Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO ARAGUAIA Mestrado Profissional em Ensino de Física
Polo Barra do Garças
O PRODUTO EDUCACIONAL:
ANIMAÇÕES COMPUTACIONAIS
SIMULANDO A FÍSICA DE COLISÕES
JOÃO BOSCO RODRIGUES PAES
BARRA DO GARÇAS - MT
2015
Sumário
1. INTRODUÇÃO 3
2. O PRÉ-TESTE 4
3. VÍDEO: PÊNDULO DE NEWTON 7
4. O CONTEÚDO PROPOSTO 11
4.1. IMPULSO 11
4.2. QUANTIDADE DE MOVIMENTO 12
4.3. TEOREMA DO IMPULSO 13
4.4. QUANTIDADE DE MOVIMENTO TOTAL 14
4.5. FORÇAS INTERNAS, EXTERNAS 15
4.6. FORÇAS INTERNAS PROVOCAM VARIAÇÃO NA QUANTIDADE DE MOVIMENTO? 16
4.7. SISTEMA ISOLADO 17
4.8. CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 18
4.9. COLISÕES 19
4.9.1 COLISÃO FRONTAL 21
4.9.2. COLISÃO OBLÍQUA 21
4.9.3. TIPOS DE COLISÕES 21
4.9.4. COLISÃO ELÁSTICA EM UMA DIMENSÃO 22
4.9.5. COLISÃO INELÁSTICA EM UMA DIMENSÃO 24
4.9.6. COLISÃO EM DUAS DIMENSÕES 26
5. ROTEIROS DAS ATIVIDADES 28
6. TESTE DE VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM 30
7. ANIMAÇÕES COMPUTACIONAIS 31
7.1. COLISÕES UNIDIMENSIONAIS 31
7.2. COLISÕES BIDIMENSIONAIS 36
3
1. INTRODUÇÃO
Nesse espaço visamos mostrar os detalhes dos materiais pedagógicos produzidos e
aplicados ao longo desse projeto, assim como as teorias e os conceitos físicos
necessários para o acompanhamento dos materiais. A maioria dos materiais são de
nossa autoria mas existem aqueles selecionados de fontes externas que estão
citadas no texto. Tratam-se de questionários, formulários e vídeos que possibilitaram
preparar e auxiliar o ambiente de aprendizagem para a aplicação do nosso principal
produto educacional, as animações computacionais simulando diferentes aspectos
da Física de Colisões. Os produtos e os conteúdos relacionados estão descritos na
sequência em que eles foram apresentados aos alunos.
4
2. O PRÉ-TESTE PRÉ TESTE MESTRADO
Prezados alunos do 1º ano do Ensino Médio da Escola Estadual Frei Ambrósio! Queremos que
você preencha o formulário a seguir pois precisamos saber qual seu pensamento sobre as
colisões que seguem, as quais iremos estudar mais profundamente. Para tanto favor responder
as questões abaixo.
Att
Professor João Bosco
ATENÇÃO: CADA QUESTÃO ABAIXO POSSUI APENAS UMA ALTERNATIVA
*Obrigatório
PERGUNTA 1 *
A situação abaixo representa a colisão frontal de dois corpos de mesma massa. Podemos afirmar que após a colisão:
Os corpos vão se movimentar no mesmo sentido
Os corpos vão se movimentar em sentidos oposto
Um corpo irá parar e o outro se movimentar
Os dois corpos irão parar
Figura da questão 1
PERGUNTA 2 *
A situação abaixo representa a colisão frontal de dois corpos de massa diferentes, sendo que M1 > M2, com M2 em repouso. Podemos afirmar que após a colisão:
Os corpos vão se movimentam no mesmo sentido
Os corpos vão se movimentar em sentidos oposto
O corpo de massa M1 vai parar e o corpo de massa M2 vai se movimentar para
frente
O corpo de massa M1 vai voltar e o corpo de massa M2 vai se movimentar para
frente
Figura da questão 2
5
PERGUNTA 3 *
A situação abaixo representa a colisão frontal de dois corpos de mesma massa. Os dois corpos estão em movimento, sendo que a velocidade do corpo 1 é maior que a do corpo 2. Podemos afirmar que após a colisão:
Os corpos vão se movimentar no mesmo sentido com V1 > V2
O corpo de massa M1 vai voltar e o corpo de massa M2 vai se movimentar para
frente
Os corpos vão se movimentam no mesmo sentido com V1 < V2
O corpo de massa M1 vai parar e o corpo de massa M2 vai se movimentar para
frente
Figura da questão 3
PERGUNTA 4
Dois patinadores de massas diferentes, estão de mãos dadas em repouso sobre uma pista de gelo, onde o atrito é desprezível. Um dos patinadores empurra o outro. O que irá acontecer:
O patinador que empurrou ficará parado e o outro irá se deslocar para trás
O patinador que empurrou irá se deslocar pata trás e o outro ficará parado
Os dois patinadores irão se deslocar em sentidos opostos
Nada irá acontecer aos patinadores
6
Figura da questão 4
PERGUNTA 5
Um canhão, inicialmente em repouso dispara um projétil (bala) com velocidade horizontal. Desprezando todos os atritos, podemos afirmar que:
O canhão ficará parado
O canhão se deslocará um pouco para frente
O canhão recuará com a mesma velocidade do projétil
O canhão recuará com velocidade muito menor que a do projétil
Powered by
Enviar
7
3. VÍDEO: PÊNDULO DE NEWTON
A apresentação desse vídeo consiste em uma sequência contendo 7
(sete) etapas representadas pelas figuras à seguir, todas elas ilustrando diferentes
arranjos que podemos formar com as esferinhas metálicas antes de ocorrer uma
colisão.
1) a primeira (figura 1) imagem da sequência mostra a colisão com apenas uma
esferinha colidindo com as outras quatro em repouso.
Figura 1: Pendulo de Newton com uma esfera colidindo com as outras quatro em repouso. Fonte:http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/16638/Brincando%20com%20o%
20Pendulo%20de%20Newton%20corrigido.pdf?sequence=3. Acesso em 22/08/2015
2) na segunda imagem (figura 2) utiliza-se duas esferinhas colidindo com outras três
em repouso.
Figura 2: Pendulo de Newton com duas esferas colidindo com as outras três em repouso.
8
Fonte:http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/16638/Brincando%20com%20o%
20Pendulo%20de%20Newton%20corrigido.pdf?sequence=3. Acesso em 22/08/2015
3) na terceira imagem (figura 3) considera-se três esferinhas colidindo com outras
duas em repouso.
Figura 3: Pendulo de Newton com três esferas colidindo com as outras duas em repouso. Fonte:http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/16638/Brincando%20com%20o%
20Pendulo%20de%20Newton%20corrigido.pdf?sequence=3. Acesso em 22/08/2015
4) Na quarta imagem (figura 4) temos quatro esferinhas colidindo com apenas uma
em repouso.
Figura 4: Pendulo de Newton com quatro esfera colidindo com apenas uma em repouso. Fonte:http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/16638/Brincando%20com%20o%
20Pendulo%20de%20Newton%20corrigido.pdf?sequence=3. Acesso em 22/08/2015
5) na quinta imagem (figura 5), são levantadas duas esferinhas de uma extremidade
e uma da outra, permanecendo duas em repouso.
9
Figura 5: Pendulo de Newton mostrando duas esferas que moverão da esquerda para a direita e um esfera que se moverá da direita para a esquerda colidindo com duas esferas em repouso. Fonte:http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/16638/Brincando%20com%20o%
20Pendulo%20de%20Newton%20corrigido.pdf?sequence=3. Acesso em 22/08/2015
6) na sexta imagem, aqui representada pela figura 6, são levantadas três esferinhas
de uma extremidade e uma da outra, sobrando uma esferinha em repouso.
