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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE / SEDIS
COORDENAÇÃO DO CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM
ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO
GIZELDA ARAÚJO
RAÍZES RACIONAIS DE UMA EQUAÇÃO ALGÉBRICA COM COEFICIENTES
INTEIROS
Caicó/RN
2016
GIZELDA ARAÚJO
RAÍZES RACIONAIS DE UMA EQUAÇÃO ALGÉBRICA COM COEFICIENTES
INTEIROS
Monografia apresentada à
comissão julgadora do curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio da UFRN, como requisito para a obtenção do grau de ESPECIALISTA.
Orientador: Benedito Tadeu Vasconcelos . Freire.
Caicó/RN
2016
Catalogação da Publicação na Fonte
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - Sistema de Bibliotecas Biblioteca
Central Zila Mamede / Setor de Informação e Referência
Araújo, Gizelda.
Raízes Racionais de uma Equação Algébrica com Coeficientes Inteiros / Gizelda
Araújo. - Caicó, RN, 2016.
25 f.: il.
Orientador: Benedito Tadeu Vasconcelos Freire.
Monografia (Especialização) Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Secretaria de Ensino a Distância - Polo Caicó. Especialização em Ensino de
Matemática para o Ensino Médio.
1. Álgebra - Monografia. 2. Equações - Monografia. 3. Matemática - Raízes -
Monografia. I. Freire, Benedito Tadeu Vasconcelos. II. Título.
RN/UF/BCZM CDU
GIZELDA ARAÚJO
RAÍZES RACIONAIS DE UMA EQUAÇÃO ALGÉBRICA COM COEFICIENTES
INTEIROS
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado a Coordenação de Pós-
Graduação Latu-Sensu da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como
exigência parcial para a obtenção do certificado de ESPECIALISTA em Ensino de
Matemática para o Ensino Médio.
BANCA EXAMINADORA
Professor Benedito Tadeu Vasconcelos Freire
Orientador - UFRN
Professor Me. Daniel Ecco
Monitor SEDIS/UFRN
Professor Me. Odilon Júlio dos Santos
Monitor SEDIS/UFRN
Aprovada em _____ de Junho de 2016.
Dedico este trabalho a um ex-professor da minha educação
básica, professor de Matemática da Rede Estadual de Ensino
Do Rio Grande do Norte: Júlio Álves de Oliveira. Foi inspirada
nele que me apaixonei pela Matemática.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por ser presente e atuante em todos os momentos da minha
vida, ao professor Benedito Tadeu pela disponibilidade em nos orientar. Um
agradecimento especial às pessoas que amo, à minha família, a minha sobrinha Ana
Clara (In Memoriam) que brilha, nos iluminando em forma de anjo, aos meus colegas
de curso, especialmente, Henrique, Carlos, Fábia, Verônica e Islânia e a todos que
estão ao meu lado em qualquer circunstância, dando o incentivo e o Apoio
necessário.
“Ninguém caminha sem aprender a caminhar, sem
aprender a fazer o caminho caminhando, refazendo
e retocando o sonho pelo qual se pôs a caminhar”
Paulo Freire.
“Na maior parte das ciências uma geração põe
abaixo o que a outra construiu e o que uma
estabeleceu, a outra desfaz. Somente na
Matemática é que cada geração constrói um novo
andar sobre a antiga estrutura.”
Hankel.
RESUMO
Neste trabalho de conclusão de curso em nível de Pós-Graduação,
Latu-Sensu, em Ensino de Matemática para o Ensino Médio, da UFRN,
apresentamos o Teorema das Raízes Racionais de uma Equação Algébrica com
Coeficientes Inteiros.
Nosso roteiro é baseado no artigo do Prof. Lenimar de Andrade Nunes,
“Raízes racionais de uma equação algébrica com coeficientes inteiros” da Revista do
Professor de Matemática (RPM), veja na bibliografia. Retocamos e aplicamos o
Teorema em diversos exemplos com a finalidade de, usando uma linguagem clara e
um desenvolvimento compreensível, nosso trabalho possa ser apreciado por alunos
do Ensino Médio ou mesmo por um leitor com pouca familiaridade no assunto.
