UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 

ANÁLISE DE TEXTOS DIDÁTICOS - CAPÍTULO I DO LIVRO DIDÁTICO DO 

9º ANO. 

Anderson Luiz Forgerini, 9848516 Marília Gabriela C. P. da Silva, 9794736

Nicolas Huzian Camacho, 10350031 Raquel Farias, 9848346

Trabalho como requisito para a matéria MAT0412 - Análise de Textos Didáticos Professor Dr. David Pires Dias

São Paulo 2019

1

Os números naturais foram os primeiros a serem usados pelos seres humanos, por causa da necessidade de contar animais. Ao longo do tempo, com a necessidade de medição das terras, os seres humanos começaram a lidar com os números na forma fracionária. Estes, com os números naturais, formam o conjunto dos números racionais não negativos. Os números negativos surgiram algum tempo depois, criando-se então o conjunto dos números racionais.

Por volta de 500 a.C., Pitágoras enunciou seu famoso teorema, que relaciona

as medidas dos catetos de um triângulo retângulo com a medida da hipotenusa (nome dado a sua diagonal).

O triângulo retângulo que despertou o interesse das pessoas naquela época era aquele aquele formado por dois lados consecutivos de um quadrado e sua diagonal. Foi a busca da medida da diagonal de um quadrado de lado 1 unidade que surgiu o número √2 que o próprio Pitágoras não aceitou, pois ele não era obtido por uma razão de dois números naturais, ou seja, ele não era um número racional.

2

A descoberta do número √2 pelos gregos foi mantida em segredo durante muito tempo. Foi só com Eudoxo de Cnido (c. 408-355 a.C.) que os números não racionais voltaram a ser estudados pelos gregos.

Somente 1872, depois de vinte séculos do surgimentos desses números, o matemático alemão Richard Dedekind (1831-1916) dedicou-se ao estudo com todo o rigor matemático.

Você sabia?? Que podemos associar números naturais a áreas de figuras planas? O número natural 10, por exemplo, pode ser associado às áreas dos seguintes retângulos, com lados de medidas inteiras:

Área = 1 ⋅ 10 = 10 unidades de área

1. Determine as dimensões de todos os retângulos possíveis que tenham lados

com medidas representadas por números inteiros e possuam: a) área 12 Área 12: 1x12; 2x6; 3x4 b) área 16 Área 16: 16x1; 8x2; 4x4

2. Dentre os retângulos obtidos no item 1, você identifica algum quadrado? Qual?

Sim, o retângulo com dimensões 4x4 3. É possível construir um quadrado de área 18 de lados de medidas

representadas por números inteiros? Não

4. E com área 36, é possível? Sim, um quadrado medindo 6 unidades

3

5. Descubra três números naturais com 2, 3 e 4 algarismos, respectivamente, que representam áreas de quadrados cujos lados são números inteiros.

Exemplo de resposta: 64, 144, 1024

Problemática? Suponha que um terreno tenha a forma quadrada e uma área de 1024 metros quadrados. Quanto mede cada lado desse terreno?

Podemos descobrir o lado de cada lado do terreno se conseguirmos descobrir

um número natural que multiplicado por ele mesmo será 1024. No caso podemos tirar a raiz quadrada do número 1024 que obtemos esse número, que é chamado de quadrado perfeito.

➢ Podemos concluir que a raiz quadrada de 1024 é 32, pois 32 ⋅ 32 = 32² = 1024.

Indicamos da seguinte forma √1024 = 5

➢ Pode-se fazer esse cálculo, usando a calculadora, usando o operador presente no teclado.

Quadrados Perfeitos Se um número representa um produto de dois fatores iguais não negativos,

então cada fator é a raiz quadrada desse número.

