UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

UMA ANÁLISE DOS PROCEDIMENTOS DE RESOLUÇÃO

DE ALUNOS DE 5º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL EM

RELAÇÃO A PROBLEMAS DE ESTRUTURAS

MULTIPLICATIVAS

MARIANA LEMES DE OLIVEIRA ZARAN

Orientadora: Profª. Dra. Cíntia Aparecida Bento dos Santos

Dissertação apresentada ao Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática, da Universidade Cruzeiro do Sul, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.

SÃO PAULO

2013

AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE

TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA

UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

Z39a

Zaran, Mariana Lemes de Oliveira. Uma análise dos procedimentos de resolução de alunos de 5º

ano do ensino fundamental em relação à problemas de estruturas multiplicativas / Mariana Lemes de Oliveira Zaran. -- São Paulo; SP: [s.n], 2013.

172 p. : il. ; 30 cm. Orientadora: Cíntia Aparecida Bento dos Santos. Dissertação (mestrado) - Programa de Pós-Graduação em

Ensino de Ciências e Matemática, Universidade Cruzeiro do Sul. 1. Educação matemática 2. Matemática - Ensino fundamental

3. Resolução de problemas – Matemática 4. Projeto Brasil de Matemática. I. Santos, Cíntia Aparecida Bento dos. II. Universidade Cruzeiro do Sul. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.

CDU: 51:371.3(043.3)

UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

UMA ANÁLISE DOS PROCEDIMENTOS DE RESOLUÇÃO

DE ALUNOS DE 5º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL EM

RELAÇÃO A PROBLEMAS DE ESTRUTURAS

MULTIPLICATIVAS

Mariana Lemes de Oliveira Zaran

Dissertação de mestrado defendida e aprovada

pela Banca Examinadora em 11/03/2013.

BANCA EXAMINADORA:

Profª. Dra. Cíntia Aparecida Bento dos Santos

Universidade Cruzeiro do Sul

Presidente

Profª. Dra. Edda Curi

Universidade Cruzeiro do Sul

Profª. Dra. Adair Mendes Nacarato

Universidade São Francisco

Dedico este trabalho a Deus, aos meus pais, ao meu marido, aos meus amigos,

à minha orientadora e a todos os professores que contribuíram para a minha

formação. Foi com o apoio e dedicação de cada um de vocês que consegui

chegar até aqui.

AGRADECIMENTOS

À Deus, meu alicerce e minha fortaleza, por me guiar e sustentar a cada

dia, permitindo que eu pudesse chegar até aqui. Minha vida pertence ao

Senhor, e sei que todas as bênçãos recebidas fazem parte dos planos que tem

para mim.

Aos meus pais Geraldo e Ana, por todo o incentivo e amor dedicados, e

pela constante, valiosa e indispensável presença em todos os momentos de

minha vida.

Ao meu marido Danilo, pelo amor, compreensão, apoio e por estar ao

meu lado em mais essa etapa.

À minha orientadora pela qual tenho grande respeito e admiração, Profa.

Dra. Cíntia Aparecida Bento dos Santos, pelas contribuições dadas não

somente ao desenvolvimento deste trabalho, mas também a minha formação e

ao meu amadurecimento. Agradeço pelo incentivo, paciência, dedicação e

confiança depositadas a cada momento, e pela amizade construída ao longo

desses dois anos.

À Profa. Dra. Edda Curi, por aceitar participar de minha banca, pelo

apoio, confiança e contribuições dadas para a minha formação. Pela

oportunidade de poder participar do Programa Observatório da Educação,

realizando investigações de grande importância, ampliando minha visão

quanto educadora.

À Profa. Dra Adair Mendes Nacarato, por ter aceitado participar de minha

banca examinadora, e pelas importantes e significativas contribuições dadas

ao meu trabalho.

À Pró-reitoria de Pós-graduação e Pesquisa da Universidade Cruzeiro do

Sul, pelo incentivo demonstrado com grande eficiência ao longo de minha

trajetória, e por tornarem possível a realização de meus estudos por meio da

bolsa integral disponibilizada.

Aos professores do Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e

Matemática da Universidade Cruzeiro do Sul, que ao longo das disciplinas,

com tamanha competência contribuíram para minha formação e

desenvolvimento quanto pesquisadora.

À minha amiga Alessandra Carvalho Teixeira, pelo companheirismo em

importantes momentos, pelo incentivo, carinho e amizade dedicados nessa

caminhada.

À todos os colegas e amigos que de algum modo também fizeram parte

dessa caminhada, que me apoiaram e incentivaram em muitos momentos,

contribuindo para a realização desse sonho.

A todos estes, serei sempre grata, e desejo-lhes que Deus possa

abençoar grandemente suas vidas, proporcionando-lhes muitas vitórias.

“Ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a sua

produção ou a sua construção. Quem ensina aprende ao ensinar e quem aprende ensina ao aprender.”

Paulo Freire

ZARAN, M. L. O. Uma análise dos procedimentos de resolução de alunos de 5º ano do ensino fundamental em relação à problemas de estruturas multiplicativas. 2013. 172 f. Dissertação (Mestrado em Ciências e Matemática)–Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2013.

RESUMO

A pesquisa teve por objetivo evidenciar como os alunos de 5° ano do Ensino

Fundamental demonstram seus conhecimentos em relação às operações que

compõem o campo multiplicativo, buscando evidenciar os indícios de compreensão

por eles revelados. O trabalho centrou-se em uma investigação acerca dos

protocolos de alunos de 5° ano de uma escola pública da cidade de São Paulo, com

suas respectivas resoluções quanto a problemas envolvendo as operações de

multiplicação e divisão. A investigação trabalhou dados coletados a partir do Projeto

Prova Brasil de Matemática: revelações e possibilidades de avanços nos saberes de

alunos de 4ª série/5º ano e indicativos para formação de professores no âmbito do

Programa Observatório da Educação, Edital 2010, financiado pela Capes e

desenvolvido na Universidade Cruzeiro do Sul sob a coordenação da Profa Dra

Edda Curi. Para a elaboração dos instrumentos de pesquisa, foi utilizada a

categorização apresentada por Gerárd Vergnaud, nos estudos do Campo Conceitual

das Estruturas Multiplicativas. Para subsidiar as análises foi utilizado um quadro

teórico, a partir de uma revisão bibliográfica sobre alguns autores que abordam os

problemas de multiplicação e divisão nos anos iniciais do Ensino Fundamental. A

organização do trabalho foi baseada em um método de pesquisa qualitativa, com

técnica de análise documental, por meio da reflexão acerca dos protocolos dos

alunos. Foi realizada inicialmente uma categorização generalizada dos

procedimentos de resolução dos alunos por meio de um inventário de dados, e a

análise qualitativa constou de um aprofundamento da observação acerca das

particularidades reveladas nos protocolos. Os resultados colocaram em evidência

um cenário delicado em relação às interpretações dadas pelos alunos desta etapa

de escolarização diante de situações propostas, em que, em alguns grupos de

problemas, os alunos demonstraram fragilidades quanto à apropriação do raciocínio

multiplicativo ou dos algoritmos que permeiam as operações. As considerações

apresentadas ao final dos estudos propiciam uma importante reflexão sobre

intervenções que possam contribuir com o processo de ensino e aprendizagem das

operações investigadas, enfatizando a importância do professor realizar o papel de

pesquisador com seus alunos, buscando e encontrando novos caminhos através da

constante observação dos procedimentos realizados pelos mesmos, e dos indícios

de compreensão revelados por eles, o que possibilitará ao docente diagnosticar as

facilidades e fragilidades, que propiciarão a elaboração de estratégias que envolvam

situações de aprendizagem que possam mobilizar conhecimentos de acordo com o

nível de compreensão observado. Por meio desta investigação, pretende-se trazer

reais contribuições ao cenário da Educação Matemática, no que diz respeito ao

ensino e à aprendizagem dos conceitos que norteiam o campo multiplicativo; de

modo que a pesquisa possa ultrapassar o campo de uma simples constatação, em

que a sala de aula não seja utilizada apenas para coletar dados, mas que os indícios

e sugestões apontados venham a servir como um possível caminho à prática

docente, em que por meio de um trabalho gradual, possam ser ampliados os olhares

investigativos em sala de aula, na busca por oportunidades de intervenções que

venham a auxiliar no processo de aprendizagem do aluno.

Palavras-chave: Educação matemática, Campos conceituais, Estruturas

multiplicativas, Procedimentos de resolução, Indícios de compreensão do raciocínio

multiplicativo.

ZARAN, M. L. O. An analysis of the resolution procedures of 5th grade students of elementary school in relation to problems of multiplicative structures. 2013. 172 f. Dissertação (Mestrado em Ciências e Matemática)–Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2013.

ABSTRACT

The research aims to show how the students of 5th year of elementary school

demonstrate their knowledge concerning operations that compose the multiplicative

field in order to enhance understanding of the evidence revealed by them. The study

focused on an investigation about the protocols of 5th grade students from a public

school in the city of São Paulo, with their resolutions for problems involving

multiplication and division. Research worked data collected from Project Brazil Exam

Mathematics: revelations and possibilities for advances in knowledge of students

from grade 4/5 years and indicative for teacher training under the Programme Centre

for Education, Public Notice 2010, funded by Capes and developed at the University

Cruzeiro do Sul under the coordination of Prof. Dr. Edda Curi. In developing the

research instruments was used categorization presented by Gerárd Vergnaud,

studies in the field of conceptual multiplicative structures. To subsidize analyzes used

a theoretical framework, based on a literature review of some authors that address

the problems of multiplication and division in the early grades of elementary school.

The organization's work was based on a qualitative research method, with technical

analysis of documents, through reflection on the students' protocols. The results have

highlighted a scenario delicate compared to the interpretations given by the

students of this stage of schooling in situations proposed, in which, in some groups of

problems, students showed weaknesses regarding the appropriation of multiplicative

reasoning or algorithms that underlie the operations. The considerations presented at

the end of the studies provide an important reflection on interventions that can

contribute to the process of teaching and learning operations investigated,

emphasizing the importance of the teacher performing the role of researcher and his

students, seeking and finding new paths through constant observation of procedures

performed by them, and the evidence revealed by understanding them, which will

enable the teacher to diagnose the facilities and weaknesses, which will provide the

development of strategies that involve learning situations that can mobilize

knowledge according to the level of understanding observed. Through this research,

we intend to bring real contributions to the scenario of Mathematics Education, with

regard to teaching and learning concepts that guide the field multiplicative, so that

research may exceed the scope of a simple observation, that the classroom is not

only used to collect data, but that the evidence pointed and suggestions may serve

as a possible way of teaching practice, where through a gradual work, looks can be

expanded investigative classroom, the search for opportunities of interventions that

would assist in the process of student learning.

Keywords: Education mathematics, Conceptual fields, Multiplicative structures,

Resolution procedures, Evidence of understanding of multiplicative reasoning.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Divisão como partilha ........................................................................ 36

Figura 2 - Divisão como medida ........................................................................ 36

Figura 3 - Processo longo da divisão ................................................................ 38

Figura 4 - Processo breve da divisão ................................................................ 38

Figura 5 - Categoria não standard e informal ................................................... 39

Figura 6 - Grupos para análise das situações .................................................. 45

Figura 7 - Uma possível forma de efetuar a divisão ......................................... 47

Figura 8 - Exemplo 1 ........................................................................................... 57

Figura 9 - Exemplo 2 ........................................................................................... 58

Figura 10 - Exemplo 3 ........................................................................................... 58

Figura 11 - Exemplo 4 ........................................................................................... 58

Figura 12 - Exemplo 5 ........................................................................................... 59

Figura 13 - Exemplo 6 ........................................................................................... 59

Figura 14 - Exemplo 7 ........................................................................................... 59

Figura 15 - Multiplicação ...................................................................................... 60

Figura 16 – Divisão (busca de uma medida) ........................................................ 61

Figura 17 – Divisão (busca de um escalar) .......................................................... 61

Figura 18 – Exemplo 1 ........................................................................................... 62

Figura 19 – Exemplo 2 ........................................................................................... 62

Figura 20 – Exemplo 3 ........................................................................................... 62

Figura 21 – Exemplo 4 ........................................................................................... 63

Figura 22 – Exemplo 5 ........................................................................................... 63

Figura 23 – Problema 1 do instrumento 1 ............................................................ 72

Figura 24 – Problema 2 do instrumento 1 ............................................................ 72

Figura 25 – Problema 3 do instrumento 1 ............................................................ 73

Figura 26 – Problema 1 do instrumento 2 ............................................................ 74

Figura 27 – Problema 2 do instrumento 2 ............................................................ 75

Figura 28 – Problema 3 do instrumento 2 ............................................................ 76

Figura 29 – Problema 4 do instrumento 2 ............................................................ 77

Figura 30 – Problema 1 do instrumento 3 ............................................................ 78

Figura 31 – Problema 2 do instrumento 3 ............................................................ 79

Figura 32 – Problema 3 do instrumento 3 ............................................................ 80

Figura 33 – Problema 1 do instrumento 4 ............................................................ 81

Figura 34 – Problema 2 do instrumento 4 ............................................................ 82

Figura 35 - Protocolo do A1.................................................................................. 84

Figura 36 - Protocolo do A51................................................................................ 84

Figura 37 - Protocolo do A52................................................................................ 85

Figura 38 - Protocolo do A40................................................................................ 86

Figura 39 - Protocolo do A21................................................................................ 87

Figura 40 - Protocolo do A43................................................................................ 88

Figura 41 - Protocolo do A4.................................................................................. 89

Figura 42 - Protocolo do A12................................................................................ 90

Figura 43 - Protocolo do A17................................................................................ 90

Figura 44 - Ideia de multiplicação ........................................................................ 91

Figura 45 - Protocolo do A4.................................................................................. 91

Figura 46 - Protocolo do A20................................................................................ 92

Figura 47 - Protocolo do A11................................................................................ 93

Figura 48 - Protocolo do A3.................................................................................. 93

Figura 49 - Protocolo do A11................................................................................ 94

Figura 50 - Protocolo do A10................................................................................ 95

Figura 51 - Protocolo do A3.................................................................................. 96

Figura 52 - Protocolo do A16................................................................................ 97

Figura 53 - Protocolo do A36................................................................................ 97

Figura 54 - Protocolo do A51................................................................................ 98

Figura 55 - Protocolo do A2.................................................................................. 99

Figura 56 - Protocolo do A5.................................................................................. 99

Figura 57 - Protocolo do A5................................................................................ 100

Figura 58 - Protocolo do A35.............................................................................. 100

Figura 60 - Protocolo do A44.............................................................................. 102

Figura 61 - Protocolo do A35.............................................................................. 103

Figura 62 - Protocolo do A2................................................................................ 104

Figura 63 - Protocolo do A7................................................................................ 105

Figura 64 - Protocolo do A37.............................................................................. 105

Figura 65 - Protocolo do A51.............................................................................. 106

Figura 66 - Protocolo do A17.............................................................................. 107

Figura 67 - Protocolo do A12.............................................................................. 108

Figura 68 - Protocolo do A4................................................................................ 108

Figura 69 Protocolo do A20............................................................................. 109

Figura 70 - Protocolo do A20.............................................................................. 110

Figura 71 - Protocolo do A31.............................................................................. 111

Figura 72 - Protocolo do A27.............................................................................. 111

Figura 73 - Protocolo do A11.............................................................................. 112

Figura 74 - Protocolo do A19.............................................................................. 113

Figura 75 - Protocolo do A22.............................................................................. 113

Figura 76 - Protocolo do A3................................................................................ 114

Figura 77 - Protocolo do A35.............................................................................. 115

Figura 78 - Protocolo do A37.............................................................................. 116

Figura 79 - Protocolo do A42.............................................................................. 116

Figura 80 - Protocolo do A9................................................................................ 117

Figura 81 - Protocolo do A28.............................................................................. 118

Figura 82 - Protocolo do A56.............................................................................. 118

Figura 83 - Protocolo do A36.............................................................................. 119

Figura 84 - Protocolo do A10.............................................................................. 120

Figura 85 - Protocolo do A45.............................................................................. 121

Figura 87 - Protocolo do A27.............................................................................. 122

Figura 88 - Protocolo do A2................................................................................ 123

Figura 89 - Protocolo do A26.............................................................................. 124

Figura 90 - Protocolo do A2................................................................................ 124

Figura 91 - Protocolo do A22.............................................................................. 125

Figura 92 - Protocolo do A31.............................................................................. 126

Figura 93 - Protocolo do A44.............................................................................. 127

Figura 94 - Protocolo do A2................................................................................ 128

Figura 96 - Protocolo do A33.............................................................................. 129

Figura 97 - Protocolo do A44.............................................................................. 130

Figura 99 - Protocolo do A2................................................................................ 131

Figura 100 - Protocolo do A27.............................................................................. 132

Figura 101 - Protocolo do A22.............................................................................. 132

Figura 102 - Protocolo do A2................................................................................ 133

Figura 103 - Protocolo do A46.............................................................................. 134

Figura 104 - Protocolo do A13.............................................................................. 135

Figura 105 - Protocolo do A22.............................................................................. 135

Figura 106 - Protocolo do A27.............................................................................. 136

Figura 107 - Protocolo do A39.............................................................................. 137

Figura 108 - Protocolo do A56.............................................................................. 137

Figura 109 - Protocolo do A38.............................................................................. 138

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Conteúdos relacionados com o desenvolvimento do sentido

da multiplicação ................................................................................. 33

Tabela 2 – Levantamento dos dados da pesquisa de campo ........................... 71

Tabela 3 – Resultados do problema 1 ................................................................ 72

Tabela 4 - Resultados do problema 2 ................................................................ 73

Tabela 5 - Resultados do problema 3 ................................................................ 74

Tabela 6 – Resultados do problema 1 ................................................................ 75

Tabela 7 - Resultados do problema 2 ................................................................ 76

Tabela 8 - Resultados do problema 3 ................................................................ 77

Tabela 9 - Resultados do problema 4 ................................................................ 78

Tabela 10 - Resultados do problema 1 ................................................................ 79

Tabela 11 - Resultados do problema 2 ................................................................ 80

Tabela 12 - Resultados do problema 3 ................................................................ 81

Tabela 13 - Resultados do problema 1 ................................................................ 82

Tabela 14 - Resultados do problema 2 ................................................................ 83

Tabela 15 – Inventário de dados do instrumento 1 ........................................... 139

Tabela 16 – Inventário de dados do instrumento 2 ........................................... 142

Tabela 17 – Inventário de dados do instrumento 3 ........................................... 145

Tabela 18 – Inventário de dados do instrumento 4 ........................................... 147

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 – CONTEXTO DA PESQUISA, PROBLEMÁTICA E

METODOLOGIA ............................................................................ 19

1.1 Sobre a escolha do tema ........................................................................... 19

1.2 Sobre o Projeto Prova Brasil de Matemática: revelações e

possibilidades de avanços nos saberes de alunos de 4ª série/5º

ano e indicativos para formação de professores e suas

contribuições para o estudo ...................................................................... 21

1.3 Problemática da Pesquisa ......................................................................... 24

1.4 Metodologia de Pesquisa ........................................................................... 25

CAPÍTULO 2 – O ENSINO DAS OPERAÇÕES DE MULTIPLICAÇÃO E

DIVISÃO NOS ANOS INICIAIS DO ENSINO

FUNDAMENTAL ........................................................................... 31

2.1 Alguns autores que discutem as operações de multiplicação e

divisão nos anos iniciais do Ensino Fundamental .................................. 31

2.2 As operações de multiplicação e divisão e os Parâmetros

Curriculares Nacionais ............................................................................... 43

2.3 Algumas considerações sobre o capítulo ................................................ 48

CAPÍTULO 3 – A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS E O CAMPO

CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS ............ 51

3.1 Uma abordagem sobre a Teoria dos Campos Conceituais .................... 51

3.2 Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas ................................... 56

3.2.1 Isomorfismo de Medidas ............................................................................ 57

3.2.2 Produto de Medidas ................................................................................... 62

3.3 Algumas considerações sobre o capítulo ................................................ 63

CAPÍTULO 4 – A PESQUISA DE CAMPO ............................................................ 67

4.1 Sobre a realização da pesquisa de campo ............................................... 67

4.2 As categorias de análise ............................................................................ 68

4.3 Os instrumentos de pesquisa ................................................................... 70

4.3.1 O primeiro grupo de problemas: Isomorfismo de Medidas .................... 71

4.3.1.1 Primeiro instrumento: problemas de correspondência um a muitos .... 71

4.3.1.2 Segundo instrumento: problemas de correspondência muitos a

muitos .......................................................................................................... 74

4.3.2 O segundo grupo de problemas: Produto de Medidas ........................... 78

4.3.2.1 Terceiro instrumento: problemas de configuração retangular............... 78

4.3.2.2 Quarto instrumento: problemas de combinatória ................................... 81

4.4 Análise dos instrumentos por categoria .................................................. 83

4.4.1 Categoria 1 – Identificam a ideia da operação que resolve o

problema e acertam os procedimentos .................................................... 83

4.4.2 Categoria 2 – Identificam a ideia da operação que resolve o

problema, mas não utilizam os procedimentos corretamente ............. 104

4.4.3 Categoria 3 - Identificam a operação que resolve o problema, mas

apenas indicam a operação, e não a desenvolvem ............................... 110

4.4.4 Categoria 4 - Não identificam a operação e acertam os

procedimentos/algoritmos utilizados ..................................................... 112

4.4.5 Categoria 5 - Não identificam a operação e erram os

procedimentos .......................................................................................... 120

4.4.6 Categoria 6 - Não identificam a operação que resolve o problema,

apenas indicam uma operação, e não a desenvolvem .......................... 136

4.4.7 Categoria 7 - Indicam apenas o resultado e acertam ............................ 136

4.5 Considerações sobre análise do primeiro instrumento ........................ 138

4.7 Considerações sobre a análise do terceiro instrumento ...................... 145

4.8 Considerações sobre a análise do quarto instrumento ........................ 147

4.9 Algumas considerações sobre o capítulo .............................................. 148

CAPÍTULO 5 – CONSIDERAÇÕES E CONTRIBUIÇÕES SOBRE O ENSINO

E A APRENDIZAGEM DAS OPERAÇÕES DO CAMPO

MULTIPLICATIVO ....................................................................... 151

5.1 Caminhos da investigação: do desenvolvimento da pesquisa aos

resultados encontrados ........................................................................... 151

5.2 Considerações finais: indicativos e contribuições para o cenário

da pesquisa ............................................................................................... 154

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 159

ANEXOS ................................................................................................................. 162

19

CAPÍTULO 1 – CONTEXTO DA PESQUISA, PROBLEMÁTICA E

METODOLOGIA

Neste capítulo apresentaremos nossos motivos pela escolha do tema, bem

como o contexto em que esta pesquisa está inserida. Explicitaremos nossa

problemática de pesquisa e a metodologia empregada a fim de realizar nossa

investigação.

1.1 Sobre a escolha do tema

Neste tópico, em especial, escreverei na primeira pessoa do singular por

tratar-se de minha trajetória profissional e de constatações pessoais que tenho feito

durante minha atuação como docente.

A presente pesquisa evidencia em seu contexto o trabalho com as

operações de multiplicação e divisão de números naturais, tendo como enfoque as

aprendizagens e dificuldades reveladas por alunos do 5º ano do Ensino

Fundamental de uma escola pública da cidade de São Paulo.

A escolha do tema gerador da pesquisa justifica-se a partir de minha prática

profissional como docente da disciplina de Matemática no Ensino Fundamental, em

que tenho observado que muitos alunos de 6º a 9º ano apresentam dificuldades para

resolver situações que requerem a utilização da operação de divisão e não

reconhecem esta como uma operação inversa da multiplicação. Na convivência com

outros professores e colegas de trabalho, percebi também que alguns acreditam que

ao chegarem ao 6º ano os alunos já possuem construído completamente o sentido

dessa operação, e inclusive do trabalho procedimental dos algoritmos1 que a

envolvem.

Em 2009, fui contratada pela rede estadual de ensino da cidade de

Caraguatatuba, litoral norte de São Paulo, e iniciei minha atuação docente

1 Algoritmos: consideramos como algoritmo a disposição formal de uma operação. Também podemos nos apoiar

em MENDONÇA (1996), ao definir algoritmos como sendo uma sequência de passos pré-estabelecidos, que, se

seguidos, podem levar ao sucesso de uma tarefa.

20

ministrando aulas para o 6º ano do Ensino Fundamental. A partir deste momento as

dificuldades reveladas pelos alunos em relação ao trabalho com a operação de

divisão passaram a chamar minha atenção.

Em 2010 e durante o 1º semestre de 2011 ministrei aulas do Projeto

Recuperação Paralela na rede estadual de ensino da cidade de Caraguatatuba, e os

próprios alunos relatavam que a operação a qual possuíam mais dúvidas era a

divisão. Esta constatação ficou evidente ao longo das aulas ao observar como os

alunos desenvolviam as tarefas propostas.

No 2º semestre de 2011, ingressei como professora efetiva da rede pública

municipal de ensino de Caraguatatuba, em que tive a oportunidade de trabalhar com

alunos de 4º ao 7º ano no Projeto Recuperação, e também pude observar que

dentre as operações matemáticas fundamentais, as maiores dificuldades de

aprendizagem encontravam-se durante a realização da operação de divisão.

É interessante ressaltar que, indiferentemente da série observada, as

dificuldades de aprendizagem eram semelhantes, em que os alunos demonstravam

não compreender o procedimento para a realização desta operação em que

tratamos em nosso estudo.

Com base nas constatações realizadas em minha trajetória como docente, a

questão da dificuldade dos alunos em relação à operação de divisão passou a ser

uma preocupação para mim enquanto professora de Matemática; e por isso busquei

aprofundar meus conhecimentos para poder entender as questões que envolvem o

trabalho com essa operação. Em busca de respostas, iniciei em 2011 meus estudos

no Programa de Pós Graduação da Universidade Cruzeiro do Sul, no curso de

Mestrado Profissionalizante em Ensino de Ciências e Matemática.

No decorrer de meus estudos no Mestrado e por intermédio de minha

orientadora passei a participar do Projeto Prova Brasil de Matemática: revelações e

possibilidades de avanços nos saberes de alunos de 4ª série/5º ano e indicativos

para formação de professores, que possui financiamento da Capes2 e tem

coordenação da Profa Dra Edda Curi. Embora não seja bolsista do projeto, ressalto

que este me proporcionou um novo olhar acerca do ensino da Matemática, trazendo

2 Capes: Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior.

21

novas inquietações quanto a minha preocupação em relação aos problemas de

aprendizagem de meus alunos.

Para melhor compreensão desta pesquisa passamos na sequencia a

explicitar o contexto em que ocorre o Projeto de Pesquisa acima mencionado, uma

vez que, o entendimento deste contexto é indispensável ao leitor, pois nossa

pesquisa de campo se desenvolve a partir das ações realizadas pelo grupo em sala

de aula.

1.2 Sobre o Projeto Prova Brasil de Matemática: revelações e possibilidades

de avanços nos saberes de alunos de 4ª série/5º ano e indicativos para

formação de professores e suas contribuições para o estudo

O Projeto Prova Brasil de Matemática: revelações e possibilidades de

avanços nos saberes de alunos de 4ª série/5º ano e indicativos para formação de

professores é desenvolvido no âmbito do Projeto Observatório da Educação e como

mencionamos anteriormente tem financiamento da Capes. Este Projeto de Pesquisa

tem sido desenvolvido na Universidade Cruzeiro do Sul, e como mencionamos

anteriormente sob a coordenação da Profa Dra. Edda Curi. Na instituição ele está

alocado na linha de pesquisa de Elementos e Metodologia do Ensino da Matemática

do Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. Este projeto

é oriundo dos trabalhos desenvolvidos pelo grupo de pesquisa CCPPM

(Conhecimentos, Crenças e Práticas de Professores que ensinam Matemática) da

mesma universidade, e também liderado pela pesquisadora Dra Edda Curi, docente

e coordenadora do Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e

Matemática.

O grupo que está envolvido no projeto é constituído por atores de segmentos

distintos sendo 6 professoras da rede pública de ensino de São Paulo que atuam

nos anos iniciais do Ensino Fundamental, 6 alunos do curso de Pedagogia da

Universidade, 3 mestrandos e 3 doutorandos do Programa de Pós Graduação em

Ensino de Ciências e Matemática. Faz-se necessário destacar sobre essa

constituição que, desde o início do projeto, houve a ampliação do número de

participantes no presente grupo colaborativo.

22

Segundo Curi (2010) o objetivo do Projeto de Pesquisa é utilizar a base de

dados existentes no Inep3 sobre aprendizagem matemática, revelada na Prova

Brasil, pelos alunos de 4ª série/5º ano das escolas envolvidas, buscando indícios

para melhoria da qualidade do ensino de Matemática nos anos iniciais do Ensino

Fundamental e indicativos para a formação de professores que atuam nesse

segmento.

O desenvolvimento deste Projeto de Pesquisa visa fortalecer as relações

entre pesquisas acadêmicas e a prática em sala de aula na educação básica,

relações essas que sabemos não serem comuns no cotidiano das escolas.

Ao fazer a leitura do projeto na integra é possível perceber que a proposta

de Curi (2010) para a postura assumida pelo grupo no Projeto de Pesquisa é a de

um professor como sujeito competente e ativo e não apenas a de um aplicador de

currículos formulados e prontos, em que o professor é considerado um pesquisador

em educação, desenvolvendo conhecimentos na ação e protagonizando sua própria

prática. Para isto, consideramos relevantes alguns aspectos da pesquisa que

favorecem o desenvolvimento profissional do professor, destacando o trabalho

colaborativo e coletivo entre pesquisadores e professores vinculados às escolas

públicas; a articulação entre a pesquisa, a formação docente e a prática pedagógica,

a busca de novas experiências didáticas, na universidade, na escola, durante a

participação do processo coletivo de criação e análise de atividades, bem como por

meio de uma reflexão destas experiências.

O grupo reúne-se a cada quinze dias na Universidade Cruzeiro do Sul e

baseia-se fundamentalmente no “ouvir” a prática das professoras, bem como suas

experiências e dificuldades encontradas no âmbito pedagógico, onde a partir disso

realiza-se uma reflexão coletiva, partilhada em uma dimensão colaborativa,

buscando solucionar problemas complexos que visivelmente são de difícil solução.

