Unidade XII  

Triângulo Retângulo  e  

Proporcionalidade                

Samrat Yantra, o maior relógio de sol do mundo; Índia. Imagem da Internet.  Conhecendo o tema…  

O marajá Jai Shing II, Índia, no começo do século XVIII,                     interessado por Matemática e Astronomia, entendeu que a melhor                 maneira de fazer medições precisas era utilizar instrumentos de                 grande dimensão. Mandou então construir cinco grandes             observatórios astronômicos em locais diferentes, dispostos de acordo               com as posições e movimentos dos astros, compostos por vários instrumentos de grande escala construídos em pedra e argamassa.  

O maior destes conjuntos foi edificado em Jaipur, Índia, e                   possuía quinze instrumentos, entre os quais um colossal relógio de sol                      - o Samrat Yantra, formado por uma rampa de alvenaria de pedra em                       forma de triângulo retângulo com cerca de 25 metros de altura e de                         um arco virado para cima que atinge 13 metros.  

O triângulo, alinhado com o meridiano do local, projeta a sua sombra sobre a superfície curva do arco,                                   um enorme mostrador feito em mármore polido onde foram feitas milhares de incisões correspondentes a                             unidades temporais.  

A precisão deste instrumento é tal que podemos conhecer a hora exata através da posição do Sol com                                   um desvio máximo de 2 segundos. 

  

 

Olá estudante!   

 Neste capítulo vamos relacionar       

medidas de comprimento dos elementos de um             triângulo retângulo e apresentar o Teorema de             Pitágoras, um dos teoremas mais conhecidos           da matemática. 

  

Você sabia que existem mais de três mil formas de 

prová-lo?     

    Ilustração da Internet. 

 

    Iremos enunciar, demonstrar e mostrar         aplicações deste Teorema. 

Em seguida, vamos falar sobre as retas             paralelas cortadas por transversais e analisar           as conclusões que podemos tirar sobre           proporcionalidade a partir disso. 

O objetivo é proporcionar a         aprendizagem crítica, onde você poderá         demonstrar relações métricas do triângulo         retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras             utilizando, inclusive, a semelhança de         triângulos. Também estimamos que você         compreenda, interprete e seja capaz de           solucionar e elaborar problemas relacionados         com o conteúdo apresentado.   

  

Bons estudos! 

  

 

O que veremos aqui…  

1. Relações métricas no triângulo retângulo; 2. Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração; 3. Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade  

e verificações experimentais.  

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1. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO  

As relações métricas no triângulo         retângulo são a aplicação um conjunto de             razões sobre as medidas entre os elementos             de um triângulo. Utilizaremos a semelhança de             triângulos para encontrar estas relações.  

Por definição, um triângulo retângulo é           aquele que possui um ângulo reto (igual a 90º),                 e dois outros ângulos agudos (menores que             90º). Seja a imagem abaixo o triângulo             

retângulo ABC.Δ  

   

Figura da Internet. 

  

Notação: Usaremos o símbolo para        Δ    

representar algebricamente um triângulo.   

 Considere os triângulos semelhantes       

ABC, HBA e HAC, representados nas seguintes             imagens:     

    Figuras da Internet. 

 

Como os triângulos ABC e HBA são             semelhantes (ΔABC ~ ΔHBA), temos as seguintes             proporções:  

ca = h

b ⇒ .h b.c a =    

ca = c

m ⇒ a.m c2 =  

Usando encontramos a  ABC HAC Δ ~ Δ      

proporção:  

ba = nb ⇒ a.n b2 =    

Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC               encontramos a proporção: 

nh = hm ⇒ h m.n 2 =    

PARA PRATICAR Resolva os seguintes exercícios:  1) Em um triângulo retângulo, a lado maior mede 10                   cm e um dos outros lados mede 8 cm. Nessas                   condições: 

a) Determine o outro lado deste triângulo; b) Determine a área deste triângulo. 

 2) Determine a medida das projeções, isto é, de m e                     de n em um triângulo retângulo cujo lado maior                 mede 13 cm e um dos outros mede 5.  3) Determine a altura z deste triângulo. 

        Figura da Internet. 

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2. TEOREMA DE PITÁGORAS  

Teorema: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos                               catetos.  