Figura 6: Pendulo de Newton mostrando uma esfera que moverá da esquerda para a direita e três esferas que se moverão da direita para a esquerda colidindo com uma esfera em repouso. Fonte:http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/16638/Brincando%20com%20o%
20Pendulo%20de%20Newton%20corrigido.pdf?sequence=3. Acesso em 22/08/2015
7) por fim, na sétima imagem (figura 7), é suspensa uma única esfera de cada
extremidade, mantendo então as três do centro em repouso.
10
Figura 7: Pendulo de Newton mostrando uma esfera suspensa em cada lado, indo colidir com as outras três esferas em repouso. Fonte:http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/16638/Brincando%20com%20o%
20Pendulo%20de%20Newton%20corrigido.pdf?sequence=3. Acesso em 22/08/2015
11
4. O CONTEÚDO PROPOSTO
À seguir, faremos de forma detalhada a apresentação dos conceitos físicos
que compõem o nosso projeto, seguindo a mesma forma que os mesmos foram
apresentados aos alunos.
4.1. IMPULSO
Quando um jogador de futebol bate uma falta (figura 8) ou quando uma
tenista efetua um saque com sua raquete (figura 9), surge a aplicação de uma intensa
força sobre a bola por um curto intervalo de tempo, fazendo com que ela seja
impulsionada.
Em geral, sempre que uma força atuar em um determinado corpo em um
certo intervalo de tempo, dizemos que o corpo recebeu um impulso𝐼. Quando uma
força �⃗� constante atuar sobre determinado corpo com duração ∆𝑡, definimos o impulso
promovido pela força através da expressão matemática,
Onde,
𝐼 → impulso da força constante
�⃗�→ força constante
∆𝑡→ intervalo de tempo.
Figura 9: fonte - http://us.cdn3.123rf.com/, acesso em 20/0615
Figura 8: fonte - http://cdn5.colorir.com/,
acesso em 20/06/15
𝐼 = �⃗�.∆𝑡
12
O impulso possui as seguintes características:
intensidade: I = F.∆𝑡 em que F é o módulo da força
direção: a mesma de �⃗�
sentido: o mesmo de �⃗�
De acordo com a definição, a unidade de medida de impulso no SI é o
“Newton.segundo”, comumente abreviado por “N.s”.
4.2. QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Da nossa experiência diária podemos constatar que:
É mais fácil frear uma moto em movimento do que um caminhão em
movimento, quando os dois possuem a mesma velocidade.
Uma flecha penetra com maior profundidade na madeira quando
disparada por um arco do que quando esta mesma flecha é lançada com
a mão.
Essas situações refletem a necessidade de definir uma grandeza física com
característica especial que esteja relacionada com a massa e a velocidade do corpo,
e que caracteriza o estado de movimento deste corpo. Essa grandeza física é
denominada quantidade de movimento, �⃗⃗�, ou momento linear, e é definida como o
produto da massa 𝑚 do corpo com a sua velocidade �⃗�, ou seja,
�⃗⃗� = 𝑚�⃗�
Conforme a sua definição, a quantidade de movimento, �⃗⃗�, é uma grandeza
vetorial e deve ter a mesma direção e sentido do vetor velocidade, �⃗�, conforme
ilustrado na figura 10.
�⃗� �⃗⃗� = 𝑚�⃗�
Figura 10: Uma partícula de massa m, com velocidade �⃗� possui uma quantidade de
movimento �⃗⃗� = 𝑚�⃗�
13
A unidade de medida da quantidade de movimento no SI é o “kg.m/s”, o
que significa que nessa escolha a unidade de medida da massa do corpo deve estar
em “kg” (quilogramas) e sua velocidade em “m/s” (metros por segundos).
Podemos afirmar que a quantidade de movimento é uma grandeza
instantânea, pois é definida em um certo instante de tempo.
4.3. TEOREMA DO IMPULSO
Vimos que, quando em um corpo atua uma força durante um intervalo de
tempo, ele recebe um impulso. Mas o que ocorre com a velocidade do corpo? Se essa
força for a resultante não-nula, a velocidade deste corpo sofrerá alteração, o mesmo
acontecendo com a quantidade de movimento do corpo. Podemos então entender a
relação entre força resultante, intervalo de tempo e variação de velocidade pelo
Teorema do Impulso.
Supondo que �⃗� seja a resultante das forças que agem sobre o corpo, a 2ª
lei de Newton nos permite escrever que,
�⃗� = 𝑚�⃗�
Sabendo que �⃗� representa a aceleração sofrida pelo corpo e que, �⃗� =∆�⃗⃗�
∆𝑡, logo,
�⃗� =𝑚∆�⃗⃗�
∆𝑡 ⇒ �⃗�∆𝑡 = 𝑚∆�⃗�.
Como a variação da velocidade é ∆�⃗� = �⃗�𝑓 – �⃗�𝑖, teremos:
�⃗�∆𝑡 = 𝑚(�⃗�𝑓 − �⃗�𝑖) 𝑜𝑢 �⃗�∆𝑡 = 𝑚�⃗�𝑓 − 𝑚�⃗�𝑖
Podemos identificar que,
�⃗�∆𝑡, representa o impulso 𝐼 que o corpo recebeu;
𝑚�⃗�𝑓, representa a quantidade de movimento final, �⃗⃗�𝑓, após o intervalo ∆𝑡;
𝑚�⃗�𝑖, representa a quantidade de movimento final, �⃗⃗�𝑖, antes do intervalo ∆𝑡;
Desse modo teremos o que chamamos de Teorema do Impulso,
𝐼 = ∆�⃗⃗� 𝑜𝑢 𝐼 = �⃗⃗�𝑓 − �⃗⃗�𝑖
14
Podemos concluir que,
Este resultado tem validade geral, mesmo que a força resultante não seja
constante. Com esse teorema notamos que as unidades de impulso “N.s” e da
quantidade de movimento “kg.m/s” são equivalentes.
Antes de prosseguirmos é importante fazer uma observação. A 2ª lei de
Newton apresentada na forma, �⃗� = 𝑚�⃗� ou �⃗� = 𝑚∆�⃗⃗�
∆𝑡, não tem validade para situações
em que a massa de um corpo pode variar no tempo, por exemplo, como acontece com
um foguete viajando pelo espaço.
Para esses casos (que não serão apresentados neste trabalho), Isaac
Newton em sua obra Princípia publicada em 1687, propôs a 2ª lei representada
matematicamente da seguinte maneira,
�⃗�𝑅 =∆�⃗⃗�
∆𝑡,
definida como a taxa de variação da quantidade de movimento de um corpo pelo
tempo é igual à força resultante que age sobre o corpo e tem a direção e o sentido
desta força. Em situações que a massa é constante, a relação acima é reduzida a
expressão particular mais conhecida, �⃗� = 𝑚�⃗�.