Nos encontros do grupo são utilizados como recursos para organização dos

dados de pesquisa os cadernos de registros das professoras, as atas de memórias

do grupo e as anotações individuais realizadas pelos pesquisadores. Para a

organização das discussões colaborativas e aprofundamento dos temas do ensino

3 Inep: Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais.

23

de Matemática são utilizados subsídios, como leitura de textos e apresentações de

pesquisas e embasamentos teóricos.

No primeiro encontro realizado ocorreu a apresentação do projeto aos

integrantes do grupo, e sobre quais são os procedimentos para realizar uma análise

de dados coletados na pesquisa. A intenção é aproximar o meio acadêmico ao

cenário escolar, evidenciando que pesquisas também podem ser desenvolvidas por

professores em sala de aula.

Em relação às análises realizadas pelo grupo de pesquisa, estas tiveram

início a partir do confronto dos descritores de avaliação da Matriz de Avaliação da

Prova Brasil com os documentos curriculares oficiais da rede municipal e estadual

de São Paulo.

O Sistema de Numeração Decimal foi o primeiro conteúdo trabalhado pelo

grupo de pesquisa, em que durante os encontros as professoras contavam como

desenvolviam o trabalho com seus alunos sobre este conteúdo. Alguns encontros

foram destinados ao trabalho por meio de atividades com a utilização da calculadora

e a decomposição de números.

Posteriormente ao trabalho com o Sistema de Numeração Decimal, realizou-

se no grupo um estudo das Expectativas de Aprendizagem do 1° ao 5° ano, em que

foi possível realizar uma reflexão acerca do ensino deste conteúdo nos anos iniciais,

verificando o que se espera a partir das orientações contidas no documento

analisado e como isso vem se concretizando ou não em sala de aula.

Após essa reflexão, o grupo realizou um trabalho focando os descritores do

Sistema de Numeração Decimal do SAEB4, em que ocorreu a verificação de

algumas questões em relação aos prováveis erros cometidos pelos alunos,

provocando deste modo uma nova reflexão, desta vez acerca das ideias contidas

nessas questões, que poderiam estar implicando nos erros observados em sala de

aula pelas professoras.

Em um segundo momento, o grupo iniciou o estudo das operações com

base na abordagem de Gerárd Vergnaud (1983, 1987, 1994, 1991, 1996, 1998,

4 SAEB: Sistema de Avaliação da Educação Básica.

24

2009, 2012) sobre a Teoria dos Campos Conceituais. Primeiramente foi realizada

uma apresentação sobre as questões que norteiam o campo aditivo, no qual estão

inseridas as operações de adição e subtração.

Após uma análise das categorias elaboradas por Vergnaud (1983, 1987,

1994, 1991, 1996, 1998, 2009, 2012) sobre este campo conceitual, o grupo elaborou

problemas conforme as categorias verificadas e com isso as professoras da rede

pública de São Paulo puderam realizar as aplicações das atividades com seus

alunos. Os protocolos das atividades realizadas foram trazidos para o grupo, e a

partir das análises puderam ser verificadas as dificuldades e aprendizagens dos

alunos acerca destas operações, o que nos possibilitou a reflexão sobre algumas

estratégias que possam vir a auxiliar o ensino e a aprendizagem de tais operações.

Posteriormente ao trabalho com o campo aditivo, o grupo passou aos

estudos do campo multiplicativo, também fundamentado por Gerárd Vergnaud

(1983,1991, 1994). O campo multiplicativo envolve as operações de multiplicação e

divisão. É nesta etapa do projeto que se dá o desenvolvimento de nossa pesquisa.

1.3 Problemática da Pesquisa

Diante de minhas observações pessoais acerca das dificuldades reveladas

pelos alunos para a resolução de problemas que contemplam a ideia da operação

de divisão e motivada pelas reflexões realizadas no grupo de pesquisa, procurei a

partir deste estudo, analisar como os alunos de 5° ano do Ensino Fundamental

demonstram seus conhecimentos em relação às operações que compõem o campo

multiplicativo, buscando evidenciar os indícios de compreensão por eles revelados.

Dificuldades estas que por nossa prática docente percebemos que estão se

estendendo e se agravando pelos demais anos de escolarização; e que acabam por

prejudicar o processo de aprendizagem de alunos em relação a outros conteúdos

matemáticos que requerem a apropriação das operações de multiplicação e divisão

para que possam ser entendidos pelos alunos.

Dentre os aportes teóricos utilizados em nosso trabalho, apoiamos nos

estudos de Gerárd Vergnaud (1983, 1987, 1991, 1994, 1996, 1998, 2009, 2012)

sobre os Campos Conceituais no que se refere às estruturas multiplicativas.Este

25

referencial teórico foi escolhido porque possibilita uma visão articulada em relação

ao ensino das operações de multiplicação e divisão, e também devido à construção

de conceitos em relação às operações.

Optamos por enfatizar como foco de pesquisa esta visão articulada entre as

duas operações pelo fato de que muitas vezes, para a resolução de um problema

que envolve a ideia da operação de divisão, o aluno pode realizar um procedimento

de raciocínio em que seja utilizada a ideia de multiplicação para se chegar à

resposta, o que torna necessário também o aprofundamento de uma investigação

sobre como os alunos tem se apropriado das ideias pertencentes a esta operação, a

partir do momento em que priorizaremos um trabalho em que cada operação não

seja abordada de forma estanque, mas sim articulada com outra operação que

possa ampliar e contribuir para a aprendizagem dos alunos.

Com base no que foi exposto até o momento, elaboramos as seguintes

questões de pesquisa:

Quais as interpretações demonstradas por alunos do 5° ano ao

resolverem problemas do Campo Multiplicativo?

Quais os indícios de compreensão revelados por alunos do 5° ano em

relação às estruturas multiplicativas?

Para responder nossas questões de pesquisa, centraremos este trabalho em

uma investigação acerca dos protocolos de alunos de 5° ano com suas respectivas

resoluções quanto a problemas envolvendo questões pertencentes ao Campo

Conceitual das Estruturas Multiplicativas de Gerárd Vergnaud, buscando revelar

facilidades e dificuldades percebidas quanto à identificação destas operações;

buscando também verificar como alunos nesta fase de escolarização têm

institucionalizado estas operações.

1.4 Metodologia de Pesquisa

Utilizaremos para esta investigação uma organização de trabalho baseada

em um método de pesquisa qualitativa. De acordo com Goldenberg (2007), os

26

métodos qualitativos de pesquisa permitem enfatizar as particularidades de um

fenômeno em termos de seu significado para o grupo pesquisado. Ainda segundo a

autora, esse tipo de pesquisa pode possibilitar uma melhor compreensão do

significado e uma descrição densa dos fenômenos estudados em seus contextos e

não à sua expressividade numérica.

Creswell (2010) define alguns procedimentos que podem auxiliar a

caracterizar uma pesquisa qualitativa, dentre os quais encontramos os

procedimentos a serem utilizados em nosso estudo:

A amostragem intencional, a coleta de dados abertos, a análise de textos ou de imagens, a representação de informações em figuras e em quadros e a interpretação pessoal dos achados informam procedimentos qualitativos. (CRESWELL, 2010, p.21)

O autor afirma que esse tipo de investigação utiliza a análise dos dados

construída de modo indutivo, por meio das particularidades e das interpretações

feitas pelo pesquisador sobre o significado dos dados.

Nossa investigação será feita a partir da análise de uma única escola

participante do grupo de pesquisa já mencionado anteriormente. Nossa análise

constará de duas turmas de 5° ano do Ensino Fundamental, com um efetivo de

participação de 57 alunos.

Para a realização de nossa análise, elaboramos juntamente ao grupo quatro

instrumentos, e obtivemos um total de 206 protocolos, resultando em um total de

722 problemas a serem analisados.

Sobre os dados apresentados referentes à investigação, faz-se necessário

destacarmos que os mesmos foram organizados em inventários por nós elaborados,

no intuito de apresentar previamente um panorama sintetizado referente à

quantidade de dados coletados por meio de cada instrumento dentro de nosso

cenário de pesquisa.

Nossa escolha pelo método qualitativo de pesquisa justifica-se pelo fato de

que os dados coletados serão inicialmente categorizados de acordo com os

procedimentos de resolução utilizados pelos alunos, seguidos de uma análise

qualitativa, em que aprofundaremos dentro de cada categoria nossa observação

27

acerca das particularidades observadas nos protocolos no que se refere à resolução

dos problemas que compõem os instrumentos utilizados em nosso estudo.

Com a utilização da análise qualitativa, pretendemos realizar um minucioso

olhar sobre o material coletado, em que segundo Goldenberg (2007), essa

metodologia permite enxergar a questão sob várias perspectivas, o que nos

possibilitará uma melhor análise e reflexão ao longo da investigação.

Em Flick (2009) também é possível visualizar algumas características

consideradas pelo autor como aspectos essenciais da pesquisa qualitativa:

[...] consistem na escolha adequada de métodos e teorias convenientes; no reconhecimento e na análise de diferentes perspectivas; nas reflexões dos pesquisadores a respeito de suas pesquisas como parte do processo de produção de conhecimento; e na variedade de abordagens e métodos. (FLICK, 2009, p.23)

Tais aspetos ajudam a reforçar nossa escolha pela metodologia qualitativa,

na qual utilizaremos como técnica de investigação a análise documental, definidos

por Lüdke e André (1986), como uma técnica valiosa de abordagem de dados

qualitativos. As autoras afirmam que os documentos são uma fonte de em que

podem ser retiradas evidências que possam fundamentar as afirmações e

declarações do pesquisador, defendendo também que a análise documental indica

problemas que devem ser mais bem explorados por meio de outros métodos.

Ainda referindo-se ao procedimento de pesquisa documental, ressaltamos a

abordagem feita por Sá-Silva, Almeida e Guindani (2009), onde defendem que:

Quando um pesquisador utiliza documentos objetivando extrair informações, ele o faz investigando, examinando, usando técnicas apropriadas para seu manuseio e análise; segue etapas e procedimentos; organiza informações a serem categorizadas e posteriormente analisadas; por fim, elabora sínteses, ou seja, na realidade, as ações dos investigadores – cujos objetos são documentos – estão impregnadas de aspectos metodológicos, técnicos e analíticos (SÁ-SILVA; ALMEIDA; GUINDANI, 2009, p. 4).

A partir dessa citação, é possível perceber que nosso tipo de investigação

também tem suas origens fundamentadas na pesquisa documental, onde

realizaremos uma análise acerca dos procedimentos e resultados desenvolvidos

pelos alunos, sendo estes considerados documentos, que são definidos segundo

Philips (1974) como “quaisquer materiais escritos que possam ser usados como

fonte de informação sobre o comportamento humano” (PHILIPS, 1974, p. 187).

28

É importante ressaltar acerca dessa definição, que um documento não se

define apenas por materiais escritos. Em Appolinário (2009), podemos encontrar

uma definição mais ampla de documento:

Qualquer suporte que contenha informação registrada, formando uma unidade, que possa servir para consulta, estudo ou prova. Incluem-se nesse universo os impressos, os manuscritos, os registros audiovisuais e sonoros, as imagens, entre outros. (APPOLINÁRIO, 2009, p. 67)

Diante dessas considerações, podemos então classificar como técnica

metodológica complementar de nossa investigação a pesquisa documental, em que

se caracteriza como um subsídio essencial para a concretização do presente estudo,

possibilitando-nos uma riqueza de informações que auxiliarão em nossa análise.

Como já mencionado anteriormente, para a realização de nossa coleta de

dados, elaboramos conjuntamente ao grupo colaborativo quatro instrumentos de

investigação, abordando diferentes grupos de problemas de acordo com a

categorização de Gerárd Vergnaud, em relação ao campo conceitual das estruturas

multiplicativas.

O primeiro instrumento (anexo A) é composto por três problemas que

contemplam a ideia “um a muitos”, pertencentes à classe de problemas isomorfismo

de medidas.

O segundo instrumento (anexo B) é composto por quatro problemas,

contemplando a ideia “muitos a muitos”, também pertencentes à classe de

problemas isomorfismo de medidas.

O terceiro instrumento (anexo C) é composto por três problemas, que

contemplam a ideia de “configuração retangular”, pertencentes à classe de

problemas produto de medidas.

O quarto e último instrumento (anexo D) de nossa investigação é composto

por dois problemas que contemplam a ideia de “combinatória”, também pertencentes

à classe de problemas produto de medidas.

O objetivo desses instrumentos foi o de verificar os procedimentos utilizados

pelos alunos para solucionar problemas referentes às estruturas multiplicativas,

29

analisando se eles identificam ou não a ideia envolvida e como demonstram suas

resoluções em cada um deles.

Para a estruturação da pesquisa, dividimos nosso trabalho em cinco

capítulos, sobre os quais apresentamos resumidamente a seguir as abordagens

enfatizadas em cada um deles.

No capítulo 1, intitulado “Contexto da pesquisa, problemática e metodologia”,

relatamos sobre nossa escolha pelo tema, bem como situamos o contexto em que

se insere a nossa pesquisa e como foram coletados nossos dados. Apresentamos

também nossas questões de pesquisa, e a metodologia utilizada para nossa

investigação.

No capítulo 2, apresentamos um quadro teórico, a partir de uma revisão

bibliográfica em que destacamos alguns autores que abordam os problemas de

multiplicação e divisão nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Este capítulo tem

por objetivo enfatizar o que tem sido discutido sobre esta temática no meio

acadêmico, além de subsidiar e fundamentar nossas análises.

No capítulo 3, realizamos uma abordagem sobre a Teoria dos Campos

Conceituais, do psicólogo francês Gerárd Vergnaud, onde aprofundamos nossos

estudos especificamente no Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas, ao

qual pertencem os problemas que envolvem uma operação de multiplicação ou

divisão, fundamentando a elaboração de nossos instrumentos de pesquisa e

também nossa análise.

No capítulo 4, fazemos uma abordagem sobre nossa pesquisa de campo,

que foi realizada a partir das atividades dos alunos realizadas em sala de aula pelas

professoras participantes do projeto. Estas atividades são constituídas por

problemas referentes às ideias associadas ao Campo Multiplicativo, elaborados no

âmbito do projeto pelos participantes. Apresentamos também nesse capítulo as

análises dos instrumentos pesquisados, a partir dos protocolos com os

procedimentos de resolução registrados pelos alunos, enfatizando as possíveis

facilidades e dificuldades encontradas pelos alunos durante a realização das

atividades.

30

No capítulo 5, último de nossa pesquisa, apontamos algumas contribuições

para o trabalho com as estruturas multiplicativas paralelamente às nossas

considerações finais sobre o estudo, em que apresentamos os resultados

encontrados a partir da análise, bem como nossas reflexões quanto às questões de

pesquisa que nos propusemos inicialmente a responder.

31

CAPÍTULO 2 – O ENSINO DAS OPERAÇÕES DE MULTIPLICAÇÃO

E DIVISÃO NOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL

Neste capítulo apresentamos um quadro teórico composto por diferentes

concepções de autores que abordam as operações de multiplicação e divisão,

buscando relevar o que se tem discutido em relação a estas operações em se

tratando do processo de ensino e aprendizagem, no intuito de subsidiar nossas

análises. Este levantamento nos motiva a realizar nossos estudos sobre o tema

objetivando ampliar as contribuições nesta área. Paralelamente a essa abordagem,

realizamos um enfoque sobre algumas discussões existentes sobre os

procedimentos de resolução utilizados pelos alunos. Também apresentamos as

indicações curriculares oficiais para o ensino das operações de multiplicação e

divisão, por meio dos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997).

2.1 Alguns autores que discutem as operações de multiplicação e divisão

nos anos iniciais do Ensino Fundamental

Nunes et al. (2009) atentam para o fato de que comumente a operação de

multiplicação é vista e ensinada como uma adição repetida de parcelas iguais,

conceito este que, segundo os autores, pode ser questionado quando analisamos as

operações do ponto de vista conceitual, em que nota-se uma diferença relevante

entre o raciocínio aditivo e o raciocínio multiplicativo.

Com base nos estudos de Nunes et al. (2009), podemos afirmar que, ao

raciocínio aditivo pertencem as situações em que predominam a ideia onde o todo é

igual à soma das partes. Já ao raciocínio multiplicativo, pertencem as situações

onde existe uma relação fixa entre duas grandezas, variáveis ou quantidades:

Quando resolvemos um problema de raciocínio aditivo, estamos sempre deduzindo algo que está baseado na relação parte-todo. Ao resolver problemas de raciocínio multiplicativo, estamos buscando um valor numa variável que corresponda a um valor dado na outra variável. A relação constante entre as duas variáveis é que possibilita a dedução na resolução de problemas de raciocínio multiplicativo. (NUNES, et al., 2009, p. 85)

32

A partir da ideia sobre as distinções apontadas pelos autores, é possível

percebermos claramente a diferença significativa entre os dois raciocínios aqui

abordados, o que torna necessário a realização de uma proposta de ensino onde

sejam explicitadas as diferenças existentes entre essas operações, a fim de

proporcionar uma real compreensão de todas as ideias que compõem essas

operações, onde poderão ser notadas relações existentes, por exemplo, entre as

operações de multiplicação e divisão.

Outra importante observação apontada por Nunes et al. (2009) sobre o

ensino das operações de multiplicação e também de divisão é a de que o ensino

destas operações se inicia de forma tardia, por volta da segunda ou terceira série (

atual 3° e 4° ano do Ensino Fundamental ), sendo que seu desenvolvimento já

poderia ter início na primeira série ( atual 2° ano do Ensino Fundamental ), em que o

raciocínio multiplicativo já poderia ser aproveitado a partir de problemas em que os

alunos consigam resolver de modo prático, utilizando esquemas de ação por meio

da correspondência um a muitos, quando o problema é de multiplicação, ou por

meio do esquema da distribuição equitativa, em problemas que envolvem a

operação de divisão.

Mendes e Delgado (2008) apoiam-se nas ideias de Treffers e Buys (2001) e

Fosnot e Dolk (2001) ao afirmarem que os alunos desenvolvem o conceito de

multiplicação por meio de situações cotidianas, a partir do momento em que estas

situações dão sentido às suas ações, construindo a ideia do significado da

multiplicação e suas diferentes formas de resolução.

Treffers e Buys (2001) e Fosnot e Dolk (2001) (apud MENDES; DELGADO,

2008, p. 161) apresentam a seguinte tabela acerca dos conteúdos principais que

possuem relação com o desenvolvimento do sentido da multiplicação.

33

Tabela 1 – Conteúdos relacionados com o desenvolvimento do sentido da multiplicação

Fonte: Mendes; Delgado, 2008, p. 161

A tabela apresentada possibilita uma clara visualização dos conteúdos de

situações cotidianas bem como o sentido associado à multiplicação que este

contexto está contemplando. Também é possível a partir da leitura da tabela

observarmos quais os procedimentos de cálculo que envolvem cada sentido, as

propriedades utilizadas durante o cálculo, seguidas de sugestões de modelos para

sua estruturação e esquematização.

34

Com base nos estudos de Treffers e Buys (2001) e Fosnot e Dolk (2001),

Mendes e Delgado (2008) acreditam na existência de três níveis de aprendizagem

na multiplicação: cálculo por contagem, cálculo estruturado e cálculo formal.

No cálculo por contagem, considerado pelas autoras o primeiro nível da

multiplicação, o uso da multiplicação como operação não é explícito. Nesse nível o

aluno adiciona para multiplicar, utilizando de estratégias e procedimentos como as

adições repetidas.

No cálculo estruturado, o uso da multiplicação como operação está explícito,

o aluno utiliza estruturas adequadas para multiplicar, utilizando-se ainda de modelos

de apoio ao cálculo.

No cálculo formal, é explícito o uso da multiplicação como operação, em que

o aluno realiza o cálculo do produto entre dois números e recorre às relações entre a

multiplicação e as outras operações, utilizando propriedades adequadas da

multiplicação. Esse nível não corresponde ao trabalho com o algoritmo, mas os

alunos já se apropriam das propriedades e utilizam de valores conhecidos das

tabuadas para a realização de outros produtos, pensando em um nível puramente

numérico.

Outra situação enriquecedora para a aprendizagem da multiplicação

apresentada por Treffers e Buys (2001, apud MENDES; DELGADO, 2008, p. 166)

refere-se à contextualização dos conteúdos, em que os autores defendem a

necessidade da exploração de contextos adequados.

Para Fosnot e Dolk (2001, apud MENDES; DELGADO, 2008, p. 166) os

contextos devem ser compostos por três componentes, sendo eles:

- Permitir o uso de modelos: as tarefas podem conter imagens ou situações que

propiciem aos alunos a utilização de um modelo, em que os autores defendem que

utilizar um mesmo modelo em situações diferentes permite a generalização do

mesmo, e isto pode facilitar seu uso.

- Fazer sentido: o contexto deve possibilitar sua análise e razoabilidade, em que o

aluno possa compreender as ações realizadas, estruturando seu raciocínio e

estabelecendo relações que façam sentido a ele.

35

- Criarem surpresa e suscitarem questões: o contexto deve permitir questões como

‘Por que isto acontece?’ ‘E o que acontece se?’. Segundo os autores esses

contextos podem originar outros bons problemas matemáticos, permitindo a

explicação do que está acontecendo.

Com base nos componentes apresentados, Mendes e Delgado (2008)

apontam algumas sugestões para a escolha dos contextos a serem explorados:

Considerando as ideias e razões apresentadas o professor deverá, ao construir ou selecionar problemas, diversificar os contextos, de modo a permitir que os alunos vão construindo gradualmente as bases conceptuais da multiplicação. Estas relacionam-se com a compreensão da ineficácia da contagem um a um e da passagem para a contagem por ‘grupos’, assim como das propriedades distributiva, associativa e comutativa desta operação. Em síntese, o professor deverá construir/ seleccionar contextos que incluam situações que possam ser matematizadas pelos alunos.(MENDES; DELGADO,2008, p.167)

Diante do exposto nesta citação, é possível percebermos a importância da

escolha de um bom contexto para a elaboração de um problema matemático,

contexto este que deverá permitir ao aluno “visualizar” e compreender a situação

inserida. Esta seria uma sugestão bastante eficaz para auxiliar na compreensão das

propriedades contempladas pela operação de multiplicação.

Rocha e Menino (2008) fazem uma interessante abordagem sobre a

operação de divisão e sua aprendizagem, em que também se apoiam nos estudos

de Treffers e Buys (2001) e Fosnot e Dolk (2001), afirmando que a resolução de

problemas que envolvem a ideia de divisão pode ser feita pela utilização de

conhecimentos relacionados à multiplicação, onde a aprendizagem das duas

operações ocorre em uma estreita relação. Os autores também defendem que, por

meio da utilização de problemas que contemplam a disposição retangular, esta

relação fica clara, mostrando a divisão como operação inversa da multiplicação.

Para Rocha e Menino (2008), os problemas que envolvem situações de

divisão podem ser classificados em divisão como partilha e divisão como medida.

Na primeira situação (divisão como partilha) uma quantidade deve ser

repartida igualmente por um dado número de receptores a fim de determinar a

quantidade que ficará em cada receptor.

36

Queremos distribuir igualmente 24 pessoas por 6 mesas. Quantas pessoas ficam em

cada mesa?

Figura 1 - Divisão como partilha Fonte: Rocha e Menino, 2008, p. 184

Na segunda situação (divisão como medida) são dados o número total de

objetos a repartir e o número de objetos em cada grupo a fim de determinar o

número de grupos a serem formados.

Queremos distribuir 24 pessoas, sendo que em cada mesa, sendo que em cada

mesa ficam 6 pessoas. Quantas mesas são necessárias?

Figura 2 - Divisão como medida Fonte: Rocha e Menino, 2008, p. 184

Segundo os autores, normalmente o estudo da divisão é iniciado pelos

professores a partir de situações de partilha, por entenderem que a partilha envolve

ideias cotidianas e por esse motivo é familiar ao aluno; mas é necessário que os

alunos percebam que a ideia de divisão não está relacionada unicamente a esta

situação, já que nesta situação os alunos costumam distribuir um a um, e esta

estratégia não é adequada para números grandes. Os autores também defendem

que o professor deve criar um ambiente de aprendizagem que propicie aos alunos o

desenvolvimento da predisposição para a Matemática, por meio da valorização de

estratégias informais de resolução de problemas até que seja possível a realização

de um cálculo formal. Nesse âmbito, espera-se também que o aluno perceba as

relações e propriedades da divisão, propiciando estratégias de cálculo mental5.

Sobre a operação de divisão, Saiz (1996) destaca a ideia de que os métodos

utilizados por antepassados para realizá-la eram numerosos, longos e confusos;

características estas que classificavam a divisão durante a antiguidade como uma

5 Cálculo mental: não é objetivo dessa pesquisa realizar uma discussão acerca do conceito de cálculo mental,

porém há de se tomar cuidado ao definir este procedimento. Tratam-se de estratégias pessoais que requerem

registro. Muitas vezes ocorre um equívoco entre a definição de cálculo mental e a de cálculo automatizado

(automático). PARRA (1996) define cálculo mental por um conjunto de procedimentos em que, uma vez

analisados os dados a serem tratados, estes se articulam, sem recorrer a um algoritmo pré-estabelecido para obter

resultados exatos ou aproximados. A autora esclarece também que a concepção de cálculo mental não exclui a

utilização de papel e lápis.

37

operação onde só os homens sábios sabiam dividir, já que para tal processo era

necessário um “talento especial”, inalcançável por homens comuns.

O conceito essencial de divisão partia de um divisor inteiro que estaria

contido um número inteiro de vezes em um dividendo inteiro, resultando em um

quociente inteiro que poderia ter como resto um número inteiro ou não; e quando

este não era inteiro suas implicações eram suprimidas, fato que contribuiu para a

idealização da divisão como uma operação complexa e muitas vezes abstrata.

O processo de divisão comumente utilizado nas nossas escolas é conhecido

por algoritmo da divisão pelo processo breve, método que comparado aos

algoritmos anteriormente utilizados (como por exemplo o algoritmo da divisão pelo

processo longo), é considerado um método eficaz e rápido, que pode ser utilizado

para todos os números.

Dentre os algoritmos das operações matemáticas fundamentais, o algoritmo

da divisão pelo processo breve; apesar de muito preciso, possui grandes chances de

resultar em dificuldades durante o processo de assimilação e aprendizagem do

aluno.

Um importante fator a ser evidenciado no registro do algoritmo da divisão

pelo processo breve, deve-se ao fato de que, como a subtração registrada “pula”

etapas (o subtraendo não é registrado na operação), é necessário que o educando

compreenda o processo de tal forma que a significação do algoritmo não seja

perdida e seja possível operar mentalmente com o termo implícito; pois quando um

algoritmo é trabalhado mecanicamente, certamente o aluno não sentirá a

necessidade de encontrar novos procedimentos para uma melhor compreensão de

todas as etapas que envolvem uma determinada operação.

As figuras 3 e 4 exemplificam o processo longo e o processo breve de

divisão segundo Toledo e Toledo (2009).

38

Figura 3 - Processo longo da divisão Fonte: Toledo; Toledo, 2009, p. 150

Figura 4 - Processo breve da divisão Fonte: Toledo; Toledo, 2009, p. 150

Ao analisarmos as figuras 3 e 4, podemos perceber as diferenças de

representação entre os dois processos, em que no processo longo visualizamos a

subtração completa e o produto do quociente pelo divisor e no processo breve

somente é representado o resultado da subtração entre o dividendo e o produto do

quociente pelo divisor.

Sobre o ensino dos algoritmos, Toledo e Toledo (2009) afirmam que não há

diferença que o aluno utilize um algoritmo ou outro, mas é necessário que

compreenda o que está fazendo. Os autores completam que:

Do ponto de vista pedagógico, talvez seja melhor iniciar o trabalho com divisão pelo processo longo, que permite aos alunos conhecerem, passo a passo, os procedimentos que se apresentam resumidos no processo breve. Obviamente, o cálculo por aproximação, que caracteriza este último, é muito eficiente, mas é importante que os alunos o tenham incorporado de maneira consistente. (TOLEDO; TOLEDO, 2009, p.150)

Esta abordagem ajuda a reforçar a ideia de que, para que um algoritmo

resumido seja favorável ao aprendizado, é necessário que este seja aplicado

somente após o aluno compreender significativamente cada procedimento envolvido

no calculo em questão ou certamente esta representação poderá trazer obstáculos

durante a aprendizagem do educando. A este respeito Charnay (1996) esclarece

que:

[...] um dos desafios essenciais (e ao mesmo tempo uma das dificuldades principais) do ensino da matemática, é precisamente que o que se ensine esteja carregado de significado, tenha sentido para o aluno ... a construção da significação de um conhecimento deve ser considerada em dois níveis:

39

um nível “externo”, qual é o campo de utilização deste conhecimento, e quais são os limites desse campo? ... um nível “interno”, como e por que funciona tal ferramenta? [...] (CHARNAY,1996, p. 37-38)

Com base nas considerações de Charnay (1996), podemos constatar que,

para facilitar a aprendizagem da Matemática, faz-se necessário um ensino que vise

a articulação dos saberes a serem ensinados aos saberes presentes na estrutura

cognitiva do aluno, onde este então passe a estabelecer uma relação de

significação, que auxiliará em seu processo de compreensão do novo conhecimento.

Vislumbramos ser a partir dessa articulação o que leva o aluno a utilizar os

conhecimentos aprendidos até mesmo em situações distintas daquelas trabalhadas

em sala de aula.

Thompson (1999) (apud BROCARDO; SERRAZINA, 2008, p. 102) considera

três categorias de algoritmos escritos: standard e formal, não standard e formal, e

não standard e informal.

Na categoria standard e formal, encontram-se os algoritmos tradicionais das

operações, em que a representação é escrita na forma vertical.

Na categoria não standard e formal, são encontrados procedimentos com

representações verticais em que as operações são realizadas sobre as

decomposições, dos números.

À categoria não standard e informal, pertencem um amplo conjunto de

procedimentos não convencionais. Podemos observar o exemplo de alguns desses

procedimentos em Brocardo e Serrazina (2008), como ilustra a figura a seguir.

