja, a
aprendizagem em Matemática.
Assim, queremos, neste capítulo, escrever um pouco sobre as variáveis
cognitivas existentes no processo de conversão de registros; por acreditarmos que
algumas das dificuldades de aprendizagem de um sujeito, quando estuda Geometria
Analítica, estão relacionadas aos processos de comunicação, de objetivação e de
representação que existem nos conteúdos desta área específica da Matemática e
que são atividades cognitivas inerentes aos registros semióticos.
As variáveis cognitivas são os esquemas de aprendizagem desenvolvidos por
um sujeito quando diante de um novo objeto matemático recorre a conhecimentos
pré-existentes do objeto para desenvolver um novo esquema capaz de ajudá-lo a
identificar as variáveis características do novo objeto.
Segundo Almouloud (2007), as variáveis cognitivas são as variações
estruturais que, além de conservar a significação, conservam também a referência,
na totalidade ou em parte, do objeto representado. É somente com esse tipo de
variação que se distinguem as unidades pertinentes de uma representação. Para
considerar um sistema semiótico como um registro, é preciso identificar as variações
38
nas operações de produção de representações que ele permite executar de maneira
original e específica.
O ponto de vista de Duval (2011) sobre as variáveis cognitivas é que
independente dos objetivos de uma atividade proposta, ou seja, quer ela seja dada
como resultado, explicação, prova, quer ela seja pedida como problema a resolver,
ou atividade a executar, é preciso que o sujeito esteja em condições de realizar duas
coisas. Primeiro, reconhecer as unidades significativas do objeto representado, seja
com as operações que o tipo de apresentação dessas unidades permite efetuar, e
segundo, mudando seu tipo de apresentação para poder recorrer a outras
operações. Estas são as duas condições preliminares e indispensáveis para que o
sujeito possa desenvolver raciocínios ou esquemas cognitivos capazes de facilitar a
compreensão de conteúdos matemáticos.
Segundo Duval (1995), um registro complementa o outro. Nenhum registro
por si só é completo no sentido de representar integralmente um objeto. E ainda
segundo este mesmo autor cada sistema semiótico possui um conteúdo específico
na representação dos objetos, ou seja, um registro em linguagem algébrica para
representar a equação reduzida de uma elipse irá exigir conhecimentos como
expressões algébricas, simplificação de frações o que não se verifica com um
registro em linguagem natural. Podemos considerar como exemplo a representação
algébrica de uma elipse de equação 16𝑥² + 9𝑦² = 144 que para chegarmos a sua
representação reduzida devemos efetuar os seguintes tratamentos
16𝑥² + 9𝑦² = 144
16𝑥²
144+
9𝑦²
144=
144
144
𝑥²
9+
𝑦²
16= 1
Assim, podemos considerar que as transformações de tratamento e
conversão são duas operações cognitivas essenciais para a compreensão de
objetos matemáticos. No exemplo do Quadro 3 queremos chamar a atenção para
39
uma reflexão sobre as inúmeras variáveis cognitivas que podem existir em uma
conversão.
Quadro 3. Variações cognitivas da representação de uma elipse com centro na origem e fora da origem.
Representação gráfica Representação algébrica
Representação em língua materna
𝑥²
9 +
𝑦²
4 = 1
Elipse com centro na origem, eixo
menor 𝐵1(0, -2) e 𝐵2(0, 2) e eixo maior
de comprimento 6.
(𝑥−4)2
4 +
(𝑦−3)²
1 = 1
Elipse com centro O’(4, 3), eixo menor
com vértices 𝐵1(4, 2) e 𝐵2(4, 4) e eixo
maior de comprimento 4.
Se perguntássemos a um sujeito qual das conversões acima é a mais difícil
de efetuar, provavelmente a resposta seria a segunda (elipse fora da origem), em
função de sua conversão possuir um maior número de variações (leitura visual,
translação dos eixos, característica da equação reduzida, características das
coordenadas dos vértices). Estas variações cognitivas, segundo Duval (2013), estão
relacionadas com o que chama de face oculta da Matemática, ou seja, o elo entre o
que é real - quando olhamos e compreendemos relações de um objeto visualmente
analisado - e a parte confusa do mesmo objeto - revelada quando efetuamos um
tratamento ou uma conversão. São estes gestos intelectuais que constituem o
caráter cognitivo e epistemológico específico da Matemática, ou seja, a forma pela
qual um sujeito constrói esquemas para compreender e acomodar um novo conceito
matemático.
Entendemos que esta face oculta da Matemática está mais explícita nas
atividades que envolvem tratamentos figurais, pois percebemos que nossos alunos
demoram mais para relacionar uma representação gráfica ao seu registro algébrico
do que a situação inversa, pois o tempo de conversão aumenta.
40
Em se tratando de Geometria, a dificuldade de conversão se torna bem
evidente, conforme as considerações que faz Duval (2013) e com as quais
concordamos
[...] na geometria, por exemplo, a percepção de figuras quase sempre conduz a impasses, porque é preciso ter aprendido a “ver” contra a evidência perceptiva das formas reconhecidas de imediato para que elas desempenhem um papel heurístico, e não seja uma fonte de confusões. Do mesmo modo, o uso da linguagem para definir e provar é feito contrariando a fala espontânea e a forma de argumentação que ocorre fora da matemática. (RPEM, 2013, p. 18)
Acreditamos que as dificuldades de conversão entre registros estão
relacionadas com a falta de congruência semântica entre os registros que, em geral,
aparecem nas tarefas que propomos para os alunos. Com efeito, Duval (1995)
considera que estas dificuldades podem aumentar de acordo com o distanciamento
do que é dito no enunciado de uma tarefa e o que queremos que nossos alunos
respondam. Partindo desses pressupostos, Duval (1995) analisa essas dificuldades
em termos de congruência semântica entre as unidades significativas de uma
representação algébrica para com a representação gráfica do mesmo objeto.
A noção de congruência semântica surgiu após experiências realizadas com
alunos, quando Duval (1988b) observou que estes sentiam dificuldades para efetuar
mudanças de registro com o conteúdo das funções afins. Essas dificuldades foram
analisadas num estudo, sobre o ensino e a aprendizagem de funções afins, no qual
se pode observar que a passagem do registro de representação gráfica para o
registro de representação algébrica é uma tarefa difícil para a maioria dos alunos.
Estas dificuldades para Moretti (2008) estão relacionadas com a compreensão
limitada do objeto e do que sabem operar sobre ele.
Segundo Duval (1995), a dificuldade na conversão de registros depende do
grau de não-congruência entre a representação de partida e a representação de
chegada. No Quadro 4, temos um exemplo de uma conversão congruente.
Quadro 4: Conversão congruente
I – Língua Materna
II – Expressão Algébrica
III – Representação Gráfica
41
Elipse com coordenadas
do eixo maior 𝐴1( - 4, 0) e
𝐴2( 4, 0) e do eixo menor
𝐵1( - 3, 0) e 𝐵2( 3, 0).
𝑥²
16 +
𝑦²
9 = 1
Para efetuar conversões com estas características, o sujeito precisa tomar
consciência de dois processos distintos: reconhecer as unidades significativas, isto
é, os dados ou as informações que são matematicamente pertinentes em cada
registro; e delinear as transformações dessas unidades significativas, seja com os
tratamentos, que o tipo de representação permite efetuar, seja mudando seu tipo de
representação para poder recorrer a outros tratamentos. É importante lembrar que,
quanto menor é o tempo em que o sujeito responde uma tarefa, menor é a
dificuldade de conversão, ou seja, quanto mais congruente for à representação,
menor será o tempo de conversão.
Foram estas características, observadas por Duval (1995), que lhe chamaram
a atenção para os fenômenos de congruência e de não congruência existentes em
diversas atividades matemáticas. Para identificar melhor como esses dois
fenômenos se diferenciam numa conversão, precisamos entender os três critérios de
congruência propostos por Duval (1995)
I - Correspondência dos elementos significativos: a cada unidade significativa
simples de uma representação, pode-se associar uma unidade significativa
elementar.
II - Univocidade semântica terminal: a cada unidade significativa elementar da
representação de partida, corresponde uma só unidade significativa elementar na
representação de chegada.
III - Organização das unidades significativas: permite ao sujeito enxergar, do ponto
de vista cognitivo, a correspondência semântica entre duas representações.
Quando a passagem de uma representação semiótica a outro sistema ocorre
de maneira espontânea diz-se que há congruência semântica. Considerando que a
congruência semântica é a transparência entre duas representações de um mesmo
42
objeto e que se estas duas representações não estiverem transparentes o aluno
pode não ver o mesmo objeto nestas duas representações a não congruência
semântica impede o aluno de reconhecer o mesmo objeto quando apresentado sob
diferentes registros de representação.
Segundo Duval (2012), um dos obstáculos cognitivos encontrados por muitos
alunos nas suas aprendizagens matemáticas está ligado à congruência semântica. A
esse respeito, Duval destaca que:
Duas expressões podem ser sinônimas ou referencialmente equivalentes (elas podem “querer dizer a mesma coisa”, elas podem ser verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo) e não serem semanticamente congruentes: neste caso, há um custo cognitivo importante para a compreensão (DUVAL, 2012, p.100).
De um ponto de vista pedagógico, quando propomos uma tarefa aos nossos
alunos, um dos objetivos é fazer com que as variáveis cognitivas descobertas com
os esquemas pensados e desenvolvidos pelos alunos sirvam de base para a
resolução de novos problemas matemáticos. Para Duval (1999) apenas aqueles que
conseguem fazer a conversão de registros não confundem o objeto matemático com
suas representações e, assim, conseguem, transferir os conhecimentos
matemáticos para um contexto diferente daquele em que se deu a aprendizagem.
Concordamos com Souza (2007) quando defende que a aprendizagem da
Matemática não consiste só da construção de conceitos, mas principalmente da
incorporação, na arquitetura cognitiva do sujeito, de uma organização complexa que
inclua todos os registros necessários, estruturados e apreendidos como sistemas de
representação, com seus respectivos tratamentos e conversões.
Para Duval (2011), a dificuldade das conversões reflete a distância cognitiva
que separa as representações de um mesmo objeto em dois registros diferentes.
Mudar uma representação dada ou obtida após um tratamento é o primeiro gesto do
pensamento em Matemática e, sem esse gesto, que para Duval (2011) deve ser
automático, nenhuma atividade ou encaminhamento matemático é possível.
Outro fator que contribui para as dificuldades da conversão são as
dificuldades do sujeito para identificar as variáveis visuais de uma representação
gráfica e associá-las às unidades significativas da representação algébrica. E quanto
43
mais unidades significativas estiverem explícitas na representação, maior será a
dificuldade para identificar as variáveis visuais.
Segundo Duval (1988), o conjunto de traçados/eixos forma uma imagem que
representa um objeto descrito por uma expressão algébrica e que qualquer
modificação da imagem provoca uma alteração na expressão algébrica
correspondente e esta alteração determina uma nova variável importante para a
interpretação visual do gráfico. Escreve ainda que para este tipo de tratamento não
estamos em presença da associação de um ponto e do seu par ordenado, mas na
associação da variável visual da representação com a unidade significativa da
representação algébrica.
Veja no quadro a seguir um exemplo de uma representação não congruente e
o distanciamento para identificar as variáveis visuais.
Quadro 5. Exemplo de uma conversão não congruente.
I – Equação algébrica de uma Elipse
II – Representação Gráfica
16𝑥² + 9𝑦² = 144
Como a dificuldade da conversão de registro depende do grau de não
congruência entre a representação de partida e a representação de chegada, se
propusermos a passagem de I para II, a conversão só será possível se o sujeito
tomar consciência das unidades significativas da equação reduzida para depois
associar as variáveis visuais do gráfico e para isso pode efetuar os seguintes
tratamentos
16𝑥² + 9𝑦² = 144
16𝑥²
144+
9𝑦²
144=
144
144
44
𝑥²
9+
𝑦²
16= 1
Após esses tratamentos, ficam explícitas para o sujeito as unidades
significativas necessárias para o esboço do gráfico.
Quando apresentamos tarefas como estas dos Quadro 3Quadro 3, Quadro 4,
Quadro 5 aos nossos alunos, queremos observar como eles se comportam ao tomar
consciência das variáveis cognitivas envolvidas nas conversões, desde o registro de
partida, quais se conservam até o registro final e quais se transformam.
Como a conversão é uma transformação externa, em relação ao registro da
representação de partida, para qualquer representação de um objeto as variações
cognitivas são específicas ao objetivo de chegada da conversão ; portanto, no caso
da elipse, após efetuar a conversão de um registro, visualmente percebe-se as
mesmas características externas como as coordenadas do centro, dos focos, dos
eixos. Esses pressupostos para Duval (1995) são chamados de variáveis visuais
que, no caso da elipse, se alterarmos qualquer ponto na representação gráfica
alteramos toda a estrutura cognitiva do objeto.
Quadro 6. Variáveis visuais do gráfico de uma elipse com centro na origem e eixos paralelos aos eixos coordenados.
Unidades Significativas Variáveis Visuais Representação Gráfica
Centro: C(0,0). O centro na origem.
Eixos paralelos a aos eixos 0𝑥 e 0𝑦.
Os eixos da figura estão paralelos aos eixos coordenados.
Coordenadas dos vértices 𝐴1(0, 4)
e 𝐴2(0, -4).
O eixo maior mede 8 unidades e está sobre o eixo 0𝑦.
Coordenadas dos vértices 𝐵1(3, 0) e
𝐵2(-3, 0).
O eixo menor mede 6 unidades e está sobre o eixo 0𝑥.
Coordenadas dos focos 𝐹1(0, √7) e
𝐹2(0, - √7).
O foco mede √14 unidades e está
sobre o eixo 0𝑦.
Triângulo Retângulo de lados 𝑎, 𝑏 e
𝑐.
Triângulo Retângulo de lados
𝑎 = 4, 𝑏 = 3 e 𝑐 = √7.
Para finalizar, lembramos que a Matemática trabalha com objetos abstratos e,
segundo Duval (2003), os objetos matemáticos não são diretamente acessíveis à
percepção, necessitando, para sua apreensão, do uso de uma representação, por
meio de símbolos, signos, códigos, tabelas, gráficos, algoritmos, desenhos. São
45
estes que permitem a comunicação entre os sujeitos e as atividades do pensamento,
trazendo à tona registros de representação diferentes para um mesmo objeto
matemático. Em se tratando das cônicas, para que os alunos desenvolvam a
aprendizagem dos conceitos desse objeto é nessa visão que o professor deve
desenvolver a capacidade dos sujeitos para compreenderem os conceitos das
cônicas sobre três registros: o algébrico, o gráfico e o em língua materna.
2.3 CONSIDERAÇÕES MATEMÁTICAS DA ELIPSE
Utilizamos os conceitos formais da Matemática para as considerações
matemáticas que apresentamos a seguir sobre a elipse. Ao final do capítulo
apresentamos um quadro com as características da figura elipse e suas relações na
representação algébrica e gráfica.
2.3.1 DEFINIÇÃO
A partir de um cone circular reto, ilustrado na figura 1, com a intersecção de
um plano α conseguimos algumas curvas denominadas cônicas, entre elas a elipse,
que podemos obter se o plano fizer um corte oblíquo em relação à base do cone (ver
Figura 1).
Figura 1: Corte oblíquo de um cone reto
46
Esta pode ser uma definição para a elipse, que também pode ser considerada
como um lugar geométrico do plano bidimensional: a elipse é o lugar geométrico de
todos os pontos pertencentes a um mesmo plano tais que a soma das distâncias a
dois pontos fixos, chamados de focos (em geral representados pelas letras 𝐹1e 𝐹2), é
igual a uma quantia fixa, denotada por 2𝑎. Neste caso, a distância entre os focos 𝐹1
e 𝐹2 é igual a um valor fixo 2𝑐, que é menor do que 2𝑎.
Podemos converter esta definição para a linguagem algébrica, utilizando a
relação 𝑑(𝑃, 𝐹1) + 𝑑 (𝑃, 𝐹2) = 2𝑎, que pode ser visualizada na Figura 2 (ver
detalhes dessa conversão no parágrafo 2.3.3, página 45).
Figura 2: Representação gráfica da relação 𝒅(𝑷, 𝑭𝟏) + 𝒅 (𝑷, 𝑭𝟐) = 𝟐𝒂 ou 𝒅(𝑸, 𝑭𝟏) + 𝒅 (𝑸, 𝑭𝟐) = 𝟐𝒂
Observamos que, por qualquer uma das definições, a figura elipse tem pelo
menos dois eixos de simetria, que são as retas que contêm os focos e a reta
mediatriz do segmento 𝐹1𝐹2.
Com estas ideias em mente, podemos fazer uma análise dos elementos da
elipse que podem ser olhados como variáveis visuais e como unidades significativas,
quando queremos converter, respectivamente, o registro gráfico para o algébrico. Ou
vice-versa.
2.3.2 ELEMENTOS DA ELIPSE
Consideramos que os principais elementos da elipse são:
47
Figura 3: Elementos da elipse
Focos: São os pontos 𝐹1e 𝐹2.
Distância focal: é a distância entre os focos, em geral representada por 2𝑐.
Centro: é o ponto médio 𝑂 do segmento 𝐹1𝐹2 (portanto, intersecção de dois eixos de
simetria da elipse).
Eixo maior: é o segmento 𝐴1𝐴2, de comprimentos 2𝑎. Nele estão contidos os focos e
os pontos 𝐴1 e 𝐴2, que podemos mostrar que pertencem à elipse e são chamados
vértices.
Eixo menor: é o segmento 𝐵1𝐵2 de comprimento 2𝑏. Podemos mostrar que os
pontos 𝐵1 e 𝐵2 pertencem à elipse e também são chamados vértices.
Vértices: são os pontos 𝐵1, 𝐵2, 𝐴1 e 𝐴2.
Excentricidade: é um número que pode ser calculado pela relação Ɛ = 𝐶
𝑎 e que,
portanto, é maior do que 0 e menor do que 1. Quanto mais próximo de zero for o
valor de Ɛ, mais a elipse se aproxima de uma circunferência (caso em que é 0) e
quanto mais o valor Ɛ se aproxima de 1, mais achatada fica a elipse.
Relação de Pitágoras: Do triângulo retângulo 𝐵2𝑂𝐹2, hachurado na Figura 3,
obtemos a relação 𝑎² = 𝑏² + 𝑐².
48
2.3.3 EQUAÇÃO REDUZIDA DA ELIPSE
Quando o eixo maior está sobre o eixo 𝒙
Figura 4: Representação gráfica de uma elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo 𝒙.
Seja 𝑃(𝑥, 𝑦) um ponto qualquer de uma elipse de focos 𝐹1(- c, 0) e 𝐹2( c, 0).
Por definição temos 𝑑(𝑃, 𝐹1) + 𝑑 (𝑃, 𝐹2) = 2𝑎. Para achar a equação reduzida
dessa elipse podemos desenvolver a relação:
√(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)² + √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)² = 2𝑎
isolamos um dos radicais
√(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)² = 2𝑎 − √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)²
elevamos ambos os membros ao quadrado e desenvolvemos os produtos notáveis
(√𝑥² + 2𝑐𝑥 + 𝑐² + 𝑦²)² = (2𝑎– √𝑥² − 2𝑐𝑥 + 𝑐² + 𝑦²)²
simplificamos o primeiro membro e desenvolvemos o segundo
𝑥² + 2𝑐𝑥 + 𝑐² + 𝑦² = 4𝑎² − 4𝑎√𝑥² − 2𝑐𝑥 + 𝑐² + 𝑦² + 𝑥² − 2𝑐𝑥 + 𝑐² + 𝑦²
simplificamos as variáveis e isolamos o radical
4𝑎√𝑥² − 2𝑐𝑥 + 𝑐² + 𝑦² = 4𝑎² − 4𝑐𝑥
dividimos ambos os membros por 4 e tornamos a quadrar
(𝑎√𝑥² − 2𝑐𝑥 + 𝑐² + 𝑦²)² = (𝑎² − 𝑐𝑥)²
desenvolvendo e simplificando chegamos a
(𝑎² − 𝑐²)𝑥² + 𝑎²𝑦² = 𝑎² (𝑎² − 𝑐²)
49
e pela relação 𝑎² − 𝑐² = 𝑏² temos
𝑏²𝑥² + 𝑐²𝑦² = 𝑎²𝑏².
dividimos ambos os membros por 𝑎²𝑏² e o resultado pode ser escrito na forma
𝑥²
𝑎² +
𝑦²
𝑏² = 1
Esta representação algébrica da elipse é chamada de equação canônica ou
reduzida da elipse de centro na origem e focos sobre o eixo 𝑥 ou sobre o eixo y,
conforme 𝑎 > 𝑏 ou 𝑏 > 𝑎, respectivamente.
Quando o eixo menor está sobre o eixo 𝒚
Com procedimentos semelhantes ao caso anterior, obtemos a equação
reduzida
𝑥²
𝑏² +
𝑦²
𝑎² = 1
Para esta equação, temos que 𝑎² representa sempre o maior denominador e,
portanto, se na equação reduzida o número 𝑎² é denominador de 𝑥², a elipse tem o
seu eixo maior, de medida 2𝑎, sobre o eixo 𝑥.
2.3.4 REPRESENTAÇÃO DA ELIPSE QUANDO OS EIXOS DE SIMETRIA SÃO
PARALELOS AOS EIXOS COORDENADOS
Consideramos que o sujeito que desenvolveu a aprendizagem da elipse com
centro na origem, pode desenvolver o raciocínio de que quando o centro da elipse,
O’(𝑥0, 𝑦0), é deslocado para qualquer um dos quadrantes do sistema 𝑥0𝑦 e os eixos
da elipse permanecem paralelos aos eixos coordenados, alteram-se algumas
unidades significativas do registro algébrico, que são equivalentes a uma translação
para um novo sistema de eixos 𝑥’0’𝑦’ de origem O’(𝑥0, 𝑦0). Com estas novas
características da elipse, obtemos uma nova representação algébrica e novas
representações gráficas para a elipse, que podem ser vistas na Figura 5 e na Figura
6.
50
Equação reduzida da elipse com o eixo maior paralelo ao eixo dos 𝒙 e centro em O’(𝒙𝟎, 𝒚𝟎)
( 𝑥 − 𝑥0)²
𝑎² +
( 𝑦 − 𝑦0)²
𝑏² = 1
Representação gráfica de uma elipse com o eixo maior paralelo ao eixo
dos 𝒙 e centro em O’(𝒙𝟎, 𝒚𝟎)
Figura 5: Elipse com o eixo maior paralelo ao eixo dos 𝒙 e centro em O’(𝒙𝟎, 𝒚𝟎).
Equação reduzida da elipse com o eixo menor paralelo ao eixo dos 𝒚 e centro em O’(𝒙𝟎, 𝒚𝟎)
( 𝑥 − 𝑥0)²
𝑏² +
( 𝑦 − 𝑦0)²
𝑎² = 1
Representação gráfica de uma elipse com o eixo menor paralelo ao eixo
dos 𝒚
Figura 6. Elipse com o eixo menor paralelo ao eixo dos 𝒙
51
2.4 CARACTERÍSTICAS DA FIGURA ELIPSE E SUAS RELAÇÕES NAS
REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICA E GRÁFICA
Iniciamos o capítulo 2 com uma apresentação dos principais tópicos da Teoria
dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2013), com o intuito de
justificar o uso de vários sistemas de representação semiótica no ensino e na
aprendizagem da elipse. No parágrafo 2.3 CONSIDERAÇÕES MATEMÁTICAS DA
ELIPSE (ver p. 452) fizemos considerações matemáticas acerca desse objeto e,
para fazer uma conexão com o uso que fazemos em sala de aula, das várias
representações da elipse, elaboramos um quadro com a classificação dos elementos
da figura elipse e a sua relação com a linguagem dos registros de representação
semiótica, no qual colocamos as variáveis didáticas que adotamos para elaborar o
instrumento de pesquisa, por entender que precisávamos focar nosso diagnóstico
em algumas delas, que consideramos essenciais para a aprendizagem desse
assunto.
Quadro 7: Apresentação das características da figura elipse na equação reduzida
Características da
figura elipse
Como as características
aparecem na representação gráfica
Como as características aparecem
na representação algébrica
vértices 𝐴1, 𝐴2,
𝐵1 e 𝐵2
- 𝐴1 e 𝐴2 são os vértices do eixo maior. - 𝐵1 e 𝐵2 são os vértices do eixo menor. -ambos estão visualmente explícitos no gráfico
- o valor da metade da distância entre
dois vértices do mesmo eixo representa um dos denominadores na equação reduzida. -não estão explícitos na equação
reduzida.
eixo maior
eixo menor
- quando o centro da elipse é na origem e coincide com um dos eixos coordenados.
- quando o centro é fora da
origem e fica paralelo a um dos eixos coordenados. - não alteram o comprimento quando são rotacionados ou transladados. - ambos estão visualmente explícitos no gráfico.
- o valor da metade do comprimento do
eixo maior é um dos denominadores da equação reduzida. - o valor da metade do comprimento do eixo menor é um dos denominadores da equação reduzida. -não estão explícitos na equação reduzida.
- quando está na origem e os eixos da figura coincidem com os eixos coordenados. - quando está em um dos quadrantes, fora da origem e os eixos da figura ficam paralelos
- quando o centro está na origem a
equação reduzida é do tipo x²
a² +
y²
b² = 1 ou
x²
b² +
y²
a² = 1.
- quando o centro está fora da origem a
52
centro aos eixos coordenados. - quando se desloca da origem, mas permanece num dos eixos coordenados e um dos eixos da figura é paralelo a um dos eixos coordenados. - é o ponto médio do segmento 𝐹1𝐹2. - está explícito no gráfico
equação reduzida é do tipo ( 𝑥 − 𝑥0)²
𝑏² +
( 𝑦 − 𝑦0)²
𝑎²= 1
- está explícito na equação reduzida.
focos
- está localizado no eixo maior da
figura. - pelo seu ponto médio passa o eixo menor da figura.
-não aparece na representação
algébrica.
Colocadas as principais ideias da Teoria dos Registros de Representação
Semiótica (DUVAL, 2005, 2013) que consideramos importantes no ensino e na
aprendizagem da elipse no Ensino Médio, fomos em busca de pesquisas na área de
Educação Matemática, cujos resultados colocam nossa pesquisa no cenário da área
e também justificam nossa preocupação em investigar, por meio de um diagnóstico,
se alunos do Ensino Médio aprenderam a usar os registros algébrico, gráfico e em
língua materna, no caso da elipse com centro na origem e eixos paralelos aos eixos
coordenados, bem como fazer a conversão entre tais registros.
53
CAPÍTULO 3: REVISÃO DE LITERATURA
3.1 INTRODUÇÃO
Nos capítulos anteriores, colocamos nossos objetivos, nossas questões de
pesquisa e as principais ideias da Teoria dos Registros de Representação Semiótica
(DUVAL, 1988, 1995, 2005, 2013), que utilizaremos como fundamentação teórica de
nosso trabalho.
Neste capítulo, apresentamos um pequeno resumo de cada uma das
pesquisas, na área de Educação Matemática, que contribuíram para situar nossa
pesquisa e reforçaram a relevância do trabalho que pretendemos realizar.
