UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO WILLIANS … · todos os momentos, incentivando-me a cada momento na execução deste trabalho e por sua paciência e compreensão. Sem você

UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO

WILLIANS ADRIANO DE OLIVEIRA

TECNOLOGIAS DIGITAIS NA FORMAÇÃO CONTINUADA: SITUAÇÕES DE

ENSINO ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES

SÃO PAULO

2017

WILLIANS ADRIANO DE OLIVEIRA

MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

TECNOLOGIAS DIGITAIS NA FORMAÇÃO CONTINUADA: SITUAÇÕES DE

ENSINO ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação

em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de

São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título

de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação da

Prof.a Dr.ª Nielce Meneguelo Lobo da Costa.

SÃO PAULO

2017

Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou

parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

O52t Oliveira, Willians Adriano de

Tecnologias digitais na formação continuada: situações de ensino

articulando geometria e funções. Willians Adriano de Oliveira. – São

Paulo, 2017.

170 f.: 30 cm

Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática)

– Coordenadoria de Pós-Graduação - Universidade Anhanguera de São

Paulo, 2017.

Orientadora: Prof.ª Dr.ª Nielce Meneguelo Lobo da Costa

1. TPACK. 2. GeoGebra. 3. Funções quadráticas. I. Título. II. Universidade

Anhanguera de São Paulo.

CDD 371.39

FOLHA DE APROVAÇÃO

OLIVEIRA, W. A. TECNOLOGIAS DIGITAIS NA FORMAÇÃO CONTINUADA: SITUAÇÕES DE ENSINO ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNÇÕES. 170 f.

Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Programa de Pós-Graduação em

Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, 2017

BANCA EXAMINADORA

DEDICATÓRIA

À mulher da minha vida, Márcia, minha maior

incentivadora, pelo apoio e participação ativa e incondicional em

todos os momentos, incentivando-me a cada momento na execução

deste trabalho e por sua paciência e compreensão.

Sem você nenhuma conquista valeria a pena.

Aos meus pais, João e Iracema, que me fizeram

entender a importância da família, de perseverar no caminho da

honestidade e persistir para alcançar os meus objetivos.

AGRADECIMENTOS

A Deus, pelo Dom da Vida e por me guiar na realização deste trabalho.

Ao Programa Observatório da Educação (Obeduc) e à Coordenação de

Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes), pela concessão de bolsas e

demais subsídios para o desenvolvimento desta pesquisa alojada no Projeto n.º

19.366/2012, Edital n.º 49/2012.

À Prof.ª Dr.ª Nielce Meneguelo Lobo da Costa, pela sua amizade,

proporcionando-me tal oportunidade e acompanhando a realização deste trabalho; por

ser alguém que transpira sabedoria; meu respeito e admiração pela sua capacidade de

análise do perfil de seus alunos e sua orientação.

À Prof.ª Dr.ª Maria Elisa Esteves Lopes Galvão, pela sua colaboração no

desenvolvimento desta dissertação, com suas sugestões preciosas.

À Prof.ª Dr.ª Suely Scherer, pela sua colaboração e sugestões que auxiliaram

na escrita deste trabalho.

À Prof.ª Dr.ª Rosana Nogueira de Lima, pelos seus apontamentos e sugestões

imprescindíveis para a elaboração desta dissertação.

Aos professores do Programa de Mestrado, o meu muito obrigado.

A realização desta pesquisa apenas foi possível com o apoio dos professores que

participaram da formação continuada do Obeduc.

Aos amigos que fiz no Programa do Observatório e na Universidade, deixo aqui

o meu muito obrigado a vocês: Rosangela, Rosana, Wendel, Willian, Vera, Henrique,

Cláudia, as Adrianas e a todos aqueles que, de algum modo, colaboraram para a

realização deste trabalho.

RESUMO

Esta pesquisa está inserida em um projeto maior, intitulado Educação Continuada do

Professor de Matemática do Ensino Médio: Núcleo de Investigações sobre a

Reconstrução da Prática Pedagógica, n.º 19.366/2012, do Programa Observatório da

Educação (Obeduc), da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível

Superior (Capes) e tem por objetivo geral identificar, em um processo de formação

continuada de professores de Matemática, as possibilidades para

mobilização/reconstrução do conhecimento profissional docente – específico,

curricular e pedagógico –, a partir das discussões e reflexões envolvendo função

quadrática e áreas de figuras planas, abordadas com tecnologia digital. A pesquisa

tem como suporte teórico, quanto ao conhecimento profissional docente, os estudos

de Shulman (1986) e em Mishra e Koehler (2006), no tocante ao Conhecimento

Pedagógico Tecnológico do Conteúdo (TPACK) e, quanto aos processos reflexivos

docentes, em Perrenoud (2002). A metodologia da pesquisa é a qualitativa, composta

de duas etapas: a primeira de pesquisa documental e composição de um processo

formativo, e a segunda de desenvolvimento do processo formativo, coleta e análise

dos dados. O processo formativo foi estruturado em seis encontros de cinco horas

cada e seis horas a distância, tendo como suporte um ambiente virtual de

aprendizagem. Os dados foram coletados nos encontros de formação por meio de

diário de campo, questionário, observação participante, entrevistas e gravações de

áudio e vídeo. A análise foi do tipo interpretativa, com o método indicado por Powell,

Francisco e Maher (2004). Os resultados apontaram a ampliação dos conhecimentos

matemáticos, especialmente os relativos à função quadrática, além dos tecnológicos,

particularmente os relacionados às construções geométricas com o software

GeoGebra, e os pedagógicos, especialmente os relativos à integração

intramatemática pela articulação entre geometria e funções. Além disso, foi possível

concluir que as reflexões compartilhadas envolvendo áreas de figuras planas

auxiliaram a construir, reconstruir, mobilizar e ampliar conhecimentos, de modo a

impulsionar o desenvolvimento do conhecimento pedagógico e tecnológico do

conteúdo dos professores participantes da pesquisa.

Palavras-Chave: Educação Continuada. TPACK. GeoGebra. Áreas. Funções

Quadráticas.

ABSTRACT

This research is part of a larger project, entitled Continuing Education of the High

School Mathematics Teacher: Research Center on the Reconstruction of Pedagogical

Practice, n.º 19.366/2012, from Programa Observatório da Educação (Obeduc), from

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes) and its

general objective is to identify, in a process of continuous formation of Mathematics

teachers, the possibilities of expanding the professional knowledge – specific,

curricular and pedagogical –, by sharing discussions and reflections involving

quadratic function and areas of flat figures, approached with digital technology. The

research has as theoretical support, in terms of professional teaching knowledge, the

studies of Shulman (1986), and Mishra and Koehler (2006), regarding the

Technological Pedagogical Content Knowledge (TPACK) and, in terms of reflexive

teaching processes, the studies of Perrenoud (2002). The research methodology is

qualitative, composed of two stages: the first one of documentary research and

composition of a formative process, and the second one of development of the

formative process, collection and analysis of the data. The formative process was

structured in six meetings of five hours each and six hours at a distance, supported by

a virtual learning environment. Data were collected at the formative meetings through

field diary, questionnaire, participant observation, interviews and audio and video

recordings. The analysis was of the interpretative type, with the method indicated by

Powell, Francisco and Maher (2004). The results indicated an increase in

mathematical knowledge, especially those related to the quadratic function, in addition

to the technological ones, especially those related to geometric constructions with

GeoGebra, and the pedagogical ones, especially those related to intra-mathematical

integration through geometry and functions. In addition, it was possible to conclude

that shared reflections involving areas of flat figures helped to construct, reconstruct,

mobilize and expand knowledge, in order to boost the development of the pedagogical

and technological knowledge of the content of the teachers participating in the

research.

Keywords: Continuing Education. TPACK. GeoGebra. Areas. Quadratic Functions.

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 -Tela inicial do software GeoGebra ......................................................................................... 39

Figura 2 - Comandos básicos do GeoGebra .......................................................................................... 40

Figura 3 - Numerando a barra de ferramentas ..................................................................................... 40

Figura 4 - Barra de ferramentas do GeoGebra 5.0, comandos básicos................................................. 41

Figura 5 - Modelo TPACK ....................................................................................................................... 45

Figura 6 – Os diversos tipos de tarefas, em termos do grau de dificuldade e de abertura .................. 56

Figura 7 – AVA, tela de apresentação ................................................................................................... 64

Figura 8 – Apresentação do curso no AVA ............................................................................................ 64

Figura 9 – Tela do AVA relacionada ao primeiro encontro ................................................................... 66

Figura 10 – Tela do AVA relacionada ao segundo encontro ................................................................. 66

Figura 11 – Tela do AVA relacionada ao terceiro encontro .................................................................. 67

Figura 12 – Tela do AVA relacionada ao quarto encontro .................................................................... 67

Figura 13 – Tela do AVA relacionada ao quinto encontro .................................................................... 68

Figura 14 – Tela do AVA relacionada ao sexto encontro ...................................................................... 68

Figura 15 – Importância do software de Geometria Dinâmica segundo o Professor A ........................ 70

Figura 16 – Importância do software de Geometria Dinâmica segundo o Professor C ........................ 71

Figura 17 – Importância do software de Geometria Dinâmica segundo o Professor F ........................ 71

Figura 18 – Importância do software de Geometria Dinâmica segundo o Professor H........................ 71

Figura 19 – Importância do software de Geometria Dinâmica segundo o Professor T ........................ 72

Figura 20 – Importância do software de Geometria Dinâmica segundo o Professor W ...................... 72

Figura 21 – GeoGebra em sua tela inicial .............................................................................................. 75

Figura 22 – Construções dos professores C (a) e T (b) no AVA, deslocando a função no eixo das

abscissas ................................................................................................................................................ 79

Figura 23 – Alterando o coeficiente a ................................................................................................... 80

Figura 24 – Alterando o coeficiente b ................................................................................................... 82

Figura 25 – Alterando o coeficiente c ................................................................................................... 83

Figura 26 – Protocolo de construção do ponto P .................................................................................. 89

Figura 27 – Construção do professor F ................................................................................................. 90

Figura 28 – Construção da função sem a restrição X com restrição do domínio .................................. 92

Figura 29 – Comando Exibir-Protocolo de Construção .......................................................................... 93

Figura 30 – Construindo a secção de um carretel com as condições geométricas necessárias (a) e

apenas com os pontos de interesse (b) ................................................................................................ 94

Figura 31 – Construção do Professor C utilizando ponto médio ........................................................... 96

Figura 32 – Área da secção (axial) do carretel ...................................................................................... 97

Figura 33 – Professor C, ponto P e função área da secção (axial) do carretel ...................................... 98

Figura 34 – Construindo triângulos equiláteros utilizando o comando Polígono Regular (a) e com o

ponto C em comum ao primeiro triângulo equilátero (b) .................................................................. 103

Figura 35 – Área de um triângulo equilátero ...................................................................................... 106

Figura 36 – O ponto P (a), rastro do ponto P (b) e rastro do ponto P e a função t(x) (c) .................... 107

Figura 37 – Soma das áreas de duas circunferências .......................................................................... 113

Figura 38 – Construindo o ponto P com dois círculos tangentes ao ponto C (a), com a área de cada

círculo (b) e determinando o ponto P (c) ............................................................................................ 115

Figura 39 – Construção alternativa para o ponto P ............................................................................ 116

Figura 40 – Soma das circunferências, rastro do ponto P ................................................................... 117

Figura 41 – Soma das áreas dos círculos e sua função com o segmento (AB) =̅2 e rastro do ponto P

sobre a função com restrição de domínio, D(f)={x∈R|0<x<2} (a) e segmento (AB) =̅2,35 e o ponto P

sobre a função com restrição de domínio, D(f)={x∈R|0<x<2} (b) ....................................................... 119

Figura 42 – Construção do professor W, em segmento (AB) >̅2 (a) e rastro do ponto P para (AB) >̅2 (b)

............................................................................................................................................................. 120

Figura 43 – Construção completa (a) e apenas com os pontos de interesse (b) ................................ 122

Figura 44 – Cálculo da área da região irregular .................................................................................. 124

Figura 45 – Comparando a função área e P no ponto de máximo (a) e no raio máximo (b) .............. 124

Figura 46 – Atividade de vivência do professor H ............................................................................... 128

Figura 47 – Atividade de vivência, protocolo da questão 1 respondida pela dupla A ........................ 129

Figura 48 – Atividade de vivência, protocolo da questão 1 respondida pela dupla B ........................ 129

Figura 49 – Atividade de vivência, protocolo da questão 1 respondida pela dupla C ........................ 129







Figura 56 – Atividade de vivência, protocolo da questão 4 ................................................................ 132

Figura 57 – Atividade de vivência, segunda construção no GeoGebra ............................................... 132

Figura 58 – Atividade de vivência, protocolo da questão 1, segunda construção pela dupla A ......... 133

Figura 59 – Atividade de vivência, protocolo da questão 1, segunda construção pela dupla B ......... 133

Figura 60 – Atividade de vivência, protocolo da questão 1, segunda construção pela dupla C ......... 133







Figura 67 – Resposta do professor C à questão 1 ............................................................................... 137

Figura 68 – Resposta do professor H à questão 1 ............................................................................... 137

Figura 69 – Resposta do professor W à questão 1 .............................................................................. 137

Figura 70 – Resposta do professor F à questão 1 ............................................................................... 138

Figura 71 – Resposta do professor T à questão 1 ............................................................................... 138

Figura 72 – Resposta do professor A à questão 2 ............................................................................... 138
























ÍNDICE DE QUADROS

Quadro 1 – Perfil dos professores cursistas .......................................................................................... 55

Quadro 2 – Conteúdos e habilidades do segundo bimestre de Matemática do primeiro ano do Ensino

Médio .................................................................................................................................................... 59

Quadro 3 – Conteúdos e habilidades do terceiro bimestre de Matemática do sexto ano do Ensino

Fundamental ......................................................................................................................................... 60

Quadro 4 – Síntese do planejamento dos encontros ............................................................................ 62

Quadro 5 – Os encontros ...................................................................................................................... 73

Quadro 6 – Protocolo da atividade Área de um retângulo ................................................................... 88

Quadro 7 – Área de um carretel ........................................................................................................... 94

Quadro 8 – Soma das áreas de dois triângulos equiláteros ................................................................ 102

Quadro 9 – Protocolo soma das áreas de dois triângulos equiláteros ............................................... 105

Quadro 10 – Soma das áreas dos círculos ........................................................................................... 111

Quadro 11 – Protocolo soma das áreas de duas circunferências ....................................................... 112

Quadro 12 – Área compreendida entre um retângulo e uma circunferência .................................... 121

Quadro 13 – Protocolo da sexta atividade presencial ........................................................................ 123

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO .............................................................................................................. 15

1 ORIGEM DA PESQUISA .................................................................................................. 17

1.1 Trajetória .......................................................................................................................... 17

1.2 Problema de Pesquisa e Justificativa .................................................................................. 20

1.3 Objetivo e Questão de Pesquisa ......................................................................................... 24

1.4 Delimitação da Pesquisa .................................................................................................... 25

1.5 Revisão de Literatura ......................................................................................................... 26

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ......................................................................................... 36

2.1 Tecnologias Digitais para o Ensino de Matemática .............................................................. 36

2.2 GeoGebra .......................................................................................................................... 38

2.3 Conhecimento Profissional Docente ................................................................................... 42

2.4 Conhecimento Pedagógico Tecnológico do Conteúdo (TPACK) ............................................ 44

2.5 Processos de Reflexão Docente .......................................................................................... 48

3 METODOLOGIA ............................................................................................................. 50

3.1 Abordagem Metodológica ................................................................................................. 50

3.2 Procedimentos Metodológicos .......................................................................................... 54

3.3 Professores Cursistas Participantes da Pesquisa ................................................................. 55

3.4 Tarefas Exploratórias e Investigativas ................................................................................ 55

4 DESCRIÇÃO E ANÁLISE ................................................................................................... 58

4.1 Análise da Etapa 1 ............................................................................................................. 58

4.1.1 Planejamento do Curso de Formação Continuada .............................................................................. 61

4.1.2 O Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) do Curso ........................................................................ 63

4.2 Análise da Etapa 2 ............................................................................................................. 69

4.2.1 Análise do Questionário de Entrada .................................................................................................... 69

4.2.2 Os Encontros ........................................................................................................................................ 72

4.2.2.1 Início do módulo formativo .............................................................................................................. 74

4.2.2.2 Funções quadráticas no GeoGebra e tarefa correlata no AVA ......................................................... 76

4.2.2.3 Área de um retângulo ....................................................................................................................... 87

4.2.2.4 Área da secção de um carretel ......................................................................................................... 93

4.2.2.5 Soma das áreas de dois triângulos equiláteros .............................................................................. 102

4.2.2.6 Soma das áreas dos círculos ........................................................................................................... 111

4.2.2.7 Área compreendida entre um retângulo e uma circunferência ..................................................... 121

4.2.2.8 Atividade de vivência (AVA) ............................................................................................................ 126

4.2.3 Questionário Final .............................................................................................................................. 137

CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................ 144

REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 151

ANEXO .......................................................................................................................... 154

APÊNDICES .................................................................................................................... 155

15

APRESENTAÇÃO

A presente pesquisa, sob o título Tecnologias digitais na formação

continuada: situações de ensino articulando geometria e funções, está inserida

na linha de pesquisa Formação de Professores que Ensinam Matemática, a qual

integra o Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade

Anhanguera de São Paulo. A pesquisa compõe um projeto maior, intitulado

Educação Continuada do Professor de Matemática do Ensino Médio: Núcleo de

Investigações sobre a Reconstrução da Prática Pedagógica, registrada sob o

número 9.366/2012, do Programa Observatório da Educação, da Coordenação

de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes), e tem por objetivo

geral identificar, em um processo de formação continuada de professores de

Matemática, as possibilidades para a ampliação do conhecimento profissional

docente – específico, curricular e pedagógico –; a partir das discussões e

reflexões compartilhadas envolvendo a variação conjunta entre áreas de figuras

planas e funções quadráticas, abordadas com tecnologia digital.

Esta dissertação está organizada em cinco capítulos, além desta

Apresentação, das Considerações Finais, Referências Bibliográficas, Anexo e

Apêndices:

Capítulo 1 – Origem da pesquisa: neste capítulo relatamos a trajetória

pessoal do pesquisador; apresentamos o objetivo e a questão de pesquisa, a

delimitação do problema, a justificativa e a revisão de literatura.

Capítulo 2 – Fundamentação teórica: apresentamos aqui a

fundamentação desta pesquisa, que teve como base os estudos de Shulman

(1986), quanto ao conhecimento profissional docente, e em Mishra e Koehler

(2006), em relação aos saberes necessários à docência na presença da

tecnologia. Quanto aos processos reflexivos docentes, a fundamentação veio

dos estudos de Perrenoud (2002).

Capítulo 3 – Metodologia: neste capítulo descrevemos as características

do método da pesquisa, no caso, a qualitativa. Os procedimentos da pesquisa e

os instrumentos para a coleta de dados também estão neste capítulo, bem como

os procedimentos de análise.

16

Capítulo 4 – Descrição e análise: apresentamos os estudos realizados em

duas fases: a documental, com as análises dos documentos oficiais e

analisamos os eventos críticos da formação continuada dos professores; e na

sequência relatamos e analisamos os eventos críticos.

Capítulo 5 – Considerações finais: aqui apresentamos uma síntese do

trabalho, destacando os resultados e as sugestões para futuras investigações.

Anexos e Apêndices.

17

1 ORIGEM DA PESQUISA

Neste capítulo apresentamos as motivações que nos levaram a

desenvolver esta pesquisa, o problema da pesquisa, assim como seus objetivos

– a questão de pesquisa. Delimitamos a pesquisa alojada no Projeto

Observatório da Educação (Obeduc) Práticas, o qual será delineado

brevemente, bem como a justificativa da dissertação.

1.1 Trajetória

Desde o início da minha vida escolar, sempre me identifiquei com a

Matemática; não tinha aquela necessidade extrema de horas de estudos para a

compreensão de um novo conceito. Ingenuidade à parte, quando iniciei a minha

formação acadêmica, em 1999, e precisei utilizar os conhecimentos matemáticos

necessários ao desenvolvimento de minhas atividades acadêmicas, tive que

refazer alguns daqueles caminhos supostamente de fácil compreensão no

âmbito do Ensino Fundamental e Médio – como atualmente são chamados1 –, o

qual se revelou mais complexo, porém, deu sentido aos meus estudos – o que o

tornou mais fácil de compreender.

Acredito que isso tenha ocorrido por ter uma visão de Matemática pouco

conectada ao desenvolvimento de um pensamento lógico matemático, o qual

subsidia uma formação conectada à aplicação dessa em situações diversas –

tanto escolares como do cotidiano –, sendo para mim, enquanto aluno, apenas

uma prática de decorar fórmulas e saber aplicá-las. Enfim, enquanto estudante,

percebi que fui fruto de um ensino que valorizava apenas que os alunos

decorassem procedimentos e fórmulas, fato que não auxiliava na construção dos

conceitos e, por consequência, gerava desinteresse pelo aprendizado dessa

disciplina, seja por considerá-la apenas decorativa, ou um ensino distante da

realidade.

Repudio totalmente tais métodos, pois acredito que os procedimentos, as

fórmulas e os conceitos devem ser compreendidos – e não decorados. Por essas

razões, na tentativa de provocar mudanças nessa realidade, decidi me tornar

professor de Matemática.

_________________________________________________________________________

1 Neste trecho foi feito o uso da primeira pessoa do singular, por se tratar de motivos pessoais.

18

Durante o curso de Licenciatura em Matemática, aprofundei e ampliei os

meus conhecimentos teóricos, mas logo pude observar, desde o começo do

exercício de minhas atividades docentes, que não basta apenas saber o

conteúdo, é fundamental saber conduzir a aula e criar um ambiente de confiança

recíproca entre professor e alunos, bem como construir estratégias didáticas,

gerir a sala de aula e, enfim, saber como auxiliar cada estudante a erigir

conhecimentos matemáticos.

Com o objetivo de aprender a construir estratégias didáticas que fossem

significativas para a efetiva aprendizagem de meus alunos, decidi voltar aos

estudos.

Realizei a minha Especialização em Educação Matemática nas

Faculdades Metropolitanas Unidas (FMU), Instituição na qual pude me

aprimorar, ampliando os meus conhecimentos matemáticos, no caso, em

História e Filosofia da Matemática, no ensino de Matemática Discreta e de

Estatística. Saberes estes que, em meu entender, contribuíram para a minha

prática, pois passei a melhor observar os caminhos que meus alunos percorriam

no desenvolvimento de uma determinada tarefa, deixando de lado aquela

concepção de apenas verificar acertos e erros, mas, de analisar o

aprimoramento do pensamento para a resolução das questões propostas. Isso

me deixou temporariamente satisfeito, mas aos poucos vi brotar uma nova

inquietação, agora com o foco não apenas em aprimoramento pessoal.

Interessei-me pelo desenvolvimento de pesquisa na área da Educação

Matemática, por pensar que a formação de um profissional em Educação deva

ser planejada de forma a colaborar com a construção dos conhecimentos

discentes, atribuindo-lhe sentido; ou seja, que o conteúdo a ser ensinado tenha

alguma situação ou ambiente que lhe faça sentido. É fato que determinados

conteúdos matemáticos não são de fácil contextualização, cabendo, então, a

esse profissional, ao menos, indicar aos seus alunos a importância do material

a ser ensinado e citar a sua aplicação em conteúdo futuro.

Uma das minhas inquietações era no sentido de compreender como um

indivíduo constrói os seus conhecimentos para utilizar a tecnologia em suas

aulas de Matemática.

19

No anseio de me aprimorar e tornar o ensino de Matemática mais próximo

da realidade discente, decidi ingressar no Mestrado na Universidade

Anhanguera de São Paulo, ao longo do qual tive diversas conversas com

professores e constatei que o mesmo envolve pesquisas tanto em relação ao

ensino e à aprendizagem da Matemática, quanto à formação inicial e continuada

de professores.

No Mestrado, tomei conhecimento de algumas pesquisas na linha de

ensino, entre as quais aquelas que contemplam análises de processos

formativos docentes, que se mostraram alinhadas com as minhas inquietações

de dar sentido ao que se ensina, além da inserção de novas tecnologias nos

processos de ensino e de aprendizagem. Acredito que na profissão de professor,

tanto a formação como o aprendizado são contínuos, ligados tanto à teoria

quanto à prática. Se essa formação for realizada por meio de troca de

experiências entre os educadores em um ambiente de respeito mútuo, poderá

vir a ser ainda mais eficaz. Por conta disso, considero importante pesquisar

processos formativos de professores que visem auxiliar o ensino e a

aprendizagem de Matemática.

A partir desse interesse, integrei-me ao projeto intitulado Educação

Continuada de Professores de Matemática do Ensino Fundamental e Médio:

Núcleo de Investigações sobre a Reconstrução da Prática Pedagógica, ligado ao

Programa Observatório da Educação da Capes, sob o número 19.366, Edital n.º

49/2012.

Esse projeto se mostrou, para mim, uma oportunidade de

desenvolvimento do conhecimento profissional docente em Matemática, pois

nesse projeto tive contato com professores da rede pública do Estado de São

Paulo, com mestrandos e doutorandos do Programa, em um ambiente de muito

respeito, com profissionais preocupados com o desenvolvimento do ensino de

Matemática. Pudemos compartilhar as nossas experiências, discutir sobre

diferentes tipos de abordagens que podemos realizar para a introdução e o

desenvolvimento de um conteúdo como funções, por exemplo. Tomemos como

referência o ensino de função afim, de maneira a delinear as nossas

preocupações.

20

Nos referindo à função, por muitas vezes ficou evidenciado em nossas

discussões compartilhadas do Projeto que valorizamos, em nossas aulas, a

relação entre os coeficientes a e b da função afim e sua relação com a

representação gráfica, ou seja, a associação entre os quadros algébricos e

geométricos; mas que, por outro lado, não se evidenciava a preocupação com o

domínio da função. Nessa situação, quando tentamos dar sentido ao que se

ensina, quando damos uma situação cotidiana para exemplificar um problema

como o valor cobrado por uma corrida de táxi, a qual pode ser descrita por uma

função afim, fica evidente a necessidade de tratarmos do domínio da função,

pois temos uma restrição física, afinal, qualquer deslocamento que esse táxi faça

será estritamente positivo, e concluímos que muitas vezes até evidenciamos a

restrição do domínio quando partimos para a representação gráfica, porém, não

formalizamos essa restrição.

Considero que refletir sobre a própria prática, explorar diferentes aspectos

do conteúdo deva ser algo rotineiro nesse ofício, pois, por vezes percebemos

que se deixa de explorar aspectos importantes do conteúdo.

1.2 Problema de Pesquisa e Justificativa

A escolha por pesquisar sobre o ensino de funções adveio de as

considerar estruturantes para o desenvolvimento do pensamento matemático

dos alunos. Vale ressaltar que já na década de 1930 ocorreram, no Brasil,

discussões a respeito do modo de ensino da Matemática, sendo recomendado

que o estudo de funções fosse um dos eixos centrais, contemplando as suas

diferentes representações: geométricas, algébricas e gráficas – especialmente

porque, a partir do estudo de funções, torna-se possível integrar campos da

Matemática, tais como aritmética, álgebra e geometria.

Segundo Braga (2006), o tema função entre os conteúdos da Escola

Secundária está associado com a criação, em 1929, de uma nova disciplina

escolar do ensino brasileiro, denominada Matemática, resultante da unificação

de três outras que, até então, eram vistas de forma independente: Aritmética,

Álgebra e Geometria. Essa unificação foi motivada pelas ideias de Felix Klein,

quem propunha uma renovação estrutural da Matemática escolar, a qual foi

referendada pela Reforma Francisco Campos, em 1931, tendo como seu

colaborador Euclides Roxo, que idealizou a Reforma no Brasil, e compartilhava

21

das ideias do alemão Klein, chegando a elaborar livros didáticos muito

avançados para a sua época – os quais até hoje são assim considerados.

Christian Felix Klein, prussiano-alemão, foi um dos grandes matemáticos

de sua época e demonstrou interesse pela Educação. Aos 23 anos de idade, era

catedrático de Matemática e membro do Conselho da Universidade de Erlanger.

Em seus estudos, o matemático alemão evidenciou a sua preocupação em

pensar a Matemática de maneira intuitiva em um primeiro momento, deixando a

sistematização para uma ocasião posterior. Entre os anos de 1881 e 1882, Klein

trocou correspondência com Jules Henri Poincaré (1854-1912), matemático

francês que compartilhava da ideia de que a intuição deveria ter um lugar de

destaque no desenvolvimento da Matemática. Segundo Poincaré (2006 apud

BRAGA, 2006), “[...] é pela lógica que provamos, é por intuição que inventamos

[...]”.

Por outro lado, podemos observar que até os dias atuais nos é colocado

o desafio de tornar o ensino da Matemática mais próximo da realidade discente,

condição corroborada pela própria legislação, a qual evidencia a importância de

pensar a Matemática de diferentes formas e estabelecer conexões com outras

áreas do conhecimento e entre os diversos campos da própria Matemática, de

modo a dar sentido ao que se ensina. Particularmente, para a função, os

Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM) (BRASIL,1999,

p. 43) estabelecem:

O critério central [...] é o potencial de um tema permitir conexões entre diversos conceitos matemáticos e entre diferentes formas de pensamento matemático [...]. Um primeiro exemplo disso pode ser observado com relação às funções. O ensino isolado desse tema não permite a exploração do caráter integrador que ele possui [...].

Ainda os PCNEM indicam, como exemplo de conexões do tema funções

internas e externas, as seguintes condições:

As propriedades de retas e parábolas estudadas em Geometria Analítica são propriedades dos gráficos das funções correspondentes. Aspectos do estudo de polinômios e equações algébricas podem ser incluídos no estudo de funções polinomiais, enriquecendo o enfoque algébrico que é feito tradicionalmente. Além das conexões internas à própria Matemática, o conceito de função desempenha também papel importante para descrever e estudar através da leitura, interpretação e construção de gráficos, o comportamento de certos fenômenos tanto do cotidiano, como de outras áreas do conhecimento, como a Física, Geografia ou Economia (BRASIL,1999, p. 43).

22

Tais conexões são fundamentais ao lidar com funções. Assim, para os

PCNEM:

Cabe, portanto, ao ensino de Matemática garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática (BRASIL,1999, p. 43).

Desse modo, consideramos que se faz necessária uma abordagem ao

tema funções em um ambiente que proporcione interatividade por meio da qual

se possa estabelecer relações entre os quadros algébrico e geométrico. Assim,

optamos por explorar uma das quais, a relação entre a medida de um lado de

uma figura e sua área, possibilitando ao estudante uma investigação matemática

na qual poderá levantar conjecturas sobre a solução para posterior validação.

Quanto ao ensino da geometria nos PCNEM, temos o seguinte:

Numa outra direção, as habilidades de visualização, desenho, argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas podem ser desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno possa usar as formas e propriedades geométricas na representação e visualização de partes do mundo que o cerca. Essas competências são importantes na compreensão e ampliação da percepção de espaço e construção de modelos para interpretar questões da Matemática e de outras áreas do conhecimento. De fato, perceber as relações entre as representações planas nos desenhos, mapas e na tela do computador com os objetos que lhes deram origem, conceber novas formas planas ou espaciais e suas propriedades a partir dessas representações são essenciais para a leitura do mundo através dos olhos das outras Ciências, em especial a Física (BRASIL, 1999, p. 44).

A geometria se faz presente no cotidiano, pois podemos modelar os

objetos que nos circundam utilizando formas geométricas devido à sua aparente

similaridade, seja de uma forma plana ou espacial. Assim, utilizaremos formas

geométricas planas, pois optamos em explorar a articulação dos quadros

algébricos e geométricos, partindo da relação entre a variação da medida de um

lado de uma figura plana e sua área. A fim de estabelecer essa relação de modo

dinâmico e ter a tecnologia digital como recurso pedagógico para o ensino,

abordaremos essa associação dentro do ensino da geometria, explorando e

investigando figuras planas e sua relação com funções em um ambiente de

geometria dinâmica.

Ademais, Klein (2011, p. 87) nos relata a sua preocupação com a reforma

curricular:

23

Desejamos, simplesmente, que a noção geral de função, de acordo com uma das interpretações de Euler, penetrasse como um fermento em toda a instrução matemática das Escolas Secundárias. Não deveria, naturalmente, ser apresentada por meio de definições abstractas, mas devia ser transmitida ao aluno como algo vivo, por meio de exemplos elementares [...].

O enfoque do conteúdo matemático proposto nesta pesquisa corrobora

dessa ideia de Klein, de ser apresentada como algo que o aluno possa vivenciar

– aqui por meio do software GeoGebra – a relação entre funções polinomiais de

segundo grau com áreas de figuras planas. A pesquisa envolveu uma formação

continuada focada no ensino articulado de funções e geometria, por meio de

atividades exploratórias e investigativas com o uso do mencionado software de

Geometria Dinâmica e Interativa (GDI) GeoGebra.2

A escolha desse software se deu por ser um programa livre, disponível

em várias plataformas, o que facilita o acesso docente e discente. Ademais,

GeoGebra disponibiliza uma diversa gama de ferramentas, e possui uma

interface que permite ser utilizado em todos os níveis de ensino, a fim de estudar

geometria, álgebra, tabelas, gráficos e estatísticas.

Um outro motivo para a utilização desse software é por este possibilitar o

estabelecimento de relações entre construções geométricas planas com o

trabalho com funções, desde o conceito e suas representações, podendo, assim

e em um mesmo ambiente, inserir uma função por meio de sua janela de entrada

e observá-la tanto na janela algébrica, quanto na de visualização.

Entendemos que o GeoGebra auxilia no levantamento de conjecturas e

posterior exploração e validação das construções geométricas e sua relação

com a função área – na Seção 2.2, o software está apresentado com mais

detalhes.

