UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM FÍSICA

ANDRÉ DE LIMA ALVES

O RELÓGIO ATÔMICO: UMA ANÁLISE DA FÍSICA ATÔMICA NA MEDIÇÃO DO TEMPO

CAMPINA GRANDE 2014

ANDRÉ DE LIMA ALVES

O RELÓGIO ATÔMICO: UMA ANÁLISE DA FÍSICA ATÔMICA NA MEDIÇÃO DO TEMPO

Monografia apresentada à banca examinadora do Departamento de Física da Universidade Estadual da Paraíba, em cumprimento ao Trabalho de Conclusão de Curso (TCC), como exigência para obtenção do grau de Licenciado em Física.

Orientadora: Profa Dra Tâmara Pereira Ribeiro de Oliveira Lima e Silva / UEPB

CAMPINA GRANDE 2014

À minha família que, com muito carinho e apoio, não mediram esforços para que eu chegasse até esta etapa de minha vida, DEDICO.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente agradeço à minha orientadora, Profa Tâmara, pelo apoio, confiança e empenho dedicado à elaboração deste trabalho.

À minha mãe dona Ana, pelo amor, incentivo e apoio incondicional nas horas difíceis.

Ao meu pai Severino Cassimiro, In memoriam; sua presença significou segurança e a certeza de que não estou sozinho nessa caminhada e, apesar de todas as dificuldades, me fortaleceu; você foi, em todos os momentos da minha vida, o meu maior mestre.

A meus irmãos Aelson e Adriano, pela alegria e felicidade que vocês me proporcionam em todos os momentos. Aelson obrigado pela ajuda nas figuras.

A todos os meus familiares por acreditarem em mim, muito obrigado pela força e carinho que todos vocês me transmitem.

À minha namorada Adriele, obrigado pela paciência e compreensão durante todos esses semestres, obrigado por sua capacidade de me trazer paz na correria do dia-a-dia, com você tenho me sentido vivo de verdade.

Aos meus amigos que conquistei no curso (aqui não comento o nome de todos para não correr o risco de esquecer algum), por todos os momentos que passamos juntos ao longo dessa vida acadêmica. A experiência adquirida com vocês foi única.

A meu amigo Sebastião Pinto, amizade construída durante o curso; aquele livro de física que peguei com você não devolverei nem que você se converta.

Ao Professor Rafael (UFCG-Cuité), pela ajuda frequente no transcorrer do curso.

À professora Diana, diretora do colégio em que trabalho, pela confiança repassada para assumir uma sala de aula; essa experiência que tive foi muito importante em minha formação.

À turma do 3ºA (2012), turma em que ministrei minha primeira aula; aprendi muito com vocês.

A todos os professores e funcionários da Universidade Estadual da Paraíba, que oportunizaram a janela de onde hoje vislumbro um horizonte superior.

“O oposto de uma afirmação correta é uma

afirmação falsa. Mas o oposto de uma verdade

profunda pode ser outra verdade profunda".

Niels Bohr.

RESUMO

Desde a invenção do laser, suas aplicações na ciência e tecnologia foram ser tornando

cada vez mais importantes. Atualmente o laser, um dispositivo cujo princípio de

funcionamento está baseado nas leis da Física Atômica, vem sendo utilizado nas mais

diversas áreas de pesquisa. Neste trabalho de conclusão de curso destaca-se o comportamento

qualitativo do relógio atômico de césio ( )sC133, que tem por base o bombeamento óptico ou

uma armadilha por feixes de laser. Para isso, é apresentada uma revisão bibliográfica sobre

Física Atômica, desde a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio até o conceito de

estrutura hiperfina. Neste ponto, destaca-se o caso do átomo de césio no estado fundamental,

2/126 S , que se desdobra em dois estados hiperfinos, um com 3=f e outro com 4=f ( f é o

número quântico associado ao momento angular total do átomo). Como a frequência de

transição entre esses dois níveis é bem determinada, ela se torna um padrão essencial para ser

utilizada para marcar o tempo com precisão.

Palavras-chaves: Relógio atômico. Estrutura hiperfina. Lasers.

ABSTRACT

Since the invention of laser, its applications in science and technology have become

more and more important. Nowadays the laser, a device whose functioning principle is based

on the laws of Atomic Physics, has been used in various research fields. In this final paper, we

highlight the qualitative behavior of cesium ( )sC133 atomic clock, which is based on optical

pumping or trap by laser beams. To this purpose, a literature review on Atomic Physics is

presented, from the Schrödinger equation of the hydrogen atom to the concept of hyperfine

structure. Based on this point of view, it is highlighted the case of cesium atom in the

fundamental state, i.e., 2/126 S , which spreads out in two hyperfine states, one with 3=f and

another with 4=f ( f is the quantum number associated with the total angular momentum of

the atom). Considering that a transition frequency between these two levels is well

established, it becomes an essential standard to be used in order to mark time accurately.

Keywords: Atomic clock. Hyperfine structure. Lasers.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1: Representação dos níveis de energia dos átomos do meio ativo, que recebe radiação incidente na cavidade óptica. Processo do decaimento rápido dos elétrons do estado de vida curta para o metaestável (inversão de população) (a); emissão da luz laser a partir do decaimento dos elétrons do estado metaestável (b). ................................................................. 13

Figura 2: Relações geométricas entre coordenadas esféricas e cartesianas.............................. 15

Figura 3: Níveis de energia e degenerescência para os átomos de um elétron. ........................ 21

Figura 4: Espectro de emissão (a) e absorção (b) do átomo de hidrogênio. ............................. 22

Figura 5: Diagrama de níveis de energia (série de Balmer) do átomo de hidrogênio, mostrando

as transições que obedecem à regra de seleção para l∆ . ......................................................... 24

Figura 6: Elétron em uma órbita circular com µ

r e Lr antiparalelos. ......................................... 26

Figura 7: Ilustração da precessão de Larmor (a) e do momento magnético em torno de um

campo magnético Br externo (b). Lω é a frequência de Larmor. .............................................. 28

Figura 8: Desdobramento dos níveis de energia do césio na presença de um campo magnético. .................................................................................................................................................. 30

Figura 9: Desdobramento de níveis de energia para uma transição de l=2 para l=1. ............... 31

Figura 10: Diagrama de níveis de energia mostrando o desdobramento fino do césio. ........... 34

Figura 11: Movimento orbital atômico em dois referenciais: do núcleo (a); e do elétron (b). 34

Figura 12: Precessão Lr de e S

r ao redor de J

r. ........................................................................... 36

Figura 13: Diagramas vetoriais para construções de Jr

e Jµr

(a); e construção de zµr (b). .. 39

Figura 14: Efeito da interação hiperfina para o estado

2/126 S do césio, e a frequência

correspondente ao intervalo de tempo de 1s, medida pelo relógio atômico. ............................ 45

Figura 15: Primeiros relógios construídos para marcação do tempo; relógio de Sol (a), ampulheta (b) e clepsidra (c). ................................................................................................... 46

Figura 16: Precisão de diferentes relógios utilizados no dia a dia [BAGNATO 2012]. .......... 48

Figura 17: Primeiro relógio atômico brasileiro. ....................................................................... 50

Figura 18: Diagrama do relógio atômico a feixe térmico de césio. .......................................... 51

Figura 19: Diagrama das transições envolvidas na detecção dos átomos. Somente os átomos que saírem no estado ( )46

21

2 =fS absorverão os fótons desta radiação e decairão emitindo

radiação espontaneamente. ....................................................................................................... 52

Figura 20: Franjas de Ramsey do relógio atômico de feixe térmico. ....................................... 52

Figura 21: Primeiro relógio atômico modelo chafariz do Brasil. ............................................. 53

Figura 22: Representação do funcionamento do relógio atômico de átomos frios. ................. 54

Figura 23: Poço de potencial infinito de largura L ................................................................... 62

Figura 24: Três primeiros níveis discretos de energia (a); três autofunções para a partícula em um poço de potencial infinito (b). ............................................................................................ 64

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 12

1. O ELÉTRON NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO .................................................. 14

1.1 SOLUÇÃO GERAL PARA A EQUAÇÃO RADIAL .............................................. 18

1.2 REGRAS DE SELEÇÃO DO DIPOLO ELÉTRICO ................................................ 22

1.3 O SPIN E AS INTERAÇÕES MAGNÉTICAS ........................................................ 25

1.4 O EFEITO ZEEMAN E O SPIN ELETRÔNICO ..................................................... 29

1.5 A INTERAÇÃO SPIN-ÓRBITA DA ESTRUTURA FINA ..................................... 34

1.6 O EFEITO ZEEMAN ANÔMALO ........................................................................... 38

1.7 A ESTRUTURA HIPERFINA .................................................................................. 41

2. O RELÓGIO ATÔMICO: UMA APLICAÇÃO NA CIÊNCIA E

TECNOLOGIA ................................................................................................................... 46

2.1 EVOLUÇÃO DAS MEDIDAS DE TEMPO ............................................................ 46

2.2 O RELÓGIO ATÔMICO DE FEIXE EFUSIVO DE CÉSIO ................................... 49

2.3 O RELÓGIO ATÔMICO DE CHAFARIZ DE ÁTOMOS FRIOS .......................... 53

3. CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................. 56

APÊNDICE: UM POUCO DE FÍSICA MODERNA ...................................................... 57

A FUNÇÃO DE ONDA E A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER ........................................ 58

EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO ................................... 60

O POÇO DE POTENCIAL INFINITO E OS NÍVEIS DE ENERGIA ............................... 61

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 66

12

INTRODUÇÃO

Einstein, em um artigo publicado em 1917, sustentou que um campo de radiação

obriga um átomo no estado de energia superior a fazer uma transição para um estado inferior

com uma taxa proporcional à densidade de radiação, um processo que chamou de emissão

estimulada [KLEPPNER, 2004]. Na verdade, os estudos de Einstein previam a Física de um

dispositivo, construído em 1960 primeiramente por Theodore H. Maimann, que emitia um

feixe de luz visível altamente concentrado: o laser, sigla formada pelas iniciais de Light

Amplification by Stimulated Emission of Radiation, ou amplificação de luz por emissão

estimulada de radiação [PIMENTA, 2010], cujo princípio básico de funcionamento está

baseado nas leis fundamentais da interação da radiação luminosa com a matéria [BAGNATO,

2005].