3.2 O QUE DIZEM AS PESQUISAS SOBRE A CONVERSÃO
Piza (2009), com o intuito de promover a coordenação dos registros de
representação da parábola, desenvolveu uma pesquisa considerando o tratamento,
a conversão e a coordenação de diferentes registros de representação semiótica no
caso da função polinomial de grau 2, cujo gráfico cartesiano é uma parábola com
eixo de simetria paralelo ao eixo vertical 𝑂𝑦. Considerou para a elaboração de suas
atividades os princípios didáticos da História da Matemática, com o objetivo de
investigar se as representações da parábola, vista como secção do cone ou como
lugar geométrico, estudadas separadamente, é suficiente para que o estudante
reconheça o mesmo objeto matemático representado.
A fim de obter respostas, o autor aplicou 9 atividades, em 10 aulas, para 19
alunos do terceiro semestre de um curso de Licenciatura em Matemática de uma
Universidade Pública do Estado do Paraná. Fundamentou-se na Teoria das
Situações Didáticas de Brousseau (1996) e dos Registros de Representação
Semióticas de Duval (2003) para elaborar as questões dessas atividades.
54
A metodologia utilizada nesta pesquisa foi baseada na Engenharia Didática
(ARTIGUE, 1996) e desenvolvida em quatro etapas: análise preliminar; concepção e
análise a priori; experimentação; análise a posteriori e validação. A comparação
entre a análise a priori e a análise a posteriori mostrou que o desenvolvimento das
atividades propostas possibilitou aos estudantes compreender em que a parábola,
caracterizada como secção de um cone ou como lugar geométrico, representa o
mesmo objeto matemático. Em algumas atividades mostraram dificuldades para
realizar os tratamentos analíticos das expressões algébricas e as conversões entre
os registros.
Identificamo-nos com a pesquisa de Piza (2009), principalmente pela
interlocução com a História da Matemática e as considerações acerca da parábola
caracterizada como secção de um cone ou como lugar geométrico, considerações
estas que no ensino das cônicas às vezes são descartadas, tanto pelos livros
didáticos quanto pelo professor. Quanto aos tratamentos e conversões explicitados
pelos sujeitos no ambiente a lápis e papel, reforçaram nossas considerações acerca
das dificuldades que percebemos em nossos alunos quando estudam as cônicas em
Geometria Analítica.
Mineiro (2011), convicto de que é possível desenvolver estratégias que
favoreçam a aprendizagem relacionada à representação bidimensional de objetos
tridimensionais, desenvolveu um trabalho com o objetivo de verificar se uma
abordagem que envolvesse tratamentos e conversões entre diferentes registros de
representação semiótica, mediada por um modelo de representação tridimensional,
pudesse favorecer a visualização de superfícies quádricas, com a seguinte questão
de pesquisa
Uma sequência de atividades que envolvam tratamentos e conversões de registros de representação semiótica, mediadas por um modelo de representação tridimensional, pode favorecer a visualização das superfícies quádricas? (Mendes, 2008, p. 17)
Em busca de respostas, Mineiro (2011) baseou-se nas ideias da Teoria dos
Registros de Representação Semiótica de Duval (1999) para a elaboração de uma
intervenção, com seis atividades que, mediadas por um modelo de representação
tridimensional de sólidos de revolução, as quais foram aplicadas para com 14 alunos
55
formandos do 3º ano de um curso de Licenciatura em Matemática. Para a análise
dos protocolos, pautou-se nas concepções de Fischbein (1993), que defende a
necessidade da interação entre componentes formais, algorítmicas e intuitivas de
um conteúdo matemático.
Nas descrições e respostas obtidas, o autor percebeu a presença de aspectos
intuitivos, remanescentes de aprendizagens anteriores, que foram trazidos à tona e
empregados sem que os sujeitos tentassem validá-los pela mobilização de aspectos
formais e algorítmicos. Sendo assim, as atividades propostas não foram suficientes
para promover a visualização das superfícies quádricas ou a interação entre as
componentes formais, algorítmicas e intuitivas envolvidas na aprendizagem deste
conteúdo. Segundo o autor, os aspectos intuitivos, frutos de aprendizagens
anteriores e fortemente enraizados, sobrepuseram-se aos demais, bloqueando
iniciativas que pudessem levar os sujeitos a buscar validações formais de suas
concepções prévias a cerca dos tratamentos e conversões dos registros utilizados
nas atividades, quais sejam, algébrico, gráfico, da língua materna e do modelo
tridimensional, no caso de superfícies quádricas de revolução.
A leitura deste trabalho contribuiu com nossas ideias por confirmar o que
Duval (1995) afirma sobre as dificuldades de conversão de uma representação, pois
segundo ele, as dificuldades de conversão estão relacionadas com o grau de não
congruência entre a representação de partida e a representação de chegada e,
segundo Mineiro (2012) talvez o excesso de variáveis didáticas presentes em seu
trabalho tenham contribuído para os resultados obtidos, pois para a maioria dos
sujeitos desta pesquisa, as atividades; embora mediadas por um modelo de
representação tridimensional concreto, não favoreceram o desenvolvimento da
visualização de superfícies quádricas que lhes permitisse entender a representação
de outras superfícies bidimensionais, por meio de suas curvas de nível.
Maia (2007), baseada nos trabalhos de Benedetti (2003), Souza (1996),
Gomes-Ferreira (1998), Castro (2000) e Pelho (2003), realizou um trabalho
complementar sobre os estudos já realizados do ensino de funções. Centrou sua
pesquisa numa abordagem baseada na construção gráfica da função quadrática
utilizando o procedimento da interpretação global das propriedades figurais por meio
56
de atividades lúdicas, utilizando a curva da parábola, construída no software winplot,
para criar algumas imagens, por exemplo, a construção de um olho, uma boca, um
rosto, ou uma camisa; e como os gráficos assumem diferentes posições no sistema
cartesiano, para estes processos, a autora introduziu as noções de intervalos e de
domínio de funções. Pautou-se pela seguinte questão de pesquisa:
É possível que alunos de 8ª série do Ensino Fundamental se apropriem de processo de construção gráfica da função quadrática como um conjunto de variáveis visuais que implicam em unidades simbólicas significativas da escrita algébrica utilizando um ambiente computacional aliado ao caráter lúdico como uma das ferramentas de aprendizagem? (Maia, 2007, p. 60)
Em busca de respostas, aplicou um conjunto de atividades para alunos de
uma 8ª série do Ensino Fundamental, utilizando o software winplot, além do uso de
papel e lápis. Para a elaboração das atividades, baseou-se nas análises de alguns
livros didáticos do Ensino Fundamental e Médio; e nas pesquisas de Benedetti
(2003), sobre a utilização de softwares gráficos e no trabalho de Duval (1988), sobre
a articulação entre os registros gráficos e algébricos de funções afins. Para a
elaboração, aplicação e análise das atividades, fundamentou-se nos princípios da
Engenharia Didática (ARTIGUE, 1995), na Teoria dos Registros de Representação
Semiótica (DUVAL, 2003) e na Teoria das Situações (BROUSSEAU, 1986)
Nos livros didáticos analisados, Maia (2007) percebeu que em todos os
analisados somente a forma desenvolvida 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 é apresentada,
com o uso constante de tabelas e da identificação de alguns pontos para a
construção dos gráficos, o que favorece o procedimento ponto a ponto, que Duval
(1988) aponta como problemático, em contrapartida ao tratamento global, que pode
favorecer a visualização. Ainda com relação ao uso de alguns pontos, Maia (2007)
comenta que pode tornar um trabalho impreciso, pois são utilizados apenas valores
inteiros, que podem não dar informações relevantes para o traçado do gráfico de
funções quadráticas que têm como raízes, por exemplo, números não inteiros.
Os resultados obtidos levaram a autora a concluir que ouve um avanço por
parte dos alunos, na apreensão do conceito de função quadrática, propiciado pela
compreensão das variáveis visuais do gráfico e das unidades simbólicas das
expressões algébricas e que são significativas das representações, bem como da
57
articulação entre elas. Segundo a pesquisadora, a utilização de uma ferramenta
computacional favoreceu a manipulação da representação gráfica de maneira mais
rápida do que a utilização de papel e lápis, permitindo que o aluno fizesse
simulações, em busca do resultado procurado, desenvolvendo a capacidade de
fazer previsões e criticar resultados.
Segundo Maia (2007), os avanços na apreensão do conceito de função
quadrática podem estar relacionados ao “livre arbítrio” dado aos sujeitos para
manipularem, com o software winplot, as variáveis visuais e as unidades simbólicas
significativas das representações algébricas, exibidas pelo software, dinamicidade
que os livros didáticos não permitem, aliada ao fato de explorarem tabelas e
equações prontas.
Em busca de pesquisas que trouxessem à tona a importância das variáveis
visuais no processo de conversão de representações semióticas, identificamo-nos
com a de Maia por mostrar a importância do conhecimento dessas variáveis como
pré-requisitos importantes para a aprendizagem da conversão. Outro fato que nos
chamou a atenção foram as considerações feitas acerca dos livros didáticos
analisados, os quais, segundo a pesquisadora, privilegiaram apenas um sentido da
conversão. Esperamos trazer à tona, após a análise dos protocolos de nosso
diagnóstico resultados que reforçam ou não esse fato, pois colocamos todos os
sentidos da conversão, com o intuito de diagnosticar as dificuldades de
aprendizagem da Cônica elipse.
Silva (2011) apresentou a um grupo de professores da rede pública do
Estado de São Paulo atividades complementares ao material de apoio chamado
“caderninho” (2009), fornecido pela Secretaria da Educação do Estado de São
Paulo, procurando abordar aspectos menos discutidos pelo currículo, sobre as
secções cônicas. Segundo a autora, as atividades prescritas nos cadernos do
professor pressupõem o desenvolvimento das atividades apenas com lousa e giz, o
que talvez faça com que, só com o uso dessas tecnologias, os alunos não consigam
visualizar todas as características do objeto. Para testar se isto ocorre, elaborou oito
atividades, seguindo as orientações do material destinado aos professores, para o
uso de tecnologia digital e softwares de matemática dinâmica. As atividades foram
apresentadas aos professores e desenvolvidas em um curso de formação oferecido
58
por uma universidade particular de São Paulo, no qual o pesquisador ficou
responsável por ministrar as aulas das secções cônicas.
A pesquisa mostrou que um tema antigo como secções cônicas, que tem uma
história milenar, é considerado um assunto complexo pelos professores e que a
sugestão de atividades não é suficiente para que estas cheguem aos alunos em sala
de aula. Para Silva (2011), a mera reprodução de passos de um roteiro, sem que
seja adaptado ao nível intelectual dos alunos, pode impedir o processo de mediação
entre professor e aluno, que permite a construção do conhecimento por abstração. O
pesquisador chama a atenção para o conhecimento do professor, considerando
positiva a iniciativa da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo em criar um
currículo único para o Estado, pois isso coloca diferentes formas de trabalho para
uma mesma noção matemática; mas que, um acompanhamento massivo de
formação de professores se faz necessário, para que os mesmos possam dividir
suas práticas de ensino e refletir sobre elas, como foi o caso das oficinas propostas
por ele.
O trabalho de Silva (2011) reforça nossa convicção sobre a necessidade de
utilização do Currículo Oficial do Estado de São Paulo (2011), representado pelos
cadernos do aluno e do professor e do livro didático, que do nosso ponto de vista,
corroboraram, quando usado pelo professor, para a institucionalização dos
conteúdos de Geometria Analítica.
Paula (2011) desenvolveu uma pesquisa com o objetivo de investigar a
mobilização e a articulação de conceitos de Geometria Plana e de Álgebra em
estudos de Geometria Analítica por alunos de um curso de Licenciatura em
Matemática. A pesquisa pautou-se na questão: “Como conceitos da Geometria
Plana e da Álgebra são mobilizados e articulados em estudos da Geometria
Analítica por alunos de um curso de Licenciatura em Matemática?” Em busca de
respostas elaborou e aplicou um conjunto de atividades, baseado nos princípios
metodológicos da engenharia didática (ARTIGUE, 1996), para quatro alunos de um
curso de Licenciatura em Matemática utilizando o software Grafeq, além do papel e
lápis.
59
Um dos propósitos da pesquisa de Paula (2011) foi trabalhar com os quadros
geométrico, algébrico e geométrico analítico, ou seja, tratar algebricamente
problemas geométricos e vice-versa, possibilitando a conversão do registro algébrico
para o geométrico assim como do registro geométrico para o algébrico. Segundo
Paula (2011)
propomos provocar mudanças de quadros em estudos da Geometria Analítica. Entretanto, nosso objetivo não é estudar os quadros e as mudanças de quadros. Objetivamos investigar a mobilização e articulação dos conceitos envolvidos nesse processo. Para isso utilizaremos o estudo dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2003).(Paula, 2003, p. 18)
Os resultados obtidos apontam que os estudantes apresentam dificuldades
tanto no tratamento quanto na conversão entre registros e Paula (2011) considera
que
de forma geral, observamos que os alunos não apresentaram muitas dificuldades relacionadas aos conceitos de geometria, e sim para reconhecer e tratar, por exemplo, a equação de uma elipse. Em outras palavras, essa dificuldade pode ser traduzida como uma dificuldade de conversão do registro algébrico para o gráfico (Paula, 2011, p. 168).
As conclusões da pesquisa de Paula (2011) reforçam nossas inquietações
para diagnosticar dificuldades de aprendizagem da cônica elipses no Ensino Médio,
percebidas em nossos alunos do Ensino Médio dificuldades para efetuarem
conversões entre os registros algébrico, gráficos e da língua materna, e por
estarmos convencidos que estas dificuldades podem interferir em estudos
posteriores, apontados por Piza (2009) o que é reforçado pelas conclusões da
pesquisa de Paula (2011), pois as dificuldades dos alunos no Ensino Superior
podem ser reflexo da aprendizagem da Geometria Analítica no Ensino Médio.
Costa (2010) investigou a seguinte questão: “Em que medida os fatores de
não congruência influenciam na conversão da língua materna para a escrita
algébrica, em problemas envolvendo equações do primeiro grau?”. Para responder a
esta questão, o autor baseou-se na Teoria dos Registros de Representação
Semiótica de Duval (1995) e elaborou oito problemas com variações diferentes
relacionadas aos fatores de não congruência de modo que fosse possível investigar
60
a influência desses fatores na conversão e os aplicou a uma turma de oitavo ano de
uma escola privada da cidade do Recife.
Costa (2010) verificou como cada um dos três fatores de congruência -
correspondência semântica das unidades significativas; univocidade semântica
terminal; e conservação da ordem das unidades na conversão - influencia na
conversão da escrita materna para a algébrica nos problemas escolhidos por ele.
Para a análise didática das questões, elaborou um quadro para destacar se a
questão conserva ou não conserva as sete variáveis didáticas consideradas pelo
autor para análise, quais sejam,
[...] correspondência semântica, ordem das unidades de significado, univocidade semântica terminal, correspondência semântica e ordem das unidades de significado, correspondência semântica e univocidade semântica terminal, ordem das unidades de significado e ordem das unidades de significado, Correspondência semântica, ordem das unidades de significado e univocidade semântica terminal (Costa, 2010, p. 41).
Os resultados apontaram que os sujeitos sentem dificuldade para converter
as equações da escrita materna para a algébrica quando os três fatores estão
presentes na questão e o fator de não congruência foi o que mais contribuiu para o
insucesso da conversão.
Para Costa (2010), a pesquisa confirmou o que dizia a teoria, com respeito à
dificuldade do sujeito em representar o objeto em dois registros diferentes, quando a
conversão num sentido é totalmente não congruente, fato esse percebido na análise
das questões que não conservam nenhum fator de congruência e a representação
de partida não transparece na representação de chegada, o que levou os sujeitos a
não perceberem o mesmo objeto nas duas representações.
Vimos que, nesse trabalho, o sentido da conversão foi único e que quando os
três fatores da conversão estão presentes no problema, o sucesso na conversão
aumenta; e quando não estão presentes todos os fatores da congruência no
problema, as dificuldades para a conversão aumentam pelo fato de algumas
unidades significativas não serem visualizadas na escrita materna, contribuindo para
o insucesso da conversão.
61
Flores e Moretti (2008) analisam o papel dos registros de representação
semiótica e a congruência semântica entre diferentes registros semióticos, por meio
de exemplos utilizados na sala de aula, tanto para a aprendizagem de Matemática
como para a de Física.
Segundo Flores e Moretti (2008), a contribuição fundamental de Duval para a
pesquisa em Educação Matemática está em afirmar que não se deve confundir um
objeto com o conteúdo de uma representação desse objeto. Para que isso não
ocorra, Duval (1995) afirma que é necessário dispor de, ao menos, dois sistemas de
representação, de modo que sejam percebidas como representantes do mesmo
objeto. Os autores citam como exemplo o objeto matemático função
esta pode ter um registro de representação lingüística (função linear), um registro de representação simbólica (y = x ou f (x) = x), ou ainda, um registro de representação gráfica (o desenho do gráfico da função real f (x) = x)(Flores e Moretti, 2008, p. 3).
Para estes autores, a atividade de conversão entre registros pode apresentar
dificuldades importantes para os alunos, por causa da ausência de congruência
semântica entre as representações de um mesmo objeto em registros semióticos
diferentes. Segundo eles, para superar essas ausências de congruência é preciso
analisar os elementos semióticos em termos de unidades significativas, bem como
as eventuais falhas de correspondência entre estas unidades.
As considerações acerca dos fenômenos de congruência desenvolvem-se a
partir dos tratamentos e das conversões, realizados com as técnicas de resolução
da função modular, do cálculo de limites, das variáveis visuais da representação
gráfica da velocidade escalar média e dos tratamentos acerca das escalas
termométricas Fahrenheit e Celsius. As discussões levaram os pesquisadores a
notarem que a possibilidade de congruência entre os registros semióticos contribui
tanto para uma aprendizagem com menos custo cognitivo, assim como para a
criação de novos conhecimentos.
Segundo Flores e Moretti (2008), a transposição da noção de registro
semiótico para a didática da Física é bastante pertinente, uma vez que as atividades
de Física em sala de aula levam em conta diversos registros semióticos, entre eles o
registro da língua materna, o registro gráfico e o registro numérico; e ainda um
62
registro analítico, que pode ser confundido com o registro algébrico, para a
Matemática.
Concordamos com Costa (2010) e com Flores e Moretti (2008), quando
escrevem que a atividade matemática é pautada pela diversidade de representações
semióticas, podendo um mesmo objeto matemático contar com diferentes registros,
o que implica na possibilidade de se aplicar tratamentos diversos para cada
conversão. Estes fatos muitas vezes não são levados em consideração no ensino
em sala de aula, pois tende-se a privilegiar um sentido da conversão, na idéia de
que a volta seria automática. Em nossa pesquisa, para o objeto elipse, privilegiamos
ambos os sentidos da conversão, ou seja, da representação gráfica para a
representação algébrica e vice-versa, da língua materna para a representação
gráfica e vice-versa, da língua materna para a representação algébrica e vice versa.
63
CAPÍTULO 4: A PESQUISA
4.1 CONSIDERAÇÕES METODOLÓGICAS
Para atingir os objetivos propostos e buscar respostas às questões de
pesquisa, aplicamos um questionário diagnóstico (ver Anexo 4, p.183) para 28
alunos da 3ª série do Ensino Médio (16-18 anos de idade) de duas turmas do
período matutino de uma escola pública da Rede Estadual de Ensino da Cidade de
Caieiras, localizada na região metropolitana de São Paulo, no horário das aulas de
Matemática de um colega, que se dispôs a aplicar o questionário. O Diretor da
Escola concordou com nossa pesquisa e assinou o termo de concordância (ver
Anexo 1).
Como os alunos não são maiores de idade, receberam o Termo de
Compromisso Livre e Esclarecido (TCLE, ver Anexo 2) antes da aplicação do
questionário e só serão considerados para análise os protocolos daqueles que
trouxeram o TCLE assinado pelo pai ou responsável. No início da aplicação do
questionário, demos aos alunos os objetivos da pesquisa e explicamos que as
respostas não seriam consideradas para qualquer tipo de nota ou avaliação e que
não precisariam se preocupar com certo ou errado. O importante é que coloquem as
explicações pedidas para as resoluções dadas. Informamos também que, ao final da
pesquisa, procuraremos trazer para eles os resultados obtidos.
Como talvez sejam necessárias entrevistas reflexivas individuais para elucidar
dúvidas de texto, pedimos aos alunos que coloquem, nos protocolos, um apelido de
livre escolha.
Os protocolos analisados serão mantidos por este pesquisador apenas para
efeito de análise dos dados necessários para esta dissertação e eventuais
publicações futuras, em revistas da área de Educação Matemática.
O questionário diagnóstico, individual, é composto de 6 questões (ver Anexo
3) e foi aplicado individualmente em duas etapas, com o intuito de possibilitar ao
64
aluno desenvolver as questões com mais riqueza de detalhes. Cada etapa teve uma
hora e quarenta minutos de duração e foi aplicado pelo professor regente da classe
e por mim. Na primeira etapa, os participantes responderam os itens 1, 2 e 3, e na
segunda etapa responderão os itens 4,5 e 6.
4.2 ANÁLISE DIDÁTICA DO QUESTIONÁRIO DIAGNÓSTICO
Segundo Duval (2013), as dificuldades de compreensão na aprendizagem de
Matemática não estão só relacionadas aos conceitos, mas às conversões das
representações semióticas utilizadas e o uso “confuso” que fazem delas, ou seja, é
preciso que tracemos esquemas para ensinar nossos alunos um conteúdo sem
agregar a ele outras variáveis que talvez não sirvam para o objetivo final. Assim, ao
elaborarmos este diagnóstico evitamos o uso de muitas variáveis para que os
sujeitos não perdessem o foco do que cada questão propõe que façam.
Outro fato que nos levou a refletir quais tipos de variáveis seriam apropriadas
para o nosso diagnóstico foram as prescrições do Currículo Oficial do Estado de São
Paulo (2012) acerca das habilidades e competências que os sujeitos devem
desenvolver após a passagem pelo ensino da Geometria Analítica. Para o objeto
cônicas, esse Currículo recomenda que os alunos saibam identificar as equações
algébricas das cônicas na forma reduzida e identifiquem as propriedades
características dos gráficos destas, com centro na origem e eixos de simetria
paralelos aos eixos coordenados. Isto significa que o professor deve trabalhar, em
sala de aula, pelo menos com os registros algébrico e gráfico e a conversão de um
para outro. Defendemos ainda o uso do registro na língua materna porque
consideramos importantes para a comunicação em Matemática e da passagem
deste para o registro algébrico e/ou registro gráfico com as respectivas conversões.
Para verificar como essas recomendações podem ser usadas em sala de
aula, analisamos os tipos de tarefas do Caderno do Aluno e do Professor, do projeto
São Paulo Faz Escola e ainda do livro didático adotado pela escola, indicado pelo
Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) de 2012 e do Ministério da Educação e
verificamos que estas, no caso das cônicas, estão de acordo com os pressupostos
65
do Currículo e tanto o caderno do aluno quanto o livro didático apresentam o gráfico
da elipse com o centro na origem, eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados
e equação reduzida do tipo 𝑥²
𝑎²+
𝑦²
𝑏²= 1 ou
𝑥²
𝑏²+
𝑦²
𝑎²= 1.
De acordo com esses pressupostos, colocamos questões sobre as elipses,
sempre com o centro na origem, eixos paralelos aos eixos coordenados e utilizamos
a equação reduzida com os focos ou no eixo 𝑂𝑥 ou no eixo 𝑂𝑦. Para não introduzir
mais dificuldades didáticas, utilizamos apenas semieixos medindo 2 e 3 para as
constantes 𝑎 e 𝑏, que aparecem na equação e que representam o semieixo maior e
o semieixo menor da elipse. Utilizamos números inteiros pelo fato do professor das
turmas que aplicaremos o diagnóstico ter trabalhado o ensino das cônicas apenas
com números inteiros. Com essas escolhas, as equações reduzidas do diagnóstico,
em geral, são do tipo 𝑥²
𝑎²+
𝑦²
𝑏²= 1 quando o eixo maior estiver localizado no eixo 0𝑥 e
𝑥²
𝑏²+
𝑦²
𝑎²= 1 quando o eixo maior estiver localizado no eixo 0𝑦.
Assim, com este diagnóstico pretendemos verificar se os sujeitos de nossa
pesquisa, após passarem pelo estudo das elipses, mostram ter aprendido a
conversão entre:
os registros gráfico e algébrico;
os registros gráfico e em língua materna;
os registros em língua materna e algébrico.
Apresentamos, nos próximos parágrafos, as questões que serão aplicadas e
uma análise didática das mesmas, baseada na nossa fundamentação teórica, com
os objetivos, respostas possíveis, tanto certas como erradas e uma justificativa para
nossas escolhas.
QUESTÃO 1
Indique qual é a expressão algébrica correspondente à representação gráfica.
66
Queremos verificar se os sujeitos conseguem identificar as unidades
significativas do registro gráfico para fazer a correspondência correta com o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐,
e verificar através das avaliações dos sujeitos se justificam porque os demais itens
não estão de acordo com a representação gráfica.
De acordo com o nosso objetivo de pesquisa, esperamos que os sujeitos
expressem o raciocínio que desenvolveram para escolher a resposta dada, seja por
cálculos algébricos ou qualquer outro esquema que utilizarem no momento da
visualização do gráfico, para que possamos perceber se houve ou não
aprendizagem da conversão entre o registro gráfico e o algébrico. Apresentamos,
para cada um dos itens da questão 1, uma análise didática das possíveis
justificativas, para escolhas certas ou erradas e deixamos em evidência a
possibilidade de que os possíveis rascunhos deixados no diagnóstico podem trazer
à tona fatos novos da aprendizagem do objeto em pesquisa.
No 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 esperamos que façam a leitura das unidades significativas
explícitas na representação gráfica - eixo maior mede 6 unidades e está localizado
no eixo 0𝑦 o - eixo menor mede 4 unidades e está localizado no eixo 0𝑥 – as
coordenadas dos focos estão localizados no eixo 0𝑦 o que reforça a posição do eixo
maior, acreditamos que não consigam de imediato identificar os valores das
coordenadas dos focos, mas devem perceber que estão próximos de 5
2 ou -
5
2 .
Se identificarem as unidades significativas do gráfico corretamente, poderão
fazer uma conversão congruente, por meio da associação das unidades
significativas explícitas no gráfico diretamente com as unidades significativas
explícitas na equação reduzida 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1, ou seja, devem fazer a correspondência
dos denominadores 𝑎² e 𝑏² com as variáveis 𝑥² e 𝑦². Para tanto, devem observar no
gráfico que os vértices do eixo maior são 𝐴1 (0, 3), 𝐴2(0, -3) e os vértices do eixo
67
menor 𝐵1(2, 0), 𝐵2(-2, 0) e, portanto, que os denominadores são 𝑎² igual a 9,
localizado abaixo da variável 𝑥 e 𝑏² igual a 4, localizado abaixo da variável 𝑦. Se
expressarem os raciocínios acima, esperamos que eliminem o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 partindo do
princípio de que se o eixo maior está localizado no eixo 0𝑦, o maior denominador é
9, e deve estar no denominador da variável 𝑦² e não da variável 𝑥².