Por fim, esta proposta visa, por meio do software GeoGebra, estabelecer

uma relação intramatemática, ou seja, relacionar a área de uma figura

geométrica plana à função área correspondente. Desse modo, é possível

visualizar simultaneamente a figura criada e sua respectiva função área, de

modo que modificando as medidas da figura, torna-se possível acompanhar a

alteração da função, o que não é viável de ser realizado sem a utilização de um

software de Geometria Dinâmica como o GeoGebra.

_________________________________________________________________________

2 Concebido por Markus Hohenwarter, em sua tese de Doutorado na Universidade de Salzburg, na Áustria, tal programa continua a ser desenvolvido, então, na Universidade da Flórida, Estados Unidos, e está disponível em: <http://www.GeoGebra.org>.

24

1.3 Objetivo e Questão de Pesquisa

Esta pesquisa tem por objetivo geral identificar e analisar, em um

processo formativo para professores de Matemática, as possibilidades de

mobilização/reconstrução do conhecimento profissional docente – específico,

tecnológico e pedagógico – a partir das discussões e reflexões envolvendo,

como meio, a tecnologia digital.

No sentido de atingir o objetivo geral, propusemos os seguintes objetivos

específicos:

• Identificar e analisar a mobilização/reconstrução de conhecimento sobre

função quadrática e áreas de figuras planas, assuntos abordados com o

GeoGebra;

• Identificar e analisar a construção/mobilização, particularmente, do

Conhecimento Pedagógico e Tecnológico do Conteúdo (TPACK).

A partir das inquietações e dos interesses de pesquisa, propusemos a

seguinte questão:

Quais conhecimentos profissionais são construídos/mobilizados pelos

professores ao longo de um processo de formação continuada com foco na

articulação entre geometria e funções com recursos tecnológicos?

Nesta pesquisa, entendemos a reconstrução de conhecimentos como o

que ocorre quando o indivíduo reelabora o pensamento sobre determinadas

questões, seja por um processo de assimilação de informações e de

acomodação e produção de novos conhecimentos, seja por reestruturações

feitas nos saberes anteriormente elaborados.

A partir desses objetivos e questão norteadora a pesquisa foi desenhada.

25

1.4 Delimitação da Pesquisa

Esta pesquisa está inserida em um projeto maior de formação e pesquisa

do Programa Observatório da Educação da Capes/ Instituto Nacional de Estudos

e Pesquisas Educacionais “Anísio Teixeira” (Inep),3 intitulado Educação

Continuada do Professor de Matemática do Ensino Médio: Núcleo de

Investigações sobre a Reconstrução da Prática Pedagógica, proposto pela

Universidade Bandeirante de São Paulo4 – e aprovado sob o número

19.366/2012 –, aqui referenciado como Projeto Obeduc Práticas.

Seu objetivo é desenvolver e analisar o processo de construção de um

Núcleo de Estudos sobre a Formação e as Práticas do Professor de Matemática,

com vistas à reconstrução da prática pedagógica. No Núcleo, para promover a

reconstrução da prática, são discutidas as formações continuadas e inovações

curriculares no ensino de temas estruturantes da Matemática.

Para empreender tais formações, estabeleceu-se uma parceria com

quatro Diretorias de Ensino (DE) da Secretaria de Educação do Estado de São

Paulo: a DE Norte 2, DE Guarulhos Norte, DE Guarulhos Sul, DE Adamantina,

além de uma Diretoria Regional de Ensino (DRE) da Secretaria de Educação do

Estado de Tocantins, DRE Porto Nacional.

No Projeto Obeduc Práticas são objetos específicos de pesquisa: i)

Identificar características das ações formativas desenvolvidas com os

professores de Matemática – cujo pressuposto é a articulação entre teoria,

prática docente e pesquisa – que favoreçam a reflexão sobre a prática

pedagógica; ii) Investigar meios para aprofundar a compreensão de conceitos

relativos aos temas estruturantes da Matemática, os quais desenvolvidos no

Ensino Médio e, como consequência, desenvolver métodos de ensino e

sequências didáticas para tais tópicos, incluindo o uso das tecnologias digitais;

iii) Analisar as estratégias pedagógicas dos professores participantes ao atuarem

_________________________________________________________________________

3 O Obeduc, do Ministério da Educação do Brasil (MEC), resultado da parceria entre a Capes, o Inep e a Secretaria de Educação Continuada, Alfabetização, Diversidade e Inclusão (Secadi), foi instituído pelo Decreto Presidencial n.º 5.803, de 8 de junho de 2006, com o objetivo de fomentar estudos e pesquisas em Educação, que utilizem a infraestrutura disponível das Instituições de Educação Superior (IES) e as bases de dados existentes no Inep. O Programa visa, principalmente, proporcionar a articulação entre Pós-Graduação, Licenciaturas e escolas de Educação Básica e estimular a produção acadêmica e a formação de recursos pós-graduados, em nível de Mestrado e Doutorado. 4 O nome da Universidade foi alterado para Universidade Anhanguera de São Paulo pela Portaria do MEC n.º 600, de 14 de novembro de 2013, publicado no Diário Oficial da União, n.º 223, de 18 de novembro de 2013, Seção 1, página 21.

26

no Ensino Médio, desenvolvendo, em sala de aula, os conteúdos abordados no

Projeto.

A presente pesquisa se insere no Projeto Obeduc Práticas, no segundo

objetivo, pois fora realizada dentro de um curso de formação continuada

intitulado GeoGebra no Ensino Médio: Aplicações com Funções Quadráticas,

que promoveu uma proposta de ensino articulando os conteúdos funções

quadráticas e áreas de figuras planas, tendo como meio para o seu

desenvolvimento o software GeoGebra 5.0.

Na próxima seção discutimos pesquisas referentes à temática do estudo.

1.5 Revisão de Literatura

A apresentação dos estudos e pesquisas que têm relação com esta

investigação foi organizada a partir de pesquisas relacionadas a funções

quadráticas e geometria plana com o uso de tecnologia e a formação de

professores.

Iniciamos as nossas buscas por pesquisas de mesma temática em sites

como o próprio da Universidade,5 da linha de formação de professores, Google

Acadêmico,6 banco de teses e dissertações da Capes,7 além de sites de outras

universidades com Mestrado e/ou Doutorado em Educação Matemática, casos

da Pontifícia Universidade Católica (PUC)8 e da Biblioteca Digital Brasileira de

Teses e Dissertações.9

Em nossos levantamentos preliminares, não encontramos dissertações

ou teses de mesma temática. Assim, refinando um pouco mais as nossas

buscas, localizamos apenas dois artigos sobre a articulação entre geometria e

funções, de modo particular, tais artigos tratam de área de figura plana e função

quadrática de modo similar ao nosso trabalho.

A escassez de pesquisas sobre essa proposta nos ressalta a importância

da presente investigação. Assim, dividimos as nossas buscas em quatro

categorias:

_________________________________________________________________________

5 Disponível em: <http://www.matematicaepraticadocente.net.br/teses.php>. 6 Disponível em: <https://scholar.google.com.br>. 7 Disponível em: <http://bancodeteses.capes.gov.br/banco-teses>. 8 Disponíveis em: <https://tede2.pucsp.br/handle/handle/947> e: <http://www.biblioteca.pucpr.br/tede/tde_busca/index.php>. 9 Disponível em: <http://bdtd.ibict.br/vufind>.

27

1 Pesquisas relacionadas às funções quadráticas com o uso de tecnologia

e áreas de figuras planas;

2 Pesquisas relacionadas às funções quadráticas com o uso de tecnologia;

3 Pesquisas relacionadas à área de figuras planas com o uso de tecnologia;

4 Pesquisas relacionadas ao conhecimento profissional docente e o uso de

tecnologia.

Na primeira categoria, das pesquisas relacionadas às funções quadráticas

com o uso de tecnologia e áreas de figuras, encontramos dois artigos, de Venant

(2015) e de Oliveira, Santos e Omodei (2014), discutidos a seguir.

Venant (2015), em sua pesquisa tratou da construção de ferramentas

tecnoeducacionais pelos professores, analisando duas sequências de

treinamento inicial sobre o conceito de covariação no sentido de comudar, na

articulação que existe entre as diferentes representações de uma função,

usando o GeoGebra para ligar essas representações. A autora procurou

desenvolver uma reflexão técnico-didática entre professores na formação inicial

e continuada. Tendo por objetivo entender o processo de instrumentação para o

ensino dos futuros professores de Matemática, bem como desenvolver

ferramentas de formação, observar e acompanhar a sua gênese instrumental.

Nesse artigo, selecionou três atividades que dependem da Geometria

Dinâmica e que permitem a covariação de modo mais abrangente, tendo como

base a ida e volta entre diferentes registros semióticos. Nas atividades

propostas, os estudantes – professores em formação inicial – usaram o

deslocamento de mover pontos para explorar a situação onde a representação

gráfica pode ser obtida a partir da figura com a ativação do rastro de um ponto

que representa a covariação, tal como em nosso trabalho, a variação de um lado

ou de uma parte da figura e a variação de sua área, ou seja, a covariação,

segundo a autora, o gráfico também pode ser obtido a partir da equação da

função.

A pesquisadora concluiu que, embora o seu trabalho seja um avanço para

a instrumentação didática de futuros professores, não foi suficiente para causar

essa gênese. Enfatizou que o papel de formador, segundo Trouche (2003 apud

VENANT, 2015, p. 321), “[...] é muito sutil, pois não deve ser intrusivo, impedindo

que o estudante crie seus próprios esquemas, nem muito distante, pois a gênese

28

deve ser guiada”.10 Foi além, argumentando que conhecimento técnico sem

consequências no ensino não leva a uma integração eficaz da tecnologia na

Educação.

O próximo texto analisado foi o artigo de Oliveira, Santos e Omodei

(2014), intitulado O estudo de função quadrática por meio de uma área irregular:

uma atividade de investigação com o auxílio do GeoGebra. Tal artigo tem como

foco uma pesquisa desenvolvida em uma formação continuada de professores

com o uso do software GeoGebra – o mesmo de nossa pesquisa – e com uma

atividade envolvendo área e figura plana, sendo uma das poucas abordagens

que tiveram um olhar voltado à articulação entre os quadros algébricos e

geométricos nesse contexto.

Em tal trabalho os professores refletiram sobre os conteúdos à medida

que surgiram durante o desenvolvimento da atividade. Os participantes

cursistas, com o auxílio do software, criaram as suas conjecturas, de modo que

puderam testá-las e validá-las – ou não – matematicamente. Tendo como foco

principal a investigação matemática, na qual os docentes estudaram um

problema geométrico e o relacionaram a uma função quadrática, uma maneira

de os professores conhecerem na prática a investigação matemática; o texto

apontou que são poucos os profissionais que conseguem desenvolvê-la em sala

de aula, seja por falta de prática, ou pelo fato de a aula tradicional estar tão

inserida no meio escolar que se torna difícil pensar em uma aula diferenciada,

embora acreditem que possibilite um pensar sobre os conceitos no sentido de

articulá-los com determinada atividade e criar as suas próprias conjecturas e

justificá-las matematicamente.

Em relação à segunda categoria, entre as pesquisas encontradas sobre

funções quadráticas com o uso de tecnologia digital no caso, em específico o

software GeoGebra, analisamos as seguintes abordagens:

A investigação de Ferreira (2013), realizada com estudantes do primeiro

ano de um curso de Licenciatura em Matemática, examinou as contribuições do

software GeoGebra na interpretação e análise de funções afim e quadráticas em

cinco encontros de quatro horas de duração, cada, perfazendo um total de nove

_________________________________________________________________________

10 « Le rôle du formateur est très subtil car il ne doit être ni trop intrusif, ce qui empêcherait les étudiants de metre em place leurs propres schèmes, ni trop extérieur car les genèses doivent être guidées ».

29

atividades onde se apoiou, para a sua execução das mesmas, nos registros de

representação semiótica de Raymond Duval, tendo por metodologia de análise

o design research. Nessas, podemos observar a preocupação de desenvolver

atividades envolvendo tanto a área quanto o perímetro em um intervalo

determinado por um seletor – controle deslizante –, bem como a relação de

dependência entre a medida da base de um retângulo e sua área.

Concluímos que seu trabalho possibilitou uma análise crítica das

atividades propostas. Quanto ao software GeoGebra, permitiu aos alunos a

conversão entre as representações algébricas e gráficas das funções e que a

metodologia de análise possibilitou identificar as dificuldades apresentadas pelos

professores cursistas.

Santos (2009) propôs a utilização de tecnologia – software de Geometria

Dinâmica GeoGebra – e sequências de ensino para melhorar o desempenho e

a aprendizagem sobre a função polinomial do segundo grau voltada a alunos do

segundo ano do Ensino Médio em uma escola pública de Carapicuíba, Cidade

localizada na Grande São Paulo. O autor empregou, para o desenvolvimento do

ambiente informatizado, os princípios do design instrucional, definidos por Filatro

(2008 apud SANTOS, 2009) como um processo para identificar um problema de

aprendizagem, desenhar, implementar e avaliar a solução proposta.

Tal condição foi composta pelas seguintes fases: análise para conhecer o

seu público e as suas dificuldades e propor uma solução aproximada; design

para definir o meio e formato do material instrucional; desenvolvimento – a

equipe produziu o material educacional, baseando-se no projeto do design –;

implementou um novo planejamento para praticar o material, os prazos, a coleta

dos dados e o ambiente para os testes; por fim, a avaliação.

Após a realização dos testes com os participantes, o pesquisador fora

capaz de dizer se o material desenvolvido foi eficiente e identificar possíveis

correções.

A fundamentação teórica da pesquisa de Santos (2009) foi a teoria dos

registros de representação semiótica, de Raymond Duval, e a teoria das

situações didáticas, de Brousseau. A pesquisa foi desenvolvida em um curso

semipresencial no laboratório de informática da escola e em um ambiente virtual

no MSN Group e por e-mail para a discussão das tarefas, além da

disponibilização de um DVD de dados para cada aluno.

30

Participaram trinta estudantes do segundo ano, dos quais três foram

analisados, pois integraram todas as discussões, desenvolvendo uma sequência

didática composta por dez atividades. O objetivo foi que o aluno visualizasse e

percebesse por meio da movimentação de seletores, as modificações no registro

algébrico e suas respectivas alterações na representação gráfica – e vice-versa.

Como resultados, Santos (2009) concluiu que o software GeoGebra, pelo

seu dinamismo, propiciou aos alunos a percepção à mudança dos registros de

representação gráfica e algébrica da função polinomial do segundo grau. Para

esse pesquisador o ambiente informatizado propiciou um aprofundamento dos

conhecimentos relacionados à função quadrática, especialmente pela sequência

de atividades, a qual promoveu a articulação entre os registros de representação

algébrico e gráfico.

Chama-nos a atenção a necessidade de outras pesquisas que articulem

os diversos registros de representação, nas quais os estudantes tenham um

papel mais ativo, sem se limitarem a modificar seletores, de modo a identificarem

as possibilidades de construção de conhecimento discente. Ademais, a pesquisa

de Santos (2009) foi empreendida com alunos do Ensino Médio – e não com

professores, como é o caso desta proposta.

Em relação à terceira categoria, das pesquisas referentes às áreas de

figuras planas e o uso de tecnologia, encontramos a pesquisa de Vieira (2010),

quem implementou estratégias de ensino que combinaram materiais concretos

com softwares de Geometria Dinâmica para a aprendizagem de áreas de figuras

planas e espaciais, tendo por objetivo investigar o nível de pensamento

geométrico de cada aluno participante por meio do teste dos níveis de Van Hiele

por instrumento – um pré-teste e outro pós-teste. Para tanto, elaborou uma

sequência de atividades e os recursos empregados foram o Geoplano, figuras

geométricas planas e espaciais fabricadas em papel-cartão e o software

GeoGebra.

Estiveram envolvidos professores cursistas e 23 alunos de todas as séries

do Ensino Médio, todos de uma escola pública do interior de Minas Gerais, os

quais participaram de todos os encontros e realizaram as atividades da

sequência. Os estudantes foram divididos em três grupos que se reuniam em

dias e horários distintos, totalizando dezoito horas para cada grupo, com

encontros de duas horas semanais.

31

Para a autora, o software GeoGebra possibilitou algumas explorações que

o Geoplano ou outros recursos não permitiam, tais como medidas mais precisas.

Destacou que o GeoGebra possibilitou a manipulação da figura de forma

interativa, experimentando, assim, várias possibilidades. Verificou também um

avanço na linguagem geométrica, a qual foi viabilizada pelo software,

favorecendo o desenvolvimento de habilidades e avanço nos níveis de raciocínio

geométrico, fatores evidenciados no aumento da capacidade argumentativa e

dedutiva.

Observamos que tal relato corrobora com a nossa pesquisa no sentido de

que o software GeoGebra possibilita o levantamento de conjecturas e seus

testes por meio da movimentação das construções realizadas, isto se deve ao

dinamismo do software ao possibilitar o desenvolvimento de atividades

exploratórias e investigativas.

Para Lopes (2013) a sua investigação teve como objetivo

[...] perceber de que modo os alunos desenvolvem os conceitos de área e perímetro e que dificuldades experienciam, tendo por base uma unidade de ensino com uma abordagem de cunho exploratório, recorrendo a um ambiente de Geometria Dinâmica – o GeoGebra.

Trata-se de uma pesquisa qualitativa interpretativa em que, segundo

Goyette e Boutin (1990 apud LOPES, 2013), “[...] um investigador segue o

paradigma interpretativo quando se pretende questionar, por exemplo, acerca

dos significados que os alunos e os docentes podem criar em conjunto no

processo de ensino-aprendizagem”. Logo, a investigação se preocupa com a

maneira pela qual os significados são desenvolvidos. Tratando-se da

investigação da própria prática, no trabalho com uma turma de quinto ano que a

pesquisadora leciona, foram analisados dois professores cursistas por meio de

observação de aulas, registros em diário de bordo, entrevistas e análise

documental.

Em sua pesquisa, a autora evidencia as dificuldades discentes na

aprendizagem dos conceitos de perímetro e área sobre os quais os alunos se

confundem, devido ao tratamento dado de decorar fórmulas; propondo uma

prática conjunta do ensino dos dois conceitos. Conclui que os estudantes

melhoraram a sua compreensão do conceito de perímetro e do modo como este

é determinado, mas persistindo alguns erros no uso de fórmulas para cálculo do

perímetro do círculo e de triângulos. De modo geral, houve melhora significativa

na distinção entre área e perímetro.

32

A autora enfatiza que o trabalho simultâneo dos dois conceitos, tendo

como recurso a informática e outras atividades exploratórias, possibilitou aos

alunos envolvidos no estudo a superação de algumas de suas dificuldades

acerca dos conceitos de perímetro e área.

Para Machado (2011) a significação dos conceitos pela experiência com

Geometria Dinâmica se apresentou como um caminho para a mobilização dos

professores como recurso didático e sua apropriação como um modo de

compreender a Matemática. Destacou o software GeoGebra com potencial para

despertar o interesse do aluno devido ao seu dinamismo.

Em sua investigação, o autor se baseou nos resultados da Prova Brasil e

do Sistema Mineiro de Avaliação e Equidade da Educação Pública (Simave), de

uma escola estadual do Município de Entre Rios, MG, nas quais o desempenho

dos estudantes do Ensino Fundamental em geometria plana foi abaixo do

esperado. Para esse autor, embora os alunos conseguissem resolver exercícios

clássicos aplicando fórmulas para o cálculo de perímetro e área, encontraram

dificuldades em resolver situações-problema que envolvam tais conceitos.

Assim, propôs a utilização do GeoGebra para o ensino desses conteúdos,

com o desenvolvimento de atividades que atribuam significado aos sentidos

discentes, por entender que a compreensão requer significação. Conforme

Dewey (1959 apud MACHADO, 2011), “[...] a compreensão pode ser entendida

como a capacidade de resolver situação-problema, estabelecer relações,

atribuindo significados que possibilitem aplicar, ressignificar e recriar [...]”, ou

seja, tem como foco a compreensão dos conceitos, o que deve nortear uma

prática reflexiva.

O autor observou aulas práticas da turma de pesquisa sobre esses

conceitos em 2009, em um projeto-piloto com voluntários de uma turma distinta

ao grupo pesquisado em 2010, sendo essa turma desenvolvida de forma

extraescolar e tendo por finalidade atividades exploratórias da pesquisa, em

2010, dentro e fora do laboratório de informática, com o grupo da pesquisa que,

à época, compunha o sexto ano do Ensino Fundamental. No projeto-piloto em

2010, com uma turma do sétimo ano, foram testadas as atividades práticas no

GeoGebra, a fim de ajustá-las aos instrumentos para a coleta de dados. Por fim,

com a turma que fora observada no ano anterior, tal processo de investigação

foi composto por pré-testes, por atividades práticas em sala de aula e no

33

laboratório de informática, com o GeoGebra e, finalmente, por um pós-teste para

obter informações acerca da atribuição de significados aos conceitos de

perímetro e área, além das contribuições do software.

O pesquisador apontou que tanto os alunos quanto a professora titular da

sala cujos encontros foram acompanhados, julgaram o software como viável e

fácil de manusear e que seu dinamismo complementou outros recursos que são

estáticos, tais como desenhos em livro-texto e com o Geoplano.

Em relação à quarta categoria, das pesquisas sobre o conhecimento

profissional docente e o uso de tecnologia, destacamos aqui pesquisas que se

caracterizam pelo envolvimento do conhecimento profissional docente e o uso

de tecnologia, assim analisadas:

Lobo da Costa e Prado (2015) consideram que a integração das

tecnologias digitais na prática docente é um desafio cada vez mais presente,

embora não seja uma tarefa fácil. Afirmam que o desenvolvimento das

Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação (TDIC) diminuem distâncias

e propiciam uma troca rápida de ideias e atividades coletivas e, com o acesso à

internet, possibilita ainda o compartilhamento de experiências e enfatizam a

importância da formação de professores. Lobo da Costa e Prado (2015, p. 102)

dizem ser necessário “[...] preparar o professor para enfrentar os desafios

constantes na reconstrução de sua prática didática para o uso das tecnologias

digitais nos processos de ensino e aprendizagem”.

As autoras distinguem inserir de integrar a tecnologia digital na Educação,

corroborando com as ideias de Bittar (2010 apud LOBO DA COSTA; PRADO,

2015), para a qual “[...] integrar um novo instrumento [tecnologia digital] em sala

de aula, implica mudanças pedagógicas, mudanças do ponto de vista da visão

do ensino, que devem ser estudadas e consideradas pelos professores”. Nesse

sentido, acreditam que as TDIC demandam diversos conhecimentos para o

professor de Matemática a fim de integrar e explorar a tecnologia e suas

potencialidades para o ensino e a aprendizagem em Matemática, sendo um dos

desafios ao docente a integração da tecnologia ao currículo. Para essa

integração acontecer, faz-se necessária a reconstrução de conhecimentos, de

modo que o professor precisa vivenciar o processo de apropriação pedagógica

das tecnologias digitais a fim de propiciar uma nova forma de ensinar – por se

tratar de um processo gradual e que depende fundamentalmente da

34

predisposição do profissional em aprender e reconstruir os seus conhecimentos

para o uso da tecnologia na prática.

As autoras afirmam que a tecnologia digital, se usada para o ensino de

Matemática de forma que o aluno possa construir o próprio conhecimento, cobra

condições, ao menos, de levantar, testar e exteriorizar as suas conjecturas em

prol da resolução de problemas e compreensão de conceitos. Por fim, alertam

que o ensino de Matemática integrado às tecnologias digitais não é um processo

simples, pois demanda, por parte do professor, novas aprendizagens e a

reconstrução de conhecimentos, de modo que esse profissional deve, de forma

contínua, construir/reconstruir o seu conhecimento pedagógico-tecnológico do

conteúdo (TPACK), sendo este um processo de aprendizagem ao longo da vida.

Rocha (2014) desenvolveu a sua pesquisa em um curso de Extensão para

licenciandos em Pedagogia da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul

(UFMS), transcorrido em doze encontros. Tal curso visou a elaboração de

planejamentos de aulas com tecnologia que fossem de possível aplicação nos

anos iniciais do Ensino Fundamental. Os encontros aconteceram no laboratório

de informática com a utilização do software Superlogo.

Sua pesquisa tinha por objetivo a aplicação do software na prática futura

dos acadêmicos. Para a análise, utilizou vídeos das tarefas e áudios dos

encontros de uma dupla de licenciandos. Tendo por cenário atividades no

software que articularam questões ligadas à tecnologia, pedagogia e ao

conteúdo à luz de Mishra e Koehler (2006), diversos conhecimentos foram

exigidos na prática docente.

Dividiu a sua análise em três aspectos, a saber: i) Conhecimento

tecnológico do conteúdo, evidenciando que a dupla teve dificuldades conceituais

sobre figuras planas, o que gerou a necessidade de discutir as propriedades de

tais figuras, fato que, segundo a autora, mobilizou e construiu conhecimento.

Salientou ainda a importância dos saberes tanto tecnológico como do conteúdo,

pois acredita que se o professor tiver um conhecimento maior no conteúdo e

pouco do tecnológico, poderá limitar as suas atividades quanto à utilização das

ferramentas do software, por outro lado, se o conhecimento tecnológico for maior

e tiver pouco do conteúdo, poderá ter dificuldades na abordagem de um

conteúdo específico; ii) Conhecimento pedagógico-tecnológico, em que atribuiu

a sua mobilização às discussões sobre a postura docente, ao gerenciamento da

35

aula quando o aluno apresenta dificuldades na compreensão de um conceito; e

iii) Conhecimento pedagógico do conteúdo, referindo-se à elaboração e

aplicação do planejamento das duplas.

Para Rocha (2014, p. 130) o entrave não está propriamente no uso do

recurso tecnológico disponibilizado, mas em “[...] utilizá-lo de modo a contribuir

com os processos de ensino e aprendizagem tem sido um ponto de dificuldades

para os professores”. A autora afirma que elaborar o planejamento de aula

favoreceu a articulação entre o conteúdo, a tecnologia e pedagogia, embora

ainda seja uma tarefa difícil utilizar a tecnologia de modo a contribuir nos

processos de ensino e aprendizagem.

A revisão foi fundamental para compor as atividades do processo

formativo e tomar contato com os resultados obtidos das pesquisas levantadas.

36

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A fundamentação teórica desta pesquisa teve três construtos relativos à

tecnologia digital no ensino de Matemática, conhecimento profissional docente e

processos reflexivos na prática docente. Foi baseada nos estudos de Shulman

(1986) quanto ao conhecimento profissional docente, por realizarmos a pesquisa

com professores em um curso de formação continuada em Matemática, e em

Mishra e Koehler (2006) em relação aos conhecimentos necessários para a

docência na presença da tecnologia, pois desenvolvemos a pesquisa utilizando

o GeoGebra 5.0., sendo este um software de geometria dinâmica. Quanto aos

processos reflexivos docentes, os quais foram essenciais para identificar os

saberes mobilizados/(re)construídos, a fundamentação veio dos estudos de

Perrenoud (2002), por abordar uma análise reflexiva na prática e sobre a prática

do ensino.

2.1 Tecnologias Digitais para o Ensino de Matemática

Pesquisadores da área de Educação Matemática vêm investigando o uso

de tecnologias na Educação há algumas décadas e constataram que esse uso

vem aumentando, seja pela formação de mestres e doutores na formação

continuada e na Extensão, seja pela disseminação de possibilidades de uso no

ensino viabilizadas por publicações as mais diversas. Enfim, é fato que o número

de educadores preocupados em incorporar as tecnologias em suas práticas

apenas aumenta.

Para Maltempi (2008, p. 61) “[...] toda inserção de tecnologia no ambiente

de ensino e aprendizagem requer um repensar da prática docente, pois ela não

é neutra e transforma a relação ensino-aprendizagem”. Logo, para esse autor,

quando usamos novas tecnologias no ensino e na aprendizagem, modificamos

a prática pedagógica bem como a abordagem sobre a Matemática. Para tanto,

há uma demanda docente em refletir sobre a própria prática ao inserir

tecnologias em sala de aula. Justifica ainda essa inserção, seja por imposição

da sociedade devido à grande parte da população ter contato com a qual. As

escolas recebem alunos que são usuários de tecnologias, estudantes estes que

pressionam o seu uso e/ou porque as tecnologias ampliam as possibilidades de

se ensinar e aprender.

37

Acredita que uma das possibilidades é trabalhar com projetos, mas

ressalta a importância de o professor não perder o seu compromisso de

aprofundar os conteúdos específicos, o que o autor classifica como paradoxal,

pois ao trabalhar com projetos, abre-se a possibilidade de se enveredar por

temas imprevistos e que se tornam difíceis de serem relacionados com os

conteúdos específicos de interesse.

Aponta uma deficiência na formação inicial quanto ao uso de tecnologia

na prática pedagógica, acarretando em sobrecarga na formação continuada, fato

que poderia ser minimizado com a sua inserção na formação inicial e deixando

para a formação continuada o foco em outros aspectos, ressaltando que esta

deve acontecer ao longo da vida.

Quanto ao uso de tecnologia, de modo particular a digital no ambiente

escolar, podemos observar que Borba e Penteado (2016), no intuito de refletirem

sobre questões tais como: “Se no computador ele apenas dá um “enter”, como

o aluno aprende a traçar um gráfico?” “Se o estudante utiliza a calculadora, como

aprende a fazer a conta?” Acreditam que uma forma de refletir seria:

[...] reformulá-las dentro do contexto de uso de lápis e papel. Perguntamos: será que o aluno deveria evitar o uso intenso de lápis e papel para que não fique dependente dessas mídias? Em geral as pessoas ficam perplexas diante de tal questão. “Como assim?” Parece que não considera o lápis e papel como tecnologias, da mesma forma que o fazem com o computador. Para elas, o conhecimento produzido quando o lápis e papel estão disponíveis não causa dependência. É como se a caneta, por exemplo, fosse “transparente” para que os que advogam essa posição. Para nós, entretanto sempre há uma mídia envolvida na produção do conhecimento (BORBA; PENTEADO, 2016, p. 11-12).

Nesse sentido, os autores nos levaram a refletir e levantar alguns

questionamentos:

• Sempre que utilizamos algum meio tecnológico que pode ser – ou não –

digital para desenvolver alguma atividade, se ficarmos restritos a esse

único meio, não estaríamos limitando as possibilidades de

aprendizagem?

• Não estaríamos limitando as possibilidades de exploração e reflexão?

• Como podemos julgar qual seria a melhor tecnologia a ser utilizada?

Corroboramos com esses autores sobre o fato de que a pluralidade de

tecnologias nos conduz a uma gama de opções, cabendo ao professor lançar

mão daquela(s) que lhe seja(m) mais apropriada(s) para a situação de

aprendizagem, a(s) qual(is) deve(m) ser parte de seu repertório didático, ou seja,

38

o professor necessita dominar cada tecnologia e incorporá-la à sua prática

docente ao nível TPACK. Assim, não estamos aqui nos restringido à tecnologia

digital, afinal, seja qual for o suporte – mídia – envolvido, esse profissional deve

ter construído tal conhecimento para maximizar as possibilidades de exploração

do conteúdo específico.

Entendemos que não há uma tecnologia ideal a ser utilizada; e mais, não

devemos nos restringir a uma única tecnologia, seja digital ou não. Deve-se, na

medida do possível, usufruir das mídias disponíveis ao professor em seu

ambiente de trabalho, mas que, para tanto, esse profissional deve estar

preparado para trabalhar com tais mídias, de tal maneira que possa explorá-las

das mais variadas formas e alternando entre as quais. Essa manipulação

intencional das mídias disponíveis, bem como a análise reflexiva da sua prática,

que passa por constantes processos de construção e reconstrução do

conhecimento – tanto de si como de seus alunos –, apenas poderá ser

contemplada de maneira satisfatória se esse profissional tiver construído o seu

conhecimento pedagógico e tecnológico do conteúdo.

2.2 GeoGebra

GeoGebra11 é um software gratuito de Geometria Dinâmica, que

possibilita a construção em um ambiente virtual de figuras geométricas que, uma

vez construídas a partir de suas propriedades, podem ser movimentadas,

conservando-as. O software possibilita o traçado de gráfico de funções como,

por exemplo, a de função quadrática, que foi objeto deste estudo.

A versão utilizada do GeoGebra foi a 5.0, que permite construções tanto

para a Geometria Plana, como para a Geometria Espacial. Utilizamos a janela

de visualização Bidimensional (2D), a qual se apresenta logo na abertura do

programa, tendo como fio condutor a Geometria Dinâmica – de conservação de

propriedades geométricas das figuras.

Na Figura a seguir podemos observar a tela inicial do GeoGebra:

_________________________________________________________________________

11 Disponível em seu site: <https://www.GeoGebra.org>.

39

Figura 1 – Tela inicial do software GeoGebra Fonte: Acervo do Autor.

Na Figura, podemos observar as janelas de álgebra e de visualização e o

campo de entrada. As construções podem ser feitas tanto inserindo o comando

no campo de entrada, como diretamente na janela de visualização; em ambos

os casos, teremos o registro da respectiva construção na janela de álgebra, a

qual registra todas as construções, podendo a mesma ser editada, ou seja,

alterando-se uma construção por meio dessa janela, bem como exibir ou ocultar

algum objeto construído.

GeoGebra é um software no qual se pode construir, visualizar e manipular

objetos bidimensionais, tais como pontos, retas, quadrados, triângulos,

hexágonos, entre outros, seja por comando direto ou por construção geométrica.

Na seguinte Figura podemos observar alguns comandos básicos do

software:

40

Figura 2 – Comandos básicos do GeoGebra Fonte: Acervo do Autor.