Figura 5 - Categoria não standard e informal Fonte: Brocardo e Serrazina, 2008, p. 103

40

Brocardo e Serrazina (2008) afirmam que os algoritmos devem ser resultado

de um trabalho focado no desenvolvimento do sentido do número:

É importante acompanhar a tendência natural de desenvolvimento de procedimentos de cálculo e ligar estruturalmente o desenvolvimento de métodos e de técnicas de cálculo à construção dos números, da sua estruturação e à reconstrução do nosso sistema de numeração de posição. Finalmente, é fundamental que a aprendizagem dos algoritmos possa surgir deste processo dando a possibilidade aos alunos de aperfeiçoar o seu sentido do número no contexto do cálculo algorítmico. (BROCARDO; SERRAZINA, 2008, p. 106)

Treffers, Noteboom e Goeij (2001) (apud BROCARDO; SERRAZINA, 2008,

p. 103) consideram o algoritmo uma extensão natural e a fase final do cálculo em

coluna e do cálculo mental e afirmam também que quando as crianças automatizam

esses procedimentos, desenvolvem formas standard de calcular, que podem não ser

um algoritmo.

Brousseau (1987) afirma que os professores em sua prática escolar acabam

por realizar uma distinção entre as atividades que apontam à aquisição dos saberes

institucionalizados, como algoritmos, definições canônicas ou as propriedades

fundamentais, e as que apontam à compreensão e ao uso desses saberes.

Refletindo acerca dessa afirmação podemos chegar à conclusão de que muitas

vezes essa distinção acaba por prejudicar o processo de aprendizagem do aluno,

em que não há uma preocupação de um ensino de saberes institucionalizados

relacionada à compreensão significativa da operação evidenciada.

Ainda sobre o ensino dos algoritmos, Saiz (1996) afirma que o ensino de

conhecimentos como algoritmos, propriedades ou definições são fáceis de identificar

e organizar em sala de aula, podendo ser descritos e avaliados claramente, onde

são formuladas contas e verifica-se o resultado para avaliar se os alunos “sabem

dividir”. Porém há outro importante fato destacado pela autora que merece atenção,

referente ao reconhecimento de situações de divisão e de significados de conceitos,

onde não é necessário apenas o conhecimento de saberes institucionais, mas

primordialmente a compreensão pelo aluno, para que a aprendizagem dos

algoritmos não elimine a busca da compreensão:

Em geral, o ensino das operações matemáticas está baseado na comunicação de um procedimento de cálculo associado posteriormente a um pequeno universo de problemas que, supõe-se, “darão conta” do significado do conceito. Porém, isolados de seu contexto, os algoritmos se

41

convertem em respostas adquiridas para perguntas futuras a respeito das quais não se sabe muito. Os algoritmos são aprendidos sabendo-se que vão servir para resolver problemas, porém se desconhece de que problemas se trata. (SAIZ, 1996, p. 162)

Com base nessas considerações podemos vislumbrar que, apesar de ser

possível verificar a aprendizagem de um conteúdo por meio dos algoritmos, muitas

vezes essa verificação pode não refletir a realidade, em que duas situações podem

estar ocorrendo:

- O aluno pode realizar corretamente o algoritmo, mas não consegue contextualizar

o seu conhecimento acerca da operação, em que não consegue identificar em uma

determinada situação a ideia requerida para sua resolução, pois está realizando

apenas procedimentos;

- O aluno não consegue realizar o algoritmo convencional, mas realiza um esquema

pessoal que representa corretamente a ideia subentendida na operação, chegando

deste modo ao resultado correto.

Diante dessas situações, podemos constatar que não existe um único

método de verificação das operações, sendo necessário uma analise e reflexão

acerca dos diferentes procedimentos de resolução revelados pelos alunos, já que

por meio do algoritmo podemos verificar que o aluno resolve a operação, mas não

necessariamente verificar se ele atribui e conhece o significado de tal operação.

Nos estudos realizados por Saiz (1996), a autora faz em suas considerações

um levantamento de situações observadas acerca do ensino e aprendizagem do

conteúdo da divisão, às quais consideramos relevantes para observarmos e

verificarmos durante nossas análises:

- Os alunos não atribuem significado aos algoritmos que aplicam, portanto não podem interpretar o que obtiveram nas diferentes etapas do cálculo, em termos do problema formulado; - O algoritmo ensinado aparece como um puro trabalho sobre os números, independente dos dados da situação enunciada; - Eles mostram uma relação superficial com o conhecimento. Colocam distância entre si e a situação formulada, desembocando em ações estereotipadas, puramente didáticas, quer dizer, centradas na situação escolar da aprendizagem, sem mobilização dos esquemas intelectuais próprios que, no entanto, têm a sua disposição; - As crianças carecem de recursos para reconhecer se sua solução é errada ou não. Na realidade não chegam a analisar se o número obtido é o resultado do problema. O quociente obtido pela aplicação do algoritmo nem

42

sempre coincide com o número procurado: a partir dele é necessário proceder a uma escolha levando em conta o problema concreto por resolver; - Tudo isso é provocado por um ensino de resolução de problemas reduzido a “adivinhar” qual é a operação adequada e a aplicar o algoritmo correspondente; - Frequentemente, a partir do discurso do professor – “Que operação fizeram? ou “Você lembra que já fizemos problemas como este...” – se impõe a busca do “método” que se aprendeu e que é necessário aplicar, “método” que se converte em: que operação se tem de fazer ou, qual é a operação se tem de fazer ou, qual é a operação que acabamos de aprender? - A representação da divisão não pode reduzir-se ao conhecimento de uma estratégia de solução acompanhada de um suposto “sentido” ou significado da operação que permita aplicá-la, porém, implica a capacidade de controlar várias estratégias, passando de uma a outra, segundo as circunstâncias; - A resolução dos problemas e, em particular, a utilização de tal procedimento no lugar de outro, dependem do significado que o aluno atribui à situação que lhe é proposta. (SAIZ, 1996, p. 170)

A partir das considerações apresentadas por Saiz (1996), podemos

vislumbrar a importância de um trabalho que priorize o significado não somente da

divisão, mas também das demais operações matemáticas, em que o aluno possa

participar do processo de construção do conhecimento, apoiando-se nas estratégias

adequadas para sua compreensão, que não precisará ser necessariamente um

algoritmo formal. Nesse sentido, entendemos também caber ao professor propiciar

esse ambiente de aprendizagem, onde sejam valorizadas as estratégias pessoais

reveladas pelos alunos.

Ao tratar da utilização de algoritmos em sua pesquisa, Ferreira (2011) apóia-

se nos estudos de Vergnaud para fundamentar sua abordagem, fazendo uma

importante verificação a partir de sua análise:

Vergnaud apud Bittar e Muniz (2009, p. 21) ressalta que “[...] atividade é ao mesmo tempo, repetição e variação”, explicando que mesmo em uma repetição de uma atividade, há um sistema e regras definidas, que são estabelecidas anteriormente através do pensamento. Podemos então pensar que há alunos que utilizam algoritmos matemáticos porque já estabeleceram condições de generalizar um determinado processo e podem se utilizar do mesmo, por causa de sua praticidade. Porém existem outros sujeitos que utilizam um algoritmo matemático sem saber o porquê de cada etapa realizada, uma vez que foram ensinados a somente aplicá-lo sem preocupação com os conceitos embutidos ali (FERREIRA, 2011, p.6).

Com base nos estudos realizados até aqui, partiremos em nosso estudo, de

uma concepção em que os algoritmos não sejam a única forma de representação

dos procedimentos realizados pelos alunos, pois consideramos importante a forma

como estes apresentam seus registros para um determinado problema, mesmo que

43

estes não sejam classificados entre os tradicionais algoritmos matemáticos, que

muitas vezes podem não ser compreendidos pelo aluno dependendo do nível de

aprendizagem em que este se encontra.

Cury (2008) afirma que a análise das produções dos alunos possibilita o

entendimento de como se dá a apropriação do saber pelos mesmos, onde se deve

partir dos erros detectados, utilizando-os como “trampolim para a aprendizagem”, a

partir do momento em que os alunos passam a construir conhecimento por meio dos

questionamentos de suas respostas.

Saiz (1996) também faz uma importante menção sobre algumas estratégias

a serem priorizadas durante o processo de ensino e aprendizagem da divisão,

estratégias estas de suma importância para contribuir com nosso estudo:

Seria necessário conceber situações que permitam dar apoio sobre o que cada aluno sabe realizar no momento em que se inicia a aprendizagem da divisão, e fazer evoluir progressivamente os procedimentos iniciais até outros mais complexos. Temos que permitir que as crianças comprovem seus próprios procedimentos, suas próprias soluções, antes de conhecer os algoritmos tradicionais (SAIZ, 1996, p. 182).

Nesse caso, a autora evidencia uma interessante metodologia de ensino que

pode auxiliar na aprendizagem do aluno. Trata-se da utilização de procedimentos

próprios do aluno, em que o mesmo consiga, previamente ao contato com um

algoritmo, construir a sua própria ideia/referência sobre a operação, facilitando

dessa forma uma real compreensão da ideia que a permeia.

2.2 As operações de multiplicação e divisão e os Parâmetros Curriculares

Nacionais

Neste tópico apresentamos o tratamento dado pelos Parâmetros

Curriculares Nacionais às operações de multiplicação e divisão, operações estas

que são abordadas de forma paralela, em que o documento salienta a importância

de trabalha-las juntamente por meio de problemas. Para tal, realizamos nesse

momento da pesquisa uma abordagem sobre a proposta de ensino apresentada no

documento para o ensino das operações que constituem o Campo Multiplicativo.

A abordagem realizada traz um enfoque em três eixos que compõem o

processo de ensino e aprendizagem, sendo eles: aluno, professor e saber

44

matemático, apontando que estes possuem importantes relações entre si, e que

devem ser priorizadas para auxiliar na construção do conhecimento matemático

(BRASIL, 1997).

Ao abordar as operações matemáticas fundamentais, o documento sugere

um trabalho embasado na análise dos procedimentos para a realização das

operações e na compreensão de seus significados, contemplando os diferentes tipos

de cálculos que o aluno poderá desenvolver (exato, aproximado, mental e escrito).

Um importante procedimento priorizado na realização das operações refere-

se à análise do erro, considerada uma ferramenta essencial para buscar o acerto por

meio de tentativas, em que o aluno poderá construir um procedimento próprio para a

resolução, e o professor por sua vez é capaz de identificar a causa do erro,

analisando o procedimento realizado e propondo as intervenções necessárias.

Ainda relacionado ao ensino das operações fundamentais, o documento

ressalta que estas compõem a maior parte dos conteúdos matemáticos, sendo

necessária uma abordagem mais profunda de tais operações, preferencialmente a

partir de problemas contextualizados, o que muitas vezes não acontece, onde as

operações são introduzidas por meio de técnicas operatórias tradicionais, de modo a

obter resultados básicos, ou com a aplicação de problemas-modelo, que não

exploram todos os procedimentos possíveis para a resolução de uma determinada

operação (BRASIL, 1997).

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997), no primeiro ciclo6 do

Ensino Fundamental (1ª série / 2° ano e 2ª série / 3° ano), os cálculos de

multiplicação e divisão devem ser realizados por meio de estratégias pessoais,

explorando os significados das operações. O segundo ciclo do Ensino Fundamental

(3ª série / 4° ano e 4ª série / 5° ano), por sua vez, deve ter seu foco na resolução de

problemas, e na consolidação e construção de novos significados a partir de um

trabalho contínuo.

6 Primeiro ciclo do Ensino Fundamental: em 1997, época de publicação dos PCN, as fases de escolarização eram

divididas em quatro ciclos, quando o ensino fundamental era composto por oito anos. Havia uma divisão de ciclo

I (1ª e 2ª série) e ciclo II (3ª e 4ª série). Atualmente não se usa mais essa divisão por ciclos, apenas a

nomenclatura anos iniciais, para designar 1°, 2°, 3°, 4° e 5° ano do Ensino Fundamental.

45

Ainda apoiando-se nessa ideia, o documento aponta a necessidade da

realização de um trabalho em um campo mais amplo de significados, destacando as

relações existentes entre as duas operações.

A partir dessas relações, são relevados quatro grupos para análise de

situações que devem ser exploradas nos anos iniciais, conforme apresentado na

figura 6.

GRUPO EXEMPLOS

Multiplicação Comparativa

- Pedro tem R$ 5,00 e Lia tem o dobro dessa quantia. Quanto tem Lia?

- Marta tem 4 selos e João tem 5 vezes mais selos que ela. Quantos selos tem João?

- Lia tem R$ 10,00. Sabendo que ela tem o dobro da quantia de Pedro, quanto tem Pedro?

Proporcionalidade

- Marta vai comprar três pacotes de chocolate. Cada pacote custa R$ 8,00. Quanto ela vai pagar pelos três pacotes?

- Dois abacaxis custam R$ 2,50. Quanto pagarei por 4 desses abacaxis?

- Marta pagou R$ 24,00 por 3 pacotes de chocolate. Quanto custou cada pacote?

- Marta gastou R$ 24,00 na compra de pacotes de chocolate que custavam R$ 3,00 cada um. Quantos pacotes de chocolate ela comprou?

Configuração Retangular

- Num pequeno auditório, as cadeiras estão dispostas em 7 fileiras e 8 colunas. Quantas cadeiras há no auditório?

- Qual é a área de um retângulo cujos lados medem 6 cm por 9 cm?

- As 56 cadeiras de um auditório estão dispostas em fileiras e colunas. Se são 7 as fileiras, quantas são as colunas?

- A área de uma figura retangular é de 54 cm2. Se um dos lados mede 6 cm, quanto mede o outro lado?

Combinatória

- Tendo duas saias – uma preta e uma branca – e três blusas – uma rosa, uma azul e uma cinza -, de quantas maneiras diferentes posso me vestir?

- Numa festa, foi possível formar 12 casais diferentes para dançar. Se havia 3 moças e todos os presentes dançaram, quantos eram os rapazes?

Figura 6 - Grupos para análise das situações Fonte: Brasil, 1997, p. 109 a 112

46

O primeiro grupo de situações é denominado multiplicação comparativa, em

que também são formuladas situações que contém a operação da divisão.

O segundo grupo de situações aborda a ideia de proporcionalidade, onde o

documento aponta que os problemas que envolvem essa ideia são mais frequentes

no cotidiano dos alunos e por isso são compreendidos com maior facilidade. Nesse

grupo também são formuladas situações que estão associadas a ações “repartir

(igualmente)” e “determinar quanto cabe”:

O terceiro grupo aborda situações referentes à configuração retangular,

onde é realizada a associação entre a multiplicação e a divisão.

O quarto grupo possui situações associadas às ideias de combinatória,

também relacionadas às situações que envolvem a divisão.

A partir desses grupos, o documento enfatiza que os problemas exercem um

importante papel, pois propiciam às crianças oportunidades de interagirem com os

diversos significados das operações, possibilitando uma visão mais ampla, de que

um mesmo problema seja resolvido por outras operações, e também uma

determinada operação poderá ser associada a problemas distintos.

Em relação à aprendizagem dos cálculos, o documento destaca que esta

não acontece apenas pela memorização da operação, mas por meio da construção

e organização, onde a memorização acontece de forma natural e significativa.

Para uma melhor compreensão dos procedimentos que compõem a divisão,

sugere-se a análise das relações existentes com a multiplicação, buscando as

semelhanças presentes em seus cálculos, auxiliando na construção de um repertorio

para o seu desenvolvimento, a partir de análises e comparações.

Recomenda-se que nos dois primeiros ciclos seja desenvolvido um trabalho

que explore todos os tipos de cálculos já citados anteriormente (mental, escrito,

aproximado e exato) e suas respectivas relações, onde a partir delas os alunos

desenvolvam conhecimentos a fim de utilizar diferentes formas de resolução, mesmo

que estas não sejam procedimentais, para solucionar situações-problema,

47

aprimorando seus procedimentos pessoais de modo a aproximá-los das técnicas

operatórias normalmente utilizadas.

Para auxiliar na compreensão das técnicas operatórias, o documento aponta

alguns recursos, dentre os quais destacaremos a obtenção de quocientes parciais

que depois são adicionados, como forma de realizar a operação de divisão. É

possível observar os exemplos na figura 7.

Figura 7 - Uma possível forma de efetuar a divisão Fonte: Brasil, 1997, p. 122

Ao fazermos uma breve análise da Figura 6, podemos perceber que o

recurso de obtenção de quocientes parciais pode auxiliar no entendimento dos

procedimentos que envolvem a operação de divisão, em que o aluno realiza

gradativamente a operação através das estimativas realizadas para posteriormente

ter autonomia de realizá-la utilizando de recursos mais práticos de resolução.

A abordagem realizada nos Parâmetros Curriculares Nacionais traz

interessantes contribuições para o ensino da operação da divisão nos anos iniciais

48

do Ensino Fundamental, destacando a importância de incentivar o trabalho com o

cálculo nas diversas situações de aprendizagem, utilizando de recursos que possam

auxiliar nesse processo, de modo a favorecer a apreensão do conhecimento

verdadeiramente significativo que compreende tal operação.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais, a este respeito ressaltam que:

A aprendizagem em matemática está ligada à compreensão, isto é, à apreensão do significado; apreender o significado de um objeto ou acontecimento pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos e acontecimentos. Assim, o tratamento dos conteúdos em compartimentos estanques e numa rígida sucessão linear deve dar lugar a uma abordagem em que as conexões sejam favorecidas e destacadas. O significado da matemática para o aluno resulta das conexões que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos. (BRASIL,1997,p.19)

Nesta citação é possível perceber a preocupação com um ensino que

favoreça o estabelecimento de relações entre os conteúdos a serem abordados,

onde o aluno consiga criar conexões que contribuam significativamente para sua

compreensão. A partir do momento em que o aluno consegue estabelecer estas

relações, o novo conhecimento então passa a fazer sentido para ele, facilitando

assim sua aprendizagem.

2.3 Algumas considerações sobre o capítulo

Neste capítulo realizamos uma abordagem sobre algumas discussões

acerca das operações de multiplicação e divisão, onde pudemos observar a

concepção de alguns autores sobre o ensino e a aprendizagem das mesmas, bem

como a forma como esta operação é tratada nos Parâmetros Curriculares Nacionais.

Verificamos a partir deste levantamento a existência de uma real

preocupação acerca de como realizar a abordagem dessas operações de modo a

auxiliar na compreensão dos procedimentos que a envolvem. Pudemos perceber

também que um dos possíveis fatores que podem estar implicando nessa dificuldade

de aprendizagem quanto ao ensino da divisão está atrelado a uma metodologia

onde a operação é tratada isoladamente, sem conexões que favoreçam seu ensino.

Pudemos observar inclusive uma importante discussão sobre os saberes

institucionalizados, em que foi possível constatarmos a necessidade de que o aluno,

previamente ao contato com esses saberes, seja capaz de elaborar seus próprios

49

esquemas mentais e com isso estabelecer relações significativas com o conteúdo,

obtendo desse modo autonomia suficiente para compreendê-lo e utilizá-lo em

situações distintas.

No caso dos algoritmos, verificamos também que estes só devem ser

conhecidos pelo aluno após ele ter criado suas formas particulares de

representação, além de conseguir associar as ideias à operação, de modo que seja

possível identificar em um problema a operação requerida para sua resolução. Por

este motivo, é interessante que somente após o domínio da ideia que envolve a

operação o aluno se familiarize com este procedimento mais formal de

representação.

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais fica evidente a importância de um

trabalho com a operação de divisão paralela à operação de multiplicação, além de

sua associação com as demais operações, onde é estabelecida uma relação de

significação com o conteúdo.

Esse capítulo trouxe-nos como contribuição a ampliação de nossos olhares

no que se refere ao ensino das operações de multiplicação e divisão, além de

evidenciar a preocupação sobre quais as metodologias adequadas para auxiliar no

ensino dessas operações, em que é frisada a importância da associação das

mesmas a situações familiares ao aluno, bem como um enfoque à realização de um

trabalho em que estas sejam abordadas paralelamente, possibilitando ao mesmo a

compreensão da relação existente entre elas.

A partir das leituras e aprofundamentos sobre algumas abordagens dadas

ao ensino destas operações, optamos por utilizar também como nosso aporte teórico

a Teoria dos Campos Conceituais, de Gerárd Vergnaud (1983, 1987, 1991, 1994,

1996, 1998, 2009, 2012), em que pudemos perceber a existência de um amplo

campo de investigação para nossa pesquisa, em que o autor possibilita por meio do

Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas, interessantes categorizações que

permitem a identificação e análise das diferentes dificuldades e aprendizagens que

podem ocorrer ao longo do ensino das operações de multiplicação e divisão.

51

CAPÍTULO 3 – A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS E O

CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS

Este capítulo é destinado a apresentar o embasamento teórico utilizado para

elaboração de nossos instrumentos de pesquisa, a Teoria dos Campos Conceituais

de Gerárd Vergnaud. Nele aprofundaremos nossos estudos sobre o Campo

Conceitual das estruturas Multiplicativas. Este campo nos é de interesse, porque é

nele que se concentram os estudos em relação às operações de multiplicação e

divisão, operações estas que são os conteúdos matemáticos foco de nossa

pesquisa.

3.1 Uma abordagem sobre a Teoria dos Campos Conceituais

A Teoria dos Campos Conceituais tem como autor o pesquisador e

psicólogo francês Gerárd Vergnaud, reconhecido especialista na Didática da

Matemática, sendo diretor de pesquisas didáticas do Centro Nacional de Pesquisa

Científica do Instituto Nacional de Investigação Pedagógica, em Paris. Esta teoria

traz em seu contexto importantes estudos que contribuem para o ensino das

operações matemáticas, em que são estudadas as estruturas aditivas e

multiplicativas para a investigação das dificuldades que os alunos encontram em tais

operações. Conforme mencionamos anteriormente, em nossa pesquisa,

centraremos nossos estudos nas estruturas multiplicativas.

A escolha por esta teoria para fundamentar a elaboração de nossos

instrumentos de pesquisa se deu porque para Vergnaud (2012) parte de nosso

conhecimento é resultante de habilidades e a utilização da linguagem é

especialmente importante para realizar a simbolização e a conceitualização. Outro

ponto que nos chama atenção na teoria dos campos conceituais é que para

Vergnaud (2012) o desenvolvimento do conhecimento de matemática não pode se

reduzir ao desenvolvimento das operações lógicas. Esta última consideração nos faz

vislumbrar que não basta apenas que alunos operem com êxito mecanicamente

algoritmos das operações de divisão e multiplicação, é necessário também que

façam uso do conceito destas operações em meio a atividades distintas.

52

Vergnaud (2012) faz um importante questionamento: se na educação não

confrontarmos as crianças a novas situações, como elas irão aprender? O

pesquisador conclui ainda que, enquanto educadores não damos oportunidades as

crianças nesse sentido. Isso nos leva a crer que um trabalho voltado a problemas do

campo multiplicativo funciona como um motor propulsor para que as crianças

investiguem situações e coloquem em jogo seus conhecimentos, desenvolvendo

autonomia para trabalhar com os conhecimentos matemáticos aprendidos em

situações distintas daquelas que são típicas da sala de aula.

Segundo Vergnaud (1996), a principal finalidade da teoria dos campos

conceituais é fornecer um quadro que permita a compreensão das filiações e

rupturas entre conhecimentos novos e antigos nas crianças e nos adolescentes.

Em sua teoria Vergnaud (1987, 1994, 1996, 1998, 2009, 2012) se refere a

campos conceituais porque para ele um conceito depende de várias situações e

uma situação depende de um conjunto de conceitos, pois uma situação não se

forma a partir de um único conceito.

O autor considera que essa teoria não é específica da matemática, mas foi

inicialmente elaborada com o intuito de desvendar o processo de conceitualização

progressiva das estruturas aditivas e multiplicativas, além das relações número-

espaço, pertencentes à álgebra.

Para Vergnaud (2009), aprendemos e nos desenvolvemos em qualquer

idade, em que um indivíduo é capaz de se adaptar às situações por meio de uma

evolução da organização de sua atividade. Sobre a atividade em situação realizada

pelo indivíduo, Vergnaud (2009) defende que:

[...] a análise da atividade em situação é um meio essencial para compreender os processos de aprendizagem, por mais delicada e difícil que ela seja. Ela passa notadamente pela análise dos erros, das hesitações e dos desfuncionamentos, assim como pela identificação das diferentes etapas pelas quais se constrói uma forma nova de organização da atividade. (VERGNAUD, 2009, p. 14)

Com base na citação anterior, e aproximando-a do contexto de nossa

pesquisa, podemos compreender que, quando analisamos a atividade em situação,

ou seja, os procedimentos, ações e representações realizadas pelo aluno,

conseguimos verificar em que etapa se dá a aprendizagem deste, onde devemos

53

observar e analisar os erros, os acertos e também as dificuldades demonstradas. A

partir dessa análise é possível perceber como o aluno organiza sua atividade por

meio dos esquemas, e isso pode ajudar professores a elaborar estratégias de ensino

mais efetivas para a aprendizagem de seus alunos.

Vergnaud (1996) define como esquema a organização invariante da conduta

para uma dada classe de situações, onde o autor afirma ser nos esquemas que se

deve procurar os elementos cognitivos que permitem à ação do sujeito ser

operatória, ou seja, cada esquema tem a ver com um variedade de situações

(VERGNAUD, 2012).

Em outras palavras, Vergnaud (1998) afirma ser esquema o conceito

atribuído por Piaget para abordar as formas de organização de habilidades sensório

motoras e habilidades intelectuais. O pesquisador se apoia nas ideias de Piaget de

que se queremos entender o conhecimento, precisamos conhecer seu

desenvolvimento (VERGNAUD, 2012).

Para Vergnaud (1996) os algoritmos são esquemas, frequentemente

eficazes, e nem sempre efetivos. Porém Vergnaud (2012) considera ainda que

apesar de os algoritmos serem esquemas, determinados esquemas não são

algoritmos. O pesquisador define algoritmo como um conjunto de regras que

permitem embutir a resolução de um problema, mas ressalta que não existe um

algoritmo que traduz um problema em uma equação (VERGNAUD, 2012).

Ao definir os conhecimentos contidos nos esquemas, Vergnaud (1996) utiliza

as expressões conceito-em-ação e teorema-em-ação, ou mais globalmente

designando, a expressão “invariantes operatórios”.

Os invariantes operatórios realizam a articulação entre teoria e prática, onde

a percepção, a busca e a seleção das informações estão baseadas no sistema de

conceitos em ação que o aluno possui, sendo eles objetos, atributos, relações,

condições e circunstâncias; e nos teoremas em ação, em que o aluno se apropria a

partir da escolha da operação ou sequência que utilizará para resolver o problema.

Vergnaud (2012) considera que os esquemas pessoais dos alunos são

substituídos pelos algoritmos ensinados, mas alerta que devemos respeitar as

54

formas de raciocínio que não foram institucionalizadas, pois a forma operacional do

conhecimento precisa se dar de formas distintas.

Sobre a utilização de esquemas na resolução de problemas, Vergnaud

(1996) aponta que:

Na resolução dos problemas da aritmética dita elementar, as crianças deparam com numerosas dificuldades conceptuais. É em termos de esquemas que devemos analisar a escolha das operações e dos dados adequados à resolução de um problema para o qual existem diversas possibilidades de escolha. A recolha de informação na leitura do enunciado, a recolha de informações físicas (medidas, por exemplo), a procura de informações em documentação (num livro escolar, em quadros estatísticos, etc.), a combinação adequada dessas informações através das operações de adição, de subtração, de multiplicação e de divisão, obedecem em geral a esquemas, nomeadamente entre os alunos que dominam estas situações. (VERGNAUD, 1996, p. 162)

Com base nas considerações do autor, podemos perceber a importância de

que os conceitos matemáticos possam ser trabalhados de modo que seja possível

estabelecer uma forma adequada de organização do conhecimento, estruturando

desse modo os esquemas que permitam aos alunos atuar em diversas situações, ou

seja, terem disponíveis os conhecimentos aprendidos.

Vergnaud (1996) considera também que um conceito não pode ser reduzido

à sua definição, pois é por meio das situações e dos problemas a resolver que um

conceito ganha sentido diante dos alunos. O pesquisador considera um importante

ponto o paradoxo que há na ideia de ruptura entre conhecimentos anteriores e os

novos conhecimentos aprendidos (VERGNAUD, 2012).

Com base nas considerações realizadas até o momento entendemos a

importância de que os conceitos não podem ser trabalhados isoladamente, fazendo-

se necessário que estes sejam apresentados por meio de situações que favoreçam

a aprendizagem do aluno, situações estas que precisam estabelecer uma relação de

significado ao educando, onde este naturalmente irá conseguir articular o conceito

aos seus conhecimentos anteriores, e aos novos conhecimentos que são

aprendidos.

Vergnaud (1987) defende que o desenvolvimento do processo de

aprendizagem no sujeito requer definições que nos permitam lidar com situações

nas quais um conceito seja significante.

55

O autor define conceito como um conjunto de invariantes utilizadas na ação

do sujeito, sendo os conceitos constituídos no campo conceitual formados por uma

terna de três conjuntos distintos e interligados entre si:

S conjunto das situações que são sentido ao conceito (a referência);

I conjunto das invariantes nas quais assenta a operacionalidade dos esquemas ( o

significado);

s conjunto das formas pertencentes e não pertencentes à linguagem que permitem

representar simbolicamente o conceito, as suas propriedades, as situações e os

procedimentos de tratamento (o significante).

Sobre esses conjuntos, Vergnaud (1987) ressalta que estes devem ser

devidamente considerados ao mesmo tempo para se estudar o desenvolvimento e o

funcionamento de um determinado conceito, seja durante a aprendizagem ou em

sua utilização.

Para Vergnaud (1996) o conhecimento organiza-se a partir de Campos

Conceituais, definindo como Campo Conceitual um conjunto informal e heterogêneo

de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de

pensamento, conectados uns aos outros e, provavelmente, entrelaçados durante o

processo de aquisição, sendo solucionados por conceitos, procedimentos e

representações. Segundo Vergnaud (2009), o domínio de um campo conceitual leva

anos, e a organização de seus conceitos é progressiva e jamais acabada.

Vergnaud (1994) considera que todo e qualquer conceito deve ser estudado

dentro de campos conceituais, porém tem centrado sua atenção em dois deles: os

das estruturas aditivas e das estruturas multiplicativas que ocupam posição

privilegiada, sendo consideradas como conceito pivô no Ensino da Matemática e na

construção das estruturas cognitivas do pensamento. O pesquisador defende ainda

que o trabalho com problemas não deve se restringir a um meio de se trabalhar

apenas números (VERGNAUD, 2012).