Outro esquema que pode ser desenvolvido para a validação do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 por
algum sujeito é a simetria da elipse em relação aos eixos, ou seja, se o eixo maior
mede 6 unidades logo o valor da constante 𝑎 é 3 e o denominador 𝑎² é 9 e se o eixo
menor mede 4, logo a constante 𝑏 é 2 e o denominador 𝑏² é 4; portanto, se usarem
este raciocínio, esperamos que descartem este item ao perceberem que o maior
valor 9 que é o denominador 𝑎², deve ficar abaixo da variável y² e não da variável 𝑥²
como está explícito na equação reduzida do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎.
Esperamos que, para verificarem se a expressão algébrica do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏
corresponde à representação gráfica, desenvolvam um dos raciocínios explicitados
no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 para verificar a localização dos denominadores 𝑎² e 𝑏². Quanto ao sinal,
esperamos que lembrem e até escrevam que a equação reduzida da elipse pode ser
do tipo 𝑥²
𝑎² +
𝑦²
𝑏² = 1, quando o eixo maior da elipse pertencer ao eixo 0𝑥 e do tipo
𝑥²
𝑏²+
𝑦²
𝑎²= 1, quando o eixo maior da elipse pertencer ao eixo 0𝑦 com os sinais das
constantes iguais para que o lugar geométrico seja uma elipse. Quando os sinais
são opostos, trata-se de uma hipérbole, que é o caso deste item. Assim, esperamos
que os sujeitos reflitam sobre estas unidades significativas da expressão algébrica e
descartem o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏.
Esperamos que desenvolvam um dos raciocínios expressos no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 para a
escolha correta que é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. Os sujeitos devem descartar o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑑, pois
considerando que na expressão algébrica de uma elipse deve sempre aparecer 𝑥² e
𝑦², como a variável 𝑦 não está elevada ao quadrado, mas 𝑥 está, esta não é uma
equação reduzida da elipse, porém de uma parábola.
Devem descartar o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑒, pois se partirem do fato que a equação
apresentada mostra uma soma de quadrados igualada a 0, o que, do ponto de vista
algébrico e geométrico, representa um único ponto no plano e não uma elipse.
68
QUESTÃO 2
Indique qual é a representação gráfica correspondente à expressão algébrica:
Na questão anterior, solicitamos aos sujeitos que fizessem a correspondência
entre uma representação gráfica dada e sua respectiva expressão algébrica. Nesta
pedimos que façam a correspondência inversa, ou seja, indicar qual é a
representação gráfica correspondente à expressão algébrica dada.
Esperamos que a análise das eventuais respostas nos permita verificar se os
sujeitos conseguem extrair da representação gráfica as variáveis visuais para
associar as unidades significativas da expressão algébrica para assim escolher o
gráfico correspondente.
Para todos os itens desta questão, supomos que os sujeitos primeiro irão
fazer uma leitura das características visuais explícitas no gráfico para em seguida as
associarem às unidades significativas da equação reduzida. Por exemplo, para o
gráfico do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, os sujeitos têm uma elipse com centro na origem, o eixo maior tem
comprimento de 6 unidades, localizado no eixo 0𝑥, o eixo menor tem comprimento
de 4 unidades e está localizado no eixo 0𝑦, descrições que correspondem com a
equação reduzida dada.
69
Partindo dessas características visuais os sujeitos podem avaliar por meio
das unidades significativas a equação representante de cada gráfico e escolher a
resposta a ser dada. Por exemplo, para o gráfico do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 o sujeito pode identificar
de imediato as coordenadas das extremidades do eixo maior e menor, explícitas na
representação gráfica [𝐴1 = (3, 0), 𝐴2 = (−3, 0) e 𝐵1 = (0, 2) e 𝐵2 = (0, −2)]. Diante
desses dados, o valor da constante 𝑎 é 3, logo o valor do denominador 𝑎² é 9 e o
valor da constante 𝑏 é 2, logo o valor do denominador 𝑏² é 4. Com estes valores, os
sujeitos que desenvolveram conceitos básicos da elipse devem lembrar que se o
eixo maior está em 0𝑥, logo o denominador 𝑎² deve ficar abaixo da variável 𝑥², e o
menor denominador 𝑏² abaixo da variável 𝑦², portanto a equação reduzida é do tipo
𝑥²
9 +
𝑦²
4 = 1.
Outro esquema possível que pode ser expresso por algum dos sujeitos para
verificar a equação representante do registro gráfico é utilizar a ideia de simetria dos
eixos da elipse, ou seja, se o eixo maior mede 6 unidades, o valor da constante 𝑎 é
3 e o denominador 𝑎² é 9, se o eixo menor mede 4, a constante 𝑏 é 2 e o
denominador 𝑏² é 4. Com este raciocínio, descartam a necessidade de chegarem
aos denominadores por meio do calculo dos vértices, ou seja, para acharem o valor
dos denominadores 𝑎² e 𝑏² precisariam achar primeiro as coordenadas dos vértices
de 𝐴1(3, 0), 𝐴2( -3, 0), 𝐵1(0, 2) e 𝐵2(0, -2) e depois expressariam o raciocínio de que
o valor da constante 𝑎 é 3 e o denominador 𝑎² é 9 e a constante 𝑏 é 2 e o
denominador 𝑏² é 4.
Esperamos que os sujeitos utilizem os mesmos argumentos para a análise
dos demais itens desta questão, tanto para a escolha como para a eliminação de
cada um deles.
QUESTÃO 3
Indique qual é a descrição correspondente à representação gráfica
70
Esta questão é composta por duas elipses, uma com o eixo maior no eixo das
ordenadas e a outra com eixo maior no eixo das abscissas e em ambas colocamos
os focos. Como a posição que a elipse ocupa no sistema cartesiano é uma variável
visual composta de unidades significativas que só são percebidas quando o sujeito
desenvolve a visualização, fizemos esta escolha das posições dos eixos para
verificar se conseguem perceber que quando o eixo maior está sobre o eixo 0𝑦 a
equação reduzida é do tipo 𝑥²
𝑏² +
𝑦²
𝑎² = 1 e quando o eixo maior está sobre no eixo 0𝑥 a
equação reduzida é do tipo 𝑥²
𝑎² +
𝑦²
𝑏² = 1.
Entendemos que se trata de uma conversão congruente e esperamos que
decidam quais são as unidades significativas que interessam para esta conversão: a
medida do eixo maior de comprimento 6 unidades, localizado no eixo 0𝑦, e a medida
do eixo menor de comprimento 4, localizado no eixo 0𝑥. Quanto aos focos, na
verdade não são necessários, pois está visualmente explícito que os vértices do eixo
maior estão no eixo 0𝑦 e que se trata de uma elipse. Um raciocínio envolvendo os
focos seria necessário se não houvesse a informação que se trata de uma elipse ou
esta se aproximasse de uma circunferência, quando entrariam em jogo
características visuais incertas sobre a localização do eixo maior, o que só seria
possível com a informação sobre em qual dos eixos do sistema cartesiano estão os
71
focos. Assim, esperamos que para a escolha dos itens corretos utilizem as
características visuais da representação gráfica.
Não podemos descartar a possibilidade de que verifiquem se as coordenadas
dos focos condizem com o valor dado nos itens, pois se observarem na
representação gráfica perceberão que os valores das coordenadas dos focos estão
próximos de 5
2 ou -
5
2 e talvez para alguns o valor √5 incomode e para outros, isso
pode não incomodar, pois uma vez que extraiam a raiz quadrada aproximada verão
que o valor é aproximadamente 2,24; portanto, não podemos descartar a
possibilidade de verificarem as coordenadas dos focos e para isso, efetuarem o
cálculo partindo do esquema de um triângulo retângulo de vértices 𝐹1, 𝐵1 e C(0,0),
de catetos 𝑏 e 𝑐 e hipotenusa 𝑎.
As características visuais explícitas no gráfico como o comprimento dos eixos
maior e menor ou os vértices da elipse, podem fazer com que expressem um
raciocínio numérico para achar o valor das constantes 𝑎 e 𝑏. Desta forma, poderão
identificar o valor da constante 𝑎 que é 3 e o valor da constante 𝑏 que é 2. Com
estes valores, esperamos que usem o teorema de Pitágoras 𝑎² = 𝑏² + 𝑐² para
efetuar o cálculo e achar o valor da constante 𝑐, como por exemplo , após um
tratamento da relação 𝑎² = 𝑏² + 𝑐² chegarem à relação c = √𝑎² − 𝑏² .
QUESTÃO 4
Para cada descrição esboce um gráfico:
72
Para a conversão do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, esperávamos que os sujeitos percebessem que é
preciso determinar os dois vértices do eixo menor, a partir dos vértices do eixo maior
𝐴1(0 , 3), 𝐴2(0, −3) e do comprimento do eixo menor. Como os vértices do eixo maior
estão sobre o eixo 0𝑦 e o centro é a origem, os vértices do eixo menor estão sobre o
eixo 0𝑥, em pontos simétricos em relação à origem; portanto, as extremidades do
eixo menor são 𝐵1(0, 2) e 𝐵2( 0, − 2). Determinados os quatro vértices, ficam bem
estabelecidas as características visuais necessárias para que façam a conversão
entre o registro em língua materna e o gráfico e esbocem o gráfico de uma elipse
com centro na origem; eixo maior sobre o eixo 0𝑦, medindo 6 unidades de
comprimento; e eixo menor sobre o eixo 0𝑥, medindo 4 unidades de comprimento.
No 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏, esperávamos que desenvolvessem raciocínio semelhante ao do
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, pois damos os vértices do eixo menor, que está sobre o eixo 0𝑦 e os sujeitos
precisam calcular os vértices do eixo maior, que está sobre o eixo 0𝑥, a partir da
informação de que o comprimento do eixo maior é igual a 6.
Podemos dizer que as conversões exigidas não são do tipo congruente, pois
os sujeitos precisam fazer um tratamento das características dadas pelo texto em
língua materna (comprimento de um dos eixos) para chegar à resposta procurada.
De qualquer forma, supusemos tratar-se de uma conversão com baixo grau de
dificuldade, pois em cada item trata-se de uma elipse com eixos sobre os eixos
coordenados e centro na origem, apenas que para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 trata-se de uma elipse
com eixo maior sobre 0𝑦 e para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏, com eixo menor sobre 0𝑥.
Para deixar claros nossos objetivos com essa questão, elaboramos um quadro
que expressa às interpretações esperadas dos sujeitos quando leem o texto dado.
73
Quadro 8:Interpretação esperada das unidades significativas quando são dadas em língua materna. Descrição em língua
materna Interpretação esperada do texto Raciocínio esperado durante a
conversão
Elipse com centro em (0, 0)
O centro da elipse está na origem do sistema de coordenadas cartesianas.
O gráfico deve ser do tipo
Extremidades do eixo maior 𝐴1(0, 3) e 𝐴2(0, -3)
O eixo maior da elipse está sobre o eixo 0𝑦; o menor, sobre o eixo 0𝑥 e
o valor do denominador 𝑦² é 3².
Extremidades do eixo menor 𝐵1(0, 2) e 𝐵2(0, -2)
O eixo menor da elipse está sobre o eixo 0𝑦; o maior, sobre o eixo 0𝑥 e
o valor do denominador 𝑥² é 2².
Coordenadas dos focos
𝐹1(0, √5) e 𝐹2(0, -√5)
O eixo maior da elipse está sobre o eixo 0𝑦, o eixo menor, sobre o eixo
0𝑥 e o valor da constante 𝑐 é √5.
O comprimento do eixo maior igual a 6
O valor da constante 𝑎 é 3
Fonte: Elaborado pelo autor.
QUESTÃO 5
74
Determine uma equação reduzida para cada descrição abaixo:
A equação representante da elipse descrita em língua materna no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 é
do tipo 𝑥²
𝑏² +
𝑦²
𝑎² = 1 e estão explícitas no texto três unidades significativas, quais sejam:
as coordenadas do centro; as coordenadas das extremidades do eixo maior A1 e A2;
e as coordenadas dos focos 𝐹1e 𝐹2. Como o centro da elipse está na origem do
sistema de coordenadas cartesianas, o sujeito, para efetuar a conversão, precisa do
valor das constantes 𝑎 e b; e a descrição fornece as constantes 𝑎 e 𝑐. Esperávamos
que o sujeito percebesse estes fatos e utilizasse a relação de Pitágoras 𝑎² = 𝑏² +
𝑐² para achar o valor da constante 𝑏.
No item b, a equação da elipse descrita em língua materna é do tipo 𝑥²
𝑎² +
𝑦²
𝑏² = 1
e o texto fornece: as coordenadas do centro; as coordenadas das extremidades do
eixo menor 𝐵1 e 𝐵2; e o comprimento do eixo maior; portanto, o texto fornece o valor
das constantes 𝑎 e 𝑏, unidades significativas necessárias para efetuar a conversão
proposta. O valor da constante 𝑏 está explícito, é 2, mas o valor da constante 𝑎 não.
Fato que remete o sujeito a utilizar a ideia de simetria para achar o valor da
constante 𝑎. As conversões exigidas não são do tipo congruente, pois o sujeito
75
precisa fazer um tratamento das unidades significativas dadas pelo texto para depois
associá-las às unidades significativas da expressão algébrica; por exemplo, dado o
comprimento do eixo menor de uma elipse o sujeito precisa fazer um tratamento
para descobrir o valor da constante 𝑏 e depois associá-la a um dos denominadores
da equação reduzida.
Supusemos tratar-se de uma conversão com baixo grau de dificuldade, pois
em cada item a elipse tem eixos sobre os eixos coordenados e centro na origem, o
que diminui a quantidade de variáveis significativas da expressão algébrica.
Para deixar claros nossos objetivos com essa questão, elaboramos um
quadro que expressa às interpretações esperadas dos sujeitos quando leem as
descrições dadas.
Quadro 9: Interpretação esperada das unidades significativas quando são dadas em língua materna.
Descrição em
língua materna
Interpretação esperada do
texto
Raciocínio esperado durante a
conversão
Elipse com centro em (0, 0)
O centro da elipse está na origem do sistema de coordenadas cartesianas.
A equação reduzida deve ser do tipo 𝑥²
𝑎² +
𝑦²
𝑏² = 1 ou
𝑥²
𝑏² +
𝑦²
𝑎² = 1
Extremidades do eixo maior 𝐴1(0, 3)
e 𝐴2(0, -3)
O eixo maior da elipse está sobre o eixo 0𝑦, o eixo menor, sobre o
eixo 0𝑥 e o valor do denominador
𝑥² é 3é.
A equação reduzida é do tipo 𝑥²
𝑏² +
𝑦²
𝑎² = 1
Extremidades do eixo menor 𝐵1(0, 2) e 𝐵2(0, -2)
O eixo menor da elipse está sobre o eixo 0𝑦, o eixo maior, sobre o eixo 0𝑥 e o valor do
denominador 𝑦² é 2é.
A equação reduzida é do tipo 𝑥²
𝑎² +
𝑦²
𝑏² = 1
Coordenadas dos
focos 𝐹1(0, √5) e
𝐹2(0, -√5)
O eixo maior da elipse está sobre o eixo 0𝑦, o eixo menor, sobre o
eixo 0𝑥 e o valor da constante 𝑐 é
√5.
A equação reduzida é do tipo 𝑥²
𝑏² +
𝑦²
𝑎² = 1
O comprimento do eixo maior igual a 6
O valor da constante 𝑎 é 3
QUESTÃO 6
76
Se você descrevesse as expressões algébricas dadas na tabela para outra pessoa
que não estivesse enxergando as expressões algébricas, como você as descreveria
Mudamos o valor dos denominadores da equação reduzida desta questão
por imaginar que poderiam usar os dados das questões 4 e 5 para respondê-la e, se
assim fosse, não saberíamos analisar se fizeram de fato a conversão. Assim,
queremos verificar como os sujeitos descrevem em língua materna os dois itens e
como consideram as unidades significativas da equação reduzida. Os sujeitos que
desenvolveram a aprendizagem da elipse devem visualizar as características da
equação reduzida, que é do tipo 𝑥²
𝑎² +
𝑦²
𝑏² = 1; sendo assim, devem expressar o
raciocínio de que para equações deste tipo o centro da elipse é na origem do
sistema cartesiano e que, para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, a elipse possui eixo maior de comprimento
igual a 8 sobre o eixo 𝑂𝑥 e eixo menor de comprimento 6 sobre o eixo 0𝑦. Para o
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏, esperamos que desenvolvam o mesmo raciocínio do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e devem ficar
atentos apenas à mudança dos semieixos.
77
CAPÍTULO 5: ANÁLISE DOS RESULTADOS
Neste capítulo, no primeiro parágrafo, damos uma tabela com os resultados
gerais dos protocolos, que elaboramos antes de iniciar a análise fina, por aluno e por
questão, para termos uma noção prévia dos resultados, com relação à coluna
“Expresse seu raciocínio” e ao número de acertos e erros em cada um dos itens das
6 questões propostas.
No segundo parágrafo, apresentamos nossa análise por aluno e por questão,
quase todas acompanhadas por trechos tirados dos protocolos dos alunos, com
nossas reflexões sob o ponto de vista da teoria dos Registros de Representação
Semiótica (DUVAL, 1995, 2013).
No terceiro e último parágrafo, analisamos as questões propostas, à luz dos
resultados observados na análise por aluno e por questão, como uma forma de
mostrar, a quem se interessar por aplicar questões semelhantes, quais as
modificações que sentimos necessárias, tanto no texto, como nas escolhas
numéricas ou na disposição das questões no todo do questionário.
5.1 VISÃO GERAL DOS RESULTADOS
78
Tabela 1: Análise geral dos protocolos
193
Na
193
Tabela 1, colocamos as 6 questões do questionário, acompanhadas do
sentido de conversão esperado (por exemplo, A → G significa que a conversão
esperada era do registro algébrico para o registro gráfico), dos itens respectivos e de
uma coluna, “Rac”, na qual indicamos se o aluno expressou, ou não, o raciocínio
feito naquele item e naquela questão.
Dessa tabela, e sem entrar no mérito de qualidade, podemos verificar
imediatamente que apenas 2 alunos (dos 28 presentes) expressaram o raciocínio
em todos os itens, o que nos remete a refletir sobre o tipo de cobrança que tem sido
feito, ou não, em sala de aula de Matemática, sobre a necessidade de ver a
Matemática não só como uma forma de aplicar técnicas e dar respostas, mas
também, e principalmente, como uma forma de raciocínio estruturado e coerente,
que pode ser “transportado” para qualquer atividade humana.
5. 2 ANÁLISE DO DIAGNÓSTICO POR ALUNO
Neste parágrafo, colocamos nossa análise, por aluno e por questão, extraída
dos protocolos obtidos, sempre à luz das ideias da Teoria dos Registros de
Representações Semióticas (DUVAL, 2005, 2013), que adotamos como
fundamentação teórica para a elaboração e análise do questionário diagnóstico e,
com a qual, pretendemos dar resposta às nossas questões de pesquisa, quais
sejam: 1. Alunos de 3ª série do Ensino Médio mostram ter aprendido a conversão
entre os registros gráfico e algébrico no caso das elipses?; 2. Alunos de 3ª série do
Ensino Médio mostram ter aprendido a conversão entre os registros gráfico e da
língua materna no caso das elipses?; 3. Alunos de 3a série do Ensino Médio
mostram ter aprendido a conversão entre os registros em língua materna e algébrico
no caso das elipses?; 4. Em quais dessas conversões esses alunos mostram maior
dificuldade?
Análise do aluno 1
Questão 1
193
Na questão 1A, a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, temos duas
alternativas corretas, os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O Aluno 1 escolheu corretamente os itens, mas
não expressou o raciocínio para justificar as escolhas. Pelo protocolo, dá a entender
que tentou a conversão do algébrico para o gráfico, pois marca as alternativas 𝑎 e
𝑑 como se as estivesse eliminando e são as que apresentam unidades significativas
mais próximas da correta, porque em ambas a equação está =1 e têm o sinal de +
entre as parcelas do primeiro membro. Por se tratar de uma questão do tipo teste, o
aluno 1, aparentemente, decidiu a resposta por eliminação e não expressou
qualquer raciocínio para justificar isso, preocupando-se apenas em achar o item
correto.
Figura 7: Resposta do aluno 1 da questão 1A
As nossas suposições se fortalecem na questão 1B, pois o aluno 1 marcou os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑐, 𝑑 e 𝑒 como se os estivesse eliminando, por conta das unidades significativas
do registro algébrico (o sinal de menos, o igual a zero e o 𝑦 com expoente um).
Assim, mesmo dando as respostas corretas, não podemos afirmar que o aluno 1
desenvolveu o processo de conversão do registro gráfico para o registro algébrico
ou do registro algébrico para o registro gráfico.
193
Figura 8: Resposta do aluno 1 da questão 1B
Questão 2
Na questão 2A, a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e na questão 2B, o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno 1 escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum raciocínio para
justificar as escolhas feitas. Em função das dificuldades cognitivas existentes numa
conversão entre o registro gráfico e o registro algébrico, pedimos que expressassem
o raciocínio para que pudéssemos diagnosticar se houve ou não a aprendizagem
dessa conversão; assim, não podemos avaliar a aprendizagem da conversão deste
sujeito. Nossa avaliação é que o aluno 1 não “aprendeu” o processo de conversão
do registro gráfico para o registro algébrico.
Questão 3
As respostas esperadas seriam os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖 e 𝑖𝑖 correspondentes ao gráfico da
questão 3A e os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖 correspondentes ao gráfico da questão 3B. O aluno 1
escolheu corretamente os itens das questões 3A e 3B. Como não expressou o
raciocínio feito, utilizado para avaliar as variáveis visuais e as unidades significativas
dos gráficos, avaliamos que acertou as questões, mas não podemos afirmar que o
aluno 1 sabe efetuar a conversão do registro gráfico para o da língua materna.
193
Figura 9: Resposta do aluno 1 da questão 3A
Questão 4
A descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 representa uma elipse com eixo maior em 0𝑦 e a
descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 representa outra elipse com eixo maior em 0𝑥. O aluno 1
esboçou corretamente os gráficos dos 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. A questão trata de uma
conversão com baixo grau de não congruência entre um registro em língua materna
e um registro gráfico e esperávamos que efetuasse a relação das características da
descrição com as variáveis visuais do gráfico e assim o sujeito fez, mas não
expressou o raciocínio feito acerca do trânsito entre os dois registros. Mesmo o
aluno 1 não tendo expressado o raciocínio feito, precisou efetuar alguns tratamentos
para esboçar o gráfico, pois na descrição “comprimento do eixo menor igual a 4”
supomos que o sujeito mobilizou duas unidades significativas, primeiro em qual eixo
se localizam as coordenadas desse eixo (se ficaria sobre o eixo 0𝑦 ou sobre o eixo
0𝑥) e quais os valores das extremidades 𝐵1(2, 0) e 𝐵2(-2, 0) se o centro da elipse
está na origem, logo o valor 4 deveria ser dividido por 2. Nossa avaliação é que o
sujeito efetuou estes raciocínios, mas pelo fato de não o expressar na coluna
“expresse seu raciocínio”, concordamos que acertou a mudança de registro no
sentido língua materna para o registro gráfico, mas não podemos afirmar que o
aluno 1 sabe fazer a conversão do registro em língua materna para o registro
gráfico.
193
Figura 10: Resposta do aluno 1 da questão 4A
Questão 5
As respostas esperadas seriam 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1 para a descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e
𝑥²
9+
𝑦²
4= 1, para a do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏. Como o valor da constante 𝑏 não está presente na
descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, o aluno precisaria determinar o valor da constante 𝑏 e, para tal,
poderia utilizar o teorema de Pitágoras, como foi o caso do aluno 1. Reconhecendo
que 𝑎² = 9 e 𝑐² = 5, substituiu-os na relação 3² = 𝑏² + (√5)² concluindo que
𝑏² = 4. O aluno 1 acertou a resolução da equação, mas errou a posição dos eixos
na equação reduzida expressando a equação 𝑥²
9+
𝑦²
4= 1 para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎. Quanto ao
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏, o aluno 1 acertou a equação reduzida 𝑥²
9+
𝑦²
4= 1, mas não expressou o
raciocínio feito. Nossa avaliação é que o aluno 1 apresenta falhas na aprendizagem,
em relação à associação dos eixos com os denominadores da equação, ou
desenvolveu a aprendizagem que o maior valor fica sempre abaixo da variável 𝑥² e o
menor valor sempre abaixo da variável 𝑦². Assim, não podemos afirmar que o aluno
1 sabe fazer a conversão do registro em língua materna para o registro algébrico.
193
Figura 11: Resposta do aluno 1 da questão 5A e 5B
Análise do Aluno 2
Questão 1
Na questão 1A, a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum
raciocínio para justificar suas escolhas. Acreditamos que por se tratar de um teste o
aluno só se preocupou em achar o item correto; portanto, mesmo o sujeito fazendo a
escolha correta dos itens, não temos evidências para afirmar se o aluno 2
desenvolveu, ou não, a aprendizagem para a conversão do registro gráfico para o
registro algébrico.
Questão 2
Na questão 2A, a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐.
O aluno escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 nos dois itens e em ambos. Não expressou o raciocínio
feito para justificar suas escolhas, sendo assim, acreditamos que o aluno 2 não
desenvolveu a aprendizagem para a conversão do registro algébrico para o registro
gráfico.
193
Questão 3
O sujeito deixou a questão em branco; portanto, o aluno 2 não desenvolveu a
aprendizagem da conversão do registro gráfico para o registro em língua materna.
Questão 4
O esboço esperado seria uma elipse com eixo maior em 0𝑦 e outra com eixo
maior em 0𝑥. O sujeito esboçou corretamente o gráfico do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e errou o esboço
do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏. O aluno 2 esboçou duas elipses com eixo maior em 0𝑦. As evidências são
de que o aluno 2 apresenta dificuldades para localizar as coordenadas de um ponto
𝑃(𝑥, 𝑦) no sistema cartesiano, pois nossas suposições são que se ele localizou as
extremidades 𝐴1(0, 3) e 𝐴2(0, -3) do eixo maior da descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, saberia
localizar também as extremidades 𝐵1(0, 2) e 𝐵2(0, -2) do eixo menor da elipse do
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏. Mesmo efetuando corretamente a mudança de registro do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎,
consideramos que o aluno 2 não desenvolveu a aprendizagem para efetuar a
mudança do registro em língua materna para o registro gráfico.
Figura 12: Resposta do aluno 2 da questão 4
.Questão 5
Nesta questão a conversão seria de um registro em língua materna para um
registro algébrico e o sujeito efetuou uma conversão para o registro gráfico,
repetindo os esquemas da questão anterior. Isso nos leva a supor que o sujeito não
193
leu com atenção o enunciado da questão e, ainda, não expressou no diagnóstico o
raciocínio feito para achar o valor da constante 𝑏 que não está presente na
descrição, mas que está representado no gráfico esboçado. Assim, concordamos
que o aluno 2 não desenvolveu aprendizagem para efetuar a mudança do registro
em língua materna para o registro algébrico.