Gostaríamos também que servisse para auxiliar nos estudos de alunos de
graduação.
Sabe-se que para uma equação algébrica de grau igual a 2 existe uma
fórmula, envolvendo os coeficientes, que permite-nos determinar as raízes. No caso
de uma equação algébrica de grau igual a 3 ou 4, a fórmula existe somente para
algumas condições sobre os coeficientes. Para grau maior do que ou igual a 5, não
existe uma fórmula geral que permita obter as raízes da equação. De uma maneira
geral, se conhecemos a natureza de uma das raízes é possível encontrar uma ou
duas de suas outras raízes ou determinar se não existem raízes racionais.
Nosso objetivo principal é mostrar um método que nos permita encontrar,
de forma simplificada, possíveis candidatos a raízes racionais de uma equação
polinomial do grau n, onde todos os coeficientes dessa equação sejam números
inteiros.
Palavras – chaves: Álgebra; Equações; Raizes.
ABSTRACT
In this work of completion of ongoing Graduate level, Latu Sensu in
Mathematics Teaching for Secondary Education, UFRN, we present the theorem of
Rational Roots of Algebraic Equation Integer Coefficients.
Our script is based on article of Prof. Lenimar de Andrade Nunes,
"Rational roots of an algebraic equation of integer coefficients", published in the
Revista do Professor de Matemática - (RPM), see the bibliography. Retouched and
apply the theorem in several instances for the purpose of using clear language and
an understandable development, our work can be enjoyed by high school students or
even a reader with little familiarity on the subject. We would also like to serve to
assist in the study of undergraduate students.
It is known that for a degree algebraic equation equal to 2 there is a
formula involving the coefficients, which allows us to determine the roots. In the case
of a degree algebraic equation equal to 3 or 4, the formula exists only for some
conditions on the coefficients. To degree greater than or equal to 5, there is a general
formula for obtaining the roots of the equation. In general, if we know the nature of
the roots is to find one or two of its other roots or whether no.
Our main goal is to show a method that allows us to find, in simplified
form, the rational roots of a polynomial equation of degree n, where all the
coefficients of this equation are integers.
Key - words: Algebra; equations; Roots
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 9
CAPÍTULO 1 - Equações Algébricas 10
1.1 – Raízes e Conjunto Solução de uma Equação Algébrica 10
1.2 – Grau de uma Equação Algébrica 10
CAPÍTULO 2 – Equação Algébrica de Grau n 11
2.1 – Teorema das Raízes Racionais de uma Equação Algébrica
com Coeficientes inteiros 13
2.2 – Aplicações em exemplos 15
CONCLUSÃO 24
BIBLIOGRAFIA 25
9
1. INTRODUÇÃO
Ao longo do desenvolvimento deste trabalho buscamos trabalhar a álgebra e
a universalização de padrões como mecanismo no processo ensino-aprendizagem.
“O uso de padrões é uma componente poderosa da atividade
matemática, uma vez que sua procura é indispensável para
conjeturar e analisar”. (Vale e Pimentel, 2005, p. 14).
Sabemos que ainda existe em sala de aula métodos que levam aos alunos a
apenas repetirem exercícios puramente mecânicos. Isso é incoerente ao que diz os
Parâmetros Curriculares Nacionais - PCNs, pois orientam que o ensino da álgebra
deve ser feito de modo preciso e objetivo.
No primeiro capítulo, falamos sobre a definição de uma equação algébrica,
mostramos como identificar o grau de uma equação e ainda introduzimos maneira
de encontrar as raízes de uma equação de menor grau. Esses são pré-requisitos
para entendermos o Teorema estudado.