Um dispositivo laser é constituído por três partes principais: um meio ativo (material

cujos átomos são responsáveis pela emissão estimulada), a cavidade óptica (onde os fótons

que emergem do meio ativo sofrem sucessivas reflexões, servindo de fonte para produzir mais

emissão estimulada), um mecanismo de bombeamento (mecanismo pelo qual a inversão de

população é obtida) [BAGNATO, 2005].

Para que ocorra o efeito laser é necessário uma inversão de população no meio ativo

(quando levamos um meio a ter uma população 2n de átomos no estado excitado maior que a

população 1n de átomos no estado de equilíbrio térmico) [RESENDE, 1996]; para inverter

as populações desses níveis é preciso fornecer energia ao sistema através de um mecanismo

externo (lâmpada de flash, por exemplo). Assim, os elétrons passam de um estado

fundamental com energia 1E para um estado excitado com energia 3E (estado de vida curta)

[HALLIDAY e RESNICK, 1984], do qual decaem rapidamente para um estado de energia

2E (estado meta estável). Este processo continua até a inversão de população ser obtida entre

os níveis de energia 1E e 2E , como visto na Figura 1. Quando um desses elétrons retorna

para seu estado fundamental emite dois fótons, um devido à radiação incidente e outro devido

ao seu decaimento, desencadeando todo o processo de emissão. As radiações emitidas são

refletidas continuamente pela cavidade óptica e o processo se repete e se amplifica (efeito

cascata), havendo emissão de mais fótons e a produção da luz laser.

13

Figura 1: Representação dos níveis de energia dos átomos do meio ativo, que recebe radiação incidente na cavidade óptica. Processo do decaimento rápido dos elétrons do estado de vida curta para o metaestável (inversão de população) (a); emissão da luz laser a partir do decaimento dos elétrons do estado metaestável (b).

Essa luz produzida possui certas características em particular [PIMENTA, 2010]; ela é

monocromática uma vez que os fótons emitidos possuem a mesma energia υh que o fóton

estimulante, onde h é a constante de Planck e υ é a frequência óptica da emissão,

relacionada ao comprimento de onda λ por λ

υc

= [LLEWELLYN e TIPLER, 1978]. O feixe

laser possui comprimento de onda definido pelo meio de geração (ou meio ativo), e é um

feixe coerente (todas as radiações emitidas estão em fase), polarizado (a energia dos fótons se

propaga numa direção específica), e colimado (o feixe se propaga por grandes distâncias sem

divergências), o que nos permite focalizá-lo com precisão e, dessa forma, aumentar sua

intensidade sem modificar sua potência de saída [HALLIDAY e RESNICK, 1984].

Nos próximos tópicos deste Trabalho de Conclusão de Curso serão discutidos tópicos

sobre Física Atômica, dando destaque à estrutura eletrônica do átomo de césio )(133Cs , e ao

funcionamento do relógio atômico (tema central deste trabalho), o qual representa uma

aplicação muito interessante da Óptica Quântica relacionada à medição do tempo.

14

1. O ELÉTRON NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

Aqui será estudada uma das aplicações mais importante da mecânica quântica, o

átomo de hidrogênio. Este foi o primeiro sistema que Schrödinger tratou com sua teoria

[RESNICK e EISBERG, 1979]. A concordância obitida com os autovalores de energia

previstos pela teoria para o átomo de hidrogênio estavam de acordo com os valores previstos

pelo modelo de Bohr. Isso constituiu o primeiro teste importante da validade do que previa

Schrödinger [RESENDE, 1996]. De acordo com a referência [TIPLER e LLEWELYN, 1978],

a quantização da energia e do momento angular são consequências naturais das condições de

aceitabilidade das funções de onda. Este problema é muito importante porque as soluções

obtidas servem como ponto de partida para soluções aproximadas para átomos de muitos

elétrons.

O átomo de hidrogênio é constituído de um elétron, de carga negativa, em torno de um

próton, de carga positiva, sobre a influência de uma força coulombiana atrativa.

A energia potencial eletrostática entre as cargas é dada por [GRIFFITHS, 2011]:

(1)

onde r é a distância que separa o elétron do núcleo, Z é número atômico, e é o módulo da

carga do elétron )106,1( 19Ce −⋅= e 0ε é a permissividade elétrica do vácuo.

Como se trata de um sistema de duas partículas se movendo em um espaço

tridimensional, o potencial atrativo )(rV faz com que o sistema apresente uma simetria

esférica. Para o átomo monoeletrônico pode-se escrever a equação de Schrödinger em

coordenadas esféricas ),,( ϕθr [TIPLER e LLEWELYN, 1978]. A Figura 2 ilustra a relação

entre as coordenadas cartesianas e esféricas.

,4

)(0

2

r

ZerV

πε−=

15

Figura 2: Relações geométricas entre coordenadas esféricas e cartesianas.

A equação de Schrödinger independente do tempo, em coordenadas esféricas, assume

a seguinte forma [RESENDE, 1996]:

(2)

onde µ é a massa reduzida do elétron e 2Λ é o operador que atua na função de onda Ψ e

representa a dependência angular desta função

∂∂

∂∂

+∂

∂=Λ

θθ

θθϕθsen

sensen

112

2

2

2.

Como o potencial )(rV depende apenas da variável ,r utilizando o método de

separação de variáveis, a função de onda pode ser escrita como o produto das funções

),()(),,( ϕθϕθ Υ=Ψ rRr [BREHM e MULLIN, 1989], onde R depende apenas de ,r e

Υ depende de θ e ϕ de forma que )()( ϕθ ΦΘ=Υ . Com esse método, manipulando a

equação (2), chegamos a um conjunto de três equações diferenciais ordinárias, cada uma delas

dependendo somente de uma das coordenadas esféricas:

(3)

,)(1

222

2

2

Ψ=Ψ+

ΨΛ+

∂Ψ∂

∂∂

− ErVr

rrrµ

h

,1 2

2

2

md

d=

ΦΦ

−ϕ

16

(4)

(5)

onde m representa o número quântico azimutal, λ é uma constante de separação, E é o

autovalor de energia e l é o número quântico secundário .

Resolvendo essas equações, encontramos que a equação para )(ϕΦ só apresenta

soluções aceitáveis para certos valores de m . Usando esses valores de m na equação para

),(θΘ ocorre que essa equação também só apresenta soluções aceitáveis para certos valores

de l . E usando os valores de l na equação para ),(rR vemos que essa equação só tem

soluções aceitáveis para certos valores da energia total ;E isto é, a energia do átomo é

quantizada. [RESNICK e EISBERG, 1979].

A solução da equação (3) possui a forma dada por [EISBERG e RESNICK, 1988]

(6)

Matematicamente está função é válida para quaisquer valores de m . Entretanto,

fisicamente, deve-se considerar a imposição de que as autofunções sejam unívocas, uma vez

que os valores de ϕ ...)6,4,2,0( πππϕ = devem ser múltiplos pares de π2 [RESENDE,

1996]; isto requer que m tenha um dos seguintes valores:

(7)

isto é, m só pode ser um número inteiro positivo ou negativo; m é denominado número

quântico azimutal.

,01

2

2

=Θ

Θ−+

Θsen

m

d

dsen

d

d

senλ

θθ

θθ

,)1(])([2 2

22

RllRErVrr

dRr

dr

d+=−−

∂ h

µ

...,3,2,1,0 ±±±=m

.)( ϕϕ ime=Φ

17

As soluções da equação (4) para a função )(θΘ são os chamados polinômios de

Legendre associados [AFKEN, 1995], e valem desde que l seja um número inteiro positivo,

com lm ≤ [LLEWELLYN e TIPLER, 1978], ou seja:

(8)

Dessa forma a solução geral para a dependência angular da autofunção ),,( ϕθrΨ é

(9)

As funções lmΥ são chamadas de harmônicos esféricos, com l representado o número

quântico secundário e m o número quântico azimutal [BREHM e MULLIN, 1989]. Essas

autofunções se referem a certos estados quânticos estacionários de átomos monoeletrônicos e

são normalizadas de forma que

(10)

onde Ωd é o elemento de ângulo solido dado por ,ϕθθ ddsend =Ω com πθ ≤≤0 e

πϕ 20 ≤≤ .

As soluções da equação radial (5) são os polinômios de Laguerre [AFKEN, 1995], e

somente são aceitáveis se a energia total tiver um dos valores nE [EISBERG e RESNICK,

1988] como sendo

(11)

onde n , número quântico principal, é um número inteiro dado por ,..3,2,1 +++= llln

Os valores de nE na equação (11) representam os autovalores de energia da função de

onda do átomo de hidrogênio, o que significa que a energia do seu único elétron é quantizada

[BREHM e MULLIN, 1989].

.,1,...,1, llllm −+−−=

.)(),( ϕθϕθ im

lmlm eΘ=Υ

,1|),(| 2 =ΩΥ∫Ω dlm ϕθ

.)4(2 22

02

42

n

eZEn πε

µ

h−=

18

Substituindo as constantes 1=Z , Kg311010458,9 −×=µ (para o átomo de

hidrogênio), eVs15106582,0 −×=h , ,10602,1 19 Ce −×= 2

212

0 1085,8Nm

C−×=ε

[HALLIDAY e ESNICK, 2009], na equação (41) a energia, em eV , é expressa como sendo

(12)

Estes valores de energia são idênticos aos valores encontrados no modelo de Bohr.

A solução geral da equação de Schrödinger para o elétron no átomo de hidrogênio é

dado pelo produto das três funções nas variáveis ),,( ϕθr [GRIFFITHS, 2011]. Assim o

estado estacionário completo, ),,,,( tr ϕθΨ de um átomo monoeletrônico depende dos

números quânticos mln ,, tal que:

(13)

onde nE aparece no termo de dependência temporal de nlmΨ .