 O maior lado do triângulo fica sempre oposto ao maior ângulo, que é o ângulo de 90°. Esse                                   

lado recebe o nome de hipotenusa e será representado aqui pela letra a, já os chamados catetos são                                   representados pelas letras b e c. Afirmando que é válida a relação .b a2 = 2 + c2     

  

     

    

 Imagem da Internet.  

A partir desta relação se fez a descoberta, do que conhecemos hoje como conjunto dos                             “números irracionais” e tornou-se possível calcular a diagonal de um quadrado de lado 1.  

Usaremos a letra “x” para o lado que representa a hipotenusa e o valor 1 para os catetos.                                   Acompanhe a aplicação do teorema: 

 

1 x 2 + 12 = 2  

1 1 x + = 2   2 x = 2   2 x = 2    

x √2 =     Imagem da internet.   

 

Análogo para lados (l) diferentes de um. Logo, a diagonal (d) de um quadrado pode ser representada por d = l . √2   

Número Irracional Definição: Chamamos um número de irracional se ele possuir as seguintes características:  

❏ Decimal; ❏ Infinito; ❏ Não-periódico. 

Este número também não pode ser representado por uma fração irredutível. 

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O Teorema de Pitágoras é muito importante para a Matemática, a partir dele outros grandes                             

resultados foram enunciados. Embora já fosse conhecido muito antes de Pitágoras, atribui-se a ele                           sua descoberta, pois supõe-se que a demonstração formal foi feita por ele, que foi uma prova por                                 comparação de áreas de figuras geométricas. Vamos demonstrá-lo!  

 Considere dois quadrados de lados iguais a (a + b). O primeiro é composto por seis figuras: um                                   

quadrado de lado a, um quadrado de lado b e quatro triângulos retângulos de catetos a e b.  

Figura da Internet. 

 

Se chamarmos de S a área de um desses triângulos e sendo a área total da figura (a + b)2,                                       temos:   

a 4S (a b)+ 2 = 2 + b2 +   

Seja o segundo quadrado composto também de quatro triângulos retângulos iguais aos                       anteriores e de um quadrado de lado c, equivalente à hipotenusa dos triângulos. 

Figura da Internet. 

 

 Logo, esse quadrado possui a seguinte configuração:  

4S (a b)+ 2 = c2 +  

 Igualando os segundos membros das equações, encontramos a expressão                 

.S a 4S c2 + 4 = 2 + b2 +  

 Agora se subtrairmos 4S de ambos os membros da igualdade acima, teremos a expressão                           

central do Teorema de Pitágoras .a c2 = 2 + b2  

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Triângulo Pitagórico Definição: Um triângulo retângulo é chamado de Triângulo Pitagórico se as medidas dos seus lados satisfaz o que pede o                                       teorema.  

 

 

Curiosidades      

  Imagem da Internet.  

Fragmentos de documentos e registros         antigos contam que Pitágoras (582 - 497 a. C.) foi                   um matemático e filósofo grego, que nasceu na               ilha de Samos, no mar Egeu, Grécia, por volta de                   582 a. C. 

Ele era filho de um rico comerciante, a               sua vida e suas ideias são uma mistura de lenda                   e história real. Com 16 anos de idade ele foi                   enviado para Mileto, para estudar com Tales, o               maior sábio da época. Logo, Tales reconheceu             que nada mais tinha que ensinar ao jovem e                 passou ele, o mestre, a estudar as descobertas               geométricas e matemáticas do aluno.  

O matemático fundou a "Escola         Pitagórica", que era mais que uma escola, era um                 status, uma espécie de irmandade religiosa           dedicada à Matemática, Religião, Política e           Filosofia. Além de matemáticos e astrônomos, a escola abrigava biologistas e anatomistas. Os alunos                           formados, defensores da aristocracia, ocupavam altos cargos no governo local, e dominavam as                         cidades gregas do sul da Itália. Alguns historiadores contam que algumas descobertas podem não ter                             sido feitas pelo Pitágoras, mas foram atribuídas à ele devido ao contexto da época.  

   

PARA PRATICAR   Resolva os seguintes exercícios: Ilustrações da Internet.   

1) A casa de Mariana será construída           em um terreno triangular que tem           frentes de 16m e 12m         em duas ruas que       formam um ângulo     de 90°.  

  

  

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2) A dona Angela está fazendo uma reforma e quer trocar a porta da sua casa. Sabendo que a porta é                                       retangular e ela sabe que a diagonal mede 2,5 m e a largura mede 1,0 m. Calcule a altura h, em metros ,                                             dessa porta.  