No segundo capítulo apresentamos uma forma generalizada que inclui
polinômios de qualquer ordem, embora já conhecêssemos bem como encontrar
raízes de equações algébricas até 2º grau. Trata-se de um Teorema que permite
identificarmos todas as possíveis raízes racionais de uma equação algébrica com
coeficientes inteiros. Seguidamente nos fomenta eliminarmos algumas destas
possíveis raízes sem precisarmos fazer nem um tipo de substituição dessas
possíveis raízes na equação, nem mesmo usarmos métodos mais conhecidos, como
por exemplo, o dispositivo prático de Briot-Ruffini. Este dispositivo permite desde
que seja conhecida uma de suas raízes, reduzirmos uma equação de grau n em
uma equação de grau n - 1.
Desenvolvemos o trabalho e aplicamos em exemplos com o objetivo de
conseguir um bom êxito diante de alunos do Ensino Médio e também de motivá-los a
superar dificuldades encontradas durante a aprendizagem deste conteúdo.
10
CAPÍTULO 1 – EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
A palavra álgebra é de origem árabe, contudo os métodos algébricos são bem
anteriores à civilização árabe.
Denomina – se equação algébrica ou polinomial toda equação que pode ser
escrita na forma anxn + an-1x
n-1 + ...+ a1x + a0 = 0 (com an ≠0) em que (an, an-1, ..., a1,
a0) são elementos do conjunto dos complexos, n N* e n é o grau da equação.
1.1 – RAÍZES E CONJUNTO SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO ALGÉBRICA
Dada uma equação algébrica P(x) = 0, com coeficientes reais, o número a
é uma raiz da equação se, e somente se, P(a) = 0.
Resolver uma equação é obter o Conjunto Solução (conjunto formado
pelas raízes da equação).
1.2 – GRAU DE UMA EQUAÇÃO ALGÉBRICA
O grau de uma equação algébrica é dado pelo valor numérico de seu mais
alto expoente com coeficiente não nulo e indica quantas raízes esta equação
possui.
Uma equação de 1º grau tem expoente igual a 1, a de 2º grau tem
expoente 2, a de 3º grau tem expoente 3 e assim por diante.
11
CAPÍTULO 2 – EQUAÇÃO ALGÉBRICA DE GRAU N
Neste capítulo apresentaremos um Teorema que nos permite
encontrar, de forma simplificada, os números racionais que sejam possíveis
candidatos a raízes racionais de uma equação algébrica de grau n.
Lembrando que todos os coeficientes desta equação devem ser números
inteiros.
Para nossos propósitos, uma equação algébrica é dada por
P(x) = 0,
Onde P(x) é um polinômio, isto é, uma expressão do tipo
P(x) = anxn+ anx
n-1 + ....+ a1x + a0,
Onde os coeficientes an, an-1, ...., a1, a0 são números reais (ou
complexos), onde an é não nulo.
Se existe um número real a tal que se P(a) = 0, dizemos que a equação
algébrica possui uma raiz ou que o polinômio P(x) possui uma raiz.
O chamado Teorema do Resto nos diz que:
Para qualquer constante a, um polinômio P(x) = anxn+ anx
n-1 + ....+ a1x
+ a0, do grau n ≥ 1, pode ser escrito na forma:
P(x) = (x – a).q(x) + r, (*)
onde q(x) é um polinômio do grau n - 1 e r = P(a).
Se a é uma raiz de P(x), então, substituindo x por a em (*), temos que
P(a) = 0 e P(a) = r.
Exemplo 1
O polinômio P(x) = 3x3- 5x2+ x – 6 admite x = 2 como uma de suas
raízes?
Solução
12
É fácil ver que, fazendo a divisão do polinômio P(x) = 3x3- 5x2+ x – 6
por x – 2, temos:
P(x) = 3x3- 5x2+ x – 6 = (x – 2). (3x2 + x +3)
e, portanto, P(2) = 0. Assim, x = 2 é uma raiz racional do polinômio dado.
Observe que as outras duas raízes do polinômio dado são as raízes
complexas do polinômio Q(x) = 3x2 + x +3.