4.4. QUANTIDADE DE MOVIMENTO TOTAL
Para um sistema físico que é constituído por um conjunto de n
partículas com massas m1, m2, m3, ..., mn, que se movem com velocidades
respectivamente iguais a �⃗�1, �⃗�2, �⃗�3, ..., �⃗�n, como o representado na figura 11,
as quantidades de movimento de cada partícula será,
O impulso, 𝐼, exercido pela resultante das forças que atuam sobre um corpo, durante
um certo intervalo de tempo∆𝑡, é igual à variação da quantidade de movimento∆�⃗⃗�,
ocorrida naquele intervalo de tempo, isto é:
𝐼 = ∆�⃗⃗� 𝑜𝑢 𝐼 = �⃗⃗�𝑓 − �⃗⃗�𝑖
15
�⃗⃗�1= m1�⃗�1; �⃗⃗�2= m2�⃗�2; �⃗⃗�3= m3�⃗�3; �⃗⃗�n= mn�⃗�n
Figura 11: Sistema de partículas de massas m1, m2, m3,mn e velocidade �⃗�1, �⃗�2, �⃗�3, �⃗�n.
A quantidade de movimento do sistema, ou seja, a sua quantidade de
movimento total, �⃗⃗�𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙, é obtida pela soma vetorial das quantidades de movimento de
cada partícula que constitui o sistema, isto é, �⃗⃗�𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 é a resultante das quantidades de
movimento,
�⃗⃗�𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = �⃗⃗�1 + �⃗⃗�2 + �⃗⃗�3…+ �⃗⃗�𝑛 ⇒ �⃗⃗�𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑚1�⃗�1 +𝑚2�⃗�2 +𝑚3�⃗�3 +⋯+𝑚𝑛�⃗�𝑛.
4.5. FORÇAS INTERNAS, EXTERNAS
As forças que atuam em um sistema de partículas podem ser classificadas
como forças internas e forças externas. Se uma partícula do sistema exercer força
sobre outra partícula que também pertença a este mesmo sistema, esta força é
considerada uma força interna, por outro lado, se a força que age sobre uma partícula
do sistema for exercida por um agente excluso ao sistema, ela será uma força externa.
Vamos usar como exemplo a colisão de duas bolas de bilhar, como a
representada na figura 12, e neste caso estamos admitindo que o sistema é formado
apenas por essas duas bolas. A força que a bolinha 1 exerce na bolinha 2, �⃗�12, e
consequentemente a força que a bolinha 2 exerce na bolinha 1, �⃗�21, são forças
internas, pois ambas as bolas pertencem ao mesmo sistema. Essas duas forças
internas formam um par ação e reação de acordo com a 3ª lei de Newton.
16
Figura 12: Sistema formado por duas bolas e as forças internas que agem sobre elas
Contudo, além das forças acima citadas, também atuam sobre cada uma
das bolas a força peso proveniente da Terra e a força normal da mesa, ilustradas na
figura 13. Tanto a força peso como a força normal são forças externas ao sistema.
Figura 13: Sistema formado por duas bolas e as forças internas e externas que agem sobre elas
4.6. FORÇAS INTERNAS PROVOCAM VARIAÇÃO NA QUANTIDADE DE MOVIMENTO?
Considerando ainda o sistema anterior no qual a bola 1 exerce uma força
sobre a bola 2. Sabemos pela 3ª terceira lei de Newton que a bola 2 reage a essa
interação e atua sobre a bola 1, uma força de igual intensidade da primeira porém em
sentido contrário. Estas forças como já vimos são forças internas ao sistema. Por
causa desta interação a bola 1 recebe então um impulso 𝐼1 e a bola 2 recebe um
impulso 𝐼2. Como as forças que provocam os impulsos são iguais e contrárias, de
acordo com a definição de impulso concluímos que,
𝐼1 = −𝐼2
17
Sendo 𝐼1 = ∆�⃗⃗�1𝑒𝐼2 = ∆�⃗⃗�2, em que ∆�⃗⃗�1𝑒∆�⃗⃗�2 são as respectivas variações nas
quantidades de movimento das bolas 1 e 2 provocadas por estes impulsos. Logo
obtemos que,
∆�⃗⃗�1 = −∆�⃗⃗�2 (1)
Pela expressão acima, podemos afirmar que as forças internas provocaram
variações iguais em módulo, porém em sentidos contrários nas quantidades de
movimentos das partículas do sistema.
Sendo, �⃗⃗�𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = �⃗⃗�1 + �⃗⃗�2, então segundo (1) temos,
∆�⃗⃗�1 + ∆�⃗⃗�2 = 0 ⇒ ∆(�⃗⃗�1 + �⃗⃗�2) = 0 ⇒ ∆�⃗⃗�𝑡𝑜𝑡 = 0.
Assim, se as forças internas obedecem a 3ª terceira lei de Newton, não
haverá variação da quantidade de movimento total no sistema.
Concluímos, portanto que,
Isso não ocorre apenas quando o sistema são bolas de bilhar. Existem
muitos exemplos envolvendo interações entre corpos dessa natureza: choque entre
dois carros, explosão de uma granada, movimento de foguetes, disparo de projéteis,
além de outros.
4.7. SISTEMA ISOLADO
Halliday e Resnick (2007,p.231) no livro Fundamentos de Física volume 1,
afirmam que um sistema de partículas é considerado isolado quando este está livre
de influências de forças externas ou quando a resultante destas forças for igual a
zero. Portanto, se a força externa total sobre um sistema e nula, então sua quantidade
de movimento se conserva: �⃗�𝑒𝑥 = 0 ⇒ �⃗⃗� = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
As forças internas podem provocar variações nas quantidades de
movimento de cada partícula de um sistema isolado, mas não provocam
variação na quantidade de movimento total desse sistema.
18
Esse é um dos teoremas mais importantes da Mecânica Clássica. Ele nos
informa que em um sistema isolado, isto é, livre de influências externas, a soma dos
produtos das massas pelas velocidades das partículas permanece constante, não
importa como as velocidades das partículas estejam mudando
Aplicando o teorema do impulso, temos:
𝐼𝑅 = ∆�⃗⃗�𝑡𝑜𝑡, ou seja, 𝐼𝑅 = �⃗⃗�𝑡𝑜𝑡(𝑓)− �⃗⃗�𝑡𝑜𝑡
(𝑖), de modo que,
𝐼𝑅 refere-se ao impulso resultante do sistema, �⃗⃗�𝑡𝑜𝑡(𝑖)
a quantidade de movimento total
antes da colisão, e �⃗⃗�𝑡𝑜𝑡(𝑓)
a quantidade de movimento total após a colisão.
Sendo o sistema isolado, 𝐼𝑅 = 0, então,
�⃗⃗�𝑡𝑜𝑡(𝑓)− �⃗⃗�𝑡𝑜𝑡
(𝑖) = 0 ∴ �⃗⃗�𝑡𝑜𝑡(𝑖) = �⃗⃗�𝑡𝑜𝑡
(𝑓).
4.8. CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Se você joga sinuca ou já observou alguém jogando, deve ter notado que
cada jogada pode ser dividida em dois instantes:
1º) antes da colisão da bola atirada em direção às outras que estão em repouso;
2º) depois da colisão, as bolas tomam direções e sentidos diferentes.
Antes da colisão, apenas a bola que é lançada sobre as outras tinha uma
determinada quantidade de movimento. Após o choque, a quantidade de movimento
de cada bola é alterada em função das forças que elas trocam umas com as outras.
Entretanto, considerando as bolas mais uma vez como nosso sistema, essas forças
são internas, pois são exercidas por uma parte do sistema sobre outras partes do
sistema.
No sistema isolado, a quantidade de movimento total do sistema se conserva.
19
Como já vimos às forças internas não provocam variação na quantidade de
movimento total, �⃗⃗�𝑡𝑜𝑡, de um sistema. Portanto, qualquer variação em �⃗⃗�𝑡𝑜𝑡 só poderá
ser causada por forças externas. Para concluir a discussão que iniciamos na seção
5.3.5.1, caso não existam forças externas em um sistema ou se a resultante delas for
nula, ou ainda o sistema estiver isolado do meio externo, não haverá variação em �⃗⃗�𝑡𝑜𝑡.
