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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC Curso de Pós-Graduação em Ensino, História e Filosofia das Ciências e

Matemática

Dissertação de Mestrado

Debora da Silva Souza

A formação do professor de Matemática: um estudo sobre o

conhecimento pedagógico dos números racionais.

Santo André 2015

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3

Curso de Pós-Graduação em Ensino, História e Filosofia das Ciências e

Matemática

Dissertação de Mestrado


A formação do professor de Matemática: um estudo sobre o

conhecimento pedagógico dos números racionais.

Trabalho apresentado como requisito para

obtenção do título de Mestre em Ensino, História e Filosofia das Ciências e

Matemática , sob orientação do Professor Doutor Francisco José Brabo Bezerra.

Santo André

2015

4

Este exemplar foi revisado e alterado em relação à versão original, de acordo com as observações levantadas pela banca no dia da

defesa, sob responsabilidade única do autor e com a anuência de seu orientador.

Santo André, ____de _______________ de 20___.

Assinatura do autor: _____________________________________

Assinatura do orientador: _________________________________

5


A formação do professor de Matemática: um estudo sobre o conhecimento

pedagógico dos números racionais.

Essa dissertação foi julgada e aprovada para a

obtenção do grau de Mestre em Educação no

curso de Pós-graduação em Ensino História e

Filosofia das Ciências e Matemática da

Universidade Federal do ABC.

Santo André – SP, 20 de junho de 2015

__________________________

Profa. Dra. Márcia Helena Alvim

Coordenadora do Curso

BANCA EXAMINADORA

________________________________________________

Prof. Dr. Francisco José Brabo Bezerra – Orientador UFABC

________________________________________

Prof.ª. Dra. Sandra Maria Pinto Magina – UESC-BA

_____________________________________

Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro –UFABC

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Agradecimentos

Quero aqui expressar minha gratidão a todos os que, de alguma forma, me

auxiliaram na realização deste trabalho.

À Deus, por seu imenso amor e misericórdia para me guiar nos momentos

difíceis, me dar forças para superar as dificuldades, mostrar os caminho nas

horas incertas e me suprir em todas as minhas necessidades.

À minha mãe, por estar ao meu lado desde as minhas lembranças mais antigas

sempre esteve presente lado a lado para segurar minha mão, me levantar e

estimular a seguir em frente. Obrigada por esse amor incondicional e pela vida

mãe.

Ao meu pai Geraldo e minha madrasta Suzana por todo auxilio, carinho que

demonstraram por mim durante todos esses dois anos e todos os outros de

minha vida e, principalmente, por orientar meus passos acadêmicos e me

incentivar a nunca desistir.

Ao João Pietro, meu maior amor, meu melhor amigo, por cada momento de

acalanto e calmaria para o coração.

Aos meus irmãos Danilo, David, Nathan e Daniel por cumprirem esse papel tão

importante na minha vida e estarem da maneira deles sempre ao meu lado seja

para me enviar um arquivo com urgência ou reclamar por ter que me ajudar,

porém nunca deixar de fazê-lo.

Agradeço de forma especial a Felipe Tadeu, pela parceria, pela paciência, pela

força, pelo amor e por toda ajuda que me deu durante toda a realização desta

pesquisa. Eu não teria conseguido nada disso sem o seu apoio.

À Luiza Bede, a irmã que a vida me deu, a amiga que me acompanhou de

perto discutindo as angústias da adolescência, as dúvidas da faculdade e os

devaneios da pós graduação, sem você também sou pá furada.

7

Aos meus tios Telma Zeigler e Wilson Rocha, por todos os bons momentos que

sempre me proporcionam durante esses dois anos de luta e estudo, pelo amor,

pela amizade e por construir esse sentimento tal forte que temos como família.

Ao meu orientador professor Francisco, pela confiança depositada, pelo

respeito às minhas opiniões e pela liberdade que me deu para elaborar essa

pesquisa.

Ao Professor Alessandro por toda contribuição não só para o meu trabalho mas

também para a minha formação pessoal e à professora Sandra por todo

carinho e dedicação que teve durante a minha banca de qualificação e também

a de defesa.

Agradeço aos amigos e parceiros do OBEDUC por toda a contribuição para

esta pesquisa, a companhia nos congressos, toda a paciência, as risadas e

tanto o meu amadurecimento profissional, quanto o amadurecimento deste

estudo.

Aos amigos que de perto ou de longe sempre estiveram presentes para me

ajudar nos momentos em que precisava descontrair e “recarregar” as energias

para continuar.

Dedico este trabalho ao meu pai Mauro, um homem que foi peça essencial

para a formação do meu caráter e principalmente da força que tenho hoje.

Obrigada.

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Resumo

A pesquisa intitulada “A formação do professor de Matemática: um estudo sobre o conhecimento pedagógico dos números racionais” investigou como se apresenta o conhecimento pedagógico dos números racionais com professores de matemática durante a sua prática em parceria com o projeto do Observatório da Educação da UFABC, e está baseada na prática construída a partir da noção de conhecimento pedagógico do conteúdo (PCK) de Shulman (1987) ampliada por Ball, Thames e Phelps (2008) no que chamam de MKT. A pesquisa estruturou-se nas seguintes questões: Como este professor transforma o conhecimento adquirido em sala de aula em um conhecimento a se ensinar? Este tal conhecimento que neste caso dos números racionais, possui alguma particularidade para seu ensino? Existe alguma dificuldade clássica dos alunos? O professor consegue reconhecer tais dificuldades? Como formadores de professores de Matemática nosso interesse foi investigar aspectos relacionados ao conhecimento matemático para o ensino dos professores da Educação Básica e em particular do conteúdo dos números racionais. Para coleta e levantamento dos dados, observamos o momento de preparo das aulas de professores da rede pública de ensino, o momento em que analisa os erros dos alunos quando resolvem questões envolvendo os números racionais e também o momento em que ele analisa as questões que seu colega de área utiliza quando ensina este conteúdo. De posse desses dados, pretendíamos encontrar estratégias que propiciassem reunir o conteúdo da disciplina com o conhecimento pedagógico do conteúdo da mesma na formação do professor de matemática. Todo nosso percurso será construído dentro de uma abordagem qualitativa de pesquisa. Os dados coletados foram analisados a partir da tabela de subdomínios do conhecimento que combinam conhecimento do conteúdo com conhecimento pedagógico para o ensino elaborada por Ball, Thames e Phelps (2008). Chegamos a conclusão que este conhecimento matemático para o ensino se apresenta e se aperfeiçoa durante a prática do professor.

Palavras-chave: formação de professores, números racionais, PCK, MKT.

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Abstract

The research titled "The education of teachers of mathematics: a study of the pedagogical knowledge of rational numbers" investigated as shown pedagogical knowledge of rational numbers with mathematics teachers during their practice in partnership with the Centre's project of UFABC Education and it is based on practical built on the notion of pedagogical content knowledge (PCK) of Shulman (1987) expanded by Ball, Thames and Phelps (2008) in what they call MKT. The research was structured on the following issues: How this teacher transforms the knowledge acquired in the classroom in a knowledge to teach? This such knowledge in this case of rational numbers, has some particularity to his teaching? Is there any classic difficulty of the students? The teacher can recognize these difficulties? As Mathematics teacher trainers Our interest was to investigate aspects related to mathematical knowledge for teaching of Basic Education teachers and in particular the content of rational numbers. To collect and assemble the data, we found the time to prepare school teachers of public schools, the moment in which he analyzes the mistakes of students when solving issues involving rational numbers and also the time when he looks at the issues that your Area colleague uses when teaching this content. With this data, we wanted to find strategies that could provide the discipline of gathering content with pedagogical content knowledge of it in the training of mathematics teachers. All our path will be built within a qualitative research. The collected data were analyzed from the subdomains table of knowledge that combines content knowledge with pedagogical knowledge for teaching developed by Ball, Thames and Phelps (2008). We came to the conclusion that this mathematical knowledge for teaching is presented and perfected during practice teacher.

Keywords: teacher training, rational numbers, PCK, MKT.

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SUMÁRIO Página

1 INTRODUÇÃO 17

1.1 Ponto de partida: a minha história de vida 17

1.2 A problemática e os objetivos deste estudo 20

1.3 Dos estudos a questão de pesquisa 25

1.4 Organização da dissertação – sobre os capítulos 29

2 APORTE TEÓRICO 30

2.1 Conhecimento Matemático para o Ensino 30

2.2 Números racionais 40

2.3 Revisão de literatura 44

3 METODOLOGIA 57

3.1 Os protagonistas desta pesquisa 61

3.2 A coleta dos dados da pesquisa 65

3.3 Instrumentos e procedimentos de coleta de dados 70

3.3.1 Procedimento 1 – Instrumento: Questionário 70

3.3.2 Procedimento 2 – Instrumento: Análise de alguns erros decorrentes do ensino de números racionais

71

3.3.3 Instrumento 3 – Instrumento: Discussão das questões elaboradas

81

4 ANÁLISE DOS DADOS 84

4.1 Questões x Subconstrutos 85

4.1.1 Subconstruto quociente 85

4.1.2 Subconstruto operador 86

4.1.3 Subcontruto medida 86

4.1.4 Subconstruto razão 87

4.2 Análise dos erros decorrentes do ensino dos números

racionais

88

4.3 Análise do momento em que o professor cria suas questões,

resolve as questões do colega e as questões propostas pelo

grupo de pesquisa.

109

4.3.1 Professor A 109

4.3.2 Professor B 115

4.3.3 Professor C 124

11

CONSIDERAÇÕES FINAIS 133

BIBLIOGRAFIA 138

ANEXOS 141

12

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - resumo da coleta de dados

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Questão da prova Brasil - Fonte: Matriz de Referência Prova Brasil

2011 (pág, 140).

Figura 2 – Percentuais de resposta - Fonte: Matriz de Referência Prova Brasil

2011 (pág, 140).

Figura 3 – Questão da Prova Brasil e percentual de resposta - Fonte: Matriz de

Referência Prova Brasil 2011 (pág. 142).

Figura 4 – Questão da prova Brasil percentual de resposta - Fonte: Matriz de

Referência Prova Brasil 2011 (pág., 145).

Figura 5 – Fonte: Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e

metodológicos, 2009 (pág., 62)

Figura 6 – Fonte: Ball, Thames e Phelps (2008, p.403) – tradução Thais.

Figura 7 – Recorte do quadro original feito pela pesquisadora

Figura 8 – Erros decorrentes do ensino de números racionais – Fonte:

Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional,

currículo das escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).













13




























Figura 22 – Resposta do professor A para a questão 1 dos erros decorrentes do

ensino de números racionais.






14




Figura 27 – Resposta do professor A para a questão 10 dos erros decorrentes

do ensino de números racionais.





Figura 30 –Resposta do professor B para a questão 1 dos erros decorrentes do


Figura 31 – Resposta do professor B para a questão 2 dos erros decorrentes
















Figura 39 – Resposta do professor C para a questão 2 dos erros decorrentes







15
















Figura 50 – Questões elaboradas pelo professor A




Figura 54 – Questões elaboradas pelo professor B


Figura 56 – Questões elaboradas pelo OBEDUC






Figura 62 – Questões elaboradas pelo professor C







16








17

1 INTRODUÇÃO

1.1 Ponto de partida: Da minha história de vida à constituição de um projeto de

pesquisa

A trilha por mim seguida durante a vida escolar e universitária sempre

teve uma afinidade maior pela matemática. Durante os anos, como aluna da

Educação Básica, tive a matemática como matéria preferida. Porém, não era

algo que me encantava. Eu apenas gostava de fazer os exercícios, entender

como cada um deles se “comportava” e qual era a forma certa que cada um

deles tinha para serem resolvidos.

Quando escolhi fazer matemática, a motivação foi voltada para a área de

ensino, pois a vontade de ser professora sempre esteve presente em minha

vida. A escolha da disciplina veio pelo convívio com professores. Percebia na

disciplina que, embora eu gostasse, teria de estudar muito e percebi que a

estudaria por muito tempo (talvez até a aposentadoria). Porém, ao “adentrar”

no mundo universitário, eu, como a maioria dos meus colegas, percebemos a

peculiaridade escondida nesta disciplina em seu universo particular, como as

estruturas numéricas e a forma como elas se comportavam. Ou seja,

descobrimos que a matemática não é apenas contas e cálculos que podemos

fazer em qualquer calculadora. E isto me deixou muito animada.

Durante a graduação, participei de projetos como o Programa

Institucional de Bolsas de Iniciação Científica (PIBIC), em 2010, que me

colocaram mais próximo da realidade do professor da educação básica e

observei a trajetória da saída da universidade em direção à sala de aula.

Quando apresentávamos os projetos desenvolvidos na universidade para os

professores da educação básica e sua turma, era algo encantador. Porém, não

havia continuidade, não conseguíamos dar cursos de formação, por conta das

limitações do grupo e até mesmo do desinteresse de alguns. Encontrávamos

muitas dificuldades para conseguir conciliar o sucesso que o projeto estava

fazendo com a aula do professor.

Depois de alguns anos, já formada, foi a minha vez de ir para sala de

aula e percebi, que como pesquisadora, em cada classe observada, o

18

professor titular tem muito a nos ensinar, tem muito conhecimento e habilidades

que são particulares e inerentes a cada um.

Observei que somente a licenciatura não daria conta de tantas angústias

e desejos pela educação. Dando sequência aos estudos, fui buscar o mestrado

em Educação Matemática, em que fosse possível conhecer e estudar a prática

do professor em sala de aula. A princípio pensava em continuar o estudo

iniciado no PIBIC, cuja metodologia era criar e elaborar materiais e formas para

tornar as aulas mais atrativas. Porém, ao me deparar com o referencial sobre

Pedagogical Content Knowledge¹ (Conhecimento Pedagógico do Conteúdo ou

PCK como traremos ao decorrer de nosso texto), percebi a riqueza que a área

de ensino e formação de professores possui. Fiorentini e Lorenzato (2009)

definem o educador matemático da seguinte maneira:

O educador matemático, em contrapartida, tende a conceber a matemática como um meio ou instrumento importante à formação intelectual e social de crianças, jovens e adultos e também do professor de matemática do ensino fundamental e médio e, por isso, tenta promover

1 uma educação pela matemática. Ou seja, o educador

matemático, na relação entre educação e matemática, tende a colocar a matemática a serviço da educação, priorizando, portanto, esta última, mas sem estabelecer uma dicotomia entre elas. (FIORENTINI, LORENZATO, 2009, p. 4.)

Desse modo, ficou claro que a licenciatura e o bacharelado eram muito

importantes e essenciais para a minha formação como professora. Porém,

agora, como educadora matemática que pretendo ser, isto é muito além de um

conteúdo ou um referencial teórico.

Após muitas leituras e informações sobre os cursos em Educação

Matemática e sua receptividade em São Paulo, participei de alguns encontros

na Universidade Federal do ABC (UFABC) e decidi escrever um projeto que

1 "Essa ideia será tratada mais adiante no capítulo do aporte teórico porém, na visão de Shulman,

conhecimento pedagógico do conteúdo (PCK) é uma forma de conhecimento prático que é usado por

professores para orientar suas ações em sala de aula altamente contextualizadas Esta forma de

conhecimento prático implica, entre outras coisas: ( a) conhecimento de como estruturar e representar

conteúdo acadêmico para o ensino direto aos alunos; ( b) conhecimento das concepções comuns ,

equívocos e dificuldades que os alunos enfrentam quando aprender determinado conteúdo , e ( c) o

conhecimento das estratégias de ensino específicas que podem ser usados para atender às necessidades de

aprendizagem dos alunos em circunstâncias específicas da sala de aula. Na vista de Shulman,

conhecimento pedagógico do conteúdo baseia-se outras formas de conhecimento profissional, e é,

portanto, um mesmo o elemento primordial - constitutiva crítico e talvez na base do ensino de

conhecimento ( Rowan et al. , 2001. p . 2 ) ."

19

viesse a suprir os meus conhecimentos sobre este tema, porém, nesse

primeiro momento, não fui aprovada, pois formulei um projeto muito abrangente

e não teria tempo hábil para executá-lo. Após a reprovação, me matriculei

como aluna especial em uma disciplina de projetos, na qual foi essencial para o

aperfeiçoamento do projeto, principalmente, no que tange ao tempo disponível,

dois anos, compatível com a pesquisa proposta. Consegui! Fui aprovada e,

poucos dias depois, convidada para participar do projeto Observatório da

Educação² (OBEDUC) da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de

Ensino Superior (CAPES) dentro da própria UFABC.

Esse grupo me ajudou muito. Tanto para a elaboração da dissertação,

quanto para elaboração de instrumentos de coleta de dados, bem como na

própria coleta e ampliação do referencial teórico por mim escolhido. Após

inúmeros estudos, principalmente, depois da disciplina de Pesquisa em

Educação Matemática, decidimos fazer uma pesquisa de cunho qualitativo.

Decidimos que na nossa pesquisa seria importante adotarmos os estudos de

Bodgan e Biklen (1982), já que eles envolvem a obtenção de dados descritivos,

adquiridos do contato direto do pesquisador com a situação estudada, além de

enfatizar mais o processo do que o produto e se preocupam em retratar a

perspectiva dos participantes.

Por meio das leituras e discussões dentro do grupo do Observatório,

podemos destacar o interesse a investigar os aspectos relacionados ao

Conhecimento Matemático para o Ensino (MKT), teoria amplamente discutida

por Debora Ball e colaboradores. Além disso, o Conhecimento Pedagógico do

Conteúdo (PCK), teoria desenvolvida por Shulman (1986, 1987) mostrou-se

essencial para o desenvolvimento da pesquisa, já que o foco da pesquisa foi o

olhar dos professores da Educação Básica quando ensinam os números

racionais, desse modo, a pesquisa foi ampliada para o Conhecimento

Matemático dos professores investigados sobre o conjunto dos números

racionais.

Ambos os conhecimentos são assuntos extremamente amplos, o

conhecimento pedagógico do conteúdo, que é um conhecimento especial que

os professores possuem, assim como o conhecimento matemático para o

ensino que, de modo particular, aborda o conhecimento do ensino de

matemática e, por isso, decidimos particularizar o caso dos números racionais.

20

1.2 A problemática e os objetivos deste estudo

A pesquisa intitulada como “A Formação do Professor de Matemática:

um estudo sobre o conhecimento pedagógico dos números racionais” teve

como objetivo investigar o conhecimento pedagógico do conteúdo dos números

racionais com professores de matemática durante a sua prática. A pesquisa

está inserida no âmbito de um projeto maior intitulado “Conhecimento

matemático para o ensino de álgebra: uma abordagem baseada em perfis

conceituais”, do qual o orientador desta dissertação atua como pesquisador e

tem como objetivo investigar os conhecimentos algébricos desenvolvidos por

professores ao ensinar Álgebra na Educação Básica, utilizando-se de uma

abordagem de ensino baseada em perfis conceituais.

Esse projeto está dividido em três subgrupos em que serão tratados três

viéses relacionados com a álgebra: a álgebra vista por ela mesma, a álgebra

vista pela geometria e a álgebra vista pela aritmética, ou seja, os números, e e

neste último é que nos foi dada a possibilidade do estudo aprofundado dos

números racionais.

Buscando alinhar as ideias do projeto OBEDUC, com o estudo dos

números racionais, no qual compreende uma das divisões do objeto deste

estudo, procuramos nos resultados das macro avaliações como a Prova

Brasil/SAEB (Sistema de Avaliação da Educação Básica) de 2011, elementos

que pudessem caracterizar um estudo dessa natureza. Além disso,

observamos que os índices apontam para um crescimento pífio no

desempenho dos estudantes, os quais obtiveram notas de 250,6 e de 273,6 –

numa escala que vai até 400 – ao final dos Ensinos Fundamental e Médio,

respectivamente, identificando-se uma grande lacuna na formação desses

alunos em Matemática (indicam certo nível de dificuldade na construção ou

aplicação de conceitos dos números racionais dos alunos do Ensino

Fundamental II). Os resultados mostram que os alunos tendem a algumas

respostas quando são submetidos a essas avaliações e identificam diferentes

representações de um mesmo número racional. Apresentamos alguns

exemplos que corroboram a nossa discussão sobre esse conjunto numérico.

Figura 1 – Questão da prova Brasil

21

Fonte: Matriz de Referência Prova Brasil 2011 (pág, 140).

Em que,

Figura 2 – Percentuais de resposta

Fonte: Matriz de Referência Prova Brasil 2011 (pág, 140).

Segundo a matriz de referência da Prova Brasil, verifica-se que 64% dos

alunos responderam corretamente, ou seja, reconhecem que o decimal 0,8 é

equivalente a 8/10, identificando escritas diferentes, mas que expressam a

mesma quantidade numérica.

As alternativas A e B apresentaram percentuais próximos nos quais

correspondem ao total de 27%. Conjecturamos que os alunos assinalaram

essas alternativas por não dominarem a conversão da escrita numérica de

decimal para fracionário. Desse modo, pudemos observar também que os

estudantes ao assinalaram a letra “D”, apesar de não apresentarem

percentuais próximos às respostas anteriores, também não demonstraram

domínio da habilidade e devem ter assinalado a resposta ao acaso ou não

dominam a conversão e ainda pode ter ocorrido uma simplificação incorreta da

fração.

Para identificar a localização de números racionais representados na

forma decimal na reta numérica, encontramos o seguinte exemplo seguido de

22

seu resultado:

Figura 3 – Questão da Prova Brasil e percentual de resposta

Fonte: Matriz de Referência Prova Brasil 2011 (p. 142).

Segundo a matriz de referência da Prova Brasil, 40% dos alunos

apresentaram habilidade de identificar a localização de números racionais

representados na forma decimal na reta numérica. Porém, temos um

percentual de 34% que assinalou “D”, o que sugere que esses alunos

percebem que o número 2,7 está localizado à direita do número 2, mas não

souberam diferenciar as posições de 2,7 e 2,4. Os 24% que optaram por “A” ou

“C” identificam incorretamente que os números 1,5 e 1,9 estão à direita do 2,

quando o correto seria observá-los à esquerda do 2. A percepção da grandeza

dos números 2,4 e 2,7 parece-nos que também não é identificada pelos

estudantes na reta apresentada.

Quando foi solicitado aos alunos que identificassem fração como

representação, que pode estar associada a diferentes significados,

23

encontramos na matriz de referência:

Figura 4 – Questão da prova Brasil percentual de resposta

Fonte: Matriz de Referência Prova Brasil 2011 (p., 145).

Para os descritores da Prova Brasil, pouco mais da metade dos alunos

mostraram dominar a habilidade requerida. Observa-se que um percentual

significativo (18%) dos alunos assinalou a alternativa “D”, invertendo o

numerador com o numerador. O mesmo índice foi o dos que assinalaram o item

“A”, provavelmente, devido a maior familiaridade com a fração um meio.

Apontamos, também, os resultados da análise pedagógica do Sistema

de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (Saresp, 1998), que indicam

resultados igualmente preocupantes.

Se por um lado, os estudantes não atingem um alto nível de

conhecimentos de um dado conjunto numérico, por outro lado, é igualmente

24

importante olharmos para as diversas e abrangentes áreas que compõe o

conhecimento profissional docente, pois, segundo Shulman (1986),

encontramos inúmeras dificuldades na prática pedagógica, sendo que uma

delas é o conhecimento necessário e particular para o ensino. Desse modo,

nossa preocupação neste estudo é, também, observar a formação e a

construção do conhecimento do profissional docente ao trabalhar com os

números racionais.

Pensando nessas dificuldades observadas nas macro-avaliações, uma

das facetas deste trabalho foi o de discutir como a fração vem sendo

concebida, aprendida e ensinada nos anos finais do Ensino Fundamental, sob

a ótica dos professores de matemática que atuam especificamente nesta etapa

do ensino (ciclo II). Tal faceta complementa, ao nosso ver, o objetivo principal

desta pesquisa.

Nossa pesquisa foi realizada em três escolas públicas diferentes. Duas

delas estão situadas no município de Santo André, SP, sendo uma na zona

central e a outra na zona periférica. Já a terceira escola está situada no

município de São Bernardo do Campo, SP, cuja receptividade foi, no nosso

entender, ampla, possibilitando uma conversa mais próxima, pois percebemos

que todos, da gestão escolar ao corpo docente, estavam propícios às

mudanças e abertos a receber opiniões. Essa terceira escola nos surpreendeu,

porém isso será apresentado com mais profundamente adiante.