56

3.2 Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas

Para embasar a elaboração de nossos instrumentos de pesquisa, bem como

a análise realizada, aprofundaremos nosso estudo no Campo Conceitual das

Estruturas Multiplicativas como mencionamos anteriormente. Vergnaud (1983, 1991,

1994) define este campo como um conjunto do qual pertencem todas as situações

que podem ser analisadas como problemas de proporções simples e múltiplas, nas

quais podem ser necessárias para sua resolução uma multiplicação, uma divisão ou

uma combinação de ambas.

Outra possível definição para esse campo segundo Vergnaud (1983) é a de

um conjunto de situações, cujo tratamento envolve uma ou várias divisões ou

multiplicações, e o conjunto de conceitos e teoremas que permitem a análise dessas

situações matemáticas.

As Estruturas Multiplicativas possuem uma dimensão de conceitos muito

mais ampla do que os conceitos que compõem as Estruturas Aditivas. A este campo

pertencem os conceitos de proporção, fração, semelhança entre figuras

geométricas, razão, números racionais, função linear e o raciocínio combinatório,

além de conceitos relacionados à Física. Faz-se necessário destacar previamente à

nossa abordagem que, dentre os conceitos mencionados anteriormente, realizamos

nesse estudo uma abordagem apenas dos que são adequados para o trabalho nos

anos iniciais do Ensino Fundamental, pois este é o foco de nossa pesquisa.

Vergnaud (1994) afirma que a análise das relações multiplicativas mostra

vários tipos de multiplicação e várias classes de problemas, onde é importante

distinguir tais classes de problemas e analisá-las cuidadosamente, ajudando deste

modo a criança a reconhecer as diferentes estruturas de problemas, encontrando

assim procedimentos apropriados para sua solução.

Vergnaud (1996) aponta que as relações de base mais simples existentes na

estrutura multiplicativa não são ternárias (relações que ligam três elementos entre

si), e sim quaternárias (relações que ligam quatro elementos entre si), onde os

problemas mais simples de multiplicação e de divisão implicam a proporção simples

57

de duas variáveis, uma em relação à outra. O autor também afirma que as relações

quaternárias são utilizadas para introduzir a multiplicação no ensino básico.

Para Vergnaud (1991) pertencem à este campo conceitual um conjunto de

problemas que envolvem duas grandes categorias de relações multiplicativas:

isomorfismo de medidas e produto de medidas.

Para uma melhor compreensão sobre essas categorias, passaremos na

sequencia a explicitar as ideias e exemplificar problemas que pertencem às

categorias mencionadas anteriormente. Neste momento, faz-se necessário destacar

que são essas categorias que fundamentarão a elaboração de nossos instrumentos

de pesquisa.

3.2.1 Isomorfismo de Medidas

Neste grupo pertencem problemas elementares, que estabelecem relações

proporcionais simples, entre conjuntos de mesma cardinalidade (objetos do mundo

real), preço constante (mercadorias e relações comerciais das mesmas), velocidade

média constante (duração e distância), entre outras situações.

Vergnaud (1994) descreve nesse grupo um grande número de situações de

vida cotidiana e algorítmica, dentre as quais se encontram os problemas de

multiplicação, divisão e regra de três simples.

Para exemplificar o grupo de problemas pertencentes ao isomorfismo de

medidas utilizamos os próprios exemplos presentes em Vergnaud (1991) e que são

apresentados na sequência:

“Tenho 3 pacotes de iogurte. Há 4 iogurtes em cada pacote. Quantos iogurtes eu

tenho?”

Figura 8 - Exemplo 1 Fonte: Vergnaud, 1991 (adaptado por nós)

58

“Minha mãe quer comprar tecido a R$24,80 o metro para fazer um vestido e um

paletó. Ela necessita de 3,50 metros de tecido. Quanto ela deverá gastar?”

Figura 9 - Exemplo 2 Fonte: Vergnaud, 1991 (adaptado por nós)

Podemos perceber a partir dos exemplos 1 e 2, representados nas figuras 8

e 9, respectivamente, que estes problemas podem ser resolvidos por meio de uma

multiplicação.

“Paguei R$12,00 por 3 garrafas de vinho. Quanto custa cada garrafa?”

Figura 10 - Exemplo 3 Fonte: Vergnaud, 1991 (adaptado por nós)

“Pedro tem R$12,00 e quer comprar pacotes de bala a R$4,00 o pacote. Quantos

pacotes ele pode comprar?”

Figura 11 - Exemplo 4 Fonte: Vergnaud, 1991 (adaptado por nós)

Nos exemplos 3 e 4, representados nas figuras 10 e 11, respectivamente,

podemos perceber que estes problemas podem ser resolvidos por meio de uma

divisão.

59

“Uma corrida de automóveis tem 247,760 km de percurso. Um carro consome 6,785

litros a cada 100 quilômetros. Quanto ele consumirá durante essa corrida?”

Figura 12 - Exemplo 5 Fonte: Vergnaud, 1991 (adaptado por nós)

“Vou comprar 12 garrafas de vinho a R$12,50 por três garrafas. Quanto vou

gastar?”

Figura 13 - Exemplo 6 Fonte: Vergnaud, 1991 (adaptado por nós)

“3 novelos de lã pesam 200 gramas. São necessários 8 para fazer um pulôver. Qual

vai ser o peso do pulôver?”

Figura 14 - Exemplo 7 Fonte: Vergnaud, 1991 (adaptado por nós)

A partir dos exemplos 5, 6 e 7, representados nas figuras 12, 13 e 14,

respectivamente, podemos verificar que estes problemas podem ser resolvidos por

meio do pensamento proporcional e da utilização do algoritmo da regra de três

simples, para alunos em escolarização mais avançada.

60

Por meio dos exemplos apresentados também podemos perceber que

alguns exemplos requerem explicações suplementares para auxiliar a criança na

compreensão da ideia envolvida.

Vergnaud (1991) defende que estes exemplos não trazem dificuldades para

os alunos, e afirma que todos podem ser representados por um esquema que

explicita a relação quaternária existente em cada uma deles, em que, nos problemas

mais simples uma dessas quantidades é igual a um, conforme pudemos visualizar

nos exemplos apresentados anteriormente. É o que temos chamado de relação “um

a muitos”, com base em Nunes et al. (2009).

Ainda nesta categoria, podemos encontrar outra subclasse de problemas,

que contemplam as expressões do tipo “três vezes mais”, “três vezes menos” no

enunciado, desde que explicitando-se o papel dos operadores escalares, conforme

exemplificamos na sequência por meio de problemas apresentados por Vergnaud

(1991).

“São necessários 2 metros de tecido para fazer uma saia; são necessárias três

vezes mais para fazer um conjunto. Quanto de tecido é necessário para fazer um

conjunto?”

Figura 15 - Multiplicação Fonte: Vergnaud, 1991 (adaptado por nós)

61

“São necessárias três vezes mais de tecido para fazer um conjunto do que uma

saia. São necessários 6 metros para um conjunto. Quanto de tecido é necessário

para fazer uma saia?”

Figura 16 – Divisão (busca de uma medida) Fonte: Vergnaud, 1991 (adaptado por nós)

“São necessários 2 metros de tecido para fazer uma saia, 6 metros para um

conjunto. Quantas vezes mais são necessárias para fazer um conjunto (em relação

a uma saia)?

Figura 17 – Divisão (busca de um escalar) Fonte: Vergnaud, 1991 (adaptado por nós)

O autor defende que as expressões em destaque nos problemas diferenciam

as noções de medida e a de escalar, em que os alunos, para essa solução de

problemas, devem ser levados a descobrir e explicitar não apenas as medidas, mas

também os operadores.

Em um breve comparativo às situações apresentadas nos Parâmetros

Curriculares Nacionais, podemos observar que os exemplos de problemas ilustrados

nas figuras 8, 9, 10, 11, 12, 13 e 14, são indicados nos documentos por situações de

“proporcionalidade”; e os problemas ilustrados nas figuras 15, 16 e 17 indicam-se

pelo grupo de “multiplicação comparativa”.

62

3.2.2 Produto de Medidas

Neste grupo de problemas, pertencem as situações que requerem a

utilização do raciocínio combinatório, em que todos os elementos de um dos grupos

são relacionados com todos os elementos do outro grupo.

Para Vergnaud (1991), a essa categoria pertence uma relação ternária entre

três quantidades, em que uma consiste no produto das outras duas ao mesmo

tempo.

Na sequência apresentamos alguns exemplos presentes em Vergnaud

(1991) para esta categoria.

“3 rapazes e 4 moças querem dançar. Cada rapaz quer dançar com cada moça e

cada moça, com cada rapaz. Quantos seriam os casais possíveis?”

Figura 18 – Exemplo 1 Fonte: Vergnaud, 1991, p. 253

“Quer-se fabricar bandeirolas com tecido de duas cores diferentes (vermelho e

azul). Fabricando-se bandeirolas de três faixas como a que está abaixo, quantas

bandeirolas diferentes podem ser fabricadas?”

Figura 19 – Exemplo 2 Fonte: Vergnaud, 1991, p. 253

“Uma sala retangular tem 4 m de comprimento e 3 m de largura. Qual é a sua

área?”

Figura 20 – Exemplo 3 Fonte: Vergnaud, 1991, p. 254

63

“Trocando somente de pulôver e de cachecol, Ana pode ter 15 trajes diferentes. Ela

tem três pulôveres; quantos cachecóis ela tem?”

Figura 21 – Exemplo 4 Fonte: Vergnaud, 1991, p. 254

“Uma piscina tem uma superfície de 250 metros quadrados e são necessários 625

metros cúbicos de água para enchê-la. Qual é a profundidade média dela?”

Figura 22 – Exemplo 5 Fonte: Vergnaud, 1991, p. 254

Sobre esses problemas, Vergnaud afirma que “o esquema mais natural para

representar essa forma de relação é aquela da tabela cartesiana, porque, de fato, é

a noção de produto cartesiano de conjuntos que explica a estrutura do produto de

medidas” (VERGNAUD, 1991, p. 254). A representação dos problemas a partir da

tabela cartesiana permite ao aluno visualizar as situações apresentadas, auxiliando

na compreensão das mesmas por meio da estruturação de estratégias pessoais.

Realizando um breve comparativo às situações apresentadas nos

Parâmetros Curriculares Nacionais, é possível observar que os exemplos de

problemas ilustrados nas figuras 18 e 19, são indicados nos documentos por

“combinatória”; e os problemas ilustrados nas figuras 20, 21 e 22 indicam-se pelo

grupo de “configuração retangular”.

3.3 Algumas considerações sobre o capítulo

Neste capítulo buscamos apresentar alguns esclarecimentos sobre a Teoria

dos Campos Conceituais, evidenciando a categorização feita por Vergnaud

(1983,1991) sobre os problemas pertencentes ao Campo Conceitual das Estruturas

Multiplicativas.

Com base em nosso aprofundamento teórico ficou evidente que a Teoria dos

Campos Conceituais nos permite explorar os procedimentos e representações

realizados pelos alunos diante de um determinado problema, possibilitando a

identificação de suas dificuldades e facilidades. O trabalho com esta teoria evidencia

que problemas devem ser utilizados nas aulas de Matemática não como um meio de

64

fazer alunos exercitar procedimentos numéricos, mas principalmente como forma de

construir conhecimentos e fazer com que alunos articulem seus conhecimentos

novos e antigos em meio a situações distintas.

Faz-se necessário também evidenciar sobre essa teoria a importância de um

trabalho em que o aluno participe do processo de construção do conhecimento, em

que ele possa compreender o significado de um determinado conceito. Nesse

momento de aprendizagem, é proporcionada ao aluno a oportunidade de

estabelecer conexões significativas entre os conceitos já vistos por ele e os novos

conceitos apresentados. Também é por meio dessas conexões que o aluno pode

reestruturar sua organização de pensamento, os esquemas, podendo surgir novas

formas de raciocínio, que permitirão a evolução de seu pensamento dentro de um

campo conceitual.

Pudemos perceber duas grandes categorias dentre as quais se classificam

os problemas de multiplicação e divisão: isomorfismo de medidas e produto de

medidas. Com base nestas categorias que elaboramos nossos instrumentos de

pesquisa, categorias estas que possibilitam o trabalho com os conceitos das

operações de multiplicação e divisão já nos primeiros anos no Ensino Fundamental,

trabalho este que pode auxiliar no desenvolvimento e na consolidação do raciocínio

multiplicativo com os alunos.

Sobre os problemas pertencentes a este campo, Vergnaud (1996) afirma

que os problemas mais simples do Campo Multiplicativo implicam a proporção

simples de duas variáveis, uma em relação à outra, onde, de acordo com o valor

numérico e o domínio da experiência, os problemas apresentam dificuldades

diferentes de um em relação ao outro.

Ao realizarmos uma breve associação entre as categorias definidas por

Vergnaud e os grupos de situações presentes nos Parâmetros Curriculares

Nacionais, já apresentados no capítulo anterior, pudemos enfatizar algumas

considerações ao longo desse capítulo. A categoria isomorfismo de medidas indica-

se nos documentos oficiais pelos grupos de multiplicação comparativa e

proporcionalidade. Já a categoria produto de medidas é indicada pelos grupos de

configuração retangular e combinatória.

65

A partir da utilização das categorias de problemas definidas no Campo

Conceitual das Estruturas Multiplicativas, pretendemos revelar como os alunos

demonstram seus conhecimentos em relação ao raciocínio multiplicativo, buscando

deste modo responder às nossas questões de pesquisa, e contribuir com o ensino

da Matemática.

67

CAPÍTULO 4 – A PESQUISA DE CAMPO

Neste capítulo realizamos a descrição de como foi elaborada nossa

pesquisa de campo, bem como a constituição de nossos instrumentos de pesquisa.

Este capítulo se destina também a análise dos instrumentos realizados por meio dos

protocolos dos alunos, em que temos como objetivo verificar as interpretações

demonstradas pelos alunos, e os indícios de compreensão por eles revelados em

relação às estruturas multiplicativas.

4.1 Sobre a realização da pesquisa de campo

Nossos instrumentos de pesquisa foram elaborados ao longo dos encontros

no âmbito do Projeto Observatório da Educação, durante o estudo sobre o Campo

Conceitual das Estruturas Multiplicativas de Gerárd Vergnaud, em que o grupo

elaborou problemas norteados pela categorização presente na teoria estudada.

Para a elaboração dos problemas, formaram-se grupos de acordo com o ano

atuante das professoras participantes do projeto, para que os mesmos pudessem

ser realizados em sala de aula e posteriormente trazidos para análise no grupo, a

fim de verificar os conhecimentos revelados pelos alunos em se tratando do trabalho

com as estruturas multiplicativas.

Por meio desses grupos, a elaboração dos problemas ocorreu de forma

coletiva, em que houve a preocupação em adaptá-los a contextos e situações

próximas ao cotidiano do aluno, por acreditarmos que esta pode ser uma forma de

dar significado e ajudar na compreensão dos alunos. Imaginamos que se um

contexto faz sentido para o aluno, este poderá visualizar melhor a situação,

analisando e levantando hipóteses, facilitando a generalização do conteúdo, o que

poderá facilitar sua aprendizagem. Faz-se importante destacar que, a elaboração

coletiva dos problemas auxiliou nessa escolha, em que as professoras puderam

indicar quais contextos se aproximavam da realidade de seus alunos.

A pesquisa ocorreu em duas salas de 5° ano do Ensino Fundamental de

uma escola pública do município de São Paulo que participa do projeto, em que o

68

efetivo de pesquisa conta com um total de 57 alunos. Para a realização da pesquisa,

as professoras aplicaram em sala de aula os instrumentos elaborados coletivamente

no grupo, para que os alunos pudessem desenvolver procedimentos de resolução

em relação aos problemas pertencentes a cada instrumento. Sobre a aplicação

realizada, faz-se importante destacar que não ocorreram intervenções por parte das

professoras enquanto os alunos desenvolviam seus procedimentos, o que nos

possibilitou observar claramente como os alunos demonstram seus conhecimentos

em relação às ideias norteadoras de cada grupo de problemas.

Sobre o nosso efetivo de pesquisa é importante destacar que apesar de

contarmos com um total de 57 alunos, em algumas categorias de problemas não

apresentamos essa mesma quantidade de protocolos, justificando como motivo o

fato de que a aplicação dos instrumentos ocorreu em dias diferentes, implicando na

falta de alguns alunos, ocasionando discrepâncias numéricas dos protocolos obtidos

de cada instrumento.

Nossa escolha por salas de 5º ano justifica-se pelo fato de querermos

observar como o aluno apresenta as noções do campo multiplicativo nesta etapa de

escolarização, que marca a transição entre os anos iniciais e os anos finais do

Ensino Fundamental, visto que já pudemos observar em alunos de 6º ano que estas

noções muitas vezes parecem não terem sido claramente construídas pelos alunos

nos anos anteriores.

4.2 As categorias de análise

Após observarmos minuciosamente os protocolos dos alunos, elaboramos

as categorias de análise, e com base nessas categorias, realizamos uma análise

qualitativa, com a finalidade de abranger todas as situações e peculiaridades

apresentadas nos procedimentos de resolução utilizados pelos alunos.

Apresentamos a seguir as categorias elaboradas, seguidas de suas

respectivas descrições.

1. Identificam a ideia da operação que resolve o problema e acertam os

procedimentos

69

Nesta categoria, encontram-se os protocolos de alunos que identificam a ideia

da operação que resolve o problema e os resolvem corretamente, seja por

meio de um algoritmo ou de procedimentos não convencionais, chegando ao

resultado esperado.

2. Identificam a ideia da operação que resolve o problema, mas não

utilizam os procedimentos corretamente.

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que identificam a

ideia da operação que resolve o problema, mas erram nos procedimentos de

cálculo, seja por meio de um algoritmo ou de procedimentos não

convencionais, não chegando ao resultado esperado.

3. Identificam a operação que resolve o problema, mas apenas indicam a

operação, e não a desenvolvem.

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que identificam a

operação que resolve o problema, representam qual é essa operação, mas

não desenvolvem a operação representada.

4. Não identificam a operação e acertam os procedimentos/algoritmos

utilizados.

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não indicam a

operação de multiplicação ou divisão, mas conseguem resolver o problema

por meio de uma ideia aditiva, fazendo adições sucessivas, seja por meio de

um algoritmo ou de um procedimento não convencional, acertando os

procedimentos utilizados e chegando ao resultado esperado.

5. Não identificam a operação e erram os procedimentos

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não identificam

a operação que resolve o problema e ainda erram os procedimentos de

resolução e não chegam ao resultado esperado.

6. Não identificam a operação que resolve o problema, apenas indicam

uma operação, e não a desenvolvem.

70

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não identificam

a operação que resolve o problema, representam outra operação, mas não a

desenvolvem.

7. Indicam apenas o resultado e acertam.

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não realizaram

registro de representação do procedimento para a resolução, apenas

indicando o resultado do problema. Nesse caso, observamos que os alunos

conseguem chegar ao resultado correto.

8. Não resolvem.

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não resolveram

o problema, e nem mesmo levantaram hipóteses para resolução do mesmo,

deixando o exercício “em branco”.

No próximo tópico apresentamos a descrição dos instrumentos utilizados em

nossa investigação e elaborados coletivamente no grupo.

4.3 Os instrumentos de pesquisa

Conforme já mencionado, foram elaborados quatro instrumentos, em que

cada um deles abordou um determinado grupo de problemas referente às operações

e ideias pertencentes ao campo multiplicativo, segundo a categorização apresentada

por Gerárd Vergnaud. Acreditamos que, ao verificarmos isoladamente cada grupo de

problemas, podemos realizar uma análise mais aprofundada que nos permitirá

identificar em qual deles os alunos apresentam maiores dificuldades e facilidades,

servindo-nos como um indicativo para responder às nossas questões de pesquisa,

contribuindo, assim, com o ensino de Matemática. Considerando todos os

instrumentos, obtivemos 12 problemas elaborados e 206 protocolos, resultando em

722 problemas analisados, dos quais apresentamos na tabela 2 o efetivo de

pesquisa obtido em cada instrumento, seguidos da quantidade de problemas

analisados em cada um deles.

71

Tabela 2 – Levantamento dos dados da pesquisa de campo

Efetivo de Pesquisa Problemas Analisados

Instrumento 1 54 alunos 162

Instrumento 2 53 alunos 212

Instrumento 3 50 alunos 150

Instrumento 4 49 alunos 198

Total de Problemas Analisados 722

A tabela 2 apresenta um panorama geral em relação à participação dos

alunos em cada instrumento realizado, considerando as duas salas de 5° ano do

ensino fundamental que foram nosso objeto de pesquisa.

No próximo tópico passamos a apresentar nossos instrumentos de pesquisa,

iniciando pelo primeiro grupo de problemas, o Isomorfismo de Medidas.

4.3.1 O primeiro grupo de problemas: Isomorfismo de Medidas

Como mencionamos anteriormente, nesta categoria de problemas

denominada por Vergnaud (1991) como Isomorfismo de Medidas, destacam-se os

problemas que estabelecem relações proporcionais entre conjuntos de mesma

cardinalidade. Para a elaboração deste grupo de problemas, optamos em dividi-los

em duas etapas: problemas envolvendo a correspondência um a muitos, e

problemas que trabalham a correspondência muitos a muitos, a fim de verificarmos

mais detalhadamente os procedimentos de resolução apresentados pelos alunos em

cada etapa, bem como se estruturam os conhecimentos destes alunos em cada uma

destas relações. Para cada problema levantamos hipóteses quanto à identificação

ou não da operação que resolve o problema e aos procedimentos dos alunos

utilizados para sua resolução.

4.3.1.1 Primeiro instrumento: problemas de correspondência um a muitos

Apresentamos agora o primeiro instrumento de nossa investigação,

composto por três problemas que contemplam a ideia “um a muitos”, pertencentes à

72

classe de problemas isomorfismo de medidas, já citada em nossa fundamentação

teórica.

Problema 1. Numa festa de aniversário na sala de aula, cada aluno levou 2

garrafas de refrigerante. Ao todo, compareceram 25 alunos. Considerando que

todos levaram os refrigerantes, quantas garrafas havia?

Figura 23 – Problema 1 do instrumento 1 Fonte: Elaborado pelo grupo.

Neste problema, esperávamos que os alunos utilizassem a estrutura

multiplicativa, realizando um procedimento que envolvesse a operação de

multiplicação entre a quantidade de alunos e o número de garrafas, resultando em

um total de 50 garrafas na festa.

As análises realizadas foram compatibilizadas na tabela a seguir.

Tabela 3 – Resultados do problema 1

Categorias encontradas Número de protocolos

Identificam a ideia da operação que resolve o problema e

acertam os procedimentos

51

Identificam a ideia operação que resolve o problema, mas

não utilizam os procedimentos corretamente

2

Não identificam a operação e acertam os procedimentos/

algoritmos utilizados

1

Fonte: elaboração das pesquisadoras

Problema 2. Para uma festa de aniversário, 31 pessoas levaram 93 garrafas de

refrigerante. Se todos levaram a mesma quantidade, quantas garrafas levou

cada pessoa?

Figura 24 – Problema 2 do instrumento 1 Fonte: Elaborado pelo grupo.

Neste problema, esperávamos que os alunos utilizassem a estrutura

multiplicativa, realizando um procedimento que envolvesse a operação de divisão

73

entre o número de garrafas e o número de pessoas, resultando em 3 garrafas

levadas por pessoa. Após a análise encontramos o resultado apresentado na tabela

a seguir.

Tabela 4 - Resultados do problema 2

Categorias encontradas Número de

protocolos

Identificam a ideia da operação que resolve o problema e

acertam os procedimentos

24

Identificam a ideia da operação que resolve o problema,

mas não utilizam os procedimentos corretamente

6

Identificam a operação que resolve o problema, mas

apenas indicam a operação, e não a desenvolvem

2

Não identificam a operação e acertam o

procedimento/algoritmo utilizado.

6

Não identificam a operação e erram os procedimentos 16

Fonte: elaboração das pesquisadoras

Problema 3. Para uma festa foram levadas 72 garrafas de refrigerante.

Considerando que cada convidado levou 3 garrafas, quantas pessoas foram

convidadas?

Figura 25 – Problema 3 do instrumento 1 Fonte: Elaborado pelo grupo.

Neste problema, esperávamos que os alunos utilizassem a estrutura

multiplicativa, realizando um procedimento que envolvesse a operação de divisão

entre o número de garrafas que havia na festa e o número de garrafas levadas por

convidado, resultando em 24 pessoas presentes na festa. A tabela a seguir

apresenta os resultados da análise.

74

Tabela 5 - Resultados do problema 3

Categorias encontradas Número de

protocolos

Identificam a ideia da operação que resolve o problema e

acertam os procedimentos

31

Identificam a ideia da operação que resolve o problema,

mas não utilizam os procedimentos corretamente

9

Identificam a operação que resolve o problema, mas

apenas indicam a operação, e não a desenvolvem

1

Não identificam a operação e erram os procedimentos 13

Fonte: elaboração das pesquisadoras

4.3.1.2 Segundo instrumento: problemas de correspondência muitos a

muitos

Apresentamos agora os quatro problemas analisados em nossa segunda

etapa da investigação, envolvendo a correspondência muitos a muitos, também

pertencentes à classe de problemas isomorfismo de medidas.

Problema 1. Um grupo de 12 meninos coleciona carrinhos. Juntos eles têm 48

carrinhos. Considerando que todos tem a mesma quantidade, quantos

carrinhos haveria se 21 meninos colecionassem carrinhos?

Figura 26 – Problema 1 do instrumento 2 Fonte: Elaborado pelo grupo.

Para a realização desse problema a partir da estrutura multiplicativa,

esperávamos que o aluno realizasse a divisão entre o número de carrinhos e o

número de meninos, descobrindo a quantidade de carrinhos pertencentes a cada

menino. Em seguida, o aluno deveria realizar a multiplicação entre o número de

carrinhos pertencentes a cada menino e o novo número de meninos requerido no

problema, chegando desse modo à solução do mesmo, 84 carrinhos. Outra forma de

75

resolução desse problema a partir da estrutura multiplicativa seria também a partir

da utilização do raciocínio proporcional. Na tabela a seguir, apresentamos o

resultado observado.

Tabela 6 – Resultados do problema 1

Categorias encontradas Número de

protocolos

Identificam a ideia da operação que resolve o problema

e acertam os procedimentos

24

Não identificam a operação e acertam os

procedimentos/algoritmos usados.

1

Não identificam a operação e erram os procedimentos 25

Não identificam a operação que resolve o problema,

apenas indicam uma operação, e não a desenvolvem

2

Não resolvem 1

Fonte: elaboração das pesquisadoras

Problema 2. Sabe-se que 15 meninos colecionam chaveiros e que juntos têm

75 chaveiros. Considerando que todos tenham a mesma quantidade, quantos

meninos colecionariam chaveiros se juntos tivessem 90 chaveiros?

Figura 27 – Problema 2 do instrumento 2 Fonte: Elaborado pelo grupo.

Esperávamos que a solução desse problema se desse a partir da estrutura

multiplicativa, inicialmente a partir da realização da operação de divisão entre a

quantidade de chaveiros e a quantidade de meninos, a fim de descobrir o número de

chaveiros pertencentes a cada aluno; e posteriormente a realização da divisão entre

o número total de chaveiros e o número de chaveiros que cada aluno possui,

chegando assim ao resultado de 18 meninos. Outro caminho de resolução desse

problema seria a partir da estrutura multiplicativa, por meio da utilização do

raciocínio proporcional. Compatibilizamos as análises na tabela a seguir.

76

Tabela 7 - Resultados do problema 2

Categorias encontradas Número de

protocolos

Identificam a ideia da operação que resolve o problema e

acertam os procedimentos

16

Identificam a ideia da operação que resolve o problema,

mas não utilizam os procedimentos corretamente

8

Não identificam a operação e erram os procedimentos 27

Não resolvem 2

Fonte: elaboração das pesquisadoras

Problema 3. Um grupo de 16 meninos tem ao todo 64 bolinhas de gude.

Considerando que todos têm a mesma quantidade, quantas bolinhas haveria

se 12 meninos estivessem neste grupo?

Figura 28 – Problema 3 do instrumento 2 Fonte: Elaborado pelo grupo.

Focando na estrutura multiplicativa, esperávamos que os alunos realizassem

inicialmente a divisão entre o número de bolinhas de gude e o número de meninos;

e, posteriormente, realizassem a multiplicação entre o número de bolinhas de gude

pertencentes a cada menino e o número de meninos do grupo, chegando ao total de

48 bolinhas de gude. Outro caminho de resolução desse problema com a utilização

da estrutura multiplicativa seria por meio da utilização do raciocínio proporcional. A

tabela a seguir ilustra os resultados verificados.

77

Tabela 8 - Resultados do problema 3

Categorias encontradas Número de

protocolos

Identificam a ideia da operação que resolve o problema e

acertam os procedimentos

22

Identificam a ideia da operação que resolve o problema,

mas não utilizam os procedimentos corretamente

2

Não identificam a operação e erram os procedimentos 27

Não resolvem 2

Fonte: elaboração das pesquisadoras

Problema 4. As meninas do clube “Cola e Decora” têm a mesma quantidade de

adesivos. Se 24 meninas têm juntas 72 adesivos, quantas meninas seriam

sócias do clube se tivessem 42 adesivos?

Figura 29 – Problema 4 do instrumento 2 Fonte: Elaborado pelo grupo.

Nesse problema esperávamos que os alunos realizassem-no a partir das

estruturas multiplicativas, inicialmente dividindo o número total de adesivos pelo

número de meninas para descobrir a quantidade de adesivos pertencentes a cada

menina; e, posteriormente realizando a divisão entre o novo número de adesivos

estipulado e o número de adesivos pertencente a cada menina, chegando ao total

de 14 meninas. Os resultados observados compõem a tabela a seguir.