 3) Uma fábrica precisa produzir 20.000 folhas de sulfite tamanho A3 para duas escola da região Sul de                                 

Pernambuco. Sabe-se que a largura mede 297 e a altura mede 420 mm. Quanto mede o maior lado                                   desse papel?  

 4) Determine o valor de x no triângulo a seguir: 

        Imagem da Internet.  

5) A árvore mais alta da Amazônia possui 88 metros de altura, o que                         equivale a um prédio de 24 andares. Sua altura é um recorde para a                           Amazônia brasileira, que ainda não tinha registrado nenhuma árvore                 com mais de 70 metros de altura, é a prova que ainda se conhece                           pouco sobre a floresta e mostra a importância da preservação. Estas                     árvores gigantes são conhecidas conhecidas como Angelim Vermelho               e têm diâmetros que variaram de 2 a 3 metros  Suponha que esta árvore, as duas horas da tarde, produza uma                     sombra de 36 metros. Calcule a diagonal d que é a distância entre o                           topo da árvore e a ponta da sombra.  

Divulgação/Foto de Jhonathan dos Santos.   

6) Qual é a medida da diagonal de um quadrado com lado igual a 4 cm? 

7) Três cidades do estado de MInas Gerais estão localizadas nos pontos A, B e C. Sabemos que a cidade A dista 66 km da cidade C e que C dista 138 km da cidade B.  

 a) Determine a distância entre as cidades A e B. 

 b) Determine a superfície entre estas cidades.  

              

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8) Seja ABC equilátero com lado igual a 13, calcule a altura desta figura.Δ           

9) Um triângulo ABC é retângulo em A e possui hipotenusa BC. Sabendo que as medidas dos lados AB e AC são iguais a √6 cm e √3 cm, respectivamente, determine a medida do lado BC. 

a) BC mede 9 cm d) BC mede √3 cm b) BC mede 5 cm e) BC mede √6 cm 

c) BC mede 3 cm 

 10) (IBGE 2016 – Cesgranrio) Na Figura a seguir, o segmento de reta PQ mede 6 cm, o QR mede 12 cm, o RS 

mede 9 cm, e o ST mede 4 cm. 

Ilustração da Internet.  A distância entre os pontos P e T, em cm, mede  a) 17 b) 21 c) 18 d) 20 d) 19 

  

JUNTOS do it yourself (DIY) 

O termo em inglês do it yourself (ou DIY) significa Faça Você Mesmo . A sigla é da década passada, surgiu nos Estados Unidos após a guerra dos anos 50, e foi popularizada nas mídias digitais através de vídeos com tutoriais de criação de diversos objetos como móveis, equipamentos eletrônicos, brinquedos, cremes e máscaras caseiras para cabelo, rosto e corpo e etc. Além disso, por meio do “faça você mesmo”, também é possível aprender a cuidar de hortas e customizar roupas, tudo isso economizando mão de obra e colocando a mão da massa!  

Na aula de hoje, vocês deverão produzir um vídeo ensinando como usar o teorema de pitágoras para reformar e reaproveitar itens de papelaria como cadernos, réguas e pastas, móveis, da sua casa ou da escola, peças de vestuário e muito mais. Vamos fazer um DIY com matemática?  

 

Lembre-se sempre de priorizar a economia no consumo e na produção de produtos, visando a preservação do meio ambiente. 

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3. RETAS PARALELAS CORTADAS POR TRANSVERSAIS: TEOREMAS           DE PROPORCIONALIDADE E VERIFICAÇÕES EXPERIMENTAIS 

Para começarmos vale relembrar o que são Retas Paralelas cortadas por uma Reta                         

Transversal.  Tome duas retas r e s paralelas entre si (r//s) cortados por uma uma reta transversal t.  

 

Imagem da Internet.

 As letras minúsculas a, b, c, d, e, f, g e h representam ângulos.                           

Lembre-se que os ângulos a ≡ g, b ≡ h, d ≡ f , c ≡ e pois será bastante                               importante para o que iremos estudar. Agora vamos relacionar o tema com                        o conteúdo desta unidade. 

Abaixo vemos três retas sendo cortadas por duas retas transversais r e s tendo em comum um                                 ponto O (a origem). 

