UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO - USP · Leandro Nery de Oliveira Tese de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Matemática (PPG-Mat) SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Data

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Aspectos da teoria invariante e equivariante para a ação dogrupo de Lorentz no espaço de Minkowski

Leandro Nery de OliveiraTese de Doutorado do Programa de Pós-Graduação emMatemática (PPG-Mat)

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

Assinatura: ______________________

Leandro Nery de Oliveira

Aspectos da teoria invariante e equivariante para a ação dogrupo de Lorentz no espaço de Minkowski

Tese apresentada ao Instituto de CiênciasMatemáticas e de Computação – ICMC-USP,como parte dos requisitos para obtenção do títulode Doutor em Ciências – Matemática. VERSÃOREVISADA

Área de Concentração: Matemática

Orientadora: Profa. Dra. Miriam Garcia Manoel

USP – São CarlosAgosto de 2017

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

O48aOliveira, Leandro Nery de Aspectos da teoria invariante e equivariantepara a ação do grupo de Lorentz no espaço deMinkowski / Leandro Nery de Oliveira; orientadoraMíriam Garcia Manoel. -- São Carlos, 2017. 117 p.

Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação emMatemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas ede Computação, Universidade de São Paulo, 2017.

1. Grupo de Lorentz. 2. Espaço de Minkowski. 3.Teoria invariante. I. Manoel, Míriam Garcia, orient.II. Título.

Leandro Nery de Oliveira

Aspects of invariant and equivariant theory for the action ofthe Lorentz group on the Minkowski space

Doctoral dissertation submitted to the Institute ofMathematics and Computer Sciences – ICMC-USP, inpartial fulfillment of the requirements for the degree ofthe Doctorate Program in Mathematics. FINALVERSION

Concentration Area: Mathematics

Advisor: Profa. Dra. Miriam Garcia Manoel

USP – São CarlosAugust 2017

À minha esposa Jorgeane e aos meus dois filhos Helena e Heitor.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, agradeço à minha esposa Jorgeane Oliveira, pelo amor, paciência, com-preensão, encorajamento e aos meus filhos Helena e Heitor, meus grandes presentes.

À professora Míriam, pelo profissionalismo, seriedade e paciência. Sou eternamentegrato pela orientação e apoio bem como sua ajuda pessoal com a minha estadia em São Carlos.

Ao professor Leonardo Câmara pelo incentivo e apoio.

Aos meus amigos Thiago, Maico, Fernando, Karlo, Telau, Giovani e Marcos Auréliopela sincera amizade e momentos de desabafo.

Aos meus amigos do doutorado, Camilo, Dione, Rogélio e Martin, pelo momentos deestudos e descontração, em especial a Patrícia pelas discussões e conversas.

À minha cunhada Ana Helena (Lene), por se dispor a vir de Rio Branco a São Carlos meajudar, cuidando dos meus filhos nas incontáveis horas que passei distante deles.

À CAPES pelo auxílio financeiro durante todo o doutorado.

A todos aqueles que me ajudaram de alguma forma durante o doutorado.

“A matemática, vista corretamente,

possui não apenas verdade,

mas também suprema beleza -

uma beleza fria e austera, como a da escultura.”

(Bertrand Russell)

RESUMO

OLIVEIRA, L. N. Aspectos da teoria invariante e equivariante para a ação do grupo deLorentz no espaço de Minkowski. 2017. 117 p. Tese (Doutorado em Ciências – Matemática) –Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos –SP, 2017.

Neste trabalho, introduzimos a teoria invariante e equivariante para a ação do grupo de Lorentzno espaço de Minkowski. Na teoria clássica, muitos resultados são válidos somente para a açãode grupos compactos em espaços Euclideanos. Continuamos o estudo para alguns subgrupos deLorentz compactos e apresentamos uma forma de calcular as involuções de Lorentz em O(n,1).Fazemos uma empolgante discussão sobre uma classe de matrizes centrossimétricas polinomiaiscom aplicações em teoria invariante, estabelecendo um rumo para a pesquisa em subgrupos deLorentz não compactos. Por fim, apresentamos alguns resultados da teoria equivariante parasubgrupos de Lorentz.

Palavras-chave: Grupo de Lorentz, Espaço de Minkowski, Teoria invariante, Teoria equivariante.

ABSTRACT

OLIVEIRA, L. N. Aspects of invariant and equivariant theory for the action of the Lorentzgroup on the Minkowski space. 2017. 117 p. Tese (Doutorado em Ciências – Matemática) –Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos –SP, 2017.

In this work, we introduce the invariant and equivariant theory for the Lorentz group on theMinkowski space. In the classical theory, many results are valid only for compact groups onEuclidean spaces. We continue the study of some compact Lorentz subgroups and present a wayof calculating the Lorentz involutions in O(n,1). We make an exciting discussion about a classof polynomial centrosymmetric matrices with applications in invariant theory, setting a coursefor research in non-compact Lorentz groups. Finally, we present some results for the equivarianttheory of Lorentz subgroups.

Keywords: Lorentz Group, Minkowski space, Invariant theory, Equivariant theory.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – (i) Plano do tipo espaço (ii) Plano do tipo luz (iii) Planodo tipo tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Figura 2 – Espaço hiperbólico H n(r) em relação ao cone luz. . . . . . . . . . . . . . 51Figura 3 – Ação de uma matriz de SO0(2,1) em um vetor v de um espaço hiperbólico. . 51Figura 4 – Fix do tipo espaço e seu complemento Lorentz ortogonal . . . . . . . . . . 65Figura 5 – Fix do tipo luz e seu complemento Lorentz ortogonal . . . . . . . . . . . . 65Figura 6 – Fix do tipo tempo e seu complemento Lorentz ortogonal . . . . . . . . . . . 66Figura 7 – Cadeia de Isotropia de O(1,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Figura 8 – Cadeia de Isotropia de O(2,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Subespaços invariantes de O(1,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Tabela 2 – Subespaços de pontos fixos de R1+1 e R2+1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Tabela 3 – Polinômios Γln(2)-invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Tabela 4 – Subgrupos de isotropia de O(1,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Tabela 5 – Subgrupos de isotropia de O(2,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.1 Grupos de Lie e teoria de representação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.1.1 Teoria invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.1.2 Aplicações equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.2 Os grupos de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.2.1 A decomposição polar e as componentes conexas de O(n,1) . . . . . . . . 33

1.2.2 O(n,1) como o produto semidireto dos subgrupos SO0(n,1) e Z2×Z2 . . . 40

1.2.3 A decomposição em valores singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.2.4 Vetores no espaço de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.2.5 Subespaços do espaço de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 A AÇÃO DO GRUPO DE LORENTZ NO ESPAÇO DE MINKOWSKI . 49

2.1 A ação do grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2 Teoria invariante e o subespaço de pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3 Operadores de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4 Subespaços invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4.1 Complemento Lorentz invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4.2 Subespaços invariantes em R1+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4.3 Subespaços invariantes em R2+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3 AS INVOLUÇÕES DE LORENTZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.1 Involuções em O(1,1) e invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2 Involuções em O(2,1) e invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3 Involuções em O(n,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.4 O subespaço de pontos fixos de uma involução de Lorentz . . . . . . . . 84

4 SOBRE OS INVARIANTES PARA ROTAÇÕES DE LORENTZ . . . . 87

4.1 Matriz centrossimétrica polinomial em duas variáveis . . . . . . . . . . 89

4.2 A base de Hilbert de P(Γθ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5 APLICAÇÕES EQUIVARIANTES PELA AÇÃO DE UM SUBGRUPODE LORENTZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.1 Cadeia de isotropia de O(1,1) e O(2,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.1.1 Cadeia de isotropia de O(1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.1.2 Cadeia de isotropia de O(2,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2 Aplicações equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2.1 O módulo das aplicações equivariantes por uma involução de O(1,1) . . . 1075.2.2 Aplicações equivariantes por uma involução de O(2,1) . . . . . . . . . . . 108

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

APÊNDICE A MATRIZES DE Rh(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

21

INTRODUÇÃO

De uma maneira geral, os sistemas dinâmicos estudam a evolução de um fenômeno,que depende do tempo, bem como suas propriedades locais e globais. A teoria de sistemasdinâmicos que são equivariantes com respeito à ação de grupos usa diversas ferramentas daÁlgebra e da Topologia, como a teoria da representação de grupos, teoria invariante, açõesde grupos e teoria da bifurcação, além da teoria de singularidades. Contribuições importantesforam dadas por Golubitsky, Stewart e Schaeffer com o livro clássico [17], Vanderbauwhede[41] e outros trabalhos que vieram a partir de então. Diferentes aspectos destas ferramentas sãonecessários para lidar com as propriedades algébricas e geométricas destes sistemas em espaçosnão euclideanos, como o espaço que estudamos, o espaço de Minkowski.

Muito do que se tem feito em teoria de sistemas dinâmicos equivariantes usa o fato, comohipótese fundamental, que o grupo é compacto. Nesse sentido, o estudo do grupo de Lorentz,especialmente dos seus subgrupos compactos, torna-se relevante.

Por definição, o grupo de Lorentz é um subgrupo do grupo de Poincaré que preservaa forma bilinear, ou pseudo-produto interno de Lorentz 〈,〉 e também preserva a distânciade Lorentz dada por ||u− v|| =

√| 〈u,v〉 |. Porém, o grupo de Lorentz não contém todas as

transformações que preservam a distância de Lorentz, isso cabe ao grupo de Poincaré, o grupode isometrias no espaço de Minkowski. Por várias razões, a descrição de subgrupos gerais dogrupo de Lorentz é de grande interesse em aplicações. Por exemplo, é de particular interesse sediscutir os subgrupos discretos do grupo de Lorentz; a literatura traz trabalhos que variam dosanos 60 ([19]) até trabalhos recentes como em [37].

O espaço de Minkowski, ou também chamado espaço-tempo, é o contexto em que secombina espaço e tempo em um único sistema de coordenadas. É um espaço vetorial real,(n+1)-dimensional, dotado de uma pseudo-métrica simétrica, bilinear não degenerada associadaao pseudo-produto interno

〈((x1, · · · ,xn,xn+1),((y1, · · · ,yn,yn+1)〉=n

∑i=1

xiyi− xn+1yn+1.

Classifica-se os pontos x do espaço de Minkowski como sendo do tipo espaço, tipo tempo outipo luz, se 〈x,x〉 é positivo, negativo ou nulo, respectivamente. Essa nomenclatura vem da teoriada relatividade de Einstein. Na teoria da relatividade de Einstein, o espaço de Minkowski R3+1 éo espaço vetorial real R4 onde as três primeiras coordenadas são espaciais e a última coordenadaé temporal. Vários autores têm considerado uma grande variedade de aspectos da teoria das

22 SUMÁRIO

singularidades e da geometria diferencial em espaços de Minkowski ([32] e [39]) e sistemasdinâmicos e bifurcações ([7], [24], [44]).

Discutimos, neste trabalho, aspectos no grupo de Lorentz e no espaço de Minkowskido ponto de vista da teoria invariante e equivariante, importantes ferramentas para a teoria desistemas dinâmicos equivariantes. Adaptamos a teoria invariante e equivariante, desenvolvidaem [17] e [35] para grupos compactos, para o grupo de Lorentz.

A teoria de representação em espaço de Minkowski para o grupo de Lorentz é abordada.Optamos por fazer um texto mais fluido, suave e uniforme. Por isso, incluímos alguns resultados,devidamente referenciados, com as demonstrações. Em outros resultados apresentamos umademonstração particular.

Uma matriz centrossimétrica [ai, j], de ordem n, é definida por

ai, j = an+1−i,n+1− j, para todo i, j = 1, · · · ,n.

Muitos trabalhos abordam as propriedades das matrizes centrossimétricas ([6], [12], [18], [28],[36], [40] e [43]). Estas matrizes desempenham um papel importante em várias áreas como, porexemplo, no cálculo de probabilidades e na análise de séries temporais ([8]). Também em áreas daengenharia e física como reconhecimento de padrões, teoria de antenas, física quântica, vibraçãoem estruturas e o oscilador quântico-mecânico, teoria da comunicação e análise de fala, comoabordado em [9] e [10]. Portanto, existe uma potencial aplicação destas matrizes em sistemasdinâmicos equivariantes. Estudamos, nesta tese, uma classe de matrizes centrossimétricas comentradas polinomiais e mostramos uma aplicação destas matrizes na teoria invariante.

Esperamos que os resultados obtidos nesta tese contribuam para um melhor entendimentodos aspectos da teoria invariante e equivariante da ação do grupo de Lorentz no espaço deMinkowski.

A seguir, descrevemos o conteúdo de cada capítulo destacando alguns dos resultadosencontrados.

No capítulo 1 apresentamos os conceitos básicos da teoria invariante e equivariante,que podem ser encontrados em [17] e [35]. Apresentamos também os grupos de Lorentz e suadecomposição em quatro componentes conexas. Destacamos o Teorema 1.2.14, mostrando quematrizes conjugadas estão na mesma componente conexa e escrevemos o grupo de Lorentz comoo produto semidireto da componente conexa da identidade com um subgrupo de Lorentz finitode ordem quatro, Proposição 1.2.15. Mostramos a decomposição na forma polar e em valoressingulares das matrizes de Lorentz, encontrado em [13], sendo esta última de grande importânciapara os resultados neste trabalho. Apresentamos também os subespaços do tipo luz, tempo eespaço, do espaço de Minkowski, e suas principais propriedades.

No capítulo 2, fazemos uma reunião de alguns resultados e propriedades mais geraissobre o grupo de Lorentz. Estudamos a ação do grupo de Lorentz no espaço de Minkowski. No

SUMÁRIO 23

Teorema 2.1.6, mostramos que a ação do grupo de Lorentz em Rn+1 é absolutamente irredutível.O Lema 2.3.1 é importante para estabelecer um método que possa nos dar uma base de Hilbertde um grupo Γ, uma vez que se conheça a base de Hilbert de um subgrupo de Γ de índice quatro,usando para isso operadores de Reynolds e o Teorema 2.3.3, encontrado em [3]. Mostramos, naProposição 2.4.1, que todo subespaço de Minkowski Γ-invariante, não degenerado, admite umcomplemento Lorentz ortogonal Γ-invariante. No caso de subespaço degenerado apresentamosuma condição suficiente para encontrarmos um complemento Lorentz ortogonal, Proposição2.4.2. Finalizamos o capítulo apresentando alguns resultados e propriedades sobre subespaçosinvariantes do espaço de Minkowski, mostrando vários resultados sobre os espaços invariantesem R1+1 e R2+1, dando um destaque aos espaços de pontos fixos e sua natureza geométrica noespaço de Minkowski.

O capítulo 3 é dedicado aos Z2-subgrupos de Lorentz. Fazemos uma classificação geraldas matrizes de involução de Lorentz em O(n,1). As Proposições 3.1.1 e 3.2.1 nos dão a formageral de uma involução de Lorentz em O(1,1) e O(2,1), respectivamente, e no Teorema 3.3.4mostramos como pode ser escrita uma involução em O(n,1). Por fim, o Corolário 3.3.5 ajuda-nos a encontrar de maneira simples uma involução de Lorentz. Apresentamos os polinômiosinvariantes pela ação de involuções em O(1,1) (Proposição 3.1.4) e O(2,1) (Proposição 3.2.4)e alguns polinômios invariantes pela ação de O(3,1) (Proposições 3.3.3 e 3.3.6). Encerramoso capítulo mostrando que o conjuntos dos pontos fixos, da ação de um grupo gerado por umainvolução, nunca será um espaço do tipo luz, Teorema 3.4.3.

No capítulo 4 estudamos o grupo gerado pela rotação hiperbólica pura em O(1,1).No estudo dos invariantes para o grupo gerado por esta rotação hiperbólica, chegamos a umtipo especial de matrizes conhecida como matrizes centrossimétricas. Dedicamos boa parte docapítulo ao estudo das propriedades destas matrizes com entradas polinomiais. Chegamos aofinal do capítulo com algumas conjecturas.

Finalmente, no capítulo 5 mostramos a cadeia de isotropia dos grupos O(1,1) e O(2,1).Mostramos que dado uma função Γ-invariante podemos achar uma aplicação Γ-equivariante,usando um resultado da teoria clássica, Proposição 5.2.1. Finalizamos o capítulo apresentando umprocedimento, Teorema 5.2.2, para o cálculo das aplicações Γ-equivariantes a partir das funçõesΓ-invariantes, e vice-versa, desde que se conheça a base de Hilbert do anel dos polinômiosinvariantes ou os geradores do módulo das aplicações Γ-equivariantes.

25

CAPÍTULO

1PRELIMINARES

Neste capítulo encontra-se a teoria clássica necessária para a leitura deste trabalho.

Inicialmente, vemos alguns resultados essenciais para os resultados nos capítulos posteri-ores. A maior parte dos resultados aqui podem ser encontradas em [13], [17], [29] e [35]. Estecapítulo é dividido em duas seções.

Na primeira seção, vemos alguns conceitos fundamentais sobre teoria de grupos, defi-nindo grupo de Lie linear e ação deste grupo em um espaço vetorial. Por isso, também damosuma noção sobre teoria de representação, visto que um grupo pode agir num espaço vetorialde várias formas. Definimos as funções invariantes e aplicações equivariantes e anunciamos osseus clássicos teoremas. Ao finalizar esta primeira seção, apresentamos dois algoritmos que nosajudam a determinar uma base de Hilbert para o anel dos polinômios invariantes pela ação deum grupo de Lie compacto.

Na segunda seção, introduzimos os conceitos sobre grupo de Lorentz e espaço deMinkowski. Apresentamos a decomposição do grupo de Lorentz em quatro componentes conexase também uma forma de decompor cada elemento deste grupo em valores singulares ou escreve-los na forma polar. Esta decomposição é de fundamental importância para o desenvolvimentodos capítulos à frente. Encerramos o capítulo apresentando propriedades importantes sobre ossubespaços vetoriais do espaço de Minkowski.

1.1 Grupos de Lie e teoria de representação

Nesta seção tratamos sobre grupos de Lie e teoria de representação, além de noçõesda teoria invariante e equivariante. Comecemos com os grupos de Lie, em [20] achamos umaexcelente referência com uma leitura agradável. Seja GL(n) o grupo das matrizes invertíveis deordem n.

26 Capítulo 1. Preliminares

O espaço GL(n) pode ser identificado como um subconjunto aberto de Rn2. Assim, um

subgrupo fechado é um subconjunto fechado de GL(n) que tem estrutura de subgrupo. Temosentão:

Definição 1.1.1. Um subgrupo de Lie fechado de GL(n) é chamado de grupo de Lie linear.

Em [17] vemos que todo grupo de Lie compacto é topologicamente isomorfo a um grupode Lie linear. Neste caso, o chamaremos apenas de grupo de Lie. Por toda esta seção, o grupoΓ representa um grupo de Lie compacto e V um espaço vetorial real, a menos de menção emcontrário.

Definimos a ação à esquerda de um grupo Γ num espaço V , ou simplesmente uma açãode Γ em V , como uma função ς : Γ×V →V tal que

(i) Para todo γ,δ ∈ Γ e todo v ∈V ,

ς(γ,ς(δ ,v)) = ς(γδ ,v),

(ii) Para todo v ∈V temos que

ς(1,v) = v.

onde 1 é o elemento identidade de Γ. Para abreviar a notação usaremos γv em lugar de ς(γ,v),para indicar a ação de γ em v.

A ação é chamada fiel se γv = v para todo v∈V então γ = 1. A ação é chamada transitiva

se para quaisquer u,v ∈V existe algum γ ∈ Γ tal que u = γv.

Definição 1.1.2 ([5]). A uma ação de Γ em V corresponde um homomorfismo de grupos

ρ : Γ −→ GL(V )

γ 7−→ ργ

chamado representação de Γ em V .

Duas ações podem ser isomorfas. Sejam V e W espaços vetoriais n-dimensionais esuponha que o grupo de Lie Γ age em ambos (note que estamos considerando que a ação em V

e W podem ser distintas). Dizemos que as ações são isomorfas, ou que os espaços V e W sãoΓ-isomorfos, se existe um isomorfismo linear T : V →W tal que T (γv) = γT (v), para todov ∈V e γ ∈ Γ.

Podemos estender a mesma ideia para o caso em que o grupo Γ age em V , pela açãoγ·v, e outro grupo ∆ age em W , pela ação δ ∗w, supondo que Γ e ∆ são isomorfos. De fato,sendo I : Γ→ ∆ um isomorfismo de grupos, dizemos que as ações são isomorfas se existe umisomorfismo linear T : V →W tal que T (γ·v) = I (γ)∗T (v), para todo v ∈V e γ ∈ Γ.

1.1. Grupos de Lie e teoria de representação 27

Podemos identificar qualquer grupo de Lie compacto contido em GL(n) como umsubgrupo do grupo ortogonal O(n) ([17]). Essa identificação é feita usando uma forma deintegração que é invariante por translação dos elementos de Γ. Ela é chamada de Integral de

Haar ([30]).

1.1.1 Teoria invariante

Muitos problemas em álgebra aplicada têm simetrias ou são invariantes sob determinadastransformações naturais. Propriedades na geometria euclideana são invariantes sob o grupo eucli-deano de rotações, reflexões e translações; propriedades na geometria projetiva são invariantessob o grupo de transformações projetivas e, como veremos adiante, propriedades do espaço deMinkowski são invariantes pela ação do grupo de Lorentz. Dessa forma, a teoria invariante émuito mais do que uma observação filosófica, ela tem uma importância prática e uma elegânciamatemática ímpar.

Definição 1.1.3 ([17]). Seja Γ um grupo de Lie agindo em um espaço vetorial V . Uma função

real f : V → R é invariante sob a ação de Γ se

f (γx) = f (x)

para todo γ ∈ Γ, x ∈V .

Como a ação de Γ em V é linear, e sendo Γ finitamente gerado, é suficiente verificar aigualdade acima apenas para os geradores de Γ.

O teorema a seguir afirma que existe um subconjunto finito de polinômios invariantes,u1, · · · ,us tal que todo polinômio invariante pode ser escrito como uma função polinomial deu1, · · · ,us. Este conjunto finito não é único e é chamado de base de Hilbert, ou de conjuntode geradores do anel de funções polinomiais, e os elementos são chamados de invariantes

fundamentais. O conjunto de todos os polinômios invariantes, pela ação de um grupo Γ, tem aestrutura de um anel e é denotado por P(Γ).

Teorema 1.1.4 (Hilbert-Weyl). Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo num espaço V . Então

existe uma base de Hilbert para o anel P(Γ).

Demonstração. Veja [17], p. 54, Theorem 4.2.

Em geral, o cálculo do conjunto de geradores para o conjunto P(Γ) é extremamentedifícil.

Note que o Teorema de Hilbert-Weyl nos restringe a grupos compactos, embora seja pos-sível achar exemplos de grupos não compactos que possuem uma base de Hilbert. Luna, em [23],demonstrou que o Teorema de Hilbert-Weyl também é verdadeiro para representações racionais


de grupos algébricos redutivos. Uma explanação sobre grupos redutivos e uma demonstraçãodeste resultado pode ser encontrada em [11], Proposição 2.2.10.

O teorema de Schwarz, que se baseia no teorema de Hilbert-Weyl, nos dá uma descriçãodos germes invariantes. Para entende-lo melhor, precisamos da seguinte definição:

Definição 1.1.5 ([38]). Seja x ∈ Rn e seja F o conjunto de todas as aplicações suaves f : U ⊂Rn→ Rm, definidas em uma vizinhança U de x. Definimos a seguinte classe de equivalência em

F : f1 : U1 ⊂Rn→Rm e f2 : U2 ⊂Rn→Rm são equivalentes se existe um aberto W ⊂U1∩U2

contendo x tal que f1|W = f2|W . A classe de equivalência da aplicação f é chamada de germe de

f em x, ou simplesmente de germe de f .

Se f (x) = y, chamamos x de fonte do germe e y de meta do germe. Denotamos por En,m

o conjunto dos germes de funções de fonte nula, isto é, En,m = { f : (Rn,0)→ Rm}. Se m = 1denotamos apenas por En.

O teorema a seguir garante que a base de Hilbert para P(Γ) é também a base de Hilbertpara o anel dos germes Γ-invariantes E (Γ). A notação E (Γ) é usada para indicar o anel dosgermes Γ-invariantes V,0→ R.

Teorema 1.1.6 (Teorema de Schwarz, 1975). Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo num

espaço V . Seja {u1, · · · ,us} uma base de Hilbert para o conjunto P(Γ) de polinômios Γ-

invariantes. Seja f ∈ E (Γ). Então existe um germe suave h : Rs,0→ R, tal que

f (x) = h(u1, · · · ,us).

Demonstração. Veja [17], p. 58, Theorem 4.3.

Dizemos que um conjunto de polinômios Γ-invariantes tem uma relação se existe umpolinômio não nulo r(y1, · · · ,ys) tal que

r(u1(x), · · · ,us(x))≡ 0,

onde o conjunto {u1, · · · ,us} é uma base de Hilbert para E (Γ). Tais relações também sãochamadas de syzygies.

O anel PV = R[x1, · · · ,xn] é uma álgebra graduada sobre R, isto é,

PV =∞⊕

d=0

PVd ,

onde PVd é o subespaço vetorial das aplicações polinomiais homogêneas de grau d. Seja Pd(Γ)

o subespaço de todos os polinômios Γ-invariantes homogêneos de grau d. Como a ação de Γ

em V é linear então γ f ∈Pd(Γ), para todo γ ∈ Γ e f ∈Pd(Γ). Portanto, o anel dos polinômiosΓ-invariantes P(Γ) é uma álgebra graduada sobre R.


Definição 1.1.7 ([35]). A série de Hilbert da álgebra graduada P(Γ) é a função dada por

ΦΓ(t) =∞

∑d=0

dim(Pd(Γ))td.

O teorema a seguir é um clássico resultado que nos dá uma forma explícita da série deHilbert em termos das matrizes de Γ (ou da representação (ρ,Γ)). A série de Hilbert definidadesta forma é chamada de série de Molien.

Teorema 1.1.8 (Molien, 1897). Seja Γ um grupo compacto. A série de Hilbert do anel de

polinômios Γ-invariantes é

ΦΓ(t) =∫

γ∈Γ

1(det(I− tγ))

. (1.1)

Uma demonstração para este teorema pode ser encontrada em [35].

Observação 1.1.9. Se Γ é um grupo finito então a série de Molien é dada por

ΦΓ(t) =1|Γ| ∑

γ∈Γ

1(det(I− tγ))

.

A série de Molien nos dá uma estimativa sobre a contagem de polinômios homogêneos,pelo menos para os de grau mais baixo. Com o auxílio de algum software é possível achar essaestimativa para graus maiores.

Os polinômios p1, · · · , pm são algebricamente independentes se não existe relação entreestes polinômios, isto é, se o único polinômio r(x1, · · · ,xm) tal que r(p1, · · · , pm)≡ 0 é o polinô-mio nulo. A proposição a seguir, que pode ser encontrada em [35], simplifica o cálculo da sériede Hilbert para o caso em que os polinômios são algebricamente independentes.

Proposição 1.1.10 ([35]). Sejam p1, · · · , pm polinômios algebricamente independentes de K[x]

que são homogêneos de grau d1, · · · ,dm, respectivamente. Então a série de Hilbert do subanel

graduado R := K[p1, · · · , pm] é dada por

H(R, t) =∞

∑d=0

dimK(Rd)td =1

(1− td1)(1− td2) · · ·(1− tdm).