➢ A raiz quadrada de 25 é 5, pois 5 ⋅ 5 = 5² = 25. Indicamos √25 = 5 ➢ A raiz quadrada de 64 é 8, pois 8 ⋅ 8 = 8² = 64. Indicamos √64 = 8

4

Somente os números considerados quadrados perfeitos possuem raiz

quadrada inteira. Então, dizemos que ele é um número quadrado perfeito. Observe alguns algarismos considerados quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25,

36, 49, 64, 81, 100…

Aproximação de Raiz Quadrada de um Número Racional

Achar a raiz quadrada de um número racional pode ser bastante simples quando a raiz que queremos obter é de um quadrado perfeito, pois como vimos no tópico anterior um número é um quadrado perfeito quando ele é a representação de dois fatores iguais não nulos se multiplicando (Por exemplo 16 = 4 . 4). Assim para obter a sua raiz de 16 é direto, pois ., pois 4 6√16 = 4 2 = 1

Entretanto, essa tarefa fica mais complicada quando estamos lidando com números racionais positivos que não são quadrados perfeitos, pois a raiz quadrada desse número não será um inteiro. Nesses casos obtemos a raiz de não quadrados perfeitos através de aproximações, ou seja, não obteremos uma raiz exata.

Vamos achar aproximações para a raiz quadrada de 30, que como não é um

quadrado perfeito então não acharemos uma raiz inteira e exata. Para começar, podemos concluir a seguintes afirmações:

★ O número 30 está entre dois quadrados perfeitos que são 25 e 36. ★ A raiz quadrada de 30 está entre 5 e 6, pois e 552 = 2 662 = 3

Isto é, 25 < 30 < 36 < < 5 < x < 6, onde x é o número que → 52 x 2 62 →

elevado ao quadrado resulta em 30. Com essas afirmações mostraremos dois dos métodos possíveis para a

aproximação de raízes de racionais.

5

Utilize a calculadora para acompanhar os cálculos dos algoritmos dos métodos de aproximação que serão apresentados.

Método 1: Tentativas Nesse método, estimamos a raiz de 30 através de tentativas, escolhendo

números dentro do nosso intervalo 5 < x < 6, elevando ao quadrado e analisando sua aproximação com o resultado desejado, que no caso é 30.

Veja abaixo, começamos com 5,1 e fazemos sucessivas tentativas até obter uma boa aproximação para 30.

= (5,1) . (5,1) = 26,01, 26,01 < 305, )( 1 2 = (5,2) . (5,2) = 27,04, 27,04 < 30(5, )2 2 = (5,3) . (5,3) = 28,09, 28,09 < 30(5, )3 2 = (5,4) . (5,4) = 29,16, 29,16 < 30(5, )4 2 = (5,5) . (5,5) = 30,25, 30,25 > 30(5, )5 2

Concluímos que 5,4 < x < 5,5, logo 5,4 e 5,5 são uns dos números que podem

representar uma aproximação para raiz de 30. Neste caso, tomamos como aproximação o menor valor (5,4) que chamamos

de aproximação por falta. Então, 5,4 com uma casa decimal.√30 ≃ Para uma aproximação em duas casa decimais, podemos continuar as

tentativas, só que agora para a segunda casa decimal.

= (5,41) . (5,41) = 29,2681, 29,2681 < 30(5, 1)4 2 = (5,42) . (5,42) = 29,3764, 29,3764 < 30(5, 2)4 2

. . .

= (5,47) . (5,47) = 29,9209, 29,9209 < 30(5, 7)4 2

6

= (5,48) . (5,48) = 30,0304, 30,0304 > 30(5, 8)4 2

Concluímos que 5,47 < x < 5,48. Uma aproximação para raiz de 30 neste caso é 5,47. Então 5,47 como duas casas decimais.√30 ≃

Agora vamos encontrar uma aproximação para . Sabemos que √22, 3

16 < 22,3 < 25 < < 4 < x < 5, onde x é número que elevado ao → 42 x2 52 → quadrado resulta em 22,3.

= (4,9) . (4,9) = 24,01 > 22,3(4, )9 2 = (4,8) . (4,8) = 23,04 > 22,3(4, )8 2 = (4,7) . (4,7) = 22,09 < 22,3(4, )7 2

Concluímos que 4,7 < x < 4,8, então uma aproximação para 4,7 com √22, 3 ≃

uma casa decimal.

