UNIVERSIDADE FEDERAL J F Análise de Sistemas … · 1. Visão Geral do Sistema Elétrico de Potência; 2. Representação dos Sistemas Elétricos de Potência; 3. Revisão de Circuitos

Análise de Sistemas Elétricos de Potência 1

7.0 Representação Matricial de Redes

UNIVERSIDADE FEDERAL

DE JUIZ DE FORA

P r o f . F l á v i o V a n d e r s o n G o m e s

E - m a i l : f l a v i o . g o m e s @ u f j f . e d u . b rE N E 0 0 5 - P e r í o d o 2 0 1 2 - 3

1. Visão Geral do Sistema Elétrico de Potência;

2. Representação dos Sistemas Elétricos de Potência;

3. Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados;

4. Revisão de Representação “por unidade” (PU);

5. Componentes Simétricas;

6. Cálculo de Curto-circuito Simétrico e Assimétrico;

7. Representação Matricial da Topologia de Redes (Ybarra, Zbarra);

Ementa Base

An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF

2

Equivalência entre Fontes de Tensão e Corrente


3

As fontes de tensão e corrente são equivalentes

Equações Nodais da Rede: Exemplo 7.0.1


4

Equações Nodais da Rede quando Modelada por Admitância:

Figura 2.2: Sistema exemplo, onde E3 representa um motor.


5

Utilizando-se o modelo de cada elemento:



6

Cada fonte de tensão em série com uma impedância foi transformada em umafonte de corrente em paralelo com uma admitância e as impedâncias das linhas foram transformadas em admitâncias.



7



8

Equações nodais do circuito:



9

Agrupando-se os termos das equações para as barras 1, 2 e 3 vem:

Colocando-se as equações na forma matricial:



10


Generalizando

� 1ª Lei de Kirchhoff

� Reescrevendo em função de Y e V


11

iniiii IIIII ++++= ...210

ii

n

jjiiji VyVVyI 0

1

)( +−=∑=

Representação Matricial de uma Rede

� Sendo:

� Desenvolvendo:


12

( ) ( ) ( ) nini

n

jijiiii VyVyyVyVyI −++

+++−+−= ∑

=

......1

02211

ii

n

jjiiji VyVVyI 0

1

)( +−=∑=

Representação Matricial de uma Rede

� Portanto, para um SEP com N barras, todas as tensões e correntes nodais são relacionadas pelo seguinte sistema matricial:

� Vetor I� Vetor com as injeções de corrente em cada um dos nós da rede

� Vetor V� Vetor com as tensões nodais da rede

� Matriz Ybus (Ybarra)� É a matriz admitância nodal da rede.


13

=

NNNNN

N

N

N V

V

V

YYY

YYY

YYY

I

I

I

&

M

&

&

K

MOMM

K

K

&

M

&

&

2

1

21

22221

11211

2

1

.

[ ] [ ] [ ]VYI . BUS=

[ ] [ ] [ ]VYI . BARRA=

Matriz Admitância Nodal (Ybarra, Ybus)


14

=

NNNNN

N

N

N V

V

V

YYY

YYY

YYY

I

I

I

&

M

&

&

K

MOMM

K

K

&

M

&

&

2

1

21

22221

11211

2

1

. [ ]

21

22221

11211

=

NNNN

N

N

YYY

YYY

YYY

K

MOMM

K

K

BUSY

∑=

+=n

jijiii yyY

10

ikik yY −=

� Elemento da Diagonal Principal:� Somatório de todas as admitâncias conectadas à barra

� Elemento Fora da Diagonal� Negativo da admitância entre barras

� Contribuição de Elemento Série em Ybus:

� Na posição PP e QQ (diagonal)

� Na posição PQ e QP (fora da diag.)