Em outras palavras, a quantidade de movimento do sistema permanecerá constante.
Vejamos, as forças internas são geradas aos pares com mesmo módulo e
sentido contrário (ver figura 13), e por isso a soma delas se anulam. Considerando
que o meio externo não influencie efetivamente nesse sistema de modo que a soma
das forças externas seja zero, então,
�⃗�𝑅 =∆�⃗⃗�
∆𝑡= 0 ⇒ ∆�⃗⃗� = 0 ⇒ �⃗⃗�𝑓 − �⃗⃗�𝑖 = 0 ∴ �⃗⃗�𝑖 = �⃗⃗�𝑓.
Chegamos assim às condições essenciais para enunciarmos o princípio da
conservação da quantidade de movimento:
4.9. COLISÕES
De acordo com Moysés (2002, p.168), “Uma colisão entre duas partículas
é um processo em que uma é lançada contra a outra, podendo trocar energia e
momento em consequência de suas interações”.
Para Moysés, existem dois fatores que caracterizam um processo de
colisão, sendo eles:
Sua configuração inicial (figura 14), ou seja, antes da colisão, instante em que
as partículas ainda não entraram em contato e, portanto, a interação entre
elas é desprezível. Sendo assim, elas se movem como partículas livres, com
Se a resultante das forças externas que atuam em um sistema de partículas for
nula, a quantidade de movimento total deste sistema será constante. Dizemos
então que houve conservação da quantidade de movimento total do sistema,
ou seja, �⃗⃗�𝑖 = �⃗⃗�𝑓
20
movimento retilíneo e uniforme e caracterizadas pelas suas massas e
velocidades iniciais.
Figura 14: A esfera de massa 𝑚1 se movimenta em direção à esfera de massa 𝑚2 que está em
repouso.
Fonte: http://www.fisica.ufpb.br/~romero/pdf/10_colisoes.pdf, Acesso em 18/08/2015
Sua configuração final (figura 15), depois da colisão, afastadas o suficiente da
região de colisão para que sua interação seja novamente desprezível, com as
partículas novamente em movimento retilíneo e uniforme mas agora
caracterizadas por suas massas e velocidades finais.
Figura 15: Depois da colisão as duas esferas se movimentam em sentidos contrários com velocidade
�⃗�1𝑓𝑒�⃗�2𝑓.
Fonte: http://www.fisica.ufpb.br/~romero/pdf/10_colisoes.pdf. Acesso em 18/08/2015
Ainda de acordo com Moysés, o problema fundamental da teoria das
colisões consiste em obter a configuração final à partir da configuração inicial
normalmente conhecida.
A aplicação imediata dos conceitos de quantidade de movimento e impulso,
e do teorema do impulso é no estudo do choque entre corpos. Conforme discussão
anterior, em qualquer choque entre dois ou mais corpos, se considerarmos o sistema
composto apenas por eles ‒ sem a existência de forças externas ao sistema ‒ haverá
sempre a conservação da quantidade de movimento.
O estudo das colisões é regularmente dividida em alguns casos, os quais
apresentaremos na sequência.
21
4.9.1 COLISÃO FRONTAL
É o caso mais simples em que o movimento e o choque dos corpos
acontece apenas em uma direção (unidimensional). Quando isso ocorrer, não existe
a necessidade de se tratar o problema utilizando vetores, uma vez que a direção de
movimento dos corpos não se altera. Basta adotar um sentido como positivo, podendo
ser corpos deslocando-se para a direita de um observador, e o sentido oposto a esta
adotada como negativo. A aplicação do princípio da quantidade de movimento em
uma colisão frontal será mostrada adiante quando exemplificarmos esse caso.
4.9.2. COLISÃO OBLÍQUA
Nesse caso o movimento se dá no plano por ocorrer simultaneamente em
duas direções distintas, sendo classificado como colisão bidimensional. Quando isso
acontece, nem todas as velocidades dos corpos estarão em uma mesma linha reta, e
a representação vetorial da quantidade de movimento tem que ser utilizada. Para
resolver o problema, podemos proceder da seguinte maneira:
1. Considere um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional apropriado;
2. Obtenha as componentes da quantidade de movimento de cada corpo nas direções
x e y;
3. Aplique o princípio de conservação em cada direção: antes da colisão, a soma das
componentes da quantidade de movimento na direção x, deve ser igual à soma dessas
quantidades na direção x após a colisão; o mesmo procedimento vale para as
componentes na direção y.
4.9.3. TIPOS DE COLISÕES
As colisões podem ser do tipo elásticas ou inelástica. Sempre que a energia
cinética do sistema se conserva, isto é, a energia cinética total tem o mesmo valor
antes e depois do choque, dizemos que a colisão é elástica. De modo geral, o choque
é elástico quando os corpos que colidem não sofrem deformações durante a colisão.
22
Em caso contrário, se os corpos apresentarem deformações permanentes
em virtude da colisão, ou se houver produção de calor durante o choque, verificamos
que haverá uma redução no valor da energia cinética do sistema, pois parte desta
energia cinética foi utilizada para produzir as deformações ou transformada em
energia térmica. Sempre que os valores da energia cinética do sistema, antes e depois
da colisão, forem diferentes, dizemos que a colisão é inelástica.
Um caso particular de colisão inelástica ocorre quando os corpos, após o
choque, passam a se moverem juntos.
4.9.4. COLISÃO ELÁSTICA EM UMA DIMENSÃO
De acordo com a figura 16, vamos considerar duas partículas com massas 𝑚1 e 𝑚2
movendo-se na mesma direção e sentido. Antes de ocorrer a colisão, elas possuem
velocidades respectivamente iguais a �⃗�1𝑖 e �⃗�2𝑖, sendo que �⃗�1𝑖 > �⃗�2𝑖, pois em caso
contrário não existiria a colisão. Após a colisão, as partículas irão continuar se
movendo na mesma direção e sentido com velocidades �⃗�1𝑓 e �⃗�2𝑓, com �⃗�1𝑓 < �⃗�2𝑓, as
quais necessitam ser determinadas.
Figura 16: Detalhes de uma colisão elástica unidimensional entre duas partículas antes e de depois da colisão. Fonte: http://www.fisica.ufpb.br/~romero/pdf/10_colisoes.pdf. Acesso em 18/0/2015
Segundo o princípio da conservação da quantidade de movimento teremos,
23
�⃗⃗�1𝑖 + �⃗⃗�2𝑖 = �⃗⃗�1𝑓 + �⃗⃗�2𝑓,
que nos conduz a,
𝑚1�⃗�1𝑖 +𝑚2�⃗�2𝑖 = 𝑚1�⃗�1𝑓 +𝑚2�⃗�2𝑓.(2)
ou seja:
𝑚1(𝑣1𝑖 − 𝑣1𝑓) = 𝑚2(𝑣2𝑓 − 𝑣2𝑖) (3)
Lembrando que a energia cinética de uma partícula é, 𝐸𝑐 =1
2𝑚𝑣2. Multiplicando-a pela
sua massa no numerador e no denominador, teremos uma representação alternativa
em função da quantidade de movimento,
𝐸𝑐 =1
2
𝑚
𝑚𝑚𝑣2 =
(𝑚𝑣)2
2𝑚=
𝑄2
2𝑚,
sendo �⃗⃗� a quantidade de movimento da partícula.