Método 2: Algoritmo de Aproximação (Dicotomia)

No algoritmo da dicotomia, vamos considerar o intervalo que já temos, ou seja

(5 < x < 6) e começar a restringi-lo, pegando o 5 e o 6 (que são respectivamente o maior número que não pertence ao nosso intervalo e o menor número que não pertence ao intervalo) e faremos a média entre eles obtendo uma possível aproximação que elevando ao quadrado analisaremos sua proximidade com 30.

E assim sucessivamente até obter a aproximação desejada.

5 < x < 6, = = 5,5, = (5,5).(5,5) = 30,25 > 3025 + 6

211 5,( 5 ) 2

5 < x < 5,5, = = 5,25, (5,25) = (5,25).(5,25) = 27,5625 < 3025 + 5,5

210,5

2

5,25 < x < 5,5, = = 5,375, (5,375) = (5,375).(5,375) = 25,25 + 5,5

210,75

2

28,890625 < 30

5,375 < x < 5,5, = = 5,4375, (5,4375) = (5,4375).(5,4375) = 25,375 + 5,5

210,875

2

29,56640625 < 30

7

5,4375 < x < 5,5, = = 5,46875, (5,46875) = 25,4375 + 5,5

210,9375

2

(5,46875).(5,46875) = 29,9072265625 < 30

5,46875 < x < 5,5, = = 5,484375, = 25,46875 + 5,5

210,96875

(5, 84375)4 2

(5,484375) . (5,484375) = 30,078369140625 > 30

5,46875 < x < 5,484375, = = 5,4765625, 25,46875 + 5,484375

210,953125

= (5,4765625) . (5,4765625) = 29, 99273681640625 < 30(5, 765625)4 2

Concluímos que 5,4765625 < x < 5,484375. Uma aproximação para raiz de 30 neste caso seja 5,47656225. Então 5,4765625 como duas casas decimais.√30 ≃

1. Analise se os números abaixo são um quadrados perfeitos ou não:

a) 36 sim b) 60 não c) 336 não d) 225 sim e) 625 sim f) 900 sim g) 426 não h) 1169 não i) 1296 sim

2. Encontre a parte inteira da raiz aproximada de cada item:

a) 60 7 b) 29 5 c) 360 18 d) 270 16 e) 500 22

3. Encontre uma aproximação para com duas casas decimais pelo √10, 1

método de tentativas ou pelo método da dicotomia. 3,17 ou 3,171875

4. Encontre uma aproximação para as raízes dos números abaixo com uma casa decimal.

a) 2 1,4 b) 3 1,7 c) 7 2,6 d) 5 2,2 e) 13 3,6 f) 55 7,4 g) 150 12,2 h) 300 17,3 i) 500 22,3

5. Encontre uma aproximação para com duas casas decimais pelo √11, 3 método de tentativas. 3,36

8

Muitas vezes é necessário expressar os números racionais em decimais, ou

seja, passar da forma fracionária para a forma decimal. E para isso basta dividir o numerador pelo denominador diferente de zero da fração como no exemplo a seguir.

a) = 0,45 b) = 0,454545…920

511

★ No primeiro item temos a representação decimal finita, pois ao realizar o algoritmo da divisão chegamos ao fim da conta, obtendo uma divisão exata.

★ No segundo item temos uma representação decimal infinita e periódica o que chamamos de dízima periódica, porque ao realizar o algoritmo da divisão percebemos que a conta não tem fim, poderíamos continuar infinitamente e

os algarismos 45 do quociente iriam continuar se repetindo indefinitivamente, logo o resultado não é exato. Quando temos uma dízima periódica os algarismos do quociente que se repetem depois da vírgula são chamados de período, no caso do item 2 o período é 45 e podemos representá-lo como , assim 5 dividido por 45 11 é aproximadamente 0, .45

9

Responda as questões no caderno.