Como determinar quando polinômios são algebricamente independentes? Precisamos,antes de responder esta questão, de algumas definições.

Uma ordem total ≺ sobre os monômios xa11 · · ·xan

n em K[x1, · · · ,xn] é chamada de ordemmonomial se 1≺ x1 e x1 ≺ x2 o que implica que x1x3 ≺ x2x3, para todos os monômios x1,x2,x3 ∈K[x1, · · · ,xn].

Um exemplo de ordem monomial é a ordem graduada lexicográfica. Nesta ordem,

xa11 · · ·x

ann ≺ xb1

1 · · ·xbnn


se ∑ai < ∑bi. Ou se ambos têm o mesmo grau mas a primeira diferença não-nula, ai− bi, énegativa.

Outro exemplo é a ordem lexicográfica. O nome da ordem lexicográfica vem de suageneralização da ordem dada às palavras em um dicionário: uma seqüência de letras. Nestaordem, a ordem x≺ y≺ z em três variáveis induz uma ordem lexicográfica 1≺ x≺ x2 ≺ x3 ≺·· · ≺ y≺ yx≺ yx2 ≺ ·· · ≺ z≺ zx≺ zx2 ≺ ·· · em K[x,y,z].

Fixada uma ordem monomial≺ em K[x1, · · · ,xn], e dado um polinômio f ∈K[x1, · · · ,xn],denotamos por:

1. init( f ) o maior monômio do polinômio f , chamado monômio inicial de f ;

2. init(I) := 〈{init( f ) : f ∈ I}〉, o ideal gerado pelos monômios iniciais de todos os polinô-mios do ideal I ⊂ K[x1, · · · ,xn].

Um ideal gerado por monômios iniciais é chamado de ideal monomial.

Definição 1.1.11 ([35]). Um subconjunto finito G := {g1,g2, · · · ,gs} de um ideal I é chamado

base de Gröbner para I se o ideal monomial init(I) for gerado pelo conjunto

{init(g1), init(g2), · · · , init(gs)}.

Apresentamos a seguir dois procedimentos para o cálculo de uma base de Hilbert parao anel dos polinômios invariantes pela ação de um grupo compacto. O primeiro algoritmodetermina se um conjunto de polinômios é algebricamente independentes ou não.

Algoritmo 1.1.12 ([35]). ENTRADA: Um conjunto de polinômios F := { f1, f2, · · · , fm} ⊂ K[x].

QUESTÃO: F é algebricamente dependente sobre K? Se sim, encontre os polinômios não

nulos P, em m variáveis, tais que P( f1, f2, · · · , fm)≡ 0.

SOLUÇÃO:

(i) Introduzimos m novas variáveis y := (y1,y2, · · · ,ym);

(ii) Calculamos a base de Gröbner G de { f1−y1, f2−y2, · · · , fm−ym}, com respeito à ordem

lexicográfica x1 > x2 > · · ·> xn > y1 > y2 > · · ·> ym;

(iii) Seja G ′ = G ∩K[y]. Então F é algebricamente independente se G ′ = /0. Caso contrário,

os polinômios de F são algebricamente dependentes e cada elemento não nulo P(y) ∈ G ′

é uma relação tal que P( f1, f2, · · · , fm)≡ 0.

Suponha um conjunto de polinômios invariantes {p1, · · · , pm} ⊂P(Γ). O próximoalgoritmo determina se esse conjunto gera o anel dos polinômios invariantes P(Γ).


Algoritmo 1.1.13 ([14],[15] e [35]). ENTRADA: Um conjunto de polinômios F := {p1, · · · , pm}⊂P(Γ);

QUESTÃO: O conjunto F gera P(Γ)?

SOLUÇÃO:

(i) Use o Algoritmo 1.1.12 para verificar se os polinômios {p1, · · · , pm} são algebricamente

independentes;

(ii) Se os polinômios {p1, · · · , pm} são algebricamente independentes, calcule a série de

Hilbert H(R, t), segundo a Proposição 1.1.10;

(iii) Se os polinômios são algebricamente dependentes, calcule a série de Hilbert H(R, t),

segundo a definição.

(iv) Calcule a série de Molien ΦΓ(t). Se ΦΓ(t) = H(R, t) então o conjunto {p1, · · · , pm} gera

o anel P(Γ), e aqui termina o algoritmo.

(v) Caso contrário ΦΓ(t)−H(R, t) = cdtd + cd+1td+1 + · · · , onde cd é algum inteiro positivo.

(vii) Encontre todos os cd invariantes de grau d e adicione-os ao conjunto F. Recomece pelo

item (i).

A série ΦΓ(t)−H(R, t) = cdtd + cd+1td+1 + · · · nos dá a informação que existem cd

invariantes linearmente independentes de grau d, que não podem ser expressos em função dospolinômios p1, · · · , pm.

Estes dois algoritmos são usados nesta tese para calcular a base de Hilbert para o aneldos polinômios invariantes, pela ação de algumas classes de grupos de Lorentz compactos, emespecial as involuções descritas nos Capítulos 3 e 5. Também usamos o programa MAPLE ([27])como recurso para calcular, entre outras coisas, a base de Gröbner, polinômios invariantes e osubespaço de pontos fixos. No texto, deixamos claro quando fazemos uso deste software.

1.1.2 Aplicações equivariantes

Definição 1.1.14 ([17]). Seja Γ um grupo de Lie agindo em V . Dizemos que uma aplicação

g : V →V comuta com Γ ou é Γ-equivariante se

g(γx) = γg(x),

para todo γ ∈ Γ, x ∈V .

O produto de uma aplicação Γ-equivariante por uma função Γ-invariante é uma aplicaçãoΓ-equivariante. Denotamos por ~P(Γ;V ) o módulo das aplicações polinomiais Γ-equivariantes


de V em V sobre o anel P(Γ), e por ~E (Γ;V ) o módulo dos germes suaves de aplicaçõesΓ-equivariantes de V em V sobre o anel E (Γ).

Os teoremas a seguir nos garantem que os módulos ~P(Γ;V ) e ~E (Γ;V ) são finitamentegerados, se o grupo Γ for compacto.

Teorema 1.1.15 ([17]). Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo em V . Então existe um conjunto

finito de polinômios Γ-equivariantes g1, · · · ,gr que geram o módulo ~P(Γ;V ) sobre o anel P(Γ).

A versão Γ-equivariante do teorema de Schwarz, Teorema 1.1.6, foi provada por Poénaru.Uma prova pode ser encontrada em [17].

Teorema 1.1.16 (Poénaru, 1976). Seja Γ um grupo de Lie compacto e sejam g1, · · · ,gr geradores

do módulo ~P(Γ;V ) sobre o anel P(Γ). Então g1, · · · ,gr geram o módulo ~E (Γ;V ) sobre o anel

E (Γ).

1.2 Os grupos de Lorentz

Nesta seção, apresentamos o grupo de Lorentz e seus resultados básicos. As referênciasprincipais são [13], [22] e [29]. Como alguns resultados nestas referências aparecem sem ademonstração preferimos refazê-las. Em alguns outros casos, reproduzimos as demonstraçõesdada a sua importância para este texto.

Denotamos por J = Jp,q a matriz em Mn (R) dada por Jp,q =

[Ip 00 −Iq

], onde Ip ∈

Mp (R) e Iq ∈Mq (R), p,q≥ 1 com p+q = n.

A matriz J pode ser associada com a forma bilinear simétrica não degenerada ϕp,q :Rn×Rn −→ R,

ϕp,q (x,y) = xtJy =p

∑i=1

xiyi−n

∑j=p+1

x jy j,

onde xt denota a transposta de x que é tomado como vetor coluna, e com a forma quadráticaφp,q : Rn −→ R,

φp,q (x) = xtJx =p

∑i=1

x2i −

n

∑j=p+1

x2j .

Chamamos esta forma quadrática de métrica de Lorentz. O espaço Rn, com a métrica de Lorentz,é chamado de espaço de Minkowski.

Temos,

Definição 1.2.1 ([13]). O grupo

O(p,q) ={

A ∈ GL(n,R) ;AtJp,qA = Jp,q}

é chamado grupo pseudo-ortogonal de assinatura (p,q).

1.2. Os grupos de Lorentz 33

Se A ∈ O(p,q) então |detA|= 1, detJ = det Iq = (−1)q e A−1 = JAtJ. Ainda, o grupoO(p,q) é fechado também em relação a transposição.

O(p,q) é o grupo de todas as isometrias que preservam a forma quadrática φp,q. Osubgrupo ortogonal especial do grupo O(p,q) é dado por

SO(p,q) = {A ∈ O(p,q) ;detA = 1} .

Este subgrupo também é fechado em relação a transposição.

Daqui em diante, tratamos do grupo O(n,1), o grupo pseudo-ortogonal de assinaturaum, também chamado de grupo de Lorentz, e seus subgrupos estudando sua ação no espaço deMinkowski Rn+1. Também usamos o pseudo-produto interno de Lorentz, como na definição:

Definição 1.2.2. A forma bilinear 〈,〉 : Rn+1×Rn+1→ R é chamada pseudo-produto internode Lorentz, com 〈x,y〉= ∑

ni=1 xiyi− xn+1yn+1.

Os elementos do espaço de Minkowski são representados por (x, t), onde t ∈R, na física,é interpretado como tempo e x = (x1, · · · ,xn) ∈ Rn são conhecidas como coordenadas espaciais.

1.2.1 A decomposição polar e as componentes conexas de O(n,1)

Determinamos a decomposição polar e a decomposição em valores singulares das matri-zes do grupo de Lorentz O(n,1). Escrevendo J = Jn,1 e dado qualquer A ∈ O(n,1) escrevemos

A =

(B u

vt c

)

onde B ∈Mn(R), u e v são vetores (coluna) de Rn e c ∈ R. Começamos com a decomposiçãopolar do grupo de Lorentz O(n,1).

Proposição 1.2.3 ([13]). Toda matriz A ∈ O(n,1) tem uma decomposição polar da forma

A =

(Q 00 1

)( √In + vvt v

vt |c|

)ou

A =

(Q 00 −1

)( √In + vvt −v

−vt |c|

)onde Q ∈ O(n) e |c|=

√||v||2 +1.

Demonstração. Escrevemos A em bloco:

A =

(B u

vt c

),


com B ∈Mn(R), u e v são vetores (coluna) de Rn e c ∈ R. Como A ∈ O(n,1) então AtJA = J,isto é, (

B u

vt c

)t(In 00 −1

)(B u

vt c

)=

(In 00 −1

),

assim temos, (Bt v

ut c

)(B u

−vt −c

)=

(In 00 −1

)e daí,

BtB− vvt = In

Btu− cv = 0utB− cvt = 0utu− c2 =−1

=⇒

BtB = In + vvt

Btu = cv

utu = c2−1

Usando AJAt = J, de forma análoga, chegamos ao sistemaBBt = In +uut

Bv = cu

vvt = c2−1

.

Temos, portanto, as equações BtB = In + vvt

Btu = cv

Bv = cu

utu = c2−1 = vvt

.

Note que

vvt =

v2

1 v1v2 · · · v1vn

v1v2 v22 · · · v2vn

...... . . . ...

vnv1 vnv2 · · · v2n

é simétrica. De utu = c2− 1 temos que ||u|| =

√c2−1, portanto |c| ≥ 1 e de BtB = In + vvt

concluímos que BtB é simétrica e positiva definida, pois

BBt =

v2

1 +1 v1v2 · · · v1vn

v1v2 v22 +1 · · · v2vn

...... . . . ...

vnv1 vnv2 · · · v2n +1

,

com os menores principais de determinante positivo.

Geometricamente, sabe-se que H = vvt

vtv é a projeção ortogonal de qualquer vetor em Rn

na reta determinada por v. Consequentemente, o núcleo de vvt é o complemento ortogonal de v.


A matriz vvt tem autovalor 0 com multiplicidade n−1 e autovalor c2−1 com multiplicidade1. Os autovetores associados ao autovalor 0 são ortogonais a v e o autovetor associado a c2−1é proporcional a v. Segue que In + vvt tem autovalor 1 com multiplicidade n−1 e autovalor c2

com multiplicidade 1, os autovalores são como os de vvt .

B ∈Mn(R tem uma forma polar B = QS1, onde Q é ortogonal, S1 é simétrica positivadefinida e S2

1 = BBt = In+vvt . Portanto, S1 tem autovalor 1 com multiplicidade n−1 e autovalor|c| com multiplicidade 1. Consideremos então dois casos:

Caso 1. Se c > 0. Então, v é um autovetor de S1 para c e como Bv = cu temos

cu = Bv = QS1v = Q(cv) = cQv

então Qv = u. Assim,

A =

(B u

vt c

)=

(QS1 Qv

vt c

)=

(Q 00 1

)(S1 v

vt c

)

onde Q ∈ O(n) e |c|=√||v||2 +1.

Caso 2. Se c < 0. Então, v é um autovetor de S1 para −c, e como Bv = cu então

cu = Bv = QS1v = Q(−cv) = cQ(−v)

assim Q(−v) = u, e daí

A =

(B u

vt c

)=

(QS1 Q(−v)

vt c

)=

(Q 00 −1

)(S1 −v

−vt −c

)=

=

(Q 00 −1

)(S1 −v

−vt |c|

)

onde Q ∈ O(n) e |c|=√||v||2 +1.

Observação 1.2.4. A matriz

S =

(S1 v

vt |c|

)é chamada de Lorentz boost. Na demonstração acima, mostramos que a matriz S1 =

√I + vvt é

simétrica definida positiva. Essa é uma propriedade importante para demonstrar que a ação do

grupo de Lorentz O(n,1) é absolutamente irredutível em Rn+1, feita no capítulo 2.

O resultado abaixo caracteriza a matriz Lorentz boost.


Proposição 1.2.5 ([13]). Assuma v 6= 0. Os autovalores de

S =

( √I + vvt v

vt |c|

),

com |c|=√||v||2 +1 são 1, com multiplicidade n−1, eθ e e−θ , cada um com multiplicidade 1

(para algum θ > 0). Uma base ortonormal de autovetores de S consiste de vetores da forma(u1

0

),

(u2

0

), · · · ,

(un−1

0

),

v√2||v||1√2

,

v√2||v||− 1√

2

onde ui ∈ Rn, com i = 1, · · · ,n−1, são ortogonais a v e dois a dois ortogonais.

Pelo resultado acima temos que o determinante da matriz Lorentz boost é sempre igual a1.

Sejam

Λpn+1 =

(In−1,1 0

0 1

)e Λ

tn+1 =

(In 00 −1

)(1.2)

matrizes de O(n,1). Note que

Λpn+1Λ

tn+1 = Λ

ptn+1 =

In−1 0 00 −1 00 0 −1

.

Denotamos por SO0(n,1) o subgrupo de O(n,1) dado pela componente conexa daidentidade. Logo, as classes laterais Λ

pn+1SO0(n,1), Λt

n+1SO0(n,1) são conexas. Se det(A) = 1então A ∈ SO0(n,1) ou A ∈ Λ

ptn+1SO0(n,1). O resultado da proposição a seguir nos dá uma

caracterização para uma matriz em SO0(n,1).

Proposição 1.2.6. A ∈ SO0(n,1) se, e somente se, det(A) = 1 e a(n+1)(n+1) > 0.

Demonstração. Se A ∈ SO0(n,1), então a decomposição polar de A é da forma

A =

(Q 00 ε

)(S1 v

vt c

)=

(Q 00 ε

)S,

com Q ∈ O(n), ε = ±1 e c =√||v||2 +1 > 0. Suponha que Q ∈ SO(n), o que implica que

ε = 1 pois det(S) = 1. Então existe um caminho contínuo λ : [0,1]→ SO(n), com λ (0) = In eλ (1) = Q. Considere agora a aplicação δ : [0,1]→ SO0(n,1) dada por:

δ (t) =

(λ (t) 0

0 1

)S =

(λ (t)S1 λ (t)v

vt c

).


É imediato que δ está bem definida e é um caminho contínuo de δ (0) = S a δ (1) = A. Assim,a(n+1)(n+1) = c > 0.

Por outro lado, suponha A ∈ O(n,1), com det(A) = 1 e a(n+1)(n+1) > 0. Podemos de-compor A de duas formas:

A =

(Q1 00 1

)(S1 v

vt c

), com Q1 ∈ SO(n), (1.3)

ou

A =

(Q2 00 −1

)(S1 v

vt c

), com Q2 ∈ O(n)\SO(n).

Mas a(n+1)(n+1) > 0 e c =√||v||2 +1 > 0, então A é como em (1.3). A aplicação α : [0,1]→

SO(n) com α(0) = In e α(1) = Q1 é contínua. Portanto, a aplicação β : [0,1]→ SO0(n,1)definida por

β (t) =

(α(t) 0

0 1

)é um caminho contínuo em SO0(n,1). Logo A ∈ SO0(n,1).

O resultado da proposição acima aparece enunciado em [13] sem demonstração.

Note, pela Proposição 1.2.6, que Λptn+1 /∈ SO0(n,1). Portanto, a classe lateral Λ

ptn+1SO0(n,1)

é conexa e SO0(n,1)∩Λptn+1SO0(n,1) = /0. A proposição a seguir caracteriza os elementos de

Λptn+1SO0(n,1).

Proposição 1.2.7. A ∈ Λptn+1SO0(n,1) se, e somente se, det(A) = 1 e a(n+1)(n+1) < 0.

Se det(A) =−1 então A ∈ Λpn+1SO0(n,1) ou A ∈ Λt

n+1SO0(n,1). A proposição a seguirnos ajuda a caracterizar os elementos destas classes laterais.

Proposição 1.2.8.

(i) A ∈ Λpn+1SO0(n,1) se, e somente se, det(A) =−1 e a(n+1,n+1) > 0.

(ii) A ∈ Λtn+1SO0(n,1) se, e somente se, det(A) =−1 e a(n+1,n+1) < 0.

Demonstração. (i) Se A ∈ Λpn+1SO0(n,1) então det(A) =−1 e existe B ∈ SO0(n,1) tal que

A = Λpn+1B =

(In−1,1 0

0 1

)(Q 00 1

)(S1 v

vt c

)=

(In−1,1QS1 In−1,1Qv

vt c

),

com Q ∈ SO(n) e a(n+1,n+1) = c =√||v||2 +1 > 0. Por outro lado, se det(A) = −1 então

A ∈ Λpn+1SO0(n,1) ou A ∈ Λt

n+1SO0(n,1). Suponha A ∈ Λtn+1SO0(n,1), então

A =

(In 00 −1

)(Q 00 1

)(S1 v

vt c

)=

(QS1 Qv

−vt −c

)


o que implica que a(n+1,n+1) < 0, contradição. Logo A ∈ Λpn+1SO0(n,1).

A prova é análoga para (ii).

Da proposição acima é imediato que Λpn+1SO0(n,1)∩Λt

n+1SO0(n,1) = /0. Vemos assimque o grupo de Lorentz O(n,1) tem pelo menos quatro componentes conexas. O resultadoa seguir, já conhecido na literatura, mostra que O(n,1) tem exatamente quatro componentesconexas. Apresentamos uma demonstração usando a decomposição polar.

Proposição 1.2.9.

O(n,1) = SO0(n,1)∪Λpn+1SO0(n,1)∪Λ

tn+1SO0(n,1)∪Λ

ptn+1SO0(n,1).

Demonstração. Como Λin+1SO0(n,1)⊂ O(n,1) para i = p, t, pt é imediato que

SO0(n,1)∪Λpn+1SO0(n,1)∪Λ

tn+1SO0(n,1)∪Λ

ptn+1SO0(n,1)⊂ O(n,1),

Por outro lado, se A ∈ O(n,1) então, pela decomposição polar, temos

A =

(Q 00 1

)(S1 v

vt |c|

)(1.4)

ou

A =

(Q 00 −1

)(S1 −v

−vt |c|

)(1.5)

com S1 =√

In + vvt .

Suponha que (1.4) ocorre. Se Q ∈ SO(n) então det(A) = 1 e a(n+1)(n+1) = |c| > 0,portanto A ∈ SO0(n,1). Se Q /∈ SO(n) então det(Q) =−1 o que implica que det(A) =−1, masainda teremos que a(n+1)(n+1) > 0. Suponha

Q =

(X(n−1)×(n−1) Y(n−1)×1

Z1×(n−1) k

),k ∈ R.

Note que

Q =

(X Y

Z k

)=

(In−1 0

0 −1

)(X Y

−Z −k

)= In−1,1

(X Y

−Z −k

)= In−1,1Q′,

onde det(Q′) =−det(Q) = 1. Além disso, Q′ ∈ SO(n). Portanto,

A =

(Q 00 1

)(S1 v

vt |c|

)=

=

(In−1,1 0

0 1

)(Q′ 00 1

)(S1 v

vt |c|

)=

= Λpn+1

(Q′ 00 1

)(S1 v

vt |c|

)= Λ

pn+1A′


com det(A′) = 1 e a′(n+1)(n+1) > 0 e ainda

AtJA = J⇒ (Λpn+1A′)tJ(Λp

n+1A′) = J⇒ (A′)tJA′ = J⇒ A′ ∈ O(n,1).

Daí A′ ∈ SO0(n,1). Logo A ∈ Λpn+1SO0(n,1).

Suponha que (1.5) ocorre. Se Q ∈ SO(n) então det(A) = −1 e a(n+1)(n+1) = −|c| < 0.Mostremos que A ∈ Λt

n+1SO0(n,1). De fato, podemos reescrever Q como Q = InQ. Daí

A =

(Q 00 −1

)(S1 −v

−vt |c|

)=

(In 00 −1

)(Q 00 1

)(S1 −v

−vt |c|

)= In,1A′

com

A′ =

(Q 00 1

)(S1 −v

−vt |c|

).

Note que A′ ∈ SO0(n,1) pois

det

(S1 −v

−vt |c|

)= |c| ·det

(S1− (−v)

1|c|

(−vt)

)=

= |c| ·det(

S1−1|c|

vvt)= det

(S1 v

vt |c|

)

assim, det(A′)= 1 e como a′(n+1)(n+1)= |c|> 0 segue o resultado, pela Proposição 1.2.6. Portanto,A ∈ Λt

n+1SO0(n,1).

Se Q /∈ SO(n) então det(A) = 1 e ainda a(n+1)(n+1) = −|c| < 0. Como anteriormente,podemos reescrever Q como Q = InIn−1,1Q′, com Q′ ∈ SO(n). Assim,

A =

(Q 00 −1

)(S1 −v

−vt |c|

)=

=

(InIn−1,1Q′ 0

0 −1

)(S1 −v

−vt |c|

)=

=

(InIn−1,1 0

0 −1

)(Q′ 00 1

)(S1 −v

−vt |c|

)=

=

(In 00 −1

)(In−1,1 0

0 1

)(Q′ 00 1

)(S1 −v

−vt |c|

)=

= Λpn+1Λ

tn+1

(Q′ 00 1

)(S1 −v

−vt |c|

)= Λ

pn+1Λ

tn+1B

Como Q′ ∈ SO(n) então det(B) = 1 e ainda temos que b′(n+1)(n+1) = |c| > 0. Portanto B ∈SO0(n,1) e consequentemente A ∈ Λ

pn+1Λt

n+1SO0(n,1). Logo, o resultado segue.


1.2.2 O(n,1) como o produto semidireto dos subgrupos SO0(n,1) e Z2×Z2

Nesta subseção, mostramos que SO0(n,1) é um subgrupo normal de O(n,1) e que estegrupo é o produto semidireto dos grupos SO0(n,1) e Z2×Z2. Provamos também que duasmatrizes conjugadas em O(n,1) devem pertencer à mesma componente conexa. Precisamos dealguns resultados preliminares.

Definição 1.2.10 ([34]). Sejam Γ um grupo e Σ e ∆ subgrupos de Γ. Dizemos que Γ é o produto

semi-direto de ∆ por Σ se as seguintes condições forem satisfeitas:

1. ∆ é subgrupo normal de Γ;

2. ∆∩Σ = e;

3. Γ = ∆Σ.

Neste caso, escrevemos Γ = ∆oΣ.

Proposição 1.2.11 ([4]). Se

A =

(B u

vt c

),

com B ∈M(n), c ∈ R e u,v ∈ Rn, então ||u||= ||v||.

Proposição 1.2.12 ([4]). Sejam A,B ∈ O(n,1), se C = AB então

sinal(c(n+1)(n+1)) = sinal(a(n+1)(n+1)) · sinal(b(n+1)(n+1))

.

Demonstração. Sejam

A =

(A1 u

vt c

)e B =

(B1 w

zt k

),

com A1,B1 ∈ M(n), c,k ∈ R e u,v,w,z ∈ Rn. Temos que c(n+1)(n+1) = vtw+ ck = ck+ 〈v,w〉.Temos portanto dois casos:

Caso 1. sinal(c) = sinal(k)

Neste caso, temos

c(n+1)(n+1) = ck+ 〈v,w〉 ≥ ck−|〈v,w〉| ≥ ck−||v|| · ||w||=

=√

1+ ||v||2 ·√

1+ ||z||2−||v|| · ||w||=

=√

1+ ||v||2 ·√

1+ ||w||2−||v|| · ||w||> 0

pois 1+ ||v||2 + ||w||2 + ||v||2 · ||w||2 > ||v||2 · ||w||2 e ||z||= ||w||, pela proposição anterior.

Assim sinal(c(n+1)(n+1)) = sinal(ck+ 〈v,w〉) = sinal(c) · sinal(k)> 0.


Caso 2. sinal(c) 6= sinal(k)

Neste caso, temos

c(n+1)(n+1) = ck+ 〈v,w〉 ≤ ck+ |〈v,w〉| ≤ ck+ ||v|| · ||w||=

= −√

1+ ||v||2 ·√

1+ ||z||2 + ||v|| · ||w||=

= −√

1+ ||v||2 ·√

1+ ||w||2 + ||v|| · ||w||< 0

o que mostra que sinal(c(n+1)(n+1)) = sinal(ck+ 〈v,w〉) = sinal(c) · sinal(k)< 0

Com os resultados acima, estamos prontos para mostrar que SO0(n,1) é subgrupo normalde O(n,1).

Proposição 1.2.13. SO0(n,1) é subgrupo normal de O(n,1).

Demonstração. Tome S ∈ SO0(n,1) e seja A ∈ O(n,1) qualquer, então

det(A−1SA) = det(A−1) ·det(S) ·det(A) = det(A−1) ·det(A) = 1

pois det(S) = 1. Basta analisar o sinal de B = A−1SA. Temos, pela Proposição 1.2.12, que

sinal(b(n+1)(n+1)) = sinal(a−1(n+1)(n+1)) · sinal(s(n+1)(n+1)) · sinal(a(n+1)(n+1)) =

= sinal(a−1(n+1)(n+1)) · sinal(a(n+1)(n+1)) =

= (sinal(a(n+1)(n+1))2 > 0

pois sinal(s(n+1)(n+1))> 0 e sinal(a−1(n+1)(n+1)) = sinal(a(n+1)(n+1)) uma vez que

A−1 = JAtJ =

(In 00 −1

)(Bt v

ut c

)(In 00 −1

)=

(Bt −v

−ut c

).

Portanto A−1SA ∈ SO0(n,1). Logo, SO0(n,1) é subgrupo normal de O(n,1).