Os comandos destacados na Figura são por nós considerados os

elementares para a manipulação do software, pois possibilitam ao usuário exibir

ou ocultar tanto os eixos como a malha – de acordo com a sua necessidade ou

desejo –, quanto aos comandos desfazer ou refazer, podendo-se recorrer a estes

de modo reincidente em uma construção, pois quando se deseja desfazer algo,

é possível excluir de modo retroativo cada uma das construções realizas; por

outro lado, o usuário pode se exceder nesse processo, optando por refazer

alguma construção desfeita.

Para conhecer algumas das possibilidades de construções disponíveis no

GeoGebra, elaboramos a seguinte Figura:

Figura 3 – Numerando a barra de ferramentas Fonte: Acervo do Autor.

A Figura 3 apresenta a Barra de Ferramentas do software, a qual

enumerada para identificar com maior facilidade os comandos, dos quais

descreveremos alguns, pois serão por nós mais utilizados no processo formativo.

A seguir consta a devida descrição:

41

Figura 4 – Barra de ferramentas do GeoGebra 5.0, comandos básicos

Fonte: Acervo do Autor.

Nesta Figura destacamos alguns comandos do software para a sua

familiarização, tal qual o modo como se deve proceder para a sua correta

utilização; enfatizamos, no entanto, que o GeoGebra permite ao usuário

consultar o comando e como realizá-lo, isto se o ponteiro do mouse – na tela –

for mantido sobre cada item, o que possibilita ao usuário aprender novos

comandos de forma autônoma.

GeoGebra foi o escolhido para ser utilizado no processo formativo por,

além de suas características como aplicativo de Geometria Dinâmica, ser um

software livre, o que acreditamos viabilizar o seu uso por parte dos professores

em suas unidades de ensino.

42

2.3 Conhecimento Profissional Docente

Nesta pesquisa investigamos o conhecimento profissional docente no

transcorrer de um processo formativo. Para tanto, tomamos como suporte os

estudos de Shulman (1986), quem observou que até meados da década de 1980

as pesquisas ligadas ao conhecimento profissional relatavam o gerenciamento

da sala de aula, tais como os tempos para a realização da tarefa e de espera,

entre outros aspectos inerentes ao ensino, classificados como as questões de

ordem inferior, mas com poucas referências ao assunto propriamente dito –

acerca do que era ensinado. Nesse sentido, Shulman (1986, p. 6, tradução

nossa)12 descreve:

[...] à ausência de foco no assunto entre os diversos diagnósticos de pesquisa para o estudo do ensino como o problema do “paradigma faltante”. As consequências deste paradigma faltante são graves, tanto para a política como para a pesquisa.

Para esse autor, naquela época, essa falta de foco no assunto revelava a

ausência de pesquisas que contemplassem a especificidade do conteúdo, o que

denominou “paradigma perdido”,13 que se configura como a lacuna entre os

conhecimentos pedagógico e do conteúdo. Assim, o autor se preocupou com a

mescla dos dois saberes, sendo necessário que se tenha atenção tanto aos

aspectos do conteúdo, como ao dos elementos relativos aos processos de

ensino e de aprendizagem.

Para Shulman (1986) o conhecimento do conteúdo de um professor deve

abranger desde as verdades aceitas em um domínio, como também explicar o

porquê vale a pena conhecê-las e relacioná-las tanto dentro como fora da

disciplina, sabendo quais motivos podem ser afirmados, assim como quais

circunstâncias devem ser refutadas, bem como compreender que determinado

tópico é central, enquanto outro é periférico.

Quanto ao conhecimento pedagógico, esse autor vai além de entender o

assunto em questão ao incorporar:

[...] as formas mais úteis de representação dessas ideias, as mais poderosas analogias, ilustrações, exemplos, explicações e demonstrações – em outras palavras, as formas de representação e formulação do sujeito que o tornam compreensível para os outros. Uma vez que não existe uma única forma de representação mais poderosa, o professor deve ter em mãos um verdadeiro armamento de formas de

_________________________________________________________________________

12 “[...] the absence of focus on subject matter among the various research paradigms for the study of teaching as the ‘missing paradigm’ problem. The consequences of this missing paradigm are serious, both for policy and for research”. 13 “Missing paradigm”.

43

representação nativas, algumas derivadas da pesquisa, enquanto outras se originam na sabedoria da prática (SHULMAN, 1986, p. 9, tradução nossa).14

Para esse teórico, o conhecimento pedagógico inclui a compreensão por

parte do professor do que facilita ou dificulta a aprendizagem de determinado

tópico por parte de seu aluno. O docente deve lançar mão de uma gama de

representações dessas ideias para transpor qualquer obstáculo que surja nesse

processo de construção do conhecimento de seu discente, sendo, portanto, o

mediador desse processo.

Na tentativa de preencher a lacuna de pesquisas e estudos sobre como

ensinar determinado assunto – condição que é chamada por Shulman (1986) de

“paradigma perdido” –, observou quais conhecimentos e habilidades devem

compor o repertório docente. Nesse sentido, desenvolveu, em 1987, a

knowledge base theory – teoria da base de conhecimentos –, na qual o professor

deve articular para promover o ensino. Para tanto, dividiu tal teoria em sete

categorias de conhecimentos que compõem os saberes docentes:

1 Conhecimento de conteúdo específico a ser ensinado;

2 Conhecimento pedagógico geral;

3 Conhecimento do currículo a ser trabalhado;

4 Conhecimento pedagógico do conteúdo disciplinar;

5 Conhecimento dos alunos e de suas características cognitivas;

6 Conhecimento de contextos educacionais;

7 Conhecimento de fins, propósitos e valores educacionais.

A partir do estabelecimento desses conhecimentos, Shulman (1986) os

agrupou em três categorias de conhecimentos necessários ao professor:

1 Conhecimento do conteúdo específico;

2 Conhecimento pedagógico do conteúdo;

3 Conhecimento curricular.

_________________________________________________________________________

14 “[…] the most useful forms of representation of those ideas, the most powerful analogies, illustrations, examples, explanations, and demonstrations-in a word, the ways of representing and formulating the subject that make it comprehensible to others. Since there are no single most powerful forms of representation, the teacher must have at hand a veritable armamentarium of alternative forms of representation, some of which derive from research whereas others originate in the wisdom of practice”.

44

O conhecimento do conteúdo específico refere-se ao conteúdo da

disciplina que o professor leciona, bem como à compreensão de fatos, conceitos,

processos, enfim, o docente deve estar familiarizado às possibilidades de

apresentar o conteúdo de acordo com a classe que leciona. Embora tal saber

seja necessário, não é suficiente.

Conhecimento pedagógico do conteúdo transcende o do objeto específico

do estudo. Inclui conhecimentos de teorias e princípios relacionados aos

processos de ensinar e aprender discentes, tanto de suas características como

dos processos cognitivos, do contexto educacional, da gestão escolar e do

currículo. Construído constantemente pela prática docente ao se ensinar uma

matéria, trata-se de adequar a abordagem do ensino ao nível de conhecimento

de seus alunos. Este é o único no qual o professor é protagonista, pois é de sua

autoria e é aprendido em seu exercício profissional, ou seja, na prática docente.

Conhecimento curricular, além de conhecer o currículo da disciplina, o que

cada aluno aprendeu antes e o que deverá compreender depois – conhecimento

vertical do currículo da disciplina –, o professor deve saber os conteúdos das

outras disciplinas de seu estudante – conhecimento lateral do currículo. Tal saber

propicia a articulação entre as disciplinas que o educando estuda, bem como

uma articulação interna da própria disciplina.

2.4 Conhecimento Pedagógico Tecnológico do Conteúdo (TPACK)

Com relação aos conhecimentos necessários para ensinar na presença

da tecnologia digital, apoiamo-nos na teoria de Mishra e Koehler (2006), ou seja,

do conhecimento pedagógico tecnológico do conteúdo, em inglês, Technological

Pedagogical Content Knowledge (TPACK). Esses autores descrevem os tipos

de conhecimentos necessários para os professores desenvolverem, em suas

palavras, uma prática pedagógica eficaz em ambientes de aprendizagem com

tecnologia.

Baseando-se na teoria de Shulman (1986), a qual introduziu a ideia do

conhecimento pedagógico do conteúdo, em inglês, Pedagogical Content

Knowledge (PCK), os conhecimentos pedagógico e do conteúdo estão ligados,

ou seja, para se ensinar é necessária a articulação entre esses dois saberes.

Mishra e Kohler (2006) ampliaram essa concepção agregando a tecnologia, pois

até então esta era vista desassociada do PCK.

45

Desse modo, faz-se necessário um conhecimento mais amplo, pois para

agregarmos a tecnologia, necessitamos saber selecionar os recursos

tecnológicos mais adequados para lecionar um conteúdo, o que esses dois

teóricos denominam TPACK.

A seguinte Figura expõe os conhecimentos componentes do modelo

TPACK:

Figura 5 – Modelo TPACK Fonte: Mishra e Koehler (2006, p. 63).

No modelo, o conhecimento de conteúdo – em inglês, Content Knowledge

(CK) – é o conhecimento dos professores sobre o assunto que será ensinado ou

aprendido. Para desenvolvê-lo, torna-se necessário o conhecimento de teorias,

práticas, conceitos, estruturas de organização e abordagens estabelecidas.

Já o conhecimento pedagógico – em inglês, Pedagogical Knowledge (PK)

– é o conhecimento com fins educacionais, sendo este próprio aos professores

sobre práticas e processos ou métodos de ensino e aprendizagem, visando

entender como o aluno aprende, além do gerenciamento da sala de aula e de

como avaliar cada estudante, buscando entender como este constrói o

conhecimento – o que cobra a compreensão das teorias cognitivas.

Na intersecção, como propôs Shulman (1986), está o conhecimento

pedagógico do conteúdo – em inglês, Pedagogical Content Knowledge (PCK) –,

relativo ao conhecimento de pedagogia aplicável ao ensino de conteúdo

46

específico, sendo a conversão do assunto para o ensino. Trata-se do que está

em ação, quando o professor – tendo interpretado o assunto – adapta os

materiais, encontra variadas formas de representá-los e os adapta também

considerando os conhecimentos prévios de seus alunos.

No Modelo TPACK, o conhecimento tecnológico – em inglês,

Technological Knowledge (TK) – é aquele que está em constante mudança,

tornando difícil uma definição, pois pode ficar desatualizada. Indo além de

noções básicas, exige que a pessoa utilize a tecnologia de forma produtiva, seja

no trabalho ou em seu dia a dia. O TK devidamente assimilado permite que o

indivíduo desenvolva maneiras distintas de realizar uma mesma tarefa.

Já o conhecimento tecnológico do conteúdo – em inglês, Technological

Content Knowledge (TCK) – está ligado à compreensão sobre como a tecnologia

e o conteúdo se relacionam, ou seja, como os mesmos podem se restringir e

influenciar. Além do domínio do assunto que ensina, significa uma compreensão

de como um tópico pode ser representado ou alterado por fazer uso de

determinada tecnologia específica. Assim, o professor necessita entender quais

tecnologias específicas são adequadas à aprendizagem de determinado

assunto.

O conhecimento pedagógico tecnológico – em inglês, Technological

Pedagogical Knowledge (TPK) – é o relativo à compreensão sobre como o

ensino e a aprendizagem podem ser alterados quando tecnologias particulares

são empregadas na situação colocada. Envolve conhecimentos pedagógicos e

das restrições de uma gama de ferramentas tecnológicas, as quais se articulam

com estratégias pedagógicas para o seu desenvolvimento. Tal saber é

particularmente relevante, especialmente considerando a variedade de

softwares populares que não são concebidos para o uso educacional.

Finalmente, o Conhecimento Pedagógico Tecnológico do Conteúdo

(TPACK) é mais amplo, surgindo dos três componentes – pedagogia, tecnologia

e conteúdo. Dizemos que um professor que desenvolveu o seu conhecimento ao

“nível TPACK”, utiliza-o em qualquer momento que ensina, sendo cada situação

uma combinação única desses saberes; logo, não há uma solução única

aplicável a cada profissional, dado que a solução está na capacidade docente

em permear os espaços definidos pelos três componentes do TPACK.

47

Para tanto, o professor precisa desenvolver fluência além dos principais

domínios (T, P e C), mas também de como esses se inter-relacionam, a fim de

construir soluções efetivas, sendo necessária uma articulação entre esses três

domínios.

As características do conhecimento pedagógico tecnológico do conteúdo

incluem a compreensão, pelo professor:

• Das representações de conceitos utilizando tecnologias;

• Das técnicas pedagógicas que usam as tecnologias de forma construtiva

para ensinar conteúdos;

• Do que faz com que alguns conceitos sejam difíceis e outros fáceis de

aprender e como a tecnologia pode auxiliar a enfrentar as dificuldades;

• Do conhecimento prévio discente e das teorias epistemológicas;

• Das possibilidades de uso da tecnologia para o aluno construir

conhecimentos.

Assim, fica evidenciado que, para utilizar tecnologia ao ensinar

Matemática de forma a atender às especificidades de cada um de seus campos,

deve-se considerar o contexto educacional de atuação, a fim de auxiliar o

estudante a construir conhecimento matemático curricular e atingir os objetivos

do ensino.

O TPCK é a base de um bom ensino com tecnologia e requer uma compreensão da representação de conceitos usando tecnologias; técnicas pedagógicas que utilizam tecnologias de maneiras construtivas para ensinar conteúdo; Conhecimento do que torna os conceitos difíceis ou fáceis de aprender e como a tecnologia pode ajudar a corrigir alguns dos problemas que os alunos enfrentam; Conhecimento do conhecimento prévio dos alunos e teorias da epistemologia (MISHRA; KOEHLER, 2006, p. 1.029, tradução nossa).15

Para esses autores, TPACK é a base para que o professor desenvolva

um ensino com as tecnologias e, ainda, é a condição para que seja capaz de

integrá-las nas atividades curriculares. Esse tipo de ensino exige uma

compreensão por parte do professor das técnicas pedagógicas que possibilitam

_________________________________________________________________________

15 “TPCK is the basis of good teaching with technology and requires an understanding of the representation of concepts using technologies; pedagogical techniques that use technologies in constructive ways to teach content; knowledge of what makes concepts difficult or easy to learn and how technology can help redress some of the problems that students face; knowledge of students’ prior knowledge and theories of epistemology; and knowledge of how technologies can be used to build on existing knowledge and to develop new epistemologies or strengthen old ones”.

48

usar as tecnologias para auxiliar na construção do saber discente. Mishra e

Koehler (2006) indicam que a formação docente deve se preocupar com o

desenvolvimento do TPACK em uma forma gradual e em espiral, começando

com as tecnologias mais simples e que os professores já conhecem – os quais

já podem ter desenvolvido competências ao “nível do TPACK” –, direcionado a

aplicações cada vez mais complexas e sofisticadas. Pretende-se que o professor

seja capaz de tomar decisões fundamentadas no desenho de suas atividades de

ensino com tecnologias, o que pressupõe saber usá-las em dada área curricular

e integrá-las em uma estratégia pedagógica específica em certo contexto, de

modo a promover a construção do conhecimento discente em determinado

conteúdo.

2.5 Processos de Reflexão Docente

Quanto aos processos de reflexão docente ocorridos na formação

continuada, amparamo-nos nos estudos de Perrenoud (2002), quem nos faz

analisar a diferença entre pensar e refletir, pois o ato de pensar é inerente ao ser

humano, dado que somos, a cada momento, tomados por nossos pensamentos

– seja antes ou após realizá-los –; mas refletir vai além, trata-se de conjecturar

sobre. Perrenoud (2002, p. 63) enfatiza o que é um profissional reflexivo:

A prática reflexiva, como seu nome indica, é uma prática cujo domínio é conquistado mediante a prática [...] o passo decisivo só é dado quando a reflexão transforma-se em um componente duradouro do habitus – essa “segunda natureza” responsável pelo fato de que, a partir de certo limite [ponto de inflexão], torna-se impossível não fazer mais perguntas [...].

O processo de refletir sobre a própria prática é dominado quando efetuado

de modo recorrente ao longo de todo o processo. Para esse autor, em alguns

momentos agiremos sem um monitoramento adequado do nosso cérebro, sem

a devida reflexão a respeito da validade de nossa rotina, levando-nos a agir de

maneira generalizada em casos similares. É como se entrássemos em “piloto

automático”, por conseguinte, sem raciocinar apropriadamente.

Apesar disso, estamos aludindo a práticas reflexivas, com base em

análises metódicas, regulares, tranquilas, instrumentalizadas e que causem

efeitos. Isso tudo apenas pode ser adquirido mediante treinamento intensivo e

deliberado. Desse modo, Perrenoud (2002, p. 48) argumenta que por meio de

uma prática docente reflexiva, esperamos que se:

49

• Compense a superficialidade da formação profissional;

• Favoreça a acumulação de saberes de experiência;

• Propicie uma evolução rumo à profissionalização;

• Prepare para assumir uma responsabilidade política e ética;

• Permita enfrentar a crescente complexidade das tarefas;

• Ajude a vivenciar um ofício impossível;

• Ofereça os meios necessários para trabalhar sobre si mesmo;

• Estimule a enfrentar a irredutível alteridade do aprendiz;

• Aumente a cooperação entre colegas;

• Aumente as capacidades de inovação.

É por meio da própria ação que a “prática reflexiva” se transforma em uma

ferramenta a favor do homem; de modo que somente quando se transmuta em

hábito, torna-se mais eficaz.

Ressaltamos que, para a análise dos dados desta pesquisa, apoiamo-nos

nas ideias teóricas discutidas neste capítulo sobre a tecnologia no ensino de

Matemática e o uso do software de Geometria Dinâmica GeoGebra, acerca dos

conhecimentos profissionais que são necessários à docência na presença de

tecnologia e a respeito dos processos reflexivos na prática docente.

50

3 METODOLOGIA

Neste capítulo apresentamos a abordagem metodológica da pesquisa,

detalhamos os procedimentos metodológicos de coleta e análise;

caracterizamos os sujeitos de pesquisa e explanamos o que se entende neste

texto como tarefa exploratória e investigativa, uma vez que as atividades

utilizadas na composição do processo formativo se estruturaram neste método

de investigação.

3.1 Abordagem Metodológica

Esta pesquisa foi de cunho qualitativo, segundo Bogdan e Biklen (1994),

por possuir cinco características: i) a fonte direta dos dados foi o ambiente

natural, sendo o investigador o instrumento principal; inseriu-se no meio no qual

a sua pesquisa se desenvolveu, partindo do pressuposto que as ações são

melhor compreendidas quando o investigador está no local de estudo para

entender o contexto; ii) o caráter foi descritivo, incluindo a transcrição de

entrevistas, notas de campo, fotografias, vídeos, documentos pessoais,

memorandos e outros registros oficiais; iii) utilizou metodologias qualitativas por

interessar-se mais pelo processo do que pelos resultados ou produtos; iv) a

análise dos dados foi realizada de forma indutiva e interpretativa, considerando

que os dados e o passar do tempo com os participantes levaram o investigador

a elaborar um quadro que ganhou forma conforme foi recolhendo e examinando

as partes, sem, contudo, fazer com que o pesquisador presumisse saber o

bastante antes de realizar a investigação, tal como esclarecem os próprios

teóricos: “O processo de análise dos dados é como um funil: as coisas estão

abertas de início (ou no topo) e vão-se tornando mais fechadas e específicas no

extremo” (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 50); e v) o significado foi de suma

importância, refletindo o diálogo entre pesquisador e participantes da pesquisa.

Para Bogdan e Biklen (1994) o investigador não age de forma neutra, pois tem

seus objetos de pesquisa a cumprir, bem como uma questão que busca

responder.

Em concordância com tais teóricos, nesta pesquisa, a qual promoveu

discussões para a construção coletiva de conhecimento, cada participante

poderia expor para todos do grupo as suas práticas e expectativas – o que de

51

fato ocorreu. O grupo compartilhou a sua vivência da prática docente no intuito

de cooperar no desenvolvimento das atividades propostas.

A prática adotada de compartilhar a ação docente levou os participantes

à reflexão sobre a própria prática, fazendo-os reavaliar as suas ações de acordo

com as novas interpretações que elaboravam.

O método de análise dos dados coletados na pesquisa foi interpretativo e,

em relação aos vídeos, foi utilizado o modelo analítico proposto por Powell,

Francisco e Maher (2004).

Para esses autores – com os quais concordamos – o vídeo é um

instrumento importante e flexível para a coleta de dados orais e visuais, pois

pode capturar nuances sutis, seja na fala e no comportamento não verbal, sendo

superior a notas de um observador, pois permite reexaminar os dados inúmeras

vezes, possibilitando observar detalhes simultâneos, além de diferentes

comportamentos, o que pode auxiliar em uma análise mais detalhada. Porém, é

importante destacar que durante o processo aqui analisado foram feitas escolhas

de qual fenômeno observar, isto é, baseando-se na tecnologia utilizada para

gravar os encontros, as construções realizadas e os interesses teóricos

envolvidos, fazendo-se notar que, de fato, o vídeo também tem as suas

limitações, pois, ao focalizarmos em determinada direção, acabamos por

selecionar quais eventos obteríamos registro e, por consequência, preterir os

que perdemos.

A análise dos dados gravados em vídeo oferece muitas vantagens, sendo

a permanência uma das quais, pois os pesquisadores podem visualizar eventos

registrados de acordo com cada necessidade e em formas flexíveis, tais como

tempo real, quadro a quadro, câmera lenta, avançar ou retroceder etc., notando

sempre diferentes características. Para Powell, Francisco e Maher (2004, p. 10):

Análises detalhadas de vídeos de dados longitudinais, assim como os

de curto prazo, tornam-se mais eficazes a partir de múltiplas sessões

de visualização. O vídeo não apenas permite múltiplas visões, mas

também possibilita visões sob múltiplos pontos de vista.

Ademais, a permanência dos dados gravados em vídeo permite aos

pesquisadores analisar detalhes que podem ter passado desapercebido em um

primeiro momento. Assim, o vídeo gravado possibilita a observação de mais

detalhes à medida que as gravações são novamente assistidas.

52

Por outro lado, os vídeos são fontes ricas de dados, portanto, existem

dados demais para se analisar, o que leva o investigador a selecionar quais

aspectos são mais relevantes para o seu estudo.

Nesse sentido, os teóricos mencionados elaboraram um modelo para

examinar o desenvolvimento do pensamento matemático, composto por sete

fases interativas e não lineares, a saber: i) Observar atentamente os dados do

vídeo; ii) Descrever os dados do vídeo; iii) Identificar eventos críticos; iv)

Transcrever; v) Codificar; vi) Construir o enredo; e vii) Compor a narrativa. O uso

desse modelo analítico permite observar os processos complexos e não lineares

do desenvolvimento do raciocínio e de ideias matemáticas.

Observar atentamente os dados do vídeo é a fase em que os

pesquisadores assistem e ouvem o vídeo várias vezes para se familiarizarem

com os dados, possibilitando que dados adicionais sejam observados. Após

observarem os dados, delineiam por meio de anotações com descrições e

marcações de tempo de um conteúdo, ou seja, pré-selecionam os momentos

que analisarão. Identificar eventos críticos é a fase em que, utilizando-se da

observação e descrição dos dados do vídeo e já familiarizados o suficiente com

o seu conteúdo, os pesquisadores devem rever os vídeos e identificar momentos

significativos, que Powell, Francisco e Maher (2004, p. 22, grifo dos autores)

chamam de evento crítico: “Um evento é chamado crítico quando demonstra uma

significativa ou contrastante mudança em relação a uma compreensão prévia,

um salto conceitual em relação a uma concepção anterior.

Assim, um pesquisador que se preocupa com a reação das intervenções

de um professor sobre a compreensão matemática ou abstração reflexiva, pode

considerar como eventos críticos os que associam a intervenção docente às

conexões do pensamento discente, mesmo os que incluem momentos de

rejeição de uma hipótese, ou saltos equivocados, mas que são significativos para

a questão de pesquisa.

Os autores seguem afirmando que eventos críticos podem ser

encontrados fora do vídeo, seja em anotações ou proposições escritas as quais

podem ter as suas justificativas encontradas mais tarde, em uma revisão das

gravações para localizar eventos anteriores que justifiquem o evento crítico. Há

a possibilidade de o pesquisador poder visualizar os dados inúmeras vezes antes

de definir um fato como evento crítico ou descartar outro que havia previamente

53

selecionado. A colaboração de outros pesquisadores agrega qualidade e

validade dos eventos críticos identificados.

Powell, Francisco e Maher (2004) destacam que um evento crítico que

muda o caminho da investigação é denominado evento crítico divisor de águas.

Para a narrativa de pesquisa, torna-se vital que os eventos críticos dialoguem

com as questões pontuais da pesquisa à luz dos dados, de modo que eventos

críticos identificados nessa etapa podem fornecer evidências para descobertas

na própria narrativa.

Feita a identificação de eventos críticos, os pesquisadores devem decidir

quais momentos são relevantes para serem transcritos. Tal seleção é apoiada

no quadro teórico, sendo um fator importante para a transcrição dos registros de

vídeo a possibilidade à codificação dos dados, a fim de descobrir temas que

estão além, em adição ou acima das questões específicas que direcionaram a

priori a pesquisa. Assim, focando a atenção apenas nos eventos críticos, os

dados são codificados, de modo que o vídeo possibilita e aprimora o olhar dos

pesquisadores na busca e identificação de códigos, tanto predeterminados

quanto emergentes, compostos por siglas que identificam as questões

relevantes da pesquisa.

A fase seguinte à codificação é a construção do enredo e composição da

narrativa que emerge dos dados. Para isso, torna-se necessário um processo de

idas e vindas, examinando os eventos críticos dentro e fora do vídeo. Em tal

fluxo, alguns códigos e eventos críticos podem ser agregados, tais como outros

podem ser abandonados. Embora nesse modelo apareça por último a

composição da narrativa, as fases não são lineares. A escrita é segmentada e

recomposta e sua análise interpretada à luz do todo, formando um enredo e

compreendida de modo particular, tendo os dados como evidências de sua

narrativa.

Esse método foi relevante para auxiliar a relacionar os diversos dados

coletados pelos diferentes instrumentos, de modo a analisá-los ao

estabelecimento das conclusões.

Na próxima Seção descrevemos os procedimentos adotados.

54

3.2 Procedimentos Metodológicos

Esta pesquisa foi constituída das seguintes etapas:

Etapa 1 – pesquisa documental das legislações estadual e federal no

tocante ao ensino de função quadrática e áreas de figuras planas; composição

de um processo formativo baseado em atividades investigativas que envolvem

funções quadráticas e áreas de figuras planas; customização do Ambiente

Virtual de Aprendizagem (AVA) e elaboração das tarefas para o AVA; elaboração

de questionários (entrada e final) versando sobre as percepções, expectativas e

considerações acerca do uso do GeoGebra em atividades exploratórias e

investigativas e submissão do Projeto à Comissão de Ética.16

Etapa 2 – desenvolvimento do processo formativo, coleta e análise dos

dados.

O processo de formação continuada foi efetivado por meio de um módulo

denominado GeoGebra no Ensino Médio: Aplicações com Funções Quadráticas.

Nessa etapa elaboramos o curso no qual utilizamos o software GeoGebra

e tarefas exploratórias e investigativas.

Ademais, a coleta de dados foi realizada por meio de:

• Questionário de entrada – as questões versavam sobre os seus

conhecimentos prévios acerca do software de Geometria Dinâmica e sua

experiência na docência;

• Gravação em áudio e vídeo dos encontros do módulo formativo – sendo

utilizada uma câmera filmadora para os registros do coletivo e do software

Camtasia para a captação audiovisual das construções realizadas em

cada notebook;

• Composição de um diário de notas de campo com anotações do

pesquisador;

• Questionário final – com questões sobre as suas percepções acerca da

utilização do software GeoGebra e das atividades desenvolvidas.

_________________________________________________________________________

16 Tendo concluído o planejamento do curso, submetemos o projeto de pesquisa à Comissão de Ética, sendo aprovado sob o número 51841715.5.0000.5493, em 4 de dezembro de 2015.

55

3.3 Professores Cursistas Participantes da Pesquisa

Os cursistas considerados os sujeitos desta pesquisa foram os seis

professores de um total de treze participantes do curso. O critério para a seleção

foi a assiduidade; no caso, consideramos os presentes em todos os encontros

de formação continuada.

Os seis professores lecionavam, à época da pesquisa, em escolas

públicas estaduais de São Paulo, localizadas na Zona Norte da Capital. Todos

são licenciados em Matemática, sendo que um dos quais possui outra

Graduação, em Análise de Sistemas.

Quanto ao tempo que lecionavam quando da pesquisa: três tinham entre

6 e 10 anos de experiência profissional; dois entre 20 e 25 anos; e apenas um

com mais de 25 anos de atuação. Assim, tratava-se de grupo experiente na

docência – todos lecionavam no Ensino Médio.

Quanto à faixa etária à época: dois tinham entre 30 e 40 anos de idade;

três entre 40 e 50 anos; e um com mais de 50 anos vividos. Quanto ao gênero:

três são homens e três, mulheres.

Com o intuito de preservar a identidade desses participantes, doravante

os chamaremos de professores A, C, F, H, T e W.

Um resumo dessas características encontra-se no seguinte Quadro:

Cu

rsis

ta Faixa etária Graduação

Tempo que leciona (anos)

Leciona no Ensino

De 30 a 40 anos

De 41 a 50 anos

Acima de 50 anos

Licenciatura Plena em

Matemática

Bacharelado em

outras áreas

De 5

a 10

De 21

a 25

De 26 a

30

Fundamental (ano)

Médio (ano)

6° 7° 8° 9° 1° 2° 3°

A X X X X X X

C X X X X X X

F X X X X X

H X X X X X X

T X X X X

W X X X X X X

Quadro 1 – Perfil dos professores cursistas Fonte: Acervo do Autor.

3.4 Tarefas Exploratórias e Investigativas

Segundo Ponte (1998), investigar é uma “[...] capacidade de primeira

importância para todos os cidadãos, que deveria permear todo o trabalho da

escola, tanto dos professores como dos alunos”. Investigar é procurar conhecer,

56

compreender, ou seja, é uma maneira de buscar soluções para problemas. Esse

autor ressalta que não considera contraditório o ato de investigar e ensinar,

afirmando que, ao investigar com seus alunos, o professor se depara com a

necessidade de repensar os problemas e, de modo similar, a própria atuação

docente, agregando-lhe muito como investigador.

Para Ponte (1998, p. 4) uma tarefa em Matemática “[...] tem quatro

dimensões básicas: O seu grau de dificuldade, a sua estrutura, o seu contexto

referencial e o tempo requerido para a sua resolução”. Esse teórico agrupou as

tarefas em quatro tipos a partir das duas primeiras dimensões, a saber:

Figura 6 – Os diversos tipos de tarefas, em termos do grau de dificuldade e de abertura Fonte: Ponte (1998, p. 5).

Ponte (1998) considera exercícios e problemas como tarefas de estrutura

fechada, diferenciando-os como ausentes de grande dificuldade e de elevada

dificuldade, respectivamente. No tocante às atividades de investigação e

exploração, ambas as condições são abertas: a primeira de grau de dificuldade

elevada e a segunda, apresentando-se como fácil.

Nesse tipo de atividade, torna-se importante observarmos o que

Canavarro, Oliveira e Menezes (2012, p. 268) descrevem como “[...] diversidade

de papéis que a professora e os alunos assumem nesta aula [...]”, delineando o

ensino exploratório de Matemática como aquele em que o estudante exerce o

seu papel de protagonista, trabalhando de forma autônoma; enquanto o

professor assume a condição de condutor da atividade para a sistematização

das aprendizagens discentes.

57

Ponte, Brocardo e Oliveira (2016, p. 17) apontam as distinções entre

exercícios, problemas e investigação:

Os exercícios e os problemas têm uma coisa em comum. Em ambos

os casos, o enunciado indica claramente o que é dado e o que é

pedido. Não há margem para ambiguidades. A solução é sabida de

antemão, pelo professor, e a resposta do aluno ou está certa ou está

errada. Em uma investigação, as coisas são um pouco diferentes.

Trata-se de situações mais abertas – a questão não está bem definida

no início, cabendo a quem investiga um papel fundamental na sua

definição. E uma vez que os pontos de partida podem não ser

exatamente os mesmos, os pontos de chegada podem ser também

diferentes.

Para esses autores um exercício ou problema é situação onde já temos

um caminho pré-determinado, que o aluno deverá percorrer, de modo que não

há margem para outras interpretações; logo, o estudante desenvolve o seu

raciocínio de modo correto ou não. Por outro lado, quando se investiga

determinada situação matemática, o aluno A pode ter uma interpretação inicial

diferente do aluno B, cabendo ao professor mediar essa situação de modo a

favorecer a investigação matemática, seja atribuindo ao estudante a formulação

das questões a estudar, seja exigindo a sua participação nesse processo, ações

que sempre favorecem a sua aprendizagem.

A partir desses conceitos elaboramos as atividades e tarefas a serem

discutidas no processo formativo – segunda etapa da presente pesquisa.

58

4 DESCRIÇÃO E ANÁLISE

Neste capítulo apresentamos as descrições e análises das etapas da

pesquisa, documental e em campo.

Na etapa 1, de pesquisa documental, analisamos documentos oficiais

sobre o ensino de funções e sua articulação com a Geometria; planejamos o

processo formativo baseado em atividades investigativas que envolvem funções

quadráticas e áreas, e submetemos o projeto de pesquisa à Comissão de Ética.

Na fase 2 da pesquisa descrevemos e analisamos o curso de formação

continuada intitulado GeoGebra no Ensino Médio: Aplicações com Funções

Quadráticas, inserido no Projeto Obeduc Práticas.