1. Faça a representação decimal dos números racionais de cada item:

a) 0,333… ou 0, b) 0,5 c) 0,15 d) 1,222… ou 1,31 3 2

1 320 9

11 2

e) 0,1444… ou 0,1 f) 3,375 g) 8,25 h) - 2,333… ou 2,9013 4 8

27433

37 3

2. Faça a representação decimal dos números racionais e dê o período de suas dízimas

a) 0,1212... ou 0, período: 12 b) 0,1232323… ou 0,1 período 23433 12 61

495 23

c) 0,123123123… ou 0, período 123 d) 0,03030… ou 0,0 período 3041333 123 9

3 30

10

O conjunto dos números Irracionais, representados pela letra I (maiúscula), é

formado por aqueles números que não fazem parte dos números Racionais. Mas você se lembra quais são os Números Racionais??

Os números irracionais não podem ser representados por frações irredutíveis de inteiros. Eles são decimais, infinitos e não periódicos. A descoberta dos números irracionais está muito ligada à geometria.

Observe as ilustrações abaixo para entender o exemplo: Etapa 1) Iniciamos com um quadrado de área igual a 4 u.a.

Pelas propriedades já vistas neste capítulo, sabemos que o lado deste

quadrado será a raiz quadrada da área do mesmo. Ou seja o lado do quadrado é igual a 2.

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Etapa 2) Vamos dividir este quadrado em 4 partes iguais, de modo que se tenham 4 novos quadrados agora de área 1 u.a..

Etapa 3) Unindo os novos pontos deste quadrado, teremos um novo

quadrado, destacado em vermelho.

Perceba que o novo quadrado é formado pelos segmentos que dividem ao

meio os menores, feitos na etapa 2. Por isso, podemos afirmar que a área do quadrado EFGH é metade da área do quadrado ABCD (feito na etapa 1). Ou seja, a área de EFGH deve ser igual a 2 u.a..

Com isso, podemos então calcular o lado do quadrado EFGH, pelo mesmo procedimento feito anteriormente, calculando a raiz quadrada de sua área.

Neste momento temos um problema, pois, não sabemos qual número multiplicado por ele mesmo resulta em 2. Representamos então essa medida como

2 .√

12

Chegamos então ao problema que deu início à descoberta dos números irracionais. Os pitagóricos, integrantes da Escola Pitagórica que se supõe ter existido há cerca de 2500 anos, identificaram a situação da imagem acima, a medida da diagonal de um quadrado de lado 1. Essa diagonal não pode ser expressa como um número racional, e foram os primeiros a utilizar a notação, indicando por 2 √ essa medida.

A raiz quadrada de outros números primos também são irracionais, por exemplo:

- 5 2,23606797749978……√ ≈ - 7 2,64575131106459……√ ≈ - 3 1,72305080756887……√ ≈

E ainda outros números que não possuem representação com casas decimais finitas e periódicas como:

- 1,01001000100001000001….

1) (Saresp) A parte decimal da representação de um número segue o padrão de regularidade indicado: 0,12112111211112111112…. Este número é: alternativa c

a) racional não inteiro b) inteiro negativo c) irracional positivo d) racional negativo

2) Um exemplo de número racional é: alternativa d

a) 3,12121212….. b) 3,501501501….

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c) 3,312312312… d) 3,290291292….

3) Calculando a , obtemos o número 5,4772255…, o qual tem representação √30 decimal infinita, mas que não é dízima periódica. Conclui-se então que é um √30 número: alternativa d

a) natural b) racional c) inteiro d) irracional

4) Qual é a forma decimal, com aproximação até a segunda casa decimal, do número irracional ? 2,23√5

5) Calcule as raízes quadradas a seguir. Quais desses números são irracionais? itens b e c

a) √225 b) √30 c) √42, 52 d) √906, 10

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4.1 Faça com os colegas

Dividam-se em grupos de até 4 pessoas para realizar a tarefa a seguir: Colete em sua casa objetos planos e circulares: tampa de achocolatado,

tampa de potes plásticos, fita adesiva, entre outros. Você vai precisar de :

● régua ● barbante ou fita métrica ● objetos circulares

1) Medindo o diâmetro

Com a régua, você deve medir o diâmetro dos

objetos circulares. Como na figura o diâmetro de uma circunferência, é um segmento que sai de um ponto da circunferência, passa pelo centro e vai até um outro ponto oposto ao inicial. Lembre-se de posicionar a régua desta maneira.

