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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ - UNESPAR CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA

CURSO DE MATEMÁTICA

JÉSSICA MUNHOZ

O TEOREMA DE PITÁGORAS: UMA PROPOSTA DE ENSINO

UNIÃO DA VITÓRIA 2014

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JÉSSICA MUNHOZ

O TEOREMA DE PITÁGORAS: UMA PROPOSTA DE ENSINO

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de licenciado em Matemática, da Universidade Estadual do Paraná, Campus de União da Vitória – UNESPAR.

Orientador: Prof. Mestre Everton José Goldoni Estevam.

UNIÃO DA VITÓRIA 2014

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AGRADECIMENTOS

Inicialmente, ao Senhor meu Deus, por saber que onde estão as minhas

mãos também estão as Suas, por conceder a realização desse sonho.

À minha família, meu pai Manoel, minha mãe Luzmari e meu irmão Reinaldo,

pelo carinho, compreensão e incentivo que recebi.

Ao meu namorado pela paciência, compreensão e carinho dedicado.

Ao meu Orientador, Prof. Everton, por sua admirável dedicação e paciência,

e por suas sugestões e orientações para que fosse possível a concretização deste

trabalho.

Aos Professores do colegiado, pelos ensinamentos e ajuda, que dedicaram

durante todo esse processo de graduação.

Aos meus colegas de graduação e a todos que contribuíram de maneira

direta ou indireta para a realização deste trabalho.

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“Jamais considere seus estudos como uma obrigação, mas

como uma oportunidade invejável para aprender a conhecer a

influência libertadora da beleza do reino do espírito, para seu

próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade à qual

seu futuro trabalho pertencer.”

Albert Einstein

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RESUMO

Nesse trabalho, discutimos o ensino e a aprendizagem do Teorema de Pitágoras no 9º ano do Ensino Fundamental. Apresentamos um estudo teórico sobre os ternos pitagóricos, a história de Pitágoras de Samos e o Teorema de Pitágoras. A partir desses apontamentos e pautados nas Investigações Matemáticas, apresentamos uma proposta de ensino, para se introduzir o conceito do Teorema de Pitágoras, a qual se acredita que pode propiciar ao aluno a construção das ideias que sustentam o Teorema com significado e ao professor acompanhar a linha de raciocínio do aluno e perceber as (in) compreensões deste sobre o Teorema em questão. Esta proposta de ensino foi produzida de forma a conter recursos visuais que levem os alunos a terem uma oportunidade de compreender de forma agradável o conteúdo. Palavra-chave: Teorema de Pitágoras. Investigações Matemáticas. Ensino.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Tableta Plimpton 322........................................................................... 11

Figura 2 Tradução da Plimpton 322.................................................................. 12

Figura 3 Triângulo retângulo ABC..................................................................... 12

Figura 4 Representação pitagórica.................................................................... 13

Figura 5 Triângulo retângulo.............................................................................. 16

Figura 6 Formação do triângulo (3, 4, 5) utilizando a corda de 13 nós............. 17

Figura 7 Representação geométrica do Teorema de Pitágoras........................ 18

Figura 8 Demonstração geométrica utilizando o Teorema das Cordas............ 18

Figura 9 Demonstração geométrica A............................................................... 20

Figura 10 Demonstração geométrica B............................................................... 20

Figura 11 Ideia geral da demonstração Euclidiana............................................. 21

Figura 12 Demonstração Euclidiana.................................................................... 22

Figura 13 Triângulo Retângulo esperado no desenvolvimento da tarefa............ 30



Figura 16 Sobreposição dos quadrados possível no desenvolvimento da

tarefa....................................................................................................

34

Figura 17 Sobreposição dos retângulos possível no desenvolvimento da

tarefa....................................................................................................

37

7

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 Momentos na realização de uma investigação................................... 25

Quadro 2 Quadro de referência para a ação dos alunos e do professor no

desenvolvimento da tarefa 1...............................................................

31



36



41

8

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO....................................................................................... 09

2 ESTUDO HISTÓRICO........................................................................... 11

2.1 TEOREMA DE PITÁGORAS................................................................. 15

2.1.1 Algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras........................ 18

2.1.1.1 Demonstração do tipo algébrica utilizando uma circunferência............ 18

2.1.1.1.1 Considerações do ponto de vista matemático....................................... 18

2.1.1.1.2 Considerações do ponto de vista didático............................................. 19

2.1.1.2 Demonstração Hindu (geométrica, por transposição de elementos,

por equivalência)...................................................................................

19



2.1.1.3 Demonstração Euclidiana...................................................................... 21



3 INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS E O ENSINO DE MATEMÁTICA. 24

3.1 PRESSUPOSTOS DAS INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS............... 24

4 PROPOSTA DE ENSINO...................................................................... 29

4.1 DISCUSSÃO E SISTEMATIZAÇÃO...................................................... 41

5 CONTRIBUIÇÕES NO PROCESSO DE FORMAÇÃO DO

PROFESSOR E NO ENSINO E NA APRENDIZAGEM DOS

ALUNOS................................................................................................

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6 CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................. 46

REFERÊNCIAS...................................................................................................... 47

ANEXO A – TAREFA 1.......................................................................................... 48

ANEXO B – TAREFA 2.......................................................................................... 51

ANEXO C – TAREFA 3.......................................................................................... 53

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1 INTRODUÇÃO

O processo de ensino de Matemática consiste em criar estratégias que

propicie ao aluno a capacidade de atribuir sentido e construir significados a ideias

matemáticas de modo a estabelecer relações, justificar, discutir e criar (PARANÁ,

2008). Tendo uma visão crítica sobre esta situação, pretende-se através deste

trabalho apresentar uma proposta de ensino e aprendizagem utilizando a

Investigação Matemática para se trabalhar o Teorema de Pitágoras, com alunos do

9º ano do Ensino Fundamental.

Quando trabalhei o Teorema de Pitágoras, com alunos do 9º ano do Ensino

Fundamental, em 2012, tendo como metodologia a aula expositiva dialogada,

percebi que foi um dos assuntos pelo qual os alunos demonstraram mais interesse.

Devido a este fato, fui incitada a desenvolver uma proposta de ensino diferenciada

para se trabalhar com este Teorema tendo em vista que, em uma aula tradicional

não é possível perceber se os alunos compreenderam, de fato, o conceito, ou

apenas, sabem desenvolver o algoritmo. Já em uma aula com Investigação

Matemática é possível acompanhar o raciocínio do aluno durante todo o processo de

resolução de uma tarefa, diferente de uma aula expositiva, tendo em vista que o

aluno, na maioria das vezes, apenas desenvolve os algoritmos com priorização dos

resultados em detrimento do processo de resolução.

Todo esse trabalho foi criado com a intenção de se desenvolver uma

proposta de ensino pensada com vistas a ampliar as condições de aprendizagem

dos alunos, pautada em atividades investigativas, em que os alunos são desafiados

a procurar as soluções, compreender a questão, coletar os dados da mesma,

organizar esses dados, formular outras questões e conjecturas, envolver todos os

seus conhecimentos matemáticos já adquiridos, executar a tarefa e, por fim,

apresentar os resultados, validando suas justificativas.