No caso do grupo ortogonal O(n) observamos que duas matrizes, cada uma em umade suas 2 componentes conexas, não podem ser conjugadas (semelhantes), pois a conjugaçãode matrizes preserva o determinante. Uma questão natural é verificar isso no grupo de LorentzO(n,1), em que, ao contrário, há elementos com mesmo determinante em componentes conexasdistintas. O próximo resultado responde esta questão:

Teorema 1.2.14. Matrizes conjugadas em O(n,1) estão na mesma componente conexa.

Demonstração. Sejam A,B ∈ O(n,1) matrizes com determinante 1. Suponha que A = (ai j) ∈SO0(n,1) e B = (bi j) ∈ Λ

ptn+1SO0(n,1). Temos que sinal(a(n+1)(n+1)) é positivo e também que


sinal(b(n+1)(n+1)) é negativo, pela Proposição 1.2.6. Suponha, por absurdo, que A e B sejamconjugadas, isto é, existe P ∈ O(n,1) tal que A = PBP−1. Temos, portanto, que

sinal(a(n+1)(n+1)) = sinal(p(n+1)(n+1)) · sinal(b(n+1)(n+1)) · sinal(p(n+1)(n+1))−1

= sinal(b(n+1)(n+1)) · (sinal(p(n+1)(n+1)))2

= −(sinal(p(n+1)(n+1)))2,

contradição. De modo análogo, mostramos o mesmo para Λtn+1SO0(n,1) e Λ

pn+1SO0(n,1).

Um segundo ponto importante é como se decompõe O(n,1) a partir do subgrupoSO0(n,1) de índice quatro. Para o subgrupo abeliano Z2×Z2 = {In+1,Λ

pn+1,Λ

tn+1,Λ

ptn+1}, te-

mos:

Proposição 1.2.15.O(n,1) = SO0(n,1)o (Z2×Z2).

Demonstração. Observe que SO0(n,1)∩ (Z2×Z2) = {In+1}. De fato, temos que Λpn+1,Λ

tn+1 /∈

SO0(n,1) pois detΛpn+1 = detΛt

n+1 =−1 e Λpn+1Λt

n+1 /∈ SO0(n,1) dado que sinal(Λpn+1Λt

n+1)<

0. Basta verificar que O(n,1) = SO0(n,1) · (Z2×Z2). Já sabemos que

O(n,1) = SO0(n,1)∪Λpn+1SO0(n,1)∪Λ

tn+1SO0(n,1)∪Λ

ptn+1SO0(n,1).

Assim, se A ∈O(n,1) então existe B ∈ SO0(n,1) tal que A = B ou A = Λpn+1B ou A = Λt

n+1B ouA = Λ

ptn+1B. Como SO0(n,1) é subgrupo normal de O(n,1), segue a afirmação.

1.2.3 A decomposição em valores singulares

Apresentamos nesta subseção a decomposição de uma matriz de Lorentz em valoressingulares . No capítulo 3, usamos esta decomposição para estudar as involuções de Lorentz.

Teorema 1.2.16 (Decomposição em Valores Singulares, [13]). Toda matriz A ∈ O(n,1) pode

ser escrita como

A =

(P 00 ε

) In−1 0 00 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)

( Qt 00 1

)

com ε =±1, P ∈ O(n), Q ∈ SO(n) e θ ∈ R.

Demonstração. Da Proposição 1.2.3, qualquer matriz A ∈ O(n,1) pode ser escrita como

A =

(R 00 ε

)( √I + vvt v

vt |c|

)=

(R 00 ε

)S,


onde ε =±1, R ∈ O(n) e |c|=√||v||2 +1. Se |c|= 1 então ||v||= 0 o que implica que v = 0,

sendo assim S = In+1 e, portanto, θ = 0. Assumimos |c| > 1, o que significa que θ > 0. Osautovalores da matriz (

cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)

)

são eθ e e−θ . Como essa matriz é simétrica existe uma matriz ortogonal T tal que

D =

(eθ 00 e−θ

)= T

(cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)

)T t .

Daí

T =

(1√2

1√2

1√2− 1√

2

).

Deste fato, vemos que a matriz

E =

(In−1 0n−1×2

02×n−1 D

),

cuja diagonal é dada pelo autovalores de S, é dada porIn−1 0 0

0 1√2

1√2

0 1√2− 1√

2

In−1 0 0

0 cosh(θ) senh(θ)0 senh(θ) cosh(θ)

In−1 0 00 1√

21√2

0 1√2− 1√

2

.

Pela Proposição 1.2.5 uma base ortonormal de autovetores de S consiste de vetores da forma

(u1

0

),

(u2

0

), · · · ,

(un−1

0

),

v√2||v||1√2

,

v√2||v||− 1√

2

onde ui ∈ Rn. Agora multiplicamos as matrizes

u1 · · · un−1v√

2||v||v√

2||v||0 · · · 0 1√

2− 1√

2

1 · · · 0 0 0... . . . ...

......

0 · · · 1 0 00 · · · 0 1√

21√2

0 · · · 0 1√2− 1√

2

.

Obtemos assim uma matriz da forma (Q 00 1

),


onde as colunas de Q são os vetores u1, · · · ,un−1,v√

2||v|| . Trocando u1 por −u1, se necessário,podemos fazer com que essa matriz tenha determinante 1. Além disso, note que

1 · · · 0 0 0... . . . ...

......

0 · · · 1 0 00 · · · 0 1√

21√2

0 · · · 0 1√2− 1√

2

ut1 0

ut2 0...

...ut

n−1 0vt

√2||v||

1√2

vt√

2||v|| −1√2

=

(Qt 00 1

)

Portanto,

S =

(Q 00 1


( Qt 00 1

)

Logo,

A =

(R 00 ε

)S,

onde P = RQ.

Observação 1.2.17. Na decomposição em valores singulares (DVS), se A∈ SO(n,1) então ε = 1e P ∈ SO(n). De fato, se ε = −1 então sinal(an+1,n+1) < 0, contradição. Além disso, como

det(P)ε = 1 então det(P) = 1, o que implica que P ∈ SO(n).

Pelo teorema anterior podemos concluir o seguinte corolário.

Corolário 1.2.18 ([13]). Os valores singulares de qualquer matriz A ∈ O(n,1) são 1, com

multiplicidade n−1, eθ e e−θ , cada um com multiplicidade 1, para algum θ ≥ 0.

No caso θ = 0, A é uma matriz ortogonal da forma(R 00 ε

),

com R ∈ O(n). Assim, os dois valores singulares eθ e e−θ , θ /∈ 0, caracterizam as matrizes deLorentz não ortogonais.

1.2.4 Vetores no espaço de Minkowski

Como notação, escrevemos todo vetor u ∈Rn+1 como u= (u, t) onde u ∈Rn e t ∈R, demodo que o pseudo-produto interno de Lorentz possa ser expresso como

〈u,v〉= 〈(u, t),(v,s)〉= u · v− ts


onde u · v é o produto interno euclideano usual. Dizemos que dois vetores u,v ∈ Rn+1 sãopseudo-ortogonais, ou Lorentz ortogonais, se 〈u,v〉= 0.

Assim, classificamos os vetores (u, t) ∈ Rn+1 como segue:

Definição 1.2.19 ([13]). Um vetor não nulo u= (u, t) ∈ Rn+1 é chamado de

(a) Tipo espaço (spacelike) se 〈u,u〉> 0, isto é, se ||u||2 > t2;

(b) Tipo tempo (timelike) se 〈u,u〉< 0, isto é, se ||u||2 < t2;

(c) Tipo luz (lightlike) ou isotrópico se 〈u,u〉= 0, isto é, se ||u||2 = t2.

Para quaisquer dos casos acima, dizemos que o sinal de um vetor é positivo se t > 0 enegativo se t < 0.

Definição 1.2.20 (([39])). O conjunto dos vetores do tipo luz

LC∗ = {u ∈ Rn+1 : 〈u,u〉= 0},

é chamado cone luz.

Definição 1.2.21 (([39])). Temos as seguintes pseudo-esferas em Rn+1, com centro em p ∈Rn+1

e raio r > 0:

H n(p,r) = {u ∈ Rn+1 : 〈u− p,u− p〉=−r2};

Sn1(p,r) = {u ∈ Rn+1 : 〈u− p,u− p〉= r2}.

O espaço H n(r) é chamado de espaço hiperbólico, Sn1(r) é chamado de espaço de Sitter.

Observação 1.2.22. Os conjuntos LC∗, H n(0,r) = H n(r) e Sn1(0,r) = Sn

1(r) são pseudo-

esferas centradas na origem em Rn+1.

Note que, para cada r > 0, o espaço hiperbólico dado por

H n(r) = H n− (r)∪H n

+ (r)

é um hiperboloide de duas folhas. Assim, o espaço hiperbólico H n(r) tem duas componentesconexas ([13]).

O conjunto {e1, . . . ,en+1}, com ei ∈ Rn+1, é uma base ortonormal, segundo Lorentz, deRn+1 se: ⟨

ei,e j⟩=

δi j, se 1≤ i, j ≤ n

−1, se i = j = n+1.

Proposição 1.2.23 ([29]). Suponha que u seja um vetor tipo-tempo e v 6= 0 um vetor tipo-

tempo ou tipo-luz. Seja {e1, . . . ,en+1} uma base ortonormal, segundo Lorentz, de Rn+1 e sejam

u=n+1∑1

xiei e v=n+1∑1

yiei, então:


(a) xn+1yn+1 > 0, neste caso, 〈u,v〉< 0;

(b) xn+1yn+1 < 0, neste caso, 〈u,v〉> 0.

Com a proposição acima decorre o seguinte:

Proposição 1.2.24 ([29]). Sejam u e v vetores não nulos em Rn+1 com 〈u,v〉 = 0. Se u é um

vetor tipo-tempo então v é vetor tipo-espaço.

A prova dessa proposição é uma consequência imediata da Proposição 1.2.23, dado quese u é um vetor tipo-tempo e 〈u,v〉= 0 então v não pode ser tipo-tempo nem tipo-luz.

Note que a recíproca da Proposição 1.2.24 não vale. Basta tomar, em R3, os vetoresu= (0,6,4

√2) e v= (2,4,3

√2), que são ambos vetores tipo-espaço, mas 〈u,v〉= 0.

Definição 1.2.25. ([13]) Para u= (u, t) ∈ Rn+1, definimos a pseudo-norma de u por

||u||=√|〈u,u〉|=

√|||u||2− t2|.

As propriedades da pseudo-norma são ([29]):

(1) ||u|| ≥ 0 e ||u||= 0⇔ u é tipo-luz;

(2) ||λu||= |λ |||u||, com λ ∈ R;

(3) Cauchy-Schwarz Invertida: |〈u,v〉| ≥ ||u||||v||, com u e v vetores tipo-tempo.

(4) Desigualdade Triangular Invertida: Sejam u e v vetores tipo-tempo com a mesma orienta-ção, isto é, 〈u,v〉< 0. Então ||u+v|| ≥ ||u||+ ||v||.

1.2.5 Subespaços do espaço de Minkowski

Dizemos que um subespaço vetorial V de Rn+1 é do tipo tempo se V tem um vetor tipotempo; é do tipo espaço se todos os vetores não nulos de V são do tipo espaço; e é do tipo luzcaso nenhuma das condições acima forem satisfeitas ([33]).

Também podemos definir estes subespaços a partir do produto interno de Lorentz, comoa seguir.

Definição 1.2.26. Seja V um subespaço vetorial do espaço de Rn+1. Dizemos que o espaço V é:

(i) do tipo espaço se o produto interno de Lorentz restrito a V for positivo definido;

(ii) do tipo tempo se o produto interno de Lorentz restrito a V for indefinido e não degenerado;

(iii) do tipo luz se o produto interno de Lorentz restrito a V for positivo semi-definido.


No caso de R2+1, temos as seguintes figuras representando os planos do tipo espaço, luze tempo, respectivamente:

Figura 1 – (i) Plano do tipo espaço (ii) Plano do tipo luz (iii) Plano do tipo tempo

Definição 1.2.27 ([33]). Um subespaço vetorial V de Rn+1 é não degenerado se a forma bilinear

restrita ao subespaço for não degenerada.

Proposição 1.2.28. O espaço V é não degenerado se, e somente se, V ∩V⊥ = {0}.

Demonstração. Suponha que V ∩V⊥ 6= {0}. Então, existe 0 6= v ∈V ∩V⊥. Como v ∈V⊥ então〈u,v〉L = 0, para todo u ∈ V . Dado que também v ∈ V e w 6= 0 seque que V |〈,〉L é degenerado.Por outro lado, suponha por absurdo que V seja degenerado. Então existe 0 6= v ∈ V tal que〈u,v〉L = 0, para todo u ∈V . Daí v ∈V⊥, o que implica que 0 6= v ∈V ∩V⊥. Contradição.

A proposição a seguir aparece em [31] enunciada para qualquer espaço vetorial dotadode um produto escalar não degenerado. Propomos aqui uma demonstração para o espaço deMinkowski.

Proposição 1.2.29. Dado qualquer subespaço V do espaço de Minkowski Rn+1 temos que

dimV +dimV⊥ = n+1.

Demonstração. Seja {v1, · · · ,vk} uma base para o espaço vetorial V . Definimos a aplicaçãoϕ : Rn+1→ Rn+1 por ϕ(x) = AJx, onde J = In,1 e

A =

v1...

vk

k×(n+1)

é a matriz cujas linhas são formadas pelos vetores da base de V . Temos então que dim(Im(ϕ)) =

RankA = k. Assim, pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, dimkerϕ + k = n+1. Note, porém,que kerϕ =V⊥. Logo dimV⊥ = n+1− k.


Proposição 1.2.30 ([21]). Sejam u,v ∈ Rn+1 vetores do tipo-luz. Então 〈u,v〉= 0 se, e somente

se, u e v são linearmente dependentes.

Proposição 1.2.31. Se V é um espaço tipo-luz então dim(V ∩V⊥) = 1.

Demonstração. Sejam u,v ∈V ∩V⊥. Então 〈u,v〉L = 0. Note que u e v são vetores do tipo-luz.Assim, pela Proposição 1.2.30 eles são linearmente dependentes. Isso nos dá que dim(V ∩V⊥)≤1. Por outro lado, sendo V um espaço do tipo-luz então dimV 6= 0. Desta forma, tomemos 0 6= v∈V com v um vetor tipo-luz. Então 〈v,v〉L = 0 o que implica que v∈V⊥. Assim, dim(V ∩V⊥)≥ 1,e o resultado segue.

Como consequência da proposição acima, juntamente com a Proposição 1.2.28, temos:

Corolário 1.2.32. Todo espaço do tipo-luz é degenerado.

Proposição 1.2.33 ([33]). O espaço vetorial V é do tipo-espaço se, e somente se, V⊥ é do

tipo-tempo.

Uma consequência imediata desta proposição é que se V é do tipo-luz então V⊥ tambémé do tipo-luz.

No capítulo 2, usamos a Proposição 1.2.33 para classificar a natureza dos subespaçosque são invariantes pela ação de um subgrupo discreto de Lorentz.

49

CAPÍTULO

2A AÇÃO DO GRUPO DE LORENTZ NO

ESPAÇO DE MINKOWSKI

No decorrer deste capítulo, estudamos a ação do grupo de Lorentz O(n,1) no espaço deMinkowski. Mostramos também que a ação do grupo de Lorentz é absolutamente irredutívelem Rn+1. Apresentamos um método que nos ajuda a determinar, via operadores de Reynolds, abase de Hilbert do anel dos polinômios invariantes de um grupo Γ, uma vez que se conheça oanel dos polinômios de um subgrupo de Γ de índice dois ou quatro. Finalizamos este capítuloestudando os subespaços invariantes de R1+1 e os subespaços invariantes de R2+1, especialmenteos subespaços de pontos fixos.

2.1 A ação do grupo de Lorentz

Começamos estudando a ação do subgrupo SO0(n,1) no espaço hiperbólico H n(r).

Já que toda isometria de Lorentz, A ∈ SO(n,1), preserva o produto interno de Lorentz,temos que A preserva (globalmente) todo o espaço hiperbólico H n(r). Então todo A ∈ SO0(n,1)preserva cada componente conexa do espaço hiperbólico, H n

+ (r) e H n− (r). Isto segue da seguinte

proposição.

Proposição 2.1.1 ([13]). Toda isometria de SO0(n,1) preserva os vetores tipo-tempo positivos

(resp. negativos) e os vetores tipo-luz positivos (resp. negativos). Mais ainda, se A ∈ SO(n,1)preserva todos os vetores tipo-tempo positivos então A ∈ SO0(n,1).

Temos também:

Proposição 2.1.2. Se A ∈ O(n,1) preserva os vetores do tipo tempo positivos (resp. negativos)

então A ∈ SO0(n,1)∪Λpn+1SO0(n,1).

50 Capítulo 2. A ação do grupo de Lorentz no espaço de Minkowski

Demonstração. Sem perda de generalidade, tome en+1 = (0,0, · · · ,1) (tipo tempo e positivo).Tome a matriz de Lorentz A ∈ O(n,1) na sua forma polar. Temos que

Aen+1 =

(Q 00 ε

)(S1 v

vt c

)(01

)=

(Qv

εc

).

Como, por hipótese, A preserva todos os vetores do tipo tempo positivos, então εc > 0 o queimplica que ε = 1, uma vez que c =

√1+ ||v||2 > 0. Portanto,

A =

(Q 00 1

)(S1 v

vt c

).

Como Q ∈ O(n) segue que A ∈ SO0(n,1)∪Λpn+1SO0(n,1).

Note que o sinal de um vetor do tipo espaço pode não ser preservado. De fato, tome amatriz de SO0(1,1) dada por

A =

( √2 1

1√

2

)agindo no vetor do tipo espaço v = (

√2,−1). Temos que Av = e1, onde e1 = (1,0). Assim, a

ação de uma matriz de SO0(1,1) em um vetor do tipo espaço negativo não preserva o sinal dovetor. Este exemplo mostra também que cada ramo da hipérbole que compõe o espaço de SitterS1

1(1) não é invariante pela ação de SO0(1,1).

Uma consequência imediata da Proposição 2.1.1 é que qualquer matriz A ∈ SO0(n,1)deixa H n

+ (r) (resp. H n− (r)) invariante. Portanto, as ações

ϕ1 : SO0(n,1)×H n+ (r)−→H n

+ (r) e ϕ2 : SO0(n,1)×H n− (r)−→H n

− (r)

dadas por ϕi(A,u) = Au, i = 1,2, estão bem definidas. E vale também:

Proposição 2.1.3. A ação SO0(n,1)×H n+ (r)−→H n

+ (r) é transitiva.

Demonstração. Segue diretamente da prova encontrada em [([13])] para r = 1.

Considere o subgrupo Z2×Z2 = {In+1,Λpn+1,Λ

tn+1,Λ

ptn+1} de O(n,1) agindo no espaço

hiperbólico H n(r). A órbita de um ponto de H n(r) pela ação de Z2×Z2 é formada por vérticesde um retângulo contidos em H n(r). A Figura 2 ilustra o caso n = 1 e nos ajuda a visualizar aação de Z2×Z2 no espaço hiperbólico H 1(r).

Podemos entender a ideia geométrica da ação de uma matriz de SO0(n,1) em Rn+1

usando a decomposição em valores singulares. Pela Proposição 1.2.16, temos que uma matriz deSO0(n,1) pode ser decomposta como

(P 00 1


( Q 00 1

),

2.1. A ação do grupo de Lorentz 51

v1

v2

v4

v3

x-x 0

(0,r)

(0,-r)

Cone luz

Esp. hiperbólico

Figura 2 – Espaço hiperbólico H n(r) em relação ao cone luz.

onde P,Q ∈ SO(n). Desta forma, quando esta matriz age em v = (x, t) temos uma rotaçãoda coordenada espacial x com preservação do sinal da coordenada t. Após isso, uma rotaçãohiperbólica nas coordenadas x′n e t; onde x′n é a n-ésima coordenada resultante da rotação de x

por Q. E por fim, uma rotação na coordenada espacial, novamente sem mudança de sinal na(n+1)-ésima coordenada. A Figura 3 ilustra esta ação no espaço hiperbólico H 2(r).

Figura 3 – Ação de uma matriz de SO0(2,1) em um vetor v de um espaço hiperbólico.


Definição 2.1.4 ([17]). Uma representação de um grupo Γ em um espaço vetorial V é absolu-

tamente irredutível se as únicas aplicações lineares em V que comutam com Γ são múltiplos

escalares da identidade.

O resultado a seguir é usado na prova do Teorema 2.1.6.

Proposição 2.1.5. Seja Γ agindo num espaço V e seja Σ um subgrupo de Γ. Se V é absolutamente

irredutível para Σ então ele é absolutamente irredutível para Γ.

Demonstração. Suponha que não. Então existe uma aplicação A : V →V com A(γx) = γA(x),para todo γ ∈ Γ, onde A não é um múltiplo escalar da identidade. Assim, temos que A |Σ não émúltiplo escalar da identidade. Portanto, V não é absolutamente irredutível para Σ, contradição.

Teorema 2.1.6. O espaço de Minkowski Rn+1 é absolutamente irredutível para o grupo de

Lorentz O(n,1).

Demonstração. Pela Proposição 2.1.5 basta mostrar que Rn+1 é absolutamente irredutível paraum subgrupo de O(n,1). Tome o conjunto {v1, · · · ,vn} como uma base para Rn e defina osubgrupo Σ gerado pelas matrizes de Lorentz tomadas na sua forma polar:

Ai =

(I 00 1

)(Si vi

vti c

)=

(Si vi

vti c

)e

Bi =

(I 00 −1

)(Si vi

vti c

)=

(Si vi

−vti −c

)com i = 1, · · · ,n. Tome a matriz

W =

(X y

zt k

)que comuta com todos os Ai e Bi, isto é, AiW = WAi e BiW = WBi, i = 1, · · · ,n. Assim, paraAiW =WAi obtemos as equações:

XSi + yvti = SiX + vizt (2.1)

Xvi + cy = Siy+ kvi (2.2)

ztSi + kvti = vt

iX + czt (2.3)

ztvi = vtiy (2.4)

e para BiW =WBi, obtemos

XSi− yvti = SiX + vizt (2.5)

Xvi− cy = Siy+ kvi (2.6)

ztSi− kvti = −vt

iX− czt (2.7)

ztvi = −vtiy (2.8)

2.2. Teoria invariante e o subespaço de pontos fixos 53

Comparando as equações (2.2) e (2.6), para um mesmo i, temos

(Xvi + cy)− (Xvi− cy) = 0⇒ y = 0,

pois c 6= 0. Somando as equações (2.3) e (2.7), obtemos

ztSi = 0⇒ ztSiz = 0 ⇐⇒ z = 0,

pois, da demonstração da Proposição 1.2.3, Si é simétrica positiva definida. Assim, todas asequações acima podem ser reescritas como

XSi = SiX

Xvi = kvi

vtiX = kvt

i

Observe que Xvi = kvi, para todo vi com i = 1, · · · ,n. Ou seja, k é um autovalor de X

com multiplicidade n. Portanto, a matriz X é semelhante à matriz kIn, ou melhor, X = kIn. Assim,W = kIn+1, isto é, se Σ é gerado pelas matrizes Ai e Bi então Rn+1 é absolutamente irredutívelpara Σ. Logo, pela Proposição 2.1.5, Rn+1 é absolutamente irredutível para O(n,1).

2.2 Teoria invariante e o subespaço de pontos fixos

Nesta seção mostramos a relação entre a teoria invariante e o subespaço de pontos fixos.Mostramos como podemos calcular o subespaço de pontos fixos de um grupo gerado por umaquantidade finita de elementos e também como definir uma aplicação invariante a partir desteconjunto.

Dado um grupo de Lie Γ agindo num espaço vetorial V , definimos o subespaço de pontosfixos de Γ como o subespaço vetorial de V dado por

Fix(Γ) = {v ∈V : γv = v,∀γ ∈ Γ}.

Lema 2.2.1. Suponha o grupo Γ agindo num espaço V . Dada a decomposição de V como

V =V1×V2 e de Γ como Γ= Γ1×Γ2 tal que a ação seja diagonal, isto é, γv= (γ1,γ2) ·(v1,v2) =

(γ1v1,γ2v2), então Fix(Γ) = Fix(Γ1)×Fix(Γ2).

Demonstração. De fato,

Fix(Γ) = {v ∈V : γv = v,∀γ ∈ Γ}

= {(v1,v2) ∈V1×V2 : (γ1v1,γ2v2) = (v1,v2),∀(γ1,γ2) ∈ Γ1×Γ2}

= (Fix(Γ1)×{0})⊕ ({0}×Fix(Γ2))

= Fix(Γ1)×Fix(Γ2).


A proposição a seguir nos ajuda a fazer o cálculo do Fix de um grupo gerado por doiselementos, desde que se conheça os subespaços de pontos fixos dos subgrupos gerados por cadaum destes elementos. Indicamos por Fix(γ) o subespaço de pontos fixos da ação do grupo geradopor γ .

Proposição 2.2.2. Sejam Γ um grupo de Lie agindo em um espaço V e Σ = 〈γ1,γ2〉 um subgrupo,

com γi ∈ Γ. Então

Fix(Σ) = Fix(γ1)∩Fix(γ2).

Demonstração. Se x ∈ Fix(Σ) então, em particular, γix = x, i = 1,2. Logo x ∈ Fix(γ1)∩Fix(γ2).Reciprocamente, se x ∈ Fix(γ1)∩Fix(γ2) então γix = x, i = 1,2, o que implica que γix = γ jx,i, j = 1,2. Portanto, γi ◦ γ j(x) = x, assim x ∈ Fix(γi ◦ γ j). Logo x ∈ Fix(Σ).

Note que o caso acima pode ser estendido para o caso em que Σ é gerado por umaquantidade finita de elementos. Uma demonstração análoga, mostra que se γi ∈ Γ, i = 1, · · · ,n,com Γ um grupo de Lie agindo em V , são tais que geram o subgrupo Σ, isto é, Σ = 〈γ1, · · · ,γn〉,então Fix(Σ) = ∩n

i=1Fix(γi).

A proposição a seguir mostra como podemos achar uma aplicação linear Γ-invarianteconhecendo o subespaço de pontos fixos e vice-versa.

Proposição 2.2.3. Seja Γ um grupo agindo num espaço V e algum v ∈V . Defina a aplicação

L : V −→ R por L(x) = 〈v,x〉, onde 〈,〉 é o produto interno de Lorentz. A aplicação L é Γ-

invariante se, e somente se, v ∈ Fix(Γ).

Demonstração. Suponha que L seja Γ-invariante, então L(γx) = L(x), para todo x ∈V e γ ∈ Γ.Temos que

〈v,x〉=⟨v,γ−1x

⟩=⟨γv,γγ

−1x⟩= 〈γv,x〉 .

Portanto, v ∈ Fix(Γ). Por outro lado, se v ∈ Fix(Γ) então γv = v para todo γ ∈ Γ. Temos que

L(γ−1x) =⟨v,γ−1x

⟩= 〈γv,x〉= 〈v,x〉= L(x).

Logo, L é Γ-invariante.

Terminamos esta seção com um resultado que mostra como podemos construir umaaplicação Γ-invariante, com Γ = Γ1×Γ2 com ação diagonal em um espaço vetorial V =V1×V2,conhecendo aplicações que sejam Γ1-invariante e Γ2-invariante.