Exemplo 2
Quais são as raízes da equação algébrica x4 + x3- 7x2 - x + 6 = 0,
sabendo que x = 1 é uma raiz?
Solução
Observe que, fazendo a divisão do polinômio P(x) = x4 + x3- 7x2 - x + 6
por (x – 1), podemos escrever:
P(x) = x4 + x3- 7x2 - x + 6 = (x – 1). (x3 + 2x2 - 5x - 6),
o que nos permite concluir que x = 1 de fato é uma raiz do polinômio dado.
Agora, observe que:
x3 + 2x2 - 5x - 6 = (x + 1).(x2 + x – 6),
O que nos permite concluir que x = -1 é raiz do polinômio x3 + 2x2 - 5x - 6.
De modo análogo, é fácil ver que (x2 + x – 6) = (x – 2) (x + 3).
Portanto, as raízes da equação algébrica x4 + x3- 7x2 - x + 6 = 0 são:
x = 1; x = -1; x = 2 e x = -3.
Assim, podemos concluir que:
P(x) = x4 + x3- 7x2 - x + 6 = (x – 1).(x + 1). (x – 2).(x + 3) e, portanto as raízes
do polinômio dado são: x = 1, x = -1, x = 2 e x = -3.
13
2.1 – TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS DE UMA EQUAÇÃO ALGÉBRICA COM
COEFICIENTES INTEIROS
Se o número raciona
é raiz de f(x) = anx
n + an-1xn-1 + ...+ a1x + a0, sendo p
Z, q Z*, (an, an-1, ..., a1, a0) também pertencentes a Z e p, q inteiros e primos entre
si (isto é, m.d.c.(p,q) = 1), temos:
I) p|a0 (ou seja, “a0 é divisível por p”)
II) q|an (ou seja, “an é divisível por q”)
III) f(1) é divisível por (p-q) e f(-1) é divisível por (p+q)
De Fato:
Como p/q é raiz da equação f(x) = anxn + an-1x
n-1 + ...+ a1x + a0, então
calculando f(p/q), temos:
an (p/q)n + an-1(p/q)n-1 + ...+ a1(p/q) + a0 = 0.
Agora, multiplicando ambos os membros da igualdade acima por qn, obtemos:
an.pn + an-1.p
n-1.q + ...+ a1p.qn-1 + a0.qn=0 (*)
Isolando anpn e, no segundo membro da igualdade, colocando q em
evidência, obtemos:
anpn = -q (an-1p
n-1 + ...+ a1pqn-2 + a0qn-1) (I)
Em (*), isolando a0qn e, no segundo membro da igualdade, colocando p em
evidência, obtemos:
a0qn = -p (anp
n-1 +an-1pn-2.q + ...+ a1q
n-1) (II)
Em (I), substituindo (an-1pn-1 + ...+ a1pqn-2 + a0q
n-1) por e em (II), substituindo
(anpn-1 +an-1p
n-2.q + ...+ a1qn-1) por , temos que, como todos os coeficientes
a0, a1, …, an, p e q são inteiros, então são inteiros.
Então,
14
anpn = -q. (anp
n) / q = - Z (I’)
a0qn = -p. (a0q
n) / p = - Z (II’)
Portanto, podemos concluir que:
(I’) anpn é divisível por q. Como pn e q são primos entre si, an é divisível por q.
(II’) a0qn é divisível por p. Como qn e p são primos entre si, a0 é divisível por p.
Demonstramos até aqui os itens I e II do Teorema.
Trataremos a seguir da demonstração do item III:
Seja y Z qualquer. Existe inteiros ai, tais que,
f(x) = an (x-y)n + an-1 (x-y)n-1 + a1 (x-y) + a0
Como p/q é a raiz da equação, temos:
f(p/q) = an ((p/q) - y)n + an-1 ((p/q) - y)n-1 + a1 ((p/q) - y) + a0 = 0
Achando o mmc, vem:
f(p/q) = an ((p-yq)/q)n + an-1 ((p-yq)/q)n-1 + a1 ((p-yq)/q) + a0 = 0
Multiplicando ambos os membros da igualdade por qn e, levando a0 para o
segundo membro, fica:
an (p-yq)n + q. an-1 (p-yq)n-1 + q.a1(p-yq) = -a0.qn
O primeiro membro desta última equação é um inteiro múltiplo de (p-yq), logo
(-a0.qn) também é múltiplo de (p-yq).