Para tanto, o presente trabalho está dividido em capítulos sendo

apresentado no capítulo 2 o estudo histórico sobre o Teorema de Pitágoras, além de

abordar o Teorema e algumas de suas demonstrações. No capítulo 3 é feita uma

abordagem sobre as Investigações Matemáticas e o ensino de Matemática. No

capítulo 4 é apresentada a Proposta de Ensino, utilizando a Investigação

Matemática e os possíveis encaminhamentos para o decorrer da aula, apresentando

10

ainda, um quadro de referências (orientações) com algumas ações que podem ser

executadas pelo professor em contrapartida com as ações dos alunos. Já no

capítulo 5 são apresentadas as possíveis contribuições do trabalho ao processo de

formação do professor e no ensino e aprendizagem dos alunos. E por fim, as

considerações finais trazem uma visão geral do trabalho proposto.

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2 ESTUDO HISTÓRICO

O estudo histórico tem como finalidade caracterizar a origem e os processos

de identificação do Teorema de Pitágoras. A análise teórica permite patentear as

diferentes abordagens descritas ao longo do tempo.

Segundo Boyer (1974) e Eves (2004), a relação pitagórica já era conhecida

desde os povos egípcios, babilônios e gregos. Embora não haja nenhum registro em

documentos egípcios, o Teorema de Pitágoras já era bastante utilizado na

Mesopotâmia, o que é possível verificar através das tabletas deste período.

A tableta conhecida como Plimpton 322, continha ternos1 pitagóricos, ou

seja, medidas dos lados de um triângulo. Isso mostra que os babilônios tinham

conhecimento da relação entre os lados de um triângulo retângulo. Não havia

demonstrações, porém, eles conheciam a relação de que a medida ao quadrado do

lado maior de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois

lados, e através dela resolviam os problemas.

De acordo com Boyer (1974), a Plimpton 322 era parte de uma tableta

maior, em que havia quatro colunas, sendo que, a coluna da direita continha os

números de um a quinze, o que evidencia uma ordem para se considerar os

números das próximas colunas.

1 Embora alguns livros utilizem ternas pitagóricas, neste trabalho, adotaremos o termo como ternos

pitagóricos.

Figura 1 - Tableta Plimpton 322

12

Figura 2 - Tradução da Plimpton 322

Para entender o que os números dispostos na tableta significavam,

consideremos a figura 3:

Figura 3 - Triângulo retângulo ABC

De acordo com Boyer,

Se os números na segunda e terceira colunas (da esquerda para a direita) forem considerados como os lados a e c respectivamente, a primeira coluna a esquerda contém em cada caso o quadrado da razão de c para b. Assim, a coluna da esquerda é uma curta tabela de valores de sec² A, mas não devemos assumir que os babilônios conheciam nosso conceito de secante (1974, p. 25).

Boyer (1974, p. 26), ainda diz que “os que construíram a tabela

evidentemente começaram com dois inteiros sexagesimais regulares, que

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chamaremos p e q, com p q, então formaram a tripla de números p² - q² e 2pq e p²

+ q²”. Estes inteiros formam um triângulo pitagórico, onde o quadrado do lado maior

é igual a soma do quadrado dos outros dois lados. “Portanto esses números podem

ser usados como dimensões do triângulo retângulo ABC, com a = p² - q², b = 2pq e c

= p² + q²” (BOYER, 1974, p. 26), onde c² = a² + b².

Figura 4 - Representação pitagórica

A relação pitagórica foi testada pelos povos egípcios, babilônios e gregos,

em diversos triângulos retângulos, porém, não era possível afirmar que tal relação

era válida para todos os triângulos retângulos. Então, Pitágoras lançou uma

demonstração matemática sob tal relação e tornou-se possível generalizar o

conceito, partindo do particular/concreto para chegar ao geral/abstrato.

Da vida de Pitágoras não é possível afirmar quase nada com plena certeza,

pois, muitos documentos daquela época se perderam, inclusive, de acordo com

Boyer (1974), uma biografia escrita por Aristóteles. Entretanto, segundo Eves (2004,

p. 97), “ao que parece Pitágoras nasceu por volta de 572 a.C. na ilha egéia de

Samos”.

Depois viveu por algum tempo no Egito e audaciou-se em algumas viagens

mais extensas. “Aos quarenta anos, Pitágoras voltou a Samos, onde encontrou uma

recepção hostil da população, que não entendia a proposta de uma pessoa que se

julgava possuidora de sabedoria” (PEREIRA, 2002, p. 48). Então ele percebeu que

só receberia confiança se representasse um oráculo ou algum aparato mitológico.

Pensando nisso, foi para Delos e Creta, a fim de estudar sobre mistérios secretos.

14

“Ao retornar a Samos encontrou o poder nas mãos do tirano Polícrates e a

Jônia sob o domínio persa [...]” (EVES, 2004, p. 97), e conseguiu despertar o

interesse pela sua filosofia. Pitágoras não comia feijões, pois dizia que era abrigo

das almas de seus amigos mortos e, também, dizia que não deviam comer carne

dos animais, porque caso não houvesse corpos humanos suficientes, as almas dos

mortos poderiam encarnar nos animais (PEREIRA, 2002).

Pitágoras dominava várias relações matemáticas e isso recrutava um grande

respeito. Pereira, diz que:

Pitágoras afirmava ter domínio sobre a matemática em virtude de poderes recebidos de Apolo, ou seja, sendo dotado de poderes mágicos, poderia transmitir seus conhecimentos a quem o escutasse, o que fazia os jovens simianos ficarem maravilhados e manifestarem aos seus pais o desejo de o seguirem em seus ensinamentos (2002, p. 49).

Devido a isso, e levando em consideração que a inteligência de Pitágoras

podia prejudicar-lhe, o tirano Polícrates expulsou-o da ilha. Então, Pitágoras,

juntamente com sua mãe e um discípulo, seguiram para Crotona, atual Itália.

“Crotona estava ‘madura’ para receber Pitágoras, pois havia sido derrotada pelos

lócrios e o seu povo possuía o desejo de dominar Síbaris” (PEREIRA, 2002, p. 49).

Eles buscavam no atletismo e no espírito a esperança de dias melhores, estavam

frágeis, mais já tinham ouvido falar em Pitágoras e a poderes atribuídos a ele.

De acordo com Bergua (1995 apud PEREIRA, 2002, p. 49), Milón, chefe dos

aristocratas, junto a sua esposa e sua filha Teano, hospedaram Pitágoras, sua mãe

e seu discípulo. “Conta-se ainda que Teano teria se casado posteriormente com

Pitágoras, dando-lhes dois filhos e uma filha [...]”.

Pitágoras acreditava que “o número é o princípio de todas as coisas”.

Pereira (2002, p. 50), enfatiza que para Pitágoras e seus seguidores “[...] os

números não eram entendidos como símbolos destinados a expressar grandezas

diversas, eram, sim, reais, essências realizadas, mostrando-se como a ‘alma das

coisas’”. Foi com essa ideia que ele criou uma escola na cidade de Crotona, a qual

era conhecida como Escola Pitagórica.

De acordo com Marques (2011), os ensinamentos da Escola eram

fundamentados em Matemática, Filosofia, Música e Astronomia. Para que alguém

fosse admitido na escola, era necessário apresentar um mínimo de inteligência, caso

contrário, eram excluídos da mesma. “Quanto às mulheres, eram admitidas nas

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mesmas condições que os homens, o que era uma novidade para a época”

(PEREIRA, 2002, p. 51).

A Escola Pitagórica escolheu como símbolo o Pentagrama, ou seja, uma

estrela de cinco pontas que, segundo Marques (2011), representava o número cinco,

que simboliza para eles a união, o casamento. Marques (2011, p.106) ainda ressalta

que:

O número 1 era considerado o gerador de todos os outros números, o número 2 era o primeiro número par (considerados femininos) e o 3 era o primeiro número ímpar (considerados masculinos), logo 5 era a junção do primeiro feminino, com o primeiro masculino, simbolizando toda a criação.