Como aporte teórico do conhecimento para o ensino, usaremos os

princípios de Shulman (1986 ,1987), e Ball, Thames e Phelps (2008) que, em

nossa opinião, ampliaram as discussões sobre esse tema, esclarecendo que o

conhecimento matemático para o ensino emerge da prática. Em relação aos

números racionais, Kieren (1988, 1993) foi o primeiro a introduzir a ideia de que

os números racionais constituem-se de vários construtos. A princípio, esse

autor identificou sete interpretações para os números racionais (KIEREN, 1993,

p.7):

1) Os números racionais são frações que podem se comparadas,

somadas, subtraídas etc.;

2) Os números racionais são frações decimais que formam uma extensão

natural dos números naturais;

25

3) Os números racionais são classes de equivalência de frações;

4) Os números racionais são números da forma p/q, em que p e q são

inteiros, com q ≠ 0;

5) Os números racionais são operadores multiplicativos;

6) Os números racionais são elementos de um corpo quociente ordenado e

infinito;

7) Os números racionais são medidas ou pontos sob a reta numerada.

Revisitando esses princípios, Kieren (1993) simplifica os números

racionais por meio de quatro pontos considerados básicos e essenciais:

quociente; medida; razão e operador.

Para a análise dos dados coletados usaremos o quadro apresentado e

formalizado por Ball, Thames e Phelps (2008) que apresentaremos

detalhadamente em nosso capítulo de aporte teórico.

1.3 Dos estudos à questão de pesquisa

A revisão de literatura que efetuamos sobre o tema nos mostrou a

existência de um alto número de pesquisas voltadas aos problemas de

aprendizagem das frações. O foco dessas investigações está dividido entre

diversos assuntos que comentaremos a seguir.

Buscamos o que tem sido apresentado em trabalhos recentes sobre dois

temas que permeiam a pesquisa em questão: o ensino de números racionais e

o conhecimento pedagógico do professor.

Quando se fala de números racionais, encontra-se duas representações,

a fracionária e a decimal. Muito se tem pesquisado em relação ao ensino de

frações como em trabalhos de Magina e Campos (2008) e também sobre os

números decimais Merlini (2005). Porém, poucas são as pesquisas que tratam

do conjunto como um todo, ou seja, envolvendo as suas duas representações

simultaneamente.

Alecio Damico (2007), em sua tese de doutorado, faz uma “investigação

sobre a formação inicial de professores de matemática para o ensino de

números racionais no ensino fundamental”. O autor utiliza muitos dos mesmos

referenciais aqui apresentados. Sua questão de pesquisa se encaminha para

26

outro viés do conhecimento, em que procura a resposta para a seguinte

questão: Os alunos dos cursos de Licenciatura em Matemática estão saindo

das universidades pesquisadas com uma formação que os capacite para o

ensino dos números racionais no Ensino Fundamental? Enquanto que iremos

investigar a relação entre o PCK e os números racionais. No entanto, nossa

investigação será voltada para a formação continuada, ou seja, observaremos

o professor em sua prática pedagógica.

Magina e Campos (2008) em seu artigo discutiram “a fração na

perspectiva do professor e do aluno das séries iniciais da escolarização

brasileira”. O estudo discute o ensino e a aprendizagem de fração no Ensino

Fundamental a partir de uma pesquisa diagnóstica, aplicada paralelamente em

70 professores polivalentes (não especialistas em Matemática) e em 131

alunos que cursavam as 3ª e 4ª séries (hoje 4º. e 5º. ano). Esse artigo trouxe

grandes contribuições no que diz respeito ao ensino de números racionais,

suas dificuldades e dados das macro avaliações, que aprofundaremos na

revisão de literatura. Entretanto, nesse artigo, o foco foi a fração num ponto de

vista da teoria dos Campos Conceituais, assunto que aborda a fração e seu

ensino num ponto de vista diferente do presente estudo, que contempla as

divisões do conhecimento de Ball, Thames e Phelps (2008).

Celina Tavares (2012) investigou “o conhecimento dos futuros

professores do 1º ciclo do ensino básico sobre números racionais”. A

pesquisadora voltou seu olhar ao 1º ciclo do ensino fundamental, porém, com

a formação desses professores do 1º ciclo, enquanto que o objeto desse

estudo é o olhar para os professores do ciclo II. Tavares (2012) usa como

referencial teórico o artigo de Hill & Ball (2009) e traz o modelo do

conhecimento matemático presente neste artigo (que a propósito é o mesmo

modelo que utilizaremos do artigo de 2008 de Ball, Thames e Phelps). O foco

dessa dissertação está na prática da docente como formadora de professores

que ensinam números racionais, enquanto que iremos observar esse

conhecimento durante a prática do professor.

Magina, Bezerra e Spinillo (2009) traz um estudo sobre “como

desenvolver compreensão da criança sobre fração? Uma experiência de

ensino”. Em resumo, esse estudo trata de uma intervenção no ensino, com

vistas ao desenvolvimento do conceito de frações em crianças de oito a dez

27

anos. Os autores apresentam uma visão e o entendimento dos alunos sobre

frações. Já, a presente dissertação não tem o objetivo de realizar uma

intervenção, o que a diferencia desse, todavia observaremos as diferentes

concepções de frações apresentadas pelos professores que atuam na

Educação Básica, no ciclo II do ensino fundamental.

Ao estudar o conhecimento do professor, encontramos alguns trabalhos

muito interessantes como Tavares (2012) e Damico (2007), mas que apesar de

abordar esse conhecimento ao ensinar os números racionais, voltam o olhar

para um foco diferente do objeto de estudo dessa dissertação, que é o

professor em sua prática.

Damico (2007) e Tavares (2012) foram duas pesquisas imprescindíveis,

pois relacionam tanto o estudo sobre o conhecimento do professor quanto do

ensino dos números racionais. Damico (2007) aborda esse conhecimento, mas

volta seu olhar para alunos da licenciatura, enquanto que a presente

dissertação trata do conhecimento na prática do professor. Por outro lado,

Tavares (2012) discute o conhecimento do professor do ciclo I, e essa

pesquisa, o conhecimento do professor do ciclo II.

Após estudos, e em contato com diferentes rodas de discussão e

debates, tanto sobre educação como formação de professores e até mesmo o

conhecimento matemático para o ensino, algumas questões foram levantadas:

Como este professor transforma o conhecimento adquirido em sala de aula

enquanto aluno em um conhecimento a se ensinar, desta vez aos seus alunos?

Este tal conhecimento que neste caso dos números racionais, possui alguma

particularidade para seu ensino? Alguma dificuldade clássica dos alunos? O

professor consegue reconhecer tais dificuldades?

Por meio desses pontos apresentados, surgiu a seguinte questão de

pesquisa: Como se dá ou se apresenta o conhecimento pedagógico do

conteúdo dos números racionais com professores de matemática durante a sua

prática?

Thompson (1997) teve como resultado de sua pesquisa que o

conhecimento e as crenças dos professores se transformam continuamente,

afetando de modo significativo a forma como os professores organizam e

ministram suas aulas.

Sendo assim, procuramos encontrar respostas para as nossas

28

perguntas tendo como apoio teórico os estudos teóricos relacionados a esse

tema. Reconhecendo que um bom conhecimento sobre os estudos já

elaborados sobre tal tema é necessário para o ensino e/ou a sua

transformação. Muitas respostas não surgem exatamente da maneira como se

espera; ainda que a pesquisa não possa decidir algo sobre os pontos

levantados, acreditamos que ela poderá aprofundar a compreensão sobre

como os professores mobilizam e utilizam os conhecimentos quando ensinam

matemática em sala de aula.

Nesta revisão foi possível notar que o estudo de problemas relacionados

à formação continuada de professores no ensino de números racionais vem

sendo pouco explorado, o que justifica a escolha por esse tema.

A investigação pretende percorrer uma estrutura similar à que foi

apresentada por Fiorentini e Lorenzato (2009), pois essa estrutura possibilita

traçar um caminho de investigação que contemple a pesquisa em questão.

Figura 5 – Fonte: Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos,

2009 (p., 62)

Para finalizar, usaremos uma síntese feita por Fiorentini e Lorenzato:

Um estudo do professor pode ser considerado pesquisa quando este for um trabalho intencional, planejado e constituído em torno de um foco ou questão de seu trabalho escolar, for metódico (passe por

29

algum processo de produção/organização e análise escrita de informações) e apresente um relatório final do estudo desenvolvido.

(FIORENTINI, LORENZATO, 2009, p. 15).

Sendo assim, a estrutura dessa pesquisa buscou trazer

metodologicamente um padrão compreensível e ordenado de fatos e escrita.

1.4 Organização da dissertação – sobre os capítulos

A pesquisa está dividida em cinco capítulos. No primeiro, a introdução do

trabalho, apresentando a história de vida da pesquisadora bem como sua

problemática de pesquisa, questões que motivaram a pesquisa, objetivos e

estudos realizados para as escolhas.

No segundo capítulo, é apresentado o aporte teórico dividido em três

partes: na primeira parte, os estudos realizados sobre as últimas pesquisas em

relação ao PCK bem como seus aprofundamentos MKT; na segunda parte, os

estudos também sobre os referenciais, porém, esses tratam dos números

racionais. Já na terceira e última parte, é apresentada uma breve revisão

teórica sobre o que tem sido pesquisado acerca dos números racionais e o

conhecimento matemático para o ensino.

No terceiro capítulo é feita uma apresentação dos processos

metodológicos adotados nesta pesquisa. Nele são elencados os sujeitos e os

instrumentos utilizados na coleta de dados.

O quarto capítulo foi dedicado à análise dos dados coletados cujo

objetivo foi identificar e categorizar a atual situação dos professores de

matemática que estão envolvidos nessa pesquisa e sua atuação na Educação

Básica. Nesse momento, é discutido como esses professores pensam e

elaboram atividades para ensinar os números racionais e quais conhecimentos

são mobilizados durante o momento de preparo que antecede sua aula

propriamente dita.

O quinto e último capitulo é dedicado às conclusões, reflexões e

apontamentos para estudos futuros.

Por fim, são apresentadas as Referências Bibliográficas que foram

utilizadas na elaboração e desenvolvimento da pesquisa. Também é

apresentado um anexo contendo o instrumento de coleta de dados.

30

2 APORTE TEÓRICO

Neste capítulo, apresentamos discussões e estudos sobre as teorias que

trouxeram fundamentação a esta pesquisa, bem como a revisão de literatura

que trouxe diversas contribuições para este trabalho.

O foco dessa pesquisa é o ensino e aprendizagem da matemática e, em

particular, os números racionais, sendo assim, como aporte teórico do

conhecimento para o ensino foram usadas as ideias de Shulman (1986 e

1987), bem como as de Ball, Thames e Phelps (2008) que, com seu grupo de

estudos, desenvolveu teorias acerca do Conhecimento Matemático para o

Ensino (Mathematical Knowledge Teaching - MKT) que, em nossa perspectiva,

ampliou as discussões sobre a concepção de Shulman (1987) acerca do PCK

(Pedagical Content Knowledge) trazendo a ideia de que o conhecimento

matemático para o ensino emerge da prática.

Os referenciais teóricos referentes aos números racionais de Kieren

(1976, 1993) foram importantes nessa pesquisa, posto que o objetivo é

investigar o conhecimento pedagógico dos números racionais com professores

de matemática durante a sua prática. Em particular, o foco está nos domínios

do conhecimento pedagógico do conteúdo descritos por Ball, Thames e Phelps

(2008). Pesquisas recentes como Santos (2005), Damico (2007), Bezerra

(2001), Bezerra, Magina e Spinillo (2002), Merlini (2005), Alves e Gomes

(2007), Costa (2011), Tavares (2012) entre outros nos auxiliaram para a

construção de nossa revisão de literatura. Fizeram parte da investigação,

também, os resultados das macro avaliações existentes no Brasil e no estado

de São Paulo que corroboram a necessidade de estudos nesta área.

2.1 Conhecimento Matemático para o Ensino

Antes de aprofundarmos no Conhecimento Matemático para o Ensino,

faz-se necessário um estudo sobre o PCK que é a teoria base no

desenvolvimento do MKT, colocando assim o foco na natureza do

conhecimento da disciplina de matemática. Mais especificamente, nessa

pesquisa sobre os números racionais, destaca-se os aspectos sobre o

conhecimento adquirido pelos professores, como ele se transforma e como as

31

verdades são estabelecidas e compreendidas por eles.

No trabalho de Shulman (1986), quando se fala em conhecimento de

base, há três divisões de categorias: conhecimento curricular, conhecimento

pedagógico do conteúdo e conhecimento da disciplina específica. O autor

fornece a importância da ressignificação do estudo do conhecimento do

professor, em que ele, professor, deve conseguir transformar o conhecimento

do conteúdo, num conteúdo a ser ensinado. Dentro de cada disciplina existem

as suas particularidades.

A escolha por esse autor e a perspectiva do PCK se justifica pelo fato de

suas obras terem influenciado tantas pesquisas de formação de professores e

desenvolvimento profissional nas duas últimas décadas. Iniciamos o estudo

trazendo a teoria descrita por Shulman (1986 e 1987) para então apresentar a

teoria descrita por Ball, Thames e Phelps (2008), que, em nossa concepção,

trazem um olhar mais específico sobre o ensino de matemática e sobre o PCK.

A concepção de uma possível construção de características sólidas de

conhecimentos sobre os processos de aprendizagem e desenvolvimento

profissional da docência, teve origem nos trabalhos de Shulman (1986) e seu

grupo, que analisaram programas de pesquisa e paradigmas do

desenvolvimento da docência, tendo como preocupação a busca de uma

generalização da melhor forma de se configurar cursos de formação de

professores.

Para Shulman (1987), esse tipo de pesquisa contribui bastante, pois o

centro das ações dos professores e dos alunos passa a ser o ambiente de sala

de aula. Torna-se, assim, evidente que o comportamento do professor pode ser

relacionado ao desempenho do aluno, fazendo com que a disciplina se torne

mais clara e “entendível” ao aluno. Por outro lado, também é possível verificar

que a escola faz a diferença na aprendizagem dos alunos. O ambiente escolar

passa a ser determinado por classe social e com características familiares, da

vida atual e pregressa das crianças. A escola, segundo o autor, também

colabora com a aprendizagem, uma vez que o professor consegue ampliar seu

conhecimento sobre este espaço, seus alunos conseguem refletir em sua

aprendizagem e até melhorar modo como entendem determinado conteúdo.

Quando o foco são as práticas cotidianas dos professores, deparamos

com certa quantidade de profissionais que não conseguem ultrapassar

32

competências básicas no momento em que estão ministrando suas aulas.

Torna-se necessário no Ensino Superior encontrar maneiras de suprir as

lacunas dessa formação ainda enquanto aluno. Pois, é nessa formação inicial,

que o docente terá a oportunidade de suprir os déficits provenientes da

escolarização anterior. Ao receber um candidato a professor no curso superior,

seria importante encontrar maneiras de preencher este “déficit”, seja com aulas

de matemática básica ou Pré-cálculo, por exemplo.

Essas considerações já são percebidas em diversas universidades,

criando espaços e condições para que o licenciando em matemática consiga

suprir as lacunas do passado e, assim, aprofundar-se em conhecimentos do

conteúdo especifico e pedagógico para o ensino.

Shulman (1986) indica que, na tentativa de simplificar as complexidades

do ensino em sala de aula, as pesquisas, até então realizadas, ignoram um

aspecto central da vida da sala de aula: o conteúdo específico da disciplina que

os professores lecionam. Tais pesquisas não investigam

[...] como o conteúdo específico de uma área de conhecimento era

transformado a partir do conhecimento que o professor tinha em

conhecimento de ensino. Tampouco perguntaram como formulações

particulares do conteúdo se relacionavam com o que os estudantes

passaram a conhecer ou a aprender de forma equivocada.

(SHULMAN, 1986, p.6)

Parafraseando Tenstermacher (apud, Shulman, 1986, p. 5): Um

professor sabe algo que não é entendido pelos outros e, pouco provavelmente,

é entendido pelos alunos. O professor pode transformar entendimentos,

habilidades, atitudes desejadas dentro de uma representação pedagógica. O

ensino começa necessariamente com os professores, entendendo o que deve

ser ensinado e como isso deve ser falado.

A proposta de estudo dessa pesquisa está, portanto, relacionada à

divisão proposta por Shulman (1987), que contempla sete categorias do

conhecimento. Nessa proposta o autor discute que o professor precisa saber

para poder ensinar e para que seu ensino possa conduzir a aprendizagem dos

alunos? Ou seja, quais as categorias do conhecimento que o professor deve

apresentar quando for preparar, ministrar ou repensar as suas aulas.

Sendo assim, segundo o Shulman (1987), no mínimo, deve-se incluir:

33

Conhecimento do Conteúdo, Conhecimento Pedagógico Geral, Conhecimento

Curricular, Conhecimento Pedagógico do Conteúdo, Conhecimento dos

Estudantes e suas Características, Conhecimento dos Contextos Educacionais,

Conhecimento das Finalidades Educacionais.

Em relação ao Conhecimento do Conteúdo, segundo o autor, trata-se de

um conhecimento específico do conteúdo a ser ensinado. O professor deve

conhecer o mínimo e o básico da matéria a ser ensinada para que se torne

possível o ensino aos alunos.

Faz-se necessário um bom conhecimento das possiblidades

representacionais da matéria, considerando aspectos específicos dos

contextos em que leciona. Esse conhecimento é considerado importante, pois é

necessário que o professor conheça o conteúdo específico a ser ensinado,

porém, isto não o torna suficiente por si só, não garantirá que aquilo que foi

ensinado foi aprendido com sucesso.

Embora uma compreensão pessoal da matéria seja necessária, não é condição suficiente para que seja capaz de ensinar. Os professores devem encontrar formas de comunicar conhecimentos para os outros. (...) Eles devem ter dois tipos de conhecimento da matéria: conhecimento da área tanto em seus aspectos genéricos quanto em suas especificidades e conhecimento de como ajudar seus estudantes a entender a matéria. (WILSON, SHULMAN, RICHERT, 1987, p.109 apud Mizukami, v. 29, n.2, p. 33 – 49, 2004)

Já o Conhecimento Pedagógico Geral se refere a um amplo princípio e

estratégias usados na sala de aula, condução e organização quando se quer

apresentar certo conteúdo. Nessa segunda característica apontada por

Shulman (1987), é importante que o professor conheça a realidade na qual

seus alunos estão inseridos, como organizar a aula de uma maneira que

respeite as particularidades da turma, pois uma vez mal planejada a aula e até

mesmo o tempo de aula, pode trazer consequências negativas a essa aula.

Professores bem-sucedidos não podem, simplesmente, ter uma compreensão intuitiva ou pessoal de um conceito, princípio ou teoria particular. De forma a fomentar compreensão, eles devem compreender formas de representar o conceito para os alunos. Eles devem ter formas de transformar o conteúdo considerando os propósitos do ensino (...) que inclua compreensão pessoal do conteúdo específico, assim como conhecimento de formas de comunicar tal compreensão, a propiciar desenvolvimento do conhecimento da matéria na mente dos alunos. (WILSON, SHULMAN, RICHERT, 1987, p.109 apud Mizukami, v. 29, n.2, p. 33 – 49, 2004)

34

A terceira categoria descrita por Shulman (1987) descreve o

Conhecimento Curricular. Segundo o autor, é uma compreensão particular do

conteúdo do currículo e das ferramentas e programas disponíveis para o

trabalho do professor. Nessa categoria é possível observar quais conteúdos

são apresentados no currículo de determinada turma e necessitam ser

ensinados, como organizá-los sequencialmente para uma apresentação e

quais as ferramentas disponibilizadas pela escola para que ele possa

apresentar tal conteúdo e se essas ferramentas se encaixam com as

particularidades destes conteúdos.

O Conhecimento Pedagógico do Conteúdo (PCK) é descrito pelo autor

como um amálgama especial do conhecimento do conteúdo e do conhecimento

pedagógico, isto é, único e particular dos professores. Uma forma especial do

entendimento profissional. Para Shulman (1986), esse conhecimento é

adquirido e melhorado durante o exercício profissional e os professores

acabam construindo um novo tipo de conhecimento da área específica, que é

melhorado e enriquecido por outros tipos de conhecimento. Pode ser

considerado como um conhecimento especial porque:

(...) incorpora os aspectos do conteúdo mais relevantes para serem estudados. Dentro da categoria de conhecimento pedagógico de conteúdo eu incluo, para a maioria dos tópicos regularmente ensinados de uma área específica de conhecimento, as representações mais úteis de tais ideias, as analogias mais poderosas, ilustrações, exemplos, explanações e demonstrações (...) também inclui uma compreensão do que torna a aprendizagem de tópicos específicos fácil ou difícil: as concepções e preconcepções que estudantes de diferentes idades e repertórios trazem para as situações de aprendizagem. (SHULMAN, 1986, p. 9)

A quinta categoria descrito por Shulman (1987) é o Conhecimento dos

Estudantes e suas Características, observando-se o conhecimento geral dos

estudantes e suas dificuldades. Esse conhecimento permitirá ao professor

reconhecer que ao preparar sua aula, ou propor exercícios em que os alunos

certamente encontrarão dificuldades para resolvê-los. É um conhecimento em

que o professor vê no outro suas dificuldades.

A sexta categoria é o Conhecimento dos Contextos Educacionais,

indicando que é preciso conhecer o local (culturalmente) e a realidade em que

35

a escola está inserida. Acreditamos que este conhecimento ajuda no

conhecimento anterior acima descrito, uma vez que quando o professor for

escolher um exemplo para explicar algo que não ficou muito claro para o aluno,

use exemplos facilitadores para a compreensão do conceito a ser ensinado.

Esses exemplos, muitas vezes, devem estar ligados à realidade social

do aluno e o professor, mesmo não conhecendo certas particularidades dos

alunos, pode identificar através da realidade da escola, principalmente se o

aluno mora nas proximidades.

A sétima e última categoria conhecimento é o das finalidades

educacionais, observando seus valores e propósitos, sua formação histórica e

filosófica. Shulman (1987) destaca ainda que entre essas categorias, o

conhecimento pedagógico do conteúdo é especialmente interessante, pois

identifica uma distinta parte do conhecimento para o ensino. O autor representa

uma mistura do conhecimento e da pedagogia dentro de um entendimento de

quão particular os tópicos, problemas, questões ou organização, representação

e adaptação de interesses e habilidades dos alunos. PCK é uma das

categorias que, a nosso ver, melhor distingue um especialista de um

professor2. Em suma

Contextualizados por uma conceptualização da matéria, os professores têm conhecimento sobre como ensiná-la, como os alunos a aprendem (quais as dificuldades específicas na aprendizagem, quais as capacidades desenvolvi mentais dos alunos para adquirirem tal conceito particular, quais são as concepções prévias comuns), como os materiais curriculares são organizados na disciplina e como tópicos particulares são melhor incluídos no currículo. Influenciado tanto pelo conhecimento da matéria quanto pelo conhecimento pedagógico, o conhecimento pedagógico do conteúdo emerge e cresce quando professores transformam seu conhecimento do conteúdo específico considerando propósitos de ensino. Como essas formas de conhecimento se relacionam uma as outras permanece um mistério para nós. (WILSON, SHULMAN, RICHERT, 1987, p.110)

Para Shulman (1986), “ensinar é antes de tudo, entender”, ou seja,

desse modo, percebemos a importância de se dedicar ao ensino do aluno de

graduação, fortalecendo as bases teóricas de diversos pedagogos e teóricos.

Sem sombra de dúvidas, como dito anteriormente, é necessário preencher a

2 Diferenciando especialista como aquele que domina bem um certo conteúdo, e professor aquele que

além desse domínio, consegue apresentá-lo e explicá-lo com propriedade e clareza.

36

lacuna que permanece em relação aos conteúdos da matemática.

Fundamentado na ideia de Shulman, o trabalho de Ball, Thames e

Phelps (2008) é um recorte da tese de doutorado de Deborah Ball, no qual

discute como é abordado o conhecimento “sobre” matemática, em contraste

com o conhecimento “de” matemática. Sem esquecer que o conhecimento do

professor deve considerar as concepções comuns que os estudantes trazem

para a sala de aula ou desenvolvem quando aprendem um assunto.

Ball, Thames e Phelps (2008) justificam que vinte anos se passaram

desde que se começou a discutir o conhecimento profissional docente com

Shulman e, apesar disso, a ponte entre o conhecimento e a prática permanece

inadequadamente compreendida e necessitando de maiores desenvolvimentos.

Além disso, os autores alertam para o cuidado que se deve ter com definições

muito amplas e gerais sobre o conhecimento pedagógico do conteúdo, pois ao

mesmo tempo em que elas capturam a ideia geral, são suficientemente amplas

para incluir quase tudo que se refere ao conhecimento dos professores e suas

crenças.

Em seu trabalho, Ball optou por uma abordagem diferente, que pode ser

caracterizada como “trabalhando de baixo para cima”. Segundo seu grupo de

pesquisa, parece óbvio que os professores precisam saber/conhecer os tópicos

e procedimentos que eles ensinam. Observou-se que o ensino necessita de

uma forma especializada de conhecimento puro do conteúdo – “puro” porque

ele não está misturado com o conhecimento dos estudantes ou com a

pedagogia. Sendo assim, distinto do Conhecimento Pedagógico Do Conteúdo

(identificado por Shulman), e “especializado” porque ele não é necessário ou

utilizado em contextos que não o do ensino de matemática. “Esta singularidade

é o que torna esse conhecimento do conteúdo especial”(BALL, THAMES e

PHELPS, 2008, p. 396).