Embora os autovalores de energia só dependam do número quântico principal, as

autofunções de onda dependem também de l e m [BREHM e MULLIN, 1989]. Conclui-se

que vários estados de nlmΨ degeneram-se numa mesma energia nE .

1.1 SOLUÇÃO GERAL PARA A EQUAÇÃO RADIAL

Nesta seção queremos completar o problema para o átomo de um elétron, encontrando

os estados estacionários do átomo (para isso resolvemos a equação radial dada pela equação

(5)), isto é, queremos encontrar

.6,13

2eV

nEn −=

,),()( / htiE

lmnlnlmnerR ϕθΥ=Ψ

19

(14)

Para isto, partindo da situação com 0=l e 0=m uma vez que, nesse caso, o esférico

harmônico πϕθ 4/1),(00 =Υ é a única possibilidade para o momento angular Lr

constante

[BREHM e MULLIN, 1989], rescrevemos a equação (5) como sendo

(15)

A solução desta equação deve se aproximar de zero quando ;∞→r para isto, ela deve

apresentar a forma de uma exponencial decrescente arAerR /)( −= [BREHM e MULLIN,

1989], onde a possui unidade de comprimento. Utilizando está condição na equação (15) e

impondo condições para que a energia E não tenda ao infinito quando ,0→r chegaremos à

energia para o estado fundamental )1( =n , dada por

(16)

onde 0E é a energia de Rydberg, 2

2

0

2

0 24 h

meE

=

πε [EISBERG e RESNICK, 1988].

A equação (16) é semelhante à de Bohr para o estado fundamental, onde consideramos

o raio atômico de Bohr como parâmetro para que a energia E não tenda ao infinito quando

0→r [GASIOROWICZ, 1979]. Para o caso dos números quânticos do momento angular

0=l e 0=m temos a solução

(17)

Para chegamos à solução geral da equação radial, admite-se uma solução da forma [BREHM

e MULLIN, 1989]

,4

2

2 0

2

2

22

ERRr

Ze

dr

dR

rr

Rd=−

+

∂−

πξλh

,02Ez

mE

µ=

.),()(),,,( / htiE

lmnlnlmnlerRtr ϕθϕθ Υ=Ψ

./

3

/

10010 htiE

ar

ea

e −−

=Ψπ

20

(18)

onde η e ar /=ρ são, respectivamente, um autovalor e uma variável adimensional.

A função )(ρF satisfaz a condição 0)0( =F para que a função radial )(ρR

permaneça finita na origem; isso só é possível quando 0)/( =arF . A função da equação

(18) é representada por uma série de potências, em que n/1=η com ...3,2,1=n Esta

condição não só serve para 0=l mas para qualquer 0≠l , implicando que os valores de

energia não dependem do número quântico l , somente do número quântico principal n

[BREHM e MULLIN, 1989].

Temos agora todas as soluções radiais da equação (5) escritas como

(19)

com ar /=ρ .

No caso do átomo de hidrogênio ( ,1=Z 1=n e 0aa = ), o estado estacionário

),,,(100 tr ϕθΨ é dado por:

(20)

Para outros átomos, temos:

(21)

,)(/

ρρη nlp

nl

FeR

−=

,)(

)( /

ρρ

ρ η FeR p−=

.2 //

03100

00 htiEaree

a

−−=Ψ

,),(/

)/( // htiE

lmnlnar

nlmne

ar

arFe

−− Υ=Ψ ϕθ

21

com

−+−−=

−=

+++=

.,1,...,1,

.1,...,3,2,1,0

,...3,2,1

llllm

nl

llln

Os átomos de um elétron são todos aqueles da família 1A da tabela periódica: H, Li,

Na, K, Rb, Cs e Fr. Para o átomo de Césio (Cs), que apresenta número atômico Z= 55

[ATKINS e JONES, 2011], a distribuição eletrônica de Pauli é dada por

)6(54543433221:)55( 16102610262622 spdspdspspsszCs = .

Vemos que no césio só existe um elétron na última camada, ou seja, na camada de

valência, com número quântico principal 6=n e subnível s, correspondendo ao número

quântico orbital 0=l . A Figura 3 mostra uma representação de níveis de energia e

degenerescência para os átomos de um elétron de valência

Figura 3: Níveis de energia e degenerescência para os átomos de um elétron.

A introdução do número quântico principal n, para nivelar cada uma das possíveis

soluções nlR associadas a 0=l , garante soluções aceitáveis para a equação radial, como foi

22

Figura 4: Espectro de emissão (a) e absorção (b) do átomo de hidrogênio [OLIVEIRA, 2006].

dito anteriormente. Os estados estacionários de um átomo monoeletrônico dependem dos três

números quânticos ),,( mln . As degenerescências de nlmΨ , decorrentes dos números

quânticos ),( ln aparecem devido à simétrica esférica do potencial coulombiano )(rV .

1.2 REGRAS DE SELEÇÃO DO DIPOLO ELÉTRICO

Os estados de um átomo revelam sua existência através da radiação emitida ou

absorvida em transições entre pares de níveis de energia. As transições estão associadas a

frequências discretas que constituem as linhas do espectro de emissão e absorção do átomo

[BREHM e MULLIN, 1989]. A Figura 4 mostra o espectro de emissão e absorção do átomo

de hidrogênio.

A quantização observada nos espectros de emissão e absorção tem origem nas

transições entre pares de energia que obedecem a regras de seleção, que estabelecem para

quais valores de números quânticos dos estados inicial e final do átomo as transições são

permitidas. Para determinar essas regras de transição eletrônica considera-se uma função de

onda constituída a partir da superposição de dois estados estacionários [NUSSENZVEIG,

1998].

(22)

sendo ´nn EE > e c e 'c sendo constantes.

,' /'''

/ ' hh tiE

mln

tiE

nlmnn ecec

−− Ψ+Ψ=Ψ

23

A função de onda Ψ dada pela equação (22) descreve um átomo em transição entre os

estados com energia nE e ´nE . As regras de seleção do dipolo elétrico estão associadas à

parte angular da função Ψ (equação (22)) da seguinte forma:

(23)

A equação (23) representa a amplitude de transição )'''()( mlnmln → do dipolo

elétrico e cada uma das três componentes é responsável por uma transição radioativa. As

integrais das partes angulares só não são nulas se os números quânticos )( mln e )'''( mln se

relacionarem por regras de seleção do dipolo elétrico [GOHEN-TANNOUDJI, 1977].

Considerando a função (9) e rescrevendo ϕsen e θcos nas suas formas complexas, a

solução das integrais da equação (23) diz que, para que o valor esperado do momento de

dipolo não se anule, é necessário que as transições eletrônicas satisfaçam a seguinte regra de

seleção [EISBERG e RESNICK, 1988]:

(24)

A regra de seleção para m∆ expressa a mudança permitida para o número quântico

azimutal do átomo em uma transição acompanhada da emissão de radiação de um dipolo

elétrico.

A regra de seleção para as transições associada à coordenada polar θ da equação (23)

é obtida a partir das seguintes integrais [BREHM e MULLIN, 1989]:

ΩΥΥ

ΩΥΥ

ΩΥΥ

∫

∫

∫

∫∞

,cos

,

,cos

''*

''*

''*

3

0

''*

d

dsensen

dsen

drRRR

lmml

lmml

lmml

nlln

θ

ϕθ

ϕθ

.10 ±=∆=∆ moum

24

Figura 5: Diagrama de níveis de energia (série de Balmer) do átomo de hidrogênio, mostrando as transições que obedecem à regra de

seleção para l∆ .

(25.a)

(25.b)

O cálculo destas integrais envolvem os polinômios de Legendre, ;cosθlmP as integrais só são

nulas se l e 'l diferirem de uma unidade, ou seja, a segunda regra de seleção para o dipolo

elétrico é dada por:

(26)

O fato de que o número quântico l deve variar de 1± quando o átomo emite ou

absorve um fóton está relacionada à conservação do momento angular, já que o fóton possui

um momento angular intrínseco igual a h1 [LLEWELLYN e TIPLER, 1978]. A Figura 5

mostra o diagrama de níveis de energia do átomo de hidrogênio.

.cos

,

0

''

0

''

θθθ

θθθ

π

π

dsen

dsensen

lmml

lmml

ΘΘ

ΘΘ

∫

∫

1±=∆l

25

No diagrama da Figura 5 são mostradas as transições que obedecem à regra de

transição 1±=∆l . Os estados com o mesmo valor de n, mas com valores diferentes de l ,

têm a mesma energia, e são indicados separadamente. Na Figura 7 existem três transições

distintas com o mesmo comprimento de onda: de ( ,3=n 0=l ) para ( ,2=n 1=l ), de

( ,3=n 1=l ) para ( ,2=n 0=l ), de ( ,3=n 2=l ) para ( ,2=n 1=l ). São os

comprimentos de onda da linha α da série de Balmer [LLEWELLYN e TIPLER, 1978]. As

transições dos estados com subníveis s, d e f são proibidas para .1=n

1.3 O SPIN E AS INTERAÇÕES MAGNÉTICAS

Quando as linhas do hidrogênio ou de outros átomos são observadas em alta resolução

percebe-se que as mesmas são alargadas de forma a se observar multipletos, ou seja, as linhas

são constituídas por duas ou mais linhas muito próximas, mesmo na ausência de um campo

magnético aplicado. Tal comportamento ficou conhecido como estrutura fina [BREHM e

MULLIN, 1989].

Para explicar a estrutura fina W. Pauli sugeriu que, além dos números quânticos

,,, mln o elétron possuía um quarto número quântico que poderia assumir apenas dois valores

[LLEWELLYN e TIPLER, 1978]. Ele observou que átomos da mesma família da tabela

periódica apresentavam multipletos de estrutura semelhantes que só podiam ser explicados

quanticamente. Pauli ainda não sabia, mas estava prevendo o quarto número quântico: o spin

eletrônico.