Segundo Boyer (1974, p. 36), “a escola pitagórica era politicamente

conservadora e tinha um código de conduta rígido”. Os pitagóricos acreditavam na

metempsicose (transmigração da alma de um corpo para outro) e devido a isso o

vegetarianismo era imposto a eles. Em relação à estrutura e funcionamento da

Escola Pitagórica, pouco se pode afirmar, em virtude de seu caráter secreto.

A Escola partilhava de alguns princípios, entre eles o de que todos os

seguidores da ordem deveriam manter lealdade e segredo. “Este último impedia que

qualquer aluno falasse ou comentasse o que se passava na escola, bem como os

resultados e as descobertas realizadas” (MARQUES, 2011, p. 105). Por

consequência disso e “[...] como era costume da irmandade atribuir todas as

descobertas ao reverenciado fundador, é difícil agora saber exatamente que

descobertas matemáticas se devem ao próprio Pitágoras e quais se devem a outros

membros da confraria” (EVES, 2004, p. 97).

Entretanto, por volta de 500 a.C, sob a acusação de apoiar a aristocracia,

contrária ao governo, a escola foi fechada. Devido a isso, Pitágoras foi para a cidade

de Metaponto, onde ficaria até morrer, aproximadamente 497 a.C. Porém, seus

discípulos transmitiram seus ensinamentos por diversas regiões.

2.1 TEOREMA DE PITÁGORAS

A história do teorema de Pitágoras vem sendo divulgada, através de fatos e

lendas, o que dificulta uma abordagem bibliográfica confiável. Não há registros

históricos que evidenciem quando e como o Teorema foi incorporado aos

conhecimentos de Pitágoras.

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Consideremos o triângulo retângulo ABC, onde a é a medida da hipotenusa,

ou seja, o lado oposto ao ângulo de 90º, b e c é a medida dos catetos, ou seja, os

lados adjacentes ao ângulo de 90º.

Figura 5 - Triângulo retângulo

Hoje, pode-se enunciar o Teorema do seguinte modo: dado um triângulo

retângulo, ou seja, um polígono de três lados que possui um ângulo de 90°, o

quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, ou de maneira

geral, (hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)². De acordo com a figura 5, temos então,

. A descoberta do teorema foi atribuída a Pitágoras, pois segundo

estudos realizados no campo da História da Matemática (BOYER, 1974; EVES,

2004), foi ele quem primeiro apresentou uma demonstração geral para este teorema,

ficando assim conhecido como Teorema de Pitágoras.

Apesar dessa atribuição, os egípcios utilizavam uma corda com treze nós,

espaçados igualmente, para determinar um ângulo reto fazendo a sobreposição do

primeiro e do décimo terceiro nó, conforme mostra a figura 6.

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Figura 6 - Formação do triângulo (3, 4, 5) utilizando a corda de 13 nós.

O Teorema de Pitágoras embasa a noção de distância, um dos conceitos

mais importantes da Matemática e da Física. É possível relacioná-lo a diversas

situações problema do cotidiano, desde que seja possível formar, ainda que

intuitivamente, a figura de um triângulo retângulo, pois o mesmo, só é válido em

triângulos retângulos (COELHO, 2010).

O Teorema de Pitágoras é uma das maiores descobertas da História da

Matemática, pois estabelece um elo vital entre Geometria e Álgebra, permitindo

calcular distâncias, alturas e diagonais de polígonos. As relações entre os lados do

triângulo retângulo permitem explorar as figuras geométricas de diversas maneiras.

Podemos utilizar o Teorema de Pitágoras na Matemática, na Física, na

Biologia. No campo da física, em questões que envolvem grandezas vetoriais,

cálculo de deslocamentos, força resultante, geralmente, faz-se o uso do Teorema

para efetuar a resolução. Da mesma forma, na biologia, o Teorema é utilizado para

calcular a força resultante exercida sobre corpos, em diversas situações.

A figura 7 traz uma representação geométrica do enunciado do Teorema de

Pitágoras.

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Figura 7 - Representação geométrica do Teorema de Pitágoras

Se a é a medida da hipotenusa e se b e c são as medidas dos catetos então,

podemos enunciar o Teorema da seguinte forma: a² = b² + c².

Na figura 7 é possível observar que, de acordo com o Teorema de Pitágoras,

a área do quadrado amarelo, mais a área do quadrado verde, é igual à área do

quadrado vermelho. Porém, somente perceber isto através de uma visualização

geométrica não é suficiente, é necessária uma demonstração para que seja possível

considerar este fato verdadeiro.

2.1.1 Algumas Demonstrações do Teorema de Pitágoras

2.1.1.1 Demonstração do tipo algébrica utilizando-se uma Circunferência

2.1.1.1.1 Considerações do ponto de vista matemático

Figura 8 - Demonstração utilizando o Teorema das Cordas

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Seja o triângulo ABC retângulo em C.

Com centro em B e raio AB traça-se a circunferência.

Pelo Teorema das Cordas:

CE.CD = AC.CL

Considerando AB = h, AC = b e BC = a, temos que:

CE = h – a, AC = b, CD = h + a, CL = b.

Portanto, pelo teorema das cordas, temos:

(h – a).(h + a) = b.b

h² + ha – ha – a² = b²

h² - a² = b²

h² = a² + b²

2.1.1.1.2 Considerações do ponto de vista didático

Esta demonstração pode ser usada como aplicação do Teorema das

Cordas, supondo que o aluno já tenha conhecimento do Teorema de Pitágoras, é

interessante para que o mesmo perceba que se pode chegar a um mesmo resultado

por diferentes métodos.

Em relação às considerações cognitivas, é necessário, a partir de um dado

triângulo ABC, retângulo em C:

traçar a circunferência de centro B e raio AB, prolongar BC para obter os

pontos E e D e prolongar AC para obter o ponto L;

o reagrupamento pertinente das partes elementares CE, CB, BD, AC, CL

forma uma subfigura convexa (dois pares de ângulos opostos pelo vértice);

não há substituição de partes elementares.

2.1.1.2 Demonstração Hindu (Geométrica, por transposição de elementos, por

equivalência)

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Ao retirar os quatro triângulos das duas figuras respectivamente, temos: um

quadrado de lado c na figura 9 e dois quadrados na figura 10, um de lado b e o outro

de lado a.

Em outras palavras, o complementar dos triângulos na figura 9 é o quadrado

que tem como lado a hipotenusa do triângulo retângulo. Reconfigurando-se de modo

conveniente os quatro triângulos, o complementar deles em relação ao quadrado

maior, é a reunião dos quadrados cujos lados são os catetos.

Logo a área do quadrado de lado c é a soma das áreas dos quadrados cujos

lados medem a e b, ou seja: c² = a² + b²

Algebricamente:

para a Figura 9: (b + a)² = c² + 4 .

para a Figura 10: (b + a)² = b² + a² + 4 .

Portanto, temos: c² + 2ba = b² + a² + 2ba

Disto, c² = b² + a².


Figura 9 – Demonstração

geométrica A

Figura 10 – Demonstração

geométrica B

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A demonstração propicia uma variedade de abordagens:

o fracionamento da figura em partes elementares;

para formar a figura 9, o “triângulo chave” sofre rotações e para formar a

figura 10, sofre translações;

as características do contorno da subfigura, da figura 9, formada pela reunião

dos quatro retângulos, favorecem a visibilidade para encontrar, no quadrado

maior, os dois quadrados complementares.