A partir das análises desenvolvidas sobre as demandas matemáticas

para o ensino, o grupo de Ball conjecturou duas subdivisões bastante

importantes que são: (1) o conhecimento do conteúdo (de Shulman) poderia

ser subdividido em CCK (Common Content Knwoledge - Conhecimento

Comum do Conteúdo), HCK (Horizon Content Knwoledge – Conhecimento

Horizontal do Conteúdo) e SCK (Specialized Content Knwoledge -

37

Conhecimento Especializado do Conteúdo); e (2) o conhecimento pedagógico

do conteúdo (de Shulman) poderia ser subdividido em KCS (Knowledge of

Content and Students - Conhecimento do Conteúdo e Estudantes), KCT

(Knowledge of Contentand Teaching - Conhecimento do Conteúdo e Ensino) e

KCC (Knowledge of Contentand Curriculum - Conhecimento do Conteúdo e o

Currículo). Definiram o conhecimento matemático que eles têm estudado como

conhecimento matemático “decorrente do ensino”.

A seguir, será apresentada uma descrição detalhada das subdivisões

apresentadas pelo grupo de Ball, Thames e Phelps (2008), dando ênfase

especial aos dois conhecimentos que foram apresentados ao lado direito do

quadro abaixo e é uma das hipóteses atuais do grupo de Deborah Ball, como

um refinamento das categorias apresentadas por Shulman.

O mapa atual traz uma correspondência entre o conhecimento do

conteúdo para o ensino (Ball, Thames e Phelps, 2008) e as duas categorias de

Shulman (1987): conhecimento específico do conteúdo e conhecimento

pedagógico do conteúdo.

Figura 6 - Fonte: Ball, Thames e Phels (2008, p.403) – Traduzido por Thais Inglêz.

Conhecimento especializado do conteúdo (SCK) é o conhecimento

matemático e as habilidades que são exclusivos do ensino. Os pesquisadores

afirmam que este tipo de conhecimento não é tipicamente necessário para

outros fins que não os de ensinar. Aqui, os professores precisam realizar um

Conhecimento

Comum do

Conteúdo Common Content Knwoledge (CCK)

Conhecimento

do Horizonte

do Conteúdo Horizon Content Knwoledge (HCK)

Specialized Content Knwoledge (SCK)

Conhecimento

Especializado

do Conteúdo

Conhecimento do

Conteúdo e os

Estudantes

Conhecimento do

Conteúdo e o

Ensino

Conhecimento

do Conteúdo e

o Currículo

Knowledge of Content and Students (KCS)

Knowledge of Content and Teaching (KCT)

Knowledge of Content and Curriculum

Conhecimento Específico do Conteúdo

Subject Matter Knwoledge (CK) Conhecimento Pedagógico do Conteúdo

Pedagogical Content Knwoledge (PCK)

38

trabalho matemático que os outros não fazem, precisam ser capazes de

compreender os diferentes métodos com que os seus alunos podem resolver a

mesma atividade, por exemplo.

Conhecimento comum do conteúdo (CCK) é caracterizado por encontrar

uma simples resposta, ou de forma mais geral, encontrar uma solução correta

para um problema. O conhecimento matemático e as habilidades necessárias

até então, não são exclusividade do trabalho de ensinar. Os pesquisadores

chamam a atenção para que “comum” não significa que todo mundo tem tal

conhecimento, mas sim, que não é um conhecimento exclusivo para o ensino.

Conhecimento do conteúdo e os estudantes (KCS) apresenta uma

combinação entre o conhecimento sobre os estudantes e o conhecimento

sobre a matemática. Nele, os professores precisam ser capazes de antecipar o

que os estudantes provavelmente pensam e acreditam ser confuso. É

importante escolher exemplos que possam ajudá-los, bem como exemplos que

sejam motivadores e interessantes para os alunos. Em resumo, deve-se ter o

conhecimento das concepções equivocada comuns aos estudantes, em

relação a um conteúdo matemático particular.

O conhecimento do conteúdo e o ensino (KCT) combina conhecimento

sobre o ensino e conhecimento sobre a matemática. Cabe ao professor

escolher uma sequência para ensinar determinado conteúdo, utilizando-se de

exemplos que propiciem um aprofundamento no conteúdo, por parte do aluno.

Cada uma dessas tarefas requer uma interação entre uma compreensão

matemática específica e uma compreensão de questões pedagógicas que

afetam na aprendizagem do aluno.

Os pesquisadores ressaltam a importância de observarmos que o

trabalho desenvolvimento pelos autores está em desenvolvimento e não vem

para substituir o conhecimento pedagógico do conteúdo, mas sim apresentar

um olhar mais aprofundado do conhecimento comum do conteúdo e do

conhecimento pedagógico do conteúdo de Shulman (1987). Entretanto, os

pesquisadores também veem o trabalho deles como um desenvolvimento mais

detalhado dos fundamentos do conhecimento específico do conteúdo para o

ensino de matemática, estabelecendo uma contextualização baseada na

prática para tal conhecimento, elaborando subdomínios, medindo e validando

conhecimento desses domínios.

39

Acreditamos que um professor que já encontrou dificuldades em

assimilar certo conteúdo e depois conseguiu saná-los, terá influência positiva

sobre diferentes tipos de alunos. Certamente, o professor que não encontrou

tais dificuldades, também terá influência positiva sobre os alunos, mas o foco

não é esse, e sim, o fato do profissional da área do conhecimento ter que

necessariamente entender aquilo que está ensinando. Assim, Segundo Alonso

(1999),

[...] o mundo moderno requer habilidades e conhecimentos que antes não eram necessários, mas que hoje constituem condições indispensáveis tanto para a inserção no mundo do trabalho como para sua participação efetiva na vida pública. Formar o cidadão significa, hoje, torná-lo apto a compreender a dinâmica da sociedade e conseguir desenvolver mecanismos de participação no social. (ALONSO, 1999, p.10)

O professor de matemática deve sempre procurar se atualizar dentro

deste “novo mundo”, manter-se em contato com habilidades e conhecimentos,

visando a inserção no mundo atual de trabalho.

Sendo assim, nessa pesquisa o olhar se voltou mais especificamente à

parte direita do quadro proposto por Ball, Thames e Phelps (2008), como

apresentado abaixo, no qual ampliam a categoria do PCK de Shulman em

outras três “categorias” que são chamadas pelos autores de domínios do

conhecimento: KCS, KCT e KCC e dentro desses três, destacamos apenas

dois: o KCS e KCT, pois o próprio grupo “criador” deste quadro, ainda não

apresenta um estudo aprofundado sobre o KCC.

40

Figura 7 - Recorte do quadro original feito pela pesquisadora

Sendo assim, fomos buscar a partir de observações de momentos de

preparação de aula, elaboração e resolução de exercícios e análise de erros

dos alunos, observar e identificar esses dois domínios em cada professor

participante da pesquisa, o conhecimento do conteúdo e dos estudantes e o

conhecimento do conteúdo e o ensino.

2.2 Números Racionais

Muitos são os estudos acerca do ensino e aprendizagem sobre os

números racionais e seus conceitos. Mas a maior dificuldade que esse conjunto

apresenta é sua representação fracionária. Observamos que vários teóricos e

pesquisadores da área apontam em seus estudos as dificuldades que as

crianças apresentam

Além de dificuldades documentadas em pesquisas realizadas com crianças, é possível comentar que o próprio conceito de fração é de natureza complexa e multifacetada. Por exemplo, dependendo da situação em que esteja inserida, a fração pode assumir diferentes

41

significados (e.g., Behr; Lesh; Post; Silver, 1983, Gravemeijer, 1997, Nunes, 2003, Ohlsson, 1991, Streefland, 1997, Vergnaud, 1983): (i) um número em uma reta numérica (um inteiro e dois terços); (ii) um operador (um terço de 12 bolinhas de gude); (iii) um quociente derivado de uma divisão (duas barras de chocolate repartidas entre três crianças); e (iv) uma relação parte-todo (uma fatia de pizza dividida em 12 fatias). Outro exemplo dessa complexidade é o fato de a fração estar fortemente associada a outros conceitos igualmente complexos como divisão, probabilidade, porcentagem, razão e proporção (MAGINA, BEZERRA E SPINILLO, 2009, p.4)

Tratamos mais adiante, alguns desses significados de frações, porém,

inseridos dentro desse conjunto, dito tão complexo que é o conjunto dos

números racionais. Primeiramente, vamos apresentar e analisar um pouco do

contexto histórico, no qual o conjunto numérico foi apresentado neste trabalho.

Embora a história deva ser pensada como um todo, realizamos um

recorte para facilitar essa exposição, acreditamos ser conveniente fazer uma

periodização, no caso específico, dos conjuntos numéricos da matemática. O

uso do contexto histórico do conceito de fração teve seu início com os povos

mais antigos, que moravam próximos às margens dos rios e precisavam de

conhecimentos que fossem práticos para organizar e controlar suas atividades

sociais e econômicas.

A construção dos números sempre foi feita a partir de necessidades que

surgiam nas diferentes civilizações. Após a criação dos números naturais,

houve a necessidade de uma representação para o conceito de vazio, o

conceito do nada. Então, foi criado pelos hindus, o símbolo do “nada”, ou seja,

do zero como é conhecido atualmente. Desse modo, surgiram também outras

ideias e diferentes conceitos, como por exemplo, o conceito de infinito com

Zenão e os seus paradoxos, cerca do século IV a.C. Nesse período, já eram

conhecidas as diferentes operações com os números naturais: a adição,

subtração, multiplicação, divisão, potenciação e também a radiciação. Então,

surgiu um novo campo numérico quando esses povos sentiram a necessidade

de dividir e medir diferentes comprimentos e espaços. Assim, surge a ideia de

que a unidade podia ser dividida em partes.

De acordo com Boyer (1991), os antigos egípcios utilizavam cordas para

medições. Porém, esse povo percebeu que os resultados dificilmente recaiam

em um número inteiro. Mesmo após uma subdivisão entre dois nós

consecutivos, a medida podia recair numa subdivisão localizada entre dois nós.

42

Esse momento demarcou o surgimento das frações da unidade, como por

exemplo ½, ⅓, ⅔, ⅛, etc. No decorrer da história, as diversas representações

dos números fracionários formaram o que atualmente denomina-se o conjunto

dos números racionais.

Feito este breve estudo sobre a história dos números racionais para que

pudéssemos contextualizar historicamente o surgimento desses e qual era a

necessidade naquela época, faremos novamente um breve estudo sobre o que

os estudiosos da área dos números racionais nos dizem a respeito desse

conjunto. Iniciaremos esse estudo pelo referencial teórico de Kieren (1988 e

1993) e depois passaremos para a nossa revisão de literatura.

Kieren (1988) entendeu a noção de número racional como um construto

teórico que pode se constituir a partir de noções mais simples chamadas

subconstrutos. Essa postura diante do problema permite isolar com mais

facilidade as noções essenciais para a construção do conceito. Nas

interpretações, conforme Kieren havia proposto anteriormente, essas noções

essenciais estavam muito interligadas e não podiam ser isoladas e

identificadas com facilidade.

Assim, para Kieren, o conceito de número racional pode ser construído a

partir da consideração dos quatro seguintes subconstrutos (KIEREN, 1988,

p.166): quocientes, operadores, medidas e razões. O autor não considera o

subconstruto parte-todo como outros pesquisadores, entendendo que as ideias

que o constituem já estão presentes nos subconstrutos quociente, operador e

medida (Kieren, 1993, p.57).

Por exemplo, situações de quociente podem ser usadas para as crianças se apropriarem do invariante de ordenação das frações por meio do raciocínio lógico: quanto mais crianças para dividirem o bolo, menor o pedaço de bolo que cada uma receberá. Nessas situações de quociente o professor poderia também usar a razão para ajudar as crianças a entenderem o invariante de equivalência de frações: dada uma mesma razão entre crianças e bolos, a fração correspondente serão equivalentes, mesmo que o número de bolos e crianças possam diferir nos exemplos. (MAGINA E CAMPOS, 2008, p. 3)

Esses quatro subconstrutos de Kieren (1993) trazem sustentação para a

escolha das questões que serão trabalhadas com o professor tanto no

momento de análise de erros, como na elaboração e resolução de questões.

Portanto, trouxemos uma apresentação do significado de cada uma delas: o

43

subconstruto parte-todo está associado à partição de uma quantidade contínua

ou um conjunto de objetos discretos. Esse subconstruto, além de sua própria

interpretação, está diretamente ligado aos outros subconstrutos e é

considerado por Kieren (1988) como um importante gerador de construção de

linguagem.

O primeiro subconstruto, segundo Kieren, é a razão do número racional

expressar uma relação entre duas quantidades, enquanto o subconstruto taxa

define uma nova quantidade como relação entre duas outras. O segundo

subconstruto é o quociente, que interpreta um número racional como a

operação de divisão, ou seja, é interpretado como a † b. O subconstruto

coordenada linear é interpretado como ponto da reta real, ressaltando que os

números racionais na forma fracionária formam um conjunto numérico. Já o

terceiro subconstruto apresentado por Kieren é o operador. Esse impõe ao

número racional uma função de transformação, ou seja, gera uma nova

quantidade. E, finalmente, o subconstruto medida é compreendido como sendo

a divisão, em partes iguais, de um objeto ou um conjunto de objetos.

Trazendo esses subconstrutos para o cotidiano escolar nas macro

avaliações, por exemplo, como SAEB/PROVA BRASIL, essa relação é

observada na Matriz de Referência de Matemática da 8ª série (9º. ano) do

Ensino Fundamental. Dentro da Educação Básica, ou seja, até o 9º. ano, o

aluno já deveria reconhecer (se acompanharmos o currículo) as diferentes

representações dos números racionais, fazer cálculos com valores

aproximados de radicais e cálculos algébricos.

De acordo com essa matriz de referência, as atividades relacionadas ao

tema números e operações devem abordar: a resolução de situações-problema

envolvendo a localização de inteiros e racionais na reta numérica; o

reconhecimento das diferentes representações dos números racionais; a

realização de cálculos com números racionais; a resolução de problemas

envolvendo porcentagens; a resolução de cálculos algébricos; a identificação

de expressões algébricas que representam os valores de uma sequência

numérica; a identificação de equações e desigualdades do primeiro grau em

problemas significativos; a identificação de um sistema de equações do

primeiro grau e da relação entre essas equações e suas representações

geométricas.

44

Nesse rol de descritores acerca dos números racionais, observamos que

algumas habilidades serão exigidas dos alunos para a compreensão e

internalização dos números racionais, podendo estar associada a diferentes

significados.

A escolha dos números racionais se deve ao fato dos alunos,

atualmente, apresentarem dificuldades tanto nas resoluções de problemas,

como em algoritmos, conforme resultados de avaliações como SAEB/PROVA

BRASIL.

2.3 Revisão de literatura

Santos

Santos (2005) realizou sua pesquisa na área de formação do professor

do Ensino Fundamental, com a preocupação central de compreender como se

encontra o conceito de fração para professores desse nível escolar. Neste

trabalho, seu objetivo foi o de investigar as concepções dos professores que

atuam no Ensino Fundamental em relação ao conceito de número racional em

sua representação fracionária. O trabalho contou com 67 professores do

Ensino Fundamental, distribuídos em sete escolas da rede pública estadual da

cidade de São Paulo. Professores que atuam nos 1º e 2º ciclos (polivalentes) e

n 3º ciclo (especialistas) no Ensino Fundamental.

A pesquisa de campo constou de dois momentos: no primeiro,

solicitaram aos professores a elaboração de seis problemas envolvendo o

conceito de fração e, no segundo momento, foi pedido que resolvessem os

próprios problemas elaborados. Os dados foram analisados dentro de dois

momentos: um voltado para análise dos enunciados dos problemas elaborados

e o outros, para as estratégias de resolução destes problemas.

Os resultados obtidos mostraram uma tendência, tanto entre os

professores polivalentes, como especialistas, em valorizar a fração com o

significado operador multiplicativo na elaboração dos problemas. Quanto à

resolução dos problemas, há uma valorização dos aspectos procedimentais –

aplicação de um conjunto de técnicas e regras (algoritmos) nos três grupos.

Outro resultado interessante que a pesquisa nos trouxe foi o fato de que

45

houve uma tendência, tanto dos professores polivalentes quanto dos

professores especialistas em elaborar bons problemas partindo de situações

próximas do cotidiano do aluno. Para nós este é um dado de extrema

importância uma vez que nos traz evidências de que os professores têm se

aproximado da realidade do aluno o que aparentemente facilita a observação

de seu KCS como qual o professor facilita a aprendizagem de seus alunos e

reconhece as suas dificuldades e também seu KCT, pois uma vez que o

professor reconhece tais dificuldades isso torna possível que ele elabore

estratégias que facilitem seu ensino.

Magina, Bezerra e Spinillo

Os autores Magina, Bezerra e Spinillo (2009) em seu artigo intitulado de

“Como desenvolver a compreensão de uma criança sobre fração? Uma

experiência de ensino”, apresenta uma pesquisa de intervenção com o objetivo

de desenvolver o conceito (conceito aqui no sentido de apresentação do

conteúdo aos alunos) de frações com crianças de 8 a 10 anos num total de 57

crianças.

Esse artigo sobre o ensino de frações traz muitas reflexões e

concepções sobre o conteúdo presente no conjunto dos números racionais.

Mostramos então, um breve relato de como foi feita a pesquisa citada neste

artigo, com o intuito de apresentar a pesquisa e possibilitar ao leitor um melhor

entendimento do segundo artigo usado na revisão de literatura.

As crianças foram submetidas a um pré-teste e um pós-teste.

Inicialmente, dividiu-se o total de crianças em três grupos: Grupo experimental

(GE), que passou por uma intervenção no ensino baseada na resolução de

situações-problema de frações como quociente e relação parte-todo, formado

por alunos da 3ª série do Ensino Fundamental, sem instrução prévia (ou seja,

ainda não os tinha sido apresentado o conteúdo) sobre frações; o Grupo

controle (GC), que também foi formado por alunos da 3ª série do Ensino

Fundamental, sem instrução prévia sobre frações, porém, sem a intervenção

no ensino e, o Grupo de referência (GR), formado por crianças da 4ª série que

já haviam tido instrução sobre frações por meio de uma abordagem

mecanicista e de aplicação de regras.

46

Os pesquisadores trazem algumas dificuldades apresentadas pelas

crianças com o conceito de fração, que podem estar relacionadas ao fato de a

criança não compreender o princípio da invariância (conservação de

quantidades) e não conseguir entender que, se ao somar as partes você obtém

o todo inicial que as originou. Baseado em vários autores que discutem o

ensino de frações, esse artigo trata da noção de equivalência que nem sempre

é entendida, como apontam nesse artigo, e comentam sobre a dificuldade na

compreensão da linguagem e da notação típica de frações, além das muitas

dificuldades das crianças decorrerem do fato de aplicar o conhecimento que

possuem sobre os números inteiros às frações com algumas crenças que

carregam como:

...(i) a representação simbólica a/b nada mais é do que dois números inteiros, um sobre o outro; e (ii) 1/3 é menor que ¼, porque três é menos do que quatro (e.g., Biddelecomb, 2002, Gelman; Meck, 1992, Lamon, 1999, Nunes, 2003, Sophian; Garyantes; Chang, 1997, Streefland, 1991). O conhecimento sobre números inteiros é também aplicado à adição de frações, visto que as crianças tendem a somar os numeradores e os denominadores para obter o resultado de uma adição (e.g., Cruz; Spinillo, 2004, Kerslake, 1986, Koyama, 1997, Spinillo; Cruz, 2004). (MAGINA, BEZERRA, SPINILLO, 2009, p. 417)

Esses pesquisadores aprofundam a discussão trazendo um estudo

teórico sobre o conceito de fração e o campo conceitual das estruturas

multiplicativas presentes na teoria de Vergnaud (1983, 1997, 1998, 2003) em

contraposição ao ensino tradicional de frações. Trazem a ideia de que o ensino

de frações tem sido caracterizado por uma alta ênfase no simbolismo e na

linguagem matemática, na aplicação mecânica de algoritmos na aritmética de

frações e no uso de representações pragmáticas. Vale ressaltar, que

observamos isso também ao coletar e analisar os dados desta pesquisa.

Nesse artigo é apresentado o conceito de fração como um conceito

complexo, confirmando que esta representação de um número racional seja a

de maior dificuldade para o entendimento do aluno, como podemos concluir

com a citação abaixo

Além dessas dificuldades documentadas em pesquisas realizadas com crianças, é possível comentar que o próprio conceito de fração é de natureza complexa e multifacetada. Por exemplo, dependendo da situação em que esteja inserida, a fração pode assumir diferentes significados(e.g., Behr; Lesh; Post; Silver, 1983, Gravemeijer, 1997,

47

Nunes, 2003,Ohlsson, 1991, Streefland, 1997, Vergnaud, 1983): (i) um número em uma reta numérica (um inteiro e dois terços); (ii) um operador (um terço de 12 bolinhas de gude); (iii) um quociente derivado de uma divisão (duas barras de chocolate repartidas entre três crianças); e (iv) uma relação parte-todo (uma fatia de pizza dividida em 12 fatias). Outro exemplo dessa complexidade é o fato de a fração estar fortemente associada a outros conceitos igualmente complexos como divisão, probabilidade, porcentagem, razão e proporção. (MAGINA, BEZERRA, SPINILLO, 2009, p. 413)

Na ilustração das relações parte-todo, notação e linguagem fracionária,

os diagramas (pizza, chocolate, etc.) são muito utilizados. Para os

pesquisadores (Magina, Bezerra, Spinillo, 2009) esse modo de ensinar ignora

outras formas possíveis de representar a fração e a variedade de significados a

ela associados, restringindo-se às relações parte-todo e observa-se também

que o ensino é dissociado de situações extraescolares.

Diante dessas constatações, os pesquisadores foram explorar algumas

experiências alternativas para o ensino, tanto em sala de aula, como por meio

de situações experimentais controladas. Dois pontos foram levantados pelos

pesquisadores: o primeiro é que muitas das pesquisas se caracterizam por

estudos de caso, os quais são considerados relevantes, pois fornecem um

quadro extremamente detalhado e rico de dados e o segundo passo é que, na

maior parte dos casos, já haviam sido instruídas sobre fração no contexto

escolar. E então, a partir dessas considerações, o objetivo do estudo foi o de

investigar se crianças que ainda não haviam sido formalmente instruídas sobre

fração, se beneficiariam de uma intervenção específica em que a fração fosse

considerada tanto uma relação parte-todo como um quociente derivado de uma

divisão.

Feita a intervenção, os pesquisadores trouxeram algumas conclusões: (i)

a intervenção proporcionada foi capaz de gerar uma compreensão mais

apropriada sobre frações e também permitiu que as crianças da 3ª série

tivessem um melhor desempenho do que crianças de mesma idade e de

mesma série que ainda não haviam sido formalmente instruídas sobre fração

no contexto escolar (GC); (ii) crianças que participaram da intervenção tiveram

avanços mais substanciais do que aqueles observados entre as crianças

submetidas ao ensino tradicional oferecido pela escola; (iii) apesar de ambos

48

os grupos se beneficiarem da instrução recebida, a intervenção alternativa

sobre fração oferecida às crianças do GE foi mais efetiva do que a instrução

tradicional do GR.

E finalizam trazendo a ideia de que é crucial encontrar formas de ensino

que possam auxiliar as crianças a superar as dificuldades que encontram ao

lidar com frações. No nosso entender, os pesquisadores Ball, Thames e Phelps

(2008) denominam de conhecimento do conteúdo e os alunos. Podemos

conjecturar que, se o professor conseguisse entender quais as dificuldades que

seus alunos encontram com determinados conteúdos, seria possível que ele

conseguisse encontrar maneiras de ajudar os alunos a superá-las.

Bezerra

Bezerra (2001), em sua pesquisa intitulada “Introdução do conceito de

número fracionário e de suas representações: Uma abordagem criativa para a

sala de aula”, teve como objetivo investigar uma abordagem para o ensino dos

números fracionários, em que o objetivo era estudar a aquisição do conceito

deste e de suas representações com base em situações – problema que

fossem significativos para os alunos, de modo que cada situação problema seja

um desafio e instigue o aluno a encontrar a resposta. Essa pesquisa foi

desenvolvida com alunos da 3ª série do Ensino Fundamental, abordando a

concepção de quociente e parte- todo.

Nesse trabalho, há um momento em que o autor destaca a importância

de se contextualizar a parte histórica do conjunto que será estudado, segundo

ele:

Voltar ao passado significa ampliar os horizontes que se erguem sobre os galhos das árvores. Nesse sentido, apresentamos um pouco dos relatos históricos sobre a evolução e construção das frações pelo homem. (BEZERRA, 2001, p. 39)

Do capítulo III, da presente dissertação, “Número Fracionário: ontem e

hoje”, estruturamos o contexto histórico dos números racionais desta pesquisa.