4.1 Análise da Etapa 1

Na etapa 1, de pesquisa documental, analisamos o tratamento dado às

funções no currículo oficial do Estado de São Paulo (2012) no segmento do

Ensino Médio e os materiais curriculares distribuídos aos professores da rede

pública estadual paulista: cadernos do professor e do aluno no tocante ao

conteúdo de funções. Esses documentos foram escolhidos por trabalharmos

com professores que atuam no âmbito do governo do Estado de São Paulo,

utilizando-se desses materiais como Norte educativo em suas escolas.

Os resultados encontrados foram os seguintes:

No currículo oficial do Estado de São Paulo (2012) observamos que o

conteúdo função de segundo grau17 é contemplado no segundo bimestre do

primeiro ano do Ensino Médio (Quadro 2), fato este que direcionou tal módulo

formativo a professores que lecionam para o Ensino Médio. No Quadro a seguir

podemos observar em qual ano e bimestre esse conteúdo do currículo de

Matemática é abordado.

_________________________________________________________________________

17 Devemos observar que essa nomenclatura está equivocada, afinal, quem detém grau é o polinômio – e não a função –; deste modo, o correto seria escrever função polinomial do segundo grau ou função quadrática – podemos notar esse erro também em livros didáticos.

59

Quadro 2 – Conteúdos e habilidades do segundo bimestre de Matemática do primeiro ano do Ensino

Médio Fonte: São Paulo (2012, p. 65).

Dentro de nossa proposta de atividades exploratórias e investigativas

envolvendo funções quadráticas e áreas de figuras planas que, para nós,

configurou-se em um modo de interligar conteúdos matemáticos que são vistos

de maneira distinta, tal fato é corroborado pelo currículo, pois como o mesmo

descreve, trata-se de “[...] utilizar em diferentes contextos, explorando máximos

e mínimos [...]” – vide final do Quadro 2 – o que, para esta pesquisa,

correspondeu a envolver o cálculo de áreas de figuras geométricas planas dadas

– significa dizer que as atividades foram pensadas para promover

intradisciplinaridade.

No currículo do Estado de São Paulo podemos observar (Quadro 2) que

o bloco temático na disciplina de Matemática inclui as relações de

proporcionalidade em geral, assim como as de interdependência associadas à

ideia de função.

No tocante à Geometria, percebemos no currículo maior enfoque no sexto

ano do Ensino Fundamental, conforme se vê no seguinte Quadro:

60

Quadro 3 – Conteúdos e habilidades do terceiro bimestre de Matemática do sexto ano do Ensino

Fundamental Fonte: São Paulo (2012, p. 58).

O currículo do Estado de São Paulo nos alerta para a “[...] necessidade

de incorporar a Geometria ao trabalho em todas as séries/anos da grade escolar

[...]”, em que o professor deve equilibrar a sua prática docente ao longo dos

bimestres. Porém, apenas no terceiro bimestre do sexto ano há maior enfoque

para o cálculo de área e perímetro, fato que corrobora com a relevância de nossa

proposta, que articula o ensino de função quadrática ao cálculo de áreas,

permitindo uma retomada desses conceitos que, para os nossos alunos, ficaram

meio que “perdidos no tempo”.

Na sequência, a partir da análise desses documentos, criamos o módulo

formativo intitulado GeoGebra no Ensino Médio: Aplicações com Funções

Quadráticas, cujo planejamento figura a seguir.

O módulo formativo foi planejado a fim de ser desenvolvido com o auxílio

de tecnologia digital, particularmente utilizando o software de Geometria

Dinâmica GeoGebra.

A criação do módulo formativo teve como pressuposto a articulação entre

os quadros algébrico e geométrico por meio da construção de uma área onde se

estabeleceu uma relação com a função área por meio de um segmento de

medida x u.m. da figura, o qual era móvel, portanto, a função varia de acordo

com a medida deste segmento x u.m.

61

Além dos encontros presenciais, o planejamento do curso incluiu

atividades a distância, com a utilização da plataforma Moodle.

Construímos atividades de caráter exploratório e investigativo, de maneira

a favorecer discussões e problematizações com o grupo a fim de refletir sobre a

nossa proposta, bem como acerca do conhecimento profissional docente

necessário ao seu desenvolvimento.

A seguir descrevemos o planejamento do curso.

4.1.1 Planejamento do Curso de Formação Continuada

O curso foi desenhado para ser desenvolvido em seis encontros

presenciais de cinco horas, cada, perfazendo trinta horas – além de seis horas

a distância.

Elaboramos apresentações de slides para cada encontro, a fim de nortear

as discussões, bem como para estabelecer metas e favorecer o

desenvolvimento de cada atividade proposta.

No primeiro encontro, planejamos apresentar algumas das funções da

barra de ferramentas do GeoGebra a serem utilizadas no processo formativo e

levá-los a manipularem o software. Na sequência, a proposta foi revisar a função

quadrática f(x) = a . x2+ b . x + c, com a, b e c ∈ ℝ 𝑒 (a≠0), a relação entre os

coeficientes a, b e c com o gráfico.

Essa atividade tem por objetivo subsidiar a realização das demais tarefas.

Elaboramos um roteiro para essa discussão (Apêndice C). No mesmo sentido,

produzimos uma apresentação em Office PowerPoint para o fechamento –

institucionalização – com o objetivo de discutir sobre os seguintes tópicos da

função quadrática:

• Coeficiente a – (a > 0 e a < 0);

• Coeficiente b – (b > 0 e b < 0);

• Coeficiente c.

Como plotamos gráficos no software de Geometria Dinâmica GeoGebra,

entendemos que é necessária a compreensão da relação entre os coeficientes

da função quadrática e do gráfico da função quadrática correspondente.

No primeiro encontro, planejamos ainda apresentar aos professores o

AVA do curso, suportado na plataforma Moodle.

62

Para os demais encontros presenciais preparamos cinco atividades, a

saber:

• Atividade 2 – Área de um retângulo (Apêndice D);

• Atividade 3 – Área da secção (axial) do carretel (Apêndice E);

• Atividade 4 – Soma das áreas de dois triângulos equiláteros (Apêndice

F);

• Atividade 5 – Soma das áreas de dois círculos (Apêndice G);

• Atividade 6 – Área compreendida entre um retângulo e uma circunferência

(Apêndice H).

Em todas as atividades, a intenção está centrada em os professores

explorarem, investigarem e encontrarem uma maneira de estabelecer a relação

entre uma medida x correspondente a uma parte integrante da figura

previamente determinada e a área solicitada.

Para a investigação da Atividade 2, optamos por fornecer um arquivo do

GeoGebra já com a construção do retângulo, visto que era a primeira vez que

teriam contato com a proposta investigativa. Preocupamo-nos apenas em os

cursistas estabelecerem as relações entre a medida x e a área solicitada.

Nas demais atividades, optamos em indicar aos professores cursistas que

construíssem os arquivos com as figuras apresentadas em cada atividade.

Ademais, elaboramos uma síntese dos encontros presenciais

planejados, aqui representada no seguinte Quadro:

Atividades a serem desenvolvidas Objetivos

1º

Encontr

o • Iniciação ao software

GeoGebra;

• Atividade função quadrática;

• Apresentação do AVA.

• Utilizar ferramentas de construção no software GeoGebra;

• Compreender a relação entre os coeficientes da função quadrática e seu respectivo gráfico;

• Subsidiar as ações a serem desenvolvidas a distância.

2º

Encontr

o

Atividade no GeoGebra: Função área de um retângulo.

• Criar o ponto P correspondente à relação entre medida x da base e a área do retângulo dado;

• Determinar a função área do retângulo;

• Determinar o domínio da função.

3º

Encontr

o

Atividade no GeoGebra: Função área de um da secção – axial – do carretel.

• Construir a figura desejada;

• Criar o ponto P correspondente à relação entre a medida x da base e a área da secção – axial – do carretel dado;

• Determinar a função área do carretel;


63

4º

Encontr

o

Atividade no GeoGebra: Função soma das áreas de dois triângulos equiláteros – inspirada em Venant (2015).


• Criar o ponto P correspondente à relação entre a medida x da base de um dos triângulos e a soma das áreas dos triângulos;

• Determinar a função área da soma;


5º

Encontr

o

Atividade no GeoGebra: Função soma das áreas de dois círculos.


• Criar o ponto P correspondente à relação entre a medida x do raio de um dos círculos e a soma das áreas dos círculos;

• Determinar a função área;


6º

Encontr

o

Atividade no GeoGebra: Função área compreendida entre um retângulo e uma circunferência – inspirada em Bianchini e Paccola (2004).


• Criar o ponto P correspondente à relação entre a medida x do raio da circunferência e a área compreendida entre um retângulo e uma circunferência de dados;

• Determinar a função área da região;

• Determinar o domínio da função. Quadro 4 – Síntese do planejamento dos encontros


O planejamento do curso envolveu, além dos encontros presenciais, a

elaboração de ações no AVA.

Foram planejadas cinco tarefas a serem disponibilizadas por nós no AVA

ao longo do módulo formativo, com o intuito de manter as discussões no intervalo

entre os encontros presenciais e aprofundar algumas das questões relativas às

atividades desenvolvidas em cada oportunidade presencial. Todas as atividades

virtuais foram realizadas pelos participantes e postadas nesse AVA, a saber:

• Tarefa 1 – Questões de aprofundamento (Apêndice I);

• Tarefa 2 – Reflexões sobre o encontro (Apêndice J);

• Tarefa 3 – Atividade sobre o problema do galinheiro (Apêndice K);

• Tarefa 4 – Planejando uma aula com o GeoGebra (Apêndice L);

• Tarefa 5 – Tarefa de vivência (Apêndice M).

4.1.2 O Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) do Curso

O AVA utilizado no curso foi o do Projeto Obeduc Práticas, na plataforma

Moodle, esta que foi especialmente customizada para o Curso GeoGebra no

Ensino Médio: Aplicações com Funções Quadráticas

Na Figura 7 apresentamos a página de entrada do AVA do Projeto.

64

Figura 7 – AVA, tela de apresentação Fonte: <http://matemáticaepraticadocente.net.br/moodle>.

Para acessar o sistema, solicita-se ao usuário a sua identificação,

realizada por meio de login e senha. Feito isto, torna-se possível adentrar ao

Curso GeoGebra no Ensino Médio: Aplicações com Funções Quadráticas.

Na Figura 8 é apresentada a tela inicial do curso:

Figura 8 – Apresentação do curso no AVA

Fonte: <http://matematicaepraticadocente.net.br/moodle/course/view.php?id=9>.

65

Observamos, na Figura 8, que a tela de Apresentação contém links para

as seções utilizadas no curso, quais sejam: Fórum de Notícias, Papo Reto,

Pautas, Conversa Fiada, Apresentação do Projeto de Pesquisa.

O Fórum de Notícias apresenta as informações e orientações quanto à

inscrição, validação desta, bem como carga horária, o período do curso e as

condições para aprovação.

Quanto ao Papo Reto, foi uma proposta planejada para que cada

professor cursista relatasse um pouco de sua trajetória profissional e anseios.

Conversa Fiada foi um espaço criado no AVA para que o professor

cursista inserisse as suas observações e sugestões ao curso.

As atividades postadas foram nomeadas de tarefas e se referem ao

conteúdo específico do módulo, reproduzidas integralmente nos apêndices desta

dissertação, conforme a seguinte lista:

• Tarefa 1 – Questões de aprofundamento (Apêndice I);

• Tarefa 2 – Reflexões sobre o encontro (Apêndice J);

• Tarefa 3 – Atividade sobre o problema do galinheiro (Apêndice K);

• Tarefa 4 – Planejando uma aula com o GeoGebra (Apêndice L);

• Tarefa 5 – Tarefa de vivência (Apêndice M).

As três primeiras tarefas tiveram como objetivo direcionar os professores

cursistas a refletirem sobre as discussões ocorridas nos encontros presenciais,

a fim de promover análises e estudos mais profundos de cada proposta e

possibilitar posterior debate no encontro presencial, viabilizando o fechamento e

a sistematização do tópico abordado.

As duas últimas tarefas tiveram como objetivo levar os professores

cursistas a desenvolverem atividades que articulassem os quadros geométrico

e algébrico, para depois aplicarem na sala de aula a atividade exploratória e

investigativa planejada com o uso do software GeoGebra.

A seguir apresentamos como planejamos e desenvolvemos o ambiente

virtual do curso, o qual foi publicado logo após a realização de cada encontro

presencial para ampliar as discussões iniciadas em tais oportunidades.

Comecemos pela tela sobre o primeiro encontro:

66

Figura 9 – Tela do AVA relacionada ao primeiro encontro


Na Figura 9 observamos três links: Dados da UE, GeoGebra e Tarefa 1.

O link Dados da UE tinha por objetivo responder a um questionário

eletrônico para se ter informações ao projeto Obeduc Práticas, quanto às escolas

envolvidas, Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (Ideb) de cada

escola participante e abrangência do projeto quanto à quantidade de professores

participantes e o número de alunos atingidos pela formação continuada desses

docentes – tais informações não foram aqui disponibilizadas por não

corresponderem ao objeto de nosso estudo.

Na pasta GeoGebra foi publicada a apresentação do primeiro encontro

presencial e um vídeo desenvolvido por nós sobre como “baixar” o software

GeoGebra 5.0 e proceder com a sua correta instalação.

Por fim, o link Tarefa 1 consistiu de três questões que tinham por objetivo

fazer com que os professores cursistas refletissem acerca das funções

quadráticas no tocante ao seu deslocamento e consequente mudança dos

coeficientes, bem como à restrição de uma função quando se deseja apenas

uma parte dessa.

Findado o segundo encontro presencial, disponibilizamos a seguinte tela:

Figura 10 – Tela do AVA relacionada ao segundo encontro


67

Na Figura 10 podemos observar os itens Pauta 2º Encontro, Apresentação

do 2º Encontro e Questionário – 2º Encontro. No item Pauta 2º Encontro consta

apenas uma lista de como será desenvolvido o encontro, listando a cronologia

dos fatos desenvolvidos no evento presencial. Na pasta Apresentação do 2º

Encontro foi disponibilizado um arquivo no formato PDF da apresentação de

como foi desenvolvido o encontro presencial. O Questionário – 2º Encontro

possuía sete questões que versavam acerca da atividade que estávamos

desenvolvendo no GeoGebra, a fim de servir aos participantes como um novo

olhar sobre como a função quadrática articula a uma figura geométrica plana

dinâmica e se o software possibilitou uma abordagem diferenciada do conteúdo,

bem como as eventuais dificuldades encontradas no GeoGebra, além de

expectativas quanto ao curso oferecido.

Para o aprofundamento do terceiro encontro, disponibilizamos a seguinte

tela no AVA:

Figura 11 – Tela do AVA relacionada ao terceiro encontro


A pauta serviu para nortear as discussões, estabelecendo uma cronologia

aos itens abordados na ocasião. A pasta Apresentação 3° Encontro possui um

arquivo em formato PDF das atividades desenvolvidas naquela oportunidade.

Com a finalidade de ampliar as discussões oriundas do quarto encontro

presencial, disponibilizamos a seguinte tela no AVA:

Figura 12 – Tela do AVA relacionada ao quarto encontro Fonte: <http://matematicaepraticadocente.net.br/moodle/course/view.php?id=9>.

68

Na Figura 12 podemos observar a pauta do encontro, a qual nos orientou

quanto aos tópicos a serem abordados. A pasta Apresentação 4º Encontro

possui um arquivo do encontro presencial que íamos projetando ao longo dessa

reunião. A Tarefa 3 consistia de um problema do caderno do aluno do Estado de

São Paulo referente à área máxima para um galinheiro.

A seguir, temos a tela disponibilizada no AVA após o quinto encontro:

Figura 13 – Tela do AVA relacionada ao quinto encontro


A Figura 13 apresenta os itens abordados no quinto encontro, bem como

uma tarefa para fornecer subsídios à nossa reflexão compartilhada, sendo a

pauta norteadora da sequência das atividades a serem desenvolvidas; a pasta

Apresentação contendo um arquivo homônimo e que foi projetado ao longo do

processo formativo; mais a Tarefa 4, esta que consistia no planejamento de uma

aula com o software GeoGebra – que deveria ter um roteiro de como essa aula

seria desenvolvida.

Por último, a tela disponibilizada no AVA após o sexto encontro presencial:

Figura 14 – Tela do AVA relacionada ao sexto encontro


A Figura 14 ilustra os itens desenvolvidos no último encontro presencial,

bem como a Tarefa de Vivência, esta que consistia em ir além de um

planejamento de uma aula com a utilização do software GeoGebra, a fim de

aplicar tal atividade, ou seja, vivenciar uma proposta de ensino que articulasse

os quadros geométricos e algébricos tendo o GeoGebra 5.0 como recurso.

69

A intenção com a proposição dessas tarefas foi incentivar o professor a

elaborar atividades exploratórias e investigativas com o uso do GeoGebra para

seus alunos, auxiliando esse profissional a desenvolver o seu conhecimento

pedagógico tecnológico do conteúdo (TPACK).

4.2 Análise da Etapa 2

A análise da Fase 2 é referente à pesquisa de campo e, portanto,

compreendeu o exame dos dados coletados no módulo formativo – doravante

chamado de Curso de Formação Continuada – e apresentado a seguir.

Iniciamos pela caracterização dos professores cursistas e, em seguida,

analisamos os encontros do curso.

Para traçar o perfil desses professores cursistas de pesquisa, analisamos

o questionário de entrada (Apêndice A), elaborado para levantar características

individuais e profissionais dos participantes, assim como suas percepções

quanto ao ensino de Matemática com o auxílio de software de geometria

dinâmica.

4.2.1 Análise do Questionário de Entrada

Todos atestaram conhecer softwares de geometria dinâmica,

mencionando o GeoGebra, Cabri-Géomètre, Régua e Compasso. No entanto,

quando perguntados se já utilizaram algum programa de Geometria Dinâmica na

sala de aula, dois professores (A e H) relataram que não, enquanto que os outros

quatros responderam que sim.

O professor C atestou que já utilizou o software Cabri-Géomètre:

Professor C – Em aulas de Geometria para a construção de polígonos inscritos na circunferência.

O professor T mencionou que fez uso do GeoGebra para o ensino de

funções de 1º e 2º grau. Já o professor W contou ter trabalhado com os softwares

Winplot e GeoGebra, narrando a sua experiência:

Professor W – Ótima! A visão que as tecnologias digitais nos proporcionam tanto professor quanto aluno nos remete a outras formas de trabalhar os conteúdos matemáticos.

O professor F não especificou o software que utiliza, pois mencionou

apenas que abordou, em sala de aula, o conteúdo de funções polinomiais do 1º

grau com programas e relatou a sua experiência:

70

Professor F – Foi muito boa pois a participação e a manipulação por parte do aluno foram bastante proveitosas.

Quanto à questão: “Você acha que um software pode auxiliar nos

processos de ensino e de aprendizagem de sua sala de aula?”, os seis

participantes assinalaram que sim, cinco dos quais justificando a resposta:

Professor A – Porque deixa os conteúdos mais claros e com significado para o aluno, os softwares também facilitam que os alunos levantem hipóteses sobre determinados conceitos, isso é bem legal para aprendizagem, porque traz resultados positivos na aprendizagem do aluno.

Professor C – O aluno percebe a construção correta ao movimentar a figura ou representação geométrica.

Professor H – Pois, é uma ferramenta, onde o aluno terá uma nova visão do conteúdo, mas é necessário que o professor domine o software.

Professor T – Desperta o interesse do aluno, as aulas são mais dinâmicas, o aprendizado é mais fácil, há um melhor aproveitamento.

Professor W – Sim muito! O olhar muda totalmente em relação ao que ensinar e como ensinar (afeta positivamente).

Os professores cursistas evidenciaram que, segundo os quais, um

software possibilita aos alunos, por meio de seu dinamismo, levantar conjecturas

e, enfim, construir figuras, testar se a construção ou hipótese está correta;

contudo, mostraram-se conscientes da necessidade de o professor ter

conhecimentos tecnológicos para conduzir o ensino.

Por fim, argumentaram sobre a importância do uso de tecnologia digital

em sala de aula, de modo particular do emprego de um software de geometria

dinâmica, a fim de auxiliar tanto a motivação quanto o aprendizado.

O professor A elencou as suas justificativas:

Transcrição: “1º) Que nosso aluno é um aluno inserido neste tipo de tecnologia 2º) Traz mais significado

para o aluno naquilo que está vendo, pois o retorno é rápido e nosso aluno hoje é um aluno que não sabe esperar, ele é prático e quer resultados a curto prazo. 3º) Ajuda na visualização dos conteúdos facilitando com isso a aprendizagem, além de possibilitar as várias representações que um conteúdo

possa apresentar, forma algébrica, gráfica (desenhar) etc.” Figura 15 – Importância do software de Geometria Dinâmica segundo o Professor A


71

Notamos que o professor A enfatiza o uso de tecnologia por proporcionar

um retorno mais imediato o que, segundo o mesmo, facilita a aprendizagem e

possibilita os diferentes tipos de representações de um conteúdo.

O professor C também descreveu:

Transcrição: “Os softwares educativos colaboram muito para aumentar o interesse do aluno em relação aos conteúdos. O software de geometria permite a movimentação de figuras e leva o aluno a visualizar

melhor principalmente as figuras tridimensionais” Figura 16 – Importância do software de Geometria Dinâmica segundo o Professor C


Isso evidencia que, para o professor C, o uso de tecnologia digital como

o software GeoGebra propicia aos alunos um novo olhar aos conteúdos devido

ao seu dinamismo – indo ao encontro do relato do professor A.

O professor F assim acrescentou:

Transcrição: “Entendo que é uma forma de inovação educacional e promove interesse por parte dos

alunos”. Figura 17 – Importância do software de Geometria Dinâmica segundo o Professor F


No mesmo sentido, percebemos que o professor F escreve sobre a

necessidade de se inovar no processo de ensino e aprendizagem.

O professor H escreveu:

Transcrição: “Eu acho que antes de se preocupar com a importância do uso de um software em sala de

aula, teríamos que nos preocupar com a formação do professor nas novas tecnologias” Figura 18 – Importância do software de Geometria Dinâmica segundo o Professor H


Observamos que o professor H levantou outra problemática, que é a

formação continuada docente com e para o uso das novas tecnologias, condição

que também precisa ser pensada.

O professor T fez a seguinte consideração:

72

Transcrição: “Melhor visualização, comparação entre vários gráficos”

Figura 19 – Importância do software de Geometria Dinâmica segundo o Professor T Fonte: Acervo do Autor.

Notamos que o professor T ressaltou a visualização dos gráficos, pois o

software possibilita a construção e análise do mesmo e de modo mais refinado.

O professor W assim descreveu:

Transcrição: “- Aulas dinâmicas - Participação dos alunos - Novas maneiras de perceber os conteúdos

matemáticos - O aluno poderá ser atingido de uma maneira que o giz e lousa não proporciona”. Figura 20 – Importância do software de Geometria Dinâmica segundo o Professor W


Observamos que o professor W descreveu que um ambiente de

Geometria Dinâmica proporciona uma maneira de atingir o aluno que o modo

tradicional – giz e lousa – por vezes não possibilita.

Em síntese, constatamos que os professores estavam predispostos para

aprender, inovar e desenvolver propostas de ensino com o auxílio da tecnologia

digital, fato este evidenciado em suas falas. Além disso, em relação ao uso de

tecnologia para o ensino em um ambiente de geometria dinâmica, cada um

ressaltou um ponto de vista, sendo evidenciado o dinamismo do software, suas

diferentes representações, as quais proporcionam o levantamento de

conjecturas, e a formação continuada na presença de novas tecnologias. Outro

fator muito relevante foi o seguinte: nenhum dos quais se mostrou indiferente.

4.2.2 Os Encontros

O curso foi desenvolvido, como previsto, no primeiro semestre letivo de

2016, em seis encontros presenciais de cinco horas de duração, cada, e seis

horas a distância, totalizando trinta e seis horas. Foram realizados no laboratório

de informática de uma diretoria de ensino da Zona Norte da Capital paulista, a

qual era equipada com notebooks em quantidade suficiente para que cada

73

professor pudesse usá-los individualmente, um Datashow e uma televisão de

quarenta e duas polegadas com entrada VGA para apresentação de slides.

O curso de formação continuada foi conduzido por dois professores da

Universidade.18 Todos os encontros foram gravados em vídeo, fotografados e

capturadas as construções de cada participante por meio do Debut Video

Capture, que é um software de captura de tela e áudio. Houve acompanhamento

do curso por um membro da Diretoria de Ensino e um doutorando foi assistente

de pesquisa – ambos não interferiram no processo formativo.

Findado cada encontro, o evento era analisado para, a partir desse

exame, as próximas atividades e intervenções serem mantidas ou

reestruturadas. O seguinte Quadro sintetiza o desenvolvimento de cada sessão:

_________________________________________________________________________

18 O autor desta dissertação e sua orientadora.

Atividades desenvolvidas Objetivos

1º

En

co

ntr

o

Atividade 1: Função quadrática. Apresentação do AVA.

Discutir a relação entre os coeficientes da função

quadrática e seu gráfico; subsidiar as ações a serem desenvolvidas a distância.

2º

En

co

ntr

o

Continuação da Atividade 1. Atividade 2: Função área de um

retângulo.

Determinar a função área do retângulo e seu domínio.

3º

En

co

ntr

o

Formas de representação da

função quadrática. Atividade 3: Função área de um

carretel.

Subsidiar as construções; construir a figura desejada; criar o ponto P correspondente à relação entre a medida x da base e a área da secção – axial – do carretel dado; determinar a função área do carretel; determinar o domínio da função.

4º

En

co

ntr

o

Funções no ensino de

Matemática. Reflexões sobre a Tarefa 2

(AVA). Continuação da Atividade 3. Atividade 4: Função soma das áreas de dois triângulos

equiláteros – adaptada de Venant (2015).

Discutir o contexto histórico sobre o ensino de

funções; questionar sobre a Atividade 3; construir a figura desejada; criar o ponto P; determinar a função área da soma e o seu domínio.

5º

En

co

ntr

o Continuação da Atividade 4.

Comentários sobre a Tarefa 3

(AVA). Atividade 5: Função soma das

áreas de dois círculos.

Discutir o problema do Caderno do Aluno (p.103); construir o retângulo móvel, dado o perímetro; construir a figura desejada; criar o ponto P; determinar a função área e o seu domínio.

74

Quadro 5 – Os encontros Fonte: Acervo do Autor.

Na sequência, descrevemos o desenvolvimento de cada encontro

conforme o Quadro 5 os sintetiza.

4.2.2.1 Início do módulo formativo

O primeiro encontro foi iniciado com a apresentação do Projeto Obeduc

Práticas Capes/Inep e do planejamento do Curso GeoGebra no Ensino Médio:

Aplicações com Funções Quadráticas. Em seguida, os professores cursistas

foram informados de que a formação continuada é parte de uma pesquisa de

Mestrado. Assim, comunicamos que para a realização da mesma era necessário

que assinassem o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido, o qual assegura

aos participantes a preservação da identidade e que, a qualquer momento, seria

permitida a retirada de qualquer um como sujeito da pesquisa. É importante

salientar que não era obrigatório ser sujeito da pesquisa para participar do curso,

de modo que mesmo havendo essa possibilidade, todos os professores optaram

por assinar. Assim, foi entregue o Questionário de Entrada – que nos subsidiou

para traçarmos o perfil dos professores cursistas.

Em seguida, foi apresentado o AVA – trata-se de uma plataforma Moodle,

do Projeto Obeduc Práticas. A cada cursista foi fornecida senha pessoal de

acesso.

Com a finalidade de proporcionar uma integração dos professores

cursistas, foi realizada uma breve autodescrição de cada um dos mesmos quanto

à sua trajetória profissional.

Já com acesso ao ambiente e inscritos no curso, os participantes

conheceram o AVA e exploraram o material disponibilizado, tais como agenda,

tarefa, apresentação realizada em cada encontro, pauta de cada oportunidade

presencial – tais materiais foram disponibilizados após cada encontro.

6º

En

co

ntr

o

Continuação da Atividade 5. Fechamentos sobre a Tarefa 3 (AVA). Tarefa 4 (AVA). Atividade 6: Função área compreendida entre um retângulo e uma circunferência – adaptada de Bianchini e Paccola (2004).

Elaborar uma aula com o GeoGebra; construir a figura desejada; criar o ponto P; determinar a função área e o seu domínio.

75

Prosseguimos com a apresentação do GeoGebra, que já estava instalado

nas máquinas, a fim de permitir que todos se familiarizassem com o software,

iniciando com a seguinte apresentação:

Figura 21 – GeoGebra em sua tela inicial


Quando dessa apresentação, os professores foram informados quanto às

funções das Janelas de Álgebra e de Visualização, assim como do Campo de

Entrada, sendo:

• Janela de Álgebra – local em que aparece a definição dos objetos criados;

• Janela de Visualização – local em que aparecem os objetos criados;

• Campo de Entrada – local para digitar a definição de objetos, funções e

comandos do GeoGebra.

Dando seguimento, apresentamos alguns dos comandos da barra de

ferramentas do software, e informamos aos cursistas que deveriam manipular o

programa livremente, com o propósito de familiarização ao seu uso. Em seguida,

iniciamos a primeira das atividades, que tinha por objetivo a compreensão da

relação entre os coeficientes da função quadrática e sua representação gráfica.

A seguir, descrevemos e analisamos cada atividade desenvolvida

presencialmente, bem como a tarefa correlata aplicada no AVA.

76

4.2.2.2 Funções quadráticas no GeoGebra e tarefa correlata no AVA

Após termos apresentado o AVA, o software GeoGebra e alguns de seus

comandos, abordamos sobre as funções quadráticas e as implicações da

alteração dos coeficientes da mesma com a sua representação gráfica, sendo o

AVA um espaço digital que permitiu aprofundarmos essas relações, pois se

tratava de um momento posterior à atividade presencial, logo, possibilitava aos

professores cursistas uma análise mais aprofundada das questões propostas,

além desses poderem pesquisar a respeito em qualquer mídia à sua disposição.

Vale ressaltar que essas questões foram posteriormente retomadas, a fim

de colaborar e fornecer subsídios às reflexões compartilhadas.

Com o intuito de investigar a variação gráfica de acordo com a mudança

dos valores dos coeficientes a, b e c da função quadrática – que foi apresentada

em sua forma geral 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑚 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 𝜖ℝ 𝑒 𝑎 ≠ 0 –, foi elaborada

uma sequência (Apêndice C) para possibilitar a exploração e investigação da

variação de cada coeficiente.

Em relação ao coeficiente a, foi solicitado aos professores que utilizassem

o software GeoGebra para plotar gráficos de algumas funções quadráticas,

fixando os valores dos coeficientes b e c e alterando apenas o valor do coeficiente

a, com a > 0; em seguida, foi pedido que se repetisse o procedimento anterior, mas

agora alterando o coeficiente a para a < 0. Devemos aqui ressaltar que a alteração

de cada coeficiente foi realizada inserindo, no campo de entrada, os devidos

valores, logo, optamos por não usar o controle deslizante para cada alteração

por considerarmos que, embora fosse a opção mais rápida para executar tal

mudança, não permitiria a comparação visual de cada valor atribuído ao

coeficiente e, simultaneamente, à respectiva representação gráfica.

Eis os registros de três dos professores cursistas:

Professor A – A concavidade da curva é voltada para cima, a abertura

da curva está ligada com o coeficiente, quanto maior o conjunto de a, a

curva fica mais fechada, quanto menor o conjunto de a maior é a abertura da curva.

Professor C – O coeficiente a quanto mais próximo do zero > a abertura

da concavidade. a > 0 concavidade [desenhou uma parábola com a

concavidade voltada para cima] o coeficiente a > 1 as raízes se aproximam do vértice.

Professor T – Irá variar a abertura da parábola, quanto maior o valor

do coeficiente a, mais fechada será a parábola, e quanto menor o

coeficiente a, mais aberta será a parábola.

77

Professor A – A concavidade é para baixo e quanto mais próxima de zero a curva abre.

Professor C – As parábolas ficam com a concavidade [desenhou uma parábola com a concavidade voltada para baixo] e a parábola se

desloca no eixo para o outro lado do eixo x.

Professor T – Acontecerá o mesmo que na questão 1 [questão anterior,

a > 0], mas com concavidade para baixo.

Notamos que era de conhecimento comum o fato do coeficiente a

determinar se a concavidade da parábola era voltada para cima ou para baixo,

porém, ficou evidenciado que não era consensual a relação do coeficiente a

quanto à abertura da parábola, conforme podemos observar em seus relatos

quando pedimos que discorressem acerca da relação entre o coeficiente a e a

sua representação gráfica da função, o que podemos observar a seguir:

Professor A – Existem interferências dos conceitos de a, nos vértices, das raízes e no delta, por isso a curva se desloca.

Professor C – Quanto maior o valor de a mais próxima a parábola estará

do eixo y. Quanto maior o coeficiente a mais longe de 0 [zero] no eixo y o vértice da parábola ficará.

Professor T – O coeficiente a deve ser diferente de zero (a ≠ 0), quanto

maior o valor de a, menor será a abertura e quanto maior o valor de a, maior sua abertura.

Embora seja possível observar algumas relações entre o coeficiente a e

sua representação gráfica, ficou evidenciado que o conhecimento do conteúdo

necessitava ser reconstruído. Observe-se que nenhum dos três professores

descreveu de maneira geral o comportamento da parábola tanto para o

coeficiente a positivo e, em especial, para o coeficiente a negativo.

Quando questionados sobre o que aconteceria com a representação

gráfica se o coeficiente a fosse igual a zero (a = 0), foram unânimes em dizer que

seria uma função afim (se b ≠ 0), portanto, o gráfico seria uma reta.

Dando prosseguimento, partimos para o estudo do coeficiente b. Como

feito anteriormente, pediu-se que fixassem os valores dos coeficientes a e c e que

alterassem apenas o valor do coeficiente b, com b > 0; posteriormente, que

mantivessem a e c fixos e alterassem o coeficiente b, com b < 0.