O fato de não apresentar o obstáculo do desdobramento aumenta o grau de

visibilidade para a aplicação da operação.

2.1.1.3 Demonstração Euclidiana (do livro elementos, de Euclides)


O objetivo desta demonstração é provar que a área do quadrado e do

retângulo alaranjados são iguais e a área do quadrado e do retângulo azuis,

conforme retrata a figura 11.

Figura 11 – Ideia geral da demonstração euclidiana.

Para isso, utiliza-se a congruência entre triângulos.

Seja ABC um triângulo retângulo em C.

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Figura 12 – Demonstração Euclidiana

Construir sobre o lado , o quadrado ABIK e sobre os lados e , os

quadrados CBGF e CADE, respectivamente.

Traçar CJ//AK.

Temos que os triângulos ACK e ADB são semelhantes (por L.A.L), pois

AC=AD e AB=AK (lados de um quadrado) e .

Chamando de x a área do quadrado ADEC e de y a do quadrado CBGF, temos:

x = 2 vezes a área de (ABD), pois a área de ABD = =

Portanto, teremos que:

x = 2 vezes a área de (ACK), pois os dois triângulos são congruentes.

Porém:

área de (ACK) = = área

Então x = c² = 2 área (ABD) = área (AHJK).

Analogamente:

y = b² = 2 área (ABG) = área (HBIJ).

Desta forma, a área do quadrado (ABIK), formado pelos retângulos (AHJK) e (HBIJ),

é igual a soma das áreas b² + c², portanto, a² = b² + c².

23


Através desta demonstração é possível discutir outros conteúdos, como por

exemplo:

congruência de triângulos;

cálculo de áreas de triângulos, analisando as diferentes posições da figura;

fracionamento da figura em partes elementares.

Pode-se colocar a situação-problema em etapas, o que possibilitará

reinvestir em tópicos anteriores.

Há um grande número de possibilidades, tanto algébricas quanto

geométricas, para se demonstrar o Teorema de Pitágoras. As expostas aqui, servem

como exemplo notório de como se demonstrar este Teorema.

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3 INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS E O ENSINO DE MATEMÁTICA

Atualmente, muito se discute sobre os métodos de se trabalhar no ensino da

Matemática com o intuito de propiciar ao aluno maior adequabilidade em relação ao

conteúdo e à forma como são trabalhados em sala de aula (PARANÁ, 2008). Essa

busca por diferentes metodologias e propostas de ensino ocorre em virtude de

resultados de pesquisas que mostram o grande nível de dificuldade dos alunos em

aprender Matemática. Propor condições e situações diferenciadas e

contextualizadas que permitam explorar e descobrir a Matemática é fundamental no

processo de ensino e aprendizagem.

Os professores devem buscar cada vez mais ideias e condições para que os

alunos desenvolvam suas potencialidades e capacidades cognitivas e, não somente,

saberes acumulados, dada à importância que vem sendo atribuída aos conteúdos e

aos métodos de Ensino de Matemática, nas propostas curriculares. Estas sugerem

como esperada uma educação em que o aluno seja capaz de compreender o que

está fazendo e porque está fazendo daquela forma.

Com base nesses argumentos, optamos pelo uso da Investigação

Matemática como metodologia de ensino do Teorema de Pitágoras. Acreditamos

que ela pode contribuir no processo de aprendizagem quando desenvolvida de

acordo com os pressupostos que a sustentam.

3.1 PRESSUPOSTOS DAS INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS

Investigar é procurar saber algo que não se sabe. A palavra investigação

está relacionada à descoberta, pesquisa, exploração, autonomia, tomada de

decisões, espírito crítico e tem como objetivo descobrir algo.

“Para os matemáticos profissionais, investigar é descobrir relações entre

objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos, procurando identificar as

respectivas propriedades” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009 p. 13). Esse

processo de criação matemática pode trazer acontecimentos inesperados de forma

lógica ou dedutiva.

Na concepção de investigação matemática, Frota e Grazire, citado por

Strapason e Bisogni (2010), afirmam que,

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[...] uma situação problematizadora dispara o processo investigativo, a busca de métodos e processos e do levantamento de estudos teóricos na busca de uma solução. De acordo com essa concepção, uma aula de Matemática é sempre organizada a partir de uma situação problematizadora, que se pode configurar, por exemplo, na forma de uma pergunta, um problema, uma atividade investigativa, uma tarefa exploratória (2009, p. 1306).

De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), uma atividade de

investigação matemática é dividida em quatro momentos principais, os quais estão

sistematizados no quadro 1. Na primeira coluna estão identificados os momentos e

na segunda coluna as atitudes e ações dos alunos durante a realização de uma

tarefa investigativa.

Exploração e formulação de questões

Reconhecer uma situação problemática;

Explorar a situação problemática;

Formular questões.

Conjecturas

Organizar dados;

Formular conjecturas (e fazer afirmações

sobre uma conjectura).

Testes e reformulação Realizar testes;

Refinar uma conjectura.

Justificação e avaliação

Justificar uma conjectura;

Avaliar o raciocínio ou o resultado do

raciocínio.

Quadro 1 – Momentos na realização de uma investigação Fonte: Ponte, Brocardo, Oliveira, (2009, p. 21).

No início da atividade o professor busca envolver os alunos no trabalho,

propondo-lhes a realização de uma tarefa. Vamos discutir um pouco sobre cada um

dos momentos da realização da atividade, os quais estão sintetizados no quadro 1.

A exploração e formulação das questões é uma etapa em que os alunos

podem gastar demasiado tempo, o professor pode achar que os mesmos estão com

dificuldades e que nada estão fazendo. No entanto, este é o momento em que os

alunos vão se familiarizando com os dados e se identificando com a tarefa (PONTE;

BROCARDO; OLIVEIRA, 2009).

Por vezes, os alunos são levados a gerar novos dados, para depois

organizá-los e, posteriormente, começarem a formular questões. Há a possibilidade

26

do surgimento de conjecturas, logo após a formulação das questões, o que os leva a

fazerem testes. Durante este processo o professor deve estimular que os alunos

integrem seus conhecimentos matemáticos na investigação. Essas conjecturas

podem surgir aos alunos de diversas formas, seja através da observação direta dos

dados, por analogias, ou ainda, por manipulação de dados. É importante que o

professor oriente seus alunos de que eles devem registrar todas as informações,

pois, desta forma, todas as conjecturas serão verbalizadas, deixando de existir

somente no pensamento do aluno.

Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira,

o professor precisa estar atento a todo esse processo de formulação e teste de conjecturas, para garantir que os alunos vão evoluindo na realização de investigações. Desse modo, cabe-lhes colocar questões aos alunos que os estimulem a olhar em outras direções e os façam refletir sobre aquilo que estão a fazer (2009, p. 36).

Na hora de justificar o desenvolvimento da tarefa, os alunos tendem a

chamar as conjecturas de conclusões. Isso muitas vezes é decorrente da própria

linguagem utilizada pelo professor. “Sem se aperceberem os alunos transformam as

suas conjecturas em conclusões sem passarem por um processo de justificação”

(PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 37). Os processos de validação e de

provas das conjecturas são extremamente importantes e muitas vezes são

“esquecidos”, principalmente nos níveis de escolaridade mais elementares. Porém, é

fundamental que o professor leve o aluno a compreender o caráter provisório dessas

conjecturas.