  

  

  

   

   

   

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 Perceba que os segmentos de reta AB, CD e FG são paralelas entre si (AB//CD, CD//FG e AB//FG)                                   

pois o ângulo incidente delas em r são congruentes, e ainda mais, os ângulos são retos (90°).   Considere a seguinte imagem:    

           

 

Notação: Nesta unidade usaremos uma letra minúscula com apóstrofo (’) para indicar algebricamente que os ângulos são                                 opostos pelo vértice.  

 Teorema das retas paralelas cortadas por uma transversal Definição: Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas                             proporcionalmente correspondentes. 

 Observe que os ângulos a, b e c tem um oposto pelo vértice a’, b’ e c’ que são simétricos a eles                                           

mesmos, ou seja, a ≡ a’ , b ≡ b’ e c ≡ c’. Perceba que o ângulo alterno externo a é semelhante ao ângulo alterno interno b’, o ângulo                               

alterno externo b é semelhante ao ângulo alterno interno c’ e o ângulo alterno externo c é semelhante                                   ao ângulo alterno interno a’. Ora se a’ ≡ c então a’ ≡ c’ pois c’ ≡ c e podemos utilizar esta lógica para os                                                 demais ângulos.   

 

a'≡b e b≡c'⇒ a'≡c' a'≡b e b≡b'⇒a'≡b' b'≡c e c≡c'⇒b'≡c' 

 Note que os vértices OAB formam um triângulo retângulo (atenção para o ângulo reto!!!) e deste                               

modo os vértices OCD e OEF também formam triângulos retângulos.  

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Entretanto, como discutimos anteriormente, todos os ângulos desses triângulos são                   

congruentes, logo pela propriedade do caso de semelhança Ângulo-Ângulo-Ângulo (AAA), verificamos                     que estes triângulos são semelhantes entre si.  

É interessante perceber que pelo fato deles serem semelhantes vale as proporções discutidas                         nas páginas anteriores. Assim tomando como base a imagem anterior: 

  

= = (Relação entre a hipotenusa e os catetos)ABOA

CDOC

EFOE  

= = (Relação entre a hipotenusa e os outros catetos)OAOB OD

OC OEOF  

= = (Relações entre os catetos)ABOB OC

CD EFOF  

  

PARA PRATICAR Resolva os seguintes exercícios:  

 1) Observe a figura abaixo e responda: 

 a) Qual é a medida do ângulo x e y? b) Tome OF=12 , OA=5, AB=3, EF=9. Quais serão os valores de OB,OD,OC,OE e OF?  2) O triângulo retângulo ABC, de catetos AB=12 e BC=5 e hipotenusa AC=13 e o triângulo PQR, de catetos PQ=6                                       QR=8 e hipotenusa PR=10 são semelhantes? Justifique.  

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3) Os ângulos de um triângulo retângulo são congruentes aos ângulos de um outro triângulo retângulo? E se                                   forem semelhantes?  4) O triângulo é uma figura geométrica que não se deforma , em outras palavras , mesmo que você force para                                         qualquer lado ou direção , usando pouca ou muita força não irá alterar a sua forma inicial. Essa propriedade muito é muito usada na construção civil como reforço de grandes estruturas como antenas                                 

de celulares, pontes e até mesmo em guindastes, já que muitas vezes as estruturas são inicialmente                               quadriláteros que facilmente se deformam.  Outro grande uso é na decoração de interiores, por exemplo, em estantes , podemos até tomar como ideia uma                                     estante retangular, de base com o tamanho de 80cm e a altura com o tamanho de 150cm,que precisa ser                                     reforçada com uma barra com o objetivo de formar um triângulo, para usar aquela propriedade que não se                                   deforma. Assumindo que a barra vai da ponta esquerda inferior até a ponta direita superior, formando                               

um triângulo retângulo: a) Qual será o tamanho da barra de reforço, em centímetros? 

 b) Qual será a razão entre a base pelo tamanho da barra de reforço? 

 c) Se reforçarmos uma estante duas vezes menor que a primeira estante, com base 40cm                           

e altura 75cm, qual seria o tamanho da nova base de reforço? A razão entre a nova                                 barra de reforço e a nova base se seria diferente da razão encontrada no item b)? 

  Imagem da Internet . 

  5 )Senhora Maurinice é dona de uma serralheria muito conhecida em                     sua região, que produzem os mais diversos materiais para casa,                   construção e alguns materiais didáticos para as escolas ao redor.  Ela percebeu que os seus esquadros de triângulos retângulos estão                   sendo muito requisitados, por isso resolveu fazer três moldes de                   esquadros, respeitando sempre a razão 

do cateto menor dividido pelo cateto maior. quais poderão ser os31                      

possíveis esquadros feitos por ela?     