Para subsidiar essa investigação, indagamos sobre o que poderia ser

observado na relação entre o coeficiente b e as representações gráficas das

funções tanto para b > 0 quanto para b < 0, tendo como retorno as seguintes escritas

de quatro professores cursistas:

78

Professor A – As funções são iguais só estão mudando seu

posicionamento no plano, b positivo fica posicionada do lado esquerdo,

b negativo posicionada do lado direito.

Professor C – Se b = 0 o V [vértice] está no eixo y (0,c). Se b > 0 o V

possui x < 0. Se b < 0 o V possui x > 0.

Professor T – O gráfico se deslocará para esquerda [b > 0] e para direita

[b < 0], quanto maior o valor maior o deslocamento. E o vértice mais

para baixo.

Professor W – Quanto maior o (b) mais para o infinito ele irá no terceiro

quadrante (quando b positivo para esquerda e b negativo para a direita

do quadrante).

(translação das funções).

Notamos que os professores cursistas levantaram conjecturas sobre as

suas investigações, o que é característico nesse tipo de atividade, porém,

verificamos que não foram além, ou seja, não houve tentativa de comprovar tais

conjecturas.

No sentido de conduzir a uma generalização, foi solicitado que

escrevessem uma conclusão acerca da relação entre o coeficiente b e a

representação gráfica da função, de modo que assim escreveram:

Professor A – Quando ele passa no ponto do eixo y se a curva cresce

o valor de b é positivo se decresce é negativo.

Professor C – O valor de b mostra que o V [vértice] será negativo e as parábolas são iguais.

Professor T – O coeficiente b deslocará o gráfico em relação ao eixo x.

Professor W – Qual será o crescimento e decrescimento da função em

relação ao eixo y para o ponto c.

Notamos ausência de rigor matemático nessas considerações.

Constatamos novamente o levantamento de conjecturas, fato que consideramos

superficial, pois esperávamos a comprovação ou refutação de tais conjecturas.

Por último, era pedido que se alterasse apenas o valor do coeficiente c, e

que fosse escrita a relação entre este coeficiente e o gráfico. Houve consenso

entre os professores cursistas de que tal coeficiente indica em que ponto o

gráfico corta o eixo y, e que o deslocamento da função ocorre apenas em relação

ao eixo y, ou seja, fazendo com que o gráfico não se desloque nem para a

esquerda, nem para a direita, mantendo a sua concavidade, de modo que subirá

se aumentarmos o valor do coeficiente c e descerá se diminuirmos este

coeficiente.

79

No AVA, a discussão continuou a distância; assim, retomemos a primeira

questão:

1 Construa a função f(x) = x2 - x - 12. Qual(is) coeficiente(s) devem ser alterados

nesta função quadrática para que a sua representação gráfica seja

deslocada apenas em relação ao eixo das abscissas (à direita ou à

esquerda)? Justifique.

E as respostas postadas pelos professores cursistas:

Professor A – Basta alterar os coeficientes de b.

Professor C – O coeficiente b da função quadrática faz com que a parábola se desloque no eixo das abscissas.

Professor H – O coeficiente (b) deve ser alterado trocando o seu sinal,

pois quando b > 0 a parábola corta o eixo y (ordenada) na crescente e

quando b < 0 a parábola toca o eixo y na decrescente, logo como não há

alteração nos coeficientes a e b a parábola irá deslocar-se no eixo das abscissas para esquerda e para direita.

Professor T – Pra deslocar o gráfico da função em relação ao eixo das

abscissas é necessário fixar os coeficientes a e c e alterar os valores

do coeficiente b. Para chegar a essa conclusão, escolhi uma função qualquer e fui fixando dois coeficientes e alterando o terceiro e pude

observar que o deslocamento em relação ao eixo x acontece quando

fixamos a e c e alteramos os valores de b.

Professor W – Devemos modificar o coeficiente b entre positivo e negativo para que a função seja descolada apenas em relação ao eixo

das abscissas. Podemos perceber que ao mudarmos o coeficiente b

para b > 0 cruza o eixo y, subindo, quando b = 0 cruza no vértice e quando

for b < 0 cruza o eixo y descendo.

Podemos notar que os professores cursistas consideraram apenas a

alteração do coeficiente b para o deslocamento desejado.

Seguem os gráficos que acompanharam as respostas dos professores

cursistas:

a b Figura 22 – Construções dos professores C (a) e T (b) no AVA, deslocando a função no eixo das

abscissas Fonte: Acervo do Autor.

80

Na Figura 22 podemos notar que os professores cursistas perceberam

que a alteração do coeficiente b da função desloca tal função para a esquerda

ou para a direita; mas não notamos que tinham percebido que esse

deslocamento foi para cima e para baixo. Desse modo, fez-se necessária a

intervenção que ocorreu no encontro presencial seguinte, a fim de fomentarmos

as discussões e reconstruirmos os conceitos envolvidos.

Dando seguimento, retomamos a discussão sobre a alteração do

coeficiente a da função quadrática e sua respectiva variação gráfica. Para isso,

apresentamos a Figura 23:

Figura 23 – Alterando o coeficiente a


A Figura facilitou a retomada da discussão, visto que logo após a sua

apresentação, surgiram algumas falas dos professores cursistas.

Observamos que não houve consenso quanto à interferência no gráfico

causada pela alteração do coeficiente a. Propusemos aos cursistas, então, que

fizessem uma investigação no GeoGebra, plotando gráficos, alterando apenas o

coeficiente a e observando as características do gráfico. Sugerimos alguns

valores, tais como meio, um, dois, três e quatro, por exemplo. Em seguida,

informamos que não era necessário nomear a função, ou seja, era fundamental

apenas que se digitasse a equação e pressionasse a tecla Enter, a fim de que o

software convertesse para função, atribuindo-lhe um nome como f(x) ou g(x) e

assim sucessivamente. Ressaltamos ainda que, com esse procedimento, o

software construiria o gráfico de cada função com cores diferentes, o que

81

facilitaria a visualização. Naquele momento, informamos algumas das sintaxes

do programa para a escrita da forma algébrica da função.

Dando continuidade, discutimos as construções no grande grupo,

compartilhando os “achados” dos cursistas. Houve consenso quanto à afirmação

de que o coeficiente a determina a abertura da parábola. Deste modo,

formalizamos que tal coeficiente estabelece a abertura da parábola, pois quanto

maior o seu valor, mais fechada será a parábola correspondente; e quanto menor

o seu valor, mais aberta essa será (quando a > 0).

Para promover novas investigações com o software, intervimos com a

seguinte pergunta:

Quando a (referindo-se ao coeficiente) for negativo, é a mesma coisa?

Eis algumas das falas dos professores:

Professor A – Sim, só que pra baixo [referindo-se à concavidade ser voltada para baixo, mostrando com a mão].

Professor F – Quanto maior o valor menor [referindo-se ao valor de a e à abertura da parábola, respectivamente].

Propusemos, então, que verificassem a veracidade das falas, plotando

gráficos no GeoGebra e os investigando. Feito isso, intervimos discutindo que,

então, era ao contrário, ou seja, tanto a parábola era voltada para baixo, como

quanto maior fosse o valor de a, mais aberta seria a mesma.

Observou-se que mesmo após terem feito as suas construções no

software, não havia um consenso entre os participantes, a ponto de dizermos

que naquele momento tratávamos de números negativos, portanto, quanto mais

próximo de zero, maior; o que demandou certo tempo para chegarmos a um

consenso de que quanto maior o valor do coeficiente a – então negativo –, mais

aberta seria a sua parábola. Para compararmos, optamos por deixar apenas

duas funções visíveis na projeção; como havia mais funções, informamos que

para deixar visível apenas as duas mencionadas, bastava clicar na janela

algébrica na “bolinha azul” das funções que se desejava ocultar.

Desse modo, conseguimos formar um consenso quanto ao coeficiente a

ser negativo e que quanto menor, diminuta seria também a sua representação

gráfica – referindo-se à abertura da parábola ser mais fechada –, ao passo que

quanto maior o valor do coeficiente a ainda negativo, maior se tornaria –

referindo-se agora à abertura da parábola ser mais aberta.

82

Os professores, em suas reflexões compartilhadas no grande grupo,

concluíram que o coeficiente a determina se a concavidade da parábola é mais

aberta ou fechada. A questão do sinal do coeficiente a já era consenso de que

determinava se a parábola era voltada para cima ou para baixo.

Para a colaboração de todos na reflexão do coeficiente b, apresentamos

a seguinte Figura:

Figura 24 – Alterando o coeficiente b


Os professores perceberam que ocorre um deslocamento da função no

sentido oposto ao valor do coeficiente b, ou seja, se aumentarmos o valor de b, o

gráfico se deslocará à esquerda; se diminuirmos o valor de b, o gráfico se

deslocará à direita.

Para subsidiar as exposições, intervimos com a seguinte questão:

A parábola em si, apresenta diferença de uma para outra?

Os professores foram categóricos em afirmar que não havia diferença

entre as parábolas, ou seja, que o coeficiente b não altera a abertura da parábola;

e mais, quando o coeficiente b for zero, o vértice da parábola coincidirá com o

coeficiente c – mas não notaram que o gráfico teria o próprio y como eixo de

simetria da função e que, por isso, teria o vértice na coordenada (0,c), conforme

explanaram.

Verificaram também que o coeficiente b indica se o gráfico cruza o eixo y

na parte crescente ou decrescente da parábola: se b for negativo, cortará na

parte decrescente; se b for positivo, cortará a parábola na parte crescente.

83

Para finalizarmos a retomada da primeira atividade, apresentamos a

Figura 25, a fim de dialogarmos acerca da variação do coeficiente c e de sua

implicação no gráfico:

Figura 25 – Alterando o coeficiente c


Os professores foram breves em dizer que o coeficiente c determina o

deslocamento da parábola apenas em relação ao eixo y, de modo que se

aumentarmos o valor do coeficiente c, a parábola “subirá”; se diminuirmos o valor

de c, a parábola “descerá”. Observaram ainda que a parábola não altera a sua

abertura de acordo com a variação desse coeficiente. O fato de a parábola

manter a sua concavidade inalterada foi evidenciada pelos formadores por meio

do GeoGebra e sobrepondo cada uma das funções apresentas na Figura anterior

– tal deslocamento possibilita a comparação entre as funções de um modo muito

rápido e prático.

Por fim, foram destacadas as três formas que essa função pode ser

escrita: o modo geral, já trabalhado no primeiro encontro: 𝑓(𝑥) = 𝑎 . 𝑥2 + 𝑏. 𝑥 + 𝑐;

a forma fatorada: 𝑓(𝑥) = 𝑎 . (𝑥 − 𝑥′) . (𝑥 − 𝑥"); e o meio canônico: 𝑓(𝑥) =

𝑎 . (𝑥 − 𝑥𝑣)2 + 𝑦𝑣. Ademais, discutimos no grande grupo que a forma fatorada é

possível de ser escrita apenas caso exista, pelo menos, uma raiz real, enquanto

que o modo canônico possibilita outras investigações em relação à função

quadrática e sua representação gráfica.

84

Após essas discussões por nós compartilhada com os professores

cursistas, retomamos à primeira pergunta do AVA:

1 Construa a função f(x) = x² - x - 12. Qual(is) coeficiente(s) devem ser alterados

nesta função quadrática para que a sua representação gráfica seja

deslocada apenas em relação ao eixo das abscissas (à direita ou à

esquerda)? Justifique.

Esta questão causou discussão no grupo quanto à sua escrita – se estava

formulada de maneira clara e o que se desejava. Houve consenso que sim; então

indagamos sobre a dificuldade de se escrever na língua portuguesa uma

situação matemática. Foi nosso objetivo nesse momento fomentar a discussão

sobre tal temática, de modo que continuamos observando que o deslocamento

à esquerda ou à direita se dá em relação ao eixo das ordenadas, ou ainda que

o gráfico se desloca sobre o eixo das abscissas. Verificamos que tal fato havia

passado despercebido pelos professores cursistas. Comentamos que devemos,

principalmente em um curso de formação docente, discutir tais aspectos de uma

questão, pois às vezes – e por exemplo – uma vírgula em um lugar inadequado

pode levar o aluno a não entender o que lhe é solicitado.

Ainda em relação à primeira questão, os professores fizeram

investigações sobre a função proposta, o que motivou o seguinte diálogo:

Professor C – Minha dúvida é essa quando eu estou mexendo o

coeficiente b além de ele estar deslocando no eixo x a parábola também

está se deslocando no eixo y eu não devo considerar isso?

Formador 1 – A ideia é justamente essa, trazer pra discussão pra provocar essas discussões, ou seja, você faz de acordo com o argumento que achar válido para aquela situação, aí a gente discute se tem outras possibilidades. Pode ser que aquilo que você argumentou não seja só aquilo pode haver mais coisas. Não tem resposta padrão, a ideia é provocar a investigação mesmo.

Podemos verificar neste excerto que as discussões e retomadas de

conteúdo favoreceram as investigações no software.

O professor H observou que esse deslocamento da função acontece se

trocarmos o sinal do coeficiente b. Construímos, então, esse gráfico sugerido

pelo docente de forma coletiva e o projetamos para análise, de modo que

intervimos, dizendo se tratar de um caso particular, pois outros valores para esse

coeficiente acarretariam em um deslocamento em duas dimensões. Dessa

maneira, seguimos indagando sobre quais coeficientes deveriam ser alterados.

85

Destinamos, então, um breve período de tempo para que refletissem

sobre a questão. Os professores disseram, de modo coletivo, que deveriam ser

alterados os coeficientes b e c; intervimos novamente, perguntando se o

coeficiente a também não deveria ser alterado, o que, para a nossa satisfação,

foi respondido de forma categórica pelos participantes que não, pois o coeficiente

a, se mudado, alteraria a abertura da parábola.

Dando seguimento a essa reflexão compartilhada, os professores

concluíram que não se tratava de qualquer mudança para os coeficientes b e c

que faria dar certo o deslocamento pretendido, até perceberem que esse

deslocamento dependia do vértice da parábola. Dessa maneira, verificamos que

seria necessário utilizarmos o modo canônico e manter o valor de ordenada do

vértice, a fim de que houvesse o deslocamento desejado. Constatamos que a

forma geral da função quadrática nos deixaria com duas incógnitas, portanto,

não seria a abordagem adequada.

Consideramos como evento crítico dessa atividade os momentos em que

os professores cursistas manipularam o GeoGebra, atribuindo valores aos

coeficientes da função quadrática, quando testaram e validaram – ou refutaram

– as suas conjecturas sobre a atividade. Ficou evidenciado esse evento crítico

quando o Professor F descreveu de que forma deveria se dar a alteração dos

coeficientes relacionados à coordenada xv (xis do vértice), conforme o próprio

calculou a relação, de forma assertiva, a 𝑏2 = 49 − 4𝑐. Portanto, não se tratava

de qualquer modificação dos coeficientes b e c, fato que evidencia a

mobilização/reconstrução do conhecimento do conteúdo, o que possibilitou as

construções no software.

Notamos aqui indícios do desenvolvimento do TPACK, pois os

participantes reconstruíram o próprio Conhecimento do Conteúdo (CK) ao

estabelecerem a forma canônica como caminho para resolver a questão e

estabelecer a relação entre os coeficientes b e c ao deslocamento horizontal; bem

como o Conhecimento Pedagógico do Conteúdo (PCK) quando discutiram a

pertinência da abordagem da forma canônica com os alunos e esse

deslocamento, ou seja, tornando o assunto – o que se deseja, no caso, o

deslocamento da parábola – em ensino – forma canônica –; e ainda o

Conhecimento Tecnológico do Conteúdo (TCK) ao constatarem como aplicá-lo

no software GeoGebra, conforme Mishra e Koehler (2006) preconizam.

86

A seguir, a segunda questão disponibilizada no AVA:

2 Construa a função g(x) = x²- x + 2. Qual(is) coeficiente(s) devem ser alterados

nesta função quadrática para que a sua representação gráfica passe pelo

ponto (0,-4)? Justifique.

E as respostas enviadas pelos professores cursistas:

Professor A – Substituir o ponto de -4 na função no coeficiente de c.

Professor C – Para a função g(x) = x² - x + 2 passar pelo ponto (0,-4) é

necessário alterar o valor de c na função, ou seja, a função passaria a

ser g(x) = x² - x - 4.

Professor H – O coeficiente (c) deve ser alterado para (-4), pois este

coeficiente indica o ponto onde a parábola corta o eixo y no ponto (0,c),

ou seja, f(o) = c.

Professor T – Utilizando os testes realizados na questão 1, observei

que a alteração deve ser realizada no coeficiente c, mudando a

equação para f(x) = x² - x - 4.

Professor W – Devemos mudar apenas o coeficiente (c) para valor igual

a (-4) para que a parábola venha a cruzar o eixo y nesse ponto (0,-4).

Os professores cursistas foram unânimes em afirmar que bastava alterar

o coeficiente c da função quadrática para menos quatro (-4), o que nos evidencia

o conhecimento do conteúdo.

A seguir, podemos observar a terceira e última questão do AVA:

3 Construa a função ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 4. Como podemos limitar a

representação gráfica de h(x) para que seja visível apenas onde a função

é crescente? O que representa tal restrição?

E as respostas enviadas pela plataforma:

Professor C – A parábola é crescente quando x > −𝑏

2𝑎, que é o valor da

abscissa do vértice. A restrição representa uma condição de existência para a função.

Professor T – Usar apenas os valores de x maiores que o x do vértice,

ou seja, D(f) = {x∈ 𝑅/𝑥 ≥−𝑏

2𝑎}.

Professor W – Podemos olhar apenas para x > 0 para verificar o ponto

no vértice aonde a função é apenas crescente, nesse caso para x > ...

também podemos olhar para o x do vértice aonde vai dividir a parábola com o eixo de simetria ou podemos olhar para as raízes da função e

verificar a média para saber o x do vértice e depois substituir o x na

função para obtermos o y, assim teríamos as coordenadas aonde a

função seria crescente. X = (1 + 4) / 2 = 2,5 e y = 2,5^² - 5 . 2,5 + 4 = -2,25 ... logo (2,5,

-2,25) (se entendi a pergunta seria isso!).

87

Verificamos nesse momento que se fazia necessário relembrar que já

havíamos feito algo semelhante na atividade dois, na qual se desejava apenas

considerar a parte crescente da parábola.

Os professores tiveram que voltar a investigar no software essa questão e,

de modo coletivo, concluímos que seria necessário restringir o domínio dessa

função para 𝑥 > 𝑥𝑣, ou seja, no caso 𝑥 > 2,5.

Acreditamos que, com essas discussões compartilhadas, poderíamos dar

início à nossa segunda atividade, que propõe estabelecer a relação entre uma

função quadrática e a área de uma figura plana.

4.2.2.3 Área de um retângulo

A atividade foi a primeira das desenvolvidas para promover a articulação

entre os quadros geométrico e algébrico, com o objetivo de investigar a variação

conjunta da medida dos lados e da área de um retângulo.

No início do curso, identificamos que a maioria dos professores

participantes estava começando a utilizar o software GeoGebra, fato que nos

levou a optar por fornecer um arquivo pronto, já com a construção do retângulo.

Devemos destacar que a atividade trata de um retângulo especial onde a

medida da base é o dobro da medida da altura.

A proposta solicitava o estabelecimento da relação existente entre a

medida da base do retângulo dado e, por consequência, de todos os seus lados,

com a sua área e a respectiva função área (Quadro 6).

Foi dado aos professores um protocolo com oito questões de caráter

investigativo e um arquivo do GeoGebra com a construção de um retângulo cuja

medida da altura era a metade da medida da base.

Foi solicitado que deslocassem o único ponto móvel B – vide (Quadro 6),

especificamente o único ponto em azul – e observassem o que ocorreria com o

retângulo.

A partir da exploração do arquivo no GeoGebra, deveriam responder às

questões do seguinte protocolo:

88

Área de um retângulo.

No retângulo da Figura ao lado, temos AB = x e BC = 𝑥

2,

B é um ponto móvel sobre a semirreta .

1 Investigue a variação de x e a correspondente

variação da área. O que você descobriu?

2 Qual é a expressão que define a área A(x) desse

retângulo em função da medida x da base?

3 Denominando de ponto p(x,y) de coordenadas x = medida de AB e y = A(x), ou seja, medida

da área do retângulo ABCD. Determine a relação entre a medida de x desse retângulo e

a sua área no GeoGebra.

4 Desloque o ponto B e observe o que ocorre com o ponto P. O que você descobriu?

5 Habilite exibir rastro para o ponto P e repita o procedimento anterior. O que você

descobriu?

6 Construa o gráfico dessa função. Compare com o rastro do ponto P. São equivalentes?

7 O rastro do ponto P percorre toda a parábola? Como escrever a função?

8 Quais foram as suas observações com relação a esta atividade?

Quadro 6 – Protocolo da atividade Área de um retângulo Fonte: Acervo do Autor.

A questão inicial solicitava que se investigasse a variação de x e a

correspondente variação da área. Feito isso, que se relatasse as descobertas.

Constatamos que, dos seis professores, cinco afirmaram que “[...] quanto

maior o valor de x, maior a área”. Tais cursistas não se referiram à maneira como

ocorrera essa relação de aumento – se se dava na mesma proporção ou não.

Percebemos que três fizeram experimentações, atribuindo valores a x e

determinando a área do retângulo e, entre os quais, dois relataram que “[...] a

razão em que a área aumenta é quatro vezes maior em relação à medida x (da

base)”. Notamos que, ao longo das investigações, todos os três atribuíram

valores naturais a x, ainda que, junto ao software, estivessem disponibilizados

incrementos decimais para os valores do segmento x.

Na segunda questão, pedia-se a expressão que define a área A(x) desse

retângulo em função da medida de sua base.

Observamos que todos os seis professores cursistas descreveram a

função área como: 𝐴(𝑥) = 𝑥2

2, ou da seguinte forma: 𝐴(𝑥) =

1

2 . 𝑥² – fato que

mostra a mobilização do conhecimento do conteúdo.

AB

89

Na terceira questão era pedido para que se construísse um ponto P = (x,y),

em que x representasse a medida da base e y, a área do retângulo com a sintaxe

do software – isso foi realizado com a orientação do formador 1. Era necessário

observar o nome dado ao segmento da base, por exemplo, a, e o nome dado à

área do retângulo, em outro exemplo, pol1. Ademais, deveriam digitar, no campo

de entrada, P = (a,pol1); por fim, pressionar a tecla Enter. Feito isso, o feedback do

software era o ponto P, tal como se vê na Figura 26:

Figura 26 – Protocolo de construção do ponto P


Naquele momento, tratava-se de auxiliar os participantes na construção do

conhecimento tecnológico do conteúdo, necessário, então, para construir o ponto P.

O professor F indagou sobre a razão de seu ponto P não estar como

havíamos mostrado na projeção do Datashow – a Figura 27 explicita o ponto P

obtido por esse cursista. Verificamos que havia construído um vetor – e não um

ponto. Em complemento, informamos-lhe qual era a sintaxe do software para

nomear um ponto, no caso, P maiúsculo – pois em minúsculo o programa entende

como um vetor nomeado.

90

Figura 27 – Construção do professor F


Assim, auxiliamos o professor F na construção do conhecimento do

software GeoGebra, ou seja, o saber tecnológico do conteúdo.

A quarta questão solicitava que fosse investigada a variação do ponto P

quando se deslocava o ponto B e, em seguida, fossem registradas as

descobertas; proposição que motivou os seguintes registros dos participantes:

Professor C – O ponto P é a parte crescente da parábola.

Professor F – Quando a área aumenta o ponto P se distancia na mesma medida.

Professor W – o ponto (P) sempre se movimenta na função x2

2 na parte

crescente, pois não poderíamos ter uma área negativa.

Os professores C e W observaram e concluíram de forma assertiva quanto

à forma de deslocamento do ponto P, diferentemente da observação equivocada

do professor F, quem afirmou se tratar de um deslocamento linear.

Nossa expectativa era que afirmassem que o ponto P pertence à curva e

se desloca apenas na parte positiva ou crescente.

Segundo Ponte (1998, p. 6), nas atividades de exploração e investigação:

“Uma preocupação fundamental que se destaca [...] é a de dar ao aluno a

responsabilidade de descobrir e de justificar as suas descobertas”.

Nessa questão, observamos que os professores cursistas levantaram

conjecturas e as testaram, como é usual em uma atividade de caráter

investigativo.

91

A quinta comanda solicitava a habilitação de exibir rastro para o ponto P e

a repetição do procedimento de movimentar B e relatar o ocorrido com P.

O professor T dissertou que:

[...] o rastro do ponto P desenha a parte crescente da parábola.

E o professor H, corroborando com o professor T, escreveu que:

[...] o rastro permanece na parte crescente mesmo se x ficasse negativo.

Ambas as afirmações estão corretas, entretanto, não houve consenso

quanto à veracidade dessas declarações.

Por seu turno, o professor F afirmou que:

[...] cria-se uma função exponencial em relação ao vértice A.

Para esse, não se tratava do gráfico de uma função quadrática.

Notamos que cinco dos professores mobilizaram seus conhecimentos do

conteúdo, por terem feito observações de modo assertivo com relação à

atividade, referindo-se ao rastro do ponto P ficar na parte crescente da parábola.

A sexta questão solicitava a construção do gráfico da função e a

comparação com o rastro do ponto P. Feita tal construção, os professores

deveriam constatar se os resultados obtidos pelos dois processos eram

equivalentes.

Quatro professores concluíram que não, tal como dissertou o professor A:

[...] o rastro se limita à parte crescente da curva.

Percebemos, nessa ocasião, que o conhecimento específico do conteúdo

dos professores T e F estava em construção, pois escreveram que sim, que eram

equivalentes; no entanto, fazia-se necessário observar a restrição do domínio

dessa função, ou seja e como afirma Muraca (2011), torna-se importante

reconceituar esse conteúdo, atribuindo-lhe significado e ampliando os seus

conhecimentos prévios.

A sétima questão era complementar a anterior, pois indagava se o rastro

percorre toda a parábola e como deveria ser escrita a função na representação

algébrica.

Todos os seis professores responderam que o rastro não percorre toda a

parábola, sendo que quatro escreveram “[...] que percorre a parte crescente”.

Naquele momento do curso, como formadores, observamos o evento crítico

onde se fazia necessária uma discussão coletiva de modo a levar o grupo a

92

refletir sobre a necessidade de restringir o domínio da função, fato que

consideramos fundamental para o pleno entendimento da atividade proposta. A

Figura 28 ilustra a condição anterior – sem a restrição do domínio – e o depois –

com a restrição do domínio da função.

É importante destacar que somente no segundo caso ficou evidenciada a

relação do ponto P com a função. Assim, auxiliamos os professores na

reconstrução do Conhecimento do Conteúdo (CK) ao revisitarmos o conteúdo de

restrição de domínio; de modo similar, ao compartilharmos como proceder no

software para estabelecer essa restrição, auxiliamos os participantes na

elaboração do Conhecimento Tecnológico (TK).

Ressaltamos, na Figura 28 – gráfico à direita –, que o rastro coincide com

o gráfico da função área 𝑓(𝑥) =𝑥2

2 para 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ 𝐼𝑅 |𝑥 > 0}.

Figura 28 – Construção da função sem a restrição X com restrição do domínio


A última pergunta se referia ao registro de observações pessoais em

relação à atividade.

O professor W assim escreveu:

Achei muito bom, melhorou minhas percepções e aprendi algo novo.

Por outro lado, o professor H achou:

[...] complexa, pois temos que relembrar conceitos já deixados de lado.

Os comentários dos professores H e W evidenciam que o Conhecimento

Pedagógico do Conteúdo (PCK) começou a ser construído/mobilizado.

93

Com a finalidade de favorecer as investigações e instigar os professores

a manipularem o software, informamos que o mesmo apresenta a opção exibir

protocolo da construção, conforme a seguinte Figura:

Figura 29 – Comando Exibir-Protocolo de Construção


Na Figura 29 podemos observar, à direita, o Protocolo de Construção, no

qual está apresentado o passo a passo da construção de modo descritivo do que

foi realizado. Caso deseje, é possível ainda visualizar os passos da construção

com um vídeo da qual, utilizando o comando Reproduzir – presente no canto

direito da Figura. Optamos por apresentar esse comando para possibilitar aos

professores cursistas a familiarização com o software nesse tipo de ação.

4.2.2.4 Área da secção de um carretel

Nesta atividade fornecemos apenas o roteiro, ou seja, propusemos aos

professores cursistas que construíssem no GeoGebra a figura desejada para

posterior análise.

94

O roteiro da proposta para a construção do arquivo podemos observar no

seguinte Quadro:

Área da secção (axial) do carretel.

A Figura ao lado é formada por dois trapézios isósceles congruentes

com ângulo da base igual a 60° e um retângulo de mesma altura dos

trapézios. A medida da base do retângulo é a mesma da base menor

dos trapézios. Denomine o segmento AB da base maior do trapézio de

x, ou seja, AB = x.

Quadro 7 – Área da secção (axial) de um carretel Fonte: Acervo do Autor.

Para construir esse arquivo era necessário elaborar o trapézio da base, o

retângulo da região central e o trapézio do topo da figura.

Ao longo desse processo, notamos que os professores cursistas tiveram

dificuldade em construir a figura no GeoGebra com as propriedades indicadas.

Para tanto, deveriam fazer construções como as da seguinte Figura:

a b

Figura 30 – Construindo a secção de um carretel com as condições geométricas necessárias (a) e apenas com os pontos de interesse (b)


A Figura 30a apresenta uma das possibilidades de construções

necessárias para se realizar a elaboração da figura solicitada; já na Figura 30b

é apresentada a construção desejada em nosso caso. Ou seja, ocultamos as

elaborações geométricas que auxiliaram na construção desejada para termos a

figura destacada – percurso que foi seguido pelo pesquisador 1.

Deve-se observar que foi necessária essa apresentação por notarmos que

os professores cursistas estavam por muitas vezes a desenhar a figura desejada

– e não a construir –; logo, se movimentássemos um ponto da figura, esta seria

95

destorcida, o que acreditamos representar uma situação momentânea, tendo em

vista que quando se desenha uma figura, apenas está de determinada forma, não

necessariamente na condição desejada – trata-se da diferença entre desenhar e

construir.

Dito de outra forma, desenhar uma figura geométrica consiste em uma

situação momentânea se movimentarmos o seu ponto móvel de modo a

destorcer, perdendo as suas propriedades; diferentemente de quando

construímos uma figura geométrica, afinal, pressupõe uma construção que

mantém as suas propriedades, sendo justamente esta característica que

concede ao software um caráter dinâmico – residindo aí um de seus mais

importantes aspectos.

Consideramos fundamental reforçar que tais dificuldades com o

GeoGebra já eram esperadas, pois se tratava da primeira vez em que

construiriam uma figura nesse software.

Esperávamos, porém, que surgissem questionamentos quanto às

possíveis construções da figura, pois fornecemos, de modo intencional,

informações que dariam margem a diferentes interpretações para a construção

desejada, isto no intuito de fomentar a discussão.

O professor C foi o primeiro a construir tal figura; pedimos, então, que

esse cursista apresentasse a sua elaboração aos demais colegas, quem aceitou

prontamente, refazendo-a e a projetando no Datashow para que todos

pudessem acompanhar o processo, a fim de que conseguissem reproduzir, em

suas máquinas, o que o professor C refazia.

Findada a reconstrução, lembramos aos professores cursistas que o

software possui uma ferramenta denominada Protocolo da Construção, a qual

permite visualizar cada etapa do processo, e mais, possibilita a visualização de

um vídeo com o passo a passo da ação realizada, o que, para nós, torna-se

muito rico de detalhes, pois podemos verificar como cada participante realizou a

sua construção e, então, perceber os diferentes caminhos trilhados, fato

enriquecedor para uma aula e/ou até mesmo perceber e indicar ao aluno onde

este eventualmente se equivocou na atividade, possibilitando-lhe autocorreção

– e não apenas dizer que estava errado o que fizera.

96

Tomamos como padrão a construção do professor C, a fim de termos

referência para a forma solicitada, bem como uma mesma função área. Assim,

na Figura 31 podemos observar como o professor C desenvolveu a sua

construção:

Figura 31 – Construção do Professor C utilizando ponto médio


Na Figura podemos verificar como o professor C realizou a sua

construção, sendo que inicialmente elaborou o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e, em seus

extremos, inseriu ângulos de amplitude fixa de 60° que, por consequência,

geraram o ponto 𝐴′, e sobre este ponto criou a reta 𝑎 paralela à base 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ a seguir,

determinando os pontos médios entre 𝐴 e 𝐴′, nomeando de ponto 𝐶; e entre

𝐵 e 𝐴′, nomeando de ponto 𝐷; por esses pontos (C e D) foram construídas duas

retas perpendiculares à base 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ denotadas por 𝑏 e 𝑐, onde foram elaborados os

pontos de intersecção entre as retas 𝑎 e 𝑏 e 𝑎 e 𝑐, denominados,

respectivamente, 𝐸 e 𝐹.

A seguir, determinou-se o ponto médio entre 𝐶 e 𝐷, nomeado de 𝐺,

construindo-se a reta 𝑑 que passa pelos pontos 𝐸 e 𝐺, bem como a reta 𝑒 que

passa pelos pontos 𝐹 e 𝐺 na intersecção entre a reta 𝑑 e o eixo y, criando o ponto

𝐻 sobre este, a reta 𝑓 paralela ao eixo x, de modo que nesta reta 𝑓 foi criado o

ponto 𝐼 em sua intersecção com a reta 𝑒 e, por fim, com o comando Inserir

Polígono, clicou-se sobre os pontos 𝐴, 𝐵, 𝐷, 𝐹, 𝐼, 𝐻, 𝐸, 𝐶 e novamente no ponto 𝐴

para fechar o polígono solicitado.