Em todos esses momentos, há uma interação dos alunos, oportunizando-os

a uma vivência de um ambiente onde eles são a figura central e não o professor.

“Essa interação torna-se obrigatória, na parte final, tendo em vista a divulgação e a

confirmação dos resultados” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 21). O

aluno deixa de atuar de forma passiva e passa a ser crítico e atuante.

A decisão de se trabalhar com investigação matemática recai sobre o

professor. A pesquisa e a estruturação de tarefas investigativas estimula a

integração deste tipo de trabalho. Vale ressaltar que, trabalhos com investigação

matemática exigem muito do professor, pois, perante as descobertas e os

encaminhamentos dos alunos, na hora da execução da tarefa, o professor deixa de

ter controle dos métodos e processos que os alunos utilizam.

27

Tanto em Matemática quanto em qualquer outra disciplina, o envolvimento

do aluno é fundamental no processo de aprendizagem. Pensando nisso, verificamos

a importância de propor tarefas que estimulem esse envolvimento, fazendo com que

o aluno utilize de recursos cognitivos e participe da aula buscando atingir um

objetivo. A partir do momento em que o aluno envolve-se na formulação e resolução

das questões, passa a favorecer a sua própria aprendizagem.

Para Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 23), “o conceito de investigação

matemática, como atividade de ensino aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de

aula o espírito da atividade matemática genuína, construindo, por isso, uma

poderosa metáfora educativa”. Em uma tarefa investigativa, o aluno é chamado a

agir como um matemático, desde a formulação das questões, passando pelas

resoluções, provas, até a obtenção dos resultados finais, sendo estes apresentados

através de uma discussão e argumentação aos colegas e ao professor (PONTE;

BROCARDO; OLIVEIRA, 2009).

As investigações matemáticas são um tipo de atividade a qual todos os

alunos deveriam ter a oportunidade de experimentar, ou seja, de realizarem em sala

de aula, juntamente com seus professores. Entretanto, é indispensável que o

professor tenha conhecimento sobre o conteúdo a ser trabalhado, bem como sobre

a metodologia, para que o mesmo seja capaz de organizar as tarefas de maneira

adequada. É imensa a multiplicidade de situações que podem ocorrer em uma aula

investigativa, porém, deve-se levar em conta alguns aspectos principais, que

norteiam a atividade.

Ponte, Brocardo e Oliveira, destacam três fases de uma atividade de

investigação,

(i) introdução da tarefa, em que o professor faz a proposta à turma, oralmente ou por escrito, (ii) realização da investigação, individualmente, aos pares, em pequenos grupos ou com toda a turma, e (iii) discussão dos resultados, em que os alunos relatam aos colegas o trabalho realizado. Essas fases podem ser concretizadas de muitas maneiras (2009, p. 25).

Vamos discutir um pouco sobre cada uma dessas fases. Na introdução, o

professor deve fazer com que os alunos entendam o sentido da tarefa e o que se

espera no decurso da atividade. Caso a tarefa seja proposta à turma por escrito,

pode-se fazer a leitura oralmente junto com os alunos, isto ajuda na compreensão

dos mesmos. Contudo, nesta fase inicial, é indispensável que o professor garanta

que os alunos compreendam o que é investigar e propicie um bom ambiente de

28

aprendizagem na sala de aula. Os alunos “[...] devem saber que podem contar com

o apoio do professor, mas que a atividade depende, essencialmente, da sua própria

iniciativa” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 28).

Após a compreensão dos alunos, sobre o que se deve fazer na tarefa

investigativa, o professor passa a acompanhar o trabalho deles, de maneira a

compreender os processos que estão sendo utilizados e dar-lhes o apoio

necessário. Alguns dos processos que se referem a uma atividade investigativa são:

a exploração e formulação de questões, a formulação de conjecturas, o teste e a

reformulação de conjecturas e, ainda, a justificação de conjecturas e avaliação do

trabalho.

E por último, ao final de uma investigação, deve-se realizar uma discussão

sobre o trabalho realizado. Este é um momento importante, no qual é feita a partilha

de conhecimentos. De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 41), “o

professor deve garantir que sejam comunicados os resultados e os processos mais

significativos da investigação realizada e estimular os alunos a questionarem-se

mutuamente”. É indispensável que os alunos percebam a importância da validação e

justificação matemática das conjecturas

Este momento de discussão final é fundamental para que o aluno perceba o

que é investigar e, por outro lado, desenvolva a capacidade de comunicar-se

matematicamente. É interessante ressaltar que, sem este momento final de

discussões, a tarefa investigativa pode perder todo o sentido.

29

4 PROPOSTA DE ENSINO

A partir dos apontamentos feitos anteriormente, elaboramos uma proposta

de ensino que abrange o Teorema de Pitágoras. A metodologia de ensino utilizada

para se desenvolver essa proposta é a Investigação Matemática.

A proposta em si consiste de três momentos, os quais serão subdivididos

nas Tarefas 1, 2 e 3. Ao final de cada uma há um quadro que objetiva orientar as

possíveis ações dos alunos e do professor no decorrer da(s) aula(s). Inicialmente o

professor pode dividir os alunos em duplas ou trios e entregar as tarefas, uma após

o término da anterior.

Tarefa 1 – Considere os três quadrados representados abaixo:

a) Reúna os vértices dos quadrados tomados dois a dois respectivamente e

verifique o que acontece registrando suas conclusões.

A tarefa 1 deve ser entregue impressa aos alunos e, ainda, três quadrados

idênticos a estes, porém recortados, pois será necessário para que possam realizar

o que se pede. Ao fazerem a sobreposição dos vértices, os alunos devem colar os

30

quadrados em uma folha sulfite, para que, posteriormente, possam dar continuidade

ao que se propõe.

Figura 13 – Triângulo retângulo esperado no desenvolvimento da tarefa.

O professor pode auxiliar os alunos no ato da tarefa para que eles consigam

sobrepor os vértices, tomados dois a dois, caso estejam com dificuldades. Com esta

tarefa espera-se que os alunos consigam perceber a construção de um triângulo. Ao

perceberem isto, como mostra a figura 13, com o auxílio de um transferidor os

alunos deverão medir os respectivos ângulos do triângulo, para que seja possível

identificar um ângulo de 90º e, consequentemente, reconhecer o triângulo retângulo,

onde o lado do quadrado verde e o lado do quadrado azul são as medidas dos

catetos e o lado do triângulo vermelho é a hipotenusa.

Segue abaixo o Quadro 2 com algumas das possíveis considerações que

podem servir de referência para a ação dos alunos e do professor.

Ação dos Alunos Ação do professor

- Compreender a tarefa (concluir que se deve sobrepor os vértices dos polígonos tomados dois a dois).

- Pode ler a tarefa junto com os alunos. - Verificar se os alunos compreenderam que para realizar a tarefa devem sobrepor dois dos vértices desses quadrados tomados dois a dois, respectivamente.

31

- Orientar os alunos durante a realização da tarefa, fazendo-lhes perguntas do tipo: “Quem são os vértices do quadrado?”, “Como se faz para sobrepor o vértice de um quadrado com o vértice de outro?”.

- Os alunos podem não lembrar o que é o vértice de um polígono.

- Identificar nas ações dos alunos se, eles lembram o que é o vértice de um polígono (relembrar com eles caso os mesmos não se recordem).

- Perceber que está se formando um triângulo entre os quadrados.