Para compreender os desdobramentos dos níveis de energia associados à estrutura fina,

trataremos o átomo como um sistema de partículas carregadas e associamos um momento

magnético µr

a uma energia de interação magnética [GRIFFITHS, 2011], dada por:

(27)

O momento magnético µr

relaciona-se à estrutura magnética do átomo e Br

é o campo

magnético externo aplicado. O comportamento de µr

é influenciado por Lr

(momento angular

.BVM

rr⋅−= µ

26

Figura 6: Elétron em uma órbita circular

com µr e L

r antiparalelos.

orbital eletrônico); essa relação é determinada usando como exemplo o átomo de um elétron.

Considerando o elétron movendo-se em uma órbita circular e o núcleo atômico praticamente

fixo em relação a esse elétron a massa reduzida, nesse caso, equivale à massa do elétron, em

[EISBERG e RESNICK, 1988].

O módulo do momento magnético é dado por υπµ er 2|| =r

,onde r é o raio da

órbita e υ é a frequência do movimento. Como o elétron tem carga negativa, o momento

magnético µr

é antiparalelo a seu momento angular orbital, cujo módulo é

υπ emrL22|| =

r[LLEWELLYN e TIPLER, 1978], como indica a Figura 6.

Isto nos permite escrever µr

como uma equação vetorial da forma

(28)

A equação (28) é válida para qualquer sistema de partículas e qualquer movimento,

contanto que a razão entre || µr

e || Lr

seja a mesma para todo o sistema [BREHM e

.2

Lm

e rr−=µ

27

MULLIN, 1989]. Para uma distribuição de cargas Q e massa M em rotação, a equação (28)

pode ser reescrita como:

(29)

onde g é o fator orbital. Aplicando este resultado ao átomo de hidrogênio (g=1, Q= -e e

M=me) e substituindo o modulo de Lr

pelos seus autovalores temos:

(30)

onde e

Bm

e

2

h=µ é conhecido como magneton de Bohr, cujo valor é TJ /1027,9 24⋅ e em é a

massa do elétron. Levando em conta apenas a componente z do momento angular (em

termos do número quântico m) temos:

(31)

Para permitir que a equação (28) seja usada em situações mais complexas, o momento

magnético é expresso em termos de Bµr

e do fator orbital g , de forma que [GASIOROWICZ,

1972]:

(32)

O sinal negativo nas equações (31) e (32) se devem ao fato dos vetores µr

e Lr

serem

antiparalelos. As equações (30) e (32) mostram que a quantização do momento angular leva à

quantização do momento magnético.

,2

LM

gQ rr=µ

),1( +−= llg Bµµr

mg Bz µµ −=r

.Lg B

r

h

r µµ −=

28

Figura 7: Ilustração da precessão de Larmor (a) e do

momento magnético em torno de um campo magnético Br

externo (b). Lω é a frequência de Larmor.

Na presença de um campo magnético externo Br

, o momento magnético µr

sofre um

torque ,Brrr

×= µτ que reflete na variação de Lr

no tempo (da mesma forma como o eixo de

rotação de um pião ou de um giroscópio precessiona em torno da direção do campo

gravitacional) [LLEWELLYN e TIPLER, 1978], como mostra a Figura 7.

Assim:

(33)

onde Bm

e

e

L

rr

2=ω (para o caso de g=1).

O efeito descrito pela equação (33) é conhecido como precessão de Larmor, sendo Lωr

denominado de frequência de Larmor. Considerando um intervalo de tempo ,dt e um

correspondente incremento angular ϕd , o módulo da velocidade angular processional de µr

é

[BREHM e MULLIN, 1989]:

,Ldt

LdL

rrr

×= ω

29

(34)

A precessão de µr

em torno do campo Br

faz com que a órbita eletrônica funcione

como uma espira que se movimenta com o campo Br

, como mostra a Figura 9(b).

1.4 O EFEITO ZEEMAN E O SPIN ELETRÔNICO

O desdobramento das linhas espectrais do átomo por ação de campos magnéticos

externos foi observado pela primeira vez por Zeeman e, por essa razão, ficou conhecido como

efeito Zeeman.

De acordo com a teoria quântica, a mudança da frequência associada a uma linha

espectral indica que houve uma variação do nível de energia de um dos estados, ou de ambos,

envolvida na transição [BREHM e MULLIN, 1989]. Na seção anterior, foi visto que o

momento magnético determina o comportamento de um átomo na presença de um campo

magnético externo aplicado através da interação ,Brr

⋅− µ e que a quantização de µr

é

consequência da quantização de Lr

.

Na presença de um campo magnético Br

orientado ao longo do eixo z , a energia de

interação magnética MV pode ser reescrita como [TANNOUDJI, 1991]:

(35)

onde B é o modulo de Br

na direção do eixo z .

O efeito do campo Br

aplicado é produzir um shift discreto na energia para cada 12 +l

valores de m em qualquer configuração orbital nl, ou seja, cada nível de energia é desdobrado

.dt

dL

ϕω =

,mBgV BM µ=><

30

Figura 8: Desdobramento dos níveis de energia do césio na presença de um campo magnético.

em 12 +l subníveis; devido a isso, m também é chamado de número quântico magnético. Esse

shift de energia vale

(36)

A Figura 8 mostra um exemplo para o átomo de césio )(Cs . O campo Br

aplicado

quebra a degenerescência dos estados no que diz respeito ao número quântico azimutal m . A

distância entre níveis com m adjacentes é sempre ,MEδ independente dos valores de n e l .

O símbolo ↑ denota spin-up correspondente a 2/1=sm , e o símbolo ↓ denota spin-down e

corresponde a 2/1−=sm [BREHM e MULLIN, 1989].

Na presença de Br

, além da regra de seleção para o número quântico secundário

,1±=∆l existe a regra para o numero quântico magnético, .1,0 ±=∆m A Figura 11

.BgE BM µδ =

31

Figura 9: Desdobramento de níveis de energia para uma transição de l=2 para l=1.

mostra o desdobramento dos níveis de energia no caso de uma transição de um estado inicial

2=l para 1=l . A regra de seleção para m∆ limita as transições nas nove linhas mostradas.

Na Figura 9, verificam-se que os desdobramentos do estado inicial e do estado final

são os mesmos, e existe somente três diferentes energias de transição (independentemente dos

valores de l no estado inicial e final). Na presença de Br

aplicado, temos fótons emitidos

relacionados às energias MEE δ+∆ e MEE δ−∆ , devido à quebra de degenerescência de L .

No caso mais geral, um elétron em um átomo tem um momento angular orbital,

caracterizado pelo número quântico l , e um momento angular intrínseco, ou spin,

caracterizado pelo número quântico s . Se o átomo estiver num estado quântico genérico, os

vetores correspondentes aos momentos angulares orbital )(Lr

e do spin )(Sr

do elétron devem

ser considerados para formar um momento angular total )(Jr

dado por [GASIOROWICZ,

1972]:

(37)

Da mesma forma que Lr

e Sr

, o vetor Jr

é um momento angular quântico; assim as

quantidades J e zJ obedecem a regras de quantização similares a Lr

e Sr

. Nesse caso, o

.SLJrrr

+=

32

módulo do momento angular total é h)1( += jjJ . Cada valor de j do momento angular total

está associado a 12 +j números quânticos jm [BREHM e MULLIN, 1989],ou seja,

(38)

onde j é dado por:

(39)

A equação (39) representa o valor máximo de j uma vez que o valor de l é dado a

priori como o número quântico máximo do sistema, e 2

1 é o valor fixo do número quântico de

spin s . Os valores de j devem diferir de um número inteiro, pertencendo a uma série

decrescente [NUSSENZVEIG, 1998], do tipo ,...2

3,

2

1,

2

1−−+= lllj . O limite desta série

pode ser determinado utilizando as desigualdades entre os módulos dos vetores Lr

, Sr

e Jr

,

−+≥+

2

2

3)1()1( lljj ,onde mostra que somente os dois primeiros termos da série satisfaz

a essa desigualdade [NUSSENZVEIG, 1998], isto é

, para l=0 (40.a)

e

, para 0≠l . (40.b)

.,1,...,1, jjjjm j −+−−=

.2

1+= lj

2/1=j

21,2/1 −+= llj

33

Essas regras de quantização podem ser representadas por regras de adição vetorial,

cujos comprimentos dos vetores são proporcionais aos valores dos números quânticos ,l s

e j .

Os estados quânticos para um átomo de um elétron têm sido organizados pelos

números quânticos ,n ,l lm e sm ; e suas funções de onda expressa por

sl mmlnΨ

[EISBERG e RESNICK, 1988]. Esses estados podem ser representados adotando-se os

números quânticos j e jm em vez de lm e sm . Assim os estados quânticos se baseiam em

uma função de onda da formajmjlnΨ . Nessa nova descrição, é conveniente introduzir a

notação espectroscópica de Russel-Saunders [LLEWELLYN e TIPLER, 1978] para

representação dos níveis de energia nE e estados degenerados de jmjlnΨ . Assim, por

exemplo, o estado fundamental do césio é representado pela notação 2126 S , onde o valor de

n é escrito como prefixo e o valor do número quântico associado ao momento angular

total j , como índice inferior. O spin total (2s+1) aparece como índice superior. Neste caso,

para um elétron no nível 6=n , o momento angular orbital l , pode ser igual a 0, 1 ou 2, de

modo que existem cinco estados possíveis:

,6 2/12S ,6 2/1

2P ,6 2/32P ,6 2/5

2D 2/326 D [LLEWELLYN e TIPLER, 1978]. A

Figura 10 mostra o desdobramento fino do átomo de césio; verifica-se que o nível com 2

3=j

tem energia ligeiramente maior que o nível 2

1=j . Em consequência, a linha espectral

associada à transição de S6 para P6 também se desdobra em duas linhas de comprimentos

de onda ligeiramente diferentes.

34

Figura 10: Diagrama de níveis de energia mostrando o desdobramento fino do césio.

1.5 A INTERAÇÃO SPIN-ÓRBITA DA ESTRUTURA FINA

Na seção anterior foi discutido que estados atômicos com os mesmos valores de ,n e

,l mas diferentes valores de ,j possuem energias ligeiramente diferentes por causa da

interação do spin do elétron com seu movimento em torno do núcleo. Como o campo

magnético interno é consequência do momento angular orbital do elétron, essa interação é

conhecida como interação spin-órbita. Essa interação está associada ao shift de energia devido

à estrutura fina e explica o desdobramento fino associado às transições SP 66 → do átomo de

césio na Figura 10.