97

Tendo discutido e refletido sobre a construção da figura da terceira

atividade e tomando como feitura o modelo realizado pelo professor C,

elaboramos a atividade (Apêndice N). Como nosso objetivo é partir de um

problema geométrico e determinar a sua função área, iniciamos por solicitar aos

participantes do curso a determinação da função área da figura em relação à

medida x da base do segmento AB.

Os professores formadores salientaram que, apesar de termos diversas

formas de calcular a área desejada, ater-nos-íamos ao estabelecido no

enunciado da questão, pois aquilo que está no enunciado é, de modo geral, o

que o aluno tentará fazer – o que não quer dizer que não possa explorar outras

maneiras de realizar a construção solicitada.

Para a sua realização, evidenciamos que a área seja em função da

medida x da base da figura, deste modo, se realizado o cálculo da área em

relação à medida x da base, qualquer forma de calcular a área da figura possuirá

a mesma área desejada. Assim, realizamos o cálculo da área dos trapézios e do

retângulo; apresentamos aos professores o cálculo dessa área de acordo com o

enunciado, ou seja, o caminho mais provável que o aluno percorrerá para o

desenvolvimento do cálculo desejado, conforme podemos verificar a seguir:

Figura 32 – Área da secção (axial) do carretel


98

Como professores formadores, percebemos que os cursistas estavam com

dificuldades na determinação da área da figura, assim, auxiliamo-los no cálculo da

área.

O evento crítico dessa atividade consistiu desde a construção da figura

desejada, pois os professores cursistas tiveram muita dificuldade em realizá-la, o

que consideramos compreensível por ter sido a primeira construção que

realizaram no software, bem como o cálculo da área solicitada, pois sem

estabelecerem a área da função não seria possível o desenvolvimento dessa

atividade proposta, o que, por outro lado, revela a fragilidade do Conhecimento do

Conteúdo (CK) – especificamente de área do trapézio para transpor tal obstáculo

–; de modo que optamos por fornecer esses cálculos e os projetamos (Figura 32)

para a discussão na reflexão compartilhada.

Dando segmento, pedimos a construção do ponto P que relaciona a

medida da base com a área, e que construíssem, no software, o gráfico da

função área e, por fim, o registro de suas reflexões sobre tal atividade.

O professor C elaborou o ponto P, bem como o gráfico da função área,

conforme a seguinte Figura:

Figura 33 – Professor C, ponto P e função área da secção (axial) do carretel


Podemos notar que o professor C, ao inserir a função área denotada por

𝑔(𝑥), incluiu a restrição do domínio da mesma, o que demonstra a

reconstrução/mobilização do Conhecimento Tecnológico do Conteúdo (TCK).

Ademais, observe-se que o ponto 𝑃 também foi construído e seu rastro exibido

99

ao mover-se o ponto 𝐵 da base o qual era o único ponto móvel da construção,

para a elaboração do ponto 𝑃, inserindo-se no campo de entrada o comando 𝑃 =

(𝑥, 𝑝𝑜𝑙1).

A coordenada 𝑝𝑜𝑙1 corresponde à área da figura que o próprio software

calcula ao darmos o comando Inserir Polígono e clicarmos em cada um de seus

vértices, finalizando no vértice em que se iniciou a construção para fechar o

polígono – a construção foi socializada na reflexão compartilhada.

Os professores cursistas relataram ter dificuldades com a construção

dessa figura e salientaram que para se abordar tal realização, fazia-se

necessário relembrar conteúdos de Geometria – momento em que podemos

notar mais uma vez a fragilidade do Conhecimento do Conteúdo (CK) dos

professores cursistas da pesquisa.

Com o objetivo de dar sentido ao que se ensina, propusemos atividades

que contemplassem a articulação entre a Geometria e funções, estabelecendo,

assim como Klein (2011) pregava, a aprendizagem de função como um eixo

norteador no ensino de Matemática, constituindo, em nosso caso, uma relação

intramatemática, pois propusemos a articulação entre os quadros geométrico e

algébrico por meio da construção de funções a partir de problemas geométricos.

Assim, iniciamos as discussões sobre a Tarefa 2 do AVA, a qual tinha por

objetivo levar os participantes do curso a explorarem autonomamente o software

e a investigarem, a partir de seus conhecimentos geométricos, as possíveis

construções de uma figura com condições dadas.

Nessa Tarefa 2 indagávamos se o professor teve dificuldades com o

software?

Segue a resposta de alguns professores cursistas:

Professor C – Não, por conhecer o Cabri me facilitou na construção embora tenha que me adaptar aos comandos no GeoGebra, [salientando ainda que] muitos professores não ensinam Geometria.

Professor W – Não, um software muito simples explicativo, fazendo as atividades fica muito mais fácil relacionarmos todos os comandos.

Professor T – Não, desconhecia alguns comandos, mas sem dificuldades.

Embora aqui tenhamos falas de três professores cursistas apontando que

não apresentaram empecilhos, notamos que os outros três sim, tiveram

dificuldades em suas construções, seja por falta de conhecimento do software,

100

de conhecimento geométrico – do conteúdo –, ou até mesmo de ambos,

portanto, falta de conhecimento tecnológico do conteúdo.

Ressaltamos que o professor C afirmou que o conhecimento prévio do

software de Geometria Dinâmica Cabri o auxiliou a estabelecer um paralelo com

as construções no GeoGebra, embora tivesse que se adaptar à sintaxe do

software. Isso evidenciou o caráter progressivo da construção de conhecimento

tecnológico do conteúdo.

O segundo questionamento: Você teve dificuldades com a construção

geométrica? Teve as seguintes respostas:

Professor W – Não, mas vale ressaltar que uma atividade pode ser feita de várias formas e dependendo da maneira que irá se construir devemos ter muita atenção para relacionar os comandos.

Professor A – A princípio sim, foi um pouco difícil perceber quais ferramentas que construíam cada coisa.

Professor T – Na primeira tentativa, tudo funcionou, mas o ângulo de 60° não fixou, mas na segunda tentativa corrigi esse erro e deu tudo certo.

Constatamos que todos tiveram algum tipo de dificuldade mesmo que não

tenhamos observado em todos os relatos, seja na sintaxe do software, ou mesmo

de construção geométrica, fato já esperado, afinal, tratava-se da primeira vez

que os professores cursistas iniciaram uma construção geométrica no

GeoGebra. Tratava-se de familiarização; mas também ficou evidenciado em

suas construções que era um conhecimento superficial de Geometria Plana.

A terceira questão, relativa ao objetivo do curso, foi assim formulada:

Nosso objetivo é que você possa explorar e criar atividades para os seus alunos

promovendo a articulação entre Geometria e funções com recursos tecnológicos.

Como você avalia essa proposta?

Seguem as respostas dos professores cursistas:

Professor A – É bem interessante, pois o aluno consegue compreender melhor os significados algébricos quando visualizam a parte geométrica, dá mais significado.

Professor W – Os organizadores dos encontros estão de parabéns pela iniciativa, a iniciativa é super válida e vejo que esses cursos deveriam ser comuns nas diretorias de ensino dos Estados (assim como é na [... referindo-se à diretoria em que estávamos] e ofertadores nas escolas para os professores.

Professor T – Acho válida, mas os alunos apresentariam muita dificuldade na construção da figura. Mas se apresentar a figura pronta e explorá-la, acredito que funcionaria.

101

Notamos que os participantes gostaram da proposta mesmo com alguma

ressalva, logo, podemos perceber que a nossa proposição vinha ao encontro do

anseio docente.

Assim, fizemos o seguinte pedido: Identifique os pontos positivos e

negativos do encontro.

De modo que obtivemos estas respostas dos professores cursistas:

Professor T – Positivos: nível de dificuldade, nos levando a enfrentar os desafios; visão diferenciada da função quadrática relacionada à Geometria. Negativos: como não tive dificuldades, fiquei muito tempo ociosa.

Professor A – Positivos: as atividades foram bem interessantes, pois uniu a parte algébrica com a geométrica, ampliando mais as discussões, porque não se limitou apenas em fazer análise de gráficos das funções ou apenas inseri-las no software. Negativos: As atividades exigiam mais tempo e as construções [para] quem não tem muita habilidade com desenho geométrico fica um pouco perdido.

Professor W – Só vejo pontos positivos, não consigo verificar nada de negativo. Os encontros servem de aprendizagem para todos os professores para que possam ter novas formas de ensinar Matemática para seus alunos.

Nos relatos desses cursistas é notável que a nossa proposta em trazer

algo diferente do tradicional foi bem-sucedida. Ademais, percebeu-se que os

professores não estavam familiarizados no trabalho com atividades exploratórias

e investigativas. Afinal, nesse tipo de atividade o aluno deve ser levado a

investigar, explorar, levantar conjecturas para posterior validação ou refutação

das hipóteses formuladas. Ao professor cabe o papel de mediador, de modo que

ao passo que surgirem entraves para o entendimento ou a resolução do

problema, deve levar o seu estudante a pensar acerca dessa situação

problemática, indagando e instigando o pensamento discente.

Para tanto, faz-se necessário que o professor repense a sua prática, de

modo a incluir novas tecnologias em sua docência, mesmo que para isso sejam

necessários aprendizados que originalmente não tivera. Logo, esse profissional

necessita estar disposto a enfrentar inéditos desafios a fim de sair de sua “zona

de conforto”.

Acerca das considerações sobre essa atividade, os cursistas

demonstraram muita dificuldade na realização, seja na construção da figura, bem

como no cálculo da área desejada.

102

Quanto à figura, ficou evidente que a atividade proposta teve um nível de

dificuldade alto, o que consideramos uma falha nossa, por se tratar de uma

construção complexa para nossos cursistas, sendo esta a sua primeira

construção no GeoGebra, pois exigia um conhecimento mais profundo do

software.

Entretanto, possibilitou aos professores, por intermédio de seus

formadores, principalmente no momento da reflexão compartilhada, explorar

algumas possibilidades de construção da figura.

Quanto ao cálculo da área desejada, ficou evidenciado que os

participantes necessitavam expandir o próprio conhecimento acerca do

conteúdo, especialmente o que se refere ao cálculo de área de trapézio.

Assim, consideramos que essa atividade deveria ser a última dessa

sequência devido à sua complexidade de construção e que sendo em um

momento no qual os professores cursistas já estivessem mais familiarizados com

o GeoGebra, tornar-se-ia uma atividade desafiadora e poderia agregar mais

explorações tanto do software como do conteúdo de áreas.

4.2.2.5 Soma das áreas de dois triângulos equiláteros

Esta atividade tomou por base a original de Venant (2015) e teve como

proposta levar o participante a investigar de forma dinâmica a variação da soma

das áreas de dois triângulos equiláteros – cujas características estão

apresentadas na Figura 34 – em função da variação da medida dos lados.

Inicialmente, propusemos a construção de modo conjunto de um arquivo

no GeoGebra, entretanto, os professores cursistas solicitaram construir

autonomamente tal arquivo, o que foi prontamente atendido.

Soma das áreas de dois triângulos equiláteros.

Na Figura ao lado, os triângulos ADC e CEB são

equiláteros.

O ponto C é móvel sobre o segmento AB.

Seja AB = a

Seja AC = x

Quadro 8 – Soma das áreas de dois triângulos equiláteros Fonte: Adaptado de Venant (2015).

103

Observamos que os professores, na tentativa de construir a Figura

presente no Quadro 8, apresentaram dificuldades, especialmente para criar o

ponto C de tal modo que o mesmo fosse comum aos dois triângulos equiláteros.

Houve necessidade de intervenção, o que fizemos, auxiliando na construção da

Figura, esta que era projetada no Datashow.

De modo que consideramos como evento crítico da atividade justamente

a construção da figura, pois se tornou um entrave na realização da tarefa e que,

para transpô-lo, fazia-se necessário determinar o segmento AB e posteriormente

criar um ponto nesse objeto, para que, desta maneira, tal ponto C ficasse restrito

ao segmento, ou seja, C pertencesse a AB.

Notamos aqui que o Conhecimento Tecnológico (TK) foi construído com

o auxílio dos formadores nas discussões onde foi evidenciada a dificuldade de

vincular um ponto ao segmento.

Superada a etapa da construção da Figura no software, apresentamos o

comando polígono regular que também configura a construção do mesmo tipo

de conhecimento.

Retomando a discussão, com o comando Inserir Polígono – regular do

GeoGebra – poderiam selecionar os pontos A e C e posteriormente inserir – na

caixa de diálogo que se abre – o número de vértices; no caso, digitamos o

número 3 e repetimos o processo para os pontos C e B, ou seja, optamos por

utilizar a ferramenta Polígono Regular disponível no software.

a b

Figura 34 – Construindo triângulos equiláteros utilizando o comando Polígono Regular (a) e com o ponto C em comum ao primeiro triângulo equilátero (b)


Nesta Figura podemos observar a caixa de diálogo para a construção do

primeiro triângulo equilátero; ao lado, a segunda caixa de diálogo para a

construção do segundo triângulo equilátero – frisa-se que já se havia construído

o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ da base com o ponto C pertencendo a esse segmento para a

realização da construção empregando a ferramenta Polígono Regular.

104

Após a construção do arquivo, tornou-se notório – seja em seus

semblantes, seja em suas falas – o contentamento por perceberem que era

processo simples de elaboração, especialmente se comparado às construções

sofisticadas realizadas em encontros anteriores. Percebemos que até aquele

momento o Conhecimento Tecnológico (TK) que tinham inicialmente parecia ser

ampliado.

Na sequência, discutimos com o grupo que, em relação às construções,

tudo depende do objetivo docente quanto às elaborações a serem feitas pelo

aprendiz, ou de receberem o arquivo pronto, isto se estamos interessados na

construção da figura ou em outras explorações possíveis como, por exemplo, na

relação entre a área da figura e sua respectiva função área.

Em nosso caso, o objetivo estava na articulação entre os quadros

algébrico e geométrico, o que nos levou a enfatizar que se o professor pretende

dar maior ênfase na construção, deverá conduzir a aula de modo a propiciar aos

seus alunos a realização de sua construção; caso contrário, o foco estará na

exploração e investigação a partir da figura, podendo o docente fornecer a figura

já construída no software.

Assim, procuramos discutir a questão pedagógica além da matemática,

de modo a auxiliar na ampliação do Conhecimento Pedagógico do Conteúdo

(PCK).

Com a construção concluída, propusemos um protocolo (Quadro 9) para

a exploração e investigação da tarefa relativa à soma das áreas de triângulos

equiláteros em função da medida do lado.

Enfatizamos aos professores cursistas que tentassem, inicialmente de

forma intuitiva, levantar hipóteses sobre a soma, explorando, com o auxílio do

GeoGebra, a fim de responder às questões para, apenas posteriormente,

realizar os cálculos.

105



equiláteros.


Seja AB = a

Seja AC = x

1 Determine a soma das áreas dos triângulos em

função de AC, denotando essa função por t(x).

2 O que acontece quando x é mínimo? E quando x é máximo?

3 Denominando de ponto P(x,y) de coordenadas x = medida de AC e y = t(x), ou seja,

medida da soma das áreas dos triângulos ADC e CEB, determine a relação entre a

medida da base do triângulo ACD e a sua área, ou seja, P(x,y) no GeoGebra.

4 Desloque o ponto C e observe o que ocorre com o ponto P. O que você descobriu?


descobriu?

6 Construa o gráfico dessa função. Compare-o com o rastro do ponto P. São

equivalentes?

7 O rastro do ponto P percorre toda a parábola? Por quê?

8 Quais são os pontos de máximo e mínimo dessa função?

9 Desabilite exibir rastro do ponto F. Desloque o ponto B e observe o que ocorre com o

ponto P. O que você descobriu?

10 Habilite exibir rastro para o ponto F e mova o ponto C. O que aconteceu? Houve

mudança nos triângulos? E na função?


Quadro 9 – Protocolo soma das áreas de dois triângulos equiláteros Fonte: Acervo do Autor.

Por se tratar de uma investigação objetivando um segmento de mesma

medida para todos os participantes, sugerimos que adotassem 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 5 e o

mantivessem fixo, de modo a obter a função área denotada por 𝑡(𝑥).

Os professores, então, moveram o ponto C, explorando as figuras e

observando, na tela, a variação da área, pois a mesma era apresentada pelo

software. Enquanto manipulavam a figura, foi possível observar o levantamento

de conjecturas por diversos participantes, porém, ao passo que as levantavam,

com a visualização dos valores e manipulação da figura, várias foram refutadas.

Após as explorações iniciais, discutimos a expressão algébrica para o

cálculo da soma das áreas em função da medida de 𝐴𝐶, considerando 𝐴𝐵 = 5.

106

Figura 35 – Área de um triângulo equilátero Fonte: Acervo do Autor.

Obtida a função área, os professores cursistas apenas a renomearam

como t(x), tal como solicitado no protocolo – vide item 1 do Quadro 9.

Em relação à questão 2: O que acontece quando x é mínimo? E quando

x é máximo?

Houve consenso no valor de x ser máximo ou mínimo, que somente um

dos triângulos apareceria na tela, tanto para 𝑥 = 0, como para 𝑥 = 5, e que

nesses dois casos teríamos o valor de máximo; e ainda que os dois triângulos

seriam congruentes, fato que evidencia o conhecimento do conteúdo.

Acerca da questão 3: Denominando de ponto P(x,y) de coordenadas x =

medida de AC e y = t(x), ou seja, medida da soma das áreas dos triângulos ADC

e CEB. Determine a relação entre a medida x da base do triângulo ACD e sua

área.

Ao determinar ponto P(x,y) de coordenadas x = medida da base e y = t(x),

os professores optaram por inserir o comando P = (x,pol1 + pol2) (Figura 36a),

onde se pode observar o ponto P já construído. Este fato revela que a

manipulação do software pode auxiliar na construção do conhecimento

tecnológico do conteúdo, pois até então e em outras atividades havíamos

sugerido para tal situação – soma de áreas – a inserção de pol1 + pol2 para que

no GeoGebra fosse gerada uma letra que representasse tal soma.

Com relação à questão 4: Desloque o ponto C e observe o que ocorre

com o ponto P. O que você descobriu?

Ao deslocar o ponto C, como consequência, o ponto P se movimenta.

107

Seguem relatos de alguns cursistas:

Professor T – [...] uma parábola.

Professor F – Quando a área é a mesma nos dois triângulos o ponto P será o vértice da parábola [...].

Os professores manipularam o ponto C que está associado ao movimento

do ponto P e, de maneira correta, visualizaram uma parábola.

Já na questão 5: Habilite Exibir Rastro para o ponto P e repita o

procedimento anterior. O que você descobriu?

Tendo habilitado o rastro do ponto P, seguem os referidos relatos:

Professor T – [...] ele desenhara uma parábola. Ou seja, a base é a variável da função área. Mas será uma parte dela pois 0 < x < 5.

Professor W – Quando movimentamos o ponto C o ponto P se torna um intervalo de função área.

Professor F – Forma um pedaço da parábola.

Essas descrições nos permitem perceber que paulatinamente os

participantes construíam Conhecimento Tecnológico do Conteúdo (TCK), tal

qual podemos visualizar na seguinte Figura:

a b c Figura 36 – O ponto P (a), rastro do ponto P (b) e rastro do ponto P e a função t(x) (c)


Podemos observar na Figura 36b que o rastro do ponto P, quando se

desloca em relação ao ponto C, fica limitado pelo domínio da função 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈

ℝ|0 < 𝑥 < 5}. Ao lado, na Figura 36c, observa-se que a função sem a restrição

do domínio ultrapassa tanto pela direita, quanto pela esquerda o rastro do ponto

P, pois o rastro é restrito à medida do segmento da base, no caso, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 5.

108

A partir dessas explorações foi possível discutir com os professores

cursistas as possibilidades para o ensino, no sentido de auxiliar os alunos na

compreensão do domínio. Entendemos que houve a possibilidade para ampliar

conhecimentos tecnológicos e pedagógicos do conteúdo.

Quanto à questão 6: Construa o gráfico dessa função. Compare com o

rastro do ponto P. São equivalentes?

Os seguintes excertos descreveram as interpretações sobre a atividade:

Professor F – Construindo a parábola serão equivalentes, apenas no intervalo de 0 < 𝑥 < 5.

Professor W – São equivalentes em um determinado intervalo.

Professor T – Não são equivalentes [...].

Tal investigação foi profícua aos professores cursistas da pesquisa, afinal,

exploraram a situação utilizando, além da representação gráfica, a ferramenta

Rastro do GeoGebra, de modo que puderam concluir acertadamente a proposta.

Ademais, expressaram de modo assertivo os seus saberes matemáticos,

o que demonstra a mobilização do conhecimento específico do conteúdo.

Acerca da questão 7: O rastro do ponto P percorre toda a parábola? Por

quê? Seguem trechos dos protocolos dos participantes:

Professor F – Não, pois é limitado ao domínio ]0,5[.

Professor T – Não percorre, porque o ponto C está limitado entre A e B.

Novamente, verificamos que os professores cursistas concluíram

assertivamente que o rastro do ponto P não percorre toda a parábola, pois há

restrição do domínio dessa função.

Na questão 8: Quais são os pontos de máximo e de mínimo dessa função?

Mais uma vez, após a exploração do arquivo, em relação a quais são os pontos

de máximo e de mínimo, ocorreram relatos tais como:

Professor T – A função só terá ponto mínimo em (2,5;5,41).

Professor C – Máximo (0,5√3

2) e mínimo (5,

5√3

2).

Podemos observar aqui que o professor T utilizou os valores

apresentados pelo software quando o ponto P figura seu mínimo. Por sua vez,

como o domínio é o intervalo ]0,5[, o professor C parece ter considerado a

restrição do domínio, mas sinalizou como pontos de máximo e mínimo aqueles

109

cuja abcissa não está no domínio da função – o ponto de mínimo existe e ocorre

no vértice.

Pode-se notar que o conhecimento do conteúdo associado ao da

tecnologia, ou seja, o Conhecimento Tecnológico do Conteúdo (TCK) está ainda

em construção, de modo que os participantes necessitam de mais oportunidades

de vivência em situações semelhantes.

Em referência à questão 9: Desabilite Exibir Rastro do ponto P. Desloque

o ponto B e observe o que ocorre com o ponto P. O que você descobriu?

Quando solicitada a movimentação do ponto B, a partir de então não mais

fixo em 5 – logo, podendo ser maior ou menor que 5 –, passaram a investigar o

que ocorreu com o ponto P, resultando em registros tais como os seguintes:

Professor T – Ele continua o mesmo movimento, mas o rastro percorrerá toda parte crescente, sem restrição de domínio, pois ultrapassa 5.

Professor F – Quando aumento o ponto B, o ponto P também aumenta e quando diminuímos o ponto B, o ponto P também diminui aproximando de zero.

Professor A – O ponto P não faz uma curva como na anterior conforme diminui o ponto B o P está também para baixo e conforme aumenta o ponto P fica lá em cima dando a impressão de um desenho de uma metade de parábola.

Professor H – O ponto P passa a não fazer mais parte da primeira função, onde era a soma das áreas dos 2 triângulos limitada por 0 <𝑥 < 5, agora passa de 5.

Era esperado que os professores identificassem o comportamento do

ponto P em relação à função, tal como assertivamente foi bem descrito pelo

professor H, ou seja, que o ponto P não faz mais parte da função, que estaria

acima da função plotada se 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ > 5 e abaixo da função se 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ < 5.

Já na questão 10: Habilite exibir rastro para o ponto P e mova o ponto C.

O que aconteceu? Houve mudança nos triângulos? E na função? Os professores

cursistas assim escreveram:

Professor T – Os triângulos variam dentro do intervalo, mas a função permanece a mesma. A soma das áreas é a mesma (em função de x) [...] a função continua a mesma, mudamos apenas o intervalo do domínio! Os triângulos serão cada vez maiores e semelhantes mantendo a razão.

Professor F – Sim, eles diminuem ou aumentam proporcionalmente ao deslocamento formando um pedaço de parábola.

110

Podemos notar que os professores cursistas ainda estão em processo de

investigação, sem uma compreensão total do que lhes era solicitado, pois

relataram somente que os triângulos aumentam ou diminuem de acordo com o

deslocamento do ponto B – o que está correto –, porém, esperávamos que

observassem a alteração na expressão algébrica da função, afinal, o segmento

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ passou a ser diferente de 5; portanto, mesmo que a medida da base do

triângulo equilátero à esquerda continue medindo 𝑥, a medida da base do

triângulo equilátero à direita mede o novo comprimento do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ – que é

diferente de 5 – menos a medida 𝑥. A partir dessa observação, conclui-se que

obtemos uma nova função.

Por fim, a questão 11: Quais foram as suas observações com relação a

esta atividade? Eis alguns registros:

Professor F – A relação é de proporcionalidade para cada ponto existente comparado as construções.

Professor T – É uma atividade de nível fácil e a construção do arquivo possível de ser realizada pelos alunos. Relembrar que a área do triângulo equilátero é específica. Achei bastante interessante a relação entre a soma das áreas e a função quadrática. A relação entre o vértice (ponto máximo) e o ponto médio do segmento AB, que é exatamente onde teremos dois triângulos congruentes.

Por terem dito que se tratava de uma atividade possível de ser construída

por seus alunos, os professores cursistas manifestaram interesse na qual,

lembrando, contudo, que se faria necessário retomar o conceito de área de um

triângulo equilátero.

Consideramos que a atividade desenvolvida e aqui descrita teve, aos

professores participantes, um caráter investigativo, pois refletiram e levantaram

conjecturas em situações que envolviam os conhecimentos, tanto tecnológicos

do conteúdo, quanto pedagógicos do conteúdo e pedagógicos tecnológicos,

rumo ao Desenvolvimento do Conhecimento Tecnológico Pedagógico do

Conteúdo (TPACK).

Na atividade aqui analisada, os participantes estudaram um problema

geométrico, relacionando-o a uma função quadrática, de modo que no seu

decorrer surgiram dúvidas que tiveram de transpor para a realização e

compreensão da tarefa.

Para articularem os quadros geométrico e algébrico, investigando a

variação conjunta da medida dos lados e das áreas dos triângulos equiláteros, o

software GeoGebra auxiliou nas explorações e investigações fornecendo

111

feedback das ações desenvolvidas, além de possibilitar, de modo dinâmico, a

visualização de diversos triângulos equiláteros, o que seria inviável em um

ambiente de lápis e papel.

Enfim, a atividade auxiliou na construção de conhecimento tecnológico do

conteúdo.

4.2.2.6 Soma das áreas dos círculos

Para a realização desta atividade pedimos aos professores que

iniciassem a construção da seguinte figura:

Soma das áreas de dois círculos.

Duas circunferências são tangentes externamente no ponto

C, tal como na Figura ao lado.


Determine a soma das áreas dos círculos em função de AC.

Seja AB = a = (soma das medidas dos raios).

Seja AC = x = (raio de uma das circunferências).

Quadro 10 – Soma das áreas dos círculos Fonte: Acervo do Autor.

Assim como na tarefa anteriormente analisada, os participantes iniciaram

de maneira autônoma a construção da figura solicitada. Nesse processo

surgiram dúvidas sobre como iniciar a construção, de modo que procuramos

esclarecê-las, orientando que era necessário iniciar construindo o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

para, então, criar o ponto C, a fim de que pertencesse a esse segmento, ou seja,

inserir o ponto C no objeto (segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ).

Consideramos como evento crítico nessa atividade, novamente, a

construção da figura, pois já havíamos tratado de como inserir o ponto C da

maneira desejada, logo, tal fenômeno demonstra que o conhecimento

tecnológico do conteúdo está em processo de construção, e mais, que atividades

como essa necessitam ser mais exploradas, possibilitando aos professores a

reconstrução do Conhecimento Tecnológico do Conteúdo (TCK).

Para a realização da atividade e padronização da construção com vistas

ao preenchimento do protocolo, solicitamos que o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ fosse de

comprimento fixo, no caso, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 2 – para que os professores tivessem a mesma

construção e ainda pudessem visualizar posteriormente o mesmo gráfico.

112

Deveriam ainda seguir as instruções do protocolo da atividade, assim

formuladas:








Considere AB = 2, a fim de responder às questões de 1 a 8:

1 Determine a soma das áreas dos círculos em função de AC, denotando essa função

por q(x).


3 Denominando de ponto P(x,y) de coordenadas x = medida de AC e y = q(x), ou seja,

medida da soma das áreas dos círculos, determine a relação entre a medida do raio

do círculo de centro A e a soma das áreas, ou seja, P(x,y) no GeoGebra.


5 Habilite Exibir Rastro para o ponto P e repita o procedimento anterior. O que você

descobriu?

6 Construa o gráfico dessa função. Compare com o rastro do ponto P. São

equivalentes?



9 Desabilite Exibir Rastro do ponto P. Desloque o ponto B e observe o que ocorre com

o ponto P. O que você descobriu?

10 Habilite exibir rastro para o ponto P e mova o ponto C. O que aconteceu? houve

mudança nos círculos? E na função?


Quadro 11 – Protocolo soma das áreas de duas circunferências Fonte: Acervo do Autor.

Com a construção já realizada, os professores cursistas iniciaram o

desenvolvimento do protocolo no qual lhes era solicitado o seguinte: Determine

a soma das áreas dos círculos em função de AC, denotando essa função por

q(x).

Discutimos no grande grupo como deveríamos proceder para determinar

a função pedida, o que nos levou a expor o cálculo no Datashow da seguinte

forma:

113

Figura 37 – Soma das áreas de duas circunferências


Na Figura 37 reforçamos a importância de termos um mesmo tamanho

para o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , no caso, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 2; deste modo, todos os professores

cursistas escreveram de maneira assertiva a função área já renomeada –

conforme solicitado – para 𝑞(𝑥) = 𝜋(2𝑥2 − 4𝑥 + 4).

Na discussão coletiva sobre as questões do protocolo, os professores

formadores salientaram que se tratava de um intervalo aberto, no caso,

temos: 0 < 𝑥 < 2, ou seja, o domínio da função é D = ]0, 2[.

Assim, deveriam digitar, no campo de entrada: 𝑞(𝑥) = 𝜋(2𝑥2 − 4𝑥 +

4), 0 < 𝑥 < 2, incluindo a restrição do domínio, o que ocorreu nas construções

de cada sujeito.

Ao analisar os dados, especialmente os documentados em vídeo,

percebemos que a questão do domínio da função poderia ter sido aprofundada,

pois mais discussões seriam necessárias sobre tal aspecto, razão pela qual o

curso poderia ter auxiliado mais promovendo conversas acerca do domínio de

função quadrática, de modo a impulsionar o Conhecimento do Conteúdo (CK),

conforme as ideias de Shulman (1986) e que foram incorporadas e ampliadas

por Mishra e Koehler (2006), no caso da presença da tecnologia.

Seguindo adiante, temos a segunda questão: O que acontece quando x é

mínimo? E quando x é máximo?

114

E o exemplo escrito por um dos professores cursistas:

Professor C: Se r = 2 só temos uma circunferência quanto x = 0 e x = 2 [referindo-se a x ser igual a 0 ou 2].

Notamos que o professor C percebeu que um círculo “desaparece”

quando x = 0 ou x = 2 e que teremos uma situação limite na qual os dois círculos

deixam de existir, passando a ter um único círculo de raio 2 – são essas as

percepções relativas ao que ocorre quando x assume os valores máximo e

mínimo possíveis na situação dada.

Professor W – Quando x é mínimo CB tem o maior valor, a maior área e a parábola assume valor máximo, logo esse procedimento irá se inverter para quando o AC tiver o maior valor, r = 2. Quando as áreas assumirem valores iguais, indicará o vértice da função.

O professor W estabeleceu uma conexão entre o que ocorre com as duas

circunferências, conforme x é mínimo ou máximo, e o gráfico da função soma

das áreas dos dois círculos. Notou que quando o segmento CB é máximo, temos

o valor de máximo da função e isso se repete quando o segmento AC se torna

máximo, notando ainda que áreas assumem valores iguais para o vértice da

parábola, que ocorre quando x = 1.

Professor T – 𝑞(0) = 4𝜋, 𝑞(2) = 2 . 𝜋 . 4 − 4 . 𝜋 . 2 + 4𝜋

𝑞(2) = 8𝜋 − 8𝜋 + 4𝜋

𝑞(2) = 4𝜋 Os pontos mínimos e máximos terão a mesma ordenada.

O professor T descreveu que quando x for máximo ou mínimo teremos

valores de áreas máximas iguais a 4𝜋.

Notamos nesse momento que esses participantes estavam

desenvolvendo/ampliando os seus conhecimentos, pois tanto quando x é

máximo, quanto quando x é mínimo, a soma das áreas tem o mesmo valor de

4𝜋. Devemos observar ainda que quando x é máximo ou mínimo temos valores

que se aproximam de 4𝜋, fato este que não fica evidente no software, ou seja,

necessita do conhecimento do conteúdo para perceber que GeoGebra apresenta

um valor aproximado para x máximo ou mínimo e que o domínio dessa função

está restrito a um intervalo aberto.

Como bem observou o professor W, teremos apenas valor de mínimo para

essa função sobre a localização de tal ponto quando as áreas de cada

circunferência forem iguais, portanto, para 𝑥 = 2 teremos o vértice da função, no

caso, o ponto mínimo da mesma.

115

Segue o enunciado da terceira questão: Denominando de ponto P(x,y) de

coordenadas x = medida de AC e y = q(x) ou seja, medida da soma das áreas

dos círculos, determine a relação entre a medida do raio do círculo de centro A

e a soma das áreas, ou seja, P(x,y) no GeoGebra.

Para o seu desenvolvimento era necessário que o professor mobilizasse

conhecimento tecnológico do conteúdo. Observamos que os cursistas não

conseguiram realizar no GeoGebra a construção do ponto P de forma autônoma.