78

Tabela 9 - Resultados do problema 4

Categorias encontradas Número de

protocolos

Identificam a ideia da operação que resolve o problema e

acertam os procedimentos

14

Identificam a ideia da operação que resolve o problema,

mas não utilizam os procedimentos corretamente

8

Não identificam a operação e erram os procedimentos 27

Não resolvem 4

Fonte: elaboração das pesquisadoras

4.3.2 O segundo grupo de problemas: Produto de Medidas

Como mencionamos anteriormente, nesta categoria de problemas

denominada por Vergnaud (1991) como Produto de Medidas, destacam-se os

problemas que requerem a utilização do raciocínio combinatório, em que todos os

elementos de um dos grupos são relacionados com todos os elementos do outro

grupo. Para a elaboração deste grupo de problemas, optamos em dividi-los em duas

etapas: problemas envolvendo a configuração retangular, e posteriormente

problemas que envolvem a ideia de combinatória.

4.3.2.1 Terceiro instrumento: problemas de configuração retangular

Apresentamos agora os três problemas aplicados nesse instrumento,

envolvendo a ideia de configuração retangular, pertencentes à classe de problemas

produto de medidas.

Problema 1. Em uma caixa com formato retangular cabem 96 maçãs. Sabendo

que as maçãs estão organizadas em fileiras e que em cada fileira cabem 12

maçãs, quantas fileiras de maçãs há nessa caixa?

Figura 30 – Problema 1 do instrumento 3 Fonte: Elaborado pelo grupo.

79

Neste problema, esperávamos que os alunos solucionassem-no realizando a

divisão entre o número total de maçãs que cabem na caixa e o número de maçãs

que cabem em cada fileira, chegando ao total de 8 fileiras.

Na tabela a seguir, é possível visualizar os resultados encontrados.

Tabela 10 - Resultados do problema 1

Categorias encontradas Número de

protocolos

Identificam a ideia da operação que resolve o problema e

acertam os procedimentos

20

Identificam a ideia da operação que resolve o problema,

mas não utilizam os procedimentos corretamente

7

Não identificam a operação e acertam os

procedimentos/algoritmos utilizados.

8

Não identificam a operação e erram os procedimentos 15

Fonte: elaboração das pesquisadoras

Problema 2. Uma caixa de ovos tem formato retangular. Os ovos estão

organizados em 6 fileiras com 8 ovos em cada fileira. Quantos ovos há nessa

caixa?

Figura 31 – Problema 2 do instrumento 3 Fonte: Elaborado pelo grupo.

Para solucionar este problema por meio da estrutura multiplicativa,

esperávamos que os alunos realizassem a multiplicação entre o número de fileiras e

o número de ovos contidos em cada fileira, chegando ao total de 48 ovos. A tabela a

seguir apresenta os resultados da análise.

80

Tabela 11 - Resultados do problema 2

Categorias encontradas Número de

protocolos

Identificam a ideia da operação que resolve o problema e

acertam os procedimentos

39

Identificam a ideia da operação que resolve o problema,

mas não utilizam os procedimentos corretamente

5

Não identificam a operação e erram os procedimentos 3

Indicam apenas o resultado e acertam 3

Fonte: elaboração das pesquisadoras

Problema 3. Numa fábrica de chocolates, os bombons estão organizados em

diferentes tipos de caixas retangulares. Cada caixa é organizada em fileiras e

colunas. Todas as fileiras têm a mesma quantidade de bombons e todas as

colunas também.

Organize esses bombons em diferentes tipos de caixas.

Figura 32 – Problema 3 do instrumento 3 Fonte: Elaborado pelo grupo.

Neste problema, procuramos ampliar as possibilidades de resolução, em que

os alunos poderiam indicar diferentes disposições de fileiras e colunas das caixas de

bombons. Por meio do raciocínio multiplicativo, o aluno poderia associar esta ideia

às tabuadas já conhecidas, apoiando-se nestas multiplicações para organizar os

bombons. A partir dessa organização podemos levantar a hipótese de que o aluno já

possua dentro do campo multiplicativo a ideia de produto de medidas. Os resultados

observados encontram-se na tabela a seguir.

81

Tabela 12 - Resultados do problema 3

Categorias encontradas Número de

protocolos

Identificam a ideia da operação que resolve o problema e

acertam os procedimentos

31

Não identificam a operação e erram os procedimentos 18

Não resolvem 1

Fonte: elaboração das pesquisadoras

4.3.2.2 Quarto instrumento: problemas de combinatória

Apresentamos agora os dois problemas aplicados na última etapa de nossa

investigação, envolvendo a ideia de combinatória, também pertencentes à classe de

problemas produto de medidas.

Figura 33 – Problema 1 do instrumento 4 Fonte: Elaborado pelo grupo.

Para solucionar este problema utilizando a estrutura multiplicativa,

esperávamos que os alunos multiplicassem a quantidade de opções de sucos pela

quantidade de opções de lanches, chegando ao total de 12 combinações possíveis.

Na tabela a seguir são apresentados os resultados observados.

82

Tabela 13 - Resultados do problema 1

Categorias encontradas Número de

protocolos

Identificam a ideia da operação que resolve o problema e

acertam os procedimentos

12

Não identificam a operação e acertam os

procedimentos/algoritmos utilizados.

20

Não identificam a operação e erram os procedimentos

11

Indicam apenas o resultado e acertam

5

Não resolvem

1

Fonte: elaboração das pesquisadoras

Problema 2. João vai passar alguns dias na praia e levou 6 camisetas e 3

bermudas. Quais são as diferentes combinações que ele poderá fazer?

Figura 34 – Problema 2 do instrumento 4 Fonte: Elaborado pelo grupo.

Neste problema, esperávamos que os alunos, por meio da estrutura

multiplicativa, realizassem a multiplicação entre o número de camisetas e o número

de bermudas, chegando ao total de 18 combinações possíveis. Os resultados

verificados foram compatibilizados na tabela a seguir.

83

Tabela 14 - Resultados do problema 2

Categorias encontradas Número de

protocolos

Identificam a ideia da operação que resolve o problema e

acertam os procedimentos

21

Não identificam a operação e acertam os

procedimentos/algoritmos utilizados.

10

Não identificam a operação e erram os procedimentos

16

Indicam apenas o resultado e acertam

1

Não resolvem

1

Fonte: elaboração das pesquisadoras

4.4 Análise dos instrumentos por categoria

Neste item, passamos a apresentar nossas análises, realizadas à luz do

referencial teórico já apresentado. Utilizamos os protocolos dos alunos para ilustrar

as categorias encontradas na resolução dos instrumentos elaborados.

4.4.1 Categoria 1 – Identificam a ideia da operação que resolve o problema e

acertam os procedimentos

Podemos verificar no problema 1, do instrumento 1, que a maioria dos

alunos identificou a ideia da operação envolvida e acertou o procedimento, conforme

evidenciamos no protocolo do aluno A1 representado na figura 35.

84

Figura 35 - Protocolo do A1 Fonte: arquivo da pesquisadora

No protocolo do aluno A1, apresentado na figura 35, podemos verificar que o

aluno compreende a ideia da correspondência um a muitos, elabora adequadamente

o algoritmo da operação de multiplicação e chega ao resultado correto. Porém, este

aluno não se preocupou em apresentar um registro de resposta por extenso.

O aluno A51, conforme apresentado na figura 36, também acertou o

problema, assim como o aluno anterior.

Figura 36 - Protocolo do A51 Fonte: arquivo da pesquisadora

Porém, podemos verificar no protocolo do aluno A51, que ele resolve a

operação de multiplicação realizando a troca de 10 unidades por 1 dezena,

85

diferentemente do aluno A1 que provavelmente fez mentalmente esta passagem.

Verificamos ainda no protocolo deste aluno, que o mesmo teve a preocupação em

apresentar o registro de resposta.

O aluno A52, também como os anteriores compreende a ideia da

correspondência um a muitos e elabora adequadamente o algoritmo da operação,

chegando ao resultado correto, conforme apresentamos na figura 37.

Figura 37 - Protocolo do A52 Fonte: arquivo da pesquisadora

No protocolo do aluno A52, apresentado na figura 37, nos chama atenção a

observação realizada no registro de resposta do aluno em que ele menciona a forma

como pensou para resolver o exercício. Este aluno, igualmente ao aluno A51, realiza

a troca de 10 unidades por 1 dezena para realizar a operação.

Observando os protocolos apresentados anteriormente, podemos considerar

segundo os níveis de aprendizagem da multiplicação descritos por Mendes e

Delgado (2008) que estes alunos já se encontram em um nível superior ao cálculo

formal, em que é possível perceber não somente o uso da multiplicação como

operação e o domínio de suas propriedades, mas também evidenciamos a

apropriação do trabalho com o algoritmo.

86

No problema 2 também verificamos um significativo número de alunos que

identificou a ideia da operação que resolve o problema e acertou os procedimentos,

como podemos exemplificar com o protocolo do aluno A40 apresentado na figura 38.

Figura 38 - Protocolo do A40 Fonte: arquivo da pesquisadora

Neste protocolo do aluno A40, representado na figura 38, podemos perceber

que o aluno compreende a ideia e dentro do raciocínio multiplicativo já se apropriou

do algoritmo da divisão, chegando ao resultado esperado e registrando formalmente

a resposta final.

No protocolo do aluno A21, assim como no protocolo do aluno A40,

podemos verificar que o aluno também identificou a operação que resolve o

problema 2.

87

Figura 39 - Protocolo do A21 Fonte: arquivo da pesquisadora

No protocolo do aluno A21, representado na figura 39, podemos perceber

que o aluno já se apropriou do algoritmo da divisão, chegando ao resultado

esperado, registrando formalmente a resposta final. Percebemos também que o

aluno utilizou como estratégia a adição repetida de parcelas para verificar quantos

grupos de 31 cabem em 93.

Diante do fato observado no protocolo do aluno A21, devemos nos atentar

para a abordagem realizada por Rocha e Menino (2008), em que afirmam que a

resolução de problemas envolvendo a ideia de divisão pode ser feita utilizando

procedimentos de multiplicação. Nesse caso a aprendizagem das duas operações

ocorre em uma estreita relação. Sobre o protocolo do aluno A21 podemos levantar a

hipótese de que ele ainda não estabelece relação entre as operações de divisão e

multiplicação ou entre seus algoritmos.

O protocolo do aluno A43, assim como nos protocolos anteriores, demonstra

que o aluno identifica a operação que resolve o problema e acerta o resultado,

conforme podemos verificar na figura 40.

88

Figura 40 - Protocolo do A43 Fonte: arquivo da pesquisadora

No protocolo do aluno A43, representado na figura 40, podemos encontrar

uma diferença em relação aos protocolos anteriores: o aluno identifica a operação

que resolve o problema, demonstra que possivelmente já tem estruturado o

raciocínio multiplicativo, compreende a ideia e acerta o resultado. Porém, o aluno

inverte o valor posicional da ordem do número de pessoas (31 para 13), e mesmo

assim consegue realizar o procedimento corretamente, chegando ao resultado

esperado e formalizando a resposta em seu registro. Podemos perceber que este

aluno utiliza o procedimento de prova real utilizando a operação de multiplicação,

ainda com o valor posicional invertido, mas acerta o resultado. Podemos levantar

como hipótese que o aluno realizou o procedimento de cálculo mental, mas se

preocupou em utilizar um registro, o que muitas vezes pode ser influenciado por

práticas docentes que conduzem o aluno a realizar o algoritmo e sua respectiva

prova real.

Outra hipótese sobre o procedimento é que este aluno já compreende a

relação existente entre as duas operações (já mencionada em Rocha e Menino,

2008), percebendo que a divisão é um processo inverso à multiplicação, e já tem

mais estruturada a ideia do campo multiplicativo.

O protocolo do aluno A4, representado na figura 41, evidencia um

procedimento de registro inverso para a montagem da operação.

89

Figura 41 - Protocolo do A4 Fonte: arquivo da pesquisadora

No protocolo deste aluno podemos perceber que ele utilizou a adição

repetida de parcelas para encontrar quantos grupos de 31 cabem em 93, o que

indica que ele compreende a ideia que norteia a divisão. Quanto ao algoritmo

representado, podemos levantar como hipótese que este aluno não se apropria de

todos os procedimentos necessários para realizar uma divisão por dois algarismos, e

realizou-o apenas para atender um procedimento exigido de resolução. Mais uma

vez podemos estar diante de um caso em que o algoritmo não exerce uma relação

de significado ao conteúdo, em que, segundo Saiz (1996), é necessário que os

alunos comprovem seus próprios procedimentos de resolução antes de conhecer os

algoritmos tradicionais, para poder compreender as ideias que permeiam uma

determinada uma operação.

Já os alunos A12 e A17, conforme ilustram as figuras 42 e 43, também

inverteram divisor e dividendo, mas diferem do aluno A4 por não utilizarem a adição

repetida de parcelas.

90

Figura 42 - Protocolo do A12 Fonte: arquivo da pesquisadora

Figura 43 - Protocolo do A17 Fonte: arquivo da pesquisadora

Nos protocolos dos alunos A12 e A17, respectivamente representados pelas

figuras 42 e 43, podemos considerar também que os alunos identificaram a

operação que resolve o problema, e acertaram o resultado. A diferença desses

protocolos para o registro dos demais alunos que elaboram o algoritmo dessa forma,

é que estes alunos conseguiram realizar a operação. Uma possível hipótese é a de

que os alunos utilizam a operação invertida como uma ideia de multiplicação, como

ilustra a figura 44.

91

Figura 44 - Ideia de multiplicação

Observando os procedimentos realizados no problema 3 podemos constatar

também que um grande número de alunos consegue compreender a ideia do

problema, conforme mostraremos na sequência.

Figura 45 - Protocolo do A4 Fonte: arquivo da pesquisadora

O protocolo do aluno A4, representado na figura 45, indica que ele identifica

a operação que resolve o problema e compreende a ideia do mesmo. O aluno acerta

os procedimentos, registra formalmente a resposta e chega ao resultado esperado,

demonstrando que possivelmente já se apropria das ideias que norteiam o raciocínio

multiplicativo. Podemos aprofundar nossas observações acerca desse aluno, visto

que anteriormente já apresentamos um protocolo realizado pelo mesmo, e que este

apresentou uma regularidade em seu raciocínio. A comparação dos protocolos nos

permite levantar a hipótese de que o aluno, apesar de identificar a ideia dos

92

problemas, ainda não se apropria dos procedimentos que envolvem uma divisão

com dois algarismos, e por isso utilizou de outros recursos no protocolo anterior

(figura 41).

No protocolo do aluno A20, também é perceptível que ele identifica a

operação que resolve o problema, acertando os procedimentos.

Figura 46 - Protocolo do A20 Fonte: arquivo da pesquisadora

Ao observarmos o protocolo do aluno A20, representado na figura 46,

podemos verificar que ele registra formalmente a resposta e chega ao resultado

esperado, o que pode demonstrar que já se tem desenvolvido o raciocínio

multiplicativo. Além disso, o aluno realiza a confirmação de seu resultado, por meio

do procedimento de prova real utilizando a operação de multiplicação. Isso quer

dizer que este aluno compreende divisão e multiplicação como operações inversas.

Podemos considerar que, a compreensão das relações existentes entre as

operações de multiplicação e divisão pode auxiliar o aluno a solucionar problemas

pertencentes ao campo multiplicativo. De acordo com os Parâmetros Curriculares

Nacionais (BRASIL, 1997), quando o aluno compreende essas relações, passa a

perceber as semelhanças nos cálculos, auxiliando na construção de um repertório

para o desenvolvimento das operações.

93

No problema 1, do instrumento 2, o protocolo do aluno A11 ilustra um dos

procedimentos de resolução.

Figura 47 - Protocolo do A11 Fonte: arquivo da pesquisadora

Ao analisarmos o protocolo do aluno A11, apresentado na figura 47,

podemos afirmar que o aluno identifica as operações necessárias para a resolução

do problema, elaborando corretamente o algoritmo das operações e chegando ao

resultado correto. Uma característica observada é que o aluno realizou o

procedimento de adição repetida de parcelas como estratégia para a verificação do

quociente encontrado na operação.

O protocolo do aluno A3 reproduz os procedimentos que alguns alunos

adotaram no problema 2, do instrumento 2.

Figura 48 - Protocolo do A3 Fonte: arquivo da pesquisadora

94

Ao observarmos o protocolo do aluno A3, apresentado na figura 48,

percebemos que o aluno identificou as operações requeridas no problema,

chegando ao resultado correto.

Percebemos também no protocolo que o aluno recorre ao procedimento de

adição repetida de parcelas para encontrar o quociente da primeira divisão, o que

indica a possibilidade que ele ainda desconheça, nesta etapa de escolarização, os

procedimentos que envolvem a realização da divisão entre números de maiores

grandezas.

Podemos observar no protocolo do aluno A11 outro procedimento revelado

em nossas análises.

Figura 49 - Protocolo do A11 Fonte: arquivo da pesquisadora

No protocolo no aluno A11, apresentado na figura 49, podemos observar

que ele também identifica a ideia da operação, elaborando o algoritmo, resolvendo-o

pelo processo longo, e chegando ao resultado esperado. É possível verificar que

este aluno realizou o procedimento de adição repetida de parcelas, possivelmente

para encontrar o quociente da segunda divisão realizada. Percebemos também que

o aluno se confundiu ao registrar esse quociente no algoritmo da divisão (75:15), o

que não o impediu de encontrar a solução do problema, já que foi possível perceber

que o mesmo encontrou o quociente adequado por meio do procedimento utilizado

anteriormente e utilizou-o para descobrir a quantidade correta de meninos. Este

aluno também se preocupou em registrar por extenso o resultado encontrado para o

problema. Mais uma vez consideramos interessante ressaltar a regularidade de

95

pensamento demonstrada por esse aluno em diferentes problemas, visto que este já

foi mencionado nesta categoria.

Verificando os procedimentos de resolução dos alunos quanto ao problema

3, do instrumento 2, podemos verificar a categoria em que os alunos compreendem

a ideia, chegando ao resultado correto, como podemos observar no protocolo do

aluno A10.

Figura 50 - Protocolo do A10 Fonte: arquivo da pesquisadora

No protocolo do aluno A10, apresentado na figura 50, podemos perceber

que ele compreende a ideia das operações envolvidas no problema, chegando ao

resultado correto. Também é possível observar que o aluno ainda se apoia no

procedimento de adição repetida de parcelas para verificar seu resultado. Outra

característica observada é que o aluno não se preocupou em apresentar o registro

por extenso da resposta do problema.

No protocolo do aluno A3, referente ao problema 4, do instrumento 2,

podemos visualizar nos procedimentos que ele identificou as operações e

compreende a ideia envolvida no problema, chegando à solução correta.

96

Figura 51 - Protocolo do A3 Fonte: arquivo da pesquisadora

Observando o protocolo do aluno A3, apresentado na figura 51, podemos

constatar que ele compreende a ideia muitos a muitos, e ainda se apoia em

procedimentos intermediários. É possível perceber na primeira operação de divisão

representada que ele utiliza a adição repetida de parcelas para encontrar o

quociente e verificar quantos grupos de 24 cabem em 72. Possivelmente o aluno

possui dificuldades em realizar o algoritmo da divisão com dois algarismos e devido

a isso buscou esse recurso. Já na segunda operação de divisão representada, o

aluno não utiliza de procedimentos intermediários e consegue chegar à solução,

porém é possível perceber que ele se confunde ao realizar a subtração “12 – 12” e

utiliza procedimentos aditivos para a resolução. Podemos perceber que o aluno

conhece os procedimentos envolvidos na operação de divisão, e não se preocupou

em apresentar um registro por extenso de sua resposta. Um importante fato a ser

mencionado é o de que anteriormente já foi apresentado um protocolo deste aluno,

em que foi possível observar uma perceptível semelhança em seus procedimentos.

Podemos observar no protocolo do aluno A16 outro caso em que a ideia da

operação que resolve o problema foi identificada.

97

Figura 52 - Protocolo do A16 Fonte: arquivo da pesquisadora

No protocolo do aluno A16, apresentado na figura 52, é possível

percebermos que ele também já se apropriou dos procedimentos do campo

multiplicativo, e, diferentemente do aluno A3, não recorre a outras operações,

limitando-se apenas à operação de divisão. O aluno acerta o resultado do problema,

e apresenta o registro por extenso da resposta encontrada.

Nos protocolos dos alunos A36 e A51, referentes ao problema 1 do

instrumento 3, podemos constatar que a ideia de configuração retangular foi

compreendida, em que os alunos conseguem chegar ao resultado esperado.

Figura 53 - Protocolo do A36 Fonte: arquivo da pesquisadora

98

Figura 54 - Protocolo do A51 Fonte: arquivo da pesquisadora

Os procedimentos encontrados nos protocolos dos alunos A36 e A51,

apresentados nas figuras 53 e 54 evidenciam que já há a apropriação das ideias

referentes à configuração retangular, em que os alunos também conseguem realizar

corretamente o procedimento da operação de divisão, além de registrarem por

extenso a resposta encontrada. Quanto ao protocolo do aluno A51, podemos

observar também que este utilizou o procedimento de adição repetida de parcelas

para verificar quantos grupos de 12 cabem em 96, e desse modo encontrar o

quociente da divisão. Anteriormente já apresentamos um protocolo deste aluno, em

uma situação envolvendo a operação de multiplicação, o que nos permite levantar a

hipótese de que este aluno ainda não estabelece relação entre a multiplicação e a

divisão como operações inversas, e por isso recorreu à adição repetida de parcelas

neste caso, mesmo sabendo realizar o procedimento envolvido na multiplicação.

Os protocolos dos alunos A2 e A5, referentes ao problema 2, do instrumento

3, indicam que eles provavelmente compreenderam a ideia de configuração

retangular, realizando a multiplicação entre a quantidade de fileiras e a quantidade

de ovos por fileira.

99

Figura 55 - Protocolo do A2 Fonte: arquivo da pesquisadora

Figura 56 - Protocolo do A5 Fonte: arquivo da pesquisadora

Ao analisarmos os protocolos dos alunos A2 e A5, apresentados nas figuras

55 e 56, podemos perceber que ambos identificaram a operação envolvida no

problema, chegam ao resultado esperado, e possivelmente já se apropriaram do

raciocínio multiplicativo. Algumas características diferenciam os procedimentos

desses alunos, em que o aluno A2 não se preocupa em realizar o registro da

resposta por extenso, enquanto o aluno A5 realiza esse registro. Outra diferença

observada é que o aluno A5 representou a estrutura da configuração retangular por

meio de desenho, além de representar o algoritmo da operação de multiplicação.

Uma hipótese seria a de que esse aluno se apoiou na contagem de sua

representação para obter o resultado da multiplicação, enquanto que o aluno A2 não

recorre a outros procedimentos. Segundo os níveis de aprendizagem da

100

multiplicação descritos por Mendes e Delgado (2008), o aluno A2 já se encontra em

um nível superior ao cálculo formal, pois percebemos não só o uso da multiplicação

como operação e o domínio de suas propriedades, mas também evidenciamos a

apropriação do trabalho com o algoritmo.

Os alunos A5 e A35 possivelmente conseguiram compreenderam a ideia do

problema 3, do instrumento 3, e conseguiram levantar hipóteses para a resolução do

problema.

Figura 57 - Protocolo do A5 Fonte: arquivo da pesquisadora

Figura 58 - Protocolo do A35 Fonte: arquivo da pesquisadora

101

Podemos perceber ao observar os protocolos dos alunos A5 e A35,

apresentados nas figuras 57 e 58, duas diferentes representações de disposições de

fileiras e colunas das caixas de bombons, a partir da operação de multiplicação. Os

alunos realizam corretamente a multiplicação, representando também por meio de

desenhos, que podem ter sido utilizados como recursos para a contagem. É

perceptível a partir destes algoritmos que já há a apropriação da ideia envolvida na

operação, e segundo os níveis de aprendizagem da multiplicação descritos por

Mendes e Delgado (2008), encontram-se no nível de cálculo formal. Novamente

podemos perceber a semelhança de procedimentos utilizada pelo aluno A5 em

diferentes problemas, o que demonstra uma regularidade em seu raciocínio.

O protocolo do aluno A11 revela um procedimento comum encontrado no

problema 1 do instrumento 4, em que a ideia do problema foi compreendida, e o

aluno utiliza procedimentos multiplicativos para a resolução.

Figura 59 - Protocolo do A11 Fonte: arquivo da pesquisadora

102

No protocolo do aluno A11, apresentado na figura 59, podemos perceber

que ele compreendeu a operação utilizada para a resolução do problema,

elaborando adequadamente o algoritmo da multiplicação entre a quantidade de

opções de sucos pela quantidade de opções de lanches para encontrar a quantidade

de combinações possíveis. É perceptível que o aluno também realizou uma

representação em seu protocolo, associando as combinações de sucos e lanches,

possivelmente para verificar se o resultado encontrado por meio da multiplicação

estava correto. Outro protocolo do aluno A11 já foi apresentado nessa categoria, o

que reforça nossas considerações realizadas sobre o mesmo.

Também é possível observarmos no protocolo do aluno A44 que a ideia

requerida para a solução do problema foi compreendida.

Figura 60 - Protocolo do A44 Fonte: arquivo da pesquisadora

Para categorizarmos o caso do aluno A44, apresentado na figura 60,

consideramos o registro de sua resposta, em que apesar de realizar o cálculo

103

mental, o aluno distingue que para tal utilizou a operação de multiplicação, o que nos

indica que ele compreende a ideia a partir do raciocínio multiplicativo, acertando o

procedimento.

No protocolo do aluno A35, referente ao problema 2, do instrumento 4,

podemos perceber uma situação comum nesse problema, em que a ideia de

combinatória foi compreendida a partir do raciocínio multiplicativo.

Figura 61 - Protocolo do A35 Fonte: arquivo da pesquisadora

O aluno A35, cujo protocolo é apresentado na figura 61, revela que ele

conseguiu identificar a operação necessária para a resolução do problema,

acertando o resultado. Ele elabora adequadamente o algoritmo da multiplicação e

registra a resposta encontrada por extenso. Podemos verificar neste protocolo que

provavelmente o aluno já tem apropriação da ideia de combinatória, e, segundo os

níveis de aprendizagem descritos por Mendes e Delgado (2008), encontra-se em um

nível de cálculo formal, em que, provavelmente, já há a apropriação dos

procedimentos envolvidos na operação, fato que também foi possível observar em

seu outro protocolo, também apresentado nesta categoria.

104

4.4.2 Categoria 2 – Identificam a ideia da operação que resolve o problema,

mas não utilizam os procedimentos corretamente

No protocolo do aluno A2, referente ao problema 1, do instrumento 1, é

perceptível que a operação foi identificada, e possivelmente ele compreende a ideia

da correspondência um a muitos, porém erra ao realizar a operação, conforme

podemos observar na figura 62.

Figura 62 - Protocolo do A2 Fonte: arquivo da pesquisadora

Ao observamos o protocolo do aluno A2 na figura 62, podemos perceber que

o aluno identifica a operação envolvida no problema, mas erra os procedimentos de

cálculo, em que realiza um procedimento aditivo para a resolução da operação entre

os algarismos 5 e 2 na ordem da unidade. Isto pode indicar que este aluno aprendeu

a indicar o algoritmo da operação de multiplicação, mas não se apropriou dos

procedimentos que a compõem, e devido a isso ocorre um erro conceitual. Este

aluno opera a multiplicação, como se esta fosse uma adição.

Podemos discutir sobre esse protocolo reportando-nos às considerações

apresentadas em Ferreira (2011), em que a autora menciona o fato da utilização do

algoritmo sem a compreensão das etapas que a compõem, o que pode evidenciar

que o aluno foi ensinado apenas a aplicá-lo, sem a preocupação do entendimento

dos conceitos envolvidos.

105

Também como o aluno A2, podemos sugerir que o aluno A7 identifica a

operação envolvida no problema, mas erra os procedimentos de cálculo.

Figura 63 - Protocolo do A7 Fonte: arquivo da pesquisadora

No protocolo do aluno A7 apresentado na figura 63, podemos verificar que

ele identificou a operação envolvida, apesar de elaborar de forma não convencional

o algoritmo da operação de multiplicação. Porém, ele erra durante a contagem na

ordem de dezenas. Neste caso verificamos um erro procedimental e não conceitual.

Outro caso observado no problema 3, do instrumento 1, revela que o aluno

A37 identifica a ideia da operação, mas erra o procedimento.

Figura 64 - Protocolo do A37 Fonte: arquivo da pesquisadora

106

Ao observarmos o protocolo do aluno A37, apresentado na figura 64,

podemos perceber que ele tem a ideia de divisão, porém ainda não se apropriou de

uma representação formal da matemática, utilizando como recurso a divisão por

agrupamento, o que indica que ele compreende a ideia, mas erra no momento de

formar os grupos, formando um grupo a mais, e não chegando ao resultado

esperado.

Apesar de o aluno ter compreendido a ideia envolvida no problema,

podemos verificar que esse tipo de procedimento utilizado para a resolução torna-se

preocupante nessa fase de escolarização que marca a transição dos anos iniciais

para os anos finais do Ensino Fundamental, em que os alunos irão se deparar com

problemas que envolverão números de maiores grandezas, e, esse tipo de

procedimento não será adequado para sua resolução. Podemos verificar nos

Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) que, no segundo ciclo (3ª série /

4° ano e 4ª série / 5° ano), os alunos já deveriam estar consolidando e construindo

novas estratégias para a resolução dos problemas matemáticos.

O protocolo do aluno A51 também revela uma característica que pode

indicar que o aluno ainda não se apropriou dos procedimentos que envolvem as

operações do campo multiplicativo, mas já apresenta noções quanto à ideia e

identificação delas.

Figura 65 - Protocolo do A51 Fonte: arquivo da pesquisadora

107

Observando o protocolo do aluno A51, representado na figura 65, podemos

verificar um procedimento semelhante ao do aluno A37, em que o aluno possui a

ideia de divisão, mas utiliza um recurso que não pertence ao campo multiplicativo

para chegar à solução. Nesse caso o aluno utiliza a adição repetida de parcelas até

chegar ao total de garrafas, porém se confunde ao adicionar “63 + 3”, e acaba

“pulando” uma repetição, o que o faz chegar ao resultado 23 pessoas, ao invés de

24 pessoas.