Assim, esse inteiro é divisível por q e por (p-yq).
Seja d Z tal que d divide q e d divide (p-yq). Temos que, como d divide (yq),
então d divide (yq + (p-yq)). Logo, Daí vem d divide (yq + p - yq)) = p. Assim, p e –q
são divisíveis por d. Como MDC(p,q) = 1, segue que d = 1 ou d = -1
Portanto, p-yq e q são primos entre si, ou seja, MDC((p-yq),q) = 1
Aplicando “n” vezes o resultado:
15
“Se a divide bc e MDC(a,b) = 1, então a divide c”, podemos concluir que (p-
yq) divide (a0q). Logo, temos assim que (p-yq) divide a0, ou seja, a0 ou f(y) é
divisível por (p-yq), y Z.
Portanto,
f(1) é divisível por (p-q) e f(-1) é divisível por (p+q).
Assim, os itens I e II do Teorema permitem identificarmos todas as possíveis
raízes racionais de uma equação algébrica de coeficientes inteiros. Já o item III
permite eliminarmos algumas dessas possíveis raízes sem precisarmos fazer a
substituição dessas raízes na equação.
2.2 – APLICAÇÕES EM EXEMPLOS
Exemplo 1
Seja f(x) = 3x3 – 16x2 + 23x – 6 = 0, vamos encontrar todas as raízes
racionais.
Solução
Vamos iniciar identificando:
Os possíveis valores de p { 1, }.
Os possíveis valores de q { }.
As possíveis raízes p/q {
Neste caso, os coeficientes dos termos de potência par têm sinais negativos e
os coeficientes dos termos de potência ímpar têm sinais positivos, então pela
alternância de sinais, não precisamos analisar os números negativos. Assim, todas
as raízes da equação são positivas. Portanto as possíveis raízes racionais são
{
Utilizando o item III do Teorema, vamos calcular f(1) e f(-1).
16
f(1) = 3. 13 – 16. 12 + 23. 1 – 6 f(-1) = 3. (-1)3 – 16. (-1)2 + 23. (-1) - 6
f(1) = 3 – 16 + 23 – 6 f(-1) = -3 – 16 – 23 – 6
f(1) = 4 f(-1) = -48
Então,
Se f(1) é divisível por (p - q), então 4 é divisível por:
1/3, pois 1 – 3 = -2
2/3, pois 2 – 3 = -1
2, pois 2 – 1 = 1
3, pois 3 – 1 = 2
Se f(-1) é divisível por (p + q), então -48 é divisível por:
1/3, pois 1 + 3 = 4
2, pois 2 + 1 = 3
3, pois 3 + 1 = 4
Observe que -48 não é divisível por 2/3, pois 2 + 3 = 5, ou seja, -48 não é
divisível por 5.
Logo, as raízes de f(x) = 3x3 – 162 + 23x – 6 = 0 são {1/3, 2 e 3}.
Exemplo 2
Seja f(x) = 2x4 + 5x3 – 11x2 - 20x + 12 = 0, vamos encontrar todas as raízes
racionais.
Solução
Vamos iniciar identificando:
Os possíveis valores de p { 1, 12}.
Os possíveis valores de q { }.