2) Medindo o perímetro

❖ Utilizando o barbante Posicione uma ponta do barbante no objeto e faça com que ele dê uma volta

completa na circunferência do mesmo. Marque onde o barbante encontra a ponta do início. Depois estique o barbante e meça seu comprimento com a ajuda de uma régua.

❖ Utilizando a fita métrica

Posicione a ponta da fita métrica no objeto e faça com que ela dê uma volta completa na circunferência do mesmo. Marque onde a fita encontrar a ponta inicial, estique e leia a medida marcada.

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Em seguida, reproduza em seu caderno uma tabela como abaixo, e anote as

medidas encontradas, completando também a última coluna, fazendo o cálculo da divisão entre o perímetro e o diâmetro da circunferência.

Objeto Diâmetro (D) Perímetro (P) Razão ( )DP

Agora responda às seguintes questões:

a) Você percebeu alguma regularidade entre os valores? Explique:

b) O perímetro da circunferência também é chamado de comprimento, podendo ser simbolizado com a letra C. Escolha um dos dados da última coluna da tabela e utilizando as letras C (para comprimento) e D (para diâmetro) monte uma equação que representa a razão entre eles e o resultado.

c) Manipulando a equação anterior, encontre a equação que representa o valor do comprimento da circunferência do seu objeto.

4.2 O Fascinante Pi

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O número Pi, representado pela letra grega , é um número irracional, a π

constante mais antiga conhecida, que surge da razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência qualquer. Ele não pode ser escrito como uma fração irredutível, é um número que possui infinitas casas decimais e não periódicas.

Seus primeiros registros na história da humanidade, se encontram no Papiro de Rhind, datado de 1700 a.C., no Egito, com uma aproximação não muito precisa. Muitos matemáticos desde então, se aventuraram a descobrir mais casas e mais propriedades deste número, tais como Arquimedes, Ptolomeu, Tsu Ch'ung Chih, entre outros. Dentre eles, um muito conhecido foi o holandês Ludolph van Ceulen (séc. XV), que calculou o com até 35 casas decimais, e quando morreu, sua π esposa mandou gravar em sua lápide o número com todas as casas por ele descobertas. Essa busca segue até hoje, e com o advento da tecnologia foi possível cada vez mais rápido calcular mais precisamente o , Emma Haruka Iwao uma π cientista da computação japonesa em 2019, calculou o valor de pi mais preciso do mundo, que incluiu 31,4 trilhões de dígitos.

A grande utilidade desta constante se encontra justamente nos cálculos de corpos redondos no geral.

Sabendo que , e considerando que o diâmetro diâmetro da circunferênciacomprimento da circunferência = π

pode ser escrito como o dobro do raio da circunferência, podemos reescrever da seguinte maneira :

.π.rCD = π ⇒ C

2r = π ⇒ C = 2 Assim podemos então calcular, o comprimento de uma circunferência se

tivermos o raio da mesma, ou calcular o raio se tivermos o comprimento.

Qual o comprimento de uma circunferência de raio 10 cm? Calculamos da seguinte maneira:

.π.r .π.10 0π C = 2 ⇒ C = 2 ⇒ C = 2

Se substituirmos por uma aproximação, por exemplo , temos: π , 4π = 3 1

0π 0.3, 4 2, C = 2 ⇒ C = 2 1 ⇒ C ≈ 6 8

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Você sabia??  