A questão de pesquisa definida pelo autor é: “Como abordar os conteúdos

relacionados ao número fracionário de forma que o aluno compreenda o seu

conceito e estabeleça a relação entre o número e sua representação?”

49

Percebemos uma relação entre suas conclusões ao afirmar que “as crianças

encontraram significados para a sua aprendizagem ” com o PCK que estamos

analisando neste estudo.

Os resultados indicam que as crianças compreenderam o novo número

que lhes foi apresentado e conseguiram satisfatoriamente representá-los com

um menor número de erros. Esses resultados possibilitaram inferir sobre o

professor investigado na atual pesquisa, e nos questionamos se ele pensa da

mesma forma quando analisa os erros dos alunos?

Nas conclusões desse trabalho Bezerra (2001) nos traz reflexões acerca

do papel do professor em sala de aula no qual afirma que cabe ao professor

amenizar as hierarquias presentes na sala de aula, administrar os ritmos de

aprendizagem de cada um de seus alunos. É preciso “olhar” o erro como a

porta de um caminho obscuro que pode levar ao fracasso e à exclusão, se a

luz do professor não for deveras suficiente para iluminar e criar novos

horizontes.

Em nossa pesquisa vamos observar exatamente o que o professor fará

quando identificar este erro, se ele irá buscar afundo o motivo desses erros que

são cometidos pelos alunos e o porquê tais erros acontecem.

Costa

A dissertação de Costa (2011) intitulada “Concepções e Competências

de Professores Especialistas em Matemática em relação ao conceito de Fração

e seus Diferentes Significados” objetivou identificar e analisar as concepções e

competências dos professores especialistas em matemática, atuantes no 3º ou

4º ciclo do Ensino Fundamental, relativo ao conceito de fração.

A questão de pesquisa que o autor teve por meta responder foi sobre as

concepções e competências apresentadas por professores especialistas em

Matemática que atuam no 3º ou 4º ciclo do Ensino Fundamental e sobre o

conceito de fração e seus diferentes significados. Dada a questão de pesquisa,

foi feita a busca de um suporte teórico e encontraram os conceitos de

Vergnaud contidos na Teoria dos Campos Conceituais e os fundamentos

teóricos de Kieren e Nunes, no que se refere aos diferentes significados da

fração.

Nesse trabalho, em particular, serão utilizadas as contribuições que o

50

autor traz quando apresenta as bases de Kieren. Na apresentação da

classificação (construtos) por ele proposta, se deteve na classificação

(significados) denominada por Nunes, na qual a fração pode ser entendida por

meio de cinco diferentes significados: número, parte-todo, medida, quociente e

operador multiplicativo.

Esses mesmos conceitos definidos por Kieren como subconstrutos, são

os mesmos a serem utilizados como base para a escolha das atividades

propostas aos participantes desta pesquisa.

Da dissertação de Costa (2011) foram extraídos detalhes de seu capitulo

de metodologia. A atenção foi voltada ao que o autor denomina de “um plano

de ação da pesquisa” e nele descreve a população alvo do estudo, que foram

21 professores especialistas em Matemática, e o instrumento de coleta de

dados composto de quatro unidades: (a) perfil; (b) elaboração de situações-

problema; (c) respostas das situações-problema e (d) competências. Para

efeito da análise, os professores foram divididos em dois grupos, sendo o

grupo 1 (G1) formado por professores que estavam atuando no 3º ciclo do

Ensino Fundamental (6º e 7º anos) e o grupo 2 (G2) formado por professores

que estavam atuando no 4º ciclo do Ensino Fundamental (8º e 9º anos).

A análise dos protocolos ocorreu por duas vertentes: qualitativa e

quantitativa. O autor relata que esta foi feita pela convicção das informações

suficientes para responder à questão de pesquisa. Como resultado de suas

análises, em relação às competências dos grupos para lidar com o conceito de

fração, concluíram que, apesar de baixos índices de erros e/ou inconsistências

apresentadas por ambos, o G2 apresentou-se mais competente que o G1.

Concluiu isso baseado no fato de que o G1 apresentou maior índice da

utilização da percepção, como principal estratégia de ensino para fração,

distanciando-se, assim, dos invariantes lógicos presentes nesse conteúdo e

que, quando apropriados, permitem sua sólida compreensão.

Frente às reflexões feitas sobre o fechamento do estudo, o autor diz ter

a convicção de que se faz necessário um trabalho de formação continuada

consistente, que promova o desenvolvimento dos professores em relação ao

conceito de fração em seus diferentes significados.

Tal conclusão permite aproximar nossos resultados deste estudo, apesar

do olhar desse pesquisador se dar por um ângulo diferente do deste trabalho,

51

focando o ensino de frações, ao passo que este estudo tem o foco nos

números racionais e em todas as suas representações. O trabalho de formação

continuada também se faz necessário quando se trata do conhecimento

necessário para ensinar.

Tavares

A pesquisa “Conhecimento dos Futuros Professores do 1º ciclo do

Ensino Básico sobre Números Racionais” de Tavares (2012) procurou

compreender o desenvolvimento do conhecimento matemático para ensinar

números racionais dos futuros professores do 1º ciclo relativamente às formas

de representação de números racionais e das suas conexões: ordenação,

comparação, equivalência e densidade de números racionais, buscando

interpretar as dificuldades que manifestam antes e após o ensino de uma

unidade temática sobre números racionais, de uma disciplina da formação

inicial de professores.

Tavares estuda o conhecimento matemático para o ensino de números

racionais na formação inicial dos professores do ciclo I. O presente estudo se

aproxima deste, embora nosso olhar esteja voltado para a formação continuada

do professor do ciclo II.

Vale ressaltar alguns pontos que chamaram a atenção, tendo em vista

que esta pesquisa utilizou o mesmo referencial teórico do conhecimento

matemático para o ensino, bem como para os números racionais. Isto trouxe

grande contribuição e até ampliação de ambos os referenciais teóricos.

Sendo assim, a autora relata sobre conhecimento matemático para o

ensino dos números racionais num capitulo e, em outro, sobre os números

racionais, no qual trata separadamente o conceito de número racional e seus

significados (parte-todo, razão, operador, quociente e medida).

A pesquisadora escolheu fazer seu estudo na instituição em que leciona

e utilizou as abordagens qualitativa e quantitativa comparativa e de caráter

exploratório, tendo por base as produções escritas dos futuros professores no

teste inicial, unidade temática e teste final sendo, a recolha de dados efetuada

numa turma de futuros professores de 1.º ciclo da Escola Superior de

Educadores de Infância Maria Ulrich. A análise de dados foi orientada pelo

52

quadro teórico apresentado no estudo referido anteriormente.

Comparativamente com esse estudo, a presente pesquisa observou diferentes

contextos de escolas do ABC paulista.

Resumidamente, a autora conclui que apenas alguns dos futuros

professores possuía, no início do estudo, conhecimento comum sobre

números racionais, pois resolve problemas acerca destes tópicos, mas tem

dificuldade em produzir argumentos válidos para justificar as opções efetuadas

ou para resolver problemas, evidenciando maior proficiência na resolução de

problemas sobre ordenação de números racionais e no significado de medida.

Após a realização da unidade temática e das discussões efetuadas em

pequeno e grande grupo, a maioria dos futuros professores consolida o seu

conhecimento sobre números racionais e evidencia um conhecimento mais

especializado do conteúdo, conseguindo justificar suas opções e resoluções

com estratégias mais informais. Porém, no tópico comparação de números

racionais e no significado de quociente, eles obtêm melhores resultados. Em

relação aos diferentes significados, há algumas contribuições que nos auxiliam

neste trabalho:

1. No significado parte-todo, a maioria dos estudantes conseguem

compreender que a unidade está contida no agregado das partes e,

após definirem o valor da unidade, conseguem representar todos os

outros números racionais pedidos, revelando um bom desempenho na

conversão da representação pictórica para a representação em fração,

numeral misto e percentagem.

2. Relativamente ao significado operador, verifica-se uma melhoria

acentuada no nível de desempenho de um teste para o outro, pois os

estudantes mostram-se proficientes na conversão de frações em frações

decimais e, posteriormente, numa representação em percentagem como

auxílio à barra numérica ou ao algoritmo da divisão. Melhoram

significativamente o seu desempenho, pois utilizam o seu conhecimento

sobre o algoritmo da divisão, para determinar o valor pedido, indiciando

que os formandos inicialmente não se lembravam deste conteúdo e

depois da unidade temática relembraram e assimilaram.

53

3. Quanto ao significado quociente, houve uma melhoria muito significativa

entre a realização dos dois testes, uma vez que os maus resultados

apresentados no teste inicial prenderam-se com uma má leitura e

interpretação do enunciado do problema e, consequentemente, erraram

o cálculo, apesar do raciocínio utilizado estar correto. Não surgiram

problemas com a interpretação do texto no teste final e, por isso, a

maioria dos estudantes melhorou seus níveis de desempenho.

4. No que concerne ao significado medida, os níveis de desempenho são

semelhantes havendo uma ligeira melhoria no teste final, o que

evidencia uma boa compreensão deste tópico. Os bons resultados

registrados no teste inicial devem-se à identificação de números

racionais simples, enquanto no teste final os números a identificar eram

mais complexos e daí não haver uma melhoria significativa no nível de

desempenho dos estudantes.

5. O significado razão aparece no teste inicial numa questão simples e

contextualizada por uma representação pictórica de rapazes e raparigas.

Verificou-se que a maioria dos estudantes não teve dificuldade em

estabelecer a razão pedida, uma vez que apenas 52,9% conseguiram

responder corretamente. No teste final, não foi colocada nenhuma

questão semelhante a esta, por se considerar que os estudantes tinham

entendido este tipo de situações e, por isso, o seu nível de desempenho

seria bastante significativo testando-se este significado no tópico sobre

comparação de números racionais.

Nessa pesquisa utilizaremos apenas quatros dos cinco subconstrutos

que Kieren e Tavares apresentou. Entretanto, apresentaremos conclusões

sobre todas.

Silva

A dissertação de Silva (2005) intitulada “Investigando saberes de

professores do ensino fundamental com enfoque em números fracionários para

a quinta série”, estudou as concepções de um grupo de professores de

Matemática sobre números fracionários e a aprendizagem de alunos de quinta

54

série. Focou sobre a autonomia e dificuldades em possíveis mudanças dessas

concepções em formação continuada.

O objetivo de tal pesquisa foi dividido em três objetivos centrais da

formação nos quais pretendem investigar: o objeto matemático números

fracionários, as concepções dos professores a respeito de seus alunos e as

ações formativas que possam possibilitar um melhor conhecimento didático do

professor a respeito do tema.

A pesquisa envolveu professores dos ciclos finais do Ensino

Fundamental em específico, a quinta série. A metodologia de pesquisa

empregada foi pesquisa-ação, no sentido de investigação colaborativa, visto

que propicia a interação entre pesquisador e professores em formação e a

observação em ação. Os procedimentos metodológicos para a coleta de dados

foi feira em forma de questionário, observações, documentos escritos pelos

professores e mapas conceituais.

Afirmam, então, que os professores constroem para a quinta série

Organizações Matemática para números fracionários muito rígidas com tipos

de tarefas que associam, sobretudo, a concepção parte-todo em contextos de

superfícies, mobilizando a técnica da dupla contagem das partes e, com menos

incidência, a concepção de razão mobilizando a mesma técnica. Modificações

no discurso dos professores foram observadas com respeito a aprendizagem

de seus alunos e da maneira de observá-los em ação, desencadeadas pela

aplicação de uma Organização Didática elaborada na formação em sala de

aula da quinta série.

Damico

Nessa tese de doutorado intitulada “Uma investigação sobre a formação

inicial de professores de matemática para o ensino de números racionais no

ensino fundamental”, Damico (2007) traz outras contribuições para este

trabalho. Tanto no que diz respeito ao referencial teórico, quanto na

apropriação do tema em que encontramos muitas confirmações relevantes

concernentes ao conhecimento do professor:

As componentes relacionadas ao conhecimento profissional dos

55

professores, necessárias a uma docência de qualidade, são de natureza muito distintas e abrangentes. Especificamente, se considerarmos a prática pedagógica em Educação matemática composta por múltiplas dimensões, cada uma delas com suas dificuldades intrínsecas, chegaremos à constatação de que a formação inicial do professor de matemática é um grande desafio. Entre estes aspectos destacamos, por exemplo: a necessidade de construção de um amplo espectro de conhecimentos relacionados não só aos conteúdos que o futuro professor irá ensinar, como também o aprofundamento essencial do conhecimento das estruturas matemáticas; o conhecimento de conteúdo pedagógico geral e específico; o conhecimento de materiais de ensino, como manipulativos, software etc.; conhecimento dos alunos; conhecimento das necessidades educativas; conhecimento dos contextos educativos; a formação de um profissional ético e consciente de sua função social e da necessidade de se envolver com o projeto político – pedagógico de seu futuro local de trabalho. (DAMICO, 2007, p. 15)

Esse estudo foi realizado com 41 professores de matemática de duas

instituições de ensino superior na região do ABC paulista e um total de 346

alunos envolvidos. Este estudo se dedicou a observar a formação inicial e, se

aproxima do presente estudo porém, nosso olhar se deu sobre o conhecimento

do professor da formação continuada,

Para Shulman (1986), conhecimento da matéria se refere à quantidade e organização de conhecimento na mente do professor e inclui a compreensão dos fatos principais, conceitos e princípios. Conhecimento pedagógico do conteúdo (Pedagogical Content Knowledge – PCK) diz respeito à forma como o assunto é tratado, incluindo – se, aì, as formas mais úteis de representação das ideias, as analogias, ilustrações, exemplos, explicações, demonstrações, modos de representar e formular o assunto de maneira a torná-lo compreensível para os outros” (DAMICO, 2007, p. 46)

Acreditamos que quanto maior a prática do professor, melhor seu

conhecimento profissional docente e, então, podemos observar um

conhecimento que seguindo a linha de raciocínio de Ball, Thames e Phelps

(2008), “emerge da prática”.

A metodologia desta tese também é parecida com a da presente

pesquisa, pois o autor conta com diversos instrumentos para a realização de

sua pesquisa. Seus cinco instrumentos foram: Instrumento 1 (os alunos

concluintes foram solicitados a criarem oito problemas envolvendo frações,

com o objetivo de avaliar os alunos do Ensino Fundamental; instrumento 2 (os

alunos concluintes resolveram os oito problemas que criaram; instrumento 3

56

(todos os alunos, iniciantes e concluintes, foram submetidos a uma avaliação

contendo vinte questões que versavam sobre conhecimentos fundamentais

sobre números racionais); instrumento 4 (entrevista interativa com 10% dos

alunos concluintes participantes da pesquisa); instrumento 5 (entrevista

interativa com 41 professores).

Após a aplicação dos instrumentos e análise dos dados, o autor conclui

que

Os resultados foram apresentados em três unidades de análise que abordam, respectivamente: o conhecimento matemático (conceitual e processual) dos estudantes para professores em relação a cinco subconstrutos ou significados das frações (parte – todo; operador; quociente ou divisão indicada; medida e coordenada linear); o conhecimento matemático e o PCK em relação às operações básicas com frações (adição, multiplicação e divisão); os números racionais na formação universitária. Nossos dados apontam para o fato de que os estudantes para professores têm uma visão sincrética dos números racionais. Há um acentuado desiquilíbrio entre o conhecimento conceitual e processual, com prevalência do processual, como também se observa um baixo nível de conhecimento didático relacionado às formas de representação dos conteúdos normalmente ensinados no Ensino Fundamental que versam sobre os números racionais. (DAMICO, 2007, p. 251)

Comparativamente, a pesquisa presente utilizará menos instrumentos de

coleta devido ao curto prazo de tempo e por se tratar de uma dissertação.

Porém, dentre os instrumentos, está a elaboração de questões, instrumentos

tais que propiciaram uma visão detalhada e particular do PCK desenvolvido por

Shulman (1987) e ampliada por Ball, Thames e Phelps (2008).

Sendo assim, acreditamos que essa revisão de literatura nos auxiliou

para o aprofundamento e expansão do nosso referencial teórico uma vez que

como apresentado acima muitos autores utilizaram do mesmo referencial,

outros apesar de não com o mesmo referencial, trabalharam com alunos da

mesma faixa etária pesquisando o conceito de fração por eles compreendido e

também os trabalhos que nos trouxeram reflexões acerca da formação do

professor e seu papel em sala de aula ao analisar e repensar os erros de seus

alunos.

57

3 METODOLOGIA

Este capítulo tem como objetivo descrever a metodologia adotada. A

escolha pela abordagem qualitativa surgiu da necessidade de analisar o PCK

do professor e observar desde o momento em que ele prepara suas aulas, faz

suas escolhas com relação às atividades, o modo como as utiliza para a

apresentação do conteúdo e a maneira que o mesmo lida com as dificuldades

de seus alunos.

Acreditamos que a observação desses momentos permite separar

detalhes relevantes para a pesquisa, dos do cotidiano em sala de aula que,

apesar de importantes, não foi o foco da pesquisa. E por que olhar o professor

e as suas aulas? A observação da prática do professor como um todo,

possibilitou o acompanhamento das suas experiências cotidianas e também da

sua visão da realidade no qual está inserido. Isso ajudou a alcançar o objetivo

desse estudo e tentar diferenciar o professor de um especialista, ou não.

O estudo em questão trata-se de uma pesquisa de campo, em que as

questões investigadas não se estabelecem mediante a operacionalização de

variáveis, sendo formuladas com o objetivo de investigar os fenômenos em

toda a sua complexidade e em contexto natural. A modalidade de pesquisa

naturalista ou de campo acontece quando os dados do estudo são coletados

diretamente “no campo”, em contraste com aqueles realizados em laboratórios

ou controlados pelos investigadores (Bodgan; Biklen, 1994).

Assim, buscamos uma maior abrangência sobre a prática dos

participantes, uma vez que trouxemos uma discussão de como usar as

questões com seus alunos, em que momento as aplicaria e o porquê da

escolha de tais questões.

Além disso, a abordagem qualitativa, segundo Fiorentini e Lorenzato,

“busca investigar e interpretar o caso como um todo orgânico, uma unidade em

ação com dinâmica própria, mas que guarda forte relação com seu entorno ou

contexto sociocultural” (2006, p. 110)

Acreditamos que, uma vez dentro do próprio contexto do professor, ou

seja: no caso da sua sala de aula, na observação da preparação da aula, nos

problemas colocados nos erros decorrentes do ensino dos números racionais,

no momento em que ele elabora atividades para serem aplicadas com seus

58

alunos; possibilitou a observação dos exemplos e das abordagens utilizadas

que condizem com a realidade de seus alunos, e assim identificar os domínios

propostos no referencial do MKT.

Bodgan & Biklen (1994) identificam cinco características em uma

pesquisa qualitativa, são elas: a fonte direta de dados é o ambiente natural,

constituindo o investigador o instrumento principal; a investigação qualitativa é

descritiva, ou seja, resultados colhidos são em forma de palavras ou imagens e

não de números; os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo

processo do que simplesmente pelos resultados ou produtos; os investigadores

qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma indutiva; e, por fim, o

significado é de importância vital na abordagem qualitativa.

Na presente pesquisa são abordadas as características descritas pelos

pesquisadores, uma vez que estamos inseridos tanto no momento da escolha

das questões e elaboração das mesmas, quanto nos nossos encontros no

ambiente natural de trabalho dos sujeitos. Ressaltamos que, em nossa

observação, foi focado como o MKT se apresenta e como ele é transformado

perante as dificuldades apresentadas pelos alunos. Sendo assim, o interesse

dessa pesquisa esteve sempre voltado mais para o processo de como isso é

feito do que somente analisar se o aluno aprendeu ou não.

Esse trabalho teve seu olhar voltado aos professores de alunos do 7º

ano do ensino fundamental pois, conforme o currículo do estado de São Paulo

este é o momento para iniciar os estudos do conjunto dos números racionais.

Situação em que o aluno já aprendeu sobre os números naturais, inteiros,

decimais e fracionários e, a partir disso, o professor irá unir todos esses

conjuntos formando, assim, o conjunto dos números racionais. Porém, durante

o contato com os professores foi possível perceber que estes também

ministram aulas para outras séries e apresentamos essas características

juntamente com a descrição de cada professor.

Dentro do currículo do 7º ano observa-se que é apresentado logo após o

conteúdo da introdução da álgebra com a apresentação do conceito de

incógnitas e equações algébricas. Contudo, durante o estudo do objetivo dos

encontros foi verificada a necessidade de conversarmos com professores do 6º

ano do ensino fundamental e do 7º ano, em que os alunos já estudaram este

conteúdo dos números racionais e o utilizam para resolver atividades de

59

conteúdos novos.

Lembramos que o olhar desta investigação sempre esteve voltado para

o professor e que tais características que os alunos possam ter ou não, podem

apenas acrescentar em como o professor utiliza essas questões para a

preparação da sua aula e no momento em que a ministra.

Conversamos e observamos diversos momentos da rotina profissional

de três professores da rede estadual de São Paulo. Ao prepararmos para as

observações iniciais, apoiamos em André e Ludke (1986) que afirmam ser

nesta fase da coleta que o pesquisador deverá decidir qual será o seu papel de

observador dentro desse ambiente social.

Após estudar os diferentes papéis, decidimos que o papel de observador

total é o mais adequado a esse estudo e se enquadra nessa pesquisa uma vez

que:

[...] o papel de “observador total” é aquele em que o pesquisador não interage com o grupo observado. Nesse papel ele pode desenvolver a sua atividade de observação sem ser visto, ficando por detrás de uma parede espelhada, ou pode estar na presença do grupo sem estabelecer relações interpessoais. (ANDRÉ e LUDKE, 1986, p.13)

Esse mesmo referencial de André e Ludke (1986) nos trouxe a

importância de termos um foco de observação, que foram determinados pelo

objetivo de estudo e “com esses propósitos em mente, o observador inicia a

coleta de dados buscando sempre manter uma perspectiva de totalidade”

(ANDRÉ & LUDKE, 1986, p.29). Assim, não nos foi facilitada a possibilidade de

desviarmos do foco de observação.

Segundo Bodgan e Biklen (1992), o conteúdo das observações deve

envolver uma parte descritiva e outra reflexiva. A parte descritiva compreende

um registro detalhado do que ocorre no campo. Já a parte reflexiva

apresentada por Bodgan e Biklen (1992) trata das anotações que observador

consegue descrever e nos ajudou a justificar suas observações e conclusões.

Os registros das observações foram feitos por um caderno de campo da

pesquisadora, além das gravações em áudios dos encontros com os

professores. Tínhamos ciência de que essas anotações no caderno de campo

deveriam ser feitas o mais rápido possível.

60

Muitas vezes, quando não era possível fazer essas anotações no exato

momento em que elas ocorriam, as mesmas eram feitas assim que a

observadora se retirava da sala de aula. Afinal, foi levado em conta a

observação, porém, os comentários pessoais também podem oferecer

elementos substanciais à pesquisa.

Segundo Flick

Existem diversas formas de documentação do material coletados, na maioria das vezes constituindo-se de material textual: notas de campo, diário de pesquisa, fichas de documentação, transcrição etc. Entretanto, o material também pode ser documentado por meio de fotos, filmes, áudios e outros, pois todas as formas de documentação têm relevância no processo possibilitando uma adequada análise. (FLICK, 2009, p. 34).

Mesmo sabendo do risco que poderíamos correr e que, em alguns

momentos, o assunto podia não ser de nosso interesse, escolhemos ser mais

flexíveis do que intransigentes e descartar uma entrevista uniforme e

padronizada, levando o participante a responder as perguntas de forma

análoga, uniforme e padronizada, mas sem perda do foco e do caráter

científico da pesquisa.

Quando da escolha das abordagens feitas para responder tais

perguntas, nos deparamos com Styliniades e Ball (2004) que discutem seis

diferentes abordagens possíveis no desenvolvimento de pesquisas que tenham

por objetivo investigar o Conhecimento Matemático para o Ensino. São elas: (1)

a análise de documentos oficiais; (2) currículos professores de matemática; (3)

conhecimento matemático dos professores (grifo nosso); (4) currículo

matemático dos estudantes; (5) conhecimento matemático dos estudantes; (6)

práticas matemáticas escolares.

Nessa pesquisa discutimos apenas o item 3, que é o conhecimento

matemático dos professores, uma vez que foi feita como uma das facetas que

o Projeto Observatório pretende investigar. A opção por uma coleta de dados

se apoiou em aspectos tais como:

Reuniões com o grupo do OBEDUC para discussão do referencial teórico;

61

Observação do momento em que os professores preparam suas aulas;

Conversas com os professores e seus alunos;

Escolha de atividades que contemplem o ensino dos números racionais,

com o auxílio dos professores participantes do projeto do Observatório da

Educação.