Figura 13: Resposta do aluno 2 da questão 5
Análise do Aluno 3
Questão 1
Na questão 1A, a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum
raciocínio para justificar suas escolhas. Acreditamos que por se tratar de um teste o
aluno só se preocupou em achar o item correto; portanto, mesmo o sujeito fazendo a
escolha correta dos itens, não temos evidências para afirmar se o aluno 3
desenvolveu, ou não, a aprendizagem para a conversão do registro gráfico para o
registro algébrico.
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno escolheu corretamente os itens, mas não expressou raciocínio para justificar
suas escolhas, apenas avaliou os denominadores 3 e 2 na equação reduzida do
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 da questão 2A, talvez para validar alguma noção desenvolvida do objeto.
Assim, acreditamos que o aluno 3 não desenvolveu a aprendizagem para a
conversão do registro algébrico para o registro gráfico.
193
Questão 3
O sujeito escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖 para a questão 3A e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖 para a questão 3B.
Esperávamos que escolhesse os itens 𝑖 e 𝑖𝑖 para a questão 3A e os itens 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖 para
a questão 3B. Descartamos a possibilidade do aluno 3 achar que havia apenas um
item correspondente para cada representação gráfica, pois explicamos no momento
da aplicação do questionário que deveriam escolher todos os itens corretos. Sendo
assim, as evidências são de que o sujeito possui falhas na aprendizagem, que
podem estar relacionadas com a leitura que o sujeito fez da figura e não podemos
afirmar que o aluno 3 desenvolveu a aprendizagem da conversão do registro gráfico
para o registro em língua materna.
Questão 4
Os esboços esperados seriam de uma elipse com eixo maior em 0𝑦 e a outra
com eixo maior em 0𝑥. O aluno 3 esboçou duas elipses com eixo maior em 0𝑥 e não
expressou o raciocínio feito para entendermos quais caminhos o levaram a achar
que as duas descrições eram de um mesmo gráfico. Sem justificativa, expressou
nos gráficos o raciocínio de um triângulo retângulo com seus catetos 𝑏 e 𝑐 e
hipotenusa 𝑎, e mesmo efetuando a mudança de registro do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 de acordo com o
esperado, acreditamos que algumas dificuldades estão presentes nos conceitos que
o sujeito desenvolveu acerca desta conversão, pois se soube localizar as
extremidades 𝐵1(0, 2) e 𝐵2(0, -2) do eixo menor da elipse do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 saberia localizar
também as extremidades 𝐴1(0, 3) e 𝐴2(0, -3) do eixo maior da elipse do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, mas
não o fez. Sendo assim, consideramos que o aluno 3 não desenvolveu a
aprendizagem para efetuar a conversão do registro em língua materna para o
registro gráfico.
Ainda avaliamos que o aluno 3 tem dificuldade para localizar as coordenadas
de um ponto no sistema cartesiano ou só desenvolveu aprendizagem para esboçar o
gráfico de uma elipse com eixo maior no eixo 0𝑥.
193
Figura 14: Resposta do aluno 3 da questão 4
Questão 5
Conforme previsto, as equações esperadas seriam a 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1 para a
descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e a 𝑥²
9+
𝑦²
4= 1 para a descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏. Como o valor da
constante 𝑏 não está presente na descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, o aluno precisaria determinar
o valor da constante 𝑏 e, para tal, poderia utilizar o teorema de Pitágoras e assim o
aluno 3 procedeu. Substituiu o valor das constantes 𝑎 e 𝑐 na relação 3² = 𝑏² +
(√5)², envolveu-a para achar o valor da constante 𝑏 = 2, fez a correspondência das
constantes 𝑎 e 𝑏 na equação reduzida 𝑥²
𝑎² +
𝑦²
𝑏² = 1 e concluiu que a expressão seria
do tipo 𝑥²
9 +
𝑦²
4 = 1, mas a equação reduzida esperada é
𝑥²
4 +
𝑦²
9 = 1 e não
𝑥²
9 +
𝑦²
4 =
1 representada pelo sujeito, o que nos remeteu a supor que o aluno 3 sempre
coloca o maior valor encontrado (𝑎 ou 𝑏), ao quadrado, no denominador de 𝑥2.
193
Figura 15: Resposta do aluno 3 da questão 5A
No 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏, o sujeito expressou corretamente a representação algébrica, mas
esboçou primeiro o gráfico, para depois apresentar a equação reduzida. Como o
texto deixa explícitos o centro e as coordenadas do eixo menor, o aluno utilizou um
triangulo retângulo, no gráfico, para determinar o valor do eixo maior. Avaliamos que
o sujeito possa ter desenvolvido a aprendizagem para este tipo de mudança, do
gráfico para a equação, quando o eixo maior está sobre o eixo 0𝑥; mas
consideramos que o aluno 3 não desenvolveu a aprendizagem para efetuar a
conversão do registro em língua materna para o registro algébrico.
Figura 15: Resposta do aluno 3 da questão 5B
193
Análise do aluno 4
Questão 1
Na questão 1A, a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno 4 escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum
raciocínio para justificar suas escolhas. Acreditamos que por se tratar de um teste o
aluno só se preocupou em achar o item correto; portanto, mesmo fazendo a escolha
correta dos itens, não temos evidências para afirmar se o aluno 4 desenvolveu, ou
não, a aprendizagem para a conversão do registro gráfico para o registro algébrico.
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, e na questão 2B a alternativa
correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O aluno escolheu corretamente os dois itens, mas não expressou
o raciocínio feito para justificar suas escolhas. Assim, consideramos que o aluno 4
não sabe fazer a conversão do registro algébrico para o registro gráfico.
Questão 3
Na questão 3A os itens corretos são os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖 e 𝑖𝑖 e na questão 3A os itens
corretos são 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖. O aluno escolheu apenas o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖 para a questão 3A e os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖 para a questão 3B. Não expressou o raciocínio, mas pelos rabiscos
deixados no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖𝑖 da questão 3B, supomos que pode ter utilizado as coordenadas
dos focos 𝐹1(√5, 0) e 𝐹2(− √5, 0). Quanto à escolha do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖 da questão 3A o
aluno 4 pode apresentar falhas na aprendizagem de que os focos se localizam
sempre no eixo maior, o que pode ter impedido o aluno de avaliar o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖. Nossa
avaliação é que o aluno 4 possui falhas na aprendizagem para relacionar as
variáveis visuais do gráfico com a língua materna e que o aluno 4 não desenvolveu a
aprendizagem da conversão do registro gráfico para o registro em língua materna.
Figura 16: Resposta do aluno 4 da questão 3B
193
Questão 4
Os esboços esperados são de uma elipse com eixo maior em 0𝑦 e a outra
com eixo maior em 0𝑥. O aluno 4 esboçou duas elipses com eixo maior em 0𝑦 para
as duas descrições dadas e não expressou o raciocínio para entendermos quais
caminhos o levaram a achar isso. Como as características das duas descrições são
semelhantes, esperávamos que o sujeito desenvolvesse o mesmo raciocínio do
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 para o esboço do gráfico do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏. Há evidências de que o aluno 4 tem
dificuldade para localizar as coordenadas de um ponto no sistema cartesiano, pois
se soube localizar as coordenadas das extremidades do eixo maior do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎
perceberia que as extremidades do eixo menor do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 também estão no eixo 0𝑦
e não no eixo 0𝑥. Nossa avaliação é que o aluno 4 não sabe fazer a conversão do
registro em língua materna para o registro gráfico.
Figura 17: Resposta do aluno 4 da questão 4
Questão 5
As equações esperadas são 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1 para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e
𝑥²
9+
𝑦²
4= 1 para o
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏. Como o valor da constante 𝑏 não está presente na descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, o
aluno precisaria determinar o valor de 𝑏 e, para tal, poderia utilizar o teorema de
Pitágoras, como o fez o aluno 4, que utilizou a relação 𝑎² = 𝑏² + 𝑐² e os valores
𝑎 = 3 e 𝑐 = √5 explícitas na descrição e chegou ao resultado esperado 𝑏 = 2.
193
Uma das dificuldades do aluno 4 foi para relacionar a posição do eixo maior com a
equação reduzida, pois deu a equação 𝑥²
9 +
𝑦²
4 = 1 e não a esperada
𝑥²
4 +
𝑦²
9 = 1.
Figura 18: Resposta do aluno 4 da questão 5
No 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 o sujeito efetuou a mudança de registro esperada, mas como não
expressou o raciocínio não sabemos se de fato fez a relação direta das
características da descrição com as unidades significativas da expressão algébrica
ou se apenas repetiu a expressão do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎. A dificuldade desse sujeito pode estar
relacionada com a relação entre os valores dos eixos maior e menor da elipse nos
denominadores da equação reduzida. Assim, julgamos que o aluno 4 não sabe
fazer a conversão do registro em língua materna para o registro algébrico.
Análise do Aluno 5
Questão 1
Na questão 1A, a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno 5 escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum
raciocínio para justificar suas escolhas. Acreditamos que por se tratar de um teste o
aluno só se preocupou em achar o item correto; portanto, mesmo o sujeito fazendo a
escolha correta dos itens, não temos evidências para afirmar se o aluno 5
desenvolveu, ou não, a aprendizagem para a conversão do registro gráfico para o
registro algébrico.
193
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno 5 escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 para a questão 2A e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 para a questão 2B. Acertou
a questão 2B, mas não expressou o raciocínio para justificar esta escolha. Como
não expressou o raciocínio feito e apenas acertou a questão 2B, julgamos que o
aluno 5 não desenvolveu a aprendizagem para o processo de conversão do registro
algébrico para o registro gráfico.
Questão 3
Na questão 3A os itens corretos são os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖 e 𝑖𝑖 e na questão 3A, os itens
corretos são 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖. O aluno 5 escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖 para a questão 3A e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖 para
a questão 3B. As evidências são de que esse aluno não desenvolveu aprendizagem
para efetuar a leitura das variáveis visuais do gráfico e fazer sua descrição em
língua materna. Se observarmos o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖 da questão 3B, é descrita uma elipse com
eixo maior em 0𝑦, que não corresponde com o gráfico dado, que é de uma elipse
com eixo maior em 0𝑥. Assim, o aluno 5 não desenvolveu a aprendizagem da
conversão do registro gráfico para o registro em língua materna.
Questão 4
A descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 é o de uma elipse com eixo maior sobre o eixo 0𝑦 e a
do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 outra elipse com eixo maior sobre o eixo 0𝑥. O aluno 5esboçou duas
elipses com eixo maior sobre o eixo 0𝑥. Nossa avaliação é que se soube localizar as
extremidades 𝐵1(0, 2) e 𝐵2(0, -2) do eixo menor do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 saberia localizar também
as extremidades 𝐴1(0, 3) e 𝐴2(0, -3) do eixo maior no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎. Concordamos que o
aluno 5 não desenvolveu aprendizagem para efetuar a mudança do registro em
língua materna para o registro gráfico.
Evidências apontam possíveis confusões para localizar as coordenadas de
um ponto no sistema cartesiano e supomos também que não desenvolveu outros
conhecimentos, relacionados à descrição dada, por exemplo, “se o eixo maior está
sobre o eixo 0𝑦 e o centro é a origem, o eixo menor estará sobre o eixo 0𝑥”.
193
Figura 19: Resposta do aluno 5 da questão 4
Questão 5
As equações esperadas são 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1 para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e
𝑥²
9+
𝑦²
4= 1 para o
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏. Como o valor da constante 𝑏 não está presente na descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, o
aluno precisaria determinar o valor da constante 𝑏 e, para tal, poderia utilizar o
teorema de Pitágoras. O aluno 5 não conseguiu efetuar a mudança de registro, mas
expressou o raciocínio para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 que foi a equação reduzida 𝑥²
𝑎²+
𝑦²
𝑏² = 1 e para o
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 𝑥²
𝑏²+
𝑦²
𝑎² = 1. Supondo que 𝑏 representa o semieixo menor e 𝑎, o semieixo
maior, percebemos que o aluno 5 trocou a relação entre os valores de 𝑎 e de 𝑏 e os
denominadores ao quadrado na equação da elipse. Esse fato nos remeteu a
concordar que o aluno 5 não desenvolveu a aprendizagem, quando passou pelo
ensino da cônica elipse de que “quando o eixo maior está sobre o eixo 0𝑦 do
sistema de eixos coordenados; logo o valor da constante 𝑎 ficará abaixo da variável
𝑦²” ou de que quando o “eixo maior está sobre o eixo 0𝑥 do sistema de eixos
coordenados, o valor da constante 𝑎 ficará abaixo da variável 𝑥²”. Assim, julgamos
que o aluno 5 não sabe fazer a conversão do registro em língua materna para o
registro gráfico.
193
Figura 20: Resposta do aluno 5 da questão 5
Análise do Aluno 6
Questão 1
Na questão 1A, a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno 6 escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum
raciocínio para justificar suas escolhas. Acreditamos que por se tratar de um teste o
aluno só se preocupou em achar o item correto; portanto, mesmo o sujeito fazendo a
escolha correta dos itens, não temos evidências para afirmar se o aluno 6
desenvolveu, ou não, a aprendizagem da conversão do registro gráfico para o
registro algébrico.
Questão 2
Na questão 2A, a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e na questão 2B, o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno 6 escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum raciocínio. Em
função das dificuldades cognitivas existentes numa conversão entre o registro
gráfico e o registro algébrico, pedimos que expressassem o raciocínio para que
pudéssemos diagnosticar se houve ou não a aprendizagem dessa conversão; assim,
não podemos avaliar a aprendizagem deste sujeito, apenas afirmar que o aluno 6
não “aprendeu” o processo de conversão do registro gráfico para o registro
algébrico.
193
Questão 3
Os itens corretos da questão 3A são os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖 e 𝑖𝑖 e na questão 3B, os itens
𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖. O aluno 6 escolheu os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖 e 𝑖𝑖 para a questão 3A e os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖 e 𝑖𝑖 para a
questão 3B. Identificou as unidades significativas 𝑎 e 𝑏 e em seguida as substituiu
na relação 𝑐² = 4 – 9 = 1 finalizando com 𝑐² = √5. Chamou-nos atenção a
desorganização dos cálculos e a inversão dos sinais na equação. Na relação 𝑐² =
4 – 9 = 1 o aluno 6 usou duas igualdades e imaginamos que possa ser algum
pensamento relacionado com a equação reduzida, o que mostra que tem dificuldade
com o tratamento algébrico e ainda escolheu os mesmos itens para a questão 3A e
para a questão 3B, o que não é a resposta correta. O aluno não percebeu que são
dois gráficos com posições diferentes no sistema cartesiano, fato que mudaria as
descrições. Acreditamos que o aluno 6 não desenvolveu a aprendizagem da
conversão do registro gráfico para o registro em língua materna.
Figura 21: Resposta do aluno 6 da questão 3A
Questão 4
As conversões esperadas são uma elipse com o eixo maior sobre o eixo das
ordenadas e outra com eixo maior sobre o eixo das abscissas e o sujeito efetuou as
duas conversões invertidas. Nossa avaliação é que o aluno 6 não identifica as
características do texto que são importantes para esboçar o gráfico. Ainda mais,
mostra dificuldade para localizar pontos no sistema cartesiano. Pelo esboço feito,
supomos que tem uma noção do significado dos comprimentos dos eixos maior e
menor na figura elipse, mas não desenvolveu aprendizagem para localizar as
variáveis visuais 𝐴1, 𝐴2 e 𝐵1, 𝐵2 e o comprimento dos eixos no sistema cartesiano.
193
Assim, julgamos que o aluno 4 não sabe fazer a conversão do registro em língua
materna para o registro gráfico.
Figura 22: Resposta do aluno 6 da questão 4
Questão 5
O aluno deixou a questão em branco. Assim, o aluno 6 não sabe fazer a
conversão do registro em língua materna para o registro algébrico.
Análise do Aluno 7
Questão 1
Na questão 1A, a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno 7 escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum
raciocínio para justificar suas escolhas. Acreditamos que por se tratar de um teste o
aluno só se preocupou em achar o item correto; portanto, mesmo o sujeito fazendo a
escolha correta dos itens, não temos evidências para afirmar se o aluno 7
desenvolveu, ou não, a aprendizagem da conversão do registro gráfico para o
registro algébrico.
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 para 2A e 2B e não expressou o raciocínio; Para avaliar se
o sujeito desenvolveu a aprendizagem da mudança de registro gráfico para o
registro algébrico, esperávamos que o aluno expressasse uma equação reduzida
193
para cada gráfico dado e, a partir dos raciocínios expressados, teríamos como
avaliar se o aluno 7 mobilizou as variáveis presentes no trânsito entre os dois
registros. Como o sujeito não expressou o raciocínio, embora tenha acertado a
escolha do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 para a questão 2B, julgamos que o aluno 7 não desenvolveu a
aprendizagem para o processo de conversão do registro algébrico para o registro
gráfico.
Questão 3
Os itens corretos da questão 3A são os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖 e 𝑖𝑖 e os da questão 3B são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖. O sujeito escolheu os itens corretos da questão 3A, os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖 e 𝑖𝑖 para
a questão 3B e não expressou o raciocínio feito. O fato das duas questões tratarem
de dois gráficos diferentes, sem qualquer semelhança, nos leva a concordar que o
aluno 7 não desenvolveu a aprendizagem da conversão do registro gráfico para o
registro em língua materna.
Questão 4
A descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 trata de uma elipse com eixo maior em 0𝑦 e a
descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 de outra elipse com eixo maior em 0𝑥. O aluno 7 esboçou no
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 uma elipse com eixo maior em 0𝑥 e no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 outra com eixo maior em 0𝑦.
Acreditamos que o aluno não desenvolveu aprendizagem para este tipo de
conversão e evidencia possíveis dificuldades para localizar as coordenadas de um
ponto no sistema cartesiano, pois os gráficos esboçados estão em posições
contrárias às esperadas e se observarmos as coordenadas das extremidades 𝐴1(0,
3) e 𝐴2(0, -3) da elipse do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e as coordenadas 𝐵1(0, 2) e 𝐵2(0, -2) do eixo
menor da elipse do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 a impressão que temos é que o sujeito pode ter pensado
que ambas se localizavam no eixo 0𝑥 sem considerar que a posição da ordenada no
par coordenado indica se o ponto está sobre o eixo 0𝑥 ou sobre o eixo 0𝑦.
Consideramos que o aluno 7 não sabe fazer a conversão do registro em língua
materna para o registro gráfico.
193
Figura 23: Resposta do aluno 7 da questão 4
Questão 5
O 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 trata da descrição de uma elipse com eixo maior em 0𝑦
representada pela equação reduzida 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1 e no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 outra elipse com eixo
maior em 0𝑥 representada pela equação reduzida 𝑥²
9+
𝑦²
4= 1. O aluno 7 percebeu a
ausência da constante 𝑏 e utilizou o teorema de Pitágoras para achá-la. Substituiu
corretamente os valores de 𝑎 e 𝑐 na relação 9 = 𝑏² + (√5)² e expressou − 𝑏² =
− 9 − 5 = 1. A partir desses erros, obteve o resultado 𝐵 = 2², que não está de
acordo com a relação dada por ele. Esses erros trazem à tona dificuldades do aluno
7 com os números inteiros e para resolver equações algébricas.
Outro problema do aluno foi relacionar os eixos da elipse do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 na
equação reduzida. Mesmo dando a expressão correta do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 consideramos que o
aluno 7 não sabe fazer a conversão do registro em língua materna para o registro
algébrico.
193
Figura 24: Resposta do aluno 7 da questão 5
Análise do Aluno 8
Questão 1
Na questão 1A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno 8 escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 para a questão 1A e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 para a
questão 1B e não expressou nenhum raciocínio. O 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 da questão 1A é a
equação reduzida 𝑥²
4 -
𝑦²
9= 1, que representa uma hipérbole com eixo em 0𝑦 e a
correta é a equação do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 𝑥²
4 +
𝑦²
9= 1, que representa uma elipse com eixo
maior em 0𝑦. O que diferencia as duas equações é o sinal de menos do 1o membro
e era esta diferença que esperávamos ser avaliada pelo aluno. Para tal, o aluno teria
que lembrar das unidades significativas da equação da elipse, mesmo sem ter
passado pelo ensino da cônica hipérbole. Como o objetivo da questão não é apenas
verificar se o aluno consegue efetuar a mudança de registro, mas se o faz com base
nas unidades significativas da expressão e/ou nas unidades visuais do gráfico,
supomos que o aluno 8 não desenvolveu essa aprendizagem. Acreditamos que por
se tratar de um teste o aluno não expressou qualquer raciocínio para justificar a
resposta; portanto, mesmo o sujeito fazendo a escolha correta do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 da questão
1B, não temos certeza se o aluno 8 desenvolveu a aprendizagem para a conversão
do registro gráfico para o registro algébrico.
193
Questão 2
Na questão 2A, a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno escolheu a representação gráfica do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 como representante do registro
algébrico da questão 2A e na questão 2B não escolheu nenhum item. Os raciocínios
expressados pelo aluno na questão 2B partiram da leitura que ele fez do gráfico.
Percebe-se a preocupação do sujeito em verificar as variáveis visuais centro e focos,
mas isso não o ajudou a fazer a conversão e deixou a resposta em branco.
Nossa avaliação é que o Aluno 8 não desenvolveu o processo de conversão
do registro gráfico para o registro algébrico.
Figura 25: Resposta do aluno 8 da questão 2B
Questão 3
Os itens corretos da questão 3A são os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖 e 𝑖𝑖 e os da questão 3B são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖. O sujeito escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖𝑖 para a questão 3A e deixou em branco a
questão 3B. Nossa avaliação é que o aluno 8 não desenvolveu a aprendizagem da
conversão do registro gráfico para o registro em língua materna.
Questão 4
A descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 trata de uma elipse com eixo maior em 0𝑦 e a do
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 de uma elipse com eixo maior em 0𝑥. Nas análises dos alunos 1 a 7,
deparamo-nos com dificuldades dos alunos para localizar as coordenadas de um
ponto no sistema cartesiano. No caso do aluno 8, o agravante é ainda maior, pois
aparenta não ter aprendido a representar os números inteiros no sistema cartesiano.
Esse fato nos remete a imaginar que esse sujeito não conseguedesenvolver um
raciocínio em que esteja presente o uso do sistema cartesiano e, em se tratando de
193
Geometria Analítica, provavelmente não desenvolveu nenhum conceito a respeito e,
consequentemente com nenhum outro tema em que se faça uso dele.
No 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 da questão 4B, o aluno 8 esboçou uma elipse com o centro fora da
origem e sem conexão com os dados da descrição. Nossa avaliação é que o aluno 8
não desenvolveu a aprendizagem da conversão do registro em língua materna para
o registro gráfico.
Figura 26: Resposta do aluno 8 da questão 4
Questão 5
O aluno 8 esboçou apenas o sistema cartesiano e não expressou a equação
esperada. O aluno 8 não desenvolveu a aprendizagem da conversão do registro em
língua materna para o registro gráfico.
193
Figura 27: Resposta do aluno 8 da questão 5
Análise do Aluno 9
Questão 1
Aparentemente, o aluno 9 partiu de variáveis visuais do gráfico para escolher
a expressão algébrica, o que era o esperado. Para as coordenadas das
extremidades do eixo menor da elipse, avaliou que seriam 𝐵2(- 2, 0) e 𝐵1(0, 2) na
questão 1A e chamou-nos a atenção a maneira como o sujeito parece ter efetuado a
leitura desses valores, da esquerda para direita, cometendo um erro na
representação do vértice 𝐵1(0, 2), uma vez que o correto é 𝐵1(2, 0). Mesmo com
esse erro, o aluno 9 associou corretamente o valor 2 à constante 𝑏 na equação
escolhida por ele.
Figura 28: Resposta do aluno 9 da questão 1A
Na coluna “Expresse seu raciocínio”, o aluno 9 omite o sinal da equação da
questão 1A e, na questão 1B, não igualou a equação a 1. Não sabemos dizer se
esse “esquema” adotado por ele foi proposital, por esquecimento, pressa ou
problemas de aprendizagem. Na questão 1B, efetuou a correspondência direta entre
as variáveis visuais do gráfico e as unidades significativas da equação reduzida,
193
como podemos observar na Figura 22. Nossa avaliação é que o aluno 9
desenvolveu a aprendizagem da conversão do registro gráfico para o registro
algébrico.
Figura 29: Resposta do aluno 9 da questão 1B
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno 9 escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 para a questão 2A e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 para a questão 2B. Acertou
a questão 2B, mas errou a 2A; como não expressou o raciocínio feito, nem deixou
vestígios desse raciocínio no protocolo, não podemos avaliar se o aluno 9
desenvolveu o processo de conversão do registro algébrico para o registro gráfico.
Questão 3
Os itens corretos da questão 3A são os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖 e 𝑖𝑖 e os da questão 3B são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖. Para a primeira questão, o aluno 9 efetuou a escolha correta dos itens
e para a segunda o sujeito escolheu os mesmos itens da primeira. Expressou o
mesmo raciocínio da questão 3A para avaliar a escolha dos itens da questão 3B,
fato que nos remeteu a concordar que o aluno 9 não desenvolveu a aprendizagem
da conversão do registro gráfico para o registro em língua materna, pois as
descrições das duas questões tratam de elipses com posições diferentes no sistema
cartesiano.
193
Figura 30: Resposta do aluno 9 da questão 3
O aluno 9 avaliou os valores das coordenadas dos focos e utilizou a relação
de Pitágoras. Identificou o valor das constantes 𝑎 = 3 e 𝑏 = 2, em seguida os
substituiu na relação. Os esquemas feitos pelo aluno deixaram evidência de que tem
dificuldades para resolver equações, pois quando escreve 𝑐² = 4 – 9 = 1, traz à
tona problemas com essas duas igualdades. Chamou-nos a atenção o número 1 na
segunda igualdade, achamos que talvez seja algum raciocínio feito com a equação
reduzida. Todos os esquemas feitos pelo aluno o conduziram ao resultado 𝑐² =
− √5, mas finalizou o tratamento supondo que 𝑐² = √5. Nossa avaliação é que o
aluno 9 não consegue fazer a conversão do registro gráfico para o registro em língua
materna.
Questão 4
A descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 trata de uma elipse com eixo maior em 0𝑦 e a do
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 uma elipse com eixo maior em 0𝑥. O aluno 9 efetuou duas conversões que
não estão de acordo com o previsto, ou seja, a conversão que efetuou no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎
seria para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 e vice-versa. Conforme já escrevemos anteriormente em outras
análises, esses raciocínios feitos pelo aluno trazem à tona dificuldades do sujeito
para localizar as coordenadas de um ponto no sistema cartesiano. Nossa avaliação
é que o aluno 9 não desenvolveu a aprendizagem da conversão do registro em
língua materna para o registro gráfico.