Assim, tornou-se necessária a intervenção dos formadores, salientando que era

fundamental solicitar a soma das áreas para chegar ao valor correto da variável

y. Por exemplo:

a b c Figura 38 – Construindo o ponto P com dois círculos tangentes ao ponto C (a), com a área de cada

círculo (b) e determinando o ponto P (c) Fonte: Acervo do Autor.

Na Figura 38a, apresenta-se a construção realizada pelos participantes

dos dois círculos tangentes no ponto C, construída de maneira autônoma pelos

cursistas, fato que demonstra a mobilização do conhecimento tecnológico do

conteúdo. No entanto, foi necessário discutir no grande grupo como poderíamos

determinar a soma das áreas desses círculos, logo, apresentamos que

conseguiríamos usar o comando área (Figura 38b) e clicar sobre cada círculo,

de modo que teríamos as respectivas áreas.

Já na Figura 38c, notamos, em seu lado direito, os números chamados –

pelo software – de 𝑎 e 𝑏, que são as medidas das áreas de cada figura; digitando

no campo de entrada 𝑎 + 𝑏 foi dado o número 𝑒 – o resultado da soma dessas

áreas –, bastando, para determinarmos o ponto P solicitado, criarmos o

segmento 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , denotado pelo GeoGebra por segmento 𝑔; e, por fim, digitar no

campo de entrada 𝑃 = (𝑔, 𝑒) a fim de obtermos o ponto solicitado.

116

Vale destacar que esse não é o único modo de estabelecer o ponto P, o

qual poderia ter a sua coordenada y relacionada à função área, tal como o

professor T escreveu: “𝑃 = (x, 2πx2 − 4πx + 4π)” – entretanto, não construiu o

ponto P desejado no software, evidenciando a necessidade de construção de

conhecimento tecnológico do conteúdo. Ademais, explicitamos, na Figura 39,

como tal situação poderia ser solucionada no GeoGebra:

Figura 39 – Construção alternativa para o ponto P


Apresentamos aqui uma construção alternativa do ponto P. Observe que

o ponto P é a interseção entre a função 𝑞(𝑥) e a reta ℎ, esta que é perpendicular

à base, passando pelo ponto 𝐶; logo, se movermos o ponto C, o ponto P se

deslocará sobre a função 𝑞(𝑥), tal como se desejava.

Com relação à quarta questão: Desloque o ponto C e observe o que ocorre

com o ponto P. O que você descobriu? Temos o seguinte:

Professor W – O ponto irá percorrer um intervalo da função q(x).

Professor H – O ponto P faz uma parábola.

Professor A – Ele faz uma parábola.

Professor T – O ponto P “desenha” uma parte de parábola.

Observamos a percepção dos participantes, os quais abordaram a

representação gráfica de uma função quadrática, embora nem todos observaram

se tratar do trecho de uma parábola, desconsiderando a restrição do domínio.

Como já havíamos trabalhado atividades semelhantes a esta, pudemos

notar que os professores cursistas habilitaram o rastro do ponto P e investigaram

a situação, pois responderam da mesma forma às questões quatro e cinco do

protocolo: Habilite Exibir Rastro para o ponto P e repita o procedimento anterior.

O que você descobriu? Seguem três opiniões:

117

Professor H – O movimento de uma parábola.

Professor W – O rastro irá percorrer um intervalo da função q(x).

Professor T – O ponto P “desenhará” uma parte de parábola.

Identificamos a mobilização do conhecimento tecnológico do conteúdo,

porém, notando que a restrição do domínio é algo que necessita ser explorado.

Analisemos a sexta questão: Construa o gráfico dessa função. Compare

com o rastro do ponto P. São equivalentes? E as escritas dos cursistas:

Professor W – Sim dentro dos intervalos definidos.

Professor T – Serão equivalentes para 𝐷(𝑓) = {𝑥𝜖ℝ|0 < 𝑥 < 2}.

Professor H – Sim são equivalentes.

Professor A – Sim são equivalentes.

Notamos que para esses professores já estava bem claro que a função

soma das áreas das circunferências, com soma dos raios igual a 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 2 e x

variando entre zero e dois é apenas parte da função 𝑞(𝑥) = 𝜋(2𝑥2 − 4𝑥 + 4).

Entretanto, para os demais se fazia necessária a retomada da discussão com

relação ao domínio da função para a construção/reconstrução de

conhecimentos, a qual foi elaborada por meio da seguinte Figura:

Figura 40 – Soma das circunferências, rastro do ponto P


118

Ficou evidenciado para nós que o grupo estava progredindo, pois de

imediato já falavam sobre a restrição do domínio dessa função; logo, mesmo que

não evidenciado na escrita – e sim na fala –, estavam por (re)construir ou ampliar

os conhecimentos tanto específico quanto tecnológico do conteúdo. A

construção (Figura 40) e projeção no Datashow auxiliaram nesse processo de

percepção e verificação da equivalência dentro do domínio estabelecido.

Com relação à questão sete: O rastro do ponto P percorre toda a

parábola? Por quê? Quatro dos professores cursistas assim escreveram:

Professor A – Não

Professor T – O ponto P percorre dentro do intervalo x = [0,2].

Professor W – Não! Os raios estão em um intervalo e a função 𝑞(𝑥) =𝜋(2𝑥2 − 4𝑥 + 4) não.

Professor H – Não, pois no segmento AB = 2 temos um intervalo.

Os professores cursistas responderam de maneira correta à questão e

como bem exclamou o professor W, a função soma das áreas está limitada em

um intervalo, de modo que tal fato apenas ocorreria se, ao inserirmos no campo

de entrada a função 𝑞(𝑥), acrescentássemos o domínio da mesma, tal como na

Figura 40, ficando limitado a um trecho dessa função. Observamos que esses

quatro professores tinham clareza sobre as restrições pertinentes à questão.

Já em relação à oitava pergunta: Quais são os pontos de máximo e de

mínimo dessa função? Reproduzimos aqui as escritas dos professores cursistas:

Professor H – Quando o ponto C estiver junto aos pontos A e B teremos os pontos máximos. O ponto de mínimo é o vértice da função.

Professor T – Terá ponto mínimo (vértice) G(1,6.28) [valores obtidos pelo software].

Professor C – Pontos de máximo, (0,0) e (2,0) ?

Ponto de mínimo, (xv, yv) xv = 4

4= 1

yv = −(42−4.2.4)

4.2= −

(16−32)

8=

16

2= 2

Observamos que atividades com esse tipo de proposta – que trata de

função com restrição de domínio – necessitariam ser discutidas em cursos de

formação continuada, de modo que os professores pudessem debater com seus

alunos situações-problema intramatemáticas como, por exemplo, envolvendo

geometria e funções – situação emblemática das tarefas aqui propostas.

No caso, apenas o professor T observou de modo assertivo que temos

somente ponto de mínimo, pois não há ponto de máximo por se tratar de um

intervalo aberto, ou seja, a função não é contínua nos valores em que x = 0 e x

119

= 2, que são os extremos do intervalo ]0,2[. O que poderia ser dito é que quando

x tende a zero, a função, em seu limite, tende ao valor de máximo aproximado

de (12.57) dado pelo software.

Com relação à questão nove: Desabilite exibir rastro do ponto P. Desloque

o ponto B e observe o que ocorre com o ponto P. O que você descobriu? Segue

a escrita de quatro dos professores cursistas:

Professor H – O ponto P deslocou de forma diferente.

Professor C – A parábola se desloca para a direita e para cima.

Professor W – O ponto P irá assumir valores para a parábola.

Professor T – O ponto P percorrerá uma parte maior (até xb).

Notamos que os participantes perceberam uma alteração na parábola,

que apresenta um intervalo maior ou menor para deslocar o ponto C de acordo

com o novo posicionamento do ponto B, tal como se vê a seguir:

a b Figura 41 – Soma das áreas dos círculos e sua função com o segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟐 e rastro do ponto P

sobre a função com restrição de domínio, 𝑫(𝒇) = {𝒙 ∈ ℝ|𝟎 < 𝒙 < 𝟐} (a) e segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟐, 𝟑𝟓 e o ponto P sobre a função com restrição de domínio, 𝑫(𝒇) = {𝒙 ∈ ℝ|𝟎 < 𝒙 < 𝟐} (b)


Com essa tarefa investigativa, pretendíamos que os professores cursistas

observassem, na Figura 41a, que o ponto P pertence ao gráfico da função para

o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 2; já na Figura 41b, que ao deslocarmos o ponto B para um

valor maior que 2, por exemplo, notar-se-ia que o ponto P não está mais sobre

120

a parábola – e com a movimentação do ponto C, o ponto P se movimenta,

formando outra parábola. Assim, para cada valor distinto do ponto B alteramos

o tamanho do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ da base, portanto, mudamos os coeficientes da

função quadrática, ou seja, temos uma nova função e, por consequência,

alteramos também as circunferências que, no caso, tendem a um valor de

máximo maior que o anterior.

Questão10: Habilite Exibir Rastro para o ponto P e mova o ponto C. O que

aconteceu? Houve mudança nos círculos? E na função?

Na seguinte Figura temos a construção do professor W:

a b

Figura 42 – Construção do professor W, em segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ > 𝟐 (a) e rastro do ponto P para 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ > 𝟐 (b) Fonte: Acervo do Autor.

Como já expressado, esperávamos que os professores cursistas

percebessem tanto a alteração dos círculos quanto da função – o que ocorreu.

Após habilitarem o rastro do ponto P (Figura 42b), observaram em suas telas

que o movimento desse ponto descrevia outra parábola e, de maneira assertiva,

disseram que sim, que houve mudança tanto na parábola, como nas

circunferências.

Enquanto considerações, podemos dizer que essa atividade de cunho

exploratório e investigativo propiciou aos professores cursistas a reflexão e

formulação de conjecturas em situações que envolviam conhecimentos tanto

tecnológicos quanto pedagógicos do conteúdo, sendo pedagógico tecnológico

em seu Norte, o TPACK.

O software GeoGebra foi a ferramenta que possibilitou a exploração e

investigação, fornecendo o feedback de cada ação desenvolvida, além de

proporcionar, de modo dinâmico, a visualização de várias circunferências.

121

4.2.2.7 Área compreendida entre um retângulo e uma circunferência

Iniciamos a atividade solicitando aos professores cursistas que

realizassem a construção descrita a seguir:

Área compreendida entre um retângulo e uma

circunferência.

Seja um quadrado de lado AB = a. Considere este quadrado

dividido em dois retângulos. Em um desses retângulos,

coloca-se um círculo tangenciando dois de seus lados

opostos, conforme a Figura ao lado.

O ponto G é móvel.

Seja AB = a

Quadro 12 – Área compreendida entre um retângulo e uma circunferência Fonte: Acervo do Autor.

Iniciamos a construção de modo coletivo, utilizando o comando polígono

regular, inserindo o ponto A na origem e, como era sugerido que o quadrado

tivesse lado de medida 2, inserimos o ponto B sobre a abscissa 2. Na sequência,

o software abriu uma caixa de diálogo solicitando o número – por se tratar de um

quadrado –; digitamos o número 4, de modo que o feedback foi o quadrado de

lado 2 já construído.

Em continuidade, inserimos um ponto em objeto sobre o segmento 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , o

qual foi nomeado de E; a seguir, incluímos uma reta paralela ao segmento da

base 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , passando pelo ponto E; sobre essa reta marcamos o ponto F com a

intersecção da mesma com o segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . A seguir, com o comando Polígono,

clicamos nos pontos C, D, E e F e novamente em C para, desse modo, criarmos

o retângulo na parte superior do quadrado ABCD, o qual o software nomeou

como quadrilátero (pol2) e sua respectiva área apresentada na janela algébrica.

Nessa etapa da construção discutimos que precisávamos de uma

referência para que a circunferência ficasse no centro do retângulo inferior do

quadrado ABCD. Apresentamos duas opções para a construção dessa

referência, a qual poderia ser o ponto médio da base 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e por aí traçar uma reta

perpendicular à base ou delinear a mediatriz da base 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . O grupo optou pelo

segundo método, assim, inserimos o ponto G como a intersecção entre o

segmento 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ e a mediatriz do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Nessa etapa foi possível notar que

o ponto G nessa construção não ficou móvel – e sim o ponto E.

122

Indagamos sobre o que poderia ser feito nessa construção de modo que

o ponto móvel fosse o G?

Em consenso, excluímos os pontos E, com isso foram eliminados também

o ponto F, a reta 𝐸𝐹 ⃡ e o segmento 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ . Verificamos que teríamos que construir

um ponto sobre a mediatriz da base do quadrado, porém, precisávamos limitá-lo

ao quadrado. Assim, construímos o segmento da mediatriz que passa pelo

quadrado ABCD, o qual foi nomeado pelo software de segmento 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ . Inserimos,

então, um ponto sobre esse segmento o qual foi nomeado de ponto G. Nesse

momento criamos uma reta paralela à base do quadrado, passando pelo ponto

G – então móvel.

Prosseguindo, era necessário determinar o retângulo superior novamente,

para isso marcamos os pontos H e I que correspondem à intersecção entre a

reta que passa pelo ponto G e cruzam os lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ , respectivamente – em

relação ao quadrado. Isso feito, inserimos o polígono com um clique sobre os

pontos C, D, H, I e novamente em C para fechar o polígono, sendo este nomeado

pelo software como quadrilátero (pol2 = valor da área) – informações que

aparecem na janela algébrica. Para dar sequência, determinamos o ponto médio

entre F e G, originando o ponto J, o qual é o centro da circunferência que criamos

a seguir com o comando círculo, dando centro em um de seus pontos e clicando

nos pontos J e G, respectivamente, a fim de criar o círculo.

Com a construção da Figura, discutimos a pertinência de ocultar as

informações da elaboração, informações as quais não eram necessárias para

melhor visualização da imagem desejada, bem como trocarmos as cores da

construção.

a b Figura 43 – Construção completa (a) e apenas com os pontos de interesse (b)

Fonte: inspirado em Bianchini e Paccola (2004, p. 119).

123

Na Figura 43a podemos observar a construção completa que foi realizada

no grande grupo, na qual é possível observar que há excesso de informação;

nesse sentido, optamos por mostrar apenas os pontos de interesse que eram

solicitados no protocolo fornecido aos professores cursistas (Figura 43b).

Segue o protocolo da atividade entregue aos professores cursistas:


circunferência*






Seja AB = a

Considere a = 2 para responder às questões de 1 a 7.

1 Investigue o raio que o círculo deve ter para que a área da região irregular – área em

branco – seja a máxima possível.

Seja P(x,y) um ponto tal que x seja a medida do raio da circunferência e y seja a

área da região irregular – área em branco.

2 Determine o ponto P no GeoGebra;

O ponto G é móvel, em comum à circunferência e ao retângulo superior à

circunferência.

3 Desloque o ponto G e observe o que ocorre com o ponto P.

4 Habilite exibir rastro para o ponto P e repita o procedimento anterior.

5 Construa o gráfico dessa função.



8 Desabilite exibir rastro do ponto P. Desloque o ponto B e observe o que ocorre com o


9 Habilite exibir rastro para o ponto P e mova o ponto G. O que aconteceu? Houve



* Atividade inspirada em desafio proposto em Bianchini e Paccola (2004, p. 119).

Quadro 13 – Protocolo da sexta atividade presencial Fonte: Acervo do Autor.

Aqui descrevemos e analisamos algumas das questões do sexto

protocolo, por se tratar da última atividade presencial discutimos no grupo

alguns pontos que consideramos como principais da atividade.

124

Em relação à primeira questão do protocolo, qual seja: Investigue o raio

que o círculo deve ter para que a área da região irregular – área em branco –,

seja a máxima possível. Uma vez realizada a investigação, discutimos no grande

grupo como ocorreu. Concluímos que para viabilizar a investigação sobre a área

da região, deveríamos calcular a área total, ou seja, a região do quadrado e

dessa subtrairmos as áreas do retângulo superior e da circunferência.

Figura 44 – Cálculo da área da região irregular

Fonte: Acervo do Autor. Mesmo com o cálculo da função área em mãos, além de manipulada e

investigada a Figura, dois dos professores cursistas escreveram que o raio

deveria ser igual a 1; dessa maneira, intervimos e indagamos se fora realizado

algum cálculo. Com a negativa, concluímos que estavam apenas conjecturando,

mas que, então, fazia-se necessário calcular o ponto de máximo, o que foi

aplicado de modo coletivo:

yv = −∆

4.𝑎=

−[42− 4 .(−𝜋) .0]

4 .(−𝜋)=

−16

−4𝜋=

4

𝜋

O raio deveria ter a metade dessa altura, 𝑟 =4

𝜋: 2 =

2

𝜋. Isto fica evidente

ao inserimos a função área no campo de entrada e obtemos a seguinte Figura:

a b Figura 45 – Comparando a função área e P no ponto de máximo (a) e no raio máximo (b)


125

Podemos notar que foram colocados dois segmentos tracejados

denominados 𝑟 e 𝑠 com a finalidade de destacar as coordenadas do ponto P,

onde o segmento 𝑟 representa o raio da circunferência e o segmento 𝑠

corresponde à área da região irregular desejada, ou seja, as coordenadas

cartesianas (x,y) do ponto P.

Na Figura 45b observamos que o raio máximo representa uma área bem

menor do que a máxima possível; já na Figura 45a é visível que o ponto de

máximo dessa função tem como abscissa – raio da circunferência – um valor

aproximado de 0,64, ou seja, menor que a conjectura levantada pelos

professores cursistas.

Quanto à questão dois do protocolo: Determine o ponto P no GeoGebra.

Realizamos coletivamente e projetamos a construção do ponto P; para isso,

discutimos como determinar o segmento correspondente à medida do raio e área

desejada utilizando a construção já realizada. Assim, determinamos o segmento

correspondente ao diâmetro no caso nomeado de n da circunferência e o

dividimos por dois; em relação à área, foi necessário determinar no software esse

valor, inserindo, no campo de entrada, a área do quadrado no GeoGebra e

identificando como pol1 a área do retângulo superior, no caso, sinalizando como

pol2, e a área da circunferência, esta última, quando plotada na área gráfica,

ficou definida como cônica; logo, fazia-se necessário entrar com o comando área

para essa cônica, de modo que digitamos, no campo de entrada Área[e] – que

se refere ao nome dado pelo software à cônica em questão. Em seguida,

atribuímos um valor numérico referente a tal área, denominando-o m. Para

obtermos um valor numérico correspondente a essa área, digitamos, no campo

de entrada, o comando pol1-pol2-m, momento em que o software o nomeou a.

Portanto, P = (n/2,a) deveria ser o comando para determinarmos o ponto P.

Na questão quatro: Habilite Exibir Rastro para o ponto P e repita o

procedimento anterior. O que você descobriu?

Tendo habilitado o rastro do ponto P, seguem os relatos:

Professor T – [...] ele desenhara uma parábola. Ou seja, a base é a variável da função área. Mas será uma parte dela pois 0 < x < 2.

Professor W – Quando movimentamos o ponto G o ponto P se torna um intervalo de função área.

Professor F – Forma um pedaço da parábola.

126

Tais descrições nos permitem perceber que paulatinamente iam

construindo Conhecimento Tecnológico do Conteúdo (TCK).

Já na sexta questão: Construa o gráfico desta função. O rastro do ponto

P percorre toda a parábola? Por quê? Eis as escritas dos professores cursistas:

Professor W – Sim dentro dos intervalos definidos.

Professor T – Serão equivalentes para 𝐷(𝑓) = {𝑥𝜖ℝ|0 < 𝑥 < 2}.

Professor H – Sim são equivalentes.

Professor A – Sim são equivalentes.

Notamos que para esses professores já estava bem claro que a função

soma das áreas das circunferências, com a soma dos raios igual a 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 2 e x

variando entre zero e dois é apenas parte da função solicitada. Entretanto, para

os demais, fazia-se necessária a retomada da discussão com relação ao domínio

da função, a fim de (re)construir conhecimentos específicos do conteúdo.

Consideramos que nessa atividade o evento crítico consistiu em auxiliar

os professores cursistas em mobilizar/reconstruir os seus conhecimentos do

conteúdo, tecnológico e pedagógico, sendo que no desenvolvimento da

atividade foi possível ainda viabilizar as intersecções entre esses saberes, sendo

este o caminho que possibilita a construção do conhecimento pedagógico

tecnológico do conteúdo, seja na construção da figura, seja no cálculo da área

solicitada.

Enquanto considerações, nesta última atividade desenvolvida

presencialmente, observamos que o conhecimento tecnológico estava

avançando, afinal, os professores cursistas transpuseram as suas dificuldades

com maior facilidade; consideramos que tal fato se deve à familiarização ao

software, o que propiciou aos participantes novas explorações do GeoGebra,

perfazendo, assim, um caminho necessário para atingir o TPACK.

4.2.2.8 Atividade de vivência (AVA)

Entre os professores cursistas da pesquisa, três desenvolveram uma

atividade de vivência, criando os arquivos no GeoGebra a serem

explorados/investigados, bem como o protocolo para o desenvolvimento da

mesma. Por ter sido criado e aplicado pelo professor H e posteriormente

replicado pelos professores A e C, optamos por analisar especificamente a

atividade do professor H como informe sobre os conhecimentos mobilizados.

127

O professor H selecionou seis estudantes os quais foram colocados em

duplas para o desenvolvimento da atividade proposta por esse docente; por

terem sido seus alunos no ano anterior e, então, cursando o segundo ano do

Ensino Médio, lembrou que já tinham trabalhado o conteúdo de funções onde

esses estudantes tinham elaborado gráficos de funções de primeiro grau,

chegando às funções de segundo grau. Explicou aos alunos que tanto o próprio

professor quanto o autor desta dissertação – quem foi à referida escola para

filmar a aula em questão, apenas –, faziam um trabalho investigativo acerca do

que o aluno aprendeu e o que absorveu.

O professor foi o criador e aplicador da atividade aqui descrita e analisada,

bem como o elaborador das figuras no GeoGebra, de modo que o protocolo por

esse desenvolvido encontra-se integralmente no anexo A.

O fato de o professor H ter criado a figura e o protocolo da atividade

demonstra o seu conhecimento pedagógico por ter elaborado a sequência

didática de sua aula, o conhecimento tecnológico por ter criado a atividade no

GeoGebra e o conhecimento do conteúdo por ter utilizado da Matemática para a

compreensão da atividade.

Assim, iniciou com a apresentação na tela do Datashow, mostrando a

primeira figura no GeoGebra, a qual os alunos também possuíam em suas

máquinas. Informou aos estudantes que estes desenvolveriam o seu trabalho a

partir de tal figura, fazendo perguntas e resgatando alguns conteúdos

matemáticos; informou ainda que manipulariam a figura e posteriormente

responderiam a um questionário.

Professor H – Se vocês observarem na tela (janela algébrica) vocês têm algumas informações sobre a figura. Aí tem um polígono, que é um retângulo e nós vamos movimentar essa figura pelo ponto B, estão vendo o ponto B? Tenta pegar com o mouse como eu estou fazendo aqui [o professor movimentou o ponto B, exibindo aos alunos a sua movimentação no Datashow], tenta mexer com a figura e veja o que acontece com ela.

O professor preocupou-se inicialmente em orientar os seus alunos a

observarem, analisarem e manipularem a figura dada. E prosseguiu:

Professor H – quando eu movimento a figura ela aumenta e diminui, mas ela só aumenta e diminui? Outras coisas também aumentam e diminuem, quais seriam essas coisas? Se você olhar na janela de álgebra tem lá um pol (polígono e tem um número) esse número tem alguma relação com o polígono do lado (polígono apresentado na janela de visualização). Quando você tem um polígono pequeno você tem dimensões menores. Se você tem um maior, as dimensões serão diferentes do menor. Mas o que aumenta e diminui só o tamanho? Pode pensar!

128

Na janela de álgebra o que vocês estão vendo da figura é o que está em azul, o que não está em azul é que foi utilizado para construção da figura, mas, não estão relacionadas com o quadrilátero em si. Então só observe o que está em azul.

Nota-se que o professor procurou incentivar a investigação por parte dos

estudantes, levando-os a explorarem as informações apresentadas pelo

software tanto na janela de visualização, quanto na de álgebra, bem como o que

os alunos deveriam observar ou não na janela algébrica; observa-se a

mobilização do conhecimento pedagógico tecnológico do conteúdo docente.

Figura 46 – Atividade de vivência do professor H


Na Figura 46 temos, na janela algébrica, as informações de toda

construção realizada no software, onde algumas estão com uma “bolinha” azul

do lado direito, indicando que tal informação está visível na janela de

visualização, tal como foi informado pelo próprio professor H.

Na sequência, apresentamos o protocolo das três duplas que participaram

da atividade de vivência elaborada pelo professor H – as quatro primeiras

questões versam acerca da Figura 46, que foi a primeira dada pelo docente.

Primeira questão do protocolo: No retângulo ABCD, o ponto B é um ponto

móvel sobre a semirreta AB, movimente-o e registre o que você descobriu.

129

Figura 47 – Atividade de vivência, protocolo da questão 1 respondida pela dupla A


Figura 48 – Atividade de vivência, protocolo da questão 1 respondida pela dupla B


Figura 49 – Atividade de vivência, protocolo da questão 1 respondida pela dupla C


Na primeira questão, as duplas observaram que o retângulo manteve as

suas proporções e que a figura não se desloca para a parte negativa do eixo y,

logo, com a movimentação do ponto B, a figura aumenta ou diminui e mantém a

sua forma e os seus elementos – vértices e lados, os quais variam de modo

proporcional. O fato de a figura manter as suas proporções é uma das principais

características de um software de Geometria Dinâmica como o GeoGebra.

Seguem as reflexões compartilhadas entre as duplas e o professor H:

Professor H – Aumentando a base a área aumenta, de que forma ou é de qualquer forma?

Dupla A – Ele não altera sua forma, ele pode ser alterado positivamente ou negativamente.

Professor H – A figura some em algum momento?

Dupla A – Sim.

Professor H – Em que momento?

Dupla B – Quando x for zero.

Nessa reflexão com as suas duplas, o professor H fomentou a discussão

com questionamentos que estimularam a participação e interação do grupo.

Segunda questão: Se a base AB desse retângulo tiver como medida x,

qual será a relação entre a medida da base x e a sua altura?

130







Observa-se que as duplas A e B fizeram experimentações atribuindo

valores à base e observando a altura notada no software, característica de uma

atividade investigativa. Já a dupla C foi além, mencionando a proporção entre

base e altura da figura. A seguir, podemos continuar a observar a reflexão

compartilhada:

Professor H – O que seria a área?

Dupla B – Área seria a soma dos lados.

Professor H – [Vira para a dupla A e pergunta] Vocês concordam?

Dupla A – A área é encontrada multiplicando a base pela medida da altura.

Professor H – Então o que ele falou seria o quê? Seria o perímetro. O que vocês colocaram [dupla B] é uma informação, mas em relação à área é o que [dupla A] falou, base vezes a altura, e aí alguém conseguiu trazer isso para uma expressão que é o que ela pede, a questão?

Dupla C – A que a área é igual a x vezes 3 vezes o valor de y.

Professor H – Vocês conseguiram chegar que a altura é 3 vezes a base, e aí vocês conseguiram chegar em uma fórmula.

Dupla C – Só isso, a área é x vezes 3y.

Professor H – Se a base é x, a altura é 3 vezes o quê?

Dupla A – Vezes o x.

Professor H – Isso, se a base é x a altura é 3 vezes o x, não o y.

Dupla C – É que o y é 3 vezes o x.

Professor H – Entendi, é que você fala y por causa do eixo y, se a base é x e a altura é 3 vezes o x, x vezes x é?

Todos – X ao quadrado.

131

Professor H – Então, a área é o quê? A área é igual a 3 vezes...

Todos – X ao quadrado.

Observa-se que as indagações do professor H foram de suma importância

para que os alunos percebessem a relação entre a medida da base e altura,

tornando-se necessária a sua intervenção de modo a conceituar de maneira

correta a função área, demonstrando domínio do conhecimento específico do

conteúdo, bem como prática em lidar com situações de investigação matemática

– o que caracterizou o evento crítico dessa atividade de vivência. Outro fato

importante foi saber conduzir a questão do perímetro de forma complementar à

própria questão, mas deixando claro qual era a informação desejada.

Terceira questão: Qual é a expressão que define a área A(x) do retângulo

em função da medida x da base?







Observa-se novamente que as duplas A e B atribuíram valores à base

deslocando o ponto B e determinando a altura, notando tal valor no GeoGebra.

A dupla C também atribuiu valores à base x, mas foram além, pois conseguiram

expressar de forma assertiva a função área da figura.

132

Quarta questão: Construa o gráfico dessa função.

Dupla A Dupla B Dupla C

Figura 56 – Atividade de vivência, protocolo da questão 4 Fonte: acervo do Autor.

Observa-se que todas as duplas, mesmo tendo o software à disposição,

tentaram construir manualmente o gráfico da função área da figura. Observando

essa dificuldade, o professor H solicitou que digitassem no campo de entrada a

função 3x². Ademais e em relação ao gráfico, tivemos as seguintes discussões:

Professor H – Agora para construir esse gráfico vamos ver aqui [na projeção] pega aqui na janela de entrada e digita 3x² olha lá o que acontece! O que seria esse gráfico que apareceu? É o gráfico de uma função do segundo grau. Se é 3x² ele ia dar o que nós aprendemos, uma parábola. Está lá pedindo construa o gráfico o programa ajudou? Se você fosse fazer o gráfico não daria mais trabalho? O que você fez? Você só digitou a função ele já fez. O programa ajuda? O computador ajuda?

Dupla B – Bastante.

Professor H – Por quê? No programa você precisou fazer o gráfico? Você precisou definir a função! Definiu a função, você joga no programa, ele faz.

Devido a este ser o primeiro contado desses alunos com o software, foi

necessário que o professor lhes ensina a construir o gráfico no GeoGebra.

Figura 57 – Atividade de vivência, segunda construção no GeoGebra


Na Figura 57 podemos observar que o professor H manteve o polígono

anteriormente dado e acrescentou uma parábola e um ponto P sobre a mesma.

Considerando que as próximas três questões versam nessa Figura, vejamos:

133

Primeira questão: Na Figura é dado um ponto P (x,y) de coordenadas x =

medida do lado AB e y = a medida da área do retângulo ABCD. Determine a

medida x deste retângulo e a sua área no GeoGebra.

Figura 58 – Atividade de vivência, protocolo da questão 1, segunda construção pela dupla A


Figura 59 – Atividade de vivência, protocolo da questão 1, segunda construção pela dupla B


Figura 60 – Atividade de vivência, protocolo da questão 1, segunda construção pela dupla C


Nota-se que mesmo após ter ensinado a como inserir a função no

GeoGebra, apenas a dupla C indicou uma generalização, ainda que com erro

conceitual. Tal fato demonstra que no processo de ensino e aprendizagem é

necessário retomar os conteúdos tantas vezes se mostrar necessário para que

o aluno se aproprie da nova informação, transformando-a em conhecimento.

Segunda questão: Desloque o ponto B e observe o que ocorre com o






134



As duplas observaram que o ponto P fica apenas no primeiro quadrante

do plano cartesiano, que mesmo o retângulo estando com a sua base no eixo x

na parte negativa, o ponto P permanece no primeiro quadrante do plano, embora

ainda não estivesse claro para as duplas o porquê disto. Assim, a discussão

compartilhada se fez novamente necessária:

Professor H – Eu observei que quando vocês deslocaram o ponto B para o lado negativo da abscissa vocês ficaram surpresos pelo movimento do ponto P ir para o lado positivo, por que isso aconteceu? Lembra que nós fizemos juntos e descobrimos que a altura é três vezes a base e nos então digitamos a função 3x², e apareceu a parábola, e essa parábola surgiu de onde? Da figura, da relação base vezes a altura, elas estão relacionadas, elas não estão aí à toa, aí o ponto P foi colocado aí pra mostrar pra vocês que tá ligado as coisas [base e altura]. Aí você vê que o mesmo valor que está no polígono está lá em cima no y, no GeoGebra, não está? Então, tem uma relação.

Dupla B – Se o x é negativo, o P não teria que ir para o outro lado?

Duplas A e C – Porque está relacionado com o y que continua positivo.

Professor H – Mas aí é uma função de primeiro ou de segundo grau? Segundo grau, aí você falou de x negativo, quando um valor negativo é elevado ao quadrado, seu resultado é?

Dupla B – Positivo.

Professor H – Quando você trata de distância ela é dada em módulo, ela sempre é positiva. Quando você foi para o negativo, você colocou -2, esse valor é uma distância só que você está no eixo na parte negativa, só que a distância é 2, e como ela é uma distância quando você desloca o ponto B, o ponto P sempre vai estar na parte positiva da parábola. Agora, quando nós colocamos no zero, havia distância?

Todos – Não.

Professor H – Então desaparece tudo, agora quando você desloca o ponto B para valores negativos, então o ponto P fica sempre do lado positivo.

Nessa reflexão compartilhada ficou evidenciada a importância de se

socializar as informações a fim de se convergir para a solução do problema, onde

são observados distintos pontos de vista, viabilizando o entendimento da

situação proposta que, no caso, é “enxergar” o porquê de o ponto P ficar apenas

no primeiro quadrante, limitado a uma parte da parábola.

135

Terceira questão: O que você achou dessa atividade, anote as suas

observações.







Podemos notar que as duplas ficaram empolgadas em empreender a

atividade em um software de Geometria Dinâmica como o GeoGebra, o qual

possibilita explorar de modo mais rápido, garantindo, assim, mais tempo para

buscar outras informações, além de auxiliar no entendimento de funções; e que

o fato de trabalhar em dupla possibilita a cada estudante compartilhar o seu

ponto de vista sobre a atividade. Afirmaram ainda que tal proposta configura uma

nova forma de aprender.

