UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA ... · DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 – Fenômenos de Transporte I A – Profª Fátima Lopes _____ 80 Estática dos

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA

ENG 008 – Fenômenos de Transporte I A – Profª Fátima Lopes ________________________________________________________________________________________________

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Estática dos fluidos Definição: Um fluido é considerado estático se todos os elementos do fluido estão parados ou se movem com uma velocidade constante, relativamente a um sistema de referência. Para que esta condição seja satisfeita, é necessário que exista um equilíbrio entre as forças que agem sobre o elemento do fluido considerado. A ciência da estática dos fluidos será tratada em duas partes:

1. O estudo da pressão e sua variação no interior de um fluido; 2. O estudo das forças de pressão em superfícies finitas.

Como não há movimento de uma camada de fluido em relação à outra adjacente, não

haverá desenvolvimento de tensões de cisalhamento no fluido.

Dentre as forças de superfície as forças tangenciais (responsáveis pela tensão de cisalhamento) não são consideradas pois está se estudando estática dos fluidos e a ação deste tipo de força colocaria o fluido em movimento. Resta então as forças normais responsáveis pela tensão normal, tensão de pressão ou simplesmente pressão.

Desta forma, em todos os sistemas estudados pela estática dos fluidos, agirão somente forças normais de pressão. Pressão em um ponto: A pressão média é calculada dividindo-se a força normal que age contra uma superfície plana, pela área desta. A pressão em um ponto M qualquer é definida como o limite da relação entre a força normal e a área, quando fazemos a área tender a zero no entorno do ponto.

AF

limP0A δ

δ=

→δ

A pressão em um ponto de um fluido em repouso é a mesma em qualquer direção, seu valor independe da direção sendo portanto uma grandeza escalar.




81

Deste modo, a pressão no seio de um fluido é uma função de posição (função de ponto), ou seja p = p(x,y,z).

Pode-se demonstrar este fato, adotando um pequeno corpo em forma de cunha, de comprimento unitário, no ponto (x,y) de um fluido em repouso. Como não podem existir tensões de cisalhamento as únicas forças são as normais: de contato e o peso (campo).

peso = ? x volume volume = área da base x altura área da base = área do triângulo altura = 1




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( )xsxx SpypF∑ δ−δ=

( )2

yxSpxpFysyy

δδγ−∑ δ−δ=

Sδ θδ=δ cosSx

yδ

θ θδ=δ senSy

xδ θ

Sps δ ( )ys Sp δ

( ) ypsenSpSp ssxs δ=θδ=δ

( )xs Sp δ ( ) xpcosSpSp ssys δ=θδ=δ

( ) ypypSpypF sxxsxx δ−δ=δ−δ∑ =

( )2

yxxpxp2

yxSpxpF syysyyδδγ−δ−δ=δδγ−δ−δ∑ =

Se um fluido está em repouso a força resultante que age sobre ele é zero, logo isto implica também em dizer que as componentes da força resultante são nulas.

0ypypF sxx =δ−δ∑ =

02

yxxpxpF syy =

δδγ−δ−δ∑ =

2yx δδ

γ é um infinitésimo de ordem superior e pode ser desprezado.

( ) sxsxsxsx pp0pp0ypp0ypyp =∴=−∴=δ−∴=δ−δ

( ) sysysysy pp0pp0xpp0xpxp =∴=−∴=δ−∴=δ−δ

Se sx pp = e sy pp = , temos:

syx ppp ==

Como θ é um ângulo arbitrário, esta equação prova que a pressão é a mesma em todas as direções em um ponto de um fluido em repouso.




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dx

dy

dz

0

no centro a pressão é p

y

x

z

Se o fluido estiver em movimento de forma que uma camada se mova em relação a outra adjacente, ocorrerão tensões de cisalhamento, e as tensões normais não terão o mesmo valor em qualquer direção em torno de um ponto. A pressão neste caso (não estático) será definida como sendo a média das três tensões de compressão normais quaisquer, mutuamente perpendiculares em um ponto.

3

pppp zyx ++

=

Em um fluido ideal ou perfeito ( )0=µ , não ocorrerão tensões de cisalhamento, mesmo quando o fluido está sujeito a qualquer movimento, neste caso a pressão será a mesma em todas as direções. Equação básica da estática dos fluidos Variação da pressão em um fluido em repouso. As forças que agem em um elemento de fluido em repouso são:

1. forças de campo (peso) 2. forças de contato ou superfície (pressão)

Objetivo: Obter uma equação que permita determinar o campo de pressão no fluido. Vamos considerar um elemento diferencial de massa dm com dimensões dx, dy e dz:

( )jzdxd2yd

yp

p −

∂∂

+

( )jzdxd2yd

yp

p

∂∂−




84

Bs FdFdFd +=

∀ρ=== damdaamdFd

ad

Fdρ=

∀

Fluido estático: a = 0 ⇒ 0d

Fd=

∀

Para um elemento diferencial de fluido, a força de campo BFd , é:

∀ρ== dgmdgFd B

onde: g - vetor gravidade local

ρ - massa específica ∀d - volume do elemento

em coordenadas cartesianas: zdydxdd =∀ Assim:

zdydxdgFd B ρ=

ou: ∀γ= dFd B

sendo gρ=γ e zdydxdd =∀

Logo: zdydxdgFd B ρ=

Inicialmente vamos considerar que p = p(x,y,z). A força de pressão resultante pode ser calculada somando-se as forças que agem nas seis faces do elemento de fluido. Seja a pressão no centro 0 do elemento igual a p. Então:

( )2yd

yp

p2yd

yp

pyyyp

pp LL ∂∂

−=

−

∂∂

+=−∂∂

+=

Teorema do valor médio:

( ) ( ) ( ) yyfyfyyf ∆′+=∆+

( )2yd

ypp

2yd

yppyy

yppp RR ∂

∂+=

∂∂+=−

∂∂+=




85

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )kydxd2zd

zp

pkydxd2zd

zp

p

jzdxd2yd

yp

pjzdxd2yd

yp

p

izdyd2xd

xp

pizdyd2xd

xp

pFd S

−

∂∂

++

∂∂

−

+−

∂∂

++

∂∂

−

+−

∂∂

++

∂∂

−=

zdydxdkzp

jyp

ixp

Fd S

∂∂

−∂∂

−∂∂

−=

ou

zdydxdkzp

jyp

ixp

Fd S

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=

ppgrad ∇−=−

( ) zdydxdpzdydxdpgradFd S ∇−=−=

zdydxdFdppgrad S−=∇=

O gradiente de pressão é a força de superfície por unidade de volume devido à pressão, com sinal negativo.

( ) zdydxdgpgradFdFdFd Bs

ρ+−+=

Em termos de volume unitário:

gpgradzdydxd

Fdd

Fdρ+−==

∀

Para uma partícula de fluido, a segunda lei de Newton fornece:

∀ρ=== damdaamdFd

Para um fluido estático, a = 0, então:

0ad

Fd=ρ=

∀

Substituindo-se:

0gpgrad =ρ+−




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pgrad− + gρ = 0

pontoumemvolumedeunidade

porpressãodeforça

pontoumemvolumedeunidade

porcampodeforça = 0

Componente-x: 0gxp

x =ρ+∂∂

−

Componente-y: 0gyp

y =ρ+∂∂

−

Componente-x: 0gzp

z =ρ+∂∂

−

Tem-se que:

gg0g0g

y

z

x

−===

Logo:

0zp

gyp

0xp

=∂∂

ρ−=∂∂

=∂∂

γ−=ρ−= gydpd

(1)

Foi considerado o eixo y sendo vertical. Para o fluido estático a gravidade é a única força de corpo. Esta equação diferencial simples relaciona a variação de pressão com o peso específico e a variação de cota, sendo válida tanto fluidos compressíveis como para incompressíveis. Para fluidos que podem ser considerados como homogêneos e incompressíveis, γ = constante, pode-se integrar a equação (1):




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cyp +γ−= (2) onde c – constante de integração A lei básica da hidrostática só computa valores para a pressão devidos à coluna de líquido. Portanto, na superfície: Para y = 0, p = 0 ⇒ c = 0 ⇒ yp γ−= y p aumenta com h h A lei da hidrostática da variação de pressão é escrita freqüentemente na forma:

hp γ= (3) na qual h é medida verticalmente para baixo. Exemplo: Obter a equação (3) adotando-se como sistema fluido uma coluna vertical de líquido de altura finita h, tendo sua face superior na superfície livre. área A h c A pressão p no ponto c deve-se ao peso da coluna de líquido dividido pela área:

Agm

pAF

p =∴=

Multiplicando e dividindo por h:

Vhgm

hAhgm

p ==




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Mas:

γ=ρ= ggVm

Então: hp γ=

Exemplo 2.1 – Streeter, pág. 31: Um tanque aberto contém 0,61 m de água coberto por 0,30 m de óleo de densidade 0,83. Determinar a pressão na interface e no fundo do tanque. p0 = 0 óleo h1 = 0,30 m p1 água h2 = 0,61 m p2

33OH mkgf10

2=γ

33óleo mkgf1083,0 ×=γ

32óleo mkgf103,8 ×=γ

2321óleo1 mkgf0,249m30,0mkgf103,8hp =××=γ=

2

3322OH12

mkgf0,859

m61,0mkgf10mkgf0,249hpp2

=

=×+=γ+=

Pressões instrumentais e absolutas Valores de pressão devem ser dados relativos a um nível de pressão de referência. Se o nível de referência for um vácuo, as pressões são chamadas absolutas. Em sua maioria, os manômetros de pressão na verdade lêem uma diferença de pressão – a diferença entre o nível de pressão medido e o nível ambiental (normalmente, a pressão atmosférica). Níveis de pressão medidos com relação à pressão atmosférica são denominados pressões instrumentais ou manométricas.