Foto divulgação de novonegocio.com.br           

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6) Judite intrigada com o Teorema pô-lo á prova.: ela estava convencida que o Teorema                             das retas paralelas cortadas por uma transversal, não precisa obrigatoriamente de ter                       retas paralelas e sim qualquer tipo de retas, levando as conclusões sobre semelhança da                           mesma maneira que chegamos. Ela está certa? Justifique.             Ilustração da Internet. 

   7)Qual a medida do segmento AB ?  

        Imagem da Internet.   8) Na figura abaixo está representada a fachada de um prédio. Os segmentos de reta [AB] e [CD] são                                     perpendiculares a [BE] e os segmentos de reta [AB] e [CD] são paralelos. Determine a altura deste prédio. 

 Imagem da Internet. 

  

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JUNTOS Altura pela sombra!  

Tales de Mileto (em grego: Θαλῆς ὁ Μιλήσιος; c.624 — 546 a.C) tem esse nome                               por ter nascido na cidade de Mileto, então Grécia antiga, e é considerado o primeiro                             filósofo da cultura ocidental, e sempre abordava questões sobre política, religião,                     astronomia e principalmente matemática. Ele foi um homem de muitos feitos, e um                         deles foi calcular o tamanho das pirâmides do Egito sem qualquer equipamento de                         medição, usando apenas o teorema das retas paralelas cortadas por retas                     transversais, ou em outras palavras, o Teorema que leva seu nome " Teorema de                           Tales". 

A ideia era simples, mas genial: ao meio do dia, próximo às pirâmides, Tales                             fincou uma estaca no chão próximo a pirâmide e notou que as sombras feita por ela e                                 a sombra feita pela pirâmide eram, em sua totalidade, proporcionais, podendo assim                       pela semelhança que vimos logo acima, estimar a altura da pirâmide.  Imagem da Internet.              

     Imagem da Internet. 

Relação feita por Tales:  

=Altura da pirâmideTamanho da sombra da pirâmide

Altura da estacaTamanho da sombra da estaca  

 Pensando dessa maneira em que Tales usou para descobrir o tamanho da pirâmide, vamos medir a 

altura das mais diversas coisas em seu bairro por meio desse método? Mãos à obra!  

   Oficina   

 

 A noção trabalhada nas páginas anteriores, se prestarmos bem atenção, poderá funcionar                       

para qualquer triângulo. Mas será verdade? Podemos tentar, mas para isso faremos algumas experiências para ver se funciona mesmo.                           

Primeiro, com o auxílio de um régua, trace duas retas saindo de um mesmo ponto, igual as retas s e r                                          das páginas, e depois traçamos retas paralelas só que dessa vez que não formem um ângulo reto em                                   r.  

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Contanto que as retas sejam paralelas, o ângulo formado em r pode ser obtuso ou você                               

escolhe! Como um exemplo, a ilustração a seguir mostra o caso dos ângulos agudos.        

    Passado por esse passo, vamos destacar os ângulos internos?   Faça pequenos semicírculos nos vértices de cada encontro das retas paralelas em s e r, e em                                  

seus ângulo externos também, similar a figura abaixo (lembrando que este caso é o com ângulo                               agudo!!), sendo muito bom usar algum tipo de marcação (cores diferentes, desenhos pequenos,                         traços… solte sua imaginação). 

 

Assim , terminado este penúltimo passo, vamos cortar esses ângulos destacados. Para não nos                           perdermos vamos recapitular: 

  Passos:   

1. Façam duas retas com a mesma origem; 2. Façam algumas retas paralelas cortando estas duas retas, com o ângulo a sua escolha; 3. Destaquem os ângulos externos e internos da forma que mais gostar; 4. Cortes este ângulos. 

 Vamos agora comparar cada um dos ângulos? O que foi percebido no tamanhos deles? O que                               

será que podemos concluir sobre isso?  

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Se tentássemos com outro tipo de retas paralelas teríamos o mesmo resultado? Discutam entre                           

si, pensem e argumentem sobre a nossa pergunta inicial: será que o teorema vale para qualquer reta                                 paralela, não só a que forma o ângulo retângulo?  