193
Figura 31: Resposta do aluno 9 das questão 4A
Questão 5
O 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 trata da descrição de uma elipse com eixo maior em 0𝑦
representada pela equação reduzida do tipo 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1 e no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 outra elipse com
eixo maior em 0𝑥, representada pela equação reduzida do tipo 𝑥²
9+
𝑦²
4= 1. O aluno 9
tentou achar o valor da constante 𝑏 com o teorema de Pitágoras mas, sem sucesso,
acabou desistindo. Sendo assim, não conseguiu chegar a nenhuma das duas
expressões algébricas solicitadas. Nossa avaliação é que o aluno 9 não
desenvolveu o processo de conversão do registro em língua materna para o registro
algébrico.
Figura 32: Resposta do aluno 9 da questão 5A
Análise dos Alunos10 e 11
Escolheram o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 da questão 1A e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 da questão 1B, não
expressaram o raciocínio e entregaram o restante do questionário em branco.
Acreditamos que se recusaram a responder as demais questões; portanto, os alunos
10 e 11 não desenvolveram a aprendizagem de nenhuma das conversões pedidas
no diagnóstico.
193
Análise do Aluno 12
Questão 1
O aluno 12 fez a escolha correta dos itens e, aparentemente, partiu da leitura
do gráfico para determinar os denominadores da expressão algébrica, como
podemos intuir no cálculo expressado no diagnóstico.
Figura 33: Resposta do aluno 12 da questão 1A
Para a questão 1B, o aluno 12 pode ter percebido que se tratava do mesmo
objeto, porém com características diferentes e utilizou o raciocínio da questão
anterior para validar sua escolha. Após a leitura do gráfico, o aluno 12 identificou o
valor das unidades significativas 𝑎² que é 9 e 𝑏² que é 4, constantes necessárias
para efetuar a conversão. Percebemos que o aluno não igualou a equação a 1, fato
esse que não sabemos se foi por “pressa” ou por algum “esquema” próprio de
resolução. De qualquer forma, avaliamos que o aluno 12 soube fazer a conversão do
registro gráfico para o registro algébrico.
Figura 34: Resposta do aluno 12 da questão 1B
Questão 2
193
O aluno 12 avaliou, para cada gráfico, a equação reduzida, o que indica que
tentou fazer a conversão do registro gráfico para o algébrico e não o contrário, como
era esperado. Na questão 2A, destacou corretamente as variáveis visuais eixo maior
e eixo menor do gráfico para determinar os denominadores da equação reduzida,
assim também como os valores das constantes 𝑎 e 𝑏, acertando as três mudanças
de registro do gráfico para o algébrico, mas errou na escolha do item, deveria
marcar o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e não o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. Quanto à questão 2B, o aluno 12 acertou as
mudanças de registro dos dois primeiros itens e errou a mudança de registro do
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐, pois associou as variáveis visuais do eixo maior e do eixo menor de forma
invertida, nos denominadores da equação reduzida.
Figura 35: Resposta do aluno 12 da questão 2A
Observamos que no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 da questão 2A o aluno 12 indicou a equação
𝑥²
𝑎2 + 𝑦²
𝑏2 = 1 que representa uma elipse com eixo maior em 0𝑥 e o gráfico é o de uma
elipse com eixo maior em 0𝑦, mas durante os tratamentos o sujeito deve ter
percebido o erro do seu raciocínio inicial e mudou o esquema finalizando com a
equação esperada 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1.
193
Figura 36: Resposta do aluno 12 da questão 2B
O aluno 12 avaliou corretamente os gráficos dos 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏, mas errou a
mudança de registro do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. Observamos que utilizou o mesmo raciocínio do
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 da questão 2A, partiu da equação 𝑥²
𝑎2 + 𝑦²
𝑏2 = 1 e finalizou com a equação
𝑥²
9+
𝑦²
4= 1. Mesmo a equação não estando de acordo com a dada no diagnóstico,
escolheu o item correto, justificando que “𝑐 é a resposta correta, pois a soma dos
números do gráfico 𝑐 foi o único que bateu”. Acreditamos que o sujeito fez alguma
confusão na hora de dar a resposta da questão 2A, pois na coluna “Expresse seu
raciocínio” determinou corretamente as equações de todos os gráficos, mas
escolheu o item 𝑐 invés do 𝑎 e ainda justificou escrevendo que “a resposta correta
somente é a 𝑐, pois os fatores se igualarão com a resposta dada ao problema”.
Avaliamos que o aluno 12 sabe fazer a conversão do registro algébrico para o
registro gráfico.
Questão 3
O aluno 12 preocupou-se em verificar se as coordenadas dos focos são
corretas; para tanto, identificou as demais unidades significativas presentes nas
descrições e utilizou a relação de Pitágoras 𝐴² = 𝑏² − 𝑐², expressando 3² = 2² −
𝑐² depois 9 = 4 – 𝑐² finalizando que 𝑐² = √5, o que, apesar da notação errada,
corresponde às coordenadas dadas. Justificou suas escolhas escrevendo que “a
resposta é a 𝑖 e 𝑖𝑖, pois o eixo menor dos lados é 4 e o maior reto é 6 e os focos
193
ficam no eixo y”. Chamou-nos atenção o termo “reto” utilizado pelo sujeito para se
referir ao eixo 0y.
Figura 37: Resposta do aluno 12 da questão 3A
Quanto à questão 3B, o aluno 12 desenvolveu o mesmo raciocínio da questão
anterior para as escolhas dos itens e para justificá-las escreveu que 𝐴² = 𝑏² − 𝑐² =
1, expressando 3² = 2² − 𝑐² = 1 depois 9 = 4 – 𝑐² = 1 e 𝑐² = 4 – 9 = 1
finalizando 𝑐² = √5. Não sabemos quais esquemas o levaram a igualar tudo a 1.
Mesmo com os erros na resolução algébrica o aluno 12 efetuou a escolha correta
dos itens justificando que a “resposta correta é 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖, pois esta elipse dos lados a
soma é 6 e o reto a soma é 4 e os focos ficam no eixo x”. Quando escreve “dos
lados”, está se referindo ao eixo 0𝑥 e “a soma é 6”, está usando a ideia de simetria.
Nossa avaliação é que o aluno 12 desenvolveu a aprendizagem da conversão do
registro gráfico para o registro em língua materna.
Figura 38: Resposta do aluno 12 da questão 3B
193
Questão 4
O 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 da questão 4A descreve em língua materna uma elipse com eixo
maior em 0𝑦. O aluno 12 efetuou corretamente a conversão e para esboçar a
representação gráfica desenvolveu o raciocínio utilizando as unidades significativas
e as variáveis visuais dadas na descrição, associando-as no sistema cartesiano. Em
seguida, expressou seu raciocínio escrevendo que “o 𝐴1 e 𝐴2 ficam no eixo 𝑦 sendo
a soma do eixo maior de comprimento 6 e 𝑏1 e 𝑏2 o eixo menor sendo a soma do
comprimento 4 no eixo y”.
Figura 39: Resposta do aluno 12 da questão 4A
O 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 da questão 4B descreve em língua materna uma elipse com eixo
maior em 0𝑥. O sujeito efetuou corretamente a conversão, acreditamos que o aluno
utilizou o mesmo raciocínio do item anterior para esboçar o gráfico e ainda
expressou o raciocínio feito da representação gráfica escrevendo que “o 𝑏1e 𝑏2 ficam
no eixo y sendo a soma do eixo menor igual a 4 e 𝐴1 e 𝐴2 sendo a soma do eixo
maior igual a 6”. Nossa avaliação é que o aluno 12 sabe fazer a conversão do
registro em língua materna para o registro gráfico.
193
Figura 40: Resposta do aluno 12 da questão 4B
Questão 5
O aluno 12, ao efetuar a leitura da descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, identificou o valor das
constantes 𝑎 e 𝑐 e percebeu que se tratava da equação reduzida do tipo 𝑥²
3²+
𝑦²
?= 1.
Para finalizar o raciocínio, precisaria do valor da constante 𝑏 e conforme expressou
no diagnóstico lançou mão do teorema de Pitágoras para achar o valor da constante
𝑏. Expressou 3² = 𝑏² + √5seguido de 𝑏² = (√5 ²) – 3² concluindo que 𝑏² = 5 – 9
e finalizando com𝑏² = −4, que não percebeu ser impossível em 𝐼𝑅; talvez por ter
chegado a um valor negativo para 𝑏2 e saber que os denominadores são quantias
positivas na expressão algébrica, considerou que o valor da constante 𝑏 era 4 e não
2. Assim, quando substituiu na equação reduzida o valor 4, ainda o elevou ao
quadrado e a equação fica do tipo 𝑥²
3²+
𝑦²
4²= 1, ou seja,
𝑥²
9+
𝑦²
16= 1 e não
𝑥²
4+
𝑦²
9= 1.
Figura 41: Resposta do aluno 12 da questão 5A
193
Consideramos que um fator que contribuiu para o sujeito errar durante a
mudança de registro do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 foi a dificuldade com a relação de Pitágoras. Outro
fato que pode ter contribuído também para o erro foi não ter compreendido que se
os focos e o eixo maior estão ambos com coordenadas no eixo 0𝑦, a constante 𝑎²
está abaixo da variável 𝑦². Se não percebeu isso é porque talvez não compreendeu,
quando passou pelo ensino, que os focos sempre se localizam no eixo maior da
elipse.
O aluno 12 utilizou o esquema de representar no sistema cartesiano as
características dadas na descrição. Achamos importante destacar esse fato, porque
dos sujeitos que já analisamos foi o único que desenvolveu tal esquema, o que pode
ter facilitado para o sujeito efetuar a conexão dos eixos com a equação reduzida.
No 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏, o aluno 12 efetuou corretamente a conversão, visto que não
seriam necessários cálculos para validar qualquer valor. Conforme expressou, a
equação esperada era 𝑥²
9+
𝑦²
4= 1. Para justificar o raciocínio, escreveu que “o
problema dado foi para encontrar o 𝐴 que era o eixo maior localizado no eixo 𝑥”.
Avaliamos que o aluno 12 sabe fazer a conversão do registro em língua materna
para o registro algébrico.
Figura 42: Resposta do aluno 12 da questão 5B
Análise do Aluno 13
Questão 1
Na questão 1A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e b. O aluno 13 escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum
193
raciocínio; portanto, mesmo o sujeito fazendo a escolha correta dos itens, não temos
evidências para afirmar se o aluno 13 desenvolveu, ou não, a aprendizagem do
processo de conversão do registro gráfico para o registro algébrico.
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno 13 escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum raciocínio;
sendo assim, não podemos afirmar que o aluno 13 aprendeu o processo de
conversão do registro algébrico para o registro gráfico.
Questão 3
O aluno 13 escolheu corretamente os itens das questões 3A e 3B, mas não
expressou o raciocínio feito; sendo assim, não podemos avaliar se o aluno 13
desenvolveu aprendizagem para a conversão do registro gráfico para o registro em
língua materna.
Questão 4
O 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 da questão 4A descreve em língua materna o registro de uma elipse
com eixo maior em 0𝑦 e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 uma elipse com eixo maior em 0𝑥. O aluno
13esboçou de forma inversa os gráficos, ou seja, no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 esboçou uma elipse com
eixo maior no eixo 0𝑥 e no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 esboçou outra elipse com eixo maior em 0𝑦,
embora tenha acertado os valores de 𝑎 e de 𝑏, em ambos os casos. Como o sujeito
não expressou o raciocínio feito na coluna “expresse seu raciocínio”, não sabemos
se o aluno 13 consegue fazer a conversão entre o registro em língua materna e o
registro gráfico (com uma inversão entre os eixos) ou se tem algum outro esquema
para decidir.
193
Figura 43: Resposta do aluno 13 da questão 4
Questão 5
O aluno 13 evidencia novamente trocar os eixos 0𝑥 e 0𝑦, embora consiga
calcular os valores de 𝑎 e de 𝑏 corretamente. Como não expressou o raciocínio, não
temos como afirmar que o aluno 13 sabe fazer a conversão do registro em língua
materna para o registro algébrico.
Também neste aluno 13 observamos alguns erros relacionados ao tratamento
algébrico de equações, quando substitui o valor de 𝑐 em 9 = 𝐵² + (√5 ²) e chega a
– 𝐵² = 9 + 5 = 1, com os sinais errados. Como observado no aluno 12, este
também coloca = 1, o que matematicamente não faz sentido. Apesar dos cáculos
não justificarem a resposta 𝐵 = 2² o sujeito concluiu que 𝐵 = 4, mas usou 4 no
denominador da expressão algébrica. Como aparentemente troca 𝑥 por 𝑦, concluiu
que a expressão é do tipo 𝑥²
9+
𝑦²
4 = 1 e não a correta
𝑥²
4+
𝑦²
9= 1
193
Figura 44: Resposta do aluno 13 da questão 5A
Quanto ao 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏, o sujeito deu a resposta correta, mas não concordamos
que o aluno 13 tenha desenvolvido a aprendizagem do processo de conversão do
registro em língua materna para o registro gráfico, uma vez que nos 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏 as
descrições são diferentes e o aluno 13 chegou à mesma equação para os dois.
Figura 45: Resposta do aluno 13 da questão 5B
Análise do Aluno 14
Questão 1
Na questão 1A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno 14 escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum
raciocínio; portanto, mesmo o sujeito fazendo a escolha correta dos itens, não temos
evidências para afirmar se o aluno 14 desenvolveu, ou não, a aprendizagem para o
processo de conversão do registro gráfico para o registro algébrico.
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno 14 escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 para a questão 2A e para a questão 2B escolheu o
193
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐; portanto, errou a questão 2A e acertou a questão 2B. Como não expressou
qualquer raciocínio, não podemos afirmar que o aluno 14 sabe fazer a conversão
entre o registro gráfico e o registro algébrico.
Questão 3
Na questão 3A os itens corretos são os 𝑖 e 𝑖𝑖 e na questão 3B são os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖𝑖
e 𝑖𝑖𝑖. O aluno 14 escolheu os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖 e 𝑖𝑖 nos dois casos; portanto, acertou a escolha
dos itens da questão 3A, mas errou na escolha de um dos itens da questão 3B.
Como não expressou no teste o raciocínio feito para suas escolhas, não podemos
afirmar que o aluno 14 sabe fazer a conversão entre o registro gráfico e o registro
em língua materna.
Questão 4
O 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 do diagnóstico 4A descreve em língua materna uma elipse com eixo
maior em 0𝑦 e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 descreve outra elipse com eixo maior em 0𝑥. Tanto no
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 quanto no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 o aluno 14 esboçou uma elipse com eixo maior no eixo 0𝑥.
Como não expressou o raciocínio, não podemos afirmar que desenvolveu a
aprendizagem do processo de conversão do registro em língua materna para o
registro gráfico. Uma possível explicação é que este aluno sempre coloca o eixo
maior sobre 0𝑥. Nossa avaliação é que o aluno 14 não desenvolveu a aprendizagem
da conversão do registro em língua materna para o registro gráfico.
Figura 46: Respostas do aluno 14 da questão 4
193
Questão 5
O aluno 14 fez a relação das unidades significativas da descrição com a
equação reduzida do tipo 𝑥²
𝑎²+
𝑦²
𝑏²= 1 e identificou o valor das constantes 𝑎 e 𝑐.
Percebeu a ausência da constante 𝑏 na descrição dada e usou o teorema de
Pitágoras para achar o valor de 𝑏. Mesmo efetuando corretamente os cálculos para
achar este valor (𝑏 = 2), o sujeito não percebeu que se tratava de uma elipse com
eixo maior sobre 0𝑦, fato que reforça nossa observação de que o aluno 14 sempre
coloca o eixo maior sobre 0𝑥, o que mostra que o aluno 14 não aprendeu o processo
de conversão do registro em língua materna para o registro algébrico.
Figura 47: Resposta do aluno 14 da questão 5A
Diferentemente dos outros alunos, o aluno 14 inverteu corretamente os sinais
das constantes na relação do teorema de Pitágoras, quando as mudou de um lado
da igualdade para o outro, ou seja, partindo do tratamento 9 = 𝑏² + 5 seguiu para
– 𝑏² = 5 – 9 depois – 𝑏² = − 4 (−1) finalizando com 𝑏 = 2. Dessa forma, justificou
o resultado final do tratamento e achamos importante destacar esse fato, porque nas
análises dos alunos 1 a 13 os sujeitos erraram ou não conseguiram justificar nos
cálculos alguns raciocínios feitos na resolução da relação de Pitágoras. Temos aí
uma questão para pesquisas futuras, sobre a aprendizagem de um assunto muito
importante, as equações, sejam elas ligadas a um teorema ou não.
Quanto ao 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 o aluno 14 acertou a mudança de registro repetindo a
mesma equação do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎. Consideramos que esse aluno não desenvolveu
193
aprendizagem para este tipo de conversão, pois as descrições até tratam do mesmo
objeto, mas as características das descrições são diferente o que resulta duas
equações também diferentes, fato que o aluno 14 não percebeu. Assim, o aluno 14
não desenvolveu a aprendizagem da conversão do registro em língua materna para
o registro gráfico.
Figura 48: Resposta do aluno 14 da questão 5B
Análise do Aluno 15
Questão 1
Na questão 1A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno 15 escolheu corretamente os itens e expressou o raciocínio feito
apenas para avaliar o item correto. O esquema que o sujeito utilizou para avaliar a
equação reduzida foi partindo do gráfico para a equação reduzida, ou seja,
identificou as variáveis visuais do gráfico e as associou com as unidades
significativas da equação; portanto, mesmo o sujeito fazendo a escolha correta dos
itens e avaliando o item correto, por não sabermos quais foram os esquemas
cognitivos desenvolvidos pelo sujeito para justificar a eliminação dos outros itens,
não temos evidências para afirmar se o aluno 15 desenvolveu, ou não, a
aprendizagem para a conversão do registro gráfico para o registro algébrico.
193
Figura 49: Resposta do aluno 15 da questão 1
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐.
Na 2A, o aluno 15 escolheu corretamente os itens e expressou o raciocínio feito para
justificar as escolhas feitas. Observamos que partiu da avaliação das variáveis
visuais do gráfico para em seguida efetuar a correspondência com as unidades
significativas da equação reduzida, identificou o valor das constantes 𝑎 e 𝑏 e as
substituiu na equação, finalizando com 𝑥²
9+
𝑦²
4= 1. Avaliamos que o aluno 15 soube
fazer a conversão do registro gráfico para o registro algébrico, neste caso.
193
Figura 50: Resposta do aluno 15 da questão 2
O aluno 15 efetuou corretamente a avaliação do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 da questão 2A, mas
na avaliação do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 da questão 2B percebemos que manteve a elipse com eixo
maior sobre 0𝑥e seguiu uma ordem para atribuir o valor as constantes 𝑎 e 𝑏, ou seja,
para ele o valor de 𝑎 = 2 e o de 𝑏 = 3; e não a correta, 𝑎 = 3 e 𝑏 = 2. Esse
esquema funcionou para estes exemplos e o conduziu a achar a resposta correta da
equação 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1, mas para outras situações esse esquema pode não funcionar e
ainda pode remeter o sujeito a fazer possíveis confusões cognitivas quando a elipse
estiver representada em um registro algébrico ou em língua materna. Nossa
avaliação é que esse aluno possui falhas na aprendizagem para associar os eixos
da elipse aos denominadores da equação reduzida. Assim, o aluno 15 não aprendeu
o processo de conversão do registro algébrico para o registro gráfico.
Questão 3
193
O sujeito deixou em branco a questão; portanto, o aluno 15 não desenvolveu
a aprendizagem da conversão do registro gráfico para o registro em língua materna.
Questão 4
O aluno 15 efetuou corretamente os gráficos, uma elipse com eixo maior em
0𝑦 e a outra com eixo maior em 0𝑥. Mesmo não havendo expressado o raciocínio
feito de como extraiu os comprimentos dos eixos maior e menor do registro em
língua materna, não descartamos a possibilidade de que o aluno tenha desenvolvido
a aprendizagem para a conversão para o registro gráfico. As evidências são de que
localizou primeiro as coordenadas de 𝐴1 e 𝐴2 no sistema cartesiano, no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, para
em seguida mobilizar e localizar as outras informações da descrição “comprimento
do eixo menor igual a 4”. Analogamente, no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏, localizou primeiro as
coordenadas de 𝐵1 e 𝐵2 no sistema cartesiano, para em seguida mobilizar e localizar
as outras informações da descrição “comprimento do eixo maior igual a 6”.
Figura 51: Resposta do aluno 15 da questão 4
Achamos importante chamar a atenção para o raciocínio feito pelo aluno 15
para identificar, nos registros em língua materna, os pares ordenados explícitos, pois
isso reforça nossos argumentos nas análises dos outros alunos que erraram no
193
esboço desses gráficos. Nossa avaliação é que o aluno 15 soube fazer a conversão
do registro em língua materna para o registro gráfico.
Questão 5
As equações esperadas seriam 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1 para a descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e
𝑥²
9+
𝑦²
4= 1 para a descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏. O aluno 15 talvez não leu com atenção os
enunciados da questão, ou não desenvolveu aprendizagem para efetuar a
conversão do registro em língua materna para o registro algébrico, pois esboçou os
registros gráficos invés dos algébricos. Como soube fazer a conversão do registro
em língua materna para o registro gráfico, na questão 4, podemos apenas reforçar
que o aluno 15 sabe fazer a conversão do registro em língua materna para o registro
gráfico.
Figura 52: Resposta do aluno 15 da questão 5
Análise do Aluno 16
Questão 1A
Na questão 1A, a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno 16 escolheu corretamente os itens e expressou o raciocínio feito
para justificar as escolhas feitas. Aparentemente, efetuou a leitura do gráfico,
identificando que as variáveis visuais 𝐵1 e 𝐵2 estão no eixo 0𝑥 e que 𝐴1, 𝐹1, 𝐹2, 𝐴2
estão no eixo 0𝑦. Observamos que desenvolveu algum raciocínio para eliminar o
193
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏, porque marcou um 𝑥 nesse item, como se o estivesse eliminando, o que nos
remete a pensar que talvez tenha feito a análise das expressões e não do gráfico.
Escreveu que a equação reduzida seria do tipo 𝑥²
𝐴²+
𝑦²
𝑏²= 1 e seguiu algum esquema
para atribuir o valor às constantes 𝑎 e 𝑏, pois escreveu 22 + 32, que não faz sentido
matemático no caso, e fez uma seta apontando para os denominadores da
expressão que elaborou. Temos evidências que o aluno 16 soube fazer uma
conversão, mas não sabemos se do registro gráfico para o registro algébrico ou do
registro algébrico para o registro gráfico.
Figura 53: Resposta do aluno 16 da questão 1A
Questão 1B
Para validar a escolha dos itens corretos da questão 1B, esperávamos que o
aluno 16 identificasse as variáveis visuais e as unidades significativas do gráfico e
as associasse com as unidades significativas da equação reduzida. A equação
reduzida é do tipo 𝑥²
𝑎² +
𝑦²
𝑏² = 1 e o aluno 16 achou que os focos seriam representantes
dos denominadores da equação reduzida expressando que a equação seria do tipo
𝑥²
𝐹1 +
𝑦²
𝐹2 = 1 e ainda colocou o sinal de mais entre os focos. Fato que nos remeteu a
avaliar que além do aluno não ter desenvolvido o conceito das propriedades da
elipse, quais sejam, eixo maior representado por 𝑎², eixo menor representado por 𝑏²
e os focos representados por 𝐹1 e 𝐹 2 e que se localizam sempre no eixo maior da
elipse e as suas respectivas posições na equação reduzida; ainda não desenvolveu
o conceito de simetria, pois se tivesse desenvolvido o raciocínio simétrico,
193
perceberia que se o centro da elipse está na origem logo os valores em escala no
sistema cartesiano de 𝐹1 e 𝐹 2 seriam iguais. Raciocínio que não foi feito pelo aluno
16, pois expressou que 𝐹1= 3² e 𝐹2= 2². Avaliamos que o aluno 16 não sabe fazer a
conversão do registro gráfico para o registro algébrico
Figura 54: Resposta do aluno 16 da questão 1B
Questão 2
O aluno 16 fez a escolha correta dos gráficos nos dois itens e utilizou o
mesmo esquema esboçado por ele na questão 1, aparentemente do registro gráfico
para o algébrico, porque colocou no protocolo possíveis equações para cada um dos
gráficos; no entanto, observamos que avaliou corretamente as variáveis visuais do
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 da questão 2A e do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 da questão 2B, mas as errou nos 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑏 e 𝑐 da
questão 2A e nos 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏 da questão 2B. Se conseguiu extrair corretamente as
variáveis visuais do gráfico nos 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑐 das questões 2A e 2B, respectivamente,
por que não conseguiu nos demais, uma vez que o raciocínio desenvolvido por ele
seria o mesmo? Nossa avaliação é que o aluno 16 tem falhas na aprendizagem da
conversão do registro gráfico para o algébrico e que o aluno 16 não consegue fazer
a conversão do registro algébrico para o registro gráfico.
193
Figura 55: Resposta do aluno 16 da questão 2A
Vale a pena ressaltar o raciocínio feito por ele no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 da questão 2A, pois
calculou o valor das constantes 𝑎 e 𝑏 como 7 e 4, quando os valores corretos
são𝑎 = 4 e 𝑏 = 2; aparentemente, o aluno 16 conta o número de pontos de
coordenadas inteiras que estão sobre os eixos do sistema cartesiano, o que
evidencia possíveis dificuldades com a diferença entre segmento, coordenada e
distância no sistema cartesiano. O aluno 16 comete erro no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐, expressando que
𝑏 = 2 e 𝑎 = 4, quando o correto é 2 e 3, mas aparentemente não mais contando o
número de pontos de coordenadas inteiras que estão sobre os eixos do sistema
cartesiano.
193
Figura 56: Resposta do aluno 16 da questão 2B
O aluno 16 mostra esquemas similares na questão 2B. No gráfico do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏
escreveu que 𝑎 = 7 e 𝑏 = 4 e os valores corretos são 𝑎 = 5 e 𝑏 = 3, Quanto ao
gráfico do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏, esperava-se uma equação do tipo 𝑥²
16 +
𝑦²
4 = 1 e não a expressada
pelo aluno 𝑥²
25 +
𝑦²
4 = 1, mostrando novamente problemas na determinação da medida
de segmentos que estão sobre os eixos coordenados. Avaliamos que o aluno 16 não
sabe fazer a conversão do registro algébrico para o registro gráfico.
Questão 3
A resposta esperada seriam os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖 e 𝑖𝑖 na questão 3A e os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖na
questão 3B. O aluno 16 escolheu corretamente os itens das questões 3A e 3B e
avaliou o valor da constante 𝑐com o teorema de Pitágoras. Fica evidente que tem
dificuldade com a resolução de uma equação e isso fica claro quando o sujeito parte
da expressão 3² = 2² − ?, chega a 9 − 4 = 𝑐 = 5 e escreve que 𝑐 = √5. A
confusão continua na questão 3B quando expressa 3 = 2 – 𝑐² e 𝑐² = − 3 – 2
finalizando com 𝑐² = √5. Consideramos que o sujeito acertou as escolhas dos itens,
mas não podemos avaliar se acertou a conversão, pois os raciocínios feitos mostram
evidências de problemas com a resolução de equações, conceito importante nas
193
conversões dos diferentes registros da cônica elipse. Assim, o aluno 16 não sabe
fazer a conversão do registro gráfico para o registro da língua materna.