- Questionar os alunos sobre que tipo de figura geométrica que se forma com a justaposição dos vértices dos quadrados. - O professor pode perguntar aos alunos se, os triângulos são todos iguais ou se é possível classificá-los por suas características diferenciadas. - Sugerir aos alunos que meçam os ângulos to polígono que se formou entre os quadrados após a junção dos vértices. - Verificar se os alunos compreendem quais elementos que possibilitam classificar a figura e se determinam esses elementos com clareza.

- Os alunos podem não conseguir perceber que entre os quadrados, formou-se um triângulo (ou ainda, que o triângulo formado é retângulo).

- Questionar os estudantes sobre quais figuras geométricas eles conhecem. Quais delas são possíveis identificar após ser feita a sobreposição dos vértices? Como é possível classificar que tipo de polígonos são estes? - O professor pode propor uma nova tarefa, com os mesmos objetivos e encaminhamentos, porém, utilizando desta vez, retângulos ao invés de quadrados.

Quadro 2 – Quadro de referência para a ação dos alunos e do professor no desenvolvimento da tarefa 1. Fonte: A autora, 2014.

Após a realização dessa primeira tarefa, o professor pode propor aos alunos

que repitam a tarefa, porém, desta vez, ao invés de quadrados eles terão retângulos

e triângulos retângulos. O propósito de se trabalhar com diferenciados polígonos,

surge do fato de os alunos não terem conseguido perceber e visualizar os fatos que

ocorreram e que, se tinha como objetivo que eles visualizassem na primeira tarefa.

Trata-se de um complemento da tarefa, com o intuito de proporcionar aos alunos a

percepção de que, os resultados obtidos com os quadrados, irão se repetir com os

retângulos e triângulos retângulos, neste caso.

32

b) Repita a tarefa 1, porém, agora, utilizando os retângulos e posteriormente, os

triângulos retângulos abaixo:

33

Figura 14 - Triângulo retângulo esperado no desenvolvimento da tarefa.

Figura 15 - Triângulo retângulo esperado no desenvolvimento da tarefa.

34

Observação: Nas figuras 14 e 15, é possível que cada aluno construa-a de

maneira diferente, pois os lados dos polígonos (retângulo, triângulo retângulo), são

diferentes.

Após este primeiro momento, é importante discutir com os alunos as

percepções que os mesmos tiveram durante a realização da tarefa e, relembrar

alguns pontos relevantes, como por exemplo:

os polígonos regulares possuem como características, lados congruentes e

ângulos congruentes;

dados dois polígonos, estes serão semelhantes quando: os ângulos

correspondentes tem medidas iguais; as medidas dos segmentos

correspondentes são proporcionais; os elementos das figuras são comuns;

um polígono será convexo se, e somente se todo segmento de reta, cuja

extremidade pertence à região só tem pontos na mesma região.

Tarefa 2 – Recorte (se necessário), os quadrados menores (da tarefa

anterior) e coloque-os sob o quadrado maior. Verifique o que acontece e registre

suas conclusões:

Figura 16 – Sobreposição dos quadrados possível no desenvolvimento da tarefa.

35

Neste momento espera-se que os alunos percebam que a área dos dois

quadrados menores, verde e azul, é equivalente à área do quadrado vermelho.

Caso os alunos perguntem como devem recortar, o professor pode orientá-

los para que observem que os quadrados estão subdivididos em quadradinhos

menores, o que pode facilitar a realização da tarefa.

Após a realização desta atividade, o professor deve pedir aos alunos que

calculem as respectivas áreas dos quadrados que estão sendo utilizados por eles.

Aq = = , sendo Aq a área do quadrado e l a medida do lado do quadrado.

Aq = 3 3 = 9

Aq = 4 4 = 16

Aq = 5 5 = 25

36

O Quadro 3 apresenta algumas possíveis considerações que podem servir

de referência para a ação dos alunos e do professor no desenvolvimento da tarefa.

Ação dos alunos Ação do professor

- Perguntar como devem recortar os quadrados (afirmando não terem compreendido o que devem fazer).

- Questionar os alunos se é necessário recorte os dois quadrados ou é possível sobrepô-los sem recortá-los. Há só uma maneira de fazer esses recortes? É necessário utilizar as subdivisões quadriculadas dos respectivos quadrados para recortá-los?

- Os alunos podem não lembrar como se calcula a área do quadrado.

- O professor pode lembrar com os alunos, como é que se calcula a área de um quadrado.

- O quadrado vermelho é igual ao quadrado azul adicionado do quadrado verde.

- Questionar os alunos, do por que chegaram a essa conclusão? E se tivessem recortado os quadrados de maneira diferente, obteriam os mesmos resultados?

- Perceber que se somarem a área dos quadrados menores será igual à área do quadrado maior.

- Provocar os alunos: É possível representar isso matematicamente? Como posso fazer isso? - Incentivar os alunos a descreverem esse processo de que justificam as conclusões que obtiveram da tarefa.

- Os alunos podem simplesmente, dizer que as áreas calculadas foram 9, 16 e 25, respectivamente. - Não concluírem nada a respeito das áreas dos respectivos quadrados.

- Indagar os alunos a respeito da sobreposição dos polígonos após os recortes. O que aconteceu? Foi possível sobrepor conforme se pedia na tarefa? O que é possível verificar a partir disto? Há alguma relação entre estes quadrados? - Propor uma nova tarefa, baseada nos mesmos princípios, porém, utilizando agora retângulos, ao invés de quadrados.


O objetivo desta tarefa é fazer com que os alunos percebam as relações

entre a área dos polígonos trabalhados respectivamente, ou seja, que a soma da

área de dois quadrados menores é igual à área do terceiro quadrado (maior).

Após a realização desta etapa, o professor pode propor aos alunos que,

realizem novamente esta tarefa, porém, utilizando retângulos e triângulos, para que

assim, os alunos possam ampliar suas visões sobre o que de fato está acontecendo

e, no caso de não terem chego a nenhuma conclusão anteriormente, possibilitá-los-á

novas percepções.

37

Agora repita a tarefa 2, utilizando os retângulos e triângulos retângulos.

Figura 17 – Sobreposição dos retângulos no desenvolvimento da tarefa.

Cálculo das áreas dos retângulos:

Ar = , sendo Ar a área do retângulo e a medida dos lados.

Ar = = 18

38

Ar = = 32

Ar = = 50

Cálculo da área dos triângulos:

At = , sendo At a área do triângulo, b a base e h a altura.

At = = = 4,5

At = = = 8

39

At = = = 12,5

A intenção desta tarefa e proporcionar aos alunos a percepção de que, ao

adicionar as áreas dos polígonos menores será igual à área do polígono maior. Após

a realização da tarefa, discutir com os alunos, como foi que eles fizeram a

sobreposição dos polígonos, se há a possibilidade de se fazer de outra forma e se

houve dificuldade na hora de calcular as respectivas áreas.

Tarefa 3 – Calcule a área dos polígonos abaixo:

6 cm 8 cm 10cm

12 cm

16 cm

20 cm

1 cm 2 cm 2,66 cm

3 cm

4 cm

5 cm

3

333

333

333

333

333

4 cm 5 cm

40

3 cm 4 cm 5 cm

Com base nas relações encontradas nas tarefas 1 e 2, o que você pode

concluir na tarefa 3?

O Quadro 2 apresenta algumas possíveis considerações que podem servir

de referência para a ação dos alunos e do professor no desenvolvimento da tarefa.