15

Formação da Matriz Admitância

pqpqpq VyI && =

pqpqpq IzV && =

[ ]

21

22221

11211

=

NNNN

N

N

YYY

YYY

YYY

K

MOMM

K

K

BUSYpqy+

pqy−

� Contribuição de Elemento em Derivação em Ybus:

� Na posição PP (diagonal)

� Nas demais posições


16

Formação da Matriz Admitância

000 ppp VyI && =

000 ppp IzV && =

[ ]

21

22221

11211

=

NNNN

N

N

YYY

YYY

YYY

K

MOMM

K

K

BUSY0py+

0

Matriz Admitância Nodal (Ybarra, Ybus)

� A matriz Ybus em SEP:� Simétrica;

� Complexa;

� Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras (exceto ref.);

� Esparsa (>95%);

� Diagonal principal dominante

� Elementos da diagonal principal Ykk

são o somatório das admitâncias diretamente ligadas à barra;

� Elementos fora da diagonal principal Ykj: soma das admitâncias que ligam as barras k e j (sinal contrário).


17

Matriz Impedância Nodal (Zbarra, Zbus)


18

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]IZIYV . . 1 BUSBUS == −

[ ]

21

22221

11211

-1

21

22221

11211

=

=

NNNN

N

N

NNNN

N

N

ZZZ

ZZZ

ZZZ

YYY

YYY

YYY

K

MOMM

K

K

K

MOMM

K

K

BUSZ

� Obs.: A obtenção direta dos elementos de Zbus não é prática, sendo a seu cálculo através da inversa de Ybus mais conveniente.


19

Matriz Impedância Nodal (Zbarra, Zbus)

� A matriz Zbus em SEP:� Simétrica;

� Complexa;

� Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras (exceto ref.);

� Matriz cheia.


20

Exemplo 7.0.2

Escrever as equações nodais da rede na forma matricial, ou seja, escrever I = Ybarra * V para o sistema abaixo:


21

Escrever o diagrama unifilar de impedâncias do circuito:

Exemplo 7.0.2 (Solução)


22

Cálculo dos parâmetros:



23

Transformar todas as fontes de tensão em fontes de corrente:



24

Montagem da Ybarra:

O sistema de equações com a matriz admitância de barras:



25

Interpretação Física dos Elementos de Zbarra

Seja a equação que descreve o circuito:

Os elementos da matriz impedância de barra podem ser calculados pelo ensaio em circuito aberto onde:Zkk: impedância própria de circuito aberto da barra k;Zik: impedância mútua de circuito aberto entre as barras i e k;

Ensaio de circuito aberto na barra 1: fontes de corrente inoperantes ou mortas em todas as barras com exceção da barra 1, Tem-se portanto I2 = I3 = 0


26

Interpretação Física dos Elementos de Zbarra

Ensaio de circuito aberto na barra 1: fontes de corrente inoperantes ou mortas em todas as barras com exceção da barra 1, Tem-se portanto I2 = I3 = 0

A expressão geral de cada elemento da matriz impedância de barra relaciona o efeito à causa e é:


27

Interpretação Física dos Elementos de Ybarra e Zbarra

• Se a corrente I1 (injetada na rede durante o ensaio) é de 1 pu:

ou seja, os elementos da coluna são numericamente iguais às tensões.

• Zkk é a impedância equivalente da rede vista entre a barra k e a referência com as demais fontes de corrente inoperantes, ou seja, é a impedância do equivalente de Thèvenin:


28

Exemplo 7.0.3

Resolva as equações nodais do Exemplo 7.0.2 para encontrar a matriz impedância de barra pela inversão da matriz admitância de barra.Calcule as tensões de barra.


29

Invertendo-se a matriz Ybarra:

O vetor tensão de barra é encontrado efetuando-se a multiplicação indicada:



30

Exemplo 7.0.4

Um capacitor com reatância de 5 pu nas bases do sistema é conectado entre a barra 4 e a referência do circuito.

Calcular a corrente que passa pelo capacitor e a nova tensão da barra 4.


31


Z44 é a impedância equivalente da rede vista da barra 4.

V4 é a tensão da barra 4 antes do capacitor ser colocado

Equivalente de Thèvenin por elemento de Zbarra


32


Z44 é a impedância equivalente da rede vistada barra 4.