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Nível de pressão 2 Pinstrumental ou manométrica 2

Pabsoluta 2 Pefetiva negativa (depressão, vácuo, sucção)

Nível de pressão 1 Pabsoluta 1 Patm nas condições padrões ao nível do mar

vácuo patm = 101,3 kPa = 14,696 lbf/in2 abs 1 kPa = 1000 Pa → Pa [=] N/m2 Pressões absolutas devem ser usadas em todos os cálculos com a equação do gás ideal e outras equações de estado. Assim,

pabsoluta = p instrumental + patmosférica Vimos então que a pressão pode ser expressa em relação a qualquer referência arbitrária. Usualmente, adota-se como tal, o zero absoluto e a pressão atmosférica local.

Ø Pressão absoluta – quando a medida de pressão é expressa como sendo a diferença entre o seu valor e o vácuo absoluto.

Ø Pressão efetiva ou relativa ou instrumental – quando é expressa como sendo a diferença entre o seu valor e o da pressão atmosférica, (é a leitura do manômetro).

Unidades típicas de pressão:

1. lbf/in2 = psi

2. lbf/ft2

3. kgf/m2

4. in de Hg

5. mm de Hg

6. ft de H2O ou m de H2O

7. N/m2 = Pa

8. atm, bar (1 bar = 0,9869 atm)




90

Pressão atmosférica normal ou padrão É a pressão média ao nível do mar. Patm = 29,92 in Hg (30 in Hg) = 760 mm Hg = 14,7 psi = 2116 lbf/ft2 = 34 ft de H2O = 1 atm = 1,033 x 104 kgf/m2 = 10,33 m de H2O = 101,3 kPa 1 kPa = 1000 Pa Pa [=] N/m2 Observação: Uma pressão expressa em termos de coluna de um líquido, refere-se à força por unidade de área na base da coluna.

hp γ= ? expressão para a variação da pressão com a profundidade do líquido. Manômetro de Bourdon: Um dos dispositivos típicos para a medida de pressões efetivas. O zero será indicado no mostrador sempre que as pressões internas e externas do tubo forem iguais, independentemente de seu valor. Estes manômetros consistem de um tubo curvo aberto em uma extremidade e fechado na outra. O lado aberto fica em contato com o fluido que se quer medir a pressão, ao passo que a extremidade fechada é ligada a um mecanismo capaz de acionar um ponteiro. O fluido sob pressão entra na parte aberta do tubo e tende a estica-lo, fazendo com que o mecanismo seja acionado. A pressão é lida diretamente em um mostrador previamente calibrado.

Pressão atmosférica local É a medida por um barômetro ou um aneróide que mede a diferença de pressão entre a atmosfera e um reservatório no qual foi feito o vácuo, de forma análoga que no tipo Bourdon, exceto pelo fato de que o tubo é esvaziado e selado.




91

Barômetro Aneróide ? medidas de pressões absolutas

As pressões exercidas fora do diafragma causam uma deflexão para dentro, e estas deflexões fornecem uma medida direta das pressões aplicadas. BARÔMETRO: Considerando um tubo e uma cuba cheia de um líquido (de preferência com pressão de vapor baixa). Se o tubo for emborcado dentro da cuba de modo a não entrar ar o líquido irá descer e estabilizar-se a uma certa altura h.

0 1

Patm

vácuo

0 1

Patm

vácuo




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Se o líquido apresentar uma pressão de vapor realmente pequena, como o mercúrio, a pressão p1 pode ser considerada nula (vácuo) e tem-se:

hpp LatmA γ== OBSERVAÇÃO: Em relação ao gráfico de pressões, para fixar o conceito de pressão efetiva, suponhamos que: ponto 1 → 18 in de Hg abs; pressão barométrica → 29 in Hg; Então, a pressão efetiva será:

- 11 in Hg 11 in Hg de depressão 11 in Hg de sucção 11 in Hg de vácuo

psi – unidade de pressão

2inlbf1psi1 =

psi7,14inlbf

7,14atmosfera1 2 ==

hp γ=

patm = 30 in Hg d Hg = 13,6

( )psi7,14

inlbf

7,14in30in12

ft16,13

ftlbf

4,62p 233

3

3 ==×××=

h (in)

γ 3HG inlbf

Na convenção adotada no livro texto nada se indica quando a pressão for efetiva, indicando sempre que for absoluta , com exceção da pressão atmosférica que estará sempre na escala absoluta.




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EXEMPLO 2.3: Expressar 4 psi de oito maneiras usuais. I) Supondo a pressão efetiva de 4 psi = 4 lbf/in2

1) 22

2

2 ftlbf576ft1in144

inlbf

4 =×

2) Hgin16,8atm1

Hgin30psi7,14

atm1psi4 =××

3) OHft25,9atm1

OHft34psi7,14

atm1psi4 2

2 =××

II) Na escala absoluta

4) De (2)

( ) ( ) absHgin66,36barHgin5,28efHgin16,8 =+

5) absatm222,1Hgin30

atm1absHgin66,36 =×

6) psia0,18atm1

psi7,14absatm222,1 =×

7) absftlbf16,2583atm1

ftlbf2116absatm222,1 2

2

=×

8) absOHft6,41atm1

OHft34absatm222,1 2

2 =×

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