Em se tratando de uma colisão elástica, temos ainda que,
{
�⃗⃗�1𝑖
2
2𝑚1+�⃗⃗�2𝑖
2
2𝑚2=
�⃗⃗�1𝑓2
2𝑚1+�⃗⃗�2𝑓
2
2𝑚2
𝑜𝑢1
2𝑚1𝑣1𝑖
2 +1
2𝑚1𝑣2𝑖
2 =1
2𝑚1𝑣1𝑓
2 +1
2𝑚2𝑣2𝑓
2
(4)
Diante das equações (3) e (4), podemos determinar �⃗�1𝑓 e �⃗�2𝑓 e assim conhecer o
movimento das partículas após a colisão.
Para determinar �⃗�1𝑓 e �⃗�2𝑓 vamos partir da equação (4). Simplificando 1
2 da
equação e isolando 𝑚1𝑒𝑚2 teremos,
𝑚1(𝑣1𝑖2 − 𝑣1𝑓
2 ) = 𝑚2(𝑣2𝑓2 − 𝑣2𝑖
2 ) (5)
ou ainda,
Conservação da Quantidade de Movimento
Conservação da Energia Cinética
24
𝑚1(𝑣1𝑖 + 𝑣1𝑓)(𝑣1𝑖 − 𝑣1𝑓) = 𝑚2(𝑣2𝑖 + 𝑣2𝑓)(𝑣2𝑖 − 𝑣2𝑓) (6)
dividindo a equação (6) pela equação (3), encontramos:
𝑣1𝑖 + 𝑣1𝑓 = 𝑣2𝑖 + 𝑣2𝑓(7)
da equação (7) teremos,
𝑣2𝑓 = 𝑣1𝑖 + 𝑣1𝑓 − 𝑣2𝑖(8)
usando a equação (8) na equação (3), teremos:
𝑚1(𝑣1𝑖 − 𝑣1𝑓) = 𝑚2(𝑣1𝑖 + 𝑣1𝑓 − 𝑣2𝑖) − 𝑚2𝑣2𝑖
ou seja:
𝑣1𝑓 = (𝑚1 −𝑚2
𝑚1 +𝑚2) 𝑣1𝑖 + (
2𝑚2
𝑚1 +𝑚2) 𝑣2𝑖(9)
usando a equação (9) na equação (8), encontraremos,
𝑣2𝑓 = (2𝑚1
𝑚1 +𝑚2) 𝑣1𝑖 + (
𝑚2 −𝑚1
𝑚1 +𝑚2) 𝑣2𝑖(10)
4.9.5. COLISÃO INELÁSTICA EM UMA DIMENSÃO
Vimos que uma colisão inelástica é toda aquela onde a energia cinética
total do sistema não é constante, embora a quantidade de movimento total o seja. Por
exe1mplo, se soltarmos uma bola de uma certa altura do chão, ela perde parte da sua
energia cinética no impacto, quicando até uma altura menor que a antecedente, antes
de repousar no chão. Se a bola quicasse retornando sempre até a sua altura inicial,
sua colisão com o chão seria elástica
25
A figura 17 ilustra uma das situações decorrente de uma colisão inelástica
unidimensional entre duas partículas de massas 𝑚1 e 𝑚2. Vamos considerar que
antes da colisão elas possuam velocidades �⃗�1𝑖 e zero, respectivamente. Por ser uma
colisão inelástica as partículas permanece “grudadas” uma na outra após o choque.
Nessa situação ocorre a perda máxima de energia cinética.
Figura 17: Detalhes de duas partículas m1 e m2, antes e depois de uma colisão inelástica em uma dimensão. Fonte Fonte: http://www.fisica.ufpb.br/~romero/pdf/10_colisoes.pdf. Acesso em 18/08/2015
Para interpretarmos o problema, partimos de,
�⃗⃗�𝑖 = �⃗⃗�𝑓
como os corpos permanecem juntos após o choque teremos:
�⃗⃗�1𝑖 + �⃗⃗�2𝑖 = �⃗⃗�𝑓,
em que,
𝑚1�⃗�1𝑖 +𝑚2�⃗�2𝑖 = (𝑚1 +𝑚2)�⃗�𝑓 ⇒ �⃗�𝑓 =𝑚1�⃗⃗�1𝑖+𝑚2�⃗⃗�2𝑖
𝑚1+𝑚2,
Casos o alvo esteja em repouso, como o apresentado aqui teremos:
𝑣𝑓 =𝑚1
(𝑚1 +𝑚2)𝑣1𝑖
Conservação da Quantidade de Movimento
26
4.9.6. COLISÃO EM DUAS DIMENSÕES
Vamos considerar uma partícula de massa 𝑚1 e velocidade inicial �⃗�1𝑖
deslocando-se em linha reta (direção x) direção de modo a colidir não frontalmente
com uma partícula de massa 𝑚2 que se encontra inicialmente em repouso. A figura
18 ilustra esta situação.
Figura 18: Representação da partícula de massa 𝑚1 e velocidade �⃗�1𝑖 instantes antes de colidir
obliquamente com a partícula 𝑚2 em repouso.
Fonte: http://www.fisica.ufpb.br/~romero/pdf/10_colisoes.pdf. Acesso em 18/08/2015
Após a colisão as partículas são espalhadas com velocidades �⃗�1𝑓 e �⃗�2𝑓,
formando ângulos 𝜃1 e 𝜃2 com a direção original da partícula de massa 𝑚1, conforme
mostra a figura 19.
Figura 19: Representação da partículas massa 𝑚1 e 𝑚2 após a colisão.
Fonte: http://www.fisica.ufpb.br/~romero/pdf/10_colisoes.pdf. Acesso em 18/08/2015
Usando a conservação da quantidade de movimento total,
{𝑚1𝑣1𝑖 = 𝑚1𝑣1𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃1 +𝑚2𝑣2𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃2(𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜𝑥)
0 = −𝑚1𝑣1𝑓𝑠𝑒𝑛𝜃1 +𝑚2𝑣2𝑓𝑠𝑒𝑛𝜃2(𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜𝑦),
27
e depois usando a conservação da energia cinética total,
1
2𝑚1𝑣1𝑖
2 =1
2𝑚1𝑣1𝑓
2 +1
2𝑚2𝑣2𝑓
2 ,
Para descrevermos o espalhamento das partículas, é necessário conhecermos os
módulos das suas velocidades finais 𝑣1𝑓 e 𝑣2𝑓 e os ângulos correspondentes 𝜃1 e 𝜃2.
Temos então quatro incógnitas a ser obtidas com apenas três equações disponíveis
para essa finalidade. Uma das possibilidades é fixar um valor coerente para uma das
variáveis e assim determinar as três restantes.
28
5. ROTEIROS DAS ATIVIDADES
Para desenvolver o trabalho junto aos alunos preparamos um roteiros que
acompanhava as Atividades. Este roteiro teve por finalidade otimizar a aplicação do
trabalho junto aos alunos na realização das atividades computacionais. O primeiro
roteiro refere-se às atividades das colisões unidimensionais, e foi dividido em duas
partes que chamamos de passos e estão mostrados à seguir:
Passo 1
Com o botão esquerdo do mouse dê um duplo clique sobre a atividade
desejada;
Espere a simulação rodar e observe a colisão com atenção. Se necessário
feche a mesma no canto superior direito da no ícone e reinicie a
simulação novamente;
Considere a esfera da esquerda como sendo a esfera 1 e a da direita a esfera
2;
Anote os valores das massas (m1 e m2) e velocidade (v1 e v2) e depois
respondam as questões do questionário avaliativo.