Dessa maneira, a escolha foi o método de levantamento de dados que

ajudou a encontrar caminhos e possibilidades para a criação de estratégias

propiciando reunir elementos para uma formação, seja ela inicial ou

continuada, do professor de matemática. Formação essa que relacionasse os

conteúdos acadêmicos aos escolares e, ainda, que o conhecimento

pedagógico do conteúdo fosse o aporte necessário para que o ensino e a

aprendizagem fossem concretizados na relação professor-aluno.

3.1Os protagonistas da pesquisa

Foram três professores, da rede pública de ensino do estado de São

Paulo, que contribuíram com suas adesões, sendo dois deles professores do

município de Santo André e o outro do município de São Bernardo do Campo.

Tanto a finalidade da pesquisa, os procedimentos de coleta e informações,

como essas informações seriam utilizadas e divulgadas pela pesquisadora, foi

informado aos participantes da pesquisa.

Esses três professores são de escolas inseridas em diferentes

contextos, exatamente para verificar e tentar chegar à conclusão, não limitando

a mesma somente para um tipo de realidade onde vive o professor. Dessa

forma, os sujeitos podem aderir “voluntariamente aos projetos de investigação,

cientes da natureza do estudo e dos perigos e das obrigações nele envolvidos”

(BODGAN; BIKLEN, 1994, p. 75).

Fiorentini e Lorenzato (2009) trazem como resultado de pesquisa que

muitos professores têm criticado as pesquisas acadêmicas pela forma como

essas tratam e investigam a prática pedagógica. Além disso, reclamam que os

resultados dessas pesquisas são muito genéricos e raramente chegam à sala

de aula desses professores. Sendo assim, tudo o que foi analisado e concluído,

foi levado como feedback para os professores e todos os dados e análises

62

trabalhados em parceria com os professores participantes do projeto

Observatório da Educação, dando-lhes a oportunidade de repensarem e

analisarem sua própria prática.

Por questões éticas, cada professor foi identificado por uma letra. O

primeiro professor que será chamado de professor A, que ministra suas aulas

numa escola na região central da cidade de Santo André.

A, portanto, tem 11 anos de magistério, porém, nessa escola é o seu

primeiro ano. Ao sair da educação básica foi cursar Administração e se deparou

dando aulas particulares de matemática. Posteriormente, se formou em

licenciatura plena em matemática no ano de 2002, na instituição Fundação

Santo André. Após a licenciatura, o professor A cursou uma especialização em

matemática aplicada. Sentiu-se muito bem recebido na escola atual. Também,

ao sermos apresentados, me deixou bem à vontade para explicar do que se

tratava a pesquisa. Lecionou em 2014 para o 7º e 8º anos e, semanalmente,

dedicava uma hora para a preparação de suas atividades. Não tem lido muitas

publicações de sua área ultimamente. Usa o livro didático como uma

ferramenta de apoio e é o seu principal recurso em sala de aula, além da

internet, que foi citada como um outro recurso didático. Após apresentação da

nossa pesquisa, fui informada que eu teria, em suas palavras, “carta branca”

para coletar os dados naquela escola.

A escola do professor A está localizada em uma região central da cidade

de Santo André, muito próxima a uma das avenidas principais do local, sendo

de fácil acesso por meio de transporte público ou privado. A área residencial no

entorno da escola é constituída por casas e apartamentos, aparentemente, de

classe média e média alta, como também estabelecimentos comerciais

diversos tais como: mercadinhos, academias, bares, restaurantes, farmácias,

etc. A escola é estruturada, possui bebedouros bem amplos em todos os

andares, em alguns deles até dois, e funciona em dois períodos: manhã e

tarde. Os alunos são provenientes do próprio bairro, que é considerado um

bairro mediano, e só podem adentrar na escola utilizando uniformes e com a

carteirinha de identificação. Se, por acaso, não estiverem portando algum

desses dois, devem retornar até sua residência para pegar a carteirinha ou

vestir a camiseta e voltar à escola com autorização dos pais.

O segundo professor foi identificado como professor B. Vale ressaltar

63

que trata-se de um professor pesquisador e sua participação foi muito

importante no que diz respeito à colaboração de atividades e exemplos para a

coleta de dados. Esse professor se licenciou na Universidade Bandeirante de

São Paulo – UNIBAN, no ano de 2003, e cursou pós-graduação em

Administração. Mudou de área e decidiu cursar o mestrado em Educação

Matemática, que após a conclusão ingressou no Doutorado, que ainda está

como aluno. Ministra aulas há 10 anos, sendo que está há 6 anos na escola

atual. Leciona para as turmas dos 7º, 8º, 9º anos do ensino fundamental e 2º

ano do ensino médio. Reserva quatro de suas horas semanais para preparação

de atividades, e já nos informou que suas aulas não seguem um roteiro

preestabelecido. No último semestre, leu 18 livros, artigos e revistas sendo a

maior parte deles voltados a Educação Matemática. Tem o livro didático como

mero apoio para exercícios ou auxiliá-lo em suas aulas quanto às ilustrações

de alguns conteúdos, pois prefere preparar suas aulas sem o recurso do livro.

Prontamente, quando foi procurado, concordou em participar da pesquisa e

ajudar no que fosse necessário.

A escola do professor B está situada no bairro das Nações que é um

bairro mais distante do centro de Santo André, porém, de fácil acesso aos

principais bairros por meio dos trólebus. Fica perto de uma avenida muito

conhecida da cidade, a qual possui inúmeros comércios e é movimentada. A

maior parte das moradias da redondeza é composta por casas simples e

poucos prédios, mas as ruas do bairro também são compostas de diferentes

tipos de comércios. A escola é muito bem estruturada e grande, os banheiros

são limpos, bebedouros bem conservados e sua construção é térrea. Nessa

escola não é obrigatório o uso de uniformes, mas alguns alunos usam mesmo

assim. Tem inspetores pelo corredor, câmeras na entrada e na secretaria, o

pátio situa-se no centro da escola. A escola fornece merenda aos alunos

diariamente nos horários de intervalo. Por meio das visitas, foi possível

observar, também, a presença de pais na escola, eles se fazem presentes para

conversar com os professores e resolver diferentes tipos de problemas e

dúvidas.

O terceiro professor, denominado por nós como professor C, é

licenciado em Matemática e Física pela Faculdade Interação Americana

(Fainan) e não possui formação complementar. Atua por 7 anos no magistério,

64

sendo que nessa escola está há 2 anos lecionando para os 6º e 7º anos. Esse

professor assume o gênero “sargento”, dito por ele mesmo (como não tivemos

basicamente nenhum contato com os alunos, só temos a visão e colocação do

próprio professor). Ele acredita que isso funcione, pelo menos para manter a

sala em ordem e conseguir explicar o que é preciso. Dedica de duas a quatro

horas de seu tempo semanal para a preparação das aulas. No que diz respeito

à leitura, informou-nos que todo mês a escola recebe a revista Cálculo

matemático para todos, sendo esta a única revista que tem acesso e faz uso.

Para ele, o livro didático é apenas um complemento, e o utiliza como recurso

didático ou material de apoio. Outro recurso que ele utiliza é a internet, além da

ajuda de seus colegas de trabalho.

A escola do professor C está situada no município de São Bernardo do

Campo, no bairro Demarchi, e também tem acesso fácil por uma avenida muito

conhecida e movimentada do bairro. Possui um ponto de ônibus bem próximo à

escola, ali passam ônibus de diversos lugares do município e também ônibus

para Santo André. Os alunos são de diferentes locais de São Bernardo do

Campo e nessa escola também não é obrigatório o uso de uniformes. É

oferecida a merenda diariamente, além do almoço.

A escola está dividida em duas partes, contendo diversas salas e um

corredor em cada uma dessas partes que dá acesso ao mesmo pátio. A

biblioteca é muito usada pelos alunos e percebe-se que é um lugar

conservado. O bairro da escola tem prédios e casas em mesma quantidade.

Devido a avenida estar na rua próxima da escola, essa recebe seus

frequentadores de vários bairros. Próximo à escola, temos vários tipos de

comércio, mas principalmente diferentes restaurantes. A avenida e o bairro são

famosos pelos restaurantes que possui. Verifica-se, também, que nesse ano o

intervalo do 6º ano é separado dos demais, por serem considerados ainda

muito pequenos em relação aos demais, evitando-se assim, na concepção da

coordenação da escola, acidentes e demais transtornos.

65

3.2 A coleta dos dados da pesquisa

Como a coleta de dados foi feita no segundo semestre de 2014 e a aula sobre o

conceito de números racionais já havia sido apresentada aos alunos, resolvemos

nos adaptar a essa situação. Foram necessários dois encontros para a coleta de

dados efetivamente. Outros encontros aconteceram para conversas e momentos

de organização dos mesmos. Nesses encontros gravamos, transcrevemos e

analisamos todo o conteúdo que acreditamos ser necessário à pesquisa. Foram

então três fases. Para facilitar a compreensão do leitor, inserimos a seguir um

quadro que resume o modo como os dados foram coletados.

Quadro 1 - resumo da coleta de dados

Fonte: Elaborado pela pesquisadora

66

A primeira fase contou com uma conversa e apresentação do processo

de pesquisa, e nesse mesmo dia o professor recebeu um questionário,

Embora, atualmente, sejam pouco utilizados pelas pesquisas em abordagem qualitativa, os questionários podem servir como uma fonte complementar de informações, sobretudo na fase inicial e exploratória da pesquisa. Além disso, eles podem ajudar a caracterizar e a descrever os sujeitos do estudo, destacando algumas variáveis como idade, sexo, estado civil, nível de escolaridade, preferências, número de horas de estudo, números semanais de horas- aula do professor, matérias ou temas preferidos etc. (FIORENTINI, LORENZATO, 2009, p. 117)

Nesse questionário, o professor informou seus dados pessoais e lhe foi

entregue uma lista com questões contendo erros comuns que alunos cometem

ao estudar e resolver problemas envolvendo os números racionais. A nossa

intenção foi a que ele descrevesse seus comentários no encontro seguinte.

Além disso, foi solicitado que ele elaborasse três questões ou problemas cujo

conteúdo versasse sobre os números racionais.

No segundo encontro, a pesquisadora já estava com o questionário, as

questões comentadas e as três questões desenvolvidas pelo professor (ele

teve acesso a tudo isto antes para analisar e assim desenvolver as questões

para discussão no segundo encontro). Nesse encontro, foi discutida a maneira

como o professor corrigiu aquelas questões, identificou os motivos e o que

reconheceu dos erros dos alunos. Também, foi solicitado que explicasse como

ele resolveria algumas questões: as que ele desenvolveu, as que um colega

desenvolveu e outras três questões criadas pelo grupo de pesquisa, o

OBEDUC, no qual estamos inseridos.

Nesse encontro, constatou-se a veracidade da afirmação que “ninguém

parece discordar que o professor, ao refletir e sistematizar sua prática escolar,

produz e renova saberes” (FIORENTINI, LORENZATO, 2009, p.72). Ficou

claro, no referido encontro, que algumas reflexões foram realizadas pelo

professor. Uma delas se deu nas análises da maneira como ele resolve as

questões propostas, sejam as que ele propôs, sejam as que o colega elaborou.

Percebe-se que o professor renova seus saberes quando realiza uma

67

avaliação, ou se deve usar as suas questões ou as que seu colega propôs.

Na escola A, o primeiro contato foi através de uma supervisora do

Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID) que orientou

uma visita à escola no dia de ATPC3 para uma conversa com os professores de

matemática. Como ela já conhecia a pesquisa, a coordenadora foi muito

solícita ao nos receber no local, apresentando-nos aos professores. Esse

professor foi o primeiro a que fui apresentada e, de imediato, se disponibilizou

para conversarmos. Subimos para uma sala que estava limpa. Foi possível

perceber que a limpeza na escola acontece em pelo menos dois turnos, na

saída dos alunos da manhã e na saída dos alunos da tarde.

Em uma sala reservada, pude conversar com o primeiro participante de

nosso estudo. Por ser o primeiro encontro, foi necessário realizarmos uma

conversa mais informal de início, para adaptarmos nosso roteiro da pesquisa

até chegarmos à divisão em três fases e isso possibilitou um contato maior com

esse professor.

Quando começamos as fases da pesquisa, telefonei, novamente, para a

coordenadora e confirmei todos os encontros. Com isso, cada vez que ia à

escola, enviava para o professor um e-mail no dia anterior para confirmar os

encontros e, sempre solícito, confirmava e me aguardava no dia seguinte.

No dia da primeira fase, o encontro ocorreu em uma sala de aula que

estava vazia, conversamos, discutimos algumas questões que versavam sobre

a apresentação da pesquisa, uma conversa para conhecer o professor um

pouco melhor para que não introduzíssemos a pesquisa de imediato e

entregamos também um questionário ao professor para traçarmos um perfil

geral de cada um. O professor, por sua vez, sempre se mostrando preocupado

se estava dizendo o que eu “precisava ouvir”.

Também, no primeiro encontro, ocorreu a segunda fase da pesquisa na

qual o professor recebeu outro questionário que apresentava as 13 questões

com os erros decorrentes do ensino dos números racionais para que ele

identificasse os motivos dos erros, o que o aluno conhecia ou não de

determinado conteúdo em determinada questão. E, neste mesmo encontro,

solicitamos que criasse três exercícios que utiliza quando ensina o conjunto

3 ATPC – Atividade de Trabalho Pedagógico Coletivo.

68

dos números racionais, o que chamamos em nossa pesquisa de fase 3.

No segundo encontro, repete-se o “ritual” de marcarmos o encontro por

e-mail, no mesmo dia e horário. Neste dia o professor estava um pouco doente,

mas mesmo assim me atendeu e respondeu a todas as questões a que nos

propusemos realizar neste dia. O professor entregou o questionário,

conversamos e discutimos sobre as questões dos erros decorrentes do ensino

dos números racionais e também sobre a resolução dos três “blocos” de

exercícios: os que ele criou, os que um colega criou e os exercícios elaborados

pelo grupo de pesquisa.

Na escola B, o primeiro contato também foi com outro supervisor do

PIBID e esse indicou um professor que dava aulas para o 7º ano, no período

da tarde. Ao chegar na escola, fui muito bem recepcionada. O professor me

direcionou a uma sala de aula e, ao saber que eu pesquisaria o conteúdo de

números racionais, mostrou seu planejamento informando que esse conteúdo

já havia sido ministrado nas salas de aula em que atua, mas poderia ajustá-lo

quando ensinasse proporções e porcentagem. Uma vez que o conteúdo de

números racionais se estende até esses conteúdos, analisei que a aplicação

com os alunos poderia acontecer em uma dessas aulas, sem prejuízo a

pesquisa.

Quando iniciadas as fases da pesquisa, a primeira fase era feita de uma

conversa seguida da apresentação da pesquisa, não encontramos salas

disponíveis para conversarmos à sós e em silêncio. Fomos ao pátio, sentamos

em um banco e foi possível conversar atendendo todos os requisitos desse

encontro. O professor se mostrou interessado e solícito a todo o tempo para

ajudar, respondeu todas as perguntas e aceitou ficar com o questionário e as

questões dos alunos para o próximo encontro.

No segundo encontro, foram concluídas, então, a primeira, a segunda e

a terceira fase da pesquisa, nas quais discutimos as questões e o professor

exemplificou como e porque explica de tal maneira e utiliza tais questões. B fez

questão de deixar tudo bem exemplificado e claro.

Na escola C, o contato ocorreu por intermédio de um participante do

grupo do OBEDUC, o qual informou que sua escola estaria de portas abertas a

novas pesquisas e discussões acerca da educação. Assim, ele deu o contato

do professor e agendamos um encontro. Com este professor tive apenas os

69

dois encontros planejados e as demais conversas ocorreram por e-mail ou por

meio deste colega do grupo. O professor, por sua vez, foi muito natural e

receptivo, aceitou participar de toda a pesquisa e suas fases, colaborou tempo

todo e sempre pareceu preocupado e interessado em ajudar no que fosse

preciso.

No primeiro encontro, já ocorreu a primeira fase da coleta de dados, no

qual tivemos a conversa na sala dos professores, pois não havia nenhuma sala

disponível naquele horário. A princípio, estávamos apenas ele e eu na sala dos

professores, porém, depois chegou mais uma professora e sentou na ponta da

mesa.

O professor participante não pareceu intimidado com a presença de

outra pessoa ali e continuou a conversa da mesma maneira natural e tranquila.

Em todo o momento o professor respondia as questões propostas e participava

das situações apresentadas a ele. Deixava claro que tudo que estava me

expondo era exatamente como ele fazia em sala, coisas que, em sua maioria,

ele aprendeu com a prática e não com a formação e até me disse sobre o que

ele aprendeu em sua formação nem se aplica naquela realidade.

O segundo encontro foi feito com o intervalo de uma semana apenas,

pois o professor teria compromisso e não poderia me atender 15 dias depois.

Isso não prejudicou aos itens propostos nesta pesquisa. Ele respondeu tanto

ao questionário quanto aos comentários das questões com antecedência e me

enviou por meio do colega do OBEDUC, pois sabia que eu não iria à escola

antes de uma semana.

No segundo encontro foram finalizadas a primeira, a segunda e a

terceira fase da coleta. Nesse dia, a reunião ocorreu na biblioteca e, dessa vez,

tinham alguns professores em outras mesas mais afastadas e, novamente, o

professor participou, exemplificou como apresentaria e resolveria as questões

de forma natural e descomplicada no que diz respeito ao desenvolvimento da

conversa, pois os exercícios, os métodos, etc., seriam discutidos por meio da

análise posterior dos dados.

Apesar dos esforços para padronizar nossos encontros ao máximo, cada

um deles ocorreu de forma diferenciada, natural e com poucos roteiros. Porém,

foi possível coletar os dados de maneira a dar continuidade a nossa pesquisa.

70

3.3 Instrumentos e procedimentos de coleta de dados

A coleta de dados foi realizada utilizando-se de três procedimentos que

contaram com três instrumentos que denominamos: Questionário, Análise de

erros, Questões elaboradas. A seguir, faremos uma descrição detalhada destes

procedimentos, com o objetivo de apresentar como nos auxiliaram e qual o

papel de cada elemento coletado nesta pesquisa.

3.3.1 Procedimento 1 – Instrumento: Questionário

Ao iniciar a coleta de dados, foi aplicado um questionário em que o

professor respondeu algumas questões para traçarmos o seu perfil.

Vale lembrar que, nesse primeiro procedimento, contamos também com

uma conversa para apresentação do projeto, organização da agenda para

coleta dos próximos instrumentos, em que gravamos toda a discussão. O

questionário foi entregue ao professor, garantindo 15 dias para responder,

evitando que ele respondesse às pressas. Abaixo, apresentamos as questões

envolvidas no questionário e seus respectivos objetivos.

Questionário

Prezado professor,

Este questionário é parte do projeto de pesquisa desenvolvido na Universidade

Federal do ABC. Agradeço sua participação voluntária nesta pesquisa,

lembrando que a tabulação dos dados será feita anonimamente. Caso precise

de mais espaço para responder as questões, utilize o verso da folha.

O objetivo deste questionário é de conseguir conhecer a formação do professor

participante e o modo como articula suas atividades em sala de aula sem que

seja necessário fazer durante a nossa conversa, essas questões de respostas

fechadas para um melhor aproveitamento do tempo.

Formação do professor

Objetivo: Muitas vezes o professor traz para sala de aula “vícios” de sua

formação na licenciatura. Sendo assim, torna-se muito importante conhecer o

contexto de sua formação.

71

As dez primeiras questões trataram de caracterizar a formação de cada

sujeito de nossa pesquisa.

1) Nome:

2) Instituição em que se formou:

3) Curso de ano que se formou:

4) Tipo de graduação que possui:

5) Possui alguma formação complementar:

6) Tempo de magistério:

7) Tempo que atua nesta escola:

8) Qual série leciona:

9) Tempo semanal dedicado a preparação de suas atividades:

10) No último semestre quantos livros, artigos e revistas da sua área você

leu:

Utilização de recursos em sala de aula

Objetivo: Uma das divisões de base do conhecimento de Schulman trata-

se do Conhecimento Pedagógico Geral, o qual se refere a um amplo princípio e

estratégias em sala, condução e organização para apresentar certo conteúdo e

será esta organização e estratégia que pretendemos observar nestas questões.

As três questões seguintes, a saber 11, 12 e 13 foram elaboradas para

identificar quais eram os recursos utilizados pelo professor participante.

11) O livro didático é o seu principal recurso? Que papel você atribui ao livro

didático?

12) Qual função o livro didático desempenha na sua prática pedagógica?

13) Além do livro didático você poderia citar outros recursos utilizados.

3.3.2 Procedimento 2 – Instrumento: Análise de alguns erros

decorrentes no ensino de números racionais

O segundo procedimento de coleta contou com 13 questões resolvidas

pelos meus alunos ao decorrer de 5 anos de docência que guardei alguns

documentos como provas, listas de exercícios, etc., e, com esse material, pude

72

escolher as questões aqui utilizadas. Por um lapso de memória, acabei

esquecendo-me de apagar a correção, e em cada uma delas aparece o C de

certo ou X de errado. Mesmo com essa interferência, solicitamos ao professor

que analisasse as correções e descrevesse seus comentários na tentativa de

identificar o seu conhecimento sobre o conjunto dos números racionais, objeto

do nosso estudo.

Essas questões também foram entregues ao professor com um prazo

para devolução de 15 dias. Também foi explicado que ele teria um tempo para

fazer estes exercícios que estavam resolvidos e corrigidos, eles seriam

entregues com os devidos comentários para o pesquisador, para que o mesmo

pudesse analisar estas situações para possíveis comentários e discussões

posteriores. Solicitamos ao professor que ele desconsiderasse a

avaliação/correção que já havia sido feita e desse o seu parecer sobre os erros

dos alunos.

Foram escolhidas essas 13 questões, em particular, de maneira bem

minuciosa e que fossem capazes de abranger todos os subconstructos

descritos por Kieren (1988). No próximo capítulo especificamos em qual dos

subconstructos cada questão se enquadra e quais conceitos esperamos que

estejam envolvidos.

Nas questões escolhidas pelo pesquisador, espera-se que o professor

reconheça a relação do erro de cada uma delas, identificando a partir de sua

prática pedagógica as possíveis causas. Apresentamos a seguir o instrumento

que foi entregue ao professor, o objetivo de cada questão apresentada e os

comentários a partir da resolução do aluno.

Fase 2 – Instrumento 2

Erros decorrentes no ensino de números racionais

Ao se dirigir a cada professor, foi lhe dito que esse é um momento em

que pediríamos a sua colaboração para a identificação dos possíveis motivos

que desencadearam estes erros cometidos pelo aluno. Pedimos também, que

se possível, corrigisse esses erros. Este documento podia ser levado para casa

73

e o professor poderia fazer qualquer tipo de consulta para nos ajudar neste

momento da pesquisa.

Objetivo: Verificar o quanto o professor consegue reconhecer dos erros

dos alunos e no que estes alunos estão errando e em seguida verificar como

ele trata e tenta corrigir estes erros.

Questão 1:

Figura 9 – Erros decorrentes do ensino de números racionais.

Fonte: Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional, currículo das

escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.)

O que esperamos do professor: Ao observar a resolução desta questão ele nos

aponte que este aluno encontra 3

8 de 240, porém, não consegue calcular o

dobro de 3

8 e também não consegue por uma segunda vez encontrar uma

parte de um todo.

Questão 2:




74

O que esperamos do professor: Deixar claro que existe uma dificuldade na

organização da resolução dessa expressão numérica, e mesmo conseguindo

encontrar o mínimo múltiplo comum e resolver as radiciações, esqueceu-se das

potências e chegou a um resultado incorreto.

Questão 3:

Figura 11 – Erros decorrentes do ensino de números



O que esperamos do professor: Que ele nos explique que este aluno entende

por forma numérica a representação fracionária e decimal, porém, não

consegue representar (ou converter) a fração com um número decimal.

Observar também que esse aluno consegue fazer a conversão da linguagem

natural para a linguagem matemática.

Questão 4:


75



O que esperamos do professor: A questão trata da representação numérica na

reta, e esperamos que o professor nos aponte que este aluno aparentemente

não consegue encontrar com facilidade os números em sua forma fracionária

na reta. Ao responder um ponto, no caso D e F, isso não significa que ele tenha

a compreensão da localização correta do valor fracionario ao seu ponto

correspondente. Para nós, a resposta ao item se apresenta mais como um

“chute”.

76

Questão 5:

Figura 13 – Erros decorrentes do ensino de números racionais



O que esperamos do professor: Esperamos que ele identifique que esse aluno

consegue operacionalizar com frações durante toda a expressão e ao fim não

faz corretamente a soma de frações. A finalização do procedimento nos indica

que ele não domina soma e subtrações de fracionários, e a utilização do

mínimo múltiplo comum.