Ação dos alunos Ação do professor

- Os alunos podem não conseguir calcular as áreas dos polígonos, pelo fato de não lembrarem-se das fórmulas.

- Questionar os alunos sobre a área de quais polígonos eles sabem calcular. É possível usar as subdivisões dos paralelogramos e dos hexágonos para calcular as respectivas áreas, utilizando-se do cálculo de áreas que já conhecem? - Incentivá-los e orientá-los até que lembrem-se de como calcula-se as áreas pedidas.

- Perceber que as medidas dos respectivos lados dos polígonos são os ternos pitagóricos.

- Indagar os alunos do por que, desta afirmação sobre os ternos. Como chegaram a essa conclusão? Que relação há com o triângulo retângulo? - Verificar se os alunos compreendem o que são os ternos.

- Concluir que em todos os casos a área dos polígonos menores é igual à área do polígono maior, respectivamente. - Os lados dos polígonos são os lados de um triângulo e, este triângulo é retângulo.

- Provocar os alunos: Como chegaram a essa conclusão? Em todos os casos isto é válido ou somente para estes polígonos? - É possível generalizar matematicamente esta relação? - Incentivar os alunos a transcreverem por escrito, suas afirmações e conclusões desta tarefa.

- Não conseguem perceber se há alguma relação entre as áreas dos polígonos.

- Pedir aos alunos que retomem a tarefa 1, perguntar à eles se é possível realizar o processo da antiga tarefa, com os polígonos da tarefa 3. - Solicitar que os alunos recortem esses polígonos e realizem as tarefas anteriores, utilizando os polígonos da tarefa 3. - Indagar os alunos até que eles percebam que os processos estão se repetindo para os diversos polígonos e que em todos os

41

casos nos deparamos com triângulos retângulos. - Proporcionar a generalização do Teorema de Pitágoras.


O objetivo desta tarefa é fazer com que os alunos percebam que em todos

os casos analisados por eles, se adicionarem as áreas dos polígonos menores será

igual a área do polígono maior. E desta forma, propiciar a generalização do Teorema

de Pitágoras.

4.1 DISCUSSÃO E SISTEMATIZAÇÃO

Após a realização da tarefa, fazer uma discussão geral com os alunos, a

respeito de todos os processos de resoluções e as suas respectivas conclusões. A

discussão terá como foco a compreensão das relações entre as áreas dos

respectivos polígonos e a correspondência de seus lados com os lados de um

triângulo retângulo. A seleção da ordem dos grupos para a apresentação será feita

de acordo com os diferentes procedimentos utilizados na resolução (pictórico,

aritmético, algébrico), partindo dos menos algébricos para os que mais (ou

completamente) evidenciam uma relação explícita com o Teorema de Pitágoras.

Durante as apresentações o professor deve promover a participação dos

alunos nas discussões, fazendo questionamentos e enfatizando a percepção dos

mesmos sobre os (possíveis) diferentes procedimentos que utilizaram para resolver

a tarefa.

Ao final das apresentações dos alunos e a discussão das tarefas, o

professor deve fazer no quadro a sistematização dos conceitos abordados a partir

de comparações das resoluções dos alunos e, posteriormente, a generalização do

Teorema de Pitágoras. Há aspectos relevantes que devem ser discutidos e

esclarecidos a respeito da validação do Teorema a partir das tarefas desenvolvidas.

Dado um triângulo retângulo tem-se que, a área do quadrado formado a

partir da medida da hipotenusa será igual à soma das áreas dos quadrados

formados a partir da medida do lado dos catetos, respectivamente. Isto vale para

todo e qualquer quadrado, desde que, formados a partir das medidas dos lados de

um triângulo retângulo. No caso de polígonos regulares esta relação também é

42

válida. Porém, ao tomarmos polígonos não regulares é necessário que a medida dos

lados desses polígonos seja proporcional, para que tal relação seja válida. O

teorema ainda é válido para figuras circulares, por exemplo, tomando a medida dos

lados do triângulo retângulo como sendo o diâmetro da circunferência, a partir daí,

constrói-se os semicírculos donde o pode ser feita a aplicabilidade do Teorema de

Pitágoras.

43

5 CONTRIBUIÇÕES NO PROCESSO DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR E NO

ENSINO E NA APRENDIZAGEM DOS ALUNOS

Apesar das variadas opções para se trabalhar em relação às metodologias e

as propostas de ensino, ainda há uma grande resistência por parte dos professores

ao tomar a decisão de se propor uma aula diferente. Os motivos para isso são

inúmeros: falta de tempo, os alunos não estão acostumados, não se interessam, etc.

Contudo, também acreditamos que há certo receio, certo medo, por parte dos

professores, pois alguns nunca vivenciaram, nunca participaram de uma aula

diferenciada, sendo que outros, já com alguns anos de experiência, nunca ouviram

falar e muito menos como se trabalhar, proceder, no decorrer de uma aula que

envolva uma Investigação Matemática, por exemplo.

Em relação ao desenvolvimento de uma aula investigativa, é evidente que o

professor terá mais trabalho. É necessária uma boa preparação no que diz respeito

ao conhecimento matemático, pois, ao se trabalhar com Investigações Matemáticas,

perde-se um pouco do controle dos encaminhamentos e generalizações dos alunos

no que concerne ao que lhes é proposto. Por outro lado, é possível perceber a linha

de raciocínio dos alunos através das ações e registros dos mesmos durante as

aulas. Caso os alunos não façam nada, o professor deve intervir de maneira a

questioná-los e instigá-los a respeito da tarefa que está sendo proposta.

Em uma aula expositiva a ação perceptível dos alunos, aparece na

realização e resolução do algoritmo, porém, não há como saber se eles

compreendem o conceito em questão, ou somente, são capazes de efetuar os

cálculos. A partir destas considerações é que preponderamos à importância de se

proporcionar uma aula investigativa.

O processo didático deve ter como objetivo principal a participação e

interação ativa dos alunos durante o processo de construção e validação de um

determinado algoritmo. Desta forma será possível que todos (alunos e professores),

trabalhem de maneira onde cada um exerce um papel importante e fundamental

durante este caminho de formação. Assumindo essa perspectiva “o professor de

matemática já não é mais considerado somente como aquele que ensina, nem os

alunos como meros sujeitos de um processo de aprendizagem” (CHEVALLARD;

BOSCH; GASCÓN, 2001, p. 201).

44

O aluno passa a perceber o que está acontecendo, porque isso acontece,

pois, ele participa da construção do processo de resolução e, por si mesmo, sente a

necessidade de buscar algo que ainda não conhece. Através desse comportamento,

percebe que, não se tratam de fórmulas, mas sim, de construções que possibilitam

resolver determinados problemas e fatos em questão. Isto proporciona que os

alunos desenvolvam maior habilidade de pensar em diversificadas formas de

resolução e o processo de ensino e aprendizagem a eles proposto, reveste-se de

qualidade em relação ao conjunto de possibilidades da forma de raciocínio para

concluir a tarefa proposta.

Essa mudança em relação à metodologia para se trabalhar de maneira

diferenciada, utilizando a Investigação Matemática é fundamental para um

encaminhamento diferenciado em vários pontos do assunto abordado.

Primeiramente, a tarefa matemática deixa de ter um desenvolvimento voltado para a

responsabilidade do professor, mas, adquire condições próprias dos seus

protagonistas (aluno, professor).