Figura 57: Resposta do aluno 16 da questão 3
Questão 4
O aluno 16 acertou as respostas dos dois itens e destacou algumas variáveis
visuais do registro gráfico como o centro e o valor das extremidades do eixo maior.
Concordamos que o aluno 16 desenvolveu a aprendizagem para a conversão do
registro em língua materna para o registro gráfico, pois além de esboçar o gráfico
ainda expressou o raciocínio apontando, na representação gráfica, as variáveis
visuais.
193
Figura 58: Resposta do aluno 16 da questão 4
Questão 5
Esperávamos as equações 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1 para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e
𝑥²
9+
𝑦²
4= 1 para o
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏. O aluno 16 apontou as equações 𝑥²
𝐴3²+
𝑦²
𝑏−3= 1 para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e
𝑥²
0+
𝑦²
− 2²= 1
para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏. Para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, o aluno 16 escreve os denominadores 𝑎 𝐴3² e 𝑏 − 3,
aparentemente para representar que 𝑎=32 e que 𝑏=-3, sem explicar como chegou a
esses valores, o que reforça as observações que fizemos nas questões anteriores
sobre a confusão que parece fazer entre segmento, coordenada e medida de
segmento. Sem sucesso na conversão do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 não conseguiu responder o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏.
Assim, o aluno 16 não sabe fazer a conversão do registro em língua materna para o
registro algébrico.
193
Figura 59: Resposta do aluno 16 da questão 5
Análise do Aluno 17
Questão 1
Na questão 1A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum
raciocínio para justificar suas escolhas; portanto, mesmo fazendo a escolha correta
dos itens, não temos evidências para afirmar se o aluno 17 desenvolveu, ou não, a
aprendizagem para a conversão do registro gráfico para o registro algébrico.
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 na questão 2A e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 para a questão 2B e não
expressou nenhum raciocínio feito para justificar suas escolhas. Assim, o aluno 17
não desenvolveu a aprendizagem para a conversão do registro algébrico para o
registro gráfico.
Questão 3
Na questão 3A os itens corretos são 𝑖 e 𝑖𝑖 e na questão 3B são os itens 𝑖𝑖 e
𝑖𝑖𝑖. O aluno 17 escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖 na questão 3A e deixou em branco a questão 3B.
Assim, fica evidente que o aluno 17 não desenvolveu a aprendizagem para a
conversão do registro gráfico para o registro da língua materna e como não
193
expressou o raciocínio não conseguimos diagnosticar possíveis dificuldades de
aprendizagem para este tipo de conversão.
Questão 4
A descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 representa uma elipse com eixo maior em 0𝑦 e a
descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 representa uma elipse com eixo maior em 0𝑥. O aluno 17
esboçou corretamente o gráfico do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, mas errou o gráfico do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏, que
deveria ser uma elipse com eixo maior em 0𝑥 e não uma circunferência de raio 3,
conforme esboçou. Sendo assim, acreditamos que o aluno 17 não desenvolveu a
aprendizagem da conversão do registro em língua materna para o registro gráfico.
Também questionamos: uma vez que se esboçou o primeiro gráfico, por que não
conseguiu esboçar o segundo, se as questões são semelhantes?
Figura 60: Resposta do aluno 17 da questão 4
Questão 5
As equações esperadas são 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1para a descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e a
𝑥²
9+
𝑦²
4= 1 para a descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏. O aluno apontaas equações do tipo
𝑥²
𝑎²+
𝒙²
𝑏²=
1 e 𝑥²
𝑏²+
𝑦²
𝑎²= 1, mas não calcula os valores de 𝑎 nem de 𝑏, em qualquer dos casos.
Assim, o aluno 17 não desenvolveu a aprendizagem para o processo de conversão
do registro em língua materna para o registro algébrico. Os possíveis problemas do
aluno 17 estão relacionados com a interpretação das informações em língua
materna e nossa avaliação é que o aluno 17 não aprendeu propriedades da cônica
elipse, o que interferiu nas tentativas de mudanças de registros expressadas por ele.
193
Figura 61: Resposta do aluno 17 da questão 5
Avaliação do Aluno 18
Questão 1
Na questão 1A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum
raciocínio para justificar suas escolhas; portanto, mesmo o sujeito fazendo a escolha
correta dos itens, não temos evidências para afirmar se o aluno 18 desenvolveu, ou
não, a aprendizagem para a conversão do registro gráfico para o registro algébrico.
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno 18 escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum raciocínio
para justificar as escolhas feitas. Nossa avaliação é que o aluno 18 não “aprendeu” o
processo de conversão do registro algébrico para o registro gráfico.
Questão 3
Na questão 3A os itens corretos são 𝑖 e 𝑖𝑖 e na questão 3B são os itens 𝑖𝑖 e
𝑖𝑖𝑖. O aluno 18 escolheu apenas o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖 na questão 3A e apenas o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖 na
questão 3B e não expressou o raciocínio feito para justificar as escolhas. O 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖
da questão 3A é satisfeito pelo gráfico dado, mas não o descreve completamente e
o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖 da questão 3A é verdadeiro e descreve o gráfico, ma não foi apontado por
ele; portanto, não podemos afirmar que o aluno 18 acertou a questão 3A.
193
Analogamente, na questão 3B, o aluno 18 deixou de apontar o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖𝑖, que
descreve o gráfico. Assim, não podemos dizer que o aluno 18 acertou a questão 3B.
Supomos que a presença das coordenadas dos focos nas duas descrições possa ter
interferido nas escolhas do aluno 18, pois observamos alguns rabiscos no protocolo
que parecem indicar dúvida. Nossa avaliação é que o aluno 18 não desenvolveu a
aprendizagem para efetuar a conversão do registro gráfico para o registro da língua
materna.
Figura 62: Resposta do aluno 18 da questão 3
Questão 4
Os gráficos esperados são uma elipse com eixo maior em 0𝑦 (no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎) e
uma com eixo maior em 0𝑥 (no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏). O aluno 18 esboçou duas elipses com as
mesmas características, ambas com o eixo maior em 0𝑥. Considerando que, em
ambos os casos, as conversões são semelhantes, esperávamos que se um sujeito
esboçasse o primeiro gráfico esboçaria também o segundo, o que não aconteceu
com o aluno 18. Assim, nossa avaliação é que o aluno 18 não desenvolveu a
aprendizagem para efetuar a conversão do registro em língua materna para o
registro gráfico.
Ocorre-nos também que o aluno 18, por alguma razão, didática, cognitiva ou
pedagógica, não aprendeu a trabalhar com o gráfico de elipses cujo eixo maior não
está sobre o eixo 0𝑥. Outro possível problema de aprendizagem pode estar ligado à
dificuldade do aluno 18 de localizar as coordenadas de um ponto no sistema
cartesiano.
193
Figura 63: Resposta do aluno 18 da questão 4
Questão 5
As equações esperadas são 𝑥²
4+
𝒚²
9= 1 e
𝑥²
9+
𝑦²
4= 1 e não a expressada pelo
aluno 𝑥²
9+
𝑦²
4= 1 para os dois itens. Observamos que o aluno 18 percebeu a
ausência da constante 𝑏 no registro em língua materna e utilizou o teorema de
Pitágoras para determiná-la. Resolveu corretamente a relação 3² = 𝑏² + (√5)²,
identificou os valores das constantes 𝑎 e 𝑏, mas não conseguiu relacionar a posição
dos eixos maior e menor nos denominadores da equação reduzida, o que reforça
nossas observações sobre os focos na questão 4. Talvez essa falha na
aprendizagem tenha feito o aluno 18 errar a expressão do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎. Nossa avaliação é
que o aluno 18 não desenvolveu a aprendizagem para efetuar a conversão do
registro em língua materna para o registro algébrico.
193
Figura 64: Resposta do aluno 18 da questão 5
Análise do Aluno 19
Questão 1
Na questão 1A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno 19 escolheu corretamente os itens e justificou em língua
materna a eliminação dos outros itens. Chamou-nos a atenção a justificativa em
língua materna, pois nas análises dos alunos 1 a 18 nenhum aluno fez isso.
Para avaliar o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 da questão 1A, o aluno 19 escreveu “Porque o 𝑥 é
menor que o 𝑦, tem o sinal de + e é igual a 1”. Acreditamos que ele observou de
uma forma própria, as unidades significativas importantes para o registro algébrico,
que traduzimos pelas seguintes propriedades:
“Porque o 𝑥 é menor que o𝑦”: pode ter observado os tamanhos dos eixos
menor e maior na representação gráfica.
“tem o sinal de + e é igual a 1”: pode saber que a forma algébrica reduzida da
elipse tem o sinal + entre as parcelas do primeiro membro e o segundo
membro é 1.
Que o fizeram escolher diretamente a resposta correta ou eliminar os itens
que não satisfazem essas “propriedades”.
193
Figura 65: Resposta do aluno 19 da questão 1B
Quanto à escolha dos 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠𝑎e𝑏 da questão 1B, o sujeito justificou
escrevendo: “Porque o 𝑥é maior que o 𝑦, e a soma de 𝑥e 𝑦 é igual a 1 e ambos
estão ao quadrado”. Assim, como no item anterior, o aluno 19 fez uso das
“propriedades”
“porque o 𝑥 é maior que 0𝑦”: pode ter observado os tamanhos dos eixos
maior e menor na representação gráfica da questão 1B e assim justificou a
escolha da equação reduzida 𝑥²
9+
𝑦
4= 1 dos 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏.
“a soma de 𝑥 e 𝑦 é igual a 1”: pode saber que a forma algébrica reduzida da
elipse tem o sinal + entre as parcelas do primeiro membro e o segundo
membro é 1.
“ambos estão ao quadrado”: pode saber que os expoentes de x e de y têm
que ser 2.
Essas “propriedades” o fizeram escolher diretamente a resposta correta ou
eliminar os itens que não as satisfazem, como é o caso do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑑 𝑥²
4+
𝑦
9= 1.
De acordo com essas explicações em língua materna, não sabemos se o
aluno 19 fez a conversão do registro gráfico para o algébrico ou vice-versa. Só
podemos afirmar que o aluno 19 sabe fazer uma das conversões, do registro
algébrico para o gráfico ou do registro gráfico para o registro algébrico.
Questão 2
193
A equação dada na questão 2A representa o gráfico do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e o aluno 19
escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 e não expressou o raciocínio feito. Na questão 2B, a equação
dada representação gráfico do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e o aluno 19 fez a escolha correta, que
justificou em língua materna: “Porque o x é menor que o 𝑦”. Como nos 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏,
na linguagem do aluno 19, “o 𝑥 é maior que o 𝑦”, acreditamos que o aluno 19 fez a
leitura das unidades significativas do registro algébrico para decidir que a resposta
correta da questão 2B é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. Voltando à resposta dada por ele para a questão
2A, observamos que o erro está apenas no tamanho do eixo maior e não na posição
da elipse, porque a propriedade “o 𝑥 é maior que o 𝑦” vale nos 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑏 e 𝑐, o que
indica que talvez se enganou na hora de marcar o item correto da questão 2A.
Nossa avaliação é que o aluno 19 sabe fazer a conversão do registro algébrico para
o registro gráfico.
Questão 3
Na questão 3A os itens corretos são 𝑖 e 𝑖𝑖 e na questão 3B são os itens 𝑖𝑖 e
𝑖𝑖𝑖. O aluno 19 escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖 nas duas questõese expressou o raciocínio em
língua materna: “Porque tem 𝐹1 e 𝐹2 positivo e negativo”. A avaliação feita em língua
materna pelo aluno 19 mostra que não desenvolveu aprendizagem quando os focos
estão envolvidos e não sabe aplicar, neste caso, as mesmas “propriedades” que
destacou nas questões 1 e 2. Por outro lado, embora não tenha sabido responder
corretamente a questão 3, também criou uma “propriedade” para os focos:
acreditamos que quando escreve “Porque tem 𝐹1 e 𝐹2 positivo e negativo” quer dizer
que os focos são simétricos em relação à origem do sistema de coordenadas. De
qualquer forma, o aluno 19 não desenvolveu a aprendizagem do processo de
conversão do registro gráfico para o registro em língua materna.
Questão 4
A descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 é de uma elipse com eixo maior em 0𝑦 e a do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 de
uma elipse com eixo maior em 0𝑥. Para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 o aluno 19 esboçou uma elipse
com eixo maior de comprimento 8 no eixo 0𝑥 e no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 uma elipse com eixo
menor de comprimento 4 no eixo 0𝑥. As evidências apontam que não conseguiu
interpretar a descrição em língua materna e associar as informações dadas às
variáveis visuais do gráfico; por exemplo, na descrição “comprimento do eixo menor
193
igual a 4”, talvez tenha pensado que o eixo maior é o dobro do menor ou confundido
eixo maior com menor e que o 4 seria a metade do valor do eixo maior, com 4 de um
lado e 4 do outro. Para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏, o aluno 19 expressou corretamente o gráfico.
Avaliamos que o aluno 19 não sabe fazer a conversão do registro em língua materna
para o registro gráfico.
Questão 5
O aluno 19 deixou a questão em branco. Assim, julgamos que o aluno 19 não
sabe fazer a conversão do registro em língua materna para o registro algébrico.
Avaliação do Aluno 20
O aluno escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 como resposta da questão 1A, o que está correto,
mas não expressou o raciocínio e deixou todas as outras questões em branco.
Sendo assim, acreditamos que o aluno 20 não desenvolveu aprendizagem para
qualquer das conversões propostas neste diagnóstico.
Avaliação do Aluno 21
Questão 1
Na questão 1A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum
raciocínio para justificar suas escolhas; portanto, mesmo o sujeito fazendo a escolha
correta dos itens, não temos evidências para afirmar se o aluno 21 desenvolveu, ou
não, a aprendizagem da conversão do registro gráfico para o registro algébrico.
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 para ambas e não expressou o raciocínio feito para justificar
as escolhas; sendo assim, acreditamos que o aluno 21 não desenvolveu a
aprendizagem para o processo de conversão do registro algébrico para o registro
gráfico.
Questão 3
Na questão 3A os itens corretos são 𝑖 e 𝑖𝑖 e na questão 3B são os itens 𝑖𝑖 e
𝑖𝑖𝑖. O aluno escolheu os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖 para a questão 2A e os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖 para a
193
questão 2B e não expressou o raciocínio para justificar suas escolhas. Apesar de ter
acertado os itens da questão 2B, avaliamos que o aluno 21 não sabe fazer a
conversão do registro gráfico para o registro em língua materna.
Questão 4
O aluno 21 esboçou corretamente os dois gráficos, mas não expressou o
raciocínio feito para esboçá-los. Supomos que interpretou corretamente o registro
em língua materna e soube identificar as variáveis visuais importantes para o gráfico
na descrição dada, que são as extremidades dos eixos maior e menor, e colocou-as
no sistema cartesiano, o que pode ser verificado na representação gráfica do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎
no protocolo,pois identifica nos eixos 0𝑦 as variáveis visuais 𝐴1, 𝐴2, 𝐵1 e 𝐵2. Como
não explicou o raciocínio, não temos evidências para afirmar se o aluno 21
desenvolveu, ou não, a aprendizagem da conversão do registro em língua materna
para o registro gráfico.
Figura 66: Resposta do aluno 21 da questão 4
Questão 5
Esperávamos para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 a equação reduzida do tipo 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1 e o aluno
21 escreveu 𝑥²
9+
𝑦²
25= 1. Acreditamos que não conseguiu interpretar corretamente o
texto e extrair as unidades significativas 𝑎, 𝑏 e 𝑐 para o registro algébrico. Parece
que o aluno 21 acha que o valor da constante 𝑏 está nas coordenadas dos focos
𝐹1(0, √5 ) e 𝐹2(0, - √5) e sem deixar qualquer cálculo chegou a 𝑏 = 5 e o colocouna
193
equação 𝑥²
3²+
𝑦²
5²= 1 que resultou em
𝑥²
9+
𝑦²
25= 1, equação que não condiz com a
descrição dada, pois o eixo maior não mede 10 e o eixo menor não mede 6 na
descrição; mesmo não mostrando como fez os cálculos para achar o valor da
constante 𝑏 do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e da constante 𝑎 do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏, percebeu que se tratavam de
elipses com eixo maior em 0𝑦 e em 0𝑥, respectivamente, que os denominadores de
𝑥2 e de 𝑦2 são esses valores elevados ao quadrado e ainda associou corretamente
a posição dos eixos na equação reduzida.
Figura 67: Resposta do aluno 21 da questão 4A
Vale apena destacar que a dificuldade apresentada pelo aluno 21 no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏
também é visível, pois percebe-se um raciocínio semelhante ao do item 4A. Neste
caso, o aluno 21 até percebeu que se tratava de uma elipse com eixo menor em 0𝑦
e que o valor da constante 𝑏 = 2, mas não conseguiu interpretar que se o
comprimento do eixo maior é 6, o valor da constante 𝑎 é 3 e que 𝑎² = 9 e não
𝑎² = 6 como colocou na equação. De qualquer forma, não podemos afirmar que o
aluno 21 desenvolveu a aprendizagem do processo de conversão do registro em
língua materna para o registro algébrico.
Figura 68: Resposta do aluno 21 da questão 4B
Análise do Aluno 22
193
Questão 1
Na questão 1A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum
raciocínio para justificar suas escolhas; portanto, mesmo o sujeito fazendo a escolha
correta dos itens, não temos evidências para afirmar se o aluno 22 desenvolveu, ou
não, a aprendizagem para a conversão do registro gráfico para o registro algébrico.
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 para ambas e não expressou o raciocínio feito para justificar
essas escolhas. Assim, julgamos que o aluno 22 não desenvolveu a aprendizagem
para o processo de conversão do registro algébrico para o registro gráfico.
Questão 3
Na questão 3A os itens corretos são 𝑖 e 𝑖𝑖 e na questão 3B são os itens 𝑖𝑖 e
𝑖𝑖𝑖. O aluno escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖𝑖 para a questão 3A e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖 para a questão 3B e
não expressou nenhum raciocínio para justificar ou avaliar suas escolhas. Mesmo
acertando o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖 da questão 3B, não percebeu que o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖 também está correto
e não podemos afirmar que o aluno 22 sabe fazer a conversão do registro gráfico
para o registro em língua materna.
Supomos que o aluno não leu com atenção as descrições ou não percebeu
que as informações dadas pelas descrições dos dois itens são diferentes e as
elipses têm gráficos com posições diferentes no sistema cartesiano.
Questão 4
O previsto era que o sujeito esboçasse uma elipse com eixo maior em 0𝑦 no
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e uma elipse com eixo maior em 0𝑥 no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 O aluno 22 esboçou uma única
elipse para as duas descrições, ambas com o eixo maior em 0𝑥. Assim, julgamos
que o aluno 22 não desenvolveu a aprendizagem do processo de conversão do
registro em língua materna para o registro gráfico.
193
Figura 69: Resposta do aluno 22 da questão 4A
Questão 5
O aluno deixou em branco esta questão e julgamos que o aluno 22 não
desenvolveu a aprendizagem do processo de conversão do registro em língua
materna para o registro algébrico.
Análise do Aluno 23
Questão 1
Na questão 1A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno 23 escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 para a questão 1A e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 para a
questão 1B e não expressou nenhum raciocíniopara justificar essas escolhas.
Observamos que no gráfico da questão 1B traçou com grafite os eixos 0𝑦 e 0𝑥 e
supomos que o raciocínio feito pelo aluno 23 partiu do gráfico para o algébrico, como
esperado; mesmo o sujeito fazendo a escolha errada do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 da questão 1A e a
escolha correta do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 da questão 1B, por não sabermos quais foram os
raciocínios feitos pelo aluno 23 para justificar as escolhas certas e erradas, não
conseguimos avaliar se o aluno 23 desenvolveu a aprendizagem da conversão do
registro gráfico para o registro algébrico.
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 na questão 2A e deixou em branco a questão 2B. Como não
explicou o raciocínio feito e não deu respostas corretas, julgamos que o aluno 23
não desenvolveu a aprendizagem do processo de conversão do registro algébrico
para o registro gráfico.
193
Questão 3
Na questão 3A os itens corretos são 𝑖 e 𝑖𝑖 e na questão 3B os itens corretos
são 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖. O aluno 23 escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖𝑖 para a questão 3A e deixou em branco a
questão 3B. Como não explicou o raciocínio feito e não deu respostas corretas,
julgamos que o aluno 23 não desenvolveu a aprendizagem do processo de
conversão do registro gráfico para o registro em língua materna.
Questão 4
O 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 da questão 4A descreve em língua materna uma elipse com eixo
maior em 0𝑦 e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 uma elipse com eixo maior em 0𝑥. O aluno 23 esboçou
corretamente o gráfico do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e deixou em branco o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 e não expressou o
raciocínio feito. Parece, pelo acerto na questão 4A, que consegue localizar os
pontos nos eixos e que o comprimento do eixo menor ser 4 quer dizer que os
vértices, neste caso, são (2,0) e (-2,0), mas avaliamos que o aluno 23 não
desenvolveu a aprendizagem para efetuar a conversão do registro em língua
materna para o registro gráfico.
Figura 70: Resposta do aluno 23 da questão 4A
Questão 5
O aluno deixou em branco esta questão. Assim, avaliamos que o aluno 23
não desenvolveu a aprendizagem para efetuar a conversão do registro em língua
materna para o registro algébrico.
Análise do Aluno 24
Questão 1
Na questão 1A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno 24 escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum
193
raciocínio para justificar suas escolhas; portanto, não temos evidências para afirmar
se o aluno 24 desenvolveu, ou não, a aprendizagem para a conversão do registro
gráfico para o registro algébrico.
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno 24 escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 para a questão 2A e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 para a questão 2B. O aluno
acertou a questão 2B e errou a questão 2A, embora tenha escolhido uma elipse com
eixo maior no eixo 0𝑥, mas não expressou o raciocínio feito. Assim, avaliamos que o
aluno 24 não desenvolveu a aprendizagem para efetuar a conversão do registro
algébrico para o registro gráfico.
Questão 3
Na questão 3A os itens corretos são 𝑖 e 𝑖𝑖 e na questão 3B são os itens 𝑖𝑖 e
𝑖𝑖𝑖. O aluno 24 escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖 na questão 3A e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖 na questão 3B e deixou
de apontar o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖 na questão 3A e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖𝑖 na questão 3B, que também são
corretos. Como não expressou o raciocínio para justificar as escolhas feitas,
avaliamos que o aluno 24 não desenvolveu a aprendizagem para efetuar a
conversão do registro gráfico para o registro em língua materna.
Questão 4
O 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 da questão 4A descreve em língua materna uma elipse com eixo
maior em 0𝑦 e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 uma elipse com eixo maior em 0𝑥. O aluno 24 esboçou uma
elipse com eixo maior em 0𝑥 para as duas descrições e não expressou o raciocínio
feito. Avaliamos que o aluno 24 não desenvolveu a aprendizagem para efetuar a
conversão do registro em língua materna para o registro gráfico.
Figura 71: Resposta do aluno 24 da questão 4A
193
Questão 5
O aluno 24 não conseguiu efetuar a conversão esperada, mas mostrou no
protocolo que a equação reduzida do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 seria do tipo 𝑥²
𝑎²+
𝑦²
𝑏² = 1 e a do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏
do tipo 𝑥²
𝑏²+
𝑦²
𝑎² = 1, entendendo que a sempre representa o semieixo maior e b, o
semieixo menor o que, no caso da questão 5, não se verifica, pois no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 o
gráfico da elipse tem eixo maior sobre 0𝑦 e não sobre 0𝑥 e no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 é o contrário.
Não sabemos como o aluno 24 calculou o valor da constante 𝑏 no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, pois a
descrição fornece apenas o valor das constantes 𝑎 e 𝑐. Como não expressou o
raciocínio feito, as evidências são de que o aluno 24 não sabe associar as posições
dos eixos maior e menor na equação reduzida, fato que o fez errar as expressões
algébricas. Avaliamos que o aluno 24 não desenvolveu a aprendizagem para efetuar
a conversão do registro em língua materna para o registro algébrico.
Figura 72: Resposta do aluno 24 da questão 5
Avaliação do Aluno 25
Questão 1
Na questão 1A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno 25 escolheu corretamente os itens e, na questão 1A, avaliou de
uma forma própria, o valor das constantes 𝑎 e 𝑏. O valor da constante 𝑏 justificou
escrevendo “𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 = 4” e o valor do eixo maior justificou com a somatória de
1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 9, que não conseguimos entender e que não nos
parece correto, ao ver o protocolo do aluno 25.
193
Figura 73: Resposta do aluno 25 da questão 1A
Talvez o primeiro 1 tenha surgido das observações que o sujeito fez no
vértice 𝐵1, o segundo do vértice 𝐹1 e o terceiro do vértice 𝐴1. Como indicou também
na figura os vértices 𝐹2, 𝐴2 e 𝐵2, nessa “ordem”, pode ter imaginado que poderia
somar 2 + 2 + 2 o que resultou na relação 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 9, esquema
que justificou para o aluno o valor da constante 𝑎² = 9. Para o valor da constante
𝑏² = 4, o aluno 25 se referiu a “lados = 4” e não sabemos se fez esta referência em
função dos quadrantes da figura ou desenvolveu outro raciocínio.
Figura 74: Resposta do aluno 25 da questão 1B
Quanto à questão 1B, o aluno 25 escolheu os itens corretos. Mostra uma
relação parecida com a que fez na questão 1A e supomos que utilizou o mesmo
raciocínio da questão 1A para justificar o valor do eixo maior; relacionou as
extremidades, 𝐹2 e 𝐵2, aos valores 2 + 2 + 2 e 𝐴1, 𝐹1 e 𝐵1 aos valores 1 + 1+ 1, oque
resultou na relação 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 9. Parece ter alguma noção sobre a
relação dos eixos maior e menor na equação reduzida, mas avaliamos que o aluno
25 não desenvolveu a aprendizagem para efetuar a conversão do registro gráfico
para o registro algébrico.
Questão 2
193
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno 25 escolheu a representação gráfica do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 para a questão 2A e a do
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 para a questão 2B e ambas dão o mesmo gráfico. Como as equações dadas
são diferentes e o aluno 25 não expressou o raciocínio feito, avaliamos que o aluno
25 não desenvolveu a aprendizagem para efetuar a conversão do registro algébrico
para o registro gráfico.
Questão 3
Na questão 3A os itens corretos são 𝑖 e 𝑖𝑖 e na questão 3B são os itens 𝑖𝑖 e
𝑖𝑖𝑖. O sujeito escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖 na questão 3A e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖𝑖 na questão 3B, ambos
corretos, mas deixou de indicar os outros dois itens corretos. Como não expressou o
raciocínio feito para justificar as escolhas, avaliamos que o aluno 25 não
desenvolveu a aprendizagem para efetuar a conversão do registro gráfico para o
registro em língua materna.
Questão 4
O 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 descreve em língua materna uma elipse com eixo maior em 0𝑦 e o
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 descreve uma elipse com eixo maior em 0𝑥. O aluno 25 esboçou duas elipses
sem conexão com as informações dadas na descrição. Talvez por saber que o
diagnóstico é sobre a cônica elipse, esboçou duas elipses, mas avaliamos que o
aluno 25 não desenvolveu a aprendizagem para efetuar a conversão do registro em
língua materna para o registro gráfico.