O efeito spin-órbita pode ser compreendido a partir do modelo simples de Bohr,

mostrado na Figura 11.

Figura 11: Movimento orbital atômico em dois referenciais: do núcleo (a); e do elétron (b).

35

Na Figura 11(a) o elétron está em movimento em uma órbita circular com velocidade

vr

no sentido anti-horário em torno do núcleo. No referencial fixo do elétron, Figura 11(b), é o

núcleo que se move em uma orbita circular com velocidade vr

− , de modo que o elétron fica

sujeito a um campo magnético Br

criado pelo núcleo. Lembramos que o campo Br

está

associado a um campo elétrico Er

(no referencial da Figura 11(a), a carga ez está em repouso,

isto é, ela é a carga fonte geradora do campo Er

) por 2c

EvB

rrr ×

−= [GRIFFITHS, 2011].

No referencial do elétron, o campo Br

é campo magnético interno intBr

que pode ser

escrito como [EISBERG e RESNICK, 1988]:

(41)

onde em é a massa do elétron, c é a velocidade da luz e r é a distância do elétron ao núcleo.

O momento magnético de spin do elétron, Sµr

, interage com o campo magnético

interno, intBr

, de forma que a interação spin-órbita é dada por intBV sSL

rr⋅−= µ , com

h

rrr S

g Bss µµ −= e 2=sg . Da equação (41) obtém-se [EISBERG e RESNICK, 1988]:

(42)

A equação (42) está relacionada ao referencial fixo no elétron; para reescrevê-la no

referencial fixo do núcleo, um termo relativístico adicional deve ser adicionado a ela. Isso

permite que o elétron passe a ter um movimento acelerado; esse termo é conhecido como

precessão de Thomas, que se diferencia da precessão de Larmor pela presença de um fator 2

1 ,

denominado de fator de Thomas [BREHM e MULLIN, 1989]. Como a interação spin-órbita é

,4 32

0int

rcm

LZB

e

e

r

πε=

.4 322

0

2

rcm

LSZeV

e

SL

rr⋅

=πε

36

Figura 12: Precessão Lr de e S

r ao redor de J

r.

um dos efeitos relativísticos que contribui para a estrutura fina, a equação (42) pode ser

reescrita em função da constante da estrutura fina, α , de forma [TANNOUDJI, 1991] que:

(43)

onde .4 0

2

c

e

hεπα =

Como os vetores Lr e S

r precessionam em torno do eixo z, a interação spin-órbita está

relacionada à precessão de Lr e S

r ao redor de J

r, como mostra a Figura 12. Isto faz com que o

momento angular total corresponda a diferentes valores de energia causando, assim, a

degenerescência dos estados jmjlnΨ para átomos de mesmo n e l , para diferentes valores

de j [BREHM e MULLIN, 1989]. É o que explica o diagrama de energia da Figura 10.

Usando a relação ,2 222 SSLLJ +⋅+=rrr

a equação (43) pode ser escrita como:

(44)

Calculando o valor esperado da interação spin-órbita obtém-se:

,2 32

r

LS

cm

ZV

e

SL

rrh ⋅

=α

.)(

4 3

222

2r

SLJ

cm

ZV

c

SL

−−=

hα

37

(45)

onde 0E é a energia de Rydberg

= 2

2

0 2cmEpordada e

α.

O valor esperado >< SLV é interpretado como sendo um shift dos níveis de energia.

Nota-se que o termo entre colchetes na equação (45) se anula para o estado 0=l pois, nesse

caso, 2/1=j e, portanto, 4/3)1( =+jj ; ou seja, nesse estado a interação spin-órbita não

traz influência à energia do sistema [EISBERG e RESNICK, 1988]. No caso em que 0≠l os

estados com 2/1−=lj e 2/1+= lj levam a um desdobramento de cada nível de energia

em dois outros níveis [BREHM e MULLIN, 1989]. Aplicando estas condições à equação (45)

temos:

para 2/1+= lj e (46)

para 2/1+= lj . (47)

O shift de energia SLEδ associado à interação spin-órbita é obtido pela diferença

entre as equações (46) e (47), isto é:

(48)

,)12)(1(

]4/3)1()1([03

44

++−+−+

=><lll

lljjE

n

ZVSL

α

,)12)(1(3

024

++=><

lln

EZVSL

α

,)12(3

024

+−=><

lln

EZVSL

α

.)12(3

024

+−=

lln

EZESL

αδ

38

Se o átomo estiver imerso num campo elétrico muito mais intenso que intBr

(isto é,

intBBext

rr>> ), a interação spin-órbita é negligível, e temos o efeito Zeeman normal (já

abordado). Neste caso, o conjunto de números quânticos lmsln ,,, e sm são convenientes para

descrever a função de onda ( )sl mmlnΨ ; caso contrário, a interação spin-órbita assume papel

de destaque e os números quânticos jmjsln ,,,, definem a melhor base para se representar a

função de onda ( )jmjlnΨ [BREHM e MULLIN, 1989].

1.6 O EFEITO ZEEMAN ANÔMALO

O efeito Zeeman anômalo ocorre quando o spin de um dos estados envolvidos na

transição é diferente de zero. Este efeito está relacionado à existência de um campo magnético

forte, que interage com o átomo de acordo com BVM

rr⋅−= µ , e o momento magnético total é

SL µµµrrr

+= [GASIOROWICZ, 1972]. O efeito Zeeman associa-se a dois casos distintos: um

caso em que o campo magnético externo aplicado é muito mais intenso que o campo

magnético associado à interação spin-órbita, ou seja, intBBext

rr>> , e outro, onde o campo

magnético é intBBext

rr< , mas extB

r

não é desprezível.

No caso onde intBBext

rr>> , a interação spin-órbita pode ser desprezada. Neste caso os

vetores Lr

e Sr

são desacoplados e precessionam independentemente em torno de Br

. Dessa

forma, a interação magnética é representada na base dos números quânticos sl mmsln ,,,, ,

que descrevem um estado atômico correspondente a uma função de onda sl mmlnΨ , e os

valores esperados lz mL h=>< e sz mS h=>< [TANNOUDJI, 1991] são usados para se

obter:

(49)

).2( slextBM mmBV +=>< µ

39

Figura 13: Diagramas vetoriais para construções de Jr

e Jµr

(a); e construção de zµr

(b).

Assim o desdobramento é semelhante ao que ocorre no efeito Zeeman normal e apenas

três linhas são observadas. Em uma dada configuração orbital, com os números quânticos n e

l , têm-se )12(2 +l subestados magnéticos diferentes. O shift nos estados de energia,

associados à equação (79), só podem ser considerados se a interação spin-órbita for dominada

por MV , isto é, SLM VV >> ; esse efeito em campos magnéticos elevados é conhecido como

efeito Paschen-Back e é um caso especial do efeito Zeeman [BREHM e MULLIN, 1989].

No caso em que intBBext

rr< (com o campo magnético externo não sendo desprezível)

a interação spin-órbita impede que as precessões dos vetores momento magnéticos, Lµr

e Sµr

, sejam independentes. Neste caso, as interações magnéticas devem ser representadas na

base de números quânticos jmjsln ,,,, , associada a jmjlnΨ [GASIOROWICZ, 1972].

Nesse problema, o momento magnético total µr

aponta numa determinada direção, e o estado

associado ajmjlnΨ , representado pelo momento angular total, tem o vetor J

r apontando

numa direção diferente, como mostra a Figura (13a)

(a) (b)

A componente de µr

na direção de Jr

é dado por [GASIOROWICZ, 1972]:

(50)

( ),32

223LSJ

J

BJ −+−=

h

rr µµ

40

onde Bµr

é o magneton de Bohr.

Como Jµr

precessiona mais rapidamente em torno de Jr

do que em torno de Br

,

tomamos a componente Zµr

na direção de extBr

, como indicado na Figura 13(b). Notamos que

Zµr

e Jµr

são distinguíveis, e para encontrar o valor de Zµr

leva-se em conta os efeitos da

interação spin-órbita. A componente Zµr

pode ser escrita de forma [BREHM e MULLIN,

1989]:

(51)

onde ,)1(2

)1()1()1(1

+

+−++++=

jj

llssjjg denominado fator de Landé [TANNOUDJI, 1991].

O desdobramento da energia resultante do efeito Zeeman anômalo é obtido usando a

equação (51) na equação (49); assim temos:

(52)

A equação (52) possui uma estrutura similar a equação (35), relacionada ao

desdobramento da energia resultante do efeito Zeeman normal, e são equivalentes quando o

átomo no estado jmjlnΨ não sofre a ação de um campo magnético externo, isto é,

0=extBr

[BREHM e MULLIN, 1989]. A equação (52) representa o efeito Zeeman anômalo e

mostra que, num campo magnético 0≠extBr

, cada nível de energia jLn será desdobrado em

)12( +j componentes, uma para cada valor de jm , com magnitude não muito maior que intBr

,

associado à interação spin-orbita e à estrutura fina. O efeito Zeeman anômalo também é

,><−>=< zB

z Jgh

µµ

.extjBM BmgV µ=><

41

chamado de efeito de campo fraco associado à estrutura fina [TANNOUDJI, 1991]. O campo

fraco não é intBr

, é o extBr

, que é dito fraco porque não é muito mais intenso que intBr

.

1.7 A ESTRUTURA HIPERFINA

Nesta seção, vamos nos concentrar na interação hiperfina para átomos

monoeletrônicos, para enfim compreendermos o funcionamento do relógio atômico e a

definição do atual padrão de tempo.