Questão 6:




77

O que esperamos do professor: Que ele observe que este aluno responde

corretamente aos quatro itens, errando somente no item a). Há claramente um

domínio da conversão da linguagem natural para a simbólica, O único erro

cometido pode estar associado a uma distração deste aluno, ou erro na escrita.

Questão 7:




O que esperamos do professor: Diferente dos anteriores temos aqui nesta

questão uma situação-problema. Neste problema especificamente o aluno não

precisa converter a linguagem natural em simbólica, pois esses dados são

apresentados simbolicamente. O que se exige do aluno é a compreensão e a

interpretação para a sua resolução. Nesse caso esperamos que o professor

perceba inicialmente que mesmo se o aluno tivesse efetuado os cálculos

“corretamente”, ainda assim, daria a resposta errada, pois teria de ser um valor

inteiro e ele não se atentou a isto. Além disso, ela demonstra não saber operar

com frações, não domina o mínimo múltiplo comum, além de não encontrar

uma parte de um todo.

Questão 8:


78



O que esperamos do professor: No item temos uma divisão de números

inteiros que foi representada em forma de frações, ou seja, como sendo a

razão entre esses dois números. Esperamos então que o professor perceba a

dificuldade do aluno em representar números e operações em forma de

frações; c) Um erro decorrente de regra de sinais, esperamos que o professor

nos dia que o aluno não compreende que a divisão entre um inteiro positivo e

um inteiro negativo resulta em um inteiro negativo; d) Esperamos que o

professor reconheça que o aluno não compreende de que uma dízima

periódica é um número racional.

Questão 9:




79

O que esperamos do professor: Esperamos que o professor perceba que

inicialmente a aluna consegue operacionalizar com frações, fazendo as

transformações e adaptações para iniciar a resolução da expressão, efetua as

primeiras operações, porém, se confunde ao final final do exercício mostrando

que existe uma dificuldade na realização dos cálculos.

Questão 10:



escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).

O que esperamos do professor: Novamente o aluno organiza a expressão com

facilidade, demonstra dominar a operacionalização com frações, tanto é que

efetua as primeiras operações, porém, se confunde no final do exercício. Então

esperamos que o professor identifique tanto as dificuldades do aluno neste

caso quanto as facilidades que o aluno encontrou para resolvê-lo.

Questão 11:


80



O que esperamos do professor: O professor deve atentar-se ao fato de que o

aluno tem o conhecimento sobre potenciação de base negativa com o

expoente par, porém equivoca-se ao realizar o cálculo da segunda potência e

logo em seguida também demonstra não saber operacionalizar com frações.

Questão 12:




O que esperamos do professor: Esperamos que o professor nos aponte que o

aluno compreende e sabe utilizar a regra de sinal e a multiplicação de frações

por um inteiro, contudo, o aluno errou no algoritmo de divisão de frações nos

mostrando que encontra certa dificuldade neste assunto.

Questão 13:



81


O que esperamos do professor: Observe que no item “a” o aluno demonstra

dominar a operacionalização de frações, resolve radiciação e adição de frações

sem problemas, entretanto, no item “b” o aluno já não consegue ao menos

começar a potenciação e divisão, talvez pelo fato de como a questão lhe foi

apresentada demonstrando o fato de que os alunos encontram maior

dificuldade nesta apresentação de divisão em forma de fração.

3.3.3 Procedimento 3 – Instrumento: Discussão das questões

elaboradas

Esse procedimento contou com uma conversa anterior, na qual o

professor foi solicitado que resolvesse a três conjuntos de problemas, um que

ele criou, o segundo rol proposto por seus colegas e o terceiro com os

problemas criados pelo grupo de pesquisa do OBEDUC. O objetivo foi o de

discutir sobre os „por quês‟ de como ele resolve e analisa cada questão, sejam

as que ele produziu, sejam as dos colegas ou as nossas. Assim, esse terceiro

instrumento de pesquisa foi composto de três conjuntos de questões

analisadas pelos sujeitos.

A seguir apresentamos o roteiro de como foi feita a conversa e seu

respectivo objetivo. Primeiramente, observamos como ele pensa em trabalhar e

como ele resolve as questões propostas por ele, as três questões que o colega

propôs e as três questões propostas pelo grupo. Neste mesmo encontro

realizamos uma conversa com o objetivo de discutir sobre os „por quês‟ de

como ele resolve e analisa cada questão. Vale destacar que neste momento já

tínhamos em mãos as questões dos alunos corrigidas por ele também.

O objetivo é analisar e identificar o seu conhecimento matemático para o

ensino de números racionais, por isso gravamos todo esse encontro para que

no momento de análise pudessemos utilizar a fala do professor e identificar os

domínios de nossa análise.

82

Roteiro para o desenvolvimento do procedimento 3 na terceira fase – 2º.

encontro. Nosso roteiro foi composto de sete itens que serão descritos a seguir.

1 – O professor irá apresentar as questões que ele elaborou;

Objetivo: Identificar quais as questões que o professor considera importantes

quando for ensinar o conteúdo dos números racionais aos seus alunos.

2 – Ele irá comentar a importância destas questões e porque as escolheu;

Objetivo: Identificar a importâncias dessas questões para o professor e o

motivo da escolha, o porquê dessas três e não outras, etc.

3 – Pediremos ao professor que nos mostre como ele explicaria tais questões

aos alunos;

Objetivo: Observar como o professor explica esses exercícios aos seus

alunos, se o professor já reconhece quais dúvidas emergem deste ensino e

quais dúvidas os alunos encontrariam para resolver tais questões.

4 – Apresentamos as questões elaboradas por um colega (um dos outros 2

professores envolvido na pesquisa) e verificamos se ele utilizaria tais questões

com seus alunos;

Objetivo: Verificar se o professor utilizaria tais questões com seus alunos, se

ele acha que as questões são convenientes e ouvir suas explicações para tais

questionamentos.

5 – Se sim. Solicitamos ao professor que novamente nos mostre como ele

explicaria tais questões aos alunos;

Se não: Vamos para o próximo bloco de questões;

Objetivo: Caso o professor escolha utilizar estas questões gostaríamos de

observar como ele as explicaria aos seus alunos, se ele identifica as

dificuldades e facilidades de tais questões por parte de seus alunos. Por outro

lado, caso o professor opte por não utilizar tais questões, gostaríamos de saber

o motivo e verificar como o professor apresentaria essa justificativa.

6 – Apresentamos as questões elaboradas pelo grupo para o professor e

83

verificamos se ele utilizaria tais questões com seus alunos;

Objetivo: O objetivo de usar mais um bloco de questões foi o de nos certificar

de que o maior número de tipos de questões envolvendo os números racionais

seria analisado pelo professor, se ele utilizaria esse tipo de questão quando

estivesse ensinando o conteúdo escolhido.

7 – Se sim: Novamente solicitamos que ele nos mostre como ele explicaria tais

questões aos alunos.

Se não: Finalizamos o encontro.

Objetivo: O objetivo desta questão é análogo ao objetivo da questão de

número cinco, caso o professor escolha utilizar estas questões gostaríamos de

observar como ele as explicaria aos seus alunos, se ele identifica as

dificuldades e facilidades de tais questões por parte de seus alunos. Por outro

lado, caso o professor opte por não utilizar tais questões, gostaríamos de saber

o motivo e verificar como o professor apresentaria essa justificativa.

Descritos nossos participantes, procedimentos de coleta de dados e os

nossos intrumentos, apresentaremos no capítulo a seguir a análise de cada um

dos dados coletados.

84

Análise dos dados

Nesse capítulo, apresentamosas nossas análises. Primeiramente,

discutimos as questões acerca dos erros decorrentes do ensino dos números

racionais apresentadas em nossa metodologia, além disso, abarcaremos os

conceitos subjacentes justificando novamente a nossa escolha por estas 13

questões que apresentam erros decorrentes do ensino dos números racionais.

Por uma questão de organização dividimos o restante em dois

momentos, a saber: Momento de analisar as questões dos erros decorrentes

do ensino dos números racionais propostas pela pesquisadora; Momento de

analisar as questões propostas pelo professor, as questões do colega e as

questões propostas pelo grupo de pesquisa.

Vale ressaltar que nesse segundo momento temos três grupos de

questões, primeiramente, as três questões que o professor acredita ser de

grande importância quando ensina o conteúdo dos números racionais. Depois

disso, ele analisará as três questões que um colega elaborou pensando ser

importante quando ele fosse ensinar tal conteúdo e por fim três questões

elaboradas pelo OBEDUC.

Esse capítulo de análise tem o objetivo de observar os conhecimentos

pedagógicos sobre os números racionais apresentados pelos professores da

educação básica. Esse é um assunto que não trataremos de forma isolada ou

principal, porém como uma característica que deve trabalhar juntamente com

todas as questões que compõem a formação profissional do professor de

Matemática, e que se deve articular com outros componentes, como o PCK,

dando corpo ao conhecimento profissional do professor da educação básica.

Para Fennema e Franke (1992),

(...)muitas evidências estão se acumulando para apoiar a ideia de que se um professor tiver uma boa compreensão conceitual da Matemática isto influenciará positivamente sua atuação em sala de aula.” (FENNEMA e FRANKE, 1992, p.151)

O conceito de número racional envolve um rico conjunto de

subconstrutos integrados, relacionando processos de uma gama de conceitos

85

elementares, segundo Behr, Lesh, Post e Silver (1983, apud, DAMICO, 2007,

p. 76). A compreensão ampla dessa gama de conceitos é condição necessária

para que o professor possa desenvolver atividades de ensino capazes de

construir conhecimentos significativos por parte dos alunos. Nesse sentido,

apresentamos primeiramente uma análise entre as questões e os

subconstructos, de modo a garantir a compreensão do leitor sobre esse

aspecto, e na sequencia abordamos os resultados coletados nesta pesquisa.

4.1 Questões x Subconstrutos

Nossa intenção nesse capítulo de análise foi a de identificar quais destes

subconstrutos descritos por Kieren (1993) em nosso aporte teórico, são

apresentados pelo professor, mas sim, a de apresentar em quais desses

subconstrutos cada uma das questões que escolhemos para o professor

analisar se encaixa.

4.1.1 Subconstruto quociente

A questões 8 teve por objetivo compreender o número racional como

quociente utilizando a fração como forma de representação do número

racional, bem como rever e encontrar as regras de sinais dos números inteiros

quando envolvemos operações com racionais. (Como por exemplo a divisão de

15 por 6).

Quando interpretamos um número racional como quociente, voltamos

nosso olhar para a fração 𝑥

𝑦 como uma divisão entre dois números inteiros

(𝑦 ≠ 0 ), neste caso a representação 𝑥

𝑦 indica uma relação entre duas

quantidades x e y representando uma operação, ou seja, 𝑥

𝑦 é visto como 𝑥 ÷ 𝑦.

O exemplo a seguir ilustra nossa essa representação.

86

4.1.2 Subconstruto operador

As questões 2, 5, 9, 10, 11, 12 e 13 foram escolhidas com o objetivo de

compreender o número racional como operador; reconstruir a unidade a partir

de suas partes usando o significado operador, a representação em fração,

número decimal e porcentagem e também as suas propriedades de operações.

A operação 𝑥

𝑦 . 𝑎 = 𝑏 do subconstruto operador é um amplamente

utillizada nos mais diferentes contextos da educação Básica. Não podemos

esquecer que quando interpretamos frações como operadores, trazemos uma

visão de transformação, modificando determinada situação. Podemos

caracterizar essa modificação na operação de divisão seguida de uma

multiplicação ou vice-versa. Abaixo trouxemos um exemplo ilustrando a uso

incorreto desse subconstructos.

4.1.3 Subcontruto medida

A questões 4 refere-se à identificação de números racionais na forma de

fração ou decimal com o recurso da reta numérica e é relativa ao valor de

posição de um número racional utilizando a reta numérica para identificar o

87

número racional pedido, localizar e posicionar na reta um número racional,

comparar uma grandeza com outra tomada como unidade e comparar e

ordenar números racionais representados de formas diferentes.

O conceito de medida envolve ideia de comparação. Nesse caso, é

necessário que se estabeleça um termo único de comparação entre duas

grandezas de mesma espécie. A questão também exige uma resposta para a

pergunta “ quantas vezes?”, o que se faz quando um número que exprima o

resultado advindo de uma comparação. Esse número chama-se medida da

grandeza em relação a essa unidade (CARAÇA, 1951, p. 29)

4.1.4 Subconstruto razão

As questões 3 e 6 pretendiam que os alunos identificassem a “metade

dos alunos de uma sala” por comparação da razão entre “o número que estava

na sala com o número total de alunos”, por exemplo.

Nesse subconstruto, assim como para Kieren (1993), o número racional

na forma fracionária representa comparação entre duas quantidades, portanto,

é considerado índice comparativo. Nesse caso, a representação está

associada à relação entre quantidades, em que lemos “a está para b”.

88

4.2 Análise dos erros decorrentes do ensino dos números racionais

A partir desse item, passamos a analisar os dados coletados com os

nossos sujeitos. Identificamos aqui os erros que os professores reconheceram

e quais domínios do MKT foram apresentados por eles

Nossa análise foi iniciada com o professor A e na sequência com os

professores B e C. Temos um total de 13 questões que foram lidas e

interpretadas pelos sujeitos.

Por domínio entendemos neste momento os dois que se apresentam no

quadro resumo de Ball, Thames e Phelps (2008) em que o grupo ampliou a

categoria do PCK de Shulman (1987) em dois domínios assim por eles

chamados de Conhecimento do Conteúdo e os Estudantes (KCS) e

Conhecimento do Conteúdo e o Ensino (KCT).

Então adotamos os mesmos domínios propostos pelos pesquisadores

Ball, Thames e Phelps (2008):

KCS – Conhecimento do Conteúdo e os Estudantes: Quando o professor

reconhece os problemas que os alunos encontram quando aprendem

determinado conteúdo, no nosso caso dos números racionais.

KCT – Conhecimento do Conteúdo e o Ensino: Neste caso o professor em

suma reconhece as dificuldades que determinado conteúdo apresenta quando

é ensinado aos alunos.

Sobre o KCC – Conhecimento do Conteúdo e o Currículo não tratamos

89

em particular, pois não temos o aporte teórico do nosso próprio referencial de

MKT, afinal os autores não trouxeram uma análise aprofundada deste domínio.

Em seu trabalho, Ball, Thames e Phelps deixam claro a necessidade de um

estudo mais abrangente sobre tal domínio para melhor caracterizá-lo.

Quando pensamos no ensino e nas exigências matemáticas que tem o

professor, nos deparamos com a seguinte ideia de Thames e Ball (2010):

[...] ensinar exige ser capaz de responder os “porquês” das crianças: Por que encontramos denominadores comuns ao somar frações, mas não quando multiplicamos frações? Por que contamos as casas à direita do ponto decimal e somamos quando multiplicamos decimais? – “tradução nossa” (THAMES e BALL, 2010, p.3)

São pensamentos e questionamentos como esses que o professor

muitas vezes irá se deparar e tem que apresentar uma resposta imediata,

assim acreditamos que os professores necessitam de um tipo de conhecimento

que mescla o conhecimento do conteúdo com o conhecimento pedagógico,

este conhecimento seria o conhecimento pedagógico do conteúdo, ou PCK de

Shulman (1987), que foi subdividido em dois domínios do MKT de Ball, Thames

e Phelps (2008) que são o KCS e KCT.

Discutidos tais domínios, analisamos se eles estão presentes no

momento em que o professor cria, resolve e identifica erros em questões

relacionadas ao ensino dos números racionais. Ressaltamos que nossa

intenção não é a de concordar ou discordar com o professor, mas sim

identificar os conhecimentos mobilizados por ele quando ensina determinado

conteúdo, em nosso caso especifico, dos números racionais.

Apresentaremos aqui as análises das questões nas quais os professores

demostram de maneira mais explícita um dos domínios do MKT, questões que

os professores não trouxeram esses domínios, trouxeram de maneira implícita

ou de diferentes interpretações não serão apresentadas em nossa análise.

90

Professor A

Questão 1:

Figura 22 – Resposta do professor A para a questão 1 dos erros

decorrentes do ensino de números racionais.

Nesse caso afirma que o erro do aluno é devido a interpretação de texto,

sendo assim, aqui não identificamos nenhum dos domínios por nós analisadas

KCS ou KCT nessa questão, afinal o professor não identifica uma dificuldade

que o aluno tem relacionada direta ao conteúdo dos números racionais.

Quando o professor nos diz que faltou a interpretação seguido de uma

demonstração do que faltou, poderíamos identificar o KCS e se ainda após isso

fosse buscar meios de sanar tais dificuldades poderíamos identificar também o

KCT.

91

Questão 2:



Acreditamos que aqui se identifica o domínio KCS, pois o professor

identifica o conhecimento que em suas palavras “falta” para o aluno como

nesse caso ele nos mostra “faltou o conhecimento de potência”, ele quer dizer

que a defazagem deste aluno neste caso foi no momento em que ele aprendia

o conteúdo de potências e suas propriedades.

Questão 3:



Relata o que o aluno conseguiu resolver, aqui, podemos identificar um

indício de seu KCS, pois ele apresenta um conhecimento sobre o conteúdo e

os estudante quando nos diz que o aluno “sabe colocar as informações do

português para a matemática”. Porém ao mesmo tempo ele não percebe uma

92

dificuldade nítida neste exercício que é o fato de que o aluno não sabe a

representação de uma fração como um número decimal.

Questão 4:



O professor identifica que o que o aluno não sabe sobre números

racionais é a sua localização na reta numérica, ou seja, pontua no que essa a

dificuldade, o erro do aluno e quando o professor identifica tais coisas

encontramos o domínio KCS do nosso referencial teórico de análise. Além

disso, o professor apresenta evidências de KCT ao identificar que a forma

como a reta está graduada pode prejudicar a compreensão do aluno.

93

Questão 7:



Acredita que seja um problema de interpretação, nesse caso, segundo o

nosso referencial, podemos identificar o KCS, pois o professor demonstra um

domínio do conhecimento do conteúdo e os estudantes ao identificar que o

problema foi na interpretação do aluno, porém, ele não nos apresenta uma

dificuldade/facilidade diretamente voltada ao conjunto dos números racionais.

Questão 10:



Afirma que o aluno não visualiza regras, por não nos deixar claro qual de

qual regra se trata ou o motivo disso ocorrer, não é possível identificar nenhum

dos domínios. Se o professor nos mostrasse qual método e a qual conteúdo

essa regra está relacionada no conjutno dos números racionais, assim, seria

94

possível identificar o KCS.

Questão 11:

Figura 28– Resposta do professor A para a questão 11 dos erros


O professor nos informa que a “regra” desconhecida pelo aluno esta

relacionada a prioridade, ou seja, qual operação ele deveria resolver primeiro.

Sendo assim, identificamos o domínio KCS que aparece quando o professor

identifica a dificuldade relacionada a certo conteúdo no caso os números

racionais. Se notarmos no exercício anterior ele apenas nos diz que “o aluno

não sabe a regra” e aqui ele nos diz qual a regra em questão que é a “ordem”

de resolução das operações.

Questão 12:



A resposta deixa claro que o erro do aluno foi o de não reconhecer a

ordem de qual operação se deve resolver primeiro, quando o professor então

95

reconhece esse erro, esse momento identificamos o domínio KCS.

Professor B

Questão 1:

Figura 30 – Resposta do professor B para a questão 1 dos erros


Ele identifica e pontua no que o aluno acerta e exatamente qual o

momento em que o aluno começa a se equivocar, como podemos ler no

comentário do professor (KCS), além disso, ele nos traz uma ressalva de uma

outra maneira de resolução do mesmo exercício (KCT).

96

Questão 2:



Nesse caso, o professor não consegue identificar o erro do aluno, porém

identifica que o aluno ainda não domina todo o conteúdo, somente no que diz

respeito a radicais de frações. Neste momento em que ele diz o que o aluno

sabe ou não sabe responder, como neste caso, identificamos o domínio KCS.

Questão 3:



Se observarmos acima, o professor identifica exatamente onde está a

dificuldade do aluno “o aluno apresenta dificuldades para converter frações em

97

decimais, além disso, considera o valor do numerador como inteiro e o do

denominador como decimal.” Assim identificamos o domínio do nosso

referencial.

Questão 4:



Aqui, ele inicia a abordagem observando o fato de que a escola já não

facilita o entendimento do aluno, pois o professor já percebeu que sua

dificuldade, nesse caso, está relacionada a interpretação dessa escala (KCS)

e, com isso, encontraria um meio de fazer com que este erro não ocorresse

(KCT) utilizando uma escala “mais clara”.

Questão 5:

98



Através de uma análise de erros e acertos novamente o professor

apresenta em qual conteúdo se encontra a dificuldade do aluno e também o

que ele sabe fazer (KCS), comparando o que ele compreendeu e no que ele se

“perdeu”.

Questão 6:



Não identificamos nenhum domínio nessa questão, o professor não

apresenta alguma dificuldade ou facilidade pontual do aluno, e também não

nos diz sobre as dificuldades do exercício em questão.

99

Questão 7:



O professor inicia apresentando o que o aluno não fez e o que ele fez de

incorreto “somou diretamente os denominadores”, sendo assim identificamos o

domínio KCS. Apesar de não ter compreendido a resolução do aluno e como

ele chegou em certos resultados, o professor, novamente, apresenta maneiras

diferentes de como o aluno poderia ter resolvido um mesmo exercício, portanto

o domínio encontrado é KCT de nosso referencial.

100

Questão 8:



A) identifica as duas dificuldades que o aluno pode ter encontrado ao resolver o

item ou regra de sinal, ou simplificação de frações. (KCS)

B) novamente o professor indica que a dificuldade do aluno seria a regra de

sinais ou entender a razão entre os números. (KCS)

D) aponta que o problema do aluno foi não reconhecer a dízima periódica como

pertencente ao conjunto dos números racionais. (KCS)

Em todas as alternativas em que o professor fez suas análises, o

mesmo, apesar de nos apresentar de maneira pontual em que momento o

aluno “acerta ou erra” os exercícios, o professor não nos apresenta nenhuma

nova estratégia para explicar determinado conteúdo. Sendo assim, não

indentificamos o domínio KCT.

101

Questão 9:



Novamente, faz uma análise bem minuciosa, em que identifica os erros

e acerto dos alunos, o que pode ter acarretado esses erros nos apresentando o

domínio KCS. E ainda há o que ele poderia fazer para facilitar essa resolução

que se enquadraria no domínio KCT.

102

Professor C

Questão 2:

Figura 39 – Resposta do professor C para a questão 2 dos erros


Quando se refere a regra matemática, o professor se refere a elevar a

fração a -1, podemos concluir isso, pois o mesmo deixa grifado em sua

resposta. Portanto, nos mostra em que o aluno errou e nesse caso o que ele

não sabe, apresentando assim o domínio KCS de nosso referencial.

Questão 3:



Ele identifica a dificuldade que o aluno tem em relação a representação

dos números racionais. Além disso, também nos apresenta de maneira pontual

o que o aluno sabe nos deixando claro o domínio KCS.

103

Questão 4:



O professor C, assim como o professor B, identifica a dificuldade na

interpretação da reta, talvez pelo motivo da mesma não estar na sua

representação mais clara, nos trazendo então uma dificuldade particular do

conteúdo quando ele é ensinado, nos apresentando o domínio KCT. Porém,

isso é uma possibilidade, como ele não nos deixa isso claro em sua análise

escrita, podemos identificar apenas o domínio KCS no momento em que ele

traz na sua fala a dificuldade particular do aluno.

104

Questão 5:



Quando se refere a regra matemática o professor se refere a elevar o

resultado a 2 novamente grifando em sua resposta. E esta é a única dificuldade

que ele acredita que o aluno apresente nesta atividade, ao apresentar a

dificuldade ou facilidade do aluno com este determinado conteúdo, dos

números racionais, identidicamos o domínio KCS.

Questão 7:



Acredita o professor ser um caso de desatenção, apesar dele não nos

pontuar o erro ou acerto do aluno, nem tão pouco um possível motivo para que

ele tenha cometido esse erro ou acerto, ele nos deixa um indício de que talvez

esse enunciado tenha sido apresentando de maneira que não facilitou a

compreensão dos alunos. Sendo assim, podemos identificar o KCS e também

o indício do domínos KCT, pois se em sua opinião este enunciado não está

claro aos alunos, ele provavelmente buscaria outra maneira (outra estratégia)

de apresentar este exercício aos alunos.

105

Questão 8:



Atenta-se ao fato de que ao mesmo tempo que o aluno acerta uma

alternativa, ele erra a outra que em sua opinião exige o mesmo conceito (KCS).

Questão 9:



Alertou que o aluno talvez não saiba a tabuada e novamente traz o

conceito de “regra matemática” como sendo a operação de divisão de frações,

o qual deixou grifado, assim nos apresenta o problema que o aluno encontrou

quando estava resolvendo tal exercício apresentando assim o domínio KCS.