Figura 75: Resposta do aluno 25 da questão 4
193
Questão 5
As equações esperadas são 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1 para a descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e
𝑥²
9+
𝑦²
4=
1 para a descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏. Como o valor da constante 𝑏 não está na descrição do
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, o aluno 25 precisaria determinar o valor dessa constante e, para tal, poderia
utilizar o teorema de Pitágoras, mas não o fez. Colocou duas “equações reduzidas”,
uma para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 𝑥²
𝑏²+
𝑥²
𝑎² = 1, que só tem a variável 𝑥 e a variável 𝑦 não aparece e
no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 colocou a equação 𝑥²
𝑏²+
𝑦
𝑎² = 1 na qual a variável 𝑦 não está elevada ao
quadrado. Avaliamos que o aluno 25 não desenvolveu a aprendizagem para efetuar
a conversão do registro em língua materna para o registro algébrico.
Figura 76: Resposta do aluno 25 da questão 5
Avaliação do Aluno 26
Questão 1
Na questão 1A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno 26 escolheu corretamente os itens e expressou o raciocínio feito
para justificar as escolhas feitas, aparentemente do gráfico para o algébrico. Embora
não iguale a equação a 1 e coloque o sinal de + no numerador, separando, com um
traço de fração, 𝑥2 + 𝑦² de 𝑎2 𝑏2, avaliamos que o aluno 26 desenvolveu a
aprendizagem para efetuar a conversão do registro gráfico para o registro algébrico,
como esperado nesta questão.
193
Figura 77: Resposta do aluno 26 da questão 1
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno escolheu corretamente os itens e expressou o raciocínio feito, aparentemente
dos gráficos para a expressão algébrica e não da expressão algébrica para o
gráfico. Para avaliar a equação correspondente ao gráfico do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, o aluno 26
identificou as variáveis visuais do gráfico (eixos maior e menor), relacionou as
variáveis com as unidades significativas 𝑎² = 3² e 𝑏² = 2² e fez a correspondência
com as unidades significativas da equação reduzida. Avaliamos que o aluno 26
desenvolveu a aprendizagem para efetuar a conversão do registro gráfico para o
registro algébrico, mas não podemos afirmar que sabe fazer a conversão do registro
algébrico para o registro gráfico.
Observamos que na questão 2A o aluno relacionou corretamente a posição
dos eixos maior e menor aos denominadores da equação reduzida 𝑥²
𝐴²+
𝑦²
𝐵² = 1 e no
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 da questão 2B deua mesma equação da questão 2A, ao invés da correta.
Supomos que os esquemas utilizados pelo aluno 26 para efetuar a mudança de
registro do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 da questão 2B, talvez tenha sido uma ideia, ainda confusa, que
ele desenvolveu quando estudou este tópico, achando que qualquer valor que está
no eixo 0𝑥 é representante da constante 𝑎 e todo valor que está sobre o eixo 0𝑦 é
representante da constante 𝑏; adotando assim uma ordem de sentido para identificar
os valores das constantes 𝑎 e 𝑏, quais sejam, eixo 0𝑥 para o eixo 0𝑦. Para o aluno o
valor de 𝑎 = 2 e o de 𝑏 = 3; e não a correta que fosse 𝑎 = 3 e 𝑏 = 2. Esse
193
esquema funcionou para este caso e o conduziu a achar a resposta correta da
equação 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1, mas para outras situações este esquema não funcionar.
Figura 78: Resposta do aluno 26 da questão 2
Questão 3
Na questão 3A os itens corretos são 𝑖 e 𝑖𝑖 e na questão 3B são os itens 𝑖𝑖 e
𝑖𝑖𝑖. O aluno 26 escolheu os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖 e 𝑖𝑖 para as duas questões. Na questão 3A,
identificou os valores das constantes 𝑎² = 3² e 𝑏² = 2² e as utilizou na relação de
Pitágoras para achar o valor da constante 𝑐 e dar as respostas corretas deste item.
Mesmo assim, como para os demais alunos, é evidente a dificuldade para resolver a
equação resultante, pois coloca 9 = 4 − 𝑐2 (invés de 9 = 4 + 𝑐2) e daí chega a
𝑐² = 4 – 9 = 1, que tem dois problemas graves: 𝑐2 é um número negativo e a
equação é igualada a 1, sem justificativa aparente para isto. Finalizou o tratamento
𝑐² = − 5 concluindo que 𝑐 = √5 e ignorando o “ = 1” que colocou na equação. O
193
aluno 26 até conseguiu concluir o raciocínio, mas os problemas com a resolução da
equação são evidentes no protocolo.
Figura 79: Resposta do aluno 26 da questão 3A
A escolha dos itens da questão 2B foram os itens 𝑖 e 𝑖𝑖, invés dos itens 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖
e acreditamos que isso ocorreu por causa das coordenadas dos focos, que o aluno
26 não percebeu que precisam estar sobre o eixo maior ou se confundiu com as
coordenadas nulas: no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖, os focos estão no eixo 0𝑦 e no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖𝑖, no eixo 0𝑥.
Avaliamos que o aluno 26 desenvolveu a aprendizagem para efetuar a conversão do
registro gráfico para o registro em língua materna.
Questão 4
O previsto era que o sujeito esboçasse para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 uma elipse com eixo
maior em 0𝑦 e no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 uma elipse com eixo maior em 0𝑥. O aluno 26 esboçou os
gráficos de forma invertida, ou seja, no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 esboçou uma elipse com o eixo maior
em 0𝑥 e no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 outra elipse com eixo maior em 0𝑦, embora tenha calculado
corretamente os valores de 𝑎 e de 𝑏, em ambos os casos. Supomos que esse
sujeito tem dificuldade com a localização de pontos sobre os eixos coordenados.
Como não explicou o raciocínio feito, avaliamos que o aluno 26 não desenvolveu a
aprendizagem para efetuar a conversão do registro em língua materna para o
registro gráfico.
193
Figura 80: Respostas do aluno 26 da questão 4
Questão 5
As equações esperadas são 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1 para a descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e
𝑥²
9+
𝑦²
4=
1 para a descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏. Como o valor da constante 𝑏 não está presente na
descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, o aluno 26 precisaria determinar o valor da constante 𝑏 e, para
tal, poderia utilizar o teorema de Pitágoras, como foi o caso. Reconhecendo que
𝑎² = 3² e 𝑐 = √5, substituiu-os na relação 9 = 𝑏² + (√5)² concluindo que 𝑏 = 2²,
depois de ter escrito − 𝐵2 = −4, o que mostra que também, como quase todos os
demais, tem dificuldades na resolução de equações. Para escrever a equação
pedida, troca o valor dos denominadores e coloca 9 como denominador de 𝑥2, invés
de 4 e 4 no denominador de 𝑦2, invés de 9. Com isso, o aluno 26 esboçou a mesma
equação para as duas descrições e, aparentemente, não percebeu que as duas
descrições tratam de elipses com eixos em posições diferentes no sistema
cartesiano. As evidências são de que o sujeito desenvolveu algumas noções acerca
desta conversão, mas não mobiliza todas as propriedades necessárias para efetuar
a mudança de registro proposta. Avaliamos que o aluno 26 não desenvolveu a
aprendizagem para efetuar a conversão do registro em língua materna para o
registro algébrico.
193
Figura 81: Resposta do aluno 26 da questão 5
Análise do Aluno 27
Questão 1
Na questão 1A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os i𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎
e 𝑏. O aluno 27 escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum
raciocínio para justificar suas escolhas; portanto, mesmo o sujeito fazendo a escolha
correta dos itens, não temos evidências para afirmar se o aluno 27 desenvolveu, ou
não, a aprendizagem para a conversão do registro gráfico para o registro algébrico.
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno 27 escolheu a representação gráfica do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 para a questão 2A e a
representação gráfica do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 para a questão 2B. Como não expressou o
raciocínio feito, avaliamos que o aluno 27 não desenvolveu a aprendizagem para
efetuar a conversão do registro algébrico para o registro gráfico.
193
Questão 3
Esperávamos que escolhesse os itens 𝑖 e 𝑖𝑖 para a questão 3A e os itens 𝑖𝑖 e
𝑖𝑖𝑖 para a questão 3B. O aluno 27 escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖 para a questão 3A e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖𝑖
para a questão 3B, que estão corretos, mas deixou de apontar os itens 𝑖 da questão
3A e 𝑖𝑖 da questão 3B, que também estão corretos. Como não expressou o
raciocínio feito para justificar as escolhas, avaliamos que o aluno 27 não
desenvolveu a aprendizagem para efetuar a conversão do registro gráfico para o
registro em língua materna.
Questão 4
O esboço esperado seria uma elipse com eixo maior em 0𝑦 ara o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e
uma elipse com eixo maior em 0𝑥, para o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏. O aluno 27 esboçou duas elipses
do mesmo tipo, ambas com eixo maior em 0𝑥. A representação esboçada para o
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 está de acordo com o esperado, mas o aluno 27 repetiu o mesmo gráfico no
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e não sabemos se esboçou primeiro a representação do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 ou vice-versa.
Como os raciocínios para efetuar as duas conversões são semelhantes,
esperávamos que se efetuasse uma conversão também efetuaria a outra. Avaliamos
que o aluno 27 não desenvolveu a aprendizagem para efetuar a conversão do
registro em língua materna para o registro gráfico.
Figura 82: Resposta do aluno 27 da questão 4
Questão 5
O sujeito apresenta algumas notações para a expressão algébrica esperada,
mas não consegue concluir, provavelmente por não entender como deve fazer isso.
Avaliamos que o aluno 27 não desenvolveu a aprendizagem para efetuar a
conversão do registro em língua materna para o registro algébrico.
193
Figura 83: Resposta do aluno 27 da questão 5
Análise do Aluno 28
Questão 1
Na questão 1A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐 e na questão 1B, são os
𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑎 e 𝑏. O aluno 28 escolheu corretamente os itens, mas não expressou nenhum
raciocínio para justificar suas escolhas; portanto, mesmo fazendo a escolha correta
dos itens, não temos evidências para afirmar se o aluno 28 desenvolveu, ou não, a
aprendizagem para a conversão do registro gráfico para o registro algébrico.
Questão 2
Na questão 2A a alternativa correta é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 e na questão 2B, é o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑐. O
aluno 28 escolheu o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 para ambas. Como não expressou o raciocínio feito para
justificar as escolhas, avaliamos que o aluno 28 não desenvolveu a aprendizagem
para efetuar a conversão do registro algébrico para o registro gráfico.
Questão 3
193
Os itens corretos da questão 3A são 𝑖 e 𝑖𝑖 e os da questão 3B são os 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑖𝑖
e 𝑖𝑖𝑖. O aluno 28 escolheu a descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖𝑖 para o gráfico 3A e o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖 para o
gráfico 3B, ou seja, errou a questão 3A e não indicou o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑖𝑖 da questão 3B, que
também está correto. Percebemos também que esboçou os dois gráficos com eixo
maior sobre 0𝑥, o que nos remete a perguntar se, para ele, o eixo maior do gráfico
da elipse sempre está sobre o eixo 0𝑥, por alguma razão didática, pedagógica ou
cognitiva. Como não expressou o raciocínio feito para justificar as escolhas,
avaliamos que o aluno 28 não desenvolveu a aprendizagem para efetuar a
conversão do registro gráfico para o registro em língua materna.
Questão 4
A descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 trata de uma elipse com eixo maior em 0𝑦 e a
descrição do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 de uma elipse com eixo maior em 0𝑥. Os esboços feitos pelo
aluno 28 não têm qualquer conexão com as descrições dadas e, novamente, como
na questão 3, os gráficos das elipses têm eixo maior sobre o eixo 0𝑥. As evidências
são de que o aluno 28 não desenvolveu a aprendizagem para o processo de
conversão do registro em língua materna para o registro gráfico.
Figura 84: Resposta do aluno 28 da questão 4
Questão 5
193
O 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 trata da descrição de uma elipse com eixo maior em 0𝑦 com
equação reduzida do tipo 𝑥²
4+
𝑦²
9= 1 e no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 uma elipse com eixo maior em 0𝑥
com equação reduzida do tipo 𝑥²
9+
𝑦²
4= 1. O aluno 28 não expressou um raciocínio
de acordo com o previsto e trouxe à tona problemas para associar as informações
da descrição com as unidades significativas da expressão algébrica, pois achou que
os valores 3 e -3 presentes nas coordenadas dos focos são os denominadores da
equação reduzida 𝑥²
3+
𝑦²
−3= 1. Utilizou o mesmo raciocínio no 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏 e ainda igualou
a equação a 6, dando uma equação do tipo 𝑥²
2+
𝑦²
−2= 6. As evidências são de que o
aluno 28 não desenvolveu a aprendizagem para o processo de conversão do
registro em língua materna para o registro algébrico.
Figura 85: Resposta do aluno 28 da questão 5
Elaboramos uma tabela resumindo as análises feitas, para destacar nossa
avaliação se cada aluno, em cada questão, julgamos se sabe, ou não, fazer a
conversão pedida na questão.
193
Tabela 2: Resumo das análises sobre as conversões, por aluno e por questão
193
5. 3 ANÁLISE POR QUESTÃO
Neste parágrafo, apresentamos as reflexões que fizemos, baseados nos
resultados obtidos na análise por aluno e por questão, sobre as questões do
instrumento diagnóstico, com vistas a possíveis aplicações deste ou de outro similar,
elaborado a partir de nossa experiência com este ele e com este grupo de alunos.
Para iniciar tal análise, para cada item de cada questão, elaboramos um
quadro, no qual colocamos os resultados quantitativos, obtidos das análises dos 28
alunos que responderam o item ou a questão, destacando o sentido de conversão
esperado do item ou da questão e quantos alunos: fizeram a mudança no sentido
esperado; fizeram a mudança no sentido contrário; acertaram a mudança no sentido
esperado; acertaram a mudança no sentido contrário; expressaram algum raciocínio;
julgamos que sabem fazer a conversão esperada na questão; deixaram em branco.
Esperamos, com esses quadros, proporcionar uma avaliação de cada um dos itens
das questões do diagnóstico, para que possamos, em futuras pesquisas, aplicar
essas questões, ou similares, com as correções que julgarmos importantes, tanto
para a elaboração do texto de cada item ou questão, como das escolhas numéricas
e da forma de apresentação do item ou questão. Reforçamos nossa decisão de só
ter considerado que sabe fazer uma determinada conversão o aluno que expressou
o raciocínio e deixou claro o sentido de conversão.
5.3.1 ANÁLISE DA QUESTÃO 1
Indique qual é a expressão algébrica correspondente à representação gráfica:
193
Figura 86: Questão 1 do diagnóstico elaborada pelo autor
Com esta questão, pudemos verificar se os sujeitos conseguem identificar as
variáveis visuais do gráfico e se conseguem relacioná-las com as unidades
significativas da equação reduzida.
Pelo fato de termos colocado duas elipses, uma com o eixo maior em 0𝑦 e
outra com o eixo menor em 0𝑥, dividimos a questão 1 em 1A e 1B; e para facilitar a
comparação dos resultados no quadro resumo, o dividimos em oito colunas e em
cada coluna colocamos os resultados obtidos em cada um dos itens. Acreditamos
que a leitura vertical dos dois quadros pode facilitar a comparação dos resultados.
Quadro 10: Resumo dos resultados da questão 1A
Sentido de conversão esperado
Registro Gráfico (G) → Registro Algébrico (A)
Número de
alunos que
efetuaram
a mudança
G → A
Número de
alunos que
efetuaram a
mudança
A → G
Número de
alunos que
acertaram a
mudança
G → A
Número de
alunos que
acertaram a
mudança
A → G
Número de
alunos que
erraram a
mudança
de registro
Número de
alunos que
expressaram
o raciocínio
feito
Número de
alunos que
julgamos
ter feito a
conversão
esperada
Número de
alunos que
deixaram
em branco
24 3 23 3 2 7 2 0
Quadro 11: Resumo dos resultados da questão 1B
193
Sentido de conversão esperado
Registro Gráfico (G) → Registro Algébrico (A)
Número de
alunos que
efetuaram
a mudança
G → A
Número de
alunos que
efetuaram a
mudança
A → G
Número de
alunos que
acertaram a
mudança
G → A
Número de
alunos que
acertaram a
mudança
A → G
Número de
alunos que
erraram a
mudança
de registro
Número de
alunos que
expressaram
o raciocínio
feito
Número de
alunos que
julgamos
ter feito a
conversão
esperada
Número de
alunos que
deixaram
em branco
22 3 22 3 0 7 2 2
Apenas 7 alunos expressaram o raciocínio feito e, destes, apenas 2 alunos
(12 e 19) deram indícios de saber fazer a conversão no sentido G → A e os outros 5
expressaram o raciocínio feito apenas para justificar a escolha do item correto. Dos
28 alunos que responderam a questão 1A, 25 escolheram o item correto; 2, o errado
e temos o aluno 19, que não está incluído no quadro, uma vez que expressou o
raciocínio feito em língua materna e não deixou evidências de qual conversão fez, só
podemos afirmar que sabe fazer uma das conversões, ou do registro algébrico para
o registro gráfico ou do registro gráfico para o registro algébrico.
Quando elaboramos a questão 1, nosso objetivo era verificar a conversão no
sentido G → A, mas como parece do tipo teste e colocamos as opções algébricas à
esquerda da opção gráfica, talvez essa ordem tenha influenciado a maioria dos
alunos, que mostram ter feito a mudança de A → G; pois foram eliminando as
alternativas algébricas que julgavam não corretas, como se estivessem respondendo
um exercício de Matemática e, assim, não avaliaram as variáveis visuais do gráfico
para então decidir qual a expressão correspondente.
Na tabela 2 (ver p. 78), podemos perceber em quantos alunos colocamos NS
na questão 1A, exatamente porque não pudemos decidir, a partir dos protocolos,
qual foi o raciocínio feito pelo aluno, principalmente porque os sujeitos deste grupo
não parecem ter-se acostumado a “explicar o raciocínio” em Matemática.
Nossa sugestão para futuras aplicações de um questionário como este é que
evitem colocar questões que parecem do tipo teste, para evitar o que ocorreu com
nossa questão 1. Ficamos com a impressão que estes alunos não desenvolveram o
193
hábito de analisar e discutir o próprio raciocínio e o foco deles, quando se
depararam com a questão preocuparam em apenas “marcar o 𝑥 na resposta
correta”.
5.3.2 ANÁLISE DA QUESTÃO 2
Indique qual é a representação gráfica correspondente à expressão algébrica:
Figura 87: Questão 2A do diagnóstico elaborada pelo autor
Na questão 2, pedimos que fizessem a correspondência A → G, ou seja, a
partir da expressão algébrica, escolher o gráfico que a representa. Assim como na
questão 1, a dividimos em 2A e 2B.
Quadro 12: Resumo dos resultados da questão 2A
Sentido de conversão esperado
Registro Algébrico (A) → Registro Gráfico (G)
193
Número de
alunos que
efetuaram
a mudança
G → A
Número de
alunos que
efetuaram a
mudança
A → G
Número de
alunos que
acertaram a
mudança
G → A
Número de
alunos que
acertaram a
mudança
A → G
Número de
alunos que
erraram a
mudança
de registro
G → A
Número de
alunos que
expressaram
o raciocínio
feito
Número de
alunos que
julgamos
ter feito a
conversão
esperada
Número de
alunos que
deixaram
em branco
25 0 14 0 11 6 1 3
Quadro 13: Resumo dos resultados da questão 2B
Sentido de conversão esperado
Registro Algébrico (A) → Registro Gráfico (G)
Número de
alunos que
efetuaram
a mudança
G → A
Número de
alunos que
efetuaram a
mudança
A → G
Número de
alunos que
acertaram a
mudança
G → A
Número de
alunos que
acertaram a
mudança
A → G
Número de
alunos que
erraram a
mudança
de registro
G → A
Número de
alunos que
expressaram
o raciocínio
feito
Número de
alunos que
julgamos
ter feito a
conversão
esperada
Número de
alunos que
deixaram
em branco
23 0 21 0 2 7 1 5
Na questão 2A, apenas 6 alunos expressaram o raciocínio feito e na questão
2B, 7 alunos, os mesmos 6 que expressaram o raciocínio feito na questão 2A e o
aluno 19, que não expressou o raciocínio na questão 2A. 3 alunos (12, 15 e 16)
tentaram avaliar a equação reduzida de todos os gráficos, ou seja, foram do G → A
e apenas o aluno 12 deu indícios de saber fazer essa conversão, porque foi o único
que acertou todos os raciocínios feitos para todos os gráficos.
25 alunos efetuaram a mudança de registro da questão 2A, 14 escolheram o
item correto e 3 deixaram a questão em branco. 23 alunos efetuaram a mudança de
registro da questão 2B, 21 escolheram o item correto e 5 deixaram a questão em
branco. Observamos que 11 alunos erraram a escolha do item correto da questão
2A e na questão 2B apenas 2 alunos erraram essa escolha, o que talvez seja
surpreendente, pois na questão 2A a expressão algébrica é a de uma elipse com
eixo maior sobre 0𝑥 e na questão 2B, o eixo maior está sobre 0𝑦. Não conseguimos
perceber, nos protocolos, justificativa para esses resultados, pois todos os alunos
que expressaram o raciocínio feito acertaram na escolha do item.
193
Assim, como observamos sobre a questão 1, recomendamos que, em uma
próxima aplicação de um instrumento como este, ou colocar a expressão algébrica
na coluna da esquerda e as opções gráficas à direita, pedindo que os sujeitos
avaliem todas as opções gráficas, explicando cada uma delas, ou colocar a
expressão algébrica e pedir o esboço do gráfico correspondente, tirando assim, da
questão, a característica de “teste”, para evitar que os sujeitos simplesmente
“marquem com 𝑥 a resposta correta.
5.3.3 ANÁLISE DA QUESTÃO 3
Indique qual é a descrição correspondente à representação gráfica:
Figura 88: Questão 3 do diagnóstico elaborada pelo autor
A questão 3 foi a única em que havia mais de um item correto e reforçamos,
no dia em que aplicamos o questionário, que deviam escolher todos os itens
corretos, mesmo porque os itens ii da questão 3A e da questão 3B são corretos,
mas não descrevem completamente os gráficos respectivos; por esta razão, não a
consideramos como uma questão do tipo teste.
193
Com esta questão, pudemos verificar se o sujeito desenvolveu a
aprendizagem para efetuar a mudança de registro no sentido G → LM, ou seja,
identificou as variáveis visuais de cada gráfico e fez a conversão para as
características descritas no registro em língua materna. Podemos ver, nos quadros
resumo (ver Quadro 14 e Quadro 15), que os resultados não são semelhantes aos
anteriores, pois: todos os alunos tentaram fazer a mudança esperada, do registro
gráfico para o registro em língua materna, embora apenas 8 expressaram o
raciocínio 7 de forma correta e 1 não na questão 3A; 6 de forma correta e 2, não, na
questão 3B e apenas 1 mostrou saber fazer a conversão do registro gráfico para o
registro em língua materna; 9 alunos tiveram o cuidado de escolher as duas opções
corretas na questão 3A e 5, na questão 3B.
Uma possível explicação para isto é que se tratam de conversões
congruentes e um dos registros é o em língua materna.
Quadro 14: Resumo dos resultados da questão 3A
Sentido de conversão esperado
Registro Gráfico (G) → Língua Materna (LM)
Número de
alunos que
efetuaram a
mudança
G → LM
Número de
alunos que
efetuaram a
mudança
LM → G
Número de
alunos que
acertaram a
mudança
G → LM
Número de
alunos que
indicaram
apenas uma
das respostas
corretas
Número de
alunos que
expressaram o
raciocínio feito
(certo + errado)
Número de
alunos que
julgamos ter
feito a
conversão
esperada
Número de
alunos que
deixaram em
branco
23 0 9 14 7 + 1 1 5
Quadro 15: Resumo dos resultados da questão 3B
Sentido de conversão esperada
Registro Gráfico (G) → Língua Materna (LM)
Número de
alunos que
efetuaram a
mudança
G → LM
Número de
alunos que
efetuaram a
mudança
LM → G
Número de
alunos que
acertaram a
mudança
G → LM
Número de
alunos que
indicaram
apenas uma
das respostas
corretas
Número de
alunos que
expressaram o
raciocínio feito
(certo+errado)
Número de
alunos que
julgamos ter
feito a
conversão
esperada
Número de
alunos que
deixaram em
branco
20 0 5 15 6 + 2 1 8
193
Apesar dos resultados negativos, relativos à quantidade de alunos que
mostrou ter aprendido a fazer a conversão do registro gráfico para o registro em
língua materna (apenas 1 aluno) e também pelo fato de só 8 alunos terem tentado
“explicar o raciocínio”, consideramos que questões como esta Questão 3 deveriam
fazer parte do dia a dia da aula de Matemática, como uma forma de estimular o uso
da língua materna no ensino e na aprendizagem de Matemática, não só no conteúdo
específico que investigamos, mas de maneira geral.
5.3.4 ANÁLISE DA QUESTÃO 4
Para cada descrição esboce um gráfico:
Figura 89: Questão 4 do diagnóstico elaborada pelo autor
Com esta questão pudemos verificar se os alunos sujeitos da pesquisa
aprenderam a fazer a conversão do registro em língua materna para o registro
gráfico. Os quadros resumo (ver quadro 16 e quadro 17) seguem a mesma leitura
vertical dos dados dos dois itens da questão e não colocamos o sentido de
conversão inversa (G → LM) pelo fato da questão não dar abertura para este tipo de
inversão, o que consideramos positivo, para uma pesquisa.
193
Quadro 16: Resumo dos resultados da questão 4A
Sentido da conversão esperada
Língua Materna (LM) → Registro Gráfico (G)
Número de
alunos que
efetuaram a
mudança
LM → G
Número de
alunos que
acertaram a
mudança
LM → G
Número de
alunos que
erraram a
mudança
LM → G
Número de
alunos que
expressaram o
raciocínio feito
Número de
alunos que
julgamos ter feito
a conversão
esperada
Número de
alunos que
deixaram em
branco
25 11 14 2 2 3
Quadro 17: Resumo dos resultados da questão 4B
Sentido da conversão esperada
Língua Materna (LM) → Registro Gráfico (G)
Número de
alunos que
efetuaram a
mudança
LM → G
Número de
alunos que
acertaram a
mudança
LM → G
Número de
alunos que
erraram a
mudança
LM → G
Número de
alunos que
expressaram o
raciocínio feito
Número de
alunos que
julgamos ter feito
a conversão
esperada
Número de
alunos que
deixaram em
branco
24 9 15 2 2 4
Apenas 2 alunos expressaram o raciocínio e julgamos que sabem fazer a
conversão do registro em língua materna para o registro gráfico. Dos 25 alunos que
efetuaram a mudança (3 deixaram em branco) na questão 4A, apenas 11 acertaram
a resposta; dos 24 alunos que efetuaram a mudança (4 deixaram em branco) na
questão 4A, apenas 9 acertaram a resposta, o que consideramos preocupante, uma
vez que a língua materna é aquela com a qual nos comunicamos.