 

 Philipp Foltz, óleo em tela, séc.XIX, Domínio Público 

  Assim como os antigos Gregos em suas ágoras, discutam e convençam seus colegas sobre o                             

que pensam!  

 

Ágora: A palavra ágora provém do idioma grego e se referia às cidades, as chamadas “pólis” dessa nação, às praças públicas  e às assembleias que se celebravam na mesma. Com o tempo, o termo estendeu-se para fazer referência a outros locais de                                         reunião ou de discussão. 

        

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 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS  BEZERRA, Juliana. Pitágoras. 2019. Artigo revisado em 25/09/19 Toda Matéria: conteúdos escolares. Disponível em:                           <https://www.todamateria.com.br/pitagoras/>. Acesso em: 25 set. 2019. CAVALCANTE, Romirys. Demonstração do Teorema de Pitágoras. 20 de dezembro de 2012. Artigo. Vivendo entre                             Símbolos. Disponível em:     <https://www.vivendoentresimbolos.com/2012/12/demonstracao-do-teorema-de-pitagoras.html>. Acesso em: 02 out.         2019. FRAZÃO, Dilva. Pitágoras: Matemático grego. 2018. Disponível em: <https://www.ebiografia.com/pitagoras/>. Acesso                   em: 25 set. 2019. GONÇALVES, Amanda. Retas paralelas cortadas por uma transversal. Brasil Escola. Disponível em:                       <https://brasilescola.uol.com.br/matematica/retas-paralelas-cortadas-por-uma-transversal.htm>. Acesso em: 29       set. 2019. GOUVEIA, Rosimar. Relações Métricas no Triângulo Retângulo. 2018. Artigo revisado. Toda Matéria: conteúdos                         escolares.. Disponível em: <https://www.todamateria.com.br/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo/>. Acesso         em: 26 set. 2019. GOUVEIA, Rosimar. Retas Paralelas: Retas paralelas cortadas por uma transversal. 18 de agosto de 2018. Artigo                               revisado. Toda Matéria: conteúdos escolares.. Disponível em: <https://www.todamateria.com.br/retas-paralelas/>.               Acesso em: 29 set. 2019. LUCHETTA, Valéria Ostete Jannis. Teorema de Pitágoras. 04/11/2005. IMática. IME-USP. Compilado em: 26 de                           Fevereiro de 2008. Disponível em: <https://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/teopitagoras.html>. Acesso em: 02                 set. 2019. LUIZ, Robson. "Teorema de Pitágoras"; Brasil Escola. Disponível em:                 https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-pitagoras.htm. Acesso em 14 set. 2019. OKARANSKI, Letícia. Exercícios sobre Teorema de Pitágoras: Quiz básico com exercícios de Teorema de Pitágoras..                             Disponível em: <https://rachacuca.com.br/quiz/174442/exercicios-sobre-teorema-de-pitagoras/>. Acesso em: 14           set. 2019. SAMRAT YANTRA, O MAIOR RELÓGIO DE SOL DO MUNDO. PUBLICADO EM ARQUITETURA POR SEVEN. Disponível                             em: <http://obviousmag.org/archives/2007/08/samrat_yantra_o.html>. Acesso em: 04 set. 2019. SILVA, Luiz Paulo Moreira. Exercícios Sobre Triângulos. Publicado em: Exercícios de Matemática. Disponível em:                           <https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-triangulos.htm#questao-5788>. Acesso em: 26 set. 2019. TEOREMA de Pitágoras. Elaborado pelo Instituto de Educação, em: http://www.ie.ulisboa.pt/. Disponível em:                       <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm28/torema.htm>. Acesso em: 14 set. 2019. TRIÂNGULO Retângulo: Cálculo de Área, Ângulos e o Teorema de Pitágoras. Elaborado por: Blog do Enem.                               Disponível em: <https://blogdoenem.com.br/triangulo-retangulo-matematica-enem/>. Acesso em: 26 set. 2019. GUTHRIE, W.K.C. (1962). History of Greek Philosophy. Volume I. The Earlier Presocratics and the Pythagoreans (em                               inglês). Cambridge: Cambridge University Press SEMELHANÇA entre Triângulos – Revise Matemática vestibular e Enem. Blog do enem, 2018.Disponivel em                           < https://blogdoenem.com.br/semelhanca-entre-triangulos-matematica-enem/ >.Acesso em 29 out.2019.  

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