O próton, assim como o elétron, é uma partícula de spin 2

1, que possui um momento

magnético intrínseco Iµr

, também chamado de momento magnético nuclear, o qual

estabelece um campo magnético permanente dentro do átomo e promove uma interação

Zeeman fraca com o momento magnético do elétron, Jµr

[PIZA, 2001]. Essa interação

magnética adicional no interior do átomo, identificada por um acoplamento entre o spin

nuclear e o spin eletrônico, é conhecida como estrutura hiperfina, também associada ao efeito

Zeeman. Na estrutura hiperfina, o desdobramento dos níveis de energia são ordens de

magnitude menores que os desdobramentos spin-órbita associados à estrutura fina dos átomos

[TANNOUDJI, 1991].

Vamos considerar a interação hiperfina para o estado com 0=l e, depois, para o

átomo de césio no estado fundamental. O núcleo atômico tem um spin nuclear representado

por um momento angular Ir

[GASIOROWICZ, 1972], cujos estados são identificados por um

número quântico de spin nuclear ,...2,2

3,1,

2

1,0=i de forma que

(53)

Analogamente ao momento magnético de spin eletrônico, h

rrr S

g Bss µµ −= , a expressão

para o momento magnético devido ao spin nuclear é escrito como:

).1(22 += iiI h

42

(54)

onde P

NM

e

2

h=µ , denominado magneton nuclear (com

PM sendo a massa do próton),e Ig

é o fator nuclear. Para o caso em que 1=Z e 2

1=i tem-se 792847386,2

2=Pg

,onde gp é

o fator g do próton [PIZA, 2001].

A interação hiperfina é do tipo spin-spin, pois envolve os momentos magnéticos de

spin do núcleo e do elétron. Para um átomo no estado 0=l essa interação é dada por

[BREHM e MULLIN, 1989]:

(55)

onde c é a velocidade da luz, em e a massa do elétron, PM é a massa do próton sg é o fator

orbital, Ig é o fator nuclear.

A equação (55) é uma analogia à interação spin-órbita SLV . Assim, um momento

angular total Fr

pode ser definido agora como .ISLFrrrr

++= Para casos de estados com

0=l temos [PIZA, 2001]:

(56)

Dessa forma a interação SSV pode ser reescrita como

(57)

,h

rr I

g NII µµ =

,1

23

2

4

1 2

2

20 r

ISM

m

m

egg

cV

P

e

e

IsSS ∇⋅

−=

rr

πε

,ISFrrr

+=

( ) ,1

234

1 2222

2

20 r

ISFM

m

m

egg

cV

P

e

e

IsSS ∇−−

−=

πε

43

com )1(22 += ffF h , onde f é o número quântico associado ao momento magnético total

Fr

. Assim os estados da estrutura hiperfina para 0=l são especificados por um número

quântico principal n, um numero quântico orbital 0=l , e um número quântico de momento

angular total ,2

1== sj de forma que [GASIOROWICZ, 1972]:

ou 2

1−= if . (58)

Os dois valores para f correspondem a dois estados distintos do átomo, com energias

diferentes, desdobradas pelo efeito da interação hiperfina. Para estados em que 0=l os

valores de >< SSV , que representa o shift da energia hiperfina [BREHM e MULLIN, 1989],

são dados pela equação (59):

(59)

com

+−−+=−− )1(

4

3)1(2222 iiffISF h e

20

2 |)0(|1

nRr

−=∇ .

Para o estado fundamental ( 1=n ) de átomos monoeletrônicos, temos:

(60)

2

1+= if

,|)0(|)1(4

3)1(

2342

0

2

0

2

n

P

e

e

ISSS Riiff

M

m

cm

eggeV

+−−+

=><

πε

,4)0(3

2

10

=

h

cmZR eα

44

onde o raio de Bohr a é dado em termos da constante de estrutura fina α , isto é,

.cmaZ e

h=α Agora a equação (59) pode ser reescrita como [GASIOROWICZ, 1972]:

(61)

O desdobramento das energias hiperfinas depende dos valores do número quântico f .

As duas possibilidades para o termo entre colchetes na equação (61) são [GASIOROWICZ,

1972]:

para 2

1+= if e (62.a)

para 2

1+= if . (62.b)

Assim, a diferença de energia entre os dois estados determina o desdobramento hiperfino

( ) :HFEδ

(63)

O nível fundamental 2

126 S do átomo de césio, com número quântico de spin

nuclear2

7=i , apresenta dois estados hiperfinos, um com 4=f e outro com 3=f ,

representado na Figura 14. De acordo com a equação (63), o desdobramento hiperfino em

termos de frequência, é:

(64)

.)1(4

3)1(

32

243

+−−+=>< iiffcM

mggZV

P

eIS

SS α

,i,i

,1−−i

).12(3

22

43 += icM

mggzE

P

eISαδ

,192631770,9 GHzh

EHF

HF==

δυ

45

Figura 14: Efeito da interação hiperfina para o estado 2/1

26 S do césio, e

a frequência correspondente ao intervalo de tempo de 1s, medida pelo relógio atômico.

que corresponde a um comprimento de onda cm3,3≈λ . O tempo que o elétron leva para

efetuar 910192631770,9 × oscilações entre os estados hiperfinos 3=f e 4=f do estado

fundamental do átomo de césio é a atual definição de segundo.

46

Figura 15: Primeiros relógios construídos para marcação do tempo; relógio de Sol (a), ampulheta (b) e clepsidra (c) [IMAGENS GOOGLE].

2. O RELÓGIO ATÔMICO: UMA APLICAÇÃO NA CIÊNCIA E TECNOLOGIA

Neste tópico será abordado o comportamento qualitativo do relógio atômico, uma

aplicação da Física Atômica muito importante na medição do tempo.

2.1 EVOLUÇÃO DAS MEDIDAS DE TEMPO

Desde muito cedo o homem teve a necessidade de contar o tempo. Os primeiros

relógios do mundo surgiram da sua necessidade de se localizar no tempo e no espaço e de

organizar suas tarefas. Antes da invenção dos relógios as pessoas se baseavam em eventos

regulares e naturais para manter o controle do tempo [OLIVEIRA, 2014]. Os primeiros

relógios construídos tinham o movimento do sol como referência natural, onde um bastão era

fincado no centro de uma superfície circular projetando uma sombra para indicar a hora,

desde o nascer até o pôr do sol [ALLEN; 2014], como visto na Figura 15. A necessidade de

medir a passagem do tempo com maior precisão, na área cientifica e em muitas necessidades

humanas conforme a sociedade foi se organizando, permitiu o desenvolvimento de novos

instrumentos capazes de dividir o dia em partes menores que se tornaram os minutos e

segundos; assim foram surgindo novos dispositivos secundários que eram calibrados usando o

Sol como padrão de tempo [BAGNATO, 2012]. Durante anos novos tipos de relógios foram

desenvolvidos baseados em diferentes medidas de passagem de tempo, muitos deles

utilizavam o escoar dos líquidos, areia ou a queima de fluidos para a contagem do tempo; no

entanto, nenhum deles apresentava uma técnica mais apurada.

47

O estabelecimento de padrões de medidas mais precisos data de pouco mais de três

séculos. Avanços mais significativos surgiram entre os séculos XVI e XVII, onde

exploradores navegavam em busca de riquezas em viagens que iam cada vez mais distantes.

Tal fato exigia a melhoria do sistema de navegação marítima para que a posição do navio

fosse determinada com menor margem de erro. Essa necessidade levou ao surgimento de

relógios mecânicos mais precisos [BEBEACHIBULI, 2013].

Com o desenvolvimento tecnológico dos sistemas de radar e das telecomunicações, a

demanda pela uniformidade nos padrões de medida cresceu, tornando a precisão dos relógios

mecânicos insuficiente, levando ao desenvolvimento dos relógios de quartzo. Seu grande

diferencial é a precisão; enquanto os antigos relógios mecânicos perdiam um décimo de

segundo por dia, os de quartzo não erram mais do que um milésimo [DIMAS, 1976]. A

substituição das oscilações mecânicas por oscilações eletrônicas, baseadas em certas

propriedades elétricas desses cristais, permitiu tal aumento na precisão das medidas de tempo.

Com o desenvolvimento da Física Atômica, notou-se que as frequências derivadas das

transições ressoantes de átomos e moléculas oferecem larga vantagem sobre os demais

métodos até então utilizados. A principal vantagem do relógio atômico é que qualquer

transição não perturbada é idêntica de átomo a átomo e, dessa forma, relógios baseados na

mesma transição podem gerar a mesma frequência sem alterar suas propriedades físicas com o

tempo.

Em 1949 foi desenvolvido, por Harold Lyons (no Instituto de Padrões e Tecnologia-

NIST), o primeiro relógio que utilizava o átomo como elemento básico para a contagem do

tempo, usando moléculas de amônia [BAGNATO, 2012]. Em meados da década de 50, uma

versão aprimorada baseada na transição do átomo de césio, construído por Louis Essen e John

Parry (do Laboratório Nacional Britânico de Física), levou a uma nova definição aceita

internacionalmente acerca do “segundo”. Em 1967, na 13ª Conferência Geral de Pesos e

Medidas, o “segundo” foi definido na transição hiperfina do átomo de césio

[BEBEACHIBULI, 2013]:

48

Figura 16: Precisão de diferentes relógios utilizados no dia a dia [BAGNATO 2012].

O segundo é a duração de 770.631.192.9 períodos correspondentes à transição entre

os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio Cs133 [BEBEACHIBULI,

2013], isto é, o segundo é o padrão de medida do tempo.

A margem de erro de um relógio desses é de apenas alguns segundos em milhões de

anos, contra um segundo por dia em um relógio de pulso comum [BAGNATO; 2012]. A

Figura 16 apresenta a precisão de diferentes relógios utilizados no dia a dia. Para algumas

aplicações exatidão da ordem de segundos em até alguns mil anos pode ser suficiente. Para

outras, é necessário manter os relógios com precisão superiores.

Um dos mais importantes usos dos relógios atômicos ocorre no sistema de navegação.

Na localização geográfica via satélite, as frações de segundos são imprescindíveis ao Sistema

de Posicionamento Global (GPS), composto por 24 satélites que orbitam o planeta

[BERNARDI e LANDIM, 2002]. Cada satélite contém um par de relógios atômicos;

emissores de localização emitem sinais sincronizados e, em qualquer ponto na superfície da

Terra, um receptor capta os sinais e mede a diferença de chegada de cada um deles; e por

triangulação a posição do receptor é determinada. O relógio atômico é fundamental nesses

sistemas, pois é a única maneira de medir com precisão a localização do receptor [SANTOS,

2008].