Como para a questão 3, avaliamos como positiva a presença de questões
desse tipo, não só num instrumento de pesquisa, como também, e principalmente,
em sala de aula de Matemática.
5.3.5 ANÁLISE DA QUESTÃO 5
193
Determine uma equação reduzida para cada descrição abaixo:
Figura 90: Questão 5 do diagnóstico elaborada pelo autor
Na questão 5 solicitamos aos alunos que escrevam uma equação algébrica
para cada descrição dada em língua materna. Os quadros resumo (ver quadro 18 e
quadro 19) dão um retrato do que aconteceu.
Quadro 18: Resumo dos resultados da questão 5A
Sentido da conversão esperada
Língua Materna (LM) → Registro Algébrico (A)
Número de
alunos que
efetuaram a
mudança
LM → A
Número de
alunos que
acertaram a
mudança
LM → A
Número de
alunos que
erraram a
mudança
LM → A
Número de
alunos que
expressaram o
raciocínio feito
Número de
alunos que
julgamos ter feito
a conversão
esperada
Número de
alunos que
deixaram em
branco
22 0 22 22 0 6
Quadro 19: Resumo dos resultados da questão 5B
Sentido da conversão esperada
Língua Materna (LM) → Registro Algébrico (A)
Número de
alunos que
efetuaram a
mudança
LM → A
Número de
alunos que
acertaram a
mudança
LM → A
Número de
alunos que
erraram a
mudança
LM → A
Número de
alunos que
expressaram o
raciocínio feito
Número de
alunos que
julgamos ter feito
a conversão
esperada
Número de
alunos que
deixaram em
branco
19 8 11 19 1 9
193
Na questão 5, 22 alunos expressaram o raciocínio feito na questão 5A e 19,
na questão 5B, mas apenas o aluno 12 mostrou saber fazer a conversão, na
questão 5B, em que não aparecem os focos, que julgamos pode ter sido um
complicador, no caso da questão 5A.
Dos 22 alunos que responderam o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, nenhum aluno acertou a expressão
esperada, em parte porque erraram na resolução da relação 𝑐² + 𝑏² = 𝑎² onde 𝑎 é o
valor do semieixo maior, 𝑏 do semieixo menor e 𝑐 a metade da distância focal. No
𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏, dos 19 alunos que responderam este item, 8 acertaram a equação reduzida
esperada; 13 não acertaram nenhum item; 6 alunos deixaram em branco o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎; e
9 deixaram em branco o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑏.
Quanto ao 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, os resultados nos surpreenderam, mas entendemos que a
presença dos focos e não dos valores dos semieixos, portanto uma conversão não
congruente, pode ser a causa desses resultados.
Não achamos que as questões 4 e 5 apresentem problemas de interpretação,
como parece ter sido o caso das questões 1 e 2, e consideramos que são válidas
para fazerem parte de um instrumento diagnóstico como o que aplicamos. Nossa
sugestão é que professores de Matemática podem e devem trabalhar, em sala de
aula, com os registros algébrico, gráfico e em língua materna, no caso da Geometria
Analítica em geral, bem como nas conversões entre esses registros, num sentido e
também no sentido inverso.
5.3. 6 ANÁLISE DA QUESTÃO 6
Se você descrevesse as expressões algébricas dadas na tabela para outra pessoa
que não estivesse enxergado as expressões algébricas, como você as descreveria:
193
Figura 91: Questão 6 do diagnóstico elaborada pelo autor
Não consideramos esta questão em nossas análises, nem por aluno e nem
por questão, porque achamos que foi mal elaborada e os alunos não desenvolveram
aprendizagem para este tipo de conversão, que exige uma linguagem mais
elaborada, para que seja possível atender o pedido feito. Achamos que os alunos
não entenderam o sentido da palavra “descrição”, pois dos 24 que responderam a
questão 6 apenas o aluno 16 (ver exemplo da figura 93) mostrou indícios de ter
entendido o objetivo da questão. Os demais (ver exemplo da figura 92) descreveram
a questão algebricamente sem dar a interpretação (que seria a conversão) esperada
para o texto.
Achamos melhor não incluí-la em nossas análises e apenas analisá-la como
questão que deve aparecer num instrumento diagnóstico pois, repetimos, são
questões como essas que tornam o ensino e a aprendizagem de Matemática da
Educação Básica mais interessante, na nossa opinião.
Figura 92: Resposta do aluno 17 da questão 6
193
Figura 93: Resposta do aluno 16 da questão 6
193
CAPÍTULO 6: CONCLUSÕES
6. 1 CONSIDERAÇÕES GERAIS
Iniciamos esta pesquisa buscando entender porque alunos do Ensino Médio
mostram tanta dificuldade na aprendizagem de Geometria Analítica. Após a leitura
de alguns trabalhos de pesquisa na área de Educação Matemática, nossas
inquietações só aumentaram e, após discutir e refletir sobre esses trabalhos que
lemos, as resumimos a uma questão inicial: “será que é verdade que alunos da 3ª
série do Ensino Médio não aprendem fatos básicos relacionados à
aprendizagem das cônicas? Com esta questão em mente, consideramos
necessário investigar se a resposta a esta questão é positiva ou negativa. Se
positiva, esperávamos contribuir, por meio dos resultados, com os processos de
ensino e de aprendizagem do assunto cônicas no Ensino Médio. Se negativa,
entender porque muitos alunos mostram tanta dificuldade com o assunto.(IBID, p.7)
Assim, colocamos como objetivo de pesquisa “investigar se, após terem
passado por um ensino de Geometria Analítica, alunos aprenderam afazer a
passagem entre expressões algébricas, gráficos e textos em língua materna, no
caso da elipse” e “em quais das passagens mostram mais dificuldades”.
A fim de alcançar tais objetivos, apoiamo-nos nas considerações de Raymond
Duval (1995), na Teoria dos Registros de Representação Semiótica, que apregoa
que para um sujeito aprender Matemática é necessário que saiba discriminar e
coordenar pelo menos dois sistemas semióticos de representação e converter
“espontaneamente” de um sistema semiótico a outro. Como vemos a Geometria
Analítica repleta de tais registros, elaboramos um questionário diagnóstico sobre a
cônica elipse e o aplicamos a um grupo de 28 estudantes de uma 3ª série do Ensino
Médio, com questões que contemplam todos os sentidos de conversão entre os
registros gráfico, algébrico e em língua materna, e com as análises dos resultados
pudemos responder nossas questões de pesquisas, que são quatro e para as quais
193
damos resposta no final deste capítulo. Antes dessas respostas, colocamos algumas
reflexões que consideramos importantes.
Todos os alunos que participaram desta pesquisa apresentaram uma
compreensão limitada acerca das conversões esperadas. Segundo Duval (2003), a
atividade cognitiva, durante uma mudança de registros, é identificar as unidades
significativas de cada registro e estabelecer relações entre elas, o que favorece a
capacidade de estabelecer transferências e de reconhecer um objeto por meio de
diferentes representações.
As falhas de aprendizagem percebidas foram diversas e, nos próximos
parágrafos, destacamos algumas que, a nosso ver, são indicadoras das dificuldades
apresentadas nas conversões e respondemos também a questão que nos motivou a
realizar esta pesquisa: “será que é verdade que alunos da 3ª série do Ensino Médio
não aprendem fatos básicos relacionados à aprendizagem das cônicas?”
Iniciamos nossa conclusão partindo das análises dos protocolos, por aluno e
por questão. Os problemas apresentados mais comuns foram com os tratamentos
algébricos, as variáveis visuais do gráfico, as unidades significativas da equação
reduzida e a interpretação das descrições em língua materna. Concordamos que tais
problemas foram causados pelo déficit que têm de outras aprendizagens, que são
importantes na Geometria Analítica: resolução de equações; o uso da relação do
teorema de Pitágoras; propriedades de radiciação; de potenciação; localização de
pares ordenados no sistema cartesiano.
Nas conversões do tipo LM → G, o problema mais frequente foi com o uso do
sistema cartesiano, pois muitos não sabem localizar as coordenadas de um ponto ou
mostram dificuldade para reconhecer pontos sobre os eixos. Outra dificuldade que
observamos foi com o próprio tratamento da língua materna, como por exemplo a
partir da descrição “comprimento de eixo menor igual a 4”, alguns sujeitos não
percebem que os vértices estão à distância 2 do centro da elipse e em posições
simétricas em relação a ele.
Essas dificuldades, que nossa análise qualitativa dos protocolos evidenciou,
fez-nos pensar que podem dificultar o desenvolvimento da aprendizagem desses
alunos, no caso das cônicas em particular e da Geometria Analítica em geral. Essas
193
considerações nos fazem recomendar que professores de Matemática, quando
forem trabalhar temas básicos relacionados à Geometria Analítica, deem mais
atenção a alguns pontos, tais como: identificar a diferença entre um ponto, a
distância desse ponto à origem do sistema de coordenadas e a coordenada desse
ponto; a reta numérica; os pares ordenados do sistema cartesiano; e também, e
talvez principalmente, o uso da língua materna como uma grande auxiliar da
aprendizagem em Matemática.
Na questão 5, apenas 1 aluno acertou a conversão no sentido esperado, LM
→ A, e dos 22 alunos que responderam o 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, nenhum acertou a expressão
algébrica. Na questão 3, apenas 3 alunos acertaram a conversão no sentido
esperado, G para LM. Lembramos que nas questões 3 e 5 o aluno é solicitado a
usar, em um dos sentidos da conversão, a língua materna e foi nessas questões as
que mais percebemos erros e um maior número de respostas em branco.
Associamos estes problemas à interpretação de características do objeto elipse e
das relações que devem ser estabelecidas com a equação reduzida ou com o
gráfico, mas os sujeitos, talvez em função dos déficits na aprendizagem, não
conseguiram efetuar as relações. Tomemos, por exemplo, o fragmento do 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑖 da
questão 3.
Figura 94: Fragmento do item i da questão 3
O raciocínio feito por 17 alunos acerca desta descrição foi que se tratava de
uma elipse com eixo maior sobre 0𝑥. Nossas reflexões nos mostram que esses
sujeitos não compreenderam que se o eixo maior da elipse está sobre o eixo 0𝑦, o
valor 𝑎²4 deve estar no denominador de 𝑦² e se o eixo menor da elipse está sobre o
eixo 0𝑥, o valor 𝑏² deve estar no denominador de 𝑥². Não descartamos a
possibilidade de essas dificuldades estarem relacionadas ao fato do aluno não ter
4Para simplificar o texto, chamamos de 𝑎 o valor do semi eixo maior da elipse e de 𝑏 o semi eixo
menor.
193
aprendido a trabalhar com a representação gráfica, pois tivemos alunos (3, 8 e 12)
que esboçaram um gráfico para tentar expressar a equação reduzida. Se o professor
não trabalhou com seus alunos a conversão entre os registros gráfico, algébrico e
em língua materna, estas podem tornar-se uma dificuldade insuperável. Nossa
recomendação é que os professores valorizem o ensino sob essa perspectiva
semiótica, pois vemos o uso da língua materna como uma grande auxiliar na
aprendizagem de Matemática.
Chamamos atenção para a importância que parece ser dada, no ensino de
Matemática, às fórmulas prontas. Observamos que quase todos os alunos que
expressaram o raciocínio feito nas questões 1, 2 e 5 rabiscaram primeiro a fórmula
da equação reduzida, para depois efetuarem a correspondência com as variáveis
visuais do gráfico. No caso da elipse, para que o estudante desenvolva a
aprendizagem, não basta que memorize a expressão algébrica mas, sobretudo, é
preciso que visualize o gráfico, o que quer dizer que o interprete de tal forma que
seja capaz de associar as variáveis visuais do gráfico às unidades significativas da
expressão algébrica.
Os alunos que escolheram apenas um dos dois itens corretos da questão 3,
em língua materna, consideramos não ter desenvolvido a aprendizagem para efetuar
a conversão no sentido G → LM , pois o sujeito que assim o fez não pensou no
sentido inverso. Por exemplo, a descrição “elipse com eixo maior de comprimento 6”
não garante todas as variáveis visuais para esboçar o gráfico. Tivemos 7 alunos que
escolheram apenas um item com as características do exemplo acima. Situações
como esta mostram falhas na aprendizagem que vão além da compreenção das
variáveis visuais do gráfico. É como se esses alunos não compreendessem o
significado matemático da palavra descrição, que neste caso pode ser tomado como
um sinônimo de conversão.
Se considerarmos que a comunicação nas aulas de Matemática é em língua
materna, conversões no sentido G → LM e LM → G não deveriam ser fonte de
confusões para os estudantes. A questão 4 trata do sentido da conversão LM → G e
observamos que houve um maior número de tentativas e 3 acertos, enquanto que a
conversão no sentido G → LM, na questão 3, teve um menor número de tentativas e
193
2 acertos. Estes dados mostram a dificuldade desses alunos com a compreensão do
texto dado em língua materna.
Com essas reflexões em mente e diante dos dados obtidos, concluímos e
respondemos nossa questão motivadora: “será que é verdade que alunos da 3ª
série do Ensino Médio não aprendem fatos básicos relacionados à
aprendizagem das cônicas”? Sim, é verdade. E diante do conhecimento limitado
que pudemos perceber, acerca das conversões relacionadas à cônica elipse,
diríamos ainda que todos precisariam rever novamente tópicos de Geometria
Analítica: o próprio sistema cartesiano; coordenadas de ponto; equações de reta;
equações de circunferência; e, em especial, as cônicas.
6. 2 RESPOSTAS DAS QUESTÕES DE PESQUISA
Para responder nossas questões de pesquisa, pautamo-nos nas análises feitas
(ver capítulo V, p. 75) e no que diz Duval (1995) acerca da conversão, de que o
sujeito só desenvolve a aprendizagem para efetuar a conversão de um objeto
matemático quando é capaz de compreender a mudança dos dois registros de
representação simultaneamente e não cada um deles separadamente.
“Alunos da 3ª série do Ensino Médio aprenderam a fazer a conversão entre os
registros gráficos e algébricos no caso das elipses?”
Para responder esta questão, consideramos as análises, por aluno e por
questão, da questão 1, em que se propõe a mudança de registro no sentido G → A e
da questão 2, em que se propõe a mudança de registro no sentido A → G.
A resposta é NÃO: apenas 2 dos 28 alunos (12 e 19) acertaram os dois sentidos de
conversão. Os demais alunos apresentaram falhas na interpretação das variáveis
visuais do gráfico e das unidades significativas da equação reduzida; e falhas na
correspondência das variáveis visuais do gráfico com as unidades significativas da
equação reduzida.
“Alunos da 3ª série do Ensino Médio aprenderam a fazer a conversão entre os
registros gráficos e da língua materna no caso das elipses?”
193
Para responder esta questão consideramos as análises, por aluno e por
questão, da questão 3, em que se propõe a mudança de registro no sentido G → LM
e da questão 4, em que se propõe a mudança de registro no sentido LM → G.
A resposta é NÃO: apenas um dos 28 alunos (o 12) acertou a conversão nos dois
sentidos. Os demais apresentaram falhas na identificação das variáveis visuais do
gráfico e na interpretação do texto em língua materna.
“Alunos da 3ª série do Ensino Médio aprenderam a fazer a conversão entre os
registros da língua materna e algébrico no caso das elipses?”
Para responder esta questão, consideramos as análises, por aluno e por
questão, da questão 5, em que se propõe a mudança de registro no sentido LM → A
e da questão 6, em que se propõe a mudança de registro no sentido G → LM.
A resposta é NÃO: apenas um dos 28 alunos (o 12) acertou a conversão no sentido
LM → A e não conseguiu fazer no sentido A → LM. Os demais não conseguiram
efetuar a conversão em nenhum desses sentidos.
“Em quais dessas conversões esses alunos mostram maior dificuldade?”
A resposta é TODOS: o nível das dificuldades foi preocupante, mesmo se com
características distintas uma da outra. Como não consideramos a questão 6 em
nossas conclusões, em razão de termos tido apenas uma resposta que pudesse ser
interpretada como conversão (ver p.161), as conversões no sentido LM → G e LM →
A, das questões 3 e 5, foram os sentidos em que ouve um maior número de erros,
relacionados à interpretação das variáveis visuais e aos tratamentos algébricos.
193
CAPÍTULO 7: CONSIDERAÇÕES FINAIS
Tivemos como preocupação em nossas análises, não apenas verificar os
objetivos imediatos da pesquisa, que foi verificar se sabem ou não efetuar as
mudanças de registros e em qual mudança os sujeitos apresentariam mais
dificuldades; mas também trazer outras variáveis que pudessem contribuir para
futuras pesquisas que tenham como objetivo utilizar os erros como uma ferramenta
didática para alavancar a aprendizagem e que professores reflitam sobre sua
metodologia de ensino e, se possível, a modifique.
Duval (2013) chama atenção para as dificuldades que surgem como
obstáculos à progressão na aprendizagem de conteúdos matemáticos e que se
manifestam por meio de erros ou, ainda pior, por bloqueios. A análise a luz da teoria
dos Registros de Representações Semióticas de Duval (1995) nos proporcionou
verificar de uma forma mais reflexiva a importância da avaliação, não para classificar
ou aprovar o aluno, mais para entender as dificuldades do aluno e didaticamente
planejarmos ações pedagógicas em que possamos utilizar os erros como
ferramentas de ensino.
Em nosso estudo, constatamos que alunos do Ensino Médio não
desenvolveram aprendizagem para se quer localizar as coordenadas de um ponto
no sistema cartesiano, nos remete a pensar que outros conteúdos como as funções
em geral; rotação, translação, homotetia e tópicos que antecedem as cônicas como
ponto, reta, plano, circunferências que dependem do sistema cartesiano para a
formação e definições de conceitos também não foram desenvolvidos.
Os resultados desta pesquisa são frutos de uma pequena comunidade de
alunos e localidade específica e não podemos generalizar nossas conclusões, mas
de acordo com os resultados de outras pesquisas relacionadas com o tema de
Geometria Analítica que lemos e citamos ao decorrer deste trabalho; e que
apontaram dificuldades de aprendizagem dos alunos em diversas partes do Brasil,
concordamos que os resultados da nossa retrata como está a aprendizagem da
Geometria Analítica dos alunos que concluem o Ensino Médio.
193
Os resultados com as questões que envolveram o uso da língua materna
mostraram maiores dificuldades dos alunos para efetuarem as conversões, fato que
nos surpreendeu e deixamos aqui um questionamento “será que professores
valorizam o ensino de tópicos de Geometria Analítica com o uso frequente da língua
materna?” O nosso objetivo aqui não foi avaliar o ensino da cônica elipse e sim
verificar as possíveis causas das dificuldades de aprendizagem e nem temos dados
para responder este questionamento; mas vamos deixar aqui como sugestões para
futuras pesquisas um diagnóstico do ensino da cônica elipse, pois nas análises não
aproveitamos muito das questões que se fazia necessário o uso da língua materna
nas conversões.
As evidências das dificuldades apresentadas pelos sujeitos desta pesquisa
foram falhas na aprendizagem geradas em função dos déficits de outras
aprendizagens. Nossas sugestões é que os professores do Ensino Fundamental II
dêem mais atenção ao ensino de equações algébricas, relações métricas do
triângulo retângulo, sistema cartesiano, funções afins e no Ensino Médio os
professores devem continuar com uma atenção especial aos esboços gráficos, em
especial as curvas valorizando certas variações ou lugares na curva que são, em
geral, importantes na interpretação de fenômenos que ela retrata e alavanca os
esquemas cognitivos quando estudarem as cônicas. Segundo Moretti (2008) essas
transformações, combinada com noções de simetria axial e a central, pode elevar
bastante a capacidade do aluno no esboço de curvas.
Segundo Cybis (2014) toda pesquisa tem características próprias e, por isso
pode gerar limitações ao estudo, no entanto, essas restrições podem favorecer o
surgimento de novas pesquisas. Sendo assim, nossa pesquisa tem aspectos que a
restringem sugerindo, deste modo, novos estudos que a ampliem a outras áreas da
Geometria Analítica.
Posso dizer que o tema dessa pesquisa sempre repercutiu em minha cabeça,
assim como nas ideias de colegas professores discutidas nos cafezinhos e
planejamentos pedagógicos e, por isso, espero ter colaborado para fazer crescer a
vontade de pesquisar e colocar em prática as ideias.
193
A análise qualitativa que fizemos dos protocolos a luz da teoria dos Registros
de Representações Semióticas me fez entender de forma mais “fina” o significado da
aprendizagem em Matemática. Fatos que fizeram repercutir a pesquisa em minhas
práticas pedagógica.
193
REFERÊNCIAS
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Disponível em: http://www.mat.ufmg.br/site/pos-principa/ acesso em 25 de dez. 2013
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geral, Maria Inês Fini; coordenação de área, Nilson José Machado. – 1. ed. atual. –
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SEE/CENP, 2010.
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Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo,
2008.
193
193
ANEXOS
ANEXO 1
SOLICITAÇÃO DE AUTORIZAÇÃO PARA PESQUISA ACADÊMICO-CIENTÍFICA
Ilma Sra. Diretora da Escola Estadual Armando Sestini, localizada na rua Ibiúna,
número 300, Jd. Dos Eucaliptos, Cidade de Caieiras, São Paulo.
Através do presente documento, solicitamos a V.S.ª autorização para
aplicação do Instrumento da pesquisa do projeto “Um Diagnóstico da Aprendizagem
das Elipses no Ensino Médio”. Projeto que será apresentado à Comissão de Ética da
Universidade Bandeirante Anhanguera como exigência parcial para o
desenvolvimento de uma Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, sob a
orientação da Professora Doutora Vera Helena Giusti de Souza.
A coleta de dados será feita através da aplicação de um teste diagnóstico
elaborado a luz do título do projeto, nas 3ª séries A e B do Ensino Médio nas aulas
de Matemática. Os procedimentos adotados nesta pesquisa obedecerão aos
Critérios da Ética em Pesquisa com Seres Humanos conforme Resolução número
196/96 do Conselho Nacional de Saúde. Informamos ainda que os discentes
menores de 18 anos só participarão desta pesquisa mediante autorização por escrito
do responsável legal.
Os participantes terão seus nomes trocados por pseudônimos preservando a
identidade dos sujeitos e qualquer menção a esta instituição só será feita mediante a
autorização da mesma. Ainda nos comprometemos após concluir os estudos desta
pesquisa voltar a esta Instituição de Ensino e socializar os resultados e as nossas
conclusões a cerca do tema pesquisado.
193
Os resultados dessa pesquisa poderão ser utilizados pelos pesquisadores em
publicações, em periódicos, livros, eventos científicos, cursos e outras divulgações
acadêmico-científicas. A veiculação de voz dos sujeitos em divulgações científicas
só será realizada com consentimento dos envolvidos ou autorização dos
responsáveis legais.
Caieiras, ______ de ____________ de ________.
Deferido ( ) Indeferido ( )
___________________________________
Rosely Sanches Pollon Galera
(Diretora)
193
ANEXO 2
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Título da Pesquisa: Um Diagnóstico da Aprendizagem da Elipse no Ensino Médio
Pesquisador: José Cícero dos Santos
Orientadora: Vera Helena Giusti de Souza
O Sr (a) está sendo convidado (a) a participar desta pesquisa que tem como
finalidade diagnosticar a aprendizagem das Cônicas no Ensino Médio. Ao participar
deste estudo o Sr (a) estará contribuindo com o material coletado, que servirão
como base para procurarmos entender melhor por que os alunos da 3ª série do
Ensino Médio, após estudarem conteúdos de Geometria Analítica, sentem tantas
dificuldades para aplicarem conceitos desse tema em estudos posteriores ao Ensino
Médio.
Não há despesas pessoais para o participante em qualquer fase do estudo,
assim como não há compensação financeira relacionada à sua participação. O
professor da disciplina de Matemática, o qual se dispôs a aplicar este trabalho, não
atribuirá notas aos participantes desta pesquisa. O Sr (a) tem liberdade de se
recusar a participar e ainda se recusar a continuar participando em qualquer fase da
pesquisa, sem qualquer prejuízo para a Sr (a).
Aplicaremos um questionário de seis questões, em dois momentos distintos,
durantes as aulas de Matemática. Se necessário selecionaremos alguns
participantes para uma breve entrevista e usaremos gravadores de voz e/ou vídeo.
Isso talvez seja necessário para compreendermos melhor alguma resposta dada
pelo participante nesta pesquisa. Os resultados dessa pesquisa poderão ser
utilizados pelos pesquisadores em publicações, em periódicos, livros, eventos
193
científicos, cursos e outras divulgações acadêmico-científicas. A veiculação de voz
dos sujeitos em divulgações científicas só será realizada com consentimento dos
envolvidos ou responsável legal. Os procedimentos adotados nesta pesquisa
obedecerão aos Critérios da Ética em Pesquisa com Seres Humanos conforme
Resolução número 196/96 do Conselho Nacional de Saúde. Os procedimentos
usados ofereceram riscos mínimos, pois todas as nossas ações desenvolvidas
estarão dentro das normas do Conselho de Saúde.
Os participantes terão seus nomes trocados por pseudônimos preservando a
identidade dos sujeitos. Menção à instituição onde o questionário será realizado será
feita somente mediante a autorização da mesma. Ainda nos comprometemos após
concluir os estudos desta pesquisa voltar a Instituição de Ensino e socializar os
resultados e as nossas conclusões a cerca do tema pesquisado.
Em qualquer etapa do estudo, o sujeito participante da pesquisa terá acesso
aos responsáveis pela pesquisa. Para eventuais dúvidas ou esclarecimentos sobre
os procedimentos ou a ética da pesquisa entre em contato com os pesquisadores
responsáveis na UNIBAN – Unidade Maria Cândida, Rua Maria Cândida 1.813, Vila
Guilherme - São Paulo - SP, telefones (11) 2967-9110 - (11) 2967-9000.
Após estes esclarecimentos, solicitamos o seu consentimento de forma livre
para participar desta pesquisa. Portanto preencha, por favor, os itens que se
seguem:
Eu,__________________________________________,RG____________________
___ responsável legal por
_______________________________________________, RG
__________________ declaro estar suficientemente informado a respeito das
informações que li acima, ou que foram lidas para mim, a respeito do projeto de
pesquisa “Um Diagnóstico da Aprendizagem das Elipses no Ensino Médio”. Ficaram
claros para mim quais são os propósitos do estudo, os procedimentos, as garantias
de confidencialidade e autorizo a veiculação dos resultados para os usos
mencionados. Está claro também que minha participação é isenta de qualquer tipo
de despesas. Assim sendo, concordo em participar deste estudo e poderei retirar o
meu consentimento a qualquer momento, antes ou durante o mesmo, sem
193
penalidades ou prejuízo para mim e sem prejuízo para a continuidade da pesquisa
em andamento.
Caieiras, _____ de ____________ de _______
__________________________________
(Responsável legal do participante)
__________________________________
José Cícero dos Santos
(Pesquisador)
___________________________________
Vera Helena Giusti de Souza
(Orientadora)
Pesquisador: José Cícero dos Santos
Contatos:
E-mail: [email protected]
193
ANEXO 3
193
193
ANEXO 4
193
193
193