106

Questão 10:



Aponta que a dificuldade do aluno em relação a raiz quadrada pode ser

o que tenha acarretado os demais erros, assim percebe-se o domínio KCS de

nossa análise. Uma vez que o professor, novamente, identifica uma “lacuna” no

conhecimento de seu aluno.

Questão 11:



Com relação aos números racionais, o professor identifica uma

dificuldade com a potência negativa, e ocasionado com que o aluno errasse o

restante do exercício, caracterizando ao nosso ver que o professor apresenta o

domínio KCS.

107

Questão 12:



O professor identifica que o aluno sabe multiplicar com frações, e

descreve a facilidade do aluno na multiplicação. Percebemos que também se

enquadra no domínio KCS, porém notamos também que ao tratar da divisão, o

mesmo já não se recorda do algoritmo de resolução, e fica claro, novamente, o

domínio KCT de seu conhecimento pedagógico nesta descrição.

Questão 13:



Apresenta o fato de que o aluno tenha uma certa facilidade para operar

com a radiciação, porém afirma que o aluno tem dificuldades para operar com

frações associadas com potencias de expoente negativo. Parece-nos que o

domínio KCS se aproxima dessa resposta, pois o professor reconhece os

problemas que os aluno encontra quando aprende tal conteúdo.

108

Nesse ponto de nossas análises, foi possível identificar algumas

questões que trouxeram uma reflexão comum aos professores como a questão

4 em que o aluno deveria localizar alguns pontos na reta numérica e, assim,

trazíamos os erros que ele cometeu quando resolvia esse exercício. Todos os

professores trouxeram a ideia de que o aluno encontrou mesmo a dificuldade

na interpretação da reta apresentada e da localização dos pontoas na reta, seja

por não conseguir visualizá-lo, como uma parte do inteiro, ou não conseguir

transformá-lo, em número decimais para facilitar o “posicionamento” do número

ou mesmo o fato de não ter conseguido interpretar a própria reta.

O fato, nesse exercício, é que identificamos o KCS dos três professores

em questão, acreditamos que isso ocorreu pelo fato de que esse realmente

seja um momento no qual os alunos comumente apresentarem dificuldade no

momento em que aprendem e carregarem tais dificuldades durante seu período

escolar.

Também identificamos questões que trouxeram reflexões completamente

diferentes para cada um dos três professores como, por exemplo, a questão de

número 7 em que o professor A acredita que seja um caso de dificuldade na

interpretação do texto pelo aluno que, em suas palavras, “não sabe interpretar

Português e nem Matemática”, já o professor B acredita que a dificuldade do

aluno seja nas propriedades operacionais de soma de frações, já o professor

C acredita que o aluno tenha se perdido no enunciado, pois os dados estão

apresentados em forma de fração e a pergunta é feita em total de carros.

Entendemos que as diferenças acontecem devido a vivência que o

professor tem nesse momento com a sua sala e as dificuldades frequentes

apresentadas pelos seus alunos, sabemos que esses conhecimentos KCS e

KCT são conhecimentos que emergem da prática, da vivência no cotidiano

escolar.

Muitas vezes o professor nos trouxe indícios do KCS, porém pouco foi

demonstrado sobre o seu KCT. Sendo assim, interpretamos que o professor até

identifica o erro do alunos, porém, não nos traz involuntariamente uma maneira

de “sanar” tais dificuldades, talvez pelo fato de não termos deixado claro a

necessidade dessa apresentação, no momento em que apresentamos a nossa

pesquisa e os nossos dados dos erros decorrentes do ensino dos números

racionais.

109

4.3 Análise do momento em que o professor cria suas questões, resolve

as questões do colega e as questões propostas pelo grupo de pesquisa.

Identificaremos aqui os tópicos mais importantes sobre o ensino dos

números racionais que os professores reconheceram, além disso, elencaremos

quais domínios do MKT foram demonstrados pelo professor em sua fala.

Nesse momento, traremos a apenas as falas dos professores nas quais eles

nos apresentam tais domínios. Lembrando que não analisamos os 6 domínios

do MKT, nosso olhar foi voltado apenas a dois destes domínios.

4.3.1 Professor A

No primeiro encontro, solicitamos que o professor criasse três problemas

considerados pertinentes para aplicar aos alunos quando estivesse trabalhando

o conteúdo dos números racionais, são esses os exercícios, segundo a fala do

professor A:


“Este primeiro exercício eu já percebi que apareceu em quase todos os

blocos de exercícios que você me trouxe hoje, mas quando eu elaborei os

exercícios que eu utilizaria a única diferença é que eu daria a reta já com as

escalas. Bom e daí segue o mesmo esquema, divido o numerador da fração

pelo denominador e encontrar os pontos na reta. Aqui também é necessário

atentá-los aos números que o resultado da divisão é negativo assim eles vão

prestar mais atenção”.

Domínios do MKT: KCS, o professor destaca a necessidade de preparar

os alunos para a propriedade divisão de números inteiros, pois é um

procedimento normalmente esquecido por eles. KCT, o uso de uma escala

110

clara é uma estratégia que o professor utilizaria para melhorar o entendimento

dos alunos no caso de um exercício deste tipo.


“Bom aqui é uma expressãozinha, eu gosto muito de exercícios deste

tipo pois podemos “treinar” vários conteúdos. Na letra a o mais importante é

observar se ele vai fazer a subtração corretamente, pois 5 – 14 = – 9 e não 9, e

após isso quando for dividir o 27 terá que recordar que tem a regra de sinal. Na

letra b não tem muito segredo, ele vai fazer o cálculo da raiz e depois disso a

subtração e a divisão por último”.

Domínios do MKT: KCT, novamente o professor apresenta um momento em

que nos deparamos com uma dificuldade do aluno que vem desde o ensino

dos números inteiros e reflete no do ensino dos números racionais, a regra de

sinais quando for dividir. A fala do professor A deixa clara a identificação desse

domínio.


“Nesta última seria para trabalhar principalmente o MMC. Na letra „a‟ eles terão

que observar que abaixo do 2 está o 1 e daí fazer o MMC entre os

denominadores e depois dividir pelo de baixo e multiplicar pelo de cima. Eu não

sei o porquê, mas isso não entra na cabeça deles de jeito nenhum. Se eles

lembram de fazer o MMC e não somente ir somando ou subtraindo os

denominadores eles não vão lembrar de dividir pelo de baixo e multiplicar pelo

111

de cima. Eles se perdem nessas regrinhas”.

Domínio do MKT: KCS, quando o professor atenta ao momento que

terão que recordar que a representação fracionária do número dois é feita

colocando o 1 como seu divisor e também quando o professor nos alerta ao

fato de que os alunos encontram muitas dificuldades ao fazer esta operação de

soma de frações. Já na fala do professor “mas isso não entra na cabeça deles

de jeito nenhum”, talvez seja porque “isso” não tenha significado algum para o

aluno. Trata-se de uma “regra” totalmente mecânica e que, para o aluno, não

faz nenhum sentido, destacando neste momento uma lacuna do KCT.


“Na letra b o que acontece muito é que eles primeiramente esquecem de

colocar o denominador no 5, aí depois de transformar o número decimal 0,2 em

fração para poder “operar” corretamente. Bom e depois disso é tudo aquilo que

eu já falei sobre o MMC e todas as regrinhas que eles sempre esquecem de

fazer”.

Domínio do MKT: KCT, o professor nos traz uma dificuldade que o

conteúdo apresenta em suas propriedades operacionais, podemos interpretar

novamente esse momento como sendo uma lacuna do KCT, pois o professor

não nos mostra como poderíamos trabalhar com esta dificuldade por exemplo.

Agora o professor A irá resolver os exercícios propostos pelo professor B:


“Aqui eu iria fazendo um por um, mostrando que para eles localizarem um

112

ponto na reta é só fazer a continha de divisão e transformar em número

decimal. Eu acho que para eles é mais fácil transformar a fração em número

decimal do que fazer as subdivisões na reta e colocar o número lá. Eles

dificilmente entendem que por exemplo 8

4 é o mesmo que 2. Claro que é muito

importante que eles entendam isto, só que as vezes eu opto pela parte prática

por ter a certeza que eles vão já entender do que explicar coisas que geram

mais dúvidas”.

Domínio do MKT: KCS, o professor nos diz que o aluno teria dificuldades

em encontrar o número em sua representação fracionária na reta e também de

identificar uma fração como um número inteiro no caso do 8

4. No outro

momento de sua resposta, identificamos uma lacuna no KCT do professor, pois

ele nos diz que poderia usar outros exemplos, porém, às vezes, utilizar esses

outros exemplos pode ser mais complicado.


113

“Esse do retângulo, deixa eu ver... na letra „a‟ já está na cara né, ele vai pintar 1

dos 36 quadradinhos. Na próxima parte ele vai ter que pensar, e dividir 36 por 4

e depois multiplicar por, e para achar 1

9 a mesma coisa, divide 36 por 9 e

multiplica por 1. Na letra „b‟ a resposta ja esta na a. Na „c‟ é só somar tudo que

pintou. Na letra „d‟ seria no que eles teriam mais dificuldades pois entra o MMC

e isto acaba confundindo eles com a parte que divide pelo de baixo e multiplica

pelo de cima. Na „e‟ é só ver o que ficou em branco!”.

Domínio do MKT: KCS quando nos diz que o aluno, nos primeiros itens,

já teria facilidade de identificar uma parte do todo no desenho e quando nos

descreve novamente uma dificuldade muito frequente do ensino dos números

racionais que é a soma de frações (adição ou subtração).

O professor A recebeu os exercícios elaborados pelo grupo do OBEDUC

(grupo no qual a pesquisadora fez parte durante toda a elaboração dessa

pesquisa), em que ele também irá nos dizer como ele resolveria.


“Na primeira aqui é a mesma coisa, vou fazendo as divisões e localizando os

pontos. Aqui teria que chamar a atenção deles para os números negativos

também”.

Domínio do MKT: KCs, novamente o professor nos alerta a necessidade

de fazer a conversão do número em sua representação fracionária para a sua

representação decimal, pois os alunos encontram muitas dificuldades em

identificar na reta o número em sua representação fracionária.

114


“Na segunda, a metade da metade... bom pediria para eles encontrarem a

metade, após isso, encontrar a metade deste resultado novamente. Assim,

encontrariam a resposta eu acho”.

Domínio do MKT: O professor acredita que este exercício não traria

grandes dificuldades para o aluno, logo, isto também caracteriza-se de KCS,

afinal, o professor reconhece a facilidade do exercício também.


“Este exercício é bem complicado, mas eu utilizaria frações sim! Primeiramente

seria a divisão dos chocolates em 5 crianças. O pedaço que sobrou seria 1 de

6, logo 1

6 do chocolate. Bom tudo certo e até agora eles teriam

1

6 cada um e

teria sobrado 1

6 do chocolate. Esse

1

6 que sobrou eles iriam dividir entre eles,

ou seja, dividir por 5, então seria 1

6∶ 5 . E a partir daqui iria relembrar com eles

as propriedades e regras de divisão de fração por um número inteiro que é

115

manter a 1ª fração e multiplicar pela 2ª fração invertida, e daí o resultado seria

1

30.”

Domínio do MKT: KCT quando o professor afirma que utilizaria o

conteúdo de frações para a resolução do exercício e explica como ele utilizaria.

E também o KCS, o professor atenta ao fato de que precisaria recordar com os

alunos as propriedades de divisão de frações, pois é um procedimento

comummente esquecido pelos alunos.

4.3.2 Professor B

Quando iniciamos nosso segundo procedimento, o encontro ocorre

como de costume: Na escola na qual o professor leciona e, antes mesmo de

começarmos a resolução dos exercícios, encontramos indícios no discurso do

professor que acreditamos apresentar os domínios KCS e KCT desse

professor. Logo após, ele começa a discursar sobre os três tipos de exercícios

que ele utilizaria para ensinar os números racionais. Apresentaremos partes

desse discurso nas respostas a seguir:


“Então na letra „a‟ eu utilizaria este conceito pois eu acho que quando a gente

está trabalhando é fundamental então essa ideia da fração como medida, a

fração como subunidade de inteiros, a fração como quociente, como operador

e como razão. Quer dizer então a gente tem várias possibilidades de

representar a concepção de fração e eu acho dentro deste contexto que é

importante trabalhar com os alunos por exemplo: eu tenho 3

4,

3

4 pode ser o

que? 3

4 pode ser medida,

3

4 de farinha, ou pode ser no exercício anterior (o caso

116

da hora) entendeu?”

Domínio do MKT: KCT, nesse momento o professor nos apresenta a

importância de deixar bem claro a concepção de fração, a que estou me

referindo como parte de algo. O professor acredita que para o ensino de

frações é muito importante a contextualização para tentarmos suprir as

necessidades e dificuldades dos alunos.


“Eu invento muita coisa na hora, eu elaboro a questão porque eu não tenho

muito formalizado as questões é porque tem tantas. Eu invento muita coisa na

hora, você vai ver naquela pergunta de livro didático eu quase não uso, eu

gosto de mobilizar as vezes os próprios conhecimentos que surgem na sala eu

não gosto de ficar muito preso a modelos né, eu crio na hora. Coloquei para

você assim as ideias, só em relação a parte todo que tem um exercício que eu

gosto muito. Por exemplo: A mãe sai de casa e deixa certa quantia em dinheiro

e um bilhete dizendo para os três filhos: ó reparta igualmente entre vocês. Ai o

1º filho chegou, viu o dinheiro lá e achou que ele era o 1º e pegou 1

3 e saiu, o

2º achou que ele era o 1º também né e pegou 1

3 e saiu, e o último achou que os

dois de fato já haviam pegado, pegou o que sobrou e saiu, tinha 40,00. Ai a

pergunta é quanto cada um pegou? Então acho que essa ideia de parte todo

fica legal trabalhar através desse problema”.

Domínio do MKT: O professor nos apresenta o domínio KCT quando nos

diz que “mobiliza as vezes os próprios conhecimentos que surgem na sala”

trazendo a ideia de buscar estratégias e exemplos de ensino embasadas ou

referenciadas nas dificuldades que surgem em sala de aula.

117


“A última é da ideia que eu trouxe de Durval, pois, na concepção de

Durval a aprendizagem só ocorre se o aluno mobilizar pelo menos duas

representações do que ele está estudando”.

Domínio do MKT: KCT, nesse “exercício” o professor se refere a

utilização da reta numérica. A importância de que o aluno entenda e visualize a

sua representação fracionária na reta, porém, que ele conheça outras maneiras

de localizar este mesmo número na reta pois isto faria com que tais

dificuldades fossem sanadas com a prática dos exercícios.

Então ele recebeu a folha com os exercícios propostos pelo professor C

para resolver:


“Bom 45 minutos em relação a uma hora, vai ter que representar isso em

termos de fração e depois 15 minutos ou 45 minutos em 1 hora. Então vamos

lá, primeiro aqui ele teria que ter a ideia dessa proporção aqui né 60 para 45 né

ele teria que começar falando que a representação aqui seria 3

4 né como o

aluno vai chegar nisso né, então se ele sabe que 60 é 1 hora então quanto

118

representaria 45 em relação a 1 hora né para ele chegar nessa representação

seria imaginar então a própria hora aqui com os múltiplos também então 45 min

a gente pode pensar em quais múltiplos de 5 de 10 ai a ideia aqui seria chegar

no de 15 e mostrar para eles então acho que seria mais fácil para eles

chegarem na representação e ai a mesma coisa com a letra b. Eu ainda

colocaria ao contrário aqui porque se ele identificar aqui que isso é 1

4 fica mais

fácil para 3

4 e eu trabalharia nessa linha.”

Domínio do MKT: KCT, o professor identifica que se for resolver tal

exercício utilizando o conceito de múltiplos facilitaria o ensino para os alunos, e

também traz a ideia de inverter o item „a‟ com o item „b‟, afirmando que

facilitaria o entendimento dos alunos.


“Bom o segundo eu vou ser bem sincero eu mobilizo logo de cara o

procedimento de manter a primeira fração e inverter a segunda. Porque eu

acho que eles não entendem de outra maneira e é uma maneira deles

entenderem quer dizer eu nem sei se é uma maneira deles entenderem mas

deles conseguirem mobilizar ali o que eles precisam fazer que é a divisão de

fração ali você entendeu? Eu até tento explicar o conceito que está por trás

mas a falta de interesse é tanta que eu tento passar o procedimento e é uma

coisa que pode auxiliar na prática então aqui seria o procedimento mesmo”.

Domínio do MKT: KCS, o professor acredita, baseado em experiências

anteriores, que o aluno tenha mais facilidade em compreender um

119

procedimento já “imposto” pelo professor e também identificamos o KCT pois o

professor em suas palavras “até tenta explicar o conceito que esta por trás

deste procedimento”, sendo assim, o professor acredita que trazendo um

procedimento facilitará aos alunos o entendimento, fazendo com que eles

conseguissem resolver o exercício. Como o professor afirma isso a partir de

sua tentativa e não só “acha” que deve dar certo ou não dar certo, podemos

identificar aqui o domínio KCT de seu conhecimento que relembrando trata-se

do “conhecimento do conteúdo no momento em que ele será ou esta sendo

ensinado”.


“E calcule as expressões numéricas, bom aqui mostraria para eles a

necessidade de..., inclusive naqueles exercícios que você passou tinha muitos

desses, vários erros dos alunos em relação a isso né as operações

principalmente de adição e subtração com denominadores diferentes eu ia

mostrar para os alunos que ó sempre... não é uma mágica por que a gente faz

o mmc? Ai eu pego aqui por exemplo 4 e 2 vamos pegar os múltiplos de 2: 2, 4,

6,... . Agora os de 4: 4, 8, 12,... , agora vamos olhar aqui entre os múltiplos qual

é o mesmo que é comum entre os dois ai eu faço eles verem e assinalarem.

Vocês estão vendo que tem vários? Na verdade, a gente poderia usar qualquer

um desses comum ai mas a gente usa p mínimo por que? Por que é o mais

simples quanto menor é um número, mais fácil da gente trabalhar ai vou lá faço

um esqueminha da representação, então se eu represento 3

4 como que eu

penso em subtrair isso ou somar sendo que são partes diferentes e ai chega no

MMC mostro para eles e falo ah tem um procedimento que nem sempre é fácil

120

de fazer essa ideia dos múltiplos até porque as vezes tem números e tal e ai

que está a ideia, sabe calcular mas por que está calculando aí eu mostro para

eles que a gente tem agora duas frações que são equivalente ou seja as duas

representariam a mesma coisa só que agora a gente tá falando de partes

iguais aos dois faço até o desenho então ó tá vendo eu vou pegar é sei lá 1

4 e

2

8

que é exatamente a mesma coisa dai faço a representação. Então aqui eu faria

isso e mostraria o resultado e então o restante seria mais a parte

procedimental”.

“E a letra „b‟ aqui, a gente já tá trabalhando com a representação decimal,

mostrar para eles que aqui resultaria 0,2 e isso ao quadrado, ah isso é

interessante eu gosto muito desse tipo de exercício né porque quando a gente

trabalha com produto de decimal é difícil eles entenderem que isso tende a ser

um número menor e é difícil, porque na multiplicação sempre tende a ser um

número maior principalmente quando estamos falando de naturais como que

pode 0,2. 0,2 dar 0,04 né então é um problema. Esse é bem interessante e

aqui ficaria bem nessa linha mesmo né de fazer a operação, multiplicar e ai eu

ia atentar justamente nessa parte mostrando para os alunos que quando a

gente trabalha com decimal os números tendem a diminuir”.

Domínio do MKT: KCT, o professor usa o conceito de frações

equivalentes, pois acredita que isto seria mais fácil do que apenas apresentar o

MMC. KCS é outro domínio que identificamos, dada a dificuldade frequente dos

alunos em entender que a multiplicação de números decimais é diferente nos

números inteiros, ao trazer como resultado um número menor (ou maior) do

que tínhamos.

Dando sequência ao nosso estudo, nesse momento, entregamos ao

professor os exercícios elaborados pelo grupo do OBEDUC, em que ele

também irá nos dizer como ele resolveria.

121


“Aqui os alunos complicam muito, porque eles não entendem o fato de que o -1

é maior que -2 né, eles tendem a colocar um antes do outro, então aqui é 1

4 né

subdividiria em 4 partes então o -1,25 estaria mais próximo do -1 que do -2.

Com o 1

3 mesma ideia, eu teria que ter a ideia queé positivo e eu diria para eles

ó estou dividindo 1 inteiro em 3, eu tento voltar muito lá nas ideias iniciais da

fração né. Representação nas ideias iniciais da fração né. Representação de o

que é 1

3 ? É o todo dividido por 3 né? O 2,00 espero que o aluno entenda que é

2. Aqui volta para a ideia que eu gosto de trabalhar, 6

2 é 3 né dá a ideia clara

para o aluno. − 8

5 é interessante se eu for trabalhar na ideia da razão eu tenho

1 inteiro + 3

5 né então eu teria que pensar numa subdivisão de 5 partes e aqui

esta bem complicado pois não esta subdividido, eu gosto de dar subdividido

para ele não ficar perdendo tempo nisso, eu acho que facilita né, certo? 5

2 dois e

1

5 então e

3

2 dois e

1

2. Então é essa ideia, a relação com o inteiro eu acho,

importante por isso que sempre eu vou buscar fazer desta maneira ele vai

entender que 6

2 é 3. Essa ideia de varias representações para um mesmo

número é importante, mas as vezes eles não pegam. Mas assim, a maneira

que eu fiz é como eu explico”.

Domínio do MKT: KCT pois o professor identifica várias dificuldades que

esse exercício apresenta, no fato de posicionar os números na reta, por

exemplo, nesta fala “aqui esta bem complicado pois não esta subdividido, eu

gosto de dar subdividido para eçe não ficar perdendo tempo nisso”. E aqui fica

claro uma estratégia que o professor utilizaria como facilitadora para ensinar

este conteúdo. Também identificamos o KCS, o professor nos traz o fato de

122

que os alunos se complicam quando vão posicionar um número negativo na

reta, ou seja, com o fato de que quanto maior for o valor absoluto um número

negativo, menor ele será, e estará mais distante da origem.


“Então a gente tem aqui 144, aqui eu trabalharia direito a ideia de proporção

mesmo tá? Então 1 pacote de farinha de 1,5 eu consigo fazer 144 cupcakes,

eu quero fazer 180 quanto vou precisar seria o x e resolveria esta regra de

três”.

Domínio do MKT: O professor opta por abordar o exercício utilizando o

conceito de proporção pois acredita que seja de melhor compreensão para o

aluno moblizando seu domínio KCT. Porém, o professor se preocupa em

resolver o exercício e com isto não nos traz nenhuma dificuldade os alunos

teriam quando fosse revolvê-lo, não mobilizando o KCS neste momento.


“Aqui tem a ideia de racional envolvido? Porque é múltiplo né, não sei talvez se

123

fosse uma quantidade mínima não sei. Mas eu acredito que a maioria pensaria

ou eu acredito que a maioria pensaria ou eu faço 60

20 que é 3, ou eu penso na

3.20 = 60 porque o aluno já pensa ao contrário né?”

Domínio do MKT: KCS o professor nos diz a maneira como o aluno

pensaria ao resolver determinado exercício, mesmo não trazendo uma

dificuldade direta deste aluno, e quando o professor pensa como o aluno, este

nos apresenta um KCS. Acreditamos ser necessário que o professor resolva a

questão para que possa identificar quais dificuldades os alunos teriam ao

resolvê-la.


“Tem que lembrar que é o Flávio e o irmão já são 2 pessoas, aí chegou mais 3

então são 5 e a divisão já é por 5 pessoas. Bom eu tô com um problema nesse

exercício, ele não fala todo o chocolate então eu vou tentar mostrar para os

alunos e pelo conhecimento deles já iam pensar primeiramente 1 pedaço para

cada, bom vai sobrar 1 pedaço e esse terá que ser dividido em 5 ou em

representação numérica daria para aprofundar mas se não seria assim (vide

folha). Então aqui é cada um deles eu já tenho 1

5 deixaria isso claro para o

aluno, cada pedacinho é 1

5 e ainda sobrou 1 pedaço que esse pedaço de

1

6 vou

dividir por 5. Então eles comeram 1

5 mais outra fração que vou encontrar no

1

6∶

5. Eu trabalharia assim, eu gostei do exemplo”.

Domínio do MKT: Podemos verificar um certo KCS do professor no início

de sua fala quando diz que precisamos nos atentar ao fato de que os alunos as

124

vezes contam o número de pessoas do problema incorretamente, porém na

resolução do exercício o professor já não apresenta mais nenhum dos

domínios.