Acreditamos que por ter sido o primeiro contato dessas duplas com o

software houve o mencionado entusiasmo pelo fato de poderem realizar a

atividade no computador, saindo de sua rotina de livro, lousa e caderno; que a

inserção da tecnologia digital, no caso, o computador proporcionou às duplas

136

uma investigação mais detalhada da situação proposta, fato viabilizado pelo

dinamismo do GeoGebra.

Podemos observar a seguir as reflexões compartilhadas acerca da

atividade mediada pelo professor com as três duplas:

Professor H – O que vocês acharam da atividade?

Todos – Legal.

Dupla B – Para você relembrar.

Dupla A – Ficamos mais empolgados com a matéria.

Dupla C – Porque no computador a gente pode ficar movimentando, a gente têm a opção de movimentar e quando a gente faz no livro ou caderno a gente não têm a opção de ficar movimentando e ver se está subindo ou descendo, e assim é um pouco mais rápido, mais fácil.

Professor H – No começo vocês ficaram receosos, mas ao passo que vocês foram relaxando, o que aconteceu? Foi relembrando? Essa busca ajudou vocês a relembrarem porque vocês têm uma bagagem aí dentro, aí quando relaxaram, vocês começaram a lembrar, isso foi fácil?

Dupla B – A gente só não sabia escrever.

Professor H – Então aproveita para falar!

Dupla C – É isso, a gente entendia o problema, mas só não sabia como expressar da forma correta.

Dupla A – Trabalhou com a mente, bastante. Porque na sala a gente está tão preocupado em apresentar a atividade pro professor pra ganhar o carimbo.

Professor H – Situações como esta aparecem na vida, onde vocês têm que buscar seus conhecimentos e aplicá-los em determinadas situações. Um retângulo é algo estranho? E uma parábola? Mas sobre retângulo a gente pode fazer um monte de perguntas, a função que a gente fez é estranha? Porque a área estava em função da base, que a altura era três vezes a base, e é isso que vocês têm que relacionar, que às vezes na Matemática não é só número e cálculo, é o que nós vimos aí, tem que pegar, dar um tempo, a informação está implícita! Foi bonito escrever e já dá o gráfico?

Todos – Foi.

Note-se que as duplas se envolveram na atividade proposta, que

enfrentaram dificuldades em escrever em linguagem matemática o que ocorria

no desenvolvimento dessa; podemos observar ainda que o professor soube

conduzir a turma para a elaboração da atividade com questionamentos que

instigaram as duplas na análise do problema e que o GeoGebra possibilitou uma

exploração gráfica mais rápida e dinâmica, oportunizando pesquisar questões

tais como o deslocamento de um ponto que apenas era possível em um software

de Geometria Dinâmica. Na atividade proposta, elaborada e desenvolvida pelo

professor H, consideramos que os alunos se sentiram desafiados a realizá-la,

137

que o software GeoGebra foi uma novidade para esses estudantes, o que

propiciou uma exploração dinâmica da atividade proposta.

Devemos ressaltar que esse tipo de trabalho com o uso de tecnologia

digital é subexplorado na escola desse professor, que a sala de informática

possui poucas máquinas para serem utilizadas, além do fato de caber a nós –

autor desta pesquisa e o professor H – a instalação do software nos

computadores, de modo que faltam funcionários que auxiliem no trabalho

docente. Entretanto, podemos notar que esse tipo de atividade, que apenas pode

ser desenvolvida com um software de Geometria Dinâmica como o GeoGebra,

levou aos alunos um novo olhar para a Matemática, de modo que essa disciplina

se tornou mais atrativa aos olhos discentes.

4.2.3 Questionário Final

Por fim, analisamos o questionário final, o qual nos forneceu indicativos

das reflexões docentes acerca daquelas sobre a formação continuada

envolvendo Geometria e funções com recursos tecnológicos.

Com relação à primeira questão: Esta formação, a seu ver, propiciou o

desenvolvimento de novos conhecimentos?

( ) Sim ( ) Não. Comente.

Os seis professores cursistas da pesquisa foram unânimes em afirmar

que sim, dos quais cinco comentaram:

Figura 67 – Resposta do professor C à questão 1


Figura 68 – Resposta do professor H à questão 1


Figura 69 – Resposta do professor W à questão 1


138

Figura 70 – Resposta do professor F à questão 1


Figura 71 – Resposta do professor T à questão 1


Os professores cursistas manifestaram que sim, que a formação propiciou

o desenvolvimento de novos conhecimentos tanto pelo uso da tecnologia digital

por meio do software, bem como pela proposta desenvolvida de relacionar

funções quadráticas a figuras geométricas planas de modo dinâmico.

Questão dois: Pensando na sua prática pedagógica, quais são as suas

considerações? Seguem as respostas dos professores cursistas:

Figura 72 – Resposta do professor A à questão 2








139





Esses profissionais reavaliaram as suas práticas e descreveram que esse

tipo de atividade exploratória e investigativa, com o auxílio da tecnologia, permite

tanto aos docentes quanto discentes um novo olhar sobre os conteúdos

ensinados; em suas palavras: “[...] um novo método que permite uma variedade

de investigações com retorno rápido, envolvendo os alunos”.

Questão três: Você acredita que o uso de tecnologia digital como o

software GeoGebra que utilizamos, favorece a participação do seu aluno? Por

quê? Seguem as respostas dos professores cursistas:









140





De modo unânime, relataram que sim, que um software de Geometria

Dinâmica como o GeoGebra favorece a participação discente por permitir que

investiguem, por meio da manipulação do próprio software, possibilitando uma

nova forma de visualizar as funções e sendo menos abstrato que no ambiente

de papel e lápis.

Questão quatro: Em seu entender, qual é a importância do uso de

tecnologia digital em sala de aula de modo particular do uso de um software de

Geometria Dinâmica? Podemos ler as seguintes respostas sobre:









141





Todos afirmaram melhorar a participação discente por apresentar uma

melhor visualização do gráfico da função, do movimento dos pontos, da relação

dos sinais dos coeficientes da função e de sua representação gráfica, sendo um

facilitador no processo de ensino e aprendizagem, permitindo ao aluno o

levantamento de conjecturas; contudo, cobrando condições técnicas para a

realização desse tipo de atividade, ou seja, uma sala de informática em

condições de uso e professores capacitados para tal abordagem.

Questão cinco: Quais são as suas observações e conclusões? Os

professores cursistas assim responderam:









142





Notamos que os professores cursistas queriam mais tempo para o

desenvolvimento das atividades, fato este que nos remete a salientar a

importância de cursos de formação continuada, de modo especial com o uso de

softwares de Geometria Dinâmica, a fim de os professores adquirirem maior

habilidade com cada programa. Afinal, esse tipo de atividade vem a

complementar o ensino, propiciando o desenvolvimento de conhecimentos

matemáticos e tecnológicos do conteúdo, os quais podem ser associados à

tecnologia móvel – já disponível –; para isso, fazem-se necessários mais cursos

para os professores se apropriarem dessa tecnologia a fim de a aplicarem em

suas práticas.

Importante destacar que para a realização de atividades como essas é

necessário que o professor domine o TPACK a fim de elaborar uma atividade

onde possa prever todos os trajetos possíveis que seus alunos eventualmente

trilharão, além de obter conhecimento do software para construir e verificar

possíveis erros ou até mesmo evidenciar outros caminhos, utilizando-se, para

tal, de atividades de cunho exploratório e investigativo, de modo a não se prender

apenas a comandos do próprio software, mas para que seus alunos manipulem

e conjecturem possíveis resultados.

Vale mencionar também que as reflexões compartilhadas no grande

grupo, ao longo dos encontros, foram fundamentais para que pudéssemos

observar a construção/reconstrução/mobilização dos conhecimentos docentes.

Os momentos nos quais compartilharam as suas experiências com a realização

de cada atividade evidenciaram as suas percepções e dúvidas, propiciando

avanços quando superavam tais dificuldades.

Por fim, observamos a construção do conhecimento dos professores

cursistas como uma espiral na qual os seus saberes foram

143

construídos/reconstruídos/mobilizados à medida que as atividades lhes exigiram

a retomada de conteúdos relevantes à própria docência no Ensino Médio, os

quais faziam parte de seu repertório e, com as tarefas investigativas, as

manipulações e discussões nos encontros puderam ser aprofundadas com a

agregação de novos saberes. Consideramos que esse processo de

desenvolvimento do conhecimento deve ser construído/reconstruído ao longo da

vida de um profissional da educação.

144

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste capítulo resgatamos os pontos principais da investigação;

respondemos à questão norteadora de pesquisa; apresentamos as conclusões

e últimas considerações.

Nesta pesquisa analisamos um curso de formação continuada composto

de encontros – presenciais e a distância – para professores de Matemática do

Ensino Médio da rede estadual de São Paulo. Tal estudo foi alojado em um

projeto maior de educação continuada, desenvolvido na Universidade

Anhanguera de São Paulo e ligado ao Obeduc, especificamente na linha de

Formação de Professores que Ensinam Matemática.

Foi realizada considerando como sujeitos seis dos docentes cursistas da

formação continuada e intitulada GeoGebra no Ensino Médio: Aplicações com

Funções Quadráticas; os quais foram selecionados por terem participado de

todos os encontros da formação.

O objetivo geral da presente pesquisa foi identificar e analisar, em um

processo formativo para professores de Matemática, a mobilização/reconstrução

do conhecimento profissional docente – específico, tecnológico e pedagógico do

conteúdo – a partir das discussões e reflexões compartilhadas envolvendo a

função quadrática no Ensino Médio e áreas de figuras planas – temas os quais

abordados com o software denominado GeoGebra.

Para atingir o objetivo, a questão de pesquisa estabelecida foi a seguinte:

Quais conhecimentos profissionais são construídos/mobilizados pelos

professores ao longo de um processo de formação continuada com foco na

articulação entre Geometria e funções com recursos tecnológicos?

No sentido de responder a tal questão, optamos por indicar eventos

críticos levantados ao longo desse processo de formação continuada de

professores de Matemática, composto, então, por seis encontros presenciais –

nos quais foram desenvolvidas atividades exploratórias e investigativas – e

tarefas a distância, estas estocadas e realizadas no AVA do Projeto.

A análise da primeira atividade e tarefa, nas quais investigamos a relação

entre os coeficientes da expressão algébrica de uma função quadrática 𝑓(𝑥) =

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 e o gráfico dessa função, permitiu concluir que os participantes

reconstruíram os seus conhecimentos sobre tal relação, fato evidenciado quando

145

estudamos de modo particular cada coeficiente da função quadrática. Quanto ao

coeficiente a, era de conhecimento comum que este não pode ser nulo e, no

gráfico, determina se a função quadrática tem a concavidade voltada para cima

– o que ocorre quando o coeficiente a é maior que zero –, ou para baixo – quando

o coeficiente a é menor que zero –; entretanto, não havia consenso quanto à

relação entre o coeficiente a e a “abertura da parábola”, particularmente quando

o coeficiente a é negativo – fato evidenciado nas reflexões compartilhadas.

Ressaltamos ainda como evento crítico o salto conceitual dos sujeitos,

condição relativa à análise gráfica quanto à relação entre os coeficientes b e c e

as alterações no gráfico. No caso, foi necessário utilizar a forma canônica da

função quadrática para a análise, o que foi feito durante o processo de reflexão

compartilhada da atividade e tarefa.

Assim, constatamos a ampliação principalmente do conhecimento

específico do conteúdo dos professores participantes.

A análise da segunda atividade e tarefa – nas quais os professores

estudaram um problema geométrico envolvendo área, relacionando-o a uma

função quadrática – permitiu concluir que os sujeitos tiveram dificuldades na

articulação dos quadros geométrico e algébrico. O software GeoGebra auxiliou

nas explorações e investigações fornecendo feedback das ações desenvolvidas.

As reflexões compartilhadas e intervenções dos formadores possibilitaram

dissipar dúvidas para a realização e compreensão da atividade e tarefa, assim

como para articularem os quadros geométrico e algébrico ao investigarem a

variação conjunta da medida dos lados do retângulo dado com a função área

desse retângulo.

Vale ressaltar que os participantes não estavam familiarizados com

tarefas de cunho exploratório e investigativo. A segunda atividade aqui descrita

teve para esses professores um caráter investigativo, afinal, tiveram que refletir

e levantar conjecturas. Ao longo do desenvolvimento da atividade e das reflexões

compartilhadas, tornou-se possível impulsionar a ampliação de conhecimento

pedagógico e tecnológico do conteúdo.

Ressaltamos ainda, como evento crítico, uma questão teórica: o domínio

da função envolvida na atividade. No caso, entendemos que houve a melhora na

compreensão sobre a restrição do domínio da função; assim e de maneira

autônoma, nenhum dos professores restringiu o domínio da função com o uso

146

do software, o que era primordial para desenvolver a atividade. Inferimos

novamente que as reflexões compartilhadas oportunizaram aos cursistas a

ampliação do conhecimento específico e tecnológico do conteúdo.

A terceira atividade solicitava – pela primeira vez no curso – aos

professores que construíssem uma figura no GeoGebra para posterior

exploração, em vez de oferecer um arquivo pronto. Os participantes tiveram

dificuldades em construir de modo autônomo e, novamente, as discussões com

o auxílio dos formadores e de um dos professores cursistas permitiram superar

as dificuldades e impulsionar o conhecimento tecnológico do conteúdo, uma vez

que tal construção envolvia saberes geométricos.

Como evento crítico consideramos um momento de entrave ao

prosseguimento da atividade proposta, devido à fragilidade do conhecimento

matemático para o cálculo da área da secção – axial – de um carretel, o qual

necessário para a realização da atividade. Foi fundamental a intervenção dos

formadores, os quais discutiram como proceder o cálculo da área desejada.

Assim, constatamos que a realização da atividade oportunizou a reconstrução

de conhecimento do conteúdo específico matemático.

Na quarta atividade – que abordava a soma das áreas de dois triângulos

equiláteros – foi solicitado aos professores que construíssem uma figura no

GeoGebra para posterior exploração e investigação. Embora os cursistas

tentassem realizar a construção autonomamente, novamente houve um entrave

para o seu desenvolvimento, cobrando nova intervenção dos formadores e a

elaboração coletiva da figura. Desse modo, entendemos que a construção

proposta no software se caracterizou como um evento crítico, afinal, os

professores se desestabilizaram, tornando-se necessária a mediação dos

formadores para a discussão das características matemáticas envolvidas nessa

construção e como implementá-la, no software, o desejado.

Utilizamos da reflexão compartilhada de modo a conduzir os participantes

a compreenderem o processo de construção e, desse modo, entendemos que

houve um salto conceitual, sendo oportunizada a ampliação do conhecimento

tecnológico ao apresentarmos novas ferramentas como, por exemplo, construir

diretamente no software o polígono regular.

147

Nesse evento crítico, os professores cursistas mobilizaram/reconstruíram

conhecimentos matemáticos, o que pôde ser observado por nós quando

descreveram o que ocorria ao se alterar o comprimento do segmento da base

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e o ponto P observado, o qual não fazia mais parte da função encontrada –

ou seja, não se deslocava mais sobre a função anteriormente plotada da janela

de visualização. Tal conclusão estava correta, pois, quando se altera o segmento

da base, obtemos uma nova função soma das áreas; entretanto, o ponto P, da

maneira como foi construído, tinha as suas coordenadas conectadas à função

soma das áreas quando o segmento da base fosse 5 cm (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 5). Os cursistas

puderam explorar e visualizar tal condição na tela do software, de modo que

constatamos que a tecnologia da Geometria Dinâmica no processo formativo foi

o meio para o desenvolvimento das explorações e investigações empreendidas.

A quinta atividade – soma das áreas de duas circunferências –

oportunizou aos professores participantes a realização da construção proposta

de maneira autônoma. Entretanto, elaborada a figura, foi necessária uma nova

intervenção e mediação dos formadores para a exploração e investigação, uma

vez que ainda constatamos dificuldades manifestadas por alguns dos cursistas.

Direcionamos a reflexão compartilhada a fim de promover a ampliação do

conhecimento tecnológico do conteúdo e desenvolvemos, de modo similar, a

construção da atividade anterior. Nesta nova oportunidade, classificamos

como evento crítico novamente a restrição de domínio da função – essencial na

atividade – e que exigiu dos formadores nova discussão acerca da importância

da restrição do domínio e sobre como inseri-la no GeoGebra, fato que

entendemos como oportunidade de reconstrução dos saberes específicos da

Matemática, e tecnológico do conteúdo.

Na sexta atividade proposta – área compreendida entre um retângulo e

uma circunferência –, optamos por realizar a construção coletivamente – entre

formadores e cursistas – e focamos o olhar ao desenvolvimento da atividade por

parte dos professores. Observamos a superação de dificuldades referentes a

ferramentas do software, aproveitando-as para explorar e investigar

características como, por exemplo, o uso do rastro. Consideramos como evento

crítico a mobilização/reconstrução do conhecimento pedagógico tecnológico do

conteúdo que se fez por meio das reflexões compartilhadas ao longo da atividade

analisada pelo salto conceitual representado, particularmente com a

148

constatação, pelos professores cursistas, de que a conjectura inicial do grupo –

onde a área máxima solicitada estava associada ao raio máximo da

circunferência –, o que concluíram ser errôneo, evidenciando-nos que a

exploração e investigação com o GeoGebra permitiu a esses participantes a

rápida refutação da conjectura inicial.

A sétima e última atividade foi referente a uma vivência em sala de aula.

Entre os sujeitos, três desenvolveram a tarefa de vivência em tal ambiente

escolar e um dos quais foi acompanhado por nós. A análise dessa experiência

permitiu constatar como evento crítico a postura docente na condução da aula,

sua segurança ao articular os campos geométrico e algébrico, levando os alunos

a explorarem e investigarem a situação dada para perceberem a relação entre a

medida da base e altura do retângulo dado e da respectiva função área.

Os resultados indicaram ampliação dos conhecimentos matemáticos,

especialmente os relativos à função quadrática, além dos tecnológicos,

essencialmente os associados a construções geométricas com o GeoGebra e os

pedagógicos, fundamentalmente os concernentes à integração intramatemática

pela articulação entre Geometria e funções. As reflexões compartilhadas

envolvendo áreas de figuras planas auxiliaram a

construir/reconstruir/mobilizar/ampliar os saberes, de modo a impulsionar o

desenvolvimento do conhecimento pedagógico tecnológico do conteúdo.

Vale salientar que desenvolver essas atividades exploratórias e

investigativas envolvendo áreas de figuras planas e funções quadráticas apenas

foi possível com a utilização de Geometria Dinâmica, no caso, com o GeoGebra.

O dinamismo desse software permitiu explorar gráficos e figuras com a

movimentação de um ponto construído na própria figura. Logo, para nós foi

essencial que o professor se apropriasse dessa tecnologia, de modo a se

instrumentalizar para propiciar aos seus alunos novos meios de descobrir e

desenvolver o próprio conhecimento matemático e pedagógico, ampliando,

assim, o seu leque de possibilidades de ensino.

A reflexão compartilhada durante os encontros presenciais foi de suma

importância tanto aos professores cursistas como à realização deste trabalho,

afinal, muitos dos fatos aqui discutidos foram evidenciados em tais momentos,

nos quais o cursista dialogava conosco e com os demais participantes sobre as

suas percepções e indagações, deixando transparecer as próprias inquietações.

149

Portanto, classificamos as reflexões compartilhadas como os propulsores da

presente pesquisa.

Concluímos que o curso analisado nesta pesquisa e no formato em que o

planejamos e aplicamos auxiliou a impulsionar o desenvolvimento do

conhecimento profissional docente, fato evidenciado nos dizeres dos

professores participantes.

Assim, para futuras pesquisas com professores em processo de formação

continuada, propomos a:

• Utilização de tecnologias digitais na formação tanto inicial como

continuada;

• Utilização de tecnologias digitais na formação continuada em conjunto à

sua aplicação na prática docente;

• Exploração da questão de volume e sua respectiva função, de modo a

explorar o espaço tridimensional; e

• Articulação entre tecnologias digitais e materiais manipulativos.

Concluímos que o fio condutor na formação continuada foi o

conhecimento específico matemático, o qual permeou o desenvolvimento de

outros saberes – no caso, tecnológicos e pedagógicos. Na formação continuada,

a realização das atividades e tarefas propostas apenas foi possível devido à

utilização do software de Geometria Dinâmica – GeoGebra –, o qual possibilitou

a manipulação e visualização simultâneas dos aspectos da figura e função área

correspondentes, auxiliando na articulação entre os campos algébrico e

geométrico. Entendemos que isso impulsionou a exploração e investigação de

cada atividade e tarefa proposta aos professores participantes.

Consideramos que a investigação aqui relatada pode colaborar não

somente com resultados à Academia, bem como fornecer subsídios ao professor

sobre como elaborar, conduzir e analisar uma atividade de cunho exploratório e

investigativo, bem como aos conhecimentos necessários para o seu

desenvolvimento.

Finalizando, inexiste um modelo ideal para a utilização de tecnologias

digitais no ensino, haja vista que cada ambiente – escolar e/ou de formação –

apresenta características distintas, as quais devem ser consideradas; entretanto,

acreditamos que a metodologia de uso de atividades exploratórias e

investigativas e os aspectos aqui evidenciados para a articulação de Geometria

150

e funções podem ser úteis e favorecer a prática docente, propiciando a reflexão

e inserção de abordagens inovadoras para ensinar com novas tecnologias. Em

adição, esperamos que os resultados aqui apresentados possam auxiliar no

desenvolvimento de futuras pesquisas para a conexão intramatemática com o

uso de tecnologia.

151

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154

ANEXO

Anexo A – Atividade elaborada e aplicada pelo professor H.

NOMES DA DUPLA: _______________________________________________

Questões para análise

Figura 1:

1 No retângulo ABCD, o ponto B é móvel sobre a semirreta AB; movimente-o e registre o

que você descobriu.

2 Se a base AB desse retângulo tiver como medida x, qual será a relação entre a medida

da base x e a sua altura?

3 Qual é a expressão que define a área A(x) do retângulo em função da medida x da base?


Figura 2:

Na Figura 2 é dado um ponto P (x,y) de coordenadas x = medida do lado AB e y = a medida da

área do retângulo ABCD.

1 Determine a medida x desse retângulo e a sua área no GeoGebra.


3 O que você achou desta atividade, anote as suas observações.

155

APÊNDICES

Apêndice A – Questionário de Entrada

Nome do Projeto: Integração de tecnologias digitais na formação continuada: uma proposta de

ensino articulando Geometria e funções.

Subprojeto de: Educação continuada do professor de Matemática do Ensino Médio: Núcleo de

Investigações sobre a Reconstrução da Prática Pedagógica (Projeto n.º 19.366 do Programa

Observatório da Educação – Edital n.º 49/2012).

Data: / / .

Caro Professor,

Este questionário se refere à pesquisa de Mestrado de Willians Adriano de Oliveira.

Você terá a sua identidade preservada, não sendo identificado.

Agradecemos muito a sua colaboração em respondê-lo.

Obrigado!

Nome:_______________________________________________________________________

Escola: ______________________________________________________________________

1) Em qual grupo etário você se enquadra?

( ) menos de 20 anos

( ) de 26 a 30 anos

( ) de 36 a 40 anos

( ) de 46 a 50 anos

( ) de 21 a 25 anos

( ) de 31 a 35 anos

( ) de 41 a 45 anos

( ) acima de 50 anos

2) Sua Graduação é:

( ) Licenciatura Plena em Matemática

( ) Licenciatura Plena em Ciências Exatas, com habilitação em Matemática

( ) Licenciatura Plena em outra disciplina

( ) Bacharelado em outras áreas. Qual? _______________________________

3) Sobre o seu tempo de formação:

( ) menos que 1 ano

( ) de 1 a 5 anos

( ) de 6 a 10 anos

( ) de 11 a 15 anos

( ) de 16 a 20 anos

( ) de 21 a 25 anos

( ) de 25 a 30 anos

( ) mais de 30 anos

156

4) Para qual nível de ensino você ministra aulas de Matemática, neste ano?

( ) Ensino Fundamental

Anos finais ( ) 6º ano ( ) 7º ano ( ) 8º ano ( ) 9º ano

( ) Ensino Médio

( ) 1ª série ( ) 2ª série ( ) 3ª série

5) Você conhece algum software de geometria dinâmica?

( ) Sim ( ) Não

6) Você já utilizou um software de Geometria Dinâmica em sala de aula?

( ) Sim ( ) Não

Caso afirmativo, qual foi o software utilizado?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Caso afirmativo, descreva sucintamente a sua experiência:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

7) Você acha que um software pode auxiliar no processo de ensino e aprendizagem de sua

sala de aula? Por quê?

( ) Sim ( ) Não

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

8) Em seu entender, qual é a importância do uso de tecnologia digital em sala de aula, de

modo particular do uso de um software de geometria dinâmica?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

157

Apêndice B – Questionário Final

Nome do Projeto: Integração de tecnologias digitais na formação continuada: uma proposta de

ensino articulando Geometria e funções.

Subprojeto de: Educação continuada do professor de Matemática do Ensino Médio: Núcleo de

Investigações sobre a Reconstrução da Prática Pedagógica (Projeto n.º 19.366 do Programa

Observatório da Educação – Edital n.º 49/2012).

Data: / / .

Caro Professor,

Este questionário se refere à pesquisa de Mestrado de Willians Adriano de Oliveira.

Você terá a sua identidade preservada, não sendo identificado.

Agradecemos muito a sua colaboração em respondê-lo.

Obrigado!

Nome:_______________________________________________________________________

Escola: ______________________________________________________________________

A partir da análise, discussão e desenvolvimento das atividades propostas para o grupo,

responda:

1 Essa formação, a seu ver, propiciou o desenvolvimento de novos conhecimentos?

( ) Sim ( ) Não

Comente:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

1 Pensando na sua prática pedagógica, quais são as suas considerações?

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

2 Você acredita que o uso de tecnologia digital, como o software GeoGebra que utilizamos,

favorece a participação de seu aluno? Por quê?

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

158

3 Em seu entender, qual é a importância do uso de tecnologia digital em sala de aula, de modo

particular do uso de um software de geometria dinâmica?

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

4 Quais são as suas observações e conclusões?

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Apêndice C – Atividade de Função Quadrática

Coeficiente a

1 Ao construir os gráficos das funções quadráticas, o que podemos observar da relação

entre o coeficiente a e as representações gráficas das funções para a > 0?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________


entre o coeficiente a e as representações gráficas das funções para a < 0?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

3 Sendo f(x) = ax2 + bx + c, o que acontecerá com a representação gráfica se o

coeficiente a for igual a zero (a = 0)? Justifique.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

4 Sendo f(x) = ax2 + bx + c uma representação geral de uma função quadrática, o que

podemos concluir sobre a relação entre o coeficiente a e a sua representação gráfica?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

159

Coeficiente b


entre o coeficiente b e as representações gráficas das funções para b > 0?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________


entre o coeficiente b e as representações gráficas das funções para b < 0?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

7 Sendo f(x) = ax2 + bx + c uma representação geral de uma função quadrática, o que

podemos concluir sobre a relação entre o coeficiente b e a sua representação gráfica?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Coeficiente c

8 Qual é a relação entre a representação gráfica da função e o coeficiente c, quando:

a) c > 0? b) c < 0? c) c = 0?

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9 Qual é a relação entre o coeficiente c das funções quadráticas e as suas respectivas

representações gráficas?

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160

Apêndice D

Área de um retângulo.

No retângulo da Figura ao lado, temos AB = x e BC = 𝑥

2,

B é um ponto móvel sobre a semirreta .

1 Investigue a variação de x e a correspondente

variação da área. O que você descobriu?

2 Qual é a expressão que define a área A(x) desse

retângulo em função da medida x da base?

3 Denominando de ponto p(x,y) de coordenadas x = medida de AB e y = A(x), ou seja,

medida da área do retângulo ABCD. Determine a relação entre a medida de x desse

retângulo e a sua área no GeoGebra.



descobriu?


equivalentes?

7 O rastro do ponto P percorre toda a parábola? Como escrever a função?


Salve esta atividade com: “seu nome”atividadeum na área de trabalho.

Respostas

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AB

161

Apêndice E

Área da secção (axial) do carretel.

A Figura ao lado é formada por dois trapézios isósceles congruentes

com ângulo da base igual a 60° e um retângulo de mesma altura dos

trapézios. A medida da base do retângulo é a mesma da base menor

dos trapézios. Denomine o segmento AB da base maior do trapézio de

x, ou seja, AB = x.

Considere o ponto B móvel e determine:

1 A área da Figura em relação à medida x da base AB.

2 Construa no GeoGebra o ponto P que relaciona a medida da base com a área.

3 Movimente o ponto B e observe o que ocorre com o ponto P – habilite exibir rastro

para o ponto P.

4 Construa o gráfico da função área.

5 Quais são as suas reflexões sobre esta atividade?

Respostas

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162

Apêndice F



equiláteros.


Seja AB = a

Seja AC = x

1 Determine a soma das áreas dos triângulos em

função de AC, denotando essa função por t(x).


3 Denominando de ponto P(x,y) de coordenadas x = medida de AC e y = t(x), ou

seja, medida da soma das áreas dos triângulos ADC e CEB, determine a relação

entre a medida da base do triângulo ACD e a sua área, ou seja, P(x,y) no

GeoGebra.



descobriu?

6 Construa o gráfico dessa função. Compare-o com o rastro do ponto P. São

equivalentes?



9 Desabilite exibir rastro do ponto F. Desloque o ponto B e observe o que ocorre

com o ponto P. O que você descobriu?

10 Habilite exibir rastro para o ponto F e mova o ponto C. O que aconteceu? Houve

mudança nos triângulos? E na função?


Salve esta atividade com: “seu nome”atividadedois na área de trabalho.

Respostas

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163

Apêndice G








Considere AB = 2, a fim de responder às questões de 1 a 8:

1 Determine a soma das áreas dos círculos em função de AC, denotando essa função

por q(x).


3 Denominando de ponto P(x,y) de coordenadas x = medida de AC e y = q(x), ou seja,

medida da soma das áreas dos círculos, determine a relação entre a medida do raio

do círculo de centro A e a soma das áreas, ou seja, P(x,y) no GeoGebra.



descobriu?


equivalentes?





10 Habilite exibir rastro para o ponto P e mova o ponto C. O que aconteceu? houve



Salve esta atividade com: “seu nome”atividadequatro na área de trabalho.

Respostas

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164

Apêndice H – Atividade


circunferência.






Seja AB = a

Considere a = 2 para responder às questões de 1 a 7.

1 Investigue o raio que o círculo deve ter para que a área da região irregular – área em

branco – seja a máxima possível.

Seja P(x,y) um ponto tal que x seja a medida do raio da circunferência e y seja a

área da região irregular – área em branco.

2 Determine o ponto P no GeoGebra;

O ponto G é móvel, em comum à circunferência e ao retângulo superior à

circunferência.

3 Desloque o ponto G e observe o que ocorre com o ponto P.

4 Habilite exibir rastro para o ponto P e repita o procedimento anterior.






9 Habilite exibir rastro para o ponto P e mova o ponto G. O que aconteceu? Houve



* Atividade inspirada em desafio proposto em Bianchini e Paccola (2004, p. 119).

Respostas

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165

Apêndice I – Tarefa 1

166

Apêndice J – Tarefa 2

167

Apêndice K

168

Apêndice L

169

Apêndice M – Tarefa de Vivência

Esta tarefa tem por objetivo desenvolver em sala de aula uma atividade sobre funções

quadráticas e área de figuras planas, com a utilização do software GeoGebra. A partir desta

atividade, você poderá diagnosticar os aspectos positivos e/ou negativos nesse tipo de

abordagem do conteúdo e promover reflexões sobre tal proposta. Assim, você deverá planejar

uma aula – como fizemos na Tarefa 4. Lembre-se de que a atividade deve instigar os seus alunos

a promoverem investigações, levantarem conjecturas e, enfim, explorarem a função quadrática

e área de figura plana, utilizando o software GeoGebra. Solicitamos também que você envie o

roteiro para o aluno. Finalizando, pedimos um relatório de vivência e os registros da atividade

aplicada. Segue um modelo para você elaborar o relatório de vivência:

Relatório de Vivência

Nome da Escola na qual realizou a atividade

Série do Ensino Médio em que foi realizada a atividade

Número de alunos que participaram

Atividade

Formas de avaliação e os objetivos de aprendizagem alcançados

Registro da atividade aplicada – roteiro, documentos, fotos, gravações etc.

Grau de dificuldade/facilidade, em seu entender, da atividade aplicada

Interesse despertado nos alunos pelo conteúdo trabalhado com a utilização do

GeoGebra

Contribuições do uso do GeoGebra para a construção dos conceitos de função

quadrática e área envolvidos

Adaptações na atividade ou diferentes formas de aplicação que você identificou serem

necessárias, após a vivência

Considerações finais – as suas reflexões – sobre a atividade

170

Apêndice N

Área de um Da secção (axial) do carretel.

A Figura ao lado é formada por dois trapézios isósceles

congruentes com ângulo da base igual a 60° e um retângulo

de mesma altura dos trapézios. A medida da base do

retângulo é a mesma da base menor dos trapézios.

Denomine o segmento AB da base maior do trapézio de x, ou

seja, AB = x.

Considere o ponto B móvel e determine:

1 A área da Figura em relação à medida x da base AB.

2 Construa, no GeoGebra, o ponto P que relaciona a

medida da base com a área.

3 Movimente o ponto B e observe o que ocorre com o ponto P – habilite exibir rastro

para o ponto P.

4 Construa o gráfico da função área.

5 Quais são as suas reflexões sobre esta atividade?

Respostas

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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO WILLIANS … · todos os momentos, incentivando-me a cada momento na execução deste trabalho e por sua paciência e compreensão. Sem você