Proposição 2.2.4. Sejam L1 : V1→ R e L2 : V2→ R aplicações lineares tais que L = L1⊕L2,

com L definida na Proposição 2.2.3. Seja o grupo Γ=Γ1×Γ2 com ação diagonal em V =V1×V2.

Temos que L é Γ-invariante se, e somente se, L1 é Γ1-invariante e L2 é Γ2-invariante.

2.3. Operadores de Reynolds 55

Demonstração. Por hipótese, temos que L(x) = L(x1,x2) = L1(x1)⊕ L2(x2). Suponha que L

seja Γ-invariante, então sendo L definida por L(x) = 〈v,x〉 temos, pela Proposição 2.2.3, que v =

(v1,v2) ∈ Fix(Γ). Mas, pelo Lema 2.2.1, vemos que Fix(Γ) = Fix(Γ1)×Fix(Γ2) o que implicaque (v1,v2) ∈ Fix(Γ1)×Fix(Γ2). Então L1(x1) = 〈(v1,0),(x1,0)〉 e L2(x2) = 〈(0,v2),(0,x2)〉 edaí,

L1(γ1x1)⊕L2(x2) = L((γ1, I) · (x1,x2)) = L(x1,x2) = L1(x1)⊕L2(x2).

Como a soma é direta, segue que L1(γ1x1) = L1(x1). Portanto, L1 é Γ1-invariante. De maneiraanáloga mostramos que L2 é Γ2-invariante.

A recíproca é imediata.

2.3 Operadores de Reynolds

Nesta seção apresentamos um método, encontrado em [2], que nos ajuda a encontrar oanel dos polinômios invariantes de subgrupos de Lorentz, que podem ser escritos como o produtosemidireto por um subgrupo normal de índice 2 ou 4. De fato, veja que na prova do Lema 2.3.1,temos que Σ é um subgrupo de índice 4 de Γ, mas que ΣoZ1

2 é um subgrupo normal de índice 2de Γ. Finalizamos mostrando um exemplo de uma classe de subgrupos compactos de O(3,1),não contido em O(4), onde calculamos a base de Hilbert do anel dos polinômios invariantesutilizando este método prático.

O resultado a seguir deve ser um resultado bem estabelecido na literatura, muito emboranão conseguimos encontrar uma referência. Para a sua demonstração usamos a Definição 1.2.10para produto semi-direto.

Lema 2.3.1. Seja Γ um grupo e Σ um subgrupo normal de Γ. Suponha que Γ = Σo (Z12×Z2

2),

onde Z12 = 〈γ1〉 e Z2

2 = 〈γ2〉, γ1,γ2 ∈ Γ distintos . Então Γ = (ΣoZ12)oZ2

2.

Demonstração. Afirmamos que ∆ = ΣoZ12 é subgrupo normal de Γ. Sejam γ ∈ Γ e δ ∈ ∆

quaisquer, então existe σ ∈ Σ tal que δ = σγ1. Desta forma, temos que

γδγ−1 = γ(σγ1)γ

−1 = (γσγ−1)(γγ1γ

−1) = σ(γγ1γ−1),

com σ ∈ Σ, pois Σ /Γ. Afirmamos que γγ1γ−1 ∈ ∆. De fato, note que γ1 ∈ ∆ e como Γ =

Σo(Z1

2×Z22)

então existe algum σ1 ∈ Σ tal que γ = σ1γ i1γ

j2 , para i, j = 0,1. Daí,

γγ1γ−1 = (σ1γ

i1γ

j2)γ1(σ1γ

i1γ

j2)−1 = σ1γ1σ

−11 ,

pois Z12×Z2

2 é abeliano. Dado que σ1,γ1 ∈∆, segue que γγ1γ−1 ∈∆ o que implica que γδγ−1 ∈∆.Assim, ∆ é subgrupo normal de Γ.

Agora, basta mostrar que Γ = ∆oZ22. Seja γ ∈ Γ qualquer. Como Γ = Σ(Z1

2×Z22), segue

que γ = σγ i1γ

j2 , para algum i, j = 0,1. Já que σγ i

1 = δ ∈ ∆ temos que γ = δγj

2 , e assim, γ ∈ ∆Z22,


o que implica que Γ = ∆Z22. Resta mostrar que ∆∩Z2

2 = {e}. De fato, como ∆ = ΣoZ12 então

Σ∩Z12 = {e} e dado que Z1

2∩Z22 = {e} e γ2 /∈ Σ segue que ∆∩Z2

2 = ΣZ12∩Z2

2 = {e}.

Denotamos por R[V ] o anel das funções polinomiais de V em R. Se f ∈ R[V ] e γ umelemento do grupo Γ agindo em V então definimos a ação de γ em f por

γ f (x) = f (γ−1x), para todo x ∈V.

Assim, se γ f = f para todo γ ∈ Γ, então f é Γ-invariante.

Definição 2.3.2 ([11]). Seja Γ um grupo de Lie agindo em um espaço vetorial V . Um operadorde Reynolds é uma projeção Γ-invariante, isto é, é uma aplicação linear

R : R[V ]−→ R[V ]Γ := P(Γ),

tal que

(i) R( f ) = f , para todo f ∈P(Γ);

(ii) R é Γ-invariante, isto é, R(γ f ) = R( f ), para todo f ∈ R[V ] e todo γ ∈ Γ.

Para grupos finitos, o operador de Reynolds é dado por ([14]):

R( f (x)) =1|Γ| ∑

γ∈Γ

f (γx).

Considere um epimorfismo σ : Γ→ Z2, onde Z2 é o grupo multiplicativo {−1,1}. Umafunção polinomial f : V → R é chamada de anti-invariante se

f (γx) = σ(γ) f (x),

para todo γ ∈ Γ e x ∈V ([2]).

Sejam Σ um subgrupo normal de Γ de índice 2 e P(Σ) o anel dos polinômios Σ-invariantes. Considere o operador definido como R : R[V ]→P(Σ), com

R( f )(x) =12( f (x)+ f (γx)),

para um γ ∈ Γ\Σ, arbitrário e fixado. Seja também S : R[V ]→ R[V ], o operador definido por

S( f )(x) =12( f (x)− f (γx)).

R e S são operadores de Reynolds ([1]). Tais operadores são usados no seguinte resultado:

Teorema 2.3.3 ([2]). Seja {u1, · · · ,us} uma base de Hilbert para o anel P(Σ). Então o conjunto

{R(ui),S(ui)S(u j);1≤ i, j ≤ s}

é uma base de Hilbert para P(Γ).

2.3. Operadores de Reynolds 57

Observação 2.3.4. Usando o Lema 2.3.1, aplicamos o Teorema 2.3.3 em sequência para produzir

os invariantes de Γ = Σo (Z12×Z2

2). De fato, pelo Lema 2.3.1, temos que Γ = (ΣoZ12)oZ2

2.

Sabendo qual é a base de Hilbert de P(Σ) usamos o Teorema 2.3.3 para calcular a base

de Hilbert de P(ΣoZ12). Como ΣoZ1

2 é um subgrupo normal de índice 2 de Γ, aplicamos

novamente o Teorema 2.3.3 para encontrar a base de Hilbert de P(Γ).

Apresentamos dois exemplos para ilustrar este procedimento.

Exemplo 2.3.5. Considere o subgrupo de Lorentz dado por

SOn,1(n−1) :=

{Rϕ =

(Pϕ 00 I2

): Pϕ ∈ SO(n−1)

}. (2.9)

Para n = 3, SO3,1(2) é um subgrupo compacto de O(3,1) isomorfo a SO(2). Este isomor-

fismo evidencia que o conjunto {x2 + y2,z, t} é uma base de Hilbert para P(SO3,1(2)), já que

P(SO(2)) =⟨x2 + y2⟩. Considere agora um Z2-subgrupo de O(3,1) gerado por uma involução

da forma:

γ1 :=

(I2 00 S−h (θ)

), com S−h (θ) =

(cosh(θ) senh(θ)− senh(θ) −cosh(θ)

),

com θ ∈ R fixado.

Calculamos a base de Hilbert para P(SO3,1(2)oZ2(γ1)), onde

SO3,1(2)oZ2(γ1) = SO3,1(2)∪ γ1SO3,1(2).

Temos que a ação de γ1 em R3+1 é dada por

γ1 · (x,y,z, t) = (x,y,cosh(θ)z+ senh(θ)t,− senh(θ)z− cosh(θ)t).

Sendo u1(x,y,z, t) = x2 + y2,u2(x,y,z, t) = z,u3(x,y,z, t) = t, usando o operador de Reynolds R,

obtemos:

R(u1(x,y,z, t)) =12(u1(x,y,z, t)+u1(γ1(x,y,z, t)) =

12(x2 + y2 + x2 + y2) = x2 + y2,

R(u2(x,y,z, t)) =12(u2(x,y,z, t)+u2(γ1(x,y,z, t)) =

12((cosh(θ)+1)z+ senh(θ)t),

R(u3(x,y,z, t)) =12(u3(x,y,z, t)+u3(γ1(x,y,z, t)) =−

12((cosh(θ)−1)t + senh(θ)z).

Temos que R(u2(x,y,z, t)) =−cosh(θ)+1senh(θ) R(u3(x,y,z, t)). Ainda, usando o operador de Reynolds

S, temos que

S(u1(x,y,z, t)) =12(u1(x,y,z, t)−u1(γ1(x,y,z, t)) = 0,

S(u2(x,y,z, t)) =12(u2(x,y,z, t)−u2(γ1(x,y,z, t)) =−

12((cosh(θ)−1)z+ senh(θ)t),

S(u3(x,y,z, t)) =12(u3(x,y,z, t)−u3(γ1(x,y,z, t)) =

12((cosh(θ)+1)t + senh(θ)z).


Vemos que S(u2(x,y,z, t)) =−cosh(θ)+1senh(θ) S(u3(x,y,z, t)).

Assim, o conjunto

{R(u1),R(u2),S(u2)2}= {(cosh(θ)−1)t + senh(θ)z,x2 + y2,((cosh(θ)−1)z+ senh(θ)t)2}

é uma base de Hilbert de P(SO3,1(2)oZ2), pelo Teorema 2.3.3. Outra base de Hilbert pode

ser dada por

{(cosh(θ)−1)t + senh(θ)z,x2 + y2,z2− t2}.

De fato, observe que

12(cosh(θ)−1)

(((cosh(θ)−1)t + senh(θ)z)2− ((cosh(θ)−1)z+ senh(θ)t)2

)= z2− t2,

implicando que os conjuntos {R(u1),R(u2),S(u2)2} e {R(u1),R(u2),z2− t2} geram o mesmo

anel de polinômios invariantes pela ação de SO3,1(2)oZ2.

Exemplo 2.3.6. Considere o grupo SO3,1(2) do exemplo anterior e um Z2-subgrupo de Lorentz

gerado por outra involução:

γ2 :=

(I2 00 S+h (θ)

), com S+h (θ) =

(−cosh(θ) − senh(θ)

senh(θ) cosh(θ)

),

com θ ∈ R fixado.

Calculamos aqui a base de Hilbert para P(Γ), onde

Γ = SO3,1(2)o (Z2(γ1)×Z2(γ2)) = SO3,1(2)∪ γ1SO3,1(2)∪ γ2SO3,1(2)∪ γ1γ2SO3,1(2).

Pelo Lema 2.3.1, temos

Γ = (SO3,1(2)oZ2(γ1))oZ2(γ2).

Uma vez que conhecemos a base de Hilbert de P(SO3,1(2)oZ2), aplicamos novamente o

Teorema 2.3.3, para calcular a base de Hilbert de P(Γ).

A ação de γ2 em R3+1 é dada por

γ2 · (x,y,z, t) = (x,y,−cosh(θ)z− senh(θ)t, senh(θ)z+ cosh(θ)t).

Sendo v1(x,y,z, t) = (cosh(θ)− 1)t + senh(θ)z,v2(x,y,z, t) = x2 + y2,v3(x,y,z, t) = z2− t2 e

usando o operador de Reynolds R, obtemos:

R(v1(x,y,z, t)) =12(v1(x,y,z, t)+ v1(γ2(x,y,z, t)) = 0,

R(v2(x,y,z, t)) =12(v2(x,y,z, t)+ v2(γ2(x,y,z, t)) = x2 + y2,

R(v3(x,y,z, t)) =12(v3(x,y,z, t)+ v3(γ2(x,y,z, t)) = z2− t2.

2.4. Subespaços invariantes 59

Ainda, usando o operador de Reynolds S, temos que

S(v1(x,y,z, t)) =12(v1(x,y,z, t)− v1(γ2(x,y,z, t)) = (cosh(θ)−1)t + senh(θ)z,

S(v2(x,y,z, t)) =12(v2(x,y,z, t)− v2(γ2(x,y,z, t)) = 0,

S(v3(x,y,z, t)) =12(v3(x,y,z, t)− v3(γ2(x,y,z, t)) = 0.

Assim, pelo Teorema 2.3.3, o conjunto

{R(v2),R(v3),S(v1)2}= {x2 + y2,z2− t2,((cosh(θ)−1)t + senh(θ)z)2}

é uma base de Hilbert de P(Γ).

Observamos que Γ, no exemplo acima, é um subgrupo compacto de O(3,1) não contidono grupo ortogonal O(4).

De maneira geral, tomando o grupo SOn,1(n−1) definido em (2.9), podemos encontrarmatrizes de Lorentz γ1,γ2 ∈O(n,1) tal que Λ = SOn,1(n−1)o (Z2(γ1)×Z2(γ2)) seja um grupocompacto não contido no grupo ortogonal O(n+ 1). De fato, é suficiente que estas matrizessejam involuções.

2.4 Subespaços invariantes

Nesta seção tratamos dos subespaços do espaço de Minkowski que são invariantes pelaação de um subgrupo de Lorentz. Mostramos que um subespaço de Lorentz invariante só admiteum complemento Lorentz ortogonal invariante se ele for não degenerado. Em todo o restante docapítulo apresentamos os subespaços invariantes de R1+1 e estudamos os subespaços de pontosfixos de R2+1 como subespaços invariantes pela ação de determinados subgrupos discretos deLorentz.

2.4.1 Complemento Lorentz invariante

Seja Γ um grupo de Lie agindo em um espaço vetorial V . Um subespaço W de V échamado Γ-invariante se γw ∈W para todo w ∈W e γ ∈ Γ. A ação de Γ em V é chamadairredutível se os subespaços Γ-invariantes de V são {0} e V . Um subespaço W de V é Γ-irredutível se for Γ-invariante e a ação de Γ em W é irredutível. Um exemplo trivial de umsubespaço invariante, pela ação de qualquer grupo Γ, é o subespaço de pontos fixos Fix(Γ). Pararesultados gerais sobre subespaços invariantes e irredutíveis, ver [17].

Proposição 2.4.1. Seja Γ ∈ O(n,1) um subgrupo de Lorentz agindo em Rn+1. Todo subespaço

não degenerado W, Γ-invariante, admite um complemento Lorentz ortogonal Γ-invariante com

W ⊕W⊥ = Rn+1.


Demonstração. Seja W um subespaço Γ-invariante. Defina U = {u∈Mn,1 : 〈w,u〉= 0,∀w∈W}.Tome u ∈U , mostramos que γu ∈U , para todo γ ∈ Γ. De fato, note que

〈w,γu〉=⟨γ−1w,γ−1

γu⟩=⟨γ−1w,u

⟩= 0,

pois γ−1w ∈W . Logo, U é um conjunto Lorentz ortogonal Γ-invariante. Mostramos agora queU é um subespaço vetorial de Rn+1. É óbvio que 0 ∈U . Também, dados u1,u2 ∈U e α ∈ Rtemos que 〈w,u1 +αu2〉 = 〈w,u1〉+α 〈w,u2〉, o que implica que u1 +αu2 ∈U . Finalizando,observe que sendo W não degenerado então W ∩W⊥ = {0} e, pela Proposição 1.2.29, sabemosque dimW +dimW⊥ = n+1. Portanto, W ⊕W⊥ = Rn+1.

Fica claro, na proposição acima, que para existir um complemento Lorentz ortogonal aum subespaço W , Γ-invariante, tal que W ⊕W⊥ =Rn+1, é suficiente que este subespaço seja nãodegenerado, isto é, não pode ser do tipo luz. É possível encontrar um complemento, Γ-invariante,a um subespaço do tipo luz. Mas é necessária uma condição específica para o grupo Γ, comopodemos ver na próxima proposição.

Proposição 2.4.2. Seja Γ um subgrupo de Lorentz e W um subespaço do tipo luz. Se γ t ∈ Γ, para

todo γ ∈ Γ, então JW⊥ é um complemento Γ-invariante, onde J = In,1, com W ⊕ JW⊥ = Rn+1.

Demonstração. Seja W um subespaço do tipo luz, então segue que dim(W ∩W⊥) = 1, pelaProposição 1.2.31, o que mostra que W⊥ não é um complemento Lorentz ortogonal para W .Por outro lado, W ∩ JW⊥ = {0}. De fato, seja w ∈ JW⊥ então existe v ∈W⊥ tal que w = Jv.Suponha w ∈W ∩ JW⊥, então temos

〈w,v〉= 0 ⇐⇒ 〈Jv,v〉= 0 ⇐⇒ 〈v,v〉E = 0 ⇐⇒ v = 0.

Onde 〈,〉E indica o produto interno usual no espaço euclidiano. Assim, temos que w = Jv = 0.Além disso, é claro que dim(JW⊥) = dim(W⊥). Falta mostrar que JW⊥ é Γ-invariante. De fato,como W e W⊥ são Γ-invariantes, temos que

γw = γJv = J(γ t)−1v ∈ JV⊥,

pois γ t ∈ Γ, pela hipótese. Logo W ⊕ JW⊥ = Rn+1.

Proposição 2.4.3. Seja Γ um subgrupo de Lorentz agindo num espaço não degenerado W. Se a

ação de Γ é absolutamente irredutível então W é irredutível.

Demonstração. Suponha que a ação não seja irredutível. Então existe um subespaço próprio U

de W , Γ-invariante, tendo um complemento Γ-invariante U⊥. Defina π : U⊕U⊥→W a projeçãoem U com kerπ =U⊥. Note que

π(γ(u+ u)) = π(γu+ γ u) = γu = γπ(u+ u)

é Γ-equivariante e não é um múltiplo escalar da identidade. Assim, W não é absolutamenteirredutível.


Observação 2.4.4. Se γ t ∈ Γ, para todo γ ∈ Γ, a Proposição 2.4.3 também é verdadeira para o

caso em que W é degenerado, pois o complemento Γ-invariante de U é JU⊥. A demonstração

segue a mesma ideia, bastando definir π : U⊕ JU⊥→V a projeção em U com kerπ = JU⊥.

2.4.2 Subespaços invariantes em R1+1

Sob que condições um subspaço do espaço de Minkowski R1+1 é invariante pela ação deum subgrupo de Lorentz? Os seguintes resultados respondem esta questão.

Proposição 2.4.5. Sejam os grupos cíclicos

Γ1θ =

⟨(cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)

)⟩(2.10)

e

Γ2θ =

⟨−


)⟩, (2.11)

com θ fixado, agindo em R1+1. Temos que os únicos subespaços Γ1θ

-invariantes e Γ2θ

-invariantes

são cada um dos ramos do cone-luz.

Demonstração. Note que Fix(Γ1θ) = {0}. Tomemos o subespaço Wa = {(x,y) ∈ R2 : y = ax}.

Então (cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)

)(x

ax

)=

((cosh(θ)+a senh(θ))x( senh(θ)+acosh(θ))x

).

Para que o ponto resultante pertença a Wa devemos ter que

senh(θ)+acosh(θ) = a(cosh(θ)+a senh(θ))⇒

senh(θ) = a2 senh(θ)⇒

a2 = 1.

Logo, os valores para a que permitem que Wa seja Γ1θ

-invariante são a =−1 ou a = 1. Assim, ossubsespaços Γ1

θ-invariantes são

WΓ1

θ

1 = {(x,y) ∈ R2 : y = x} e (2.12)

WΓ1

θ

−1 = {(x,y) ∈ R2 : y =−x}. (2.13)

A união desses dois subespaços é o cone-luz e obviamente R2 =WΓ1

θ

−1 ⊕WΓ1

θ

1 . Temos ainda que(W

Γ1θ

i

)⊥= W

Γ1θ

i , com i = −1,1. Portanto, R2 não pode ser obtido como uma soma WΓ1

θ

i +(W

Γ1θ

i

)⊥, i =−1,1.

O resultado é análogo para o grupo Γ2θ

.


Observe que, na Proposição 2.4.5, os conjuntos WΓ1

θ

i , com i =−1,1, são degenerados.

Assim, um complemento Lorentz ortogonal que seja Γ1θ

-invariante pode ser dado por JWΓ1

θ

i , pela

Proposição 2.4.2. Neste caso, WΓ1

θ

i ⊕ JWΓ1

θ

i = R1+1, com i =−1,1.

Considere, por outro lado, os Z2-subgrupos cíclicos de O(1,1) dados por

Γ3θ =

⟨(cosh(θ) senh(θ)− senh(θ) −cosh(θ)

)⟩e (2.14)

Γ4θ =

⟨(−cosh(θ) − senh(θ)

senh(θ) cosh(θ)

)⟩, (2.15)

com θ fixado, cada um agindo no espaço R1+1.

Proposição 2.4.6. Os únicos subespaços Γ3θ


-invariantes, não triviais, de R1+1

são as retas de pontos fixos, Fix(Γ3θ) e Fix(Γ4

θ), e as retas Lorentz ortogonal às retas de pontos

fixos, respectivamente.

Demonstração. Façamos para Γ3θ

. Tomemos o subespaço WΓ3

θa = {(x,y) ∈ R2 : y = ax}. Então(

cosh(θ) senh(θ)− senh(θ) −cosh(θ)

)(x

ax

)=

((cosh(θ)+a senh(θ))x−( senh(θ)+acosh(θ))x

).

Para que o ponto resultante pertença a WΓ3

θa devemos ter que

− senh(θ)−acosh(θ) = a(cosh(θ)+a senh(θ))⇒

a2 senh(θ)+2acosh(θ)+ senh(θ) = 0.

Portanto a1 =−cosh(θ)−1senh(θ) e a2 =−cosh(θ)+1

senh(θ) .

Assim, temos dois subespaços invariantes, a saber,

WΓ3

θa1 =

{(x,y) ∈ R2 : y =−cosh(θ)−1

senh(θ)x}

e (2.16)

WΓ3

θa2 =

{(x,y) ∈ R2 : y =−cosh(θ)+1

senh(θ)x}. (2.17)

Observe que WΓ3

θa1 = Fix(Γ3

θ). Ainda, as retas W

Γ3θ

a1 e WΓ3

θa2 são ortogonais pelo pseudo produto

interno de Lorentz, pois⟨(x,−cosh(θ)−1

senh(θ)x),(x,−cosh(θ)+1

senh(θ)x)⟩

L= x2−

(cosh2(θ)−1

senh2(θ)

)x2 = 0

Logo, WΓ3

θa2 = (W

Γ3θ

a1 )⊥. Observe ainda que WΓ3

θa1 = Fix(Γ3

θ).

O resultado é análogo para Γ4θ

, sendo que

WΓ4

θa1 =

{(x,y) ∈ R2 : y =−cosh(θ)+1

senh(θ)x}

e WΓ4

θa2 =

{(x,y) ∈ R2 : y =−cosh(θ)−1

senh(θ)x},

onde WΓ4

θa2 = (W

Γ4θ

a1 )⊥ e WΓ4

θa1 = Fix(Γ4

θ).


Tabela 1 – Subespaços invariantes de O(1,1).

Grupo Subespaço invariante Subespaço Lorentz ortogonal Complemento

Γ1θ

W Γ1θ

1 = {(x,y) ∈ R2 : y = x}W Γ1

θ

−1 = {(x,y) ∈ R2 : y =−x}W Γ1

θ

1

W Γ2θ

1

NãoNão

Γ2θ

W Γ1θ

1 = {(x,y) ∈ R2 : y = x}W Γ1

θ

−1 = {(x,y) ∈ R2 : y =−x}W Γ1

θ

1

W Γ2θ

1

NãoNão

Γ3θ

W Γ3θ

a1 ={(x,y) ∈ R2 : y =− cosh(θ)−1

senh(θ) x},

W Γ3θ

a2 ={(x,y) ∈ R2 : y =− cosh(θ)+1

senh(θ) x} W Γ3

θa2

W Γ3θ

a1

SimSim

Γ4θ

W Γ4θ

a1 =W Γ3θ

a2 ,

W Γ4θ

a2 =W Γ3θ

a1

W Γ4θ

a2

W Γ4θ

a1

SimSim

Observe que para Γ1θ

, dado em (2.10) na Proposição 2.4.5, as retas WΓ1

θ

1 e WΓ1

θ

−1 são dotipo luz. Neste caso, não é possível decompor o espaço R1+1 como soma do subespaço invariantepelo seu subespaço Lorentz ortogonal. Chegamos à mesma conclusão para o grupo Γ2

θdado em

(2.11).

Por outro lado, para os grupos Γ3θ

e Γ4θ

, dados em (2.14) e (2.15) na Proposição 2.4.6,

os subespaços Γ3θ


-invariantes não são do tipo luz. Mais especificamente, WΓ3

θa1

(2.16) é do tipo espaço enquanto que WΓ3

θa2 (2.17) é do tipo tempo. Ou ainda, W

Γ4θ

a1 é do tipo

tempo enquanto que WΓ4

θa2 é do tipo espaço. Temos ainda que os subespaços W

Γ3θ

a1 e WΓ4

θa1 têm um

complemento Lorentz ortogonal.

A Tabela 1 resume os resultados da Proposição 2.4.5 e da Proposição 2.4.6, mostrandoainda se os subespaços invariantes possuem ou não um complemento Lorentz ortogonal.

2.4.3 Subespaços invariantes em R2+1

Finalizamos este capítulo estudando alguns subespaços invariantes de R2+1, particular-mente o subespaço de pontos fixos e seu respectivo subespaço Lorentz ortogonal.

Proposição 2.4.7. Seja o grupo cíclico ΣR+h (ϕ,θ ,φ)

gerado pela matriz R+h (ϕ,θ ,φ) ∈ SO0(2,1)

dada por

cos(ϕ) − sen(ϕ) 0sen(ϕ) cos(ϕ) 0

0 0 1

1 0 0


cos(φ) − sen(φ) 0

sen(φ) cos(φ) 00 0 1

,

com ϕ,θ e φ fixados. Então o subespaço de pontos fixos de ΣR+h (ϕ,θ ,φ)

, Fix(ΣR+h (ϕ,θ ,φ)

), e o su-

bespaço Lorentz ortogonal, Fix(ΣR+h (ϕ,θ ,φ)

)⊥, são dados de acordo com as seguintes condições:


(i) Se ϕ 6= π−φ , então Fix(ΣR+h (ϕ,θ ,φ)

) é a reta{(x,y,z) ∈ R2+1 : y =− sen(φ)− sen(ϕ)

cos(φ)+cos(ϕ) x e z =− (cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)(cosh(θ)−1)(cos(φ)+cos(ϕ)) x

},(2.18)

e Fix(ΣR+h (ϕ,θ ,φ)

)⊥ é o plano{(x,y,z) ∈ R2+1 : z = (cosh(θ)−1)(( sen(φ)− sen(ϕ))y−(cos(φ)+cos(ϕ))x)

(cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)

}. (2.19)

(ii) Se ϕ = π−φ , temos que Fix(ΣR+h (π−φ ,θ ,φ)) é a reta{

(x,y,z) ∈ R2+1 : y =cos(φ)sen(φ)

x e z =− senh(θ)(cosh(θ)−1) sen(φ)

x}

e Fix(ΣR+h (π−φ ,θ ,φ))

⊥ é o plano{(x,y,z) ∈ R2+1 : z =−(cosh(θ)−1)

senh(θ)( sen(φ)x+ cos(φ)y)

}.