Passo 2
Caso a animação ainda esteja aberta feche-a no ícone indicado anteriormente;
Clique com o botão direito do mouse sobre a atividade;
Clique com o botão sobre Edit with IDLE (figura 20) e assim você vai visualizar
o algoritmo da animação;
Figura 20: visualização do editor do programa (Edit With IDLE) Fonte: Elaborada pelo autor
Localize as linhas que iniciam por “rot2 = label” e “rot3 = label” e apague o
símbolo “#”;
Na barra de ferramentas na parte superior da tela clique com o botão esquerdo
do mouse na opção Run (figura 21) e depois em Run Module F5;
29
Verifique os valores da quantidade de movimento e da energia cinética e
compare com os valores determinados por você.
Figura 21: Visão parcial da janela Edit with IDLE.
Para desenvolver as atividades de colisões bidimensionais foi requerido
que os alunos utilizassem o primeiro roteiro sendo que para estas colisões o que havia
de novo era o ângulo de espalhamento das bolas após as colisões, ou seja θ1 e θ2,
que na janela das animações aparecem como 𝑓𝑖1 𝑒 𝑓𝑖2.
Também foi lembrado aos alunos que os mesmos deveriam calcular as
quantidades de movimento das bolas em relação a coordenada horizontal (eixo de x)
e a coordenada vertical (eixo de y).
30
6. TESTE DE VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM
ESCOLA ESTADUAL FREI AMBRÓSIO
ALUNOS:_________________________________________________1º ANO___
PROF. JOÃO BOSCO CÁCERES ____/___/2015
QUESTIONÁRIO AVALIATIVO DE FÍSICA – QUANTIDADE DE
MOVIMENTO
São apresentadas 6 (seis) animações que chamamos de Atividades, sendo que
para cada Atividade, duplas de alunos deverão responder as questões logo abaixo:
Obs: cada atividade deverá ser identificada da seguinte forma, Atividade 1,
Atividade 2, etc.
Q1 - Calcule a quantidade de movimento inicial de cada esfera
Q2 - Calcule a quantidade de movimento inicial total das esferas
Q3 - Calcule a quantidade de movimento final de cada esfera
Q4 - Calcule a quantidade de movimento final total das esferas
Q5 - Houve conservação da quantidade de movimento do sistema? Justifique
Q6 - Calcule a energia cinética inicial de cada esfera
Calcule a energia cinética inicial total das esferas
Q7 - Calcule a energia cinética final de cada esfera
Q8 - Calcule a energia cinética final total das esferas
Q9 - Houve conservação da energia cinética do sistema? Justifique
31
7. ANIMAÇÕES COMPUTACIONAIS
As animações estão listadas à seguir, foram rotuladas como Atividades
e ilustradas na sequência em que foram aplicadas em sala de aula.
7.1. COLISÕES UNIDIMENSIONAIS
Nesta primeira parte descrevemos as animações simulando colisões
elásticas e inelásticas unidimensionais. Tratam-se então de colisões frontais entre
duas partículas macroscópicas, as quais serão representadas nas animações pelos
objetos esferas que chamaremos de bolas. Vamos associar sempre a bola da
esquerda ao índice 1 e a bola da direita ao índice 2. A magnitude das grandezas
físicas envolvidas nos problemas será sempre definida no Sistema Internacional de
unidades (SI). A quantidade de movimento �⃗⃗� e a energia cinética 𝐸𝑐 associadas a
uma partícula, representam as grandezas físicas principais de todas as Atividades
computacionais que formam o nosso trabalho. Elas são definidas respectivamente
por:
�⃗⃗� = 𝑚�⃗� e 𝐸𝑐 =1
2𝑚𝑣2,
Sendo 𝑚 a massa da partícula e �⃗� a sua velocidade. De acordo com as suas
definições, no SI a unidade de �⃗⃗� é o kg.m/s, e de 𝐸𝑐 é o kg.m2/s2 mais popularmente
conhecido por Joule, abreviado pela letra J. Se o sistema está isolado do meio
externo as bolas só podem experimentar a força de uma sobre a outra. Essa força
que obedece a 3a Lei de Newton não será mostrada nas animações mas existe
somente no instante do contato entre as bolas e atua na mesma linha em que ocorre
os seus movimentos quando tratarmos de colisões unidimensionais.
Para os problemas em uma dimensão consideramos três atividades
computacionais, as quais simulam dois casos de colisões elásticas e um de colisão
inelástica. A primeira a ser discutida, rotulada por Atividade 1, é uma colisão elástica
entre duas bolas idênticas (de mesmo tamanho), ou seja, de mesma massa e com
a mesma composição. Inicialmente elas possuem velocidades iguais em módulo,
porém movendo-se em sentidos contrários (indicados pelos vetores na figura 22)
32
com uma bola indo ao encontro da outra.
A figura 22 revela uma imagem em algum instante antes de ocorrer a
colisão. Nessa atividade as massas foram escolhidas iguais a 1,0 kg e portanto os
vetores velocidade e quantidade de movimento associados a cada bola se
coincidem, ou seja, têm o mesmo módulo e o mesmo sentido. Sendo as velocidades
das bolas iguais em módulo, as suas energias cinéticas, que dependem do quadrado
da velocidade ou da quantidade de movimento, também assumem o mesmo valor.
Figura 23: Sistema da Atividade 1 depois da colisão.
Após a colisão, condição ilustrada na figura 23, podemos perceber que as
bolas inverteram o sentido dos seus vetores velocidade e quantidade de movimento,
embora os seus comprimentos não mudaram, indicando portanto a mudança no
sentido dos seus movimentos; isso também é revelado pela troca de sinal dos
Figura 22: Sistema da Atividade 1 antes da colisão.
33
valores dessas duas grandezas conforme indicados na figura 22. A energia cinética
de cada partícula permaneceu inalterada.
Assim, a quantidade de movimento total do sistema, definida pela soma
das quantidades individuais de cada bola, obtida antes e após a colisão, manteve-
se a mesma, ou seja,�⃗⃗�𝑖𝑡 = 10 − 10 = 0 e �⃗⃗�𝑓𝑡 = −10 + 10 = 0. Constatamos então
que houve a conservação da quantidade de movimento total nesse sistema
constituído por duas bolas. Ainda, a energia cinética total que é a soma das energias
cinéticas individuais de cada bola, também não mudou,𝐸𝐶𝑖𝑡 = 100𝐽 e 𝐸𝐶𝑓𝑡 = 50 +
50 = 100𝐽, o que nos leva a concluirmos que a colisão ocorrida na Atividade 1 é
elástica.
Apresentaremos agora na figura 24 a Atividade 2, um sistema constituído
por uma bola laranja cuja massa é de 3,0 kg movimentando-se inicialmente para a
direita com velocidade 4,0 m/s (representado pelo vetor na figura 24) indo de
encontro a uma bola azul, cuja massa é de 1,0 kg e que se encontra inicialmente em
repouso. Com base nesses dados podemos verificar que a quantidade de movimento
inicial da bola laranja vale𝑄1𝑖 = 3 × 4 = 12𝑘𝑔.𝑚 𝑠⁄ e a quantidade de movimento
inicial da bola azul é 𝑄2𝑖 = 0,0𝑘𝑔.𝑚 𝑠⁄ . A energia cinética inicial da bola laranja é
𝐸𝐶1𝑖 =1
2× 3 × 42 = 24𝐽, enquanto a energia cinética 𝐸𝐶2𝑖 da bola azul é zero, uma
vez que a mesma encontrava-se em repouso e a energia cinética depende
diretamente do quadrado da velocidade.