49

Nas telecomunicações a sincronização do tempo é uma necessidade fundamental da

rede, pois controla o tráfego de informações via fibras ópticas, mensura os fluxos de dados,

mede a duração das transmissões e ajuda a direcionar as ligações. Na troca de dados e de voz

o sincronismo garante o bom funcionamento do sistema. Sem tal sincronismo, corre-se o risco

de erros que comprometem as ligações [OLIVEIRA, 2006].

Na indústria, os relógios atômicos são usados para calibrar geradores de frequência,

sintetizadores, contadores e outros instrumentos que dependem de padrões de frequência.

Vários países mantêm transmissão constante de tempo, com base em relógios atômicos, para

que instrumentos e relógios públicos sejam calibrados, permitindo sincronismo em todo o seu

território [BAGNATO 2012]. O panorama atual dos padrões de frequência torna realidade

testes de Física Fundamental. Os cientistas do laboratório do NIST conseguiram, pela

primeira vez, observar o fenômeno da dilatação do tempo previsto pela Teoria da

Relatividade, em dimensões de cerca de 33cm, usando dois dos mais precisos relógios

atômicos já construídos [WINELAND; 2010].

Atualmente diversos países dominam a tecnologia envolvida na construção dos

padrões de frequência atômica. Os Estados Unidos, por exemplo, anunciaram, em 2013, a

criação do relógio atômico mais preciso do mundo, que utiliza como matéria-prima o

elemento químico itérbio (Yb), dez vezes mais preciso do que outros dispositivos já

desenvolvidos, apresentando uma variação de menos de um segundo em 13,8 bilhões de anos,

a idade estimada do universo [LUDLOW, 2013]. O Brasil, em 1998, iniciou um programa de

metrologia de tempo e frequência quando o grupo de Óptica do Instituto de Física de São

Carlos, e a atual CePOF (Centro de Pesquisa em Óptica e Fotônica), deram início à

construção do primeiro relógio atômico com feixe de césio, e em seguida, à construção de um

relógio tipo chafariz [BEBEACHIBULI 2013].

2.2 O RELÓGIO ATÔMICO DE FEIXE EFUSIVO DE CÉSIO

Nesta seção discutiremos o princípio de funcionamento do relógio atômico de feixe

térmico de césio, primeiro modelo construído pelo Programa Brasileiro de Metrologia de

50

Figura 17: Primeiro relógio atômico brasileiro [ALVES, 2012].

Tempo e Frequência, e primeiro da América Latina operado a laser, baseado no efeito de

bombeamento óptico e detecção de fluorescência. Este relógio está representado na Figura 17.

O processo começa em um forno efusivo de césio, esquematizado na Figura 18,

operando a uma temperatura em torno de 375 K (102 ºC). Nele, os átomos emergem em dois

estados quânticos (da estrutura hiperfina) do estado fundamental 2

126 S [BAGNATO e

MAGALHÃES, 2002]. Ao emergir do forno, os átomos podem estar em um de seus dois

estados energéticos de spin, e passam por uma região chamada região de preparação. Nesta

região todos os átomos de césio são preparados opticamente no estado ,62

12S com 3=f ,

por um feixe laser ressonante com transição

( ) ( )4'6462

32

21

2 =→= fPfS [BEBEACHIBULI; 2013]. Dessa forma, os átomos que saem

do forno no estado 3=f (bolas azuis do diagrama da Figura 18) não interagem com o laser,

mas aqueles com 4=f (bolas vermelhas na Figura 18), sofrem a transição e podem decair

para ( )362

12 =fS .

51

Figura 18: Diagrama do relógio atômico a feixe térmico de césio [BAGNATO 2012].

Uma vez preparado, o feixe de césio penetra em uma cavidade de microondas,

chamada de cavidade Ramsey, e interage com um campo magnético perpendicular à direção

de propagação dos átomos e paralelo à radiação de microondas. A cavidade de microondas é

alimentada por um gerador de GHz192631770,9 , correspondente à transição

( ) ( )46362

12

21

2 =↔= fSfS , capaz de fazer os átomos passarem para o estado 4=f

[BAGNATO, 2012].

Após a passagem dos átomos pela cavidade de microondas, alguns átomos continuam

no estado 3=f , mas muitos deles emergem em 4=f e são analisados opticamente por um

segundo laser, ressonante com a transição ( ) )4'(6462

32

21

2 =→= fPfS ; os átomos que

absorvem energia desse laser transitam para o estado excitado emitindo fótons ao decaírem

para o estado fundamental [BAGNATO, 2012], como ilustra a Figura 19. Essa emissão de

fótons produz uma fluorescência que indica que os átomos, ao atravessar a cavidade,

passaram de 3=f para 4=f . O sinal obtido é uma função de frequência do sinal do

gerador de microondas conhecido como franja de Ramsey [SILVA, 1998], e é mostrado na

Figura 20.

52

Figura 19: Diagrama das transições envolvidas na detecção dos átomos. Somente os átomos que saírem no estado ( )46

21

2 =fS

absorverão os fótons desta radiação e decairão emitindo radiação espontaneamente.

Figura 20: Franjas de Ramsey do relógio atômico de feixe térmico [BAGNATO, 2012].

Quanto mais intensa a fluorescência, maior o número de átomos que mudaram de

estado; a intensidade da fluorescência reflete diretamente a interação dos átomos com a

radiação eletromagnética. Variando a frequência υ dessa radiação, a máxima fluorescência

ocorre quando υ é exatamente de 9.192.631.770 Hz. O relógio atômico procura manter

inalterada a radiação que produz o máximo de fluorescência, para garantir o fator da

frequência. Para isso, é preciso todo um sistema que analise o processo e introduza correções

de modo a manter a frequência no valor exato, aquele que define a unidade do “segundo”

[BAGNATO, 2012].

53

Figura 21: Primeiro relógio atômico modelo chafariz do Brasil [ALVES, 2012].

Os primeiros resultados obtidos, pelo grupo de Óptica do Instituto de Física de São

Carlos permitiram estimar uma precisão de 109

1 para o relógio, o que implica em uma

margem de erro inferior a um segundo em mais de um século. A avaliação correta de um

relógio atômico é feita comparando-o com outros relógios do mesmo tipo, o que permite

avaliar desvios relativos e prescrever correções.

2.3 O RELÓGIO ATÔMICO DE CHAFARIZ DE ÁTOMOS FRIOS

O modelo chafariz é o segundo relógio atômico construído pelo Instituto de Física de

São Carlos (visto na Figura 13); esse modelo opera de forma vertical e semelhante ao relógio

de feixe térmico, porém trabalha com átomos frios (átomos resfriados e armadilhados por

feixes de laser) e apresenta maior precisão.

O funcionamento do relógio atômico de átomos frios, representado na Figura 22,

começa com um vapor de átomos de césio resfriados, a uma temperatura de alguns

milionésimos de grau acima do zero absoluto, e aprisionados em um sistema de vácuo por

uma armadilha óptica de feixes de laser [OLIVEIRA, 2006]. Em seguida são lançados

verticalmente, todos de um só nível do estado fundamental (nível utilizado para a transição

óptica de aprisionamento), até o interior de um tubo metálico, que possui uma cavidade de

microondas com 9.192.631.770 Hz de frequência (idêntica à oscilação da radiação do césio).

54

Figura 22: Representação do funcionamento do relógio atômico de átomos frios [OLIVEIRA, 2006].

Sob a influência da gravidade, o grupo de átomos cai de volta interagindo novamente com as

microondas [Magalhães, 2004]. O ideal é que quando a cavidade de microondas estiver

alimentada com um sinal exatamente na ressonância atômica, e com intensidade correta, todos

os átomos sofram uma transição de nível de energia [ALVES, 2012].

Durante a viagem, os estados atômicos dos átomos podem ou não ser alterados à

medida que interagem com o sinal de microondas. Quando a viagem é concluída, a nuvem de

átomos interage com dois feixes de laser; o primeiro feixe detecta os átomos no estado 4=f

e, em seguida, a amostra passa pelo segundo feixe, que detecta os átomos no estado 3=f e

4=f [ALVES, 2012].

Os átomos cujo estado atômico foram alterados pelo sinal de microondas emitem luz,

e os fótons são medidos por um detector de fluorescência. Este processo é repetido várias

vezes, enquanto o sinal de microondas no interior da cavidade é sintonizado para frequências

55

diferentes. Eventualmente, uma frequência de microondas que altera os estados da maior parte

dos átomos de césio e maximiza a sua fluorescência é encontrada [JEFFERTS, 2013]. Esta

frequência é a frequência de ressonância natural do átomo de césio (9.192.631.770 Hz), ou a

frequência usada para definir o “segundo”.

Os estudos sobre a técnica de armadilhamento óptico, usada nos relógios atômicos,

deram o prêmio Nobel de Física de 2012 para Dave Wineland (Estados Unidos) e Serge

Haroche (França), que desenvolveram seus trabalhos independentemente.

56

3. CONSIDERAÇÕES FINAIS

• A Física Atômica e os conceitos de Mecânica Quântica explicam a estrutura dos

átomos;

• É possível usar o laser como uma ferramenta auxiliar para se medir o tempo;

• Os átomos de césio apresentam frequência de transição hiperfina bem definida (que estabelece a definição do “segundo”) e, por isso, são usados hoje como instrumento na medição do tempo;

• Os relógios atômicos são fundamentais nos sistemas de navegação, nas redes de telecomunicações e na indústria, pois representam a única maneira de manter esses sistemas operando de forma precisa;

• Na ciência esses relógios permitem a realização de testes de Física Fundamental e possibilitam o estudo de padrões cada vez melhores de frequência.

57

APÊNDICE: UM POUCO DE FÍSICA MODERNA

No final do século XIX, a Física parecia ter atingido seu ponto máximo de compreensão.