V4 é a tensão da barra 4 antes do capacitor ser colocado

Equivalente de Thèvenin por elemento de Zbarra

Exercício 1 para Aluno

� Calcule a Corrente de Curto Trifásico de todas as barras do exemplo 7.0.2.� Do exemplo 7.0.3 tem-se:

� Tensão Pré-falta

� Matriz Zbus

� Lembrando que:


33

1

13 Z

EI curto

k

&& =φ

Sistema Matricial Trifásica


34

=

abcN

abc

abc

NNNN

N

N

abcN

abc

abc

V

VV

YYY

YYY

YYY

I

II

&

M

&

&

K

MOMM

K

K

&

M

&

&

2

1

abc

21

22221

11211

2

1

. [ ]

=ci

bi

ai

abci

I

I

I

I&

&

&

&

[ ]

=ccij

cbij

caij

bcij

bbij

baij

acij

abij

aaij

abcij

YYY

YYY

YYY

Y[ ] [ ]∑

=

+=n

j

abcij

abci

abcii yyY

1

Prim Prim

0

[ ] Primabcik

abcik yY −=

Formação da Matriz Ybus Trifásica


35

A

B

C

Z’A

Z’B

Z’C

Z’AB

Z’BC

Z’AC

A

B

C

P Q

=

PQC

PQB

PQA

CCBCA

BCBBA

ACABA

PQC

PQB

PQA

I

I

I

zzz

zzz

zzz

V

V

V

&

&

&

&

&

&

.

'''

'''

'''

[ ] [ ] [ ]abcpq

abcpq

abcpq z IV .

Prim=

[ ] [ ]( )1

1PrimPrim

'''

'''

'''−

−

==CCBCA

BCBBA

ACABA

abcpq

abcpq

zzz

zzz

zzz

zy

� Elemento Série Trifásico:

[ ] [ ] [ ]abcpq

abcpq

abcpq y VI .

Prim=

Formação da Matriz Ybus Trifásica


36

� Elemento em Derivação Trifásico:� Conectado em Estrela (Y):

� Conectado em Triângulo (Delta)

[ ]1

Prim

'

−

+−−−+−

−+=

BCCABCCA

BCABBCAB

ACABCAABabcpq

yyyy

yyyy

yyyy

y

[ ]

=

=−

−

−

1

1

1

Prim

C

B

A

C

B

Aabcpq

z

z

z

y

y

y

y

1−= ABAB zy

1−= BCBC zy

1−= CACA zy

Formação da Matriz Admitância Nodal

� Montagem da Matriz Ybus� Montagem Direta

� Através do Grafo da Rede


37

[ ]

21

22221

11211

=

NNNN

N

N

YYY

YYY

YYY

K

MOMM

K

K

BUSY

Montagem Direta da Ybus (Ybarra)


38

[ ]

21

22221

11211

=

NNNN

N

N

YYY

YYY

YYY

K

MOMM

K

K

BUSY

∑=

+=n

jijiii yyY

10

ikik yY −=

� Elemento da Diagonal Principal:� Somatório de todas as admitâncias conectadas à barra

� Elemento Fora da Diagonal� Negativo da admitância entre barras

Montagem de Ybus Através do Grafo da Rede

� A matriz Ybarra pode ser obtida, também, através das matrizes de impedância primitiva e de incidência:

� Matriz de Incidência A: Obtida através de um grafo orientado das correntes.

� Matriz YPrimitiva: Formada pelos elementos da rede.

� Procedimento:� Montagem do grafo da rede adotando-se uma orientação (“aleatória”) em função do fluxo das

correntes na rede;

� Montagem da Matriz de Incidência A;

� Montagem da Matriz YPrimitiva;

� Cálculo da Matriz YBus.