Demonstração. Um cálculo direto nos dá o subespaço de pontos fixos e o subespaço Lorentzortogonal nos dois casos.

Observação 2.4.8. Note que Fix(ΣR+h (π−φ ,θ ,φ)) é uma reta do tipo tempo. De fato, para v(π−

φ ,θ ,φ) ∈ Fix(ΣR+h (π−φ ,θ ,φ)), temos que

〈v(π−φ ,θ ,φ),v(π−φ ,θ ,φ)〉=− 2x2

sen2(φ)(cosh(θ)−1)< 0.

Fix(ΣR+h (π−φ ,θ ,φ))

⊥ é um complemento Lorentz ortogonal à reta de pontos fixos e, pela Proposi-

ção 1.2.33, é um plano do tipo espaço.

A reta Fix(ΣR+h (ϕ,θ ,φ)

) pode ser do tipo espaço, luz ou tempo dependendo dos valores deϕ,θ e φ . Em geral, o subgrupo ΣR+

h (ϕ,θ ,φ)é não compacto. Como exemplificamos a seguir.

Exemplo 2.4.9. Sejam ϕ = π

4 ,θ = ln(2),φ =−π

4 . Temos que

Fix(

ΣR+h (

π

4 ,ln(2),−π

4 )

)= {(x,x,0) : x ∈ R}

é do tipo espaço e que Fix(ΣR+h (

π

4 ,ln(2),−π

4 ))⊥ = {(x,−x,y) : x,y ∈R} é do tipo tempo. Na Figura

4, o plano é o subespaço Lorentz ortogonal à reta de pontos fixos.

Exemplo 2.4.10. Sejam ϕ = φ = π

3 ,θ = ln(7−4√

3). Temos que

Fix(

ΣR+h (

π

3 ,ln(7−4√

3), π

3 )

)= {(x,0,x) : x ∈ R}

é do tipo luz e que Fix(ΣR+h (

π

3 ,ln(7−4√

3), π

3 ))⊥ = {(x,y,x) : x,y ∈ R} é do tipo luz. Na Figura 5, o

plano é o subespaço Lorentz ortogonal à reta de pontos fixos.

Note que neste caso, Fix(

ΣR+h (

π

3 ,ln(7−4√

3), π

3 )

)⊂ Fix(ΣR+

h (π

3 ,ln(7−4√

3), π

3 ))⊥.


Figura 4 – Fix do tipo espaço e seu complemento Lorentz ortogonal

Figura 5 – Fix do tipo luz e seu complemento Lorentz ortogonal

Exemplo 2.4.11. Sejam ϕ = π

3 ,θ = ln(2),φ = π

6 . Temos que

Fix(

ΣR+h (

π

3 ,ln(2),π

6 )

)= {(x,(2−

√3)x,3(1−

√3)x) : x ∈ R}

é do tipo luz e que Fix(ΣR+h (

π

3 ,ln(2),π

6 ))⊥ = {(x,y, 1

6(1+√

3))(√

3y− x−2y) : x,y ∈ R} é do tipo

luz. Na Figura 6, o plano é o subespaço Lorentz ortogonal à reta de pontos fixos.

Para grupos gerados por uma matriz em Λpt3 SO0(2,1) temos um resultado semelhante:

Proposição 2.4.12. Dado o grupo cíclico ΣR−h (ϕ,θ ,φ)gerado pela matriz R−h (ϕ,θ ,φ)∈Λ

pt3 SO0(2,1)

dada por cos(ϕ) sen(ϕ) 0sen(ϕ) −cos(ϕ) 0

0 0 −1

1 0 0




,

com ϕ,θ e φ fixados. Então o subespaço de pontos fixos de ΣR−h (ϕ,θ ,φ), Fix(ΣR−h (ϕ,θ ,φ)

), e

o subespaço Lorentz ortogonal, Fix(ΣR−h (π−φ ,θ ,φ))⊥, são dados de acordo com as seguintes

condições:


Figura 6 – Fix do tipo tempo e seu complemento Lorentz ortogonal

(i) Se ϕ 6= π−φ , então Fix(ΣR−h (ϕ,θ ,φ)) é a reta{

(x,y,z) ∈ R2+1 : y =− sen(φ)− sen(ϕ)cos(φ)+cos(ϕ) x e z =− (cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)

(cosh(θ)+1)(cos(φ)+cos(ϕ)) x}(2.20)

e Fix(ΣR−h (π−φ ,θ ,φ))⊥ é o plano{

(x,y,z) ∈ R2+1 : z = (cosh(θ)+1)(( sen(φ)− sen(ϕ))y−(cos(φ)+cos(ϕ))x)(cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)

}.

(ii) Se ϕ = π−φ , temos que Fix(ΣR−h (π−φ ,θ ,φ)) é a reta{(x,y,z) ∈ R2+1 : y =

cos(φ)sen(φ)

x e z =− senh(θ)(cosh(θ)+1) sen(φ)

x}

e Fix(ΣR−h (π−φ ,θ ,φ))⊥ é o plano{

(x,y,z) ∈ R2+1 : z =−(cosh(θ)+1)senh(θ)

(x sen(φ)+ cos(φ)y)}.

Observação 2.4.13. Note que a reta Fix(ΣR−h (π−φ ,θ ,φ)) é do tipo espaço. De fato, para o vetor

v(π−φ ,θ ,φ) ∈ Fix(ΣR−h (π−φ ,θ ,φ)) temos que

〈v(π−φ ,θ ,φ),v(π−φ ,θ ,φ)〉= 2x2

sen2(φ)(cosh(θ)−1)> 0,

o que implica, pela Proposição 1.2.33, que o plano Lorentz ortogonal Fix(ΣR−h (π−φ ,θ ,φ))⊥ é do

tipo tempo.

Da mesma forma para o caso da reta Fix(ΣR+h (ϕ,θ ,φ)

), a reta Fix(ΣR−h (ϕ,θ ,φ)) pode ser do

tipo espaço, luz ou tempo dependendo dos valores de ϕ,θ e φ .

Na proposição a seguir, fazemos um estudo sobre o subespaço de pontos fixos da açãodo grupo gerado por uma matriz em Λ

p3SO0(2,1) ou em Λ

p3SO0(2,1).


Proposição 2.4.14. Dado o grupo cíclico ΣS+h (ϕ,θ ,φ)gerado pela matriz S+h (ϕ,θ ,φ)∈Λ

p3SO0(2,1)

dada por cos(ϕ) sen(ϕ) 0sen(ϕ) −cos(ϕ) 0

0 0 1

1 0 0




,

e o grupo ΣS−h (ϕ,θ ,φ)gerado pela matriz de Lorentz S−h (ϕ,θ ,φ) ∈ Λt

3SO0(2,1) dada por


0 0 −1

1 0 0




,

com ϕ,θ e φ fixados. Assim,

(i) Se ϕ =−φ , então Fix(ΣS+h (−φ ,θ ,φ)) é o plano{(x,y,z) ∈ R2+1 : z =− senh(θ)( sen(φ)x+ycos(φ))

cosh(θ)−1

}, (2.21)

onde Fix(ΣS+h (−φ ,θ ,φ))⊥ é a reta{

(x,y,z) ∈ R2+1 : y = cos(φ)sen(φ)x e z =− cosh(θ)−1

senh(θ) sen(φ)x}. (2.22)

Temos também que Fix(ΣS−h (−φ ,θ ,φ)) é o plano{(x,y,z) ∈ R2+1 : z =− senh(θ)( sen(φ)x+ycos(φ))

cosh(θ)+1

},

onde Fix(ΣS−h (−φ ,θ ,φ))⊥ é a reta{

(x,y,z) ∈ R2+1 : y = cos(φ)sen(φ)x e z =− cosh(θ)+1

senh(θ) sen(φ)x}.

(ii) Se ϕ 6=−φ , então

Fix(ΣS+h (ϕ,θ ,φ)) = Fix(ΣS−h (ϕ,θ ,φ)

) = {0}.

Observação 2.4.15. Note que o plano Fix(ΣS+h (−φ ,θ ,φ)) é do tipo tempo. Para verificar isso, é

mais prático calcular a natureza do subespaço Lorentz ortogonal Fix(ΣS+h (−φ ,θ ,φ))⊥, por ser

uma reta. Assim, temos que⟨(x, cos(φ)

sen(φ)x,−cosh(θ)−1

senh(θ) sen(φ)x),(

x, cos(φ)sen(φ)x,−

cosh(θ)−1senh(θ) sen(φ)x

)⟩= x2 + cos2(φ)

sen2(φ)x2− (cosh(θ)−1)2

senh2(θ) sen2(φ)x2

= 2(cosh(θ)−1)senh2(θ) sen2(φ)

x2 > 0.


Tabela 2 – Subespaços de pontos fixos de R1+1 e R2+1.

Grupo Subespaços de pontos fixos TipoΓ1

θ{(0,0)} -

Γ2θ

{(0,0)} -Γ3

θ{(x,− cosh(θ)−1

senh(θ) x)} Espaço

Γ4θ

{(x,− cosh(θ)+1senh(θ) x)} Tempo

ΣR+h (ϕ,θ ,φ)

ϕ 6= π−φ

{(x,− sen(φ)− sen(ϕ)

cos(φ)+cos(ϕ) x,− (cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)(cosh(θ)−1)(cos(φ)+cos(ϕ)) x

)}Qualquer

ΣR+h (π−φ ,θ ,φ)

{(x, cos(φ)

sen(φ)x,− senh(θ)(cosh(θ)−1) sen(φ)x

)}Tempo

ΣR−h (ϕ,θ ,φ)

ϕ 6= π−φ


cos(φ)+cos(ϕ) x,− (cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)(cosh(θ)+1)(cos(φ)+cos(ϕ)) x

)}Qualquer

ΣR−h (π−φ ,θ ,φ)

{(x, cos(φ)

sen(φ)x,− senh(θ)(cosh(θ)+1) sen(φ)x

)}Espaço

ΣS+h (−φ ,θ ,φ)

{(x,y,− senh(θ)( sen(φ)x+cos(φ)y)

cosh(θ)−1

)}Tempo

ΣS−h (−φ ,θ ,φ)

{(x,y,− senh(θ)( sen(φ)x+cos(φ)y)

cosh(θ)+1

)}Espaço

ΣS+h (ϕ,θ ,φ)

ϕ 6=−φ{0,0} -

ΣS−h (ϕ,θ ,φ)

ϕ 6=−φ{0,0} -

Isso mostra que Fix(ΣS+h (−φ ,θ ,φ))⊥ é do tipo espaço o que implica, pela Proposição 1.2.33, que

Fix(ΣS+h (−φ ,θ ,φ)) é do tipo tempo. Como são, desta forma, não degenerados, temos que

Fix(ΣS+h (−φ ,θ ,φ))⊕Fix(ΣS+h (−φ ,θ ,φ))⊥ = R2+1,

pela Proposição 2.4.1. De modo análogo, verificamos que a reta Fix(ΣS−h (−φ ,θ ,φ))⊥ é do tipo

tempo. Portanto, o plano Fix(ΣS−h (−φ ,θ ,φ)) é do tipo espaço e também

Fix(ΣS−h (−φ ,θ ,φ))⊕Fix(ΣS−h (−φ ,θ ,φ))⊥ = R2+1.

A Tabela 2 resume todos os resultados desta seção no que diz respeito ao subespaçode pontos fixos. Observe que é possível decompor R2+1 como uma soma direta do subespaçode pontos fixos com o seu complemento Lorentz ortogonal, desde que o subespaço de pontosfixos seja do tipo espaço ou do tipo tempo. Os subgrupos estudados nesta seção são gerados porapenas um elemento. Não é difícil calcular os subespaços de pontos fixos de grupos gerados pordois ou mais elementos, para isto basta aplicar a Proposição 2.2.2.

69

CAPÍTULO

3AS INVOLUÇÕES DE LORENTZ

Neste capítulo abordaremos as involuções de Lorentz. Fazemos uma caracterização dasinvoluções de Lorentz começando pelas involuções em O(1,1) e O(2,1), apresentando tambémuma base de Hilbert para o anel dos polinômios invariantes. Caracterizamos também todas asinvoluções em O(n,1), para todo n≥ 3. Terminamos o capítulo mostrando que o subespaço depontos fixos de uma involução nunca é degenerado.

Definição 3.0.1. Uma matriz A é chamada de matriz de involução se o seu quadrado é a matriz

identidade, isto é, se A2 = Id. Chamamos de involução de Lorentz a qualquer involução em

O(n,1).

Se duas matrizes são conjugadas então os subgrupos gerados por cada uma dessasmatrizes são conjugados. A proposição a seguir é um resultado clássico que mostra a existênciade uma correspondência entre o subespaço de pontos fixos, as funções invariantes e as aplicaçõesequivariantes pela ação de cada um destes subgrupos.

Proposição 3.0.2. Sejam os grupos Γ1 = 〈γ〉 e Γ2 = 〈δ 〉, com γ e δ conjugados, isto é, existe P

invertível tal que δ = PγP−1. Então:

a) v ∈ Fix(Γ1) se, e somente se, Pv ∈ Fix(Γ2).

b) f : V → R é Γ1-invariante se, e somente se, f ◦P−1 é Γ2-invariante.

c) g : V →V é Γ1-equivariante se, e somente se, P◦g◦P−1 é Γ2-equivariante.

3.1 Involuções em O(1,1) e invariantes

Nesta seção estudamos as involuções de Lorentz em O(1,1). Calculamos também a basede Hilbert para o anel dos polinômios invariantes para cada involução de Lorentz.

70 Capítulo 3. As involuções de Lorentz

Pela Proposição 1.2.16 qualquer elemento do grupo de Lorentz pode ser decomposto,em valores singulares, da forma:

A =

(P 00 ε


( Q 00 1

), (3.1)

com ε =±1, P ∈ O(n), Q ∈ SO(n) e θ ∈ R.

No resultado a seguir descrevemos as involuções em O(1,1).

Proposição 3.1.1. Pela decomposição em valores singulares, uma involução do grupo de Lorentz

O(1,1) pode ser escrita como uma das seguintes formas:

γ3 =

[1 00 −1

][cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)

]ou

γ4 =

[−1 00 1

][cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)

].

Demonstração. Note que a decomposição em valores singulares de matrizes em O(1,1) é dadapor (

P 00 ε

)(cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)

)com P =±1 e ε =±1. Assim, podemos reescrevê-la como(

±1 00 ±1

)(cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)

)Fica fácil verificar que as únicas involuções de Lorentz são γ3 e γ4.

Observação 3.1.2. Observe que γ3 e γ4 estão em componentes conexas diferentes. Desse modo,

os grupos Γ3θ= 〈γ3〉 e Γ4

θ= 〈γ4〉 não são conjugados, pelo Teorema 1.2.14.

Podemos encontrar matrizes, da mesma componente conexa, conjugadas γ3 e γ4. Noresultado a seguir descrevemos essa conjugação de matrizes.

Proposição 3.1.3. As matrizes(cosh(θ) senh(θ)− senh(θ) −cosh(θ)

)e

(1 00 −1

)são conjugadas, assim como as matrizes(

−cosh(θ) − senh(θ)senh(θ) cosh(θ)

)e

(−1 00 1

),

para qualquer θ ∈ R.

3.2. Involuções em O(2,1) e invariantes 71

Demonstração. A matriz (cosh(θ

2 ) − senh(θ

2 )

− senh(θ

2 ) cosh(θ

2 )

)é uma matriz de conjugação para ambos os pares de matrizes.

No grupo ortogonal O(2), as matrizes Λp2 e Λt

2 são as matrizes de reflexão de O(2) κx eκy, respectivamente, e são conjugadas por uma matriz de permutação. Porém, isto não aconteceno grupo de Lorentz pois, pelo Teorema 1.2.14, Λ

p2 e Λt

2 estão em componentes conexas distintase não podem ser conjugadas por uma matriz de Lorentz em O(1,1). No entanto, as matrizes Λ

p2

e Λt2 são conjugadas por (

0 11 0

).

Portanto, pela Proposição 3.0.2, calculamos a base de Hilbert para somente uma destas matrizes.

A menos de conjugação, a base de Hilbert do anel dos polinômios invariantes por umainvolução em O(1,1) é dada na seguinte proposição:

Proposição 3.1.4. Considere o subgrupo Z2(Λt2). Uma base de Hilbert do anel P(Z2(Λ

t2)) é

{x, y2}.

Observação 3.1.5. A demonstração da Proposição 3.1.4 é a mesma para o caso das reflexões

κx, um resultado clássico na literatura.

3.2 Involuções em O(2,1) e invariantes

Nesta seção estudamos as involuções do grupo de Lorentz O(2,1) e a respectiva base deHilbert para o anel dos polinômios invariantes pela ação do grupo gerado por cada uma dessasinvoluções, a menos de conjugação.

No teorema a seguir descrevemos as involuções de O(2,1), escritas na decomposição emvalores singulares.

Proposição 3.2.1. Qualquer involução de Lorentz em O(2,1) pode ser escrita, em sua decom-

posição em valores singulares, de uma das seguintes formas:

−cos(φ) − sen(φ) 0sen(φ) −cos(φ) 0

0 0 1

1 0 0




;

−cos(φ) sen(φ) 0sen(φ) cos(φ) 0

0 0 −1

1 0 0




;


cos(φ) sen(φ) 0− sen(φ) cos(φ) 0

0 0 −1

1 0 0




;

cos(φ) − sen(φ) 0− sen(φ) −cos(φ) 0

0 0 1

1 0 0




.

Demonstração. Tome a decomposição em valores singulares (3.1). Podemos escrever, destaforma, qualquer matriz em O(2,1) como

B1,ε =


0 0 ε

1 0 0




ou como

B2,ε =

cos(ϕ) − sen(ϕ) 0− sen(ϕ) −cos(ϕ) 0

0 0 ε

1 0 0




.

Tomando a matriz B1,ε e impondo B21,ε = I3, obtemos:

sen(ϕ) sen(φ)− cos(ϕ)cos(φ) = ε

cos(ϕ) =−ε cos(φ)sen(ϕ) = ε sen(φ)

.

Do mesmo modo para a matriz B2,ε , obtemos:sen(ϕ) sen(φ)+ cos(ϕ)cos(φ) = ε

cos(ϕ) = ε cos(φ)sen(ϕ) = ε sen(φ)

.

Para ε =±1, obtemos as quatro formas desejadas.

Observação 3.2.2. Note que as matrizes B1,ε e B2,ε , para ε = ±1, não são conjugadas.

De fato, temos que B1,1 = R+h (π − φ ,θ ,φ) ∈ SO0(2,1), B1,−1 = S−h (−φ ,θ ,φ) ∈ Λt

3SO0(2,1),B2,1 = S+h (−φ ,θ ,φ) ∈ Λ

p3SO0(2,1) e B2,−1 = R−h (π − φ ,θ ,φ) ∈ Λ

pt3 SO0(2,1), definidas nas

Proposições 2.4.7, 2.4.12 e 2.4.14, estão em diferentes componentes conexas. Assim, pelo

Teorema 1.2.14, tais matrizes não são conjugadas.

A proposição a seguir mostra que cada involução de Lorentz em O(2,1) é conjugada auma das matrizes Λt

3, Λp3 , −Λt

3 e −Λp3 em O(2,1), definidas em (1.2).

3.2. Involuções em O(2,1) e invariantes 73

Proposição 3.2.3. Temos a seguinte conjugação de matrizes:

A matriz R+h (π−φ ,θ ,φ) é conjugada à matriz −Λt

3;

A matriz S−h (−φ ,θ ,φ) é conjugada à matriz Λt3;

A matriz S+h (−φ ,θ ,φ) é conjugada à matriz Λp3; e

A matriz R−h (π−φ ,θ ,φ) é conjugada à matriz −Λp3 .

Demonstração. A matriz −cos(φ) − sen(φ)cosh(

θ

2

)− sen(φ) senh

(θ

2

)sen(φ) −cos(φ)cosh

(θ

2

)−cos(φ) senh

(θ

2

)0 senh

(θ

2

)cosh

(θ

2

) ,

cuja inversa é −cos(φ) sen(φ) 0− sen(φ)cosh

(θ

2

)−cos(φ)cosh

(θ

2

)− senh

(θ

2

)sen(φ) senh

(θ

2

)cos(φ) senh

(θ

2

)cosh

(θ

2

) ,

é uma matriz de conjugação para todos os pares de matrizes.

As matrizes Λt3 e Λ

p3 são conjugadas por 1 0 0

0 0 10 1 0

.

Portanto, na proposição a seguir obtemos uma base de Hilbert do anel dos polinômios invariantespor cada uma das matrizes Λ

p3 e −Λ

p3 em O(2,1).

Proposição 3.2.4. Considere a ação de cada um dos subgrupos de Lorentz Z2(Λp3), Z2(−Λ

p3),

Z2(Λt3), Z2(−Λt

3) nos pontos (x,y,z) ∈ R2+1. Então

(i) O conjunto

{x,z,y2}

é uma base de Hilbert para o anel P(Z2(Λ

p3));

(ii) O conjunto

{y,xz,x2,z2}

é uma base de Hilbert para o anel P(Z2(−Λ

p3)).

Demonstração. É imediato.


3.3 Involuções em O(n,1)

Nesta seção caracterizamos as involuções de Lorentz em O(n,1), para n≥ 3. Apresen-tamos algumas classes de involução em O(3,1) e calculamos a base de Hilbert do anel dospolinômios invariantes pela ação do grupo formado por essas involuções.

Tome a decomposição em valores singulares (3.1) de uma matriz de Lorentz A, com

P =

(Pn−1 v1

vt2 a

)e Q =

(Qn−1 u1

ut2 b

), v1,v2,u1,u2 ∈ Rn−1 e a,b ∈ R. (3.2)

A condição A2 = In+1, implica em

ut2v1 +ab = −ε (3.3)(

ut2Pn−1 +bvt

2)

u1 = 0 (3.4)

vt2(au1 +Qn−1v1) = 0 (3.5)(

ut2Pn−1 +bvt

2)

Qn−1 = 0 (3.6)

Pn−1(au1 +Qn−1v1) = 0 (3.7)

vt2(Qn−1Pn−1 +u1vt

2)u1− εab = 1 (3.8)

vt2(Qn−1Pn−1 +u1vt

2)Qn−1− εaut2 = 0 (3.9)

Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2)u1− εbv1 = 0 (3.10)

Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2)Qn−1− εv1ut

2 = In−1 (3.11)

As expressões a seguir vêm da ortogonalidade de P e Q:

Pn−1Ptn−1 + v1vt

1 = In−1 (3.12)

Ptn−1Pn−1 + v2vt

2 = In−1 (3.13)

Pn−1v2 +av1 = 0 (3.14)

Ptn−1v1 +av2 = 0 (3.15)

vt1v1 +a2 = 1 (3.16)

vt2v2 +a2 = 1 (3.17)

Qn−1Qtn−1 +u1ut

1 = In−1 (3.18)

Qtn−1Qn−1 +u2ut

2 = In−1 (3.19)

Qn−1u2 +bu1 = 0 (3.20)

Qtn−1u1 +bu2 = 0 (3.21)

ut1u1 +b2 = 1 (3.22)

ut2u2 +b2 = 1 (3.23)

Observe que as expressões acima são as informações que definem uma matriz de involu-ção de Lorentz em O(n,1), quando escrita na decomposição em valores singulares. Agora damosoutra caracterização dessa matriz em O(n,1).

3.3. Involuções em O(n,1) 75

Proposição 3.3.1. Sejam os vetores v1,v2,u1,u2 ∈ Rn−1 dados nas matrizes P e Q em (3.2). Se

pelo menos um desses vetores é nulo então todos eles são nulos.

Demonstração. Suponha v1 = 0. De (3.3), temos que ab =−ε , o que implica que a 6= 0 e b 6= 0.Além disso, Pn−1 é invertível, pois de (3.12) temos Pn−1Pt

n−1 = In−1, o que implica que Pn−1 éuma matriz ortogonal. De (3.14) temos Pn−1v2 = 0 e como Pn−1 é invertível segue que v2 = 0.De (3.7) obtemos u1 = 0. E de (3.9) obtemos u2 = 0. Nesse caso, segue também que Qn−1 éortogonal.

Suponha v2 = 0. De (3.13), temos que Pn−1 é ortogonal e, portanto, invertível. Dissosegue, de (3.14), que v1 = 0. De (3.7) temos que u1 = 0. E de (3.21) obtemos u2 = 0.

Suponha u1 = 0. De (3.18) segue que Qn−1 é invertível e de (3.20) temos u2 = 0. De(3.10) obtemos v1 = 0 e de (3.14) temos v2 = 0.

Suponha u2 = 0. De (3.19) segue que Qn−1 é invertível e de (3.21) temos u1 = 0. De(3.10) obtemos v1 = 0 e de (3.14) temos v2 = 0.

No caso em que um dos vetores é nulo temos a =±1 e b =±1. Assim, b =−εa, pelaequação (3.3). Além disso, Pn−1 e Qn−1 são ortogonais, com (Pn−1Qn−1)

2 = In−1 pela equação(3.11). Dessa forma, se um dos vetores é nulo temos a seguinte caracterização de uma involuçãode Lorentz:

Corolário 3.3.2. Se um dos vetores v1,v2,u1,u2 ∈ Rn−1 em (3.2) é nulo, então uma involução

de Lorentz pode ser escrita em uma das seguintes formas:

(κ 00 κxRh(θ)

)ou

(κ 00 κyRh(θ)

), (3.24)

onde

κ2 = In−1,κx =

(1 00 −1

)e κy =

(−1 00 1

).

Demonstração. Como um dos vetores v1,v2,u1,u2 ∈ Rn−1 é nulo então, pela Proposição 3.3.1,temos que todos os vetores são nulos, consequentemente Pn−1 e Qn−1 são ortogonais e b =−εa.Assim, a matriz (3.1) é escrita como


A =

Pn−1 0 00 a 00 0 ε

In−1 0 0


Qn−1 0 0

0 −εa 00 0 1

=

Pn−1 0 00 acosh(θ) a senh(θ)0 ε senh(θ) ε cosh(θ)

Qn−1 0 0

0 −εa 00 0 1

=

Pn−1Qn−1 0 00 −ε cosh(θ) a senh(θ)0 −a senh(θ) ε cosh(θ)

.

Seja κ = Pn−1Qn−1, note que κ2 = In−1. Como |a|= |ε|= 1, temos que a submatriz(−ε cosh(θ) a senh(θ)−a senh(θ) ε cosh(θ)

)pode ser escrita em uma das seguintes formas: κxRh(θ),κyRh(θ),Rh(θ)κx ou Rh(θ)κy, onde κx

e κy são as matrizes de reflexão de O(2) dadas por(1 00 −1

)e

(−1 00 1

),

respectivamente, e

Rh(θ) =


).

Para concluir, observe que κxRh(θ) = Rh(−θ)κx e que κyRh(θ) = Rh(−θ)κy.