17
As possíveis raízes p/q {
Calculando f(1) e f(-1), vem:
f(1) = 2. 14 + 5. 13 – 11. 12 – 20. 1 + 12
f(1) = 2 + 5 – 11 – 20 + 12
f(1) = -12
f(-1) = 2. (-1)4 + 5. (-1)3 – 11.12 – 20. (-1) + 12
f(-1) = 2 – 5 – 11 + 20 + 12
f(-1) = 18
Então,
Se f(1) é divisível por (p - q), então -12 é divisível por:
1/2, pois 1 – 2 = -1
-1, pois -1 – 1= -2
3/2, pois 3 – 2 = 1
-2, pois -2 – 1 = -3
2, pois 2 – 1 = 1
-3, pois -3 – 1 = -4
3, pois 3 – 1 = 2
4, pois 4 – 1 = 3
Se f(-1) é divisível por (p + q), então 18 é divisível por:
1/2, pois 1 + 2 = 3
-3, pois -3 + 1 = -2
-2, pois -2 + 1 = -1
2, pois 2 + 1 = 3
18
Logo, as raízes de f(x) = 2x4 + 5x3 – 11x2 - 20x + 12 = 0 são {-3, -2, ½ e 2}.
Exemplo 3
Encontre todos os possíveis zeros racionais da equação
X4 + 2x3 – 7x2 – 8x +12 = 0
Solução
Sabemos que o número racional
é um zero da equação dada se q divide
12 e p divide 1. Logo, os possíveis valores para q são:
q = 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Agora, é fácil ver que -3, -2, 1 e 2 são zeros da equação, enquanto os outros
oito restantes não são. Portanto, as raízes racionais da equação dada são:
x = -3, x = -2, x = 1, x = 2.
Exemplo 4
(Lema de Gauss) Se um polinômio de grau maior do que ou igual a 1 possui o
coeficiente de maior grau igual a 1, então todos as raízes racionais do
polinômio são números inteiros.
Solução
Seja P(x) = xn+ anxn-1 + ....+ a1x + a0, onde os coeficientes an-1, + ....+ a1, a0
são números reais (ou complexos), o polinômio. O número racional
é um
zero da equação algébrica P(x) = 0 se o inteiro q divide 1. Portanto, q = 1, o
que implica que
= p, portanto um número inteiro.
Exemplo 5
Sejam an, an-1, ...., a1, a0 são números inteiros. A equação algébrica
P(x) = anxn+ anx
n-1 + ....+ a1x + a0 = 0 (*)
não admite raízes inteiras se P(0) e P(1) são ambos números ímpares.
19
Solução
Observe que, dentre os dois números inteiros -a e 1 – a, exatamente um
deles é par (pois se temos que -a é um número inteiro par, então 1 – a é um
número ímpar, pois um número ímpar mais um número par é ímpar; se -a é
um número inteiro ímpar, então 1 – a é a diferença entre dois ímpares, que é
par).
Vamos supor que a seja uma raiz inteira da equação algébrica (*).
Dividindo o polinômio P(x) por x – a, temos que
P(x) = (x – a). q(x).
Mas, P(0) = -a.q(0) e P(1) = (1 – a)q(1) são números inteiros e que pelo
exposto acima não são números ímpares. Portanto, se P(0) e P(1) são ambos
números ímpares a equação algébrica (*) não admite solução inteira.
Exemplo 6
O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d possui os coeficientes a, b, c , d
números inteiros, com ad número ímpar e bc número par. Mostre que no
mínimo um dos zeros da equação algébrica
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0 (*)
é um número irracional.
Solução
Suponha que todos os zeros ou raízes da equação algébrica (*), x1, x2, x3,
sejam números racionais. Para todo i = 1, 2, 3, temos
P(xi) = axi3 + bxi
2 + cxi + d = 0. (**)
A equação (*) pode ser escrita como
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d =
x3 +
bx2 +
cx + d = 0
0 (***)
20
Na equação algébrica (***), podemos mudar a variável x por y, onde y = ax,
obtendo:
y3 + by2 + acy + a2d = 0 (****)
Sejam y1, y2 e y3 os três zeros racionais da equação algébrica (****).
Sabemos que esses zeros são números inteiros, pois o termo de maior grau
tem coeficiente 1.