Existem pessoas que se dedicam a memorizar os dígitos do Pi e entrar para o famoso livro dos recordes. Hiroyuki Goto memorizou 42.195 casas de pi, definindo um novo recorde mundial na ocasião. Atualmente, outro japonês, Akira Haraguchi, já memorizou 100.000 dígitos.

Para pesquisar  

Existem ainda outros números irracionais que são representados por letras gregas e possuem propriedades e aplicações tão incríveis quanto as do pi. Pesquise em livros, jornais ou revistas, sobre o número (número de ouro), o número ϕ e(número de Euler) ou algum outro. Traga sua pesquisa para sala de aula e comente com os colegas suas descobertas.

1) Usando o valor 3,14 para , calcule o comprimento de uma circunferência π cujo raio mede:

a) 8 cm 50,24 cm b) 0,45 cm 2,826 cm c) 2,5 cm 15,7 cm d) 7 cm 43,96 cm

2) Sabendo que o comprimento de uma circunferência é de 56,52 cm, determine o diâmetro dessa circunferência. Considere 18 cm, 4. π = 3 1

3) Um menino brinca com um arco de 1,2 m de diâmetro. Considerando , 4π = 3 1

, que distância ele percorrerá ao dar 100 voltas no arco? 376,8 m

4) Usando uma fita métrica graduada, Luísa mediu o contorno de uma peça circular e encontrou 141,3 cm de comprimento. Considerando , qual é , 4π = 3 1 o comprimento do diâmetro dessa peça circular? 45 cm

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5) Uma pista circular tem 200 m de diâmetro. Em uma competição, os corredores percorreram 15,7 km. Quantas voltas foram dadas nessa pista por esses corredores? 25 voltas

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E, finalmente, vamos falar sobre o Conjunto dos Números Reais, representado por ℝ. Este conjunto, na verdade, resulta da união do Conjunto dos Números Racionais e do Conjunto dos Números Irracionais. Sendo assim:

2 ∈ ℝ -5 ∈ ℝ ∈ ℝ43 2,030030003… ∈ ℝ

- ∈ ℝ61 π ∈ ℝ 1,25 ∈ ℝ - ∈ ℝ √3

-0,48 ∈ ℝ ∈ ℝ √10 1,666… ∈ ℝ -2,1333… ∈ ℝ

Em uma reta numérica, podem ser representados todos os números racionais e todos os números irracionais, ou seja, podem ser representados todos os números reais; sendo que cada ponto dessa reta pode ser associado a um número racional ou a um número irracional. É um conjunto muito importante quando estamos interessados em medir quaisquer segmentos de reta.

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Essa reta é chamada de reta real. Observe a representação de alguns números na reta:

Podemos também construir um segmento de reta, dotando-o de uma origem

(geralmente chamado de ponto O), determinando um sentido para efetuar medidas, e escolhendo alguma unidade de medida para marcar pontos correspondentes aos números inteiros, à direita de O. Assim, cada ponto P do segmento de reta é identificado com a extremidade de um segmento OP e associado ao número que corresponde à medida desse segmento. Observação: o zero (que estaria no ponto O) corresponde a um segmento nulo se P coincidir com O.

E assim, como estamos interessados em medir os segmentos de reta, basta

observarmos o Conjunto dos Números Reais Positivos (segmento de reta à direita do zero). Esse conjunto pode ser definido como o conjunto de todos os números que correspondem a medidas de segmentos não nulos, da reta.

1) Observe os números a seguir: 6 √6 6,6 -6 Identifique quais deles são:

a) Racionais. 6; 6,6; -6 b) Irracionais. √6

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c) Reais e racionais. 6; 6,6; -6 d) Reais e irracionais. √6 e) Reais. 6; ; 6,6; -6 √6

2) Qual destes números reais é o maior?

a) ou . √5 922

922

b) 2 ou . 2 √2

c) -4 ou - . - √3 √3

Por fim, podemos afirmar que o Conjunto dos Números Reais é o conjunto dos números que representam medidas de segmentos da reta.

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