Segundo os níveis descritos por Mendes e Delgado (2008), esse aluno

encontra-se em um nível de cálculo por contagem, em que o uso da multiplicação

ainda não é explícito. O procedimento utilizado pelo aluno pode nos indicar que ele

ainda não compreendeu a relação existente entre as operações de multiplicação e

divisão, e também não se apropriou dos procedimentos que envolvem o algoritmo

dessas operações. Percebemos que ele representa o algoritmo da divisão,

provavelmente por conseguir identificar a ideia de divisão presente no problema,

mas não desenvolve a operação, utilizando a adição repetida de parcelas para

verificar quantos grupos de 3 cabem em 72.

Podemos perceber essa categoria também ao observarmos os protocolos

dos alunos A17 e A12, referente ao problema 2 do instrumento 2, em que o

resultado não é encontrado devido a erros procedimentais.

Figura 66 - Protocolo do A17 Fonte: arquivo da pesquisadora

108

Figura 67 - Protocolo do A12 Fonte: arquivo da pesquisadora

Observando os protocolos dos alunos A17 e A12, representados nas figuras

66 e 67, respectivamente, podemos perceber que os alunos identificam a ideia das

operações envolvidas no problema, mas erram durante a resolução do algoritmo da

operação de divisão, trocando o número do problema e não chegando ao resultado

correto.

No protocolo do aluno A4, referente ao problema 3, do instrumento 2,

podemos verificar que ele identifica as operações requeridas para a solução do

problema, mas erra durante a realização dos procedimentos da operação de divisão,

acarretando no erro de sua solução.

Figura 68 - Protocolo do A4 Fonte: arquivo da pesquisadora

Podemos observar no protocolo do aluno A4, apresentado na figura 68, que

ele compreendeu a ideia do problema, mas não conseguiu desenvolver os

procedimentos da operação de divisão e por isso tentou resolver pela adição

109

repetida de parcelas. Porém ele se confunde ao realizar a adição repetida de

parcelas para encontrar o quociente, em que erra ao adicionar o algarismo 6 na

ordem da unidade, levando ao erro do resultado final.

Ao observarmos o protocolo do aluno A20, referente ao problema 1, do

instrumento 3, verificamos que ele compreende a ideia das operações envolvidas no

problema, mas erra nos procedimentos de resolução realizados.

Figura 69 Protocolo do A20 Fonte: arquivo da pesquisadora

No protocolo do aluno A20, apresentado na figura 69, podemos perceber

que o erro ocorre durante o procedimento realizado na operação de divisão, em que

o aluno A20 erra ao realizar a adição repetida de parcelas para encontrar o

quociente. É perceptível que o aluno conseguiu identificar a operação a ser utilizada,

mas não conseguiu acertar o resultado do problema devido ao erro na operação de

adição. Também podemos perceber a partir do procedimento de adição repetida de

parcelas a não compreensão da relação existente entre as operações de

multiplicação e divisão. Rocha e Menino (2008) afirmam que a resolução de

problemas que envolvem a ideia de divisão pode ser feita a partir da utilização de

conhecimentos relacionados à multiplicação, para que a aprendizagem das duas

operações ocorra em estreita relação.

110

O protocolo do mesmo aluno A20, referente ao problema 2, do instrumento

4, indica um outro erro procedimental, em que ele identifica a operação, mas erra

durante a realização dos procedimentos envolvidos.

Figura 70 - Protocolo do A20 Fonte: arquivo da pesquisadora

No protocolo do aluno A20, apresentado na figura 70, podemos perceber

que o aluno conseguiu compreender a ideia de configuração retangular,

representando a multiplicação entre a quantidade de fileiras e a quantidade de ovos

por fileira. Porém erra na realização da multiplicação, não chegando ao resultado

correto. Podemos levantar como hipótese a de que muitas vezes os alunos se

preocupam em “decorar” a tabuada, e com isso não raciocinam no sentido da

multiplicação que estão realizando. Provavelmente esse aluno se confundiu com o

produto de 7 e 6, que realmente seria 42.

Segundo os níveis de aprendizagem da multiplicação descritos por Mendes

e Delgado (2008), este aluno provavelmente encontra-se no nível de cálculo formal,

em que demonstra utilizar de valores conhecidos das tabuadas para a realização do

produto, pensando em um nível puramente numérico.

4.4.3 Categoria 3 - Identificam a operação que resolve o problema, mas

apenas indicam a operação, e não a desenvolvem

No problema 2, do instrumento 1, podemos observar essa categoria, em que

é perceptível que o aluno conseguiu identificar a operação, mas não consegue

desenvolvê-la.

111

Figura 71 - Protocolo do A31 Fonte: arquivo da pesquisadora

No protocolo do aluno A31, podemos dizer que o aluno identificou a

operação envolvida no problema, porém elabora o algoritmo com base na ordem em

que os números são apresentados no enunciado, o que pode indicar que ele não

tem propriedade quanto às variáveis envolvidas no problema. Podemos levantar

como hipótese que este aluno não tenha desenvolvido a operação porque acabou

elaborando uma operação em que o dividendo é menor que o divisor.

O caso apresentado no protocolo do aluno A27, referente ao problema 3, do

instrumento 1, revela que ele possivelmente ainda não se apropriou dos

procedimentos envolvidos no algoritmo da divisão.

Figura 72 - Protocolo do A27 Fonte: arquivo da pesquisadora

112

No protocolo do aluno A27, apresentado na figura 72, podemos verificar que

o aluno compreende a ideia, mas não desenvolve a operação, o que pode indicar

que o aluno ainda não tenha compreendido os procedimentos que envolvem a

operação de divisão.

Sobre esse caso, podemos nos apoiar em Saiz (1996) quando afirma que,

para a aprendizagem da divisão, é necessário proporcionar situações que permitam

estabelecer relações ao que o aluno já sabe, fazendo evoluir os procedimentos

iniciais até outros mais complexos. Podemos perceber que o aluno possivelmente

não conseguiu estabelecer relações entre seus procedimentos pessoais e o

algoritmo tradicional, não conseguindo desenvolver a operação.

4.4.4 Categoria 4 - Não identificam a operação e acertam os

procedimentos/algoritmos utilizados

Pudemos observar um número relevante de ocorrências dessa categoria no

problema 2, do instrumento 1, em que os alunos não conseguem identificar a

operação de multiplicação (ou divisão), e mesmo assim acertam os procedimentos

utilizados, dentre as quais destacamos os protocolos dos alunos A11, A19 e A22.

Figura 73 - Protocolo do A11 Fonte: arquivo da pesquisadora

113

Figura 74 - Protocolo do A19 Fonte: arquivo da pesquisadora

Figura 75 - Protocolo do A22 Fonte: arquivo da pesquisadora

Nos protocolos dos alunos A11, A19 e A22, apresentados nas figuras 73, 74

e 75, podemos observar uma mesma característica, em percebemos que os alunos

não identificam a operação de divisão (ou multiplicação), porém acertam a resolução

ao resolverem o problema a partir de um procedimento de adição repetida de

parcelas. Diante desses protocolos, podemos levantar a hipótese de que os alunos

possuem dificuldade de dividir por dois algarismos, e buscam outro recurso para a

resolução, neste caso, a adição repetida de parcelas para descobrir quantos grupos

de 31 cabem em 93.

114

Podemos considerar segundo os níveis de aprendizagem da multiplicação

descritos por Mendes e Delgado (2008) que estes alunos se encontram em um

primeiro nível, o cálculo por contagem. Podemos considerar que este nível não é

adequado para esta fase de escolarização, em que segundo os Parâmetros

Curriculares Nacionais (1997) o aluno já deveria estar consolidando e construindo o

significado das operações, aprimorando seus procedimentos pessoais,

aproximando-os das técnicas operatórias.

Esses protocolos podem indicar a forma como a multiplicação vem sendo

ensinada aos alunos. Segundo Nunes et al (2009), o conceito de multiplicação

ensinado como sendo uma adição repetida de parcelas pode ser questionado no

ponto de vista conceitual, existindo diferenças entre o raciocínio aditivo e

multiplicativo, conforme já mencionamos anteriormente.

No problema 1, do instrumento 2, o registro do aluno A3 indica um

procedimento de resolução semelhante ao do aluno anterior.

Figura 76 - Protocolo do A3 Fonte: arquivo da pesquisadora

No protocolo do aluno A3, representado na figura 76, podemos perceber que

ele ainda não identifica todas as operações do campo multiplicativo que resolvem o

problema, em que ao invés de realizar a divisão, recorre ao procedimento da adição

repetida de parcelas. Percebemos também que o aluno consegue realizar a

operação de multiplicação.

Possivelmente o aluno A3 ainda não se apropriou dos algoritmos formais

que envolvem a operação de divisão e por isso recorreu ao procedimento de adição

repetida de parcelas para encontrar o resultado. Considerando esse procedimento,

115

apesar de podermos perceber que o aluno consegue solucionar o problema, é

necessário atentarmo-nos para o fato de que, a não apropriação do algoritmo da

operação de divisão nessa fase de escolarização torna-se preocupante, à medida

que este aluno irá se deparar com problemas que utilizam números de maiores

grandezas nos anos finais do Ensino Fundamental, o que irá requerer que o aluno

compreenda as noções que contemplam a operação de divisão para solucioná-los

mais facilmente.

Neste momento reportamo-nos à Nunes et al. (2009), quando defendem que

o ensino das operações de multiplicação e divisão é iniciada de forma tardia, em que

suas ideias já poderiam ser trabalhadas no início do Ensino Fundamental. Deste

modo, o aluno já poderia conhecer essas ideias, a partir da elaboração de

estratégias pessoais e procedimentos próprios de resolução, para que, chegando ao

5° ano, esteja apto ao trabalho com procedimentos formais, como é o caso dos

algoritmos.

Os alunos A35 e A37, no problema 1, do instrumento 3, revelam em seus

protocolos que não identificaram a ideia das operações do campo multiplicativo na

configuração retangular, mas conseguem chegar ao resultado correto.

Figura 77 - Protocolo do A35 Fonte: arquivo da pesquisadora

116

Figura 78 - Protocolo do A37 Fonte: arquivo da pesquisadora

Nos protocolos dos alunos A35 e A37, apresentados nas figuras 77 e 78,

podemos verificar que eles não conseguiram identificar as operações pertencentes

ao campo multiplicativo para realizar o problema, e utilizam o procedimento de

adição repetida de parcelas, conseguindo encontrar a solução do problema.

Assim como os alunos A35 e A37, o aluno A42 também resolve o problema

por meio de procedimentos que não pertencem ao campo multiplicativo.

Figura 79 - Protocolo do A42 Fonte: arquivo da pesquisadora

Observando o protocolo do aluno A42, apresentado na figura 79,

percebemos que o ele realiza o procedimento inverso ao utilizado pelos alunos A35

117

e A37, por meio de subtrações sucessivas para encontrar o número de fileiras. O

protocolo do aluno pode revelar que ele ainda não se apropriou dos procedimentos

pertencentes aos algoritmos das operações do campo multiplicativo.

Sobre os alunos que não utilizaram procedimentos pertencentes ao campo

multiplicativo para a resolução do problema, podemos verificar em Vergnaud (2012)

que devemos respeitar as diversas formas de raciocínio demonstradas pelos alunos.

Porém, devemos também alertamo-nos para o fato de que os procedimentos

utilizados posteriormente poderão não ser “adequados”, já que os alunos poderão se

deparar com números de maiores grandezas, o que dificultará sua resolução por

meio desse procedimento.

Nos protocolos dos alunos A9, A28 e A56, referentes ao problema 1, do

instrumento 4, podemos perceber que eles não identificaram a ideia de combinatória

a partir do raciocínio multiplicativo, mas conseguiram encontrar a solução do

problema por meio de outros procedimentos de resolução.

Figura 80 - Protocolo do A9 Fonte: arquivo da pesquisadora

118

Figura 81 - Protocolo do A28 Fonte: arquivo da pesquisadora

Figura 82 - Protocolo do A56 Fonte: arquivo da pesquisadora

119

Observando os protocolos dos alunos A9, A28 e A56, apresentados nas

figuras 80, 81 e 82 respectivamente, percebemos a utilização de procedimentos de

distribuição um a um, relacionando os dados fornecidos, ou até mesmo descrevem

todas as possibilidades de combinações, conseguindo encontrar a solução a partir

da contagem dessas representações. Analisando esses tipos de procedimentos

podemos afirmar que os alunos ainda não conseguem identificar a operação

necessária para solucionar o problema, o que pode indicar que provavelmente ainda

não se estabeleceu a relação existente entre o raciocínio multiplicativo e a ideia de

combinatória. Diante dos procedimentos utilizados pelos alunos A9, A28 e A56,

percebemos que podem se tornar “inadequados” em problemas que envolvem

números de maiores grandezas.

Nos protocolos dos alunos A36 e A10, referentes ao problema 2, do

instrumento 4, podemos perceber que a operação associada ao raciocínio

multiplicativo que permeia a ideia de combinatória não foi identificada, porém os

alunos utilizam de outros recursos para a resolução.

Figura 83 - Protocolo do A36 Fonte: arquivo da pesquisadora

120

Figura 84 - Protocolo do A10 Fonte: arquivo da pesquisadora

A partir da análise dos protocolos dos alunos A36 e A10, apresentados nas

figuras 83 e 84, podemos perceber a utilização de procedimentos de distribuição um

a um, por meio da árvore de possibilidades, em que os alunos provavelmente

utilizaram os procedimentos de contagem para encontrar o resultado do problema.

Observamos que, possivelmente os alunos ainda não se apropriam dos

procedimentos multiplicativos na ideia de combinatória, e, como já mencionamos

anteriormente, essa situação torna-se preocupante nesta fase de escolarização.

4.4.5 Categoria 5 - Não identificam a operação e erram os procedimentos

O protocolo do aluno A45, referente ao problema 1, do instrumento 1,

evidencia que a ideia da operação que resolve o problema não foi identificada.

121

Figura 85 - Protocolo do A45 Fonte: arquivo da pesquisadora

Podemos observar no protocolo do aluno A45, apresentado na figura 85, que

ele não conseguiu identificar a operação necessária para a resolução do problema, e

acabou dividindo o número de alunos pelo número de garrafas. Uma hipótese não

seria a de que o aluno não desenvolveu o raciocínio multiplicativo, pelo contrário,

soube realizar corretamente a operação de divisão. Possivelmente o aluno não

soube interpretar a ideia contida no enunciado do problema, acarretando assim o

erro em sua resolução.

Diante do que foi observado neste protocolo, podemos ressaltar a

abordagem feita por Vergnaud (2012), em que o pesquisador defende a importância

de um trabalho com problemas que não se restrinja a um trabalho puramente

numérico. Percebemos que, quando o trabalho com problemas é realizado dessa

forma, muitas vezes os alunos não conseguem interpretar a ideia contida nele, o que

não contribui para uma aprendizagem significativa do conteúdo.

Referindo-nos ao problema 2, do mesmo instrumento, obtivemos um número

significativo de alunos que não identificaram a ideia e erraram os procedimentos,

dentre os quais podemos destacar algumas características, conforme mostraremos

nos protocolos do aluno A9 apresentado na figura 86.

122

Figura 86 - Protocolo do A9 Fonte: arquivo da pesquisadora

Fica evidente com base em seu protocolo que esse aluno não conseguiu

compreender a ideia envolvida no problema, onde realiza a operação de subtração

entre o número de garrafas e o número de pessoas, não chegando ao resultado

esperado. Ele sabe que precisa utilizar os dados numéricos do enunciado, mas não

sabe como operar com eles diante da ideia apresentada.

Podemos observar no protocolo do aluno A27 outra característica que indica

a não identificação da ideia e do raciocínio multiplicativo presente no problema.

Figura 87 - Protocolo do A27 Fonte: arquivo da pesquisadora

Este aluno, assim como o aluno A9, trabalha no campo aditivo. Ele realiza a

adição do número de garrafas e do número de pessoas, o que também indica que o

123

mesmo não conseguiu compreender a ideia envolvida no problema, não chegando

ao resultado esperado.

A partir das observações feitas sobre os protocolos dos alunos A9 e A27,

faz-se necessário reportarmo-nos novamente à Vergnaud (2012), quando considera

que os problemas não são apenas para trabalhar numericamente sim para construir

conhecimento em relação à atividade matemática, o que parece não estar ocorrendo

nos exemplos apresentados anteriormente.

Como categoria verificada no problema 3, do instrumento 1, observamos o

protocolo do aluno A2.

Figura 88 - Protocolo do A2 Fonte: arquivo da pesquisadora

O protocolo do aluno A2, representado na figura 88, evidencia que este

aluno possivelmente ainda não desenvolveu o raciocínio multiplicativo, não

compreendendo a ideia e errando os procedimentos de resolução. Podemos

observar também que o aluno ainda não tem consolidado o raciocínio aditivo, em

que representa a operação como uma subtração e a resolve pelo procedimento da

adição.

Outro caso pode ser observado no protocolo do aluno A26, referente ao

problema 1, do instrumento 2.

124

Figura 89 - Protocolo do A26 Fonte: arquivo da pesquisadora

No protocolo do aluno A26, representado na figura 89, podemos perceber

que ele não compreendeu a ideia do problema, representando apenas a operação

de multiplicação entre o número de meninos e de carrinhos. Uma característica que

observamos é a de que o aluno representa uma multiplicação, mas opera os

números por meio da operação de adição, o que pode nos indicar que ele ainda não

se apropriou dos procedimentos que envolvem a operação de multiplicação.

Percebemos nos registro desses alunos que ambos realizaram um trabalho apenas

no campo numérico, sem levar em conta o significado envolvido no problema. Tal

fato é prejudicial à medida que, deste modo, os alunos acabam por tentar “adivinhar”

a operação a ser realizada. Com isso, não se atribui significado ao problema, e os

alunos não desenvolvem autonomia para levantarem estratégias de resolução diante

de diferentes situações.

Em outro protocolo do aluno A2, é possível verificar novamente que a ideia

do problema não é compreendida.

Figura 90 - Protocolo do A2 Fonte: arquivo da pesquisadora

125

No protocolo do aluno A2, apresentado na figura 90, podemos observar uma

regularidade quanto ao seu outro protocolo já apresentado, em que ele não

compreende a ideia requerida para solucionar o problema, e possivelmente ainda

não tem estruturado os procedimentos que envolvem o raciocínio multiplicativo.

Percebemos também que o aluno pode não ter compreendido o objetivo do

enunciado do problema, em que acaba “unindo” os valores 15 e 75 (1575) para

dividi-lo por 90.

Saiz (1996) alerta para o fato de que muitas vezes os alunos não atribuem

significados ao algoritmo que aplicam, em que o algoritmo aparece apenas como um

trabalho sobre os números, independendo dos dados e da situação enunciada, não

mobilizando seus esquemas intelectuais para solucionar os problemas. Neste

problema esse fato parece estar se refletindo, em que pudemos perceber que, além

de o aluno não ter interpretado o objetivo do problema, revela em seu registro a não

apropriação dos procedimentos envolvidos na operação de divisão.

Também é possível observar a partir do protocolo do aluno A22 uma

característica encontrada no procedimento de resolução do problema 2, do

instrumento 2 em que a operação necessária não é identificada.

Figura 91 - Protocolo do A22 Fonte: arquivo da pesquisadora

Percebemos no protocolo do aluno A22, apresentado na figura 91, que o

aluno não identifica a ideia presente no problema, em que representa uma

multiplicação entre o número de meninos e o número de chaveiros, e resolve o

algoritmo por meio de procedimentos aditivos. Ainda assim, podemos verificar que o

126

aluno realiza esse procedimento erroneamente, invertendo a ordem das casas

decimais durante a representação da adição “5+5”.

Sobre este protocolo podemos verificar que o algoritmo aplicado mais uma

vez não exerce uma função de significado ao aluno, em que seus procedimentos

são desconhecidos e o aluno acaba utilizando procedimentos da operação de

adição, demonstrando também não se apropriar plenamente de alguns

procedimentos aditivos, o que é preocupante para essa fase de escolarização, em

que, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997), o aluno já deveria estar

consolidando e construindo novos significados a partir da resolução de problemas.

O protocolo do aluno A31, referente ao problema 2, do instrumento 2,

também apresenta um procedimento em que não é identificada a ideia requerida no

problema.

Figura 92 - Protocolo do A31 Fonte: arquivo da pesquisadora

Ao observarmos o protocolo do aluno A31, representado na figura 92,

podemos perceber que ele não consegue chegar à solução correta do problema, em

que a ideia requerida para sua resolução não foi completamente compreendida.

Podemos afirmar que o aluno realiza apenas um procedimento necessário para a

resolução, por meio da divisão entre o número de chaveiros e o número de meninos.

Percebemos também no procedimento da divisão que o aluno ainda se apoia em um

procedimento de contagem por “palitos”, realizando agrupamentos para chegar ao

resultado.

127

A partir do protocolo do aluno A31, percebemos que o mesmo ainda não

compreendeu a relação existente entre as operações de multiplicação e divisão, em

que o aluno utiliza o procedimento de contagem para encontrar o quociente da

divisão realizada. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) sugerem que, para a

melhor compreensão dos procedimentos envolvidos na operação de divisão, sejam

analisadas suas relações existentes com a multiplicação, a fim de que o aluno possa

construir um repertório para o desenvolvimento das operações, por meio de análises

e comparações.

O protocolo do aluno A44 também indica um procedimento semelhante ao

do aluno A31.

Figura 93 - Protocolo do A44 Fonte: arquivo da pesquisadora

Podemos perceber ao analisar o registro do aluno A44, apresentado na

figura 93, que a ideia do problema também não foi compreendida completamente,

em que o aluno apenas realiza apenas a divisão de 75 chaveiros por 15 meninos,

provavelmente por não identificar todas as variáveis envolvidas no problema. É

perceptível que o aluno compreende a ideia que envolve a operação de divisão.

Uma hipótese acerca do registro do aluno é a de que a operação foi realizada

mentalmente, porém ele não consegue chegar ao resultado correto da divisão.

Outro protocolo do aluno A2 apresenta o mesmo procedimento já

demonstrado por ele anteriormente, em que a ideia do problema não é

compreendida.

128

Figura 94 - Protocolo do A2 Fonte: arquivo da pesquisadora

Podemos observar novamente no protocolo do aluno A2, apresentado na

figura 94, que o aluno não compreendeu a ideia do problema, errando os

procedimentos de resolução da operação. Possivelmente o aluno entende o

problema como um meio de trabalhar as operações aprendidas em sala de aula, o

que pode ser fruto das aulas em que o professor evidencia os números e o aluno

acaba por acreditar que deve utilizá-los de qualquer forma. Com isso, o trabalho

acaba no campo numérico, sem levar em conta o significado envolvido no problema.

No protocolo do aluno A31, referente ao problema 3, do instrumento 2,

verificamos outro procedimento de resolução

Figura 95 - Protocolo do A31 Fonte: arquivo da pesquisadora

129

Observando o protocolo do aluno A31, apresentado na figura 95, podemos

perceber que o aluno não compreendeu completamente a ideia requerida para a

resolução do problema, realizando apenas o procedimento da operação de divisão

entre o número de bolinhas de gude e o número de meninos. Isso pode indicar que

provavelmente este aluno está habituado a trabalhar problemas que envolvem

apenas dois dados e devido a isso não sabe o que fazer com o terceiro dado

envolvido. Verificamos também que o aluno utilizou o recurso de contagem, assim

como em seu protocolo anterior já apresentado nessa categoria, por agrupamentos

como procedimento de confirmação do quociente da divisão realizada, o que não é

adequado para esta fase de escolarização.

No protocolo do aluno A33, referente ao problema 3, do instrumento 2,

podemos observar outro tipo de recurso utilizado para a resolução da operação de

divisão.

Figura 96 - Protocolo do A33 Fonte: arquivo da pesquisadora

O protocolo do aluno A33, apresentado na figura 96, demonstra que o aluno

não compreendeu completamente a ideia requerida para solucionar o problema,

realizando apenas um procedimento próprio para dividir o número de bolinhas de

gude e o número de meninos, o que pode indicar, assim como o aluno A31, que ele

está habituado a trabalhar problemas que envolvem apenas dois dados. Podemos

observar no registro do aluno que a representação da divisão não é feita por um

algoritmo convencional, e sim por uma representação não convencional, por meio da

distribuição um a um.

130

Em outro protocolo do aluno A44, referente ao problema 3, do instrumento 2,

podemos observar o mesmo procedimento verificado na resolução.

Figura 97 - Protocolo do A44 Fonte: arquivo da pesquisadora

Percebemos ao analisarmos o protocolo do aluno A44, apresentado na

figura 97, que ele erra o procedimento porque elabora parcialmente a resolução,

pelo fato de não compreender a ideia muitos a muitos. Porém, é possível perceber

que ele tem a apropriação da relação que envolve a operação de divisão, apenas

não se apropriou dos procedimentos formais de representação da mesma, errando

na própria contagem, e não encontrando o resultado correto da operação.

Os procedimentos encontrados no protocolo do aluno A48 indica que ele não

conseguiu compreender a ideia envolvida no problema 3, do instrumento 2.

Figura 98 - Protocolo do A48 Fonte: arquivo da pesquisadora

Observando o protocolo do aluno A48, apresentado na figura 98, podemos

verificar que ele não identificou as operações necessárias para a resolução do

problema, em que adicionou todos os valores presentes no enunciado, não

131

conseguindo chegar à solução. Mais uma vez podemos perceber que o aluno deve

estar habituado a realizar um trabalho que acaba no campo numérico, o que

Vergnaud (2012) considera inadequado, onde deveria ser levado em consideração o

significado envolvido no problema, possibilitando a construção de relações

significativas que favoreçam a aprendizagem.

No protocolo do aluno A2, referente ao problema 4, do instrumento 2,

podemos perceber que a ideia que norteia o problema não foi identificada.

Figura 99 - Protocolo do A2 Fonte: arquivo da pesquisadora

O protocolo do aluno A2, apresentado na figura 99, revela que ele não

compreendeu a ideia da operação envolvida no problema, onde o aluno utiliza os

valores na ordem em que aparecem no enunciado, representando com o sinal de

uma divisão e solucionando a partir de uma adição. O aluno não identificou as

operações necessárias para a resolução do problema, adicionando todos os valores

presentes no enunciado. Podemos perceber que o aluno acaba por realizar um

trabalho que acaba no campo numérico, em que, segundo Saiz (1996) não é levado

em conta o significado envolvido no problema. Fica evidente neste protocolo que o

aluno não se apropriou das ideias pertencentes ao campo multiplicativo.

Os alunos A27 e A22 demonstram em seus protocolos não terem

compreendido a ideia norteadora do problema 2, do instrumento 3.

132

Figura 100 - Protocolo do A27 Fonte: arquivo da pesquisadora

Figura 101 - Protocolo do A22 Fonte: arquivo da pesquisadora

Nos protocolos dos alunos A27 e A22, apresentados nas figuras 100 e 101,

podemos observar que ainda não há apropriação da ideia de configuração

retangular. Os alunos elaboram uma operação de adição com os dados numéricos

fornecidos no enunciado, e devido a isso não conseguem encontrar a solução

correta. Provavelmente os alunos não conseguiram identificar a operação

necessária para a resolução por realizarem um trabalho apenas no campo numérico,

sem levar em conta o significado da ideia envolvida no problema.

Ao observarmos o protocolo do aluno A2, referente ao problema 1, do

instrumento 4, podemos verificar que, neste caso, a operação não foi identificada.

133

Figura 102 - Protocolo do A2 Fonte: arquivo da pesquisadora

O protocolo do aluno A2, apresentado na figura 102, evidencia que o aluno

não conseguiu identificar os procedimentos adequados para a resolução do

problema, não encontrando a solução do mesmo. O aluno primeiramente adiciona a

quantidade de sucos à quantidade de lanches, sem fazer as combinações, e

posteriormente realiza um procedimento de multiplicação em que provavelmente

utiliza apenas a quantidade de opções de lanches (3 x 3), não chegando ao

resultado correto.

Ao analisarmos o protocolo do aluno A46, podemos observar que a ideia de

combinatória referente ao raciocínio multiplicativo também não foi compreendida.

134

Figura 103 - Protocolo do A46 Fonte: arquivo da pesquisadora

Observando o protocolo do aluno A46, apresentado na figura 103, podemos

perceber que ele ainda não se apropria da ideia de combinatória pertencente ao

raciocínio multiplicativo, e por isso descreve as possibilidades de combinações de

sucos e lanches. Porém, a partir dessa descrição, o aluno não consegue descobrir

todas as combinações possíveis, errando o resultado.

Os alunos A13 e A22 demonstram em seus protocolos, no problema 2, do

instrumento 4, não perceberem a relação entre o raciocínio multiplicativo e a ideia de

combinatória.

135

Figura 104 - Protocolo do A13 Fonte: arquivo da pesquisadora

Figura 105 - Protocolo do A22 Fonte: arquivo da pesquisadora

Observando o protocolo dos alunos A13 e A22, apresentados nas figuras

104 e 105, acreditamos que eles não compreenderam a ideia da operação envolvida

no problema, em que realizam o procedimento de distribuição um a um, não

conseguindo descobrir todas as combinações possíveis e errando o resultado.

136

4.4.6 Categoria 6 - Não identificam a operação que resolve o problema,

apenas indicam uma operação, e não a desenvolvem

No protocolo do aluno A27, referente ao problema 1, do instrumento 2,

podemos observar a categoria em que a operação não é desenvolvida.

Figura 106 - Protocolo do A27 Fonte: arquivo da pesquisadora

Ao analisarmos o protocolo do aluno A27, apresentado na figura 106,

podemos verificar que o aluno possivelmente compreendeu a ideia da operação

inicial do problema, representando o algoritmo da operação de divisão. Porém, o

aluno não dá continuidade aos demais procedimentos necessários e não desenvolve

a operação, o que pode indicar que ele ainda não se apropriou dos procedimentos

requeridos para a resolução.

Sobre a situação observada nesse protocolo, atentamo-nos para a ressalva

feita por Saiz (1996), ao afirmar que previamente ao ensino dos algoritmos é

necessário que os alunos consigam comprovar seus procedimentos próprios de

resolução. Possivelmente o aluno não conseguiu desenvolver a operação por não

conseguir atribuir uma relação de significado entre seus procedimentos próprios

comumente utilizados e os procedimentos que envolvem o algoritmo da divisão, e,

por isso o aluno talvez não tenha conseguido elaborar estratégias de resolução.