4.3.3 Professor C

O professor inicia nossa conversa informando que por se tratar de uma

5ª série (6º ano) o exercício sobre reta numérica (que foi proposto pelo grupo

OBEDUC), pois não foi apresentado aos alunos ainda o conteúdo dos números

inteiros. O professor também nos diz como é sua rotina de aula:

“Primeiro de tudo eu dou o conteúdo, aí depois eu passo os exercícios que

nem, por exemplo, este da hora (apresentaremos o exercício mais a frente),

então antes de passar esse exercício de hora eu já estava no meu textinho

falando alguma coisa de hora então, daí eu passo os exercícios normalmente

são 5 exercícios e eles vão fazendo se tem dúvida vem me perguntar. Se

houve muita pergunta eu faço uma devolutiva maior, se não houve eu

simplesmente vou lá e faço a correção”. Neste momento já podemos identificar

o domínio KCT do professor uma vez que quando através das dúvidas

apresentadas pelo aluno, ele volta ao exercício reexplicando – o e dando uma

devolutiva aos seus alunos.


“Bom, então ele já sabe que tem 60, então a ideia é ele além de saber

representar então ele vai saber que 60é o número que está aqui é o número de

125

baixo e é o denominador e que o de cima é o 45 e que existe uma regra para

ser feita essa simplificação e o aluno também já sabe disso. Porque está no

enunciado, por exemplo, 60 minutos então para ele já está que é os

denominadores porque o denominador não é sempre o todo e aqui no de 15 é

a mesma coisa e aí ele iria fazer a simplificação. Normalmente na 5ª série eles

vão por tentativa e erro, então como eles viram MMC, MDC e divisibilidade eles

vão olhando aqui e colocar logo de cara o 5, pois para eles o conteúdo tá

recente, tá prático”.

Domínio do MKT: KCS, nesse caso o que nos leva a identificar tal

domínio está no fato desse professor relatar como o aluno pensaria para

resolver o exercício.


“Aqui eles viram que para resolver fração sobre fração e eles também viram

pelo enunciado é uma divisão, pois sempre fração é uma divisão, então apesar

de estar colocado dessa forma muitas vezes eu tenho que voltar a lembrá-los

que eu coloco sempre grande para eles lembrarem que ali é uma divisão, pois

na fração não existe divisão então você copia a primeira, inverte o sinal e o

inverso da operação e inverte o número que vem depois e aí sim você vai

resolver o exercício por multiplicação”.

Domínio do MKT: O professor nos diz que “muitas vezes eu tenho que

voltar para lembra–los” em determinado conteúdo então identificamos o seu

KCS. E consequentemente seu KCT quando o professor relata que é preciso

lembrar aos alunos quando se trabalha com operações com frações e sempre

“coloca bem grande para eles lembrarem que ali é uma divisão” nos

apresentando uma estratégia para facilitar a compreensão dos alunos.

126


“Então na letra a só tem “menos”, “mais” e “dividido” e na letra b ele vai ter que

ver a potência também. Então aqui ele vai ter que lembrar que ele vai fazer o

MMC primeiro antes de ir para o número, de ir para a operação, aqui também

depois na divisão ele vai ter que lembrar que ele vai ter que fazer o inverso. E

aqui na letra b primeiro ele resolve a conta de “menos” e depois faz a potência

e depois a multiplicação”.

Domínio do MKT: KCT, novamente, o professor demonstra o que o aluno

vai ter que lembrar, mas não no sentido de como ele pensaria, mas sim no

sentido do que o professor precisaria revisar com o aluno no momento em que

ele resolve o exercício.

Nesse momento, é entregue as questões do professor A. O professor já

avisou que as duas primeiras questões não conseguiria utilizar no caso dos

seus alunos pelo motivo já explicitado acima, então apresentaremos as demais

questões:


127

“Esse primeiro exercício eles até tentariam fazer, mas eles teriam um pouco de

dificuldade por conta do tamanho do enunciado, porque a 5ª série você tem

que se preocupar com isso também, assim como quando vem a avaliação

diagnóstica do estado...as vezes é melhor para eles, um enunciado mais

enxugado assim. É ruim pois lá na frente eles vão ter dúvidas só que eu jogo

de vez em quando, as vezes eu dou trabalho de resolução de problemas e aí

eu dou 10 probleminhas e aí tem sempre lá 1 ou 2 com enunciado grande”.

Domínio do MKT: KCS, o professor apresenta uma dificuldade bem

comum dos alunos mais novos em sua opinião, eles não conseguiriam se

concentrar o suficiente por conta do tamanho do enunciado. Quando nos traz

em sua fala que “as vezes é melhor para eles, um enunciado mais enxugado

assim” podemos identificar um indício do seu domínio KCT, pois ele tenta

facilitar a compreensão do aluno, porém, é uma medida que não soluciona

totalmente o problema pois quando os alunos se deparam com a avaliação

diagnóstica do estado, os alunos não conseguem resolver os exercícios nos

apresentando então uma lacuna em seu domínio KCT.

128


“A terceira está tudo claro por conta de ser o retângulo, está dividido em três

partes aí depois ela vem com as perguntas. Então ela manda pintar 1

36 , então

ela pinta o quadradinho e outra é essa parte de pintar pois veio com eles do

ensino fundamental I então essa parte de identificar é fácil então como a gente

começa com fração com eles é a gente sempre volta muito com eles numa

parte do desenho, como barra de chocolate, pizza, para mostrar a realidade

para eles então acredito que eles não teriam dificuldade . O que ia pegar aqui

na letra d na parte do cálculo que vai envolver MMC”.

129

Domínio do MKT: KCT, o professor diz que os alunos tem uma facilidade

com a representação mais visual de frações, já para calcular o MMC, ou seja, a

soma de frações eles encontram muita dificuldade mobilizando também o

domínio KCS neste momento.

Agora o professor C recebeu os exercícios propostos pelo grupo para resolvê-

los:


“Eu acho que eles ficariam com dificuldades de interpretar isso aqui circule a

metade da metade do conjunto de moeda, então eu teria que falar para eles

que ele tem que observar que tem 4 moedas e que não é só ver que tem a

metade, mas a metade da metade né. Eu acho que seria por aí que eu iria

trabalhar”.

Domínio do MKT: KCS, novamente o professor traz a dificuldade dos

alunos de interpretar o enunciado, porém, aponta exatamente em que e

quando essa dificuldade é encontrada e apresenta como faria para trabalhar

esse exercício com os alunos.


130

“Este exercício eles vão saber fazer porque eles estão vendo viram e aí eu

acredito que eles não tiveram problema de fazer eles sabem que o pacote de

farinha de 1 kg e meio, aqui ele poderia entender que ela vai precisar de 2

pacotes só que vai ser muito né então eles iriam por tentativa também né

porquê de 144 cupcakes, 180 ele vai precisar de mais 36 cupcakes só que né

então que 1 kg e meio de farinha vai ser muito, então visualizar isto para eles

para que eles possam fazer a continha. E aí então na correção com eles eu

faria 144 – 180 que vai dar os 36 né e aí aqui 1 kg e meio de farinha teria que

transformar né para ficar mais fácil deles interpretarem por grama para depois

eles dividirem daí eles fariam a divisão para ver quanto que vai utilizar dessa

farinha e esses 36 cupcakes. Então se eles fizerem 36 dividido por 1,5 teriam

que lembrar as regras das continhas com números decimais, igualar as casas e

etc.”.

Domínio do MKT: KCS, os alunos acabaram de aprender esse conteúdo,

e o professor afirma que eles teriam facilidade com o exercício. KCT, o

professor nos diz que precisaria lembrar os alunos de como se faz para operar

com números decimais, pois acredita que essa seria uma dificuldade que os

alunos apresentariam quando estivessem resolvendo este exercício que deve

ser retomada.


“Aqui a mesma coisa, porém precisaria de 4 ônibus, pois se cabem 20 em cada

ônibus e chegam mais 15 precisará de 4 ônibus, então daí vai sempre na

mesma linha. Então aí eles precisariam estar conectados com o item „a‟ e „b‟

para poder fazer senão eles vão pensar o que: mais 15 vai precisar de 1 ônibus

né? Precisa mostrar para eles que são 2 ônibus”.

Domínio do MKT: Apesar de somente resolver o exercício, o professor

nos alerta o fato de que provavelmente teria que lembrar os alunos que não

existe a possiblidade de se ter meio ônibus, por exemplo, o que muitos deles

poderiam responder. Identificamos o KCS, pois a professor pensa como

131

pensariam seus alunos.

Feitas nossas análises, apresentaremos abaixo uma breve síntese dos

domínios apresentados pelos professores e uma conclusão inicial da resposta

da nossa questão de pesquisa que foi: Como se apresenta o conhecimento

pedagógico do conteúdo dos professores de matemática durante a sua prática?

Professor A

O professor A, apesar de ser um professor com muitos anos de prática,

pouco nos apresentou em relação os domínios do MKT descritas por Ball,

Thames e Phelps (2008). O professor em questão acredita que muitas das

dificuldades dos alunos vem da falta de interesse pela matéria e também da

preguiça de pesquisar e aprender mais sobre o tema.

Quando encontrou dificuldades de ensinar os números racionais, por

conta das “regrinhas”, parou com esse conteúdo e partiu para o próximo. O

professor acredita que na matemática um conteúdo está ligado ao outro, e que

muita coisa pode ser feita e explorada, porém já está cansado de tentar e não

conseguir a atenção dos alunos.

Devido à falta de estímulo, esse é um professor que não demonstour

não explorar os domínios propostos. Acreditamos que tais domínios se

apresentam e se aperfeiçoam com o tempo. A ausência de estímulos do

professor, muitas vezes, ao invés de tentar melhorar suas aulas, por exemplo,

buscando reconhecer a origem das dificuldades dos alunos (KCS) e, assim,

procurar métodos para ensinar melhor o conteúdo, dificilmente conseguirá

aprimorar o seu conhecimento matemático para o ensino.

Professor B

O professor B nos apresentou em todo o seu discurso, e em muitos

momentos em que resolvia, criava ou reconhecia os erros nos exercícios os

domínios do MKT. Acreditamos que esses elementos emergiram durante

nossos encontros pelo fato desse professor ter continuado seus estudos e

132

aperfeiçoamentos na área da Educação Matemática, porém esse não é o foco

da nossa pesquisa.

O professor B sempre se dispõe, diante da dificuldade do aluno,

relacionar os diferentes temas a que um conteúdo matemático possibilita e, no

caso, os números racionais, identifica qual o problema do aluno e reconhece

exatamente e, muitas vezes previamente, a dificuldade que ele encontrará

quando for ensinar determinado conteúdo (KCS).

Quando está ensinando ou criando, resolvendo e corrigindo exercícios

de determinado conteúdo, o professor é capaz de reconhecer as dificuldades

que esse conteúdo apresenta quando é ensinado (KCT). Um fato importante é

que em um dos nossos encontros o professor traz essa fala: “... o que difere o

professor de um qualquer é que ele sabe recorrer a uma fonte, estudar aquilo e

consegue transmitir aquele conhecimento de uma maneira que seja ensinável

para seus alunos”. Esta fala do professor evidencia-nos o que Shulman (1987)

definiu como sendo uma das facetas do PCK.

Professor C

Esse professor, desde o nosso primeiro encontro, se assumiu com

grandes dificuldades com relação a matemática e seu ensino. Ele nos disse

que muitas vezes não lembra mais como ensina determinado conteúdo, mas

que vai aprender antes de ensinar. Podemos ver no nosso capítulo de análise

que durante nossos encontros e conversas com este professor, o mesmo

apresentou alguns domínios do MKT, principalmente no que se diz respeito às

dificuldades que determinado conteúdo apresenta quando é ensinado (KCT).

Gostaríamos de ressaltar que observamos, durante as nossas análises,

diversas evidencias dos outros domínios de Ball, Thames e Phelps (2008),

como o CCK, SCK por exemplo, porém, esses domínios não estão presentes

em nosso objetivo de pesquisa. Bem como identificamos alguns dos domínios

KCS e KCT em alguns dos dados coletados, porém, como dissemos no início

do capítulo, esses não se apresentaram de forma clara, sendo assim não

trouxemos as análises dos mesmos.

133

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS E REFLEXÕES

Nesse capítulo apresentamos uma breve síntese da nossa pesquisa, na

qual destacamos a nossa questão de pesquisa, as principais ideias do aporte

teórico e a metodologia utilizada. Na sequência, apresentamos as conclusões

com foco no desempenho dos professores da educação básica no que diz

respeito aos conhecimentos que os professores apresentaram ao analisar erros

decorrentes do ensino dos números racionais e ao preparar e resolver

atividades propostas sobre esse tema.

Diversas foram as vezes em que apresentamos e afirmamos que para

desenvolver um bom trabalho em sala de aula, quando se ensina Matemática,

o professor precisa apresentar alguns conhecimentos específicos que são

complementares ao conhecimento comum das estruturas matemáticas dos

algoritmos.

De acordo com os parâmetros curriculares nacionais (PCN, 2007), os

alunos começam a trabalhar com os números racionais de maneira intuitiva no

início do segundo ciclo, quando estudam os números naturais. Desse modo, os

alunos têm oportunidade de ampliar ideias e procedimentos relativos à

contagem, comparação, ordenação, estimativa e operações que os envolvem.

Pela análise das regras de funcionamento do sistema de numeração

decimal, os alunos podem interpretar e construir qualquer escrita numérica,

inclusive a dos números racionais na forma decimal.

Notamos ainda que o trabalho com os números racionais se estende até

os anos finais do segundo ciclo, sempre tendo como objetivo principal levar os

alunos a perceberem que os números naturais, já conhecidos, são insuficientes

para resolver determinados problemas.

Os alunos, explorando situações em que usa apenas números naturais,

não conseguem exprimir a medida de uma grandeza ou o resultado de uma

divisão, desse modo, tais sujeitos identificam nos números racionais a

possibilidade de resposta a novos problemas. A construção da ideia de número

racional é relacionada à divisão entre dois números inteiros, excluindo-se o

caso em que o divisor é zero. Ou seja, desde que um número represente o

quociente entre dois inteiros quaisquer (o segundo não nulo), ele é um número

racional. Como nesse ciclo trabalha-se apenas com os naturais e ainda não

com os inteiros negativos, os números racionais são quocientes de números

134

naturais. No entanto, em que pese às relações entre números naturais e

racionais, a aprendizagem dos números racionais supõem rupturas com ideias

construídas pelos alunos acerca dos números naturais, e, portanto, demanda

tempo e uma abordagem adequada.

No Brasil, a Educação Matemática teve início a partir do Movimento da

Matemática Moderna, mais precisamente, no final da década de 70 e durante a

década de 1980. Nesse cenário, temos o surgimento da Sociedade Brasileira e

Educação Matemática (SBEM) e os primeiros programas de Pós-graduação em

Educação Matemática. É possível afirmar que, no início do século XXI, a SBEM

já possuía 12 mil associados e, nesse período, podemos verificar a existência,

no Brasil, de quase 20 programas de Pós-graduação que formam

pesquisadores na área de Educação Matemática.

Em dezembro de 2001, surge a área de ensino de ciências e matemática

na Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes),

denominada área 46 e em dezembro de 2003 essa nova área já apresentava

uma extensa relação de programas aprovados.

Tais informações nos permitem conhecer de maneira mais profunda a

necessidade do contínuo estudo sobre o ensino da matemática, inclusive na

formação continuada do professor de Matemática.

Esse estudo teve como foco principal a unidade temática na formação

continuada de professores, com o tema dos números racionais. Pesquisar

sobre tal formação nos permitiu uma relação bem próxima e particular com

essa área, inclusive, nos fazendo inúmeras vezes repensar a nossa própria

prática como professores da área.

Nossa metodologia de trabalho foi de cunho qualitativo e com isso nos

foi proporcionada a convivência diária com professores e uma grande

proximidade com as suas práticas, na qual elaboramos roteiros de entrevistas e

momentos em que nos foi proporcionados discussões e debates sobre

assuntos como erros dos alunos ou até mesmo o porquê da escolha de

determinado exercício para o ensino dos números racionais.

A pesquisa toda ocorreu em parceria com o projeto do OBEDUC,

inserido na UFABC, projeto esse sob a coordenação do professor doutor

Alessandro Jacques Ribeiro, em que tratamos durante esses dois anos de

assuntos diversos, e um deles foi o ensino de números racionais. A partir deste

135

grupo nos foi possível aprofundar e ampliar nossas discussões e materiais de

coleta de dados sobre o tema.

Juntamente com o grupo do OBEDUC, nós temos defendido e

pesquisado as ideias de pesquisadores como Lee Shulman e Deborah Ball,

reconhecendo que o conhecimento matemático é uma componente relevante

da formação de um professor de Matemática; porém, embora necessária, só

esse componente não é suficiente. Aos professores não basta somente

dominar os conteúdos técnicos de sua matéria, mas sim conhecer as suas

particularidades e as dificuldades desse ensino.

Durante o nosso capítulo de análise de dados procuramos por

elementos que nos permitisse responder a nossa questão de pesquisa:

Como se apresenta o conhecimento pedagógico do conteúdo dos

números racionais com professores de matemática durante a sua prática?

A partir de nossas análises podemos concluir então que tal

conhecimento se apresenta e se aperfeiçoa durante a prática do professor.

Tomaremos como referência toda a prática desse professor, desde o momento

em que prepara a sua aula, passando pelo momento em que ele explica os

exercícios para os alunos e chegando no momento no qual ele corrige e

observa as “falhas” do processo de ensino.

Muito nos foi apresentado sobre os domínios do MKT acerca do

conhecimento pedagógico para o ensino, como em particular todos os

momentos em que o professor consegue identificar as dificuldades dos alunos

em relação a determinado exercício ou como quando o professor já “prevê”

qual será a dificuldade do aluno quando ele for propor esses exercícios aos

seus alunos.

Vimos ainda que, o professor encontra diversas dificuldades como a

desatenção dos alunos, a falta de interesse e até mesmo dificuldades no que

diz respeito a padrões e regras da escola, porém, tais assuntos fogem do

nosso objetivo dessa pesquisa.

Isso foi possível observar durante a coleta de dados, pois foi claro o

quão importantes são esses conhecimentos que emergem da prática,

mostrando que saber o conteúdo não é suficiente quando se vai à sala de aula.

136

Reflexões

Elaborar esta pesquisa me trouxe um momento de muita aprendizagem,

e me permitiu, além de reconhecer algumas dificuldades e conhecimentos

mobilizados por professores durante a sua prática, identificar diferentes formas

de representar, comparar, criar, e corrigir atividades sobre os números

racionais. Acreditamos que isso contribui muito para compreender a

problemática desse assunto, além de contribuir para o nosso próprio

desenvolvimento profissional.

Acreditamos que o professor é um grande disseminador de

conhecimento quando se trata de sala de aula, e além da necessária e

imprescindível formação inicial de qualidade, é necessária uma formação

continuada em que ele possa aprofundar, diversificar, equilibrar e inovar seus

conhecimentos. Tais conhecimentos como, por exemplo, o PCK, dificilmente

será desenvolvido apenas com uma formação matemática concreta. Nessa

pesquisa, e em outras que permeiam nosso aporte teórico, podemos observar

que esse conhecimento emerge da prática e também é aperfeiçoado no

momentoem que o professor é capaz de criar com o tempo uma aproximação

com os alunos e com determinados conteúdos a serem ensinados.

Nessa pesquisa, propusemos estudar o conhecimento do conteúdo e os

estudantes (KCS) e o conhecimento do conteúdo e o ensino (KCT), dois dos

seis domínios aprofundados por Ball, Thames e Phelps (2008), acera do PCK

de Shulman (1987), sendo assim, acreditamos que os outros 4 domínios

também merecem uma atenção especial e podem ser fruto de futuras

investigações sobre a formação de professores.

Após uma análise geral dos resultados e das entrevistas feitas, se fez

necessário um estudo sobre os conteúdos da Matemática Universitária,

juntamente com a matemática elementar da Educação Básica, pois muitas

vezes os professores não conseguem relacionar o que os anos dentro da

universidade lhes trouxe de contribuição para a sua atuação em sala de aula,

no OBEDUC, por exemplo, vimos diversas relações da Álgebra com os

Números Racionais.

Devido a restrições de tempo não nos foi possível analisar os outros

quatro domínios do MKT propostas por Ball, Thames e Phelps (2008), bem

como a relação entre a Álgebra e os números racionais. Ao olhar para a

137

desmotivação e falta de interesse dos professores de nossa educação básica,

novamente queremos reforçar que investigações sobre a formação e

aperfeiçoamento de professores de matemática se faz necessária nos dias de

hoje, permitido uma ampliação destes conhecimentos e uma nova visão dos

campos de pesquisas aos nossos professores da educação básica.

138

BIBLIOGRAFIA

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141

ANEXOS

Questionário

Prezado professor,

Este questionário é parte do projeto de pesquisa desenvolvido na Universidade Federal

do ABC, agradeço sua participação voluntaria nesta pesquisa, lembrando que a

tabulação dos dados será feita anonimamente, caso precise de mais espaço para

responder as questões utilize o verso da folha. Este questionário poderá ser levado pelo

senhor e voltarei dentro de 15 dias para buscá-lo.

Formação do professor

1) Nome:

2) Instituição onde se formou:

3) Curso de ano que se formou:

4) Tipo de graduação que possui:

5) Possui alguma formação complementar:

6) Tempo de magistério:

7) Tempo que atua nesta escola:

8) Qual série leciona:

9) Tempo semanal dedicado a preparação de suas atividades:

10) No último semestre quantos livros, artigos e revistas da sua área você leu:

Utilização de recursos em sala de aula

11) O livro didático é o seu principal recurso? Que papel você atribui ao livro

didático?

12) Qual função o livro didático desempenha na sua prática pedagógica?

13) Além do livro didático você poderia citar outros recursos utilizados.

Alguns erros decorrentes no ensino de números racionais

Professor este é um momento onde vamos pedir a sua colaboração para a

identificação dos possiveis motivos que desencadearam estes erros cometidos pelo

aluno, pedimos também que se possível, corrija estes erros. Este documento poderá ser

levado a sua casa e você poderá fazer qualquer tipo de consulta para nos ajudar neste

142

momento da pesquisa.

Questão 1:

Questão 2:

Questão 3:

Questão 4:

143

Questão 5:

Questão 6:

144

Questão 7:

Questão 8:

Questão 9:

145

Questão 10:

Questão 11:

Questão 12:

Questão 13:

146

Atividade para os alunos professor A

1) Coloque os números do conjunto apresentado abaixo na reta numérica:

2) Circule a metade da metade do conjunto de moedas abaixo:

3) Dê o valor de:

a) 27

5−14 b)

13− √25

4

−1

2 −1,25

1

3 2,00

6

2 −

8

5 −

5

2

3

2

147

4) Calcule:

a) (– 3

5) + (+2) + (

1

3) = b) (+5) + (

– 1

2) + (− 0,2) =

5) Dona Márcia está organizando uma excursão para a praia com o pessoal do seu

bairro, daqui a duas semanas. Ela sabe que em cada ônibus cabem 20 pessoas.

a) Na primeira semana, 60 pessoas confirmaram que irão viajar, quantos

ônibus Dona Márcia precisa alugar?

b) Na segunda semana, mais 15 pessoas confirmaram que também irão

viajar. Sendo assim, quantos ônibus Dona Márcia precisa alugar?

Atividade para os alunos professor B

1) Coloque os números do conjunto apresentado abaixo na reta numérica:

−1

2 −1,25

1

3 2,00

6

2 −

8

5 −

5

2

3

2

148

2) Circule a metade da metade do conjunto de moedas abaixo:

3) Dê o valor de:

a) 27

5−14 b)

13− √25

4

4) Calcule:

a) (– 3

5) + (+2) + (

1

3) = b) (+5) + (

– 1

2) + (− 0,2) =

5) Uma mãe saiu e deixou certa quantia em dinheiro para que seus 3

filhos a repartisse igualmente. O primeiro chegou e, achando que o

dinheiro ainda estava todo lá, pegou 1

3 e saiu. O segundo chegou e

também achou que o dinheiro ainda estava todo lá, então pegou 1

3 e

saiu. O último filho encontrou 40 reais e achou que os irmãos já tinham

pego suas partes e levou todo o dinheiro. Qual foi o valor deixado pela

mãe? Qual o valor que cada irmão pegou?

149

Atividade para os alunos professor C

Atividade para os alunos do 6º ano – Vanessa

1) Resolva: 10389

2) Calcule as expressões numéricas:

a) (3

4−

1

2 ) : (

1

3+

1

6 ) = b) (1 − 0,8)². (1 − 0,9)² =

3) ) Dona Márcia está organizando uma excursão para a praia com o pessoal do seu

bairro, daqui a duas semanas. Ela sabe que em cada ônibus cabem 20 pessoas.

a) Na primeira semana, 60 pessoas confirmaram que irão viajar, quantos

ônibus Dona Márcia precisa alugar?

b) Na segunda semana, mais 15 pessoas confirmaram que também irão

viajar. Sendo assim, quantos ônibus Dona Márcia precisa alugar?

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