As leis de Newton para a mecânica e para a gravitação descreviam com precisão o

comportamento dos corpos celestes e terrestres [ROSA, 2004]. No começo do século XX,

foram descobertos fenômenos vinculados à estrutura atômica que eram inexplicáveis do ponto

de vista clássico, como a distribuição de energia da luz na radiação do corpo negro e o efeito

fotoelétrico. Em 1900, Max Planck postulou que a energia emitida por corpos irradiantes era

composta por pacotes de energia; essa radiação emitida se dava de forma quantizada, ou seja,

por múltiplos inteiros de um quantum de energia [NUNES, 2007], definido como υhE = onde

υ é a frequência da radiação e h é a constante universal, conhecida como constate de Planck.

Em 1905, Einstein apresentou uma explicação para o efeito fotoelétrico baseada nas ideias de

Planck sobre quantização. Einstein propôs que a quantização da energia no problema do corpo

negro fosse uma característica universal da luz [LLEWELLYN e TIPLER, 1978], e que

radiação eletromagnética associada a uma determinada frequência consiste em um quantum

de energia, a qual é transferida para um único elétron.

Em 1912, Bohr propôs seu modelo atômico para o átomo de hidrogênio levando em

consideração regras de quantização. Em seu modelo o elétron não poderia estar em qualquer

órbita em torno do núcleo. Como para cada órbita existe uma energia associada, Bohr

verificou que as energias da radiação emitida nas mudanças de órbitas seriam discretas, ou

seja, as energias irradiadas seriam quantizadas.

Levando em consideração os postulados de Bohr e Einstein, o físico francês Louis de

Broglie formulou a hipótese de que a matéria que possui características corpusculares deveria,

em certas circunstâncias, apresentar comportamento ondulatório [MONTEIRO, 2014]. Louis

de Broglie expressou sua hipótese matematicamente através das equações da frequência e

comprimento de onda das ondas de matéria, hoje conhecidas como relações de de Broglie

[LLEWELLYN e TIPLER, 1978],

(65)

,h

E=υ

58

(66)

onde E é a energia relacionada à frequência, p o momento linear e λ o comprimento de

onda de de Broglie da partícula. No final de 1925, essas ideias foram ampliadas e

transformadas em uma teoria mais completa por Erwin Schrödinger.

A FUNÇÃO DE ONDA E A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

A equação de Schrödinger descreve a evolução espacial e temporal de uma partícula em

um sistema físico. Para encontrar a equação de Schrödinger consideremos a função de onda

para uma partícula livre, ou seja, aquela aquela que não sofre a ação de nenhuma força

resultante da forma [RESENDE, 1996]:

(67)

onde A é a amplitude, k representa o módulo do vetor de onda e ω é a frequência angular.

Derivando a equação (67) em relação a x obtemos

(68)

A equação (68) pode ser escrita da seguinte forma:

(69)

onde kp

=h

.

,λh

p =

.),( )( wtkxi

ikAex

tx −=∂

Ψ∂

,),( )( tkxiAetx

ω−=Ψ

),,(),(

txp

ix

txΨ=

∂Ψ∂

h

59

Da equação (69) obtemos

(70)

que representa o operador momentum em uma dimensão. Derivando a função de onda em

relação a t obtemos a seguinte relação

(71)

ou ainda

(72)

onde h

E=ω . Dessa forma temos que:

(73)

que representa o operador energia. A equação de Schrödinger mostra que a energia total de

uma partícula, em termos de operadores atuando sobre a função de onda, é a soma das

energias cinética e potencial ),(V podendo ser escrita da seguinte forma [RESENDE, 1996]

(74)

Substituindo, na equação (74), as grandezas momentum e energia pelos seus respectivos

operadores, obtemos a equação de Schrödinger para uma partícula que se movimenta em uma

única dimensão:

,),( )( tkxi

Aeit

tx ωω −−=∂

Ψ∂

),,(),(

txE

it

txΨ−=

∂Ψ∂

h

,ˆt

iE∂∂

= h

.2

2

Ψ=Ψ+Ψ EVm

p

,ˆx

ip∂∂

−= h

60

(75)

EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO

Para casos em que a energia potencial não depende do tempo, as funções de tempo e

espaço podem ser separadas e escritas como o produto de duas funções de variáveis

independentes; esse método leva a uma das ideias fundamentais da Física Quântica: o

conceito de estados estacionários. Assim, temos para a função de onda [EISBERG e

RESNICK, 1988]:

(76)

Substituindo a equação (76) na equação (75) e dividindo por fψ obtemos

(77)

O lado esquerdo da equação (77) é uma função apenas de x , e o lado direito é função

apenas de t . Isto significa que variações de t não afetam o lado esquerdo e variações de x

não afetam o lado direito da equação (77). Dessa forma os dois lados da equação devem ser

iguais à uma única constante, que vamos chamar de λ ; assim, da equação (77):

(78)

e

(79)

.2 2

22

tiV

xm ∂Ψ∂

=Ψ+∂

Ψ∂− hh

).()(),( tfxtx ψ=Ψ

.11

2 2

22

dt

df

fiV

dx

d

mh

h=+−

ψψ

λψψψ

=+− Vdx

d

m 2

22

2

h

.fdt

dfi λ=h

61

A solução da equação (79) é dada por [LLEWELLYN e TIPLER, 1978]

(80)

onde h

λω = é a frequência angular. Comparando com a equação (65), a constante de

separação λ é igual à energia associada à função de onda, E=λ ; e a equação (79) se torna

(81)

que é conhecida como equação de Schrödinger independente do tempo. As soluções

independente do tempo, )(x=ψ , determinam a dependência espacial das soluções ),( tx=ψ

[EISBERG e RESNICK, 1988], através de

(82)

O POÇO DE POTENCIAL INFINITO E OS NÍVEIS DE ENERGIA

Nesta seção vamos encontrar a função de onda ),( tx=ψ para uma partícula num

poço infinito, representado na Figura 23. Este é um exemplo da aplicação da equação de

Schrödinger.

,)( h

ti

etfλ−

=

,2 2

22

ψψψ

EVdx

d

m=+−

h

.),( h

tiE

etx−

=Ψ ψ

62

Figura 23: Poço de potencial infinito de largura L

A energia potencial em um poço de potencial infinito é dada por [RESENDE, 1996]:

(83)

A solução geral da equação de Schrödinger independente do tempo no interior de um

poço infinito é dada por:

, (84)

com h

mEk

2= [RESENDE, 1996] e A e B sendo constantes.

Como o potencial é infinito do lado de fora do poço, a equação de Schrödinger só tem

sentido em seu interior, ou seja, no intervalo 22

Lx

L<<− . Atendendo à condição de que a

função de onda deve ser contínua, )(xψ deve ser nula em 2

Lx ±= , condição de contorno.

Aplicando este conceito na equação (84) obtemos

(85)

Como as constantes A e B não podem ser simultaneamente nulas (pois assim )(xψ seria

zero), a equação (85) é satisfeita escolhendo k de forma que

2cos

kL seja zero ou 0=A ;

>>−→∞

<<−→

22

220

)(L

xL

Lx

L

xV

.022

cos =

±

kLBsen

kLA

)()cos()( kxBsenkxAx +=ψ

63

também fazendo B igual a zero ou escolhendo k de forma que

2

kLsen seja zero

[EISBERG e RESNICK, 1988]. Assim, temos:

ou

2cos

kL, (86)

e

ou

2

kLsen . (87)

Os valores possíveis de k que satisfazem a equação (86) são

(88)

Para a equação (87) os valores de k são

(89)

Dessa forma as soluções espaciais da equação de Schrödinger independente do tempo

para um poço de potencial infinito são [LLEWELLYN e TIPLER, 1978]:

(90)

e

, (91)

onde n representa o nível de energia associado à função à função de onda .ψ

0=A

= xL

nAxn

πψ cos)(

0=B

...3,2,2

πππ=kL

...2

5,

2

3,

22

πππ=

kL

...5,3,1=n

= xL

nBsenxn

πψ )( ...6,4,2=n

64

Os valores de energia quantizados, ou autovalores de energia, podem ser obtidos a

partir de m

kE

2

22h

= [RESENDE, 1996] substituindo k pelos seus respectivos valores, dados

pelas equações (88) e (89). Assim, as energias possíveis são dadas por [RESENDE, 1996]:

(92)

onde n é chamado número quântico principal, pois representa os níveis de energia. As

constantes A e B podem ser encontradas usando a condição de normalização da função de

onda [EISBERG e RESNICK, 1988]:

(93)

Assim, obtemosL

BA2

== . As funções de onda normalizadas,

h/),( tiE

nnetx

−=Ψ ψ , representam as soluções deste problema e são conhecidas como

autofunções. A Figura 24 mostra os autovalores e as autofunções para três estados de uma

partícula em um poço de potencial infinito.

Figura 24: Três primeiros níveis discretos de energia (a); três autofunções para a partícula em um poço de potencial infinito (b).

,2

22

22

nmL

En

πh=

.1)(22/

2/=∫−

L

Ln xψ

65

As formas das funções que aparecem na Figura 24 fazem sentido quando observamos

a partícula como uma onda. Neste caso, somente certos comprimentos de onda podem existir

dentro da caixa em decorrência das condições de contorno impostas no problema, da mesma

forma como uma corda esticada com ambas as extremidades fixas (as cordas de um violão,

por exemplo) só pode vibrar em certas frequências discretas [ATKINS e JONES, 2011]. A

forma matemática da função de onda obedece à descrição de uma onda estacionária:

(94)

Outra consequêcia da equação (92) é que uma particula confinada não pode ter energia

total nula [RESNICK e EISBERG]. Como o menor valor de n é 1 a energia mais baixa é

.2 2

22

1mL

Eπh

= Este é a menor energia possível e é chamada de energia do ponto zero, sendo

consistente com o princípio da incerteza. A energia de ponto zero prevê que uma partícula não

pode estar perfeitamente imóvel, devendo haver um extado mínimo de movimento

[LLEWELLYN e TIPLER, 1978].

comL

xnsen

Lxn ,

2)(

=π

ψ ...5,3,1=n

66

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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