4.4.7 Categoria 7 - Indicam apenas o resultado e acertam

Os protocolos dos alunos A39 e A56, referentes ao problema 2, do

instrumento 4, indicam a realização do problema a partir do procedimento de cálculo

mental.

137

Figura 107 - Protocolo do A39 Fonte: arquivo da pesquisadora

Figura 108 - Protocolo do A56 Fonte: arquivo da pesquisadora

Observando os protocolos dos alunos A39 e A56, apresentados nas figuras

107 e 108, podemos identificar por meio dos registros dos próprios alunos que

houve a utilização do cálculo mental para a resolução do problema. Porém, como já

dito anteriormente, este procedimento não nos permite em nossa análise verificar a

partir do protocolo se estes alunos realizaram-no a partir de estruturas aditivas,

adicionando a quantidade de ovos de cada fileira ou a partir de estruturas

multiplicativas, multiplicando a quantidade de fileiras, pela quantidade ovos contidos

em cada fileira, o que indicaria que o aluno já se apropria de um procedimento de

cálculo automatizado.

138

O aluno A38, no problema 1, do instrumento 4, apresenta em seu protocolo

o resultado correto, e indica em seu registro que realizou o procedimento de cálculo

mental.

Figura 109 - Protocolo do A38 Fonte: arquivo da pesquisadora

É possível perceber no protocolo do aluno A38, apresentado na figura 109,

que ele conseguiu encontrar a solução do problema por meio do cálculo mental.

Porém não é possível identificarmos qual foi o raciocínio utilizado pelo aluno ao

resolvê-lo, e se ele compreende a ideia por meio das estruturas multiplicativas;

portanto consideramos dentro das categorias por nós estabelecidas que este aluno

indica apenas o resultado, chegando à resposta esperada.

4.5 Considerações sobre análise do primeiro instrumento

Para a realização da análise apresentada, elaboramos previamente um

inventário de dados no intuito de organizá-los de acordo com as categorias, para

que pudéssemos visualizar amplamente o desempenho dos alunos na resolução de

cada instrumento. A seguir, apresentamos o inventário de dados de nosso primeiro

instrumento.

139

Tabela 15 – Inventário de dados do instrumento 1

ISOMORFISMO DE MEDIDAS – UM

A MUITOS

PROBLEMA 1

TOTAL

PROBLEMA 2

TOTAL

PROBLEMA 3

TOTAL

IDENTIFICAM A IDEIA DA

OPERAÇÃO

QUE RESOLVE O PROBLEMA

ACERTAM OS PROCEDIMENTOS

A1, A3, A4, A5,

A6, A8, A9, A10, A11, A12, A13,

A14, A15, A16,

A17, A18, A19, A20, A21, A22,

A23, A24, A25,

A26, A27, A28, A29, A30, A31,

A32, A33, A34,

A35, A36, A37, A38, A39, A40,

A41, A42, A43,

A44, A46, A47, A48, A49, A50,

A51, A52, A53,

A54

51

A4, A5, A7, A8,

A12, A13, A14, A16, A17, A18,

A20, A21, A28,

A29, A30, A36, A39, A40, A42,

A43, A44, A45,

A47, A51

24

A3, A4, A5, A6,

A8, A9, A10, A11, A12, A14,

A15, A16, A17,

A18, A19, A20, A21, A24, A28,

A29, A30, A31,

A34, A36, A39, A40, A42, A43,

A44, A45, A47

31

NÃO UTILIZAM

PROCEDIMENTOS CORRETAMENTE

A2, A7

2

A1, A10, A15,

A33, A38, A52

6

A1, A7, A22,

A26, A33, A35,

A37, A51, A52

9

NÃO A

DESENVOLVEM

_

0

A31, A34

2

A27

1

NÃO

IDENTIFICAM A OPERAÇÃO

ACERTAM OS

PROCEDIMENTOS / ALGORITMOS

UTILIZADOS

_

0

A3, A11, A19,

A22, A26, A37

6

_

0

ERRAM OS PROCEDIMENTOS

A45

1

A2, A6, A9,

A23, A24, A25, A27, A32, A35,

A41, A46, A48,

A49, A50, A53,

A54

16

A2, A13, A23,

A25, A32, A38, A41, A46, A48,

A49, A50, A53,

A54

13

NÃO A DESENVOLVEM

_

0

_

0

_

0

INDICAM APENAS O RESULTADO E ACERTAM

_ 0 _ 0 _ 0

NÃO RESOLVEM

_

0

_

0

_

0

Fonte: elaboração das pesquisadoras

Ao analisarmos nosso primeiro instrumento, pertencente ao grupo de

problemas descrito por Vergnaud (1991) como Isomorfismo de Medidas, pudemos

verificar que, apesar de nem todos os alunos já demonstrarem identificar a operação

do campo multiplicativo, grande parte dos alunos conseguiu chegar ao resultado

esperado.

Ao longo de nossas análises acerca dos procedimentos de resolução

utilizados pelos alunos, pudemos observar algumas características semelhantes

reveladas nos registros. Na sequência apresentamos essas características por meio

140

de categorias elaboradas a partir de nossas observações acerca dos registros

apresentados pelos alunos nos problemas pertencentes a este instrumento.

Problema 1:

- Elaboram o algoritmo e utilizam o cálculo mental para a ordem de dezena;

- Elaboram o algoritmo e utilizam o procedimento de troca de 10 unidades por 1

dezena;

- Elaboram o algoritmo da multiplicação, mas trabalham no campo aditivo;

- Elaboram de forma inversa o algoritmo da operação e erram na contagem da

ordem de dezena;

- Identificam a ideia apresentada no problema como uma operação de divisão e não

de multiplicação.

Problema 2:

- Elaboram adequadamente o algoritmo e o resolvem pelo processo longo;

- Elaboram adequadamente o algoritmo, resolvem pelo processo longo, e realizam a

adição repetida de parcelas para encontrar o quociente;

- Elaboram o algoritmo da divisão invertendo a ordem correta do dividendo e divisor;

- Resolvem o problema utilizando o procedimento de parcelas repetidas por meio da

adição;

- Elaboram uma operação de adição ou subtração com os dados numéricos

fornecidos no enunciado.

Problema 3:

- Elaboram adequadamente o algoritmo da divisão e resolvem pelo processo longo;

141

- Utilizam processos distintos de agrupamento por meio de representações

“pictóricas”;

- Elaboram o algoritmo da operação de divisão, mas não o resolvem;

- Resolvem o problema utilizando o procedimento de parcelas repetidas por meio da

adição;

- Elaboram uma operação de adição ou subtração com os dados numéricos

fornecidos no enunciado.

Observamos nesse instrumento que a maior parte dos alunos utilizou para a

resolução dos problemas, procedimentos pertencentes ao campo multiplicativo, por

meio das operações de multiplicação e divisão. Ainda sobre esse instrumento,

pudemos verificar que os alunos obtiveram maiores êxitos no problema 1, que

envolvia a operação de multiplicação, e menores êxitos na resolução dos problemas

2 e 3, que envolviam a operação de divisão.

4.6 Considerações sobre a análise do segundo instrumento

Para que pudéssemos visualizar amplamente o desempenho dos alunos na

resolução do segundo instrumento, organizamos os dados coletados no inventário a

seguir.

142

Tabela 16 – Inventário de dados do instrumento 2

ISOMORFISMO DE MEDIDAS –

MUITOS A MUITOS

PROBLEMA

1

TOTAL

PROBLEMA

2

TOTAL

PROBLEMA

3

TOTAL

PROBLEMA

4

TOTAL

IDENTIFICAM A IDEIA DA

OPERAÇÃO

QUE RESOLVE O

PROBLEMA

ACERTAM OS PROCEDIMENTOS

A4, A7, A8,

A9, A10, A11, A12, A14,

A15, A16,

A17, A18, A19, A20,

A21, A28,

A35, A36, A39, A41,

A43, A45,

A47, A51

24

A3, A4, A7,

A11, A15, A16, A19,

A20, A21,

A28, A35, A36, A39,

A40, A45,

A51

16

A7, A9, A10,

A11, A14, A15, A16,

A17, A18,

A19, A20, A21, A24,

A28, A30,

A36, A39, A40, A43,

A45, A47,

A51

22

A3, A4, A9,

A10, A15, A16, A17,

A19, A20,

A21, A28, A36, A40,

A45

14

NÃO UTILIZAM

PROCEDIMENTOS CORRETAMENTE

_

0

A9, A10, A12,

A14, A17, A18, A24,

A41

8

A4, A35

2

A7, A11, A12,

A14, A18, A24, A43,

A47

8

NÃO A DESENVOLVEM

_

0

_

0

_

0

_

0

NÃO

IDENTIFICAM A OPERAÇÃO

ACERTAM OS

PROCEDIMENTOS / ALGORITMOS

UTILIZADOS

A3

1

_

0

_

0

_

0

ERRAM OS

PROCEDIMENTOS

A1, A2, A13, A22, A23,

A24, A25,

A26, A29, A30, A31,

A32, A33,

A34, A37, A38, A40,

A42, A44,

A46, A48, A49, A50,

A52, A55

25

A2, A5, A8, A13, A22,

A23, A25,

A26, A27, A29, A30,

A31, A32,

A33, A34, A37, A38,

A42, A43,

A44, A46, A47, A48,

A49, A50,

A52, A55

27

A1, A2, A3, A8, A12, A13,

A22, A23,

A25, A26, A27, A29,

A31, A32,

A33, A34, A37, A38,

A41, A42,

A44, A46, A48, A49,

A50, A52,

A55

27

A2, A8, A13, A23, A25,

A26, A27,

A29, A30, A31, A32,

A33, A34,

A35, A37, A38, A39,

A41, A42,

A44, A46, A48, A49,

A50, A51,

A52, A55

27

NÃO A

DESENVOLVEM

A5, A27

2

_

0

_

0

_ 0

INDICAM APENAS O RESULTADO

E ACERTAM

_

0

_

0

_

0

_

0

NÃO RESOLVEM

A6

1

A1, A6

2

A5, A6

2

A1, A5, A6,

A22

4

Fonte: elaboração das pesquisadoras

Analisando o segundo instrumento, ainda pertencente ao grupo de

problemas descrito por Vergnaud (1991) como Isomorfismo de Medidas,

evidenciamos que a maioria dos alunos demonstrou não compreender a ideia

envolvida no problema, errando seus procedimentos, em que grande parte dos

alunos não conseguiu chegar ao resultado esperado.

Apresentamos na sequência algumas categorias elaboradas com base nos

registros apresentados pelos alunos nos problemas pertencentes a este instrumento.

143

Problema 1:

- Elaboram adequadamente o algoritmo, resolvem pelo processo longo e realizam a

confirmação do resultado encontrado por meio da adição repetida de parcelas;

- Resolvem o problema utilizando o procedimento de parcelas repetidas por meio da

adição;

- Elaboram uma operação de adição ou subtração com os dados numéricos

fornecidos no enunciado;

- Elaboram uma operação de multiplicação com os dados numéricos fornecidos no

enunciado e realizam a operação por meio da operação de adição;

- Elaboram a operação de divisão e não resolvem.

Problema 2:

- Elaboram adequadamente o algoritmo da divisão, resolvem pelo processo longo e

se apoiam na adição repetida de parcelas para encontrar o quociente;

- Elaboram adequadamente o algoritmo, resolvem pelo processo longo e realizam a

confirmação do resultado encontrado por meio do procedimento de adição repetida

de parcelas;

- Unem os valores numéricos fornecidos no enunciado para representar o algoritmo

da divisão, não conseguindo solucionar o problema;

- Elaboram o algoritmo da multiplicação, resolvem por procedimentos aditivos,

invertendo a ordem das casas decimais durante a realização da adição;

- Não identificam a relação entre as variáveis envolvidas no problema, realizando

uma adição com os dados numéricos fornecidos no enunciado;

- Não realizam todos os procedimentos necessários para chegar à solução, e se

apoiam em representações pictóricas.

144

Problema 3:

- Elaboram adequadamente o algoritmo, realizam o procedimento da adição repetida

de parcelas para encontrar o quociente;

- Elaboram o algoritmo da divisão, tentam resolver por meio da adição repetida de

parcelas, mas erram os procedimentos de contagem na ordem de unidade;

- Unem os valores numéricos fornecidos no enunciado, representam o algoritmo da

divisão, não efetuando corretamente a operação;

- Elaboram uma operação de adição ou subtração com os dados numéricos

fornecidos no enunciado;

- Utilizam procedimentos próprios de resolução por meio de representações

pictóricas (distribuição um a um).

Problema 4:

- Elaboram adequadamente o algoritmo e o resolvem pelo processo longo;

- Elaboram o algoritmo e utilizam a adição repetida de parcelas para encontrar o

quociente;

- Elaboram uma operação de adição ou subtração com os dados numéricos

fornecidos no enunciado.

Pudemos verificar sobre o desempenho dos alunos nos problemas

envolvendo a ideia muitos a muitos que, em todos os problemas, a maior parte dos

alunos não compreendeu a ideia envolvida, não identificando para a resolução dos

problemas os procedimentos pertencentes ao campo multiplicativo, por meio das

operações de multiplicação e divisão. Faz-se importante destacar sobre esse grupo

de problemas que todos eles requeriam a apropriação do pensamento proporcional,

por meio das operações de multiplicação e divisão para sua resolução, em que

também pudemos identificar as maiores dificuldades nos procedimentos de divisão.

145

4.7 Considerações sobre a análise do terceiro instrumento

Para auxiliar na visualização do desempenho dos alunos na resolução do

terceiro instrumento, organizamos os dados coletados no inventário a seguir.

Tabela 17 – Inventário de dados do instrumento 3

CONFIGURAÇÃO RETANGULAR

PROBLEMA

1

TOTAL

PROBLEMA 2

TOTAL

PROBLEMA 3

TOTAL

IDENTIFICAM

A IDEIA DA OPERAÇÃO

QUE RESOLVE

O PROBLEMA

ACERTAM OS

PROCEDIMENTOS

A3, A4, A5, A6, A7, A9,

A12, A13, A14, A18, A21, A28,

A36, A39, A40,

A45, A46, A47, A51, A56

20

A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8,

A9, A11, A12, A14, A17, A18,

A23, A24, A25,

A26, A28, A29, A30, A31, A34,

A35, A36, A37,

A38, A40, A41, A42, A44, A45,

A47, A48, A50,

A51, A52, A54, A55

39

A3, A5, A7, A9, A11, A12, A14,

A18, A20, A21, A26, A28, A29,

A30, A31, A35,

A36, A37, A38, A39, A40, A41,

A42, A44, A45,

A46, A47, A51, A54, A55, A56

31

NÃO UTILIZAM

PROCEDIMENTOS CORRETAMENTE

A1, A11, A19,

A20, A24, A26,

A27

7

A10, A19, A20,

A21, A57

5

_

0

NÃO A DESENVOLVEM

_

0

_

0

_

0

NÃO

IDENTIFICAM

A OPERAÇÃO

ACERTAM OS

PROCEDIMENTOS

/ ALGORITMOS UTILIZADOS

A8, A34, A35, A37, A38, A41,

A42, A54

8

_

0

_

0

ERRAM OS PROCEDIMENTOS

A2, A10, A17,

A22, A23, A25, A29, A30, A31,

A44, A48, A50,

A52, A55, A57

15

A13, A22, A27

3

A1, A2, A4, A6,

A8, A10, A13, A17, A19, A22,

A23, A24, A25,

A27, A34, A50, A52, A57

18

NÃO A DESENVOLVEM

_

0

_

0

_

0

INDICAM APENAS O RESULTADO E

ACERTAM

_

0

A39, A46, A56

3

_

0

NÃO RESOLVEM

_

0

_

0

A48

1

Fonte: elaboração das pesquisadoras

Analisando o terceiro instrumento, pertencente ao grupo de problemas

descrito por Vergnaud (1991) como Produto de Medidas, evidenciamos que a

maioria dos alunos demonstrou compreender a ideia envolvida no problema por

meio do raciocínio multiplicativo, chegando ao resultado esperado.

Apresentamos na sequência algumas categorias elaboradas acerca dos

registros apresentados pelos alunos nos problemas pertencentes a este instrumento.

146

Problema 1:

- Elaboram adequadamente o algoritmo e o resolvem pelo processo longo;

- Elaboram adequadamente o algoritmo, resolvem pelo processo longo e realizam a

confirmação do resultado encontrado por meio do procedimento de adição repetida

de parcelas;

- Elaboram o algoritmo, realizam o procedimento de adição repetida de parcelas

para encontrar o quociente, erram na adição e não chegam ao resultado correto;

- Resolvem o problema por meio da adição repetida de parcelas;

- Resolvem o problema por meio da subtração repetida de parcelas;

- Elaboram uma operação de adição ou subtração com os dados numéricos

fornecidos no enunciado, errando na adição da ordem das dezenas.

Problema 2:

- Elaboram adequadamente o algoritmo e realizam uma representação pictórica do

problema;

- Elaboram adequadamente o algoritmo e erram na realização da operação de

multiplicação;

- Elaboram uma operação de adição ou subtração com os dados numéricos

fornecidos no enunciado;

- Utilizam o cálculo mental para resolver o problema.

Problema 3:

- Elaboram adequadamente o algoritmo e realizam uma representação pictórica do

problema;

- Não conseguem levantar hipóteses de resolução do problema.

147

Pudemos observar sobre o desempenho dos alunos nos problemas

envolvendo a ideia de configuração retangular que, em todos os problemas, a maior

parte dos alunos compreendeu a ideia envolvida, identificando para a resolução dos

problemas os procedimentos pertencentes ao campo multiplicativo. Evidenciamos

também que os menores êxitos obtidos estão relacionados ao problema 1, o que

pode indicar a não apropriação de procedimentos requeridos nas operação de

divisão.

4.8 Considerações sobre a análise do quarto instrumento

Os dados coletados e as categorizações referentes ao quarto instrumento

podem ser observados no inventário a seguir.

Tabela 18 – Inventário de dados do instrumento 4

COMBINATÓRIA

PROBLEMA 1

TOTAL

PROBLEMA 2

TOTAL

IDENTIFICAM A

IDEIA DA OPERAÇÃO

QUE RESOLVE O PROBLEMA

ACERTAM OS

PROCEDIMENTOS

A5, A11, A12, A14, A20,

A21, A29, A31, A44, A45,

A50, A55

12

A3, A11, A12, A20, A21,

A29, A31, A35, A37, A38,

A40, A41, A44, A45, A46, A47, A50, A51, A52, A55,

A56

21

NÃO UTILIZAM PROCEDIMENTOS

CORRETAMENTE

_

0

_

0

NÃO A DESENVOLVEM

_

0

_

0

NÃO IDENTIFICAM A OPERAÇÃO

ACERTAM OS PROCEDIMENTOS /

ALGORITMOS

UTILIZADOS

A3, A4, A7, A9, A13, A19, A26, A28, A30, A34, A35,

A36, A37, A39, A40, A41,

A42, A47, A51, A56

20

A1, A4, A7, A10, A18, A28, A34, A36, A42, A54

10

ERRAM OS

PROCEDIMENTOS

A2, A6, A8, A17, A22,

A23, A24, A25, A46, A52, A57

11

A2, A5, A6, A8, A9, A13,

A14, A17, A19, A22, A23, A24, A25, A26, A30, A57

16

NÃO A DESENVOLVEM

_

0

_

0

INDICAM APENAS O RESULTADO E ACERTAM

A1, A10, A18, A38, A54

5

A39

1

NÃO RESOLVEM

A27

1

A27

1

Fonte: elaboração das pesquisadoras

Analisando o quarto e último instrumento, pertencente ao grupo de

problemas descrito por Vergnaud (1991) como Produto de Medidas, evidenciamos

que grande parte dos alunos conseguiu chegar ao resultado esperado, em que, para

148

tal pudemos observar não somente a utilização de procedimentos multiplicativos

para a resolução dos problemas, mas também verificamos a utilização de

procedimentos próprios de resolução.

Apresentamos na sequência algumas categorias elaboradas a partir dos

registros apresentados pelos alunos nos problemas pertencentes a este instrumento.

Faz-se necessário destacar que, neste instrumento, identificamos as mesmas

categorias nos dois problemas que o compõem.

Problemas 1 e 2:

- Elaboram adequadamente o algoritmo da multiplicação, chegando ao resultado do

correto;

- Utilizam o cálculo mental para resolver o problema;

- Utilizam procedimentos próprios por meio de representação pictórica, por meio da

árvore de possibilidades;

- Elaboram uma operação de adição ou subtração com os dados fornecidos no

enunciado;

- Utilizam o procedimento de cálculo mental para resolver o problema.

Podemos observar sobre o desempenho dos alunos nos problemas

envolvendo a ideia de combinatória que a maior parte dos alunos conseguiu

encontrar a solução correta para a resolução dos mesmos. É importante verificarmos

que nos dois problemas encontramos uma quantidade significativa de alunos que

não utilizaram os procedimentos pertencentes ao campo multiplicativo, em que no

problema 1 esse número ultrapassa a quantidade de alunos que utiliza a estrutura

multiplicativa.

4.9 Algumas considerações sobre o capítulo

Após analisarmos os dois grupos de problemas descritos por Vergnaud

(1983, 1991), isomorfismo de medidas e produto de medidas, pudemos verificar que,

apesar de nem todos os alunos já demonstrarem compreender a ideia por meio do

149

raciocínio multiplicativo, no geral, grande parte dos alunos conseguiu encontrar a

solução dos problemas.

Em alguns casos percebemos que os alunos utilizam para a resolução dos

problemas representações não convencionais e algoritmos intermediários. Na

operação de divisão, encontramos a realização de procedimentos de contagem por

agrupamento e até mesmo de subtrações sucessivas para encontrar o quociente. Já

na operação de multiplicação pudemos encontrar procedimentos de adição repetida

de parcelas iguais e de representações de distribuições um a um.

Observando os protocolos dos alunos segundo os níveis de aprendizagem

na multiplicação descritos por Treffers e Buys (2001) e Fosnot e Dolk (2001),

pudemos identificar que é possível encontrarmos em nossa investigação os três

níveis: cálculo por contagem, cálculo estruturado e cálculo formal.

Pudemos perceber em alguns protocolos que os alunos utilizam os dados do

enunciado do problema sem identificar o procedimento adequado para a resolução,

o que pode indicar que alguns alunos demonstram dificuldades em encontrar a

operação correta a ser utilizada, muitas vezes por não atribuir significado às

situações problemas que lhes são apresentadas. Acerca desse fato, podemos nos

apoiar na análise realizada por Saiz (1996), ao defender que a identificação dos

procedimentos a serem realizados depende do significado atribuído pelo aluno à

situação, em que muitas vezes podemos perceber que o aluno se preocupa em

realizar um puro trabalho sobre números contidos no problema, abstendo-se pouco

a sua compreensão.

Um número significativo de alunos demonstrou dificuldades para resolver

problemas envolvendo a operação de divisão, em que não identificam a operação

envolvida no problema, demonstram não se apropriar dos procedimentos envolvidos,

não desenvolvendo a operação. Em alguns casos, os alunos representam

erroneamente dividendo e divisor, invertendo suas posições, não conseguindo

desenvolver o algoritmo representado. Neste caso, podemos estar diante de uma

característica descrita nos estudos realizados por Saiz (1996) e Brousseau (1987)

sobre os algoritmos e saberes institucionalizados, em que muitas vezes essa forma

150

de representação não indica que o aluno saiba utiliza-la, não atribuindo significado

ao algoritmo elaborado.

Percebemos também em alguns casos evidenciados em nossa análise que,

quando o aluno utiliza recursos de contagem, como no caso de agrupamentos, da

adição repetida de parcelas e da distribuição um a um, os alunos podem acabar se

confundindo durante esse procedimento com números de maiores grandezas,

dificultando sua contagem.

Sobre os procedimentos próprios de resolução observados, consideramos

importante que os alunos consigam levantar hipóteses e estratégias de resolução

para um determinado problema, mas acreditamos também que alguns tipos de

representações verificados não são adequados para esta fase de escolarização em

que, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) o aluno já deveria estar

consolidando e construindo o significado das operações, aprimorando seus

procedimentos pessoais, aproximando-os das técnicas operatórias. Percebemos em

alguns casos também que os alunos não compreendem a relação existente entre as

operações de multiplicação e divisão, em que estas podem estar sendo trabalhadas

isoladamente, fato que não auxilia no entendimento dos procedimentos que as

envolvem.

Diante dessas observações, nossa preocupação torna-se relevante a partir

do momento em que evidenciamos que esses alunos encontram-se no período de

transição para os anos finais do Ensino Fundamental, e que, a não apropriação do

raciocínio multiplicativo, seja por meio de procedimentos informais ou algoritmos

pode resultar em futuras dificuldades de aprendizagem em relação a outros

conteúdos matemáticos que irão requerer sua utilização. Sabemos que no 6° ano

essas operações serão novamente abordadas nas aulas, porém seria adequado que

estes alunos já se apropriassem dos conceitos, ideias, representações e relações

existentes nas operações de multiplicação e divisão, para que essas dificuldades

não se estendam e se agravem pelos demais anos de escolarização, em que os

procedimentos pessoais utilizados poderão se tornar ineficazes diante de problemas

que contenham um maior nível de complexidade.

151

CAPÍTULO 5 – CONSIDERAÇÕES E CONTRIBUIÇÕES SOBRE O

ENSINO E A APRENDIZAGEM DAS OPERAÇÕES DO CAMPO

MULTIPLICATIVO

Neste capítulo apresentamos de forma sintética a trajetória de nosso estudo,

articulada a algumas reflexões realizadas com base nos resultados observados ao

longo de nossa investigação. A partir dessas reflexões, procuramos retomar nossas

questões de pesquisa, buscando respondê-las de modo a tecer indicativos e trazer

contribuições para esta temática, no que se refere ao ensino e a aprendizagem das

operações do campo multiplicativo.

5.1 Caminhos da investigação: do desenvolvimento da pesquisa aos

resultados encontrados

Nossa pesquisa foi desenvolvida objetivando compreender como os alunos,

delimitando nesse estudo a fase de escolarização do 5° ano, demonstram seus

conhecimentos em situações que envolvem as operações pertencentes ao campo

multiplicativo.

Para tal, norteamo-nos em duas questões de pesquisa, as quais

retomaremos nesse momento, seguidas de reflexões com embasamento em nossa

investigação que nos possibilitaram respondê-las.

Nossa primeira questão de pesquisa foi estruturada da seguinte forma:

“Quais as interpretações demonstradas por alunos do 5° ano ao resolverem

problemas do Campo Multiplicativo?”.

Procuramos responder essa questão de pesquisa ao longo de nossas

análises, demonstrando os diferentes procedimentos utilizados pelos alunos diante

de cada problema. Retomando brevemente nossas análises, podemos destacar

algumas observações sobre essas interpretações.

Percebemos quanto às interpretações demonstradas pelos alunos que, os

mesmos conseguiram identificar a ideia de uma multiplicação ou divisão mais

152

facilmente em problemas simples, como os que contemplavam as ideias um a

muitos e configuração retangular.

Nos problemas que contemplavam a ideia muitos a muitos, ficou evidente

em nossas análises as diversas interpretações equivocadas, em que a maior parte

dos alunos utilizou operações e procedimentos ineficazes para a resolução dos

problemas, demonstrando não compreender o significado dos mesmos.

Constatamos nessa etapa da análise fragilidades quanto à interpretação do

raciocínio proporcional, dificultando a resolução das situações apresentadas.

Quanto aos problemas que envolviam a ideia de combinatória, pudemos

encontrar interpretações distintas, em que os alunos muitas vezes utilizaram

procedimentos e esquemas pessoais para a resolução dos problemas.

Essas observações nos dão indícios de que a interpretação dada pelos

alunos a estes problemas por muitas vezes não revelou a percepção da relação

entre as operações, e por algumas vezes demonstraram realizar um trabalho

puramente numérico, sem levar em conta o significado do contexto, o que pode ter

dificultado a compreensão de algumas situações apresentadas.

Nossa segunda questão de pesquisa buscava compreender “Quais os

indícios de compreensão revelados por alunos de 5° ano em relação às

estruturas multiplicativas?”.

Acerca dessa questão, percebemos em nossos estudos que grande parte

dos alunos investigados demonstram compreender a ideia que norteia cada uma

dessas operações; fato este que pode ser considerado favorável ao ensino e a

aprendizagem das mesmas. Porém, também ficou evidente que, além de

compreender a ideia norteadora de cada operação, é necessário que os alunos

saibam identificá-las diante das mais variadas situações, como as apresentadas em

nossos instrumentos; necessidade esta que por muitas vezes percebemos não

ocorrer em nosso cenário de investigação, em que, os mesmos alunos que em um

determinado instrumento demonstraram identificar a ideia envolvida, em outros

instrumentos não conseguiam elaborar procedimentos de resolução.

153

Por outro lado, pudemos perceber também casos em que um mesmo aluno

apresentou o mesmo tipo de raciocínio nos diferentes problemas, em que é possível

perceber claramente em nosso inventário de dados (anexo VI), que nos permite

acompanhar melhor o desempenho do aluno. Esses tipos de casos demonstram

uma regularidade de pensamento, em que os alunos que utilizam os mesmos

procedimentos, podem também contribuir para a validação de nossas observações e

hipóteses levantadas por meio das análises dos protocolos.

Outro indício que pudemos perceber refere-se à quando o aluno elabora o

algoritmo formal e por sua vez não consegue ou erra os procedimentos envolvidos

neste. Diante dessa situação, é possível levantarmos a hipótese de que o algoritmo

formal foi determinado ao aluno, sem que seja estabelecida uma relação de

compreensão dos procedimentos envolvidos em suas etapas de resolução. Com

isso, o aluno não atribui significado aos procedimentos realizados, muitas vezes

operando “mecanicamente”, como algo que lhe parece necessário.

Cabe ressaltar nesse momento que a metodologia adotada para a realização

das análises contribuiu para esse estudo, e primordialmente para que pudéssemos

responder nossas questões de pesquisa, de modo que a observação qualitativa dos

dados coletados possibilitou-nos descobrir e perceber as diferentes interpretações

demonstradas e também as fragilidades quanto ao desenvolvimento de

procedimentos que envolvem estas operações.