Como o grupo gerado pela matriz (3.24) tem ordem 2, podemos estimar o número deinvariantes via série de Molien e aplicar a teoria dos invariantes para grupos finitos. Conhecendoalguns dos invariantes, aplicamos o Algoritmo 1.1.13 para determinar um conjunto de geradoresdo anel dos polinômios invariantes.

Duas classes de subgrupos de Lorentz gerados por involuções em O(3,1), usando oCorolário 3.3.2, são dadas por

C1 =

cos(φ) sen(φ) 0 0sen(φ) −cos(φ) 0 0

0 0 cosh(θ) senh(θ)0 0 − senh(θ) −cosh(θ)

e

C2 =

cos(φ) sen(φ) 0 0sen(φ) −cos(φ) 0 0

0 0 −cosh(θ) − senh(θ)0 0 senh(θ) cosh(θ)

,


com φ e θ fixados. Observe que estas duas matrizes são conjugadas à matriz

κyw =

(κx 00 κx

),

com κx a matriz de reflexão em relação ao eixo x, pela conjugaçãosen(φ) sen(φ) 0 0

1− cos(φ) −1− cos(φ) 0 00 0 cosh

(θ

2

)− senh

(θ

2

)0 0 − senh

(θ

2

)cosh

(θ

2

)

.

Portanto, para estas classes de matrizes, é suficiente encontrar a base de Hilbert pela ação dosubgrupo Z2(κyw). Porém, para ilustrar a aplicação dos Algoritmos 1.1.12 e 1.1.13, fazemos ocálculo da base de Hilbert para o anel P(Z2(C1)) na proposição a seguir.

Proposição 3.3.3. Considere a ação do grupo Z2(C1) nos pontos (x,y,z,w) de R3+1. O conjunto

M = { sen(φ)x− (cos(φ)−1)y,(cosh(θ)+1)z+ senh(θ)w,x2 + y2,

w2− z2,(cos(φ)+ cosh(θ))xz+ sen(φ)yz+ senh(θ)wx}

é uma base de Hilbert para o anel P(Z2(C1)).

Demonstração. Calculamos a série de Molien para o grupo Z2(C1). Temos que

det(I4− t · I4) = (1− t)4

e quedet(I4− t ·C1) = (1+ t)2(1− t)2.

Portanto, a série de Molien é dada por

ΦZ2(C1)(t) =12

(1

(1− t)4 +1

(1− t2)2

)= 1+2t +6t2 +10t3 +19t4 +28t5 +44t6 + · · · .

Usando o MAPLE, encontramos os polinômios homogêneos invariantes de grau 1, pela ação deZ2(C1) em R3+1,

sen(φ)x− (cos(φ)−1)y e (cosh(θ)+1)z+ senh(θ)w.

Encontramos também os polinômios homogêneos invariantes de grau 2,

x2 + y2, (3.25)

sen(φ)xy− cos(φ)y2, (3.26)

(cos(φ)+ cosh(θ))xz+ sen(φ)yz+ senh(θ)xw, (3.27)

sen(φ)xz+(cosh(θ)− cos(φ))yz+ senh(θ)yw, (3.28)

senh(θ)zw+ cosh(θ)z2, (3.29)

w2− z2. (3.30)


Usando o pacote PolynomialIdeals do MAPLE mostramos que os polinômios (3.26), (3.28) e(3.29) pertencem ao anel gerado pelo conjunto M. Usando o Algoritmo 1.1.12, mostramos queos polinômios de M são algebricamente dependentes. Assim, a série de Hilbert é dada por

HZ2(C1)(t) =1+ t2

(1− t)2(1− t2)2 .

Note que

12

(1

(1− t)4 +1

(1− t2)2

)=

(t +1)2 +(1− t)2

2(t +1)2(1− t)4 =t2 +2t +1+1−2t + t2

2(1− t)2(−t2 +1)2 =1+ t2

(1− t)2(1− t2)2 .

Logo, pelo Algoritmo 1.1.13, o conjunto M é uma base de Hilbert para P(Z2(C1)).

No teorema a seguir, damos uma caracterização de uma involução em O(n,1). Tome P eQ as matrizes dadas em (3.2). Defina a matriz

P1 =

(Pt

n−1 v2

0 1

).

Observe que

P1 ·P =

(Pt

n−1 v2

0 1

)(Pn−1 v1

vt2 a

)

=

(Pt

n−1Pn−1 + v2vt2 Pt

n−1v1 +av2

vt2 a

)=

(In−1 0vt

2 a

),

por (3.13) e (3.15).

Assim, concluímos que det(Pn−1) =±a, pois det(P) =±1. Portanto, Pn−1 é invertívelse, e somente se, a é não nulo.

Analogamente, calculamos que det(Qn−1) = b, pois det(Q) = 1. Do mesmo modo, Qn−1

é invertível se, e somente se, b é não nulo.

Teorema 3.3.4. Sejam os vetores v1,v2,u1,u2 ∈ Rn−1 dados nas matrizes P e Q em (3.2), não

nulos. Então a matriz (3.1) é uma involução de Lorentz se, e somente se,

(i) b =−εa,

(ii) u2 =−εv1,

(iii) Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2) = Qt

n−1,

onde Qn−1Pn−1 +u1vt2 é uma involução ortogonal.


Demonstração. Suponha a matriz (3.1) uma involução de Lorentz. Usamos as expressões (3.3)a (3.23). Como ||v1||2 = 1−a2 então 1−a2 ≥ 0 o que implica que |a| ≤ 1. Se tomarmos |a|= 1então ||v1|| = 0, isto é, v1 é um vetor nulo. O mesmo aplica-se a b, isto é, se |b| = 1 então u1

é um vetor nulo. Neste caso, aplica-se a Proposição 3.3.1 e o Corolário 3.3.2. Por isso, nestademonstração, tomamos |a|, |b|< 1. Suponha a,b 6= 0. Tomando (3.20), e multiplicando pelamatriz Pn−1Qn−1Pn−1 à esquerda, temos:

Qn−1u2 +bu1 = 0 ⇒ Qn−1u2 =−bu1

⇒ Pn−1Qn−1Pn−1(Qn−1u2) =−bPn−1Qn−1Pn−1(u1).

Substituindo as expressões (3.10) e (3.11) na expressão acima, vemos que

Pn−1Qn−1Pn−1Qn−1u2 = −bPn−1Qn−1Pn−1u1⇒

(In−1 + εv1ut2−Pn−1u1vt

2Qn−1)u2 = −b(εbv1−Pn−1u1vt2u1)⇒

u2 + εv1ut2u2−Pn−1u1vt

2Qn−1u2 = −εb2v1 +bPn−1u1vt2u1⇒

u2 + εv1(1−b2)−Pn−1u1vt2(−bu1) = −εb2v1 +bPn−1u1vt

2u1⇒

u2 + εv1− εb2v1 +bPn−1u1vt2u1 = −εb2v1 +bPn−1u1vt

2u1⇒

u2 + εv1 = 0

u2 = −εv1.

Do terceiro para o quarto passo acima usamos as equações (3.20) e (3.23). Desse resultado e de(3.3), obtemos que

ut2v1 +ab =−ε ⇒ (−εvt

1)v1 +ab =−ε ⇒ ab =−ε + εvt1v1

⇒ ab =−ε + ε(1−a2)⇒ ab =−εa2⇒ b =−εa.

Agora tomando (3.11) e (3.12), e usando que u2 =−εv1, temos

Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2)Qn−1− εv1ut

2 = In−1⇒

Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2)Qn−1 = In−1− v1vt

1⇒

Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2)Qn−1 = Pn−1Pt

n−1⇒

(Qn−1Pn−1 +u1vt2)Qn−1 = Pt

n−1,

pois como estamos assumindo que a é não nulo então Pn−1 é invertível. De maneira análoga,usando (3.11) e (3.19), obtemos

Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2) = Qt

n−1,

o que implica que

Qn−1 = (Qn−1Pn−1 +u1vt2)

tPtn−1.


Resta mostrar que Qn−1Pn−1 +u1vt2 é uma involução ortogonal. De fato, substituindo Qn−1 =

(Qn−1Pn−1 +u1vt2)

tPtn−1 na expressão (Qn−1Pn−1 +u1vt

2)Qn−1 = Ptn−1, temos

(Qn−1Pn−1 +u1vt2)Qn−1 = Pt

n−1⇒

(Qn−1Pn−1 +u1vt2)(Qn−1Pn−1 +u1vt

2)tPt

n−1 = Ptn−1⇒


2)t = In−1,

o que mostra que a matriz Qn−1Pn−1 +u1vt2 é ortogonal. Note que

Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2)(Qn−1Pn−1 +u1vt

2) =

(Pn−1Qn−1Pn−1 +Pn−1u1vt2)(Qn−1Pn−1 +u1vt

2) =

(Pn−1Qn−1Pn−1Qn−1 +Pn−1u1vt2Qn−1)Pn−1 +(Pn−1Qn−1Pn−1u1 +Pn−1u1vt

2u1)vt2.

Aplicando as expressões (3.10) e (3.11) na última expressão acima, e usando que b = −εa,obtemos

(In−1 + εv1ut2)Pn−1 + εbv1vt

2 =

Pn−1 + εv1(−ε)vt1Pn−1−av1vt

2 =

Pn−1− v1vt1Pn−1−av1vt

2 =

Pn−1− v1(vt1Pn−1 +avt

2) = Pn−1.

Sendo a última igualdade obtida a partir de (3.15). Portanto,

Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2)(Qn−1Pn−1 +u1vt

2) = Pn−1.

Como Pn−1 é invertível, isso mostra que Qn−1Pn−1 +u1vt2 é uma involução ortogonal e, portanto,

simétrica. Suponha agora a = 0. Isso implica que ||v1||= ||v2||= 1 e de (3.15), temos

vt1Pn−1 = 0 ⇒ vt

1Pn−1Qn−1Pn−1Qn−1 = 0

⇒ vt1(In−1 + εv1ut

2−Pn−1u1vt2Qn−1) = 0

⇒ vt1 + εvt

1v1ut2− vt

1Pn−1u1vt2Qn−1 = 0

⇒ vt1 + εut

2 = 0⇒ vt1 =−εut

2⇒ v1 =−εu2,

pois vt1v1 = 1, por (3.16). Comparando a norma,

1 = ||v2||= ||v1||= ||− εu2||= ||u2||= 1−b2⇒ b = 0.

Como a = 0, ainda vale a igualdade b =−εa. A matriz Qn−1Pn−1 +u1vt2 é ortogonal:


2)t =

Qn−1Pn−1Ptn−1Qt

n−1 +u1vt2Pt

n−1Qtn−1 +Qn−1Pn−1v2ut

1 +u1vt2v2ut

1 =

Qn−1Pn−1Ptn−1Qt

n−1 +u1ut1,


pois Pn−1v2 = 0 por (3.14) e vt2v2 = 1. Substituindo na última expressão acima as expressões

(3.12) e (3.18), obtemos


2)t =

Qn−1(In−1− v1vt1)Q

tn−1 +u1ut

1 =

Qn−1Qtn−1−Qn−1v1vt

1Qtn−1 +u1ut

1 =

In−1−u1ut1−Qn−1(−εu2)(−εut

2)Qtn−1 +u1ut

1 =

In−1−Qn−1u2ut2Qt

n−1 = In−1,

pois Qn−1u2 = 0 por (3.20). Isso mostra que Qn−1Pn−1 + u1vt2 é ortogonal também quando

a = 0. Mostramos que Qn−1Pn−1+u1vt2 é uma involução. Observe que desenvolvendo a potência


3, temos


3 =


2)(Qn−1Pn−1 +u1vt2) =

(Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1 +Qn−1Pn−1u1vt2 +u1vt

2Qn−1Pn−1 +

+u1vt2u1vt

2)(Qn−1Pn−1 +u1vt2) =

Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1 +Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1u1vt2 +Qn−1Pn−1u1vt

2u1vt2 +

+u1vt2Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1 +u1vt

2u1vt2Qn−1Pn−1 +u1vt

2Qn−1Pn−1u1vt2 +

+u1vt2u1vt

2u1vt2 +Qn−1Pn−1u1vt

2Qn−1Pn−1.

Agrupando alguns termos,

Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1 +Qn−1{Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2)u1}vt

2 +

+u1{vt2(Qn−1Pn−1 +u1vt

2)Qn−1}Pn−1 +u1{vt2(Qn−1Pn−1 +u1vt

2)u1}vt2

+Qn−1Pn−1u1vt2Qn−1Pn−1 =

Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1 +Qn−1Pn−1u1vt2Qn−1Pn−1 +u1vt

2,

pois vt2(Qn−1Pn−1+u1vt

2)u1 = 1, vt2(Qn−1Pn−1+u1vt

2)Qn−1 = 0 e Pn−1(Qn−1Pn−1+u1vt2)u1 = 0,

pela expressões (3.8) a (3.10). Agora, por (3.11), temos

Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1Qn−1Pn−1 +Qn−1Pn−1u1vt2Qn−1Pn−1 +u1vt

2 =

Qn−1(In−1− v1vt1−Pn−1u1vt

2Qn−1)Pn−1 +Qn−1Pn−1u1vt2Qn−1Pn−1 +u1vt

2 =

Qn−1Pn−1−Qn−1v1vt1Pn−1 +u1vt

2 = Qn−1Pn−1 +u1vt2,

pois, por (3.15), vt1Pn−1 = 0. Como a matriz Qn−1Pn−1+u1vt

2 é ortogonal e, portanto, invertível, e,como acabamos de provar, (Qn−1Pn−1+u1vt

2)3 = Qn−1Pn−1+u1vt

2, segue que Qn−1Pn−1+u1vt2


é uma involução. Por fim, temos da ortogonalidade de Qn−1Pn−1 +u1vt2 que

Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2) = Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt

2)t

= Pn−1(Ptn−1Qt

n−1 + v2ut1)

= Pn−1Ptn−1Qt

n−1 +Pn−1v2ut1

= (In−1− v1vt1)Q

tn−1 +Pn−1v2ut

1

= Qtn−1− v1vt

1Qtn−1 +Pn−1v2ut

1

= Qtn−1,

pois vt1Qt

n−1 = 0, por (3.20), e Pn−1v2 = 0, por (3.14).

Reciprocamente, um cálculo direto nos mostra que nestas condições uma matriz deLorentz é uma involução.

O resultado a seguir estabelece uma forma simples de se detectar uma classe de involuçõesde Lorentz.

Corolário 3.3.5. Se todos os vetores v1,v2,u1,u2 ∈ Rn−1, dados nas matrizes P e Q em (3.2),

são não nulos, então podemos encontrar uma involução de Lorentz tal que se Pn−1 =−εQtn−1

então u1 =−εv2.

Demonstração. Comparando as expressões (3.15) e (3.20), e usando as relações do Teorema3.3.4, b =−εa e u2 =−εv1, temos

Ptn−1v1 +av2 = Qn−1u2 +bu1 ⇒ Pt

n−1v1 +av2 =−εQn−1v1− εau1

⇒ Ptn−1v1 + εQn−1v1 =−εau1−av2

⇒ (Ptn−1 + εQn−1)v1 =−a(εu1 + v2)

Assim, se Pn−1 =−εQtn−1 então temos que u1 =−εv2. Note que Pn−1(Qn−1Pn−1+u1vt

2)=Qtn−1,

pois

Pn−1(Qn−1Pn−1 +u1vt2) = Pn−1(Qn−1(−εQn−1)+u1(−εut

1))

= −εPn−1(Qn−1Qtn−1 +u1ut

1)

= −εPn−1 = Qtn−1.

Finalizamos esta seção apresentando duas classes de involuções em O(3,1) calculadas apartir do Teorema 3.3.4 e do Corolário 3.3.5 e a respectiva base de Hilbert do anel dos polinômiosinvariantes, pela ação dos grupos gerados por essas involuções.


Considere a matriz, com φ e θ fixados, dada por

C3 =

cos(φ) 0 sen(φ) 0

0 1 0 0sen(φ) 0 −cos(φ) 0

0 0 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 cosh(θ) senh(θ)0 0 senh(θ) cosh(θ)

cos(φ) 0 sen(φ) 00 1 0 0

− sen(φ) 0 cos(φ) 00 0 0 1

.

Temos ε = 1, u2 = (− sen(φ),0) = −( sen(φ),0) = −v1 e a = −cos(φ) = −b. Pelo Teorema3.3.4, C3 é uma involução.

Considere também a matriz C4, construída agora a partir do Corolário 3.3.5, com φ e θ

fixados. Mantemos a matriz

Q =

cos(φ) 0 sen(φ)0 1 0

− sen(φ) 0 cos(φ)

de C3 e construímos a matriz P, usando as hipóteses do corolário para ε = −1. Temos u1 =

( sen(φ),0), u2 = (− sen(φ),0), b = cos(φ) e

Q2 =

(cos(φ) 0

0 1

).

Assim, do Corolário 3.3.5, segue que

C4 =

cos(φ) 0 − sen(φ) 0

0 1 0 0sen(φ) 0 cos(φ) 0

0 0 0 −1

1 0 0 00 1 0 00 0 cosh(θ) senh(θ)0 0 senh(θ) cosh(θ)

cos(φ) 0 sen(φ) 00 1 0 0

− sen(φ) 0 cos(φ) 00 0 0 1

,

é uma involução de Lorentz. Estas duas classe de matrizes são conjugadas por1 0 0 −2 sen(φ)cosh(θ)

senh(θ)

0 1 0 0

0 0 1 2cos(φ)cosh(θ)senh(θ)

0 0 0 −1

.

Portanto, precisamos apenas da base de Hilbert para o anel de polinômios invariantes de umadelas, pela Proposição 3.0.2. Calculamos a base de Hilbert de para o anel P(Z2(C3)).

Proposição 3.3.6. O conjunto

R = {(cosh(θ)−1)x− senh(θ) sen(φ)w,y,(cosh(θ)−1)z+ senh(θ)cos(φ)w,x2 + y2 + z2−w2}

é uma base de Hilbert para o anel P(Z2(C3)).

Demonstração. Calculamos a série de Molien para o grupo Z2(C3). Temos que

det(I4− t · I4) = (1− t)4


e quedet(I4− t ·C3) = (1+ t)(1− t)3.


ΦZ2(C3)(t) =12

(1

(1− t)4 +1

(1+ t)(1− t)3

)= 1+3t +7t2 +13t3 +22t4 +34t5 +50t6 + · · · .

Usamos o MAPLE para encontrar os três polinômios homogêneos invariantes de grau 1, pelaação de Z2(C3) em R3+1,

cosh(θ)−1)x− senh(θ) sen(φ)w,y e (cosh(θ)−1)z+ senh(θ)cos(φ)w.

Como estes três invariantes de grau 1 geram 6 invariantes de grau 2, e dado que a forma quadráticax2 + y2 + z2−w2 é um polinômio invariante, então temos o conjunto

R = {(cosh(θ)−1)x− senh(θ) sen(φ)w,y,(cosh(θ)−1)z+ senh(θ)cos(φ)w,x2 + y2 + z2−w2}

como um candidato a base de Hilbert. Usando o Algoritmo 1.1.12, mostramos que os polinômiosde P são algebricamente independentes. Assim, aplicamos a Proposição 1.2.3 para calcular asérie de Hilbert, dada por

HZ2(C3)(t) =1

(1− t)3(1− t2).

Temos que ΦZ2(C3)(t) = HZ2(C3)(t). Logo, pelo Algoritmo 1.1.13, o conjunto R é uma base deHilbert para P(Z2(C3)).

3.4 O subespaço de pontos fixos de uma involução de Lorentz

Seja γ ∈ O(n,1) uma involução, com Z2(γ) agindo em Rn+1. Definimos

A(Z2(γ)) = {x ∈ Rn+1 : γx =−x}

como o conjunto antipodal de γ . Nesta seção, mostramos que se γ for uma involução então oFix(Z2(γ)) é não degenerado.

É imediato que Rn+1 = Fix(Z2(γ))⊕A(Z2(γ)).

Proposição 3.4.1. Se Fix(Z2(γ)) é não degenerado então A(Z2(γ)) = Fix(Z2(γ))⊥.

Demonstração. Suponha w ∈ A(Z2(γ)). Temos, para todo v ∈ Fix(Z2(γ)) que

〈v,w〉= 〈γv,−γw〉= 〈v,−w〉=−〈v,w〉

o que implica que 〈v,w〉= 0 para todo v ∈ Fix(Z2(γ)). Portanto, w ∈ Fix(Z2(γ))⊥. Reciproca-

mente, suponha w ∈ Fix(Z2(γ))⊥ então 〈v,w〉= 0 para todo v ∈ Fix(Z2(γ)). Temos também que

〈γv,γw〉 = 〈v,γw〉 = 0 para todo v ∈ Fix(Z2(γ)). Portanto, 〈v,w〉+ 〈v,γw〉 = 〈v,w+ γw〉 = 0,para todo v ∈ Fix(Z2(γ)) e como w+ γw ∈ Fix(Z2(γ)) segue que w+ γw = 0, pois Fix(Z2(γ))

é não degenerado, e daí temos γw =−w. Logo w ∈ A(Z2(γ)).

3.4. O subespaço de pontos fixos de uma involução de Lorentz 85

Observe, da demonstração da Proposição 3.4.1, que se Fix(Z2(γ)) é um subespaçodegenerado, então em geral A(Z2(γ))⊂ Fix(Z2(γ))

⊥.

Corolário 3.4.2. Fix(Z2(γ)) é não degenerado se, e somente se, A(Z2(γ)) também é não dege-

nerado.

Demonstração. Se Fix(Z2(γ)) é não degenerado então, pela Proposição 3.4.1, temos queA(Z2(γ)) = Fix(Z2(γ))

⊥. Portanto, A(Z2(γ)) é não degenerado pela Proposição 1.2.33. Observeque Fix(Z2(γ)) = A(Z2(−γ)) e que A(Z2(γ)) = Fix(Z2(−γ)). Então, supondo que A(Z2(γ))

seja não degenerado, e como A(Z2(γ)) = Fix(Z2(−γ)), segue que Fix(Z2(−γ)) é não degene-rado e, pelo mesmo argumento acima, temos que Fix(Z2(−γ))⊥ = A(Z2(−γ)) = Fix(Z2(γ))

também é não degenerado.

Finalizamos esta seção com o teorema a seguir, mostrando que o subespaço de pontosfixos de qualquer involução é não degenerado.

Teorema 3.4.3. Seja γ ∈ O(n,1) uma involução agindo em Rn+1. Então o subespaço de pontos

fixos, Fix(Z2(γ)), é não degenerado.

Demonstração. Suponha que Fix(Z2(γ)) seja degenerado. Então A(Z2(γ)) também é dege-nerado, pelo Corolário 3.4.2. Seja x ∈ V um ponto do tipo-tempo, isto é, 〈x,x〉 < 0. ComoRn+1 = Fix(Z2(γ))⊕A(Z2(γ)) então x = u+ v, com u ∈ Fix(Z2(γ)) e v ∈ A(Z2(γ)). Como,pela Proposição 3.4.1, temos A(Z2(γ))⊂ Fix(Z2(γ))

⊥ então 〈u,v〉= 0. Sendo assim, temos

〈x,x〉= 〈u+ v,u+ v〉= 〈u,u〉+2〈u,v〉+ 〈v,v〉= 〈u,u〉+ 〈v,v〉 ≥ 0,

pois 〈u,u〉 ≥ 0 e 〈v,v〉 ≥ 0 uma vez que u e v são elementos de subespaços degenerados. Contra-dição.

Corolário 3.4.4. O significado geométrico do Teorema 3.4.3 é que o subespaço de pontos fixos

de um subgrupo gerado por uma involução, em qualquer dimensão, não é do tipo luz. Ou melhor,

em qualquer dimensão o subespaço de pontos fixos não tangencia o cone-luz.

87

CAPÍTULO

4SOBRE OS INVARIANTES PARA

ROTAÇÕES DE LORENTZ

Neste capítulo, estudamos sobre o grupo cíclico Γθ = 〈Rh(θ)〉, onde Rh(θ) é uma rotaçãohiperbólica pura em O(1,1) dada por

Rh(θ) =


), (4.1)

com θ fixado. O grupo Γθ é não compacto, infinito, cujos elementos são Rh(nθ), n∈Z. Tambémestudamos sobre os possíveis polinômios invariantes R1+1→ R pela ação padrão deste grupo nodomínio da função, concluindo com algumas conjecturas que sugerem uma base de Hilbert parao anel P(Γθ ). Em todo o capítulo assumimos que θ 6= 0.

Vamos usar a notação α = cosh(θ) e β = senh(θ) em Rh(θ). Temos, portanto, que aação de Γθ em R1+1 transforma pontos (x,y) em pontos (αx+βy,βx+αy).

Estamos interessados nos polinômios invariantes pela ação de Γθ em R1+1. Como o aneldos polinômios Γθ -invariantes P(Γθ ) é uma álgebra graduada sobre R, podemos encontrar ospolinômios Γθ -invariantes grau a grau.

Consideramos um polinômio homogêneo geral de grau 1, f1(x,y) = a1x+a2y. Para quef1 seja Γθ -invariante, temos

f1(αx+βy,βx+αy)− f1(x,y) = 0,∀x,y ∈ R1+1.

De onde obtemos a expressão a1(αx+ βy)+ a2(βx+αy)− a1x− a2y = 0. Temos assim, osistema homogêneo nas variáveis a1 e a2:{

(α−1)a1 +βa2 = 0βa1 +(α−1)a2 = 0

,

88 Capítulo 4. Sobre os invariantes para rotações de Lorentz

cuja matriz dos coeficientes é (α−1 β

β α−1

).

O sistema acima admite apenas a solução trivial. Portanto, concluímos que não existem polinô-mios não nulos Γθ -invariantes de grau 1.

Procedemos do mesmo modo para os polinômios homogêneos de grau 2 e 3,

f2(x,y) = a1x2 +a2xy+a3y2, f3(x,y) = a1x3 +a2x2y+a3xy2 +a4y3,

obtemos as matrizes dos coeficientes do sistema associado:

α2−1 αβ β 2

2αβ α2 +β 2−1 2αβ

β 2 αβ α2−1

,

α3−1 α2β αβ 2 β 3

3α2β α3 +2αβ 2−1 2α2β +β 3 3αβ 2

3αβ 2 2α2β +β 3 α3 +2αβ 2−1 3α2β

β 3 αβ 2 α2β α3−1

,

respectivamente. Sendo relativamente fácil resolvê-las. Para f2 encontramos como soluçãoa1 = −a3 e a2 = 0, o que mostra que qualquer polinômio Γθ -invariante de grau 2 é da formaa1(x2− y2), com a1 ∈ R. No caso de f3 a solução é trivial. Assim, não existem polinômiosΓθ -invariantes não nulos de grau 3.