Figura 24: Sistema da Atividade 2 antes da colisão.
34
Figura 25: Sistema da Atividade 2 depois da colisão.
Pela observação da figura 25, após a colisão podemos perceber que as
bolas passam a movimentar-se na mesma direção e no mesmo sentido, sendo que
a bola laranja que já se encontrava em movimento sofreu uma redução no módulo
de sua velocidade passando a ser de 2,0 m/s, o que provoca também uma redução
no módulo de sua quantidade de movimento𝑄1𝑓 = 3 × 2 = 6,0𝑘𝑔.𝑚 𝑠⁄ e de sua
energia cinética𝐸𝐶1𝑓 =1
2× 3 × 22 = 6,0𝐽. Por outro lado, a bola azul que se
encontrava em repouso, adquire movimento com velocidade igual a 6,0 m/s e
obviamente tem um acréscimo no módulo de sua quantidade de movimento𝑄2𝑓 = 1 ×
6 = 6,0𝑘𝑔.𝑚 𝑠⁄ e de sua energia cinética𝐸𝐶2𝑓 =1
2× 1 × 62 = 18,0𝐽. Os vetores
velocidade de cada bola estão indicados na figura 24.
Somando as quantidades de movimento antes da colisão, 𝑄𝑖𝑡 = 12 + 0 =
12𝑘𝑔.𝑚 𝑠⁄ , e após a colisão, 𝑄𝑓𝑡 = 6 + 6 = 12𝑘𝑔.𝑚 𝑠⁄ , confirmamos que a
quantidade total manteve-se constante. Por outro lado, para que ocorra a
conservação da quantidade de movimento no problema, podemos afirmar que no
processo de colisão a bola com maior massa deve sofrer uma menor variação em
módulo na sua velocidade do que a da bola de menor massa.
Mas o que podemos afirmar sobre o tipo de colisão ocorrido nesta
atividade? Afinal, ela é uma colisão elástica ou inelástica?
Para sabermos, teremos que analisar se houve ou não a conservação da
energia cinética do sistema, ou seja, se 𝐸𝐶𝑖𝑡 = 𝐸𝐶𝑓𝑡. Calculando as energias
chegamos a 𝐸𝐶𝑖𝑡 = 24,0𝐽 + 0,0𝐽 = 24,0𝐽 e 𝐸𝐶𝑓𝑡 = 6,0𝐽 + 18,0𝐽 = 24,0𝐽. Sendo assim,
35
a energia cinética total do sistema também não mudou, concluindo que a colisão é
elástica. Lembrando mais uma vez que, caso ocorresse apenas a conservação da
quantidade de movimento do sistema o colisão seria inelástica.
Mudamos agora para a próxima animação, finalizando os casos
unidimensionais com uma colisão do tipo inelástica. A Atividade 3 na figura 26, é
constituída inicialmente por uma bola vermelha, com velocidade 10 m/s, indo a colidir
com uma bola verde em repouso. As massas das bolas são iguais 1,0 kg.
Figura 26: Sistema da Atividade 3 antes da colisão.
Neste caso, conforme visualizado na figura 27, as bolas permanecem
juntas após a colisão e sem inverter o sentido do movimento, podendo assim
considerá-las como um único corpo. Devemos nesse momento lembrar que a
condição de sistema isolado imposta para todas as atividades do nosso projeto
Figura 27: Sistema da Atividade 3 depois da colisão.
36
implica consequentemente na conservação da sua quantidade de movimento total
mas esse princípio não vale obrigatoriamente para a energia cinética total de um
sistema.
Determinamos primeiro a quantidade de movimento antes da colisão, isto
é, 𝑄𝑖𝑡 = 10 + 0 = 10𝑘𝑔.𝑚 𝑠⁄ . No entanto, essa quantidade será a mesma após a
colisão, mas de que maneira? Como as bolas são idênticas e seguem grudadas
depois do choque, as suas quantidades de movimento assim como as suas
velocidades, têm que ser iguais, informando que 𝑄𝑓𝑡 = 5 + 5 = 10𝑘𝑔.𝑚 𝑠⁄ . Logo, a
velocidade do corpo unificado após a colisão será de 5,0 m/s, isto é, reduzirá à
metade do valor da velocidade da bola vermelha antes da colisão.
E o que podemos afirmar sobre a energia cinética total desse sistema?
Antes da colisão das bolas, 𝐸𝐶𝑖𝑡 = 50 + 0 = 50𝐽, e após a colisão podemos obtê-la
por dois modos, 𝐸𝐶𝑓𝑡 = 12,5 + 12,5 = 25𝐽, quando calculada à partir das energias
cinéticas individuais de cada bola ou, 𝐸𝐶𝑓𝑡 =1
2× 2 × 25 = 25𝐽, quando consideramos
as duas bolas como um único corpo cuja massa, proveniente da soma das massas
de cada bola, é 2,0 kg. Contudo, 𝐸𝐶𝑖𝑡 ≠ 𝐸𝐶𝑓𝑡, não ocorrendo a conservação da
energia cinética e por isso na Atividade 3 a colisão é do tipo inelástica.
7.2. COLISÕES BIDIMENSIONAIS
Passamos agora a discutir sobre colisões bidimensionais (colisões não
frontais). Ela será exemplificada por uma única atividade, uma colisão elástica. A
animação (vejam as figuras à seguir) é constituída por duas bolas, a laranja rotulada
pelo índice 1 e a verde pelo índice 2, deslizando-se sobre uma base contendo uma
faixa no meio que auxiliará na visualização do espalhamento. Para interpretá-las,
optamos por um sistema de coordenadas cartesianas com a origem fixa no centro da
base, com o eixo x (abcissa) paralelo à faixa branca e sentido positivo para a nossa
direita e o eixo y (ordenada) perpendicular à essa faixa e sentido positivo para cima.
A Atividade 4 simula uma colisão bidimensional entre bolas de massas
iguais a 1,0 kg. Inicialmente, a bola laranja movimenta-se ao longo do eixo x para a
direita com velocidade de 6,0 m/s, indo ao encontro da bola verde em repouso,
conforme revelado na figura 28.
37
Matematicamente falando temos, 𝑣1𝑖 = 𝑣1𝑖𝑥 = 6,0𝑚 𝑠⁄ e 𝑣2𝑖 = 0𝑚 𝑠⁄ .
Podemos então verificar que a quantidade de movimento inicial da bola laranja é
𝑄1𝑖𝑥 = 𝑚1𝑣1𝑖𝑥 = 1 × 6 = 6𝑘𝑔.𝑚 𝑠⁄ e a da bola verde é 𝑄2𝑖 = 𝑚2𝑣2𝑖 = 1 × 0 =
0𝑘𝑔.𝑚 𝑠⁄ . Podemos constatar que a energia cinética inicial da bola laranja é
𝐸𝐶1𝑖 =1
2𝑥1𝑥62 = 18𝐽, enquanto que a energia cinética da bola verde 𝐸𝐶2𝑖 = 0𝐽 por
estar em repouso, de acordo com a definição da energia cinética que depende
diretamente do quadrado da velocidade ou da quantidade de movimento.
Figura 28: Sistema da Atividade 4 antes da colisão.
38
Figura 29: Sistema da Atividade 4 depois da colisão.