Por outro lado, temos que
y3 + by2 + acy + a2d = (y – y1). (y – y2). (y – y3), o que implica
y1 + y2 + y3 = -b; y1.y2 + y1.y3 + y2.y3 = ac e y1.y2.y3 = a2d = a(ad).
Como, por hipótese, ad é um número ímpar e bc é um número par, segue
que a e d são números ímpares, o que implica que y1 , y2 e y3 são números
ímpares (como soma de três números ímpares), o que acarreta b deve ser um
número ímpar e, como bc é par, segue que c é par. Portanto, ac é um
número par. Contradição, pois ac é a soma de três números ímpares.
Portanto, no mínimo um dos zeros da equação algébrica
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0 (*)
é um número irracional.
Exemplo 7
Um engenheiro projetou duas caixas-d’água de mesma altura: uma em forma
de cubo e a outra em forma de paralelepípedo reto-retângulo, com 6m2 de
área de base. O volume da caixa em forma de paralelepípedo reto-retângulo
deve ter 4m3 a menos que o volume da caixa cúbica. Qual deve ser a medida
racional da aresta da caixa cúbica?
Solução
Vamos considerar a figura 1(caixa em forma de cubo) e a figura 2 (caixa em
forma de paralelepípedo reto-retângulo).
21
Figura 1 Figura 2
Na figura 1, temos que o volume é dado pela aresta elevada ao cubo, assim
temos que V = x3 (vamos encontrar x)
Agora, analisando a figura 2, sabemos que a área da base é dada por a.b e
que o volume do paralelepípedo é dado por a.b.x, assim,
A = ab, como a área é igual a 6m2, então
ab = 6 (I)
e
V = abx (II)
Substituindo I em II, temos que:
V = 6x
Como a medida do volume da caixa em forma de paralelepípedo reto-
retângulo deve ter 4m3 a menos que o volume da caixa cúbica, então:
Volume do paralelepípedo menos quatro é igual ao Volume do cubo
VP – 4 = VC , substituindo os valores dos volumes, teremos a seguinte
equação
6x – 4 = x3
X3 – 6x + 4 = 0
22
Aplicaremos o Teorema das raízes racionais de uma equação algébrica com
coeficientes inteiros para encontrarmos o valor de x e assim a medida da
aresta do cubo
Vamos iniciar identificando:
Os possíveis valores de p { 1, }.
Os possíveis valores de q { }.
As possíveis raízes p/q {
Calculando f(1) e f(-1), vem:
f(1) = 13 – 6. 1 + 4
f(1) = 1 – 6 + 4
f(1) = - 1
f(-1) = (-1)3 – 6. (-1) + 4
f(-1) = - 1 + 6 + 4
f(-1) = 9
Então,
Se f(1) é divisível por (p - q), então - 1 é divisível por:
2, pois 2 – 1 = 1
Se f(-1) é divisível por (p + q), então 9 é divisível por:
- 4, pois - 4 + 1 = - 3
- 2, pois - 2 + 1 = - 1
2, pois 2 + 1 = 3
23
Como estamos procurando a medida racional da aresta do cubo, então
precisa ser um número racional inteiro, então apenas a raiz 2 satisfaz.
Logo, a aresta da caixa cúbica mede 2 m.
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CONCLUSÃO
Esta monografia teve como objetivo principal apresentar um método que
permite encontrar as possíveis raízes racionais de uma equação algébrica de grau n,
onde os coeficientes desta equação sejam números inteiros.
Sabemos que os principais obstáculos encontrados no entendimento de
equações estão ligados às regras de abstração introduzidas neste conteúdo. Devido
a isso, buscamos inserir o assunto usando uma linguagem acessível ao aluno de
Ensino Médio, utilizando o processo de generalização de padrões a fim de
minimizarmos o ensino mecânico e a tradução de regras da aritmética.
Portanto, analiso este trabalho de forma positiva, acredito que ampliará o
conhecimento do leitor, e, pode ajudá-lo a elaborar o pensamento matemático e
assim passar a enxergar e resolver Equações Algébricas de forma prazerosa.
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BIBLIOGRAFIA
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