Para os polinômios homogêneos de grau 4, 5 e 6,

f4(x,y) = a1x4 +a2x3y+a3x2y2 +a4xy3 +a5y4,

f5(x,y) = a1x5 +a2x4y+a3x3y2 +a4x2y3 +a5xy4 +a6y5,

f6(x,y) = a1x6 +a2x5y+a3x4y2 +a4x3y3 +a5x2y4 +a6xy5 +a7y6,

temos as matrizes dos coeficientes do sistema associado

α4−1 α3β α2β 2 αβ 3 β 4

4α3β α4 +3α2β 2−1 2α3β +2αβ 3 3α2β 2 +β 4 4αβ 3

6α2β 2 3α3β +3αβ 3 α4 +4α2β 2 +β 4−1 3α3β +3αβ 3 6α2β 2

4αβ 3 3α2β 2 +β 4 2α3β +2αβ 3 α4 +3α2β 2−1 4α3β

β 4 αβ 3 α2β 2 α3β α4−1

,

α5−1 α4β α3β 2 α2β 3 αβ 4 β 5

5α4β α5 +4α3β 2−1 2α4β +3α2β 3 3α3β 2 +2αβ 4 4α2β 3 +β 5 5αβ 4

10α3β 2 4α4β +6α2β 3 α5 +6α3β 2 +3αβ 4−1 3α4β +6α2β 3 +β 5 6α3β 2 +4αβ 4 10α2β 3

10α2β 3 6α3β 2 +4αβ 4 3α4β +6α2β 3 +β 5 α5 +6α3β 2 +3αβ 4−1 4α4β +6α2β 3 10α3β 2

5αβ 4 4α2β 3 +β 5 3α3β 2 +2αβ 4 2α4β +3α2β 3 α5 +4α3β 2−1 5α4β

β 5 αβ 4 α2β 3 α3β 2 α4β α5−1

,

4.1. Matriz centrossimétrica polinomial em duas variáveis 89

α6−1 α5β α4β 2 α3β 3 α2β 4 αβ 5 β 6

6α5β α6 +5α4β 2−1 2α5β +4α3β 3 3α4β 2 +3α2β 4 4α3β 3 +2αβ 5 5α2β 4 +β 6 6αβ 5

15α4β 2 5α5β +10α3β 3 α6 +8α4β 2 +6α2β 4−1 3α5β +9α3β 3 +3αβ 5 6α4β 2 +8α2β 4 +β 6 10α3β 3 +5αβ 5 15α2β 4

20α3β 3 10α4β 2 +10α2β 4 4α5β +12α3β 3 +4αβ 5 α6 +9α4β 2 +9α2β 4 +β 6−1 4α5β +12α3β 3 +4αβ 5 10α4β 2 +10α2β 4 20α3β 3

15α2β 4 10α3β 3 +5αβ 5 6α4β 2 +8α2β 4 +β 6 3α5β +9α3β 3 +3αβ 5 α6 +8α4β 2 +6α2β 4−1 5α5β +10α3β 3 15α4β 2

6αβ 5 5α2β 4 +β 6 4α3β 3 +2αβ 5 3α4β 2 +3α2β 4 2α5β +4α3β 3 α6 +5α4β 2−1 6α5β

β 6 αβ 5 α2β 4 α3β 3 α4β 2 α5β α6−1

,

respectivamente.

Seja fn(x,y) =n∑

i=0aixn−iyi uma função polinomial homogênea de grau n. Suponha fn

Γθ -invariante, isto é,

n

∑i=0

ai((αx+βy)n−i(βx+αy)i− xn−iyi)= 0.

Com base nesta equação achamos um sistema homogêneo nas variáveis ai, i = 0, · · · ,n, cujamatriz dos coeficientes A = [ai, j], de ordem n+1, é dada por

ai, j =j−1

∑s=0

(j−1

s

)(n− j+1i− j+ s

)α

n−(i− j+2s)β

i− j+2s +j−1

∑r=0

(−1)r+1(

j− ri

)(jr

). (4.2)

Na expressão 4.2 acima, q pode ser qualquer número inteiro desde que fixemos a notação(p

q

)= 0,

se p < q ou se q < 0.

Para que possamos caracterizar essas matrizes precisamos da seguinte definição.

Definição 4.0.1. ([6]) Seja A = [ai, j] uma matriz de ordem n. Dizemos que A é uma matrizcentrossimétrica se

ai, j = an+1−i,n+1− j, para todo i, j = 1, · · · ,n.

Outra forma de definir uma matriz centrossimétrica é usando a matriz contra-diagonalL = [li, j], definida como li, j = δi,n+1− j, para todo i, j = 1, · · · ,n, onde δi, j é o delta de Kronecker.Assim, uma matriz A é centrossimétrica se, e somente se, AL = LA ([6]).

4.1 Matriz centrossimétrica polinomial em duas variáveis

Nesta seção, mostramos que uma matriz que satisfaz (4.2) é centrossimétrica. Fazemostambém uma investigação sobre estas matrizes.

Começamos com algumas propriedades de números binomiais. Uma das propriedadesmais conhecidas é a relação de Stiffel: Para n≥ k e n,k inteiros positivos, temos(

n−1k−1

)+

(n−1

k

)=

(nk

).


Enunciamos a seguir um resultado mais geral, ao qual chamamos de relação de Stiffel

p-geral, que nos auxilia na prova de algumas propriedades da matriz (4.2).

Proposição 4.1.1 (Relação de Stiffel p-Geral). Seja p um inteiro não negativo, então(nk

)=

p

∑i=0

(pi

)(n− p

k− (p− i)

). (4.3)

Demonstração. Para p = 0 temos

0

∑i=0

(pi

)(n−0

k− (0− i)

)=

(nk

).

Para p = 1, (nk

)=

1

∑i=0

(1i

)(n−1

k− (1− i)

)=

(n−1k−1

)+

(n−1

k

),

que é a relação de Stiffel. Suponha, por hipótese de indução, que a relação (4.3) é válida para p,isto é, (

nk

)=

p

∑i=0

(pi

)(n− p

k− (p− i)

).

Mostremos a validade para p+1. Tomamos

p+1

∑i=0

(p+1

i

)(n− (p+1)

k− (p+1− i)

)e usemos a relação de Stiffel para

(p+1i

):

p+1

∑i=0

(p+1

i

)(n− (p+1)

k− (p+1− i)

)=

p+1

∑i=0

((p

i−1

)+

(pi

))(n− (p+1)

k− (p+1− i)

)=

p+1

∑i=0

(p

i−1

)(n− (p+1)

k− (p+1− i)

)+

p+1

∑i=0

(pi

)(n− (p+1)

k− (p+1− i)

)=

p+1

∑i=1

(p

i−1

)(n− (p+1)

k− (p− (i−1))

)+

p

∑i=0

(pi

)(n− (p+1)

k− (p+1− i)

)=

p

∑i=0

(pi

)(n− (p+1)k− (p− i)

)+

p

∑i=0

(pi

)(n− (p+1)

k− (p+1− i)

)=

p

∑i=0

(pi

)((n− (p+1)k− (p− i)

)+

(n− (p+1)

k− (p+1− i)

)).

Da segunda para a terceira linha, usamos o fato de que( p

i−1

)= 0 para i = 0 e que

(pi

)= 0 para

i = p+1. Usamos novamente a relação de Stiffel(n− (p+1)k− (p− i)

)+

(n− (p+1)

k− (p+1− i)

)=

(n− p

k− (p− i)

).


Logo,

p+1

∑i=0

(p+1

i

)(n− (p+1)

k− (p+1− i)

)=

p

∑i=0

(pi

)(n− p

k− (p− i)

)=

(nk

).

O próximo resultado nos ajuda a caracterizar os elementos da matriz (4.2).

Proposição 4.1.2. Mostremos quej−1∑

r=0(−1)r+1( j−r

i

)( jr

)= 0, para j 6= i

j−1∑

r=0(−1)r+1( j−r

i

)( jr

)=−1, para j = i

.

Demonstração. Note que para j = i, temos que(i−r

i

)= 0, para todo r > 0, pois i− r < i para

r > 0. Portanto,

i−1

∑r=0

(−1)r+1(

i− ri

)(ir

)= (−1)0+1

(i−0

i

)(i0

)+

i−1

∑r=1

(−1)r+1(

i− ri

)(ir

)=−1.

Suponha agora j 6= i. Tratamos de dois casos:

Caso 1. Seja j < i.

Temos que j− r < i para r ≥ 0. Portanto,( j−r

i

)= 0 para todo r ≥ 0, o que implica que

j−1

∑r=0

(−1)r+1(

j− ri

)(jr

)= 0.

Caso 2. Seja j > i.

Temos que

j−1

∑r=0

(−1)r+1(

j− ri

)(jr

)=

j−i

∑r=0

(−1)r+1(

j− ri

)(jr

),

pois( j−r

i

)= 0 para r > j− i. Daí, segue que

j−i

∑r=0

(−1)r+1(

j− ri

)(jr

)=

j−i

∑r=0

(−1)r+1 j!i!r!( j− r− i)!

.

Agora, note que se ar = (−1)r+1 1r!(2t+1−r)! então a2t+1−r =−ar. Se j− i = 2t+1 é ímpar, então

j−i

∑r=0

(−1)r+1 j!i!r!( j− r− i)!

=j!i!

2t+1

∑r=0

ar =j!i!

(t

∑r=0

ar +2t+1

∑r=t+1

ar

)=

j!i!

(t

∑r=0

ar +t

∑r=0

a2t+1−r

)= 0.

Logoj−i

∑r=0

(−1)r+1 j!i!r!( j− r− i)!

= 0,


para j− i ímpar.

Seja br = (−1)r+1 1r!(2t−r)! . Então, b2t−r = br. Se j− i = 2t é par, então

j−i

∑r=0

(−1)r+1 j!i!r!( j− r− i)!

=j!i!

2t

∑r=0

br =j!i!

(t−1

∑r=0

br +(−1)t+1 1t!t!

+2t

∑r=t+1

br

)

=j!i!

(t−1

∑r=0

br +(−1)t+1 1t!t!

+t−1

∑r=0

b2t−r

)

=j!i!

(2

t−1

∑r=0

br +(−1)t+1 1t!t!

).

Assim, basta mostrar que

2t−1

∑r=0

br =−(−1)t+1 1t!t!

.

De fato, mostremos que

Sn = 2(b0 +b1 + · · ·+bn) = (−1)n+1 1n!t(2t− (n+1))!

.

Note que

S0 = (−1)1

0!t(2t−1)!=− 2

2t(2t−1)!=− 2

(2t)!= 2b0.

Temos ainda que S1 =1

t(2t−2)! . Por outro lado,

S0 +2b1 =−2

(2t)!+

2(2t−1)!

=− 2(2t)!

+2(2t)

(2t)(2t−1)!=

2(2t−1)2t(2t−1)!

=1

t(2t−2)!= S1.

Suponha a afirmação verdadeira para n = k, isto é

Sk = (−1)k+1 1k!t(2t− (k+1))!

.

Então temos

Sk +2bk+1 = (−1)k+1 1k!t(2t− (k+1))!

+(−1)k+2 2(k+1)!(2t− (k+1))!

= (−1)k+2(

2(k+1)!(2t− (k+1))!

− 1k!t(2t− (k+1))!

)= (−1)k+2 2t− (k+1)

(k+1)!t(2t− (k+1))!

= (−1)k+2 1(k+1)!t(2t− (k+2))!

= Sk+1.

Portanto,

2t−1

∑r=0

br = St−1 =−(−1)t+1 1t!t!

.


Outra propriedade peculiar da matriz (4.2) diz respeito à soma de qualquer uma de suascolunas.

Proposição 4.1.3. A soma de todos os elementos de qualquer coluna da matriz (4.2), de ordemn+1, é o polinômio (α +β )n−1.

Demonstração. Temos que a soma da l-ésima coluna da matriz (4.2) é dada por

n+1

∑i=1

(l−1

∑s=0

(l−1

s

)(n+1− li− l + s

)α

n−(i−l+2s)β

i−l+2s +l−1

∑r=0

(−1)r+1(

l− ri

)(lr

))=

n+1

∑i=1

l−1

∑s=0

(l−1

s

)(n+1− li− l + s

)α

n−(i−l+2s)β

i−l+2s−1,

dado que j−1∑

r=0(−1)r+1( j−r

i

)( jr

)= 0, para j 6= i

j−1∑

r=0(−1)r+1( j−r

i

)( jr

)=−1, para j = i

entãon+1∑

i=1

l−1∑

r=0(−1)r+1(l−r

i

)(lr

)=−1, pela Proposição 4.1.2. Desejamos saber qual é o coeficiente

de αn−vβ v, para cada v = 0, · · · ,n. Assim, temos que i− l +2s = v o que implica i = v+ l−2s.Se s = 0 então i = v+ l e, daí,

0

∑0

(l−1

s

)(n− l +1

v+ l− (l− s)

)α

n−(v+l−l+2s)β

v+l−l+2s =

(l−1

0

)(n− l +1

v

)α

n−vβ

v.

Se s = 1 então i = v+ l−2 e, assim,

1

∑1

(l−1

s

)(n− l +1

v+ l−2− (l− s)

)α

n−(v+l−2−l+2s)β

v+l−2−l+2s =(l−1

1

)(n− l +1

v−1

)α

n−vβ

v.

Se s = 2 então i = v+ l−4 e, daí,

2

∑2

(l−1

s

)(n− l +1

v+ l−4− (l− s)

)α

n−(v+l−4−l+2s)β

v+l−4−l+2s =(l−1

2

)(n− l +1

v−1

)α

n−vβ

v.

...

Se s = l−2 então i = v− l +4 e, portanto,

l−2

∑l−2

(l−1

s

)(n− l +1

v− l +4− (l− s)

)α

n−(v−l+4−l+2s)β

v−l+4−l+2s =(l−1l−2

)(n− l +1v− l +2

)α

n−vβ

v.


Se s = l−1 então i = v− l +2 e, daí,

l−1

∑l−1

(l−1

s

)(n− l +1

v− l +2− (l− s)

)α

n−(v−l+2−l+2s)β

v−l+2−l+2s =(l−1l−1

)(n− l +1v− l +1

)α

n−vβ

v.

Portanto, o coeficiente de αn−vβ v e dado por((l−1

0

)(n− l +1

v

)+

(l−1

1

)(n− l +1

v−1

)+ · · ·+

(l−1l−1

)(n− l +1v− l +1

))α

n−vβ

v =

l−1

∑i=0

(l−1

i

)(n− l +1

v− i

)α

n−vβ

v =l−1

∑i=0

(l−1

l−1− i

)(n− l +1

v− (l−1− i)

)α

n−vβ

v =

l−1

∑i=0

(l−1

i

)(n− l +1

v− (l−1− i)

)α

n−vβ

v =

(nv

)α

n−vβ

v,

sendo a última igualdade obtida pela relação de Stiffel p-Geral (4.3). Tomemos a expressãoabaixo e substituímos i = v+ l−2s. Note que 0≤ i− l +2s≤ n.

n+1

∑i=1

l−1

∑s=0

(l−1

s

)(n+1− li− l + s

)α

n−(i−l+2s)β

i−l+2s−1 =

n

∑v=0

l−1

∑s=0

(l−1

s

)(n+1− l

v+ l−2s− l + s

)α

n−(v+l−2s−l+2s)β

v+l−2s−l+2s−1 =

n

∑v=0

l−1

∑s=0

(l−1

s

)(n+1− l

v− s

)α

n−vβ

v−1 =n

∑v=0

(nv

)α

n−vβ

v−1 = (α +β )n−1.

Na igualdade acima fazemos apenas um rearranjo agrupando os termos que têm o mesmomonômio αn−vβ v.

A seguir apresentamos um dos principais resultados para a classe de matrizes (4.2).

Proposição 4.1.4. A matriz definida em (4.2), de ordem n+1, é centrossimétrica. Isto é,

ai, j = an+2−i,n+2− j.

Demonstração. É suficiente mostrar a validade da igualdade ai, j = an+2−i,n+2− j para j ≤ i.Usando a fórmula em (4.2), temos que

an+2−i,n+2− j =n+1− j

∑s=0

(n+1− j

s

)(j−1

j− i+ s

)α

n−( j−i+2s)β

j−i+2s

+n+1− j

∑r=0

(−1)r+1(

n+2− j− rn+2− i

)(n+2− j

r

).

Para que (n+1− j

s

)(j−1

j− i+ s

)6= 0,


devemos ter que j− i+ s≤ j−1⇒ s≤ i−1. Portanto, s = min{i−1,n+1− j}. Temos aindaque j− i+ s≥ 0⇒ s≥ i− j. Assim, s = max{0, i− j}. Se tomarmos j < i temos que s≥ i− j.Portanto,

an+2−i,n+2− j =min{i−1,n+1− j}

∑s=0

(n+1− ji− j+ s

)(j−1

s

)α

n−( j−i+2s)β

j−i+2s

+n+1− j

∑r=0

(−1)r+1(

n+2− j− rn+2− i

)(n+2− j

r

)

=min{i−1,n+1− j}

∑s=0

(n+1− ji− j+ s

)(j−1

s

)α

n−( j−i+2s)β

j−i+2s,

poisj−1∑

r=0(−1)r+1( j−r

i

)( jr

)= 0 para j < i. Além disso, para que

(n+1− ji− j+ s

)(j−1

s

)6= 0,

devemos ter que n+1− j ≤ i− j+ s⇒ s≤ n+1− i e ainda que s≤ j−1 o que implica ques≤min{ j−1,n+1− i}. Comparando com ai, j vemos que

ai, j =j−1

∑s=0

(j−1

s

)(n− j+1i− j+ s

)α

n−(i− j+2s)β

i− j+2s +j−1

∑r=0

(−1)r+1(

j− ri

)(jr

)

=min{ j−1,n+1−i}

∑s=0

(j−1

s

)(n− j+1i− j+ s

)α

n−(i− j+2s)β

i− j+2s,

pois, como j < i, então j− r < i, para r = 1, · · · , j−1. Portanto, ai, j = an+2−i,n+2− j para j < i.Se i = j, então

an+2−i,n+2−i =n+1−i

∑s=0

(n+1− i

s

)(i−1

s

)α

n−2sβ

2s

+n+1−i

∑r=0

(−1)r+1(

n+2− i− rn+2− i

)(n+2− i

r

).

Para que (n+1− i

s

)(i−1

s

)6= 0,

devemos ter que s≤ n+1− i e s≤ i−1 o que implica que s≤min{i−1,n+1− i}. Também,para que (

n+2− i− rn+2− i

)6= 0

basta que n+2− i≤ n+2− i− r o que implica que r = 0. Assim,

an+2−i,n+2−i =n+1−i

∑s=0

(n+1− i

s

)(i−1

s

)α

n−2sβ

2s−1.


Por outro lado,

ai,i =n+1−i

∑s=0

(i−1

s

)(n+1− i

s

)α

n−2sβ

2s +0

∑r=0

(−1)r+1(

i− ri

)(ir

)=

n+1−i

∑s=0

(n+1− i

s

)(i−1

s

)α

n−2sβ

2s−1.

Logo, ai,i = an+2−i,n+2−i.

Encontramos uma vasta biblioteca de artigos sobre matrizes centrossimétricas, ondedestacamos [6], [12], [18], [28], [36], [40] e [43] que abordam algumas propriedades dasmatrizes centrossimétricas. Em particular, [6], [28] e [43] estuda os autovalores e autovetoresdas matrizes centrossimétricas, [12] e [40] estabelecem algoritmos para a solução de sistemaslineares centrossimétricos, [18] disserta sobre a inversa de matrizes centrossimétricas, [36]apresenta as chamadas matrizes centrossimétricas generalizadas. No entanto, em nossa pesquisa,nada encontramos sobre matrizes centrossimétricas com entradas polinomiais.

4.2 A base de Hilbert de P(Γθ)

Para a matriz Rh(θ) em (4.1), consideramos o problema de encontrar uma base para oanel dos polinômios invariantes sob a ação em R1+1 do grupo Γθ = 〈Rh(θ)〉. O que apresentamosna seção anterior fez parte de um esforço para atingir este objetivo.

A matriz [ai, j], de ordem n+ 1, com ai, j como em (4.2) tem um sistema linear asso-

ciado cuja solução (a0, · · · ,an) deixa a função polinomial homogênea fn(x,y) =n∑

i=0aixn−iyi

Γθ -invariante.

Considere, como exemplo, o grupo gerado por

Rh(ln(2)) =

(54

34

34

54

).

A Tabela 3 (feita com ajuda do MAPLE) mostra os polinômios homogêneos invariantes até ograu 10, pela ação de Rh(ln(2)) em R1+1 (as matrizes Ai, i = 1, · · · ,10, da Tabela 3, são descritasno Apêndice A).

Depois de alguns cálculos e de dezenas de exemplos usando o software MAPLE, ela-boramos as seguintes conjecturas a respeito da ação do grupo Γθ no espaço de MinkowskiR1+1.

Conjectura 4.2.1. O determinante de uma matriz [ai, j] de ordem par com ai, j como em (4.2) énão nulo.

Por outro lado, estudamos o determinante da matriz [ai, j] de ordem ímpar, com ai, j comoem (4.2):

4.2. A base de Hilbert de P(Γθ ) 97

Tabela 3 – Polinômios Γln(2)-invariantes

Graupolinômio Matriz Determinante ai

Polinômioinvariante

1 A1 − 12 a1 = a2 = 0 -

2 A2 0 a3 =−a1,a2 = 0 a1(x2− y2)

3 A34916 ai = 0, i = 1, · · · ,4 -

4 A4 0a3 =−2a1,a5 = a1,

ai = 0, i = 2,4 a1(x2− y2)2

5 A5 − 47089512 ai = 0, i = 1, · · · ,6 -

6 A6 0a3 =−3a1,a5 = 3a1,a7 =−a1,

ai = 0, i = 2,4,6 a1(x2− y2)3

7 A7759498481

65536 ai = 0, i = 1, · · · ,8 -

8 A8 0a3 =−4a1,a5 = 6a1,a7 =−4a1,a9 = a1,

ai = 0, i = 2,4,6,8 a1(x2− y2)4

9 A9198321002857201

33554432 ai = 0, i = 1, · · · ,10 -

10 A10 0a3 =−5a1,a5 = 10a1,a7 =−10a1,

a9 = 5a1,a11 =−a1,ai = 0, i = 2,4,6,8 a1(x2− y2)5

Conjectura 4.2.2 (Dusân Pagon). Seja v0,v1, · · · ,v2k as linhas da matriz [ai, j] de ordem ímpar,com ai, j como em (4.2). Denote cada i, 0≥ i≥ k por

ci = ci(k) = (−1)i (2i−1)!!(2k−2i−1)!!(2k−1)!!

,

onde (−1)!! = 1!! = 1 e (2i+ 1)!! = 1 · 3 · 5 · · · · (2i+ 1), para todos os inteiros positivos i(chamado de fatorial ímpar). Então a seguinte combinação linear de todas as linhas ímpares de[ai, j],

k

∑i=0

ci(k)v2i,

é igual ao vetor nulo (de comprimento 2k+1).

Como consequência da Conjectura 4.2.2, temos:

Conjectura 4.2.3. O determinante de uma matriz [ai, j] de ordem ímpar, com ai, j como em (4.2),é nulo.

Além disso, conjecturamos também as soluções do sistema linear associado à matriz[ai, j] de ordem ímpar:

Conjectura 4.2.4. Considere a matriz [ai, j] de ordem n+1 ímpar, com ai, j como em (4.2), comoa matriz dos coeficientes de um sistema linear. Então o vetor

x = b(x1, · · · ,xn+1), onde b ∈ R e

{x2k = 0, para k = 1, · · · , n

2

x2k−1 = (−1)k−1( n2

k−1

), para k = 1, · · · , n

2 +1,

é uma solução geral do sistema linear associado.


Caso a ordem da matriz [ai, j] seja par, com ai, j como em (4.2), temos como consequênciada Conjectura 4.2.1 que a solução do sistema de equações associado é trivial. Isto implica na nãoexistência de polinômios homogêneos invariantes de grau ímpar. Caso [ai, j] tenha ordem n+1ímpar temos, pela Conjectura 4.2.4, que o polinômio homogêneo de grau n dado por b(x2−y2)

n2 ,

com b ∈ R, é Γθ -invariante. Portanto, como consequência das Conjecturas 4.2.1 e 4.2.4, temos:

Conjectura 4.2.5. O conjunto {x2− y2} é uma base de Hilbert para o anel P(Γθ ).

Observação 4.2.6. Temos inúmeros exemplos que dão evidências da validade das conjecturasdesta seção, sem contra-exemplos até o momento. Vários caminhos e estratégias foram usadospara demonstrar a validade destes resultados. Compartilhamos estas conjecturas com o Prof.Dr. Dusân Pagon, da University of Maribor, Eslovênia. A Conjectura 4.2.2 é fruto desta parceria.Esperamos que, como trabalho futuro, possamos demonstrar estes resultados provendo assimuma importante propriedade sobre o anel dos polinômios invariantes sob a ação do subgrupoΓθ de Lorentz. Também, temos planos para continuar o estudo dessa classe de matrizes centros-simétricas polinomiais, uma vez que uma aplicação em teoria invariante pode ser estabelecida,como sugere este capítulo, e dada a importância das matrizes centrossimétricas em outras áreascomo estatística ([8]) e engenharia ([9], [10]).

99

CAPÍTULO

5APLICAÇÕES EQUIVARIANTES PELA

AÇÃO DE UM SUBGRUPO DELORENTZ

Neste capítulo, descrevemos a cadeia de isotropia de O(1,1) e de O(2,1). Além disso,supondo Γ um subgrupo de Lorentz agindo em subespaços Γ-invariantes V e W e conhecendoos polinômios homogêneos Γ-invariantes V ×W → R mostramos como calcular as aplicaçõesΓ-equivariantes V →W e uma base para o módulo das aplicações Γ-equivariantes, a partir dabase de Hilbert do anel P(Γ,V ×W ), para a ação do cartesiano definida como a ação diagonal.

Uma motivação para o que fazemos neste capítulo é sua aplicação nos sistemas dinâmicos.Mais especificamente, considere um sistema de equações diferenciais ordinárias

x = g(x), (5.1)

onde g : (V,0)→V é um germe de aplicação Γ-equivariante suave na origem, com o grupo Γ

agindo linearmente em um espaço vetorial V . Na Definição 1.1.14, vimos que uma aplicaçãog : V →V é Γ-equivariante se

g(γx) = γg(x),

para todo γ ∈ Γ, x ∈ V . Neste caso, uma condição suficiente para um campo equivariante éque para toda solução x(t), γx(t) é também uma solução, para todo γ ∈ Γ. Assim, o campoequivariante (5.1) é definido como uma EDO com simetrias. Sistemas dinâmicos equivariantessão sistemas dinâmicos que têm simetrias.

Uma propriedade importante de sistemas dinâmicos equivariantes é que os subespaçosde pontos fixos, definido no Capítulo 2, são invariantes pela dinâmica, isto é, se Σ é um subgrupode Γ então ([16])

g(Fix(Σ))⊂ Fix(Σ).

100 Capítulo 5. Aplicações equivariantes pela ação de um subgrupo de Lorentz

Um problema de bifurcação com grupo de simetria Γ de (5.1) é definido como um germeg : (V,0)×R→ V Γ-equivariante suave na origem, a um parâmetro no ponto de equilíbrio,satisfazendo g(0,0) = 0 e (dg)0,0 = 0. Em problemas de bifurcação, genericamente, existemramos de soluções em subespaços de pontos fixos unidimensionais. Este resultado é conhecidocomo o lema dos ramos equivariantes ([17]). Existem centenas de trabalhos que tratam de teoriade bifurcação para campos equivariantes, quando o grupo Γ é compacto e um subgrupo de O(n).Desta forma, estamos interessados na teoria de bifurcação para campos equivariantes, no casode subgrupos do grupo de Lorentz O(n,1). Motivados por estes estudos, apresentamos nestecapítulo alguns aspectos da teoria invariante e equivariante, com as isotropias e o subespaço depontos fixos sob a ação de subgrupos de Lorentz.

5.1 Cadeia de isotropia de O(1,1) e O(2,1)

Estudamos, nesta seção, os subgrupos de isotropia dos grupo de Lorentz O(1,1) e O(2,1)e a cadeia de isotropia.