Para esta Atividade definimos aleatoriamente para a bola laranja a
velocidade inicial e seu ângulo de espalhamento, sendo estes respectivamente iguais
a 𝑣1𝑖 = 6,0𝑚 𝑠⁄ e θ1 = 30º, bem como o ângulo de espalhamento da bola verde
θ2 = 60º, uma vez que nas colisões elásticas bidimensionais o ângulo que formam as
direções das velocidades depois do choque, θ1 e θ2, devem ser iguais a 90º, faltando
definir então as velocidade finais destas bolas, 𝑣1𝑓 𝑒 𝑣2𝑓. Para descobrir as
velocidades finais partimos da equação,
𝑚1𝑣1𝑖 = 𝑚1𝑣1𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃1 +𝑚2𝑣2𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃2(𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜𝑥)
1𝑥6 = 1𝑥𝑣1𝑓𝑥𝑐𝑜𝑠30º + 1𝑥𝑣2𝑓𝑥𝑐𝑜𝑠60º
1𝑥6 = 1𝑥𝑣1𝑓𝑥0,86 + 1𝑥𝑣2𝑓𝑥0,5
0,86𝑥𝑣1𝑓 = 6 − 0,5𝑥𝑣2𝑓
𝑣1𝑓 = 6 − 0,5𝑥𝑣2𝑓
0,86 (𝐼)
39
0 = −𝑚1𝑣1𝑓𝑠𝑒𝑛𝜃1 +𝑚2𝑣2𝑓𝑠𝑒𝑛𝜃2(𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜𝑦)
0 = −1𝑥𝑣1𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛30º + 1 𝑥 𝑣2𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛 60º
0 = −1𝑥𝑣1𝑓 𝑥 0,5 + 1 𝑥 𝑣2𝑓 𝑥 0,86
0,5𝑥𝑣1𝑓 = 0,86 𝑥 𝑣2𝑓
𝑣1𝑓 = 0,86 𝑥 𝑣2𝑓
0,5
𝑣1𝑓 = 1,72𝑣2𝑓 ( 𝐼𝐼)
Igualando ( 𝐼𝐼) e ( 𝐼), teremos:
1,72𝑣2𝑓 = 6 − 0,5𝑥𝑣2𝑓
0,86
1,4792𝑣2𝑓 = 6 − 0,5𝑥𝑣2𝑓
1,4792𝑣2𝑓 + 0,5𝑥𝑣2𝑓 = 6
1,97972𝑣2𝑓 = 6
𝑣2𝑓 = 6
1,97972
portanto,
𝒗𝟐𝒇 ≅ 𝟑, 𝟎 𝒎/𝒔
Substituindo 𝑣2𝑓 em ( 𝐼),
𝑣1𝑓 = 6 − 0,5𝑥3
0,86= 6 − 1,5
0,86
então,
𝒗𝟏𝒇 ≅ 𝟓, 𝟐 𝒎/𝒔
40
Sabendo então que após a colisão a bola laranja imprime à bola verde um
certo movimento, ou seja, transfere para esta bola uma certa quantidade de
movimento, e as duas bolas tomarão direções diferentes, sendo que a laranja se
move com velocidade 𝑣1𝑓 = 5,2𝑚 𝑠⁄ , formando um ângulo θ1 = 30º com a direção x.
e a bola verde com velocidade 𝑣2𝑓 = 3,0𝑚 𝑠⁄ , formando um ângulo θ2 = – 60º (por
uma questão de construção, o ângulo da bola verde é negativo pois consideramos
ele no sentido horário) com a direção x (nas animações os ângulos são chamados
respectivamente de fi1 e fi2), de acordo com os detalhes ilustrados na figura 29.
Para verificarmos se houve a conservação da quantidade de movimento
devemos analisar separadamente as componentes x e y da quantidade de movimento
do problema.
Na direção x, temos que a quantidade de movimento final da bola laranja é
𝑄1𝑓𝑥 = 𝑚1𝑣1𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃1 = 1 × 5,2 × 𝑐𝑜𝑠30º = 4,5𝑘𝑔.𝑚 𝑠⁄ , e para a bola verde temos
𝑄2𝑓𝑥 = 𝑚2𝑣2𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃2 = 1 × 3 × 𝑐𝑜𝑠(−60º) = 1,5𝑘𝑔.𝑚 𝑠⁄ . Somando essas quantidades
obtemos𝑄𝑓𝑥 = 𝑄1𝑓𝑥 + 𝑄2𝑓𝑥 = 4,5 + 1,5 = 6,0𝑘𝑔.𝑚 𝑠⁄ . Por comparação temos que,
𝑄𝑖𝑥 = 𝑄𝑓𝑥, então a quantidade de movimento é conservada nessa direção.
Na outra direção temos que a quantidade de movimento da bola laranja na
direção y é dado por 𝑄1𝑓𝑦 = 𝑚1𝑣1𝑓𝑠𝑒𝑛𝜃1 = 1 × 5,2 × 𝑠𝑒𝑛30º = 2,6𝑘𝑔.𝑚 𝑠⁄ , enquanto
que a da bola verde vale 𝑄2𝑓𝑦 = 𝑚2𝑣2𝑓𝑠𝑒𝑛𝜃2 = 1 × 3 × 𝑠𝑒𝑛(−60º) = −2,6𝑘𝑔.𝑚 𝑠⁄ . O
valor negativo de 𝑄2𝑓𝑦 indica que o seu sentido está contrário ao que convencionamos
como positivo. Somando as quantidade de movimento das duas bolas encontramos
𝑄𝑓𝑦 = 𝑄1𝑓𝑦 + 𝑄2𝑓𝑦 = 2,6 − 2,6 = 0,0𝑘𝑔.𝑚 𝑠⁄ e, desse modo, temos que 𝑄𝑖𝑦 = 𝑄𝑓𝑦.
Como a quantidade de movimento total não mudou em nenhuma direção, podemos
concluir que houve conservação da quantidade de movimento neste problema.
Uma análise qualitativa, fundamental para a interpretação e compreensão
das colisões bidimensionais, pode ser feita com a ajuda dos vetores em amarelo que
aparecem na figura 29. Eles representam as componentes x e y da quantidade de
movimento de cada bola após o espalhamento. Imaginando, em cada direção, a soma
desses vetores de cada bola e depois comparando-a com os resultados equivalentes
da figura 28 antes da colisão, podemos notar que a análise aponta para uma
confirmação da conservação da quantidade de movimento ocorrida no problema.
41
Comparando os vetores da bola laranja na direção x, observamos que ele diminuiu
depois da colisão, de maneira que a diferença entre eles é a quantidade de movimento
transferida para a bola verde nessa direção. Por outro lado, percebemos que após a
colisão a bola laranja ganhou quantidade de movimento na direção y, de modo que
essa quantidade só pode ter vinda proveniente da bola verde que, consequentemente,
sofreu um recuo nessa direção.
Depois do choque verificamos também que a bola laranja sofreu uma
redução no módulo de sua velocidade tendo portanto energia cinética final
𝐸𝐶1𝑓 =1
2𝑚1𝑣1𝑓
2 =1
2× 1 × 5,22 = 13,5𝐽, e a bola verde que antes estava em repouso,
adquiriu velocidade pois recebeu parte da quantidade de movimento da bola laranja,
passando a ter, 𝐸𝐶2𝑓 =1
2𝑚2𝑣2𝑓
2 =1
2× 1 × 32 = 4,5𝐽, de energia cinética. Somando as
energias cinéticas finais das bolas chegaremos a, 𝐸𝐶𝑓 = 𝐸𝐶1𝑓 + 𝐸𝐶2𝑓 = 13,5 + 4,5 =
18𝐽. Verificamos portanto que a energia cinética total do sistema antes do choque é
igual a energia cinética após o choque, desse modo a colisão bidimensional entre as
bolas é elástica.