39

[ ] [ ] [ ] [ ]AYAY Primitiva . .T =BUS

Montagem do Grafo da Rede


40

Matriz de Incidência A


41

+1 ; se a corrente no ramo j sai do vértice i

-1 ; se a corrente no ramo j entra no vértice i

0 ; se a corrente no ramo j não incide no vértice i

Matriz Incidência (nº de ramos x nº de vértices)

=jia

=jia

=jia

+−−+

−+

0

0

0

321

C

B

A

[ ]

101

110

011

+−−+

−+=A

Matriz de Incidência A (reduzida)

� Como a matriz incidência é linearmente dependente, deve-se eliminar um vértice o de referência do sistema (vértice 1). Assim, tem-se:


42

[ ]

101

110

011

+−−+

−+=A

[ ]

10

11

01

+−+

−=A

Matriz YPrimitiva


43

C

B

A

y

y

y

00

00

00

C

B

A

CBA

[ ]

00

00

00Pr

=

C

B

A

imitiva

y

y

y

Y

Matriz Ybus


44

[ ] [ ] [ ] [ ]AYAY Primitiva . .T =BUS

C

B

A

y

y

y

00

00

00

C

B

A

CBA

+−−+

−+

0

0

0

321

C

B

A

[ ]

10

11

01

00

00

00

110

011

+−+

−

+−+−

=

C

B

ABUS

y

y

y

Y

[ ]

+−−+

=CBB

BBABUS

yyy

yyyY

Exercício 7.0.7

� Determine a matriz incidência e a matriz admitância nodal do sistema abaixo:


45

A B C

D

6

4 5

1 2 3

Grafo Orientado

y6

y4 y5

y3y2y1

31

2

Ref

Montagem da Matriz Ybarra com Elementos Acoplados


46

Seja um trecho de circuito em que existe admitância ou impedância mútua entre alguns elementos do sistema elétrico.



47

A polaridade da tensão induzida é importante.

Onde a matriz Z é denominada de matriz impedância primitiva do elemento.


48


Passando-se para admitância vem:

A matriz Y é chamada de matriz admitância primitiva do elemento.

Expandindo-se a equação acima vem:


49


Sabendo-se que e colocando-se a equação acima em forma matricial tem-se:

Notar que os dois blocos com yij e ykl são termos da matriz Ybarra sem mútua.


50



51

Exemplo 7.0.5

Sejam Z12 = Z34 = j0,25 pu e Zm = j0,15. Determinar a matriz Ybarra do sistema.


52

Sejam Z12 = Z34 = j0,25 pu e Zm = j0,15. Determinar a matriz Ybarra do sistema.

1) Determinar a matriz Z primitiva dos elementos com mútua:

2) Inverter a matriz Z primitiva do elemento para encontrar a matriz Y primitiva



53


3) Montar a matriz Ybarra sem considerar a admitância mútua (sem acoplamento):

4) Incluir o efeito das mútuas somando-se ym aos elementos da matriz referentes aos terminais igualmente marcados e subtraindo-se ym dos elementos da matriz referentes aos terminais diferentemente marcados:

Acrescentar +ym em (1,3), (2,4), (3,1) (4,2)Acrescentar –ym em (1,4), (2,3), (3,2) , (4,1).


54

Sejam z13 = z23 = j0,25 pu, zm = j0,15 pu.Determinar a matriz admitância de barra do circuito da figura abaixo.

Exemplo 7.0.6


55

Sejam z13 = z23 = j0,25 pu, zm = j0,15 pu.


1) Matriz de impedâncias primitiva: 2) Matriz de admitância primitiva:



56



4) Incluir o efeito das mútuas somando-se ym aos elementos da matriz referentes aos terminais igualmente marcados e subtraindo-se ym dos elementos da matriz referentes aos terminais diferentemente marcados:

Acrescentar +ym em (3,3), (1,2), (3,3), (2,1).Acrescentar –ym em (3,2), (1,3), (2,3), (3,1).

y13 = y23 = -j6,25 pu. ym = j3,75 pu.

ym = j3,75 pu.


57

A seguir os cálculos que comprovam a exatidão da matriz Ybarra encontrada com a utilização da regra acima:

Exemplo 7.0.6 (Solução b)


58

Em forma matricial vem:

que confere com o exercício.

Exemplo 7.0.6 (Solução b)

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