Em nossa Proposta de Ensino, tivemos como objetivo exatamente isto, os

alunos, por si só, buscariam e construiriam os resultados. O papel do professor era

auxiliar de maneira discreta e ponderada para que, os mesmos, através de suas

investigações e tentativas (considerando-se os erros e acertos, respectivamente),

fossem capazes de avançar e proceder de maneira significativa na construção de

seu conhecimento sobre o Teorema de Pitágoras.

Chevallard, Bosch e Gascón dizem que, “[...] a visão estanque do professor

como ‘aquele que ensina’ e do aluno como ‘aquele que aprende o que lhe é

ensinado’ pode evoluir para uma visão na qual os papéis de professor e de aluno

são definidos de maneira menos rígida” (2001, p. 2001).

Ambos exercem função fundamental durante a realização das tarefas. Isto

proporciona aos alunos um maior reconhecimento perante suas descobertas de

como proceder na realização da tarefa. Quanto mais os alunos participam e são

capazes de verificar os resultados, maior é o interesse dos mesmos pelo assunto em

questão.

Os processos de construção são fundamentais para que seja possível

perceber o que, como e porque está acontecendo, de modo a buscar uma

compreensão visível e satisfatória dos fatos. Ao desenvolver esta Proposta de

Ensino com os alunos do 9º ano do Ensino Fundamental, é possível proporcionar a

45

eles esse momento de integração onde eles serão os responsáveis pela construção

de seu conhecimento.

Segundo Caraça,

quanto mais alto for o grau de compreensão dos fenômenos naturais e sociais, tanto melhor o homem se poderá defender dos perigos que o rodeiam, tanto maior será o seu domínio sobre a Natureza e as suas forças hostis, tanto mais facilmente ele poderá realizar aquele conjunto de atos que concorrem para a sua segurança e para o desenvolvimento da sua personalidade, tanto maior será, enfim, a sua liberdade (1998, p. 62).

Ou seja, não basta aprender a fazer, mas sim, como e porque fazer. Nós

professores devemos buscar cada vez mais, subsídios para que nossos alunos

sejam capazes de compreender de fato, os processos utilizados para a efetivação

de um algoritmo. Chevallard, Bosch e Gascón afirmam que: “não é possível, nem

para o matemático profissional nem para os alunos de uma série do ensino

fundamental, atuar matematicamente com verdadeira eficácia sem entender o que

está fazendo” (2001, p.275). Pautados nessas afirmações, nos deparamos com a

relevância de se desenvolver tarefas dinâmicas, como as que estão propostas neste

trabalho e que possibilitem a integração e participação ativa dos alunos, no processo

de construção e resolução da mesma.

Desta forma, acreditamos que será possível que os alunos compreendam o

conceito do Teorema de Pitágoras, partindo do pressuposto que eles mesmos irão

construí-lo através das situações nas tarefas 1, 2 e 3.

46

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Quando trabalhei o Teorema de Pitágoras, em 2012, com alunos do 9º ano

do Ensino Fundamental, propus o conteúdo a eles na metodologia de uma aula

expositiva e dialogada, devido ao fato de não ter tempo para planejar uma aula

diferenciada, apropriando-se da metodologia de Investigações Matemáticas, por

exemplo, dentre outros fatores.

O que motivou a realização deste trabalho foi a percepção de que os alunos

despertaram um grande interesse pelo conteúdo. Devido ao fato de não conseguir

verificar se os alunos, de fato, compreenderam o conceito do Teorema de Pitágoras

ou, somente, aprenderam a fazer os cálculos de aplicação, senti a necessidade de

desenvolver uma aula alternativa, com metodologias diferenciadas, mais

especificamente a Investigação Matemática. Busquei uma proposta diferenciada,

onde os alunos tivessem a oportunidade de atribuir significados ao Teorema.

Embora no referencial teórico discute-se sobre as diversas possibilidades de

aplicação do Teorema de Pitágoras, o objetivo das tarefas proposta neste trabalho

foi a introdução do conceito do Teorema. A intencionalidade desta Proposta de

Ensino visa à compreensão do Teorema de Pitágoras através de construções

realizadas pelos próprios alunos, utilizando-se de métodos que caracterizam a

Investigação Matemática.

Foi de grande valia o desenvolvimento deste trabalho, pois, além de

propiciar o conhecimento da parte histórica do tema abordado, também, foi possível

esclarecer para quais casos de polígonos o Teorema é válido. Eu particularmente,

acreditava que a relação era válida somente para quadrados e não expandia-se para

os demais polígonos, conforme vistos no desenvolvimento da pesquisa.

Além disso, foi desenvolvida uma proposta de ensino, a qual acredita-se

que, ao ser desenvolvida com os alunos poderá trazer resultados significativos para

a compreensão dos mesmos sobre o Teorema de Pitágoras. Através desta pesquisa

foi possível perceber que ao utilizar a Investigação Matemática podemos analisar

toda a linha de pensamento do aluno sobre determinada questão, o que não é

possível em uma aula expositiva e dialogada. Isto é, de fato, extremamente

importante, para que, o professor seja capaz de perceber onde estão as dificuldades

47

de seus alunos e, para que os alunos tenham a oportunidade de expor suas ideias e

compartilhar suas experiências.

48

REFERÊNCIAS

BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo, SP: Edgard Blucher Ltda, 1974.

CARAÇA, B. de J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa, Ed. 2. Gradiva, 1998.

COELHO, A. de B. Teorema de Pitágoras: Qual a sua importância para o Ensino das Ciências da Natureza? 2010. Dissertação (Mestrado em ensino de Ciências na Educação Básica). Universidade do Grande Rio “Prof. José de Souza Herdy”.

CHEVALLARD Y.; BOSCH M.; GASCÓN J. Estudar Matemática: O elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre, Artmed, 2001.

EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas, SP: Unicamp, 2004.

MARQUES, S. C. A descoberta do Teorema de Pitágoras. São Paulo, Livraria da Física, 2011.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Paraná, 2008. PEREIRA, L. H. F. Teorema de Pitágoras lembranças e desencontros na matemática. Passo Fundo, UPF, 2002.

PONTE, J. P. da; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte, Autêntica, Ed. 2, 2009.

STRAPASON, L. P.; BISOGNI, V. Investigação Matemática na Sala de Aula: Experiência com alunos do Ensino Médio sobre sucessões numéricas. X Encontro Nacional de Educação Matemática, Salvador, 2010.

49

ANEXO A – TAREFA 1

50

Tarefa 1 – Considere os três quadrados representados abaixo:

a) Reúna os vértices dos quadrados tomados dois a dois respectivamente e verifique

o que acontece registrando suas conclusões.

b) Repita a tarefa 1, porém, agora, utilizando os retângulos e posteriormente, os

triângulos retângulos.

51

52

ANEXO B – TAREFA 2

53

Tarefa 2 – Recorte (se necessário), os quadrados menores (da tarefa

anterior) e coloque-os sob o quadrado maior. Verifique o que acontece e registre

suas conclusões:

54

ANEXO C – TAREFA 3

55

Tarefa 3 – Calcule a área dos polígonos abaixo:

6 cm 8 cm 10cm

12 cm

16 cm

20 cm

1 cm 2 cm 2,66 cm

3 cm

4 cm

5 cm

3 cm 4 cm 5 cm

Com base nas relações encontradas nas tarefas 1 e 2, o que você pode concluir na

tarefa 3?

3

333

333

333

333

333

4 cm 5 cm

Documents

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ - UNESPAR …matematicafafiuv.pbworks.com/w/file/fetch/88867589/O TEOREMA DE... · A tableta conhecida como Plimpton 322, continha ternos1 pitagóricos,