Definição 5.1.1. Seja o grupo Γ agindo linearmente num espaço vetorial V . O subgrupo deisotropia de x em V é dado por

Σx = {γ ∈ Γ : γx = x} .

Definimos a órbita de x ∈V pela ação de Γ como

Γx = {γx : ∀γ ∈ Γ} .

Elementos numa mesma órbita pela ação de Γ têm subgrupos de isotropia conjugados

Σγx = γΣxγ−1.

Definição 5.1.2 (([16])). Seja H = {Hi} e K = {K j} duas classes conjugadas de subgrupos deisotropia de Γ. Defina uma ordem parcial � no conjunto de tais classes conjugadas por

H � K ⇐⇒ Hi ⊆ K j,

para algum par Hi e K j. A cadeia de isotropia de Γ, nesta ação em Rn, é o conjunto de todas asclasses conjugadas dos subgrupos de isotropia, parcialmente ordenados por �.

5.1.1 Cadeia de isotropia de O(1,1)

Começamos observando que as involuções em O(1,1) são conjugadas a

Λp2 =

(−1 00 1

)ou a Λ

t2 =

(1 00 −1

),

pela Proposição 3.1.3.

5.1. Cadeia de isotropia de O(1,1) e O(2,1) 101

Tabela 4 – Subgrupos de isotropia de O(1,1).

Subgrupo de Isotropia Subespaço de pontos fixos DimensãoO(1,1)) {(0,0)} 0Z2(Λ

t2) {(x,0) ∈ R1+1 : x 6= 0} 1

Z2(Λp2) {(0,y) ∈ R1+1 : y 6= 0} 1

{I2} {(x,y) ∈ R1+1 : x,y 6= 0} 2

{I2}

Zp2 Zt

2

O(1,1)

Figura 7 – Cadeia de Isotropia de O(1,1).

Ainda, as rotações de Lorentz são da forma

Rh(θ) =


)ou −Rh(θ), θ ∈ R. Portanto, qualquer elemento de O(1,1) é uma rotação Rh(θ) ou −Rh(θ) oué conjugado a Λ

p2 ou Λt

2.

Considere os subgrupos Z2(Λp2), Z2(Λ

t2). Obviamente, estes dois grupos não são conju-

gados. Os subespaços de pontos fixos para cada um desses subgrupos de Lorentz são:

Fix(Z2(Λp2)) = {(x,y) ∈ R2 : x = 0}, Fix(Z2(Λ

t2)) = {(x,y) ∈ R2 : y = 0}.

Um vetor da forma (x,0) ∈ R1+1, com x 6= 0, tem Z2(Λt2) como subgrupo de isotropia.

Um vetor da forma (0,y) ∈R1+1, com y 6= 0, tem Z2(Λp2) como subgrupo de isotropia. Um vetor

(x,y) ∈ R1+1, com x,y 6= 0, tem subgrupo de isotropia trivial. E, obviamente, o subgrupo deisotropia da origem é todo o grupo O(1,1).

A Tabela 4 mostra os subgrupos de isotropia de O(1,1) e seus respectivos subespaços depontos fixos e a Figura 7 mostra a cadeia de isotropia de O(1,1).

5.1.2 Cadeia de isotropia de O(2,1)

Pela Proposição 3.2.1, as involuções em O(2,1) são as matrizes S−h (−φ ,θ ,φ), S+h (−φ ,θ ,φ),R+

h (π−φ ,θ ,φ) e R−h (π−φ ,θ ,φ), dadas nas Proposições 2.4.7, 2.4.12 e 2.4.14. Estas matrizes


são conjugadas, respectivamente, às matrizes

Λt3 =

1 0 00 1 00 0 −1

, Λp3 =

1 0 00 −1 00 0 1

, −Λt3, −Λ

p3 .

pela Proposição 3.2.3.

Começamos encontrando todas as matrizes de Lorentz que fixam o vetor vx = (x,0,0),com x 6= 0. Sejam R+

h (ϕ,θ ,φ), R−h (ϕ,θ ,φ), S+h (ϕ,θ ,φ) e S−h (ϕ,θ ,φ) como definidas nasProposições 2.4.7, 2.4.12 e 2.4.14. Temos que R+

h (ϕ,θ ,φ)vx = vx implica no sistemacos(ϕ)cos(φ)− sen(ϕ)cosh(θ) sen(φ) = 1

sen(ϕ)cos(φ)+ cos(ϕ)cosh(θ) sen(φ) = 0

sen(φ) senh(θ) = 0

.

Supondo θ 6= 0 temos que ϕ = φ = 0 ou ϕ = φ = π . Em qualquer dos casos, temos

R+h (0,θ ,0) = R+

h (π,−θ ,π) =

(1 00 Rh(θ)

).

Se θ = 0, temos ϕ = −φ , e então R+h (−φ ,0,φ) é a matriz identidade. No caso em que

R−h (ϕ,θ ,φ)vx = vx, temos um sistema semelhantecos(ϕ)cos(φ)+ sen(ϕ)cosh(θ) sen(φ) = 1

sen(ϕ)cos(φ)− cos(ϕ)cosh(θ) sen(φ) = 0

− sen(φ) senh(θ) = 0

,

cuja solução é ϕ = φ = 0 ou ϕ = φ = π se θ 6= 0. Em qualquer dos casos, temos

R−h (0,θ ,0) = R−h (π,−θ ,π) =

(1 00 −Rh(θ)

).

Se θ = 0, temos ϕ = φ , e então R−h (φ ,0,φ)=Λpt3 . Nos casos S+h (ϕ,θ ,φ)vx = vx e S−h (ϕ,θ ,φ)vx =

vx chegamos, a menos de conjugação, à solução Λt3 e Λ

p3 . Portanto, o subgrupo de isotropia de vx

é dado porΣvx =

⟨R+

h (0,θ ,0),R−h (0,θ ,0),Λ

p3 ,Λ

t3⟩.

De modo similar, calculamos as matrizes de Lorentz que fixam o vetor vy = (0,y,0), comy 6= 0. Para R+

h (ϕ,θ ,φ)vy = vy temos o sistema associado−cos(ϕ) sen(φ)− sen(ϕ)cosh(θ)cos(φ) = 0

− sen(ϕ) sen(φ)+ cos(ϕ)cosh(θ)cos(φ) = 1

cos(φ) senh(θ) = 0

.

5.1. Cadeia de isotropia de O(1,1) e O(2,1) 103

Se θ 6= 0, temos ϕ =−φ =−π

2 ou ϕ =−φ = π

2 . Em qualquer dos casos, temos

R+h

(−π

2,θ ,

π

2

)= R+

h

(π

2,−θ ,−π

2

)=

cosh(θ) 0 senh(θ)0 1 0

senh(θ) 0 cosh(θ)

.

Se θ = 0, temos ϕ = −φ , e então R+h (−φ ,0,φ) é a matriz identidade. No caso em que

R−h (ϕ,θ ,φ)vy = vy, temos o sistema−cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cosh(θ)cos(φ) = 0

− sen(ϕ) sen(φ)− cos(ϕ)cosh(θ)cos(φ) = 1

cos(φ) senh(θ) = 0

,

com solução ϕ =−φ =−π

2 ou ϕ =−φ = π

2 se θ 6= 0 e, neste caso,

R−h(−π

2,θ ,

π

2

)= R−h

(π

2,−θ ,−π

2

)=

−cosh(θ) 0 − senh(θ)0 1 0

− senh(θ) 0 −cosh(θ)

.

Se θ = 0, temos ϕ = π+φ , e então R−h (π+φ ,0,φ) =−Λp3 . Analogamente para S+h (ϕ,θ ,φ)vx =

vx e S−h (ϕ,θ ,φ)vx = vx chegamos, a menos de conjugação, à solução Λt3 e −Λ

pt3 . Portanto, o

subgrupo de isotropia de vy é dado por

Σvy =⟨

R+h

(−π

2,θ ,

π

2

),R−h

(−π

2,θ ,

π

2

),Λt

3,−Λpt3

⟩.

Temos que Λp3 é conjugada a−Λ

pt3 , R+

h (0,θ ,0) é conjugada a R+h

(−π

2 ,θ ,π

2

)e R−h (0,θ ,0)

é conjugada a R−h(−π

2 ,θ ,π

2

), com conjugação dada pela permutação 0 1 0

1 0 00 0 1

.

Portanto, os subgrupos de isotropia Σvx e Σvy são conjugados.

Do mesmo modo, calculamos o subgrupo de isotropia do vetor vz = (0,0,z), com z 6= 0:

Σvz =⟨R+

h (ϕ,0,φ) ,−Λt3,Λ

p3⟩.

Os subgrupos Z2(Λp3) e Z2(Λ

t3) são subgrupos de isotropia de vetores {(x,y,z) ∈ R2+1 :

y = 0} e {(x,y,z) ∈ R2+1 : z = 0}, respectivamente.

Vetores do tipo (x,0,z) ∈ R2+1, com x,z 6= 0, tem o subgrupo Z2(Λp3) como subgrupo

de isotropia.

Vetores do tipo (x,y,0) ∈ R2+1, com x,y 6= 0, tem Z2(Λt3) como subgrupo de isotropia.


Para vetores do tipo (0,y,z) ∈ R2+1, com y,z 6= 0, o subgrupo Z2(−Λpt3 ) é o subgrupo

de isotropia. Observe, porém, que Λp3 é conjugada a −Λ

pt3 . Portanto, o subgrupo Z2(−Λ

pt3 ) é

conjugado ao subgrupo Z2(Λp3).

O subgrupo Z2(−Λt3), tratado no Capítulo 3, não é subgrupo de isotropia, pois Z2(−Λt

3)⊂Σvz . Como −Λ

p3 é conjugada a Λ

pt3 ∈ Σvx então o subgrupo Z2(−Λ

p3) é conjugado ao subgrupo

Z2(Λpt3 )⊂ Σvx . Logo, Z2(−Λ

p3) não é um subgrupo de isotropia.

Vetores do tipo

v+(x,ϕ,θ ,φ) =(

x,− sen(φ)− sen(ϕ)cos(φ)+cos(ϕ) x,− (cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)

(cosh(θ)−1)(cos(φ)+cos(ϕ)) x),

dado na Proposição 2.4.7, tem como subgrupo de isotropia o subgrupo Σv+(x,ϕ,θ ,φ)=⟨R+

h (ϕ,θ ,φ)⟩,

para ϕ,θ ,φ fixados. E vetores do tipo

v−(x,ϕ,θ ,φ) =(

x,− sen(φ)− sen(ϕ)cos(φ)+cos(ϕ) x,− (cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)

(cosh(θ)+1)(cos(φ)+cos(ϕ)) x}

dado na Proposição 2.4.12, tem como subgrupo de isotropia o subgrupo Σv−(x,ϕ,θ ,φ)=⟨R−h (ϕ,θ ,φ)

⟩,

para ϕ,θ ,φ fixados.

O subgrupo de Lorentz⟨R+

h (ϕ,θ ,φ),R−h (ϕ,θ ,φ)

⟩deixa invariante somente a origem.

Pela Proposição 2.4.14 o subgrupo gerado pela matriz S+h (ϕ,θ ,φ), para ϕ 6=−φ , deixa invariantesomente a origem. Se ϕ = −φ então S+h (−φ ,θ ,φ) é uma involução de Lorentz, conforme aProposição 3.2.1. Usamos o mesmo argumento para S−h (ϕ,θ ,φ), com ϕ 6=−φ .

Para um vetor qualquer (x,y,z)∈R2+1, com x,y,z 6= 0, (x,y,z) 6= v+(x,ϕ,θ ,φ) e (x,y,z) 6=v−(x,ϕ,θ ,φ)}, um cálculo direto mostra que a matriz identidade é a única que deixa um vetor(x,y,z), com x,y,z 6= 0, invariante.

Nesta subseção, fizemos o estudo de todas as matrizes em O(2,1), pois qualquer matrizem O(2,1) pode ser representada por uma das matrizes R+

h (ϕ,θ ,φ), R−h (ϕ,θ ,φ), S+h (ϕ,θ ,φ),S−h (ϕ,θ ,φ). Portanto, as retas dada em (2.18), (2.20) e os eixos coordenados x e y de R2+1

são todas as retas invariantes pela ação de algum subgrupo de isotropia de O(2,1), a menos deconjugação.

A Tabela 5 mostra os subgrupos de isotropia de O(2,1), seus subespaços de pontos fixose a respectiva dimensão. A Figura 8 mostra a cadeia de isotropia de O(2,1).

5.2 Aplicações equivariantes

Nesta seção, descrevemos o cálculo de uma aplicação Γ-equivariante, quando Γ é umsubgrupo de Lorentz.

Sabe-se que se f : Rn → R é invariante pela ação de um subgrupo de O(n), então ogradiente ∇ f : Rn→ Rn é uma aplicação equivariante pela ação deste subgrupo. No caso dogrupo de Lorentz O(n,1), temos:

5.2. Aplicações equivariantes 105

Tabela 5 – Subgrupos de isotropia de O(2,1).

Subgrupo de Isotropia Subespaço de pontos fixos DimensãoO(2,1)) {(0,0,0)} 0

Σv+(x,ϕ,θ ,φ)


cos(φ)+cos(ϕ) x,− (cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)(cosh(θ)−1)(cos(φ)+cos(ϕ)) x

): x 6= 0

}1

Σv−(x,ϕ,θ ,φ)


cos(φ)+cos(ϕ) x, (cos(ϕ) sen(φ)+ sen(ϕ)cos(φ)) senh(θ)(cosh(θ)−1)(cos(φ)+cos(ϕ)) x

): x 6= 0

}1⟨

R+h (0,θ ,0),R

−h (0,θ ,0),Λ

p3 ,Λ

t3⟩

{(x,0,0) : x 6= 0} 1⟨R+

h (ϕ,0,φ) ,−Λt3,Λ

p3⟩

{(0,0,z) : z 6= 0} 1Z2(Λ

p3) {(x,0,z) : x,z 6= 0} 2

Z2(Λt3) {(x,y,0) : x,y 6= 0} 2

{I3} {(x,y,z) : x,y,z 6= 0,(x,y,z) 6= v+(x,ϕ,θ ,φ) e (x,y,z) 6= v−(x,ϕ,θ ,φ)} 3

{I3}

Z2(Λp3) Z2(Λ

t3)

ΣvxΣvz Σv+(x,ϕ,θ ,φ) Σv−(x,ϕ,θ ,φ)

O(2,1)

Figura 8 – Cadeia de Isotropia de O(2,1).

Proposição 5.2.1. Sejam Γ subgrupo de O(n,1) e f : Rn+1→R Γ-invariante. Então J∇ f é umaaplicação Γ-equivariante.

Demonstração. Suponha f uma função Γ-invariante, isto é, f (γx) = f (x), para todo γ ∈ Γ.Então temos que D( f (γx))γ = D( f (x)), pela regra da cadeia, onde D( f (x)) denota a matrizjacobiana de f em x. O que implica que

D( f (γx))γJγtJ = D( f (x))Jγ

tJ,

ou seja, D( f (γx)) = D( f (x))Jγ tJ. Temos D( f (x)) = (∇ f (x))t e, portanto,

D( f (γx)) = D( f (x))JγtJ ⇒ (∇ f (γx))t = (∇ f (x))tJγ

tJ⇒⇒ ∇ f (γx) = JγJ∇ f (x)⇒ J∇ f (γx) = γJ∇ f (x).

O grupo de Lorentz O(n,1) bem como o grupo de Lorentz especial SO(n,1) são redutivos([42]) e assim os respectivos anéis dos polinômios invariantes, P(O(n,1)) e P(SO(n,1)),


são finitamente gerados ([11]). Mais geralmente, para Γ um subgrupo de Lorentz agindo emsubespaços Γ-invariantes V e W , se o anel dos polinômios invariantes P(Γ,V ×W ) possuiuma base de Hilbert, considerando a ação diagonal no cartesiano, então é possível calcular osgeradores para o módulo das aplicações Γ-equivariantes ~P(Γ;V,W ) sobre o anel P(Γ,V ). Noteorema a seguir mostramos como podemos fazer isso.

Teorema 5.2.2. Seja Γ um subgrupo do grupo de Lorentz O(n,1). Suponha Γ agindo em V e Wsubespaços Γ-invariantes do espaço de Minkowski. Definimos uma aplicação Γ-equivariante apartir de uma função V ×W −→ R Γ-invariante, e vice-versa. Ainda mais, se existe uma basede Hilbert para P(Γ,V ×W ), então existe um conjunto finito de polinômios Γ-equivariantesque geram o módulo ~P(Γ;V,W ).

Demonstração. Suponha que g : V −→W seja Γ-equivariante e seja y ∈W . Então f (x,y) =〈g(x),y〉 é uma função V ×W −→R, Γ-invariante, onde a ação de Γ em V ×W é a ação diagonalγ(x,y) = (γx,γy). Assim, temos que

f (γx,γy) = 〈g(γx),γy〉= 〈γg(x),γy〉= f (x,y).

Reciprocamente, se V ×W −→ R é Γ-invariante pela ação diagonal, consideramos

g(x) = J (dy f )t(x,0) .

Temos f (γx,γy) = f (x,y). Derivando f com relação a y em (x,0), temos

(dy f )(γx,0) γ = (dy f )(x,0) .

Então,γ

t (dy f )t(γx,0) = (dy f )t

(x,0) .

Logo,γ

tJg(γx) = Jg(x)

o que implica queg(γx) = J

(γ

t)−1 Jg(x).

Portanto, g : V −→W é Γ-equivariante pois J (γ t)−1 J = γ . Seja o conjunto {u1, · · · ,us} uma basede Hilbert para o anel dos polinômios Γ-invariantes V ×W → R. Uma função f ∈P(Γ,V ×W )é dada por

h(u1(x,y), · · · ,us(x,y)),

para algum h : Rs→ R. Da construção acima, toda g ∈ ~P(Γ;V,W ) é da forma

g(x) =s

∑i=0

∂h∂ui

(u1, · · · ,us)|y=0 · J (dyui)t(x,0) .

Como ∂h∂ui

(u1(x,0), · · · ,us(x,0)) é Γ-invariante em P(Γ,V ) segue que os s Γ-equivariantes

J (dyu1)t(x,0) ,J (dyu2)

t(x,0) , · · · ,J (dyus)

t(x,0)

geram o módulo ~P(Γ;V,W ) sobre o anel P(Γ,V ).


5.2.1 O módulo das aplicações equivariantes por uma involução de O(1,1)

Aplicamos o Teorema 5.2.2 para obter um sistema de geradores para o módulo dasaplicações equivariantes por uma involução de Lorentz de O(1,1). Nas hipóteses do Teorema5.2.2, considere V =W = R1+1.

Considere a base de Hilbert do anel P(ΓZ2(Λt2))

{x, y2},

dada na Proposição 3.1.4.

Proposição 5.2.3. O conjunto{(1,0), (0,y)}

é um sistema de geradores para o módulo das aplicações equivariantes ~P(Z2(Λt2);R2,R2)

sobre o anel P(Z2(Λt2).

Demonstração. Para X =(x,y,z,w)∈R2×R2, temos a ação diagonal Λt2X =(Λt

2(x,y),Λt2(z,w)),

que escrevemos da forma

Λt2X =

(Λt

2 00 Λt

2

)X =

1 0 0 00 −1 0 00 0 1 00 0 0 −1

xyzw

=

x−yz−w

.

Temos que,det(I4− t · I4) = (1− t)4, det(I4− t · γ3) = (1− t)2(1+ t)2.

Assim, a série de Molien, neste caso, é dada por

ΦZ2(Λt2)(t) =

12

(1

(1− t)4 +1

(1− t)2(1+ t)2

)= 1+2t +6t2 +10t3 +19t4 +28t5 +44t6 + · · · ,

Os invariantes de grau 1 e 2 são f1 = x, f2 = z, f3 = y2, f4 =w2 e f5 = yw. Existe uma dependênciaalgébrica entre estes invariantes dada pela relação

f 25 − f3 f4.

Portanto, a série de Hilbert é calculada como

HZ2(Λt2)(t) =

1+ t2

(1− t)2(1− t2)2 .

Portanto, temos ΦZ2(Λt2)(t) = HZ2(Λ

t2)(t). Pelo Algoritmo 1.1.13, o conjunto { f1, f2, f3, f4, f5} é

uma base de Hilbert para o anel P(Z2(Λt2);R2×R2). Pelo Teorema 5.2.2, temos que as apli-

cações gi(x,y) = J(d(z,w) fi)t(x,y,0,0), para cada i = 1, · · · ,5, geram o módulo ~P(Z2(Λ

t2);R2,R2).

Temos que gi é identicamente nulo para i = 1,3,4, pois f1 e f3 não dependem de z e w e, portanto,(d(z,w) fi)(x,y,0,0) = 0, para i = 1,3. Também, d(z,w) f4 =

(0 −2w

); logo (d(z,w) f4)(x,y,0,0) = 0.

Por outro lado, d(z,w) f2 =(

1 0). Assim,

J(d(z,w) f2)t(x,y,0,0) =

(10

).


Da mesma forma, como d(z,w) f5 =(

0 y), então

J(d(z,w) f5)t(x,y,0,0) =

(1 00 −1

)(0y

)=

(0−y

).

Logo, o conjunto {(1,0),(0,y)} é um sistema de geradores para o módulo das aplicaçõesequivariantes ~P(Z2(Λ

t2);R

2,R2) sobre o anel P(Z2(Λt2)).

Para concluir, tomando a Conjectura 4.2.5 e usando o Teorema 5.2.2, podemos definirum conjunto de geradores para o módulo das aplicações equivariantes ~P(〈Rh(θ)〉 ;R2,R2).

Conjectura 5.2.4. O conjunto{(x,y), (y,x)}

é uma base para o módulo das aplicações equivariantes ~P(〈Rh(θ)〉 ;R2,R2) sobre o anelP(Rh(θ)).

5.2.2 Aplicações equivariantes por uma involução de O(2,1)

Nesta subseção, usamos o Teorema 5.2.2 para calcular um sistema de geradores parao módulo das aplicações equivariantes ~P(Z2(γ);R3,R3) sobre o anel P(Z2(γ)), com γ umainvolução de O(2,1).

Inicialmente, mostramos a base de Hilbert do anel dos polinômios invariantes P(Z2(γ),R3×R3) sob a ação diagonal de Z2(γ) em R3×R3.

Proposição 5.2.5. Considere a ação diagonal de cada um dos subgrupos de Lorentz Z2(Λp3),

Z2(−Λp3) nos vetores (x,y,z, p,q,r) ∈ R2+1×R2+1. Então:

(i) O conjunto{x, z, p, r, y2, q2, yq}

é uma base de Hilbert do anel dos polinômios invariantes P(Z2(Λp3),R

3×R3).

(ii) O conjunto{y, q, x2, z2, p2, r2, xz, xp, xr, pz, rz, pr}

é uma base de Hilbert do anel dos polinômios invariantes P(Z2(−Λp3),R

3×R3).

Demonstração. A ação diagonal de Z2(Λp3) em R3×R3 é representada por(

Λp3 0

0 Λp3

)(XY

),

com X = (x,y,z) e Y = (p,q,r). É imediato que os polinômios

f1 = x, f2 = z, f3 = p, f4 = r, f5 = y2, f6 = q2, f7 = yq

são Z2(Λp3)-invariantes. É claro também que estes polinômios são algebricamente dependentes,

com a relação f 27 − f5 f6. Calculamos a série de Molien. Temos que

det(I6− tI6) = (1− t)6


e que

det(

I6− t(

Λp3 0

0 Λp3

))= (1− t)4(1+ t)2.


ΦZ2(Λp3)(t) =

12

(1

(1− t)6 +1

(1− t)4(1+ t)2

)= 1+4t +13t2 +32t3 +70t4 + · · · .

Agora usamos o Algoritmo 1.1.13. Como os polinômios acima são algebricamente dependentes,temos a série de Hilbert

HZ2(Λp3)(t) =

1+ t2

(1− t)4(1− t2)2 .

Um cáculo direto nos leva à igualdade

ΦZ2(Λp3)(t) = HZ2(Λ

p3)(t).

Logo, o conjunto{x, z, p, r, y2, q2, yq}

é uma base de Hilbert do anel dos polinômios invariantes P(Z2(Λp3),R

3×R3).

O outro caso é análogo.

Finalizando, usamos a Proposição 5.2.5 e o Teorema 5.2.2 para calcular um sistema degeradores para o módulo das aplicações equivariantes ~P(Z2(γ);R3,R3) sobre o anel P(Z2(γ)),com γ uma involução de O(2,1). Temos, portanto, a seguinte proposição:

Proposição 5.2.6. (i) O conjunto

{(1,0,0),(0,0,1),(0,y,0)}

é um sistema de geradores para o módulo das aplicações equivariantes ~P(Z2(Λp3);R

3,R3)sobre o anel P(Z2(Λ

p3)).

(ii) O conjunto{(0,1,0),(x,0,0),(0,0,x),(z,0,0),(0,0,z)}

é um sistema de geradores para o módulo das aplicações equivariantes ~P(Z2(−Λp3);R

3,R3)sobre o anel P(Z2(−Λ

p3)).

Demonstração. Basta fazer uma aplicação direta do Teorema 5.2.2, especificamente da expressãog(x,y,z) = J

(d(p,q,r) f

)t(x,y,z,0,0,0), em cada um dos polinômios invariantes dados na Proposição

5.2.5.

111

REFERÊNCIAS

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115

APÊNDICE

AMATRIZES DE Rh(θ)

Apresentamos, a seguir, as matrizes representadas na Tabela 3, do Capítulo 4.

A1 =

(14

34

34

14

)

A2 =

9

161516

916

158

98

158

916

1516

916

A3 =

6164

7564

4564

2764

22564

15164

17764

13564

13564

17764

15164

22564

2764

4564

7564

6164

A4 =

369256

375256

225256

135256

81256

37564

26164

25564

18964

13564

675128

765128

675128

765128

675128

13564

18964

25564

26164

37564

81256

135256

225256

375256

369256

A5 =

21011024

18751024

11251024

6751024

4051024

2431024

93751024

66011024

57751024

41851024

29431024

20251024

5625512

5775512

5033512

4959512

4185512

3375512

3375512

4185512

4959512

5033512

5775512

5625512

20251024

29431024

41851024

57751024

66011024

93751024

2431024

4051024

6751024

11251024

18751024

21011024

116 APÊNDICE A. Matrizes de Rh(θ)

A6 =

115294096

93754096

56254096

33754096

20254096

12154096

7294096

281252048

198272048

161252048

114752048

79652048

54272048

36452048

843754096

806254096

686794096

621454096

506794096

398254096

303754096

168751024

191251024

207151024

202771024

207151024

191251024

168751024

303754096

398254096

506794096

621454096

686794096

806254096

843754096

36452048

54272048

79652048

114752048

161252048

198272048

281254096

7294096

12154096

20254096

33754096

56254096

93754096

115294096

A7 =

6174116384

4687516384

2812516384

1687516384

1012516384

607516384

364516384

218716384

32812516384

23049116384

17812516384

12487516384

8572516384

5791516384

3863716384

2551516384

59062516384

53437516384

44424116384

37957516384

30118516384

23168716384

17374516384

12757516384

59062516384

62437516384

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO - USP · Leandro Nery de Oliveira Tese de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Matemática (PPG-Mat) SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Data