Sobre os aportes teóricos utilizados, podemos evidenciar suas contribuições

à medida que nos permitiram a percepção de um panorama acerca das concepções

atribuídas tanto ao ensino quanto a aprendizagem das operações de multiplicação e

divisão, em que foi possível ao longo de nossas análises retomarmos essas

concepções, articulando-as às nossas observações e reflexões no que se refere aos

procedimentos demonstrados pelos alunos.

Evidenciando a Teoria dos Campos Conceituais, podemos apontar sua

contribuição também para a elaboração de nossos instrumentos de pesquisa, em

que, como já abordado anteriormente, estes foram elaborados com base nas

categorias de problemas descritas por Vergnaud. As categorias descritas por

Vergnaud (1991) possibilitaram-nos a elaboração de instrumentos que contemplam

154

diferentes estruturas de problemas multiplicativos, que nos propiciaram uma análise

aprofundada a fim de identificarmos as características reveladas pelos alunos em

seus procedimentos de resolução. A utilização desses instrumentos foi de grande

importância para que pudéssemos visualizar claramente como os alunos

demonstram seus conhecimentos em relação a cada grupo de problemas abordado,

possibilitando-nos identificar as fragilidades e facilidades em cada um deles.

5.2 Considerações finais: indicativos e contribuições para o cenário da

pesquisa

Nossa investigação colocou em evidência um cenário delicado em relação

às interpretações dadas aos alunos diante de situações que requerem a utilização

de procedimentos multiplicativos, interpretações estas que muitas vezes podem

desencadear em dificuldades já abordadas em estudos para a resolução de

situações que envolvem estas operações.

Ao realizarmos uma observação geral em relação ao desempenho dos

alunos quanto aos instrumentos utilizados em nossa pesquisa, pudemos constatar

que existem dificuldades quanto à compreensão do raciocínio multiplicativo, em

maior parte delas nos problemas que contemplam a operação de divisão ou que

requerem a utilização do pensamento proporcional. Quanto aos procedimentos que

envolvem a operação de multiplicação, apesar de encontrarmos um número

significativo de êxitos, podemos destacar que esses êxitos por muitas vezes não

foram obtidos por meio da utilização explícita do raciocínio multiplicativo.

Queremos evidenciar novamente que consideramos importante a utilização

de procedimentos próprios e intermediários para a resolução dos problemas, em

que, por meio destes, o aluno poderá estabelecer conhecimentos que poderão

facilitar a aprendizagem dos procedimentos formais que envolvem as operações de

multiplicação e divisão. A partir dessa situação, podemos sugerir aos docentes uma

reflexão, em que nestes momentos onde o aluno demonstra seus esquemas

pessoais para o desenvolvimento da operação, possam ser aproveitados para

estabelecer a relação entre esses esquemas e os algoritmos comumente utilizados,

não como algo pré-estabelecido e determinado, mas como uma alternativa para

155

facilitar e auxiliar o desenvolvimento da operação, em que o aluno poderá perceber

as etapas envolvidas nesses procedimentos e evoluir em suas aprendizagens.

Uma possível implicação para a continuidade de nosso estudo refere-se à

importância de uma discussão acerca de como se encontra a aprendizagem dos

alunos de 5° ano ao chegarem à próxima etapa de escolarização, no 6° ano do

Ensino Fundamental. Percebemos por nossa prática docente que as dificuldades

são evidenciadas com mais frequência entre a transição dessa fase entre o 5° e o 6°

ano do Ensino Fundamental, transição esta que por muitas vezes pode propiciar

uma “lacuna” entre o que o aluno já sabe e o que virá a aprender; pois em muitos

casos não há uma interação entre o trabalho realizado pelo professor polivalente dos

anos iniciais e o trabalho a ser realizado pelo professor especialista do 6° ano.

Com essa situação, é comum que estes profissionais acabem culpando um

ao outro pelas fragilidades demonstradas pelos alunos, fato este que não contribui

para a resolução dessa situação. A expectativa atribuída ao aluno que chega ao 6°

ano pode ser a de que este já tenha se apropriado dos procedimentos formais que

envolvem as operações; porém não é sempre que essa situação se concretiza, por

vários os motivos, e dentre eles os diferentes tipos de propostas pedagógicas

adotadas em sala de aula. Quando o aluno chega ao 6° ano sem essa apropriação,

mas com esses procedimentos próprios estabelecidos, surge o momento propício às

intervenções que poderão ser feitas pelo professor especialista, no intuito de auxiliar

na compreensão e aprendizagem do aluno, estabelecendo as devidas relações e

conexões entre os conhecimentos revelados pelo aluno e os novos conhecimentos a

serem aprendidos. Cabe ao professor polivalente também explorar esta sugestão,

que poderá auxiliar na dissolução dessas fragilidades.

Ao longo da realização de nosso estudo, ocorreu também durante os

encontros do grupo colaborativo a interação com a professora das classes

investigadas na pesquisa de campo, em que esta acompanhou parte de nossas

observações e constatações acerca dos protocolos dos alunos. Por meio desse

acompanhamento, conseguiu realizar intervenções durante sua prática, observando

os procedimentos demonstrados pelos alunos e a partir destes elaborando

estratégias que pudessem contribuir para uma melhor compreensão das situações

trabalhadas em sala de aula.

156

Algumas situações e intervenções podem facilitar a prática do professor, das

quais procuramos, a nosso ver, apontar algumas sugestões como contribuições

desse trabalho.

Podemos iniciar abordando a sugestão dos contextos utilizados nos

enunciados dos problemas, fator este que nos preocupou e norteou-nos para a

elaboração de nossos instrumentos de pesquisa. Constatamos por meio da

interação com a professora da sala que estes contextos pertenciam a realidades dos

alunos, e isso contribuiu para o interesse dos alunos em solucioná-los, além de

facilitar a compreensão das situações envolvidas, que tratavam de condições reais.

O professor também pode auxiliar na compreensão dos enunciados e das situações

apresentadas por meio de um trabalho que não permita ao aluno trabalhar apenas

no campo numérico, como pudemos visualizar em alguns protocolos, mas levar

sempre em consideração a situação que lhes é apresentada. A leitura compartilhada

e o detalhamento das etapas de um determinado problema podem contribuir com

esse trabalho.

Um grande facilitador em relação ao ensino destas operações se refere a um

trabalho que possa ser realizado de forma articulada entre as mesmas, para que

possam ser estabelecidas as devidas relações entre ambas, o que também poderá

contribuir com a diminuição das dificuldades quanto aos procedimentos da divisão,

em que, a partir do momento em que o aluno o perceber sua relação com a

multiplicação, esses procedimentos poderão ser compreendidos mais claramente.

Consideramos importante também destacar a necessidade de trabalhar as

diversas possibilidades de problemas que contemplam o campo multiplicativo,

abordando os diversos grupos de problemas e ideias multiplicativas, onde o aluno

possa se deparar com diferentes situações e ter a autonomia de posteriormente

identificá-las e articulá-las diante de problemas que envolvam cada grupo de ideias

pertencente a este campo, como por exemplo, os descritos em nossos instrumentos

de investigação, elaborados com base na categorização apresentada nos estudos

de Gerárd Vergnaud.

Outro fator pode ser determinante para contribuir com o processo de ensino

e aprendizagem. Nesse fator caberá a cada professor realizar o papel de

157

pesquisador com seus alunos, buscando e encontrando novos caminhos através da

constante observação dos procedimentos realizados pelos alunos, e dos indícios de

compreensão revelados por eles, o que possibilitará ao docente diagnosticar as

facilidades e fragilidades, que propiciarão a elaboração de estratégias que envolvam

situações de aprendizagem que possam mobilizar conhecimentos de acordo com o

nível de compreensão observado.

Nossos estudos podem não vir inicialmente a sanar todas as dificuldades

encontradas nesse cenário, mas desejamos que estes sejam eficazes no sentido de

instigar o leitor em relação a esse tema, levando a uma reflexão sobre as

metodologias e práticas docentes adotadas no ensino deste e também de outros

conteúdos.

Esperamos que esta investigação possa trazer reais contribuições ao

cenário da Educação Matemática, no que diz respeito ao ensino e à aprendizagem

dos conceitos que norteiam o campo multiplicativo; de modo que nossa pesquisa

possa ultrapassar o campo de uma simples constatação, em que a sala de aula não

seja utilizada apenas para coletar dados, mas sim que os indícios e sugestões aqui

apontados venham a servir como um possível caminho à prática docente, em que

por meio de um trabalho gradual, possam ser ampliados os olhares investigativos

em sala de aula, na busca por oportunidades de intervenções que venham a auxiliar

no processo de aprendizagem do aluno.

159

REFERÊNCIAS

APPOLINÁRIO, F. Dicionário de metodologia científica: um guia para a produção do conhecimento científico. São Paulo: Atlas, 2009. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. BROCARDO, J.; SERRAZINA, L.; ROCHA, I. (Org.). O sentido do número: reflexões que entrecruzam teoria e prática. Lisboa: Escolar, 2008. BROUSSEAU, G. Representations et didactique du sens de la division, em didactique et acquisitions des connaissances scientifiques. Paris: Actes du Colloque de Sévres, 1987. CANÕAS, S. S. O campo multiplicativo na perspectiva do professor das séries iniciais (1ª a 4ª série). 1997. Dissertação (Mestrado em Ensino em Matemática)– Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 1997. CHARNAY, R. Aprendendo (com) a resolução de problemas. In: PARRA, C.; SAIZ, I. (Org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. p. 36-47. CRESWELL, J. W. Projeto de pesquisa: métodos qualitativo, quantitativo e misto. Porto Alegre: Artmed, 2010. ______ ; PLANO CLARK, V. l. Designing and conducting mixed methods research. Thousand Oaks, CA: Sage, 2007. CURI, E. Projeto prova Brasil de matemática: revelações e possibilidades de avanços nos saberes de alunos de 4ª série/ 5° ano e indicativos para a formação de professores. In: CONFERÊNCIA INTERAMERICANA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 13., 2011, Recife. Anais... Recife: CIAEM, 2011. CURY, H. N. Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2008. FERREIRA, M. S. Marcas da divisão: uma análise sobre a aprendizagem da operação de divisão no 4º ano do ensino fundamental. 2012. Dissertação (Mestrado)-Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2012. FOSNOT, C.; DOLK, M. Young mathematicians at work: constructing multiplication and division. Portsmouth, NH: Heineman, 2001. GOLDENBERG, M. A arte de pesquisar: como fazer pesquisa qualitativa em ciências sociais. Rio de Janeiro: Record, 2007.

160

LÜDKE, M.; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, 1986. MENDONÇA, M. C. D. A intensidade dos algoritmos nas séries iniciais: uma imposição sócio-histórico-estrutural ou uma opção valiosa? Revista do Círculo de Estudo, Memória e Pesquisa em Educação Matemática da UNICAMP, Campinas, v. 4, n. 5, p. 55 -76, jan./jun. 1996. Disponível em: <http://www.fae.unicamp.br/revista/index.php/zetetike/article/view/2584>. Acesso em: 02 abr. 2013. MENDES, M. F. C.; DELGADO, C. R. S. C. A. A aprendizagem da multiplicação e o desenvolvimento do sentido do número. In: BROCARDO, J.; SERRAZINA, Lurdes; ROCHA, Isabel. O sentido do número: reflexões que entrecruzam teoria e prática. Lisboa: Escolar Editora, 2008. p.159-182. NUNES, Terezinha. et al. Educação matemática: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2009. PARRA, C. Cálculo mental na escola primária. In: ______; SAIZ, I. (Org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. p. 186-235. ______; SAIZ, I. (Org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. PHILLIPIS, B. S. Pesquisa social: estratégias e táticas. Rio de Janeiro: Livraria Agir Editora,1974. ROCHA, M. I.; MENINO, H. A. A aprendizagem da divisão nos primeiros anos, perspectivas metodológicas e curriculares. In: BROCARDO, Joana; SERRAZINA, Lurdes; ROCHA, Isabel. O sentido do número: reflexões que entrecruzam teoria e prática. Lisboa: Escolar Editora, 2008. p.183-199. SAIZ, I. Dividir com dificuldade ou a dificuldade de dividir. In: PARRA, C.; SAIZ, I. (Org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. p. 156-185. SÁ-SILVA, J. R.; ALMEIDA, C. D.; GUINDANI, J. F. Pesquisa documental: pistas teóricas e metodológicas. Revista Brasileira de História e Ciências Sociais, São Leopoldo, v.1, n.1, p. 1-15, jul. 2009. Disponível em: <http://www.rbhcs.com/index_arquivos/Artigo.Pesquisa%20documental.pdf>. Acesso em: 01 jun. 2012. SOUZA, M. H. P. Formação continuada de professores do ensino fundamental ciclo I - na escola: aprendendo e ensinando problemas do campo multiplicativo. 2010. 93 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática)-Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2010.

161

TOLEDO, M. B. A.; TOLEDO, M. A. Teoria e prática de matemática: como dois e dois. São Paulo: FTD, 2009. TREFFERS, A.; BUYS, K. Grade 2 (and 3) – calculation up to 100. In: HEUVEL-PANHUIZEN, M. (Ed.) Children learn mathematics. Netherrlands: Freudenthal Institute (FI) Utrecht University & National Institute for Curriculum Development (SLO), 2001. p. 61-88. VERGNAUD, G. Multiplicative structures. In: LESH, R.; LANDAU, M. (Ed.). Acquisition of mathematics concepts and processes. New York: Academic Press Inc., 1983. p. 127-174. ______. Problem solving and concept development in the learning of mathematics. E.A.R.L.I. Second Meeting. Tübingen, 1987. ______. El Niño, las matemáticas y la realidad. México: Editorial Trillas, 1991. ______. Multiplicative conceptual field: what and why? In: GUERSHON, H.; CONFREY, J. (Ed.). The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany, N.Y.: State University of New York Press, 1994. p. 41-59. ______. A teoria dos campos conceituais. In: BRUN, J. Didáctica das matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996. p. 155-191. ______. A comprehensive theory of representation for mathematics education. Journal of Mathematical Behavior, p. 167-181, 1998. ______. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino da matemática na escola elementar. Tradução Maria Lucia Faria Moro; revisão técnica Maria Tereza Carneiro Soares. Curitiba: Ed. Da UFPR, 2009. ______. O que é aprender?. In: BITTAR, M.; MUNIZ, C. A. (Org.). A aprendizagem matemática na perspectiva da teoria dos campos conceituais. Curitiba: CRV, 2009. p. 13-35. ______. Construção do conhecimento matemático e a teoria dos campos conceituais. In: SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA – SIPEMAT, 3., 2012, Fortaleza. Anais.... Fortaleza/CE: SIPEMAT, 2012.

163

ANEXOS

ANEXO A – INSTRUMENTO 1 – PROBLEMAS DE RELAÇÃO UM A MUITOS

PROJETO OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO – MATEMÁTICA/2012

ALUNO:_________________________________________________

ESCOLA:_________________________________________________5° ANO ___

1. NUMA FESTA DE ANIVERSÁRIO NA SALA DE AULA, CADA ALUNO

LEVOU 2 GARRAFAS DE REGRIGERANTE. AO TODO COMPARECERAM 25

ALUNOS. CONSIDERANDO QUE TODOS LEVARAM OS REFRIGERANTES,

QUANTAS GARRAFAS HAVIAM?

2. PARA UMA FESTA DE ANIVERSÁRIO, 31 PESSOAS LEVARAM 93

GARRAFAS DE REFRIGERANTE. SE TODOS LEVARAM A MESMA

QUANTIDADE, QUANTAS GARRAFAS LEVOU CADA PESSOA?

3. PARA UMA FESTA FORAM LEVADAS 72 GARRAFAS DE REFRIGERANTE.

CONSIDERANDO QUE CADA CONVIDADO LEVOU 3 GARRAFAS,

QUANTAS PESSOAS FORAM CONVIDADAS?

164

ANEXO B – INSTRUMENTO 2 – PROBLEMAS DE RELAÇÃO MUITOS A MUITOS

PROJETO OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO – MATEMÁTICA/2012

4. UM GRUPO DE 12 MENINOS COLECIONA CARRINHOS. JUNTOS ELES

TÊM 48 CARRINHOS. CONSIDERANDO QUE TODOS TEM A MESMA

QUANTIDADE, QUANTOS CARRINHOS HAVERIA SE 21 MENINOS

COLECIONAREM CARRINHOS?

5. SABE-SE QUE 15 MENINOS COLECIONAM CHAVEIROS E QUE JUNTOS

TÊM 75 CHAVEIROS. CONSIDERANDO QUE TODOS TENHAM A MESMA

QUANTIDADE, QUANTOS MENINOS COLECIONARIAM CHAVEIROS SE

JUNTOS TIVESSEM 90 CHAVEIROS?

6. UM GRUPO DE 16 MENINOS TEM AO TODO 64 BOLINHAS DE GUDE.

CONSIDERANDO QUE TODOS TEM A MESMA QUANTIDADE, QUANTAS

BOLINHAS HAVERIA SE 12 MENINOS ESTIVESSEM NESTE GRUPO?

7. AS MENINAS DO CLUBE COLA E DECORA TÊM A MESMA QUANTIDADE

DE ADESIVOS, SE 24 MENINAS TÊM JUNTAS 72 ADESIVOS, QUANTAS

MENINAS SERIAM SÓCIAS DO CLUBE SE TIVESSEM 42 ADESIVOS?

165

ANEXO C – INSTRUMENTO 3 – PROBLEMAS DE CONFIGURAÇÃO

RETANGULAR

PROJETO OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO – PROVA BRASIL DE

MATEMÁTICA ESCOLA ESTADUAL PROFª REGIANE DO CARMO MONTEIRO – 5° ANO ___

1. EM UMA CAIXA COM FORMATO RETANGULAR CABEM 96 MAÇÃS.

SABENDO QUE AS MAÇÃS ESTÃO ORGANIZADAS EM FILEIRAS E

QUE EM CADA FILEIRA CABEM 12 MAÇÃS, QUANTAS FILEIRAS DE

MAÇÃS HÁ NESSA CAIXA?

2. UMA CAIXA DE OVOS TEM FORMATO RETANGULAR. OS OVOS

ESTÃO ORGANIZADOS EM 6 FILEIRAS COM 8 OVOS EM CADA

FILEIRA. QUANTOS OVOS HÁ NESSA CAIXA?

3. NUMA FÁBRICA DE CHOCOLATES, OS BOMBONS SÃO

ORGANIZADOS EM DIFERENTES TIPOS DE CAIXAS

RETANGULARES. CADA CAIXA É ORGANIZADA EM FILEIRAS E

COLUNAS. TODAS AS FILEIRAS TÊM A MESMA QUANTIDADE DE

BOMBONS E TODAS AS COLUNAS TAMBÉM.

ORGANIZE ESSES BOMBONS EM DIFERENTES TIPOS DE CAIXAS.

166

ANEXO D – INSTRUMENTO 4 – PROBLEMAS DE COMBINATÓRIA

PROJETO OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO – PROVA BRASIL DE MATEMÁTICA

ESCOLA ESTADUAL PROFª REGIANE DO CARMO MONTEIRO – 5° ANO ___ 1. UMA LANCHONETE OFERECE OPÇÕES DE SUCOS E LANCHES,

SENDO:

SUCOS LANCHES

LARANJA

UVA

ABACAXI

MORANGO

MISTO QUENTE

X-SALADA

BAURU

QUANTAS DIFERENTES COMBINAÇÕES DE SUCOS E LANCHES SÃO POSSÍVEIS?

2. JOÃO VAI PASSAR ALGUNS DIAS NA PRAIA E LEVOU 6

CAMISETAS E 3 BERMUDAS. QUAIS SÃO AS DIFERENTES

COMBINAÇÕES QUE ELE PODERÁ FAZER?

167

ANEXO E – CATEGORIAS DE ANÁLISE

1. Identificam a ideia da operação que resolve o problema e acertam os

procedimentos

Nesta categoria, encontram-se os protocolos de alunos que identificam a ideia

da operação que resolve o problema e os resolvem corretamente, seja por

meio de um algoritmo ou de procedimentos não convencionais, chegando ao

resultado esperado.

2. Identificam a ideia da operação que resolve o problema, mas não

utilizam os procedimentos corretamente

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que identificam a

ideia da operação que resolve o problema, mas erram nos procedimentos de

cálculo, seja por meio de um algoritmo ou de procedimentos não

convencionais, não chegando ao resultado esperado.

3. Identificam a operação que resolve o problema, mas apenas indicam a

operação, e não a desenvolvem

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que identificam a

operação que resolve o problema, representam qual é essa operação, mas

não desenvolvem a operação representada.

4. Não identificam a operação e acertam os procedimentos/algoritmos

utilizados.

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não indicam a

operação de multiplicação ou divisão, mas conseguem resolver o problema

por meio de uma ideia aditiva, fazendo adições sucessivas, seja por meio de

um algoritmo ou de um procedimento não convencional, acertando os

procedimentos utilizados e chegando ao resultado esperado.

5. Não identificam a operação e erram os procedimentos

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não identificam

a operação que resolve o problema e ainda erram os procedimentos de

resolução e não chegam ao resultado esperado.

168

6. Não identificam a operação que resolve o problema, apenas indicam

uma operação, e não a desenvolvem

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não identificam

a operação que resolve o problema, representa outra operação, mas não a

desenvolvem.

7. Indicam apenas o resultado e acertam

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não realizaram

registro de representação do procedimento para a resolução, apenas

indicando o resultado do problema. Nesse caso, observamos que os alunos

conseguem chegar ao resultado correto.

8. Não resolvem

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não resolveram

o problema, e nem mesmo levantaram hipóteses para resolução do mesmo,

deixando o exercício “em branco”.

169

ANEXO F – INVENTÁRIO DE DADOS

ISOMORFISMO DE MEDIDAS – UM

A MUITOS

PROBLEMA 1

TOTAL

PROBLEMA 2

TOTAL

PROBLEMA 3

TOTAL

IDENTIFICAM A IDEIA DA

OPERAÇÃO

QUE RESOLVE O PROBLEMA

ACERTAM OS PROCEDIMENTOS

A1, A3, A4, A5,

A6, A8, A9, A10, A11, A12, A13,

A14, A15, A16,

A17, A18, A19, A20, A21, A22,

A23, A24, A25,

A26, A27, A28, A29, A30, A31,

A32, A33, A34,

A35, A36, A37, A38, A39, A40,

A41, A42, A43,

A44, A46, A47, A48, A49, A50,

A51, A52, A53,

A54

51

A4, A5, A7,

A8, A12, A13, A14, A16, A17,

A18, A20, A21,

A28, A29, A30, A36, A39, A40,

A42, A43, A44,

A45, A47, A51

24

A3, A4, A5, A6,

A8, A9, A10, A11, A12, A14,

A15, A16, A17,

A18, A19, A20, A21, A24, A28,

A29, A30, A31,

A34, A36, A39, A40, A42, A43,

A44, A45, A47

31

NÃO UTILIZAM

PROCEDIMENTOS CORRETAMENTE

A2, A7

2

A1, A10, A15,

A33, A38, A52

6

A1, A7, A22,

A26, A33, A35,

A37, A51, A52

9

NÃO A

DESENVOLVEM

_

0

A31, A34

2

A27

1

NÃO

IDENTIFICAM A OPERAÇÃO

ACERTAM OS

PROCEDIMENTOS / ALGORITMOS

UTILIZADOS

_

0

A3, A11, A19,

A22, A26, A37

6

_

0

ERRAM OS PROCEDIMENTOS

A45

1

A2, A6, A9,

A23, A24, A25, A27, A32, A35,

A41, A46, A48,

A49, A50, A53,

A54

16

A2, A13, A23,

A25, A32, A38, A41, A46, A48,

A49, A50, A53,

A54

13

NÃO A DESENVOLVEM

_

0

_

0

_

0

INDICAM APENAS O RESULTADO E ACERTAM

_ 0 _ 0 _ 0

NÃO RESOLVEM

_

0

_

0

_

0

170

ISOMORFISMO DE MEDIDAS –

MUITOS A MUITOS

PROBLEMA

1

TOTAL

PROBLEMA

2

TOTAL

PROBLEMA

3

TOTAL

PROBLEMA

4

TOTAL

IDENTIFICAM A IDEIA DA

OPERAÇÃO

QUE RESOLVE O

PROBLEMA

ACERTAM OS PROCEDIMENTOS

A4, A7, A8,

A9, A10, A11, A12,

A14, A15,

A16, A17, A18, A19,

A20, A21,

A28, A35, A36, A39,

A41, A43,

A45, A47, A51

24

A3, A4, A7,

A11, A15, A16, A19,

A20, A21,

A28, A35, A36, A39,

A40, A45,

A51

16

A7, A9, A10,

A11, A14, A15, A16,

A17, A18,

A19, A20, A21, A24,

A28, A30,

A36, A39, A40, A43,

A45, A47,

A51

22

A3, A4, A9,

A10, A15, A16, A17,

A19, A20,

A21, A28, A36, A40,

A45

14

NÃO UTILIZAM PROCEDIMENTOS

CORRETAMENTE

_

0

A9, A10, A12, A14,

A17, A18,

A24, A41

8

A4, A35

2

A7, A11, A12, A14,

A18, A24,

A43, A47

8

NÃO A

DESENVOLVEM

_

0

_

0

_

0

_

0

NÃO

IDENTIFICAM A OPERAÇÃO

ACERTAM OS

PROCEDIMENTOS / ALGORITMOS

UTILIZADOS

A3

1

_

0

_

0

_

0

ERRAM OS PROCEDIMENTOS

A1, A2, A13,

A22, A23, A24, A25,

A26, A29,

A30, A31, A32, A33,

A34, A37,

A38, A40, A42, A44,

A46, A48,

A49, A50, A52, A55

25

A2, A5, A8,

A13, A22, A23, A25,

A26, A27,

A29, A30, A31, A32,

A33, A34,

A37, A38, A42, A43,

A44, A46,

A47, A48, A49, A50,

A52, A55

27

A1, A2, A3,

A8, A12, A13, A22,

A23, A25,

A26, A27, A29, A31,

A32, A33,

A34, A37, A38, A41,

A42, A44,

A46, A48, A49, A50,

A52, A55

27

A2, A8, A13,

A23, A25, A26, A27,

A29, A30,

A31, A32, A33, A34,

A35, A37,

A38, A39, A41, A42,

A44, A46,

A48, A49, A50, A51,

A52, A55

27

NÃO A

DESENVOLVEM

A5, A27

2

_

0

_

0

_ 0

INDICAM APENAS O RESULTADO

E ACERTAM

_

0

_

0

_

0

_

0

NÃO RESOLVEM

A6

1

A1, A6

2

A5, A6

2

A1, A5, A6,

A22

4

171

CONFIGURAÇÃO RETANGULAR

PROBLEMA

1

TOTAL

PROBLEMA 2

TOTAL

PROBLEMA 3

TOTAL

IDENTIFICAM A IDEIA DA

OPERAÇÃO

QUE RESOLVE O PROBLEMA

ACERTAM OS PROCEDIMENTOS

A3, A4, A5,

A6, A7, A9, A12, A13, A14,

A18, A21, A28,

A36, A39, A40, A45, A46, A47,

A51, A56

20

A1, A2, A3, A4,

A5, A6, A7, A8, A9, A11, A12,

A14, A17, A18,

A23, A24, A25, A26, A28, A29,

A30, A31, A34,

A35, A36, A37, A38, A40, A41,

A42, A44, A45,

A47, A48, A50, A51, A52, A54,

A55

39

A3, A5, A7, A9,

A11, A12, A14, A18, A20, A21,

A26, A28, A29,

A30, A31, A35, A36, A37, A38,

A39, A40, A41,

A42, A44, A45, A46, A47, A51,

A54, A55, A56

31

NÃO UTILIZAM

PROCEDIMENTOS

CORRETAMENTE

A1, A11, A19, A20, A24, A26,

A27

7

A10, A19, A20, A21, A57

5

_

0

NÃO A

DESENVOLVEM

_

0

_

0

_

0

NÃO IDENTIFICAM

A OPERAÇÃO

ACERTAM OS PROCEDIMENTOS

/ ALGORITMOS

UTILIZADOS

A8, A34, A35,

A37, A38, A41, A42, A54

8

_

0

_

0

ERRAM OS

PROCEDIMENTOS

A2, A10, A17, A22, A23, A25,

A29, A30, A31,

A44, A48, A50, A52, A55, A57

15

A13, A22, A27 3

A1, A2, A4, A6, A8, A10, A13,

A17, A19, A22,

A23, A24, A25, A27, A34, A50,

A52, A57

18

NÃO A

DESENVOLVEM

_

0

_

0

_

0

INDICAM APENAS O RESULTADO E ACERTAM

_

0

A39, A46, A56

3

_

0

NÃO RESOLVEM

_

0

_

0

A48

1

172

COMBINATÓRIA

PROBLEMA 1

TOTAL

PROBLEMA 2

TOTAL

IDENTIFICAM A

IDEIA DA OPERAÇÃO

QUE RESOLVE O PROBLEMA

ACERTAM OS

PROCEDIMENTOS

A5, A11, A12, A14, A20,

A21, A29, A31, A44, A45,

A50, A55

12

A3, A11, A12, A20, A21,

A29, A31, A35, A37, A38,

A40, A41, A44, A45, A46, A47, A50, A51, A52, A55,

A56

21

NÃO UTILIZAM PROCEDIMENTOS

CORRETAMENTE

_

0

_

0

NÃO A DESENVOLVEM

_

0

_

0

NÃO IDENTIFICAM A

OPERAÇÃO

ACERTAM OS

PROCEDIMENTOS / ALGORITMOS

UTILIZADOS

A3, A4, A7, A9, A13, A19,

A26, A28, A30, A34, A35, A36, A37, A39, A40, A41,

A42, A47, A51, A56

20

A1, A4, A7, A10, A18, A28,

A34, A36, A42, A54

10

ERRAM OS PROCEDIMENTOS

A2, A6, A8, A17, A22, A23, A24, A25, A46, A52,

A57

11

A2, A5, A6, A8, A9, A13, A14, A17, A19, A22, A23,

A24, A25, A26, A30, A57

16

NÃO A DESENVOLVEM

_

0

_

0

INDICAM APENAS O RESULTADO E ACERTAM

A1, A10, A18, A38, A54

5

A39

1

NÃO RESOLVEM

A27

1

A27

1